matematicas. integral indefinida

Analysis

Integral indefinida

OpenMaths.com 1.1.4.7.1 Ver 01:03/02/2010

NOTA

La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.7 correspondiente a

1 SCIENCE

1.1 MATHEMATICS

1.1.4 ANALYSIS

1.1.4.7.1 INTEGRAL INDEFINIDA

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Miguel Pérez Fontenla [email protected]

INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

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26/01/2010

+

| INTRODUCCIÓN 1

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2

Historia.............................................................................................................................. 2

Aplicaciones ...................................................................................................................... 3

NOCIONES BASICAS ......................................................................................................... 5

Función Primitiva .............................................................................................................. 5

Integral indefinida ............................................................................................................. 6

Propiedades de la Integral .................................................................................................. 6

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES .................................................... 8

Integrales Inmediatas ......................................................................................................... 8

Otras intrales inmediatas .................................................................................................. 11

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN........................................................................................ 12

Integración por descomposición ....................................................................................... 12

Colección de integrales por descomposición ................................................................ 12

Integración por cambio de variable (o sustitución) ........................................................... 13

Colección de integrales por cambio de variable ............................................................ 14

Integrales de la forma 2 2a x dx ............................................................................. 17

Integración por partes ...................................................................................................... 19

Ejemplo 1 ........................................................................................................................ 19

Ejemplo 2 ........................................................................................................................ 19

Ejemplo 3 ........................................................................................................................ 20

Integrales Racionales ....................................................................................................... 21

INTEGRALES IRRACIONALES: .............................................................................. 27

INTEGRALES BINOMIAS ......................................................................................... 27

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS: ........................ ¡Error! Marcador no definido. Integrales trigonométricas potenciales ............................................................................. 28

EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES ................ ¡Error! Marcador no definido.

+

| INTRODUCCIÓN 2

INTRODUCCIÓN

La integración es un concepto matemático que junto con la diferenciación conforman las dos operaciones básicas del Cálculo Infinitesimal, o Cálculo diferencial o simplemente Calculus.

Podemos introducir el concepto de Integral definida como el de un proceso de cálculo de áreas encerradas entre el gráfico de una curva, el eje cartesiano X y dos rectas verticales

definidas por dos puntos a y b del eje X. A esta área se la denota como ( )b

af x dx . A este

concepto de integral como esta área también se le conoce como integral definida

El concepto de término integral se puede también referir como el de antiderivada, es decir, como una función F cuya derivada sea la función f. En este caso se llama integral indefinida.

Aunque la utilidad del cálculo integral es alta y variada, ésta no se presentará con toda su fuerza hasta tomar contacto con la integral definida. El objetivo de este unidad temática es mostrar las técnicas más comunes para el cálculo de integrales.

Historia

Hubo matemáticos como Kepler, Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), e incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que de una u otra forma fueron precursores del concepto de integración, dado que utilizaron métodos para el cálculo de áreas que se aproximaban rudimentariamente al cálculo integral.

Los conceptos de integración fueron introducidos por Isaac Newton(1642-1727) y Gottfried Leibniz(1646-1716) en los finales del siglo XVII de forma independiente. Aunque se especuló y hubo mutuas acusaciones sobre posibles plagios, finalmente es aceptado que ambos llegaron al mismo concepto por caminos separados, aunque hay que tener en cuenta que entre ellos había diálogo sobre los progresos que ambos realizaban, pero la polémica de quien estaba plagiando al otro llegó a desembocar en una enemistad entre ambos. Incluso Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo.

Ambos creadores introdujeron el Cálculo Integral considerando los problemas inversos de sus cálculos. Newton debido a sus estudios sobre la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.

Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él. Partiendo del concepto de integral indefinida como básico, introdujo un sistema

+

| INTRODUCCIÓN 3

completo de definiciones llevándola hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje.

Laplace consideró las integrales con límites imaginarios.

Esta rama del Cálculo Integral jugó un papel importante en la creación de la teoría de funciones de variable compleja como una de sus fuentes. Así en el transcurso del siglo XVIII se formó en el Cálculo Integral un conjunto de métodos, próximo a su actual contenido y nivel. Este Cálculo, además, dio comienzo a nuevas ramas del Análisis Matemático, como por ejemplo la teoría de las funciones especiales. De él se separaron y transformaron en campos matemáticos independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo variacional. El Cálculo integral sirvió, finalmente, como una de las fuentes de la teoría de las funciones analíticas.

La definición rigurosa de la integral fue introducido por Bernhard Riemann mediante la descomposición hasta el límite de toda curva en pequeños rectángulos.

A principios del siglo XIX aparecen más sofisticadas nociones de integral, y teorías asociadas como superficies integrales en espacios tridimensionales, integrales de formas diferenciales que juegan un papel fundamental en la geometría diferencial. Estas generalizaciones surgieron de las necesidades de las ciencias Físicas y juegan un papel básico en la formulación de muchas leyes físicas con especial relevancia en electrodinámica. Ya más actualmente, el concepto abstracto de Integral de Lebesgue, desarollado por Henri Lebesgue es uno de los más reseñables.

El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo XX, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.

La actual simbología del cálculo infinitesimal también fue ideada por Gottfried Leibniz in 1675. El fue el que adaptó el símbolo integral, ∫, alargando la letra S de suma, debido a que el concepto de partida es que la integral es el sumatorio de pequeños cuadrados infinitésimos. No sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y : para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones.

La notación de integral definida con límites superior e inferior fue usada por primera vez por Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa alrededor de 1819–20.

Aplicaciones

Las aplicaciones más inmediatas del cálculo integral son la del cálculo de áreas bajo una curva así como los volúmenes de revolución. Sin embargo, el cálculo integral tiene una gran cantidad de aplicaciones prácticas en todas las ciencias, arquitectura e ingeniería. Citaremos algunas cuando menos curiosas:

Centros de gravedad. Equilibrio estático. Valor promedio de una función

+

| INTRODUCCIÓN 4

Momentos de sistemas de masas en Física. Aplicaciones médicas para control del organismo de personas diabéticas, calculando

el cambio promedio Aplicaciones térmicas que permiten controlar el flujo de calor en las viviendas

situadas en determinadas zonas desérticas. Aplicaciones económicas para calcular ganancias de empresas por diferencias entre

ingresos y costos. Incrementos de poblaciones de bacterias

+

| NOCIONES BASICAS 5

NOCIONES BASICAS

Función Primitiva

Definición: Función primitiva

Dada una función : ,f a b se denomina función primitiva de f(x), a aquella otra función que denotaremos por F(x), tal que F’(x) = f(x) en todo el intervalo de definición [a,b]

F es primitiva de f ⇔ F’(x)=f(x)

Ejemplo

La función F(x) = sin x es una primitiva de f(x) = cos x puesto que (sen x)' = cos x. La función F(x) = ln x es una primitiva de f(x) = 1/x puesto que ( lnx)' = 1/x. La función F(x) = x4 -1 es una primitiva de f(x) = x3 puesto que ( x4-1 )' = 4x3.

Proposición: No unicidad de F

Si F es la primitiva de f, cualquier otra función primitiva de f será de la forma F + k, donde k es cualquier constante real.

Demostración

Vamos a probar que si F y G son dos funciones primitivas de f F y G se diferencian en una constante: F - G = k

'F primitiva de f F'(x) = f(x)'( ) '( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0

G primitiva de f G'(x) = f(x)F x G x f x f x F x G x

Y la única función que tiene derivada 0 es la función constante k. Por tanto F(x) – G(x) = k

Ejemplo 1

Las funciones F(x) = x4 +1 y G(x) = x4 – 1 son ambas primitivas de f(x) = 4x3 pues F’(x) = 4x3 G’(x) = 4x3

Ejemplo 2

Se sabe que F(x) = sin x es una primitiva de f(x) = cos x, por tanto, también son primitivas de f(x) las funciones G(x) = sin x + 5 H(x) = sin x + ln2

+


Integral indefinida

Definición: Integral indefinida de una función

La integral indefinida (o simplemente integral) de una función f, y se representa por ( )f x dx, es el conjunto de todas las primitivas de f.

La expresión ( )f x dx se lee “integral de f(x) diferencial x”

Definición: Integrando

Dada ( )f x dx , a la función f se le denomina integrando.

Definición: Constante de integración

Por lo anterior, si F es una primitiva de f se tiene que ( ) ( )f x dx F x k , donde a k se le llama constante de integración.

Ejemplos

cos sinx dx x C 1 lndx x Cx

32

3xx dx C

Propiedades de la Integral

1. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

2. ( ) ( )kf x dx k f x dx

Demostración

1.-

Si F(x) es una primitiva de f(x) 1( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x

Si G(x) es una primitiva de g(x) 2( ) ( ) '( ) ( )g x dx G x C G x g x

Sumando (o restando) ambas igualdades nos queda

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx F x C G x C F G x C C (1)

Por las propiedades de la suma de derivadas: F’(x) ± G’(x) = (F ± G)’(x), con lo cual:

+


(F ± G)’(x) = f(x) ± g(x) lo que equivale a decir que F ± G es una primitiva de f ± g

Por tanto, si '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G x f x g x f x g x dx F G x C (2)

Entonces (F+G) es una primitiva tanto en (1) como en (2) por lo que

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

2.-

Si F(x) es una primitiva de f(x) ( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x

Pero por las propiedades de las derivadas (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva de k · f(x). Por tanto,

( ) ( ) ( ) ( )Ck f x dx k F x C k F x k f x dxk

+

| INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 8

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

Integrales Inmediatas

A partir de la tabla de funciones elementales podemos ahora completar su comprensión con los nuevos conceptos acabados de introducir. De la propia derivación de cada función elemental se deducen sus correspondientes integrales, llamadas integrales inmediatas. Es necesario aprender a usar de forma fluida estas integrales si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.

Función elemental Derivada Integral Gráfico Constante:

kxf )(

0)(' xf

ckxkdx

Identidad:

xxf )(

1)(' xf

cxdxx 2

2

Lineal: f(x)=mx+b

f’(x)=m

cbxmx

dxbmx

2

2

Potencial:

( ); 1

pf x xp p

1'( ) pf x px

cpxdxx

pp

1

1

Parábola:

2( )f x ax bx c

baxxf 2)('

Ccxbxax

dxcbxax

23

23

2

+


Raiz:

xxf )(

xxf

21)('

cxdxx 2

3

2 3

Inversa:

xxf 1)(

2

1)('x

xf

cxdxx

ln1

Logarítmica:

xxf ln)( xxf alog)(

xxf 1)('

ex

xf a·lg1)('

Exponencial:

xexf )( xaxf )(

xexf )( aaxf x ·ln)(

cedxe xx

0;1ln

aa

ca

adxax

x

Trigonométrica:

xsenxf )(

xxf cos)('

cxsenxdx cos

Trigonométrica:

xxf cos)(

xsenxf )('

csenxxdx cos

+


Trigonométrica:

xtgxf )(

2

2

1'( ) ..cos

1

f xx

tg x

( ) ln cosf x dx x c

Trigonométrica:

xarcsenxf )(

21

1)('x

xf

cx

arcsenxdx

21

1

Trigonométrica:

xxf arccos)(

21

1)('x

xf

xxdx

21

1arccos

Trigonométrica:

xarctgxf )(

211)('x

xf

cx

arctgxdx

211

Valor absoluto

00

)(

xsixxsix

xxf

1

01)('

xsixsi

xf

02

02

2

2

xsix

xsix

dxx

+


Otras integrales inmediatas

Función elemental Derivada Integral 1( ) ; 1pf x px

1

1( ) pf xpx

111

p

p

xdx Cx p

Trigonométrica: ( ) secf x x

2

sin'( ) sec tancos

xf x x xx

Trigonométrica: ( ) cscf x x

2

cos'( ) csc cotsin

xf x x xx

Trigonométrica: ( ) cotf x x

22

1'( ) cscsin

f x xx

cot ln sinxdx x C

22

1( ) seccos

f x xx

2'( ) 2sec tanf x x x 22

1sec tancos

xdx dx x Cx

22

1( ) cscsin

f x xx

2'( ) 2csc cotf x x x 22

1csc cotsin

xdx dx x Cx

( ) sec tanf x x x 2 2'( ) sec tan secf x x x x sec tan secx xdx x C ( ) csc cotf x x x 2 2'( ) csc cot cscf x x x x

csc cot cscx xdx x C

2

1( )1

f xx

32

'( )1

xf xx

2

arcsin1arccos1

x Cdx

x Cx

2

1( )1

f xx

22

2'( )1

xf xx

2

arctan1arccot1

x Cdx

x Cx

2

1( )1

f xx x

2

32 2

1 2'( )1

xf xx x

2

arcsec1arccsc1

x Cdx

x Cx x

2

1( )1

f xx

32

'( )1

xf xx

2

2

1 ln 11

dx x x Cx

2

1( )1

f xx

32

'( )1

xf xx

2

2

1 ln 11

dx x x Cx

2

1( )1

f xx

22

2'( )1

xf xx

2

1 1 1ln1 2 1

xdx Cx x

2

1( )1

f xx

22

2'( )1

xf xx

2

1 1 1ln1 2 1

xdx Cx x

+

| MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 12

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Integración por descomposición

Es el método más básico, consiste en descomponer el integrando en todos los sumandos posibles y sacar todas las constantes fuera de la integrales resultantes para tener la función dada descompuesta en el mayor número posible de funciones elementales.

Colección de integrales por descomposición

4 3 2 4 3 2 5 4 3 2 11 1 1 11 15 4 3 2

x x x x dx x dx x dx x dx xdx dx x x x x x C

4 3 2 4 3 2 5 4 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln4 3 2

dx dx dx dx dx x Cx x x x x x x x x x x

7 13 7 22 3 2 92 2 2

7 912

xx x dx x x dx x dx C x C

4 12 42 332 73 3

3 2

34 713

x xdx x x dx x dx C x Cx

2 2 3 2 3 21 1 12 10 2 10 1 2 10 103 2 3

x x dx x dx xdx dx x x C x x C

sin 3tan sin 3 tan cos 3ln cosx x dx xdx xdx x x C

22 4 2 4 2 5 31 21 2 1 2 15 3

x dx x x dx x dx x dx dx x x x C

5 1

2 2 2 7 32 2 2 217 3

t tdt t t t dt t tdt tdt t dt t dt t t C

3 2 3 22

2 2 2 2 2

2 7 4 1 1 12 7 4 2 7 1 4 7 4x x x xdx dx dx dx xdx dx dx x x Cx x x x x x

5 1 7 13 372 2 2 22 4 1 4 42 4 2 4 8 8

7 7x xdx dx dx x dx x dx x x C x x C

x x x

2 3 3 2

2 2

7 13 cos sin 7 sin 7 ln 11 1

x x dx x x C dx x x x x Cx x

+


Integración por cambio de variable (o sustitución)

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable. La única forma de dominar este método es la práctica de un número suficiente de ejercicios que te permita poder discernir cual es el cambio de variable más adecuado en cada caso.

Propiedades

1 1( )'( ) ( ) 11

mm u xu x u x dx C m

m

11 '( )sec ( ) tan ( ) sec ( )u x u x u x dx u x C

2 '( ) ln ( )( )

u x dx u x Cu x

12 '( )csc ( )cot ( ) csc ( )u x u x u x dx u x C

3 ( ) ( )'( ) u x u xu x e dx e C 13

2

arcsin ( )'( )arccos ( )1 ( )

u x Cu x dxu x Cu x

4 ( )( )'( )

ln

u xu x eu x a dx C

a

14 2

arctan ( )'( )cot ( )1 ( )

u x Cu x dxarc u x Cu x

5 '( )sin ( ) cos ( )u x u x dx u x C 15

2

arcsec ( )'( )arccsc ( )( ) ( ) 1

u x Cu x dxu x Cu x u x

6 '( )cos ( ) sin ( )u x u x dx u x C 16 2 2

2 2

'( ) ln ( ) ( )( )u x dx u x u x a C

u x a

7 22

'( ) '( )sec tan ( )cos ( )

u x dx u x xdx u x Cu x

17 2 2

2 2

'( ) ln ( ) ( )( )u x dx u x u x a C

u x a

8 22

'( ) '( )csc cot ( )sin ( )

u x dx u x xdx u x Cu x

18 2

'( ) 1 ( ) 1ln( ) 1 2 ( ) 1u x u xdx C

u x u x

9 ln sec tan

secln tan

2 4

x x Cxdx x C

19 2

'( ) 1 1 ( )ln1 ( ) 2 1 ( )

u x u xdx Cu x u x

10 ln c cotcsc

ln tan2

cs x x Cxdx x C

20

2 22 2 21 1'( ) .2 2

u xu x a u x dx u x a u x a arcsen C

a

21 2 2 2 2 2 2 21 1'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

u x u x a dx u x u x a a L u x u x a C

22 2 2 2 2 2 2 21 1'( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) .2 2

u x u x a dx u x u x a a u x u x a C

+


Todas las demostraciones se hacen de forma similar, derivando mediante la Regla de la Cadena la expresión resultante y viendo que coincide con la primitiva. Vamos a escribir la demostración de la primera y la 19 y la última 22.

1.- '1 1( )

1

m mu xm

( )

1

mu x

m'( ) ( ) '( )mu x u x u x

19.-

' '

2

'( ) 1 ( ) ( '( )) 1 ( )1 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 ( )ln ...1 ( )2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 1 ( )1 ( )

1 ( )1...2

u x u x u x u xu x u x u xu xu x u x u x u xu x

u x

'( ) '( ) ( )1 ( )

u x u x u xu x

'( ) '( ) ( )u x u x u x

21 ( )u x

12

2 2

'( ) '( )1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

u x u xu x u x u x

22.-

'2 2 2 2 2

' '2 2 2 2 2

1 1( ) ( ) ln ( ) ( ) ...2 2

1 1... ( ) ( ) ln ( ) ( ) .......2 2

.............. ..............................

u x u x a a u x u x a

u x u x a a u x u x a

inacabado

Colección de integrales por cambio de variable

2

4243 32

( ) 1 ; '( ) 2

1( )2 1 '( ) ( )4 4

u x x u x x

xu xx x dx u x u x dx C C

2

2222 2

( ) 3; '( ) 2

31 1 1 ( )3 2 3 '( ) ( )2 2 2 2 4

u x x u x x

xu xx x dx x x dx u x u x dx C C

4433

( ) sin ; '( ) cos

sin( )cos sin '( ) ( )4 4

u x x u x x

xu xx xdx u x u x dx C C

3 2

2 2 3

3 3( ) 1 ; '( ) 3

2 ( )1 3 2 '( ) 2 13 3 3 32 ( )1 1u x x u x x

u xx x u x xdx dx dx C Cu xx x

3 2

32 2

3 3

( ) 2 7; '( ) 6

ln 2 71 6 1 '( ) 1 ln ( )2 7 6 2 7 6 ( ) 6 6

u x x u x x

xx x u xdx dx dx u x C Cx x u x

+


2 2 2 2

( ) cos ; '( ) sin

1 tan 1 2 tan tan sec 2 tan sec 2 tan ...

sin '( )... tan 2 tan 2 tan 2ln ( ) tan 2ln coscos ( )

u x x u x x

x dx x x dx x x dx xdx xdx

x u xx dx x dx x u x C x x Cx u x

3 3 3

3 2

2 2 ( ) ( )

( ) ; '( ) 3

5 5 5 55 3 '( )3 3 3 3

x x u x u x x

u x x u x x

x e dx x e dx u x e dx e C e C

cos cos ( ) ( ) cos

( ) cos ; '( ) sin

sin sin '( )x x u x u x x

u x x u x x

x e dx x e dx u x e dx e C e C

( ) ( )

1( ) ; '( )2

2 2 '( ) 2 22

x xu x u x x

u x x u xx

e edx dx u x e dx e C e Cx x

3 2

2 3 2 3 3

( ) ; '( ) 3

5 5 5 55 sin 3 sin '( ) sin ( ) cos ( ) cos3 3 3 3

u x x u x x

x x dx x x dx u x u x dx u x C x C

2

22 2 2 2 2

( ) 5 ; '( ) 50

13 13 50 13 '( ) 13 13tan ( ) tan 5cos (5 ) 50 cos (25 ) 50 cos ( ) 50 50

u x x u x x

x x u xdx dx dx u x C x Cx x u x

2 2 2

( ) 3 ; '( ) 2

1 1 1 1csc 3 3csc 3 '( ) csc ( ) cot ( ) cot 33 3 3 3

u x x u x

xdx xdx u x u x dx u x C x C

2

2 2 22 2

1 1( ) ; '( )

3 1 1 1sec 3 sec 3 '( )sec ( ) 3tan ( ) ...

1... 3tan

xu x u xx x

x xdx dx u x u x dx u x Cx x x x

x Cx

( ) 2 ; '( ) 2

1 1 1sec 2 tan 2 2sec 2 tan 2 '( )sec ( ) tan ( ) sec ( ) ...2 2 2

1... sec 22

u x x u x

x xdx x xdx u x u x u x dx u x C

x C

2

2 2 2 2

( ) ; '( ) 2

2

1 1csc cot 2 csc cot '( ) csc ( )cot ( ) ...2 2

1 1... csc ( ) csc2 2

u x x u x x

x x x dx x x x dx u x u x u x dx

u x C x C

+


2 2 2( ) cos 2 ; '( ) 2sin 2

sin 2 1 2sin 2 1 '( ) 1 1cos 2 2 cos 2 2 ( ) 2 ( ) 2cos 2

u x x u x x

x x u xdx dx dx C Cx x u x u x x

2 2 2( ) 2 ; '( ) 2

2 2 '( ) arcsin ( ) arcsin 21 4 1 ( )1 2u x x u x

u xdx dx dx u x C x Cx u xx

22 2( ) 3 ; '( ) 3

1 1 3 1 '( ) arctan ( ) arctan 31 9 3 3 1 ( ) 3 31 3u x x u x

u x u x xdx dx dx C Cx u xx

2 2 24 4( ) ; '( )5 5

5 4 4arcsin1 1 1 '( ) arcsin ( )4 5 55 4 4 425 16 1 ( )41

5xu x u x

xu x u xdx dx dx C C

x u xx

22 2

3 3( ) ; '( )2 2

2 3 3arcsin1 1 2 '( ) 2arctan ( )23 24 3 4 1 ( )4 3 4 3 2 331

2xu x u x


x u xx

2 2 21( ) ; '( )

3 3

1 arcsec1 1 1 '( ) arcsec ( )3 33 3 3 39 ( ) ( ) 1

13 3

xu x u x


x x u x u xx x

22 2

( ) 6 ; '( ) 6

1 1 6 1 '( ) 1 1 ( ) 1ln ...6 1 ( ) 1 2 ( ) 16 6 66 1

1 6 1... ln2 6 6 1

u x x u x

u x u xdx dx dx Cx u x u xx

x Cx

2

2 2 2( ) 5 ; '( ) 5

2

1 1 5 1 '( ) 1 ln ( ) ( ) 1 ...5 5 525 1 ( ) 15 1

1... ln 5 (5 ) 15

u x x u x

u xdx dx dx u x u x Cx u xx

x x C

22 21( ) ; '( )

2 2

1 11 1 1 '( ) 1 1 1 ( ) 12 2ln ln4 2 2 1 ( ) 2 2 1 ( ) 4 11 22

xu x u x

xu x u xdx dx dx C Cxx u x u xx

+


Integrales de la forma 2 2a x dx

Se estudia aquí esta integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante.

Para resolverla se usa el cambio de variable:

sin

sin cos cosd a tdxx a t a t dx a tdt

dt dt

Así, 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin 1 sin cos cosa x a a t a t a t a t

Por tanto

2 2 2 2 2 2 2

(*)

22 2 2 2

1 1 1 1cos cos cos cos 2 cos 2 ...2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1... 2 cos 2 sin 2 sin 2 ...2 2 2 2 2 2 2 2

a x dx a t a tdt a t dt a t dt a dt a tdt

aa t a tdt a t a t C t t C

Recordando que sen 2 t = 2 sen t · cos t,

2 21 1... sin 22 2 2 2a at t C t

2

2

sin cos sin cos ...2at t C t t t C

Deshaciendo el cambio sin sin arcsinx xx a t t ta a

, ésto junto con la 1ª fórmula

fundamental de la trigonometría sen2t + cos2t = 1, obtenemos que

2 2 221 sin 1 x a xcost t

a a

, se llega, finalmente, a la siguiente igualdad:

2 2 2 22 2 2 2

2arcsin arcsin2 2a x x a x a x xa x dx C a x C

a a a a a

Ejemplo 1

2

22 2 2

3sin ; 3cos

sin ;cos 1 ; arcsin3 3

9 3 1 3 1 sin 3cos 9cos ...3

1 1 9 9 9 9 9 9... 9 cos 2 2cos 2 sin 2 sin 2 ...2 2 2 4 2 4 2 4

9 9... 2sin cos2 4

x t dx tdt

x x xt t t

xx dx dx t tdt tdt

t dt t t dt t t C t t C

t t t C

2

3

9 arcsin 12 3 3 3

x x x C

+


Ejemplo 2

Aplicando directamente el resultado teórico:

2 288 arcsin 82 88

x xx dx x C

+


Integración por partes

Teorema: Fórmula de la integración por partes

Sean u = f(x) y v = g(x) son dos funciones de x. Se verifica que

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )u x v x dx u x v x v x u x dx

Dicho en forma abreviada u·dv = u·v - v·du

Demostración

Por la fórmula de la derivada del producto de funciones, tenemos:

d(u·v) = u·dv + v·du u·dv = d(u·v) – v·du,

de donde, integrando en ambos miembros

u·dv = d(u·v) - v·du u·dv = u·v - v·du

Método Práctico: Para la elección de las partes, debemos seguir el orden de las reglas siguientes: (recuerda la palabra ALPES)

( )

lnarccos log cos

log... logaritmicas trigonométricaspolinómica exponencial

EP SA L

f x

f x

b

arcsenx Lx x senxP x ax x xe

arctgx xarc x

Ejemplo 1

lnx xdx

Solución

Elegimos las partes siguiendo el criterio descrito tomando como v(x) aquella función difícil de integral y que su derivada sea fácil de integral

2 2 22

2

1ln1 ln 1ln ln

2 2 2 42

u x du dxx x x xx x xdx x dx x C

xxdv xdx v xdx

Ejemplo 2

+


sinx xdx

Solución

Elegimos las partes siguiendo el criterio descrito tomando como v(x) aquella función difícil de integral y que su derivada sea fácil de integral

sin cos cos cos sinsin sin cos

u x du dxx xdx x x xdx x x x C

dv xdx v dx x

Ejemplo 3

sinxe xdx

Solución

Para esta integral hay que realizar dos veces el método sin cos

sin sin cos ...x x xx x x

u x du xdxe xdx e x e xdx

dv e dx v e dx e

Si nuevamente integramos por partes cosxe xdx resulta

cos sincos cos sinx x x

x x x

u x du xdxe xdx e x e xdx

dv e dx v e dx e

Entre ambas resulta:

sin sin cos sin sin sin cos2

xx x x x x ee xdx e x e x e xdx e xdx x x C

Ejemplo 4

1x xdx

Solución

3 33

3 5

cos2 21 1 1 ...2 3 31 1

32 4... 1 13 15

u x du xdxxx xdx x x dx

dv xdx v x

x x x C

+


Integrales Racionales

Son de la forma ( )( )

P x dxQ x siendo P(x) y Q(x) dos polinomios de coeficientes reales y

exponentes naturales.

Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata de una integral inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya vimos, es rápida. De no ser de este tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente:

El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces:

Factorizamos el denominador Q(x) mediante la búsqueda de sus raíces. Esto puede dar lugar, en función al tipo de raíces resultantes de a cuatro resultados diferentes:

Raices Reales Simples ( RRS ). Raices Reales Múltiples ( RRM ). Raices Imaginarias Simples ( RIS ). Raices Imaginarias Múltiples ( RIM ).

Vamos a estudiar cada uno de estos cuatro casos por separado, indicando los pasos a seguir así como las operaciones a realizar.

Raices Reales Simples: ( RRS )

Supongamos que resolvemos Q(x)=0 y obtenemos las raíces r1, r2, …,rn entonces podemos descomponer la fracción algebraica del radicando en suma de fracciones simples

1 2

1 2

( ) ...( )

n

n

AP x A AQ x x r x r x r

donde los A1, A2, …, An se obtienen de forma sencilla,

aunque laboriosa, haciendo la suma de las fracciones simples e igualando los numeradores. Una vez obtenidos estos coeficientes, se descompone la integral de la siguiente manera:

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

( ) ( ) 1 ... ...( ) ...

1... ...

n

n n n n

n

n n

AP x P x A Adx dx dxQ x a x r x r x r a x r x r x r

AA Adx dx dxa x r x r x r

Donde an es el coeficiente principal del polinomio Q(x)

Ejemplo

2 2

31 23 2

2 10 2 2 10 2 ...2 5 6 1 2 3 1 2 3

Ax x x x A Adx dx dxx x x x x x x x x

Calculamos los coeficientes A1, A2 y A3:

+


231 2

1 2 3

21 2 3 1 2 3 1 2 3

3

2 10 2 ...1 2 3 1 2 3

2 3 1 3 1 2... ...

1 2 3

4 6 3 2...

1

Ax x A Ax x x x x x

A x x A x x A x xx x x

A A A x A A A x A A Ax

Igualando los numeradores y resolviendo el sistema: 1 2 3 1

1 2 3 2

31 2 3

2 110 4 2

12 6 3 2

A A A AA A A A

AA A A

De donde:

2

3 2

2 10 2 1 2 1 ...2 5 6 1 2 3

... ln 1 2 ln 2 ln 3

x x dx dx dx dxx x x x x x

x x x C

Raices Reales Múltiples ( RRM )

Supongamos que al factorizar Q(x) resultan raíces múltiples con un orden de multiplicidad cada una de ellas y que alguno de ellos sea mayor que 1. El proceso que se sigue es análogo al previo pero, como ejemplo, supongamos que la raíz r1 tiene multiplicidad 1, la raíz r2 tiene multiplicidad 3, la raíz r3 tiene multiplicidad 2, y las restantes r4,…, rm tienen multiplicidad 1, en este caso quedaría

2 21 2 3

31 23 2

1 2 3

31 23 2

1 2 3

( ) ( ) ...( ) ...

1... ... ...

1... ...

n m

m

n m

m

n m

P x P xdx dxQ x a x r x r x r x r

A AA A dxa x r x rx r x r

A AA Adx dx dx dxa x r x rx r x r

Ejemplo

2 231 2

2 33 ...( 1) 1 1 1 1 1 1

Ax x A Adx dx dxx x x x x x x

Calculamos los coeficientes A1, A2 y A3:

221 2 331 2

2 3 33

21 2 1 1 2 3

3

1 1...

( 1) 1 1 1 1

2...

1

A x A x AAx A Ax x x x x

A x A A x A A Ax

+


Igualando los numeradores y resolviendo el sistema: 1 1

2 1 2 1

3 2 11 2 3

1 10 2 2 2

10

A AA A A A

A A AA A A

De donde:

2

2 33

2

1 2 1 ...( 1) 1 1 1

2 1... ln 11 2 1

x dx dx dx dxx x x x

x Cx x

Raices Imaginarias Simples ( RIS )

Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0, siendo Q(x) un plinomio de 5º grado, y obteniéndose una RRS, dos RRM, y un polinomio de 2º grado que no tiene ya raices reales y sus raices imaginarias son z1 y z2 :

1 1431 2

2 131 2

3 1 21 1 4 51

4

5

0

r ar b

P x Mx N dxA dxA dx A dxQ x dxr bQ x x a x b x r x rx br a bi

r a bi

Las integrales 1, 2 y 3 son inmediatas, de tipo logarítmico las dos primeras y potencial la última. En cuanto a la 4, podemos llevar a cabo en su denominador una agrupación del tipo siguiente:

(x-z1)(x-z2) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] = [(x-a)-bi][(x-a)+bi] = (x-a)2 – (bi)2 = (x-a)2 +b2 .

Con lo cual, la 4, nos queda así:

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

1 ...

2 2 2 1... ...2 2

Mx N dx xM dx N dxx a b x a b x a b

M x a M adx dx N dxx a b x a b x a b

Donde la primera integral es inmediata de tipo logarítmico y las otras dos tipo arco:

Ejemplo

2 2

1 24 2 22 2 2

2 3 2 3 ...1 1

x x x x A A Mx Ndx dx dxx x x xx x x

2 22 22 2

...2 2

Ma N x aM dx ML x a b Ma N L x a b arctg Cb bx a b

+


Calculamos los coeficientes A1, A2 y M y N:

2 2 221 21 2

4 2 2 2 2 2

3 21 2 1 2

2 2

1 12 3 ...1 1

...1

A x x A x Mx N xx x A A Mx Nx x x x x x x

A M x A N x A Ax x

Igualando los numeradores y resolviendo el sistema: 1

2

1 1

2 2

0 12 5

1 13 3

A M MA N N

A AA A

De donde:

2

4 2 2 2 2

2

2 3 1 3 5 ...1 1

3 1... ln ln 1 5arctan2

x x xdx dx dx dx dxx x x x x x

x x x Cx

Raíces Imaginarias Múltiples ( RIM ) Método de HERMITE:

La descomposición de )()(

xQxP

según HERMITE, es tal como sigue:

1. Las raices reales simples se descomponen como en los casos anteriores, ó sea, 1

1

Ax r

2. Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin tener en cuenta el grado de multiplicidad).

3. Las raices imaginarias simples se descomponen igual que en el caso RIS visto previamente.

4. Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen simples, es decir como hemos indicado anteriormente (por lo tanto sin tener en cuenta su grado de multiplicidad).

5. El último término característico de esta descomposición de HERMITE es: La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raices reales múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno. A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese resultado en el denominador.

Se deriva a continuación este último término con respecto a x.

Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).

Se multiplican ambos miembros por Q(x),

+


Se calculan los coeficientes indeterminados.

Se integra en la expresión de la descomposición inicial.

El desarrollo de este método se ampliará en cursos superiores.

Nota: En la integración según la descomposición de HERMITE, si se realizó correctamente, no pueden aparecer nunca integrales inmediatas de tipo potencial.

El grado de P(x) es mayor ó igual que el grado de Q(x), entonces:

Se realiza la división de P(x) entre Q(x), dando lugar a un coiciente C(x) y un resto R(x) de manera que siempre se verifica P(x)=Q(x)C(x) + R(x). Divido esta igualdad por Q(x):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

P x R x P x R xC x dx C x dx dxQ x Q x Q x Q x

Donde ( )C x dx es una integral polinómica elemental y la integral ( )( )

R x dxQ x tiene en el

numerador un polinomio de grado inferior al del denominador, que es el caso que hemos resuelto previamente.

Ejemplo

5 4 3 2

4 3 2

3x -2x -3x +11x -12x+6 ...3 - 6 9 -12 6

dxx x x x

Dividiendo los polinomios resulta (x+4/3) de cociente y -4x3+11x2-2x-2 de resto por lo que

3 2 3 2

24 3 2 2

1 22 2

4 4 11 2 2 4 4 11 2 2... ...3 3 - 6 9 -12 6 3 3 1 2

4 1... ...3 3 1 21

restococientedivisor

x x x x x xx dx x dx dxx x x x x x

A A Mx Nx dx dxx xx

Calculamos los coeficientes A1, A2 y M y N:

3 21 2

2 2 22

3 21 1 2 1 1 2

2 2

4 11 2 2 ...1 21 2 1

2 2 2 2 21 2

x x x A A Mx Nx xx x x

A M x A A M N x A M N x A A Nx x

Igualando los numeradores y resolviendo el sistema:

+


1

1 2

1 1

1 2 2

4 1011 2 8

2 2 2 142 2 2 17

A M MA A M N N

A M N AA A N A

De donde:

2 2 2

22

4 1 1 1 1... 14 17 10 8 ...3 3 1 2 21

4 1 1 8... 14ln 1 17 5ln 2 arctan2 3 3 1 2 2

xx dx dx dx dx dxx x xx

x xx x x Cx

+


INTEGRALES IRRACIONALES:

Son de la forma 2,R x ax bx c dx Pueden ocurrir los casos siguientes:

1. Si 0a se efectua el cambio: tx.acbxax 2 .

2. Si 0a

.xtxxacbxax:cambio0c;cx.tcbxax:cambio0c

2

2

INTEGRALES BINOMIAS

Son de la forma m nx a bx dx donde m, n, p Q. Pueden ocurrir los casos siguientes:

Si p Z

.nymdeadoresmindenolosde.m.c.melsiendo,txCambio:0p

.NewtondebinimioelporrDesarrolla:0p

De este modo se reduce el problema a una integral racional.

Si .pdeadormindenoelsiendo,tbxa:CambioZ

n1m n

Si

.pdeadormindenoelsiendo,x.tbxa:CambioZp

n1m nn

+


INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES

Son de la forma sin cosn mx xdx Pueden ocurrir los casos siguientes:

Caso 1: n impar

Hacemos el cambio de variable:

2

2

1 .cos

.1

senx tx t dtdx

t

1

2 2 22

n impar n-1 par

1sin cos 1 1 ....1

nnn m m mx xdx t t dt t t dtt

Ejemplo

2

3 133 4 2 4 2 4 4 622

cos ;sin ;

sin 1

5 7 5 7

1sin cos 1 1 ...1

cos cos5 7 5 7

t xdt xdx

x t

x xdx t t dt t t dt t t dtt

t t x xC C

Caso 2: n par y m impar

Hacemos el cambio de variable:

2

2

cos 1 .

.1

x tsenx t dtdx

t

Ejemplo

2

3 24 3 4 2 2 4 2 4 6 8

sin ;cos ;

cos 1

5 7 9 5 7 9

sin cos 1 1 1 2 ...

2 cos cos cos5 7 9 5 7 9

t xdt xdx

x t

x xdx t t t dt t t dt t t t dt

t t t x x xC C

Caso 3: n par m par

En este caso aplicamos las fórmulas trigonométricas siguientes

+


2 2 2 2

2 2 2 2

1 cos 2cos 2 cos sin 1 2sin sin2

1 cos 2cos 2 cos sin 2cos 1 sin2

xx x x x x

xx x x x x

Ejemplo

22 2 21 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1sin cos cos 2 ...

2 2 4 4 41 1 cos 4 1 1cos 4 sin 4

4 4 2 4 8 8 4 8 32

x x x xx xdx dx dx xdx

x x x x x xdx xdx x C

+

| 30

Uℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∊∃ A⨯Bεαβηθλμξσφφδεε

·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♯⨁⨂×

matematicas. integral indefinida

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