matematika i - unizg.hr · diferencijalni i integralni racun omoguˇ cava to i kada su sve te...

Matematika IPrimjene trigonometrije

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 31

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja

Nauciti primjenjivati trigonometriju na rjesavanje:pravokutnog trokutaproblema optimumakosog hicaharmonijskog oscilatora


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Primjene trigonometrijskih funkcijaPrimjene pravokutnog trokutaKosi hitacHarmonijski oscilator∗


Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta

PRIMJENE PRAVOKUTNOG TROKUTA

Trigonometrijske funkcije omogucavaju da rijesimo trokut tj. da iz dvijeod velicina na slici odredimo preostale dvije:

ϕ

yz

x

Diferencijalni i integralni racun omogucava to i kada su sve te velicineovisne, npr., o vremenu t :

x = x(t), y = y(t), z = z(t), ϕ = ϕ(t).



PRIMJER 1.Avion leti na visini od 10 km konstantnom brzinom, horizontalno, iznadpromatraca na zemlji. U trenutku u kojem promatrac vidi avion podkutem od 60◦ u odnosu na horizontalu, izmjerio je da se kut smanjujeza 2◦ u sekundi. Kolika je brzina aviona?

Rjesenje

ϕ

x

10km



Rjesenjedϕ

dt= 2◦ =

π

90[rad/s]. Trazimo

dxdt

∣∣∣ϕ=30◦

.

dxdt

=ddt

(10tgϕ) =10

cos2 ϕ

dϕ

dt⇒

⇒ dxdt

∣∣∣ϕ=30◦

=10

cos2(30◦)π

90=

4π

27[km/s]≈ 0.47[km/s] = 1675[km/h]



ZADATAK 1.U jednoj filmskoj sceni kamera prati jureci automobil. Udaljenostkamere od ceste je d , dok automobil juri konstantnom brzinom v .Kojom se brzinom okrece kamera? Kada je ta brzina najveca?

Rjesenje

ϕ

kamera

automobilx

d



Rjesenje (nastavak)Neka vrijeme mjerimo tako da je t = 0 za x = 0.tgϕ =

xd⇒ ϕ = arctg

xd.

dxdt

= v ⇒ x = v · t ⇒ ϕ = arctg(

v · td

)⇒

Kutna brzina kamere:

dϕ

dt=

1

1+ v2

d2 t2

vd

Brzina je najveca za t = 0 i iznosidϕ

dt=

vd.



U primjenama su cesta kruzna gibanja:

x = r cosϕ = r cos(ωt)y = r sinϕ = r sin(ωt)

v =st=

rωtt

= rω

ωT = 2π, T ν = 1



PRIMJER 2.Istocno od zida, na udaljenosti od 10m, nalazi se stup visok 10m.Kojom se brzinom skracuje sjena sto je stup baca na zid?



Rjesenje

ϕ

ϕ

10m

x

10m

T = 24h

ω =2π

T=

π

12[rad/h]

ϕ = ωt , x = 10tgϕ⇒x = 10tg

(π

12t)⇒

dxdt

=10

cos2( π

12 t)π

12=

5π

6cos2( π

12 t)



ZADATAK 2.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?

Rjesenje

ϕ

x

500m

Frekvencija rotacije:ν = 2[okreta/min]⇒kutna brzina rotacije:ω = 4π[rad/min]⇒ ϕ = ω · t⇒ ϕ = 4πt

x = 500tgϕ ⇒ x = 500tg(4πt)



ZADATAK 3.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?

Rjesenje

ϕ

x

500m

Brzina svjetla na zidu:dxdt

=2000π

cos2(4πt)Najmanja brzina:

za t = 0 tj. x = 0,dxdt

= 2000π



PRIMJER 3.Brzina bicikla je konstantnog iznosa v , polumjer kotaca je r iudaljenost macjeg oka od sredista kotaca je a. Opisite gibanje macjegoka, nadite njegovu brzinu i akceleraciju.

Ako su (x ,y) koordinate macjeg oka, onda one ovise o vremenu t tj.x = x(t), y = y(t).Opisati gibanje macjeg oka znaci pronaci te funkcije.Brzina i akceleracija tog gibanja imaju komponente:

dxdt

,dydt

,d2xdt2 ,

d2ydt2 .



Rjesenjey

x

(x, y)ϕ

a

s = rϕ

s = rϕ

a cosϕ

a sinϕ

r



Rjesenje (nastavak)

s = rϕ, s = vt ⇒ ϕ =vr

t

x = vt−asin(ωt)y = r −acos(ωt)

dxdt

= v −aωcos(ωt)

dydt

= aωsin(ωt)

d2xdt2 = aω

2 sin(ωt)

d2ydt2 = aω

2 cos(ωt)



PRIMJER 4.Korito je izradeno od ravnog lima sirine 3m, tako da je lim podijeljen natri pruge sirine 1m, pa su zatim rubne pruge podignute za kut ϕ. Za kojikut ϕ je volumen korita najveci?

ϕ

1m

1m

1mh

x



ZADATAK 4.Dva hodnika sirine a susrecu se pod pravim kutem. Koja je duljina dnajduze sipke koja se moze (horizonatlno) prenijeti kroz hodnik?

RjesenjeMedu svim sipkama koje dodiruju oba zida (vidi skicu) trazimo sipkunajmanje duljine jer svaka kraca sipka od te sigurno prolazi krozhodnik.



Rjesenje

d

a

a

π2− ϕ

ϕ

Kriticne tocke funkcije d :

d =a

sinϕ+

asin(π

2 −ϕ)

⇒ d =a

sinϕ+

acosϕ

pri cemu je ϕ ∈ (0,π

2ϕ 0 π/4 π/2

d(ϕ) ∞ 2√

2a ∞

Duljina trazene sipke je 2√

2a.



Rjesenje

d

a

a

π2− ϕ

ϕ

Kriticne tocke funkcije d :

d ′ =−acosϕ

sin2ϕ

+asinϕ

cos2 ϕ= 0

⇒cos3ϕ = sin3

ϕ

⇒cosϕ = sinϕ⇒ ϕ =π

4.

ϕ 0 π/4 π/2d(ϕ) ∞ 2

√2a ∞

Duljina trazene sipke je 2√

2a.


Primjene trigonometrijskih funkcija Kosi hitac

KOSI HITAC

α

~v0

x

y

POCETNI UVJETI:

x(0) = y(0) = 0dxdt

(0) = v0 cosα

dydt

(0) = v0 sinα



JEDNADZBA GIBANJAHorizontala komponenta:

md2xdt2 = 0

⇒ dxdt

= c1

⇒ x(t) = c1t +c2

x(0) = 0⇒ c2 = 0

dxdt

(0) = v0 cosα⇒ c1 = v0 cosα

Vertikalna komponenta:

md2ydt2 =−mg

⇒dydt

=−gt +c3

⇒y(t) =−gt2

2+c3t +c4

y(0) = 0⇒ c4 = 0

dydt

(0) = v0 sinα⇒ c3 = v0 sinα



KOSI HITAC PARAMETARSKI:

x(t) = v0 cos(α)t , y(t) =−gt2

2+v0 sin(α)t

KOSI HITAC EKSPLICITNO:

t =x

v0 cosα

y =−g2· x2

v20 cos2 α

+(tg α)x



MAKSIMALNA VISINA TANETA:

dydt

= 0⇒−gt +v0 sinα = 0⇒ t =v0 sinα

g

hmax = h(

v0 sinα

g

)=

v20 sin2

α

2g.

DOMET TANETA:

y = 0⇒−gt2

2+v0 sin(α)t ⇒ t =

2v0 sinα

gsto uvrsteno u x(t) daje

d =v2

0 sin(2α)

gKatedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 23 / 31


MAKSIMALNI DOMET TANETA:

d =v2

0 sin(2α)

g≤ v2

0g.

Dakle, maksimalni domet se postize kada je sin(2α) = 1⇒ α =π

4.


Primjene trigonometrijskih funkcija Harmonijski oscilator∗

HARMONIJSKI OSCILATOR∗

PRIMJER 5.Kako se giba masa pod djelovanjem sile opruge?

x



RjesenjeHookeov zakon: F =−kx

md2xdt2 =−kx ⇒ d2x

dt2 =− km

x =−ω2x

gdje je :

ω =

√km

Trebamo naci x(t) za koji vrijedi

d2xdt2 =−ω

2x DIFERENCIJALNA JEDNADZBAZA HARMONIJSKI OSCILATOR



Rjesenje (nastavak)

Definirajmo novu funkciju y sa dxdt =−ωy . Jednadzbu harmonijskog

oscilatora sada mozemo zapisati

dxdt

=−ωy ,dydt

= ωx

⇒ 2xdxdt

+2ydydt

= 0 =ddt

(x2 +y2

)⇒ x2 +y2 = r2 (x ,y) se giba po kruznici



Rjesenje (nastavak)Kojom brzinom se (x ,y) giba po kruznici?

y

x

v

r

dydt

dxdt

(x, y)



Rjesenje (nastavak)

v2 =

(dxdt

)2

+

(dydt

)2

= ω2x2 +ω

2y2

= ω2(

x2 +y2)= ω

2r2

⇒ v = ωr

x = r cos(ωt +α)

y = r sin(ωt +α)



HARMONIJSKI OSCILATOR

PRIMJER 6.Rijesite

d2xdt2 =−9x

uz pocetni uvjete x(0) = 3, dxdt (0) = 9.

Rjesenje

x(t) = r cos(3t +α)

x(0) = r cosα = 3x(0) =−3r sinα = 9⇒ r sinα =−3



Rjesenje (nastavak)

r2 = r2(cos2(α)+sin2(α)) = 32 +(−3)2 = 18⇒ r =√

18

cos(α) =√

22

, sin(α) =−√

22⇒ α =−π

4

⇒ x(t) =√

18cos(

3t− π

4

).


matematika i - unizg.hr · diferencijalni i integralni racun omoguˇ cava to i kada su sve te...

Documents