matematika 3. módszertani ajánlások, második...
TRANSCRIPT
Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné
MATEMATIKA 3.
MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK
MÁSODIK FÉLÉV
Ellentétes mennyiségek
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, probléma-
érzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képes-
ség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és
önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés.
Óra: 72{74. 80{82. 90{93.
Az ellentétes mennyiségeket pozitív és negatív számokkal jellemzünk, és a h®mérséklet
mérésével vezetjük be.
A h®mérséklet változását eszköz segítségével �gyeltessük meg. Így értelmezhetjük a
negatív számokat, a tanulók tapasztalatot szerezhetnek az egész számok nagysági
viszonyairól, gyakorolhatják a negatív mér®számok számskáláról való leolvasását, a
h®mérséklet-változások követését. El®készítjük az egész számok ábrázolását száme-
gyenesen, illetve a h®mérséklet-gra�konok vizsgálatát, készítését.
A h®mér® megismerése, a h®mérséklet mérése, a h®mérséklet alakulása a különböz®
napszakokban, illetve évszakokban mind-mind kapcsolódik a környezetismeret tananya-
gához, ezért hangoljuk össze a két tantárgy tanmenetét. Éppen amiatt célszer¶ január-
ban feldolgozni ezt a tananyagot, mert így a tanulók feljegyezhetnek és például gra�ko-
non ábrázolhatnak fagypont alatti, illetve fagypont fölötti értékeket is.
Tk. 105/Emlékeztet®: Idézzük fel a h®mér®r®l korábban szerzett ismereteket.
Tk. 105/1. kidolgozott mintapélda: A h®mérséklet változását eszköz segítségével �-
gyeljük meg. Így értelmezhetjük a negatív számokat.
Tk. 105/1. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket.
Megoldás: a) + 12 �C b) { 15 �C c) { 7 �C d) + 6 �C
Tk. 106/2. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket.
Megoldás: a) {3 �C b) +2 �C
c) +6 �C d) {6 �C
e) {4 �C f) +4 �C
g) +20 �C h) {2 �C
Tk. 106/3. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket.
Megoldás: a)�C > 2 �C b) {5 �C < 2 �C
c) 5 �C > {2 �C d) {5 �C < {2 �C
e) 0 �C < 4 �C f) 0 �C > {4 �C
g) {3 �C < 1 �C h) {3 �C < {1 �C
196 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 106/4. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket.
Megoldás: a) 2 �C, 3 �C, 4 �C
b) {2 �C, {1 �C, 0 �C, 1�C
c) {3, {4 �C, {5�C
d) {3 �C, {2 �C, {1 �C, 0 �C, 1 �C, 2 �C, 3 �C
Tk. 106/5. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket.
Megoldás: a) {4 �C < {3 �C < {2 �C < {1 �C < 0 �C < 1 �C < 5 �C
b) {5 �C < {4 �C < {3 �C < {2 �C < 1 �C < 2 �C < 3 �C
Tk. 106/6. feladat: Beszéljük meg, ezek az állatok milyen h®mérséklet¶ területen élnek.
Megoldás: Jellemz® h®mérséklet.
0 �C-nál kisebb 0 �C-nál nagyobb
Pingvin Tigris
Jegesmedve Gólya
Fóka Majom
Tk. 107/7. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket.
Megoldás: a) Legmelegebb: 13 órakor, leghidegebb: 7 órakor.
b) 9 órakor.
c) 11 órakor és 15 órakor.
d) Leh¶lt a leveg®, csökkent a h®mérséklet.
e) Felmelegedett a leveg®, n®tt a h®mérséklet.
f) 12 és 14 óra között.
g) 12 órától 14 óráig emelkedett, 14 órától 15 óráig csökkent a h®mérsék-
let.
Tk. 107/8. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket. Jó,
ha a tanulók több napon át például minden tanóra elején ténylegesen megmérik a kinti
leveg® h®mérsékletét, táblázatban rögzítik, majd gra�konon ábrázolják az adatokat. Így
statisztikai vizsgálatokat, összehasonlító elemzéseket végezhetnek.
Megoldás:
Id®pont (óra) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
H®mérséklet (�C) { 4 { 5 { 3 { 1 0 +1 +3 +5 +4 +3 0 { 3 { 2 { 1
Télen mérhette Tamás ezeket a h®mérsékleteket.
Tk. 108/2. kidolgozott mintapélda: Ismerkedés az adósság-készpénz modellel egya-
ránt szolgálja a tartalom variálásának, illetve a szemléltetés sokoldalúságának elvét. Ha
szükségesnek ítéljük, a tanulók is készítsenek hasonló cédulákat, és rakosgassanak ki
különböz® vagyonokat. Állapítsák meg az egész számok nagysági viszonyait adósság-
készpénz modell segítségével is.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
197
Tk. 108/9. feladat: Ha szükséges, játsszák el játék pénzzel, adósságcédulával a tanulók
a feladatot.
Megoldás: a) 3 b) {1 c) 0 d) {7
3 a legtöbb, ({7) a legkevesebb.
Tk. 108/10. feladat: Rakják ki a tanulók a megadott értékeket. Beszéljük meg, hogy egy
számot többféleképpen kirakhatunk.
Megoldás: a) 1 1 1 1
1 1 1 1 1 { 1
1 1 1 1 1 1 { 1 { 1
1 1 1 1 1 1 1 { 1 { 1 { 1
b) 1 { 1
1 1 { 1 { 1
1 1 1 { 1 { 1 { 1
1 1 1 1 { 1 { 1 { 1 { 1
c) { 1 { 1 { 1 { 1 { 1
{ 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1
{ 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1 1
{ 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1 1 1
d) { 1 { 1 { 1
{ 1 { 1 { 1 { 1 1
{ 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1 1
{ 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1 1 1
Tk. 108/11. feladat: Hasonló játékokat játszhatunk a gyerekekkel, így elmélyíthetjük, szi-
lárdíthatjuk az egész számokról tanultakat.
Megoldás: 1. törpének 2 a vagyona.
2. törpének 0 a vagyona.
3. törpének {3 a vagyona.
Alma Áfonya Eper Körte
1. törpe 1 0 {1 {2
2. törpe {1 {2 {3 {4
3. törpe {4 {5 {6 {7
Tk. 109/12. feladat: A számegyenesen lépegetés további szemléltetést ad az egész szá-
mok nagysági viszonyairól, el®készíti az egész számokkal végzett összeadás és kivonás
értelmezését.
198 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 3 b) {5
c) 4 d) {7
e) 8 f) {8
g) {2 h) {5
Tk. 109/13. feladat: A számegyenesen lépegetés további szemléltetést ad az egész szá-
mok nagysági viszonyairól, el®készíti az egész számokkal végzett összeadás és kivonás
értelmezését.
Megoldás: a) +1 d) +8
b) {4 e) {7
c) +4 f) +3
Tk. 109/14. feladat: A számegyenesen lépegetés további szemléltetést ad az egész szá-
mok nagysági viszonyairól, el®készíti az egész számokkal végzett összeadás és kivonás
értelmezését.
Megoldás: a) Jobbra 3 b) Balra 5
c) Jobbra 3 d) Balra 4
Tk. 109/15. feladat: Tapasztalatszerzés az abszolútérték fogalmának el®készítéséhez.
Megoldás: a) {4 vagy +4 b) {6 vagy +6 c) {2 vagy +2
Tk. 109/16. feladat: A bevétel és kiadás alapján a jövedelmet kell megállapítani. Hasonló
feladatokat játszhatnak is a tanulók játék pénzzel, adósságcédulával.
Megoldás: a) Hétf®: 138 Ft Kedd: {241 Ft Szerda: 656 Ft
Csütörtök: {182 Ft Péntek: 622 Ft Szombat: {523 Ft
Gy. 105/1. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket.
Megoldás:
a) b) c)�C
+10
0
{10
�C
+10
0
{10
�C
+10
0
{10
�C
+10
0
{10
�C
+10
0
{10
�C
+10
0
{10
+7 �C > +2 �C {4 �C > {8 �C {5 �C < +2 �C
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
199
Gy. 105/2. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket.
a) b) c)�
C
+10
0
{10
�
C
+10
0
{10
�
C
+10
0
{10
�
C
+10
0
{10
�
C
+10
0
{10
�
C
+10
0
{10
+5 �C > {5 �C {9 �C < 0 �C {1 �C > {10 �C
10 �C 9 �C 9 �C
Gy. 105/3. feladat: H®mérséklet adatok rendezése csökken® sorrendbe. Ha szükséges
játék h®mér®n állítsák be az adatokat a gyerekek, s így oldják meg a feladatot.
Megoldás: +8 �C > +2 �C > 0 �C > {3 �C > {4 �C > {10 �C
Gy. 106/4. feladat: Gra�konról adatok leolvasása és táblázatba rendezése, majd táblá-
zatból adatok leolvasása és gra�kon készítése a feladat.
a)�
C
+10
0
{10
6 12 18 24 �ora
b) Id®pont (óra) 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
H®mérséklet (�C) +7 +5 +3 +1 { 1 { 3 { 5 { 7 { 9 { 11
Gy. 106/5. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket.
Megoldás: a) +5 �C, +5 �C, {5 �C, {4 �C, {10 �C, 0 �C, {6 �C,
Gy. 107/6. feladat: Az adósság-készpénz modellel szemléltetett értékek összehasonlí-
tása.
Megoldás: a) +2 >4{2 b) 0 = 0 c) {1 <
4+3
200 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 107/7. feladat: Az adósság-készpénz modellel szemléltetett értékek ábrázolása
számegyenesen.
Megoldás: {10 {6 0 +6 {1 0
Gy. 107/8. feladat: Értékek szemléltetése adósság-készpénz modellel.
Megoldás: Kiegészítések: a) { 1 { 1
b) { 1
c) Nem kell kiegészíteni.
d) { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1
e) { 1 { 1
Gy. 107/9. feladat: Értékek szemléltetése adósság-készpénz modellel. Beszéljük meg,
hogy a feladatnak nagyon sok megoldása lehet.
Megoldás: a) {2 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1
b) +3 1 1 1 1 1 1 1 { 1
c) 0 1 { 1 1 1 { 1 { 1
Tükrözések
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, térlátás, induktív következtetések,
problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gye-
lem, kezdeményez®képesség, kreativitás, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-
tosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, esztétikai-m¶vészeti nevelés.
Óra: 75{76. 83{84. 94{95.
Tengelyes tükrözéssel 1. és 2. osztályban is foglalkoztunk. Most felelevenítjük, és továb-
bi tapasztalatokat gy¶jtünk az alakzatok tengelyes tükörképének el®állításához. Hajtoga-
tással, papírkivágással, kirakással, rajzzal stb. (Itt jegyezzük meg, hogy amikor tükrözés-
r®l, tükrös alakzatokról beszélünk, minden esetben tengelyes tükrözésre, tengelyesen
tükrös alakzatokra gondolunk.)
A tanulók további ismereteket szereznek a tengelyesen tükrös alakzatokról. Meg�gyel-
tetjük a téglalap és a négyzet tulajdonságait. Felelevenítjük, tudatosítjuk, kiegészítjük a
2. osztályban tanultakat.
A geometriai tananyag feldolgozásával párhuzamosan folyamatosan ismételjük, áttekint-
jük, rendszerezzük az els® félév számtan, algebra anyagát. Gyakoroltatjuk az írásbeli
összeadást, kivonást és a szorzótáblát, illetve ezek alkalmazását szöveges feladatok-
ban, összetett számfeladatokban. Pótoltatjuk az esetleges hiányosságokat.
Tk. 110/1. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg, hogy melyik tükörkép a helyes. Azt
is �gyeltessük meg, hogy a többi tükörkép miért nem megfelel®.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
201
Tk. 110/Meg�gyelések: A tengelyes tükrözésr®l korábban szerzett tapasztalatokat fo-
galmaztuk meg, összegeztük.
Tk. 110/1. feladat: A tengelyesen tükrös alakzatok kiválasztása, a tükörtengelyek ke-
resése. 3. osztályban az összes tengely megtalálását elvárjuk. Az eredményt tükörrel
ellen®riztessük.
Megoldás: a) Igen b) Igen c) Igen d) Nem
Tk. 111/2. feladat: Geometriai transzformációk közül a tengelyes tükrözés kiválasztása.
Megoldás: A második ábra készülhetett tengelyes tükrözéssel.
Típushiba, hogy azt gondolják, az els® ábra is tengelyes tükrözéssel
készült.
Tk. 111/3. feladat: Alakzatok tükörtengelyeinek megkeresése a feladat.
Megoldás:
0 1 2 2 1 1 0
Tk. 111/4. feladat: Alakzatok tükörtengelyeinek megkeresése a feladat.
Megoldás: a) b) c) d)
e) f) g) h)
202 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 111/5. feladat: Alakzatok tükörtengelyeinek megkeresése a feladat. Például:
Megoldás: a)
1 4
b)
1
2
Tk. 112/6. feladat: Alakzatok tükörtengelyeinek megkeresése a feladat.
Megoldás:
2 4 0 1 0
Tk. 112/7. feladat: Alakzatok tengelyes tükrözése. A tükörkép és az eredeti ábra vizs-
gálata.
Megoldás: Az a) és az e) pontban tükrösek az alakzatok.
Gy. 108/1. feladat: Tasziló típushibákat mutat meg a tanulóknak. Beszéljük meg a hibá-
kat.
Megoldás: a) A tükörkép mérete nem ugyanakkora, mint az eredeti kép.
b) A tükörkép távolabb van a tengelyt®l, mint az eredeti kép.
c) A tükörkép ugyanolyan alakú, mint az eredeti kép.
d)
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
203
Gy. 108/2. feladat: A sok megoldás közül csak néhányat mutatunk be.
Megoldás:
a)
b)
Gy. 109/3. feladat: A sok megoldás közül csak néhányat mutatunk be.
Megoldás: a) Egy tükrtengelye van.
b) Egynél több tükrtengelye van.
c) Nincs tükrtengelye.
204 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 109/4. feladat: Tükörkép megrajzolása a feladat. Ha szükséges, használjanak tükröt
a tanulók.
Megoldás:
Gy. 110/5. feladat: Tükörkép megrajzolása a feladat. Ha szükséges, használjanak tükröt
a tanulók.
Megoldás:
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
205
Gy. 110/6. feladat: A térszemlélet alakítása a feladat célja. A tükörtengelyek megrajzo-
lásához ha szükséges, használjanak tükröt a tanulók.
Megoldás:
� � � �
�
� �
�
A szorzás tulajdonságai
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, induk-
tív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,
�gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság,
kooperatív és önálló munkavégzés.
Óra: 77{78. 85{86. 96{97.
A szorzás tulajdonságairól (kommutativitás, asszociativitás) eddig szerzett tapasztala-
tokat rendszerezzük és tudatosítjuk. A szorzótábla gyakorlását összekapcsoljuk annak
meg�gyeltetésével, hogy a szorzat változásairól tanultak hogyan alkalmazhatók analóg
számításokban, kerek tízesek, százasok szorzásában. Fontos lépés a többjegy¶ számok
szorzásáról tanultak általánosítása (összeg szorzása egyjegy¶ számmal).
Ezeket az ismereteket egyrészt a szorzat becslésében, másrészt az írásbeli szorzás al-
goritmusának értelmezésében hasznosíthatjuk. A szorzás fogalmának mélyítését szol-
gálja, hogy kés®bb a tanultakat alkalmazzuk szöveges feladatok megoldásában is.
Tk. 113/2. kidolgozott mintapélda: A szorzás tulajdonságairól (kommutativitás, asszo-
ciativitás) eddig szerzett tapasztalatokat rendszerezzük és tudatosítjuk.
206 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 113/Emlékeztet®: A szorzás tulajdonságairól (kommutativitás, asszociativitás) ed-
dig szerzett tapasztalatokat rendszerezzük és tudatosítjuk a m¶veleti sorrendr®l tanultak
felidézésével.
Tk. 113/3. kidolgozott mintapélda: Meg�gyelhetjük, hogy a szorzat változásairól tanul-
tak hogyan alkalmazhatók analóg számításokban, kerek tízesek, százasok szorzásában.
Tk. 114/1. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. Ezekben a felada-
tokban is lehet®ség nyílik a szorzat változásainak meg�gyeltetésére a tényez®k változá-
sainak függvényében.
Megoldás: a) 4 + 4 + 4 = 12 3 � 4 = 12
3 + 3 + 3 + 3 = 12 4 � 3 = 12
b) 40 + 40 + 40 = 120 3 � 40 = 120
30 + 30 + 30 + 30 = 120 4 � 30 = 120
c) 400 + 400 + 400 = 1200 3 � 400 = 1200
300 + 300 + 300 + 300 = 1200 4 � 300 = 1200
Tk. 114/2. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. Ezekben a felada-
tokban is lehet®ség nyílik a szorzat változásainak meg�gyeltetésére a tényez®k változá-
sainak függvényében.
Megoldás: a) 12 120 1200 1200
b) 12 120 1200 1200
Tk. 114/3. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. Ezekben a felada-
tokban is lehet®ség nyílik a szorzat változásainak meg�gyeltetésére a tényez®k változá-
sainak függvényében.
Megoldás: a) 3 � 2 = 6 3 � 20 = 60 3 � 200 = 600
b) 6 � 2 = 12 6 � 20 = 120 6 � 200 = 1200
c) 9 � 2 = 18 9 � 20 = 180 9 � 200 = 1800
Tk. 114/4. kidolgozott mintapélda: Meg�gyelhetjük, hogy a szorzat változásairól tanul-
tak hogyan alkalmazhatók analóg számításokban, kerek tízesek, százasok szorzásában.
Tk. 115/5. kidolgozott mintapélda: Példát mutatunk a háromjegy¶ szám egyjegy¶vel
való szorzására. Ismertessük fel, hogy a számot összegalakra bontva tagonként szo-
rozhatjuk úgy, hogy a százasok, illetve a tízesek szorzásánál alkalmazzuk az analóg
számításokban meg�gyelteket.
Tk. 115/4. feladat: A szorzótábla gyakorlása. Kétjegy¶ számok, illetve háromjegy¶ ke-
rek tízesek szorzása egyjegy¶ számmal. A szorzat változásainak alkalmazása analóg
számításokban.
Megoldás: 4 � 12 = 48 4 � 120 = 480 3 � 54 = 162 3 � 540 = 1620
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
207
Tk. 115/5. feladat: A szorzótábla gyakorlása. Kétjegy¶ számok szorzása egyjegy¶ szám-
mal. A szorzat változásainak alkalmazása analóg számításokban.
Megoldás: a) 60; b) 50; c) 80; d) 70;
24; 45; 24; 42;
84; 95; 104; 112.
Tk. 115/6. feladat: A szorzótábla gyakorlása. Kétjegy¶, illetve háromjegy¶ kerek tízesek
szorzása egyjegy¶ számmal. A szorzat változásainak alkalmazása analóg számítások-
ban.
Megoldás: a) 300; b) 400; c) 500; d) 800;
120; 240; 350; 160;
420; 640; 850; 960.
e) 700; f) 800; g) 800; h) 900;
210; 480; 320; 270;
910; 1280; 1120; 1170.
Gy. 111/1. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. Ezekben a felada-
tokban is lehet®ség nyílik a szorzat változásainak meg�gyeltetésére a tényez®k változá-
sainak függvényében.
Megoldás: a) 120 240 480
b) 120 140 360
c) 100 200 2000
d) 180 360 540
e) 450 900 1800
Gy. 111/2. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. Ezekben a felada-
tokban is lehet®ség nyílik a szorzat változásainak meg�gyeltetésére a tényez®k változá-
sainak függvényében.
Megoldás: a) 12 120 1200
b) 15 150 1500
c) 18 180 1800
d) 18 180 1800
e) 12 120 1200
f) 14 140 1400
g) 20 200 2000
h) 16 160 1600
Gy. 111/3. feladat: A szorzótábla gyakorlása. Kétjegy¶, illetve háromjegy¶ kerek tízesek
szorzása egyjegy¶ számmal.
208 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 3 � 160 =
300z }| {
3 � 1 0 0 +
180z }| {
3 � 6 0 = 4 8 0
b) 6 � 250 =
1200z }| {
6 � 2 0 0 +
300z }| {
6 � 5 0 = 1 5 0 0
c) 4 � 190 =
400z }| {
4 � 1 0 0 +
360z }| {
4 � 9 0 = 7 6 0
d) 5 � 280 =
1000z }| {
5 � 2 0 0 +
400z }| {
5 � 8 0 = 1 4 0 0
Gy. 112/4. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. Kétjegy¶ számok,
illetve háromjegy¶ kerek tízesek szorzása egyjegy¶ számmal.
Megoldás: a) 168 84 84
1680 840 840
b) 136 136 136
1360 1360 1360
c) 144 96 96
1440 960 960
d) 168 175 182
1680 1750 1820
e) 144 144 72
1440 1440 720
f) 180 175 140
1800 1750 1400
Gy. 112/5. feladat: Két-, illetve háromjegy¶ szám egyjegy¶ számmal való szorzásának
szemléltetése többféleképpen.
Megoldás:
a) 74 � 6 = 4 4 4
7 0 � 6| {z }
420
+ 4 � 6| {z }
24
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
209
b) 123 � 3 = 3 6 9
1 0 0 � 3| {z }
300
+ 2 0 � 3| {z }
60
+ 3 � 3| {z }
9
Gy. 112/6. feladat: Két-, illetve háromjegy¶ szám egyjegy¶ számmal való szorzásának
szemléltetése többféleképpen.
Megoldás:
500 10 2 � 3 =
1500z }| {
500 � 3 +
30z }| {
10 � 3+
6z}|{
2 � 3 = 1536
A szorzat becslése
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés,
induktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-
tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-
tosság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés, egészséges
életmód.
Óra: 79. 87. 98.
A kerekítésr®l és a szorzás tulajdonságairól tanultakat alkalmazzuk a szorzat becslésére.
A tanulók többségét®l a százasra kerekített értékekkel számolt becslést várhatjuk el.
Ennek begyakorlása után célszer¶ felismertetni: a két százas szomszéd segítségével
meghatározhatjuk, hogy melyik két szám közé esik a szorzat.
Tk. 116/1. kidolgozott mintapélda: Bemutatjuk a szorzat becslésének lehet®ségeit:
százasra kerekített értékekkel történ® becslés, tízesre kerekített értékekkel történ® becs-
lés, két érték közé szorítással történ® becslés.
Tk. 116/1. feladat: Százasra kerekített értékekkel történ® becslés gyakorlására szánt
feladatsor.
Megoldás: a) 1200; b) 1600; c) 1200; d) 1600;
B < Sz B > Sz B < Sz B < Sz
e) 1800; f) 1200; g) 2000; h) 1800.
B > Sz B > Sz B > Sz B > Sz
210 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 116/2. feladat: Tízesre kerekített értékekkel történ® becslés gyakorlására szánt fel-
adatsor.
Megoldás: a) 1320; b) 1360; c) 1260; d) 1700;
B > Sz B > Sz B > Sz B > Sz
e) 1740; f) 1000; g) 1900; h) 1620.
B > Sz B < Sz B < Sz B > Sz
Tk. 116/3. feladat: Két érték közé szorítással történ® becslés gyakorlására szánt fela-
datsor.
Megoldás: a) 1200 < Sz < 1600; b) 800 < Sz < 1600;
c) 1200 < Sz < 1500; d) 1600 < Sz < 1800;
e) 1200 < Sz < 1800; f) 800 < Sz < 1200;
g) 1500 < Sz < 2000; h) 1200 < Sz < 1800.
Tk. 117/4. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére. A közelít® számításokról
tanultak alkalmazása szöveges feladatok megoldásában is.
Megoldás: a) Becslés: 4 � 140 = 560 B > Sz
Számolás: 4 � 135 = 540 20
Felfelé kerekítettünk.
b) Becslés: 3 � 250 = 750 B < Sz
Számolás: 3 � 254 = 762 12
Lefelé kerekítettünk.
Tk. 117/5. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére. A közelít® számításokról
tanultak alkalmazása szöveges feladatok megoldásában is.
Megoldás: a) 900 400 1000 800
b) 600 1000 700 1200
c) 1800 1600 1800 1500
Tk. 117/6. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére. A közelít® számításokról
tanultak alkalmazása szöveges feladatok megoldásában is.
Megoldás: Terv: ö = 18 � 23 � 5
Becslés: ö = 20 � 20 � 5 = 2000
Válasz: Körülbelül 2000 dl = 200 l leveg®t szívunk be 18 perc alatt.
Tk. 117/7. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére. A közelít® számításokról
tanultak alkalmazása szöveges feladatok megoldásában is.
Megoldás: a) Terv: b = 42 � 8
Becslés: b = 40 � 8 = 320
Válasz: Körülbelül 320 kg a barnamedve tömege.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
211
b) Terv: b = 3 � 586
Becslés: százasra kerekítve: b = 3 � 600 = 1800
tízesre kerekítve: b = 3 � 590 = 1770
Válasz: Körülbelül 1800 kg (1770 kg) lehet egy bölény tömege.
Gy. 113/1. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére százasra kerekített értékek-
kel történ® számolással.
Megoldás: a) 200 � 3 = 600 B < Sz mert lefelé kerekítettünk.
b) 200 � 6 = 1200 B > Sz mert felfelé kerekítettünk.
c) 400 � 4 = 1600 B < Sz mert lefelé kerekítettünk.
d) 400 � 5 = 2000 B > Sz mert felfelé kerekítettünk.
e) 200 � 7 = 1400 B < Sz mert lefelé kerekítettünk.
Gy. 113/2. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére két érték közé szorítással.
Megoldás: a) 5 0 0 � 3| {z }
1500
< Sz < 6 0 0 � 3| {z }
1800
b) 1 0 0 � 8| {z }
800
< Sz < 2 0 0 � 8| {z }
1600
c) 2 0 0 � 6| {z }
1200
< Sz < 3 0 0 � 6| {z }
1800
d) 1 0 0 � 9| {z }
900
< Sz < 2 0 0 � 9| {z }
1800
Gy. 114/3. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére tízesre kerekített értékekkel
számolva.
Megoldás:
a) 162 � 4 � 1 6 0 � 4 = 1 0 0 � 4| {z }
400
+ 6 0 � 4| {z }
240
= 6 4 0
B < Sz, mert lefelé kerekítettünk.
b) 341 � 5 � 3 4 0 � 5 = 3 0 0 � 5| {z }
1500
+ 4 0 � 5| {z }
200
= 1 7 0 0
B < Sz, mert lefelé kerekítettünk.
212 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) 208 � 7 � 2 1 0 � 7 = 2 0 0 � 7| {z }
1400
+ 1 0 � 7| {z }
70
= 1 4 7 0
B < Sz, mert felfelé kerekítettünk.
d) 479 � 3 � 4 8 0 � 3 = 4 0 0 � 3| {z }
1200
+ 8 0 � 3| {z }
240
= 1 4 4 0
B < Sz, mert lefelé kerekítettünk.
Gy. 114/4. feladat: Tasziló ismét összegy¶jtötte a típushibákat, amelyeket megbeszélve,
kijavítva elmélyíthetjük a becslésr®l tanultakat.
Megoldás: a) 400 � 3 = 1200
b) 350 � 3 = 300 � 3 + 50 � 3 = 1050
c) 300 � 3 <900
Sz <1200
400 � 3
Írásbeli szorzás
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés,
induktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-
tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüg-
géslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés,
egészséges életmód.
Óra: 80{85. 88{94. 99{106.
Az írásbeli szorzás algoritmusát a tanulás során fokozatosan nehezítjük a helyiérték-
átlépések számának növelésével és elhelyezésével (nincs; csak a legnagyobb helyiér-
téknél van; egy helyen van; több, de nem szomszédos helyen van; két szomszédos
helyen van; stb.).
A szorzás tanítása során minden órán adjunk fel szöveges feladatokat is.
Az írásbeli szorzás algoritmusával, illetve a szöveges feladatokkal kapcsolatosan esetleg
értelmezhetnénk a �szorzandó" és a �szorzó" fogalmát. Ezt továbbra sem javasoljuk a
következ®k miatt:
Nem matematikai, hanem szakmódszertani fogalmak. A tanítási folyamat tervezé-
sekor esetleg használhatjuk ezeket a fogalmakat (például az írásbeli szorzás eseté-
ben az �egyjegy¶ szorzó" fogalmát), de nem célszer¶ ezeket tanítani, tudatosítani,
a gyermekek el®tt használni. A matematikában a �tényez®" kifejezést használjuk.
A szorzásban a tényez®k felcserélhet®k. Ha megkülönböztetjük a két tényez®t, akkor
megnehezíthetjük és bizonytalanná tehetjük a helyes fogalomalkotást.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
213
Ha a szöveges feladatok értelmezésekor megkülönböztetjük a �szorzandó" és a
�szorzó" fogalmát, az zavart okozhat a feladat megoldásakor. Például:
Egy gönci hordó ¶rtartalma 136 l. Mennyi az ¶rtartalma 5 gönci hordónak? A �szor-
zó" egyjegy¶, el tudjuk végezni a szorzást.
Egy kanna ¶rtartalma 5 l. Mennyi az ¶rtartalma 136 ugyanilyen kannának? A �szor-
zó" háromjegy¶, ez megzavarhatja a tanulót, és emiatt nem tudja elvégezni a szor-
zást.
Sohase tanítsunk olyat, amit kés®bb másként fogunk tanítani. A fels® tagozatban
tényez®kr®l beszélünk.
Tk. 118/1. kidolgozott mintapélda: 2. osztályban a szorzást ismételt összeadásként
értelmeztük. Itt is erre építve vezetjük be a számok írásbeli szorzását egyjegy¶ szorzóval.
Az eredményt a becsült érték és a szorzat összehasonlításával ellen®rizzük, illetve szok-
tassuk rá a tanulókat arra, hogy a szorzás elvégzése után lépésenként újra átszámolva
�gyelmesen ellen®rizzék munkájukat. Az algoritmus elsajátításának kezdetén lehet®leg
olyan feladatokat adjunk, amelyekben nincs helyiérték-átlépés.
Tk. 119/1. feladat: A szorzás algoritmusának visszavezetése ismételt összeadásra.
Megoldás: Becslés Becslés Összeadás Szorzás
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 1200 1280 1284 642 � 2
1284
b) 1600 1600 1608 402 � 4
1608
c) 300 390 396 132 � 3
396
d) 1500 1530 1539 513 � 3
1539
e) 1000 1000 1005 201 � 5
1005
Tk. 119/2. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-
ra, begyakorlására. Ha a tanulóknak gondot jelent a szorzás elvégzése, akkor térjünk
vissza az ismételt összeadáshoz, és ott �gyeltessük meg, mit kell tennünk. A megfele-
l® szokások kialakítása és a számolási rutin fejlesztése érdekében többször írassuk le,
mondassuk el, hogyan számolunk fejben, amikor megbecsüljük az eredményt.
Megoldás: a) Becslés
tízesre kerekítve: 210 320 630 180 560 540
Számolás: 219 328 637 186 567 546
b) Becslés
százasra kerekítve: 1200 1500 1600 1800 1800 1500
tízesre kerekítve: 1280 1560 1600 1830 1860 1550
Számolás: 1284 1569 1608 1836 1866 1555
214 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 119/3. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli szorzás gyakorlására.
Megoldás: a) Adatok: 1 könyv 4 mm
322 könyv ? mm
Terv: x = 322 � 4
Becslés: százasra kerekítve: 300 � 4 = 1200 mm
tízesre kerekítve: 320 � 4 = 1280 mm
Számolás: x = 1288 mm
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1288 mm = 1 m 2 dm 8 cm 8 mm magas 322 db könyv
egymásra téve.
b) Adatok: 1 bögre 3 dl
421 bögre ? dl
Terv: t = 421 � 3
Becslés: százasra kerekítve: 400 � 3 = 1200 dl
tízesre kerekítve: 420 � 3 = 1260 dl
Számolás: t = 1263 dl
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1263 dl = 126 l 3 dl tej fogyott el.
c) Adatok: 1 tojás 6 dkg,
311 tojás ? dkg
Terv: x = 311 � 6
Becslés: százasra kerekítve: 300 � 6 = 1800 dkg
tízesre kerekítve: 310 � 6 = 1860 dkg
Számolás: x = 1866 dkg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1866 dkg = 18 kg 66 dkg a tömege 311 db tojásnak.
d) Adatok: 1 tégla 3 kg,
523 tégla ? kg
Terv: x = 523 � 3
Becslés: százasra kerekítve: 500 � 3 = 1500 kg
tízesre kerekítve: 520 � 3 = 1560 kg
Számolás: x = 1569 kg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1569 kg a tömege 523 db téglának.
e) Adatok: í = 12 cm 3 mm, á <
3-szorá, á = ?
Terv: á = 3 � í á = 3 � 123
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
215
Becslés: százasra kerekítve: 3 � 100 = 300 mm
tízesre kerekítve: 3 � 120 = 360 mm
Számolás: á = 369 mm
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 369 mm = 3 dm 6 cm 9 mm hosszú a császármadár.
f) Adatok: b = 210 g, b <
7-szerg, g = ?
Terv: g = 7 � b g = 7 � 210
Becslés: százasra kerekítve: 7 � 200 = 1400 g
tízesre kerekítve: 7 � 210 = 1470 g
Számolás: g = 1470 g
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1470 g = 1 kg 47 dkg a szürkegém.
Tk. 120/2. kidolgozott mintapélda: Ismételt összeadásra visszautalva �gyeltethetjük a
háromjegy¶ számok írásbeli szorzását egyjegy¶ szorzóval abban az esetben is, amikor
(még nem szomszédos helyen) van helyiérték-átlépés. Beszéljük meg a szorzás és az
összeadás kapcsolatát.
Tk. 120/4. feladat: A szorzás algoritmusának visszavezetése ismételt összeadásra.
Megoldás: Becslés Becslés Összeadás Szorzás
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 200 260 250 125 � 2
250
b) 400 560 568 142 � 4
568
c) 900 930 927 309 � 3
927
Tk. 120/5. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-
ra, begyakorlására. Ha a tanulóknak gondot jelent a szorzás elvégzése, akkor térjünk
vissza az ismételt összeadáshoz, és ott �gyeltessük meg, mit kell tennünk. A megfele-
l® szokások kialakítása és a számolási rutin fejlesztése érdekében többször írassuk le,
mondassuk el, hogyan számolunk fejben, amikor megbecsüljük az eredményt.
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 300 400 500 1000 600
tízesre kerekítve: 390 480 550 1100 640
Számolás: 378 468 530 1090 632
b) Becslés
százasra kerekítve: 600 800 300 900 800
tízesre kerekítve: 450 640 420 780 760
Számolás: 456 644 429 783 768
216 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) Becslés
százasra kerekítve: 900 1600 1600 600 1800
tízesre kerekítve: 990 1680 1640 480 1920
Számolás: 954 1696 1648 486 1890
Tk. 121/6. feladat: Tasziló ismét bemutatja a típushibákat, amelyek kijavítása, megbe-
szélése elmélyítheti a szorzásról tanultakat.
Megoldás: Becslés
százasra kerekítve: 1500 600 1200 1200
tízesre kerekítve: 180 1500 510 1230 1280
Számolás: 192 1506 510 1215 1264
Tk. 121/7. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-
ra, begyakorlására.
Megoldás: Becslés Becslés Számolás
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 800 880 848
b) 1400 1540 1519
c) 1500 1550 1570
d) 1800 1860 1872
e) 1800 1890 1872
f) 1800 1920 1896
g) 1400 1470 1456
h) 0 0 0
I) 600 580 575
j) 900 850 850
k) 800 1040 1000
l) 1200 1000 1000
Tk. 121/8. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli szorzás gyakorlására.
Megoldás: a) Adatok: 1 láda 5 kg,
142 láda ? kg
Terv: x = 142 � 5
Becslés: százasra kerekítve: 100 � 5 = 500 kg
tízesre kerekítve: 140 � 5 = 700 kg
Számolás: x = 710 kg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 710 kg eper van 142 ládában.
b) Adatok: 1 zsák 70 kg
21 zsák ? kg
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
217
Terv: x = 21 � 70
Becslés: tízesre kerekítve: 20 � 70 = 1400 kg
Számolás: x = 1470 kg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1470 kg búza fér 21 zsákba.
c) Adatok: 1 háló 3 kg,
182 háló ? kg
Terv: x = 182 � 3
Becslés: százasra kerekítve: 200 � 3 = 600 kg
tízesre kerekítve: 180 � 3 = 540 kg
Számolás: x = 546 kg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 546 kg hagymát tettek 182 hálóba.
d) Adatok: 1 vödör 5 l,
215 vödör ? l
Terv: x = 215 � 5
Becslés: százasra kerekítve: 200 � 5 = 1000 l
tízesre kerekítve: 220 � 5 = 1100 l
Számolás: x = 1075 l
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1075 l-es a hordó.
e) Adatok: 1 lap 4 dm,
150 lap ? dm
Terv: x = 150 � 4
Becslés: százasra kerekítve: 200 � 4 = 800 dm
tízesre kerekítve: 150 � 4 = 600 dm
Számolás: x = 600 dm
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 600 dm = 60 m hosszú járda építhet®.
Tk. 121/3. kidolgozott mintapélda: Ismét �gyeljük meg a szöveges feladatok megol-
dásmenetét, a szorzás és osztás kapcsolatát.
Tk. 122/9. feladat: Figyeltessük meg, hogy a szorzás és az osztás kapcsolata alapján
hogyan értelmezhetjük a direkt és az indirekt szövegezés¶ feladatokat.
Megoldás: a) a = 72 � 9 = 648; a � 9 = 72 a = 8;
a = 72 : 9 = 8; a : 9 = 72 a = 648;
b) b = 250 � 5 = 1250; b � 5 = 250 b = 50;
b = 250 : 5 = 50; b : 5 = 250 b = 1250.
218 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 122/10. feladat: A szorzás kommutativitását szemléltet® feladatsor, amely a terület-
számítást is el®készíti.
Megoldás: a) 2 � 5 = 10, illetve 5 � 2 = 10
b) 7 � 5 = 35, illetve 5 � 7 = 35
c) 217 � 5 = 1085, illetve 5 � 217 = 1085
Tk. 122/11. feladat: Írásbeli szorzás gyakorlása közben felidézünk néhány geometriai
alapfogalmat (négyzet, kör, háromszög, szakasz).
Becslés a) b) c)
százasra kerekítve: 800 mm 1600 mm 1200 mm
tízesre kerekítve: 680 mm 1680 mm 1240 mm
Számolás: 688 mm 1692 mm 1232 mm
Tk. 122/12. feladat: Írásbeli szorzás gyakorlása közben felidézünk néhány geometriai
alapfogalmat (négyzet, kör, háromszög, szakasz).
Megoldás: A szakasz hossza: Becslés: 12 cm, Mérés: 118 mm
Becslés a) b) c)
százasra kerekítve: 300 mm 400 mm 500 mm
tízesre kerekítve: 360 mm 480 mm 600 mm
Számolás: 354 mm 472 mm 590 mm
Tk. 122/13. feladat: Írásbeli szorzás gyakorlása közben felidézünk néhány geometriai
alapfogalmat (négyzet, kör, háromszög, szakasz).
Megoldás: Becslés a) b) c) d)
százasra kerekítve: 600 1800 600 1200
tízesre kerekítve: 420 1860 660 1260
Számolás: 432 1884 630 1260
Tk. 122/14. feladat: Írásbeli szorzás gyakorlása közben felidézünk néhány geometriai
alapfogalmat (négyzet, kör, háromszög, szakasz).
Megoldás: a) b) c) d)
4 kocka 6 kocka 8 kocka 9 kocka
Becslés
százasra kerekítve: 800 1200 1600 1800
tízesre kerekítve: 800 1200 1600 1800
Számolás: 812 1218 1624 1827
Tk. 123/4. kidolgozott mintapélda: Háromjegy¶ szám egyjegy¶vel való írásbeli szorzá-
sa, egymás melletti helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel. Ha eddig kell® biztonság-
gal elsajátították a tanulók az algoritmust, akkor ez a lépés már nem okozhat gondot.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
219
Tk. 123/15. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosítá-
sára, begyakorlására.
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 600 800 1000 900 1800
tízesre kerekítve: 480 960 900 840 1980
Számolás: 474 944 890 837 1956
b) Becslés
százasra kerekítve: 1600 1500 1600 2100 1800
tízesre kerekítve: 1680 1550 2000 1960 1980
Számolás: 1664 1545 1992 1988 1971
c) Becslés
százasra kerekítve: 1800 1400 1500 1600 1200
tízesre kerekítve: 1890 1470 1650 1920 1440
Számolás: 1884 1449 1635 1896 1458
d) Becslés
százasra kerekítve: 800 2100 1600 1800 1600
tízesre kerekítve: 820 1950 1560 1620 1680
Számolás: 814 1959 1548 1575 1648
e) Becslés
százasra kerekítve: 1500 1800 2100 1800 2000
tízesre kerekítve: 1450 1860 1960 1890 1800
Számolás: 1430 1872 1946 1845 1804
Tk. 124/16. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli szorzás gyakorlására.
Megoldás: a) Adatok: 1 sor 328 db,
6 sor x db x = ? db
Terv: x = 6 � 328
Becslés: százasra kerekítve: 6 � 300 = 1800
tízesre kerekítve: 6 � 330 = 1980
Számolás: x = 1968
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1968 palántát ültetett a kertész 6 sorba.
b) Adatok: 1 doboz 658 Ft
3 doboz x Ft x = ? Ft
Terv: x = 3 � 658
Becslés: százasra kerekítve: 3 � 700 = 2100 Ft
tízesre kerekítve: 3 � 660 = 1980 Ft
220 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Számolás: x = 1974 Ft
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1974 Ft-ba kerül 3 doboz bonbon.
c) Adatok: 1 perc 178 m,
8 perc x m x = ? m
Terv: x = 8 � 178
Becslés: százasra kerekítve: 8 � 200 = 1600 m
tízesre kerekítve: 8 � 180 = 1440 m
Számolás: x = 1424 m
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1424 m-t tesz meg Csaba 8 perc alatt.
d) Adatok: V = 395 Ft, P >
ötödeV, P = ?
Terv: P = 5 � V P = 5 � 395
Becslés: százasra kerekítve: 5 � 400 = 2000 FT
tízesre kerekítve: 5 � 400 = 2000 Ft
Számolás: P = 1975 FT
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1975 Ft-ja volt Elemérnek.
e) Adatok: F = 475 Ft, F <
4-szerN, N = ?
Terv: N = 4 � F N = 4 � 475
Becslés: százasra kerekítve: 4 � 500 = 2000 Ft
tízesre kerekítve: 4 � 480 = 1920 Ft
Számolás: N = 1900 Ft
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1900 Ft-ja van Flóra n®vérének.
f) Adatok: 1 nap 24 óra
1 hét = 7 nap e óra e = ? óra
4 hét = 4 � 7 = 28 nap n nap n = ? nap
Terv: e = 7 � 24
Becslés: tízesre kerekítve: 7 � 20 = 140
Számolás: e = 168 óra
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 168 óra 1 hét.
Terv: n = 4 � 168
Becslés: százasra kerekítve: 4 � 200 = 800 óra
tízesre kerekítve: 4 � 170 = 680 óra
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
221
Számolás: n = 672 óra
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 672 óra 4 hét.
g) Adatok: 1 év 365 nap
1 szök®év 366 nap, 4 év x nap x = ?
Terv: x = 4 � 365 + 1
Becslés: százasra kerekítve: 4 � 400 = 1600 nap
tízesre kerekítve: 4 � 370 = 1480 nap
Számolás: x = 1461 nap
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1461 napból áll 4 év.
Tk. 124/17. feladat: Hiányzó tényez® pótlásával a szorzás gyakorlása.
Megoldás:
a) 4 1 3 � 2
8 2 6
3 2 1 � 3
9 6 3
2 3 4 � 2
4 6 8
1 0 6 � 6
6 3 6
b) 2 0 4 � 3
6 1 2
2 1 6 � 4
8 6 4
1 3 5 � 2
2 7 0
2 1 7 � 4
8 6 8
c) 1 5 2 � 4
6 0 8
1 7 1 � 5
8 5 5
1 5 1 � 6
9 0 6
1 8 3 � 3
5 4 9
d) 3 1 1 � 5
1 5 5 5
4 3 2 � 3
1 2 9 6
4 1 2 � 4
1 6 4 8
3 0 1 � 6
1 8 0 6
Tk. 124/18. feladat: Hiányzó számjegyek pótlásával a szorzás gyakorlása.
Megoldás: a) 3 2 0 � 3
9 6 0
4 3 2 � 2
8 6 4
4 8 2 � 2
9 6 4
2 1 4 � 3
6 4 2
1 6 1 � 5
8 0 5
1 6 3 � 5
8 1 5
1 6 5 � 5
2 2 8
1 6 7 � 5
8 3 5
222 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
1 6 9 � 5
8 4 5
b) 1 2 5 � 3
3 7 5
1 8 2 � 4
7 2 8
1 8 7 � 4
7 4 8
2 2 6 � 3
6 7 8
1 7 2 � 4
6 8 8
Tk. 125/19. feladat: Az írásbeli szorzás gyakorlása. Figyeltessük meg a szorzat válto-
zásait:
Ha az egyik tényez®t valahányszorosára növeljük, a többit nem változtatjuk, a szorzat is
ugyanannyiszorosára n®.
Ha az egyik tényez®t valahányad részére csökkentjük, a többit nem változtatjuk, a szor-
zat is ugyanannyiad részére csökken.
A szorzat nem változik, ha egyik tényez®jét valahányszorosára növeljük, egy másik té-
nyez®jét ugyanannyiad részére csökkentjük, a többit nem változtatjuk.
A szorzat nem változik, ha egyik tényez®jét valahányad részére csökkentjük, egy másik
tényez®jét ugyanannyiszorosára növeljük, a többit nem változtatjuk.
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 200 300 400 500 600
tízesre kerekítve: 240 360 480 600 720
Számolás: 232 <
116348 <
116464 <
116580 <
116696
b) Becslés
százasra kerekítve: 600 600 600 600 600
tízesre kerekítve: 570 570 570 570 570
Számolás: 567 �
3570 �
3573 �
3576 �
3579
c) Becslés
százasra kerekítve: 400 400 400 400 800
tízesre kerekítve: 400 400 400 400 820
Számolás: 408 = 408 = 408 = 408 = 816
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
223
d) Becslés
százasra kerekítve: 640 800 600 1200 600
tízesre kerekítve: 640 640 640 1300 650
Számolás: 648 = 648 = 648 �
21376 :
2648
Tk. 125/20. feladat: Következtetés többr®l többre.
Megoldás: a) 3 kg sz®l® 126 Ft
� 2 � 2 a = 252 Ft
6 kg sz®l® 2 � 126 Ft
b) 2 csoki 122 Ft
� 4 � 4 b = 488 Ft
8 csoki 4 � 122 Ft
c) 4 jégkrém 364 Ft
� 2 � 2 c = 728 Ft
8 jégkrém 2 � 364 Ft
d) 3 kg eper 306 Ft
� 3 � 3 d = 918 Ft
9 kg eper 3 � 306 Ft
e) 2 nyalóka 162 Ft
� 3 � 3 e = 486 Ft
6 nyalóka 3 � 162 Ft
f) 2 ceruza 102 Ft
� 5 � 5 g = 510 Ft
10 ceruza 5 � 102 Ft
g) 5 toll 510 Ft
� 2 � 2 h = 1020 Ft
10 toll 2 � 510 Ft
Tk. 125/21. feladat: Következtetés többr®l többre. Használjuk föl az el®z® feladat ta-
pasztalatait.
Megoldás: 3 gyerek 3 óra 108
a) 6 gyerek 3 óra 2 � 108 = 216 szorzás
b) 3 gyerek 6 óra 2 � 108 = 216 szorzás
c) 6 gyerek 6 óra 2 � 2 � 108 = 432 szorzás
224 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
d) 6 gyerek 9 óra 2 � 3 � 108 = 648 szorzás
e) 9 gyerek 9 óra 3 � 3 � 108 = 972 szorzás
f) 3 gyerek másfél óra 108 : 2 = 54 szorzás
g) 6 gyerek másfél óra 2 � 108 : 2 = 108 szorzás
h) 9 gyerek másfél óra 3 � 108 : 2 = 162 szorzás
i) 1 gyerek 3 óra 108 : 3 = 36 szorzás
j) 1 gyerek 1 óra 108 : 3 : 3 = 12 szorzás
Tk. 125/22. feladat: A szorzat változásainak meg�gyelése. A kéttagú szorzat értéke nem
változik, ha az egyik tényez®t valahányszorosára növeljük, a másikat ugyanannyiszoro-
sára csökkentjük.
Megoldás: a = 2; b = 3; c = 8; d = 9; e = 2; f = 9.
Tk. 125/23. feladat: A szorzat változásainak meg�gyelése. Ha az egyik tényez®t vala-
hányszorosára változtatjuk, a szorzat is ugyanannyiszorosára változik.
Megoldás: a = 6; b = 6; c = 436; d = 436.
Tk. 126/24. feladat: A szorzat változtatása adott feltételek alapján. Használjuk fel a ko-
rábbi feladatok tapasztalatait.
Megoldás: a = 3; b = 4; c = 3; d = 2.
Tk. 126/25. feladat: A szorzat változásait �gyeltetjük meg, a tényez®k függvényében. A
meg�gyeléseket zömében a jobb képesség¶ tanulóktól várjuk.
Megoldás: a) 132 � 2
264
+1 � 132
b) 132 � 3
396
+1 � 132
c) 132 � 4
528
Tk. 126/26. feladat: A szorzat változásait �gyeltetjük meg, a tényez®k függvényében. A
meg�gyeléseket zömében a jobb képesség¶ tanulóktól várjuk.
Megoldás: a) 126 � 3
378
+100 � 3
b) 226 � 3
678
+100 � 3
c) 326 � 3
978
Tk. 126/27. feladat: A szorzat változásait �gyeltetjük meg, a tényez®k függvényében. A
meg�gyeléseket zömében a jobb képesség¶ tanulóktól várjuk.
Megoldás: a) 61 � 8
378
�2 : 2
b) 122 � 4
678
�2 : 2
c) 244 � 2
978
Tk. 126/28. feladat: A szorzat változásait �gyeltetjük meg, a tényez®k függvényében. A
meg�gyeléseket zömében a jobb képesség¶ tanulóktól várjuk.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
225
Megoldás: a) 27 � 2
54
�4
b) 54 � 4
218
�4
c) 108 � 8
864
Gy. 115/1. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-
ra, begyakorlására.
Megoldás: 1893 1668 1608
Gy. 115/2. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-
ra, begyakorlására.
Megoldás: Becslés Becslés Összeadás Szorzás
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 1200 1260 1269 423 � 3
1269
b) 1500 1560 1563 521 � 3
1563
c) 1200 1280 1284 321 � 4
1284
d) 800 800 808 202 � 4
808
Gy. 115/3. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-
ra, begyakorlására.
Megoldás: Becslés Számolás
a) 410 � 4 = 400 � 4 = 10 � 4 = 1640 B < Sz 1648
b) 620 � 3 = 600 � 3 + 20 � 3 = 1860 B < Sz 1869
c) 420 � 4 = 400 � 4 + 20 � 4 = 1680 B < Sz 1684
d) 300 � 5 = 1500 B < Sz 1505
e) 930 � 2 = 900 � 2 + 30 � 2 = 1860 B < Sz 1868
Gy. 116/4. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-
ra, begyakorlására.
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 0 800 1200 1600
tízesre kerekítve: 120 820 1230 1640
Számolás: 126 824 1236 1648
b) Becslés
százasra kerekítve: 0 900 1200 1800
tízesre kerekítve: 180 960 1260 1860
Számolás: 183 963 1263 1863
226 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) Becslés
százasra kerekítve: 200 1600 1600 800
tízesre kerekítve: 160 1600 1600 800
Számolás: 168 1608 1608 804
Gy. 116/5. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-
ra, begyakorlására.
Megoldás: Becslés Becslés Összeadás Szorzás
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 900 930 312312
+ 312936
312 � 3
936
1200 1240 312312
312+ 3121248
312 � 4
1248
b) 800 840 211211
211+ 211844
211 � 4
844
1000 1050 211
211211211
+ 2111055
211 � 5
1055
Gy. 117/6. feladat: Írásbeli szorzás egyjegy¶ szorzóval legfeljebb két (nem szomszédos)
helyiértéken történ® átlépéssel.
Megoldás: 492 753 1570
Gy. 117/7. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-
ra, begyakorlására.
Megoldás: Becslés Becslés Összeadás Szorzás
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 1500 1550 1570 314 � 5
1570
a) 1000 800 805 161 � 5
805
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
227
Gy. 117/8. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-
ra, begyakorlására.
Megoldás: Becslés Számolás
a) 140 � 3 = 100 � 3 + 40 � 3 = 420 B < Sz 426
b) 220 � 4 = 200 � 4 + 20 � 4 = 880 B > Sz 872
c) 320 � 5 = 300 � 5 = 20 � 5 = 1600 B > Sz 1575
d) 180 � 3 = 100 � 3 + 80 � 3 = 540 B < Sz 546
e) 210 � 6 = 200 � 6 + 10 � 6 = 1260 B < Sz 1278
f) 940 � 2 = 900 � 2 + 40 � 2 = 1880 B > Sz 1876
g) 210 � 7 = 200 � 7 + 10 � 7 = 1470 B < Sz 1491
Gy. 118/9. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-
ra, begyakorlására.
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 0 1000 1200 600
tízesre kerekítve: 150 1100 1320 660
Számolás: 130 1080 1296 648
b) Becslés
százasra kerekítve: 600 400 600 800
tízesre kerekítve: 300 300 450 600
Számolás: 312 304 456 608
c) Becslés
százasra kerekítve: 0 800 1200 1600
tízesre kerekítve: 160 840 1240 1640
Számolás: 176 856 1256 1656
Gy. 118/10. feladat: Szöveges feladatok a szorzás értelmezésére, gyakorlására.
Megoldás: a) Terv: t = 3 � 4
Számolás: t = 12 dm
Válasz: 12 dm-re jut.
b) Terv: t = 315 � 4
Becslés: százasra kerekítve: 1200 dm B < Sz
tízesre kerekítve: 1280 dm B > Sz
Számolás: 315 � 4
1260
Válasz: 1260 dm-re jut.
Gy. 118/11. feladat: Szöveges feladatok a szorzás értelmezésére, gyakorlására.
228 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) Terv: t = 5 � 6
Számolás: t = 30 m
Válasz: 30 m-re van.
b) Terv: t = 151 � 6
Becslés: százasra kerekítve: 1200 m B > Sz
tízesre kerekítve: 900 m B < Sz
Számolás: 151 � 6
906
Válasz: 906 m-re van.
Gy. 119/12. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosítá-
sára, begyakorlására.
Megoldás: a) Becslés
százasra kerekítve: 400 800 1000 1200
tízesre kerekítve: 240 640 800 960
Számolás: 224 624 780 936
b) Becslés
százasra kerekítve: 600 300 600 900
tízesre kerekítve: 420 450 750 1050
Számolás: 438 438 738 1038
c) Becslés
százasra kerekítve: 700 1400 1400 1400
tízesre kerekítve: 630 1330 1400 1400
Számolás: 658 1358 1365 1372
d) Becslés
százasra kerekítve: 500 2000 1800 1400
tízesre kerekítve: 400 1900 1680 1260
Számolás: 405 1905 1686 1267
e) Becslés
százasra kerekítve: 300 1800 1800 1800
tízesre kerekítve: 180 1800 1800 1350
Számolás: 192 1812 1812 1359
f) Becslés
százasra kerekítve: 0 300 600 900
tízesre kerekítve: 400 450 900 1350
Számolás: 376 441 882 1323
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
229
g) Becslés
százasra kerekítve: 700 1200 1200 1200
tízesre kerekítve: 420 1400 1400 1400
Számolás: 413 1392 1388 1384
h) Becslés
százasra kerekítve: 0 1500 1600 1500
tízesre kerekítve: 450 1380 1440 1300
Számolás: 432 1377 1436 1295
I) Becslés
százasra kerekítve: 0 1800 1500 1200
tízesre kerekítve: 280 1740 1450 1160
Számolás: 259 1710 1425 1140
Gy. 120/13. feladat: Szöveges feladatok a szorzás értelmezésére, gyakorlására.
Megoldás: a) Terv: k = 12 � 8
Számolás: k = 96
Válasz: 96 katona áll.
b) Terv: k = 124 � 8
Becslés: százasra kerekítve: 800 B < Sz
tízesre kerekítve: 960 B < Sz
Számolás: 124 � 8
992
Válasz: 992 katona áll.
Gy. 120/14. feladat: Szöveges feladatok a szorzás értelmezésére, gyakorlására.
Megoldás: a) Terv: á = 13 � 7
Számolás: á = 91 Ft
Válasz: 91 Ft-ba kerül.
b) Terv: á = 126 � 7
Becslés: százasra kerekítve: 700 Ft B < Sz
tízesre kerekítve: 910 Ft B > Sz
Számolás: 126 � 7
882
Válasz: 882 Ft-ba kerül.
Gy. 120/15. feladat: Szöveges feladatok a szorzás értelmezésére, gyakorlására.
Megoldás: a) Terv: á = 20 � 9
Számolás: á = 180 Ft Válasz: 80 Ft-ba kerül.
230 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) Terv: á = 197 � 9
Becslés: százasra kerekítve: 1800 Ft B > Sz
tízesre kerekítve: 1800 Ft B > Sz
Számolás: 197 � 9
1773
Válasz: 1773 Ft-ba kerül.
Gy. 120/16. feladat: Szöveges feladatok a szorzás értelmezésére, gyakorlására.
Megoldás: a) Terv: t = 30 � 6
Számolás: t = 180
Válasz: 180 tojás fér.
b) Terv: t = 324 � 6
Becslés: százasra kerekítve: 1800 B < Sz
tízesre kerekítve: 1920 B < Sz
Számolás: 324 � 6
1944
Válasz: 1944 tojás fér.
Gy. 121/17. feladat: Direkt és indirekt szövegezés¶ feladatok, ezért nagyobb gondot
fordítsunk a szöveg értelmezésére. A feladatsorban szerepelnek olyan feladatok is, me-
lyeket az adatok alapján nem tudunk megoldani.
Megoldás: a) Adatok: P = 320, R <
4-szerP, R = ?
Terv: R = P : 4 R = 320 : 4
Számolás: R = 80
Ellen®rzés: 4 � 80 = 320 Válasz: 80 telefonkártyája van Rékának.
b) Adatok: b = 196, vagy m >
hetedeb, m = ?
Terv: m = 7 � 196
Becslés: százasra kerekítve: 1400
tízesre kerekítve: 1400
Számolás: m = 372
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1372 matricája van Csillának.
c) Adatok: D = 212, F <
5-telD, F = ?
Terv: F = D { 5 F = 212 { 5
Számolás: F = 207
Ellen®rzés: 207 + 5 = 212
Válasz: 207 bélyege van Frigyesnek.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
231
d) Adatok: E = 252, t < E, ö = ?
Terv: Nem lehet pontosan meghatározni, mert nem tudjuk, a
többinek mennyi van.
252 < m < 4 � 252
Számolás: 252 < m < 1008
Válasz: 1008-nál kevesebb matricájuk van, de legalább 252.
e) Adatok: hétf® 48 1 hét = 7 nap ? nap
Terv: Nem lehet meghatározni, mert nem tudjuk, hogy a többi
napon mennyi ültetett.
Válasz: Az adatok alapján nem tudunk válaszolni a kérdésre.
f) Adatok: 1 perc legalább 84, legfeljebb 144 5 perc ?
Terv: Nem lehet pontosan meghatározni, csak két érték közé
szorítani.
5 � 84 5 d 5 5 � 144
Számolás: 420 5 d 5 720
Válasz: Legalább 420-at, legfeljebb 720-at dobbanhat Feri szíve.
Gy. 121/18. feladat: A tanulók tervszer¶ próbálgatással keressék meg a megoldást.
Megoldás: a) Ahhoz, hogy egy szorzat a lehet® legnagyobb legyen, a tényez®knek is
a lehet® legnagyobbnak kell lenniük. Két eset merülhet föl:
321 � 4 = 1284 és 421 � 3 = 1263.
b) A legkisebb tényez®k: 234 � 1 = 234.
c) Egy szorzat akkor páros, ha van páros tényez®je.
234 � 1 = 234; 134 � 2 = 268; 124 � 3 = 372; 123 � 4 = 492;
324 � 1 = 324; 143 � 2 = 286; 142 � 3 = 426; 132 � 4 = 528;
342 � 1 = 342; 314 � 2 = 628; 214 � 3 = 642; 213 � 4 = 852;
432 � 1 = 432; 341 � 2 = 682; 412 � 3 = 1236; 231 � 4 = 924;
413 � 2 = 826; 312 � 4 = 1248;
431 � 2 = 862; 321 � 4 = 1284.
d) Egy szorzat akkor páratlan, ha minden tényez®je páratlan.
1 � 243 = 243; 1 � 423 = 423; 3 � 241 = 723; 3 � 421 = 1263.
Gy. 121/19. feladat: A térfogatszámítás el®készítése. A térszemlélet fejlesztése érde-
kében építtethetünk azonos méret¶ színesrudakból különböz® hasábokat. Számoltas-
suk meg, hány rúdból építettek egy-egy hasábot. Számíttassuk ki, hány egységkockából
építhetnék meg ugyanazt a hasábot.
Megoldás: A citromsárga rudakból álló: 5 � 5 � 5 = 125 125 kis kockából építhet® meg.
A sötétkék rudakból álló: 6 � 4 � 9 = 216 216 kis kockából építhet® meg.
A zöld rudakból álló: 5 � 4 � 12 = 240 240 kis kockából építhet® meg.
232 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 122/20. feladat: Figyeljük meg a szorzat változásait.
Megoldás:
a) b)
1 5 8 � 3
4 7 4
1 5 8 � 6
9 4 8
� 2
� 2
1 2 4 � 8
9 9 2
1 2 4 � 4
4 9 6
: 2
: 2
c) d)
1 6 4 � 6
9 8 4
1 6 4 � 2
3 2 8
: 3
: 3
1 0 8 � 3
3 2 4
1 0 8 � 9
9 7 2
� 3
� 3
e) f)
1 2 6 � 3
3 7 8
2 5 2 � 3
7 5 6
� 2
� 2
1 8 6 � 5
9 3 0
9 3 � 5
4 6 5
: 2
: 2
g) h)
4 3 � 7
3 0 1
1 2 9 � 7
9 0 3
� 3
� 3
5 4 � 4
2 1 6
2 1 6 � 4
8 6 4
� 4
� 4
Gy. 122/21. feladat: Figyeljük meg a szorzat változásait.
Megoldás: a) 4 7 � 3
1 4 1 � 2
4 7 � 6
2 8 2
Megoldás: a) 4 7 � 8
3 7 6 : 2
4 7 � 4
1 8 8
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
233
Következtetés egyr®l többre
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés, induktív követ-
keztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem,
kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-
tosság, kooperatív és önálló munkavégzés, egészséges életmód, környezettudatosságra
nevelés.
Óra: 86{87. 95{97. 107{109.
A szorzás értelmezéséhez kapcsolódnak az egyenes arányossági következtetések egy-
r®l többre. A szöveges feladatokban eddig is találkoztak a tanulók ilyen feladatokkal.
Most a következ®kben fejleszthetjük tovább a korábban tanultakat, meg�gyelteket:
Tudatosítjuk a következtetés gondolatmenetét, különös hangsúlyt fektetve az egyenes
arányosság mint függvény fogalmának el®készítésére (táblázatok kitöltése, gra�konok
vizsgálata).
Szembeállítjuk azokat a példákat, amelyek megoldásakor következtethetünk egy adat-
ról többre, és amelyekben nem végezhet® el ez a következtetés (a fogalomalkotáshoz
elengedhetetlen a példák és ellenpéldák sokaságának vizsgálata).
Az adatok kigy¶jtésénél alkalmazzuk azt a sémát, amelyet kés®bb a fels® tagozatban a
matematika-, �zika- és kémiaórákon is használunk.
Folyamatos ismétlés: az írásbeli szorzás gyakorlása, mértékegységek átváltása, gra�ko-
nok készítése, értelmezése.
Az áru mennyisége és ára közti összefüggés vizsgálata kapcsolódik a háztartástan tan-
anyagához, ezért ezt a helyi tanterv és a tanmenet tervezésekor vegyük �gyelembe.
Tk. 127/1. kidolgozott mintapélda: Már eddig is következtettek a tanulók egyr®l többre.
Az így szerzett tapasztalatokat foglaljuk össze.
Tk. 127/2. kidolgozott mintapélda: Már eddig is következtettek a tanulók egyr®l többre.
Az így szerzett tapasztalatokat foglaljuk össze.
Tk. 127/1. feladat: Figyeljük meg, mikor számítható ki az adatokból a keresett érték és
mikor nem. Beszéljük meg a tapasztalatokat.
Megoldás: a) 1 perc alatt 125 m
8 perc alatt a m a = 8 � 125, a = 1000 m
b) A megadott adatokból nem tudunk következtetni a h®mérsékletre.
Tk. 128/2. feladat: Függvények értékkészletének meghatározása.
Megoldás: a) Id® (másodperc) 1 2 5 0 9 7
Út (mm) 217 434 1085 0 1953 1519
234 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: b) Alkatrész (db) 1 3 8 4 10 20
Tömeg (dkg) 98 294 784 392 980 1960
Tk. 128/3. feladat: Gra�kon értelmezése. Adatok leolvasása és táblázatba foglalása. Az
egyenes arányosság el®készítése.
Megoldás:
Id® (perc) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Út (mm) 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600
Tk. 129/4. feladat: Direkt és indirekt szövegezés¶ feladatok, ezért nagyobb gondot for-
dítsunk a szöveg értelmezésére. A feladatsorban szerepelnek olyan feladatok is, melye-
ket az adatok alapján nem tudunk megoldani.
Megoldás: a) Adatok: Nem tudjuk, hogy Karcsi az iskolán kívül ment-e másho-
vá, vagy nem. Ha nem ment, akkor számítható csak ki az
eredmény. Ebben állapodjunk meg.
1 a 416 m
4 a ? m
Terv: x = 4 � 412
Becslés: százasra kerekítve: 1600 m
tízesre kerekítve: 1640 m
Számolás: x = 1664 m
Válasz: 1664 m-t gyalogolt Karcsi.
b) Adatok: A feladatnak több megoldása van.
Ha egy önmagába nem záródó kerítést épít, akkor:
| {z }
225 cm
Terv: x = 225 � 8
Becslés: százasra kerekítve: 1600 cm
tízesre kerekítve: 1840 cm
Számolás: x = 1800 cm
Válasz: 1800 cm = 18 m hosszú a kerítés.
Adatok: Ha egy önmagába záródó kerítést épít, akkor:
Terv: x = 225 � 9
Becslés: százasra kerekítve: 1800 cm
tízesre kerekítve: 2070 cm
Számolás: x = 2025 cm.
Válasz: 2025 cm = 20 m 25 cm hosszú a kerítés.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
235
c) Adatok: 1 lap 205 mm
9 lap ? mm
Terv: x = 9 � 205
Becslés: százasra kerekítve: 1800 mm
tízesre kerekítve: 1890 mm
Számolás: x = 1845 mm
Válasz: 1845 mm = 1 m 8 dm 4 cm 5 mm hosszú az el®szoba.
d) Adatok: Beugrató feladat.
e) Adatok: ö = 248, sz = 8, u = ?
Terv: u = ö { sz u = 248 { 8
Számolás: u = 240
Válasz: 240 utas van a hajón.
f) Adatok:� � � � � � � � � �
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
| {z }
5 � 40 cm
| {z }
4 � 40 cm
| {z }
9 � 40 cm
Terv: a = 5 � 40
Számolás: a = 200 cm
Válasz: 200 cm = 2 m a távolság az 1. és 6. árvácska között.
Terv: b = 4 � 40
Számolás: b = 160 cm
Válasz: 160 cm = 1 m 6 dm a távolság a 6. és 10. árvácska között.
Terv: c = 9 � 40
Számolás: c = 360 cm
Válasz: 360 cm = 3 m 6 dm a távolság az 1. és 10. árvácska között.
g) Adatok: A többi hajszál hosszáról nem tudunk semmit, így nem tud-
juk a hosszukat sem megmondani.
Tk. 129/5. feladat: Következtetések egyr®l többre szöveges feladatokban.
Megoldás: a) Adatok: 1 rák 10 láb
195 rák x láb x = ?
Terv: x = 195 � 10
Becslés: százasra kerekítve: 2000
tízesre kerekítve: 2000
Számolás: x = 1950
Válasz: 1950 lába van 195 ráknak.
236 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) Adatok: 1 sz 478 láb
4 sz x láb x = ?
Terv: x = 4 � 478
Becslés: százasra kerekítve: 2000
tízesre kerekítve: 1920
Számolás: x = 1912
Válasz: 1912 lába van 4 százlábúnak.
c) Adatok: 1 sz 4 láb
190 sz x láb x = ?
Terv: x = 190 � 4
Becslés: százasra kerekítve: 800
tízesre kerekítve: 760
Számolás: x = 760
Válasz: 760 lába van ennek az ezerlábúnak.
d) Adatok: 1 hal 0 láb
978 hal x láb x = ?
Terv: x = 978 � 0
Becslés: százasra kerekítve: 0
tízesre kerekítve: 0
Számolás: x = 0
Válasz: 0 lába van 978 halnak.
e) Adatok: 1 kutya 1 fej
514 kutya x fej x = ?
Terv: x = 514 � 1
Becslés: százasra kerekítve: 500
tízesre kerekítve: 510
Számolás: x = 514
Válasz: 514 feje van 514 kutyának.
f) Adatok: 1 virág 5 sz
243 virág x sz x = ?
Terv: x = 243 � 5
Becslés: százasra kerekítve: 1000
tízesre kerekítve: 1200
Számolás: x = 1215
Válasz: 1215 sziromlevele van 243 almavirágnak.
Tk. 130/3. kidolgozott mintapélda: Példa olyan szöveges feladat megoldására, ahol a
mértékváltást is gyakoroltatjuk. Figyeltessük meg újra a megoldás lépéseit, különösen a
becslést. Folyamatos ismétlésként a közelít® számításokról tanultakat beszéljük meg.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
237
Tk. 130/6. feladat: Következtetések egyr®l többre szöveges feladatokban. Figyeljünk a
mértékváltásokra.
Megoldás: a) Adatok: 1 ruha 1 m 6 dm 2 cm = 162 cm
4 ruha x cm x cm x = ?
Terv: x = 4 � 162
Becslés: százasra kerekítve: 800 cm
tízesre kerekítve: 640 cm
Számolás: x = 648 cm
Válasz: 648 cm anyag kell 4 ruhához.
b) Adatok: 1 masni 3 dm 25 mm = 325 mm
3 masni x mm x = ?
Terv: x = 3 � 325
Becslés: százasra kerekítve: 900 mm
tízesre kerekítve: 990 mm
Számolás: x = 975 mm
Válasz: 975 mm = 9 dm 7 cm 5 mm szalagot kérjen.
c) Adatok: L = 1 dm 1 cm 5 mm = 115 mm L <
5-szörM M =?
Terv: M = 5 � L M = 5 � 115
Becslés: százasra kerekítve: 500 mm
tízesre kerekítve: 600 mm
Számolás: M = 575 mm
Válasz: 575 mm = 5 dm 7 cm 5 mm magas Miklós tornya.
d) Adatok: 1 terít® 3 m 1 dm 1 cm = 311 cm
6 terít® x cm x = ?
Terv: x = 6 � 311
Becslés: százasra kerekítve: 1800 cm
tízesre kerekítve: 1860 cm
Számolás: x = 1866 cm
Válasz: 1866 cm = 18 m 6 dm 6 cm csipke kell 6 terít® beszegésé-
hez.
e) Adatok: 1 gyerek 3 dl
452 gyerek x dl x = ?
Terv: x = 452 � 3
Becslés: százasra kerekítve: 1500 dl
tízesre kerekítve: 1350 dl
Számolás: x = 1356 dl
Válasz: 1356 dl = 135 l 6 dl kakaót készítettek.
238 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
f) Adatok: 1 üveg 2 l 3 dl 1 cl = 231 cl
8 üveg x cl x ?
Terv: x = 8 � 231
Becslés: százasra kerekítve: 1600 cl
tízesre kerekítve: 1840 cl
Számolás: x = 1848 cl
Válasz: 1848 cl = 18 l 4 dl 8 cl víz fér 8 üvegbe.
g) Adatok: 1 kanna 8 l
25 kanna x l x = ?
Terv: x = 25 � 8
Becslés: tízesre kerekítve: 240 l
Számolás: x = 200 l
Válasz: 200 l vizet locsolunk szét egy nap alatt.
h) Adatok: 1 üveg 2 l 3 dl 5 cl = 235 cl
8 üveg x cl x = ?
Terv: x = 8 � 235
Becslés: százasra kerekítve: 1600 cl
tízesre kerekítve: 1920 cl
Számolás: x = 1880 cl
Válasz: 1880 cl = 18 l 8 dl víz fér 8 üvegbe.
Gy. 123/1. feladat: Következtetések egyr®l többre szöveges feladatokban. Figyeljünk a
mértékváltásokra.
Megoldás: a) Adatok: 1 db 8 Ft
209 db x Ft x = ?
Terv: x = 209 � 8
Becslés: százasra kerekítve: 1600 Ft B < Sz
tízesre kerekítve: 1680 Ft B > Sz
Számolás: x = 1672 Ft
Válasz: 1672 Ft-ba kerül 209 golyó.
b) Adatok: 1 db 584 Ft
3 db x Ft x = ?
Terv: x = 3 � 584
Becslés: százasra kerekítve: 1800 Ft B > Sz
tízesre kerekítve: 1740 Ft B < Sz
Számolás: x = 1752 Ft
Válasz: 1752 Ft-ba kerül 3 könyv.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
239
c) Adatok: 1 bögre 2 dl
728 bögre x dl x = ?
Terv: x = 728 � 2
Becslés: százasra kerekítve: 1400 dl B < Sz
tízesre kerekítve: 1460 dl B > Sz
Számolás: x = 1456 dl
Válasz: 1456 dl = 145 l 6 dl kakaót ittak meg a gyerekek.
d) Adatok: 1 db 9 Ft
216 db x Ft x = ?
Terv: x = 216�
Becslés: százasra kerekítve: 1800 Ft B < Sz
tízesre kerekítve: 1980 Ft B > Sz
Számolás: x = 1944 Ft
Válasz: 1944 Ft-ba kerül 216 matrica.
e) Adatok: 1 csomag 5 dkg
384 csomag x dkg x = ?
Terv: x = 384 � 5
Becslés: százasra kerekítve: 2000 dkg B > Sz
tízesre kerekítve: 1900 dkg B < Sz
Számolás: x = 1920 dkg
Válasz: 1920 dkg = 19 kg 20 dkg a tömege az éleszt®nek.
f) Adatok: 1 perc 4 cm
156 perc x cm x = ?
Terv: x = 156 � 4
Becslés: százasra kerekítve: 800 cm B > Sz
tízesre kerekítve: 640 cm B > Sz
Számolás: x = 624 cm
Válasz: 624 cm = 6 m 2 dm 4 cm távolságra jut a csiga.
Gy. 124/2. feladat: Következtetések egyr®l többre szöveges feladatokban. Figyeljünk a
mértékváltásokra.
Megoldás: a) Adatok: 1 db 3 dkg
516 db x dkg x = ?
Terv: x = 516 � 3
Becslés: százasra kerekítve: 1500 dkg
tízesre kerekítve: 1560 dkg
Számolás: x = 1548 dkg
Válasz: 1548 dkg = 15kg 48 dkg a tömege 516 vasgolyónak.
240 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) Adatok: 1 arasz 2 dm
295 arasz x dm x = ?
Terv: x = 295 � 2
Becslés: százasra kerekítve: 600 dm
tízesre kerekítve: 600 dm
Számolás: x = 590 dm
Válasz: 590 dm = 59 m hosszú a zsinór.
c) Adatok: 1 palack 7 dl
268 palack x dl x = ?
Terv: x = 268 � 7
Becslés: százasra kerekítve: 2100 dl
tízesre kerekítve: 1890 dl
Számolás: x = 1876 dl
Válasz: 1876 dl = 187 l 6 dl borral tölthet® meg 268 palack.
d) Adatok: 1 perc 356 cm
4 perc x cm x = ?
Terv: x = 4 � 356
Becslés: százasra kerekítve: 1600 cm
tízesre kerekítve: 1440 cm
Számolás: x = 1424 cm
Válasz: 1424 cm = 14 m 2 dm 4 cm-re jut a vándorhangya 4 perc
alatt.
e) Adatok: 1 perc 6 cm
178 perc x cm x = ?
Terv: x = 178 � 6
Becslés: százasra kerekítve: 1200 cm
tízesre kerekítve: 1080 cm
Számolás: x = 1068 cm
Válasz: 1068 cm = 10 m 6 dm 8 cm-re jut a csiga 178 perc alatt.
f) Adatok: 1 könyv 9 mm
185 könyv x mm x = ?
Terv: x = 185 � 9
Becslés: százasra kerekítve: 1800 mm
tízesre kerekítve: 1710 mm
Számolás: x = 1665 mm
Válasz: 1665 mm = 1 m 6 dm 6 cm 5 mm magas oszlopot kapnak.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
241
g) Adatok: 1 üveg 5 cl
386 üveg x cl x = ?
Terv: x = 386 � 5
Becslés: százasra kerekítve: 2000 cl
tízesre kerekítve: 1950 cl
Számolás: x = 1930 cl
Válasz: 1930 cl = 19 l 3 dl orvosságot öntenek 386 üvegbe.
h) Adatok: 1 gyerek 3 kanál 1 kanál 3 ml
158 gyerek x ml x = ?
Terv: x = 158 � 3 � 3
Becslés: százasra kerekítve: 1800 ml
tízesre kerekítve: 1440 ml
Számolás: x = 1422 ml
Válasz: 1422 ml = 1 l 4 dl 2 cl 2 ml vitaminkészítményt kap 158
gyerek.
Gy. 124/3. feladat: Táblázat kitöltése a szöveg alapján.
Megoldás: a) Id® (másodperc) 1 2 5 0 9 7
Út (mm) 217 434 1085 0 1953 1519
b) Alkatrész (db) 1 3 8 4 10 20
Tömeg (dkg) 98 294 784 392 980 1960
c) Tömeg (kg) 1 6 4 9 5 7
Ár (Ft) 208 1248 832 1872 1040 1456
Óra: 88. 98. 110.
4. tájékozódó felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Írásbeli szorzás alkalmazása összetett feladatokban
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés, induktív követ-
keztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem,
kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-
tosság, kooperatív és önálló munkavégzés, egészséges életmód.
242 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Óra: 89{91. 99{101. 111{114.
Az írásbeli összeadásról, kivonásról, szorzásról; a mérésekr®l; a m¶veletek sorrendjér®l,
a zárójelek használatáról tanultak alkalmazása összetett számfeladatokban és szöveges
feladatokban.
Tk. 131/1. feladat: A m¶veleti sorrend gyakorlása.
Megoldás: a) 176 + 238 � 4| {z }
952
= 1228, 176 + 238| {z }
414
�4 = 1656, 176 � 4| {z }
704
+238 � 4| {z }
952
= 1656
b) 413 { 127 � 3| {z }
381
= 31, 413 { 238| {z }
286
�3 = 858, 413 � 3| {z }
1239
{ 127 � 3| {z }
381
= 858
Tk. 131/2. feladat: Összetett számfeladat a m¶veleti sorrend gyakorlására. A megoldás
során alkalmazzuk a szorzat változásairól tanultakat.
Megoldás: a = 132 d = 306 g = 0
b = 108 e = 152 h = 633
c = 0 f = 622 i = 0
Tk. 132/3. feladat: Egyenl®tlenségek megoldása.
Megoldás: 535 < a < 548 1432 > b > 1426
a : 536 , . . . , 547 b : 1427 , . . . , 1431
465 5 c 5 468 1155 = d = 1154
c : 465 , . . . , 468 d : 1154, 1155
788 5 e 5 789 1000 = f = 1000
e : 788, 789 f : 1000
Tk. 132/4. feladat: Szöveges feladatok, melyekhez több megoldási terv is készíthet®.
Beszéljük meg, mikor melyiket miért célszer¶ alkalmazni.
Megoldás: a) Adatok: a = 396Ft t : 1 db 298 Ft ö = ?
4 db 4 � 298 Ft
Terv: ö = 396 + 4 � 298
Becslés: százasra kerekítve: 1600 Ft
tízesre kerekítve: 1600 Ft
Számolás: ö = 1588 Ft
Válasz: 1588 Ft-ot �zetett összesen Pista.
b) Adatok: v = 1500 Ft, e : 1 kg 146 Ft m = ?
6 kg 6 � 146 Ft
Terv: m = 1500 { 6 � 146
Becslés: százasra kerekítve: 900 Ft
tízesre kerekítve: 600 Ft
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
243
Számolás: m = 624 Ft
Válasz: 624 Ft-ja maradt Jóska nagymamájának.
c) Adatok: 1 láda 38 kg, 1 konténer 4 � 38 kg
4 láda 4 � 38 kg 2 konténer x kg x = ?
Terv: x = 2 � 4 � 38
Becslés: tízesre kerekítve: 320 kg
Számolás: x = 304 kg
Válasz: 304 kg alma fér 2 konténerbe.
d) Adatok: p : 1 kg 275 Ft, b : 1 kg 388 Ft k = ?
4 kg 4 � 275 Ft 4 kg 4 � 388 Ft
Terv: k = 4 � 388 { 4 � 275 k = 1552 { 1100
k = 4 � (388 { 275) k = 4 � 113
Becslés: százasra kerekítve: 400 Ft
tízesre kerekítve: 440 Ft
Számolás: k = 452 Ft
Válasz: 452 Ft-tal került többe 4 kg málna a boltban.
Tk. 132/5. feladat: Szöveg alapján egyenlet írása, a m¶veleti sorrend gyakorlására.
Megoldás: a) a = (276 + 149) � 4 a = 1700
b) b = (276 { 149) � 4 b = 508
c) c = 276 + 149 � 4 c = 872
d) d = 276 � 4 { 149 d = 955
Tk. 132/6. feladat: Egyenl®tlenségre visszavezethet® szöveges feladatok.
Megoldás: a) 3 � 124 < a < 4 � 124 a : 373; 374; . . . ; 494; 495
b) 4 � 105 5 b < 5 � 105 b : 420; 421; . . . ; 523; 524
c) 5 � 102 5 c 5 9 � 102 c : 510; 511; . . . ; 917; 918
d) 3 � 124 < d < 3 � 125 d : 373; 374
Tk. 133/7. feladat: Összetett szöveges feladatok megoldása.
Megoldás: a)
?z }| {
| {z }
1 km 895 m=1895 mJ H
Terv: t = 1895 { 8 � 175 t = 1895 { 1400
Becslés: százasra kerekítve: 300 m
tízesre kerekítve: 460 m
Számolás: t = 495 m
Válasz: 495 m-re van ekkor a célvonaltól Gedeon.
244 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) Adatok:
?z }| {
| {z }
3�162 m
| {z }
3�138 mJ H
Terv: t = 3 � 162 + 3 � 138 t = 468 + 414
Terv: t = 3 � (162 + 138) t = 3 � 300
Becslés: százasra kerekítve: 900 m
tízesre kerekítve: 900 m
Számolás: t = 900 m
Válasz: 900 m-re lesznek egymástól.
c) Adatok:6�158 m
z }| {
| {z }
6�138 m
| {z }
?
K
L
Terv: t = 6 � 158 { 6 � 138 t = 948 { 828
t = 6 � (158 { 138) t = 6 � 20
Becslés: százasra kerekítve: 600 m
tízesre kerekítve: 120 m
Számolás: x = 120 m
Válasz: 120 m-re lesznek egymástól.
d) Adatok:5�147 m
z }| {
| {z }
380 m
| {z }
5�112 m
?z }| {N
M
Terv: t = 380 { (5 � 147 { 5 � 112) = 380 { (735 { 560)
t = 380 { 5 � (147 { 112) t = 380 { 5 � 35
Becslés: tízesre kerekítve: 200 m
Számolás: t = 205 m
Válasz: 205 m-re lesznek egymástól.
Gy. 125/1. feladat: A m¶veleti sorrend gyakorlása.
Megoldás: a) 648
1:
� 3| {z }
1944
2:
{ 1295 = 649;
Becslés: százasra kerekítve: 600 � 3 { 1300 = 500
tízesre kerekítve: 650 � 3 { 1300 = 650
b) 1851
2:
{ 276
1:
� 6| {z }
1656
= 195;
Becslés: százasra kerekítve: 1900 { 300 � 6 = 100
tízesre kerekítve: 1850 { 280 � 6 = 170
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
245
c) (1352
1:
{ 816)| {z }
536
2:
� 3 = 1608;
Becslés: százasra kerekítve: (1400 { 800) � 6 = 1800
tízesre kerekítve: (1350 { 820) � 6 = 1590
d) 243
1:
� 7| {z }
1701
2:
+ 256 = 1957;
Becslés: százasra kerekítve: 200 � 7 + 300 = 1700
tízesre kerekítve: 240 � 7 + 260 = 1940
e) 628
2:
+ 156
1:
� 8| {z }
1248
= 1876;
Becslés: százasra kerekítve: 600 + 200 � 8 = 2200
tízesre kerekítve: 630 + 160 � 8 = 1910
f) (147
1:
+ 96)| {z }
243
2:
� 5 = 1215;
Becslés: százasra kerekítve: (100 + 100) � 5 = 1000
tízesre kerekítve: (150 + 100) � 5 = 1250
g) 8
2:
� (1216
1:
{ 997)| {z }
219
= 1752;
Becslés: százasra kerekítve: 8 � (1200 { 1000) = 1600
tízesre kerekítve: 8 � (1220 { 1000) = 1760
h) 1902
2:
{ 156
1:
� 9| {z }
1404
= 498;
Becslés: százasra kerekítve: 1900 { 200 � 9 = 100
tízesre kerekítve: 1900 { 260 � 9 = 460
I) 228
2:
+ 427
1:
� 4| {z }
1708
= 1936;
Becslés: százasra kerekítve: 200 + 400 � 4 = 1800
tízesre kerekítve: 230 + 430 � 4 = 1950
j) 2
2:
� (376
1:
+ 287)| {z }
663
= 1326.
Becslés: százasra kerekítve: 2 � (400 + 300) = 1400
tízesre kerekítve: 2 � (380 + 290) = 1340
246 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 126/2. feladat: Táblázatok kitöltése. Hasonló feladatokat többször játszanak a tanu-
lók.
Megoldás:
Áru Mennyiség Egységár Érték
Kenyér 4 db 128 Ft 512 Ft
Ki i 25 db 9 Ft 225 Ft
Tej 1 doboz 216 Ft 216 Ft
Joghurt 3 doboz 96 Ft 288 Ft
Keksz 1 doboz 568 Ft 568 Ft
Végösszeg 1809 Ft
Gy. 126/3. feladat: Táblázatok kitöltése. A feladatnak több megoldása lehet. Itt csak egy
megoldást közlünk.
Megoldás:
Áru Mennyiség Egységár Érték
Autó 1 db 348 Ft 348 Ft
Könyv 1 db 628 Ft 628 Ft
Mackó 1 db 416 Ft 416 Ft
Pingpongüt® 1 db 342 Ft 342 Ft
Végösszeg 1734 Ft
Gy. 126/4. feladat: Vásárláshoz kapcsolódó szöveges feladat.
Megoldás: a = 1870 { 1 � 135| {z }
135
a = 1735 Ft 1735 Ft-ja marad.
b = 1870 { 5 � 135| {z }
675
b = 1195 Ft 1195 Ft-ja marad.
c = 1870 { 10 � 135| {z }
1350
c = 520 Ft 520 Ft-ja marad.
Gy. 127/5. feladat: Összetett szöveges feladatok megoldása.
Megoldás: a) Adatok: v = 1248 kg e : 1 zs 62 kg m = ?
4 zs 4 � 62 kg
Terv: m = 1248 { 4 � 62 m = 1248 { 434
Becslés: százasra kerekítve: 500 kg
tízesre kerekítve: 830 kg
Számolás: m = 814 kg
Válasz: 814 kg búza maradt.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
247
b) Adatok: v = 782 l, e : 1 perc 136 l l = ?
6 perc 6 � 136 l
Terv: l = 782 + 6 � 136 l = 782 + 1088
Becslés: százasra kerekítve: 1600 l
tízesre kerekítve: 1900 l
Számolás: l = 1870 l
Válasz: 1870 l víz lett a tartályban.
c) Adatok: v = 1654 l, e : 1 perc 190 l, m = ?
6 perc 6 � 190 l
Terv: m = 1654 { 6 � 190 m = 1654 { 1140
Becslés: százasra kerekítve: 500 l
tízesre kerekítve: 510 l
Számolás: m = 514 l
Válasz: 514 l víz maradt a tartályban.
Gy. 127/6. feladat: Egyenl®tlenségek megoldása.
Megoldás: a) 389 < 126 + a < 392 a : 264, 265
b) 502 > 802 { b > 498 b : 301, 302, 303
c) 1163 5 c { 126 5 1165 c : 1289, 1290, 1291
Gy. 127/7. feladat: Ösztönözzük a tanulókat az összes megoldás megkeresésére.
Megoldás: a) Akkor a legkisebb a szorzat, ha a tényez®i a lehet® legkisebbek.
108 � 3 = 324
b) Akkor a legnagyobb a szorzat, ha a tényez®i a lehet® legnagyobbak.
456 � 4 = 1824
c) Akkor páros a szorzat, ha valamelyik tényez®je páros.
108 � 3 = 324 108 � 4 = 432 247 � 4 = 988
319 � 4 = 1276 456 � 3 = 1368 456 � 4 = 1824
d) Akkor páratlan a szorzat, ha mindegyik tényez®je páratlan.
247 � 3 = 741 319 � 3 = 957
e) Legalább 1000, azaz 1000 vagy annál több lehet a szorzat.
319 � 4 = 1276 456 � 3 = 1368 456 � 4 = 1824
f) Legfeljebb 1000, azaz 1000 vagy annál kevesebb lehet a szorzat.
108 � 3 = 324 108 � 4 = 432 247 � 3 = 741
247 � 4 = 988 319 � 3 = 957
Óra: 92. 102{103. 1115{116.
4. felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
248 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Hosszúságmérés; kilométer
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-
értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-
dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, hon- és népismeret.
Óra: 93{94. 104{105. 117{118.
A mindennapi életb®l már meglév® tapasztalatokra építve vezetjük be a kilométer fo-
galmát. A mértékváltás a számfogalom alakítását is szolgálja (például szemléleti alapot
biztosít az �ezer" fogalmának elmélyítéséhez).
Beszéljük meg a �kilo" görög szó jelentését, és azt is, hogy más mennyiség esetében is
szoktuk ezt a kifejezést használni. (A tanulók már tanulták a kilogramm fogalmát, hall-
hattak a kilowattról stb.)
Folyamatos ismétlésként, a hosszúságméréssel kapcsolatos feladatok feldolgozása so-
rán alkalmazzuk az írásbeli m¶veleteket, illetve a kerek számokkal végzett analóg szá-
mításokat.
Tk. 134/Jegyezd meg!: A mindennapi életb®l már meglév® tapasztalatokra építve ve-
zetjük be a kilométer fogalmát.
Tk. 134/1. kidolgozott mintapélda: A hosszúságadatokkal végzett m¶veletek során
megbeszélhetjük, hogy csak akkor adódnak össze a távolságok (additív tulajdonság),
ha egy egyenes mentén, ugyanabban az irányban mérjük fel azokat. Így a tanuló ta-
pasztalatokat szerezhet a háromszögegyenl®tlenségr®l is. Ismertessük fel azt is, hogy a
távolságok összeadása, kivonása el®tt azonos mértékegységekkel célszer¶ kifejeznünk
az adott mennyiségeket.
Tk. 135/1. feladat: El®készítjük a környezetismeretben is tanult fogalmakat (légvonal-
ban, vasútvonalon, közúton stb.).
Megoldás: 57 + 12 + 26 + 20 + 52 + 16 + 27 = 210
72 + 16 + 49 + 44 + 15 + 16 + 46 + 27 = 285
57 + 30 + 46 + 16 + 46 + 27 = 222
57 + 12 + 74 + 46 + 27 = 216
Térképen: 65 mm Valóságban: 130 km légvonalban
Tk. 135/2. feladat: Egyenes arányossági következtetések. Az analóg számításokat fej-
ben végezzék a tanulók (szükség esetén beszéljük meg a szorzat változásait).
Megoldás: A tanulóktól is megkérdezhetjük, hogyan tehet® pontosabbá a feladat. Ki
kell egészíteni az adatokat: Egy egyenes út mentén állították a villanyosz-
lopokat; vagy a villanyoszlopok mentén haladva mekkora a távolság.
a = 420 m; b = 600 m; c = 1200 m; d = 1800 m.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
249
Ha nem pontosítjuk az adatokat, akkor a helyes válasz az, hogy a felsorolt
adatoknál kisebb is lehet a távolság (ha nem egyenes vonalban rakták le
az oszlopokat).
Tk. 135/3. feladat: Azt kell észrevenniük a tanulóknak, hogy egy beosztás 100 m.
Megoldás: a) 400 m, 750 m, 1150 m;
b) 600 m, 250 m, 150 m;
c) 750 m.
Tk. 135/4. feladat: A biztos mennyiségfogalom kialakulását segít® feladat.
Megoldás: Ház: 12 m
Ceruza 12 cm
Iskolapad 12 dm
Két város 12 km
Gomb 12 mm
Gy. 128/1. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a kilométer és a méter közötti kapcsolat
alkalmazása.
Megoldás: a) 1 km 400 m b) 1470 m
1 km 860 m 1050 m
1 km 80 m 1007 m
0 km 906 m 1909 m
1 km 204 m 1600 m
Gy. 128/2. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a kilométer és a méter közötti kapcsolat
alkalmazása.
Megoldás: a) 220 m b) 500 m
740 m 950 m
930 m 560 m
650 m 1268 m
300 m 1540 m
Gy. 128/3. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a kilométer és a méter közötti kapcsolat
alkalmazása.
Megoldás: a) 2000 m = 2 km 0 m
1600 m = 1 km 600 m
b) 1400 m = 1 km 400 m
1680 m = 1 km 680 m
c) 1555 m = 1 km 555 m
1925 m = 1 km 925 m
250 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
d) 1250 m = 1 km 250 m
200 m = 0 km 200 m
Gy. 128/4. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a kilométer és a méter közötti kapcsolat
alkalmazása.
Megoldás: a) 1 km < 1300 m < 2 km 1300 m � 1 km
b) 1 km < 1500 m < 2 km 1500 m � 2 km
c) 0 km < 625 m < 1 km 625 m � 1 km
d) 1 km < 1840 m < 2 km 1840 m � 2 km
e) 0 km < 499 m < 1 km 499 m � 0 km
�rtartalommérés; hektoliter
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-
értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fel-
adattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.
Óra: 95{96. 106{107. 119{120.
Az ¶rtartalom fogalmának alakítása érdekében végeztessünk minél több mérést, dolgoz-
tassunk föl minél több feladatot a tanult mértékegységek alkalmazásával.
Folyamatos ismétlésként most is alkalmazzuk az írásbeli m¶veleteket, illetve a kerek
számokkal végzett analóg számításokat. Az ¶rtartalmakkal végzett m¶veletek során a
tanuló tapasztalatokat szerezhet az ¶rtartalom (és így a térfogat) additív tulajdonságáról.
Figyeltessük meg, hogy a mennyiségek összeadása, kivonása el®tt azonos mértékegy-
ségekkel célszer¶ kifejezni az adott ¶rtartalmakat.
Az ebben a fejezetben található feladatok közül néhányat a további órákon, folyamatos
ismétlésként oldathatunk meg. A következ® fejezetekben is találunk olyan feladatokat,
amelyek lehet®vé teszik az itt tanultak felelevenítését, gyakorlását.
Tk. 136/Jegyezd meg!: A hektoliter fogalmának kialakításához mutassunk be 1 hektoli-
teres (m¶anyag) hordót, 10 darab tízliteres vödröt (az el®re megtöltött vödrökb®l teletölt-
hetjük a hordót). A tankönyv szemléltetését is modellezhetjük, amellyel a térfogatmérést
készítjük el®.
Beszéljük meg a �hekto" görög szó jelentését, és azt is, hogy más (tanult) mennyiség
esetében nem szoktuk ezt a kifejezést használni (a literrel viszont a �deka" és a �kilo"
kifejezést nem szokás összekapcsolni). Tisztázzuk a �centi" és a �hekto" fogalma közti
különbséget.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
251
Tk. 136/1. kidolgozott mintapélda: �rmértékekhez kapcsolódó szöveges feladat meg-
oldásmenetét mutatja be a feladat.
Tk. 136/1. feladat: Mértékváltások a tanult ¶rtartalom mértékegységeivel.
A hektoliter és a deciliter közti átváltásokat a matematikából nehezebben haladóktól ne
követeljük meg.
Megoldás: a) 50 l b) 20 l c) 10 l d) 25 l
Tk. 137/2. feladat: Mértékváltások a tanult ¶rtartalom mértékegységeivel.
A hektoliter és a deciliter közti átváltásokat a matematikából nehezebben haladóktól ne
követeljük meg.
Megoldás: a) 500 l b) 700 l c) 1000 l d) 1500 l e) 2000 l
Tk. 137/3. feladat: �rtartalomméréssel kapcsolatos egyenes arányossági következteté-
sek.
Megoldás: a) a = 4 � 50 l a = 200 l = 2 hl
b) b = 5 � 125 l b = 625 l = 6 hl 25 l
c) c = 20 � 16 l c = 320 l = 3 hl 20 l
d) d = 300 � 5 dl d = 1500 dl = 1 hl 50 l
e) e = 7 � 50 l e = 350 l = 3 hl 50 l
Tk. 137/4. feladat: Az ¶rtartalom becslése általában nehezebben megy a tanulóknak,
mivel kevesebb a tapasztalatuk. A biztos mennyiségfogalom, illetve az egyes mérték-
egységek fogalmának kialakulása érdekében konkrét mérésekhez kössük a feladatot.
Megoldás: Pohár: 12 cl
Kancsó: 12 dl
Sótartó: 12 ml
Vödör: 12 l
Tartály: 12 hl
Tk. 137/5. feladat: Mértékváltások a tanult ¶rtartalom mértékegységeivel.
Megoldás: a) 2 hl 50 l b) 146 l
15 hl 20 l 315 l
c) 1253 dl d) 1 hl 32 l 5 dl
1325 dl 1 hl 4 l 2 dl
Tk. 137/6. feladat: �rtartalomméréssel kapcsolatos egyenes arányossági következteté-
sek.
Megoldás: ö = 174 � 9| {z }
1566
+135 � 3| {z }
405
ö = 1971 dl = 1 hl 97 l 1 dl
252 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 129/1. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a hektoliter és liter, deciliter közötti kap-
csolat alkalmazása.
Megoldás: a) 3 hl 20 l b) 812 l
4 hl 5 l 509 l
2 hl 92 l 698 l
16 hl 8 l 1050 l
10 hl 10 l 1978 l
c) 1454 dl d) 1 hl 68 l 4 dl
1508 dl 1 hl 25 l 0 dl
1053 dl 1 hl 30 l 8 dl
1045 dl 1 hl 0 l 1 dl
1008 dl 1 hl 1 l 3 dl
Gy. 129/2. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a hektoliter és liter, deciliter közötti kap-
csolat alkalmazása.
Megoldás: a) 52 l b) 50 l
50 l 5 l
195 l 100 l
60 l 150 l
98 l 1340 l
Gy. 129/3. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a hektoliter és liter, deciliter közötti kap-
csolat alkalmazása.
Megoldás: a) 370 l b) 250 l
300 l 180 l
606 l 300 l
1698 l 175 l
1006 l 25 l
Gy. 129/4. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a hektoliter és liter, deciliter közötti kap-
csolat alkalmazása.
Megoldás: a) 1 hl < 148 l < 2 hl 148 l � 1 hl
b) 3 hl < 309 l < 4 hl 309 l � 3 hl
c) 11 hl < 1150 l < 12 hl 1150 l � 12 hl
d) 0 hl < 35 l < 1 hl 35 l � 0 hl
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
253
Tömegmérés; tonna
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-
értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-
dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, környezettudatosságra nevelés.
Óra: 97{98. 108{109. 121{122.
A tömeg fogalmának alakítása érdekében végeztessünk minél több mérést, dolgoztas-
sunk föl minél több feladatot a tanult mértékegységek alkalmazásával. A tonna fogal-
mának kialakítása nehezebb feladat, mert nehéz olyan konkrét tárgyakat bemutatni a
gyerekeknek, amelynek tömegét tonnában mérjük.
Folyamatos ismétlésként most is alkalmazzuk az írásbeli m¶veleteket, illetve a kerek
számokkal végzett analóg számításokat.
Tk. 138/Jegyezd meg!: A tonna fogalmának kialakítása.
Tk. 138/1. kidolgozott mintapélda: A természetismeretb®l vett példákkal próbáljuk
szemléletessé tenni a gyermekek számára a tonna fogalmát. Ha módunkban áll, ak-
kor mérjük meg az osztály tanulóinak tömegét, s azok összegét hasonlítsuk össze az 1
tonnával.
Tk. 139/1. feladat: Szöveges feladatok megoldása, kapcsolódva a tömegmértékegysé-
gekhez.
Megoldás: a) Adatok: b = 485 kg, b <
3-szorzs, zs = ?
Terv: zs = 3 � b zs = 3 � 485
Becslés: százasra kerekítve: 1500 kg
tízesre kerekítve: 1470 kg
Számolás: zs = 1455 kg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1455 kg = 1 t 455 kg a zsiráf tömege.
b) Adatok: zs = 1455 kg, b = 485 kg, k = ?
Terv: k = zs { b k = 1455 { 485
Becslés: százasra kerekítve: 1000 kg
tízesre kerekítve: 950 kg
Számolás: k = 970 kg
Ellen®rzés: 970 + 485 = 1455
Válasz: 970 kg-mal nagyobb a zsiráf tömege.
254 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) Adatok: zs = 1455 kg, 2 t = 2000 kg, k = ?
Terv: k = 2000 { 1455
Becslés: százasra kerekítve: 500 kg
tízesre kerekítve: 540 kg
Számolás: k = 545 kg
Ellen®rzés: 545 + 1455 = 2000
Válasz: 545 kg-mal kevesebb a zsiráf tömege 2 t-nál.
d) Adatok: zs = 1455 kg, b = 485 kg, ö = ?
Terv: ö = zs + b ö = 1455 + 485
Becslés: százasra kerekítve: 2000 kg
tízesre kerekítve: 1950 kg
Számolás: ö = 1940 kg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1940 kg = 1 t 940 kg együtt a zsiráf és a bölény tömege.
Tk. 139/2. feladat: Szöveges feladatok megoldása, kapcsolódva a tömegmértékegysé-
gekhez.
Megoldás: a) Adatok: v = 1 t 260 kg = 1260 kg, e = 355 kg, l = ?
Terv: l = v { e l = 1260 { 355
Becslés: százasra kerekítve: 900 kg
tízesre kerekítve: 900 kg
Számolás: l = 905 kg
Ellen®rzés: 905 + 355 = 1260
Válasz: 905 kg lehet az elefántfóka tömege a szoptatás végére.
b) Adatok: b = 3 kg, b <
125-szöra, a = ?
Terv: a = 125 � b a = 125 � 3
Becslés: százasra kerekítve: 300 kg
tízesre kerekítve: 390 kg
Számolás: a = 375 kg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 375 kg az anyamedve tömege.
Adatok: a = 375 kg, 1 t = 1000 kg, k = ?
Terv: k = 1000 {{ 375
Becslés: százasra kerekítve: 600 kg
tízesre kerekítve: 620 kg
Számolás: a = 625 kg
Ellen®rzés: 625 + 375 = 1000
Válasz: 625 kg-mal kevesebb az anyamedve tömege 1 t-nál.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
255
c) Adatok: b = 345 kg, 1 n 105 kg, ö = ?
8 n 8 � 105
Terv: ö = b + n ö = 345 + 8 � 105
Becslés: százasra kerekítve: 1100 kg
tízesre kerekítve: 1220 kg
Számolás: k = 1185 kg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1185 kg = 1 t 185 kg a tömege az oroszlánfóka-csapatnak.
185 kg-mal több ez az össztömeg 1 t-nál.
d) Adatok: h = 1 t 340 kg = 1340 kg, h >475 kg-mal
n, n = ?
Terv: n = h { 475 n = 1340 { 475
Becslés: százasra kerekítve: 800 kg
tízesre kerekítve: 860 kg
Számolás: n = 865 kg
Ellen®rzés: 865 + 475 = 1340
Válasz: 865 kg a n®stény narvál tömege.
Adatok: n = 865 kg, 1 t = 1000 kg, k = ?
Terv: k = 1000 { 865
Becslés: százasra kerekítve: 100 kg
tízesre kerekítve: 130 kg
Számolás: k = 135 kg
Ellen®rzés: 135 + 865 = 1000
Válasz: 135 kg-mal kevesebb a n®stény narvál tömege 1 t-nál.
Gy. 130/1. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a tonna és kilogramm közötti kapcsolat
alkalmazása.
Megoldás: a) 1 t 600 kg b) 1700 kg
1 t 450 kg 1070 kg
1 t 78 kg 1007 kg
2 t 0 kg 1549 kg
0 t 600 kg 1450 kg
Gy. 130/2. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a tonna és kilogramm közötti kapcsolat
alkalmazása.
Megoldás: a) 400 kg b) 900 kg
1000 kg 900 kg
1960 kg 1520 kg
256 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) 400 kg d) 1500 kg
650 kg 2000 kg
920 kg 1050 kg
Gy. 130/3. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a tonna és kilogramm közötti kapcsolat
alkalmazása.
Megoldás: a) 1800 kg = 1 t 800 kg
1460 kg = 1 t 460 kg
b) 1810 kg = 1 t 810 kg
2000 kg = 2 t 0 kg
c) 1310 kg = 1 t 310 kg
1760 kg = 1 t 760 kg
Gy. 130/4. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a tonna és kilogramm közötti kapcsolat
alkalmazása.
Megoldás: a) 1 t < 1200 kg < 2 t 1200 kg � 1 t
b) 0 t < 580 kg < 1 t 580 kg � 1 t
c) 1 t < 1618 kg < 2 t 1618 kg � 2 t
d) 0 t < 200 kg < 1 t 200 kg � 0 t
e) 1 t < 1500 kg < 2 t 1500 kg � 2 t
Gy. 131/5. feladat: Szöveges feladatok megoldása, kapcsolódva a tömegmértékegysé-
gekhez.
Megoldás: a) Adatok: 1 forduló 8 t
185 forduló x t x = ?
Terv: x = 185 � 8
Becslés: százasra kerekítve: 1600 t
tízesre kerekítve: 1520 t
Számolás: x = 1480 t
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1480 t ércet szállíthat el a teherautó.
b) Adatok: 1 gép 258 kg,
6 gép x kg x = ?
Terv: x = 6 � 258
Becslés: százasra kerekítve: 1800 kg
tízesre kerekítve: 1560 kg
Számolás: x = 1548 kg
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
257
Válasz: 1548 kg = 1 t 548 kg a 6 gép tömege.
1548 kg > 1 t
Nagyobb teherbírású kocsit kell küldenie.
c) Adatok: v = 1 t 64 kg = 1064 kg, e = 650 kg, m = ?
Terv: m = v { e m = 1064 { 650
Becslés: százasra kerekítve: 300 kg
tízesre kerekítve: 410 kg
Számolás: m = 414 kg
Ellen®rzés: 414 + 650 = 1064
Válasz: 414 kg káposzta maradt meg.
d) Adatok: v = 1 t 270 kg = 1270 kg, e : 1 zs 65 kg, m = ?
8 zs 8 � 65
Terv: m = v { e m = 1270 { 8 � 65 m = 1270 { 520
Becslés: százasra kerekítve: 500 kg
tízesre kerekítve: 710 kg
Számolás: m = 750 kg
Ellen®rzés: 750 + 8 � 65 = 1270
Válasz: 750 kg kukorica maradt. Ez 250 kg-mal kevesebb 1 t-nál.
Az id® mérése
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-
értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-
vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-
dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,
pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.
Óra: 99{100. 110{111. 123{124.
Az évezred, évszázad, évtized, év, évszak, hónap, hét, nap, óra, perc, másodperc mér-
tékegységekkel a tanulók gyakran találkoznak a mindennapi életben, itt els®sorban az
összefüggések meger®sítése a cél. Tudatosítsuk, hogy ezekkel a mértékegységekkel az
id®tartamot mérjük. Az �id®méréssel" kapcsolatos másik feladattípus az id®pont megha-
tározása, amely egy adott kezd®ponttól (valamely id®számítás kezdetét®l, január elsejé-
t®l, a hét els® napjától, éjfélt®l, a tanítási óra kezdetét®l stb.) számított id®tartamot adja
meg.
Az id®tartam becslése, összehasonlítása nehezebb, mint a többi mennyiségé, mivel
szubjektív tényez®k jobban befolyásolják az érzékelést. A kellemesen töltött id®tartamot
rövidebbnek érezzük a valóságosnál, a kellemetlenül töltöttet hosszabbnak.
258 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
A napok átváltása órákra, órák átváltása percekre stb. több id®t vesz igénybe, mivel a
váltószám nem 10 hatványa.
Folyamatos ismétlés az írásbeli szorzás alkalmazása a számításokban.
Az ebben a fejezetben található feladatok közül jó néhányat a további órákon, folyamatos
ismétlésként oldathatunk meg. A következ® fejezetekben is találunk sok olyan feladatot,
amelyek lehet®vé teszik az itt tanultak felelevenítését, gyakorlását, elmélyítését.
A tananyag feldolgozását hangoljuk össze a természetismeret és az életvitel tantárgy
tananyagával, követelményeivel.
Tk. 140/Jegyezd meg!: Felelevenítjük az id®mérésr®l tanultakat, új fogalomként a má-
sodpercet vezetjük be. A tanulók legyenek képesek használni az id®mérés mindennapi
eszközeit, az órát és a naptárt.
Tk. 141/1. feladat: Az óra használata, id®pontok leolvasása. Beszéljük meg az id®pontok
meghatározásakor használatos különböz® kifejezéseket.
Megoldás: a) 12 óra, b) 4 óra, c) 5 óra 15 perc
24 óra 16 óra Negyed 6
d) 6 óra 10 perc e) 8 óra 30 perc f) 11 óra 45 perc
18 óra 10 perc Fél 9 Háromnegyed 12
Tk. 141/2. feladat: Az óra használata, id®pontok leolvasása. Beszéljük meg az id®pontok
meghatározásakor használatos különböz® kifejezéseket.
Megoldás: a) 1 óra 45 perc Háromnegyed 2
b) 4 óra 30 perc Fél 5
c) 8 óra 12 perc Negyed 9 lesz 3 perc múlva
d) 10 óra 58 perc 2 perc múlva 11
e) 5 óra 12 perc Negyed 6 lesz 3 perc múlva
f) 11 óra 4 perc 11 óra múlt 4 perccel
Tk. 141/3. feladat: Id®tartam-mértékegységek (óra{perc) kapcsolata, mértékváltások
gyakorlása.
Megoldás: a) 7 � 60 = 420 perc b) 10 � 60 = 600 perc
c) 4 � 60 + 45 = 285 perc d) 5 � 60 + 6 = 306 perc
Tk. 141/4. feladat: Id®tartam-mértékegységek (óra{perc) kapcsolata, mértékváltások
gyakorlása.
Megoldás: a) 1 óra 8 perc b) 1 óra 15 perc
c) 2 óra 15 perc d) 5 óra 1 perc
Tk. 141/5. feladat: Id®tartam-mértékegységek (perc{másodperc) kapcsolata, mértékvál-
tások gyakorlása.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
259
Megoldás: a) 3 � 60 = 180 másodperc
b) 8 � 60 = 480 másodperc
c) 20 � 60 + 42 = 1242 másodperc
Tk. 141/6. feladat: Id®tartam-mértékegységek (perc{másodperc) kapcsolata, mértékvál-
tások gyakorlása.
Megoldás: a) 2 perc 1 másodperc
b) 4 perc 10 másodperc
c) 6 perc 12 másodperc
Tk. 141/7. feladat: Következtetés egyr®l többre, mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) Adatok: 1 másodperc 6 m
3 perc 15 másodperc = 195 másodperc x m x = ?
Terv: x = 195 � 6
Becslés: százasra kerekítve: 1200 m
tízesre kerekítve: 1200 m
Számolás: x = 1170 m
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1170 m = 1 km 170 m-t tesz meg Albert.
b) Adatok: 1 tojás 3 perc 10 tojás ? perc
Válasz: Ha egyszerre tesszük fel, akkor 10 tojás is 3 perc alatt f®
meg.
c) Adatok: 1 lány 15 perc 3 lány ? perc
Válasz: 15 perc alatt érnek oda, ha ugyanolyan sebességgel ha-
ladnak.
Gy. 132/1. feladat: A tanulók mindennapi életéhez kapcsolódó id®tartamok meg�gyelé-
se, mérése, mértékegységek alkalmazása. A kérdésekre a tanuló a saját adataival vála-
szoljon, s beszéljük meg ezeket.
Megoldás: d) 6 hónap egy fél év.
f) 45 perc egy tanítási óra.
Gy. 132/2. feladat: Órákra a nagymutatót kell berajzolni.
Megoldás: a) 3 óra, b) 5 óra, c) 6 óra, d) 7 óra,
260 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
e) 9 óra, f) 10 óra, g) 12 óra, h) 14 óra!
Gy. 132/3. feladat: Órákra a nagymutatót kell berajzolni.
Megoldás: a) 3 óra 35 perc, b) háromnegyed 2, c) fél 3 múlt 5 perccel!
Gy. 133/4. feladat: Id®tartam-mértékegységek (óra{perc, illetve percmásodperc) kap-
csolata, mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) 75 perc b) 2 óra 15 perc
225 perc 4 óra 4 perc
127 perc 7 óra 0 perc
659 perc 12 óra 5 perc
c) 345 másodperc
615 másodperc
428 másodperc
1824 másodperc
d) 1 perc 1 perc 15 másodperc
2 perc 2 perc 30 másodperc
4 perc 4 perc 55 másodperc
5 perc 5 perc 27 másodperc
Gy. 133/5. feladat: Id®tartamok (óra-perc) meghatározása.
Megoldás: Ett®l eddig eltelt
a) 7 óra 45 perc 12 óra 15 perc 4 óra 30 perc
15 óra 30 perc 17 óra 50 perc 2 óra 20 perc
7 óra 40 perc 15 óra 10 perc 7 óra 30 perc
b) 6 óra 45 perc 9 óra 20 perc 2 óra 35 perc
10 óra 25 perc 15 óra 5 perc 4 óra 40 perc
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
261
c) 2 óra 5 perc 3 óra 20 perc 1 óra 15 perc
9 óra 40 perc 13 óra 50 perc 4 óra 10 perc
Gy. 133/6. feladat: Id®tartamok (perc-másodperc) meghatározása.
Megoldás: Ett®l eddig eltelt
5 perc 0 másodperc
4 perc 45 másodperc
4 perc 10 másodperc
20 perc 6 másodperc
Gy. 134/7. feladat: Id®tartamok (hónap-nap) meghatározása.
Megoldás: a) 29 + 31 + 30 + 1 = 91 nap
b) 30 + 30 + 31 + 30 + 1 = 122 nap
c) 30 + 28 + 31 + 30 + 1 = 120 nap vagy
30 + 29 + 31 + 30 + 1 = 121 nap
d) 29 + 31 + 30 + 31 + 31 + 1 = 153 nap
e) 29 + 31 + 31 + 28 + 31 + 1 = 151 nap vagy
29 + 31 + 31 + 29 + 31 + 1 = 152 nap
Gy. 134/8. feladat: Id®tartamok (hónap-nap) meghatározása.
Megoldás: Ett®l a naptól eddig a napig eltelt
1996. március 1. 1996. június 1. 92 nap,
1992. január 15. 1992. március 15. 60 nap,
1993. június 20. 1994. január 15. 209 nap,
1991. szeptember 1. 1996. szeptember 1. 1827 nap.
Gy. 134/9. feladat: A hét napjaival kapcsolatos számításokban a 7-es maradékosztályo-
kat vesszük �gyelembe:
Megoldás: a) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 1-et ad maradékul. Például:
áprilisban a napok sorszámát kell 7-tel osztani;
májusban a napok sorszámához hozzá kell adni 30-at, az áprilisi napok
számát, és az így kapott számot kell 7-tel osztani.
Szerda: IV. 8.; IV. 15.; IV. 22.; IV. 29.; V. 6.; V. 13.
b) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 0-t ad maradékul.
Kedd: IV. 7.; IV. 14.; IV. 21.; IV. 28.; V. 5.; V. 12.
c) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 2-t ad maradékul.
Csütörtök: IV. 2.; IV. 9.; IV. 16.; IV. 23.; IV. 30.; V. 7.
d) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 5-öt ad maradékul.
Vasárnap: IV. 5.; IV. 12.; IV. 19.; IV. 26.; V. 3.; V. 10.
262 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 134/10. feladat: A hét napjaival kapcsolatos számításokban a 7-es maradékosztá-
lyokat vesszük �gyelembe.
Megoldás: Dátum IV. 15. IV. 27 V.1. V.15. VI. 10 VI. 15
Napok száma 14 26 30 44 70 75
A hét napjai szerda hétf® péntek péntek szerda hétf®
14 : 7 26 : 7 30 : 7 44 : 7 70 : 7 75 : 72 5 2 2 0 5
Gy. 135/11. feladat: A hét napjaival kapcsolatos számításokban a 7-es maradékosztá-
lyokat vesszük �gyelembe:
Megoldás: a) 90 nap b) 6 hét 6 nap
365 nap 21 hét 1 nap
320 nap 28 hét 4 nap
Gy. 135/12. feladat: Táblázat kitöltése szöveg alapján.
Gy. 135/13. feladat: Táblázat kitöltése szöveg alapján.
Megoldás: Id® (másodperc) 10 30 120 150 240
�rtartalom (dl) 30 90 360 450 720
�rtartalom (l) 3 9 36 45 72
Gy. 135/13. feladat: Táblázat kitöltése szöveg alapján.
Megoldás: Menetid® Menetid® Megtett út
perc másodperc másodperc
1 15 75 375 m
2 8 128 640 m
3 25 205 1025 m
4 58 298 1490 m
6 40 400 2000 m
Gy. 135/14. feladat: Id®tartamok meghatározása, mértékegységek (év{hónap{hét{nap)
kapcsolata, mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: 52 hét 1 (2) nappal rövidebb 1 évnél (1 szök®évnél).
a) A következ® évben január 1-je péntek,
b) két év múlva január 1-je szombat vagy vasárnap,
c) öt év múlva január 1-je szerda.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
263
Gy. 135/15. feladat: Mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) 60 � 9 = 540 540 cl = 5 l 4 dl 0 cl
b) 140 � 9 = 1260 1260 cl = 12 l 6 dl
c) 210 � 9 = 1890 1890 cl = 18 l 9 dl
Osztó, többszörös
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, probléma-
érzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képes-
ség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és
önálló
Óra: 101{103. 112{114. 125{127.
Az ebben a fejezetben feldolgozott ismeretek a tanterv szerint csak 6. osztályban válnak
követelménnyé. Ezért lehet®ségünk van arra, hogy a feldolgozás alaposságát és szín-
vonalát a tanulók képességeihez és a helyi tanterv ajánlásaihoz igazítsuk. Alapvet® cél,
hogy ezekkel a matematikában fontos szerepet játszó fogalmakkal játékos feladatokban
megismerkedjenek a tanulók. Eközben fejl®djék a számfogalmuk, logikus gondolkodá-
suk, rendszerez® és problémamegoldó képességük. Az oszthatósági vizsgálatok fejlesz-
tik az írásbeli osztás végrehajtásához nélkülözhetetlen szóbeli számolási képességeket
is.
A fejezet anyagának feldolgozásával párhuzamosan minden órán oldassunk meg összeg
osztásával kapcsolatos feladatokat, hogy minél szilárdabb alapokra építhessünk az írás-
beli osztás tanításakor.
Tk. 142/1. kidolgozott mintapélda:: Tisztázzuk, hogy az �osztója" és az �osztható" ki-
fejezések mást jelentenek. Például: A 6 osztói: 1; 2; 3; 6. A 6-tal osztható számok, a
6 többszörösei: 0; 6; 12; 18.
Beszéljük meg az"osztója", �többszöröse" kifejezések jelentését.
Tk. 143/1. feladat: Adott számok osztóinak megkeresése a szorzótábla közvetlen alkal-
mazásával.
Többféle szemléltetés egy szám összes osztójának megkeresésére. A �többszöröse" és
az �osztója" fogalmak közti kapcsolat tudatosítása a szorzás és az osztás közötti kap-
csolatról tanultak alkalmazásával (valamint a terület fogalmának el®készítése).
Megoldás: Mekegi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sorba ültetheti a káposztáit.
a) 24 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 1, 24
b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 többszöröse a 24.
264 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 143/2. feladat: Adott számok osztóinak megkeresése a szorzótábla közvetlen alkal-
mazásával.
Többféle szemléltetés egy szám összes osztójának megkeresésére. A �többszöröse" és
az �osztója" fogalmak közti kapcsolat tudatosítása a szorzás és az osztás közötti kap-
csolatról tanultak alkalmazásával (valamint a terület fogalmának el®készítése).
Megoldás: 36 osztói 3, 9, 1, 36, 12, 4, 6, 18, 2
Nem osztói 36-nak 8, 11, 5, 10, 53, 72, 0
Tk. 143/3. feladat: Kombinatorikai feladat kétjegy¶ számok oszthatóságának vizsgála-
tára. A feladat megoldására egyik lehetséges stratégia, ha felírjuk az összes esetet, és
ezekb®l válogatjuk ki az adott feltételnek megfelel®ket.
Összesen 5 � 5 = 25 eset van.
A 2-vel (és az 5-tel) osztható számok képzését kezdhetjük az egyesekkel. Például:
Az egyesek helyére kerülhet a 0, a 2 és a 4.
A tízesek helyére 5-féleképpen rakhatok le kártyát,
3 � 5 = 15 eset van.
Ebb®l el kell hagyni a két 0-val kezd®d® számsort (02, 04).
Megoldás: a) 10; 12; 14; 20; 24; 30; 32; 34; 40; 42; 50; 52; 54.
b) 12; 15; 21; 24; 30; 42; 45; 51; 54.
c) 12; 20; 24; 32; 40; 52.
d) 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50.
e) 14; 21; 35; 42.
Tk. 143/4. feladat: Számok csoportosítása egy, illetve több szempont szerint, a logi-
kai m¶veleteket jelent® kifejezések használata számok tulajdonságainak vizsgálatában.
Állítások igazságának eldöntése.
Figyeljük meg, mennyire értik és használják a tanulók az �és", �de", �is . is", �sem, .sem",
�minden", �van olyan", �van olyan ., amely nem", �egyik . sem", �csak a ." kifejezése-
ket. Ezeknek a kifejezéseknek a következetes használatával érhetjük el, hogy 4. osztály
végére a tanulók többsége értse és alkalmazni is tudja ezeket a kifejezéseket.
Tasziló állításait kell javítani, s ezek megbeszélésével elmélyíthetjük ezeknek a kifejezé-
seknek a jelentését.
Megoldás: a) igaz, b) igaz, c) hamis, d) hamis,
e) igaz, f) igaz, g) hamis.
Tk. 143/5. feladat: Beszéljük meg, azokat az értékeket keressük, amelyek 2-nek, illetve
5-nek, 10-nek, 100-nak többszörösei.
Megoldás: 2 -osra: 80 Ft, 114 Ft, 150 Ft, 700 Ft, 704 Ft;
5 -osra: 75 Ft, 80 Ft, 150 Ft, 700 Ft, 715 Ft;
10 -osra: 80 Ft, 150 Ft, 700 Ft;
100 -osra: 700 Ft
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
265
Tk. 143/6. feladat: A 2 többszöröseir®l már sok tapasztalatot gy¶jtöttek a tanulók. Ezek
felhasználásával oldassuk meg a feladatokat.
Ebben az id®szakban még csak tapasztalatgy¶jtés az oktatási feladat, nem követeljük
meg az oszthatósági szabályok megfogalmazását. Ennek ellenére a tanulók (a legne-
hezebben haladók kivételével) az eddig feldolgozott feladatok alapján már eljuthatnak a
következ®k felismeréséhez:
A 2 többszörösei (a 2-vel osztható számok) pontosan a páros számok, ezek utolsó szám-
jegye páros szám.
Megoldás: a) 0; 2; 4; 6; 8.
b) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
c) 0; 2; 4; 6; 8.
d) Nincs megoldás.
e) 0; 2; 4; 6; 8.
Tk. 143/7. feladat: Az 5 többszöröseir®l már sok tapasztalatot gy¶jtöttek a tanulók. Ezek
felhasználásával oldassuk meg a feladatokat.
Ebben az id®szakban még csak tapasztalatgy¶jtés az oktatási feladat, nem követeljük
meg az oszthatósági szabályok megfogalmazását. Ennek ellenére a tanulók (a legne-
hezebben haladók kivételével) az eddig feldolgozott feladatok alapján már eljuthatnak a
következ®k felismeréséhez:
Az 5 többszörösei (az 5-tel osztható számok) a 0-ra vagy 5-re végz®d® számok.
Megoldás: a) 0; 5.
b) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
c) 0; 5.
d) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
e) 0; 5.
Tk. 143/8. feladat: A 10, 100 többszöröseir®l már sok tapasztalatot gy¶jtöttek a tanulók.
Ezek felhasználásával oldassuk meg a feladatokat.
Ebben az id®szakban még csak tapasztalatgy¶jtés az oktatási feladat, nem követeljük
meg az oszthatósági szabályok megfogalmazását. Ennek ellenére a tanulók (a legne-
hezebben haladók kivételével) az eddig feldolgozott feladatok alapján már eljuthatnak a
következ®k felismeréséhez:
A 10 többszörösei (a 10-zel osztható számok) pontosan a kerek tízesek, ezek utolsó
számjegye 0.
A 100 többszörösei (a 100-zal osztható számok) pontosan a kerek százasok, ezek utolsó
két számjegye 0.
Megoldás: a) 0.
b) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
c) 0.
d) Nincs megoldás.
e) 0.
266 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 143/9. feladat: Adott tulajdonságú számok keresése.
Megoldás: a) Ha egy szám 8-nak többszöröse, akkor 4-nek is többszöröse. Tehát 20-
nál nagyobb, 30-nál kisebb, 8-cal osztható számot keresünk.
(20 < a < 30 és 8 j a) a = 24
b) Ha egy szám 9 többszöröse, akkor 3-nak is többszöröse. Tehát 30-nál
kisebb, 9-cel osztható számokat keresünk.
(b < 30 és 9 j b) b : 0, 9, 18, 27
c) Ha egy szám 2-nek és 5-nek is többszöröse, akkor 10-nek is többszö-
röse. Tehát 80-nál nagyobb, 100-nál kisebb, 10-zel osztható számot ke-
resünk.(80 < c < 100 és 10 j c) c = 90
Tk. 143/10. feladat: Az oszthatóságról szerzett tapasztalatokat alkalmazzuk szöveges
feladatokban.
Megoldás: a) 50 Ft < P < 100 Ft
2 és 5 közös többszörösét, vagyis 10 többszörösét keressük.
P : 60 Ft, 70 Ft, 80 Ft, 90 Ft
60 Ft, 70 Ft, 8 Ft, 90 Ft lehet Norbi pénze.
b) T < 30
2-nek, 3-nak, 4-nek a közös többszörösét keressük.
T : 0, 12, 24
0, 12, 24 gyerek lehet az osztályban.
c) 100 > t
6 és 10 közös többszöröseit keressük.
t : 30, 60, 90
30, 60, vagy 90 tojást szeretne tartókba tenni Juliska néni.
Tk. 143/11. feladat: Ismét beszéljük meg az �osztó", �többszörös kifejezések jelentését.
Megoldás: 3 többszörösei: 0, 9, 60, 69, 1500, 1569
Gy. 136/1. feladat: Az oszthatóságról szerzett tapasztalatokat alkalmazása.
Megoldás: a) A 4 többszörösei:
0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60.
b) Az 5-nek többszörösei:
0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60.
c) A kék vonallal és a zöld pöttyel is megjelölt számok:
0; 20; 40; 60.
d) Csak kék vonallal megjelölt számok:
4; 8; 12; 16; 24; 28; 32; 36; 44; 48; 52; 56.
e) Csak zöld pöttyel megjelölt számok:
5; 10; 15; 25; 30; 35; 45; 50; 55.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
267
Gy. 136/2. feladat: Az oszthatóságról szerzett tapasztalatokat alkalmazása.
Megoldás: a) Igaz. b) Igaz. c) Hamis. d) Igaz.
e) Hamis. f) Hamis. g) Igaz. h) Igaz.
i) Hamis. j) Igaz. k) Igaz.
Gy. 137/3. feladat: Az oszthatóságról szerzett tapasztalatok alkalmazása a terület fogal-
mához kapcsolva.
Megoldás:
Gy. 137/4. feladat: Egy szempont szerinti válogatás, vizsgálódás a 8-cal, 9-cel osztható,
illetve nem osztható számok körében.
Megoldás: 8-cal osztható: 0, 8, 16, 40, 72, 80, 96
8-cal nem osztható: 5, 9, 12, 17, 27, 44, 45, 81, 90
9-cel osztható: 0, 9, 27, 45, 72, 81, 90
9-cel nem osztható: 5, 8, 12, 16, 17, 40, 44, 80, 96
Gy. 137/5. feladat: Tapasztalatszerzés a maradékos osztásra, a maradékosztályok vizs-
gálata. (A �maradékosztály" kifejezést ne használjuk a gyerekek el®tt, hiszen az �osztály"
fogalmát nem értelmezzük.)
Figyeltessük meg, hogy egy adott osztó esetén ugyanannyiféle maradék lehetséges,
mint amennyi az osztó.
Ha az osztó n a maradék lehet n { 1, n { 2, . . . 2, 1, és 0 ez pontosan n
Fontos, hogy a gyermekek megtapasztalják, az osztályozás tulajdonságait.
Minden szám pontosan egyféle maradékot ad;
Minden szám beletartozik valamelyik maradékosztályba.
Megoldás: A hárommal való osztás maradékait vizsgáljuk.
Szabály: Az a : 3 osztás maradéka b.
a 0 1 2 3 4 5 9 13 17 18 20 24
b 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 2 0
Gy. 136/6. feladat: Tapasztalatszerzés a 2-vel való maradékos osztásra, a maradékosz-
tályok vizsgálata.
Megoldás: a) 32 : 2 = 16 Igen. 16 db 2 és 0 db 1
0
268 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) 29 : 2 = 14 Nem. 14 db 2 és 1 db 1
1
c) 30 : 2 = 15 Igen. 15 db 2 és 0 db 1
0
Gy. 138/7. feladat: Tapasztalatszerzés az 5-tel való maradékos osztásra, a maradékosz-
tályok vizsgálata.
Megoldás: a) 43 : 5 = 8 Nem. 8 db 5 és 3 db 1
3
b) 45 : 5 = 9 Igen. 9 db 5 és 0 db 1
0
c) 40 : 5 = 8 Igen. 8 db 5 és 0 db 1
0
Gy. 138/8. feladat: Tapasztalatszerzés az 5-tel való maradékos osztásra, a maradékosz-
tályok vizsgálata.
Megoldás: Kék: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61;
Zöld: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57;
Fekete: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58;
Barna: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59;
Piros: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60.
A pirossal jelölt számok 5-tel osztva 0 maradékot adnak, vagyis 5
többszörösei.
Gy. 138/9. feladat: Tapasztalatszerzés az 5-tel való maradékos osztásra, a maradék-
osztályok vizsgálata. El®ször írják be a megfelel® számokat a táblázatba a tanulók.
Megoldás:
5-tel osztva a maradék0 1 2 3 4
0; 5;
10; 15;
20
1; 6;
11;
16
2; 7;
12;
17
3; 8;
13;
18
4; 9;
14;
19
0 5 10 15 20
5
� � � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
Gy. 139/10. feladat: Tapasztalatszerzés a 10-zel való maradékos osztásra, a maradék-
osztályok vizsgálata.
Megoldás: a) 46 : 10 = 4 Nem. 4 db 10 és 6 db 1
6
b) 50 : 10 = 5 Igen. 5 db 10 és 0 db 1
0
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
269
Gy. 139/11. feladat: Az oszthatóságról szerzett tapasztalatokat alkalmazása.
Megoldás: a) Igaz. b) Hamis. c) Igaz.
d) Igaz. e) Hamis. f) Igaz.
Gy. 139/12. feladat: Tapasztalatszerzés a 6-tal való maradékos osztásra, a maradék-
osztályok vizsgálata. El®ször írják be a megfelel® számokat a táblázatba a tanulók.
Megoldás:
6-tal osztva a maradék0 1 2 3 4 5
0; 6;
12;
18
1; 7;
13;
19
2; 8;
14;
20
3;
9;
15
4;
10;
16
5;
11;
17
0 5 10 15 20
5
� � � �
� � � �
� � � �
� � �
� � �
� � �
Az osztás tulajdonságai
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-
vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, probléma-
érzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képes-
ség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavég-
zés.
Óra: 104{105. 115{116. 128{129.
Az osztás tulajdonságairól, a szorzás és az osztás közti kapcsolatról tanultakat rendsze-
rezzük a �téglalapmodell" segítségével. Vetessük észre, hogy az osztásnak két �fordított
m¶velete" van:
az osztó és a hányados ismeretében szorzással kapjuk meg az ismeretlen osztan-
dót;
az osztandó és a hányados ismeretében osztással kapjuk meg az ismeretlen osztót.
Figyeltessük meg a hányados változásait az osztó, illetve az osztandó változásainak
függvényében. Ezzel el®készítjük az analóg számításokat, az összeg osztását, végül az
írásbeli osztás algoritmusának tudatos elsajátítását.
Tk. 145/1. kidolgozott mintapélda: Az osztás tulajdonságairól, a szorzás és az osz-
tás közti kapcsolatról tanultakat rendszerezzük a �téglalapmodell" segítségével. Vetessük
észre, hogy az osztásnak két �fordított m¶velete" van:
az osztó és a hányados ismeretében szorzással kapjuk meg az ismeretlen osztan-
dót;
az osztandó és a hányados ismeretében osztással kapjuk meg az ismeretlen osztót.
270 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 145/1. feladat: Az osztás tulajdonságairól, a szorzás és az osztás közti kapcsolatról
tanultakat rendszerezzük a �téglalapmodell" segítségével.
Megoldás: 5 � 30 = 150 10 � 30 = 300 20 � 30 = 600
30 � 5 = 150 30 � 10 = 300 30 � 20 = 600
150 : 5 = 30 300 : 10 = 30 600 : 20 = 30
150 : 30 = 5 300 : 30 = 10 600 : 30 = 20
Tk. 146/2. kidolgozott mintapélda: Az osztás tulajdonságairól, a szorzás és az osztás
közti kapcsolatról tanultakat rendszerezzük.
Tk. 146/2. feladat: Az osztás tulajdonságairól, a szorzás és az osztás közti kapcsolatról
tanultakat rendszerezzük.
Megoldás: a) 8 � 5 = 40 b) 20 � 2 = 40
5 � 8 = 40 2 � 20 = 40
40 : 5 = 8 40 : 2 = 20
40 : 8 = 5 40 : 20 = 2
c) 8 � 50 = 400 d) 20 � 20 = 400
50 � 8 = 400 400 � 20 = 20
400 : 8 = 50
400 : 50 = 8
e) 24 � 50 = 1200 f) 10 � 200 = 2000
50 � 24 = 1200 200 : 10 = 2000
1200 : 50 = 24 2000 � 10 = 200
1200 : 24 = 50 2000 � 200 = 10
g) 4 : 500 = 2000
500 : 4 = 2000
2000 � 4 = 500
2000 : 500 = 4
Tk. 147/3. feladat: Az analóg számítások kapcsán szerzett tapasztalatok alkalmazása
szöveges feladatok megoldása során. A feladatok feldolgozásakor a tanulók tapasztala-
tot szereznek az osztás különböz® értelmezéseivel kapcsolatosan:
Az osztás mint a szorzás inverz m¶velete.
Az osztás mint az osztás inverz m¶velete.
Az osztás mint bennfoglalás.
Az osztás mint részekre osztás.
Megoldás: a) Adatok: 6 zsák 120 kg,
1 zsák x kg x = ?
Terv: x = 120 : 6
Számolás: x = 20
Ellen®rzés: 6 � 20 = 120
Válasz: 20 kg gesztenye volt egy zsákban.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
271
b) Adatok: 5 unoka 1500 Ft,
1 unoka x Ft x = ?
Terv: x = 1500 : 5
Számolás: x = 300
Ellen®rzés: 5 � 300 = 1500
Válasz: 300 Ft-ot kapott egy unoka.
c) Adatok: x db 5 450 Ft x = ?
Terv: x = 450 : 5
Számolás: x = 90
Ellen®rzés: 90 � 5 = 450
Válasz: 90 db 5 -ost tett a perselyébe.
d) Adatok: 1 tégla 6 kg,
x tégla 1800 kg x = ?
Terv: x = 1800 : 6
Számolás: x = 300
Ellen®rzés: 300 � 6 = 1800
Válasz: 300 db téglát pakoltak fel.
e) Adatok: 400 Ft x 50 x = ?
Terv: x = 400 : 50
Számolás: x = 8
Ellen®rzés: 8 � 50 = 400
Válasz: 8 db 50 -sa lett.
f) Adatok: 1 láda 30 kg
x láda 1800 kg
Terv: x = 1800 : 30
Számolás: x = 60
Ellen®rzés: 60 � 30 = 1800
Válasz: 60 ládára volt szükség.
g) Adatok: 600 db 1 kg 20 dkg = 120 dkg = 1200 g
1 db x g x = ?
Terv: x = 1200 : 600
Számolás: x = 2 g
Ellen®rzés: 600 � 2 = 1200
Válasz: 2 g egy csavar tömege.
Tk. 147/4. feladat: Az írásbeli osztás el®készítése az összeg osztásáról korábban meg-
�gyeltek felelevenítésével, tudatosításával, kiterjesztésével a 2000-es számkörre.
272 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 840 : 4 = 210 210 Ft kerül egy részbe.
b) 462 : 2 = 231 231 Ft kerül egy részbe.
c) 600 : 5 = 120 120 Ft kerül egy részbe.
d) 1269 : 3 = 423 423 Ft kerül egy részbe.
Tk. 147/3. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg, az osztás úgy is elvégezhet®,
hogy az osztandót összegalakban felírjuk, az osztást tagonként végezzük el, majd a
hányadosokat összegezzük. Mindig beszéljük meg az osztandó, osztó és a hányados
változásait.
Gy. 140/1. feladat: Analóg számítások az osztás gyakorlására, a hányados változásairól
tanultak alkalmazásával.
Megoldás: a) 12 : 3 = 4 120 : 3 = 4 0 1200 : 3 = 4 0 0
b) 16 : 8 = 2 160 : 8 = 2 0 1600 : 8 = 2 0 0
c) 12 : 2 = 6 120 : 2 = 6 0 1200 : 2 = 6 0 0
d) 15 : 5 = 3 150 : 5 = 3 0 1500 : 5 = 3 0 0
e) 20 : 4 = 5 200 : 4 = 5 0 2000 : 4 = 5 0 0
f) 10 : 2 = 5 100 : 2 = 5 0 1000 : 2 = 5 0 0
Gy. 140/2. feladat: Analóg számítások az osztás gyakorlására, a hányados változásairól
tanultak alkalmazásával.
Megoldás: a) 24 : 4 = 6 35 : 7 = 5 48 : 6 = 8
240 : 4 = 6 0 350 : 7 = 5 0 480 : 6 = 8 0
b) 54 : 9 = 6 72 : 8 = 9 28 : 4 = 7
540 : 9 = 6 0 720 : 8 = 9 0 280 : 4 = 7 0
c) 42 : 7 = 6 21 : 3 = 7 56 : 8 = 7
420 : 7 = 6 0 210 : 3 = 7 0 560 : 8 = 7 0
d) 27 : 3 = 9 30 : 6 = 5 32 : 4 = 8
270 : 3 = 9 0 300 : 6 = 5 0 320 : 4 = 8 0
e) 36 : 9 = 4 40 : 5 = 8 63 : 9 = 7
360 : 9 = 4 0 400 : 5 = 8 0 630 : 9 = 7 0
f) 45 : 5 = 9 81 : 9 = 9 36 : 6 = 6
450 : 5 = 9 0 810 : 9 = 9 0 360 : 6 = 6 0
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
273
Gy. 140/3. feladat: Analóg számítások az osztás gyakorlására táblázat kitöltésével.
Megoldás: Szabály: a : b = c, a : c = b, b � c = a, c � b = a.
a 160 300 100 540 250 490 320 560 240 480
b 4 5 2 6 5 7 4 8 8 6
c 40 60 50 90 50 70 80 70 30 80
Írásbeli osztás
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés, induktív követ-
keztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem,
kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-
tosság, kooperatív és önálló munkavégzés, egészséges életmód.
Óra: 106{111. 117{123. 130{137.
Korábban az egyjegy¶ osztóval való írásbeli osztást 3. osztályban tanították. Azért tér-
tünk vissza ehhez a gyakorlathoz mert így több id® áll rendelkezésre az egyjegy¶ illetve
a kétjegy¶ számmal való írásbeli osztás begyakorlására. Az ötödikes program épít erre
a számolási rutinra és így zökken®mentesebb lesz az átlépés az alsó és a fels® tagozat
között.
Tk. 148/1. kidolgozott mintapélda: A zöld alapon az osztás algoritmusát mutatjuk be
szemléletre alapozva. A hányados becslése a m¶veletvégzés els® lépése. Kétfélekép-
pen végezhetjük vagy két érték közé szorítjuk vagy meghatározzuk az els® jegyet és azt
hogy hány jegy¶ a hányados. A m¶veletvégzés során a tanulócsoport képességeit®l füg-
g®en írásban vagy fejben végeztethetjük a kivonást. Az írásbeli osztást minden esetben
ellen®riztessük szorzással.
Tk. 149/1. feladat: Az osztás gyakorlása.
Megoldás: Becslés Hányados Maradék
a) 200 < H < 300 231 2
200 < H < 300 215 2
300 < H < 400 325 1
100 < H < 200 116 4
300 < H < 400 347 1
b) 100 < H < 200 124 4
100 < H < 200 119 4
200 < H < 300 241 1
274 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
100 < H < 200 169 3
100 < H < 200 142 4
c) 200 < H < 300 256 0
200 < H < 300 213 0
100 < H < 200 133 4
100 < H < 200 121 5
100 < H < 200 139 0
d) 100 < H < 200 197 1
300 < H < 400 380 1
100 < H < 200 138 2
100 < H < 200 136 0
100 < H < 200 121 5
Tk. 149/2. feladat: Az osztásban használt elnevezéseket (osztó osztandó hányados ma-
radék) mélyítjük el.
Megoldás: a) a : 6 = 9 a = 9 � 6 + 5 = 59 59 az osztandó.
b) 45 : 7 = b b = 63 6 a hányados.
Tk. 150/2. kidolgozott mintapélda: A zöld alapon az osztás algoritmusát mutatjuk be
abban az esetben amikor az osztandó els® számjegyében nincs meg az osztó illetve 0
is szerepel a hányadosban.
Tk. 150/3. feladat: Tasziló típushibákra hívja föl a �gyelmünket.
Megoldás: a) Becslés: 100 < H < 200
Számolás: 317 : 3 = 105017
2
Ellen®rzés: 105 � 3
315
315 + 2 = 317
b) Becslés: 200 < H < 300
Számolás: 963 : 4 = 2401603
Ellen®rzés: 240 � 4
960
960 + 3 = 963
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
275
c) Becslés: 100 < H < 200
Számolás: 576 : 4 = 14417160
Ellen®rzés: 144 � 4
576
Tk. 150/4. feladat: Az osztás gyakorlása.
Megoldás: Becslés Hányados Maradék
a) 300 < H < 400 305 1
90 < H < 100 92 7
90 < H < 100 94 0
200 < H < 300 209 7
200 < H < 300 217 4
b) 80 < H < 90 82 1
100 < H < 200 134 3
100 < H < 200 134 3
200 < H < 300 294 3
400 < H < 500 407 0
c) 80 < H < 90 89 4
100 < H < 200 121 4
100 < H < 200 120 3
200 < H < 300 210 7
400 < H < 500 493 3
Tk. 151/5. feladat: Figyeltessük meg a hányados változásait. Az osztandó változtatásá-
val a hányados egyenes arányban változik.
Megoldás: a) 208 b) 104 c) 52
Tk. 151/6. feladat: Figyeltessük meg a hányados változásait. Az osztó változtatásával a
hányados fordított arányban változik.
Megoldás: a) 988 b) 494 c) 247
Tk. 151/7. feladat: Figyeltessük meg mikor nem változik a hányados.
Megoldás: a) 232 b) 232 c) 232
Tk. 151/8. feladat: Figyeltessük meg a hányados változásait.
a) 70 < Sz < 80 100 < Sz < 200 300 < Sz < 400 600 < Sz < 700
237 : 3 = 79 474 : 3 = 158 948 : 3 = 316 1896 : 3 = 6320 0 0 0
276 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
b) 20 < Sz < 30 100 < Sz < 200 300 < Sz < 400 900 < Sz < 1000
72 : 3 = 36 216 : 2 = 108 648 : 2 = 324 1944 : 2 = 9720 0 0 0
c) 70 < Sz < 80 70 < Sz < 80 100 < Sz < 200 300 < Sz < 400
234 : 3 = 38 468 : 6 = 78 936 : 6 = 156 1872 : 6 = 3120 0 0 0
Tk. 151/9. feladat: Figyeltessük meg a hányados változásait.
a) 300 < Sz < 400 100 < Sz < 200 600 < Sz < 700 200 < Sz < 300
945 : 3 = 315 945 : 9 = 105 1890 : 3 = 630 1890 : 9 = 2100 0 0 0
b) 200 < Sz < 300 100 < Sz < 200 80 < Sz < 90 100 < Sz < 200
774 : 3 = 258 774 : 6 = 129 774 : 9 = 86 1548 : 9 = 1720 0 0 0
c) 600 < Sz < 700 300 < Sz < 400 400 < Sz < 500 200 < Sz < 300
1872 : 3 = 624 1872 : 6 = 312 1872 : 4 = 468 1872 : 8 = 2340 0 0 0
Tk. 152/10. feladat: Szöveges feladatok megoldása során �gyeljük meg mennyire tudják
a tanulók önállóan értelmezni a szöveget megtalálni a megoldási tervet!
Megoldás: a) x = 642 � 3 x = 1926, y � 3 = 642 y = 214,
b) x = 462 : 3 x = 154, y : 3 = 462 y = 1386,
c) x = 428 � 4 x = 1712, y � 4 = 428 y = 107,
d) x = 248 : 4 x = 62, y : 4 = 248 y = 992.
Tk. 152/11. feladat: Folyamatos ismétlésként a megoldás el®tt idézzük föl a téglalapról
ezen belül a négyzetr®l eddig tanultakat.
Megoldás: a) 624 : 4 156 cm
b) 372 : 4 93 m
c) 816 : 4 204 dm 1632 : 4 408 cm
Tk. 152/12. feladat: Szöveges feladatok melyek megoldásakor alkalmazni kell a mér-
tékváltásról tanultakat.
Az adatok kigy¶jtésekor a mennyiségeket olyan mértékegységre kell átváltatnunk
amellyel a számolás könnyen elvégezhet®.
A szöveges válaszban �gyeljenek a tanulók arra hogy az eredmény mikor darabszám
illetve mikor mértékegységgel adott mennyiség!
Megoldás: a) Adatok: 1 cs® 6 m
x cs® 1 km 82 m = 1082 m x = ?
Terv: x = 1082 : 6
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 180 maradék 2
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
277
Ellen®rzés: 180 � 6 + 2 = 1082
Válasz: 180 db 6 m-es csövet használnak fel és 2 m-es az utolsó
cs®.
b) Adatok: 6 tartály 5 hl 64 l = 564 l
1 tartály x x = ?
Terv: x = 564 : 6
Becslés: 90 < x < 100
Számolás: x = 94
Ellen®rzés: 6 � 94 = 564
Válasz: 94 l üzemanyag jut egy tartályba.
c) Adatok: 1 palack 7 dl
x palack 1 hl 5 l = 105 l = 1050 dl x = ?
Terv: x = 1050 : 7
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 150
Ellen®rzés: 150 � 7 = 1050
Válasz: 150 db 7 dl-es palack tölthet® meg.
d) Adatok: 1 adag 4 g
x adag 48 dkg = 480 g x = ?
Terv: x = 480 : 4
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 120
Ellen®rzés: 120 � 4 = 480
Válasz: 120 adag savanyúsághoz elég 48 dkg f¶szerkeverék.
e) Adatok: 7 rész 1 kg 80 dkg = 180 dkg = 1800 g
1 rész x kg x = ?
Terv: x = 1800 : 7
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 257 g és marad 1 g
Ellen®rzés: 257 � 7 + 1 = 1800
Válasz: 257 g jut egy adagba és marad 1 g.
f) Adatok: 1 perc 9 m
x perc 1 km 350 m = 1350 m x = ?
Terv: x = 1350 : 9
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 150 perc
Ellen®rzés: 150 � 9 = 1350
Válasz: 150 perc = 2 óra 30 perc alatt ér a hídhoz a labda.
278 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 153/13. feladat: Szöveges feladatok megoldása során �gyeljük meg mennyire tudják
a tanulók önállóan értelmezni a szöveget megtalálni a megoldási tervet!
Megoldás: a) Adatok: A = 468 Ft G <
4-szerA G = ?
Terv: G = A : 4 G = 468 : 4
Becslés: 100 < G < 200
Számolás: G = 117
Ellen®rzés: 117 � 4 = 468
Válasz: 117 Ft-ot költött el Gábor.
b) Adatok: k = 384 Ft p >negyede
k p = ?
Terv: p = 4 � k p = 4 � 384
Becslés: százasra kerekítve: 1600 Ft
tízesre kerekítve: 1520 Ft
Számolás: p = 1536
Ellen®rzés: 1536 : 4 = 384
Válasz: 1536 Ft-ja volt Bandinak.
c) Adatok: v = 480 Ft v <
ötödef f = ?
Terv: f = v : 5 f = 480 : 5
Becslés: 90 < x < 100
Számolás: x = 96
Ellen®rzés: 5 � 96 = 480
Válasz: 96 Ft-ot költött fagyira Csaba.
d) Adatok: 1347 db 1 ? 5 és ? 1
Terv: x = 1347 : 5
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 269 maradék: 2
Ellen®rzés: 269 � 5 + 2 = 13472
Válasz: 269 db 5 -ost kapott és 2 db 1 -osa maradt Dezs®nek.
Tk. 153/14. feladat: Az osztás gyakorlására szánt feladat.
Megoldás: a = 936, b = 312, c = 78, d = 13,
e = 624, f = 156, g = 26, h = 13,
i = 468, j = 78, k = 39, l = 13,
m = 312, n = 156, o = 52, p = 13.
Tk. 153/15. feladat: Az osztásban használt elnevezéseket (osztó osztandó hányados
maradék) mélyítjük el.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
279
Megoldás: Osztandó 501 374 895 764 771 995 984 753
Osztó 5 3 7 4 6 9 8 2
Hányados 100 124 127 191 128 110 123 376
Maradék 1 2 6 0 3 5 0 1
Tk. 153/16. feladat: Az osztásban használt elnevezéseket (osztó osztandó hányados
maradék) mélyítjük el.
Megoldás: a) 1598 : 7 = a Ellen®rzés: 1598 : 7 = 22819582
a = 228 és a maradék 2
228 � 7 + 2 = 1598
b) b : 8 = 236 Ellen®rzés: 1895 : 8 = 23629557
7
b = 1895
c) 1802 : c = 300 c = (1802 { 2) : 300 Ellen®rzés: 1802 : 6 = 3000002
2
c = 6
Tk. 154/17. feladat: Az osztásról tanultak alkalmazása az id®méréshez kapcsolva.
Megoldás: a) 1068 : 7 = 15236184
A kismadár 152 hetes és 4 napos
1086 : 7 = 15538361
A mókus 155 hetes és 1 napos.
1608: 7 = 22920685
A nyuszi 229 hetes és 5 napos.
1680 : 7 = 24028000
A papagáj 240 hetes és 0 napos.
1806 : 7 = 25840560
A cica 258 hetes és 0 napos.
1860 : 7 = 26546405
A kutya 265 hetes és 5 napos.
b) 5 év = 5 � 365 + 1 = 1826 nap, vagy
5 év = 5 � 365 + 2 = 1827 nap
A kutyusnak ünnepelte meg Cili az 5. születésnapját.
280 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) Amennyiben feltesszük, hogy a 4. év a szök®év, akkor
1 év 365 vagy 366 nap
2 év 730 vagy 731 nap
3 év 1095 vagy 1096 nap
4 év 1461 nap
5 év 1826 vagy 1827 nap
A mókusnak lesz 10 nap múlva a születésnapja. (1086 + 10 = 1096)
Tk. 154/18. feladat: Az osztásról tanultak alkalmazása szöveges feladatban.
Megoldás: p = 1920 : 6 1920 : 6 = 3201200p = 320
320 m-re vannak a padok egymástól.
k = 1920 : 3 1920 : 3 = 6401200k = 640 m
640 m-re van az es®háztól a kilátó.
f = 1920 : 3 � 2 640 � 2
1280f = 1280 m
1280 m-re van az es®háztól a forrás.
b = 1280 : 4 1280 : 4 = 3200800b = 320 m
320 m-re van a forrástól a barlang.
Á = 1920 : 2 1920 : 2 = 9601200Á = 960 m
960 m-re van az út fele.
Igen talál ott padot Ági.
Gy. 141/1. feladat: A szemléletre alapozva az összeg osztásáról szerzett tapasztalatok
felhasználásával oldassuk meg a feladatot.
Megoldás: 960 : 3 = 900 : 3 + 60 : 3 = 3 0 0 + 2 0 = 3 2 0
Gy. 141/2. feladat: Az összeg osztásáról szerzett tapasztalatok felhasználásával oldas-
suk meg a feladatot.
Megoldás:
a) 840 : 4 = 8 0 0 : 4 + 4 0 : 4 = 2 0 0 + 1 0 = 2 1 0
b) 630 : 3 = 6 0 0 : 3 + 3 0 : 3 = 2 0 0 + 1 0 = 2 1 0
c) 650 : 5 = 5 0 0 : 5 + 1 5 0 : 5 = 1 0 0 + 3 0 = 1 3 0
d) 450 : 3 = 3 0 0 : 3 + 1 5 0 : 3 = 1 0 0 + 5 0 = 1 5 0
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
281
e) 910 : 7 = 7 0 0 : 7 + 2 1 0 : 7 = 1 0 0 + 3 0 = 1 3 0
f) 960 : 8 = 8 0 0 : 8 + 1 6 0 : 8 = 1 0 0 + 2 0 = 1 2 0
Gy. 141/3. feladat: Figyeltessük meg az osztó és a hányados változásait (fordított ará-
nyosság).
Megoldás: a) 360 : 9 = 4 0 360 : 6 = 6 0 360 : 3 = 1 2 0
b) 480 : 8 = 6 0 480 : 4 = 1 2 0 480 : 2 = 2 4 0
c) 900 : 9 = 1 0 0 900 : 3 = 3 0 0 900 : 6 = 1 5 0
d) 660 : 6 = 1 1 0 660 : 3 = 2 2 0 660 : 2 = 3 3 0
Gy. 141/4. feladat: Vetessük észre hogy egy feladaton belül az els® két sorban szerepl®
osztandók összege kerül a harmadik sorba az osztandó helyére. Ezért az els® két sorban
kapott hányados összege megegyezik a harmadik sor hányadosával.
Megoldás: a) 120 : 4 = 3 0 b) 150 : 3 = 5 0 c) 140 : 7 = 2 0
8 : 4 = 2 6 : 3 = 2 7 : 7 = 1
128 : 4 = 3 2 156 : 3 = 5 2 147 : 7 = 2 1
1200 : 4 = 3 0 0 1500 : 3 = 5 0 0 1400 : 7 = 2 0 0
80 : 4 = 2 0 60 : 3 = 2 0 70 : 7 = 1 0
1280 : 4 = 3 2 0 1560 : 3 = 5 2 0 1470 : 7 = 2 1 0
Gy. 142/5. feladat: Az osztás gyakorlása.
Megoldás:
a) B: 200 < Sz < 300 b) B: 100 < Sz < 200
80 40 70 : 4 = 2 1 1
0 4
0 7
3
E:
E sz t e sz t e
E sz t e
2 1 1 � 4
8 4 4
+ 3
8 4 7
60 70 10 : 5 = 1 3 4
1 7
2 1
1
E:
E sz t e sz t e
E sz t e
1 3 4 � 5
6 7 0
+ 1
6 7 1
282 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) B: 100 < Sz < 200 d) B: 200 < Sz < 300
90 70 80 : 8 = 1 2 2
1 7
1 8
2
E:
E sz t e sz t e
E sz t e
1 2 2 � 8
9 7 6
+ 2
9 7 8
80 50 20 : 3 = 2 8 4
2 5
1 2
0
E:
E sz t e sz t e
E sz t e
2 8 4 � 3
8 5 2
+ 0
8 5 2
Gy. 142/6. feladat: Az osztás gyakorlása.
Megoldás: a) 200 < Sz < 300 b) 100 < Sz < 200
576 : 2 = 288 813 : 7 = 1160 1
c) 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200
649 : 4 = 162 395 : 3 = 131 825 : 6 = 1371 2 3
100 < Sz < 200 100 < Sz < 200
734 : 5 = 146 902 : 8 = 1124 6
d) 300 < Sz < 400 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200
735 : 2 = 367 879 : 7 = 125 654 : 4 = 1631 4 2
100 < Sz < 200 200 < Sz < 300
929 : 8 = 116 764 : 3 = 2541 2
e) 200 < Sz < 300 200 < Sz < 300 100 < Sz < 200
642 : 3 = 214 507 : 2 = 253 936 : 8 = 1170 1 0
100 < Sz < 200 100 < Sz < 200
812 : 7 = 116 593 : 5 = 1180 3
f) 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200
716 : 6 = 119 928 : 7 = 132 653 : 4 = 1632 4 1
100 < Sz < 200 100 < Sz < 200
810 : 6 = 135 314 : 2 = 1570 0
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
283
Gy. 143/7. feladat: Az osztás gyakorlása.
Megoldás: a) 100 < Sz < 200 b) 100 < Sz < 200
695 : 6 = 115 724 : 5 = 1445 4
c) 300 < Sz < 400 d) 100 < Sz < 200
928 : 3 = 309 817 : 6 = 1361 1
e) 100 < Sz < 200 f) 400 < Sz < 500
672 : 4 = 168 913 : 2 = 4560 1
g) 100 < Sz < 200 h) 100 < Sz < 200
957 : 7 = 136 896 : 8 = 1125 0
I) 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200
817 : 5 = 163 623 : 4 = 155 978 : 8 = 1222 3 2
100 < Sz < 200 100 < Sz < 200
735 : 5 = 147 807 : 7 = 1150 2
j) 200 < Sz < 300 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200
623 : 3 = 207 676 : 6 = 112 911 : 7 = 1302 4 1
100 < Sz < 200 300 < Sz < 400
839 : 6 = 139 725 : 2 = 3625 1
Gy. 144/8. feladat: Az osztás gyakorlása.
Megoldás: a) 50 < H < 60 b) 200 < H < 300
314 : 6 = 52142
52 � 6312
+ 2314
1428 : 7 = 20402280
204 � 61428+ 01428
c) 90 < H < 100 d) 200 < H < 300
486 : 5 = 97361
97 � 5485
+ 1486
1428 : 7 = 20400090
201 � 91809+ 01809
Gy. 144/9. feladat: Az osztás gyakorlása.
Megoldás: a) 100 < Sz < 200 b) 100 < Sz < 200
657 : 8 = 82 1216 : 2 = 6081 0
284 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) 80 < Sz < 90 70 < Sz < 80 80 < Sz < 90
752 : 9 = 83 602 : 8 = 75 514 : 6 = 855 2 4
70 < Sz < 80 80 < Sz < 90
295 : 4 = 73 263 : 3 = 873 2
d) 200 < Sz < 300 200 < Sz < 300 200 < Sz < 300
1916 : 8 = 239 1879 : 9 = 208 1537 : 7 = 2194 7 4
200 < Sz < 300 300 < Sz < 400
1643 : 6 = 273 1912 : 5 = 3825 2
e) 50 < Sz < 60 70 < Sz < 80 400 < Sz < 500
326 : 6 = 54 514 : 7 = 73 1243 : 3 = 4142 3 1
800 < Sz < 900 300 < Sz < 400
1628 : 2 = 814 1472 : 4 = 3680 0
f) 80 < Sz < 90 90 < Sz < 100 200 < Sz < 300
412 : 5 = 82 653 : 7 = 93 802 : 4 = 2002 2 2
400 < Sz < 500 100 < Sz < 200
1429 : 3 = 476 1054 : 6 = 1751 4
Gy. 145/10. feladat: Az osztás gyakorlása.
Megoldás: a) 70 < Sz < 80 b) 400 < Sz < 500
356 : 5 = 71 1425 : 3 = 4751 0
c) 50 < Sz < 60 d) 400 < Sz < 500
497 : 9 = 55 1672 : 4 = 4182 0
e) 90 < Sz < 100 f) 300 < Sz < 400
297 : 3 = 93 1716 : 5 = 3430 1
g) 90 < Sz < 100 h) 300 < Sz < 400
385 : 3 = 96 1839 : 6 = 3431 3
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
285
I) 60 < Sz < 70 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200
435 : 7 = 62 416 : 4 = 104 518 : 5 = 1031 0 3
200 < Sz < 300 200 < Sz < 300
1229 : 6 = 204 1625 : 8 = 2035 1
j) 200 < Sz < 300 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200
624 : 3 = 208 835 : 5 = 167 679 : 6 = 1130 0 1
200 < Sz < 300 200 < Sz < 300
1602 : 8 = 200 1410 : 7 = 2012 3
Gy. 146/11. feladat: Az osztás gyakorlása szöveges feladat megoldásával.
Megoldás: B: 60 < x < 70
E:
3 70 80 : 6 = 6 3
1 8
0
6 3 � 6
3 7 8
A:
xz }| {| {z }
378 cm
T: x = 378 : 6 (cm)
V: 1 lépése 63 cm hosszú.
Gy. 146/12. feladat: Az osztás gyakorlása szöveges feladat megoldásával.
Megoldás:
A: 105 és fél m = 1055 dm B: 100 < v < 200
| {z }7 dm
E:
1 00 50 50 : 7 = 1 5 0
3 5
0 5
5 1 5 0 � 7
1 0 5 0
+ 5
1 0 5 5
T: v = 1055 : 7 (dm)
V: 150 db vezetéket tud levágni,
és 5 dm-es darab marad.
286 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 146/13. feladat: Az osztás gyakorlása szöveges feladat megoldásával.
Megoldás:
A: 5 virág 1406 Ft B: 200 < x < 300
1 virág x Ft
E:
1 40 00 60 : 5 = 2 8 1
4 0
0 6
1 2 8 1 � 5
1 4 0 5
+ 1
1 4 0 6
T: x = 1406 : 5
V: 1 szál virág 281 Ft.
Gy. 147/14. feladat: Analóg szöveges feladatok az osztás gyakorlására.
Megoldás:
a) A: 12 m hosszú:
12 mz }| {| {z }
x m
T: x = 12 m : 4
Sz: 12 : 4 = 3
V: 3 m készült el.
b) A: 792 m hosszú: Sz:
E:
70 90 20 : 4 = 1 9 8
3 9
3 2
0 1 9 8 � 4
7 9 2
792 mz }| {| {z }
x m
T: x = 792 m : 4
B: 800 : 4 = 200
V: 198 m készült el.
Gy. 147/15. feladat: Analóg szöveges feladatok az osztás gyakorlására.
Megoldás:
a) A: 16 l víz volt:
T: x = 16 l : 8
16 l
8>>><>>>:
x l
Sz: 16 : 8 = 2
V : 2 l-t öntöttek ki.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
287
b) A: 1576 l víz volt:Sz:
E:
1 50 70 60 : 8 = 1 9 7
7 7
5 6
0 1 9 7 � 8
1 5 7 6
1576 l
8>>><>>>:
x l
T: x = 1576 l : 8
B: 100 < x < 200
V: 197 l-t öntöttek ki.
Gy. 148/16. feladat: Szöveges feladatok. Hívjuk föl a tanulók �gyelmét arra hogy a meg-
oldás során ne feledkezzenek meg egyetlen lépésr®l sem (adatok terv becslés számolás
ellen®rzés szöveges válasz)!
Megoldás: a) Adatok: t = 1464 t >
harmadan n = ?
Terv: n = t : 3 n = 1464 : 3
Becslés: 400 < n < 500
Számolás: n = 488
Ellen®rzés: 3 � 488 = 1464
Válasz: 488 gyerek jár napközibe ebben az iskolában.
b) Adatok: t = 1464 t >
hatodas s = ?
Terv: s = t : 6 s = 1464 : 6
Becslés: 200 < s < 300
Számolás: s = 244
Ellen®rzés: 6 � 244 = 1464
Válasz: 244 gyerek tagja a sportkörnek ebben az iskolában.
c) Adatok: t = 1464 t >negyede
ü ü = ?
Terv: ü = t : 4 ü = 1464 : 4
Becslés: 300 < ü < 400
Számolás: ü = 366
Ellen®rzés: 4 � 366 = 1464
Válasz: 366 gyerek táborozott a nyáron.
d) Adatok: t = 1464 t >nyolcada
k k = ?
Terv: k = t : 8 k = 1464 : 8
Becslés: 100 < k < 200
Számolás: k = 183
288 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ellen®rzés: 8 � 183 = 1464
Válasz: 183 gyerek jár könyvtárba ebben az iskolában.
Gy. 148/17. feladat: Szöveges feladatok. Hívjuk föl a tanulók �gyelmét arra hogy a meg-
oldás során ne feledkezzenek meg egyetlen lépésr®l sem (adatok terv becslés számolás
ellen®rzés szöveges válasz)!
Megoldás: a) Adatok: p = 648 Ft p >nyolcada
m m = ?
Terv: m = p : 8 m = 648 : 8
Becslés: 80 < m < 90
Számolás: m = 81 Ft
Ellen®rzés: 8 � 81 = 648
Válasz: 81 Ft-ért vásárolt matricát Aladár.
b) Adatok: B = 648 Ft B >negyede
F F = ?
Terv: F = B : 4 F = 648 : 4
Becslés: 100 < F < 200
Számolás: F = 162 Ft
Ellen®rzés: 4 � 162 = 648
Válasz: 162 Ft-ja volt Ferinek.
c) Adatok: C = 648 Ft L <6-szor
C L = ?
Terv: L = C : 6 L = 648 : 6
Becslés: 100 < L < 200
Számolás: L = 108 Ft
Ellen®rzés: 6 � 108 = 648
Válasz: 108 Ft-ja volt Laurának.
d) Adatok: D = 648 Ft G >
feleD G = ?
Terv: G = 2 � D G = 2 � 648
Becslés: Százasra kerekítve: 1200 Ft
Tízesre kerekítve: 1300 Ft
Számolás: G = 1296 Ft
Ellen®rzés: 1296 : 2 = 648
Válasz: 1296 Ft-ja volt Gézának.
e) Adatok: k = 648 Ft p >
harmadak p = ?
Terv: p = 3 � k p = 3 � 648
Becslés: Százasra kerekítve: 1800 Ft
Tízesre kerekítve: 1950 Ft
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
289
Számolás: p = 1944
Ellen®rzés: 1944 : 3 = 648
Válasz: 1944 Ft-ja volt Eszternek.
f) Adatok: p = 648 Ft t <
3-szorp t = ?
Terv: t = p : 3 t = 648 : 3
Becslés: 200 < L < 300
Számolás: t = 216
Ellen®rzés: 3 � 216 = 648
Válasz: 216 Ft van Feri pénztárcájában.
g) Adatok: G = 648 Ft G >
kilencedeÖ Ö = ?
Terv: Ö = G : 9 Ö = 648 : 9
Becslés: 70 < L < 80
Számolás: Ö = 72
Ellen®rzés: 9 � 72 = 648
Válasz: 72 Ft-ot kapott Gedeon öccse.
h) Adatok: k = 648 Ft k >
felep, m >
negyedev, v = ?
Terv: v = k : 2 : 4 v = 648 : 2 : 4
Becslés: 80 < v < 90
Számolás: v = 81
Ellen®rzés: 81 � 4 � 2 = 648
Válasz: 81 Ft-ba került a virág.
Gy. 149/18. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatát �gyeltetjük meg.
Megoldás:
a)
344
: 88
� 8
4 3 688
: 88
� 8
8 6 1376
: 88
� 8
1 7 2
b)
427
: 77
� 7
6 1 854
: 77
� 7
1 2 2 1708
: 77
� 7
2 4 4
290 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 149/19. feladat: Az osztandó és a hányados változásait �gyeltethetjük meg.
Megoldás: 760 m-t: x = 760 : 4 x = 190 másodperc
380 m-t: y = 380 : 4 y = 95 másodperc
1520 m-t: z = 1520 : 4 z = 380 másodperc
Gy. 149/20. feladat: Az osztó és a hányados változásait �gyeltethetjük meg.
Megoldás:
4 m utat tesz meg:4 m
a = 1768 : 4 a = 442 másodperc
2 m utat tesz meg:2 m
b = 1768 : 2 b = 884 másodperc
8 m utat tesz meg:8 m
c = 1768 : 8 c = 221 másodperc
Gy. 149/21. feladat: Az osztó és a hányados változásait �gyeltethetjük meg.
Megoldás:
Fele 1 negyede 1 nyolcada 1 harmada 1 hatoda 1 kilencede
576 288 144 72 192 96 64
1152 576 288 144 384 192 128
648 324 162 81 216 108 72
1296 648 324 162 432 216 144
Következtetés többr®l egyre
Kompetenciák fejlesztési feladatok:
számlálás számolás rendszerezés relációszókincs fejlesztése szövegértés szövegértel-
mezés szöveges-feladatmegoldás rész-egész észlelése becslés induktív következteté-
sek problémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése �gyelem kezdemé-
nyez®képesség metakogníció meg�gyel®képesség összefüggéslátás pontosság koope-
ratív és önálló munkavégzés egészséges életmód.
Óra: 112{114. 124{126. 138{141.
Az osztás értelmezésekor, illetve az osztás és a szorzás kapcsolatának tudatosítása
során korábban is találkoztak a tanulók olyan egyenes arányossági következtetésekkel,
amelyekben több mennyiséghez tartozó értéket adtunk meg, és ebb®l kellett következ-
tetni az egy mennyiséghez tartozó értékre.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
291
Tk. 155/1. kidolgozott mintapélda: A mintapéldában a megoldás menetére ezen belül
az adatkigy¶jtésre mutatunk be egy jól áttekinthet® sémát.
Tk. 155/1. feladat: A rajzról szöveges feladat megfogalmazása s ez alapján a feladat
megoldása. Figyeljük meg képesek-e a tanulók az összefüggéseket felismerni a rajz
alapján.
Megoldás: a) Egy kislány 7 perc alatt egyenletesen haladva 420 m-t tesz meg. Mek-
kora utat tesz meg 1 perc alatt?
A: 7 perc 420 m
1 perc x m x = ?
T: a = 420 : 7
Sz: a = 60 m
E: 7 � 60 = 420
V: 60 m-t tesz meg 1 perc alatt.
b) Egy kerékpáros 1 perc alatt egyenletesen haladva 215 m-t tesz meg.
Mekkora utat tesz meg 9 perc alatt?
A: 1 perc 215 m
9 perc b m
T: b = 215 � 9
Sz: b = 1935 m
V: 1935 m = 1 km 935 m-t tesz meg 9 perc alatt.
Tk. 155/2. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a tanu-
lók a feladatokat.
Megoldás: a) Adatok: 4 jegy 1980 Ft
1 jegy x Ft x = ?
Terv: x = 1980 : 4
Becslés: 400 < m < 500
Számolás: x = 495
Ellen®rzés: 4 � 495 = 1980
Válasz: 495 Ft-ba került egy jegy.
b) Adatok: 5 perc 1950 mm
1 perc x mm x = ?
Terv: x = 1950 : 5
Becslés: 300 < x < 400
Számolás: x = 390
Ellen®rzés: 5 � 390 = 1950
Válasz: 390 m-t tesz meg a csiga 1 perc alatt.
Tk. 156/3. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a tanu-
lók a feladatokat.
292 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) Adatok: 4 léc 1348 mm
1 léc x mm x = ?
Terv: x = 1348 : 4
Becslés: 300 < x < 400
Számolás: x = 337 mm
Ellen®rzés: 4 � 337 = 1348
Válasz: 337 mm = 3 dm 3 cm 7 mm hosszú egy léc.
b) Adatok: 8 pohár 1264 ml
1 pohár x x = ?
Terv: x = 1264 : 8
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 158
Ellen®rzés: 8 � 158 = 1264
Válasz: 158 ml = 1 dl 5 cl 8 ml víz fért egy pohárba.
c) Adatok: 5 golyó 1105 g
1 golyó x x = ?
Terv: x = 1105 : 5
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 221
Ellen®rzés: 5 � 221 = 1105
Válasz: 221 g = 22 dkg 1 g a tömege egy golyónak.
d) Adatok: 9 km 5perc 42 másodperc = 342 másodperc
1 km x x = ?
Terv: x = 342 : 9
Becslés: 30 < x < 40
Számolás: x = 38 másodperc
Ellen®rzés: 5 � 38 = 342
Válasz: 38 másodperc alatt tesz meg 1 km-t.
Tk. 156/4. feladat: A szabályt többféle alakban fogalmaztassuk meg.
Megoldás: Szabály: Ö : 5 = E, 5 � E = Ö, E � 5 = Ö, Ö : E = 5.
Összköltség 1540 975 1000 1375 1900 1635 925
Egy gyerekre jut 308 195 200 275 380 327 185
Tk. 157/5. feladat: Figyeltessük meg melyek a szükséges és melyek a felesleges adatok
mely feladatoknál hiányoznak adatok.
Megoldás: a) Adatok: 10 kg 1580 Ft
1 kg x x = ?
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
293
Terv: x = 1580 : 10
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 158 Ft
Ellen®rzés: 10 � 158 = 1580
Válasz: 158 Ft-ba került 1 kg alma.
b) Adatok: 10 különféle csoki 1200 Ft
1 csoki x Ft x = ?
Válasz: Nem lehet meghatározni mivel különböz® csokikat vett így
nem tudjuk a csokik árát.
c) Adatok: 9 éves 27 kg
1 éves x kg x = ?
Válasz: Nem lehet meghatározni mert az életkorral nem egyenesen
arányos a tömeg változása.
d) Adatok: 3 gyerek 9 perc
1 gyerek x perc x = ?
Válasz: Felesleges adat: 540 m hosszú táv.
9 perc alatt teszi meg egy gyerek is a távot.
e) Adatok: 3 barát 9 nap
1 barát x nap x = ?
Felesleges adat: 540 m hosszú
Terv: x = 3 � 9
Számolás: x = 27 nap
Válasz: 27 nap alatt festette volna be a kerítést egy munkás.
f) Adatok: 5 dinnye 8 kg 60 dkg = 860 dkg
1 dinnye x dkg x = ?
Válasz: Nem lehet tudni mert nem minden dinnye tömege egyenl®.
Annyi biztos hogy 8 kg 60 dkg-nál kevesebb.
g) Adatok:8 m 60 cm = 860 cmz }| {j j j j j|{z}?
Terv: x = 860 : 4
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 215
Ellen®rzés: 4 � 215 = 860
Válasz: 215 cm = 2 m 1 dm 5 cm a két szomszédos oszlop távol-
sága.
Tk. 157/6. feladat: Tasziló állításairól kell eldönteni igaz vagy hamis. Idézzük fel az id®-
mértékekr®l (hét-nap) tanultakat.
294 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) Igaz. 25: 7 = 34
b) Igaz. 154: 7 = 220
c) Hamis. (teniszezni fog) 206: 7 = 293
d) Hamis. (focizni fog) 1400: 7 = 2000
e) Igaz. (focizni fog) 1589: 7 = 2270
Gy. 150/1. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
Megoldás: a) A: 1 sor 5 cs T: x = 30 : 5
x sor 30 cs Sz: 30 : 5 = 6
V: 6 sorba fér el 30 csempe.
b) A: 1 sor 5 cs
E:
1 90 70 50 : 5 = 3 9 5
4 7
2 5
0 3 9 5 � 5
1 9 7 5
x sor 1975 cs
T: x = 1975 : 5
B: 300 < x < 400
V: 395 sorba fér el.
Gy. 150/2. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
Megoldás: a) A: 1 katica 7 p T: x = 21 : 7
x katica 21 p Sz: 21 : 7 = 3
V: 3 katicabogárnak van 21 pettye.
b) A: 1 katica 7 p
E:
90 20 40 : 7 = 1 3 2
2 2
1 4
0 1 3 2 � 7
9 2 4
x katica 924 p
T: x = 924 : 7
B: 100 < x < 200
V: 132 katicabogár.
Gy. 150/3. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
Megoldás: a) Adatok: 1 pók 8 láb
x 864 láb x = ?
Terv: x = 864 : 8
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
295
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 108
Ellen®rzés: 108 � 8 = 864
Válasz: 108 póknak van 864 lába.
b) Adatok: 1 tartó 6 tojás
x tartó 1932 tojás x = ?
Terv: x = 1932 : 6
Becslés: 300 < x < 400
Számolás: x = 322
Ellen®rzés: 322 � 6 = 1932
Válasz: 322 tojástartó kell 1932 tojás becsomagolásához.
Gy. 151/4. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
Megoldás: a) Adatok: 8 unoka 1160 Ft
1 unoka x Ft x = ?
Terv: x = 1160 : 8
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 145
Ellen®rzés: 8 � 145 = 1160
Válasz: 145 Ft-ot kapott egy unoka.
b) Adatok: 6 jegy 1980 Ft
1 jegy x x = ?
Terv: x = 1980 : 6
Becslés: 300 < x < 400
Számolás: x = 330
Ellen®rzés: 6 � 330 = 1980
Válasz: 330 Ft-ba került egy vonatjegy.
c) Adatok: 4 jegy 1020 Ft
1 jegy x Ft x = ?
Terv: x = 1020 : 4
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 255
Ellen®rzés: 4 � 255 = 1020
Válasz: 255 Ft-ba került egy mozijegy.
Gy. 151/5. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
296 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) Adatok: 7 sor 602 db
1 sor x db x = ?
Terv: x = 602 : 7
Becslés: 80 < x < 90
Számolás: x = 86
Ellen®rzés: 7 � 86 = 602
Válasz: 86 palánta került egy sorba.
b) Adatok: 7 sor 840 db
1 sor x db x = ?
Terv: x = 840 : 7
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 120
Ellen®rzés: 7 � 120 = 840
Válasz: 120 palánta került egy sorba.
Megoldás: a) Adatok: 7 sor 1064 db
1 sor x db x = ?
Terv: x = 1064 : 7
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 154
Ellen®rzés: 7 � 154 = 840
Válasz: 154 palánta került egy sorba.
Gy. 152/6. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
Megoldás: a) Adatok: 1 sor 4 ülés
x sor 216 ülés x = ?
Terv: x = 216 : 4
Becslés: 50 < x < 60
Számolás: x = 54
Ellen®rzés: 54 � 4 = 216
Válasz: 54 sor ül®hely van ezen a repül®gépen.
b) Adatok: 7 sor 1792
1 sor x x = ?
Terv: x = 1792 : 7
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 256
Ellen®rzés: 7 � 256 = 1792
Válasz: 256 sz®l®t®két ültettek egy sorba.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
297
c) Adatok: 1 alátét 5 Ft
x alátét 1050 Ft
Terv: x = 1050 : 5
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 210
Ellen®rzés: 210 � 5 = 1050
Válasz: 210 alátétet vásárolhatunk 1050 Ft-ért.
Gy. 152/7. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
Megoldás: a) Adatok: 3 doboz 726 Ft
1 doboz x Ft x = ?
Terv: x = 726 : 3
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 242
Ellen®rzés: 3 � 242 = 726
Válasz: 242 Ft-ba került 1 doboz vízfesték.
b) Adatok: 4 doboz 1372 Ft
1 doboz x x = ?
Terv: x = 1372 : 4
Becslés: 300 < x < 400
Számolás: x = 343
Ellen®rzés: 4 � 343 = 1372
Válasz: 343 Ft-ba került 1 doboz zsírkréta.
c) Adatok: 5 doboz 1025 Ft
1 doboz x x = ?
Terv: x = 1025 : 5
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 205
Ellen®rzés: 5 � 205 = 1025
Válasz: 205 Ft-ba került 1 doboz színes ceruza.
298 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 153/8. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
A: 3 f 13 m 50 cm = 1350 cm Sz:
E:
1 30 50 00 : 3 = 4 5 0
1 5
0 0
0 4 5 0 � 3
1 3 5 0
1 f x
T: x = 1350 cm : 3
B: 400 cm < x < 500 cm
V: 450 cm = 4 m 50 cm
hosszú anyag kell egy ablakra.
Gy. 153/9. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
A: 1 ü 7 dl Sz:
E:
1 70 50 : 7 = 2 5
3 5
0
2 5 � 7
1 7 5
x ü 17 és fél l = 175 dl
T: x = 175 dl : 7 dl
B: 20 < x < 30
V: 25 üveget töltött meg.
Gy. 153/10. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
A: 5 cs 14 kg 45 dkg = 1445 dkg Sz:
E:
1 40 40 50 : 5 = 2 8 9
4 4
4 5
0 2 8 9 � 5
1 4 4 5
1 cs x
T: x = 1445 dkg : 5
B: 200 dkg < x < 300 dkg
V: 289 dkg = 2 kg 89 dkg
a tömege egy cs®nek.
Gy. 154/11. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
Megoldás: a) Adatok: 5 hl 16 l = 516 l x doboz x = ?
2 l 1 doboz
Terv: x = 516 : 2
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 258
Ellen®rzés: 258 � 2 = 516
Válasz: 258 doboz gyümölcslevet készítettek.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
299
b) Adatok: 6 l 2 dl 4 cl = 624 cl = o o >negyede
v v = ?
Terv: x = 624 : 4
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 156 cl
Ellen®rzés: 4 � 156 = 624
Válasz: 156 cl = 1 l 5 dl 6 cl vegyszer van az edényben.
c) Adatok: 3 dl 1 és fél cl = 31, 31 és fél cl = 315 ml = v
sz >
3-szorv sz = ?
Terv: sz = 315 : 3
Becslés: 100 < sz < 200
Számolás: sz = 105
Ellen®rzés: 3 � 105 = 315
Válasz: 105 ml = 1 dl 5 ml szörpöt öntöttek az üvegbe.
d) Adatok: 6 perc 1 hl 48 l 8 dl = 1488 dl
1 perc x dl x = ?
Terv: x = 1488 : 6
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 246
Ellen®rzés: 6 � 246 = 1488
Válasz: 246 dl = 24 l 6 dl víz folyt a tartályba 1 perc alatt.
Gy. 155/12. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
Megoldás: a) Adatok: 5 dm 2 cm 4 mm = 524 mm = cs
cs >negyede
p p = ?
Terv: p = 524 : 4
Becslés: 100 < p < 200
Számolás: p = 131
Ellen®rzés: 4 � 131 = 524
Válasz: 131 mm = 1 dm 3 cm 1 mm a piros papírcsík.
b) Adatok: 14 m 36 cm = 1436 cm 4 abrosz
x cm 1 abrosz x = ?
Terv: x = 1436 : 4
Becslés: 300 < x < 400
Számolás: x = 359
Ellen®rzés: 4 � 359 = 1436
300 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Válasz: 359 cm = 3 m 5 dm 9 cm anyagot használt fel egy abrosz-
hoz édesanya.
c) Adatok: 1 km 50 m = 1050 m 7 perc
x m 1 perc x = ?
Terv: x = 1050 : 7
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 150
Ellen®rzés: 7 � 150 = 1050
Válasz: 150 m-t tett meg 1 perc alatt a kerékpáros.
d) Adatok: 6 m 3 dm 2 cm = 632 cm = cs k <
4-szercs k = ?
Terv: k = 632 : 4
Becslés: 100 < k < 200
Számolás: k = 158
Ellen®rzés: 4 � 158 = 632
Válasz: 158 cm = 1 m 5 dm 8 cm csövet használt fel a kerti csaphoz
a szerel®.
Gy. 156/13. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
Megoldás: a) Adatok: 87 dkg 5 g = 875 g 7 doboz
x g 1 doboz x = ?
Terv: x = 875 : 7
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 125
Ellen®rzés: 7 � 125 = 875
Válasz: 125 g = 12 dkg 5 g kakaópor került egy dobozba.
b) Adatok: 18 kg 45 dkg = 1845 dkg = a, a >
kilencedel l = ?
Terv: l = 1845 : 9
Becslés: 200 < l < 300
Számolás: l = 205
Ellen®rzés: 9 � 205 = 1845
Válasz: 205 dkg = 2 kg 5 dkg egy láda tömege.
c) Adatok: 1 t 36 kg = 1036 kg 7 db
x t 1 db x = ?
Terv: x = 1036 : 7
Becslés: 100 < x < 200
Számolás: x = 148
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
301
Ellen®rzés: 7 � 148 = 1036
Válasz: 148 kg a tömege egy betongerendának.
d) Adatok: 8 léc 19 kg 92 dkg = 1992 dkg
1 léc x dkg x = ?
Terv: x = 632 : 4
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 249
Ellen®rzés: 8 � 249 = 1992
Válasz: 249 dkg = 2 kg 49 dkg a tömege 1 falécnek.
Gy. 157/14. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-
nulók a feladatokat.
Megoldás: a) Adatok: 6 óra 25 perc = 385 perc 7 nap
x perc 1 nap x = ?
Terv: x = 385 : 7
Becslés: 50 < x < 60
Számolás: x = 55
Ellen®rzés: 7 � 55 = 385
Válasz: 55 percig olvasott naponta Petra.
b) Adatok: 1 hét 7 nap
x hét 1974 nap x = ?
Terv: x = 1974 : 7
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 282
Ellen®rzés: 7 � 282 = 1974
Válasz: 282 hetes Réka kishúga.
c) Adatok: 9 nap 12 óra = 228 óra = u u >
hatodav v = ?
Terv: v = 228 : 6
Becslés: 30 < v < 40
Számolás: v = 38
Ellen®rzés: 6 � 38 = 1228
Válasz: 38 órát utaztak hajón Samuék.
d) Adatok: 1 év 52 hét, meg 1 vagy 2 nap
5 év x hét x = ?
Terv: x = 5 � 52 + (1 + 1 + 1 + 2 + 2) : 7
Számolás: x = 261
Válasz: 261 hetes volt Ubul az 5. születésnapján.
302 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
5. tájékozódó felmérés
Óra: 115. 127. 142.
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Írásbeli m¶veletek alkalmazása
Kompetenciák fejlesztési feladatok:
számlálás számolás rendszerezés relációszókincs fejlesztése szövegértés szövegértel-
mezés szövegesfeladat-megoldás rész-egész észlelése becslés induktív következteté-
sek problémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése �gyelem kezdemé-
nyez®képesség metakogníció meg�gyel®képesség összefüggéslátás pontosság koope-
ratív és önálló munkavégzés egészséges életmód környezettudatosságra nevelés.
Óra: 116{118. 128{131. 143{147.
Az írásbeli összeadásról kivonásról szorzásról és osztásról illetve a mérésekr®l tanultakat
alkalmazzák összetett számfeladatokban szöveges feladatok megoldásában geometriai
számításokban szöveggel táblázattal adott függvények vizsgálatában oszthatósági vizs-
gálatokban.
Tk. 158/1. kidolgozott mintapélda: Idézzük fel a m¶veletek sorrendjér®l tanultakat.
Tk. 158/1. feladat: Az írásbeli összeadásról kivonásról szorzásról és osztásról illetve a
m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetett számfeladatokban.
Megoldás: a) 175
2:
+ 1228
1:
: 4| {z }
307
= 482, 1065
2:
+ 385
1:
: 5| {z }
77
= 1142,
1764
1:
: 6| {z }
294
3:
+ 238
2:
� 3| {z }
714
= 1008,
b) 1417
2:
{ 927
1:
: 9| {z }
103
= 1314, 527
1:
� 3| {z }
1581
2:
{ 618 = 963,
213
1:
� 9| {z }
1917
3:
{ 1351
2:
: 7| {z }
193
= 1724,
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
303
Tk. 159/2. kidolgozott mintapélda: Idézzük fel a m¶veletek sorrendjér®l a zárójel sze-
repér®l tanultakat.
Tk. 159/2. feladat: Az írásbeli összeadásról kivonásról szorzásról és osztásról illetve a
m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetett számfeladatokban.
a) 1975
2:
{ 305
1:
: 5| {z }
61
= 1914, (1975
1:
{ 305| {z }
1670
)
2:
: 5 = 334, 1975
1:
: 5| {z }
395
2:
{ 305 = 90
b) 1672
2:
+ 268
1:
: 4| {z }
67
= 1739, (1672
1:
+ 268| {z }
1940
)
2:
: 4 = 485, 1672
1:
: 4| {z }
418
2:
+ 268 = 686
Tk. 160/3. feladat: Figyeltessük meg az osztó osztandó illetve a hányados változásait!
Megoldás: a) 752 : 4 = 188 = 1504 : 8 = 188
b) 496 : 2 = 248 > 496 : 4 = 124
c) 576 : 6 = 96 < 1142 : 3 = 384
d) 372 : 2 = 186 = 1488 : 8 = 186
e) 735 : 7 = 105 < 735 : 5 = 147
Tk. 160/4. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat. Figyeltessük meg az osztó osztandó
illetve a hányados változásait majd ez alapján határozzák meg a jobb képesség¶ tanulók
a bet¶k értékét.
Megoldás: a = 103, d = 372,
b = 112, e = 391,
c = 366, f = 448.
Tk. 160/5. feladat: Szöveges feladatok megoldása során �gyeljük meg mennyire tudják
a tanulók önállóan értelmezni a szöveget megtalálni a megoldási tervet!
Megoldás: a) Adatok: k = 492 cm k >negyede
n n = ?
Terv: n = 492 : 4
Becslés: 100 < n < 200
Számolás: n = 123 cm
Ellen®rzés: 4 � 123 = 492
Válasz: 123 cm anyag kell egy nadrághoz.
b) Adatok: cs = 492 cl cs <4-szer
k k = ?
Terv: k = 4 � 492
Becslés: százasra kerekítve: 2000 cl
tízesre kerekítve: 1960 cl
Számolás: k = 1968
304 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1968 cl = 19 l 6 dl 8 cl víz van a kannában.
c) Adatok: g = 492 dkg g >4 kg = 400 dkg
s s = ?
Terv: s = 492 { 400
Becslés: százasra kerekítve: 100 dkg
tízesre kerekítve: 90 dkg
Számolás: s = 92
Ellen®rzés: 92 + 400 = 492
Válasz: 92 dkg a tömege egy sárgadinnyének.
d) Adatok: a = 492 Ft v >
4 Ft-tala ö = ?
Terv: ö = 492 + 492 + 4
Becslés: százasra kerekítve: 1000 Ft
Számolás: tízesre kerekítve: 980 Ft
Válasz: ö = 988 Ft
988 Ft-ba kerül egy kis autó és egy kis vonat együtt.
Tk. 160/6. feladat: A szövegértelmez® képesség fejlesztésére szánt feladatsor.
Megoldás: a) a = 248 + 8 a = 256 b) b + 8 = 248 b = 240
c) c = 248 { 8 c = 240 d) d { 8 = 248 d = 256
e) e = 248 : 8 e = 31 f) f : 8 = 248 f = 1984
g) g = 248 � 8 g = 1984 h) h � 8 = 248 h = 31
Tk. 161/7. feladat: A szöveg alapján a megfelel® megoldási tervet kell kiválasztani a
tanulóknak.
Megoldás: a) 456 � 3 = 1368 1368-an laknak Kisréten.
b) 456 : 3 = 152 152-en laknak Nagydombon.
c) 456 + 3 = 459 459-en laknak Óriásváron.
d) 456 + 3 = 459 459-en laknak Kiskövesen.
Tk. 161/8. feladat: Az írásbeli összeadásról kivonásról szorzásról és osztásról illetve a
m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetett számfeladatokban.
Megoldás: a) é = (1204 + 784) : 2 é = 1988 : 2 é = 994 Ft
é = 1204 : 2 + 784 : 2 é = 602 + 392 é = 994 Ft
994 Ft-ba került személyenként az étkezés.
b) k = (1204 { 784) : 2 k = 420 : 2 k = 210 Ft
k = 1204 : 2 - 784 : 2 k = 602 - 392 k = 210 Ft
210 Ft-tal került többe személyenként az ebéd mint a vacsora.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
305
Tk. 161/9. feladat: Az írásbeli összeadásról kivonásról szorzásról és osztásról illetve a
m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetett szöveges feladatokban.
Megoldás: a) Adatok: 3 f + 4 l 1547 Ft 1 gy = ? (Ft)
Felesleges adat: 42 személyes busz
Terv: e = 1547 : (3 + 4)
Becslés: 200 < e < 300
Számolás: e = 221
Ellen®rzés: 7 � 221 = 1547
Válasz: 221 Ft-ba került egy gyerek jegye.
b) Adatok: 1 forduló 4 l + 5 l
x forduló 540 l x = ?
Felesleges adat: 1200 l-es kád
Terv: f = 540 : (4 + 5)
Becslés: 60 < f < 70
Számolás: f = 60
Ellen®rzés: 60 � 9 = 540
Válasz: 60-szor kellett fordulnia Csabának.
c) Adatok: 2 + 3 = 5 gy �zetett 870 Ft + 1035 Ft
1 gy e Ft e = ?
Felesleges adat: 5 könyv 3 könyv
Terv: e = (870 + 1035) : (2 + 3) e = 1905 : 5
Becslés: 300 < e < 400
Számolás: e = 381
Ellen®rzés: 5 � 381 = 1905
Válasz: 381 Ft-ot adott egy gyerek.
Tk. 162/10. feladat: Szöveges feladatok megoldása a kreativitás képi gondolkodás
összefüggéslátás fejlesztésére.
Megoldás: a) Adatok: v = 1347 mm l = 456 mm m >
harmadae e = ?
Terv: e = (1347 { 456) : 3
Becslés: 200 < e < 300
Számolás: e = 297
Ellen®rzés: 3 � 297 + 456 = 1347
Válasz: 297 mm = 2 dm 9 cm 7 mm hosszú darabokat kapott.
b) Adatok: v = 1 l 2 dl = 120 cl b: 1 p 25 cl l = ?
5 p 5 � 25 cl
Terv: l = 120 + 5 � 25 l = 120 + 125
306 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Becslés: százasra kerekítve: 100 cl
tízesre kerekítve: 270 cl
Számolás: l = 245 cl
Válasz: 245 cl = 2 l 4 dl 5 cl víz lesz a fazékban.
c) Adatok: 6g = 2g + 248 dkg 1 g ?
4g = 248 dkg
Terv: g = 248 : 4
Becslés: 60 < g < 70
Számolás: g = 62
Ellen®rzés: 6 � 62 = 2 � 62 + 248
372 = 372
Válasz: 62 dkg egy golyó tömege.
d) Adatok: p = 1 km 864 m = 1864 m, m = 288 m
8 perc 1864 { 288
1 perc x x =?
Terv: e = (1864 { 288) : 8
Becslés: 100 < e < 200
Számolás: e = 197 m
Válasz: 197 m-t tesz meg 1 perc alatt.
Tk. 163/11. feladat: Oszthatósági vizsgálatok.
Megoldás: Összesen 6 különböz® számot tudunk képezni a megadott kártyákból.
A százasok helyére 3-, a tízesekére 2-, az egyesekére 1-féleképpen vá-
laszthatunk.
Azaz 3 � 2 � 1 = 6 eset.
1023, 1032, 1203, 1230, 1302, 1320
a) 1032; 1230; 1302; 1320.
4 szám osztható 2-vel.
b) 1023; 1032; 1203; 1230; 1302; 1320.
Mindegyik szám osztható 3-mal.
c) 1032; 1320.
2 szám osztható 4-gyel.
d) 1230; 1320.
2 szám osztható 5-tel.
e) 1230; 1320.
2 szám osztható 10-zel.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
307
Tk. 163/12. feladat: Osztás gyakorlása adatok leolvasása gra�konról.
Megoldás: Zsiráf: 504 cm magas a zsiráf. 504 � 500
Bölény: 504 : 3 = 168 168 cm magas a bölény. 168 � 170
Farkas: 504 : 9 = 56 56 cm magas a farkas. 56 � 60
Hiúz: 504 : 8 = 63 63 cm magas a hiúz. 63 � 60
Medve: 504 : 4 = 126 126 cm magas a medve. 126 � 130
Strucc: 504 : 2 = 252 252 cm magas a strucc. 252 � 250
Vadkan: 504 : 6 = 84 84 cm magas a vadkan. 84 � 80
Zerge: 504 : 7 = 72 72 cm magas a zerge. 72 � 70
Gra�konon: 1. medve 2. zerge, 3. strucc, 4. vadkan, 5. hiúz, vagy a farkas,
6. bölény, 7. zsiráf, 8. farkas, vagy a hiúz.
Tk. 163/12. feladat: Számolási rutin fejlesztése játékos feladattal.
Megoldás: 678 786 697 867 796
789 876 967 689 896
968 698 897 976 768
978 769 879 986 679
798 869 987 687
Gy. 158/1. feladat: Az írásbeli összeadásról kivonásról szorzásról és osztásról illetve a
m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetett számfeladatokban.
Megoldás:
a) 624
1:
: 4| {z }
156
2:
+ 356 = 512 624
2:
+ 356
1:
: 4| {z }
89
= 713 (624
1:
+ 356| {z }
980
)
2:
: 4 = 245
b) 1248
1:
: 8| {z }
156
2:
{ 6 = 150 1248
2:
: (8
1:
{ 6| {z }
2
) = 624 1248
1:
: 6| {z }
208
2:
{ 8 = 200
c) 176
1:
� 8| {z }
1408
2:
: 4 = 352 176
2:
� (8
1:
: 4| {z }
2
) = 352 176
1:
: 4| {z }
44
2:
� 8 = 352
d) 2000
1:
: 8| {z }
250
2:
: 2 = 125 2000
2:
: (8
1:
: 2| {z }
4
) = 500 2000
1:
: 2| {z }
1000
2:
: 8 = 125
e) 1200
1:
{ 548| {z }
652
2:
: 365 = 1017 1200
2:
{ (548
1:
+ 365| {z }
913
) = 287 1200
2:
+ (548
1:
{ 365| {z }
183
) = 1017
308 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
f) 450
2:
{ 145
1:
� 3| {z }
435
= 15 (450
1:
{ 145| {z }
305
)
2:
� 3 = 915 (450
1:
� 3| {z }
1350
)
2:
{ 145 = 1205
g) 1624
2:
{ 372
1:
: 4| {z }
93
= 1531 (1624
1:
{ 372| {z }
1252
)
2:
: 4 = 313 1624
1:
: 4| {z }
406
3:
{ 372
2:
: 4| {z }
93
= 313
h) 972
2:
+ 591
1:
: 3| {z }
197
= 1169 (972
1:
+ 591| {z }
1563
)
2:
: 3 = 521 972
1:
: 3| {z }
324
3:
+ 591
2:
: 3| {z }
197
= 521
Gy. 158/2. feladat: Számolási rutin fejlesztése játékos feladattal.
Megoldás:
1416: 2 : 3
7 0 8
: 6
2 3 6 1976: 4 : 2
4 9 4
: 8
2 4 7
Gy. 158/3. feladat: Az írásbeli összeadásról kivonásról szorzásról és osztásról illetve a
m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetett szöveges feladatokban.
Megoldás: a) 615 és 348 összegének a harmadrésze:
a = (615 + 348) : 3 a = 963 : 3
a = 321
b) 615 és 348 különbségének a háromszorosa:
b = (615 - 348) � 3 b = 267 � 3
b = 801
c) 615-nek és 348 harmadrészének a különbsége:
c = 615 - 348 : 3 c = 615 - 116
c = 499
d) 615 harmadrészének és 348-nak az összege:
d = 615 : 3 + 348 d = 205 + 348
d = 553
Gy. 159/4. feladat: Szöveges feladatok melyek megoldásakor alkalmazni kell a mérték-
váltásról tanultakat. Az adatok kigy¶jtésekor a mennyiségeket olyan mértékegységre kell
átváltatnunk amellyel a számolás könnyen elvégezhet®. A szöveges válaszban �gyelje-
nek a tanulók arra hogy az eredmény mikor darabszám illetve mikor mértékegységgel
adott mennyiség!
Megoldás: a) Adatok: 9 m 24 cm = 924 cm
1 db 12 dm 4 cm = 124 cm m = ?
4 db 4 � 124 cm
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
309
Terv: m = 924 { 4 � 124 m = 924 { 496
Becslés: százasra kerekítve: 500 cm
tízesre kerekítve: 440 cm
Számolás: m = 428 cm
Ellen®rzés: 428 + 4 � 124 = 924
Válasz: 428 cm = 4 m 2 dm 8 cm hosszú szalag maradt.
b) Adatok: v = 6 és fél hl = 650 l, b = 22 l 1 kanna 8 l ? kanna
Terv: k = (650 + 22) : 8 k = 672 : 8
Becslés: 80 < k < 90
Számolás: k = 84
Ellen®rzés: 84 � 8 = 650 + 22
Válasz: 84 öntöz®kanna vizet locsoltak szét.
Gy. 160/5. feladat: Összetett szöveges feladatok megoldása az összefüggéslátás fej-
lesztésére.
Megoldás: a) Adatok: v = 572 Ft e: 1 db 128 Ft m = ?
4 db 4 � 128
Terv: m = 572 { 4 � 128 m = 572 { 512
Becslés: százasra kerekítve: 200 Ft
tízesre kerekítve: 50 Ft
Számolás: m = 60
Ellen®rzés: 60 + 4 � 128 = 572
Válasz: 60 Ft-ja maradt Aladárnak.
b) Adatok: v = 572 Ft e: B + 3 f® 128 Ft m = ?
B 128 : 4
Terv: m = 572 { 128 : 3 m = 572 { 32
Becslés: 540 Ft
Számolás: m = 540
Válasz: 540 Ft-ja maradt Barnának.
c) Adatok: v = 572 Ft k: 1 testvér 128 Ft l = ?
4 testvér 4 � 128 Ft
Terv: l = 572 + 4 � 128 l = 572 + 512
Becslés: százasra kerekítve: 1000 Ft
tízesre kerekítve: 1090 Ft
Számolás: l = 1084
Ellen®rzés: A számított érték összhangban van a becsült értékkel.
Válasz: 1084 Ft-ja lett Cilinek.
310 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
d) Adatok: v = 572Ft k: 4 gyerek 128 Ft l = ?
Dóra 128 : 4
Terv: l = 572 + 128 : 4 l = 572 + 32
Becslés: 600 Ft
Számolás: l = 604
Ellen®rzés: A számított érték összhangban van a becsült értékkel.
Válasz: 604 Ft-ja lett Dórának.
Gy. 161/6. feladat: Összetett szöveges feladatok megoldása az összefüggéslátás fej-
lesztésére.
Megoldás: a) Adatok: v = 572 Ft, k = 128 Ft, l >negyede
a a = ?
Terv: a = (572 + 128) : 4 a = 700 : 4
Becslés: 100 < a < 200
Számolás: a = 175
Ellen®rzés: A számított érték összhangban van a becsült értékkel.
Válasz: 175 Ft-ba került a könyv.
b) Adatok: v = 572 Ft, e = 128 Ft, m = 4 db autó, 1 autó ?
Terv: a = (572 { 128) : 4 a = 444 : 4
Becslés: (570 { 130) : 4 = 110 Ft
Számolás: a = 111
Ellen®rzés: A számított érték összhangban van a becsült értékkel.
Válasz: 111 Ft-ba került 1 kis autó.
c) Adatok: v = 572 Ft, k = 128 Ft, b >negyede
m b = ?
Terv: b = (572 { 128) � 4 b = 444 � 4
Becslés: (570 { 130) � 4 = 1760 Ft
Számolás: b = 1776
Ellen®rzés: A számított érték összhangban van a becsült értékkel.
Válasz: 1776 Ft-ja van Gedeon bátyjának.
Gy. 161/7. feladat: Összetett szöveges feladatok megoldása az összefüggéslátás fej-
lesztésére.
Megoldás: a) Adatok: B = 325 Ft, B >
5-szörA Ö = ?
Terv: Ö = 325 + 325 � 5 Ö = 325 + 1625
Ö = 325 � 6
Becslés: százasra kerekítve: 1800 Ft
tízesre kerekítve: 1980 Ft
Számolás: Ö = 1950
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
311
Ellen®rzés: A számított érték összhangban van a becsült értékkel.
Válasz: 1950 Ft-ja van a két lánynak együtt.
b) Adatok: p = 1345, f >
5-szörp ö = ?
Terv: ö = 1345 + 1345 : 5 ö= 1345 + 269
Becslés: százasra kerekítve: 1200
tízesre kerekítve: 1560
Számolás: ö = 1614
Ellen®rzés: 1614 - 1345 : 5 = 1345
Válasz: 1614 tulipán van összesen.
c) Adatok: T = 405, T >
ötödeU U = ?
Terv: U = 405 : 5
Becslés: 80 < U < 90
Számolás: U = 81
Ellen®rzés: 5 � 81 = 405
Válasz: 81 matricája van Ulriknak.
d) Adatok: v = 1405 Ft, v >
ötödea a = ?, m = ?
Terv: a = 1405 : 5
Becslés: 200 < a < 300
Számolás: a = 281
Ellen®rzés: 5 � 281 = 1405
Válasz: 281 Ft-ba került az ajándék.
Terv: m = 1405 { 281
Becslés: százasra kerekítve: 1100 Ft
tízesre kerekítve: 1130 Ft
Számolás: m = 1124
Ellen®rzés: 1124 + 281 = 1405
Válasz: 1124 Ft-ja maradt Zolinak.
Óra: 119. 132{133. 148{149.
5. felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
312 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ismerkedés a törtekkel
Kompetenciák fejlesztési feladatok:
számlálás számolás rendszerezés relációszókincs fejlesztése szövegértés szövegértel-
mezés szövegesfeladat-megoldás rész-egész észlelése induktív következtetések prob-
lémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése �gyelem kezdeményez®ké-
pesség metakogníció meg�gyel®képesség összefüggéslátás pontosság kooperatív és
önálló munkavégzés.
Óra: 120{125. 134{140. 150{156.
El®ször az egységtörteket (a számláló 1) értelmezzük. Egységtörtekr®l már vannak ko-
rábbi tapasztalataik a tanulóknak. Esetleg ismerik a fél, harmad, negyed, � (1 ketted, 1
harmad, �) kifejezéseket.
Csak az egységtörtek fogalmának kialakítása és megszilárdítása után foglalkozzunk
olyan törtekkel, amelyekben a nevez® tetsz®leges szám. A fogalom alakításának id®-
szakában a számlálót számjeggyel, a nevez®t bet¶vel írjuk. Jobb csoportban hamar át-
térhetünk, és használhatjuk a matematikában megszokott írásmódot.
A fogalom tapasztalati megalapozásához állíttassuk el® rajzzal, hajtogatással, kirakás-
sal, kiméréssel stb. különböz® mennyiségek (hosszúságok, területek, id®tartamok, tö-
megek, ¶rtartalmak) törtrészeit.
Tk. 165/Figyeld meg!: Az egységtörteket (a számláló 1) értelmezzük szemléltet® rajz
segítségével.
Tk. 166/1. feladat: Az egységtörtekr®l tanultak közvetlen alkalmazása.
Megoldás: a) Ha 6 egyenl® részre osztjuk a tortát akkor egy gyerek a torta 1 hatod
részét kapja.
b) Ha mindegyiknek 1 heted rész jutott akkor 7 egyenl® részre osztották a
mogyoróskalácsot.
c) Nem egyenl® részre osztották a kenyeret így nem igaz az állítás.
Tk. 166/2. feladat: El®ször állapítsák meg a tanulók, hány egyenl® részre osztottuk az
egészet, majd azt, hogy hány részt színeztünk ki.
Ha úgy ítéljük, hogy a tanulócsoportban az egységtört fogalmát kell®képpen elmélyítet-
tük, vizsgálhatjuk azt is, hogy:
hány részt nem színeztünk ki,
a ki nem színezett rész hányada az egésznek,
egy ábrában a kiszínezett és a ki nem színezett részek összege egyenl® az
1 egésszel.
Megoldás: a) 1 nyolcad b) 1 negyed c) 1 heted d) 1 nyolcad
e) 1 negyed f) 1 negyed g) 1 ketted h) 1 harmad
Tk. 166/3. feladat: Figyeltessük meg azt is hogy ha több részre osztjuk az 1 egészet
akkor kisebb lesz a törtrész.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
313
Megoldás: a)1
2, b)
1
3, c)
1
4, d)
1
6, e)
1
12.
Tk. 167/4. feladat: Tudatosítsuk a törtrész meghatározásának gondolatmenetét. A ne-
vez®nek megfelel® egyenl® részre osztjuk a mennyiséget, és számlálónyit veszünk a
részekb®l. Egységtörteknél nevez®nyi részekb®l 1-et veszünk.
Hasonlítsuk össze nagyság szerint is az egyes törtrészeket.
Megoldás: a)1
2, b)
1
4, c)
1
8, d)
1
2:
Tk. 167/5. feladat: A törtrészek tanításakor jól használható a színesrúdkészlet. Tetsz®-
leges rudat egységül választva meghatározhatjuk a többi értékét.
Megoldás: a) világoskék, rózsaszín, fehér,
b) citromsárga, rózsaszín, fehér,
Tk. 167/6. feladat: Vetessük észre hogy az egység adott törtrésze többféleképpen is
el®állítható. Nagyság szerint is hasonlítsuk össze az egyes törtrészeket.
Megoldás: a) 1., 7.; b) 5.; c) 2., 8.; d) 3.; e) 4.; f) 6.
Tk. 168/7. feladat: A törtrészek tanításakor jól használható a színesrúdkészlet. Tetsz®-
leges rudat egységül választva meghatározhatjuk a többi értékét.
Megoldás: a) 6 kis négyzetet kell kiszínezni.
b) 2 kis négyzetet kell kiszínezni.
c) 3 kis négyzetet kell kiszínezni.
d) 4 kis négyzetet kell kiszínezni.
e) 12 kis négyzetet kell kiszínezni.
f) 1 kis négyzetet kell kiszínezni.
Tk. 168/8. feladat: Hosszúságméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.
Megoldás: a)1
2, b)
1
3, c)
1
4, d)
1
6, e)
1
8, f)
1
12.
Tk. 168/9. feladat: Hosszúságméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.
Megoldás: 1 dm = 100 mm
a) 50 mm, b) 20 mm, c) 10 mm, d) 25 mm.
Tk. 168/10. feladat: Hosszúságméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.
Megoldás: 1 m = 10 dm
a) 5 dm, b) 2 dm, c) 1 dm, d) 2 és fél dm.
Tk. 168/11. feladat: �rtartalomméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.
314 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 1 l = 10 dl
a) 5 dl, b) 15 dl, c) 2 dl, d) 1 dl.
Tk. 169/12. feladat: Id®méréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.
Megoldás: 1. óra: 30 perc, 2. óra: 15 perc, 3. óra: 10 perc, 4. óra: 6 perc.
Tk. 169/13. feladat: Id®méréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.
Megoldás: 1. óra:1
3óra, 2. óra:
1
12óra, 3. óra:
1
5óra, 4. óra: 1 óra.
Tk. 169/14. feladat: Területméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.
Megoldás: a)1
2részét, b)
1
4részét, c)
1
8részét.
Tk. 169/15. feladat: Sok tevékenység alapján gy®z®djenek meg a tanulók arról, hogy
egyenl® törtrészekb®l mikor kapunk pontosan egy egészet. Például: a papírcsíkot 12
egyenl® részre osztom, és 12 részt veszek. (Ha a számláló és a nevez® megegyezik,
akkor a tört értéke 1 egész.)
Megoldás: a) 5, b) 7, c) 6, d) 10, e) 8, f) 9.
Tk. 170/1. kidolgozott mintapélda: Miután az egységtörtek fogalmát kialakítottuk és
megszilárdítottuk foglalkozhatunk olyan törtekkel amelyekben a nevez® tetsz®leges
szám.
A mintapélda többféleképpen szemlélteti a tört fogalmát (a számláló már nem csak 1).
Hangsúlyozzuk hogy az 1 egészet hány egyenl® részre osztjuk és hányat veszünk a
részekb®l. Például a dinnye 2 harmad részét úgy állítjuk el® hogy három egyenl® részre
osztjuk és abból veszünk 2 részt.
Tk. 170/2. kidolgozott mintapélda: Ugyanúgy mint az egységtörtek esetében itt is állít-
sanak el® a tanulók különböz® mennyiségeket: hosszúságokat területeket id®tartamokat
tömegeket ¶rtartalmakat rajzzal hajtogatással kiméréssel stb.
Tk. 170/16. feladat: Gyakorlófeladatok a törtrész meghatározására.
Nagyság szerint is hasonlíttassuk össze egy-egy mennyiség különböz® törtrészeit.
Megoldás: a) Zöld:1 nyolcad b) Zöld:2 nyolcad
Lila: 7 nyolcad Lila: 6 nyolcad
c) Zöld:3 nyolcad d) Zöld:4 nyolcad
Lila: 5 nyolcad Lila: 4 nyolcad
Tk. 171/17. feladat: Gyakorlófeladatok a törtrész meghatározására.
Nagyság szerint is hasonlíttassuk össze egy-egy mennyiség különböz® törtrészeit.
Megoldás: a)2
3, b)
2
4=1
2,
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
315
c)4
6=2
3, d)
5
12,
e)2
2= 1, f)
3
4.
Tk. 171/18. feladat: Gyakorlófeladatok a törtrész meghatározására.
Nagyság szerint is hasonlíttassuk össze egy-egy mennyiség különböz® törtrészeit.
Megoldás: a) 3 negyed b) 1 ketted
1 negyed 1 ketted
c) 2 harmad d) 5 hatod
1 harmad 1 hatod
e) 4 ötöd f) 8 kilenced
1 ötöd 1 kilenced
Tk. 171/19. feladat: Gyakorlófeladatok a törtrész meghatározására.
Nagyság szerint is hasonlíttassuk össze egy-egy mennyiség különböz® törtrészeit.
Megoldás: a) 1 ketted d) 6 nyolcad (3 negyed)
b) 1 negyed e) 5 nyolcad
c) 1 nyolcad f) 3 nyolcad
Tk. 171/20. feladat: Gyakorlófeladatok a törtrész meghatározására.
Nagyság szerint is hasonlíttassuk össze egy-egy mennyiség különböz® törtrészeit.
Megoldás: a) Világoskék b) Lila
c) Rózsaszín d) Piros
e) Fehér f) Rózsaszín
g) Piros h) Citromsárga
Tk. 170/3. kidolgozott mintapélda: Tasziló segítségével olyan törtekkel foglalkozhatunkamelyekben a nevez® tetsz®leges szám és a számláló nem csak 1.
Tk. 172/21. feladat: Adott mennyiségeknek a különböz® törtrészeit hasonlítjuk össze
nagyság szerint.
Megoldás: a)1
8,
3
8,
7
8,
4
8,
2
81
8<
2
8<
3
8<
4
8<
7
8
b)1
4,
1
3,
1
8,
1
2,
1
51
8<
1
5<
1
4<
1
3<
1
2
316 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 172/22. feladat: Testek építése kockából. A térfogat törtrészének megépítése.
Törtrészb®l az egység megépítése testek térfogatának összehasonlítása. A tanulók tér-
szemléletének fejlesztése érdekében építsék meg a különböz® testeket a színesrúdkész-
let fehér kockáiból.
Megoldás: a) 2 nyolcad b) 3 nyolcad c) 4 nyolcad
1 negyed 2 negyed
1 ketted
d) 6 nyolcad e) 5 nyolcad f) 1 nyolcad
3 negyed
Tk. 172/23. feladat: Testek építése kockából. A térfogat törtrészének megépítése. Tört-
részb®l az egység megépítése testek térfogatának összehasonlítása. A tanulók térszem-
léletének fejlesztése érdekében építsék meg a különböz® testeket a színesrúdkészlet
fehér kockáiból.
Megoldás: a) b)
c) d)
e)
Tk. 173/4. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg hogy egy-egy tört sokféle alakban
felírható. Különböz® tevékenységekkel szerezzenek tapasztalatot err®l a tanulók (színe-
zés kirakás színesrudakkal papírhajtogatás stb.). Ezzel el®készítjük a törtek b®vítését
egyszer¶sítését.
Tk. 173/24. feladat: Gyakorlófeladatok a törtrész meghatározására.
Nagyság szerint is hasonlíttassuk össze egy-egy mennyiség különböz® törtrészeit.
Megoldás: a) 1 negyed b) 2 negyed
1 ketted
c) 3 negyed d) 1 ketted
e) 1 nyolcad f) 2 nyolcad
1 negyed
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
317
g) 3 nyolcad h) 4 nyolcad
2 negyed
1 ketted
i) 1 tizenhatod j) 6 tizenhatod
3 nyolcad
k) 12 tizenhatod l) 6 nyolcad
6 nyolcad 3 negyed
3 negyed
Egyenl®: a és f;
b d és h;
c k és l;
g és j.
Tk. 173/25. feladat: Gyakorlófeladatok a törtrész meghatározására.
Nagyság szerint is hasonlíttassuk össze egy-egy mennyiség különböz® törtrészeit.
Megoldás: a) 2 harmad b) 3 negyed
4 hatod = 2 harmad 6 nyolcad = 3 negyed
6 kilenced = 2 harmad 9 tizenketted = 3 negyed
Tk. 174/5. kidolgozott mintapélda: Itt is mennyiségek törtrészét számíttatjuk ki ahol
következtetni kell többr®l egyre majd egyr®l többre a szorzásról és az osztásról tanultak
alkalmazásával. �Ugyeljünk a szöveges feladat lépéseinek betartására.
Az ilyen típusú feladatokat els®sorban di�erenciálásra tehetségfejlesztésre használhat-
juk fel.
Tk. 174/26. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.
Megoldás: 1 dm = 100 mm
a) 10 mm, b) 20 mm, c) 60 mm, d) 7 mm,
e) 40 mm, f) 60 mm, g) 50 mm, h) 100 mm.
Tk. 174/27. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.
Megoldás: 1 km = 1000 mm
a) 500 m, b) 1000 m, c) 250 m, d) 750 m,
e) 200 m, f) 800 m, g) 100 m, h) 200 m.
Tk. 174/28. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.
Megoldás: 1 kg = 1000 g
a) 500 g, b) 500 g, c) 1000 g, d) 1500 g,
e) 400 g, f) 400 g, g) 10 g, h) 1 g.
318 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 175/29. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.
Megoldás: 1 hl = 100 l
a) 50 l, b) 50 l, c) 10 l, d) 50 l,
e) 25 l, f) 50 l, g) 50 l, h) 100 l.
Tk. 175/30. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.
Megoldás: a) 72 mm b) 96 mm
c) 36 mm d) 48 mm
e) 216 mm f) 192 mm
g) 180 mm h) 144 mm
Tk. 175/31. feladat: Szöveges feladatokban a törtrészt kell meghatározni.
Megoldás: a) Adatok:
160Ftz }| {
| {z }
b
| {z }
m
Terv: m = 160 { 160 : 4 m = 160 { 40
m = 160 : 4 � 3 m = 40 � 3
Számolás: m = 120Ft
Ellen®rzés: 120 + 160 : 4 = 160
Válasz: 120 Ft-ja maradt Petinek.
b) Adatok:
145z }| {
| {z }
B
| {z }
N
Terv: n = 145 { 145 : 5 n = 145 { 29
n = 145 : 5 � 4 n = 29 � 4
Számolás: n = 116
Ellen®rzés: 116 + 145 : 5 = 145
Válasz: 116 képeslap nem a Balatont ábrázolja.
c) Adatok:
273z }| {
| {z }
n
| {z }
x
Terv: x = 273 { 273 : 3 x = 273 { 91
x = 273 : 3 � 2 x = 91 � 2
Számolás: x = 182
Ellen®rzés: 182 + 273 : 3 = 273
Válasz: 182 bélyege van albumban.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
319
Tk. 175/32. feladat: Szöveges feladatokban a törtrészt kell meghatározni.
Megoldás: a) H = 720 : 3 H = 240 m
Hz }| {
| {z }
I
I = 720 : 6 � 2 I = 240 m
Ugyanakkora távot futottak.
b) N = 720 : 6 � 2 N = 480 m
Nz }| {
| {z }
O
O = 720 : 6 � 5 O = 600 m
Ottó futott többet, és 120 m-rel megel®zte Nórit.
c) P = 720 : 3 P = 240 m
Pz }| {
| {z }
K
R = 720 : 2 R = 360 m
Robi futott többet, és 120 m-rel megel®zte Pannit.
d) J = 720 : 3 � 2 J = 480 m
Jz }| {
| {z }
K
K = 720 : 4 � 3 K = 540 m
Karcsi futott többet, és 60 m-rel megel®zte Janit.
320 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 162/1. feladat: Itt is tudatosítsuk a törtrész meghatározásának algoritmusát.
A nevez®nek megfelel® egyenl® részekre osztjuk a mennyiséget és számlálónyit veszünk
a részekb®l.
Megoldás:
a) 1 ketted 1 negyed 1 harmad 1 hatod 1 tizenketted
b) 2 ketted 2 negyed 2 harmad 2 hatod 2 tizenketted
c) 3 nyolcad 3 negyed 3 harmad 3 hatod 3 tizenketted
d) 4 nyolcad 4 negyed 4 tizenketted 6 hatod 6 tizenketted
Gy. 162/2. feladat: Törtrészb®l az 1 egész meghatározása.
Megoldás:
a) 1 ketted része: b) 1 harmad része: c) 1 negyed része:
Jobb csoportokban beszéljük meg, hogy hányad részek adnak ki egy egészet.
1
2+1
2= 1
1
3+2
3= 1
1
4+3
4= 1
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
321
d) 1 ketted része: e) 1 hatod része: f) 1 ötöd része:
1
2+1
2= 1
1
6+5
6= 1
1
5+4
5= 1
Gy. 163/3. feladat: Hosszúságméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l
illetve egész rész meghatározása a törtrészb®l.
Megoldás: a) 1 ketted
2 ketted
b) 1 harmad
2 harmad
c) 1 hatod
4 hatod
d) 1 kilenced
4 kilenced
Gy. 163/4. feladat: Hosszúságméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l
illetve egész rész meghatározása a törtrészb®l.
Megoldás:
a)
b)
c)
d)
Gy. 163/5. feladat: Törtrész meghatározása. Tudatosítsuk a tört el®állításának az algo-
ritmusát: hány egyenl® részre osztjuk a mennyiséget hányat veszünk a részekb®l.
Megoldás: a) 18 virágot kell körülkeríteni.
b) 10 virágot kell körülkeríteni.
c) 12 virágot kell körülkeríteni.
d) 36 almát kell körülkeríteni.
e) 18 körtét kell körülkeríteni.
f) 24 epret kell körülkeríteni.
Gy. 164/6. feladat: Figyeltessük meg mikor kisebb mikor egyenl® és mikor nagyobb a
tört értéke 1 egésznél.
322 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: a) 1 ketted 2 ketted 3ketted
b) 1 harmad 2 harmad 3 harmad 4harmad
c) 1 negyed 2 negyed 4 negyed 5negyed
d) 1 hatod 2 hatod 6 hatod 8hatod
e) 1 tizenketted 4tizenketted 12tizenketted 16tizenketted
Gy. 164/7. feladat: Az eddig szerzett tapasztalatok alapján a tanulók már képesek meg-
állapítani egy törtr®l hogy kisebb nagyobb-e egy egésznél vagy egyenl®-e egy egésszel.
Mivel a törtet valamely mennyiség részeként értelmeztük a megoldást a pozitív termé-
szetes számok halmazán keressük.
Megoldás: a ketted < 1 egész a : 0; 1
b ketted = 1 egész b : 2
c ketted > 1 egész c : 3; 4; . . .
d hatod < 1 egész d : 0; 1; 2; 3; 4; 5
e hatod = 1 egész e : 6
f hatod > 1 egész f : 7; 8; . . .
Gy. 165/8. feladat: Törtrész meghatározása.
Megoldás: a = 15 négyzetet kell kiszínezni.
b = 12 négyzetet kell kiszínezni.
c = 15 négyzetet kell kiszínezni.
Gy. 165/9. feladat: Törtrész kiegészítése egy egésszé.
Megoldás:
a) 2 harmad része: b) 3 negyed része: c) 4 ötöd része:
Gy. 165/10. feladat: Törtrész kiegészítése egy egésszé.
Megoldás:
a)
1 ketted + 1 ketted = 1 1 harmad + 2 harmad = 1
b)
1 negyed + 3 negyed = 1 2 harmad + 1 harmad = 1
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
323
c)
1 negyed + 3 negyed = 1 2 harmad + 1 harmad = 1
Gy. 166/11. feladat: Törtrész kiegészítése egy egésszé.
Megoldás: a) 2 ötöd + 3 ötöd = 1
b) 3 negyed + 1 negyed = 1
c) 2 hatod + 4 hatod = 1
d) 5 nyolcad + 3 nyolcad = 1
e) 3 tized + 7 tized = 1
f) 5 heted + 2 heted = 1
Gy. 166/12. feladat: Törtrész kiegészítése egy egésszé.
Megoldás:
a) b)
4 nyolcad + 4 nyolcad =1; 4 negyed + 0 negyed = 1;
c) d)
1 harmad + 2 harmad = 1; 1 hatod + 5 hatod = 1;
e) f)
4 tized + 6 tized = 1; 4 ötöd + 1 ötöd = 1
Gy. 166/13. feladat: Törtrész kiegészítése egy egésszé.
Megoldás:
a) b) 3 negyed = 6 nyolcad
b) c) 1 harmad = 2 hatod
d) e) 1 harmad = 3 kilenced
Gy. 167/14. feladat: Törtrész megállapítása összehasonlítása.
Megoldás: a) 2 harmad > 2 hatod b) 2 nyolcad < 2 negyed
c) 3 hatod > 2 hatod d) 6 nyolcad = 3 negyed
e) 4 ötöd > 4 hatod f) 4 tized < 5 tized
g) 2 harmad = 4 hatod h) 5 kilenced > 4 nyolcad
i) 2 negyed = 3 hatod j) 5 nyolcad < 4 hatod
k) 5 huszad = 2 nyolcad l) 3 nyolcad < 4 heted
Gy. 168/15. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.
Megoldás: a) fél m = 5 dm = 50 cm = 500 mm;
b) 1 ötöd m = 2 dm = 20 cm = 200 mm;
324 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) 1 tized m = 1 dm = 10 cm = 100 mm;
d) 3 negyed m = 75 cm = 750 mm;
e) 7 tized m = 7 dm = 70 cm = 700 mm.
Gy. 168/16. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.
Megoldás: a) fél dl = 5 cl = 50 ml; d) 2 negyed dl = 5 cl = 50 ml;
b) 1 ötöd dl = 2 cl = 20 ml; e) 4 tized dl = 4 cl = 40 ml;
c) 1 tized dl = 1 cl = 10 ml; f) 3 ötöd dl = 6 cl = 60 ml.
Gy. 168/17. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.
Megoldás: a) fél kg = 50 dkg = 500 g;
b) 1 negyed kg = 25 dkg = 250 g;
c) 1 tized kg = 10 dkg = 100 g;
d) 3 negyed kg = 75 dkg = 750 g;
e) 2 ötöd kg = 40 dkg = 400 g.
Gy. 168/18. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.
Megoldás: a) fél óra = 30 perc; f) 5 hatod óra = 50 perc;
b) 1 negyed óra = 15 perc; g) 3 negyed óra = 45 perc;
c) 1 tized óra = 6 perc; h) 7 tized óra = 42 perc;
d) 1 harmad óra = 20 perc; i) 2 harmad óra = 40 perc;
e) 1 hatod óra = 10 perc; j) 3 ketted óra = 90 perc.
Gy. 168/19. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.
Megoldás: a) 1 negyed nap = 6 óra; d) 2 negyed nap = 12 óra;
b) 1 harmad nap = 8 óra; e) 2 harmad nap = 16 óra;
c) fél nap = 12 óra; f) 3 ketted nap = 36 óra.
Gy. 169/20. feladat: Szöveges feladatokban a törtrészt kell meghatározni.
Megoldás: a) Adatok:
12z }| {
| {z }
A
| {z }
m
Terv: m = 12 : 6 � 4
Számolás: m = 8
Válasz: 8 diós ki i maradt.
4 hatod = 2 harmad része ez az egésznek.
b) Adatok:
16z }| {
| {z }
B
Terv: B = 16 : 8 � 3
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
325
Számolás: B = 6
Válasz: 6 süteményt evett Bogi.
5 nyolcad része maradt meg az egésznek.
c) Adatok:
18Ftz }| {
| {z }
C
Terv: C = 18 : 9 � 5
Számolás: C = 10
Válasz: 10 Ft-ot költött el Cili.
4 kilenced része maradt meg a pénzének.
d) Adatok:
20z }| {
| {z }
D
Terv: D = 20 : 10 � 3
Számolás: D = 6
Válasz: 6 matricát kapott Dani.
7 tized részt kapott a többi gyerek.
e) Adatok:
45 percz }| {
| {z }
f
Terv: f = 45 : 9 � 2
Számolás: f = 10 perc
Válasz: 10 percig futottak a gyerekek.
Terv: l = 45 { 10
Számolás: l = 35 perc
Válasz: 35 percig labdáztak a gyerekek.
f) Adatok:
30 napz }| {
| {z }
e
Terv: e = 30 : 5 � 2
Számolás: e = 12 nap
Válasz: 12 nap volt es®s áprilisban.
Ez 3 nappal kevesebb a hónap felénél.
A hónap 3 ötöd részében nem esett az es®.
Megoldás: a) Adatok:
366napz }| {
| {z }
t
| {z }
n
Terv: n = 366 : 6 � 3
326 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Számolás: n = 183 nap
Válasz: 183 napig nem f¶töttek ebben az évben.
1 ketted része ez az egész évnek.
1
2=2
4=3
6=4
8=
5
10
Nagyítás, kicsinyítés
Kompetenciák fejlesztési feladatok:
rész-egész észlelése térbeli viszonyok meg�gyelése térlátás induktív következtetések
problémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése feladattartás �gyelem
kezdeményez®képesség kreativitás meg�gyel®képesség összefüggéslátás pontosság
csoportos páros egyéni munkavégzések esztétikai-m¶vészeti nevelés.
Óra: 126{127. 141{142. 157{158.
A �nagyított", �kicsinyített" képek segítségével a hasonló (ugyanolyan alakú), illetve az
egybevágó (ugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶) fogalmakkal ismerkednek a tanu-
lók.
Szerezzenek minél több tapasztalatot nagyított, illetve kicsinyített kép el®állításában raj-
zolással rácson, vetítéssel, építéssel stb. Adjunk feladatokat nem hasonlósági transzfor-
mációkra (�zsugorításra", �nyújtásra", �torzításra") is. Figyeltessük meg a nagyítással és
a kicsinyítéssel, illetve a �nyújtással", �zsugorítással" el®állított képek közti különbséget.
Szerezzenek tapasztalatot arról, hogy az egybevágóság a hasonlóság speciális esete
(az ugyanolyan alakú alakzat ugyanolyan méret¶ is). Vetessük észre, hogy a tengelyes
tükrözéssel is hasonlósági transzformációt határozunk meg.
Tk. 176/Emlékeztet®: A �nagyított", �kicsinyített" képek segítségével a hasonló (ugyano-
lyan alakú) illetve az egybevágó (ugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶) fogalmakkal
ismerkednek a tanulók.
Tk. 176/1. kidolgozott mintapélda: Tasziló olyan típushibákra hívja fel a �gyelmet ame-
lyet a tanulók gyakran elkövetnek. Ezek megbeszélésével elmélyíthetjük az ismereteket.
Tk. 177/1. feladat: Kancsók képét kell összehasonlítani s az ugyanolyan alakú kancsókatkikeresni.
Megoldás: Három különböz® alakú kancsó képe látható.
Azok �ugyanolyan alakúak" amelyek egymásnak pontosan kicsinyített
nagyított vagy ugyanolyan méret¶re lemásolt képei.
Tk. 177/2. feladat: Kacsák képét kell összehasonlítani s megkeresni az ugyanolyan ala-
kúakat.
Megoldás: Az eredeti rajzhoz Anna, Bea, Cili, Eta, Feri rajza hasonló.
Anna az eredeti rajz tükörképét rajzolta le,
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
327
Eta a felére kicsinyítette,
Cili a kétszeresére nagyította,
Feri a felére kicsinyítette és tükrözte az eredeti rajzot.
Anna és Bea rajza egybevágó az eredetivel.
Tk. 178/3. feladat: Indirekt di�erenciálásra alkalmas feladat.
Megoldás: Figyeljük meg ki hányféle különböz® szabályt tud alkalmazni.
Tk. 178/4. feladat: Az �ugyanolyan alakú" fogalom elmélyítésére szánt feladat.
Megoldás: a) Ugyanolyan alakú a két háromszög.
b) Ugyanolyan alakú a két háromszög.
c) Ugyanolyan alakú a két háromszög.
d) Nem ugyanolyan alakú a két háromszög.
e) Ugyanolyan alakú a két háromszög.
f) Ugyanolyan alakú a két háromszög.
Tk. 178/5. feladat: Az �ugyanolyan alakú" fogalom elmélyítésére szánt feladat.
Megoldás: a) Ugyanolyan alakú a két négyszög.
b) Nem ugyanolyan alakú a két négyszög.
c) Ugyanolyan alakú a két négyszög.
d) Ugyanolyan alakú és nagyságú a két négyszög.
e) Ugyanolyan alakú a két négyszög.
f) Nem ugyanolyan alakú a két négyszög.
g) Ugyanolyan alakú és nagyságú a két négyszög.
h) Ugyanolyan alakú a két négyszög.
i) Ugyanolyan alakú és nagyságú a két négyszög.
Gy. 170/1. feladat: Geometriai transzformációk végrehajtása különböz® rácsok segít-
ségével. A megoldása során a tanulók szerezzenek tapasztalatot az ugyanolyan alakú
(hasonló) illetve az ugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶ (egybevágó) alakzatok ki-
választásában vizsgálatában.
Megoldás:
� � �
�
� � �
�
328 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 170/2. feladat: Geometriai transzformációk végrehajtása különböz® rácsok segít-
ségével. A megoldása során a tanulók szerezzenek tapasztalatot az ugyanolyan alakú
(hasonló) illetve az ugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶ (egybevágó) alakzatok ki-
választásában vizsgálatában.
Megoldás:
a) b) c)
d) e) f)
A b kacsára igaz hogy ugyanolyan alakú mint az eredeti kacsa.
Gy. 171/3. feladat: Geometriai transzformációk végrehajtása különböz® rácsok segít-
ségével. A megoldása során a tanulók szerezzenek tapasztalatot az ugyanolyan alakú
(hasonló) illetve az ugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶ (egybevágó) alakzatok kivá-
lasztásában vizsgálatában. Idézzük fel a mer®legességr®l párhuzamosságról tanultakat.
Megoldás: a) b)
c) d)
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
329
e) f) g)
Gy. 172/4. feladat: Kerestessünk a rajzok közül ugyanolyan alakúakat, ugyanolyan alakú
és méret¶eket. Egy rajzon belül mer®leges illetve párhuzamos egyenespárokat. Figyel-
tessük meg hogy ezek a transzformációk szakasz- és szögtartók.
Megoldás: Hasonló az eredeti rajzzal az e és f rajz.
Hasonló egymással a b és c.
Hasonló egymással az a és d.
Gy. 172/5. feladat: A feladatsornak több megoldása is lehet.
a)
b)
c) d)
330 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 173/6. feladat: Figyeljük meg ki hány különböz® szabály alapján tudja transzformálni
az adott ábrát. Megtalálják-e az eredetihez hasonlót illetve az eredetivel egybevágót?
Kerestessünk mer®leges, illetve párhuzamos egyenespárokat.
Megoldás: a) b)
c) Feladatna több megoldása van, attól függ®en, hogy hol veszük fel a
tükörtengelyt. Például:
tt
t
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
331
d) e)
Gy. 174/7. feladat: Az �ugyanolyan alakú" fogalmának elmélyítésére szánt feladat.
Megoldás: A-jel¶ hatszög ugyanolyan alakú mint az eredeti.
Gy. 174/8. feladat: Az �ugyanolyan alakú" fogalmának elmélyítésére szánt feladat.
Megoldás: a) B-jel¶ téglalap ugyanolyan alakú mint az eredeti.
b) A-jel¶ téglalap ugyanolyan alakú mint az eredeti.
c) C és D-jel¶ téglalap ugyanolyan alakú mint az eredeti.
Gy. 174/9. feladat: Az �ugyanolyan alakú" fogalmának elmélyítésére szánt feladat.
Megoldás:
Mindegyik négyszögben a szemben lev® oldalak párhuzamosak (paralelogrammák).
Az A-nak kétszeresére nagyított képe a H.
A B és a C négyszögnek mind a négy oldala egyenl® (rombuszok), és a megfelel® szö-
geik megegyeznek.
A D és az F azonos alakúak és azonos méret¶ek (egybevágó paralelogrammák), csak
az elhelyezésük más.
Például a D és a H nem ugyanolyan alakú. Egyik oldaluk hosszúsága megegyezik, a
másiké nem. (Megfelel® oldalaik aránya nem egyezik meg, az egyik �megnyúltabb".)
Az E és a G síkidomok (nem hasonló) téglalapok. A szomszédos oldalak mer®legesek.
332 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Alaprajzok, térképek
Kompetenciák fejlesztési feladatok:
rész-egész észlelése térbeli viszonyok meg�gyelése térlátás induktív következtetések
problémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése feladattartás �gyelem
kezdeményez®képesség kreativitás metakogníció meg�gyel®képesség összefüggéslá-
tás pontosság csoportos páros egyéni munkavégzések.
Óra: 128{129. 143{144. 159{160.
A téma szorosan kapcsolódik a környezetismerethez és a technikához. A helyi tan-
tervben illetve a tanmenetben is hangoljuk össze a különböz® tantárgyakban ennek az
anyagrésznek a feldolgozását. Ha a fenti tantárgyak valamelyikével esetleg a testneve-
léssel is több órás összevont foglalkozást tartunk akkor lehet®ségünk nyílik arra hogy
kimozduljunk a tanteremb®l. Térképezzük fel az iskolaudvart vagy egy közeli parkot; ki-
rándulás túra alkalmával tájékozódjanak a tanulók a terepen térkép segítségével ismerjék
meg a világtájakat.
Tk. 179/Figyeld meg!: Egy szoba alaprajzát mutatjuk be. Ennek kapcsán beszéljük meg
mit jelent az alaprajz térképvázlat térkép. Készítsünk minél több alaprajzot térképet ezzel
is gyakorolva a becslést megmérést kimérést.
Tk. 180/1. feladat: A feladat lehet®séget teremt a magyar illetve az idegen nyelvvel való
koncentrációra. Meséljenek a szobájukról.
Megoldás: a) Otthon készítsék el a tanulók a szobájuk alaprajzát.
Tk. 180/2. feladat: Világtájak segítségével tájékozódunk a térképen. Beszéljük meg a
kicsinyítés mértékét.
Megoldás: a) 2 m a valóságban.
b) Északi irányban van a kert bejárata.
c) Rajzon: Valóságban:
Hossza: 55 mm 11 m
Szélessége: 25 mm 5 m
d) Dél 2 m
Nyugat: 6 m
Dél: 14 m
Kelet: 4 m
Tk. 180/3. feladat: Világtájak segítségével tájékozódunk a térképen. Beszéljük meg a
kicsinyítés mértékét.
Megoldás: Kimegy a kertb®l a süni.
Gy. 175/1. feladat: Egy iskolának és környékének térképvázlatán kell tájékozódni a ta-
nulóknak. Hasonló térképvázlatot készítsenek a tanulók a saját iskolájuk és annak kör-
nyékér®l.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
333
Megoldás: a)A téglalap 1 2 3 4 5 6
A rajzon hosszúsága (mm) 128 59 20 46 10 80
szélessége (mm) 80 20 15 30 10 30
A valóságban hosszúsága (m) 128 59 20 46 10 80
szélessége (m) 80 20 15 30 10 30
b) A sportudvar távolsága a tornateremt®l a rajzon: 10 mm
a valóságban: 10 m.
Gy. 176/2. feladat: A gyermek környezetében található tárgyak alaprajza nézeti rajza.
Az alaprajzról a nézeti rajzról a tárgy felismerése.
Megoldás: Be kell rendezni a szobát a bútorokkal. Beszéljük meg mire kell ügyelnünk
a bútorok elhelyezésekor.
c) Ruhásszekrény: 60 cm és 120 cm
Íróasztal: 80 cm és 140 cm
Szék: 40 cm és 40 cm
Könyvszekrény: 80 cm és 20 cm
Ágy: 80 cm és 160 cm
Szoba: 360 cm és 240 cm
Ablak: 100 cm
Ajtó: 80 cm
Kerület
Kompetenciák fejlesztési feladatok:
rész-egész észlelése térbeli viszonyok meg�gyelése térlátás induktív következtetések
problémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése feladattartás �gyelem
kezdeményez®képesség kreativitás meg�gyel®képesség összefüggéslátás pontosság
csoportos páros egyéni munkavégzések.
Óra: 130{131. 145{146. 161{162.
Tényleges mérések alapján minél több sokszögnek (asztallapnak teremnek képnek ud-
varnak) határozzák meg a kerületét a tanulók hogy kell®en megszilárduljon ez a fogalom.
Az alsó tagozatban nem célunk képletek tanítása.
A kerületszámítással kapcsolatos feladatok megoldása során az írásbeli m¶veleteket is
gyakoroljuk.
Tk. 181/1. kidolgozott mintapélda: Példát mutatunk a sokszög kerületének kiszámítá-
sára.
334 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 181/Figyeld meg!: Figyeltessük meg hogy ha nagyobb az egység akkor arányosan
kisebb a mér®szám.
Tk. 181/1. feladat: Sokszög kerületének kiszámítása.
Megoldás: a) K = 18 + 53 + 18 + 53K = 144m
K = 2 � 18 + 2 � 53
K = (18 + 53) � 2
144 m hosszú a téglalap alakú kert kerítése.
b) K = 32 + 32 + 32 + 32K = 128m
K = 4 � 32
128 m hosszú a négyzet alakú kert kerülete.
c) K = 25 + 60 + 75K = 160m
160 m hosszú a háromszög alakú kert kerülete.
Tk. 182/2. feladat: Téglalap kerületének kiszámítása.
Megoldás: a) Hosszúsága: 65 mm
Szélessége: 40 mm
b) K = (65 + 40) � 2
K = 210mm
210 mm utat tesz meg a hangya.
Tk. 182/3. feladat: Alaprajzról valóságos méretet majd kerületet kell meghatározni.
Megoldás: a) Tizedrészére kicsinyítettük a képet.
b) Hosszúsága: 46 cm
Szélessége: 33 cm
c) K = (46 + 33) � 2
K = 158mm
158 mm hosszú zöld vonal keríti körül az ábrát.
d) 158 cm hosszú léc szükséges a kép keretének elkészítéséhez.
Tk. 182/4. feladat: Alaprajzról valóságos méretet majd kerületet kell meghatározni.
Megoldás: a) Az alaprajzon a szélesség 32 mm a hosszúság 50 mm a valóságban a
szélesség 32 dm a hosszúság 50 dm.
b) Az alaprajzon az ajtó 10 mm az ablak 10 mm széles a valóságban az
ajtó 10 dm az ablak 10 dm széles.
c) Az ajtóban nem raknak szeg®lécet az ablak alatt igen.
h = 32 + 50 + 32 + (50 { 10)
h = 154dm
154 dm = 15 m 4 dm szeg®lécet használtak fel.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
335
Tk. 182/5. feladat: Alaprajzról valóságos méretet majd kerületet kell meghatározni.
Megoldás: a = 45 dm b = 35mm
K = (35 + 45) � 2
K = 160dm
160 dm = 16 m hosszú fal határolja a medencét.
Gy. 177/1. feladat: Sokszög kerületének kiszámítása alkalmi mértékegységgel. Figyel-
tessük meg a mér®szám és a mértékegység közötti kapcsolatot.
Megoldás: a) K = 14 K = 7 K = 2
b) K = 20 K = 10 K = 5
c) K = 12 K = 6 K = 4
K = 3 K = 2
Gy. 177/2. feladat: A sokszögek oldalait sorban mérjük rá a félegyenesre majd határoz-
zuk meg a kerületet.
Megoldás: a) K = 97 mm = 9 cm 7 mm
b) K = 80 mm = 8 cm 0 mm
c) K = 72 mm = 7 cm 2 mm
Terület
Kompetenciák fejlesztési feladatok:
rész-egész észlelése térbeli viszonyok meg�gyelése térlátás induktív következtetések
problémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése feladattartás �gyelem
kezdeményez®képesség kreativitás meg�gyel®képesség összefüggéslátás pontosság
csoportos páros egyéni munkavégzések.
Óra: 132{133. 147{148. 163{165.
Tevékenységre alapozva szemléletet fejlesztve készítjük el® a területszámítást. Minél
több sokszöget fedessünk le különböz® alakú és méret¶ lapokkal. Hívjuk föl a tanulók
�gyelmét arra hogy egy rétegben és hézagmentesen fedjék le az egységekkel az alak-
zatokat.
Vetessük észre hogy bizonyos esetekben könnyebben meg tudjuk határozni a területet
ha átdaraboljuk a síkidomot.
Figyeltessük meg hasonlítsuk össze hasonló síkidomok kerületét illetve területét.
Tk. 183/1. feladat: Négyszögek lefedése lapokkal a terület fogalmának el®készítése.
Megoldás: a) 15 tégla > b) 14 tégla
336 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 183/2. feladat: Négyszögek lefedése lapokkal a terület fogalmának el®készítése.
Megoldás: Frédi: 7 � 6 = 42
Gréti: 8 � 5 = 40
Frédi használt fel több négyzetlapot.
Frédi terít®jével fedhet® le nagyobb terület.
Tk. 183/3. feladat: Sokszögek lefedése különböz® alakú és méret¶ lapokkal. Keressenek
a tanulók összefüggést a mér®szám és a mértékegység között.
Ugyanazt a területet mérve nagyobb mértékegységgel kisebb mér®számot kapunk. (El®-
készítés: A mértékegység és a mér®szám között fordított arányosság áll fenn ha a
mennyiség változatlan.)
Ugyanazzal a mértékegységgel nagyobb területet mérve nagyobb mér®számot kapunk.
(El®készítés: A mennyiség és a mér®szám között egyenes arányosság van ha azonos
mértékegységgel mérünk.)
Megoldás: a) 48 darab
b) 24 darab
c) 12 darab
Tk. 184/1. kidolgozott mintapélda: Példát mutatunk a téglalap területének kiszámítá-
sára. A módszerrel már találkoztak a tanulók (például a szorzótáblák tanulásánál).
Tk. 184/Figyeld meg!: A terület fogalmának értelmezése.
Tk. 184/4. feladat: Területszámítás el®készítése tevékenységhez kapcsolva. Ha szük-
séges rajzolják le a csempéket a tanulók.
Megoldás: Hosszúsága: 8 dm
Szélessége: 6 dm
T = 8 � 6
T = 48
48 csempével fedték le a falrészt.
Tk. 184/5. feladat: Területszámítás el®készítése tevékenységhez kapcsolva. Ha szük-
séges rajzolják le a csempéket a tanulók.
Megoldás: T = 8 � 12 = 96 csempe;
sz = 80 cm,
h = 120 cm.
Tk. 184/6. feladat: Területszámítás el®készítése tevékenységhez kapcsolva. Ha szük-
séges rajzolják le a csempéket a tanulók.
Megoldás: A falrész négyzet alakú. T = 7 � 7 = 49 csempe;
sz = 105 cm
h = 105 cm.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
337
Tk. 184/7. feladat: Területszámítás el®készítése tevékenységhez kapcsolva. Ha szük-
séges rajzolják le a csempéket a tanulók.
Megoldás: A betonlapok 40 sorba rakhatók.
Egy sorba 40 betonlap fér.
1600 betonlappal fedhet® le az udvar.
Tk. 185/8. feladat: Sokszögek kerületének területének meghatározása.
Megoldás: K1 = 12 cm, K2 = 14 cm, K3 = 14 cm, K4 = 14 cm.
T1 = 8 , T2 = 8 , T3 = 8 , T4 = 6 .
K5 = 14 cm, K6 = 8 cm, K7 = 22 cm, K8 = 12 cm.
T5 = 8 , T6 = 3 , T7 = 24 , T8 = 5 .
Tk. 185/9. feladat: Hasonló síkidomok kerületének területének összehasonlítása. Figyel-
tessük meg hogy az oldalak változtatásával hogyan változik a kerület illetve a terület.
Megoldás: Ka = 6 , Kb= 12 , Kc = 18 , K
d= 24 , Ke = 30 .
Ta = 2 , Tb= 8 , Tc = 18 , T
d= 32 , Te = 50 .
Tk. 186/10. feladat: Hasonló síkidomok kerületének területének összehasonlítása. Fi-
gyeltessük meg hogy az oldalak változtatásával hogyan változik a kerület illetve a terület.
Megoldás: Ka = 5 , Kb= 10 , Kc = 15 , K
d= 20 .
Ta = 3 , Tb= 12 , Tc = 27 , T
d= 48 .
Tk. 186/11. feladat: Hasonló síkidomok kerületének területének összehasonlítása. Fi-
gyeltessük meg hogy az oldalak változtatásával hogyan változik a kerület illetve a terület.
Megoldás: Ka = 8 , Kb= 16 , Kc = 24 , K
d= 32 , Ke = 40 .
Ta = 3 , Tb= 12 , Tc = 27 , T
d= 48 , Te = 75 .
Tk. 186/12. feladat: Beszéljük meg hogy a hézagmentes lefedéshez esetleg fel kell da-
rabolnunk néhány járólapot.
Megoldás: a) 96 területegység;
b) 48 területegység;
c) 32 területegység;
d) 16 területegység.
a fele b
a harmada c
a nyolcada d
b harmada d
c fele d
338 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 187/13. feladat: Területek összehasonlítása. Figyeltessük meg hogy átdarabolva
nem változik meg az alakzat területe.
Megoldás: A három alakzat területe megegyezik. Az alakzatok átdarabolt változatai
egymásnak.
Tk. 187/14. feladat: Egyes alakzatok többféleképpen is átdarabolhatók téglalappá. Az
utolsó alakzat az els®höz hasonlóan darabolható.
Megoldás:
T = 8 te T = 16 te T = 16 te T = 8 te T = 8 te
Tk. 187/15. feladat: Hasonló síkidomok kerületének területének összehasonlítása. Fi-
gyeltessük meg hogy az oldalak változtatásával hogyan változik a kerület illetve a terület.
Megoldás: A terület mindig a kétszeresére n®. (1; 2; 4; 8; 16; 32 .)
Gy. 178/1. feladat: Sokszögek lefedése különböz® alakú és méret¶ lapokkal. Keresse-
nek a tanulók összefüggést a mér®szám és a mértékegység között.
Megoldás: a) 24 12 16 32
b) 12 6 8 16
c) 6 3 4 8
d) 6 3 6 3
4 8 4 8
Gy. 179/2. feladat: Sokszögek lefedése különböz® alakú és méret¶ lapokkal. Keresse-
nek a tanulók összefüggést a mér®szám és a mértékegység között.
Megoldás: a) b) c) d) e) f) g)
16 24 32 24 32 32 40
Gy. 179/3. feladat: Figyeljük meg hogy többféleképpen feldarabolva az alakzatot a te-
rülete nem változik.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
339
Megoldás:
a) ekkora: b) ekkora: c) ekkora:
60 db 30 db 15 db
Gy. 179/4. feladat: Figyeljük meg hogy többféleképpen feldarabolva az alakzatot a te-
rülete nem változik.
Megoldás:
Hány kis négyzet a területe a négyzetnek? 36
Hány kis négyzet a területe a téglalapnak? 36
Gy. 180/5. feladat: Figyeljük meg hogy többféleképpen feldarabolva az alakzatot a te-
rülete nem változik.
Megoldás:
T = 1 6
340 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
4
4
1
1
2
23
3
4
4
5
5T = 2 4
Gy. 180/6. feladat: Figyeljük meg hogy többféleképpen feldarabolva az alakzatot a te-
rülete nem változik.
Megoldás:
1
1
2
2
3
3
4
4
Gy. 180/7. feladat: Figyeljük meg hogy többféleképpen feldarabolva az alakzatot a te-
rülete nem változik.
Megoldás:
a) b) b) c)
d) e)
A d alakzat nem alakítható át a kívánt hatszöggé.
Gy. 181/8. feladat: A feladatok megoldása során átismételhet®k a legfontosabb geomet-
riai fogalmak.
Megoldás: a) K = 8 egység b) K = 16 egység c) K = 32 egység
T = 3 egység T = 12 egység T = 48 egység
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
341
A hosszúság mértékegysége felére majd negyedére csökken ezért a
kerület mér®száma 2-szeresére majd 4-szeresére n®.
A terület mértékegysége negyedére majd tizenhatodára csökken ezért
a kerület mér®száma 4-szeresére majd 16-szorosára n®.
Gy. 181/9. feladat: Adott terület¶ téglalapok el®állítása vizsgálata.
Megoldás: a) 1-szer 6-os, K = 14 egység, 2-szer 3-as, K = 10 egység.
b) 1-szer 24-es, K = 50 egység, 2-szer 12-es, K = 28 egység,
3-szor 8-as, K = 22 egység, 4-szer 6-os, K = 20 egység.
Ugyanolyan alakú: az 1-szer 6-os és a 2-szer 12-es, illetve a 2-szer 3-as
és a 4-szer 6-os téglalap.
Gy. 181/10. feladat: Adott kerület¶ téglalapok el®állítása vizsgálata.
Megoldás: a) 1-szer 5-ös, T = 5 egység, 2-szer 4-es, T = 8 egység.
3-szor 3-as, T = 9 egység.
b) 1-szer 11-es, T = 11 egység, 2-szer 10-es, T = 20 egység,
3-szor 9-es, T = 27 egység, 4-szer 8-as, T = 32 egység,
5-ször 7-es, T = 35 egység, 6-szor 6-os, T = 36 egység.
Ugyanolyan alakú: az 1-szer 5-ös és a 2-szer 10-es, a 2-szer 4-es és a
4-szer 8-as, illetve a 3-szor 3-as és a 6-szor 6-os téglalap.
A megfelel® téglalapok esetén 2-szeres nagyításról van szó, ezért a na-
gyobb téglalap területe mindig 4-szerese a kisebbének.
Az azonos kerület¶ téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb.
Testek építése, ábrázolása
Kompetenciák fejlesztési feladatok:
rész-egész észlelése térbeli viszonyok meg�gyelése térlátás induktív következtetések
problémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése feladattartás �gyelem
kezdeményez®képesség kreativitás metakogníció meg�gyel®képesség összefüggéslá-
tás pontosság csoportos páros egyéni munkavégzések.
Óra: 134{135. 149{150. 166{168.
A térszemlélet fejlesztése érdekében minél többször építsenek különböz® testeket a ta-
nulók. Készítsék el ezek alaprajzát. Értelmezzenek nézeti rajzokat építsék meg a hozzá-
juk tartozó testeket.
Tk. 188/Figyeld meg!: Példát mutatunk egy test elöl-, felül- és oldalnézeti képér®l.
Tk. 188/1. feladat: Építsék meg a tanulók csoportmunkában a testeket és úgy �gyeljék
meg az alaprajzukat.
342 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Mindegyik test alaprajza: A testek 8; 12; 11 egységkockából építhet®k fel.
Tk. 188/2. feladat: Építsék meg a tanulók csoportmunkában a testeket és úgy �gyeljék
meg az alaprajzukat elöl-, felül- és oldalnézetüket.
Megoldás: Alaprajz: Elölnézet: Felülnézet: Oldalnézet:
a) 1
2
1
1
2
1
8 kocka
b) 2
2
2
1
1
1
9 kocka
c) 2
1
1
1
1
1
7 kocka
Tk. 189/3. feladat: Építsék meg a tanulók csoportmunkában a testeket és úgy �gyeljék
meg az alaprajzukat elöl-, felül- és oldalnézetüket.
Megoldás: a) b) c)
Tk. 189/4. feladat: Építsék meg a tanulók csoportmunkában a testeket és úgy �gyeljék
meg az alaprajzukat elöl-, felül- és oldalnézetüket.
Megoldás: Elölnézet: Felülnézet: Oldalnézet:
Tk. 189/5. feladat: A gyermek környezetében található tárgyak alaprajza nézeti rajza.
Az alaprajzról a nézeti rajzról a tárgy felismerése.
Megoldás: a) Magasság: 6 dm
Szélesség: 8 dm
Mélység: 4 dm
Gy. 182/1. feladat: Építsék meg a tanulók csoportmunkában a testeket és úgy �gyeljék
meg az alaprajzukat elöl-, felül- és oldalnézetüket.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
343
Megoldás:
a)2 2 1
1 1 1
1 1 1
b)3 2 1
2 1 1
1 1 1
c)3 2 2
2 1 1
1 1
Gy. 182/2. feladat: Építsék meg a tanulók csoportmunkában a testeket és úgy �gyeljék
meg az alaprajzukat felül-, elöl- és oldalnézetüket.
Felülnézet Alaprajz Elölnézet Oldalnézet
a)2 2
1 1
b)2 1
1 2
c)2 1 1
1 1
d)1
1 2 1
1
344 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Ismétl® feladatok
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöve-
gértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés, induktív követ-
keztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem,
kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, koopera-
tív és önálló munkavégzés.
Óra: 136{138. 151{154. 169{172.
Az átlagos képesség¶ osztályokban a Hányféleképpen?, a Biztos, lehetséges, lehetetlen
és a Kitekintés 10 000-ig cím¶ fejezetek anyagának feldolgozása el®tt célszer¶ össze-
foglalni a számtan, algebra, illetve a függvények, sorozatok témakörben tanultakat. Tár-
juk fel és küszöböljük ki az esetleges hiányosságokat. Az átlagosnál jobb képesség¶
osztályokban el®ször dolgozzuk fel az említett három fejezetet, így magasabb szinten
rendszerezhetjük, foglalhatjuk össze a tanultakat.
Tk. 194/1. feladat: Számok írása olvasása, bontása többféleképpen, összehasonlításuk,
rendezésük különböz® szempontok szerint. Tudatosítsuk a számjegyek �alaki-", �helyi-"
és �tényleges értékének" a fogalmát.
Megoldás: a) 1352 b) 1205 c) 1033 d) 1140
Tk. 194/2. feladat: Számok írása olvasása, bontása többféleképpen, összehasonlításuk,
rendezésük különböz® szempontok szerint. Tudatosítsuk a számjegyek �alaki-", �helyi-"
és �tényleges értékének" a fogalmát.
Megoldás: 1805 1805 1805 1805
Alakiérték 8 5 1 0
Helyiérték sz e E t
Tényleges 800 5 1000 0
Tk. 194/3. feladat: Számok írása olvasása, bontása többféleképpen, összehasonlításuk,
rendezésük különböz® szempontok szerint. Tudatosítsuk a számjegyek �alaki-", �helyi-"
és �tényleges értékének" a fogalmát.
Megoldás: a) 615 b) 901 c) 1650
d) 207 e) 1010 f) 1101
Tk. 194/4. feladat: Számok írása olvasása, bontása többféleképpen, összehasonlításuk,
rendezésük különböz® szempontok szerint. Tudatosítsuk a számjegyek �alaki-", �helyi-"
és �tényleges értékének" a fogalmát.
Megoldás: a) 425 452 1402
b) 190 1009 911
c) 742 714 1074
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
345
Tk. 194/5. feladat: Számok írása olvasása, bontása többféleképpen, összehasonlításuk,
rendezésük különböz® szempontok szerint. Tudatosítsuk a számjegyek �alaki-", �helyi-"
és �tényleges értékének" a fogalmát.
Megoldás: a) 1038 = 1 � 1000 + 0 � 100 + 3 � 10 + 8 � 1 =
= 1000 + 30 + 8 = 1 E + 0 sz + 3 t + 8 e =
= ezerharmincnyolc
1308 = 1 � 1000 + 3 � 100 + 0 � 10 + 8 � 1 =
= 1000 + 300 + 8 = 1 E + 3 sz + 0 t + 8 e =
= ezerháromszáznyolc
218 = 2 � 100 + 1 � 10 + 8 � 1 =
= 200 + 10 + 8 = 2 sz + 1 t + 8 e =
= kétszáztizennyolc
b) 1950 = 1 � 1000 + 9 � 100 + 5 � 10 =
= 1000 + 900 + 50 = 1 E + 9 sz + 5 t =
= ezerkilencszázötven
195 = 1 � 100 + 9 � 10 + 5 � 1 =
= 100 + 90 + 5 = 1 sz + 9 t + 5 e =
= százkilencvenöt
1095 = 1 � 1000 + 0 � 100 + 9 � 10 + 5 � 1 =
= 1000 + 90 + 5 = 1 E + 0 sz + 9 t + 5 e =
= ezerkilencvenöt
c) 1009 = 1 � 1000 + 0 � 100 + 0 � 10 + 9 � 1 =
= 1000 + 9 = 1 E + 0 sz + 0 t + 9 e =
= ezerkilenc
1900 = 1 � 1000 + 9 � 100 + 0 � 10 + 0 � 1 =
= 1000 + 900 = 1 E + 9 sz + 0 t + 0 e =
= ezerkilencszáz
1090 = 1 � 1000 + 0 � 100 + 9 � 10 + 0 � 1 =
= 1000 + 90 = 1 E + 0 sz + 9 t + 0 e =
= ezerkilencven
Tk. 195/6. feladat: Számok rendezése tulajdonságaik szerint.
Elevenítsük fel a �háromjegy¶", �négyjegy¶", �páros", �osztható 10-zel" fogalmakról tanul-
takat.
Megoldás: a) 0 < 54 < 100 < 630 < 1002 < 1500
b) 807 > 630 > 100
c) 0 < 100 < 630 < 1500
Tk. 195/7. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen. Számok nagy-
sági viszonyainak meghatározása, rendezésük adott szempont szerint.
346 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Kiegészíthetjük a feladatokat az egyes, tízes, százas, páros, páratlan számszomszédok
felsoroltatásával.
Megoldás: a = 486 b = 504 c = 524
d = 260 e = 420 f = 580 g = 740
h = 410 i = 460 j = 510
k = 512 l = 548 m = 588
Tk. 195/8. feladat: Ismételjük át a számok szomszédairól, a kerekítésr®l tanultakat.
Megoldás: Tízes szomszéd Százas szomszéd Kerekítés
kisebb nagyobb kisebb nagyobb tízesre százas
348 340 350 300 400 350 300
45 40 50 0 100 50 0
997 990 1000 900 1000 1000 1000
1909 1900 1910 1900 2000 1910 1900
1990 1980 2000 1900 2000 1990 2000
Tk. 195/9. feladat: Ismételjük át a számok kerekítésér®l tanultakat.
Megoldás: 4; 36; 50; 95; 172; 600; 999; 1050; 1500; 1846.
a) 0; 40; 50; 100; 170; 600; 1000; 1050; 1500; 1850.
b) 0; 0; 100; 100; 200; 600; 1000; 1100; 1500; 1800.
c) 0; 0; 0; 0; 0; 1000; 1000; 1000; 2000; 2000.
Tk. 199/22. feladat: A számok bontásáról, képzésér®l tanultak gyakorlása.
Megoldás: 920
900
1002
1290
902 1902 1020
2000 1000 1029
1920 1009
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
347
Tk. 200/23. feladat: Az összeadás értelmezése, a tanultak rendszerezése, a m¶veleti
tulajdonságok felelevenítése. Írásbeli összeadás (becslés, számolás, ellen®rzés).
Megoldás: 456+363820
Tk. 200/24. feladat: A kivonás értelmezése, a tanultak rendszerezése, a m¶veleti tulaj-
donságok felelevenítése.
Írásbeli kivonás elvégzése (becslés, számolás, ellen®rzés).
Megoldás: 723{435288
Tk. 200/25. feladat: A kivonás értelmezése, a tanultak rendszerezése, a m¶veleti tulaj-
donságok felelevenítése.
Írásbeli kivonás elvégzése (becslés, számolás, ellen®rzés).
Megoldás: 527{333194
Tk. 200/26. feladat: Figyeljük meg a tagok, illetve az összeg változásait.
Megoldás: ö = 476 + 859 476+8591335
ö = 1335 Ft
1335 Ft-ja van Bélának.
a) 200 Ft-tal több pénze, 1525 Ft-ja lenne.
476 + 859 + 200
b) 300 Ft-tal kevesebb, 1035 Ft-ja lenne.
476 + (859 - 300)
c) 1335 Ft-ja lenne, mert nem változna.
(476 + 500) + (859 - 500)
Tk. 200/27. feladat: A kivonás értelmezése, a tanultak rendszerezése, a m¶veleti tulaj-
donságok felelevenítése.
Megoldás: a) 947+7491696
b) 947{749198
Az összeg 1696. A különbség 198.
Tk. 201/28. feladat: Figyeljük meg a kisebbítend®, kivonandó, illetve különbség változá-
sait.
Megoldás: k = 1325 - 458 1325{ 458
867l = 867 Ft
867 Ft-ja maradt Dezs®nek.
348 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
a) 200 Ft-tal kevesebb, 667 Ft-ja maradna.
(1325 - 200) - 458
b) 200 Ft-tal több, 1067 Ft-ja maradna.
1325 - (458 - 200)
c) 300 Ft-tal több, 1167 Ft-ja maradna.
(1325 + 300) - 458
d) 300 Ft-tal kevesebb, 567 Ft-ja maradna.
1325 - (458 + 300)
e) 867 Ft-ja maradna.
(1325 + 400) - (458 + 400)
Tk. 201/29. feladat: Szöveggel adott egyenl®tlenség megoldása, majd az egyenl®tlen-
séghez kapcsolódó állítások logikai értékének eldöntése.
Megoldás: x + 900 < 1000; x < 100.
a) Igaz. b) Hamis.
c) Igaz. d) Igaz.
Tk. 201/30. feladat: A feladatot próbálgatással oldják meg a tanulók. Több megoldás
lehetséges.
Megoldás: a) 105 + 348 = 453,
145 + 308 = 453,
108 + 345 = 453,
148 + 305 = 453.
b) 841 + 530 = 1371,
840 + 531 = 1371,
831 + 540 = 1371,
830 + 541 = 1371.
A c) és a d) feladat megoldáshalmazának uniója kiadja az összes lehet-
séges esetet.
Hat számkártyából kell hármat-hármat kiválasztani úgy, hogy ne legyen is-
métl®dés.
Háromjegy¶ szám nem kezd®dhet 0-val. Az els® szám százas helyiértékére
5-féleképpen, a második szám százas helyiértékére 4-féleképpen választ-
hatunk. Az els® szám tízes helyiértékére 4-féleképpen, egyes helyiértékére
3-féleképpen, a második szám tízes helyiértékére 2-féleképpen, egyes he-
lyiértékére 1-féleképpen választhatunk számot.
5 � 4 � 3| {z }
1: szám
� 4 � 2 � 1| {z }
2: szám
= 480 eset van.
c) 301 + 845 = 1146 341 + 805 = 1146
305 + 841 = 1146 345 + 801 = 1146
501 + 834 = 1335 531 + 804 = 1335
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
349
504 + 831 = 1335 534 + 801 = 1335
304 + 851 = 1155 354 + 801 = 1155
301 + 854 = 1155 351 + 804 = 1155
d) 103 + 458 = 561 153 + 408 = 561
108 + 453 = 561 158 + 403 = 561
104 + 358 = 462 154 + 308 = 462
108 + 354 = 462 158 + 304 = 462
105 + 348 = 453 145 + 308 = 453
108 + 345 = 453 148 + 305 = 453
Tk. 201/31. feladat: A feladatot tervszer¶ próbálgatással oldják meg a tanulók. Több
megoldás lehetséges.
Megoldás:
a) A százasok helyén álló számjegyek különbsége a lehet® legkisebb, 1 legyen. 4 { 3
vagy 5 { 4 lehet. Ha a tízesek helyén a kivonandóban nagyobb számjegy szerepel,
mint a kisebbítend®ben, vagy a kisebbítend®ben 0 áll, a különbség két számjegy¶
lesz. Ha az egyesek helyén a kivonandóban nagyobb számjegy szerepel, mint a
kisebbítend®ben, vagy a kisebbítend®ben 0 áll, a tízesátlépés miatt 1-gyel csökken
a tízesek száma.
401 { 385 = 16
b) Két szám különbsége akkor a legnagyobb, ha a kisebbítend® a lehet® legnagyobb,
a kivonandó a lehet® legkisebb.
854 { 103 = 751
c) Nem követeljük meg minden tanulótól az összes megoldást. Az összes megoldás
megkeresésére jó stratégia lehet a következ®: A kisebbítend® legyen a lehet® leg-
nagyobb, a kivonandó a maradék három kártyából képzett szám. A kisebbítend®t
fokozatosan csökkentjük, egészen addig, amíg a feltételnek eleget tesz a különb-
ség.
854 { 103 = 751 , 854 { 130 = 724 , 854 { 310 = 544 , 854 { 301 = 553;
853 { 104 = 749 , 853 { 140 = 713; 851 { 304 = 547 , 851 { 340 = 511;
850 { 134 = 716 , 850 { 143 = 707 , 850 { 314 = 536 , 850 { 341 = 509;
845 { 103 = 742 , 845 { 130 = 715 , 845 { 301 = 544 , 845 { 310 = 535;
843 { 105 = 738 , 843 { 150 = 693; 841 { 305 = 536; 840 { 135 = 705 ,
840 { 153 = 687 , 840 { 315 = 525;
835 { 104 = 731 , 835 { 140 = 695;
834 { 105 = 729 , 834 { 150 = 684;
830 { 145 = 685 , 830 { 154 = 676;
815 { 304 = 511; 814 { 305 = 509;
805 { 134 = 671 , 805 { 143 = 662;
804 { 135 = 669 , 804 { 153 = 651;
803 { 145 = 658 , 803 { 154 = 649:
350 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
d) Mivel a megoldást a természetes számok halmazán keressük, a kisebbítend®nek
nagyobbnak kell lennie a kivonandónál.
853 { 401 = 452 , 853 { 410 = 443;
851 { 403 = 448 , 851 { 430 = 421;
850 { 431 = 419 , 850 { 412 = 438;
843 { 501 = 342 , 843 { 510 = 333;
841 { 305 = 536 , 841 { 350 = 491 , 841 { 503 = 338 , 841 { 530 = 311;
840 { 351 = 489 , 840 { 513 = 327 , 840 { 531 = 309;
835 { 401 = 434 , 835 { 410 = 425;
834 { 501 = 333 , 834 { 510 = 324;
831 { 405 = 426 , 831 { 450 = 381 , 831 { 504 = 327 , 831 { 540 = 291;
830 { 415 = 415 , 830 { 451 = 379 , 830 { 514 = 316 , 830 { 541 = 289;
815 { 340 = 475 , 815 { 403 = 412 , 815 { 430 = 385;
814 { 350 = 464 , 814 { 503 = 311 , 814 { 530 = 284;
813 { 405 = 408 , 813 { 450 = 363 , 813 { 504 = 309 , 813 { 540 = 273;
810 { 345 = 465 , 810 { 354 = 456 , 810 { 435 = 375 , 810 { 453 = 357 ,
810 { 534 = 276 , 810 { 543 = 267;
805 { 314 = 491 , 805 { 341 = 464 , 805 { 413 = 392 , 805 { 431 = 374;
804 { 315 = 489 , 804 { 351 = 453 , 804 { 513 = 291 , 804 { 531 = 273;
803 { 415 = 388 , 803 { 451 = 352 , 803 { 514 = 289 , 803 { 541 = 262;
801 { 345 = 456 , 801 { 354 = 447 , 801 { 435 = 366 , 801 { 453 = 348 ,
801 { 534 = 267 , 801 { 543 = 258;
584 { 103 = 481 , 584 { 130 = 454 , 584 { 301 = 283 , 584 { 310 = 274;
583 { 104 = 479 , 583 { 140 = 443 , 583 { 401 = 182 , 583 { 410 = 173;
581 { 304 = 277 , 581 { 340 = 241 , 581 { 403 = 178 , 581 { 430 = 151;
580 { 134 = 446 , 580 { 143 = 437 , 580 { 314 = 266 , 580 { 341 = 239 ,
580 { 413 = 167 , 580 { 431 = 149;
548 { 103 = 445 , 548 { 130 = 418 , 548 { 301 = 247 , 548 { 310 = 238;
543 { 108 = 435 , 543 { 180 = 363;
541 { 308 = 233 , 541 { 380 = 161;
540 { 138 = 402 , 540 { 183 = 357 , 540 { 318 = 222 , 540 { 381 = 159;
538 { 104 = 434 , 538 { 140 = 398 , 538 { 401 = 137 , 538 { 410 = 128;
534 { 108 = 426 , 534 { 180 = 354;
531 { 408 = 123 , 531 { 480 = 51;
530 { 148 = 382 , 530 { 184 = 346 , 530 { 418 = 112 , 530 { 481 = 49;
518 { 304 = 214 , 518 { 340 = 178 , 518 { 403 = 115 , 518 { 430 = 88;
514 { 308 = 206 , 514 { 380 = 134;
513 { 408 = 105 , 513 { 480 = 33;
510 { 348 = 162 , 510 { 384 = 126 , 510 { 438 = 72 , 510 { 483 = 27;
508 { 134 = 374 , 508 { 143 = 365 , 508 { 314 = 194 , 508 { 341 = 167 ,
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
351
508 { 413 = 95 , 508 { 431 = 77;
504 { 138 = 366 , 504 { 183 = 321 , 504 { 318 = 186 , 504 { 381 = 123;
503 { 148 = 355 , 503 { 184 = 319 , 503 { 418 = 85 , 503 { 481 = 22;
501 { 348 = 153 , 501 { 384 = 117 , 501 { 438 = 63 , 501 { 483 = 18;
485 { 103 = 382 , 485 { 130 = 355 , 485 { 301 = 184 , 485 { 310 = 175;
483 { 105 = 378 , 483 { 150 = 333;
481 { 305 = 176 , 481 { 350 = 131;
480 { 135 = 345 , 480 { 153 = 327 , 480 { 315 = 165 , 480 { 351 = 129;
458 { 103 = 355 , 458 { 130 = 328 , 458 { 301 = 157 , 458 { 310 = 148;
453 { 108 = 345 , 453 { 180 = 273;
451 { 308 = 143 , 451 { 380 = 71;
450 { 138 = 312 , 450 { 183 = 267 , 450 { 318 = 132 , 450 { 381 = 69;
438 { 105 = 333 , 438 { 150 = 288;
435 { 108 = 327 , 435 { 180 = 255;
430 { 158 = 272 , 430 { 185 = 245;
418 { 305 = 113 , 418 { 350 = 68;
415 { 308 = 107 , 415 { 380 = 35;
410 { 358 = 52 , 410 { 385 = 25;
385 { 104 = 281 , 385 { 140 = 245;
384 { 105 = 279 , 384 { 150 = 234;
380 { 145 = 235 , 380 { 154 = 226;
358 { 104 = 254 , 358 { 140 = 218;
354 { 108 = 246 , 354 { 180 = 174;
350 { 148 = 202 , 350 { 184 = 166;
348 { 105 = 243 , 348 { 150 = 198;
345 { 108 = 237 , 345 { 180 = 165;
340 { 158 = 182 , 340 { 185 = 155;
308 { 145 = 163 , 308 { 154 = 154;
305 { 148 = 157 , 305 { 184 = 121;
304 { 158 = 146 , 304 { 185 = 119:
Tk. 202/32. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak értelmezése. A szóbeli
és az írásbeli algoritmusok gyakorlása.
Megoldás: 452 � 3
1356
Tk. 202/33. feladat: Az osztásnak mint a szorzás fordított m¶veletének értelmezése. A
szóbeli és az írásbeli algoritmusok gyakorlása.
352 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás: 736 : 4 = 184 184 � 4
73633160
184 palántát ültetett egy sorba a kertész.
Tk. 202/34. feladat: Az osztás értelmezése, a m¶velet elvégzése, ellen®rzése. A szóbeli
és az írásbeli algoritmusok gyakorlása.
Megoldás: a) Hányados: 12, Maradék: 2;
b) Hányados: 54, Maradék: 4;
c) Hányados: 106, Maradék: 4.
Tk. 202/35. feladat: Az összeadás, kivonás, szorzás, osztás értelmezése, a m¶velet
elvégzése, ellen®rzése. A szóbeli és az írásbeli algoritmusok gyakorlása.
Megoldás: a) a = 378 + 596 a = 974
b) b = 1012 { 658 b = 354
c) c = 456 � 3 c = 1368
d) d = 1627 : 4 d = 406, és marad 3
Tk. 202/36. feladat: Az összeadás, kivonás értelmezése, a m¶velet becslése kerekített
értékekkel történ® számolással.
Megoldás: a) 400 + 700 = 1100,
b) 1550 { 550 = 1000.
Tk. 203/37. feladat: Idézzük föl a m¶veleti sorrendr®l tanultakat a feladatsor megoldása
el®tt.
Megoldás: a) 956
1:
{ 78| {z }
878
2:
+ 34 = 912 (956
1:
{ 78)| {z }
878
2:
+ 34 = 912
956
2:
{ (78
1:
+ 34)| {z }
112
= 844
b) 612
1:
{ 95| {z }
517
2:
{ 56 = 461 (612
1:
{ 95)| {z }
517
2:
{ 56 = 461
612
2:
{ (95
1:
{ 56)| {z }
39
= 573
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
353
c) 128
1:
: 4| {z }
32
2:
� 2 = 6461 (128
1:
: 4)| {z }
32
2:
� 2 = 6461
128
2:
: (4
1:
� 2)| {z }
8
= 16
d) 492
2:
{ 108
1:
� 4| {z }
432
= 60 492
1:
� 4| {z }
1968
2:
{ 108 = 1860
(492
1:
{ 108)| {z }
384
2:
� 4 = 1536
e) 792
1:
: 6| {z }
132
2:
+ 72 = 204 792
2:
+ 72
1:
: 6| {z }
12
= 804
(792
1:
+ 72)| {z }
864
2:
: 6 = 144
f) 240
1:
: 3| {z }
80
2:
+ 2 = 82 240
1:
: 2| {z }
120
2:
+ 3 = 123
240
2:
: (2
1:
+ 3)| {z }
5
= 48
Tk. 202/38. feladat: Idézzük föl a m¶veleti sorrendr®l tanultakat a feladatsor megoldása
el®tt.
Megoldás: a) Igaz.
b) Hamis.
c) Hamis.
d) Igaz.
Tk. 203/39. feladat: Összetett szöveges feladatok megoldása az összefüggéslátás fej-
lesztésére.
Megoldás: a) Adatok: sz = 516, sz >negyede
V, v >
harmadaF, m = ?
354 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Terv: m = sz { V { F m = 516 { 516 : 4 { 516 : 3
Becslés: 200
Számolás: m = 516 { 129 { 172 m = 215
Ellen®rzés: 215 + 129 + 172 = 516
Válasz: 215 szalvétája marad Lillának.
b) Adatok: 5 autó 775 Ft
6 autó x Ft x = ?
Terv: x = 775 : 5 � 6 x = 155 � 6
Becslés: 1000 Ft
Számolás: x = 930 Ft
Ellen®rzés: 775 + 775 : 5 = 930
Válasz: 930 Ft-ot �zetett Nándi.
c) (954 + 768)| {z }
1722
: 3 = a >
16(954 { 768)| {z }
186
�3 = b
a = 547 b = 558
Gy. 189/1. feladat: Számok írása olvasása, bontása többféleképpen, összehasonlításuk,
rendezésük különböz® szempontok szerint. Tudatosítsuk a számjegyek �alaki-", �helyi-"
és �tényleges értékének" a fogalmát.
Megoldás: T E sz t e Számmal
4 százas + 2 tízes + 7 egyes 4 2 7 427
1 ezres + 3 tízes + 5 egyes 1 0 3 5 1035
1 ezres + 6 százas + 4 tízes 1 6 4 0 1640
16 százas + 61 egyes 1 6 6 1 1661
Gy. 189/2. feladat: Számok írása olvasása, bontása többféleképpen, összehasonlításuk,
rendezésük különböz® szempontok szerint. Tudatosítsuk a számjegyek �alaki-", �helyi-"
és �tényleges értékének" a fogalmát.
Megoldás: a) T E sz t e Számmal
6 � 100 + 5 � 10 + 9 � 1 6 5 9 659
1 � 1000 + 4 � 100 + 0 � 10 + 2 � 1 1 4 0 2 1402
1 � 1000 + 0 � 100 + 7 � 10 + 6 � 1 1 0 7 6 1076
1 � 1000 + 9 � 100 + 8 � 10 + 0 � 1 1 9 8 0 1980
1 � 1000 + 0 � 100 + 6 � 10 + 0 � 1 1 0 6 0 1060
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
355
b) 800 + 60 + 9 8 6 9 869
1000 + 500 + 4 1 5 0 4 1504
1000 + 10 + 8 1 0 1 8 1018
1000 + 800 + 50 1 8 5 0 1850
1000 + 1 1 0 0 1 1001
Gy. 189/3. feladat: Számok írása olvasása, bontása többféleképpen, összehasonlításuk,
rendezésük különböz® szempontok szerint. Tudatosítsuk a számjegyek �alaki-", �helyi-"
és �tényleges értékének" a fogalmát.
T E sz t e Számmal
Kilencszázkilenc 9 0 9 909
Ezerötvenegy 1 0 5 1 1051
Ezerhatszáznégy 1 6 0 4 1604
Ezerkilenc 1 0 0 9 1009
Ezerhétszázötvennyolc 1 7 5 8 1758
Kétezer 2 0 0 0 2000
Gy. 189/4. feladat: Számok nagysági viszonyainak elemzése.
Megoldás: a) 9 8 7 9 8 7 , b) 4 5 4 5 3 2 , c) 1 1 0 0 3 4 5 .
Gy. 189/5. feladat: Számok nagysági viszonyainak elemzése.
Megoldás: a) 9 8 7 9 8 7 , b) 4 5 4 5 3 2 , c) 1 1 0 0 3 4 5 .
Gy. 189/6. feladat: Számok képzése adott szempont szerint.
Megoldás: a) A számjegyek összege 3: 102; 111; 120; 201; 210; 300.
Gondoljuk át, mely számok összege lehet 3: 1+1+1 = 3; 1+2+0 = 3;
0 + 0 + 3 = 3. Ezekb®l a számjegyekb®l állítjuk el® a megoldáshalmazt.
b) A számjegyek szorzata 4: 114; 122; 141; 212; 221; 411.
Három szám szorzataként a 4-et a következ®féleképpen írhatjuk fel: 1 �
1 � 4 = 4; 1 � 2 � 2 = 4. Ezek permutációja adja a megoldást.
c) A számjegyek összege 5: 104; 113; 122; 131; 140; 203; 212; 221;
230; 302; 311; 320; 401; 410; 500.
0 + 1 + 4 = 5; 0 + 2 + 3 = 5; 1 + 1 + 3 = 5; 1 + 2 + 2 = 5 alakban állítható
el® az 5 három szám összegeként.
d) A számjegyek szorzata 6: 123; 132; 213; 231; 312; 321; 116; 161;
611.
Mert 1 � 1 � 6 = 6; és 1 � 2 � 3 = 6.
356 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 189/7. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen. Számok nagy-
sági viszonyainak meghatározása, rendezésük adott szempont szerint.
Megoldás:
200
a h d
300
400
c l e g j
450
600
b f i k
1000
Gy. 190/8. feladat: Számok egyes, tízes, százas szomszédai; kerekítés tízesre, százas-
ra, ezresre.
Megoldás:
a) b)
Szám Tízes szomszédai Tízesre
kisebb nagyobb kerekítés
4 0 10 0
28 20 30 30
95 90 100 100
105 100 110 110
341 340 350 340
450 440 460 450
500 490 510 500
996 990 1000 1000
1000 990 1010 1000
1245 1240 1250 1250
Szám Százas szomszédai Százasra
kisebb nagyobb kerekítés
4 0 100 0
28 0 100 0
95 0 100 100
105 100 200 100
341 300 400 300
450 400 500 500
500 400 600 500
996 900 1000 1000
1000 900 1100 1000
1245 1200 1300 1200
Gy. 191/11. feladat: Idézzük fel az írásbeli összeadásról tanultakat (becslés, számolás
ellen®rzés).
Megoldás: a) Becslés: Számolás: 264+ 528792
százasra kerekítve: 300 + 500 = 800
tízesre kerekítve: 260 + 530 = 790
b) Becslés: Számolás: 61742
+ 12941953
százasra kerekítve: 600 + 1300 = 1900
tízesre kerekítve: 620 + 40 + 1290 = 1950
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
357
Gy. 191/12. feladat: Idézzük fel az írásbeli összeadásról tanultakat (becslés, számolás
ellen®rzés).
Megoldás: a) Becslés:
százasra kerekítve: 700 800 1700 1000
tízesre kerekítve: 780 770 1710 960
Számolás: 779 777 1704 954
b) Becslés:
százasra kerekítve: 1700 1700 1500 2000
tízesre kerekítve: 1680 1660 1570 1980
Számolás: 1680 1655 1563 1980
c) Becslés:
százasra kerekítve: 1000 1600 1400 1800
tízesre kerekítve: 990 1590 1440 1750
Számolás: 986 1584 1435 1738
d) Becslés:
százasra kerekítve: 1600 1800 1400 1600
tízesre kerekítve: 1580 1880 1450 1660
Számolás: 1576 1874 1447 1652
Gy. 192/13. feladat: Idézzük fel az írásbeli kivonásról tanultakat (becslés, számolás el-
len®rzés).
Megoldás: Becslés Becslés Számolás
százasra kerekítve: tízesre kerekítve:
a) 200 250 241
b) 600 620 627
c) 500 510 508
d) 600 640 642
e) 200 230 227
f) 100 110 109
g) 0 30 33
h) 900 940 944
i) 600 610 607
Gy. 192/14. feladat: Összeadásnál a hiányzó tag, kivonásnál a hiányzó kisebbítend®
illetve kivonandó pótlása.
Megoldás:
6 4 8
+ 3 7 6
1 0 2 4
1 4 7
+ 1 2 5 7
1 4 0 4
9 1 3
{ 7 3 8
1 7 5
1 0 5 0
{ 4 8 7
5 6 3
358 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 193/15. feladat: Az összeadás értelmezése, a tanultak rendszerezése, a m¶veleti
tulajdonságok felelevenítése.
Megoldás: a) Becslés: Számolás: 1048485
+ 751608
százasra kerekítve:1000 + 500 + 100 = 1600
tízesre kerekítve: 1050 + 490 + 80 = 1620
Válasz: 1608 Ft-ot �zettünk.
b) Becslés: Számolás: 980465
+ 3551800
százasra kerekítve:1000 + 500 + 400 = 1900
tízesre kerekítve: 980 + 470 + 360 = 1810
Válasz: 1800 Ft-ot �zettünk.
Gy. 193/16. feladat: A kivonás értelmezése, a tanultak rendszerezése, a m¶veleti tulaj-
donságok felelevenítése.
Megoldás: a) Becslés: Számolás: 655{ 275380
százasra kerekítve: 700 { 300 = 400
tízesre kerekítve: 660 { 280 = 380
Válasz: 380 Ft-unk maradt.
Megoldás: a) Becslés: Számolás: 1430{ 845585
százasra kerekítve: 1400 { 800 = 600
tízesre kerekítve: 1430 { 850 = 580
Válasz: 585 Ft-unk maradt.
Gy. 194/17. feladat: Összeadásnál a hiányzó tag pótlása.
a) 376 + 8 7 2 = 1248; b) 578 + 469 + 6 4 3 = 1690;
c) 6 2 0 + 796 = 1416; d) 9 4 8 + 444 + 529 = 1921;
Gy. 194/18. feladat: Összeadás, kivonás gyakorlása összetett számfeladatokban.
Megoldás: a) Becslés:
százasra kerekítve: 700 300 1700
tízesre kerekítve: 680 300 1660
Számolás:
részeredmény 541 913 1891
végeredmény 779 303 1653
b) Becslés:
százasra kerekítve: 1200 1200 800
tízesre kerekítve: 1210 1210 710
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
359
Számolás:
részeredmény 1681 246 231
végeredmény 1202 1202 710
Gy. 194/19. feladat: Szöveges feladatok megoldása az összefüggéslátás fejlesztésére.
Idézzük fel a szöveges feladat megoldásmenetér®l tanultakat.
Megoldás: a) Adatok: f = 348, l = 316 ö = ?
Terv: ö = f + l, ö = 348 + 316 348
Becslés: százasra kerekítve: 600
tízesre kerekítve: 670
Számolás: ö = 664
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 664 gyerek volt összesen a táborban.
b) Adatok: ö = 417, l = 188 f = ?
Terv: f = ö { l f = 417 { 188
Becslés: százasra kerekítve: 200
tízesre kerekítve: 230
Számolás: f = 229
Ellen®rzés: 229 + 188 = 417
Válasz: 229 �ú vett részt a kerékpár-kiránduláson.
c) Adatok: f = 227, f >
43-mall l = ?
Terv: l = f { 43 l = 227 { 43
Becslés: százasra kerekítve: 200
tízesre kerekítve: 190
Számolás: l = 184
Ellen®rzés: 184 + 43 = 227
Válasz: 184 lány vett részt az akadályversenyen.
d) Adatok: l = 234, f >
109-cell f = ?
Terv: f = l + 109 f = 234 + 109234
Becslés: százasra kerekítve: 300
tízesre kerekítve: 340
Számolás: f = 343
Ellen®rzés: 343 { 109 = 234
Válasz: 343 �ú vett részt a versenyen.
Adatok: l = 234, f = 343 ö = ?
Terv: ö = l + f ö = 234 + 343234
360 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Becslés: százasra kerekítve: 500
tízesre kerekítve: 570
Számolás: ö = 577
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 577-en vettek részt összesen a versenyen.
e) Adatok: j = 664, e = 385 m = ?
Terv: m = j { e m = 664 { 385
Becslés: százasra kerekítve: 300
tízesre kerekítve: 270
Számolás: m = 279
Ellen®rzés: 279 + 385 = 664
Válasz: 279 gyerek maradt ott délután a táborban.
Gy. 194/20. feladat: Figyeltessük meg a kérdés szempontjából szükséges, illetve feles-
leges adatokat.
Megoldás: a) Adatok: f = 647, l = 708 ö = ?
Felesleges adat: tanár = 56, szül® = 128
Terv: ö = f + l ö = 647 + 708
Becslés: százasra kerekítve: 1300
tízesre kerekítve: 1360
Számolás: ö = 1355
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1355 tanuló nyaralt a táborban.
b) Adatok: gy = 647 + 708, f = 56 + 128, k = ?
Terv: k = gy { f k = (647 + 708) { (56 + 128)
Becslés: százasra kerekítve: 1100
tízesre kerekítve: 1170
Számolás: k = 1355 { 184 k = 1171
Ellen®rzés: 1171 + 56 + 128 = 647 + 708
Válasz: 1170-gyel több gyerek nyaralt, mint feln®tt.
c) Adatok: v = 647 + 708 + 56 + 128, e = 185 + 248 + 65
m = ?
Terv: m = v { e m = (647 + 708 + 56 + 28) { (185 + 248 + 65)
Becslés: százasra kerekítve: 1000
tízesre kerekítve: 1020
Számolás: m = 1539 { 498 m = 1041
Ellen®rzés: 1041 + 498 = 1539
Válasz: 1041-en maradtak a táborban.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
361
Gy. 194/21. feladat: Sorozat folytatása adott szabály alapján.
Megoldás:
a) A + 280-at, illetve a { 175-öt jelent.
4 6 5+105
5 7 0 6 7 5 7 8 0
7 4 5+105
8 5 0 9 5 5 1 0 6 0
Gy. 195/22. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak az értelmezése. A szóbeli
és az írásbeli algoritmusok gyakorlása.
Megoldás:
a)
1 � 3 5 0 = 3 5 0
b)
3 5 0 + 3 5 0 = 2 � 3 5 0 = 7 0 0
c)
3 5 0 + 3 5 0 + 3 5 0 = 3 � 3 5 0 = 1 0 5 0
d)
3 5 0 + 3 5 0 + 3 5 0 + 3 5 0 = 4 � 3 5 0 = 1 4 0 0
Gy. 195/23. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. A szorzótábla kiter-
jesztése a 2000-es számkörig.
Megoldás: a) 12 120 1200 1200
b) 14 140 1400 1400
Gy. 195/24. feladat: Idézzük fel az írásbeli szorzásról tanultakat. (A becslés, a számolás
és az ellen®rzést is.)
Megoldás: a) Becslés százasra kerekítve: 1000 1400 1600 1800
tízesre kerekítve: 850 1190 1360 1530
Számolás: 865 1211 1384 1557
b) Becslés százasra kerekítve: 2100 1800 1500 1200
tízesre kerekítve: 1980 1680 1380 1080
Számolás: 1974 1674 1374 1074
362 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) Becslés százasra kerekítve: 1400 1800 1800 1500
tízesre kerekítve: 1750 1890 1980 1550
Számolás: 1715 1875 1956 1545
d) Becslés százasra kerekítve: 1600 2000 2000 1800
tízesre kerekítve: 1840 1800 2000 1980
Számolás: 1800 1800 1998 1998
Gy. 195/25. feladat: Szöveggel adott függvények. Fogalmaztassuk meg a szabályt.
(esetleg többféle alakban).
Megoldás: I � 30 = U
Id® (óra) 1 4 7 6 10 20 24 48 50 56
Út (km) 30 120 210 180 300 600 720 1440 1500 1680
Gy. 196/26. feladat: Az osztás értelmezése. Az algoritmus elvégzése (becslés, számí-
tás, ellen®rzés).
Megoldás: a) Becslés: 200 < H < 300 200 < H < 300
Hányados: 382 256
Maradék: 2 3
b) Becslés: 400 < H < 500 300 < H < 400
Hányados: 405 360
Maradék: 3 2
c) Becslés: 300 < H < 400 200 < H < 300
Hányados: 321 284
Maradék: 0 0
d) Becslés: 100 < H < 200 100 < H < 200
Hányados: 177 182
Maradék: 0 3
Gy. 196/27. feladat: Az osztás értelmezése. Az algoritmus elvégzése (becslés, számí-
tás, ellen®rzés).
Megoldás: Becslés: Hányados: Maradék:
200 < H < 300 224 0
100 < H < 200 163 1
100 < H < 200 134 0
100 < H < 200 189 4
100 < H < 200 147 6
800 < H < 900 871 0
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
363
Gy. 197/28. feladat: A szóbeli és az írásbeli algoritmusok gyakorlása.
Megoldás:
a) B: 3 8 0 � 4 = 3 0 0 � 4 + 8 0 � 4 = 1 5 2 0
3 7 5 � 4
1 5 0 0
b) B: 2 7 0 � 4 = 2 0 0 � 4 + 7 0 � 4 = 1 0 8 0
2 6 5 � 4
1 0 6 0
Gy. 194/29. feladat: Az osztás gyakorlása szöveges feladat megoldásával.
Megoldás: a) Adatok: 5 szál 1325 Ft
1 szál x Ft x = ?
Terv: x = 1325 : 5 1325 : 5 = 265
Becslés: 200 < x < 300
Számolás: x = 265
Ellen®rzés: 5 � 265 = 1325
Válasz: 265 Ft-ba kerül 1 szál rózsa.
b) Adatok: 6 db 1860 Ft
1 db x Ft x = ?
Terv: x = 1860 : 6 1860 : 6 = 310
Becslés: 300 < x < 400
Számolás: x = 310
Ellen®rzés: 6 � 310 = 1860
Válasz: 310 Ft-ba kerül 1 db teniszlabda.
c) Adatok: 3 db 1860 Ft
1 db x Ft x = ?
Terv: x = 1860 : 3 1860 : 3 = 620
Becslés: 600 < x < 700
Számolás: x = 620
Ellen®rzés: 6 � 620 = 1860
Válasz: 620 Ft-ba kerül 1 db zokni.
d) Adatok: 2 db 1860 Ft
1 db x Ft x = ?
Terv: x = 1860 : 2 1860 : 2 = 930
Becslés: 900 < x < 1000
364 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Számolás: x = 930
Ellen®rzés: 2 � 930 = 1860
Válasz: 930 Ft-ba kerül 1 db trikó
e) Adatok: 4 db 1860 Ft
1 db x Ft x = ?
Terv: x = 1860 : 4 1860 : 4 = 465
Becslés: 400 < x < 500
Számolás: x = 465
Ellen®rzés: 4 � 465 = 1860
Válasz: 465 Ft-ba kerül 1 db törülköz®.
Gy. 195/30. feladat: M¶veletek gyakorlása szöveges feladat megoldásával.
Megoldás: a) Adatok: P = 1 km 375 m = 1375 m P >
648 m-relR R = ?
Terv: R = P { 648 R = 1375 { 648
Becslés: százasra kerekítve: 800 m
tízesre kerekítve: 730 m
Számolás: R = 727
Ellen®rzés: 727 + 648 = 1375
Válasz: 727 m-re lakik Robi az iskolától.
b) Adatok: S = 375 m, S >
3-szorT, T = ?
Terv: T = 3 � 375
Becslés: százasra kerekítve: 1200 m
tízesre kerekítve: 1140 m
Számolás: T = 1125
Ellen®rzés: 1125 : 3 = 375
Válasz: 1125 mre lakik Tóni az iskolától.
c) Adatok: U = 648 m, V >
3-szorU, V = ?
Terv: V = 648 : 3 648 : 3 = 216
Becslés: 200 < V < 300
Számolás: V = 216
Ellen®rzés: 3 � 216 = 648
Válasz: 216 m-re lakik Vanda az iskolától.
d) Adatok: X = 648 m, Z >
375 m-relX, Z = ?
Terv: Z = 648 + 375
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
365
Becslés: százasra kerekítve: 1000 m
tízesre kerekítve: 1030 m
Számolás: Z = 1023
Ellen®rzés: 1023 { 375 = 648
Válasz: 1023 m-re lakik Zénó az iskolától.
Óra: 139. 155. 173.
6/I. felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Ismétl® feladatok
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-
értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés, induktív követ-
keztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem,
kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, koopera-
tív és önálló munkavégzés.
Óra: 140{142. 156{159. 174{177.
A hosszóság-, tömeg, ¶rtartalom- és id®mérésr®l tanultak átismétlése. Elevenítsük fel az
ellentétes mennyiségekr®l, mennyiségek törtrészér®l tanultakat.
Tk. 196/10. feladat: A hosszúság-, tömeg, ¶rtartalom- és id®mérés mértékegységeinek
áttekintése.
Megoldás: Hosszúság Tömeg �rtartalom Id®
kilométer tonna hektoliter év
méter kilogramm liter hónap
deciméter dekagramm deciliter hét
centiméter gramm centiliter nap
milliméter milliliter óra
perc
másodperc
Tk. 196/11. feladat: Tasziló által összegy¶jtött hibák javításával gyakoroltathatjuk a mér-
tékegységek közti kapcsolatokat.
Megoldás: a) 1 dm = 10 cm b) 1 dkg = 10 g
1 km = 1000 m 1 t = 1000 kg
1 cm = 10 mm 1 kg = 100 dkg
366 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
c) 1 hl = 100 l d) 1 év = 12 hónap
1 dl = 10 cl 1 óra = 60 perc
1 l = 1000 ml 1 nap = 24 óra
Tk. 196/12. feladat: A mértékegységekr®l tanultak rendszerezése.
Megoldás: a) 10 dm 2 mm < 1 m 2 cm < 12 dm < 10 m 2 dm < 1 km 2 m
b) 10 dkg 5 g < 15 dkg < 1 kg 50 dkg < 10 kg 5 dkg < 500 kg
c) 1 dl 3 ml < 13 cl < 1 l 3 cl < 10 l 3 dl < 1 hl 3 l
d) 1 óra 15 perc < 115 perc < 11 óra 5 perc < 1 nap 15 óra < 115 óra
Tk. 196/13. feladat: A kerületr®l és területr®l tanultak ismétlése.
Megoldás: K = 20 K = 20 K = 24 K = 22
T = 24 T = 20 T = 20 T = 24
Tk. 197/14. feladat: Gra�kon értelmezése, adatok leolvasása, összehasonlítása.
Megoldás: Írott-k® 882 m, Kab-hegy 600 m,
Badacsony 438 m, Öreg-k® 375 m,
Zeng® 680 m, János-hegy 529 m,
Dobogó-k® 700 m, Galya-tet® 964 m,
Gellért-hegy 220 m, Tokaji-hegy 516 m,
Kékes 1014 m, K®ris-hegy 704 m
Istállós-k® 959 m
Beszéljük meg: melyik hegy a legmagasabb, legalacsonyabb; valamelyik
hegynél melyek alacsonyabbak, magasabbak; valamelyik hegynél hány ala-
csonyabb, magasabb hegy van; stb.
Tk. 197/15. feladat: A mértékegységekr®l tanultak rendszerezése.
Megoldás: a) 8 cm b) 2 dl c) 20 dkg d) 5 perc
Tk. 197/16. feladat: Az ellentétes mennyiségekr®l tanultak rendszerezése.
Megoldás: a) +4�
C b) +9�
C c) 0�
C d) { 6�
C e) { 2�
C
Tk. 198/17. feladat: Az ellentétes mennyiségekr®l tanultak rendszerezése.
Megoldás: Aladár: +1 Balázs: { 1 Cili: 0 Dávid: +1
Tk. 198/18. feladat: A törtekr®l tanultak rendszerezése.
Megoldás: a)1
6,5
6;
2
6,4
6;
3
6,3
6;
4
6,2
6;
b)1
8,7
8;
2
8,6
8;
3
8,5
8;
4
8,4
8;
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
367
c)1
2,1
2;
1
3,2
3;
1
4,3
4;
d)1
2,1
2;
2
4,2
4;
4
8,4
8.
Tk. 198/19. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása, összehasonlítása.
Megoldás: a) Hamis. b) Igaz.
Hamis. Igaz.
c) Hamis. d) Hamis.
Hamis. Igaz.
Tk. 198/20. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása, összehasonlítása.
Megoldás: a) 240 : 4 � 3 = 180 240 : 6 � 5 = 200 180 cm <
20200 cm
b) 160 : 8 � 5 = 100 160 : 2 = 80 100 dkg >
2080 dkg
c) 300 : 6 � 3 = 150 300 : 5 � 3 = 180 150 l <
30180 l
d) 180 : 3 � 2 = 120 180 : 6 � 4 = 120 120 perc = 120 perc
Tk. 198/21. feladat: Törtrészr®l következtetés az egészre.
Megoldás: a) b) c) d)
368 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Tk. 204/40. feladat: Írásbeli m¶veletek gyakorlása játékos feladattal.
Megoldás:
a = 1910
á = 736
b = 1749
c = 1912
d = 1928
e = 1540
é = 1547
f = 1160 g = 809 j = 43
i = 19 í = 1 j = 6
k = 1000 l = 805 m = 1689
n = 915 o = 1000 ó = 334
ö = 54 ® = 1 p = 126
q = 0 r = 138 s = 3
Tk. 205/41. feladat: M¶veletek gyakorlása szöveges feladat megoldásával.
Megoldás: a) Adatok: sz = 35 dkg, gy = 11 kg 65 dkg = 1165 dkg l = ?
Terv: l = sz + gy l = 35 + 1165
Becslés: százasra kerekítve: 1200 dkg
tízesre kerekítve: 1210 dkg
Számolás: l = 1200
Ellen®rzés: 1165 + 35 = 1200
Válasz: 1200 dkg = 12 kg a vándoralbatrosz �óka tömege 220 na-
pos korában.
b) Adatok: 1 merülés 16 rák1 rák 1 gyerek
20 merülés x rák x = ? ö = ?
Terv: ö = 20 � 16 � 1
Becslés: tízesre kerekítve: 400
Számolás: ö = 320
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 320 g = 32 dkg táplálékot gy¶jt az örvös pingvin.
c) Adatok: 1 másodperc 195 cm
8 másodperc x cmx = ?
Terv: x = 8 � 195
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
369
Becslés: százasra kerekítve: 1600
tízesre kerekítve: 1600
Számolás: x = 1560
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: 1560 cm = 15 m 6 dm mélyre merül a tengerbe az arany-
bóbitás pingvin.
d) Adatok: 900 merülés, 10. merülésre 1 kalmár,
1 kalmár 15-20 dkg, ö = ? dkg
Terv: 900 : 10 � 15 < it ö < 900 : 10 � 20
Becslés: 1800
Számolás: 1800 < it ö < 1800
Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.
Válasz: Legalább 1350 dkg = 13 kg 50 dkg, legfeljebb 1800 dkg =
18 kg ennivalót gy¶jt a királypingvin.
e) Id® (nap) 5 10 50 100
Veszteség (dkg) 100 200 1000 2000
f) Adatok: sz = 1500 kg, gy:1 nap 20 kg
x nap 2000 kg x = ?
Terv: x = (2000 { 1500) : 20
Becslés: 25
Számolás: x = 25
Ellen®rzés: 1500 + 25 � 20 = 2000
Válasz: 25 nap múlva lesz a szürkebálna tömege 2000 kg.
Gy. 190/9. feladat: 2-vel, 5-tel, 10-zel oszthatóság vizsgálata.
Megoldás:
A szám páros páratlan
5-tel osztható 100; 0; 900; 5; 1215;
1000; 60; 1780 1605
5-tel nem 352; 834; 909; 217;
osztható 78 13
Gy. 190/10. feladat: 2-vel, 5-tel, 10-zel oszthatóság vizsgálata.
Megoldás: a) Minden kerek tízes osztható 2-vel. I
b) Van olyan páros szám, amely 5-re végz®dik. H
c) Minden 5-tel osztható szám kerek tízes. H
d) A 0 osztható 2-vel és 5-tel is. I
370 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
e) A 217 nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel. I
f) A kerek tízesek oszthatók 2-vel és 5-tel is. I
Gy. 199/31. feladat: Beszéljük meg, hogy a sorozat többféleképpen folytatható, itt azon-
ban olyan megoldást kell keresnünk, amely illeszkedik a keresztrejtvénybe.
Megoldás: a) Vízszintes: b) Függ®leges:
a: 1875, 1867, 1859, 1851 a: 297, 99, 33, 11
e: 1855, 1715, 1575, 1435 b: 106, 212, 424, 848
f: 779, 807, 835, 863 c: 266, 356, 446, 536
g: 530, 558, 586, 614 d: 24, 96, 384, 1536
i: 860, 1014, 1168, 1322 h: 880, 440, 220, 110
m: 16, 64, 256, 1024 i: 764, 894, 1024, 1154
n: 500, 516, 532, 548 j: 790, 628, 466, 304
o: 808, 404, 202, 101 k: 1299, 942, 585, 228
p: 5, 25, 125, 625 l: 648, 216, 72, 24
r: 69, 207, 621, 1863 o: 450, 810, 1170, 1530
s: 1955, 1970, 1985, 2000 p: 1055, 930, 805, 680
u: 904, 659, 414, 169 q: 1040, 780, 520, 260
x: 6, 36, 216, 1296 r: 324, 108, 36, 12
z: 15, 75, 375, 1875 t: 1480, 1357, 1234, 1111
v: 1054, 912, 770, 628
w: 538, 691, 844, 997
y: 520, 260, 130, 65
a b c d i j k l
e m
f n
gh
o t
p q u v w
r x y
s z
1 8 5 1 1 3 2 2
1 4 3 5 1 0 2 4
8 6 3 5 4 8
6 1 4
1
1 0 1
6 2 5 1 6 9
1 8 6 3 1 2 9 6
2 0 0 0 1 8 7 5
Gy. 199/32. feladat: Id®mérésr®l tanultak ismétlése.
Megoldás: 30 perc 12 óra 6 hónap
15 perc 6 óra 3 hónap
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
371
Gy. 200/33. feladat: A törtekr®l tanultak rendszerezése, ismétlése.
Megoldás: a) 1. 1 ketted 2. 5 nyolcad 3. 4 hatod 4. 4 nyolcad
2 harmad 1 ketted
5. 2 harmad 6. 2 negyed 7. 3 hatod 8. 5 kilenced
1 ketted 1 ketted
b) Az 1. téglalappal egyenl® részt színeztünk ki a 4., 6., 7. téglalapnál.
c) Az 5. téglalappal egyenl® részt színeztünk ki a 3. téglalapnál.
Gy. 200/34. feladat: Törtrészek összehasonlítása.
Megoldás: a) 3 hatod > 3 tized b) 3 nyolcad < 5 nyolcad
3 negyed = 6 nyolcad c) 4 nyolcad > 5tizenketted
Gy. 200/35. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veletek gyakorlására.
Megoldás:
a) 564
2:
{ 169
1:
� 3| {z }
507
= 57 (564
1:
{ 169)| {z }
395
2:
� 3 = 1185 564
1:
� 3| {z }
1692
2:
{ 169 = 1523
b) 314
2:
+ 168
1:
� 4| {z }
672
= 986 (312
1:
+ 168)| {z }
480
2:
� 4 = 1920 314
1:
� 4| {z }
1256
2:
+ 168 = 1424
c) 1670
2:
{ 295
1:
: 5| {z }
59
= 1611 (1670
1:
{ 295)| {z }
1375
2:
: 5 = 275 1670
1:
: 5| {z }
334
2:
{ 295 = 39
d) 918
2:
+ 792
1:
: 6| {z }
132
= 1050 (918
1:
+ 792)| {z }
1710
2:
: 6 = 285 918
1:
: 6| {z }
153
2:
+ 792 = 945
372 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 201/36. feladat: Idézzük fel a m¶veletekben szerepl® elnevezéseket.
Megoldás: a) Vízszintes:a b c d i j k
e l
f m
gh
n r
o s t
p u v
q x
1 2 2 1 1 3 4 4
1 0 7 6 2 5
6 3 2 5
6 4 0
1
1 7 1
7 5 9 2
3 4 3 7 2 7
1 2 4 9 1 8 7 5
a: 642 és 579 összege: 1221
e: 642 és 6 hányadosa: 107
f: 642 és 579 különbsége: 63
g: 423 és 217 összege: 640
i: 168 és 8 szorzata: 1344
l: 125 és 5 szorzata: 625
m: 125 és 5 hányadosa: 25
n: 513 és 3 hányadosa: 171
o: 375 és 5 hányadosa: 75
p: 796 és 453 különbsége: 343
q: 796 és 453 összege: 1249
s: 217 és 125 különbsége: 92
u: 402 és 325 összege: 727
x: 375 és 5 szorzata: 1875
b) Függ®leges:
b: A hányados, ha az osztandó 168, és az osztó 8: 21
c: A különbség, ha a kisebbítend® 423, és a kivonandó 217: 206
d: A szorzat, ha a tényez®k 217 és 8: 1736
h: A kisebbítend®, ha a kivonandó 46, és a különbség 371: 417
i: Az osztandó, ha az osztó 6, és a hányados 270: 1620
j: A kivonandó, ha a kisebbítend® 371, és a különbség 46: 325
k: Az egyik tényez®, ha a másik tényez® 6, és a szorzat 270: 45
n: Az osztandó, ha az osztó 3, és a hányados 513: 1539
o: Az összeg, ha a tagok 388 és 356: 744
p: Az egyik tag, ha a másik tag 356, és az összeg 388: 32
r: A szorzat, ha a tényez®k 219 és 9: 1971
t: A kisebbítend®, ha a különbség 9, és a kivonandó 219: 228
v: A kivonandó, ha a különbség 325, és a kisebbítend® 402: 77
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
373
Gy. 202/37. feladat: Gra�kon vizsgálata, adatok leolvasása, táblázatba rendezése.
Megoldás:
1. o. 2. o. 3. o. 4. o. 5. o. 6. o. 7. o. 8. o. Összesen
Fiú 22 28 15 26 27 29 25 24 196
Lány 26 21 24 26 24 28 30 27 206
Összesen 48 49 39 52 51 57 55 51 402
| {z }
188
| {z }
214
a) 10-zel több lány jár az iskolába.
b) 26-tal több fels® tagozatos tanuló jár ebbe az iskolába.
c) 6. osztályba jár a legtöbb gyerek.
d) 3. osztályba jár a legkevesebb gyerek.
e) Hasonlítsák össze az adatokat a saját iskolájuk adataival.
Gy. 203/38. feladat: Mértékváltások gyakorlása.
Megoldás: a) 700 dkg b) 6 kg 40 dkg
660 dkg 9 kg 4 dkg
802 dkg 4 kg 0 dkg
310 dkg 1 kg 1 dkg
c) 50 dm = 500 cm d) 50 dm = 5 m
15 dm = 150 cm 150 dm = 15 m
105 cm 1 m 3 dm 2 cm
562 cm 15 m 3 dm 2 cm
75 cm 10 m 0 dm 2 cm
e) 30 dl = 300 cl g) 20 dl = 2 l
35 dl = 350 cl 200 dl = 20 l
305 cl 4 l 3 dl 5 cl
352 cl 14 l 0 dl 5 cl
15 dl 10 l 2 dl 0 cl
g) 1056 m h) 125 perc
1 km 305 m 54 óra
i) 1560 kg j) 156 l
1 t 350 kg 13 hl 5 l
Gy. 203/39. feladat: Mértékekr®l tanultak ismétlése, gyakorlása.
Megoldás: a) 2 kg <98 dkg
298 dkg <2 dkg
3 kg b) 4 kg <50 dkg
450 dkg <50 dkg
5 kg
c) 7 kg <19 dkg
719 dkg <81 dkg
8 kg d) 9 kg <99 dkg
999 dkg <1 dkg
10 kg
374 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
e) 8 kg <45 dkg
845 dkg >55 dkg
9 kg f) 3 kg <7 dkg
307 dkg <93 dkg
4 kg
Gy. 204/40. feladat: Kerület, terület fogalmáról tanultak gyakorlása.
Megoldás: a) 1. ágyás:K = 22 m b) 2. ágyás:K = 22 m
T = 22 T = 28
22 bokor van. 28 bokor van.
Gy. 204/41. feladat: Tengelyes tükrözésr®l tanultak gyakorlása.
Megoldás:
Gy. 204/42. feladat: Testek építésér®l tanultak gyakorlása.
Megoldás: 1 test: 2. test: 3. test:
7 kockából áll. 11 kockából áll. 8 kockából áll.
A 3 test összesen: 7 + 11 + 8 = 26 kockából áll.
A nagyobb kocka: 3 � 3 � 3 = 27 kockából áll.
Hiányzik 1 kocka.
Gy. 205/43. feladat: A �biztos", �lehetséges", �lehetetlen" fogalmáról tanultak gyakorlása
játékos feladattal.
Megoldás: A B esemény bekövetkezésének nagy a valószín¶sége.
A C esemény a biztos esemény.
A D esemény a lehetetlen esemény.
Az A esemény bekövetkezésének kicsi az esélye.
Gy. 205/44. feladat: A �biztos", �lehetséges", �lehetetlen" fogalmáról tanultak gyakorlása
játékos feladattal.
Megoldás: Itt is �gyeltessük meg, mely esemény bekövetkezésének kicsi, illetve nagy
a valószín¶sége.
Óra: 143{144. 160{161. 178{179.
6/II. felmérés
A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
375
Hányféleképpen?
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, szövegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következ-
tetések, kombinativitás, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-
tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüg-
géslátás, pontosság, egyéni, páros, csoportos munkavégzés.
Óra: 145{146. 162{163. 180{181.
Kombinatorikai feladatokat a tanulók képességeinek megfelel® szinten dolgozzunk fel.
A feladatokat megoldathatjuk a tanév során különböz® órákon is.
Tk. 190/1. kidolgozott mintapélda: Négy gyerek közül kell kett®t úgy kiválasztanunk,
hogy számít a sorrend. Ez 4 elem másodosztályú ismétlés nélküli variációja. Hívjuk
fel a tanulók �gyelmét arra, hogy fagráf vagy táblázat segítségével rendezni tudjuk a
megoldásokat úgy, hogy ne maradjon ki egy megoldás sem, illetve egyet se számítsunk
többszörösen.
Az els® helyre 4-féleképpen, a másodikra 3-féleképpen választhatunk a négy gyerekb®l.
Összesen 4 � 3 = 12 eset van.
Tk. 190/1. feladat: Beszéljük meg, hogy nem volt holtverseny. Azt is vizsgáljuk meg,
hányféle eredmény lehet, ha van holtverseny.
Megoldás: 1. hely A A B B C C
2. hely B C A C A B
3. hely C B C A B A
3 � 2 � 1 = 6 Az 1. helyre 3, a 2. helyre 2, a 3. helyre 1 gyerek közül választ-
hatunk. 6-féleképpen érhetnek a célba.
Tk. 190/2. feladat: Játsszák el a tanulók a feladatot, s így állapítsák meg a lehet®sége-
ket.
Megoldás: Úszás A A A A B B B B C C C C D D D D
Dobás A B C D A B C D A B C D A B C D
Az úszásnál is 4, a dobásnál is 4 gyerek közül választhatunk: 4 � 4 = 16
16-féle lehet az eredmény.
Tk. 191/3. feladat: Beszéljük meg, hogy itt nem számít a sorrend. Játsszák is el a tör-
ténete a tanulók.
Megoldás: Kiválasztott tanulók: A { B, A { C, A { D, B { B, B { D, C { D,
6-féleképpen választható ki 4 gyerek közül a 2 t¶zrakó.
Tk. 191/4. feladat: Vetessük észre, hogy a gyerekek egymáshoz viszonyított helyzete
nem változik, ha a forgó elfordul.
376 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás:
A
B
C
D
A
B
D
C
A
C
B
D
A
C
D
B
A
D
B
C
A
D
C
B
Gy. 183/1. feladat: Próbálják tervszer¶en az összes lehet®séget megkeresni a tanulók.
a) P P P K K K
S Z B S Z B
b)
P P P P P P P P P K K K K K K K K K
F F F N N N L L L F F F N N N L L L
S Z B S Z B S Z B S Z B S Z B S Z B
Gy. 183/2. feladat: Az els® helyre 3-, a másodikra 2-, a harmadik helyre 1-féleképpen
választhatunk a gyerekek közül.
Ez összesen 3 � 2 � 1 = 6 eset.
Megoldás:
A B C A C B B A C B C A C A B C B A
Gy. 183/3. feladat: Az els® helyre 3-, a másodikra 2-, a harmadik helyre 1-féleképpen
választhatunk a gyerekek közül.
Ez összesen 3 � 2 � 1 = 6 eset.
Megoldás: 2 5 8 2 8 5 5 2 8 5 8 2 8 2 5 8 5 2
Gy. 183/4. feladat: Az els® helyre 3-, a másodikra 2-, a harmadik helyre 1-féleképpen
választhatunk a gyerekek közül.
Ez összesen 3 � 2 � 1 = 6 eset.
Megoldás: P B B M M L L
R M L B L B M
S L M L B M B
Gy. 184/5. feladat: Több feltétel együttes teljesülését kell �gyelni a megoldáshalmaz
el®állításához.
Megoldás: a) Beszéljük meg:
hogy minden számkártyából csak 1 darab áll rendelkezésünkre,
nullával nem kezd®dik háromjegy¶ szám,
az egyesek helyére csak 0 kerülhet.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
377
A százasok helyére 3-féle szám kerülhet: 1, 2, 4. A tízesek helyére pedig
2-féle, mivel a 0-t és még egy számot már felhasználtunk.
1 2 0 1 4 0 2 1 0 2 4 0 4 1 0 4 2 0
b) Beszéljük meg, hogy az egyesek helyére csak 1-es kerülhet, valamint,
hogy a szám legnagyobb helyiértékére nem kerülhet 0.
1 2 1 4 1 2 0 1 2 4 1 4 0 1
4 2 1
Gy. 184/6. feladat: Több feltétel együttes teljesülését kell �gyelni a megoldáshalmaz
el®állításához.
Megoldás: a) Az egyesek helyére 1-es vagy 3-as számjegy kerülhet.
Ha 1-es kerül, akkor a tízesek helyén állhat: 2, illetve 3.
Ha 3-as kerül, akkor a tízesek helyén állhat: 1, 2, illetve 3. Így összesen
5 megoldás lehetséges.
2 1 3 1 1 3 2 3 3 3
b) Az egyesek helyére csak a 2-es számjegy kerülhet.
Ha 1-es kerül a tízesek helyére, a százasok helyén állhat: 2, illetve 3.
Ha 2-es kerül a tízesek helyére, a százasok helyén állhat: 1, illetve 3.
Ha 3-as kerül a tízesek helyére, a százasok helyén állhat: 1, 2, illetve 3.
Így összesen 7 megoldás lehet
2 1 2 3 1 2 1 2 2 3 2 2
1 3 2 2 3 2 3 3 2
Gy. 184/7. feladat: Vetessük észre, hogy a gyerekek egymáshoz viszonyított helyzete
nem változik, ha a forgó elfordul.
Megoldás:
a) b) c) d) e)
2 különböz® elhelyezkedés lehetséges. Az A-ból a B-be az óramutató járásával mege-
gyez®, illetve ellentétes irányban juthatunk el. Ugyanaz az elhelyezkedés az a), b), d),
illetve a c), e) forgón.
Gy. 184/8. feladat: Az elforduló forgókat nem tekintjük különböz® megoldásoknak. Álta-
lában próbálgatással várjuk a megoldásokat. Tehetségesebb gyerekek eljuthatnak stra-
tégiák fölállításához is. Az összes eset megtalálásához jó ötlet lehet a következ®: Rög-
zítsünk egy színt. Mondjuk bal oldalt a pirosat. Három színünk marad a három helyre.
378 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
(Három elem ismétlés nélküli permutációja.) Az els® helyre 3-, a másodikra 2-, a harma-
dikra 1-féleképpen választhatunk színt. Ez összesen 3 � 2 � 1 = 6 megoldás.
Megoldás:
Gy. 185/9. feladat: Több feltétel együttes teljesülését kell �gyelni a megoldáshalmaz
el®állításához.
Megoldás: Szemet 2-, orrot 2-, szájat 3-féleképpen választhatunk. Ez összesen 2 � 2 �
3 = 12-féle arc.
Gy. 185/10. feladat: Több feltétel együttes teljesülését kell �gyelni a megoldáshalmaz
el®állításához.
Megoldás: a) Az egyesek, tízesek és a százasok helyére is 2-féleképpen választha-
tunk számjegyet.
Ez összesen 2 � 2 � 2 = 8 szám.111; 112; 121; 122; 211; 212; 221; 222.
b) Az egyesek és a tízesek helyére is 3-féleképpen választhatunk számje-
gyet. Ez összesen 3 � 3 = 9 szám.
33; 32; 31; 23; 22; 21; 13; 12; 11.
Jobb csoportokban kib®víthetjük a feladatot a háromjegy¶ számokra,
amikor
3 � 3 � 3 = 27 lehetséges eset van.
111; 121; 131; 211; 221; 231; 311; 321; 331;
112; 122; 132; 212; 222; 232; 312; 322; 332;
113; 123; 133; 213; 223; 233; 313; 323; 333.
Gy. 185/11. feladat: A feladatok arról szólnak, hogyan lehet kiválasztani öt elemb®l kett®t
úgy, hogy nem számít a sorrend. (Öt elem másodosztályú ismétlés nélküli kombinációja.)
A feladatok arról szólnak, hogyan lehet kiválasztani öt elemb®l kett®t úgy, hogy nem
számít a sorrend. (Öt elem másodosztályú ismétlés nélküli kombinációja.)
a) Ugyanis ha a kétágyas szobába kiválasztottunk két kislányt, akkor meghatároztuk
a másik szoba lakóit is. Az els® helyre 5-, a másodikra 4-féleképpen választhatunk.
Ez összesen 5 �4 = 20, így minden esetet kétszer számoltunk. Ha A kerül az els®, B
a második helyre, az ugyanaz az eset, mint ha B kerül az els®, A pedig a második
helyre. Tehát az összes lehetséges eset száma 5 � 4 : 2 = 10.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
379
AB
CDE
AC
BDE
AD
BCE
AE
BCD
BC
ADE
BD
ACE
BE
ACD
CD
ABE
CE
ABD
DE
ABC
b) Egy kislány 4 másikkal játszik. Öt kislány 5 � 4 = 20-szor játszana, de így minden
esetet kétszer számoltunk, mert ha A játszik B-vel, akkor B is játszik A-val. Tehát az
összes lehetséges eset száma 5 � 4 : 2 = 10.
A
E B
D CMás szemléltetést is választhatunk:
Párosítást:
A | B A | C A | D A | E
B | C B | D B | E
C | D C | E
D | E
Fadiagramot:�
A B C D
B C D E C D E D E E
Mátrixot, ahol a játszmákat jelöljük X-szel:
A B C D E
A X X X X
B X X X
C X X
D X
E
Táblázatot:
A A A A B B B C C D
B C D E C D E D E E
380 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Biztos, lehetséges, lehetetlen
Kompetenciák, fejlesztési feladatok:
rendszerezés, szövegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következ-
tetések, kombinativitás, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-
tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüg-
géslátás, pontosság, egyéni, páros, csoportos munkavégzés.
Óra: 147{148. 164{165. 182{183.
A tanulók matematikai szemléletét ezen a téren csak úgy fejleszthetjük, ha a valószín¶-
ségi kísérleteket játékos formában ténylegesen elvégeztetjük. Az így szerzett tapaszta-
latokra építve tudják értelmezni a következ® kifejezéseket: �kísérlet", �a kísérlet kimene-
tele", �esemény", �lehetséges, de nem biztos", �lehetetlen esemény", �biztos esemény",
�lehetséges, de kicsi a valószín¶sége", �nem biztos, de nagy a valószín¶sége".
Tk. 192/1. kidolgozott mintapélda: Ismerkedjünk meg a következ® kifejezésekkel: �kí-
sérlet", �a kísérlet kimenetele", �esemény", �lehetséges, de nem biztos", �lehetetlen ese-
mény", �biztos esemény", �lehetséges, de kicsi a valószín¶sége", �nem biztos, de nagy
a valószín¶sége".
Tk. 192/2. kidolgozott mintapélda:: A valószín¶ségi játékok tényleges elvégzése után
(kés®bb esetleg már a játékok elvégzése el®tt) kombinatorikus eszközökkel felfedeztet-
hetjük, hogy kiknek van nagyobb esélyük a gy®zelemre. Persze ez nem jelenti azt, hogy
tényleg ®k is gy®znek.
Tisztázzuk, hogy nem azok az igazi nyertesek, akik abba a csoportba tartoznak, amely
a legtöbb pontot kapja, hanem azok, akik jól tippelnek.
Tk. 193/1. feladat: A valószín¶ségi játékok tényleges elvégzése után (kés®bb esetleg
már a játékok elvégzése el®tt) kombinatorikus eszközökkel felfedeztethetjük, hogy kik-
nek van nagyobb esélyük a gy®zelemre. Persze ez nem jelenti azt, hogy tényleg ®k is
gy®znek.
Tisztázzuk, hogy nem azok az igazi nyertesek, akik abba a csoportba tartoznak, amely
a legtöbb pontot kapja, hanem azok, akik jól tippelnek.
Megoldás: A tanulók könnyen felismerik, hogy a zöld lap húzásának van legnagyobb
esélye.
Tk. 193/2. feladat: A biztos esemény fogalmának elmélyítését szolgálja.
Megoldás: Biztosan legyen piros: 3 zöld + 1 kék + 1 piros = 5 lap.
5 lapot kell kihúzni.
Tk. 193/2. feladat: Adjunk fel további hasonló feladatokat, amelyek a tanulók mindennapi
életével kapcsolatosak, a tanulók számára konkrétak és jól áttekinthet®k.
Megoldás: Egy osztálykirándulás el®tt tippeljük meg az események bekövetkezésének
valószín¶ségét, majd a kirándulás után értékeljük tippjeinket.
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
381
Gy. 186/1. feladat: Ha minden tanuló részt vesz a játékban, akkor a pénzérméket átlát-
szó fedel¶ m¶anyag dobozba célszer¶ rakni, így nem gurulnak el az érmék.
Megoldás: Négy lehetséges kimenetel van: K K, Í Í, Í K, K Í.
Ezért az F esemény bekövetkezésének van a legnagyobb esélye.
Gy. 186/2. feladat: Adjunk fel további hasonló feladatokat, amelyek a tanulók minden-
napi életével kapcsolatosak, a tanulók számára konkrétak és jól áttekinthet®k.
Megoldás: A tippelést a dolgozat megíratása el®tt végeztessük el.
Gy. 186/3. feladat: A biztos esemény fogalmának elmélyítését szolgálja.
Megoldás: a) 2 sárga + 1 kék + 1 zöld = 4
4 lapot kell kivenni.
b) 4 zöld + 1 (sárga vagy kék) = 5
5 lapot kell kivenni.
c) 1 zöld + 1 sárga + 1 kék + 1 (zöld vagy sárga) = 4
4 lapot kell kivenni.
d) 4 zöld + 1 (sárga vagy kék) = 5
5 lapot kell kivenni.
e) 4 zöld + 2 sárga + 1 kék = 7
7 lapot kell kivenni.
Gy. 187/4. feladat: A �biztos", �lehetséges", �lehetetlen" esemény fogalmának elmélyí-
tését szolgálja.
Megoldás: P: Hamis, az összeg lehet 3.
R: Igaz, az összeg lehet például 3 + 2 + 5 = 10.
S: Igaz, az összeg legfeljebb 18 lehet.
T: Hamis, a 33 semmiképpen nem állítható el® a dobott számok szorzata-
ként.U: Hamis, mindhárom kockán lehet 1.
V: Igaz. Például: 6 � 6 � 6 = 216
Gy. 187/5. feladat: A �biztos", �lehetséges", �lehetetlen" esemény fogalmának elmélyí-
tését szolgálja.
Megoldás: A: Lehetséges, de nem biztos esemény. Nagy a valószí n¶sége.
B: Biztos esemény, ha mindhárom kockával 6-ost dobunk, akkor a szorzat
216.C: Lehetetlen esemény, a dobott számok között nem lehet 7.
D: Lehetséges, de nem biztos esemény.
E: Lehetséges, de nem biztos esemény. Kicsi a valószín¶sége.
382 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Kitekintés 10 000-ig
Jobb csoportban
Óra:{. 166. 184{185.
A fejezet anyagát többféleképpen építhetjük be a tanulási folyamatba:
Jobb csoportban az év végi összefoglalás el®tt dolgoztatjuk föl, és az év végi ismét-
lést, rendszerezést már a b®vebb számkörhöz kapcsolódva, magasabb színvonalon
hajtjuk végre.
Átlagos képesség¶ csoportban az év végi összefoglalással megteremtjük azt az
alapot, amely már biztosítja ennek a fejezetnek a sikeres feldolgozását, és a ta-
nulócsoport képességeinek megfelel® szinten foglalkozunk ezekkel a feladatokkal.
Gyengébb csoportban csak 4. osztályban foglalkozzunk vele.
A számokról tanultakat terjesztjük ki a 10 000-es számkörre. Foglalkozhatunk a 2000-
nél nagyobb számnevek írásával, az írásbeli m¶veletekkel. Tudatosítjuk, hogy az eddig
megismert m¶veleti tulajdonságok a b®vebb számkörben is érvényben maradnak.
Amennyiben sikerült a 2000-es számkörben tanultakat alaposan elsajátítaniuk a tanulók-
nak, akkor ez a témakör sem okozhat különösebb gondot ebben az életkorban.
Tk. 206/Figyeld meg!: A számkör b®vítése 10 000-ig.
Tk. 206/1. feladat: Figyeltessük meg a számegyenesen az analógiát az egyesek, kerek
tízesek, százasok, ezresek között.
Megoldás: p r s t u
1 3 6 8 9
10 30 60 80 90
100 300 600 800 900
1000 3000 6000 8000 9000
Tk. 207/1. kidolgozott mintapélda: 2000-es számkörben már jól begyakoroltuk a 4 je-
gy¶ számok írásának többféle formáját. Most a korábban tanultakat kiterjesztjük a 10
000-es számkörre. Játék pénzzel megadott értékeket kell meghatározni. Figyeljük meg,
tudnak-e ügyelni a helyiértékekre a tanulók.
Tk. 207/2. feladat: A biztos számfogalom kialakítását segít® feladat. Figyeltessük meg
a szorzat változását.
Megoldás: a) 30 Ft, 300 Ft, 3000 Ft, 1500 Ft.
b) 50 Ft, 500 Ft, 5000 Ft, 1000 Ft.
Tk. 207/3. feladat: 2000-es számkörben már jól begyakoroltuk a 4 jegy¶ számok írásá-
nak többféle formáját. Most a korábban tanultakat kiterjesztjük a 10 000-es számkörre.
Megoldás: 2436 = 2 E + 4 sz + 3 t + 6 e = 2000 + 400 + 30 + 6 =
= 2 � 1000 + 4 � 100 + 3 � 10 + 6 � 1 =
= kétezer-négyszázharminchat
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
383
3024 = 3 E + 0 sz + 2 t + 4 e =
= 3000 + 20 + 4 =
= 3 � 1000 + 0 � 100 + 2 � 10 + 4 � 1 =
= háromezer-huszonnégy
4203 = 4 E + 2 sz + 0 t + 3 e
= 4000 + 200 + 3 =
= 4 � 1000 + 2 � 100 + 0 � 10 + 3 � 1 =
= négyezer-kétszázhárom
Tk. 208/4. feladat: Analóg számítások a 10000-es számkörben.
Megoldás: a) v = 4 � 700 + 5 � 350
v = 2800 + 1750
v = 4550 Ft
4550 Ft-ba került a két családnak a vonatjegy.
b) k = (2 � 1100 + 3 � 550) { (2 � 1200 + 2 � 600)
k = 3850 { 3600
k = 250 Ft
250 Ft-tal �zetett kevesebbet a Víg család.
c) f = 2 � 450l = 3 � 300
f = 900Ftl = 900 Ft
Igaz, hogy a �úk jegye ugyanannyiba került, mint a lányoké.
d) f = 2 � 1000 + 2 � 500l = 2 � 600 + 3 � 300
f = 3000 Ft l = 2100 Ft
Elég volt mindkét helyen 3000 Ft.
e) m = 4 � 800 + 5 � 400 { 5000
m = 200 Ft
200 Ft-ot kell még odaadniuk a pénztárosnak.
f) Többféle megoldást várunk a tanulóktól.
Gy. 206/1. feladat: 2000-es számkörben már jól begyakoroltuk a 4 jegy¶ számok írásá-
nak többféle formáját. Most a korábban tanultakat kiterjesztjük a 10 000-es számkörre.
Megoldás: a) 1453 Ft, 4453 Ft, 6453 Ft.
b) 1506 Ft, 3056 Ft, 8560 Ft.
384 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Gy. 206/2. feladat: Adott értékeket kell játék pénzzel lerajzolniuk a tanulóknak.
Megoldás: A szám Ezresek Százasok Tízesek Egyesek
2456
3125
4051
Gy. 206/3. feladat: Bontott alakú számok leírása számjegyekkel. Idézzük föl az alaki-,
helyi- és a tényleges értékr®l tanultakat.
Megoldás: T E sz t e Számmal
3 ezres + 5 százas + 2 tízes + 8 egyes 3 5 2 8 3528
7 ezres + 2 százas + 6 tízes 7 2 6 0 7260
8 � 1000 + 3 � 100 + 9 � 10 + 1 � 1 8 3 9 1 8391
4 � 1000 + 0 � 100 + 5 � 10 + 8 � 1 4 0 5 8 4058
6000 + 400 + 30 + 7 6 4 3 7 6437
9000 + 600 + 4 9 6 0 4 9604
Ötezer-hatvannégy 5 0 6 4 5064
Gy. 207/4. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen. Vetessük észre
az egyes feladatok közötti analógiát. A biztos számfogalom kialakításához szükséges,
hogy a tanulók egységes rendszerben lássák a számkör felépítését.
Megoldás: a) p = 1130, r = 1170, s = 1185, t = 1230, u = 1255, v = 1280,
b) p = 5130, r = 5170, s = 5185, t = 5230, u = 5255, v = 5280,
c) p = 9130, r = 9170, s = 9185, t = 9230, u = 9255, v = 9280.
Gy. 207/5. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen. Vetessük észre
az egyes feladatok közötti analógiát. A biztos számfogalom kialakításához szükséges,
hogy a tanulók egységes rendszerben lássák a számkör felépítését.
Megoldás:
900 2000
a bcd ef
4900 6000
g hij kl
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
385
Gy. 207/6. feladat: A 10 000-es számkör bejárása a sorozat elemeinek el®állításával.
Megoldás: a) 800; 1000; 1200; 1400; 1600; 1800; 2000; 2200; 2400.
b) 4800; 5000; 5200; 5400; 5600; 5800; 6000; 6200; 6400.
c) 300; 600; 900; 1200; 1500; 1800; 2100; 2400; 2700.
d) 6300; 6600; 6900; 7200; 7500; 7800; 8100; 8400; 8700.
e) 3200; 2800; 2400; 2000; 1600; 1200; 800; 400; 0.
f) 9200; 8800; 8400; 8000; 7600; 7200; 6800; 6400; 6000.
g) 2500; 2300; 2100; 1900; 1700; 1500; 1300; 1100; 900.
h) 9500; 9300; 9100; 8900; 8700; 8500; 8300; 8100; 7900.
Gy. 207/7. feladat: Figyeltessük meg a sorok közötti analógiát.
Megoldás: a = 1800, b = 1600, c = 2200, d = 1300, e = 2000,
f = 4800, g = 4600, h = 5200, i = 4300, j = 5000,
k = 8800, l = 8600, m = 9200, n = 8300, o = 9000.
Gy. 208/8. feladat: Játékos feladat a kreativitás, képi gondolkodás, összefüggéslátás fej-
lesztésére. Pálcikákból rakják ki a tanulók a feladatot, s úgy próbálkozzanak a megoldás
megkeresésével.
Megoldás: a) b) c)
Gy. 208/9. feladat: Játékos feladat a kreativitás, összefüggéslátás fejlesztésére.
Megoldás: M = 0
M + A = 1000 A = 1000
A + T = 3000 T = 2000
T + E = 5000 E = 3000
E + K = 7000 K = 4000
Megoldás: M + A + T + E + K = 10 000
0 + 1000 + 2000 + 3000 + 4000 = 10 000
Gy. 208/10. feladat: Játékos feladat a kreativitás, összefüggéslátás fejlesztésére.
Megoldás:
2000 1000 4000
3000 5000
8000
2000 3000 1000
5000 4000
9000
Gy. 208/11. feladat: Játékos feladat a kreativitás, összefüggéslátás fejlesztésére. Több
megoldás lehetséges, csak olyan megoldásokat közöltünk, amelyekben minden forma
különböz® és az alakzat értéke is különböz®.
386 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
Megoldás:
1500
2500
3000
1000
2500
3000
2000
2500
3000
6000 7000 6500 7500
1500 2500
2000
1000
2000 3000
15002500
2000 3000
2500
1000
7000 9000 8500
Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program
M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008
387