matematika a művészetekben

Matematika a művészetekbenA geometria az a művészet, amely hibás rajzokból helyes

következtetéseket von le. (Henri Poincaré)

Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium 2

Matematika / ÉpítészetA matematika sajátos tudomány, mely részben a többi tudomány által vizsgált, részben pedig a matematika fejlődéséből létrejött rendszereket, struktúrákat, közösen meglévő tulajdonságait vizsgálja.

Régebben a „mennyiség és a tér tudományaként” (vagyis számok és geometriai alakzatok tanaként) határozták meg.

A matematikát nehéz pontosan meghatározni még manapság is élő nem lezárt tudományos probléma.

Építészet az a tevékenység, amely épületek és építmények

létrehozására, tágabb értelemben az épített környezet alakítására irányul.

Az embert körülvevő természeti környezet akaratlagos megváltoztatása.

Az épületek megépítésén kívül építészetnek nevezzük a belső terek

kialakításától kezdve egészen a városi-, esetenként regionális léptékig terjedő

építészetet is.


Aranymetszés

• Arányosság• Természetben és művészetekben is gyakran előfordul• Egyensúly szimmetria és aszimmetria közt• Ókortól használják épületeken, képzőművészeti alkotásokon• A pitagoreusok a természet egyik alapkövét látták benne:

ember, csiga• Aranymetszés arányait tartalmazó formák nagy esztétikai

értékkel bírnak• Az aranyarányt numerikusan kifejező irracionális

szám Φ ≈ 1,618


Története

• Már az ókorban is tanulmányozták• Ókori Egyiptomban is használták• i. e. 2600 körül épült gízai Nagy-piramis arányaiban is

felfedezhető• Ókori görögök: Pitagorasz, Theodórosz, és Eukleidész is

foglalkozott vele• Az ókorban isteni számnak nevezték• Több művészeti alkotásban megfigyelhető: a magyar Szent

Korona, Bartók Béla bizonyos zeneművei, Dante Alighieri: Isteni színjátéka, Leonardo da Vinci és Michelangelo festményei


Aranymetszés matematikája

• Két rész aranymetszés szerint aránylik egymáshoz, ha az egész(a+b) úgy aránylik a nagyobbik(a) részhez ahogy a nagyobbik rész a kisebbikhez(b):

• Vagyis a nagyobbik fél hossza egyenlő az összeg és a kisebbik rész hosszának mértani közepével:


Aranymetszés a geometriában


Kiszámítása• A definícióból kiszámolható, tehát megkapható az a Φ szám,

amelyre teljesül:

Definíció szerint: Ezt a másodfokú egyenletet megoldhatjuka megoldó képlettel:

Jobboldali törtet b-vel osztva:

Ebbe a behelyettesítve kapjuk: Az egyenlet negatív gyöke nem megoldása a problémának, így:

Φ-vel szorozva, majd 0-ra rendezve:


Fibonacci számok• A Fibonacci-számok a matematikában az egyik legismertebb

másodrendben rekurzív sorozat elemei.• Az elemeket az előző kettő összegeként kapjuk. Képletben:

(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … , 144, 233, 377, 610, …)

• A Fibonacci-sorozat egymást követő tagjainak hányadosából képzett sorozat (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, …) határértéke éppen az aranymetszés aránya, a Φ.


Aranymetszés

• Az athéni Pantheon dinamikája is az aranymetszésből ered (A, B, C, D... H pontok).


Aranymetszés

• Az emberi test arányaira az aranymetszetet alkalmazva a testhossz úgy aránylik a köldökmagassághoz, mint ez utóbbi a köldök-fejtető távolsághoz.

• De ezt tovább is felbonthatjuk, a köldök-fejtető aránylik a köldök-váll magassággal. A mell-fejmagasság arányos a váll-fejmagassággal, és így tovább...


Aranymetszés

• Leonardo Da Vinci: Mona Liza-ja is ezekre az arányokra épül fel.


Aranymetszés

• A Csendes óceán mélyén él a nautilus, egy a puhatestűek törzsébe, a fejlábúak osztályába tartozó - csigaházas polip, amelynek csodálatosan szabályos héja van. Bárhogyan is húzunk vonalat a középponton áthaladva, mindegyik metszés - (AC:DB = FG:EG) arány aranymetszés.


Aranymetszés

• A piramis négyzet alapjának az oldalának a fele és az egyik háromszög oldallapjának a magassága az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz.

• Pl: a Gízai Nagy-piramis


Aranymetszés• Millói Vénusz,

görög márványszobor• A jól kifejlett emberi alak osztási

pontja: a köldök. A test törzse és főbb tagjai szintén az aranymetszés szerint arányulnak.

• A korábbi, különösen a görög szoborművek arányai megfelelnek ennek az elméletének.

• Ha a test magassága 1000, a test alsó része a köldöktől 618, a test felső része a köldöktől 382, a fej hossza pedig 146. Ezek mind az aranymetszési szabály szerint viszonyulnak egymáshoz.


Források

http://www.google.huhttp://www.hu.wikipedia.orghttp://www.termeszetvilaga.huhttp://www.mathematika.huhttp://blenditak.hu

http://www.google.hu/

http://www.hu.wikipedia.org/

http://www.termeszetvilaga.hu/

http://www.mathematika.hu/

http://blenditak.hu/

Köszönöm a figyelmet!Készítette: Hegedüs Dániel

Felkészítő tanára: Kertai Helga

matematika a művészetekben

Documents