MATEMATIKA EKONOMIPertemuan 8

Fall 2015

Review

Grafik Kurva Non-Linear

• Polinom (suku banyak) dalam x dan y dilambangkan

dengan f(x) dan mengandung suku-suku kxrys, dimana k

adalah konstan, r dan s adalah bilangan bulat.

• Nilai tertinggi (r + s) pada suku f(x,y) dinamakan pangkat

polinom.

• Grafik fungsi non-linear dilakukan dengan menentukan

titik-titik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang

cukup banyak.

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear

Simetris

Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis

tersebut terletak di antara dua titik dan jarak masing-

masing titik ke garis tersebut sama.

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear Batas Nilai

Pada sistem sumbu koordinat, titik (x,y) mempunyai koordinat bilangan riil.

Contoh:

Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2 + y2 = 25 mempunyai batas?

x2 = 25 – y2

x = ± √(25 – y2)

Nilai (25 – y2) akan bernilai negatif apabila (25 – y2) < 0 sehingga

25 – y2 < 0

-y2 < -25

y2 > 25 y > ± 5 batas untuk nilai y adalah -5 < y < 5

y = ± √(25 – x2)

Nilai (25 – x2) akan bernilai negatif apabila (25 – x2) < 0 sehingga

25 – x2 < 0

-x2 < -25

x2 > 25 x > ± 5 batas untuk nilai x adalah -5 < x < 5

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear

Asimtotis

Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang

didekati oleh kurva dengan jarak yang semakin dekat

dengan nol bila kurva tersebut semakin jauh dari origin.

Faktorisasi

Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terjadi sebagai

hasil perkalian antara dua faktor atau lebih.

f(x,y) = g(x,y).h(x,y) = 0.

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearContoh:Buatlah grafik persamaan 2x2 + 3xy – 2y2 = 0.Faktorisasi:2x2 + 3xy – 2y2 = 02x2 - xy + 4xy – 2y2 = 0.x(2x – y) + 2y(2x – y) = 0(x + 2y) (2x – y) = 0

Jadi, grafik persamaan 2x2 + 3xy – 2y2 = 0 terdiri dari grafik dua garis lurus yaitu x + 2y dan 2x – y.

Fungsi Kuadratik

Suatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu

lingkaran, elips, parabola, hiperbola, atau bentuk yang

lain.

Bentuk umum persamaan kuadratik:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Dimana A, B, C, D, E, dan F adalah konstan dan paling

tidak salah satu dari A, B, dan C tidak bernilai sama

dengan 0.

Fungsi Kuadratik

Kaidah umum:

• Jika B = 0 dan A = C lingkaran

• Jika B2 – 4AC < 0 elips

• Jika B2 – 4AC = 0 parabola

• Jika B2 – 4AC > 0 hiperbola

Kaidah khusus:

Jika B = 0, dan paling tidak salah satu dari A dan C tidak bernilai nol, maka:

• Jika A = C lingkaran

• Jika A ≠ C tetapi bertanda sama elips

• Jika A = 0 atau C = 0 tetapi tidak sama dengan 0 bersama-sama parabola

• Jika A dan C tandanya tidak sama hiperbola

Lingkaran

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan tersebut dapat dibawa ke bentuk:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Dimana:

(h,k)= pusat lingkaran

r=jari-jari.

LingkaranContoh: Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran persamaan x2 + y2 – 6x – 8y +16 = 0Bentuk umum: (x – h)2 + (y – k)2 = r2

x2 + y2 – 6x – 8y + 16 = 0x2 – 6x + y2 – 8y + 16 = 0y2 – 8y + 16 = (y – 4)2 k = 4x2 - 6x + h2 = (x – h)2

x2 – 6x + h2 = x2 -2xh + h2

-6x = -2xhh = 3

Sehingga titik pusat adalah (h,k) (3,4)Jika dimasukkan lagi dalam persamaan:x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 9(x – 3)2 + (y – 4)2 = 9r2 = 9r = 3Sehingga jari-jari = 3.

ElipsAx2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan elips dapat ditulis sebagai:(x – h)2 + (y – k)2 = 1 a2 b2

Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu x, akan tetapi bila a < b, maka sumbu panjang akan sejajar dengan sumbu y.

Sumbu panjang = 2a dan sumbu pendek = 2b.Sumbu panjang = jari-jari panjangSumbu pendek = jari-jari pendek

Parabola• Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada

suatu bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus, dan garisnya disebut directrix. Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan vertex.

ParabolaJika sumbunya sejajar dengan sumbu y:

Ax2 + Dx + Ey + F = 0Jika sumbunya sejajar dengan sumbu x:

Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Bentuk persamaan standar dari parabola:(x – h)2 = 4p (y – k)Dimana (h,k) adalah vertex dan sumbunya sejajar dengan sumbu y.

(y – k) 2 = 4p (x – h)Apabila sumbunya sejajar dengan sumbu x.

P adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan keadaan bentuk parabola.

ParabolaUntuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu y:

• Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawah• Jika p > 0, maka parabola terbuka ke atas

Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x:

• Jika p < 0, maka parabola terbuka ke sebelah kiri• Jika p > 0, maka parabola terbuka ke sebelah kanan

HiperbolaHiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik

pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya tetap.

Hiperbola mempunyai dua sumbu yang membagi dua hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu transverse

HiperbolaAx2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan ini dapat dijadikan bentuk standar hiperbola yaitu:

(x – h)2 − (y – k)2 = 1 a2 b2

atau(y – k)2 − (x – h)2 = 1 b2 a2

Dimana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan sumbu x.

Asimtot ditunjukkan oleh persamaan:x – h = ± y – k a b

Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus. Maka persamaan hiperbola bisa menjadi:

(X−h)(Y−k)=c

ParabolaContoh: Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui persamaan

hiperbola adalah 9x2 – 4y2 – 18x – 16y – 43 = 09x2 – 4y2 – 18x – 16y – 43 = 09(x2 – 2x + 1) – 4(y2 + 4y + 4) = 43 + 9 -169(x – 1)2 – 4(y + 2)2 = 36(x – 1)2 – (y + 2)2 = 1 4 9Jadi, titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3.

Persamaan asimtot:x – h = ± y – k a bx – 1 = ± y + 2 2 33x – 3 = ± (2y + 4)Asimtot 1: 3x – 3 = 2y + 4 3x – 2y – 7 = 0Asimtot 2: 3x – 3 = -2y – 4 3x + 2y + 1 = 0

Fungsi Permintaan dan Penawaran• Kurva permintaan dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk

parabola atau hiperbola.• Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk

parabola.

Fungsi Permintaan

Kurva permintaan dapat merupakan bagian dari parabola yang sumbunya dapat sejajar dengan sumbu vertikal maupun horizontal dan kurvanya bisa terbuka ke atas, bawah, kiri, maupun kanan.

Fungsi Permintaan• Kurva a, parabola terbuka ke bawah p < 0, titik vertex

(h,k) terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P sehingga h ≤ 0 dan k > 0

• Kurva b, parabola terbuka ke atas p > 0, titik vertex (h,k) terletak di kuadran keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q sehingga h > 0 dan k ≤ 0

Fungsi Permintaan• Kurva c dan d adalah parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q dan bentuk umumnya adalah:

(P – k)2 = 4p(Q – h)• Kurva c, parabola terbuka ke kiri p < 0, titik vertex terletak di kuadran keempat sehingga h > 0 dan k < 0

• Kurva d, parabola terbuka ke kanan p > 0, titik vertex terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P, sehingga h ≤ 0 dan k > 0

Contoh SoalGambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh

persamaan:P = 1 Q2 – 4Q + 20

5Q2 – 20Q + 100 = 5P(Q – 10)2 = 4.5(P – 0)

4

Jadi, p = 5/4, h = 10, dan k= 0. Perpotongan dengan sumbu P terjadi bila Q = 0 P = 20Perpotongan dengan sumbu Q terjadi bila P = 0 Q = 10

Fungsi Penawaran• Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh parabola dan

parabola tersebut sumbunya dapat sejajar dengan sumbu horisontal atau sumbu vertikal.

Contoh SoalGambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan

P = Q2 + 2Q + 14

P = Q2 + 2Q + 1

44P = Q2 + 2Q + 14(P – 0) = (Q + 1)2

Titik vertex (-1,0)

Contoh Soal Titik Keseimbangan

Hitunglah jumlah dan harga keseimbangan dari kurva penawaran dan permintaan berikut:

Qs = P2 + P – 2 Qd = -2P + 16Keseimbangan dapat terjadi jika Qs = QdQs = QdP2 + P – 2 = -2P + 16P2 + 3P – 18 = 0(P – 3)(P + 6) = 0P = 3 atau P = -6 (karena negatif maka tidak dipakai)Jadi harga keseimbangan = P = 3Jumlah keseimbangan Q = 10

Kurva Indifference

Kurva Indifference adalah kurva tempat kedudukan titik-titik kombinasi dua barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu.

Sifat-sifat kurva indifference:- Merupakan kurva yang menurun- Cembung terhadap titik origin- Tidak saling berpotongan- Semakin jauh kurva dari titik origin berarti kepuasan yang diperoleh semakin tinggi

Kurva Indifference• Sumbu horisontal digunakan untuk

menunjukkan jumlah barang x yang dikonsumsi dan sumbu vertikal untuk jumlah barang y.

• Kurva indifference merupakan kurva yang menurun karena untuk menambah jumlah barang x yang di konsumsi, konsumen harus mengurangi jumlah konsumsinya terhadap barang y agar kepuasan yang diperoleh tetap sama.

• Fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference adalah lingkaran, hiperbola, dan parabola.

Kurva Indifference• Untuk kurva indifference yang memakai bentuk hiperbola,

persamaannya adalah:

(x + h)(y + k) = a

Dengan asimtot x = -h, dan y = -k

Titik potong dengan sumbu x = a/k – h

Titik potong dengan sumbu y = a/h - k

Contoh Soal

Bila kurva indifference seorang konsumen dapat ditunjukkan oleh persamaan x + y -

√(2xy) = a dan andaikan kepuasan seseorang dapat diukur, maka berapakah jumlah

barang y yang harus dikonsumsi pada saat ia mengkonsumsi barang x sebanyak 3 unit

dan agar tingkat kepuasannya tetap 15 satuan?

Jawab:

X = 3, a = 15

Jadi 3 + y - √(2.3.y) = 15

y – 12 = √(6y)

y2 – 24y – 144 = 6y

y2 – 30y – 144 = 0

(y – 24)(y – 6) = 0

Jadi y1 = 6 dan y2 = 24

Konsep Limit• Fungsi f(x) akan mempunyai limit A untuk x mendekati a

tanpa x = a, jika untuk bilangan positif kecil e masih terdapat bilangan lain d yang lebih kecil, sehingga bila:0 < |x – a| < d, maka |f(x) – A| < e

• Contoh:Seandainya f(x) = 4x + 3 dan x 0, maka limit dari f(x)?

Nilai-nilai yang mendekati nol adalah 0.1, 0.001, 0.001, dan seterusnya, sehingga:f(1/10) = 3,4 f(1/100) = 3,04 f(1/1000) = 3,004dan seterusnya, atau dalam nilai negatif:f(-1/10) = 2,6 f(-1/100) = 2,96 f(-1/1000) = 2,996sehingga, dapat terlihat bahwa semakin x mendekati 0, maka f(x) semakin dekat dengan 3. Jadi limit dari f(x) = 4x + 3 adalah 3.

Kaidah-Kaidah Limit1. lim k = k

xa

2. lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) = A + Bxa xa xa

3. lim (f(x).g(x)) = [lim f(x)].[lim g(x)] = A . Bxa xa xa

4. lim [f(x)/g(x)] = [lim f(x)] / [lim g(x)] = A / Bxa xa xa

5. lim [f(x)]n = [lim f(x)]n = An

xa xa

6. lim [n√f(x)] = n√lim f(x) = A1/n

xa xa

Kaidah-Kaidah LimitUntuk limit x∞, maka:• Lim 1 = 0

x∞ x

Untuk fungsi pecahan f(x) / g(x), dengan anxn dan pmxm masing-masing adalah suku dalam pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan pangkat x tertinggi berlaku:

• lim f(x) = lim anxn = Lx∞

g(x) x∞

pmxm

Dimana L = 0 apabila n < mL = ∞ apabila n > mL = a/p apabila n = m

Contoh Soal

Kaidah-Kaidah Limit

Untuk limit berbentuk 0/0, dapat diselesaikan dengan pemfaktoran yang pada umumnya berbentuk seperti:

Turunan Pertama

• Turunan pertama suatu fungsi di suatu titik merupakan curam fungsi di titik tersebut.

• Curam dari suatu garis lurus (diberi simbol m) adalah tangens dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan garis horisontal.

• Curam suatu garis lurus besarnya konstan dan dapat diartikan bahwa tingkat perubahan y karena perubahan x sepanjang garis mempunyai rasio yang konstan.

Turunan pertama

m = tan α = yb – ya = Δy

xb – xa = Δx

Penurunan fungsilim Δy diberi simbol dy yang dibaca turunanΔx0 Δx dx

f(x) = xn turunannya adalahf’(x) = n.xn-1

Apabila f(x) = a, dimana a adalah nilai konstan maka f’(x) = 0

Contoh:f(x) = x2 + 3x+ 2f’(x) = 2x + 3

Kaidah-Kaidah Turunan Pertama• Turunan dari suatu konstan adalah sama dengan nol.

• Jika y = k maka y’ = 0 atau dy/dx = 0

• Jika y = xn maka y’ = nx(n-1)

• Jika y = k.f(x) maka y’ = k.f’(x)• Jika y = f(x) + g(x) maka y’ = f’(x) + g’(x)

Kaidah-Kaidah Turunan• Jika y = U . V dimana U = f(x) dan V = g(x) maka: y’ = U.V’ + U’.V

• Jika y = U / V dimana U = f(x) dan V = g(x) maka: y’ = U’.V – U.V’

V2

• Jika y = Un dimana U = f(x) makay’ = nUn-1 – U’

• Jika y = log U dan U = f(x) makay’ = U’ log e

U

Penggunaan Turunan dalam Ekonomi

• Dalam ilmu ekonomi konsep turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mendapatkan ongkos marjinal, pendapatan marjinal, elastisitas, hasrat menabung marjinal, hasrat mengkonsumsi marjinal, dll.

Perilaku Konsumen• Kepuasan marjinal adalah tambahan kepuasan yang diperoleh konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang.

• Kepuasan markinal adalah turunan pertama dari kepuasan total

MU = dTU dQ

• Jika P menunjukkan harga barang, maka konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat P = MU

Perilaku KonsumenContoh:Berapakah jumlah barang yang akan diminta oleh konsumen apabila

harga barang per unit Rp 20,- dan kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsiTU = 120Q – 0.25Q2 – 100

Kepuasan total akan diperoleh konsumen bila syarat P = MUMU = turunan dari TUMU = 120 – 0.5QP = MU20 = 120 – 0.5Q0.5Q = 100Q = 200Jadi konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum jika

ia membeli barang sebanyak 200 unit pada harga Rp 20,-/unit

Perilaku Produsen• Fungsi produksi adalah suatu fungsi atau persamaan yang

menunjukkan hubungan antara tingkat output yang dihasilkan dan penggunaan input-input.

• Tambahan output yang dihasilkan karena ada penambahan pemakaian satu unit input disebut dengan produksi marjinal (MP)

MP = dQ dx

• Produksi rata-rata adalah output rata-rata per unit:AP = Q x

• Untuk menghasilkan keuntungan maksimum:MP = Harga input (Px) Harga output (Pq)

• Tingkat penggunaan input harus pada daerah dimana produksi marjinal menurun atau m = MP’ = negatif

Perilaku ProdusenContoh:Suatu perusahaan memproduksi suatu barang dengan input x. Output yang dihasilkan

pada berbagai tingkat penggunaan ditunjukkan dengan fungsi Q = 75 + 5x2 – 1/3 x3. Jika harga input adalah Rp 2.100,-/unit dan harga output per unit Rp 100, berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar keuntungan yang diperoleh maksimum? Berapakah produksi rata-rata?

1. Syarat keuntungan maks MP = Px / Pq

MP = turunan dari fungsi Q = Q’ = 10x – x210x – x2 = 2100 / 10010x – x2 = 21x2 – 10x + 21 = 0(x – 7)(x – 3) x1 = 7 atau x2 = 3Penggunaan input harus pada daerah dimana produksi marjinal menurun sehingga: m = MP’ = 10 – 2xx1 m = -4 (menurun) x2 m = 4 (menaik)Jadi input yang digunakan adalah 7 unit.

2. Q = 75 + 5x2 – 1/3 x3

x = 7 Q = 205 2/3 = 205 unitQ = 205, x = 7 maka AP = Q/x = 205/7 = 29 2/7 = 29 unit

Elastisitas• Apabila terjadi perubahan

harga dari P0 menjadi P1, maka konsumen hanya bersedia membeli sebanyak Q1.

• Persentase perubahan harga:

P1 – P0 . 100%

P0

• Persentase perubahan jumlah barang:

Q1 – Q0 . 100% Q0

Q0Q1

Elastisitas

εp = εh = ΔQ . P0

ΔP Q0

Dengan demikian, apabila diambil limit dari ΔQ/ΔP sehingga akan menjadi:

εp = εh = dQ . P0

dP Q0

Jenis-jenis Elastisitas

Nilai elastisitas yang terkecil adalah 0 dan yang terbesar adalah ∞.

• εh > 1 permintaan elastis

• εh = 1 unitary elastis (elastisitas tunggal)

• εh < 1 permintaan inelastis (tidak elastis)

Turunan Pertama

• Fungsi f(x) mempunyai titik minimum lokal pada x = a, bila

f(a) lebih kecil dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a.

• Fungsi f(x) mempunyai titik maksimum lokal pada x = a,

bila f(a) lebih besar dari setiap nilai f(x) untuk nilai x

sekitar a.

• Titik maksimum lokal = titik maksimum relatif.

• Titik minimum lokal = titik minimum relatif.

Turunan KeduaTurunan kedua suatu fungsi dapat digunakan untuk melakukan tes terhadap suatu fungsi apakah fungsi tersebut mempunyai titik amksimum atau minimum

Bila f(x) dan f’(x) kontinu pada x = a dan f’(a) – 0, maka:• Titik x = a maksimum bila f”(a) < 0• Titik x = a minimum bila f”(a) > 0• Tes tidak dapat dilakukan bila f”(a) = 0