matematik c interaktivt for hf · 2021. 8. 5. · (2+2 = 4) ⱽ (2+2 = 5) det til venstre er sandt...

Matematik C for hf , version 10 © PeterSørensen.dk side 1 / 60

Peter L Sørensen:

Matematik C interaktivt for hf

(Blåt hæfte)

Version 10

DEL 2

http://www.petersørensen.dk/


FORORD ........................................................................................................................................................................................... 4

LEKTION 15A: POTENS-FUNKTIONER ................................................................................................................................. 5

a og b’s betydning for grafen ....................................................................................................................................................... 5 Sådan findes en regneforskrift ...................................................................................................................................................... 5 Sammenhæng mellem x og y ved potens-vækst ............................................................................................................................ 6 Grafer for potens-funktioner ........................................................................................................................................................ 7

LEKTION 15B: ANDENGRADSPOLYNOMIER ....................................................................................................................... 8

Parablens toppunkt....................................................................................................................................................................... 8

LEKTION 15C: MODELLER OG REGRESSION ..................................................................................................................... 9

Symboler: ..................................................................................................................................................................................... 9 Absolut tilvækst .......................................................................................................................................................................... 10 Relativ tilvækst ........................................................................................................................................................................... 10 Matematisk modellering og regression ...................................................................................................................................... 10 Regression og CAS-værktøj ........................................................................................................................................................ 11 GeoGebra ................................................................................................................................................................................... 11 RegneRobot.dk ............................................................................................................................................................................ 12 WordMat..................................................................................................................................................................................... 12 Excel regneark ............................................................................................................................................................................ 13 Resididualplot ............................................................................................................................................................................. 13

LEKTION 16A: STATISTIK .................................................................................................................................................... 16

Standardafvigelsen ..................................................................................................................................................................... 16 Ikke grupperede observationer ................................................................................................................................................... 16 Automatisk beregning af deskriptorer i RegneRobot .................................................................................................................. 17 Boksplot (eller kassediagram):................................................................................................................................................... 17 Outlier ........................................................................................................................................................................................ 17 Venstreskæv fordeling ................................................................................................................................................................ 17 Højreskæv fordeling ................................................................................................................................................................... 17 Middeltal ved ikke grupperede observationer ............................................................................................................................ 17 Automatisk beregning i GeoGebra og tegning af boksplot: ....................................................................................................... 17

LEKTION 16B: STATISTIK .................................................................................................................................................... 20

Grupperede observationer.......................................................................................................................................................... 20 Boksplot kan bruges både ved grupperede observationer og ved ikke-grupperede observationer. ........................................... 20 Histogram ................................................................................................................................................................................... 20 Middeltal ved grupperede observationer ................................................................................................................................... 21 Sumkurve .................................................................................................................................................................................... 21 Kumuleret hyppighed ................................................................................................................................................................. 21 Kumuleret frekvens ..................................................................................................................................................................... 21 Definition af median og kvartiler ............................................................................................................................................... 22 Ved ikke grupperede observationer defineres medianen således: .............................................................................................. 22 Ved grupperede observationer defineres medianen således: ..................................................................................................... 23

LEKTION 16C: KOMBINATORIK ........................................................................................................................................ 24

Multiplikationsprincippet og tælletræ ...................................................................................................................................... 24 Additionsprincippet .................................................................................................................................................................... 24 Fakultet ! og permutaion ........................................................................................................................................................ 24 Kombinationer ............................................................................................................................................................................ 25

LEKTION 16D: SANDSYNLIGHED ....................................................................................................................................... 26

Sandsynlighedsfelt ...................................................................................................................................................................... 26 Symmetrisk sandsynlighedsfelt ................................................................................................................................................... 27 Hændelse .................................................................................................................................................................................... 27 a-priori sandsynlighed ............................................................................................................................................................... 27 Frekentiel sandsynlighed ............................................................................................................................................................ 27 Stikprøver ................................................................................................................................................................................... 28

LEKTION 16D: MATEMATIKHISTORISKE PERSPEKTIVER ......................................................................................... 30

LEKTION 17A: REPETITION OG FLERE BEVISER MV. ............................................................................................... 31

Geometri ..................................................................................................................................................................................... 31



Vinkelsummen i en trekant er 180° ............................................................................................................................................. 31 Vinkelsummen af de to spidse vinkler i en retvinklet trekant er 90° ........................................................................................... 32

LEKTION 17B: REPETITION OG FLERE BEVISER MV. .................................................................................................. 33

Pythagoras’ sætning ................................................................................................................................................................... 33

LEKTION 17C: REPETITION OG FLERE BEVISER MV. .................................................................................................. 37

Definition af Sinus og Cosinus ................................................................................................................................................... 37 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne i en retvinklet trekant ..................................................................................................... 38 Tangens ...................................................................................................................................................................................... 39

LEKTION 17D: REPETITION OG FLERE BEVISER MV. .................................................................................................. 40

Lineær funktion .......................................................................................................................................................................... 40

LEKTION 18A EKSAMEN ......................................................................................................................................................... 42

LEKTION 18B EKSAMEN ......................................................................................................................................................... 43

Om Eksamen ............................................................................................................................................................................... 43 Eksempel på eksamens-spørgsmål til mundtlig eksamen ........................................................................................................... 44

MATEMATISKE ORD .................................................................................................................................................................. 47

FORMELSAMLING MAT. C ....................................................................................................................................................... 51

BRØKER ........................................................................................................................................................................................ 51 LIGNINGER .................................................................................................................................................................................... 52 PARENTESER ................................................................................................................................................................................. 52 RENTE ........................................................................................................................................................................................... 54 INDEKS .......................................................................................................................................................................................... 55 GEOMETRI..................................................................................................................................................................................... 56

Areal af trekant ....................................................................................................................................................................... 56 Vinkelsum i en trekant ................................................................................................................................................................ 56 Ens- vinklede trekanter ............................................................................................................................................................... 56

VILKÅRLIG TREKANT .................................................................................................................................................................... 56 Sinusrelationerne: ...................................................................................................................................................................... 56 Cosinusrelationerne: .................................................................................................................................................................. 56

RET- VINKLET TREKANT ............................................................................................................................................................... 57 (Pytha- goras, Sinus, Cosinus og Tangens) ........................................................................................................................... 57

EKSPONENTER .............................................................................................................................................................................. 58 LOGARITMER ................................................................................................................................................................................ 58 OMVENDT PROPORTIONALITET ..................................................................................................................................................... 59 VÆKST .......................................................................................................................................................................................... 60 LINEÆR VÆKST ............................................................................................................................................................................. 60 EKSPONENTIEL VÆKST .................................................................................................................................................................. 60 POTENS-VÆKST ............................................................................................................................................................................. 60



Forord

I denne version 10, Matematik C interaktivt for hf er lærerplanen fra 2017 indarbejdet. Der er 2 dele, dels dette hæfte med del 2 , som har blå forside, og dels del 1, som har grøn forside. Den foregående version 9.3 kan tilgås via dette link: https://mahf.dk/del2/start9.3.pdf Dette hæfte er beregnet til at blive brugt på en pc koblet på Internettet. Herved bliver det muligt at benytte diverse links til selvrettende E-opgaver og interaktive opgaver samt til videoer. Alligevel kan det være praktisk at printe hæftet. Hvis din printer kan printe i brochureformat, vil det være bedst. I så fald bør benyttes en hæftemaskine, der kan hæfte på midten. Videoerne bør ses i brudstykker på kun nogle få minutter af gangen. Besvarelserne af de selvrettende E-opgaverne kan automatisk sendes via Internettet til læreren. Uanset, hvor man er i hæftet, kan man komme til indholdsfortegnelsen ved at taste Ctrl+Home, PageDown, PageDown, PageDown. Søgning på bestemte ord (svarende til stikordsregister) foretages ved at taste Ctrl+f Denne undervisningspakke er under stadig udvikling. Forslag og eventuelle rettelser til denne pakke modtages med tak ved et klik Her.

Dette hæfte, del 1, er på 60 sider. Del 2 er på 60 sider, i alt 120 sider. E-opgaver, interaktive opgaver og videoer skønnes at svare til ca 120 sider. Det samlede sidetal bliver således svarende til 240 sider.


https://mahf.dk/del1/start.pdf

https://mahf.dk/del2/start9.3.pdf

https://matheditor.com/Skriv_til_Peter.htm


Lektion 15a: Potens-funktioner Udfør følgende 6 punkter

1) Se: Video med potens-funktioner

2) Læs:

Definition:

En funktion, der har en regneforskrift af formen y = b·xa , hvor a ikke er nul, og både b og x er positive, kaldes en potensfunktion.

Hvis a<0 (mindre end nul), så er funktionen aftagende. Hvis a>0 (større end nul), så er funktionen voksende.

y er altid positiv, fordi både x og b er positive.

Eksempel: Hvis man lader en mønt falde ned fra et højhus, kan faldet med

god tilnærmelse beskrives ved modellen y = 5·x2 , hvor x er antal sekunder efter, der er

blevet givet slip på mønten og y er antal meter, som mønten er faldet. I dette eksempel

er b =5 og a = 2

b er y-værdien når x er 1. Bemærk: Ved potensfunktion tales ikke om begyndelsesværdi.

a og b’s betydning for grafen

Ligesom ved lineær og eksponentiel vækst kan dette illustreres med IT-værktøjet Geogebra. Du følger punkterne 1) til 7) i lektion 11, dog skal du her i input-feltet skrive b*x^a. Du taster ^ ved først at taste ^ til højre for Å på tastaturet og derefter taster du mellemrum.

Sådan findes en regneforskrift

Hvis man kender 2 funktionsværdier, kan man finde en regneforskrift.

a kan beregnes ved formlen:

𝒂 =

𝑳𝒐𝒈(𝒚𝟐) − 𝑳𝒐𝒈(𝒚𝟏)

𝑳𝒐𝒈(𝒙𝟐) − 𝑳𝒐𝒈(𝒙𝟏)

Herefter kan b findes ved hjælp af formlen:

b = y1 · x1-a = y1/ x1

a


http://lyngbydata.dk/p/del2/videoer/potens2.wmv


Eks.

x 3 11

y 57 253

a = = 1,14704… = 1,1470

b = 57/3 ·1,14704… = 16,1657… = 16,166

Regneforskriften bliver således: y = 16,166· x1,470 Fx fås for x=25: y = 16,1657… · 251,4704… = 648,779… = 648,78

Her har vi ikke brugt de afrundede værdier af a og b, men de mere nøjagtige, som er gemt i lommeregneren eller i computeren.

Sammenhæng mellem x og y ved potens-vækst Lad os betragte potens-funktionen: y = 7·x3 og lad os betragte en x-værdi og den tilsvarende y-værdi: 7·x3. Vi vil nu fremskrive x med 20%. Dvs. x ganges med fremskrivningsfaktoren (1+20%) = 1,20. Den nye y-værdi bliver 7·(x·1,20)3 = 7·x3 · 1,203 = y · 1,203 Altså: y skal ganges med 1,203 = 1,728 Det er det samme som at fremskrive y med (1,728 – 1) · 100% = 72,8% Vi bemærker, at når x fremskrives med faktoren 1,20 , så fremskrives y med faktoren 1,203

Eller sagt på en anden måde: Når x fremskrives med 20%, så fremskrives y med (1,203 - 1) · 100%

)3()11(

)57()253(

LogLog

LogLog

−

−



Generelt gælder om en potens-funktion: Når x fremskrives med faktoren (1+r) så fremskrives y med faktoren (1+r)a eller: Når x fremskrives med faktoren (1+p%) så fremskrives y med faktoren (1+p%)a Eller sagt på en anden måde: Når x fremskrives med p%, så fremskrives y med ((1+p%)a – 1) · 100% Dvs, om en potens-funktion gælder:

Når x vokser med en bestemt procent, så vil y også vokse med en bestemt procent, og ud fra den %-vise vækst af x kan man beregne den %-vise vækst af y.

Det modsatte gælder også:

Enhver funktion, der har ovenstående egenskab, er en potens-funktion.

Eksempel:

y=5000·x - 0,7

En %-vis forøgelse af x med 30% til (x ·1,30) giver

en ny y-værdi på 5000·(x·1,30) -0,7 = 5000·x - 0,7 · 1,30 -0,7 Altså y forøges med faktoren 1,30 -0,7 svarende til en %-vis forøgelse på (1,30 -0,7 - 1)·100 % = -16,77…% = -16,8%. (Det er en aftagende funktion.)

Grafer for potens-funktioner Her ses grafen for 3 potensfunktioner, hvor henholdsvis a<0, 0<a<1 og for a>1.

Tegn tre sådanne grafer ved hjælp af CAS-værktøj.

4) Løs interaktive øvelsesopgaver Beregn %-vis forøgelse

Potensfunktion generelt

5) Løs E-opgaver: E-opgaver_15_Potens-funktion.htm


https://mahf.dk/matematik/potensfunktion_pct.htm

https://mahf.dk/matematik/potensfunktion.htm

https://matheditor.com/ee/E-opgaver_15_Potens-funktion.htm


Lektion 15b: Andengradspolynomier

Et andengradspolynomium er en funktion med regneforskriften:

p(x) = ax² + bx + c , hvor a ≠ 0.

Eks. p(x) = 2x² - 12x + 10 er et andengradspolynomium

Hvis a > 0 ser grafen for et andengradspolynomium sådan ud (en glad graf):

Hvis a <0 ser grafen for et andengradspolynomium sådan ud (en trist graf):

Disse grafer kaldes parabler

Jo tættere a er på nul, jo mindre stejl er parablen.

Parablens toppunkt

Det højeste eller laveste punkt på en parabel kaldes toppunkt.

Størrelsen b² - 4·a·c kaldes diskriminanten og betegnes d.

Altså d = b² - 4·a·c

Koordinatsættet for toppunktet er: ( xo , yo ) =

,

Tegn y = x2 ved hjælp af CAS og derefter y = (x - 3)2 , y = (x - 3)2 - 5 samt y = -x² .

I RegneRobot Vælges Graf i Guide & CAS . Der popper et vindue op, som du udfylder således:

Bemærk: (x - 3)2 = x2 - 6x + 9 og (x - 3)2 -5 = x2 - 6x + 4



Lektion 15c: modeller og regression

1) Læs Nogle matematiske ord

Ord: Forklaring: Eksempler/ illustration:

faktor En størrelse, der skal ganges med. 5·8 Både 5 og 8 er faktorer. produkt Resultatet af et gangestykke 5·8 40 er produktet af 5 og 8

tæller Den størrelse i en brøk, der er over brøkstregen

3

7 Brøkens tæller er 3.

nævner Den størrelse i en brøk, der er under brøkstregen

3

7 Brøkens nævner er 7.

Første kvadrant

Den del af et koordinatsystem hvor både x og y er positive

Andet kvadrant

Den del af et koordinatsystem hvor x er negativ og y er positiv

Tredje kvadrant

Den del af et koordinatsystem hvor både x og y er negative

Fjerde kvadrant

Den del af et koordinatsystem hvor x er positiv og y er negativ

Symboler:

I det følgende forklares betydningen af disse symboler: x , y , og Δx er en forkortelse for x-tilvækst. Δy er en forkortelse for y-tilvækst.

ⱽ er nærmest en forkortelse af ordet ”eller”.

ⱽ betyder, at det til venstre for ⱽ er sandt eller det til højre for ⱽ er sandt.

Fx gælder følgende 3 udsagn:

(2+2 = 4) ⱽ (2+2 = 5) Det til venstre er sandt

(2+2 = 4) ⱽ (2+2 = 4) Det til højre er sandt

(2+2 = 4) ⱽ (3+2 = 5) Både det til venstre og det til højre er sandt

er nærmest en forkortelse for ordet ”ensbetydende” og kaldes ofte dobbeltpil. betyder at det som er før og efter er sandt for det eller de samme x.



Fx

x=5 ⱽ x = -5 x² = 25

x = 7 2 x =14 I sidste tilfælde er der kun ét x, som gør hver ligning sand.

Absolut tilvækst

Hvis man har en x-værdi, fx 5, og giver x en tilvækst på 2, så bliver den nye x-værdi 7, og vi siger Δx = 2 . Nogen gange siger vi, at den absolutte tilvækst er 2. Tilsvarende med andre variable. Når en variabel fx y varierer fra en værdi til en anden

værdi, kaldes forskellen Δy den absolutte tilvækst.

Fx hvis prisen på æg stiger i kroner fra 4 til 6, så er den absolutte tilvækst: Δy = 6-4 = 2

Relativ tilvækst

Når en variabel fx y varierer fra en værdi y0 til en anden værdi y kalder vi forskellen i forhold til startværdien y0 for den relative tilvækst.

Den betegnes således: 𝒚−𝒚𝟎

𝒚𝟎 eller

𝜟𝒚

𝒚𝟎 og i procenter således:

𝜟𝒚

𝒚𝟎 · 100 %.

Fx hvis prisen på æg stiger i kroner fra 4 til 6, så er den relative tilvækst: 6−4

4=

2

4=

1

2= 50%

Matematisk modellering og regression

Nedenstående forklaring af regneark forudsætter et forhåndskendskab til regneark. Se eventuelt lektion 6 og 12 i grønt hæfte. Mange fænomener kan med god tilnærmelse beskrives ved en matematisk funktion. Den matematiske funktion er en forenkling af virkeligheden. Vi kalder den matematiske funktion en model af virkeligheden. Fx kan en lineær funktion bruges som model for befolkningsudviklingen i USA, mens befolkningsudviklingen i Indien bedre beskrives ved en eksponentiel model. Funktionen f(x) = 12x + 25 en model for taxa-kørsel, idet x er antal km og f(x) er prisen, men i virkeligheden er prisen også afhængig af hvor mange gange taxaen skal holde stille under vejs bl.a. ved rødt lys. Den virkelige pris kan være ret besværlig at beskrive. Derfor er det praktisk med modellen: f(x) = 12x + 25. Det kaldes en lineær model. Funktionen f(x) = 12x + 25 kan imidlertid også være model for andre ting. Lad os betragte et ur, der bliver stillet 25 sekunder forkert. Uret er 25 sekunder foran lige efter, det er stillet. Derefter vinder uret ca 12 sekunder i døgnet nogen gange lidt mere og nogen gange lidt mindre. Urets fejlvisning kan med god tilnærmelse beskrives ved modellen f(x) = 12x + 25, hvor x er antal døgn efter uret blev stillet.



Det var et eksempel på, at vi kan bruge den samme matematiske model til at beskrive 2 helt forskellige ting.

Hvis vi skal beregne, hvor meget uret er foran efter 10 døgn bliver det således den samme matematiske beregning som at beregne prisen for 10 km med taxa.

Regression og CAS-værktøj

At finde den lineære funktion, som bedst flugter nogle støttepunkter kaldes lineær regression. Tilsvarende med eksponentiel regression og potensregression. Regression foretages med såkaldt CAS-værktøj. Her gennemgås 4 slags CAS-værktøj: GeoGebra, RegneRobot, WordMat og Excel regneark. Du behøver kun at kunne det ene af følgende 4 slags værktøj.

GeoGebra

I menuen vælges ”Vis” og ”Regneark”. (Du skal muligvis fytte nogle vinduesgægge med musen.)

Udfyld med x-værdier i søjle A og y-værdier i søjle B. fx som vist her: A B 0 0

1 2 2 4

x- og y-værdierne i regnearket fremhæves. Klik i ”Enkeltvariabelanalyse” (nr. 2 ikon fra venstre) og vælg Regressionsanalyse. Klik i ”Analyser”, og du

får et såkaldt punktplot.

Se billede til højre.

Klik i ”Ingen” forneden til venstre og vælg ”Lineær”, hvorved du får skærmbilledet, som er vist her til højre.

Regressionen er udført. Grafen vises og regneforskriften står forneden (her: y=2x).



Bemærk: Hvis du skal udføre eksponentiel vækst, kan du både vælge ”Vækst” og ”Exponentiel”; men du bør vælge ”Vækst” og ikke ”Exponentiel”, da GeoGebra i så fald vil vise regneforskriften på en lidt speciel måde.

RegneRobot.dk

Regression kan foretages ganske enkelt i RegneRobot.

Klik i Guide & CAS og vælg Regression & residualplot . Derefter popper et lille vindue op for neden.

Vælg fx: Lineær regression .

Udfyld med x- og y-værdier.

Klik i ”Beregn”. Sådan ser vinduet ud efter, der er klikket i ”Beregn”.

Se eventuelt video i Youtube: https://www.youtube.com/edit?o=U&video_id=YNYi_aavFsI

WordMat Klik i ”WordMat” og i ”Regression” Vælg ”indsæt table”. Udfyld med antallet af punkter. Der popper en tabel frem. Udfyld tabellen med x- og y-værdien. Klik med musen i tabellen.

Klik igen i ”Regression” og vælg regressionstype.


https://www.youtube.com/edit?o=U&video_id=YNYi_aavFsI


Excel regneark

I Grønt hæfte, lektion 12, er forklaret, hvordan man automatisk kan få tegnet grafer i Excel regneark. Læs det. I regneark Excel er det muligt at få tegnet en såkaldt tendesnlinje ved først at få tegnet en graf ud fra støttepunkterne og derefter højreklikke med musen i grafen og vælge ”tendenslinje” og ”funktionstype”, fx ”eksponentiel” . Det er endog muligt at få vist regneforskriften ved at vælge ”Vis ligning i diagram”. Hvis man ikke får valgt”Vis ligning i diagram” samtidigt med at tendenslinjen tegnes, kan man højreklikke i tendenslinjen og vælge ”Formater tendenslinje” og derefter vælge ”Vis ligning i diagram”.

Resididualplot

Når man har fundet en regneforskrift ved regression, vil det være interessant at vurdere hvor godt den fundne model matcher. Hertil benyttes residualplot, og hvad et residualplot er, vil blive forklaret nu. Lad os betragte 7 taxa-ture. Taxa-turenes længde og pris fremgår af dette skema.

Længde i km 0 1 2 3 4 5 6 7 Pris i kroner 50 69 93 110 127 151 173 189

Funktionen f(x)=20x+50 synes at være en god model for, hvordan prisen i kroner afhænger af turens længde i km. Det ses i dette skema:

x = længde i km 0 1 2 3 4 5 6 7 Pris i kroner 50 69 93 110 127 151 173 189

f(x) = 20x + 30 50 70 90 110 130 150 170 190

Pris i kroner – f(x) 0 -1 3 0 -3 1 3 -1

Prisen i kroner afviger meget lidt fra f(x), og afvigelserne virker tilfældige. Det betyder, at modellen er en god model. Afvigelserne kaldes residualer. Det giver et godt overblik at vise residualerne grafisk. Her følger en grafisk illustration af ovenstående residualer.



Prikkerne viser residualerne, dvs. prisernes afvigelse fra den lineære model. En sådan illustration af residualer kaldes et residualplot. Ud fra de nævnte km-tal og priser kan man ved lineær regression finde frem til, at ´f(x)=20x+30´ er den bedste lineære model. Det kan gøres med CAS-værktøj, fx RegneRobot.dk, som er gratis, og hvor det også er muligt automatisk at tegne residualplot. Se hvor let det er i denne video om residualplot. Foruden lineær regression kan der i RegneRobot.dk foretages potensregression og eksponentiel regression med automatisk tegning af residualplot. Med eksponentiel regression vil residualplottet for taxa-turene se sådan ud:

Prikkerne viser residualerne, dvs. prisernes afvigelse fra den eksponentielle model.


http://www.regnerobot.dk/

https://www.youtube.com/watch?v=LdnW6dNZnkw

http://www.regnerobot.dk/


Det ses, der er et mønster i residualerne. De virker ikke tilfældige og residualerne er ret store. Det betyder, at den eksponentielle model i dette tilfælde ikke er god. Ved hjælp af de to residualplot kan således konkluderes, at den lineære model er bedst. Det skal lige nævnes, at prisen for at køre med taxa i Danmark ikke kun afhænger af km-tallet. Prisen afhænger også af tomgangstid ved fx rødt lys; men med god tilnærmelse er prisen en lineær funktion km-tallet. Se video om residualplot https://www.youtube.com/watch?v=LdnW6dNZnkw

2) Løs E-opgaver Link: E-opg. 19d regression




http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_19d_regression.htm


Lektion 16a: Statistik

Udfør følgende 2 punkter

1) Læs: Formålet med statistik er at få overblik over et stort talmateriale. Vi anvender nogle såkaldte deskriptorer, der beskriver talmaterialet. De enkelte tal i talmaterialet kaldes observationer. Hele talmaterialet kaldes observationssættet

Vi vil her lære betydningen af følgende såkaldte deskriptorer:

Middeltal (gennemsnit, betegnes ofte med

eller det græske bogstav µ, der udtales my)

Mindsteværdi (den mindste observation) Størsteværdi (Den største observation) Median (midten af observationerne) Første kvartil eller nedre kvartil (Medianen af den mindste halvdel af observationerne) Tredje kvartil eller øvre kvartil (Medianen af den største halvdel af observationerne) Kvartilsæt (de 3 tal 1. kvartil, median og 3. kvartil) Kvartilbredde (Øvre kvartil minus nedre kvartil) Variationsbredde (Størsteværdi minus mindsteværdi)

Standardafvigelsen ( Et mål for observationernes spredning fra middeltallet. Betegnes σ )

Standardafvigelsen betegnes ofte med det græske bogstav lille σ (udtales lille sigma) og kan beregnes automatisk. Se Automatisk beregning i GeoGebra og tegning af boksplot.

Første kvartil og nedre kvartil er det samme. Ligeledes er tredje kvartil lig øvre kvartil. Den præcise betydning af median, første kvartil og tredje kvartil vil senere blive beskrevet.

I statistik er det tit hensigtsmæssigt at gruppere observationerne i intervaller. Beregningerne forløber forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Her kommer først lidt om ikke grupperede observationer.

Ikke grupperede observationer

Eksempel 1: Der er et selskab på 7 mennesker med følgende aldre: 3, 5, 9, 10, 12, 14, 20

Mindsteværdien = 3 1. kvartil = 5 Median = 10 3. kvarttil = 14 Størsteværdien = 20

Medianen kaldes også 2. kvartil, og de 3 kvartiler kaldes kvartilsættet, som her er: 5, 10, 14.



Automatisk beregning af deskriptorer i RegneRobot

Klik i Guide & CAS , vælg statistik og Ikke grupperede observationer .

Du kan også få automatisk beregning ved hjælp af GeoGebra. Det vil blive forklaret senere.

Boksplot (eller kassediagram):

En boksplot er en grafisk fremstilling af nogle observationer. Boksplotten viser mindsteværdien, de 3 kvartiler og størsteværdien. I en boksplot indgår et rektangel, hvor de to tider angiver 1. og 3. kvartil. Parellelt med disse sider er inde i rektanglet et linjestykke, som viser 2. kvartil (medianen) Vinkelret herpå, tværs gennem rektanglet, er et linjestykke, hvis endepunkter viser mindste og størsteværdi. Observationerne i eksempel 1 give anledning til dette boksplot:

Mindsteværdien = 3 1. kvartil = 5 Median = 10 3. kvarttil = 14 Størsteværdien = 20

Outlier

En outlier er en observation, der ligger mere end 1½ kvartilbredde under nedre kvartil eller mere end 1½ kvartil over øvre kvartil. En outlier kan skyldes fejlagtig observation.

Venstreskæv fordeling

er hvor middeltallet er mindre end medianen. (Meget små tal trækker middeltallet til venstre.)

Højreskæv fordeling

er hvor middeltallet er større end medianen. (Meget store tal trækker middeltallet til højre.)

Middeltal ved ikke grupperede observationer

Middeltallet, også kaldet middelværdien eller gennemsnittet, er summen af alle observationer divideret med antallet. Hvis observationerne er grupperet i intervaller, kan denne beregningsmetode ikke bruges. Vi vil senere se, hvordan vi beregner middeltallet ved grupperede observationer.

Automatisk beregning i GeoGebra og tegning af boksplot:

Klik i Vis og i Regneark. (Du skal muligvis fytte nogle vinduesvægge med musen.) Skriv observationerne i en søjle i GeoGebras regneark og marker tallene. Hvis der er mange observationer, kan du ofte kopiere fra et Excel-regneark. Det gør du ved at markere tallene, taste Ctrl+c i Excel-regnearket og Ctrl+v i GeoGebra-regnearket. Klik i Enkeltvariabelanalyse, og der popper et lille vindue op. Klik i Analyser. Herved fås et ekstra vindue, der ser sådan ud:



Øverst til venstre er en lille klik-knap med et sigma-symbol (ved den røde pil).

Ved at klikke her foretages automatisk beregning af en række deskriptorer bl.a. σ (Se ved

den røde pil). Q1 betyder 1. kvartil og Q3 betyder 3. kvartil.

Ved at klikke i ”Histogram” lige under og vælge ”Boksplot” fås nedenstående skærmbillede med boksplot. Nogle Vindues-vægge er hensigtsmæssigt blevet flyttet ved hjælp af musen.

I Geogebra kunne histogrammet også tegnes ved i input-linjen at skrive: Boksplot(2, 1, 3, 5, 10,1 4, 20), Hvor de 2 første argumenter ”2, 1” bestemmer placeringen i koordinatsystemet og de sidste 5 er det såkaldt udvidede kvartilsæt.



Eksempel 2: Vi betragter et selskab på 9 personer og deres vægte i kg: 55, 55, 60 , 61, 65, 70, 88, 90, 95.

Mindsteværdi: 55 Størsteværdi: 95 Middeltal: (55+55+60+61+65+70+88+90+95) / 9 = 71 Median: 65 kg

(Den midterste observation. Ved et lige antal observationer beregnes midten af de 2 midterste.)

1. kvartil: 57,5 (Midten 55 og 60) 3. kvartil: 89 Kvartilsæt: 57.5, 65, 89 (Decimalpunktum) Udvidet kvartilsæt 55, 57.5, 65, 89, 95 (Decimalpunktum) Kvartilbredde: (89-57,5) = 31,5 Variationsbredde: (95-55) = 40

2) Løs E-opgaver: E-opgaver_16a_Statistik.htm


http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_16a_Statistik.htm

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_16a_Statistik.htm


Lektion 16b: Statistik


1) Se: Video med Statistik

2) Læs

Grupperede observationer

Når der er mange forskellige observationer vælger man ofte at gruppere observationerne, fx: Alder: 0 → 29 30 → 59 60 → 89 90 → 120 Alder: [0;30[ [30;60[ [60;90[ [90;120[ Antal (hyppighed) 3500 3000 2000 1500 frekvens 35% 30% 20% 15%

Bemærk, 0 → 29 svarer til intervallet [0;30[, fordi folk siger de 29 lige indtil blot én dag før, de fylder 30. Denne særhed afspejles ved statistik med alder.

Boksplot kan bruges både ved grupperede observationer og ved ikke-grupperede observationer.

Histogram

Vi ser ovenfor endnu en deskriptor nemlig frekvens. Frekvensen angiver hvor stor en brøkdel, der er i et interval i forhold til alle observationer.

Frekvens = hyppighed / antal observationer i alt

Frekvens kan angives i % eller som decimalbrøk, fx 35% eller 0,35 Frekvensen (eller hyppigheden) kan fremstilles grafisk i et såkaldt histogram:

HISTOGRAM


http://lyngbydata.dk/p/del2/videoer/Statistik.wmv

http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsministeriet/nyt/boksplot%20Jens%20Runge.xls



Over hvert interval er tegnet en firkant med et areal der afspejler frekvensen for intervallet. Her er alle intervaller lige lange, så også højden afspejler frekvensen. Skabelon til tegning af histogram i Excel regneark: mahf.dk/Skabelon_histogram.xls Også GeoGebra kan tegne et histogram, fx ved at der i input-linjen skrives: Histogram({0,30,60,90,120},{35,30,20,15}) , hvor den første liste er intervaller og den anden liste er frekvenserne.

A B

Det er også muligt at få histogrammet ved i Geogrbras 1 0 Regnearks at skrive som vist her til højre, og derefter i 2 30 35

Inputlinjen at skrive: Histogram(A1:A5,B2:B5) 3 60 3 Der skal usynliggøres en lille tekst i tegneblokken: ”a=300” 4 90 20

Det gøres ved at højreklikke i ”a=300” i Algebravinduet og 5 120 12

Derefter klikke i ”Vis objekt”.

Middeltal ved grupperede observationer

Ved grupperede observationer kan man ikke vide, hvordan observationerne fordeler sig i hvert interval, men man har vedtaget at betragte det som om, de fordeler sig jævnt. Ved beregning af middeltallet kommer det ud på det samme, som at betragte det som om, alle observationer i hvert interval ligger midt i intervallet.

Derfor beregnes middeltallet ved for hvert interval at gange intervalmidtpunktet med intervallets frekvens og derefter lægge alle produkterne sammen I ovenstående eksempel er intervalmidtpunkterne 15, 45, 75 og 105.

Middeltallet = 15·35% + 45·30% + 75·20% + 105·15% = 49,5

Sumkurve Der findes yderligere nogle deskriptorer:

Kumuleret hyppighed, der beregnes ved at lægge hyppigheder sammen.

Kumuleret frekvens, der beregnes ved at lægge frekvenser sammen.

Hvis frekvenserne er afrundede tal, kan det være mere nøjagtigt i stedet at dividere kumuleret hyppighed med antal observationer i alt.

Her ses et skema med beregninger af kumuleret hyppighed og kumuleret frekvens:

Alder: 0 → 29 30 → 59 60 → 89 90 → 120 Alder: [0;30[ [30;60[ [60;90[ [90;120[ Antal (hyppighed) h 3500 3000 2000 1500 frekvens f 35% 30% 20% 15% Kumuleert hyppighed H 3500 6500 8500 10000 Kumuleret frekvens F 35% 65% 85% 100%


http://lyngbydata.dk/p/RegneRobot/Skabelon_histogram.xls



h, f, H og F er hyppigt anvendte forkortelser for hyppighed, frekvens , kumuleret hyppighed og kumuleret frekvens. Den kumulerede frekvens F er en funktion, der fortæller hvor mange %, der er under en bestemt alder. Fx ses at 65% er under 60 år. Grafen for denne funktion kaldes en sumkurve og sumkurver tegnes altid med rette linjestykker mellem støttepunkterne. De rette linjestykker er udtryk for, at man igen betragter observationerne, som om de fordeler sig jævnt i hvert interval.

Støttepunkter:

Alder 0 30 60 90 120

F 0% 35% 65% 85% 100%

Skabelon til tegning af sumkurve i Excel regneark: mahf.dk/Skabelon_sumkurve.xls I GeoGebra kan sumkurven tegnes ved i Inputlinjen at skrive en liste med støttepunkter som argument til StykvisLinjke således: StykvisLinje({(0, 0), (30, 35),(60, 65),(90, 85),(120, 100) }) (Bemærk mellemrum efter komma i hvert koordinatsæt)

Definition af median og kvartiler

Bemærk: Median og kvartiler defineres på én måde ved grupperede observationer og på en anden måde ved ikke grupperede observationer.

Ved ikke grupperede observationer defineres medianen således:

Observationerne sorteres i stigende orden

Ved et ulige antal observationer defineres medianen som den midterste observation. Ved et lige antal observationer defineres medianen som midtpunktet af de 2 midterste observationer.




https://mahf.dk/Skabelon_sumkurve.xls


Første kvartil eller 1. kvartil eller nedre kvartil defineres som medianen for de observationer, der ligger til venstre for hele observationssættets median.

Tredje kvartil eller 3. kvartil eller øvre kvartil defineres som medianen for de observationer, der ligger til højre for hele observationssættets median.

Ved grupperede observationer defineres medianen således:

Ved grupperede observationer aflæser vi kvartilsættet ved hjælp af sumkurven: 1. kvartil: Gå vandret fra 25% på 2.aksen til sumkurven og så lodret til 1.aksen. Medianen: Gå vandret fra 50% på 2.aksen til sumkurven og så lodret til 1.aksen. 3. kvartil: Gå vandret fra 75% på 2.aksen til sumkurven og så lodret til 1.aksen.

Ved ovenstående sumkurve bliver kvartilsættet: 22 år, 45 år, 75 år Kvartilbredden er (75-22) år = 53 år og Variationsbredden = (120-0)år =120 år

Prøv skabelon til tegning af sumkurve m.m. Link: Skabelon_sumkurve.xls

Aldersfordelingen i Skanderborg kommune var i 2017 således:

Alder: 6 17 40 75

Antal: 4432 9889 13810 28425 3024

Bestem gennemsnitsalderen (middeltallet), tegn en del af sumkurven og bestem medianen.

3) Løs Interaktiv statistik-opgave

4) Løs E-opgaver: E-opgaver_16b_Statistik.htm



http://lyngbydata.dk/p/RegneRobot/Skabelon_sumkurve.xls

http://lyngbydata.dk/matematik/Statistikopgave.htm

http://lyngbydata.dk/matematik/Statistikopgave.htm

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_16b_Statistik.htm


Lektion 16c: Kombinatorik

Læs

Multiplikationsprincippet og tælletræ

Du er på restaurant og skal ud fa menukortet sammensætte en menu på 3 retter mad.

Menukortet ser således ud:

Forretter Suppe Laks

Hovedretter Bøf Pølse Frikadeller

Desserter Is Frugt

Hvor mange kombinationsmuligheder er der?

Først skal du vælge forret. Der er 2 muligheder. Hver af disse kan kombineres med 3 hovedretter. Det giver 2·3 muligheder, altså 6 muligheder.

Hver af disse kan kombineres med 2 desserter. Det giver 6·2 muligheder, altså 12 muligheder.

Vi finder antal muligheder ved at multiplicere 2·3·2 = 12

Når vi skal vælge én ting af en slags og én ting af en anden slags og én en ting af en tredje slags og én … osv, så skal vi multiplicere. Vi siger, vi benytter multiplikationsprincippet. Situationen kan anskueliggøres i et såkaldt tælletræ. Et tælletræ kan tegnes fra venstre til højre som her, eller oppefra og ned.

Additionsprincippet

His du kun kan spise én ret, kan du vælge én forret eller én hovedret eller én dessert, så er der 2+3+2 muligheder, altså 7 muligheder. Når du skal vælge én ting af en slags eller en anden slags eller en tredje slags eller … osv, så skal vi lægge sammen. Det hedder med et fint ord at addere. Vi siger, vi har benyttet additionsprincippet.

Fakultet ! og permutaion

Per, Bo og Ib løber om kap. Der er 3 muligheder for hvem der kommer først. Derefter er der 2 muligheder for hvem der bliver nummer 2. Til sidst er der derefter 1 mulighed for, hvem der bliver nummer 3. Ved multiplikationsprincippet fås 3·2·1 mulige rækkefølger = 6 mulige rækkefølger eller med et fint ord 6 mulige permutationer. 3·2·1 skrives forkortet 3! og udtales tre fakultet.



Man har defineret: 0! = 1 1! = 1 n! = 1·2· ….. ·n

Kombinationer

Nu er der 10, som løber om kap. De 3 hurtigste udpeges til at spise middag sammen. Ved udpegning af de 3, spiller deres indbyrdes placering ved løbet ingen rolle. På hvor mange

måder, kan de 3 udpeges? Det tal kaldes K10,3

Der gælder:

Hvis der blandt n emner skal udtages r, så er der Kn,r kombinationsmuligheder, hvor

Kn,r =

𝒏!(𝒏−𝒓)!⁄

𝒓!

Dvs. K10,3 =

10!(10−3)!⁄

3! = 120

Ovenstående kan beregnes automatisk i RegneRobot.dk

ved i Guide & CAS at vælge Kombinatorik, sandsynlighed, binomialf.


https://mahf.dk/RegneRobot.htm


Lektion 16d: Sandsynlighed


1) Læs

Vi betragter et eksperiment med forskellige udfald.

Fx kast med terning.

Vi vil ikke nødvendigvis udføre eksperimentet, men vi vil forestille os, at eksperimentet udføres mange gange.

Ved sandsynlighed for et bestemt udfald forstås den brøkdel af gange, man forventer udfaldet, når man forestiller sig eksperimentet gentaget mange gange. I mange tilfælde kan forskellige mennesker vurdere en sandsynlighed forskelligt, fx sandsynligheden for, at der lander et menneske på Mars inden 2080. Imidlertid er der også mange tilfælde, hvor der ikke kan herske tvivl om sandsynligheden. Eksempel 1 Hvis man forestiller sig en ærlig terning kastet mange gange, så forventer vi, at terningen 1/6

af gangene vil vise 6. Det er det samme som at sige at den forventede frekvens for 6 er 1/6 . Vi siger, at når man vil kaste en ærlig terning, så er sandsynligheden for 6: 1/6 . Her kan der ikke herske tvivl om sandsynligheden. Eksempel 2 Jens købte en snydeterning, og Jens viste ikke præcist, hvordan snydeterningen er konstrueret; men Jens kastede snydeterningen rigtig mange gange og talte antal kast og antal seksere. Det viste sig at i 50% af alle kast viste snydeterningen 6. Jens vil nu kaste terningen en ekstra gang. Hvis vi nu forestiller os at han ikke vil nøjes med ét ekstra kast, men mange kast, så vil vi med baggrund i den tidligere erfaring forvente, at frekvensen for 6 bliver 50% ved disse ekstra kast. Derfor, når Jens vil kaste snydeterningen en ekstra gang, så er der 50% sandsynlighed for at få en sekser.

Sandsynlighedsfelt

Til et eksperiment kan man knytte en sandsynlighed til hvert udfald af eksperimentet. Herved fås et såkaldt sandsynlighedsfelt, der ofte beskrives med en tabel. For kast med snydeterningen i eksempel 2 ser tabellen således ud:

Antal øjne 1 2 3 4 5 6 Sandsynlighed 10% 10% 10% 10% 10% 50%



Mængden af udfald kaldes udfaldsrummet og betegnes ofte: U. Et sandsynlighedsfelt består af et udfaldsrum og en sandsynlighedsfunktion, ofte kaldet P. Til hvert udfald u i udfaldsrummet knytter sandsynlighedsfunktionen en sandsynlighed P(u). Bemærk: Summen af alle sandsynlighederne er 100% = 1.

Symmetrisk sandsynlighedsfelt

Ved kast med en ærlig terning er der 6 lige sandsynlige udfald. Den matematiske model, som beskriver et eksperiment, hvor alle udfald er lige sandsynlige kaldes et symmetrisk sandsynlighedsfelt. Ved et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan man beregne den fælles sandsynlighed for alle udfald. Den fælles sandsynlighed er lig med én divideret med antal udfald som fx ved den

ærlige terning i eksempel 1, hvor hver sandsynlighed er 1

6 for alle 6 udfald.

Tabellen, der beskriver det symmetriske sandsynlighedsfelt for kast med en ærlig terning, ser sådan ud:

Antal øjne 1 2 3 4 5 6

Sandsynlighed

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

Hændelse

Hvis vi med en ærlig terning interesserer os for at slå en 5’er eller en 6’er, så taler vi om en hændelse, der består af de 2 udfald: {5; 6}, og vi taler om sandsynligheden for hændelsen {5; 6}.

Den kan beregnes og bliver: 2 ·1

6 =

2

6

Resten af udfaldene udgør det, vi kalder den komplementære hændelse, og betegnes ∁{𝟓; 𝟔}

Da summen af alle sandsynligheder er 1 må sandsynligheden for komplementærhændelsen

∁{5; 6} være: 1 −2

6=

𝟒

𝟔

a-priori sandsynlighed En sandsynlighed som på forhånd er fastlagt kaldes en a-priori sandsynlighed. Det kan fx være kast med en ærlig terning, og det kan fx være en beregnet sandsynlighed for en hændelse. A-priori er latin og kan oversættes til: På forhånd.

Frekentiel sandsynlighed

I eksempel 2 blev omtalt et eksempel på, at sandsynligheden for et udfald blev fastlagt som frekvensen for udfaldet ved mange faktiske udførelser af eksperimentet. Altså ikke ud fra eksperimenter, man forestiller sig. En sandsynlighed, der er fastlagt på den måde, kaldes en frekentiel sandsynlighed.



Eksempel 3 Vi kaster først en mønt og så en terning. Hvad er sandsynligheden for, at det lykkes både at få krone og en sekser. Svar: 1/2 ∙ 1/6 = 1/12 Vi bemærker, at sandsynligheden for nogle bestemte udfald ved flere ksperimenter, kan beregnes som produktet af sandsynlighederne.

Opgave 0 Hvad er sandsynligheden for ikke at slå en sekser med en ærlig ternng? Svar: 1 - 1/6 = 5/6 , da det at slå ”en sekser” eller ”ikke en sekser” er udtømmende. Ved mange kast må man forvente at 5/6 af disse kast ikke bliver en sekser.

Opgave 1 Hvad er sandsynligheden for at slå en sekser to gange i træk? Svar: 1/6 ∙ 1/6 = 1/36 Her har vi benyttet multiplikationsprincippet.

Opgave 2 Hvad er sandsynligheden for at slå 3 seksere i træk? Svar: (1/6)3 = 1/216

Stikprøver

Man kan formode, at 10% af alle danskere vil sige ja til fri heroin. En sådan formodning kaldes en hypotese. For at vurdere hypotesen vil vi foretage en stikprøve. Vi vil spørge 20 tilfældige danskere, og er indstillet på at forkaste hypotesen, hvis ingen af de 20 svarer ja. Vi ved godt, at selv om hypotesen skulle være sand, kan vi ikke udelukke, at der i vores stikprøve slet ikke er nogen, der går ind for fri heroin, men vi antager, at sandsynligheden for det er meget lille. Lad os beregne den sandsynlighed. Altså sandsynligheden for, at alle 20 ikke svarer ja, under forudsætning af at hypotesen er sand. For hver af de 20 tilfældige danskere er sandsynligheden at få et ja: 10% = 0,10 og sandsynligheden for ikke at få ja: 90 % = 0,90. Sandsynligheden for at alle 20 ikke svarer ja er 0,9020 = 0,121… = 12% Det er således 12 % sandsynligt, at vi kommer til at forkaste en sand hypotese. 12 % er i den forbindelse temmelig meget og spørgsmålet er, om det var en rimelig beslutning at forkaste hypotesen på baggrund af en sådan stikprøve. Vi vil nu spørge 100 tilfældige danskere, og hvis ingen af dem siger ja, må vi vel kunne forkaste hypotesen.



Under forudsætning af at hypotesen er sand, kan vi beregne sandsynligheden for, at vi alligevel forkaster hypotesen og får 0,90100 = 0,000026… = 0,003%. Denne sandsynlighed er ekstrem lille, så hvis resultatet af stikprøven bliver, at nul svarer ja, så tør vi godt forkaste hypotesen. Det vil være næsten usandsynligt, at nul svarer ja ud af 100, hvis 10% af befolkningen skulle gå ind for fri heroin. Måske ville det også være rimeligt at forkaste hypotesen, hvis resultatet blev et enkelt ja. Det at foretage en stikprøveundersøgelse af 100 personer er et eksempel på en såkaldt eksperimentserie bestående af 100 såkaldte basiseksperimenter. Hvert basiseksperiment består i at undersøge om pågældende person vil svare ja. Hvis hypotesen er rigtig, er sandsynligheden for ja 10% , og det kalder vi basissandsynligheden, forkortet lille p. Sandsynligheden for nej er 100% - p = 90%. Udfaldet af stikprøven kaldes ofte χ (χ er et græsk bogstav, der udtales noget i retning af ksi, men vi kan bare sige store X) Vi har beregnet sandsynligheden for (χ =0). Denne sandsynlighed betegnes P(χ =0). Sandsynligheden for et enkelt ja betegnes P(χ =1). Sandsynligheden for netop 2 svar med JA betegnes P(χ =2) osv. Beregning af P( χ =r) kan gøres automatisk i RegneRobot. Klik i ”Guide & CAS” og vælg ”Kombinatorik, sandsynlighed, binomialf.”. Du udfylder som nedenfor vist med fx n=20 og r=0 og klikker i ”Beregn” ud for P( χ =r). Der er også muligt at beregne sandsynligheden for højst r svarer ja), P( χ ≥ r), og sandsynligheden for at mindst r svarer ja, P( χ ≥ r).

2) Løs E-opgaver E-opgaver 26 Statistik og sandsynlighed.htm


http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_26_Statistik_og_sandsynlighed.htm


Lektion 16d: Matematikhistoriske perspektiver

Opgave: Gå på Internettet og søg fx med søgeordene: ”Wikipedia matematik historie” eller gå på biblioteket og lån bøger om matematikhistorie. Læs det, du synes er mest spændende og skriv ca. en halv a4-siden om det, du har læst. Det anbefales at du vælger noget fra oldtiden, da nyere tids matematik er mere vanskeligt at håndtere. Genfortæl med egne ord, noget af det, du har læst og skriv, hvor du har læst det (Kildeangivelse). Du kan også citere små brudstykker; men så skal det tydeligt fremgå, hvad der er citat.

Du kan aflevere via almindelig e-mail.



Lektion 17a: Repetition og flere beviser mv. Udfør følgende 2 punkter

1) Læs: Geometri

Arealet af en trekant er ½ højde gange grundlinje

Vi bruger formlen: A=½h·g

Vi vil nu anskueliggøre formlen. Betragt et rektangel med samme grundlinje og højde:

Firkantens areal er h·g

Vi ser De to områder med er lige store og de to områder med er lige store. Derfor er arealet af trekanten det halve af firkantens areal, altså : A=½h·g

Vinkler Ensliggende vinkler er lige store

Topvinkler er lige store

Vinkelsummen i en trekant er 180°

Det bevises således:

Ved trekantvinklen u er tegnet en linje parallel med modstående side. De to vinkler v er lige store fordi det er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. Det samme gælder de to vinkler w De to vinkler u er lige store, fordi de er topvinkler. Herefter ses det umiddelbart at vinkelsummen u + v + w = 180°



Vinkelsummen af de to spidse vinkler i en retvinklet trekant er 90°

Bevis: Vinkelsummen er lig 180° minus den rette vinkel på 90°, altså 180° – 90° = 90°

2) Løs E-opgaver: E-opgaver 17a Mundtlig eksamen. Var.samh. & grafer


http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_17a_m_ex_var-samh.htm


Lektion 17b: Repetition og flere beviser mv. Udfør følgende 3 punkter

1) Læs:

Pythagoras’ sætning

c² = a² + b²

Sagt med ord: Kvadratet på hypotenusen er lig summen af kateternes kvadrater

Pythagoras’s sætning kan illustreres således:

Det store kvadrat og de to små har samme areal.



Her vil blive vist to beviser af Pythagoras sætning. Du behøver kun at kunne det ene til mundtlig eksamen.

Bevis 1:

Vi betragter et kvadrat med side-længden a+b Vi placerer 4 kopier af den retvinklede trekant inde i kvadratet som vist på figuren.

Firkanten inde i midten er et kvadrat

fordi siderne er lige lange nemlig c og

alle vinkler er 90°. Det er de fordi de sammen med deres nabovinkler er 180° og nabovinklerne udgør 90°, nemlig de 2 spidse vinkler i den retvinklede trekant.

Arealet af den store firkant kan dels beregnes således: (a+b)² = (a+b)·(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + b² + 2ab

og dels således: Arealet af det lille kvadrat inden I midten plus arealet af de 4 trekanter = c² + 4·½·a·b = c² + 2ab

Altså c² + 2ab = a² + b² + 2ab c² = a² + b² hvilket skulle vises.



Bevis 2:

Vinkel C er 90° Denne retvinklede trekant kopieres 4 gange over i et

stort kvadrat med sidelængden a+b. Se nedenfor til

venstre.

=

Der opstår et kvadrat inde i midten med sidelængden c og arealet c².

Det store kvadrat til højre er magen til. Her indtegnes et lille kvadrat oppe i

venstre hjørne med sidelængden a og i nederste højre hjørne et kvadrat med

sidelængden b. Resten af det store kvadrat fyldes ud med 4 kopier af den

forelagte retvinklede trekant.

Lighedstegnet mellem de to figurer betyder, at de har samme areal.

Vi fjerner nu 4 trekanter fra både figuren til venstre og fra figuren til højre, og vi får:

=

Altså c² = a² + b²



Man kan måske tvivle på om firkanten til venstre nu også er et kvadrat. Lad bevise at firkanten er et kvadrat. En firkant kaldes et kvadrat, hvis alle sider er lige lange og alle vinkler er 90°.

De 4 sider har alle længden c og er således lige lange.

Vi betragter herefter den ene af vinklerne i firkanten samt dens 2 tilstødende trekantvinkler.

Vi skal bevise at v = 90°

Vinkel A og B er de to spidse vinkler i den oprindelige retvinklede trekant, og er tilsammen 90°. Vinkel v må således være 90°, da summen af de 3vinkler er 180° Et tilsvarende argument gælder for de 3 andre firkantvinkler, og derfor er firkanten et kvadrat.

2) Se evt. sidste halvdel af denne video om geometri med beviser (Se hele videoen i næste lektion)

3) Løs E-opgaver: E-opgaver 17b Mundtlig eksamen. % & rente


http://lyngbydata.dk/p/del2/videoer/Trekantberegning.wmv

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_17b_m_ex_procent_rente.htm


Lektion 17c: Repetition og flere beviser mv. Udfør følgende 3 punkter

1) Se Video om geometri med beviser

2) Læs:

Definition af Sinus og Cosinus Til enhver spids vinkel kan vi knytte et tal, vi kalder sinus til vinklen og et tal , vi kalder cosinus til vinkelen. Det gør vi på følgende måde:

Lad os betragte en spids vinkel v.

Den placerer vi i et koordinatsystem således, at vinklens toppunkt ligger i koordinatsystemets begyndelsespunkt og så højrebenet falder sammen med x-aksen.

I koordinatsystemet tegnes en cirkel med radius 1 og centrum i koordinatsystemets begyndelsespunkt.

Fra skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og cirklen tegnes en lodret linje hen til x-aksen. Det tal, som denne linje rammer kaldes Cos(v) eller blot Cos v. Det udtales cosinus til vinklen.

Endvidere tegnes fra skæringspunktet en vandret linje hen til y-aksen. Det tal, som denne linje rammer kaldes Sin(v) eller blot Sin v. Det udtales sinus til


http://lyngbydata.dk/p/Del2/videoer/Trekantberegning.wmv


vinklen.

Der er opstået en retvinklet trekant med den ene katete langs x-aksen og da radius er 1, får denne trekant en hypotenuse med længden 1. En retvinklet trekant med hypotenusen 1 kaldes en standardtrekant

Den til vinkel v hosliggende katete i standardtrekanten har længden Cos v, og

den modstående katete har længden Sin v.

Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne i en retvinklet trekant Vi betragter en retvinklet trekant:

og en standardtrekant ensvinklet med den forelagte:

Vi skal bevise c

aASin =)(

Skalafaktoren (forstørrelsesfaktoren) fra standardtrekanten til den forelagte er c

og )()()( ASinc

avSin

c

avSinca ===

, hvilket skulle vises

Cosinusformlen bevises på tilsvarende måde.



Tangens

Definition: )(

)()(

vCos

vSinvTan =

Formel: b

aATan =)(

hvor bogstaverne henviser til en retvinklet ΔABC med den rette vinkel i C Bevis:

𝑇𝑎𝑛(𝐴) = 𝑆𝑖𝑛(𝐴)

𝐶𝑜𝑠(𝐴) =

𝑎𝑐⁄

𝑏𝑐⁄

= 𝑐 · 𝑎

𝑐⁄

𝑐 · 𝑏𝑐⁄

= 𝑎

𝑏

hvilket skulle bevises

3) Løs E-opgaver: E-opgaver 17c Trekantberegning


https://matheditor.com/ee/E-opgaver_17c_M_ex_Trek.htm


Lektion 17d: Repetition og flere beviser mv. Udfør følgende 2 punkter

1) Læs:

Lineær funktion Definition:

En funktion kaldes lineær, hvis regneforskriften kan skrives på formen f(x) = ax + b,

hvor a og b er tal. Grafen for en lineær funktion er en linje eller en del af en linje. Det beviser vi ikke. Her er 2 eksempler på lineære funktioner:

Den til venstre er ikke defineret for x ≥ 0. Begyndelsesværdien b er det tal på y-aksen, hvor grafen eller dens forlængelse skærer y-aksen.

a kaldes hældningskoefficienten og er den tilvækst, der kommer i y når x gøres én større og viser således grafens hældning. Se tegning. Hvis a er negativ, er funktionen

aftagende og grafen går nedad.

Hvis man kender 2 forskellige punkter på grafen kan man ved hjælp af to formler beregne a og b og dermed også regneforskriften. Formel 1:

Hvis man kender 2 forskellige punkter på grafen: (x1 , y1 ) og (x2 , y2) kan a beregnes, idet

xx

yya

12

12

−

−=



Bevis: Ud fra regneforskriften ved vi:

𝑦1 = 𝑎𝑥1 + 𝑏 og

𝑦2 = 𝑎𝑥2 + 𝑏. Heraf fremgår: 𝑦2 − 𝑦1 = (𝑎𝑥1 + 𝑏)-( 𝑎𝑥2 + 𝑏) 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑎𝑥1 + 𝑏 − 𝑎𝑥2 − 𝑏 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑎𝑥1 − 𝑎𝑥2 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑎(𝑥1 − 𝑥2) 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 = 𝒂

Hvilket skulle vises. Bemærk: Der var tale om to forskellige punkter, så nævneren er ikke nul.

Formel 2: b = y1 - a x1

Bevis y1 = a x1 + b y1 - a x1 = b Hvilket skulle bevises

Eksempel

x 3 7 y 9 17

𝑎 =𝑦2 − 𝑦2

𝑥2 − 𝑥1=

17 − 9

7 − 3=

8

4= 2

𝑏 = 𝑦1 − 𝑎𝑥1 = 9 − 2 · 3 = 3

𝐷𝑣𝑠. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑

2) Løs E-opgaver: E-opgaver 17d Lineær vækst


https://matheditor.com/ee/E-opgaver_17d_M.ex_Lin_v.htm


Lektion 18a Eksamen


1) Læs:

Pensum til mundtlig eksamen fremgår af en lærerplan på Undervisningsministeriets hjemmeside. Link I skrivende stund: https://uvm.dk/gymnasiale-uddannelser/fag-og-laereplaner

2) Løs E-opgaver: E-opgaver 18a Mundtlig eksamen. Eksponentiel vækst

3) Se Liste over matematiske ord med forklaring og hjælp til udtale


https://uvm.dk/gymnasiale-uddannelser/fag-og-laereplaner

http://lyngbydata.dk/p/e/E-opgaver_18a_M.ex_exp_v.htm

https://mahf.dk/Matematiske_ord.pdf


Lektion 18b Eksamen


1) Læs:

Om Eksamen

Der afholdes en skriftlig og en mundtlig eksamen.

Den skriftlige eksamen varer normalt i alt 3 timer.

Du vil få udleveret to opgavesæt. Det ene opgavesæt skal normalt besvares inden for en time og man må kun benytte ministeriets formelsamling og ikke andre hjælpemidler. Link til ministeriets formelsamling: Ved det andet prøvesæt forventes at du bruger CAS-værktøj.

Internettet må benyttes i samme omfang som ved den daglige undervisning. Det skal fremgå af undervisningsbeskrivelsen hvilke dele af Internettet der er benyttet i den daglige undervisning. Undervisningsbeskrivelsen skal være offentliggjort i god tid før eksaemen. Hvis RegneRobot eller GeoGebra ikke er nævnt i undervisningsbeskrivelsen, og du gerne vil benytte dette CAS-værktøj, må du downloade det i god tid før eksamen og afprøve den downloadede version. Link til download af GeoGebra: geogebra.org/download Link til download af RegneRobnot: mahf.dk/RegneRobot_uden_internet.zip Her bliver downloadet en såkaldt zip-fil med navnet. RegneRobot_uden_internet. På de fleste pc’er bliver filen placeret i en mappe med navnet:”Overførsler”. Når du har fundet filen, skal den udpakkes. Det gøres på en pc ved at højreklikke med musen og vælge ”Udpak alle”.

Den mundtlige eksamen Den mundtlige prøve være todelt. Den første del er en slags gruppe-eksamen og varer ca. 90 minutter. Anden del er individuel. Du trækker et spørgsmål og får ca 20 minnutters forberedelsestid. Derefter fremlægger du en besvarelse af spørgsmålet, hvorefter du får en samtale med din lærer og censor. Fremlæggelse og samtale varer i alt også ca. 20 minutter. De mulige spørgsmål ved prøvens anden del vil du få oplyst god tid før eksamen.


http://www.geogebra.org/download

https://mahf.dk/RegneRobot_uden_internet.zip


Eksempel på eksamens-spørgsmål til mundtlig eksamen

1. Lineære sammenhænge Gør rede for regneforskriften f(x)=a·x+b ved lineær funktion. Forklar hvordan man bestemmer regneforskriften ud fra 2 punkter på grafen. Bevis formlen for bestemmelse af a ud fra 2 punkter på grafen 2. Eksponentielle funktioner og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Gør rede for den eksponentielle vækstmodel f(x) = b·ax. Bevis formlen for bestemmelse af a ud fra 2 punkter på grafen 3. Trigonometri Forklar Pythagoras’ sætning. Bevis Pythagoras’ sætning. Anvend Pythagoras’ sætning på ukendt hypotenuse og på ukendt katete. 4. Trigonometri Gør rede for ensvinklede trekanter gerne med udgangspunkt i et eksempel. Gør rede for sinus og cosinus. Anvend sinus eller cosinus på ukendt katete og ukendt hypotenuse. 5. Statistik (bilag vedlagt) Gør rede for begrebet sumkurve. Gør rede for kvartiler for et grupperet observationssæt. Gør rede for begrebet boksplot. Du må gerne tage udgangspunkt i et eller to konkrete eksempler, eventuelt fra bilaget. 6. Sandsynlighedsregning og kombinatorik Gør rede for betydningen af P(n,r) og K(n,r) Gør rede for begrebet sandsynlighed. Gør rede for begrebet udfaldsrum 7. Funktioner med hovedvægten på grafer Gør rede for koordinatsystemet. Gør rede for begrebet graf. Gør rede for grafen for potensfunktionen 8. Retvinklede trekanter Fortæl om retvinklede trekanter Bevis Pythagoras’ sætning. Fortæl om Sinus og Cosinus.



9. Rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Gør rede for Renteformlen. Fortæl om eksponentiel funktion 10. Trekantsberegning (bilag vedlagt) Gør rede for sinus, cosinus og tangens i den retvinklede trekant. Demonstrer regneeksempler med anvendelse af sinus- og cosinusrelationerne. Du kan eventuelt benytte eksemplerne i bilaget. 11. Statistik (bilag vedlagt) Gør rede for kvartiler, både for et ikke grupperet og for et grupperet observationssæt. Du skal desuden komme ind på begrebet boksplot. Du må gerne tage udgangspunkt i et eller to konkrete eksempler, eventuelt fra bilaget. 12. Statistik (bilag vedlagt) Gør rede for kvartiler, både for et ikke grupperet og for et grupperet observationssæt. Du skal desuden komme ind på begrebet sumkurve. Du må gerne tage udgangspunkt i et eller to konkrete eksempler, eventuelt fra bilaget.

BILAG til spørgsmål 5, 11 og 12: Eksempel 1: Der er et selskab på 7 mennesker med følgende aldre: 3, 5, 9, 10, 12, 14, 20 Eksempel 2

Alder: 0 → 29 30 → 59 60 → 89 90 → 120

Antal (hyppighed) 3500 3000 2000 1500

BILAG til spørgsmål 10:



Under den mundtlige eksaminationen bør man ikke kigge for meget i sine notater. Direkte oplæsning eller afskrift fra notater vil ikke tælle positivt ved bedømmelsen. Hvis man går i stå under fremlæggelsen, kan man kigge i notaterne, men man bør holde mund, mens man kigger.

Man forbereder sig til mundtlig eksamen ved til hvert spørgsmål at udarbejde en disposition og en fremlæggelse.

Nogen af spørgsmålene vil ofte ligne hinanden og fremlæggelserne vil være næsten ens. Man kan ofte således nøjes med at forberede én fremlæggelse til flere spørgsmål, som ligner hinanden.

Fremlæggelsen til procent og rentesregning bør indeholde alle de emner, der er i spørgsmål 1 og spørgsmål 2 tilsammen og gerne lidt mere; men rækkefølgen er forskellig. Det er vigtigt, at man først taler om de emner, der er nævnt i det spørgsmål man har trukket. Derefter kan man tale om de andre emner, der hører under hovedoverskriften.

Tilsvarende med Variabelsammenhænge og grafer og alle de andre spørgsmål.

Det er en fordel at forberede foredrag med så mange emner som muligt, så man har rigeligt at fortælle om.

Sørg for at kunne alle fremlæggelser lige godt.

Man bør på forhånd have gennemregnet og afprøvet alle fremlæggelser som en slags generalprøve. Det er en god idé at være nogle stykker, der træner sammen ved en tavle og skiftes til at holde foredrag for hinanden. Eventuelt kan du afprøve dine fremlæggelser for et familiemedlem eller en mobiltelefon med videocamera.

2) Løs E-opgaver: E-opgaver 18b Statistik

3) Regn tidligere eksamenssæt.


https://matheditor.com/ee/E-opgaver_18b_M_ex_Stat.htm


Matematiske ord Forklaring & udtale Eksempler

Brøk Tæller for oven

Nævner for neden Huskeregel: Både nævner og neden starter med N

3

5

Eksponent Eks-po-nent 5³ = 5·5·5

Kvadratrod Kva-drat-rod √9 = 3 fordi 3·3 = 9

Tredje rod √273

= 3 fordi 3·3·3 = 27

Fremskrivningsfaktor Frem-skriv-nings-faktor

Et tal man ganger med for at komme til et nyt tal, fx befolkningstallet året efter.

1,02 når en befolkning fremskrives med 2%

Rentefod Rente-fod

Benyttes ved renteberegning r = 2% = 0,02

Vækstrate Vækst-rate

Benyttes når det ikke er renteberegning, fx ved Indiens befolkning.

r = 2% = 0,02

Basisår

Basis-år Et årstal, der brugs som udgangspunkt

ved beregning af indeks. I basisåret er indeks = 100

Indeks

Et tal, der viser værdien af en størrelse ved et bestemt årstal sammenlignet

med størrelsen i basisåret, hvor indeks = 100

År 1980 1995 2016

Timeløn 25 kr 50 kr 150 kr

Indeks 50 100 300

Procentpoint eller blot

point

Forskellen på to indekstal har benævnelsen point eller procentpoint. Må ikke forveksles med %-vis stigning

Indeks stiger fra 50 til 300. Det er 250 point eller 250 procent-point.

MEN den %-vise stigning er:

25050⁄ · 100% = 500%

Spids vinkel En vinkel mellem 0° og 90° 30°

Ret vinkel En vinkel på 90°

Stump vinkel En vinkel mellem 90° og 180° 120°

Lige vinkel En vinkel på 180°

Ensvinklede trekanter Trekanter med parvis lige store

vinkler. Den ene trekant er en forstørrelse af

den anden, eller trekanterne er ens.

Forstørrelsesfaktor eller

Skalafaktor

Benyttes ved ensvinklede trekanter.

∆ABC er ensvinklet med ∆A1B1C1 |AB| = 5 og |A1B1| = 15

Forstørrelsesfaktoren eller skalafaktoren fra ∆ABC til ∆A1B1C1 er 3

Hypotenuse Hy-po-te-nu-se

Siden over for den rette vinkel i en retvinklet trekant.

Katete Ka-te-te

En side som støder op til den rette vinkel i en retvinklet trekant.

Pythagoras sætning For ∆ABC, hvor ∠C er ret, gælder:

c² = a² + b²

Standardtrekant En retvinklet trekant, hvor

hypotenusen har længden 1.

Sinus Si-nus til en vinkel v skrives: Sin(v) Sin(30°) = 0,5

Cosinus Co-si-nus til en vinkel v skrives: Cos(v) Cos(60°) = 0,5

Tangens Tan-gens til en vinkel v skrives: Tan(v) Tan(45°) = 1




Hosliggende Vinkel A’s hosliggende katete, er den katete som ligger op til vinkel A i en retvinklet trekant, altså hos vinkel A

Modstående Vinkel A’s modstående katete, er den katete som ligger overfor vinkel A i en

retvinklet trekant.

Vilkårlig trekant En trekant, der ikke behøver

at være retvinklet. ∆ABC, hvor ∠A = 100°, ∠B=50° og ∠C=30°

Sinusrelationerne

Sinus-re-la-ti-o-ner-ne

For en vilkårlig ∆ABC gælder: 𝑆𝑖𝑛 𝐴

𝑎 =

𝑆𝑖𝑛 𝐵

𝑏 =

𝑆𝑖𝑛 𝐶

𝑐

𝑆𝑖𝑛 30°

𝑎 =

𝑆𝑖𝑛 50°

12

Cosinusralationerne eller

Den udvidede Pythagoras

Co-si-nus-re-la-ti-o-ner-ne

For en vilkårlig ∆ABC gælder:

c² = a²+b²-2ab·Cos C b² = a²+c²-2ac·Cos B a² = b²+c²-2bc·Cos A

c² = 3²+4² - 2·3·4·Cos 60°

Variabel En talværdi, som kan ændre sig, Temperaturen i Celsius-grader

Afhængig variabel En variabel, hvor værdien afhænger af

en anden variabel. Arealet y af et kvadrat afhænger af

sidelængden. x

Uafhængig variabel En variabel, hvor vi ikke interesserer

os for, om den afhænger af noget andet.

y = x² x er den uafhængige variable

Funktion En variabel kan være en funktion af en

anden variabel.

y =f(x) betyder, at y er en funktion af x y = x ²

f(x) = x ²

Funktionsværdi

Hvis y=f(x), så er y funktionsværdien af x

f(x) udtales ”f af x”

f(x) = x² f(3) = 9

Definitionsmængde De-fi-ni-ti-ons-mængde

Mængden af tal hvor funktionen er defineret

f x)=arealet af et kvadrat med sidelængden x. Definitionsmængden er alle positive tal.

Det skrives således Dm(f)=]0; ∞[

Værdimængde Mængden af alle funktionsværdier f(x)=arealet af et kvadrat med sidelængden x.

Værdimængden er alle positive tal. Det skrives således Vm(f)=]0; ∞[

Koordinatsystem

Ko-or-di-nat-sy-stem Et koordinatsystem er to tallinjer

vinkelret på hinanden, fx en vandret og en lodret.

Den vandrette kaldes første-aksen eller x-aksen, og den lodrette kaldes 2.aksen eller y-aksen.

Koordinatsæt Et talpar, der udpeger et punkt i et

koordinatsystem (4,2) udpeger punktet ud for 4 på første-aksen

og udfor 2 på anden-aksen.

Graf

Til en funktion f knyttes en graf i et koordinatsystem.

Ethvert punkt på grafen har et koordinatsæt (x, y) , hvor y = f(x)




Ligefrem proportional eller blot

proportional

Pro-por-ti-o-nal y er proportional med x, hvis der

findes et tal k, så y=k·x

Benzin koster 10 kr pr liter. Prisen for benzin er proportional med antallet

af liter. Prisen = 10 · antal liter

Omvendt proportional Der findes et k, så y·x=k y=k·𝟏

𝒙

Hvis en mark skal være på 420 m², så må længde·bredde = 240 (målt i m)

eller længde = 240·1

bredde

Lineær funktion

En funktion, hvor grafen er en linje eller en del af en linje. Regneforskriften kan skrives f(x)=ax+b

f(x)=2x+3

Hældningskoefficient

Hæld-nings-ko-ef-fi-ci-ent for f, hvor f(x)=ax+b er ændring i f(x), når x forøges med 1, altså grafens hældning.

Betragt f(x)=2x+3 Hældningskoefficienten er 2

Begyndelsesværdi

Ved lineær funktion vil grafen eller dens forlængelse skære anden-aksen i begyndelsesværdien, ofte kaldet b.

Betragt f(x)=2x+3 Begyndelsesværdien er 3.

Bemærk: f(0) = 3

Logaritme Logaritmen til et tal er den eksponent, man skal putte på 10 for at få tallet.

Log(1000) = 3 fordi 1000 = 10³

Eksponentiel funktion En funktion er eks-po-nen-ti-el, hvis den har regneforskriften på formen f(x)=b·ax, hvor b>0 og a>0

f(x)=500·1,02x (voksende)

f(x)=30·0,95x (aftagende)

Begyndelsesværdi Ved en eksponentiel funktion f er begyndelsesværdien f(0) ofte kaldet b.

Betragt f(x) = 3·1,7x Begyndelsesværdien er 3.

Bemærk: f(0) = 3

Fremskrivningsfaktor Ved funktionen f(x)=b·ax kaldes a fremskrivningsfaktoren svarende til en tilvækst på 1 i x.

Potensfunktion

En funktion er en po-tens-funktion, hvis den har en forskrift på formen

f(x)=b·xa, hvor b>0, a≠0 og x>0.

Bemærk: b = f(1) og b kaldes ikke begyndelsesværdi

f(x)=500·x3 (voksende)

f(x)=30·x-1 (aftagende)

Her ses grafen for 3 potensfunktioner i et sædvanligt koordinatsystem, hvor henholdsvis a<0, 0<a<1 og a>1.




Grupperede observationer Benyttes i statistik, hvor observa-tionerne er grupperet i intervaller.

Hyppighed (Ved grupperede observationer)

Antal observationer i et interval. Der er 2 observationer i intervallet [20;40[

Intervallet har hyppigheden 2

Frekvens (Ved grupperede observationer)

Hyppigheden for et interval divi-deret med antal observationer i alt.

Af i alt 10 observationer er 2 i [20;40[, og frekvensen for intervallet er 20% = 0,20

Kumuleret frekvens (Benyttes ved grupperede observationer)

Findes ved at summere frekvenser.

Alder [20;40[ [40;60[ [60;80]

Frekvens 0,20 0,50 0,30

Kumuleret frekvens

0,20 0,70 1,00

Middeltal (Ved ikke grupperede

observationer)

Summen af alle observationer divideret med antal observationer.

Observationer: 20, 43, 43

Middeltallet = 10+43+43

3 =

96

3 = 32

Middeltal (Ved grupperede observationer)

Hvert intervalmidtpunkt ganges med intervallets frekvens, og summen af disse produkter beregnes.

Alder [20;40[ [40;60[ [60;80]

Frekvens 0,20 0,50 0,30

Mindtpunkt 30 50 70

Produkt 6 25 21

Middeltal = 6 + 25 +21 = 52

Sumkurve (Kun ved grupperede observationer)

For hver x-værdi, viser sumkurven, hvor mange % af observationerne, der er under x. Støttepunkter fås ved den kumulerede frekvens. Sumkurven består af rette linjestykker, som om observationerne fordeler sig jævnt i hvert interval.

Alder [20;40[ [40;60[ [60;80]

Frekvens 0,20 0,50 0,30

Kumuleret frekvens

0,20 0,70 1,00

Støttepunkter:

Under 20 år 40 år 60 år 80 år

0% 20% 70 % 100 %

Median (2. kvartil) (Ved ikke grupperede

observationer)

Den midterste observation eller midtpunktet af de to midterste.

Observationer: 10, 43, 43. Median = 43 Observationer: 10, 20, 30, 43. Median = 25

Median (2.kvartil) (Ved grupperede observationer)

Den x-værdi, hvor netop 50% er under x-værdien. Kan findes ved hjælp af sumkurven.

Nedre kvartil (1. kvartil) (Ved ikke grupperede

observationer)

Nedre kvartil er lig medianen af de observationer, som ligger til venstre for medianen af alle observationer.

Observationer: 10, 20, 30, 43. 1. kvartil= 15

Nedre kvartil (1. kvartil) (Ved grupperede observationer)


Øvre kvartil (3. kvartil) (Ved ikke grupperede

observationer)

Øvre kvartil er lig medianen af de observationer, som ligger til højre for medianen af alle observationer.

Observationer: 10, 20, 30, 43. 3. kvartil = 36,5

Øvre kvartil (3. kvartil) (Ved grupperede observationer)


85%fraktilen 85% af observationerne ligger under 85%fraktilen. Kaldes også 0,85-fraktilen. Kan findes ved hjælp af sumkurven.

Boksplot (Ved både ikke grupperede og ved grupperede observationer)

En tegning der viser mindste-værdien, kvartiler og største-værdien.

Histogram (Ved grupperede observationer)

Kan tegnes i et koordinatsystem. Over hvert af intervallerne på x-aksen tegnes en firkant, der afspejler frekvensen for intervallet.

0 20 40 60



Formelsamling Mat. C

Denne formelsamling ikke benyttes til første delprøve ved skriftlig eksamen.

Benyt ministeriets: https://uvm.dk/-/media/filer/uvm/gym-vejledninger-til-laereplaner/hf/171012-uvm-mat-formelsamling-hfc.pdf?la=da

Brøker

Regel Formel Eksempel

Helt tal gange brøk Det hele tal ganges ind i

tælleren b

ak

b

ak

=

7

6

7

23

7

23 =

=

Brøk gange brøk Tæller gang tæller og nævner gang nævner db

ca

d

c

b

a

=

35

6

57

32

5

3

7

2=

=

Brøk divideret med helt tal

Det hele tal ganges ind i nævneren

kb

a:

: kb

a

=

:

7

2

21

2

37

23 =

=

Helt tal divideret med brøk

Man dividerer med en brøk ved at gange med

den omvendte k :

b

a

a

bk =

7

2:3

2

73 =

=

2

21

Brøk divideret med brøk Man dividerer med en brøk ved at gange med

den omvendte :

b

a

d

c

cb

da

=

:

7

2

5

3

21

10

37

52=

=

Forkorte en brøk Tæller og nævner

divideres med samme tal b

a

kb

ka

/

/=

7

2

3/21

3/6

21

6==

Forlænge en brøk Tæller og nævner

ganges med samme tal b

a

kb

ka

=

21

6

37

32

7

2=

=

Brøk plus brøk med samme nævner

Tæller plus tæller og behold den fælles

nævner b

ca

b

c

b

a +=+

7

5

7

32

7

3

7

2=

+=+

Brøk minus brøk med samme nævner

Tæller minus tæller og behold den fælles

nævner b

ca

b

c

b

a −=−

7

32

7

3

7

2 −=−

= 7

1−

Find fællesnævner for 2 brøker

De to nævnere ganges med hinanden db

cb

db

da

d

c

b

a

+

=+


https://uvm.dk/-/media/filer/uvm/gym-vejledninger-til-laereplaner/hf/171012-uvm-mat-formelsamling-hfc.pdf?la=da

Formler til Matematik © PeterSoerensen.dk side 52 / 60

Ligninger Regel

Regel sagt på en anden måde

Eksempel

Man må lægge samme størrelse til på

begge sider af lighedstegnet.

Man må trække damme størrelse fra på begge sider af lighedstegnet

Man må flytte en størrelse over på den anden side af lighedstegnet, hvis man

skifter fortegn på størrelsen

3x = 2x + 7 3x – 2x = 7

Man må gange med samme størrelse på begge sider. Dog ikke med nul.

95

3

2=+x

9353

3

23 =+ x

2x + 15 = 27

Man må dividere med samme størrelse på begge sider

7x = 35 x = 5

Parenteser Regel Formel Eksempel

Tal gange parentes

Tallet ganges med hvert led i parentesen

kbkabak +=+ )( 1470)210(7 +=+

Parentes gange parentes

Hvert led i den ene ganges med hvert led i den anden

bdbcadacdcba +++=++ ))((

(3x – 5)(2x+1)

= 6x² + 3x -10x – 5

= 6x² – 7x – 5

Minus parentes

Man kan hæve en minus parentes ved at

skifte fortegn på alle led -(a-b) = -a + b

-(x-5)

= -1(x-5)

= -x + 5


Procent

Regel Bogstaver Formler Eksempel

Tal plus procent

Man lægger p% til et tal ved at gange med

(1+p%)

B: Begyndelsesværdi S: Slutværdi F: Fremskrivningsfaktor p%: Rentefod r = p% F = (1+r) = (1+p%)

S = B · F S = B(1+p%) S= B(1+r)

r

SB

+=

1

B = 200 p% = 5% = 0,05 S = 200 · (1+5%) = 200 · 1,05 = 210

Tal minus procent

Man trækker p% fra et tal ved at gange

med (1-p%)

At trække p% fra et tal er det samme

som at lægge (-p%) til tallet

S = B · F S = B·(1-p%) S= B·(1-r)

r

SB

−=

1

B = 200 p% = -5% = -0,05 S = 200 · (1-5%) = 200 · 0,95 = 190


Rente Bogstaver Formler Eksempler

Kapital- fremskrivning

K0: Begyndelses-kapital n: Antal terminer r: Rentefod K: Kapital efter n terminer

K = K0(1+r)n

nr

KK

)1(0

+=

= K·(1+r)-n

K0 = 200, r = 10% , n = 4 K = 200 · 1,104 = 200·1,4641 = 292,82

𝐾0 =292,82

1, 104

= 292,82 · 1,10-4

= 200

Gennem- snitlig rentefod eller: Gennem- snitlig procentvis ændring

K0: Begyndelses-kapital n: Antal terminer r = p%: Gennemsnitlig rentefod eller gennemsnitlig %-vis ændring K: Kapital efter n terminer

r1: Rentefod i den 1. termin

r2: Rentefod i den 2. termin

rn: Rentefod i den n. termin

(1+ r)n 0K

K=

1+ r

n

K

K

0

=

10

−= n

K

Kr

1%0

−= n

K

Kp

1 + 𝑟 = √292,82

200

4

= 1,10

r = 0,10 r = 10% p% = 10%

Antal Terminer

n = 𝐿𝑜𝑔(

𝐾𝐾𝑜

)

𝐿𝑜𝑔(1+𝑟)


Indeks Bogstaver Formler Eksempler

a: Værdi i basisåret b: Værdi et vilkårligt år i: Indeks, når årets værdi er b

År … … Basisår … …

Værdi … … a … b

Indeks … … 100 … i

100=a

bi

År

1988

1989

Basis-år

1990

1991

1992

Værdi 125 200 250 300 375 Indeks i 100 j

50100250

125==i

150100250

375==j

c: Den gamle indeks-værdi i det nye basisår d: Gammel Indeks-værdi et vilkårligt år e: Nyt indeks, når årets gamle indeks er d

År Gam-melt

basisår …

Nyt basisår

… …

Gam- melt indeks

100 … c … d

Nyt indeks

… … 100 … e

100=c

de

År

Gam-melt

basisår 1990

1991 Nyt

basisår 1992

1993 1994

Gam- melt

indeks 100 … 150 … 300

Nyt indeks

… … 100 … e

200100150

300==e


Geometri Bogstaver Formler Eksempler

Areal af trekant

T = Areal = ½ højde · grundlinje

T = ½·h·g

g

Ah

2=

h

Ag

2=

T= 0,5·a·ha = 0,5ab·Sin C

T= 0,5·b·hb = 0,5bc·Sin A

T= 0,5·c·hc = 0,5ca·Sin B

T = ½·10·15 = 75

ℎ =2 · 75

15= 10

𝑔 =2 · 75

10= 15

T = 0,5·4·9·Sin(30°)

Herons formel:

T=√𝒔(𝒔 − 𝒂)(𝒔 − 𝒃)(𝒔 − 𝒄)

hvor 𝒔 =𝒂+𝒃+𝒄

𝟐

Vinkelsum i en trekant

Vinkelsummen i en trekant er 180°

v + u + w = 180°

u =180° - 70° - 80°

Ens- vinklede trekanter

k = skalafaktor = forstørrelsesfaktor

𝑘 =𝑎1

𝑎

b1 = k · b

𝑐 =𝑐1

𝑘

k = 3

2 = 1,5

b1 = 1,5 · 4 = 6

c = 12

1,5 = 8

Vilkårlig trekant

Sinusrelationerne:

𝑺𝒊𝒏 𝑨

𝒂=

𝑺𝒊𝒏 𝑩

𝒃=

𝑺𝒊𝒏 𝑪

𝒄

𝒂

𝑺𝒊𝒏 𝑨=

𝒃

𝑺𝒊𝒏 𝑩=

𝒄

𝑺𝒊𝒏 𝑪

b

SinBaSinA =

SinB

bSinAa =

Cosinusrelationerne:

c² = a2 + b2 – 2ab·Cos C

b² = a2 + c2 – 2ac·Cos B

a² = b2 + c2 – 2bc·Cos A

Cos C = 𝒂²+𝒃²−𝒄²

𝟐𝒂𝒃

Cos B = 𝒂²+𝒄²−𝒃²

𝟐𝒂𝒄

Cos A = 𝒃²+𝒄²−𝒂²

𝟐𝒃𝒄

Sin(70°) 5,0

= Sin(50°)

c

c

=

5,0·Sin(50°) Sin(70°)

b² =5²+4²-2·4·5·Cos(60°)


Symboler m.m. Formler Eksempel

Ret- vinklet trekant

(Pytha- goras, Sinus, Cosinus og Tangens)

Forkortelser:

hyp: Hypotenusen hosl.kat: Hosliggende katete modst.: Modstående katete Hvis du kender 𝑆𝑖𝑛(𝑣), kan du finde vinklen 𝑣 ved hjælp af 𝑺𝒊𝒏−𝟏 eller 𝒄𝑺𝒊𝒏 , 𝑆𝑖𝑛−1(𝑡𝑎𝑙) = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑖𝑛(𝑡𝑎𝑙)

De fleste lommeregnere benytter

skrivemåden 𝑆𝑖𝑛−1

I RegneRobot og i Calculator.dk kan du selv vælge om du vil skrive

𝑆𝑖𝑛−1 eller 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑖𝑛. I RegneRobot og i Calculator.dk taster du 𝑆𝑖𝑛−1 således: Sin^-1

Hvis du kender 𝐶𝑜𝑠(𝑣), kan du tilsvarende finde vinklen 𝑣 ved hjælp af

𝑪𝒐𝒔−𝟏 eller 𝒂𝒓𝒄𝑪𝒐𝒔.

Hvis du kender 𝑇𝑎𝑛(𝑣), kan du tilsvarende finde vinklen 𝑣 ved hjælp af

𝑻𝒂𝒏−𝟏 eller 𝒂𝒓𝒄𝑻𝒂𝒏.

I regneark Excel skrives kun

𝑎𝑟𝑐𝑆𝑖𝑛 , 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 og 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛; og vinkler skal angives i såkaldte radianer i stedet for grader.

Radianetal = gradtal · 2𝜋/180 Gradtal = radiantal ·180/2𝜋

𝝅 = 𝑐𝑎 3,14 og både i RegneRobot, i Calculator.dk og i Regneark taster du 𝜋 således: pi()

Pythagoras

Kvadratet på hypotenusen er lig summen af kateternes kvadrater.

hyp2 =hosl.kat2 + modst2

ℎ𝑦𝑝 = √ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡2 + 𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡²

ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡 = √ℎ𝑦𝑝2 − 𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡²

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡 = √ℎ𝑦𝑝² − ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡²

Sinus

𝑆𝑖𝑛(𝑣) =𝑀𝑜𝑑𝑠𝑡.

ℎ𝑜𝑠𝑙.𝑘𝑎𝑡

𝑣 = 𝑆𝑖𝑛−1(𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡.𝑘𝑎𝑡

ℎ𝑦𝑝)

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡. = ℎ𝑦𝑝 · 𝑆𝑖𝑛(𝑣)

ℎ𝑦𝑝 =𝑀𝑜𝑑𝑠𝑡.

𝑆𝑖𝑛(𝑣)

Cosinus

𝐶𝑜𝑠(𝑣) =ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡.

ℎ𝑦𝑝

𝑣 = 𝐶𝑜𝑠−1 (ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡.

ℎ𝑦𝑝)

ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡. = ℎ𝑦𝑝 · 𝐶𝑜𝑠(𝑣)

ℎ𝑦𝑝 =ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡

cos(𝑣)

Tangens

𝑇𝑎𝑛(𝑣) =𝑆𝑖𝑛(𝑣)

𝐶𝑜𝑠(𝑣)

𝑇𝑎𝑛(𝑣) =𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡

ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡

𝑣 = 𝑇𝑎𝑛−1(𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡

ℎ𝑜𝑠𝑙.𝑘𝑎𝑡)

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡 = ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡 · 𝑇𝑎𝑛(𝑣)

ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡 =𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡.

𝑇𝑎𝑛(𝑣)

Pythagoras

5² = 4² + 3² 534 22 =+=hyp

ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡 = √52 − 32 = 4

345mod 22 =−=st

Sinus

𝑆𝑖𝑛(𝑣) =3

5

𝑣 = 𝑆𝑖𝑛−1 (3

5) = 37°

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡 = 5 · sin(37°) = 3

ℎ𝑦𝑝 =3

𝑆𝑖𝑛(37°)= 5

Cosinus

𝐶𝑜𝑠(𝑣) =4

5

𝑣 = 𝐶𝑜𝑠−1 (4

5) = 37°

ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡 = 5 · 𝐶𝑜𝑠(37°) = 4

ℎ𝑦𝑝 =4

cos(37°)

Tangens

Tan(v) = 3

4

v=Tan-1( 𝟑

𝟒 ) = 37°

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡 = 4 · 𝑇𝑎𝑛(37°) = 3

ℎ𝑜𝑠𝑙. 𝑘𝑎𝑡 =3

𝑇𝑎𝑛(37°)= 4


Hvornår bruges hvilke formler ved trekantberegning ? Kig efter, om der er ensvinklede trekanter Vurder om Areal-formlen kan bruges Hvis de 3 vinkler er i spil, så: Vinkelsum ( i spil betyder er kendt eller ønskes beregnet) Ved retvinklede trekanter:

Hvis kun sider er i spil: Pythagoras Hvis en vinkel og 2 kateter er i spil: Tangens Hvis hosliggende katete ikke er i spil: Sinus Ellers: Cosinus

Ved vilkårlige trekanter: Hvis 2 vinkler og de modstående sider er i spil, så Siusrelationerne. Hvis alle 3 sider og en vinkel er i spil, så Cosinusrelationerne.

Eksponenter Formel Eksempel

ap·aq = ap+q 53 · 54 = 53+4

37

3

7

55

5 −=

(a·b)p = ap · bp

(5·7)3 = 53 · 73

( 𝑎

𝑏 )

𝑝

= 𝑎𝑝: 𝑏𝑝

( 5

7 )

3

= 53: 73

ap : bp = (a/b)p

5 3 : 7 3 = ( 5/7 )3

qpqp aa =)(

(53)4 = 53·4 = 512

a-p = pa

1 5-3 = 35

1

a-1 = a

1 5-1 =

5

1

a1 = a 51 = 5

a0 = 1 50 = 1

Logaritmer Formel Eksempel

Log(a·b) = Log(a) + Log(b) Log(5 · 3) = Log 5 + Log(3)

Log(ax) = x·Log(a) Log(53) = 3·Log(5)


(Ligefrem) Proportionalitet

Bogstaver Formler Eksempler k: Proportionalititettsfaktor

X … … … … …

Y … … … … …

y=k·x

(Lineær funktion hvor begyndelsesværdien er nul og hældningskoefficienten er k)

x

yk =

𝑥 = 𝑦

𝑘

x 4 50 c

y d 500 70

1050

500==k

d = 10·4 = 40

710

70==c

Omvendt proportionalitet Bogstaver Formler Eksempler

x … … … … …

y … … … … …

𝑦 = 𝑘 · 1

𝑥

xyk =

ykx

1=

x 2 20 c

y d 21 42

4202120 ==k

2102

420

2

1420 ===d

1042

420

42

1420 ===c


Vækst

Lineær vækst

Eksponentiel vækst

Potens-vækst

Regne- forskrift

baxy +=

xbay =

abxy =

a )(

)(

12

12

xx

yya

−

−=

)(

1

212 )(xx

y

ya −=

))()((

))()((

12

12

xLogxLog

yLogyLoga

−

−=

b

Fordoblings- konstant

)(

)2(2

aLog

LogT =

Halverings- konstant

)(

)5,0(½

aLog

LogT =

Hvis x fremskrives med p% = r,

så er fremskrivningsfaktoren

for x: (1+r)

og

fremskrivningsfaktoren for y: (1+r)a

Procentvis ændring af y bliver:

( (1+r)a – 1) · 100%

matematik c interaktivt for hf · 2021. 8. 5. · (2+2 = 4) ⱽ (2+2 = 5) det til venstre er sandt...

Documents