matematika példatár 3.w3.geo.info.hu/~ng/tamop_jegyzet/pdf/mat3.pdf · a feladatgyűjtemény...

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara

Csabina Zoltánné

Matematika példatár 3.MAT3 modul

MATDeriváltak, differenciálszámításfüggvények és görbék vizsgálatára.

Magasabb rendű deriváltakalkalmazása a hibaszámításban.

SZÉKESFEHÉRVÁR

2010

Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. éviLXXVI. törvény védi. Egészének vagy részeinek másolása,

felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges.

Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 „Tananyagfejlesztéssela GEO-ért” projekt keretében készült. A projektet az EurópaiUnió és a Magyar Állam 44 706 488 Ft összegben támogatta.

Lektor:

Vígné dr Lencsés Ágnes Phd.

Projektvezető:

Dr. hc. Dr. Szepes András

A projekt szakmai vezetője:

Dr. Mélykúti Gábor dékán

Copyright © Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

Tartalom3. MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltakalkalmazása a hibaszámításban. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3.1 Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Differenciálszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3.2.1 A differenciálhányados fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Differenciálási szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2.3 A differenciálhányados geometriai alkalmazása, érintőszámítás, szögfeladat, normális. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2.4 Magasabbrendű deriváltak Taylor-polinom, Taylor sor, simulókör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.5 L’Hospital-szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.6 Függvényvizsgálat, szélsőérték-számítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.7 Többváltozós függvények differenciálása, hibaszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. fejezet - MATDeriváltak,differenciálszámítás függvényekés görbék vizsgálatára. Magasabbrendű deriváltak alkalmazása ahibaszámításban.3.1 Bevezetés

A feladatgyűjtemény a matematikai analízis tantárgy gyakorlatainak tananyagát öleli fel a NyME Geoinforma-tikai Kar mérnöki szakán. A feladatgyűjtemény külön fejezetekben tárgyalja az egyes anyagrészeket.

Minden fejezet elején megtalálhatók a legfontosabb definíciók és tételek bizonyítás nélkül, amelyek ismereteelengedhetetlen a feladatok megoldásához. Minden fejezetben találhatók részletesen kidolgozott példák, ame-lyek az egész tananyagot felölelik, és segítik annak megértését.

Minden fejezet végén feladatok találhatók, amelyeket további gyakorlás és az önálló munkára való szoktatáscéljából készültek. A feladatok részben saját összeállításúak, továbbá más forrásból átvettek, illetve átdolgozot-tak.

A fejezetek tananyagai egymásra épülnek, ezért érdemes a feldolgozott sorrendben haladni a tanulásban.

A feladatgyűjtemény célja hallgatóink munkájának, tanulásának könnyítése, matematika tanulásának elmélyí-tése.

A fokozatosság elvén alapuló feladatok pedig fejlesztik a matematikai gondolkodásukat, valamint a szaktárgyakés alapozó tárgyak elsajátításához szükséges ismeretek elmélyítését, a feladatmegoldó készséget, jártasságot.

A hallgatók, olyan alapokra tesznek szert, amelyek felhasználásával képessé válnak a gyakorlatban felmerülőproblémák modelljeinek felállítására, és azok megoldására.

A feladatok megoldásával szakmájához szükséges konvertibilis és tovább építhető matematikai ismeretbirtokába jut.

3.2 Differenciálszámítás

3.2.1 A differenciálhányados fogalmaDefiníció: Legyen x0 az f függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Azt mondjuk, hogy az f függ-

vény differenciálható az x0 pontban, ha a (x) differencia-hányados-függvénynek az x0 pontban létezik vé-ges határértéke. A

számot az f függvény x0 ponthoz tartozó differenciálhányadosának (deriváltjának) nevezzük. Ha a fentihatárérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x0 pontban nem differenciálható.

Az f függvény x0 helyen vett differenciálhányadosa, az f függvénygörbe A(x0,f(x0)) pontbeli érintőjének aziránytangense.

Matematika példatár 3. 2010

MAT3-2 © Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar, 2010

1. példa: Vizsgáljuk meg, hogy az f(x) = 4x2 függvény differenciálható-e a 2 pontban!

Megoldás:

Először az f(x) függvény 2 pontjához tartozó differenciahányados-függvényét írjuk fel:

x ⊂ R\{2}

Ennek a függvénynek a 2 pontban vesszük a határértékét:

.

A 2 pontban van véges határérték, tehát az f függvény differenciálható ebben a pontban.

2. példa: Határozzuk meg az f(x) = x2 + 3x függvény differenciálhányadosát x=1 helyen a differenciahányadoshatárértékeként!

Megoldás:

Tehát f ’(1) = 5.

3. példa: Definíció alapján vezessük le az f(x) = x3 függvény derivált függvényét, x ⊂ R!

Megoldás:

Legyen x0 ⊂ R tetszés szerinti. Vizsgáljuk a differenciahányados-függvény határértékét az x0 helyen:

Az x0 pontot tetszőlegesen választottuk, ezért az f függvény bármely x ⊂ R pontban differenciálható, és f ’(x)= 3x2.

4. példa: Differenciálható-e az alábbi függvény az x0 = 2 pontban?

Megoldás:

Megvizsgáljuk a függvény jobb és bal oldali differenciálhatóságát az x0 = 2 pontban:

Csabina Zoltánné MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és gör-bék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a

hibaszámításban.

© Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar, 2010 MAT3-3

Tehát az f függvény az x0 = 2 pontban nem differenciálható.

1. ábra

A függvénynek az x0 = 2 pontban töréspontja van.

FELADATOK:

1.) Határozzuk meg az f(x) = x2 + x függvény differenciálhányadosát x=2 helyen a differenciahányadoshatárértékeként!

2.) Tekintsük az f(x)= x2 -5 függvény görbéjének az A(3,4) pontját. Mivel egyenlő az A pontban húzott érintőiránytangense?

3.) Közvetlenül a definíció alapján vezessük le az függvény derivált függvényét!

4.) Differenciálható-e az alábbi függvény a [0;5] intervallumon?

5.) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 0 helyen?

6.) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 1 helyen?

7.) Legyen f(x)= . Differenciálható-e az f függvény az x=0 helyen?

8.) Számítsuk ki az függvény differenciálhányadosának értékét az helyen (halétezik).

9.) Az függvény differenciálható-e az x=-3 az x=0 és az x=1 helyen?



3.2.2 Differenciálási szabályok

1. ,

1. 3.

4.

5.

Az összetett függvény deriválási szabályát szokás lánc-szabálynak is nevezni.

Elemi függvények deriváltjai:

Logaritmikus deriválás:


hibaszámításban.


, ez egy olyan függvény, amelynek az alapja és a kitevője is függvény. Vegyük mindkét oldallogaritmusát, majd deriváljuk mindkét oldalt.

5. példa: Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltjait! A függvények értelmezési tartományának ésderiváltjaik értelmezési tartományának vizsgálatát

önállóan végezze el!

1.

.

1. f(x) = (lnx2) tg x

.

1.

A fenti hozzárendelési törvénnyel adott függvény háromszorosan összetett,

h(x) = 2x

g(h(x)) = sin(h(x))= sin2x

f (g(h(x))) =

Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva:

z’(x) = (esin2x)’ = esin2x (cos2x) 2

Ez a részletezés a feladatok során általában nem szükséges, hiszen a konkrét függvény alapján látható a függvényösszetétele, s így a szabály közvetlenül alkalmazható.

1.



1.

.

1.

.

7.


.

8.)


.

9.)

Implicit függvény deriválása:

.

10.)


hibaszámításban.


Implicit függvény deriválása:

.

Feladatok:

Deriváljuk a következő függvényeket! Néhány példában gondolja meg, mely

valós x-re értelmezhetők illetve differenciálhatók a függvények!

1.

11.)

2.

13.)

3.

15.)

4. 17.)

5.

19.)

6. 21.)

7.

23.)

8.

25.)

9.

27.)

10.

29.)

11. 31.)

12. 33.)



13. 35.)

14. 37.)

3.2.3 A differenciálhányados geometriai alkalmazása,érintőszámítás, szögfeladat, normális

Az érintő egyenlete:

A P0 (x0; f(x0)) ponton átmenő m meredekségű (iránytangensű) egyenes egyenlete:

y= m(x – x0) + f(x0),

a P0-ban az f függvényhez húzott érintő egyenlete:

m = tgα = f ’(x0)

y= f ’(x0)(x – x0) + f(x0).

A görbe normálisa merőleges az érintési pontban az érintőre.

A normális egyenlete:

y= (x – x0) + f(x0), m = tg = .

Az f ’(x0) ≠ 0, mert különben a képlet nem alkalmazható.

2. ábra

Definíció: A P pontban két egymást metsző síkgörbe hajlásszöge a két görbéhez a metszéspontban húzott érin-tők által bezárt derékszögnél nem nagyobb szög.

3. ábra


hibaszámításban.


,0 ω ≤

ha f ’(x0)g’(x0) ≠ –1. Abban az esetben, ha f ’(x0)g’(x0) = –1, akkor ω = .

6.példa: Határozzuk meg az f(x) = ex + 2 függvény görbéjének érintőjét és normálisát az x0 = 0 abszcisszájúpontjában.

Megoldás:

Az érintési pont: E (0;3). A derivált függvény: , amiből az érintő iránytangense: f ’(x0) = e0 = 1.

A normális iránytangense: = –1

Az érintő egyenlete: y = 1(x – 0) + 3 vagyis y = x + 3

A normális egyenlete: y = –1(x – 0) + 3 vagyis y = –x + 3

4. ábra

7.példa: Határozzuk meg az xy = 1 és az y = x2 görbék hajlásszögét.

Megoldás:

Először meg kell adnunk a két síkgörbe metszéspontját.

A metszéspont M(1;1)

5. ábra



és g(x) = x2, deriváltjaik: és g’(x) = 2x

f ’(x0) = f ’(1) = –1 és g’(x0) = g’(1) = 2

, ebből α = 71°34’.

8.példa: Határozzuk meg grafikusan az és y = ln x + 1 görbék metszéspontját, majd számítsuk ki, hányfokos szögben metszik egymást.

Megoldás:

A két síkgörbe metszéspontja: M(1;1)

6. ábra

és , f ’(x0) = f ’(1) = –1 és g’(x0) = g’(1) = 1

Ekkor f ’(x0)g’(x0) = –1·1 = –1, tehát ω = 90°.

Feladatok:

38.)Keressük meg az függvény görbéjének érintőjét és normálisát az

x0 = 4,5 helyen.

39.)Írjuk fel az parabola érintőjének az egyenletét az x tengellyel való metszéspontjaiban.

40.)A egyenlettel adott függvény görbéjének milyen abszcisszájú pontjábanvan 45°-os irányszögű érintője?

41.)Mutassuk meg, hogy az függvény görbéjének a koordinátatengelyekkel alkotott metszés-pontjaiba húzott érintői párhuzamosak egymással.

42.)Adott az x⊂R függvény. Milyen abszcisszájú pontban kell meghúzni azt az érintőt, amelyikáthalad az origón?


hibaszámításban.


43.)Adjuk meg az egyenlettel adott görbe azon érintőjének egyenletét, amely merőleges azx+4y=3 egyenesre.

44.) Határozzuk meg a függvény azon pontjait, amelyekhez húzott érintő

párhuzamos az y=x+4 egyenessel.

45.) Mekkora az görbe érintőjének meredeksége az origóban és a P(2,1) pontban?

46.)Keressük meg az függvénnyel megadott görbének azon pontjait,amelyhez húzott érintő párhuzamos az x tengellyel.

47.) Határozzuk meg a és b paraméterek értékét úgy, hogy az f függvény minden valós x-re differenciálhatólegyen.

48.) Hány fokos szögben metszi az y=x+6 egyenes az parabola felső ágát?

49.) Mekkora szög alatt metszi az y=-2x+5 egyenes az -et.

50.) Az a milyen értékénél metszi 45°-ban az x tengelyt?

51.)Milyen messze van az x=(2ln2)y-4ln2 egyenes az görbétől?

52.) Az egyenes milyen messze van az től.

3.2.4 Magasabbrendű deriváltak Taylor-polinom, Taylor sor,simulókör

Definíció: Ha f differenciálható a H1 halmazon (H1 = Df ’) és ennek f ’ deriváltfüggvénye differenciálható aH2 H1 halmazon, akkor az f ’ deriváltfüggvényét – amelyet f ”-vel jelölünk – nevezzük az f függvény másodikderiváltjának (H2 = Df ”). Hasonló módon jutunk el az f függvény n-edik deriváltjának fogalmához, amit az ffüggvény n-edrendű deriváltjának is nevezzük.

Definíció: Ha az f függvény az x0 pontban n-szer differenciálható, akkor képezhetjük a

polinomot, amelyet az f függvény x0-hoz tartozó n-edrendű Taylor polinomjának nevezünk. Ha x0 = 0, akkor aTn(x) függvényt az f n-edrendű Maclaurin-polinomjának nevezzük.

Definíció: Legyen az f függvény az értelmezési tartománya valamely x0 pontjában akárhányszordifferenciálható. Ekkor az



hatványsort az f függvény x0-hoz tartozó Taylor-sorának nevezzük.

Definíció: Az y = f(x) függvény görbéjének simulóköre az x0 pontban az a kör, amellyel a görbe legalábbmásodrendben érintkezik.

Ha az f(x) és g(x) függvények, valamint differenciálhányadosaik értéke az n-edikig bezárólag az x0 helyen rendremegegyeznek, azaz

f(x0) = g(x0), f ’(x0) = g’(x0),... f (n)(x0) = g(n)(x0), f

(n+1)(x0) ≠ g (n+1)(x0),

akkor azt mondjuk, hogy az f(x) és a g(x) görbék az x0 helyen n-edrendben érintkeznek.

Definíció: Egy görbe görbülete az x0 pontban az x0 pontbeli simulókör sugarának a reciproka: .

A simulókör sugarát a következő képlettel is kiszámíthatjuk: .

9.példa: Határozzuk meg az f(x) = ln x (x ⊂ R+) függvény harmadik deriváltjának az x0 = 1 helyen vett helyet-tesítési értékét.

Megoldás:

A deriváltak:

, f ”’(1) = 2

10.példa: Határozzuk meg az f(x) = sin x függvény 28-adik deriváltját.

Megoldás:

f ’(x) = cos x, f ”(x) = –sin x, f ”’(x) = –cos x, f (4) (x)= sin x, f (5) (x)= cos x ...

Látható, hogy a deriváltak n = 4-es periódussal ismétlődnek:

Ezért f (28) (x) = sin x, x ⊂ R.

11. példa: Írjuk fel az f(x) = ln x függvény x0 = 1 ponthoz tartozó n-endrendű Taylor-polinomját, ahol 0 x 2.

f(x) = ln x f(1) = ln 1 = 0

f ’(1) = 1


hibaszámításban.


f ”(1) = –1

f ”’(1) = 2 = 2!

f 4(1) = –6 = –3!

f 5 = 24 = 4!

Μ Μ

f(n)(1) = (–1)n+1 (n – 1)!

12. példa: Határozzuk meg parabola x0 = 2 helyhez tartozó simulókörének egyenletét (g(x)),és e helyen a parabola görbületét!

Megoldás:

7. ábra

= f(x) f(2) = –1 = g(2)

= f ’(x) f ’(2) = –1 = g’(2)



= f ’’(x) f ’’(2) = = g’’(2)

Felírjuk a keresett simulókör egyenletét implicit alakban, kétszer deriváljuk, majd behelyettesítjük a konkrétértékeket. Az u, v és r-re így kapott egyenletrendszert megoldjuk:

(2 + 2)2 + (–1 + 5)2 = r2 , ahonnan r = 4 .

Ez azt jelenti, hogy a vizsgált egyenletű parabola a P(2;-1) pontjában olyan mértékben görbült, mint

egy 4 ≈ 5,6 egység sugarú kör vonala. (A kör görbültsége minden pontjában azonos, a parabola görbültségepontonként változik.) A simulókör egyenlete: (x + 2)2 + (y + 5)2 = 32

A parabola görbülete az x0 = 2 helyen: .

FELADATOK:

53.) Határozzuk meg az f(x) = 4x3 – 2x2 + 5x + 6 függvény összes f (n)(x) deriváltját!

54.) Határozzuk meg az függvény deriváltját, majd az függvény 15-dikderiváltját!

55.)Képezzük a megadott függvények második és harmadik derivált függvényét:

a.)f(x)=xarctg(x) b.)

i. d.)f(x)=tgx

56.) Az függvény minden pozitív egész n értékre adjuk meg az

f (n)(x) függvényt.

57.) Írjuk fel a polinomot (x+1) hatványai szerint!

58.) Írjuk fel az f(x)=cosx, függvény pontjához tartozó negyedfokú Taylor- polinomját!

59.) Írjuk fel az függvény pontjához tartozó harmadfokú Taylor- polinomját!


hibaszámításban.


60.) Írjuk fel az alábbi függvények harmadfokú MacLaurin- polinomját!

a.) b.) c.) f(x)=tgx

61.) Határozzuk meg az f(x)=ln(1-x) MacLaurin-sorát!

62.) Negyedrendű Taylor polinom felhasználásával adjuk meg ln1,5 közelítő értékét.

63.) Az függvénynek az y tengellyel való metszéspontjában írjuk fel a simulókörének egyenletét ésgörbületét.

64.) Mekkora az y=sinx görbülete az pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó simulókörénekegyenletét!

65.) Mekkora az görbülete az pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó simulókö-rének egyenletét!

66.) Adjuk meg a következő függvények görbületét az pontban!

a. b.)

67.)Írjuk fel az függvény E(3,3) pontjában simulókörének egyenletét és görbületét!

3.2.5 L’Hospital-szabály

Vannak olyan határértékszámítási problémák, amelyek megoldása az eddig ismert módszerekkel nem lehetséges,

vagy ha igen, akkor csak nagyon körülményesen. Ilyenek például a és a típusú határértékek, valamint azezekre visszavezethetők. Az ilyen jellegű határértékek meghatározására való határértékszámítási szabályokatL’Hospital-szabályoknak szokás nevezni.

A véges helyen vett és típusú.

Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

1.) , vagy

2.) f és g x0 környezetében differenciálható (esetleg féloldali)

3.) x0 környezetében

és 4.) létezik a



akkor a határérték is létezik, és .

13. példa: Számítsuk ki a következő határértékeket!

A tétel feltételeinek vizsgálatát az olvasóra bízzuk.

1. .

2. .

3. .

Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

1.) vagy

2.) f és g függvény az (a;∞) intervallumon differenciálható

3.) g’(x) ≠0 ezen az intervallumon

és 4.) létezik a

akkor a határérték is létezik, és .

14. példa: Számítsuk ki a következő határértékeket:

1.

.

2.

.

3.

Megemlítjük még a ∞ –∞ , ∞ ·0, ∞0, 1∞, 00 típusú határértékeket. E határértékek kiszámítását a vagy a alakra vezetjük vissza, és ezekre alkalmazzuk a L’Hospital szabályt.

15. példa: (∞ – ∞) típus


hibaszámításban.


.

Megoldás:

Közös nevezőre hozva a helyettesítési érték lesz, alkalmazható a L’Hospital szabály:

mivel ez újból alakú, újra alkalmazzuk a L’Hospital-szabályt:

,

tehát .

16. példa: (∞ ·0) típus

.

Megoldás: A kifejezést törtté alakítjuk

, így alkalmazható a L’Hospital szabály:

.

FELADATOK:

A következő határértékek kiszámításához használjuk a L’Hospital-szabályt.

1.

69.)

2.

71.)

3.

73.)



4.

75.)

5.

77.)

6.

79.)

7.

81.) .

3.2.6 Függvényvizsgálat, szélsőérték-számításTétel: Legyen az f függvény az [a;b] intervallumon folytonos és az (a;b) nyílt intervallumon differenciálható.Az f függvény ezen az intervallumon akkor és csak akkor monoton növekedő ill. fogyó, ha f ’(x) ≥ 0, illetvef ’(x) ≤ 0 teljesül minden x ⊂ (a;b)-re.

Tétel: Ha az f függvény az x0 hely valamely környezetében differenciálható, f ’(x0) = 0, és az f ’ deriváltfüggvényaz x0 pontban előjelet vált, akkor f-nek az x0 pontban van lokális szélsőértéke.

a. Ha f ’ az x0 pontban negatív értékből pozitív értékbe megy át, akkor f-nek az x0 pontban lokális minimumavan.

b. Ha f ’ az x0 pontban pozitív értékből negatív értékbe megy át, akkor f-nek az x0 pontban lokális maximumavan.

Annak megállapítására, hogy egy függvénynek létezik-e szélsőértéke, és ha létezik milyen, néha célszerű maga-sabbrendű deriváltakat is felhasználni. Tétel: Ha az f függvény az x0 pontban kétszer differenciálható, továbbá

f ’(x0) = 0 és f ”(x0) 0,

akkor a függvénynek az x0 helyen lokális maximuma van. Ha pedig

f ’(x0) = 0 és f ”(x0) 0,

akkor a függvénynek az x0 pontban lokális minimuma van.

17. példa: Határozzuk meg az f(x) = x4 – 2x2 + 2 függvény monotonitási szakaszait és lokális szélsőértékeit.

Megoldás:

f ’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)

f ’(x) = 0, ha 4x3 – 4x = 0, 4x(x2 – 1) = 0, ha x = –1; 0; 1.

Az f ’ zérushelyei négy részintervallumra bontják az f értelmezési tartományát.

8. ábra


hibaszámításban.


Táblázatunk már tartalmazza az f függvényre vonatkozó következtetéseinket is. Ahol az első derivált pozitív(–1 x 0 és x 1) ott a függvény szigorúan monoton növekedő, ahol a derivált negatív (x –1 és 0 x 1), ott afüggvény szigorúan monoton csökkenő.

9. ábra

18. példa: Határozzuk meg az függvény lokális szélsőértékeit!

Megoldás:

Mivel a függvény minden x⊂R differenciálható, ezért lokális szélsőértéke ott lehet, ahol az első derivált zérus:

, f ’(x) = 0 ha x = –1, 1

A szélsőérték létezéséhez elengedő, ha az első derivált zérushelyein az f ” függvény értéke nem nulla. Ez esetben:

f ”(–1) = 3 0

f ”(1) = –3 0

Ez azt jelenti, hogy a függvénynek az x = –1 helyen lokális minimuma van, amelynek értéke f(–1) = –3, és azx = 1 helyen lokális maximuma van, amelynek értéke f(1) = 3.

Tétel: Ha az f függvény az [a;b] intervallumon kétszer differenciálható, akkor ahhoz, hogy itt konvex (illetvekonkáv) legyen, szükséges és elégséges, hogy f ”(x) ≥ 0 (illetve f ”(x) ≤ 0) legyen az egész [a;b] intervallumon.

Tétel: Ha f függvény az x0 hely valamely környezetében kétszer differenciálható és f ”(x0) = 0, valamint az f ”függvény az x0 helyen előjelet vált, akkor f-nek az x0 helyen inflexiós pontja van.

Tétel: Ha f az x0 helyen háromszor differenciálható, valamint f ”(x0) = 0 és f ’”(x0) ≠ 0, akkor f-nek az x0-baninflexiós pontja van.

19. példa: Határozzuk meg az függvény inflexiós pontjait!

Megkeressük a második derivált zérushelyeit és megvizsgáljuk az f ” függvény előjelét: f ’(x) = x2 – 2x – 3 és f ”(x) = 2x – 2. Az f ”(x) = 0 egyenlet megoldása: x = 1. A második derivált előjelváltásait foglaljuk táblázatba:



10. ábra

Ahol f ” pozitív (x 1), ott konvex, ahol f ” negatív (x 1), ott konkáv az f függvény. Az x = 1 helyen f ” előjeletváltva 0, ezért az inflexiós pont. (f ’’’(x) = 2, így f ’’’(1) = 2 ≠ 0, tehát az x = 1 pontban van inflexiós pont.)

A gyakorlati feladatok egy része az úgynevezett szélsőérték-feladat, amikor is csak a szélsőértékekmeghatározása a cél. Az ilyen feladatok kitűzésekor általában nem kapjuk meg a vizsgálandó függvényt, azt afeladatban megfogalmazott feltételek alapján kell előállítani.

20. példa: Adott egy felül nyitott négyzet alapú hasáb, amelynek a térfogata 32 m3. Hogyan kell megválasztania hasáb adatait, hogy a felszín minimális legyen?

Megoldás:

1. Ha az alapél „a” és a magasság m, akkor a felszín:

A = a2 + 4am.

2. A következő lépésben egyváltozóssá tesszük a felszín függvényét a térfogat segítségével.

V = 32 m3, V = a2m = 32, m = ,

A = a2 + 4a Df : a 0

1. A felszínnek ott lehet szélső értéke, ahol A’(a) = 0. Az „a” szerint differenciálva:

, ha a = 4

1.

ez pedig azt jelenti, hogy V-nek az a = 4 értékre minimuma van.

1. A minimális felszínű négyzet alapú hasáb adatai:

a = 4 és m = . A minimális felszín: Amin = 16 + 4·4·2 = 48 m2.

FELADATOK:

82.) Vizsgáljuk meg a következő függvényeket, szélsőérték szempontjából (helye, nagysága, minősége).Határozza meg azokat az intervallumokat is, amelyeken a függvény monoton!

a.

b.) .


hibaszámításban.


83.) Határozza meg az függvény szélsőértékét! Határozza meg

az pontba húzható érintő egyenletét!

84.) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét. Írja fel a függvénygörbékhez az pontbanhúzható érintők egyenletét!

a.

b.) .

85.) Vizsgáljuk meg a következő függvényeknél, hogy a függvény görbéje mely intervallumban konvex, illetvekonkáv. Határozza meg a függvény inflexiós pontját, és írja fel az inflexiós pontbeli érintő egyenletét!

a.

b.)

i. d.) .

86.) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét/szélsőértékeit és inflexiós pontját/pontjait!

a.

b.)

87.) A intervallumon hol konvex, ill. konkáv a következő függvény?

.

88.)Végezzünk teljes függvényvizsgálatot, és ábrázoljuk a függvényt!

a.

b.) .

89.) Húsz méter hosszú drótszövetünk van. Hogyan válasszuk meg a téglalap alakú kert adatait, ha maximálisterületet akarunk körülhatárolni, és az egyik oldalon már van kerítés?

90.) 60cm-es vashuzalból téglatestet alakítunk ki. Hogyan kell megválasztani az éleit (alapja a, 2a oldalú tégla-lap), hogy a térfogat maximális legyen?

91.) Az egyenes és a koordináta tengelyek által meghatározott háromszögbe téglalapot írunk úgy,hogy az egyik csúcs az adott egyenesen, 2-2 csúcsa pedig az x ill. y tengelyen van. Hogyan kell megválasztania csúcsok koordinátáit, ha maximális területű téglalapot szeretnénk?

92.) Egy felül nyitott henger alakú edény térfogata 500 . Hogyan kell megválasztani a henger sugarát ésmagasságát, hogy a felszín minimális legyen?

93.) Bontsuk fel a 22-t két pozitív részre úgy, hogy az egyik résznek a negyedik hatványa, és a másik rész hetedikhatványának szorzata maximális legyen!



94.) Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írható legnagyobb térfogatú kúp sugarát, magasságát és térfogatát!

95.) Adott egy oldalú négyzet alakú lemez, mely minden sarkából kivágunk egy-egy kis négyzetet,majd a maradék oldalrészeket felhajtva egy dobozt kapunk. Mekkora legyen a levágott kis négyzetek oldala,hogy a doboz térfogata maximális legyen? Mekkorák a maximális térfogatú doboz élei, és mekkora a maximálistérfogat?

96.) Egy henger alakú üveg alján olyan félgömböt helyezünk el, amelynek sugara megegyezik a henger

sugarával. Az így kapott test térfogata . Mekkora legyen a henger sugara és a magassága, hogy azüveg a legkevesebb felülettel rendelkezzen?

97.) Egy termék árbevételi függvénye , ahol x az előállított termék darabszámát jelöli.Milyen termékszám esetén lesz maximális az árbevétel?

3.2.7 Többváltozós függvények differenciálása,hibaszámítás

Definíció: Legyen z = f(x,y) egy kétváltozós függvény, amely értelmezve van a P0(x0;y0) pont vala-

mely környezetében. A határértéket az f(x,y) függvény x szerinti parciálisdifferenciálhányadosának vagy parciális deriváltjának nevezzük a P0(x0;y0) pontban. Az x szerinti parciális

derivált jelölése: .

Az x indexszel azt emeljük ki, hogy a differenciálást az x változó szerint hajtjuk végre, állandó y mellett. Ha-sonlóan definiálható az f függvény y szerinti parciális deriváltja.

Egy kétváltozós függvény mindkét parciális differenciálhányadosa egyváltozós függvénydifferenciálhányadosa. Ebből következik, hogy a parciális differenciálhányadosok kiszámítására mindazondifferenciálási szabályok alkalmazhatók, amelyeket az egyváltozós függvények differenciálásával kapcsolatbanmegtanultunk.

A parciális differenciálhányadosok értelmezéséből nyilvánvaló azok geometriai jelentése: az = f(x,y) felület és az y = y0 sík metszésvonala (x0;y0;f(x0,y0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense

az x tengelyre vonatkozóan. Hasonlóan: az a z = f(x, y) felület és az x = x0 sík metszésvonala(x0;y0;f(x0,y0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense az y tengelyre vonatkozóan.


hibaszámításban.


11. ábra

Tegyük fel, hogy a z = f(x, y) függvény

parciális differenciálhányadosai léteznek az xy sík bizonyos tartományában. Ezen függvényekparciális differenciálhányadosait (amennyiben azok léteznek) az f(x,y) függvény másodrendű parciálisdifferenciálhányadosainak nevezzük:

Az és differenciálhányadosokat vegyes másodrendű differenciálhányadosoknak nevezzük.

Tétel: Ha a z = f(x,y) függvény második vegyes parciális differenciálhányadosai egy (x0,y0) pontban folytonosak,akkor e pontban egyenlők is egymással:

.

Definíció: A z = f(x,y) függvény teljes differenciálja a P0(x0;y0) pontban:

.

A teljes differenciált a hibaszámításban használják.

Abszolút hiba:



Relatív hiba: , vagy .

34. példa: Határozzuk meg a következő függvények parciális deriváltjait!

a.) f(x,y)= 3x2y + xy2

b.)

c.) .

Megoldás:

a.) (y-t konstansnak vesszük),

(x-et konstansnak vesszük)

b.)

.

c.)

.

35.feladat: Számítsuk ki a következő függvények másodrendű parciális deriváltjait:

a.)

b.)

Megoldás:

a.)

b.) ,


hibaszámításban.


,

.

36. feladat: Egy derékszögű háromszög befogóit , -nek mértük. A fentiadatokat használva mekkora abszolút hibával számítható a háromszög átfogója?

Megoldás:

a0=5, b0=12,

.

37. feladat: Egy háromszög alakú telek két oldala a mérési hibával és

, a köztük lévő szög .Számítsuk ki a háromszög területét és álla-pítsuk meg a hibakorlátokat!

Megoldás:

a0=83,56, b0=52,25, ,

,

relatív hiba: ,

.



abszolút hiba: .

Tehát a terület:

FELADATOK:

98.) Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények elsőrendű parciális deriváltjait!

1. 2.)

3./ 4./

1. 6.)

2.

8.)

3. 10.)

4.

12.)

5.

14.)

6. 16.)

7.

18.)

8.

20.) .

9.

22.) .

99.) Tekintse az kétváltozós függvényt. Határozza meg az összeget alegegyszerűbb alakban!

100.)Adott az kétváltozós függvény, ahol állandók. Határozza meg a

hányadost a legegyszerűbb alakban!


hibaszámításban.


101.) Bizonyítsuk be, hogy , ha .

102.) Igazoljuk, hogy a függvény eleget tesz az differenciálegyenletnek.

103.) Mekkora „ a ” értéke, ha az függvény megoldása a differenciálegyenletnek?

104.) Megmérve egy henger m magasságát, és alapkörének r sugarát, a következő eredmények adódnak: r=2,5m± 0,01m; m=4,0m ± 0,2m. Becsüljük meg a henger térfogatának kiszámításakor fellépő abszolút és relatív hibát!

105.) Egy négyzet oldalának hosszát megmértük és területét abból számítottuk. A számított terület :

, a=35,1m. Milyen pontossággal mértük meg a négyzet oldalát?

106.) Megmérve egy egyenes körkúp m magasságát, és alapkörének r sugarát, a következő eredmények adódnak:r=10,0cm ± 0,1cm; m=20cm ± 0,05cm. Becsüljük meg az egyenes körkúp térfogatának kiszámításakor fellépőabszolút és relatív hibát!

107.) Egy négyzet alapú egyenes hasáb magasságát méternek, alapélét méternek mérték. Be-csülje meg, hogy mekkora abszolút és relatív hibával számolható a térfogat!

108.) Egy háromszög két szöge és , az egyik oldala pedig b=41,32m± 0,01m. Mekkora a háromszög a oldala? Határozzuk meg az a oldal abszolút és relatív hibáját!

109.) Egy háromszög két oldala a=200m ± 2m és b=300m ± 5m, a köztük levő szög pedig . Mekkoraa háromszög harmadik, c oldala, és mekkora abszolút és relatív hibával számítható ki a háromszög ezen oldala?

110.)Egy optikai lencse fókusztávolsága f=30cm ± 0,15cm, tárgytávolsága t=35cm ± 0,2cm. Milyen határok közöttingadozik a képlettel számított k értéke?

111.) Egy golyó sugara r=2cm ± 0,001cm, tömege m=14g ± 0,02g. Mekkora a sűrűség, és annak abszolút és relatívhibája?

112.) Adott egy P pont polárkoordinátáival, P(t,α): t=215,64m ± 0,06m és . Számítsukki a P pont Descartes-féle koordinátáit (P(x,y)), és ezek abszolút és relatív hibáit!

113.) Milyen pontossággal számítjuk ki a gravitációs gyorsulás értékét, ha méréskor az időt 8% relatív hibávalmértük, és s=2m-t Δs=0,5cm abszolút

hibával tudtuk mérni.

3.3 Megoldások

1.

Tehát f ’(2) = 5.

2.



3.

Tehát x≠3.

4. Az x0 = 4 pontban kell vizsgálni a differenciálhatóságot.

, tehát az f függvény az x0 = 4 pontban nem differenciálható, és így a [0;5] intervallumonsem. Ugyanis egy f függvény akkor differenciálható egy [a; b] zárt intervallumon, ha minden belső pontban,továbbá a-ban jobbról és b-ben balról differenciálható.

5.

.

A 0 helyen nem differenciálható, mivel a különbségi hányados-függvény féloldali határértékei közül csak azegyik véges.

6.

A függvény differenciálható az x=1 helyen.

12. ábra

7.


hibaszámításban.


Mivel ezért differenciálható az x=0 helyen, és .

8. 9.Az f függvény így is megadható:

13. ábra

Mivel és , ezért x=-3, x=1 helyeken nem differenciálható a függvény. Míg

x=0 helyen , ezért itt differenciálható.

10. , .

11. . .

12. . .



13. . 14. .

15. .

16. .

17. .

18.

19. .

20. . 21. .

22. .

23. .

24. . 25. .

26. .

27. .


hibaszámításban.


28. .

29. .

30. . .

31. . .

32. .

1.

.

34. .

35. .

36. .

37. .

38. az érintő egyenlete: y = (x – 4,5) + 3 = x + 1,5

A normális egyenlete: y = –3(x – 4,5) + 3 = –3x + 16.5



14. ábra

39. A metszéspontok : , , .

Az érintők egyenlete: -re illeszkedő →y=-x+3; -re illeszkedő →y=x-4.

40. ,

41. Metszéspontok: A(4,0),B(0,2). , tehát párhuzamos.

42.Origón áthaladó érintő: .

43. Érintési pont: E(3,8), érintő egyenlete: y=4x-4.

44. .

45. Az origóban m=1, a P(2,1)-ben pedig m=0.

46. ,

vagy, ha és .

47. x 3 és x 3 –nál a függvény differenciálható. x=3, akkor differenciálható, ha az y=ax+b egyenes az függvénynek az x=3 ponthoz húzott érintője.

, tehát E(3,9) illeszkedik az egyenesre. b=-9. Az érintő egyen-lete: y=6x-9.

48. Metszéspont: . , , A képlet nem

használható, .


hibaszámításban.


15. ábra

49. .

50. a=e, y=lnx.

51. , , , E(2,1).

.

16. ábra

52. e ��f → E(9,-24), d=2.



17. ábra

53. f ’(x) = 12x2 – 4x + 5 f ”(x) = 24x – 4 f ”’(x) = 24 f (4) = 0

és innen adódik, hogy f (n)(x) = 0 ha n ≥ 4.

54.

f ’(x) = 2x ln2, f ”(x) = 2x ln2 2, ...f (15) (x)= 2x ln152, x ⊂ R.

Az n-edik deriváltra vonatkozó képlet is könnyen megadható: f (n) (x) = 2x lnn2.

55. a.) ,

b.) ,

c.) ,

d.) , .

56.


hibaszámításban.


57.Meg kell határoznunk az f függvény -hez tartozó Taylor-polinomját.

58. .

59. .

60. a.) b.) c.) .

61.

Eszerint n≥1 esetén ,

A MacLaurin-sor pedig: .

62. Az ln(1+x) függvény Taylor sorát használjuk fel. ln1,5 = ln(1+0,5)

Tehát x=0.5 értéket helyettesítünk az alábbi MacLaurin-polinomba.

vagyis

.

63.



18. ábra

C(-2,3), , .

64. , simulókör: .

65. , , .

66. a.) , , , .

b.)

, .

67. ,


hibaszámításban.


C(-7,8), , simulókör: .

1.

. 69. .

70. .

II.Megoldás:

71. .

72. .

73. .

74. . 75. .

76. .

77. .

78. alakkal állunk szemben. Algebrai átalakítással alakra hozhatjuk, és alkalmazhatjuk a szabályt:

.



79. .

(Vegyük észre: nem használtuk a L’Hospital szabályt!)

80. .

81. ,ezért legyen

82. a.) ,

19. ábra

b.)

, ,

, a szélsőérték max.

83. , , , ha


hibaszámításban.


20. ábra

,

A keresett érintő egyenlete : .

84.a.) ,

21. ábra

, , az érintő egyenlete: .

b.) , , ,

22. ábra

.



Az érintő egyenlete: .

85.a.) , ,

23. ábra

, . Az inflexiós érintő egyenlete: .

b.)

,

24. ábra

. , az inflexiós érintő egyenlete: .

c.) ,

, , ha , vagyis , mi-

vel .

25. ábra

, . Az inflexiós érintő egyenlete: .


hibaszámításban.


d.)

Az hely környezetében az előjelet vált, tehát itt a függvénynek inflexiós pontja van. (Lásd azelőző feladatot)

Az inflexiós érintő egyenlet : .

86.a.) Szélsőérték:

, ,

, tehát van szélsőérték, és ez helyi maximum.

Inflexiós pont: , nincs ilyen valós szám, a függvénynek nincs inflexiós pontja.

b.)

26. ábra

27. ábra

Inflexiós pontok:

Figyeljük meg a táblázatokon a függvény páratlan tulajdonságát!



87.

28. ábra

88.a.) Df : R \{–1;1}, Zérushelye: ha x = 0.

A függvény páratlan, mert ∀x⊂R

Határértékei a végtelenben:

és mivel páratlan:

A szakadási helyekhez tartozó jobb és baloldali határértékek:

x = –1

az y tengellyel párhuzamos aszimptota

x = 1

az y tengellyel párhuzamos aszimptota

Ferde (ált. helyzetű) aszimptota egyenlete: y = ax + b


hibaszámításban.


tehát az egyenlet: y = x

A függvény monotonitási szakaszai, szélsőértékei:

f ’(x) = 0,

(x2 – 1)2 = 1 + x2

x4 – 2x2 + 1 = 1 + x2

x2(x2 – 3) = 0 → . ; ; f(0) = 0

29. ábra

30. ábra

A függvény konvex, illetve konkáv szakaszai, inflexiós pont.

, itt a függvénynek maximuma van,

, a függvénynek minimuma van.

31. ábra



. Az inflexiós pontban az érintő az x tengellyel párhuzamos. A görbe

vázlata:

32. ábra

A függvény értékkészlete: R.

b.) R \{7}, zérushely:x=0, pólushely: x=7.

, .

Szélsőérték:

, ha x=-7.

33. ábra

, ha x=-14.

f(x) konvex ⇔ ⇔ x-14, x≠-7

f(x) konkáv ⇔ ⇔ x-14. Inflexiós pont:x=-14-nél.

A függvény értékkészlete: .


hibaszámításban.


34. ábra

89. T(a,b)=a·b milyen a,b-re maximális. k=20=2a+b ⇒ b=20-2a, , ha 0 a 10.

, tehát az a=5 lok. maximum, b=10.

90. maximumát keressük a feltétel mellett.K=60=12a+4b ⇒

, értelmezési tartománya 0 a 5.

.

, lok. maximum, b=5.

91.

35. ábra

T(x,y)=x·y maximumát keressük, ha , A feltételből y=6-0,6x, , 0 x 10.

, tehát maximuma van, y=3. A(5;3), B(0;3), C(0;0), D(5;0).



92. minimumát keressük, ha térfogata

, A feltételt kihasználva: , , 0R,

tehát minimuma van, .

93. maximumát keressük, ha 0 x 22.

,

,

, .

94.

36. ábra

,

0 x R, (R0 adott)

Az értelmezési tartományon az első derivált csak akkor nulla, ha

R – 3x = 0, azaz x = .


hibaszámításban.


A térfogat az helyen maximális. A sugár: .

A kúp magassága:

A maximális térfogat: .

Tehát a kúp maximális térfogata a gömb térfogatának -ede.

95. Jelöljük a levágott négyzet oldalát x-szel. Ekkor a keletkezett doboz térfogata: .

Nyilván .

csak x=2 eleme az értelmezési tartománynak.

, ezért az x=2 helyen a térfogatfüggvénynek maximuma van.

A doboz oldalai 8,8 és 2 cm hosszúak, a térfogata pedig 128 .

96. Legyen m a henger magassága, rpedig a sugara. Ezen két test együttes térfogata:

→ minimális legyen.

, tehát a függvénynek minimuma van az r=3-ban, m=3.



97. és vagyis

, ha ,

vagyis

37. ábra

a maximális árbevétel.

98. 1.) , .

2.) , .

3.) , .

4.) , .

5.) , ,

.

6.) , .

7.) , .

8.) , .

9.) ,

.


hibaszámításban.


10.) , .

11.) , .

12.) , .

13.) , .

14.) , .

15.) , .

16.) , .

17.) , .

18.) , .

19.) ,

.

20.) ,

.



99. .

100. .

102. , ,

.

103. .

104. .

,

.

105. , , .

Tehát a=35,1m ± 0,213m.

106. , , .

107. , , .

108. ,

‰.

.

109. ⇒ c=264,575m, , .

110. .


hibaszámításban.


A határ, ami között ingadozik: [195,45cm ; 224,55cm].

111. , , .

112. , ‰, .

‰

113. ,

,

. Azaz a g relatív hibája 16,25%.

IrodalomjegyzékCsabina Z-né: Matematika, NymE Geoinformatikai Kar Jegyzetsokszorosító Részleg, Székesfehérvár, 2002.

Banach, S: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975.

Bay L.–, Juhász A.–, Szentelekiné Páles I.: Matematikai analízis példatár,

Bárczy B.: Differenciálszámítás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970.

Csernyák L.: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1992.

Denkinger G.: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.

Denkinger G. – Gyurkó L.: Matematikai analízis, Feladatgyűjtemény,

Kovács J.–, Takács G.–, Takács M.: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986.

Rejtő M.–, Pach Zs. Pálné–, Révész P.: Matematika, Mezőgazdasági Kiadó, Budapest, 1972.

Szerényi Tibor: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.

B.P.Gyemidovics: Matematikai analízis, feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974.

Varga O.-, Merza J.-, Sebestyén L.: Matematika és példatár I/2, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.



Tóth A.: Analízis feladatok, ARÉV Nyomda Kft., Székesfehérvár, 2002.

Csikós Pajor G.: Matematikai analízis, Műszaki Főiskola, Szabadka, 2000.

matematika példatár 3.w3.geo.info.hu/~ng/tamop_jegyzet/pdf/mat3.pdf · a feladatgyűjtemény...

Documents