Matematika IV (Zadaci za vježbanje)

Download Matematika IV (Zadaci za vježbanje)

Post on 13-Jul-2015

258 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

<p>ZADACI ZA VJEBANJE 12/4/2007y 1. Rjeite slijedee sisteme linearnih jednaina;(a) 3x 4y = 23(b) 5x 4y = 8(c) 2x y = 6 (d) 5x - 6y = 0 (e) -8x + 2y = 0 2x + 9y = -8-7.5x + 6y = -12 8x 4y = 3 3x +y = 0 28x 7y = 0Rjeenje:a)1) Rjeavanjem sistema linearnih jednaina determinantama, primjenom Kramerovog pravila3x - 4y = 232x + 9y = -8Determinanta sistema formirana od koeficijenata uz nepoznate jedeterminanta nepoznate x (koja se dobija zamjenom u determinantni sistema koeficijenata uz x slobodnim lanovima) je:determinanta nepoznate x (dobija se iz D zamjenom koeficijenata uz y slobodnim lanovima):Prema Kramerovom pravilu bie:12/4/20072) Rjeavanje sistema linearnih jednaina primjenom matricay Dati sistem jednaina3x 4y = 232x + 9y = -8u matrinom obliku glasi:Rjeeni oblik matrine jednaine jey Inverzna matrica se dobija kao kolinik adjungovane matrice i determinante matrice. Adjungovana matrica matrice drugog reda se moe dobiti tako to se elementima na glavnoj dijagonali promjene mjesta, a elementima na sporednoj dijagonali promjene predznaci.3) Gausov postupak eliminacije12/4/20073 4 232 9 8xy</p> <p> = </p> <p> | | |13 4 232 9 8xy</p> <p> = </p> <p> | | |4) Rjeavanje sistema linearnih jednaina elementarnom baznom transformacijomy Neka je sistem jednaina3x 4y = 232x + 9y = -8dat u vektorskom obliku na sledei nain:sa kompaktnom notacijomxa1+ ya2 = btako da je y Rjeavanje sistema jednaina (i) - (ii) moe se svesti na rjeavanje vektorske jednaine (j). tj. odreivanje nepoznatihskalara x i y u linearnoj kombinaciji vektora a1i a2kojom se dobija vektor b. Za dalu poetnu bazu (kojoj pripadajuje:a cilj je formirati bazu kojoj pripadaju a1i a2.y Vektorska jednaina u tabelarnom obliku je:12/4/20072 4 233 9 8x y</p> <p> += </p> <p> | | |1 22 4 23, ,3 9 8a a b= = = </p> <p> | | |1 21 0 i 0 1e e = = | | ) )1 21 1 2 2 1 21 0 23 0 2323 8 23 80 1 0 8 83 2 , 4 9 ,b e ea e e a e e = +=+= + = | | | | |= + =+y Neka vektor a1ulazi u bazu umjesto vektora e1(broj 3 je tzv. ishodni element),tada e, potujui postupak objanjen u Teoriji, nova tabela izgledati ovako:y U slijedeem koraku ( transformacija baze) neka a2 postane bazni a e2 vanbazni vektor. Ishodni elemenat je broj. Nove vrijednosti dobijamo po opisanom postupku:y Rezultati poslednje tabele pokazuju da se vektor b moe izraziti kaob = 5a1+ (-2) a2y Znai, nepoznati skalari, odnosno rjeenja sistema jednaina su x=5, y=2.y (Treba napomenuti da unutranji dio tabele sadri inverznu matricu matrice koeficijenata nepoznatih)b)1) Primjena determinanti12/4/2007353 ) ) ) ) ) )5 456 4 7.5 30 30 07.5 68 486 4 12 48 48 012 65 85 12 8 7.5 60 60 07.5 12xyDDD</p> <p>= ===</p> <p>= ===</p> <p>= ==+ = y Kada postoji beskonano mnogo rjeenja sistema, sve determinante (i sistema i pojedinih nepoznatih) jednake su nuli, tj. rjeenja su neodreena.a mogua rjeenja se mogu dobiti dodjeljivanjem proizvoljne vrijednosti za jednu promjenjivu, npr.y = , pa jeNpr. neka je = 3, onda je x = 4, a y = 3, itd.2) Primjena matricay Rjeavanjem sistema5x - 4y = 8-7.5x + 6y = -12dolazimo do zakljuka da ne postoji inverzna matrica matriceJerjoj je determinanta D = 5 6 - (-4) (-7,5) = 0 pa je dalje ispitujemo da li je sistem neodreen (ima bezbroj rjeenja)ili je kontradiktoran (nema rjeenja), na slijedei nainpa zakljuujemo da je rije o neodreenom sistemu.12/4/20070 0,0 0yxDDx yD D= = = =8 45 4 8, ,5x x REE E+ = = 5 47.5 6</p> <p> |3) Gausov postupaky Zakljuujemo da je sistem jednostruko neodreen i da zamjenom proizvoljno odabranih vrijednosti za jednu od nepoznatih i jednaini 5x - 4y = 8. moemo dobiti odgovarajue vrijednosti druge nepoznate, pa tako dobiti po volji mnogo parova rjeenja (x0, y0).4) Elementarna bazna transformacijay Nakon jedne izvrene bazne transformacije sa ishodnim elementom 5, u drugoj tabeli trebalo bi e2da izae-iz baze a a2da ue u bazu, meutim 0 ne moe biti ishodni elemenat, pa se sledea iteracija ne moe izvriti. S druge strane, poto su u desnoj koloni svi koeficijenti koji se odnose na jedinine vektore jednaki nuli, zakljuujemo da postoji beskonano mnogo reenja sistema; za polazni vektorski oblik sistema jednainajedno mogue rjeenje jeZnai ,a pored toga postoji jo beskonano mnogo rjeenja.12/4/20075 4 8 / 1, 5 5 4 87.5 6 12 0 0 0 &lt; .+ | |5 4 87, 5 6 12x y</p> <p> + = | | |5 4 8807, 5 6 12 5</p> <p> + = | | |8, 05x y = =y Ako je konstatovano da postoji beskonano mnogo rjeenja,tada broj jedininih vektora koji su ostali u bazi a u posljednjoj koloni im odgovara koeficijent nula, pokazuje koliko jednaina (i koje) se, praktino moe izostaviti iz poetnog sistema (jer se mogu dobiti kombinacijom preostalih) i da preostali dio sistema daje isto rjeenje.Ostala rjeenja dobijena iz relacije( dobija vrijednost po volji). Vidi posljednju tabelu!c)1) Primjena determinantiy Kada sistem nema mogue rjeenje, tada je determinanta sistema jednaka nuli i determinanta bar jedne nepoznate razliita je od nule, tako da se za nepoznate dobija nemogu izrazpa sistem jednaina nema rjeenja.2) Pomou matrica12/4/20078 4;5 5x y E E = + = ) ) ) )2 12 4 18 8 8 08 46 16 4 13 24 3 213 41 613 68 3 48 458 3xyDDD</p> <p>= = =+ =</p> <p>= = =+ = </p> <p>= === 21 45,0 0yxDDx yD D = = = =2) Pomou matricapa zakljuujemo da je dati sistem kontradiktoran,tj. da nema rjeenja jer djeljenje brojeva -21 i -42 sa nulom (0) nije izvodljivo.3) Gausov postupakpa dolazimo do istog zakljuka, tj. da sistem nema rjeenja.4) Elementarna bazna transformacijaPoto 0 ne moe biti ishodni elemenat, ne moemo oba vektora a1i a2unijeti u bazu, dakle ne postoje skalarni x i y pomou kojih se moe izraziti b = xa1+ ya2, dakle sistem jednaina nema rjeenja12/4/20072 1 2 1det 08 4 8 42 1 4 18 4 8 24 1 6 21 21/ 01 18 2 3 42 42 / 0 0 0adjxy = = | = |= = = </p> <p> | | | | | )2 62 1 2 1 6 / 4218 4 0 0 21 0 210x yy y = | &lt; , = =.+ | |</p> <p>|d)y Dati sislem je sistem homogenih jednaina. polo su svi slobodni lanovi jednaki nuli Ovakav sistem uvijekima mogue rjeenje ili postoji samo jedno, trivijalno rjeenje, a to je da sve nepoznate jednake nuli, ili postoji beskonano mnogo rjeenja od kojih je jedno i trivijalno 1) Sistem homogenih jednaina prikladno je rjeavati pomou determinanti.y Determinante pojedinih nepoznatih su svakako jednake nuli, dok ako je determinanta sistema razliita od nule postoji samo trivijalno rjeenje:2) Pomou matrica3) Gausov postupak12/4/2007 )5 65 1 6 3 5 18 233 1D</p> <p>= == + =00, 023yxDDx yD D= = = = =5 6 5 6 1 6det 23;3 1 3 1 3 51 6 0 0 0 01 13 5 0 0 0 0 23 23adjx xy y = = </p> <p> | | |= |== = , = | | | | | | ) )5 6 0 5 6 0 5 6 0 3/ 5023/ 5 0 0 3 1 0 0 23/ 5 0x yxy y = | &lt; =, ` = =.+ | | | )4) Rjeavanje elementarnom baznom transformacijomPoto se oba vektora a1i a2nalaze u bazi, znai da postoji samo jedno rjeenje vektorske jednaine b = 0 a1+ 0 a2.e) Zakljuak: Postupak i rezultati su isti kao pod b), a odreen broj parova rjeenja se moe dobiti tako se npr. za x uzme vrijednost , pa e biti y=4..Ako dalje npr. uzmemo da je =1, onda e se dobili x=1,y=4. itd.2.Rijeite sledee sisteme linearnih jednaina:12/4/2007Rjeenje:1) Primjena determinantiy Ako je determinanta sistemarazliita od nule, tada sistemima jedno jedinstvenorjeenje. Vrijednost determinante izraunata primenom Sarusovog pravila je:D 0 sistem je rjeiv i ima jedinstveno rjeenje.y Vrijednost determinante Dxdobijenaje razvijanjem poelementimaprvevrste.tj. kaozbirproizvoda elemenata prve vrste, i odgovarajuih kofaktora.y Vrijednost determinante Dyrazvijanjem po elementima tree kolone:12/4/2007y Vrijednost determinante se ne mjenja ako se elementima neke vrste (ili kolone) dodaju elementi neke druge vrste (ili kolone) proireni bilo kojim brojem. Iskoristimo ovu mogunost u cilju transformacije determinante Dz, dodajui elemente druge vrste pomnoene sa -0,6, elementima prve, i drugu pomnoenu sa -1,6 elementima tree vrste tako da u prvoj koloni dobijemo dve nule i razvijmo dobijenu determinantu po elementima prve kolone:2) Rjeenje sistema jednaina pomou matricaMatrini oblik sistema jednaina jeOdreivanje inverzne matrice: 12/4/200711A adjAA</p> <p>= y Adjungovana matrica je transponat matrice kofaktora. Kofaktori elemenata redom po elementima prve druge i tree vrste su:Matrica kofaktora date matrice je:Inverzna matrica je:a rjeenje sistema12/4/2007 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )1 1111 2121 3132 1212 2222 3234 11 4 2 1 7 8 7 157 25 11 1 52 1 8 188 25 41 57 48 38 75 61 52 67 527 23 61 32 68 428 23 51 37 5 8 618 7AAAAAA++++++</p> <p>= = = + =</p> <p>= = = = ==</p> <p>= = == == </p> <p>= = = ) ) ) ) ) ) )3 1313 2323 3335 61 5 1 6 4 194 13 61 3 3 1 65 335 13 51 34 5 5 375 4AAA+++</p> <p>= == </p> <p>= = =</p> <p>= ==3) Gausov postupak (uradite sami)4) Elementarna bazna transformacijaIz tabele se itaju rjeenja x=2, y=-3, z=5.y Birajui ishodne elemente na glavnoj dijagonali kod sve tri iteracije, obezbjedili smo u poslednjoj tabeli inverznu matricu. Ishodni elementi se mogu birati i na drugi nain, rjeenja za nepoznate se i tada mogu oitati, a inverzna matrica se tada oitava nakon preureivanja vrsti i kolona poslednje tabele (uporedi rezultat sa inverznom matricom dobijenom pomou kofaktora ili proveri tanost inverzne matrice preko relacije A-1 A =E(E je oznaka za jedininu matricu).12/4/2007y Ispitivanje rjeivosti sistema pokazuje da je determinanta sistema D=0, a istovremeno determinante svih nepoznatih takoe su nule: Dx=Dy=Dz=0, znai postoji beskonano mnogo rjeenja sistema. Rjeenja sistema moemo prikazati na sledei nain:y Dodjelimo proizvoljnu vrijednostnepoznatoj x, tada jey Pretpostavimo da je konstanta, dakle dobili smo sistem od tri jednaine za dve nepoznate y i z, bar je jedna jednaina suvina. Primjenimo jedan od metoda rjeavanja,npr. metod suprotnih koeficijenta.y (Da smo dobili da su obe poslednje jednaine bezuslovne jednakosti, to bi znailo da treba dodjeliti proizvoljnu vrijednost za jo jednu nepoznatu).Zamjenom z u jednu od prethodnih jednaina slijedi:Rjeenja sistema su: 12/4/200719 169 37169 3738 338 74 19zzzEEE= =`= )169 37 9 335 6 51 3 ,19 19y yE EE += =9 33 169 37, , ,19 19X y z RE EE E = = = y Konkretna rjeenja se dobijaju odabiranjem proizvoljnih vrijednosti za .Npr. neka je Zadatak rjeavan elementarnom baznom transformacijom ima slijedei tok:Ne mogu se sva tri vektora a1, a2i a3istovremeno nai u bazi (samo dva od njih) ali poto se i u koloni b na odgovarajuem mjestu nalazi 0 to znai da postoji beskonano mnogo rjeenja sistema, jedno od njih je i npr.y Ovdje je (zbog skalara 0) napisano 0 a3umjesto 0 e3. Ovo istovremeno znai da je jedna od jednaina suvina, jer se moe dobiti kombinacijom druge dve, npr. ako prvu jednainu pomnoimo sa 3 i dodajemo joj drugu pomnoenu sa -2 dobiemo treu jednainu! Konkretna rjeenja emo dobiti iz relacije(Vidi posljednju tabelu)12/4/20079 1690,onda je0, , .19 9x y z itd E = = = =169 19 276 33i i 37 37 37 37x y z E E E</p> <p>== + =y Ispitivanje rjeivosti sistema pokazuje da su sve determinante sistema i nepoznatih,jednake nuli, D = Dx= Dy= Dz= 0, znai postoji beskonano mnogo rjeenja sistema jednaina.y Poto su dobijene identike jednakosti, znai da su u gornjem sistemu dve jednaine suvine, potrebno je dodeliti vrijednosti jo jednoj nepoznatoj,npr. neka je y = , a veze meu nepoznatima zadrane su u jedno bilo kojoj od date tri jednaine: 3- 5 + 6z = 51. Rjeenja sistema su:y Konkretna rjeenja se dobijaju proizvoljnim odabirom vrijednosti za i .y Neka je npr. = 9, = -3, onda je x = 9, y = -3, z = itd.y Gausovim postupkom se dobija:12/4/200751 3 5, , , , .6x y z RE FE F EF += = = 32y Sistem je dvostruko neodreen, pa treba proizvoljno odreivati vrijednosti za dve od ukupno tri nepoznate Neka je npr. y = 3, z = 9, onda je x = 4 itd.y Elementarnom baznom transformacijom rjeenje je sledee:U bazi se moe nalaziti najvie jedan od vektora a1 , a2ili a3, postoji beskonano mnogo rjeenja od kojih je npr.: x = 17, y = 0, z = 0.Od date tri jednacine dve su suvine.Druga se moe dobiti kao prva pomnoena sa a trea mnoenjem prve sa 2 (vidi prvu kolonu poslednje tabele!)Za y = , z = ( i su proizvoljno odabrane vrijednosti), dobije se(vidi posljednju tabelu).Ispitivanja rjeivosti sistema pokazuju da je D = 0, Dx= -228, Dy= -368 iDz= 640, dakle sistem je u suprotnosti (nije saglasan) i nema rjeenja.Gausovim postupkom se dobija:12/4/200713</p> <p>517 23x E F = + y Poto dijeljenje broja -16 sa nulom nije izvodljivo (nije mogue, nije delinisano), zakljuujemo da sistem nema rjeenja.y Elementarnom baznom transformacijom dobijamo:Poto dalja transformacija nije mogua, zakljuujemo kao u 1. zadatku pod (c).Postoji samo trivijalno rjeenje sistema jednaina x = y= z = 0. Ostale postupke obavljamo kao u 1. zadatku pod (d).12/4/20073 5 65 4 1 15308 7 2x y zD D D D</p> <p>== = = =(razvijanjem prve kolone ) =Poto je D = 0 i svakako Dx= Dy= Dz= 0, postoji beskonano mnogo rjeenja sistema (meu kojima je x=y=z=0).Neka je x = , tada je:Problem se moe rjeiti i ostalim postupcima.12/4/20073 5 65 4 11 23 20D</p> <p>= )3 174 661 1 0111 99+</p> <p> =</p> <p>5 6 34 523 203 65373 63 6 3 33194 5 , ,5 19 5 1933 37Rjesenja sistema su, za proizvoljno:, , ,19 19y zy zy zzyz xz z yx y z REEEEE EEE E EE E E EE + = = + =+=</p> <p>++ === == = = y Postoji beskonano mnogo rjeenja sistema.y Sve subdeterminanle sistema, treeg reda.koje se dobijaju izostavljanjem jedne vrste i jedri determinante sistema, jednake su nuli.y Meu subdetorminantama drugog reda postoje i razliite od nule, npr.to je formirano od koeficijenata uz y i v u prvoj i drugoj jednaini. 12/4/20071 2 1 42 4 3 803 6 4 121 2 5 40x y zDD D D</p> <p> = = </p> <p>= = =12 1322 232 110 04 3a aa a= ==</p> <p>y Prema tome, proizvoljne vrijednosti se mogu dodjeliti za x i z: x = , z = . y Sabiranjem prve i druge jednaine, kao i tree i etvrte, slijedi:Rjeenje sistema je12/4/20073 6 2 12 62 4 9 8 27a zamjenom i je:6 2 6 3 12 / 94 9 27 2 8 / 246 23 9212216 2 2 6 3 1223x y v zx y v zx zy vy vyyvvE FE FE FE FE FE F E F = + + == = = + = +=+=+ + += + ' '=1, 2 , 3, ,2x y v z R E E F FE</p> <p>= = + = = y Gausovim postupkom se dobija:y Neka je y = , a z = , onda je x = -2 + 4 pa se rjeenja mogu prikazati ovako:x = -2 + 4, y = , v = 3, z = .y Konkretna rjeenja se mogu dobiti proizvoljnim odabirom vrijednosti za i Neka je npr. = 1,a = 2, tada je x = 6, y = 1, v = 3, z = 2, itd.y Dati sistem je dvostruko neodreen.y Kada se problem rjeava elementarnom baznom transformacijom,dobija se slijedee rjeenje:12/4/2007y Rezultati poslednje tabele se interpretiraju na slijedei nain:b = 0e3+ 0a2+ 3a3+ Oe4b=0a1+ 0a2+ 3a3+ Oa4y Jedno od rjeenja za nepoznate su x = 0, y = 0, v = 3, z = 0. Pored navedenog sistema ima jo beskonano mnogo rjeenja;ako je x = i z = , tada je(odgovarajue vrijednosti u redu a2i koloni a1sa suprotnim predznacima).y Neka je npr. =6, a =2, onda je x=6, y=1, v=3, z=2, itd.y Poto je broj jednacina manji od broja nepoznatih, radi se o neodreenom sistemu sa beskonano mnoge rjeenja.1. Gausovim postupkomPrema tome sistem je dvostruko neodreen. Neka je npr. x5= 0, a a4= 2.5 tada je x3= -4, x2= 1,5 i x1= 0.5 itd.12/4/2007122E F+2. Pomou determinantiy Neka je x4=, a x5=, tada moemo formirati sledei sistem:Neka je npr. =2,5, a =0, tada je: x1=-0,5; x2=1,5; x3=-4; x4 =2,5: x5=0 itd. 12...</p>