matematika - fizika - halapa · pitagorin poučak : trokut abc je pravokutan ako i samo ako je...

1

Zadatak 161 (Roby, gimnazija) U jednakokračnom trokutu osnovica je za 2 cm, a krak za 1 cm dulji od visine spuštene na

osnovicu. Nañi površinu trokuta.

Rješenje 161 Ponovimo!

0 0 ili 0 il .i 0x y x y x y⋅ = ⇔ = = = =

( ) ,2 .2 2 2

n nx x

x y x x y y ny y

+ = + ⋅ ⋅ + =

Na osnovi odnosa meñu duljinama stranica trokut može biti:

1) raznostraničan, 2) jednakokračan, 3) jednakostraničan.

Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo kraci

trokuta. Uočimo da su kutovi koji leže na trećoj stranici jednaki zbog činjenice da se nasuprot jednakim stranicama nalaze jednaki kutovi.

Pitagorin poučak: Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Visine su trokuta dužine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecište okomice (koja prolazi

promatranim vrhom) s pravcem na kojem leži suprotna stranica trokuta.

Budući da je osnovica a za 2 cm, a krak b za 1 cm dulji od visine v, vrijedi:

2 , 1.a v b v= + = +

Konstrukcijom visine v iz vrha C na nasuprotnu stranicu AB trokut ABC podijelili smo na dva

sukladna pravokutna trokuta ∆ADC i ∆DBC.

v + 2

v + 1 v + 1v vbb

a

DD

A B

C C

BA

Sa slike vidi se:

1 22 , 1 , ,

2 2

va AB v b BC AC v DC v DB AB

+= = + = = = + = = ⋅ =

Uočimo pravokutan trokut DBC. Uporabom Pitagorina poučka dobije se:

( )2 2

2 4 42 2 2 2 2 2 21 2 1

2 4

v v vBC DC DB v v v v v

+ + ⋅ += + ⇒ + = + ⇒ + ⋅ + = + ⇒

24 42 2 2 2 2

2 1 4 8 4 4 4 44

/ 4v v

v v v v v v v v+ ⋅ +

⇒ + ⋅ + = + ⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ + + ⋅ +⋅ ⇒

2 2 28 4

2 24 4 8 84 4 4 4 0v v v v v v v v vv v⇒ + ⋅ = + + ⋅ ⇒⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ − − ⋅ = ⇒

( ) ( )nepotpuna

/ 1kvadratna jed

2 24 0 4 0

nadžba4 0v v v v v v⇒ − + ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ − ⇒⋅ =−

nema smisla00 414 4 2 6 .

4 0 4 22

vv vv cm a a cm

v v a v

== =⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ = + ⇒ =

− = = = +

Površina trokuta ABC iznosi:

2

6 , 46 4 2

12 .2

2

a cm v cm

P P cma vP

= =⋅

⇒ = ⇒ =⋅=

Vježba 161 U jednakokračnom trokutu osnovica je za 2 cm, a krak za 1 cm dulji od visine spuštene na

osnovicu. Nañi opseg trokuta.

Rezultat: 16 cm.

Zadatak 162 (Mirjana, gimnazija) Duljine stranica u trokutu su a = 8 cm, b = 6 cm. Za koliko je dulja visine vb spuštena na

stranicu b od visine va spuštene na stranicu a, ako je duljina visine va = 4 cm?


Pitagorin poučak: Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak

zbroju kvadrata nad katetama.

Visine su trokuta dužine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecište okomice (koja prolazi

promatranim vrhom) s pravcem na kojem leži suprotna stranica trokuta. Površine trokuta

, .2

,2 2

b va v c va b cP P P⋅⋅ ⋅

= = =

vbva

b a

A B

C

Sa slike vidi se:

metoda 2/

komparacije

2

2 2 2 2

2

b vbP b v b vABC a v a v a vb a b a av

b ba aABC

bvP

⋅= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅

=

⋅

8 4 16.

6 3v v cmb b

⋅⇒ = ⇒ =

Razlika visina vb i va iznosi:

16 16 12 44 .

3 3 3v v cmab

−− = − = =

Vježba 162 Duljine stranica u trokutu su a = 16 cm, b = 12 cm. Za koliko je dulja visina vb spuštena na

stranicu b od visine va spuštene na stranicu a, ako je duljina visine va = 8 cm?

Rezultat: 8

.3

cm

Zadatak 163 (Hrvoje, gimnazija)

U jednakokračnom trokutu je krak dva puta dulji od osnovice. Ako je α kut nasuprot osnovici,

nañi sin α.

vc

vb va

c b

a

3


sin 2 2 sin cos sin 2 .sin cos2 2

x xx x x x⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Na osnovi odnosa meñu duljinama stranica trokut može biti: 1) raznostraničan, 2) jednakokračan,

3) jednakostraničan.

Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo kraci trokuta. Uočimo da su kutovi koji leže na trećoj stranici jednaki zbog činjenice da se nasuprot

jednakim stranicama nalaze jednaki kutovi.

Pitagorin poučak: Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Visine su trokuta dužine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecište okomice (koja prolazi


Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze. Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze.

Budući da je osnovica a za 2 cm, a krak b za 1 cm dulji od visine v, vrijedi:

2 , 1.a v b v= + = +

Konstrukcijom visine v iz vrha C na nasuprotnu stranicu AB podijelili smo trokut ABC na dva sukladna pravokutna trokuta ∆ADC i ∆DBC.

v

2 ⋅⋅⋅⋅ a2 ⋅⋅⋅⋅ a2 ⋅⋅⋅⋅ a2 ⋅⋅⋅⋅ a

a a

2

αααα

2

αααα

DA B BA

C C

Sa slike vidi se:

1, 2 , , ,

2 2 2

aAB a BC AC a DC v DB AB BCD

α= = = ⋅ = = ⋅ = ∠ =

Uočimo pravokutan trokut DBC i uporabom Pitagorina poučka izračunamo duljinu visine:

( )2 2

2 2 2 22 2 22 4

2 4

a aDC BC DB v a v a= − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒

2 2 2

/

216 15 152 2 2

15.4 4 4 2

a a a a av v v v

⋅ − ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅

Takoñer vrijedi:

• 12 2sin sin sin sin .

2 2 2 2 2 2 4

a

DB

B aa

a

C

α α α α= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅

•

15 15152 2cos cos cos cos cos .

2 2 2 2 2 2 2 2 4

a

DC v

BC a a

a

a

α α α α α⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅ ⋅ ⋅

Sada je:

15 151sin 2 sin cos 2 .

2 2 4 4 8

α αα = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

4

Vježba 163 U jednakokračnom trokutu je krak dva puta dulji od osnovice. Ako je α kut nasuprot osnovice,

nañi sin α.

Rezultat: 35

.18

Zadatak 164 (Cazim, gimnazija)

Odredi stranicu b trokuta, ako je zadano: 151 9 0

, , 60 .2 2

a c α= = =


Zbroj kutova u trokutu je 180°.

.0

180α β γ+ + =

Podsjetimo se poučka o sinusima (sinusovog poučka).

U trokutu ABC vrijedi

2sin si i

,n s n

a b cR

α β γ= = =

pri čemu je R polumjer opisane kružnice tog trokuta.

Podsjetimo se kako glasi kosinusov poučak (poučak o kosinusu).

U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

a2 = b

2 + c

2 – 2 · b · c · cos α , b

2 = a

2 + c

2 – 2 · a · c · cos β , c

2 = a

2 + b

2 – 2 · a · b · cos γ.

Budući da su zadane duljine stranica a i c i kut α, možemo napisati sljedeći sinusov poučak

.sin sin

a c

α γ=

Sada se lako izračuna kut γ. sin sin1

sin sin sin si1

nsin in

/s a

a c c ca c

a a

α αγ α γ γ

α γ

⋅ ⋅−= ⇒ ⋅ = ⇒⋅⋅ ⇒ = ⇒ =

9 90 00sin 60 sin 60

9 sin 601 1 12sin sin sin2

151 151 151

2 2

γ γ γ⋅ ⋅

⋅− − −⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

0 ' ''39 22 1 .γ⇒ =

Tada je kut β jednak:

( ) ( )0 0 0 0 0 ' ''180 180 180 60 39 22 1α β γ β α γ β+ + = ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒

0 0 ' ''180 179 59 6

0 ' '' 0 ' '' 0 ' ''99 22 1 99 22 1 80 37 50 9 .β β β⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Duljinu stranice b možemo dobiti na dva načina.

1.inačica

Ponovno ćemo uporabiti sinusov poučak:

1/

sin

9 0 ' ''sin80 37 59

sin 2sin sin 7.0 ' ''sin sin sin sin 39 22 1

b c cb c b b b

β

γγ β

β γ γ

⋅⋅

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

2.inačica

5

Budući da su poznate duljine dviju stranica a i c i kut meñu njima β, duljinu treće stranice b izračunat

ćemo pomoću kosinusovog poučka.

Računamo:

2 2 2 2 22 cos 2 cosb a c a c b a c a cβ β= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 2151 1519 9 0 ' ''

2 cos80 37 59 7.2 2 2 2

b b⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

Vježba 164

Odredi stranicu a trokuta, ako je zadano: 151 9 0

, , 60 .2 2

b c β= = =

Rezultat: a = 7.

Zadatak 165 (Vili, gimnazija)

Duljine težišnica iz vrhova dvaju šiljastih kutova pravokutnog trokuta jednake su 8 cm i 9 cm.

Nañi duljinu hipotenuze tog trokuta.


.

n na a

nb b

=

Pitagorin poučak: Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama.

Težišnica trokuta je dužina koja spaja vrh s polovištem nasuprotne stranice i dijeli trokut na dva dijela

jednake površine. Sve tri težišnice sijeku se u jednoj točki, težištu trokuta. Težište dijeli svaku

težišnicu u omjeru 2 : 1 gledano od vrha.

Sa slika je:

2 2 28 , 9,a b c t cm t cma b

+ = = =

2 2 22 2 2 2 2

8 64 2 24 2562 4 4

2 2 2 2 24 3242 2 22 2

9 814

/

442

4

/

a a ab t b ba

a b

b b a bba aa t

b

+ = + = + =+ ⋅ =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ + =+ = + =+ =

⋅

⋅

2 2zbrojimo 2 2 2/ :

2 25 5

jednadžb5 1

e5 80 16a b a b a b c⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = + =⇒ + = ⇒ ⇒

djelomično/

korjenovanj

2116 116 4 29 2 29 .

ec c c c cm⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

tb

b

2

ta

a

2a

2 + b

2 = c

2

a

c

b

cc

b

a

6

Vježba 165 Duljine težišnica iz vrhova dvaju šiljastih kutova pravokutnog trokuta jednake su 4 cm i 3 cm.

Nañi duljinu hipotenuze tog trokuta.

Rezultat: 2 5 .cm⋅

Zadatak 166 (Dario, tehnička škola)

U tupokutnom trokutu ABC zadana je stranica BC = 100 cm, stranica AB = 80 cm i kut

γ = 49° 27' 32'' koji je nasuprot stranici AB. Odrediti treću stranicu i polumjer upisane kružnice.


Kosokutan trokut ABC:

a, b i c su stranice

α, β i γ su kutovi nasuprot stranica

.0

180α β γ+ + =

s je polovica opsega trokuta, poluopseg:

2

a b cs

+ +=

r je polumjer upisane kružnice trokutu ABC:

• ( ) ( ) ( )s a s b s c

rs

− ⋅ − ⋅ −=

• 2 2 2

r s tg tg tgα β γ

= ⋅ ⋅ ⋅

• sin

2

a br

s

γ⋅ ⋅=

⋅

• sin

2

a cr

s

β⋅ ⋅=

⋅

• sin

2

b cr

s

α⋅ ⋅=

⋅

Podsjetimo se poučka o sinusima (sinusovog poučka).

Omjer duljine stranice trokuta i sinusa nasuprotnog kuta jednak je za sve stranice trokuta.

U trokutu ABC vrijedi

2sin si i

,n s n

a b cR

α β γ= = =

pri čemu je R polumjer opisane kružnice tog trokuta.

Podsjetimo se kako glasi kosinusov poučak (poučak o kosinusu).

U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

a2 = b

2 + c

2 – 2 · b · c · cos α , b

2 = a

2 + c

2 – 2 · a · c · cos β , c

2 = a

2 + b

2 – 2 · a · b · cos γ.

γγγγ

ββββαααα

c

ba

A B

C

Pomoću sinusovog poučka, najprije, izračunamo kut α:

7

/ sin si sin sin sin sinsin sin sin sin

na c a c

a c c aγ α α γα γ α

α γγ

= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⇒

sin sin1sin sin sin i/ : s n

a ac a

c cc

γ γα γ α α

⋅ ⋅−⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒

0 ' ''100 sin 49 27 32 01 ' ''

sin 71 47 29 .80

cm

cmα α

⋅−⇒ = ⇒ =

Budući da je zbroj kutova u trokutu 180°, slijedi:

( ) ( )0 0 0 0 0' '' ' ''180 180 180 71 47 29 49 27 32α β γ β α γ β+ + = ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒

0'' ' '60

0 0 0 0' '' ' ''180 120 74 61 180 120 75 11 60 1β β⇒ = − ⇒ ⇒= = − =⇒ ⇒

0 0 0 0 0' '' ' '' ' '' ' ''180 121 15 1 179 59 60 121 15 1 58 44 59 .β β β⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Duljina stranice b iznosi:

1.inačica

sin

sin sin sin sin/ sin

sin

b c b c cb

ββ

β

γ β γ γ

⋅= ⇒ = ⇒ =⋅ ⇒

0 ' ''80 sin 58 44 59

90 .0 ' ''

sin 49 27 32

cmb b cm

⋅⇒ = ⇒ =

2.inačica

2 2 2 2 2 22 cos 2 c s /ob a c a c b a c a cβ β= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 22 cosb a c a c β⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( )2 2 0 ' ''

100 80 2 100 80 cos58 44 59 90 .b cm cm cm cm b cm⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

Poluopseg trokuta je:

100 , 90 , 80100 90 80

135 .2

2

a cm b cm c cmcm cm cm

s s cma b cs

= = =+ +

⇒ = ⇒ =+ +=

Polumjer upisane kružnice trokuta iznosi:

1.inačica

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )135 100 135 90 135 80

135

s a s b s c cm cm cm cm cm cmr r

s cm

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ −= ⇒ = ⇒

35 45 5525.33 .

135

cm cm cmr r cm

cm

⋅ ⋅⇒ = ⇒ =

2.inačica

0 0 0' '' ' '' ' ''71 47 29 58 44 59 49 27 32

135 25.33 .2 2 2 2 2 2

r s tg tg tg r cm tg tg tg r cmα β γ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

3.inačica

0 ' ''sin 100 90 sin 49 27 32

25.33 .2 2 135

a b cm cmr r r cm

s cm

γ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅

8

Vježba 166 U tupokutnom trokutu ABC zadana je stranica BC = 50 cm, stranica AB = 40 cm i kut

γ = 49° 27' 32'' koji je nasuprot stranici AB. Odrediti treću stranicu.

Rezultat: 45 cm.

Zadatak 167 (YOYO, srednja škola)

Odredi koordinate točaka koje su simetrične točkama A(– 4, 0) , B(1, – 3) , C(3, 4) i D(– 1, 5)

s obzirom na točku S(– 1, 1).


Ako točka P(x, y) raspolavlja dužinu ( ) ( ), , , , ,1 1 2 2

AB A x y B x y tada je:

1 2 1 2

2.

2,

x x y yx y

+ += =

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

y

x

D'

C'

B'

A'S

D

C

B

A

Neka je točka A' simetrična točki A s obzirom na točku S. Dakle, točka S je polovište dužine 'AA pa

slijedi:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

4 4, 4, 0 1 2 2 21 1 1 12 2 2

, 1, 10 0

1 2 2 21 1' , ' ?, ?2 2 2 2

/ 2

/ 22

x x x xA x y Ax

S x y Sy y y y

yA x y A

+ − + − += −= = − = −

= − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒+ + +

= = ==

⋅

⋅

( )4 2 2 4 2

2 2 2' 2, 2 .

2 2 22 2 2

x x xA

y y y

− + = − = − + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= = =

Neka je točka B' simetrična točki B s obzirom na točku S. Dakle, točka S je polovište dužine 'BB pa slijedi:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

/1 1, 1, 3 1 2 2 21 1 1 1

2 2 2, 1, 1

3 31 2 2 21 1' , ' ?, ?

2 2 22

2

2

/2

x x x xB x y Bx

S x y Sy y y y

yB x y B

+ + += −= = − = −

= − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒+ − + − +

= = =

⋅

⋅=

( )1 2 2 1 3

2 2 2' 3, 5 .

3 2 2 3 52 2 2

x x xB

y y y

+ = − = − − = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒ −

− + = = + =

9

Neka je točka C' simetrična točki C s obzirom na točku S. Dakle, točka S je polovište dužine 'CC pa

slijedi:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 3, 3, 4 1 2 2 21 1 1 12 2 2

, 1, 14 4

1

/ 2

/ 22 2 21 1' , ' ?, ?2 2 2 2 2

x x x xC x y Cx

S x y Sy y y y

yC x y C

+ + +== = − = −

= − ⇒ ⇒

⋅

⋅

⇒ ⇒+ + +

= = ==

( )3 2 2 3 5

2 2 2' 5, 2 .

4 2 2 4 22 2 2

x x xC

y y y

+ = − = − − = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − −

+ = = − = −

Neka je točka D' simetrična točki D s obzirom na točku S. Dakle, točka S je polovište dužine 'DD pa slijedi:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1, 1, 5 1 2 2 21 1 1 12 2 2

, 1, 15 5

1 2 2 21 1' , ' ?, ?2 2 2 2

/ 2

/ 22

x x x xD x y Dx

S x y Sy y y y

yD x y D

+ − + − += −= = − = −

= − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒+ + +

= = ==

⋅

⋅

( )1 2 2 1 1

2 2 2' 1, 3 .

5 2 2 5 32 2 2

x x xD

y y y

− + = − = − + = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − −

+ = = − = −

Vježba 167 Odredi koordinate točke koja je simetrična točki A(2, 2) s obzirom na točku S(– 1, 1).

Rezultat: A' (– 4, 0).

Zadatak 168 (YOYO, srednja škola)

Kolike su duljine srednjica trokuta ABC ako su vrhovi trokuta točke: A(– 3, 1) , B(3, – 5) , C(5, 7)?




1 2 1 2

2.

2,

x x y yx y

+ += =

Srednjice trokuta

Dužine koje spajaju polovišta stranica trokuta zovu se srednjice trokuta. Svaki trokut ima tri srednjice. Svaka srednjica trokuta usporedna je sa suprotnom stranicom trokuta, a duljina joj je jednaka polovici duljine te stranice.

pn

mc b

a

‌ ‌ , 2‌ ‌ ‌ ‌ , 2, 2 , , .a m c pb n b n ca m p= ⋅ = ⋅= ⋅

Udaljenost točaka ( ) ( ), i , :A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

.AB x x y yB BA A

= − + −

10

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

y

x

F

D

E

C

B

A

1.inačica

Točka F je polovište dužine AB pa njezine koordinate glase:

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

1 2

2

1 2

2

3 3 0, 3, 11 1

2 2,

1 5 1 5

, 3, 5 222 2

x xx

A x y Ax x

F x y

yyB x y B

y yy

− += −= =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+=

+=

+ − −=== −

( )

0

020, 2 .

4 2

2

xx

Fy

y

==

⇒ ⇒ ⇒ −= −

= −

Točka D je polovište dužine BC pa njezine koordinate glase:

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 2

2

1 2

2

3 5 8, 3, 51 1

2 2,

5 7 2

, 5, 7 2 22 2

x xB x y Bx x

D x y

y yC x

x

y yyy C

+= −= =

+

⇒ ⇒ ⇒ ⇒−

== =

=

++=

( )4

4, 1 .1

xD

y

=⇒ ⇒

=

Točka E je polovište dužine CA pa njezine koordinate glase:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )1 2

2

1 2

2

5 3 5 3, 5, 71 1

22,

87 1, 3, 1 222 2

x xx

C x y Cxx

E x y

yyA

y yyx y A

+ − −===

⇒ ⇒ ⇒ ⇒+

=== −

+=

+=

( )

2

121, 4 .

8 4

2

xx

Ey

y

==

⇒ ⇒ ⇒=

=

Duljine srednjica trokuta iznose:

11

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

, 0, 21 1

22, 4, 1 4 0 1 2

2 2

2 2

2 1 2 1

F x y F

D x y D FD

FD x x y y

= −

= ⇒ = − + − − ⇒

= − + −

( ) ( )2 2 2 2

4 0 1 2 4 3 16 9FD FD FD⇒ = − + + ⇒ = + ⇒ = + ⇒

25 5.FD FD⇒ = ⇒ =

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 4, 11 1

2 2, 1, 4 1 4 4 1

2 2

2 2

2 1 2 1

D x y D

E x y E DE

DE x x y y

=

= ⇒ = − + − ⇒

= − + −

( )djelom2 2

3ičn

3 9 9 18o

korjenovanjeDE DE DE⇒ = − + ⇒ = + ⇒ = ⇒ ⇒

9 2 3 2.DE DE⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 1, 41 1

2 2, 0, 2 0 1 2 4

2 2

2 2

2 1 2 1

E x y E

F x y F EF

EF x x y y

=

= − ⇒ = − + − − ⇒

= − + −

( ) ( )2 2

1 6 1 36 37.EF EF EF⇒ = − + − ⇒ = + ⇒ =

2.inačica

Budući da je duljina srednjice trokuta jednaka polovici duljine nasuprotne stranice trokuta, slijedi

(gledaj sliku):

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 5, 7 , 5, 71 1 1 1

, 3, 1 , 3, 12 2 2 2

1 2 21

2 1 2 12 2

C x y C C x y C

A x y A A x y A

FD CA FD x x y y

= =

= − ⇒ = − ⇒

= ⋅ = ⋅ − + −

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 2 2

3 5 1 7 8 6 64 362 2

FD FD FD⇒ = − − + − ⇒ = ⋅ − + − ⇒ = ⋅ + ⇒

1 1100 10 5.

2 2FD FD FD⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

12

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 3, 1 , 3, 11 1 1 1

, 3, 5 , 3, 52 2 2 2

1 2 21

2 1 2 12 2

A x y A A x y A

B x y B B x y B

DE AB DE x x y y

= − = −

= − ⇒ = − ⇒

= ⋅ = ⋅ − + −

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 12 2 2 22

3 3 5 1 3 3 6 6 62 2

DE DE DE⇒ = − − + − − ⇒ = ⋅ + + − ⇒ = ⋅ + − ⇒

djelomično

korjenova

1 1 136 36 72 36 2

je2 n2 2DE DE DE⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

16 2 3 2.

2DE DE⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 3, 5 , 3, 51 1 1 1

, 5, 7 , 5, 72 2 2 2

1 2 21

2 1 2 12 2

B x y B B x y B

C x y C C x y C

EF BC EF x x y y

= − = −

= ⇒ = ⇒

= ⋅ = ⋅ − + −

( ) ( )( ) ( )2 1 12 22 2 2

5 3 7 5 2 7 5 2 122 2

EF EF EF⇒ = − + − − ⇒ = ⋅ + + ⇒ = ⋅ + ⇒

djelomično

korjenov

1 1 14 144 148 4 37

2 2 anje 2EF EF EF⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

1 12 37 37 3 .

27

22EF EF EF⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

Vježba 168 Koliki je zbroj duljina srednjica trokuta ABC ako su vrhovi trokuta točke: A(– 3, 1) ,

B(3, – 5) , C(5, 7)?

Rezultat: 5 3 2 37.+ ⋅ +

Zadatak 169 (Petra, srednja škola)

Odredi preostale elemente pravokutnog trokuta ako je: α = 57° 30', P = 44.8 cm2.


Pravokutan trokut

10 290 sin 2

4, .P cα β α+ = = ⋅ ⋅

sin cos, .a b

c cα α= =

.O a b c= + +

___________________

057 30 '

244.8

, , , , ?

P cm

a b c O

α

β

=

=

=

Najprije izračunamo kut β:

ββββ

αααα

c

b

a

13

0 057 30 ' 57 30 ' 0 0 0 0

90 57 30 ' 57 30 ' 32 30 '.0 0

90 90

089 60 '

α αβ β β

α β β α

= =⇒ ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

+ = = −

Iz formule za površinu pravokutnog trokuta dobije se duljina hipotenuze c:

4/ /

sin 2

1 1 4 42 2 2sin 2 sin 2

4 4 sin 2 sin 2

P PP c P c c cα α

αα α

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ =⋅ ⇒

057 30 ' 0 0

2 114 60 ' 2 1150

2 2 57 30 '

αα α

α

=⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒= ⋅ =

⋅ = ⋅

24 44.8

14.06 .0

sin115

cmc c cm

⋅⇒ = ⇒ =

Računamo duljine kateta a i b pomoću funkcija sinus i kosinus:

sin sin 0sin 14.06 sin 57 30 ' 11.86

.0cos 7.5514.06 cos57 30 's

/

c /cos o

a a

a c a cm a cmc c

b b b c b c

c

mb mc cc c

α αα

αα α

= == ⋅ = ⋅ =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒= ⋅ == ⋅=

⋅

= ⋅

Opseg pravokutnog trokuta iznosi:

11.86

7.5511.86 7.55 14.06 33.47 .

14.06

a cm

b cmO cm cm cm O cm

c cm

O a b c

=

=⇒ = + + ⇒ =

=

= + +

Vježba 169 Odredi duljinu hipotenuze pravokutnog trokuta ako je: α = 45°, P = 8 cm

2.

Rezultat: 4 2 .cm⋅

Zadatak 170 (Petra, srednja škola)

Odredi duljinu visine na hipotenuzu pravokutnog trokuta ako je poznato: b = 223.5 cm, β = 38° 30'.


Pravokutan trokut

Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine

katete nasuprot toga kuta i duljine hipotenuze.

sin 0 .0

9,a

cα α β= + =

a

b

c

αααα

ββββ

a

b

c

αααα

ββββ

14

__________________

038 30 '

223.5

?

b cm

vc

β =

=

=

Nañemo kut α:

0 038 30 ' 38 30 ' 0 0 0 0

90 38 30 ' 38 30 ' 51 30 '.0 0

90 90

089 60 '

β βα α α

α β α β

= =⇒ ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

+ = = −

Sa slika vidi se:

/0

sin sin sin 223.5 sin 51 30 ' 174.91 .v vc c v b v cm v cmc c cbb b

α α α= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =⋅

Vježba 170 Odredi duljinu visine na hipotenuzu pravokutnog trokuta ako je poznato: b = 40 cm,

β = 60°.

Rezultat: 20 cm.

Zadatak 171 (Rency, strojarska tehnička škola)

Zadane su točke A(2, – 1), B(4, 3), C(– 2, 0).

a) Nacrtaj trokut.

b) Provjeri je li trokut pravokutan.

c) Nacrtaj trokut BCP gdje je P polovište stranice .AB


Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata

nad katetama.



1 2 1 2

2.

2,

x x y yx y

+ += =

Udaljenost točaka ( ) ( ), i , :1 1 2 2

A x y B x y

( ) ( ) ( )22 2

2 1 2 1, .AB x x y y a a= − + − =

αααα ββββββββαααα

ab

c

vcvc

c

b a

3,5

3

2,5

2

1,5

1

0,5

-0,5

-1

-1,5

-2

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

y

x

C(-2, 0)

B(4, 3)

A(2, -1)

15

Duljine stranica trokuta ABC iznose:

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

, 2, 11 1

22, 4, 3 4 2 3 1

2 2

2 2

2 1 2 1

A x y A

B x y B AB

AB x x y y

= −

= ⇒ = − + − − ⇒

= − + −

( ) ( )2 2 2 2

4 2 3 1 2 4 4 16 20.AB AB AB AB⇒ = − + + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 4, 31 1

2 2, 2, 0 2 4 0 3

2 2

2 2

2 1 2 1

B x y B

C x y C BC

BC x x y y

=

= − ⇒ = − − + − ⇒

= − + −

( ) ( )2 2

6 3 36 9 45.BC BC BC⇒ = − + − ⇒ = + ⇒ =

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

, 2, 11 1

22, 2, 0 2 2 0 1

2 2

2 2

2 1 2 1

A x y A

C x y C AC

AC x x y y

= −

= − ⇒ = − − + − − ⇒

= − + −

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2 0 1 4 1 16 1 17.AC AC AC AC⇒ = − − + + ⇒ = − + ⇒ = + ⇒ =

Provjerimo je li trokut ABC pravokutan, tj. vrijedi li za njega Pitagorin poučak.

katete Pitagorin

poučakhipotenuza

20 , 17 2 2 2

45

AB ACBC AB AC

BC

= = ⇒ ⇒ = + ⇒

=

( ) ( ) ( )2 2 2

45 20 17 45 20 17 net45 37 45 3o 7.očn⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ ≠

Trokut ABC nije pravokutan.

Sada tražimo koordinate točke P, polovišta stranice .AB

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

2

1 2

, 2, 11 1

2 4 1 31 2 1 2, ?, ? , ,2 2 2 2

, 4, 32 22

A x y A

x x y yP x y P P

x xx

P

B x y B

y yy

+=

= −+ + + − +

⇒ ⇒ ⇒

=

= ⇒

=+

( )6 2

, 3, 1 .2 2

P P⇒ ⇒

Crtamo trokut BCP.

16

3,5

3

2,5

2

1,5

1

0,5

-0,5

-2 -1 1 2 3 4

y

xC(-2, 0)

B(4, 3)

P(3, 1)

Vježba 171 Zadane su točke A(2, 0), B(3, 3), C(– 2, 0). Nacrtaj trokut.

Rezultat: 3,5

3

2,5

2

1,5

1

0,5

-0,5

-2 -1 1 2 3 4

y

xC(-2, 0)

B(3, 3)

A(2, 0)

Zadatak 172 (Rency, strojarska tehnička škola)

Na osi apcisa odredi točku koja je od točke A(3, 6) udaljena 10.



A x y B x y

( ) ( ) ( )22 2

2 1 2 1, .AB x x y y a a= − + − =

Točka koja leži na apscisi ima ordinatu jednaku nula pa njezine koordinate glase:

( ), 0 .B x

Budući da udaljenost izmeñu točaka A i B mora biti 10, slijedi:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 3, 6 , 3, 61 1 1 1

2 2, , 0 , , 0 3 0 6 10

2 2 2 2

2 21010

2 1 2 1

A x y A A x y A

B x y B x B x y B x x

ABx x y y

= =

= ⇒ = ⇒ − + − = ⇒

=− + − =

( ) ( ) ( ) ( )kvadriramo 2

/jednakos

2 2 2 23 6 10 3 36 10 3 36

t10x x x⇒ − + − = ⇒ − + = ⇒ ⇒ − + = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 223 36 10 3 36 100 3 100 3 3 4 /6 6x x x x⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ − = − ⇒ − = ⇒

17

53 8 8 3 13 64 3 8 .

3 8 8 3 112

xx xx x

x x x

= −− = − = − +⇒ − = ± ⇒ − = ± ⇒ ⇒ ⇒

− = = + =

Postoje dva rješenja. To su točke:

( ) ( )5, 0 , 11, 0 .1 2

B B−

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14

1010

y

xB2B1

A(3, 6)

Vježba 172 Na osi ordinata odredi točku koja je od točke A(6, 6) udaljena 10.

Rezultat: ( ) ( )0, 14 , 0, 2 .1 2

B B −

Zadatak 173 (Klara, gimnazija)

Točke E i F polovišta su stranica iBC DC kvadrata ABCD. Dužine iAE BF sijeku se u

točki G. Dokaži da su trokuti ABE i BCF sukladni, a trokut BEG s njima sličan.


Sličnost trokuta

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

,, ,1 1 1

1 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti.

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Prvi poučak sličnosti (K – K)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta. Drugi poučak sličnosti (S – K – S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje odreñuju taj kut su

proporcionalne.

Treći poučak sličnosti (S – S – S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.

Četvrti poučak sličnosti (S – S – K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici.

18

Sukladnost trokuta

Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da

su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice jednakih duljina.

, , , ,1 1 1 1 1 1

, .a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S – S – S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice.

Drugi poučak sukladnosti (S – K – S)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu izmeñu njih. Treći poučak sukladnosti (K – S – K)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici.

Četvrti poučak sukladnosti (S – S – K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici.

GG

F

E

D CF

E

D C

A B BA

Sa slika vidi se:

0, , 90 .AB BC BE CF ABE BCF= = ∠ = = ∠

Dakle, trokuti ABE i BCF podudaraju se u dvije stranice i kutu izmeñu njih pa su prema drugom

poučku o sukladnosti (S – K – S) sukladni i pišemo

.ABE BCF∆ ≅ ∆

αααα

αααα

GG

F

E

D CF

E

D C

A BBA

Budući da su trokuti ABE i BCF sukladni vrijedi:

.EAB FBCα∠ = = ∠

Tada i za trokute ABE i BEG vrijedi: .EAB GBEα∠ = = ∠

19

ββββββββ

αααα

αααα

GG

F

E

D CF

E

D C

A BBA

Uočimo da je trokutima ABE i BEG kut β zajednički, tj. vrijedi:

.BEA BEGβ∠ = = ∠

Dakle, trokuti ABE i BEG podudaraju se u dva kuta te su prema prvom poučku o sličnosti (K – K) slični i pišemo

.ABE BEG∆ ∆∼

Budući da su trokuti ABE i BEG slični, a trokuti ABE i BCF sukladni, slijedi da su i trokuti BCF i

BEG slični.

.ABE BEG

BCF BEGABE BCF

∆ ∆⇒ ∆ ∆

∆ ≅ ∆

∼

∼

Vježba 173 Dokaži da su u jednakokračnom trokutu simetrale kutova pri osnovici jednakih duljina.

Rezultat:

( ), , .1 1 1 1

K SBCB BCC CK BB C− =−∆ ≅ ∆

Zadatak 174 (Megy, gimnazija)

Stranice pravokutnog trokuta čine geometrijski niz. Nañi tangens najmanjeg kuta u trokutu.


( ) ( ), , .m aan n n n n m

a b a b a ab b

⋅⋅ = ⋅ = =

Niz (an) je geometrijski niz ako je svaki član počevši od drugog jednak prethodnom članu pomnoženom s konstantom q ≠ 0, tj.

, 1.1

a a q nnn= ⋅ ≥

+

Opći član geometrijskog niza s prvim članom a1 i kvocijentom q ≠ 0 ima oblik

1., 1

1n

a a q nn−

= ⋅ ≥

Nasuprot većoj stranici u trokutu leži veći kut.

Nasuprot manjoj stranici u trokutu leži manji kut.

αααα

2

αααα

2

B1C1

B C

A

b < c ⇒⇒⇒⇒ ββββ < γγγγ

a < c ⇒⇒⇒⇒ αααα < γγγγ

a < b ⇒⇒⇒⇒ αααα < ββββγγγγ

ββββαααα

c

b a

20

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama. Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

katete uz kut.

Stranice pravokutnog trokuta koje čine geometrijski niz možemo zapisati na sljedeći način:

2, , .a a q a q⋅ ⋅

Uporabom Pitagorina poučka dobije se q.

( ) ( ) ( )2 222 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2

a q a a q a q a a q a q a a q⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 4 20 1 0

20 / :a q a q a a q a q qaq a⇒ ⋅ − ⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ − = ⇒ − − =

Bikvadratnu jednadžbu riješimo metodom supstitucije.

supstitucija 24 2 2 1 0

1 0 1 01 , 1

2, 1

t tq q t t

a b ct q

− − =− − = ⇒ ⇒ − − = ⇒ ⇒

= = − = −=

( )1 , 1 , 1

1 1 4 1 1 1 1 42

4 1,2 1,22 1 21,2 2

a b c

t tb b a c

ta

= = − = −± − ⋅ ⋅ − ± +

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

n

1 5

11 5 1 52.

1,2

ema smis2 21 5

2 2la

t

t t

t

+=

± +⇒ = ⇒ ⇒ =

−=

Vraćamo se supstituciji.

1 51 5 1 5 1 52 2

21,22 2 22

/t

q q q

t q

+= + + +

⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒

=

nema smisla

1 5

1 1 52.

21 5

2 2

q

q

q

+=

+⇒ ⇒ =

+= −

αααα

a ⋅⋅⋅⋅ q2

a ⋅⋅⋅⋅ q

a

Sa slike vidi se:

1 1

1 5

2

aatg tg tg tg

a q qa qα α α α= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ +

21

1 1

1 5

2

tg tgq

α α⇒ = ⇒ = ⇒+

1

1 21 .1 5 1 5 1 5

2 2

tg tg tgα α α⇒ = ⇒ = ⇒ =+ + +

Vježba 174 Stranice pravokutnog trokuta čine geometrijski niz. Nañi kotangens najmanjeg kuta u trokutu.

Rezultat: 1 5

.2

+

Zadatak 175 (Ana, ekonomska škola)

Duljine stranica trokuta iznose a = 25 cm i b = 30 cm, a visina spuštena na stranicu c ima

duljinu vc = 24 cm. Ako je kut nasuprot stranice b tup, nañi duljinu stranice c.


Pitagorin poučak: Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama.

c

a

b vc

c

a

b vcvcb

a

c DDD

C C C

A B A B BA

Sa slika vidi se:

25 , 30 , 24 , .a BC cm b CA cm v DC cm c AB AD BDc= = = = = = = = −

Uočimo pravokutan trokut ADC i pomoću Pitagorina poučka dobije se │AD│.

2 2 2 2 22 2 2 2/AD CA DC AD b v AD b vc c= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

( ) ( )2 22 2

30 24 18 .AD b v AD cm cm AD cmc⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Uočimo pravokutan trokut BDC i pomoću Pitagorina poučka dobije se │BD│.

2 2 2 2 22 2 2 2/BD BC DC BD a v BD a vc c= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

( ) ( )2 22 2

25 24 7 .BD a v BD cm cm BD cmc⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Duljina stranice c iznosi:

18 7 11 .c AB c AD BD c cm cm c cm= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Vježba 175 Duljine stranica trokuta iznose a = 100 cm i b = 120 cm, a visina spuštena na stranicu c ima duljinu vc = 96 cm. Ako je kut nasuprot stranice b tup, nañi duljinu stranice c.

Rezultat: 44 cm.

22


Izračunaj ploštinu i duljine kateta pravokutnog trokuta u kojem dodirna točka upisane

kružnice na hipotenuzu dijeli hipotenuzu na odsječke od 3 cm i 10 cm.


( )2 2 2

2 .a b a a b b+ = + ⋅ ⋅ +

Iz točke izvan kružnice mogu se konstruirati dvije tangente na kružnicu za koje vrijedi:

TD1 = TD2

D1

D2

T

Pitagorin poučak: Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak

zbroju kvadrata nad katetama.

x

10

3

10

3

x

E

FC A

B

D

Sa slike vidi se:

10 , 3 ,AD AF BD BE CE CF x= = = = = =

10 3 13 , 3 , 10.AB AD BD BC BE CE x CA CF AF x= + = + = = + = + = + = +

Budući da je trokut ABC pravokutan, vrijedi Pitagorin poučak.

( ) ( )2 2 2 2 22 2 2

13 3 10 169 9 6 20 100AB BC CA x x x x x x= + ⇒ = + + + ⇒ = + ⋅ + + + ⋅ + ⇒

2 2 2169 2 26 109 2 26 109 169 2 26 109 169 0x x x x x x⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ + = ⇒ ⋅ + ⋅ + − = ⇒

2 2 22 26 60 0 2 26 60 0 13 3 0/ : 2 0x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ + ⋅ − = ⇒

( )1 , 13 , 30

2 13 169 4 1 3013 30 02

4 1,2 2 11 , 13 , 301,2 2

a b c

x xx

b b a ca b c x

a

= = = −− ± − ⋅ ⋅ −+ ⋅ − =

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅= = = − =

⋅

13 17

113 169 120 13 289 13 17 21,2 1,2 1,2 13 172 2 2

2 2

x

x x x

x

− +=

− ± + − ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒

− −=

23

421 2 1

2 .30 15

2nema

2 2

smisla

x xx cm

xx

= =⇒ ⇒ ⇒ =

= −= −

Tada je:

3 2 5 , 2 10 12BC cm cm cm CA cm cm cm= + = = + =

pa ploština pravokutnog trokuta ABC iznosi:

5 12 230 .

2 2

BC CA cm cmP P P cm

⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ =

Vježba 176 Izračunaj ploštinu pravokutnog trokuta u kojem dodirna točka upisane kružnice na hipotenuzu dijeli hipotenuzu na odsječke od 30 mm i 1 dm.

Rezultat: 30 cm2.


Zbroj duljina dviju stranica trokuta je 15 cm, a duljine visina koje njima odgovaraju su 4 cm i

6 cm. Izračunaj ploštinu trokuta.



promatranim vrhom) s pravcem na kojem leži suprotna stranica trokuta. Ploština trokuta izračunava se po formuli

ili ili2 2 2

.b va v c va b cP P P

⋅⋅ ⋅= = =

Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja

odgovara toj stranici.

vbva

vb va

b aba

Budući da je zadano a + b = 15 cm, va = 4 cm, vb = 6 cm, iz formula za površinu trokuta dobije se:

metoda

komparacije

4 622 3

2 2 2 2

2

a vaPb va v a ba b a b

b vbP

⋅=

⋅⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⋅=

/ : 23

2 3 .2

a b a b⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

Računamo duljine stranica a i b.

metoda/ 2

supstitucije

153 3

15 15 3 2 3032 2

2

a b

b b b b b ba b

+ =

⇒ ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒= ⋅

⋅

24

63

5 30 5 30 6 6 9 .32

2

/ : 5

b cm

b b b cm a cm a cma b

=

⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ == ⋅

Ploština trokuta iznosi:

9 , 49 4 2

18 .2

2

a cm v cmacm cm

P P cma vaP

= =⋅

⇒ = ⇒ =⋅=

Ili

6 , 66 6 2

18 .2

2

b cm v cmb

cm cmP P cmb v

bP

= =⋅

⇒ = ⇒ =⋅=

Vježba 177 Zbroj duljina dviju stranica trokuta je 0.15 m, a duljine visina koje njima odgovaraju su 0.4

dm i 0.6 dm. Izračunaj ploštinu trokuta.

Rezultat: 18 cm2.

Zadatak 178 (Matija, gimnazija)

Dva su vrha trokuta ABC u točkama A(4, – 1) i B(0, 5), a treći vrh je točka C(x, 2). Odredi

apscisu točke C ako je površina trokuta P = 12. Prikaži trokut u koordinatnom sustavu.


Površina trokuta ABC zadanog vrhovima A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) računa se po formuli:

( ) ( ) ( )1

1 2 3 2 3 1 3 1 22.P x y y x y y x y y

ABC= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji odreñujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <

Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,

vrijedi │x│= x.

Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,

x < 0, je │x│= – x.

Računamo apscisu točke C.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

, 4, 11 1

, 0, 52 2

, , 23 3

12

1

1 2 3 2 3 1 3 1 22

A x y A

B x y B

C x y C x

PABC

P x y y x y y x y yABC

= −

=

= ⇒

=

= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1

12 4 5 2 0 2 1 1 5 12 4 3 0 62 2

x x⇒ = ⋅ ⋅ − + ⋅ − − + ⋅ − − ⇒ = ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⇒

1 112 12 6 12 12 6 24 12 6 12 6/ 2 24

2 2x x x x⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ − ⋅ =⋅ ⇒

25

12 6 24 6 24 12

12 6 24 6 24

jednadžba ima

dva rješenja 12

x x

x x

− ⋅ = − − ⋅ = − −⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− ⋅ = − ⋅ = −

( )

( )

( )

( )

/ : 6

/ :

6 6, 26 366 36 1 1.

6 12 26 1 62 2, 22 2

x Cxx

x xx C

=− ⋅ −

−

= −− ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− ⋅ = = −− ⋅ = −

Dakle, postoje dvije točke C1(6, 2) i C2(– 2, 2) za koje trokut ABC ima površinu 12.

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4 6 8 10

y

x

C1

B

A

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4 6 8 10

y

x

C2

B

A

Vježba 178 Dva su vrha trokuta ABC u točkama A(– 1, 2) i B(4, – 2), a treći vrh je točka C(x, 0). Odredi

apscisu točke C ako je površina trokuta P = 7.

Rezultat: C1(– 2, 0) , C2(5, 0).

Zadatak 179 (Amazonka, gimnazija)

Iz točke A položene su tangente na kružnicu i one je diraju u točkama B i C. Tangenta na kraći luk kružnice što je odreñen točkama B i C siječe tangentu AB u točki M, a tangentu AC u točki N.

Koliki je opseg trokuta AMN ako je │AB│ = 15 cm?


Iz točke izvan kružnice mogu se konstruirati dvije tangente na kružnicu za koje vrijedi:

TD1 = TD

2

D1

D2

T

26

M

N

B

C

A

M

N

B

C

AT

y

y

x

xM

N

B

C

AT

Sa slika vidi se:

15 , ,AC AB NC NT y MB MT x= = = = = =

15 , 15 , .AN AC NC y AM AB MB x MN MT NT x y= − = − = − = − = + = +

Opseg trokuta AMN iznosi:

15 15 15 15 30 30 .O AM AN MN x y x y x yx y O cm= + + = − + − + + = = ⇒ =− + ++−

Vježba 179 Iz točke A položene su tangente na kružnicu i one je diraju u točkama B i C. Tangenta na kraći luk kružnice što je odreñen točkama B i C siječe tangentu AB u točki M, a tangentu AC u točki N.

Koliki je opseg trokuta AMN ako je │AB│ = 20 cm?

Rezultat: 40 cm.

Zadatak 180 (Matija, gimnazija)

Zadan je trokut s vrhovima A(1, – 1), B(– 3, 2), C(– 3, – 3). Izračunaj duljinu visine iz vrha C.


Površina trokuta ABC zadanog vrhovima A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) računa se po formuli:

( ) ( ) ( )1

1 2 3 2 3 1 3 1 22.P x y y x y y x y y

ABC= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

27


A x y B x y

( ) ( )2

1 1.

2

2 2AB x x y y= − + −



Ploština trokuta izračunava se po formuli

ili ili2 2 2

.b va v c va b cP P P

⋅⋅ ⋅= = =

Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja

odgovara toj stranici.

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji odreñujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <

Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,

vrijedi │x│= x.

Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,

x < 0, je │x│= – x.

Računamo površinu trokuta ABC.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

, 1, 11 1

, 3, 22 2

, 3, 33 3

1

1 2 3 2 3 1 3 1 22

A x y A

B x y B

C x y C

P x y y x y y x y yABC

= −

= −

⇒= − −

= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

( )( ) ( )( ) ( )1

1 2 3 3 3 1 3 1 22

PABC

⇒ = ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − − − ⋅ − − ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 2 3 3 3 1 3 1 2 1 5 3 2 3 32 2

P PABC ABC

⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅ − + − ⋅ − − ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⇒

1 1 15 6 9 20 20 10 kvadratnih jedinica.

2 2 2P P P P

ABC ABC ABC ABC⇒ = ⋅ + + ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Budući da je visina vc iz vrha C okomita na stranicu ,AB moramo izračunati duljinu stranice :AB

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

, 1, 11 1

22, 3, 2 3 1 2 1

2 2

2 2

2 1 2 1

A x y A

B x y B AB

AB x x y y

= −

= − ⇒ = − − + − − ⇒

= − + −

( ) ( ) ( )2 2 2 2

3 1 2 1 4 3AB AB⇒ = − − + + ⇒ = − + ⇒

16 9 25 5 jedinica duljine.AB AB AB⇒ = + ⇒ = ⇒ =

Duljinu visine vc iz vrha C trokuta ABC izračunat ćemo iz formule za površinu trokuta:

28

2 2 104 jedinice duljine.

2

2/

2 5

AB v AB v Pc cP P v v vc c c

ABAB

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ =

2

1,5

1

0,5

-0,5

-1

-1,5

-2

-2,5

-3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

y

x

vc

C

B

A

Vježba 180 Zadan je trokut s vrhovima A(– 3, – 2), B(5, 4), C(1, 6). Izračunaj duljinu visine iz vrha C.

Rezultat: 4.

matematika - fizika - halapa · pitagorin poučak : trokut abc je pravokutan ako i samo ako je...

Documents