MATEMATIKA S STATISTIKO

UNIVERZITETNI ŠTUDIJ BIOKEMIJE

1. LETNIK

ŠTEVILA IN ŠTEVILA IN FUNKCIJEFUNKCIJE

1.Računanje s približki

2.Realna števila

3.Funkcije

Avogadrovo število je 6.023x1023 molekul/mol. Kaj to pomeni?

V enem molu snovi je natanko 602300000000000000000000 molekul?

Seveda ne, vse količine, ki jih dobimo z merjenjem so približne.

6.02300decimalna mesta

pravilna mesta

Število decimalnih mest je odvisno od zapisa:

203.55=2.0355x102=2035.5x10-1

število pravilnih mest pa je vedno enako.

Približne količine

Pomemben dogovor:

v zapisu obdržimo le značilna mesta, tj. če zapišemo N0=6.0230x1023 pomeni, da je tudi zadnja ničla značilna.

Vsaka količina je rezultat zaokrožanja. Pri tem števke 0,1,2,3,4 zaokrožamo navzdol, 5,6,7,8,9 pa navzgor.

PRIMER

1.08462 = 1.085 zaokroženo na tri decimalke

= 1.08 zaokroženo na dve decimalki

Zato N0=6.0230x1023 pomeni

6.02295x1023 ≤ N0 < 6.02305x1023, oziroma (6.0230 ± 0.00005)x1023

medtem ko N0=6.023x1023 pomeni

6.0225x1023 ≤ N0 < 6.0235x1023 oziroma (6.023 ± 0.0005)x1023

Računanje s približnimi količinami

praktična pravila:

(1.2846+21.72) / 13.14=? kalkulator: 1.750730594

Katere decimalke je smiselno obdržati?

•natančnost rezultata ne more biti večja od natančnosti podatkov

•pri seštevanju in odštevanju naj bo število decimalnih mest rezultata enako najmanjšemu številu decimalnih mest faktorjev

(npr. 1.2846+21.72=23.00 in ne 23.0046)•pri množenju in deljenju naj bo število značilnih mest rezultata

enako najmanjšemu številu značilnih mest faktorjev

(npr. 23.0046/13.14=1.751 in ne 1.75 ali 1.750730594)

PRIMERI

S titracijo smo 25 cm3 raztopine NaOH nevtralizirali z 12.21 cm3 raztopine HCl. Izračunaj koncentracijo NaOH, če je koncentracija HCl 0.0942 mol/dm3.

c = (12.21 x 0.0942)/25.00 = 0.04600728

Upoštevamo tri značilna mesta ⇒ c = 0.0460 mol/dm3

Koliko železa nastane, če se pri redukcijski reakciji

Fe2O3 + 3 CO 2 Fe + 3 CO2

porabi 503 g ogljikovega monoksida? (Fe 55.85 g/mol, CO 28.01 g/mol)

m = 503/28.01 x 2/3 x 55.85 = 668.634412

Števila molekul, ki nastopajo v reakciji (2 Fe, 3 CO) so cela, tj. točna, zato štejemo, da je število značilnih decimalk neskončno.

m = 669 g

(12.215 x 0.09425)/24.995=0.046059761(12.205 x 0.09415)/25.005=0.045954839

Realna številaRealna števila so vsa (končna in neskončna) decimalna števila.

Realna števila so teoretični konstrukt, ki nam omogoča, da točno izrazimo vse količine.

Ker ni mogoče napisati neskončnega zaporedja decimalk, sloni zapis in računanje z realnimi števili na približkih.

Le nekatera realna števila (npr. koreni, število π ...) so podana implicitno in z njimi lahko računamo točno, brez zaokroževanja (npr. √2 x√3 =√6).

Če na premici označimo enotsko dolžino, lahko točke premice enačimo z množico realnih števil ℝ.

0 1

(pravimo, da smo na premici vpeljali koordinate)

Realno število lahko podamo z vedno boljšimi približki, npr. 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, ... , π.

Sčasoma se je izkazalo, da je podajanje realnih števil z eksplicitnim navajanjem decimalk preveč okorno in da je boljše, če realno število podamo kot “največji” element neke (navzgor) omejene množice realnih števil.

Pri računanju z realnimi števili si prav tako pomagamo s približki:

če a,b ∈ ℝ nadomestimo približno nadomestimo z a’,b’, potem so a’+b’, a’-b’, a’b’ in a’/b’ približki za a+b, a-b, ab in a’/b’.

(vendar pozor, to niso vedno decimalni približki!)npr.

2.56 x 3.17 = 8.1152, medtem ko je 2.5 x 3.1 = 7.75

Naj bo A, množica naravnih števil, katerih kvadrat je manjši od 5:

2.2

2.23

2.236

2.2360

Vsaka navzgor omejena množica realnih števil določa zaporedje decimalk in s tem neko realno

število

PRIMER

5| 2 xRxA

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3

2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24

2.226 2.227 2.228 2.229 2.230 2.231 2.232 2.233 2.234 2.235 2.236 2.237

2.2350 2.2351 2.2352 2.2353 2.2354 2.2355 2.2356 2.2357 2.2358 2.2359 2.2360 2.2361

5

Tako določeno število a, presega vse elemente množice A, kar ne velja za nobeno od a manjše število, zato pravimo, da je a natančna zgornja meja množice A.

Vsaka navzgor omejena množica realnih števil ima natančno zgornjo

mejo

latinsko: a je supremum množice A, pišemo a=sup A

Kadar je a=sup A ∈ A, pravimo, da je a maksimum množice A in pišemo a=max A. Navzgor omejena množica ima vedno supremum, lahko pa se zgodi, da nima maksimuma.

Vsaka navzdol omejena množica realnih števil ima natančno spodnjo mejo, ki ji pravimo tudi infimum in pišemo a=inf A.Kadar je a=inf A element množice A, pravimo, da je a minimum množice A in pišemo a=min A. Navzdol omejena množica ima vedno infimum, lahko pa se zgodi, da nima minimuma.

PRIMERI 11|sup1|sup xQxxRx (maksimuma ni)

01|sup xZx max=0

24|sup 2 xRx

nn aaxRx |sup

55|sup 2 xRx

sup {ploščine krogu vrisanih mnogokotnikov}

= ploščina kroga =

inf {ploščine krogu orisanih mnogokotnikov}

dolžina krivulje = sup {dolžine ‘lomljenk’ ob krivulji}

Angleška 1. liga 2005-2006Topnost kisika v vodi pri tlaku 760 mmHg

FUNKCIJEFUNKCIJE

7,04359,3717

7,13349,5616

7,22339,7615

7,32329,9814

7,423110,2013

7,533010,4312

7,642910,6711

7,752810,9210

7,862711,199

7,992611,478

8,112511,767

8,252412,066

8,382312,375

8,532212,704

8,682113,053

8,842013,402

9,011913,771

9,181814,160

Kisik (mg/L)Temperatura (oC)Kisik (mg/L)Temperatura (oC)Premier League Final table

Chelsea 95

Arsenal 83

Manchester United 77

Everton 61

Liverpool 58

Bolton Wanderers 58

Middlesbrough 55

Mancester City 52

Tottenham Hotspur 52

Aston Villa 47

Charlton Athletic 46

Birmingham City 45

Fulham 44

Newcastle United 44

Blackburn Rovers 42

Portsmouth 39

West Bromwich Albion 34

Crystal Palace 33

Norwich City 33

Southampton 32

x je argument,

f(x) je funkcijska vrednost.

f: x ↦ f(x)

))((: xfgxfg

Funkciji f in g lahko sestavimo, če so vrednosti f vsebovane med argumenti g.

Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Arsenal

Aston Villa

Birmingham City

Blackburn Rovers

Bolton Wanderers

Charlton Athletic

Chelsea

Crystal Palace

Everton

Fulham

Liverpool

Mancester City

Manchester United

Middlesbrough

Newcastle United

Norwich City

Portsmouth

Southampton

Tottenham Hotspur

West Bromwich Albion

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Grafična predstavitev funkcije

Grafična predstavitev je smiselna, če nam nekaj pove o zvezi med argumenti in funkcijskimi vrednostmi.

Podajanje s formulo

53)( xxf linearna funkcija

2

2gts pot pri prostem padcu

razdalja točke do izhodišča

22),( vuvud

))()()((4

1cbacbacbacbaS Herenova formula

nxx

x n 1 povprečna vrednost

Formula je lahko odvisna od ene, dveh ali več spremenljivk.

Definicijsko območje formule tvorijo tisti nabori spremenljivk, za katere lahko izračunamo formulo.

GrafRARAf ,:

Graf f je množica točk v ravnini, ki so oblike (x, f (x)) za x∈A.

xx

xl

1

1)(

1

1

2,: RARAf

Graf f je množica točk v prostoru, ki so oblike (x, y,f(x,y)) za (x,y)∈A.

221),( yxyxf

Odsekoma definirane funkcije

PVT-diagram idealnega plina

PVT-diagram realne snoviV

nRTP

Značilnosti grafa odražajo naravo funkcijske zveze.

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti

2. Naraščanje in padanje, ekstremi

3. Ukrivljenost

4. Trend na robu definicijskega območja

5. Periodičnost in simetrije

V posodo točimo vodo iz pipe. Kateri graf prikazuje spreminjanje gladine h vode v odvisnosti od časa t ?

PRIMERI

t

hA

t

hB

t

hC

t

hD

Ker so stene posode navpične, gladina narašča enakomerno - linearno.

Kateri graf ponazarja kinetično energijo E telesa, ki se giblje s hitrostjo v?

v

EA

v

EB

v

EC

v

ED

Kinetična energija je sorazmerna kvadratu hitrosti, E=mv2/2.

Kateri graf prikazuje spremembo prostornine V zraka v posodi ob spreminjanju pritiska p?

p

VB

p

VD

p

VA

p

VC

Boyle-Mariottov zakon: pV=konst., zato je V~1/p.

Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari?

t

yA

t

yC

t

yB

t

yD

Fizikalno: amplituda eksponentno pada, frekvenca se ne spreminja.

Matematično: y=e-at sin(bt), a je dušenje, b je frekvenca nihanja.

Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari?

Nihanje napete strune je primer dušenega nihanja:

moč zvoka hitro upade, višina pa ostane nespremenjena.

Kateri graf prikazuje spremembo temperature T ogrevane posode v odvisnosti od časa t, če je posoda prazna, in kateri, če je posoda polna vode?

Posoda se ogreje do temperature vira toplote. Hitrost segrevanja je sorazmerna razliki temperatur (Newtonov zakon), zato razlika temperatur eksponentno upada. Temperatura polne posode se ne povečuje dokler vsa voda ne povre.

t

TB

t

TC

t

TA

t

TD

prazna posodaposoda z vodo

Kateri graf ponazarja število sekund, ki ga kaže sekundni kazalec na uri?

t

A

t

B

t

C

t

D

Definicijsko območje in zaloga vrednosti

xx

xf

1

1)(

Definicijsko območje Df je ‘senca’ (tj. slika projekcije) grafa na osi x, zaloga vrednosti Zf pa je senca na osi y.

1

1

)1,1[fD

),0[ fZ

Naraščanje in padanje funkcije

Pri stalni temperaturi je tlak padajoča funkcija prostornine.

naraščajoča padajoča

Lokalno naraščanje in padanje funkcije

pri b je funkcija naraščajoča

pri a je funkcija padajoča

a b

Globalni ekstremi

(globalni) minimum

(globalni) maksimum

Lokalni ekstremi

lokalni minimum

lokalni maksimum

ravnovesne lege so tipični primeri

lokalnih ekstremov

Konveksnost in konkavnost

Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol.

konkavnost grafa ponazarja pojemanje procesa

konveksnost grafa ponazarja pospeševanje procesa

konveksna

konkavna

Prevoji

Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno.

Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.

Prevoj je točka, pri kateri proces preide iz pospeševanja v zaviranje ali obratno.

Asimptote

npr. temperatura posode, ki se segreje le do temperature vira

npr. dušeno nihanje

Vodoravna asimptota

Linearna asimptota

Vsiljeno nihanje, asimptota je sinusoida

Periodičnost in simetrija

soda

liha

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti

2. Naraščanje in padanje, ekstremi

3. Ukrivljenost

4. Trend na robu definicijskega območja

5. Periodičnost in simetrije

Predstavitev značilnosti funkcije na grafu

Elementarne funkcije

Kotne in ločne funkcije

Polinomi

Racionalne funkcije

Algebrajske funkcije

Eksponentne in logaritmske funkcije

17)( 23 xxxp

1

53)(

3

2

xxxx

xQ

5 2

3 2 11)(

xxx

xxxA

xx eexf 2)( 2

)1ln()( 2xxxg

)cos(3)12sin()( 2 xxxu

xx

xv

1

1arcsin)( )1arctg()( 2xxw

Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij.

Osnovne funkcije:

potence Znxn ,

koreni Znxn ,

eksponentna ex

logaritemska ln

x

sinus sin x

arkus sinus arcsin x

arkus tangens arctg x

Funkcija f:AB je predpis, ki vsakemu elementu domene A priredi en element kodomene B.

Krivulja v ravnini je graf neke funkcije če jo vsaka navpična premica seka največ enkrat.

Funkcije podane z grafom

Obratne funkcije

Praslika f -1(b)={a∈A| f(a)=b} (rešitve enačbe f(a)=b)

Predpis b ↦ f -1(b) določa funkcijo, če imajo

množice f -1(b) natanko en element za vse b∈B.

Tedaj pravimo, da je f bijektivna, predpis

f -1:BA, b ↦ f -1(b)

pa je obratna (inverzna) funkcija za f.

Funkcijo, ki ni bijektivna po potrebi popravimo s spremembo domene ali kodomene.

f je surjektivna, če imajo f -1(b) vsaj en element.

f je injektivna, če imajo f -1(b) največ en element.

f :AB

Eksponentna funkcijainjektivna

surjektivna

Zožimo kodomeno na (0,+).

Obratna funkcija je

exp-1=ln: (0,+)

PRIMERI

exp: (0,+) je bijektivna.

Tangensinjektivna

surjektivna

Zožitev

je bijektivna.

R )2

,2

(:tg

je strogo naraščajoča, ima

vodoravni asimptoti y=±π/2

)2

,2

(:tgarctg 1 R

Obratna funkcija

je bijektivna.

]1,1[]2

,2

[:sin

]2

,2

[]1,1[:sinsinarc 1

Obratna funkcija je

2

2

1 1

2

2

1

1

Ločne funkcije (ciklometrične funkcije)

arc sin(x) ‘arkus sinus’

inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x)

definirana na intervalu [-1,1], zaloga vrednosti interval [-π/2,π/2 ]

xexy

yeyx

xexxf )(

bijekcija je :f

Obratna funkcija

ni elementarna funkcija.

:1f

Funkcijske enačbe, implicitne funkcije

Za funkcijo f pravimo, da je podana implicitno.

F(x,y)=0

f : AB je rešitev funkcijske enačbe če je F(x,y) definirana za x ∈ A, y ∈ B in je F(x,f(x))=0 za vse x∈A.

322 yxyx

]2,2[:, 21 ff

2

312)(

2

1

xxxf

2

312)(

2

2

xxxf

PRIMER

133 4224 yyxx

6

3123)(

42

1

xxxf

6

3123)(

42

2

xxxf

6

3123)(

42

3

xxxf

6

3123)(

42

4

xxxf

1

2a 2b

3a 3b

4

Implicitna enačba določa funkcijo na odseku med dvema navpičnima tangentama

)arctg()( xxf

xxf )(1

3)(

3

2

xxxf

53)(

53

3

xxxxf

753)(

753

4

xxxxxf

Zaporedja funkcij

Taylorjevi približki za funkcijo arctg(x)

)sin(19.1)(1 xxf

xxxxf 3sin29.02sin38.0sin19.1)(2

xx

xxxxf

5sin16.04sin20.0

3sin29.02sin38.0sin19.1)(3

xx

xx

xxxxf

7sin12.06sin13.0

5sin16.04sin20.0

3sin29.02sin38.0sin19.1)(4

)arctg()( xxf

Fourierjevi približki za funkcijo arctg(x)