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Secantes

Paralelas

Coincidentes

- Trazando dos rectas cualesquiera en el plano puede ocurrir que:

a) Sean secantes

b) Sean Paralelas

c) Sean Coincidentes

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* Al observar las figuras dibujadas en la página anterior, deducimos:

- SECANTES son rectas que sólo tienen un punto común.

- PARALELAS son rectas que NO tienen ningún punto en común.

- COINCIDENTES son rectas que tienen TODOS los puntos comunes.

¿Cómo podemos averiguar que clase de rectas son?

Para ello tenemos que calcular su INTERSECCIÓN, resolviendo el sistema que forman

sus ecuaciones, de manera que:

1º.- Si tienen UNA solución las rectas se cortan, por tanto serán secantes.

2º.- Si NO tienen solución las rectas don paralelas.

3º.- Si tienen INFINITAS soluciones las rectas son coincidentes.

¿Cómo podríamos saber la posición relativa de dos rectas sin necesidad de resolver el

sistema que forman?

Nosotros vamos a dar solución únicamente cuando las rectas vengan dadas por sus

ecuaciones en forma implícita.

En los demás casos basta pasar la ecuación a esta forma implícita.

- Sean las rectas r y s de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A’x + B’y + C’ = 0

- Las pendientes y las ordenadas en el origen de ambas rectas son:

a).- Las rectas r y s son coincidentes si sus pendientes y sus ordenadas en el origen

son iguales:

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Ecuaciones de las rectas r y s en forma explícita:

m = m´ y n = n´

Por tanto cuando r y s son coincidentes, se cumple:

b) Las rectas r y s son paralelas si sus pendientes son iguales y sus ordenadas en el

origen son distintas.

Ecuaciones de las rectas r y s en forma explícita:

m = m´ y n ≠ n´

Por tanto cuando r y s son paralelas, se cumple:

c) Las rectas r y s son secantes si sus pendientes son distintas

Ecuaciones de las rectas r y s en forma explícita:

m ≠ m´

4

Por tanto cuando r y s son secantes, se cumple:

HAZ DE RECTAS SECANTES

Se llama haz de rectas de vértice P ( X0, Y0 ) al conjunto de todas las rectas del plano

que pasan por el punto P; su ecuación es:

- Para cada valor de m se obtiene una recta que pasa por el punto P ( X0, Y0 )

- Sean las rectas de ecuaciones:

r: Ax + By + C = 0

supongamos que se corten en el punto P ( X0, Y0 )

s: A’x + B’y + C’ = 0

La ecuación:

representa el haz de rectas de vértice P, ya que cuando variamos α y β se obtienen rectas que pasan por el punto P ( X0, Y0), ya que sus coordenadas verifican la

ecuación:

* Ahora vamos a dividir por uno de los parámetros que sea NO nulo, obteniendo:

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siendo k un número real.

HAZ DE RECTAS PARALELAS

Se llama Haz de rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C = 0 al conjunto de todas

las rectas del plano que son paralelas a r.

Su ecuación es:

Ax + By + K = 0

Para cada valor de K, se obtiene una recta paralela a r.

** Atención ** los vectores directores de dos rectas paralelas son proporcionales.

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7

1.-¿ Dos rectas en el plano determinan siempre un punto ?

NO cuando las rectas son paralelas.

- Las rectas secantes tienen un punto común(Si)

- Las rectas coincidentes tienen todos los puntos comunes (Si)

2.- ¿Cuántas rectas hay paralelas a la recta 2x + 3y – 5 = 0 que pasen por el punto

A(2,3)?

La ecuación del haz de rectas paralelas es:

2x + 3y + k = 0

Seleccionamos de estas infinitas rectas paralelas la que pasa por el punto A (2,3)

exigiendo

x,y

que dicho punto satisfaga la ecuación del haz:

Para ello sustituimos x por su valor 2 e y por el suyo 3

2. 2 + 3. 3 + k = 0 4 + 9 + k = 0 k = -13

Ahora sustituimos este valor obtenido de k en la ecuación del haz y obtenemos la recta

pedida:

2x + 3y – 13 = 0

Por tanto solo EXISTE UNA RECTA paralela a 2x + 3y – 5 = 0 que pase por el punto

A(2,3)

3.- ¿ Y qué pasen por el punto B ( 1, 1 )

B (1,1)

x,y

2x + 3y + k = 0 2x. 1 + 3. 1 + k = 0 k = -5

La respuesta es NO EXISTE NINGUNA RECTA paralela a 2x + 3y – 5 = 0 que pase

por el punto B(1,1)

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4.- ¿ Cuál es la expresión general de las rectas paralelas al eje x ?

- Para ello hacemos x = 0 y nos queda By + k = 0

5.- ¿ Cuál es la expresión general de las rectas paralelas al eje y ?

- Para ello hacemos y 0 = y obtenemos Ax + k = 0

6.- Dadas las rectas de ecuaciones r: 2x -3y + 4 = 0 y s: 3x + 2y – 7 = 0 ¿Cómo

podemos saber si son coincidentes, paralelas o secantes, sin necesidad de hacer ningún

cálculo?

Dato: Las ecuaciones ya nos las facilitan en forma implícita, de ello deducimos:

Para que dos rectas r y s sean coincidentes, tienen que cumplir la siguiente

condición:

m = m’ y n = n’

Como m ≠ m’ y además n ≠ n’ las rectas dadas NO son coincidentes.

Para que dos rectas r y s sean paralelas, tienen que cumplir la siguiente

condición:

m = m’ y n ≠ n’

Como m ≠ m’ las rectas dadas NO son paralelas.

Para que dos rectas r y s sean secantes, tienen que cumplir la siguiente condición:

m ≠ m’

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Como m ≠ m’ las rectas dadas SI son secantes.

7.- Si r y s son dos rectas secantes y A un punto cualquiera del plano ¿ es cierto que

existe una recta que pasa por el punto de intersección y por el punto A?

- SI, porque la intersección de las rectas r y s determinan un punto sobre el

plano.

- El punto A es otro punto del plano.

8.- ¿ Y si el punto A pertenece a cualquiera de las rectas ?

- También SI existe una recta que pasa por esos dos puntos.

9.- ¿ Es posible hallar la ecuación del haz de rectas que pasa por el punto de

intersección de las rectas de ecuaciones r: 2x – y + 4 = 0 y s: y = 3x -1 ?

La fórmula general es

Como no conocemos ningún punto por el que pasan, además del de intersección:

10.- Dadas las rectas r: determinada por el punto A(2,1) y el vector u = ( 3,4 ) y la

recta

s: determinada por el punto B ( -1, 4 ) y el vector v = ( 5,3 ) ¿ son secantes,

paralelas o coincidentes?

- Lo primero que haremos, será calcular las ecuaciones de la recta en su forma

general.

r : A ( 2, 1 ) u = ( 3, 4 )

x1,y1 a,b

4 (x-2) = 3 ( y -1 ) 4x – 8 = 3y – 3 r: 4x – 3y – 5 = 0

10

s: B ( -1, 4 ) u = ( 5, 3 )

x1,y1 a,b

3(x+1) = 5(y-4) 3x +3 = 5y -20 s: 3x – 5y + 23 = 0

- Pendiente y ordenada en el origen de la recta r:

- Pendiente y ordenada en el origen de la recta s:

Analizando los datos que hemos obtenido, se cumplen las siguientes condiciones:

m ≠ m’ y n ≠ n’ por tanto las rectas son SECANTES.

11.- Dadas las rectas r: determinada por el punto A y el vector u y recta s:

determinada por

el punto B y el vector v ¿ cómo tendrán que ser los vectores AB, u , v para que r

y s sean coincidentes?

Los vectores tienen que ser proporcionales.

12.- Calcular el punto de intersección de las rectas r: 8x – 2y -20 = 0 y s: 3x +2y -

13 = 0

8x – 2y – 20 = 0

11x = 33 x = 33/11 = 3 x = 3

3x + 2y -13 = 0

11x - 33 = 0

Ahora calculamos el valor de y : 8.3 – 2y -20 = 0 24-20 = 2y y =4/2 = 2 y = 2

11

- Por tanto el punto de intersección es: P ( 3, 2 )

13.- Calcular el punto de intersección de las rectas r: x – y = 30 y recta s: x – y = 14

x – y – 30 = 0 Cambiamos de signo: - x + y + 30 = 0

x – y – 14 = 0 x – y - 14 = 0

16 ≠ 0

No tienen punto de corte. Las rectas son paralelas: m = m’ y n = n’

14.- Calcular el punto de intersección de las rectas r: 3x + 2y-19 = 0 y s: 5x + y -20

=0

3x + 2y – 19 = 0 3x + 2y – 19 = 0

5x + y -20 = 0 multiplicamos por (-2) -10x – 2y + 40 = 0

-7x + 21 = 0

- 7x = - 21 x = 21/7 = 3 x = 3

Ahora vamos a calcular el valor de y:

3 . 3 + 2y = 19 9 + 2y = 19 2y = 10 y = 10/2 = 5 y = 5

- Por tanto el punto de intersección es. P ( 3, 5 )

15.- Calcular el punto de intersección de las rectas r: 5x + 6y – 7 = 0 y s: 5x + 4y –

5 = 0

5x + 6y - 7 = 0 5x + 6y - 7 = 0

5x + 4y - 5 = 0 multiplicamos por (-1) -5x - 4y + 5 = 0

2y - 2 = 0 2y =2 y = 1

Ahora vamos a calcular el valor de x:

5x + 6. 7 = 0 5x = 1 x = 1/5 x= 1/5

- Por tanto el punto de intersección es: P ( 1/5, 1 )

16.- Dadas las rectas de ecuaciones, que a continuación exponemos ¿cuáles son

coincidentes, cuales secantes o paralelas?

a) y = 5x -3 m = 5 n =-3

12

b) y = -x +2 m = -1 n = 2

c) y = 2x +1 m = 2 n = 1

d) y = 5x +2 m = 5 n = 2

e) y = 3x -2 m = 3 n =-2

f) y = 2x+13 m = 2 n = 13

g) y = -x -3 m =-1 n = -3

h) y = 5x -7 m = 5 n = -7

i) y = 6x +2 m = 6 n = 2

j) y = -x + 2 m = -1 n = 2

Paralelas todas las que tengan m iguales y n distintas.

Secantes las que tienen m distintas y n también distintas, al mismo tiempo.

Coincidentes las que tienen m y n iguales

17.- Comprobar si las rectas que a continuación damos, son secantes, paralelas o

coincidentes

a) 3x + 2y – 5 = 0

3x + 2y + 7 = 0

Son paralelas, se cumple la condición: m = m’ y n ≠ n’

b) x + y - 3 = 0

2x + 2y - 6 = 0

Son coincidentes, se cumple la condición: m = m’ y n = n’

c) x + 3y -4 = 0

x + 2y -5 = 0

13

Son secantes, se cumple la condición m ≠ m’ y n ≠ n’

18.-Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2, 3) y es paralela a la

recta r:

x + y – 3 =0.

P (2,3)

Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por un punto y es paralela a

otra recta dada:

Ax + By + k = 0

¿Cuál es la condición para que la recta pase por el punto P?

- Sencillamente dando los valores a x = 2 y a y = -3 , porque el punto dado,

es el punto P ( 2, 3 )

x, y

Ahora vamos a sustituir estos valores en la ecuación general de la recta antes dada y:

2. 1 + 3.1 + k = 0 2 + 3 + k = 0 5 + k = 0 k = -5

Por tanto la ecuación de la recta pedida es: x + y – 5 = 0

19.- Escribir la ecuación del haz de rectas que pasan por el punto P (2,5)

P ( 2, 5 )

X0,Y0

Aplicamos la ecuación general de la recta en forma punto pendiente:

y – 5 = m ( x – 2)

* Para cada valor que le damos a “ m “ obtendremos una recta que pase por el punto

P(2,5)

20.- Calcular la ecuación del haz de rectas que pasan por el punto de intersección de

las rectas r: 2x + 4y – 5 = 0 y s: x + y – 1 = 0

2x + 4y - 5 = 0

x + y - 1 = 0

14

Aplicamos la fórmula general de la ecuación del haz de rectas secantes:

Ax + By + C + k( A’x +B’y +C) = 0

2x + 4y – 5 + k ( x + y -1 ) = 0

Como no conocemos ningún punto del plano por el que podrían pasar, la ecuación

quedaría dada de la forma que hemos mencionado arriba.

21.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas:

r: 3x + 4y -10 = 0 y s: 4x – 3y – 5 = 0 y por el punto P ( -3, 2 )

3x + 4y - 10 = 0

P ( -3, 2 )

4x - 3y - 5 = 0

Aplicamos la fórmula general de la ecuación del haz de rectas secantes:

Ax + By + C + k( A’x +B’y +C) = 0

Ahora imponemos la condición que pase por el punto P ( -3,2 )

Para ello damos valores a x = - 3 y = 2, y sustituimos estos valores en la fórmula

general:

3x + 4y – 10 + k ( 4x – 3y – 5 ) = 0

3(-3) + 4(2) – 10 + k ( 4 (-3) + (-3) (2) – 5 = 0

-9 + 8 -10 + k ( -12 – 6 – 5 ) = 0 -11 + k(-23) = 0 k = - 11/23

El paso siguiente, es sustituir este valor obtenido en la ecuación general:

3x + 4y – 10 + ( -11/23) ( 4x – 3y – 5 ) = 0 3x + 4y – 10 -11/23( 4x – 3y – 5= = 0

23 ( 3x + 4y – 10 ) -11 ( 4x – 3y – 5 ) = 0 69x + 92y -230 – 44x + 33y + 55 = 0

25x + 125y – 175 = 0 Simplificamos por 25 y obtenemos:

La ecuación pedida: x + 5y - 7 = 0

22.- Conocidas las rectas r: 3x + by -8 = 0 y s: ax – 3y +12 = 0, determinar el valor

de a y b para que se corten en el punto P ( 2, -3 )

3x + by - 8 = 0

ax - 3y + 12 = 0

15

Imponemos la condición para que pasen por el punto P ( 2, - 3 ), para ello simplemente

le damos valores: x = 2 y = -3.

3.2 + b(-3) – 8 = 0 6 – 3b – 8 = 0 -3b – 2 = 0 - 3b = 2 b = - 2/3

a. 2 – 3 ( -3 ) + 12 = 0 2a + 9 + 12 = 0 2a + 21 = 0 2a = - 21 a= -21/2

Ahora sustituimos estos valores que hemos calculado de a y b en sus respectivas

ecuaciones y ya ofrecemos las ecuaciones pedidas en el enunciado:

3x -2/3 y – 8 = 0 9x – 2y – 24 = 0 m ≠m‘

Se cortan en el punto P (2, -3)

-21/2 x – 3y + 12 = 0 -21x – 6y + 24 = 0 n ≠ n’

23.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P (5, 2 ) y tiene la misma

pendiente que la recta 3x + 4y – 5 = 0

P ( 5, 2 )

Si tienen la misma pendiente son rectas paralelas y además cumplen la condición de

tener distinta ordenada en origen.

1º.-Aplicamos la fórmula general del haz de rectas paralelas:

Ax + By + k = 0

2º Imponemos la condición que pasen por el punto P ( 5, 2 )dando valores a x = 2

y = 2

3.5 + 4. 2 + k = 0 15 + 8 + k = 0 23 + k = 0 k = -23

3º Sustituimos el valor de k obtenido en la ecuación dada y:

la ecuación pedida es: 3x + 4y - 23 = 0

Vamos a resolverlo por otro procedimiento:

Ecuación dada: 3x + 4y – 5= 0

Punto por el que pasa P ( 5, 2 )

1º.- Calculamos la pendiente de esta recta:

16

2º.- Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto pendiente:

P ( 5, 2 )

x1,y1

Por tanto la ecuación pedida es: 3x + 4y - 23 = 0

24.-Calcular las coordenadas de los vértices de un triángulo cuyos lado son las rectas

que a continuación damos, r: x – y – 1 = 0, s: x + y + 2 = 0 y t: y = 3x + 2

x – y – 1 = 0 x – y – 1 = 0

x + y + 2 = 0 x + y + 2 = 0

y = 3x + 2 2x + 1 = 0 x = - 1/2

-1/2 – y – 1 = 0 -1 – 2y -2 = 0 - 3 – 2y = 0 - 2y = 3 y = - 3/2

Por tanto ya hemos calculado el 1º vértice del triángulo, que corresponde a la

intersección de las rectas r y s:

A ( -1/2, -3/2)

x – y – 1 = 0 x – ( 3x + 2 ) – 1 = 0

y = 3x + 2 x – 3x – 2 -1 = 0 - 2x – 3 = 0 - 2x = 3 x = -3/2

y = 3 ( -3/2) + 2 y = -9/2 + 2 2y = - 9 + 4 2y = - 5 y = - 5/2

Por tanto ya hemos calculado el 2º vértice del triángulo, que corresponde a la

intersección de las rectas r y t:

B ( -3/2, -5/2)

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x+ y + 2 = 0 En esta ecuación sustituimos el valor de y de la 2º ecuación dada y

obtenemos:

y = 3x + 2 x + 3x + 2 + 2 = 0 4x + 4 = 0 4x = - 4 x = - 1

Sustituimos en la 2º ecuación el valor de x obtenido y nos queda:

y = 3 . ( -1 ) + 2 y = - 3 + 2 y = - 1

Por tanto ya hemos calculado el 3º vértice del triángulo, que corresponde a la

intersección de las rectas s y t:

C ( -3/2, -5/2)

25.- Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero, son: r: 3x + 4y – 8 = 0, s: 2x + y

+5=0

t: x – 2y + 12 = 0 y u: 2x + y + 2 = 0. Calcular las coordenadas de los vértices del

cuadrilátero.

1º.- Los lados del cuadrilátero serán las rectas: rs, st,tu y ur

2º.- El punto R, se corresponde con la intersección de las rectas r y s.

3x + 4y - 8 = 0

2x + y + 5 = 0 multiplicamos esta ecuación por (-4) y obtenemos: -8x -4y – 20 = 0

Por tanto el nuevo sistema que obtenemos es:

3x + 4y - 8 = 0

-8x -4y – 20 = 0

- 5x - 28 = 0 5x = - 28 x = - 28/5

Sustituimos este valor de x obtenido en la 1ª ecuación y:

3( -28/5) + 4y – 8 = 0 - 84/5 + 4y – 8 = 0 -84+20y -40= 0

20y – 124 = 0 20y = 124 simplificamos por 5: 4y = 31 y = 31/5

Por tanto ya hemos calculado el 1º vértice del cuadrilátero, que corresponde a la

intersección de las rectas r y s:

R ( -28/5, 31/5)

3º.- El punto S, se corresponde con la intersección de las rectas s y t.

18

s: 2x + y + 5 = 0

t: x – 2y + 12 =0 multiplicamos esta ecuación por (-4) y obtenemos:

-2x +4y – 24 = 0

Por tanto el nuevo sistema que obtenemos es:

2x + y + 5 = 0

-2x +4y – 24 = 0

5y - 19 = 0 5y = 19 y = 19/5

Sustituimos este valor de x obtenido en la 1ª ecuación de este nuevo sistema y:

2x + 19/5 + 5 = 0 10x + 19 + 25 = 0 10x +44 = 0 x = -44/0 = - 22/5

Por tanto ya hemos calculado el 2º vértice del cuadrilátero, que corresponde a la

intersección de las rectas s y t:

S ( - 22/5, 19/5 )

4º.- El punto T, se corresponde con la intersección de las rectas t y v.

t: x - 2y + 12 = 0

v: 2x + y + 2 =0 multiplicamos esta ecuación por (2) y obtenemos: 4x +2y + 4 = 0

Por tanto el nuevo sistema que obtenemos es:

x - 2y + 12 = 0

4x + 2y + 4 = 0

5x + 16 = 0 5x = - 16 x = - 16/5

Sustituimos este valor de x obtenido en la 2ª ecuación(v) del sistema y:

2(-16/5) + y + 2 = 0 -32/5 + y + 2 = 0 -32 +5y + 10 = 0 5y-22 = 0 y = 22/5

Por tanto ya hemos calculado el 3º vértice del cuadrilátero, que corresponde a la

intersección de las rectas t y v:

T ( -16/5, 22/5 )

4º.- El punto U, se corresponde con la intersección de las rectas u y r.

u: 2x + y + 2 = 0 multiplicamos esta ecuación por ( -4 ) y obtenemos:

r: 3x + 4y – 8 = 0

19

- 8x – 4y – 8 = 0

Por tanto el nuevo sistema que obtenemos es:

-8x – 4y – 8 = 0

3x +4y – 8 = 0

5x - 16 = 0 5x = 16 x = 16/5

Sustituimos este valor de x obtenido en la 1ª ecuación(u) del sistema y:

2(16/5) + y + 2 = 0 32/5 + y + 2 = 0 32 + 5y + 10 = 0 5y + 42 = 0

y = - 42/5

Por tanto ya hemos calculado el 4º vértice del cuadrilátero, que corresponde a la

intersección de las rectas u y r:

U ( 16/5, -42/5 )

26.- Dadas las rectas r: 3x + my – 7 = 0, s: 4x + y – 14 = 0 y t: 7x + 2y – 28 = 0,

determinar m para que las tres sean rayos de un mismo haz.

El sistema está formado por las 3 rectas:

3x + my - 7 = 0

4x + y - 14 = 0 Para resolverlo, tomamos la 2º y la 3º ecuación, estableciendo

7x + 2y - 28 = 0 un nuevo sistema que resulta:

4x + y - 14 = 0 4x + y = 14 multiplicamos por (-2) y obtenemos un nuevo

7x + 2y - 28 = 0 7x +2y = 28 sistema:

-8x - 2y = - 28

7x + 2y = 28

x = 0 x = 0

Sustituimos este valor de x obtenido en la 1º ecuación de este sistema y:

- 8 ( 0 ) – 2y = - 28 0 - 2y = - 28 multiplicamos por (-1) 2y = 28 y = 14

Con estos valores obtenidos de x e y, los sustituimos en la 1º ecuación del sistema

primitivo:

3x + my - 7 = 0 3.0 + m. 14 – 7 = 0 14m = 7 m = 7/14 m = 1/2

20

Se cumple en las 3 ecuaciones que m ≠ m’ y n ≠ n’

27.- Calcula la ecuación de la recta que pertenece al haz determinado por las rectas

dadas a continuación r: 3x + 2y + 2 = 0 y s: x – 2y + 8 = 0 y que demás pasa por el

punto P (-5,7 )

3x + 2y + 2 = 0

Punto P ( - 5, 7 )

x - 2y + 8 = 0 x , y

1º.-Aplicamos la fórmula general del haz de rectas paralelas:

Ax + By + C + k (A’x + B’y + C’) = 0

2º Imponemos la condición que pasen por el punto P ( -5, 7 ) dando valores a x =- 5

y = 7

3 ( -5) + 2(7) + 2 + k - 5 – (2) (7 ) + 8 = 0

-15 + 14 + 2 + k ( - 5 – 14 + 8 ) = 0 Vamos a ir efectuando operaciones:

- 1 + k ( - 11 ) = 0 1 – 11k = 0 1 = 11 k k = 1/11

Ahora ya sustituimos este valor obtenido de k en la fórmula de la ecuación general:

3x + 2y + 2 + (1/1) ( x – 2y + 8 ) = 0 33x + 22y + 22 + x – 2y + 8 = 0

34x + 20y + 30 = 0 simplificamos por 2 y obtenemos:

La ecuación pedida es: 17x +10y + 15 = 0

28.- Un haz de rectas tiene como rayos, las rectas r: y –x = 0 y s: y = 3x -1.

Calcular la recta del haz que pasa por el punto P ( 6, 2 ).

y - x = 0 y - x = 0

Punto P ( 6, 2 )

y = 3x -1 3x – y - 1 = 0 x , y

1º.-Aplicamos la fórmula general del haz de rectas paralelas:

Ax + By + C + k (A’x + B’y + C’) = 0

21

2º Imponemos la condición que pasen por el punto P ( 6, 2 ) dando valores a x =6 y =

2

y – x + k ( 3x – y – 1 ) = 0 2.6 + k 3 (6) – 2- 1 = 0 - 4 + 15k = 0 k =

4/15

Ahora ya sustituimos este valor obtenido de k en la fórmula de la ecuación general:

y – x + 4/15 ( 3x – y -1 ) = 0 15y – 15x + 12x – 4y – 4 = 0 ordenando y operando

obtenemos:

La ecuación pedida : -3x - 11y - 4 = 0

29.- Las rectas r: mx + 2y = 3 y s: 5x + ny = 7, se cortan en el punto P ( -1, 3 ).

Calcular m y n.

mx + 2y = 3

5x + ny = 7 P ( -1, 3 )

x, y

Sustituimos en las ecuaciones por los valore x = -1 y = 3, obteniendo:

m(-1) + 2. 3 = 3 - m + 6 = 3 - m = - 3 m = 3

5(-1) + n( 3) = 7 - 5 + 3n = 7 3n = 12 n = 12/3 n = 4

30.-Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es paralela

a la recta que pasa por los puntos A( 1,2 ) y B ( 3, - 4 )

1º.- Calcularemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B ( 3,-4)

Para ello aplicamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

A ( 1, 2 ) B ( 3, -4 )

x1,y1 x2, y2

Haciendo operaciones: - 6 ( x -1 ) = 2 ( y – 2 ) -6x + 6 = 2y -4

6x + 2y – 10 = 0

22

2º Aplicamos la fórmula de la ecuación del haz de rectas paralelas:

Ax + By + k = 0

3º.-Aplicamos la condición que pasen por el origen de coordenadas P (0, 0 )

Para ello damos valore x = 0 y = 0

6x + 2y + k = 0 6.0 + 2.0 + k = 0 k = 0

4º.- Sustituimos k por su valor, en la ecuación obtenida y obtenemos:

La ecuación pedida: 6x + 2y = 0

31.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P 2, 3 ) y es :

a).- Paralela tanto al eje X como al eje Y.

P ( 2, 3 )

Habíamos visto en el apartado de las ecuaciones de la recta en forma continua, el caso

particular de las ecuaciones cuando eran paralelas bien al eje OX, bien al eje OY.

Las formulas de las ecuaciones, quedaban reducidas a:

Paralela al eje OX x = x1

Paralela al eje OY y = y1

* Es paralela al eje X cuando x = 0

P (2,3)

x1,y1

* Es paralela al eje Y cuando y = 0

Ecuación de la recta paralela al eje OX: x = x1 x = 2 x – 2 = 0

Ecuación de la recta paralela al eje OY: y = y1 y = 3 y -3 = 0

b).- Paralela a la bisectriz del primer cuadrante:

La bisectriz del primer cuadrante, cumple las siguientes condiciones:

1º Pasa por el origen de coordenadas. Punto O ( 0, 0 )

2º.- Lleva siempre la dirección u = ( 1, 1 )

Por tanto tenemos los siguientes datos para resolver el problema:

23

O ( 0, 0 ) u = ( 1, 1 )

x1,y1 a,b

* Vamos con estos datos a calcular la pendiente de la recta:

Ahora ya estamos en condiciones de aplicar la ecuación de la recta en forma punto

pendiente:

La ecuación pedida es: y – x = 0 o de otra forma y = x

c).- Que pasa por el origen

- Tenemos que deducir la ecuación que pasa por dos puntos, los cuales son: 1º El origen

de coordenadas que es el punto O ( 0,0 ) y 2º Tiene que pasar por el punto P (2,3)

dado en el enunciado del problema.

O ( 0, 0 ) P ( 2, 3 )

x1,y1 x2, y2

Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta, que pasa por dos puntos:

Por tanto la ecuación pedida es: 3x = 2y o también 3x – 2y = 0

32.- Calcular la ecuación de la recta paralela a la de ecuación r: 2x – y = 0, sabiendo

que su ordenada en el origen es 7.

2x – y = 0

Por tanto, tenemos los siguientes datos: m = 2 y n = 7

Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma explícita:

y = mx + n y = 2x + 7

Por tanto la ecuación pedida es: 2x – y + 7 = 0

33.- Calcular los valores de m y n para que las rectas r: 2x + 2y – 5 = 0 y s: mx-7y

+7n = 0 sean coincidentes.

24

2x + 2y - 5 = 0

mx - 7y +7n = 0

* Para ser coincidentes, se tiene que cumplir:

1ª condición: m = m’

Por tanto igualando m= m´ obtenemos: m = - 7

2ª condición: n = n’

Por tanto igualando n = n’ obtenemos:

34.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas r y s de ecuaciones, r: 4x + 6y – 5 = 0 y s: x – 2y – 3 = 0, y además es

paralela a la recta t de ecuación t: 4x – 5y – 12 = 0.

4x + 6y - 5 = 0

x - 2y - 3 = 0 multiplicamos ésta por (-4) y obtenemos el siguiente sistema:

4x + 6y - 5 = 0

-4x + 8y + 12 = 0

14y + 7 = 0 14y = -7 y = -7/14 y = -1/2

25

Para calcular y, sustituimos el valor de x calculado en la 1ª ecuación y obtenemos:

4x + 6 ( -1/2) – 5 = 0 4x – 3 – 5 = 0 4x – 8 = 0 4x = 8 x = 8/2

x= 4

Por tanto el punto de corte de ambas rectas es ( 2, - ½)

t: 4x – 5y – 12 = 0 P ( 2, -1/2)

Ecuación general del haz de rectas paralelas:

Ax + By + k = 0

4x – 5y + k = 0

Vamos imponer la condición que pase por el punto P ( 2, -1/2) dando valores x =2

y = -1/2

4.2 – 5 ( -1/2) + k = 0 8 +5/2 + k = 0 16 +5 +2k = 0 21 +2k = 0

k = - 21/2

Sustituimos el valor de k obtenido y obtendremos:

La ecuación pedida: 4x – 5y – 21/2 = 0 o también 8x – 10y - 21 = 0

35.- Averiguar el valor de k para que las rectas r: 2x – 3y + 7 = 0 y s: kx + y – 2 =

0 cumplan la condición de ser paralelas.

2x - 3y + 7 = 0

kx + y - 2 = 0

26

Para que las rectas sean paralelas deben cumplir las siguientes condiciones: m = m’ y

n≠ n’, es decir tienen la misma pendiente y distinta ordenada en el origen.

Ahora igualamos m y m’, obteniendo:

36.- Calcular las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P ( 1, -2 ) y son

respectivamente paralelas a los ejes de coordenadas.

* Es paralela al eje X cuando x = 0

P (1,-2)

x1,y1

* Es paralela al eje Y cuando y = 0

Ecuación de la recta paralela al eje OX: x = x1 x = 1 x – 1 = 0

Ecuación de la recta paralela al eje OY: y = y1 y = -2 y + 2 = 0

Otra forma de hacerlo:

Aplicamos la fórmula de la ecuación general del haz de rectas paralelas:

Ax + By + k = 0

Imponemos la condición que pase por el punto P ( 1, -2) dando valores x = 1

y = -2

x – 1 = 0 x + k = 0 1 + k = 0 k = -1

Sustituimos este valor en la ecuación y obtenemos:

La ecuación pedida: x – 1 = 0

En la 2ª ecuación procedemos del mismo modo:

y + 2 = 0 y + k = 0 - 2 + k = 0 k = 2

Sustituyendo este valor en la ecuación dada, obtenemos:

La ecuación pedida: y + 2 = 0

37.- Determinar si son concurrentes las siguientes rectas, r: 2x –y-7 = 0, s: x +2y +4

= 0 t: 3x + 3y + 3 = 0.

Para ser concurrentes tienen que cumplir la condición: m ≠m’ ≠m’’ y n ≠ n’ ≠ n’’

27

2x - y – 7 = 0

x + 2y + 4 = 0

3x + 3y + 3 = 0

Por tanto las rectas son concurrentes.

38.- La recta 2x – ay = 7 pasa por el punto A ( 2,1 ) y es paralela a la recta bx – y +

2 = 0. Calcular a y b

A ( 2, 1)

x,y

Imponemos la condición a la 1º ecuación, que pase por el punto (2,1) dando valores x =2

y =1

2.2 – a.1 = 7 4 – a = 7 a = - 3

Ahora imponemos la misma condición a la 2º ecuación

2. b – 1 = -2 2b = - 1 b = - ½

39.-Calcular la ecuación del haz de rectas de vértice P ( 2,1 )

P ( 2, 1 )

X0,Y0

Aplicamos la ecuación general de la recta en forma punto pendiente:

y – 1 = m ( x – 2)

* Para cada valor que le damos a “ m “ obtendremos una recta que pase por el punto

P(2,1).

40.-Calcular la ecuación de la recta del mismo haz a que se refiere el problema

anterior, que pasa por el punto A (1, 3 ) y por su vértice P ( 2,1 )

28

A ( 1, 3 ) P ( 2, 1 )

X1,Y1 X2,Y2

Ahora ya aplicamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

- 2 ( x -1 ) = y – 3 - 2x + 2 = y – 3 La ecuación pedida es: 2x + y – 5 = 0

41.- Calcular la ecuación de la recta de ese mismo haz que pasa por el vértice P (2, 1)

y además es paralela a la recta de ecuación y = 3x +1.

P ( 2,1 )

Ordenando la ecuación: 3x – y + 1 = 0

Aplicamos la fórmula de la ecuación general del haz de rectas paralelas:

Ax + By + k = 0

Imponemos la condición que pase por el punto P ( 2, 1 ) dando valores x = 2

y = 1

3.2 – 1 + k = 0 5 + k = 0 k = -5

Sustituyendo ese valor de k obtenido en la ecuación dada, obtenemos:

La ecuación pedida: 3x – y – 5 = 0

42.-Determinar la posición relativa de las siguientes rectas, r: 2x + y – 1 =0, s:3x –

2y = 0 y

t: 3x + 2y – 5 = 0.

r: 2x + y – 1 = 0

s: 3x – 2y = 0

t: 3x + 2y – 5 = 0

29

Son concurrentes o secantes, ya que cumplen la condición: m ≠m’ ≠m’’ y n ≠ n’ ≠ n’’

43.-Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto de corte de las rectas que

tienen por ecuaciones r: 3x + 2y – 5 = 0 y s: 5x – 7y + 2 = 0 y además es paralela a

la siguiente recta

3x + 2y – 5 = 0 multiplicando por (+5) 15x + 10y - 25 = 0

5x – 7y + 2 = 0 multiplicando por (-3) -15x + 21y - 6 = 0

31y = 31 y = 1

Ahora sustituimos este valor de y en la 1º ecuación del sistema ( r ) y calculamos x:

3 .x + 2 . 1 – 5 = 0 3x – 3 =0 3x = 3 x = 1

Por tanto el punto de corte de estas 2 rectas es: P ( 1, 1)

Ahora aplicamos la ecuación general del haz de rectas paralelas:

Ax + By + k = 0

Imponemos la condición que pasen por el punto P ( 1, 1 ) dando valores x = 1

y = 1

Ordenamos la ecuación dada:

x – 2 = y + 3 nos queda: x – y – 5 = 0, y sustituimos:

1 – 1 + k = 0 k = 0

Sustituyendo el valor de k obtenido en la ecuación dada: x – y – 5 = 0, obtenemos:

La ecuación pedida: x – y = 0 o también x = y Es la bisectriz del 1º cuadrante.

44.-Dadas las rectas r: 2x – y + 4 = 0 y s: 3x + 2y – 9 = 0, calcular su punto de

intersección y las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto a ( 3, 4 ) y son

paralelas a cada una de las dadas.

2x - y + 4 = 0 multiplicando por (2) 4x - 2y + 8 = 0

3x + 2y - 9= 0 3x + 2y - 9 = 0

7x - 1 = 0 x = 1/7

Sustituimos este valor de x obtenido en la 1º ecuación del sistema dado y obtenemos:

2( 1/7) – y + 4 = 0 2/7 – y + 4 = 0 2 – 7y + 28 = 0 - 7y = - 30

y =30/7

Por tanto el punto de corte P ( 1/7, 30/7 )

30

1º Calculamos la ecuación de la paralela a la recta 2x – y + 4 = 0 que pasa por el

punto A(3,4)

Aplicamos al fórmula de la ecuación general del haz de rectas paralelas:

Ax + By + k = 0

Imponemos la condición que pase por el punto A(3,4) dando valores x = 3 y = 4

2.3 – 4 + k = 0 6 – 4 + k = 0 k = -2

Con este valor de k obtenido, procedemos a sustituirlo en la ecuación dada y obtenemos:

La ecuación de la 1ª recta pedida: 2x – y – 2 = 0

2º Calculamos la ecuación de la paralela a la recta 3x + 2y – 9 = 0 que pasa por por el

punto A (3, 4 )

Aplicamos al fórmula de la ecuación general del haz de rectas paralelas:

Ax + By + k = 0

Imponemos la condición que pase por el punto A(3,4) dando valores x = 3 y = 4

3.3 + 2. 4 + k = 0 9 + 8 + k = 0 k = -17

Con este valor de k obtenido, procedemos a sustituirlo en la ecuación dada y

obtenemos:

La ecuación de la 2ª recta pedida: 3x + 2y – 17 = 0

45.-Dadas las recta r: 2x –y = 1 y s: 3x + 2y = 26, calcular la ecuación de la recta

concurrente con ellas que pasa por el punto A ( -8, -3)

2x - y = 1 multiplicando por (2) 4x - 2y = 2

3x + 2y = 26 3x + 2y = 26

7x = 28 x = 28/7 x = 4

Ahora sustituimos el valor de x calculado en la 1ª ecuación del sistema para calcular y:

2. 4 – y = 1 8 - y = 1 - y = - 7 y = 7

Por tanto el punto de corte de ambas rectas es P ( 4, 7 )

Tenemos 2 puntos uno el de corte que acabamos de calcular P (4,7 ) y otro el del

enunciado A(-8,-3)

Por tanto aplicamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

P ( 4, 7 ) A ( -8, - 3 )

X1,Y1 X2,Y2

31

-10 ( x -4 ) = - 12 ( y – 7 ) -10x + 40 = -12y +84

10x -12y + 44 = 0

Ahora simplificamos por 2 y obtenemos: la ecuación pedida 5x – 6y + 22 = 0

46.-Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección r y r’, siendo

r: 2x + 3y – 5 = 0 y r’: x + y = 0 y el punto de intersección de las rectas s y s’,

siendo

s: x + 5y -3 = 0 y s’ : - x + y – 3 = 0.

1º Vamos a calcular el punto de corte (intersección) de las rectas r y r´:

2x + 3y - 5 = 0 2x + 3y - 5 = 0

x + y = 0 multiplicando por (-2) -2x - 2y = 0

y - 5 = 0 y = 5

Ahora con el valor de y obtenido, lo sustituimos en la 2ª ecuación para calcular x:

x + 5 = 0 x = - 5

Por tanto el punto de corte r y r’ es: P0 ( -5, 5 )

2º Vamos a calcular el punto de corte (intersección) de las rectas s y s´:

x + 5y - 3 = 0 x + 5y = 3

-x + y - 3 = 0 -x + y = 3

6y = 6 y = 1

Ahora con el valor de y obtenido, lo sustituimos en la 1ª ecuación para calcular x:

x + 5 -3 = 0 x = - 2

Por tanto el punto de corte s y s’ es: P1 ( -2, 1 )

Ya tenemos el punto de corte por donde pasa la recta P0 ( -5, 5 ) y P1 ( -2, 1 )

P0 ( -5, 5 ) P1 ( -2, 1 )

X1,Y1 X2,Y2

Aplicaremos la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

32

- 4 ( x +5 ) = 3 ( y – 5 ) - 4x – 20 = 3y – 15 ordenando, obtenemos:

La ecuación pedida: 4x + 3y + 5 = 0

47.-Dadas las rectas r determinada por el punto A(2,1) y el vector u ( a, 4 ) y la

recta s

determinada por el punto B ( -1, 4 ) y el vector v = (5 , 3 ). Calcular a para que r y

s sean paralelas.¿Para qué valores de a las rectas r y s son secantes? ¿Pueden ser

coincidentes?

Para que las rectas sean paralelas tiene que cumplirse: m = m’

Por tanto la pendiente de ambas rectas tiene que ser:

Vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por A(2,1 ) y tiene como

pendiente

Aplicamos la ecuación de la recta en forma punto pendiente:

Vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por B(-1,4 ) y tiene como

pendiente

33

Los valores de a para que r y s sean secantes serán:

No pueden ser coincidentes porque tienen distintas ordenadas en el origen.

La condición para que las rectas sena coincidentes son: m = m’ y n = n’

Las ecuaciones que tenemos, son:

3x – 5y – 1 = 0

3x – 5y +23 = 0

Con lo cual observamos que n ≠ n’

48.-Encontrar el valor de a y b para que las rectas de ecuaciones r: ax +y =3 y s:

bx + ry – 7 = 0 sean paralelas, sabiendo que la recta s para por el punto A(2,1).

ax + y - 3 = 0

bx + 5y - 7 = 0

A(2,1)

Para que las rectas sean paralelas m = m’

Ahora en las ecuaciones dadas en el enunciado, sustituimos los valores de a y b,

obteniendo:

34

Las ecuaciones pedidas son:

2x + y - 3 = 0

10x + 5y – 7 = 0

49.-La recta y+2 = m( x+3) pasa por el punto de intersección de las rectas r: 2x + 3y

+ 5= 0

y s: 5x – 2y – 16 = 0. Calcular su pendiente.

2x + 3y + 5 = 0 multiplicamos por 2 4x + 6y + 10 = 0

5x - 2y - 16 = 0 multiplicamos por 3 15x - 6y - 48 = 0

19x -38 = 0 19 x = 38

x = 2

Sustituimos este valor en la 1ª ecuación del sistema, para calcular el valor de y:

2.2 + 3y + 5 = 0 4 + 3y + 5 = 0 3y = - 9 y = - 9/3

y = - 3

Por tanto el punto de corte de las rectas r y s : P ( 2, - 3 )

x , y

Ahora sustituimos estos valores obtenidos en la ecuación inicial y obtenemos:

y + 2 = m ( x + 3 ) damos valores del punto de corte: x = y = -3

obteniendo el valor de su pendiente:

- 3 + 2 = m ( 2 + 3 ) - 1 = 5 m

La ecuación dada nos quedaría de la forma siguiente:

Haciendo operaciones y ordenando, la ecuación dada nos quedaría:

35

50.- Dado el triángulo de vértices A(2,3 ) B ( 4,7) y C ( 7, - 1 ). Calcular los puntos

medios de los lados AB y BC. Calcular la ecuación de la recta que une estos puntos

medios.

Datos:

A ( 2, 3 )

B ( 4, 7 )

C ( 7,-1 )

1º Vamos a calcular el punto medio del lado AB. Será ½ AB Es el punto M

A (2, 3 ) B ( 4, 7 ) M (?, ? )

x1,y1 x2,y2 xm, ym

Por tanto las coordenadas de punto M, son: M ( 3, 5 ) Punto medio del lado AB

36

2º Vamos a calcular el punto medio del lado BC. Será ½ BC Es el punto P

B (4, 7 ) C ( 7, -1 ) P (?, ? )

x1,y1 x2,y2 xm, ym

Por tanto las coordenadas de punto P, son: P ( 11/2, 3) Punto medio del lado BC

A continuación vamos a proceder a calcular la ecuación de la recta que une estos puntos

medios.

a) Ecuación de la recta CM

C ( 7, -1) M ( 3, 5 )

x1,y1 x2,y2

Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

6 ( ( x -7 ) = - 4 ( y + 1 ) 6x – 42 = - 4y – 4 simplificamos por 2 y nos queda

3x – 21 = - 2y – 2

Ordenando tenemos la ecuación de la recta CM: 3x + 2y -19 = 0

b) Ecuación de la recta AP

A ( 2, 3) P ( 11/2, 3 )

x1,y1 x2,y2

Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

Haciendo operaciones:

37

Ordenando tenemos la ecuación de la recta AP: 7y – 21 = 0 o también y = 3 paralela

eje OX

Ahora ya estamos en condiciones de formar un sistema de ecuaciones, para averiguar el

punto de corte de estas rectas:

3x + 2y - 19 = 0

7y - 21 = 0 despejando: 7y = 21 y = 3

Ahora sustituyendo este valor de y calculado, en la 1ª ecuación, obtenemos el valor de

x:

3.x + 2.3 – 19 = 0 3x + 6 – 19 = 0 3x – 13 = 0 x = 13/3

Por tanto el punto de corte de estas dos rectas es: (13/3, 3)

Por fin ya estamos en disposición de calcular la ecuación de la recta que une estos

puntos medios:

Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto pendiente:

(13/3, 3)

x1 y1