Material elaborado pelo Prof Francisco Leal Moreira - Prof Sérgio p

UTFPR- UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL

PROCESSOS QUÍMICOSTOLEDO PARANÁ

INTEGRAL INDEFINIDA E DEFINIDA

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INTEGRAL INDEFINIDA Em matemática, cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz o efeito da primeira. Assim, a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação inversa da multiplicação e a extração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora interessados na operação inversa da derivação.

DERIVAÇÃO

F F’= f

PRIMITIVAÇÃO

1. PRIMITIVA Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um intervalo I se F’(x) = f(x), Ix∈∀ . Exemplos: As funções dadas por F1(x) = x2, F2 (x) = x2 + 1, F3(x) = x2 – 1 são primitivas da função dada por f(x) = 2x.

A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F(x) + k chamada de primitiva geral ou integral indefinida da f que é notada por ∫ f(x)dx ou seja ∫ f(x)dx = F(x) + k.

2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas. Exemplo: kxxdx2 2 +=∫

54

E1) Determine: 1) ∫ 2xdx 2) ∫ 5dx 3) ∫ dx3x 2 4) ∫ + )dx4x(5x 34

3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO 1. ∫ ∫= f(x)dxccf(x)dx , sendo c uma constante

2. ∫ ∫ ∫±=± g(x)dxf(x)dxg(x)]dx[f(x)

3. ∫ += kxdx

4. ∫ += kedxe xx

5. ∫ += k|x|lnx

dx

6. ∫ +−= kxcosxdxsen

7. ∫ += kxsenxdxcos

E2) Encontre:

1) ∫ dx2 2) dx)e(3 x∫ + 3) dx)x2(1∫ −

4) ∫ dxe 5) dx)e5(ln2 x∫ − 6) dx)x32

54(∫ −

7) ∫ +− dx)6lne2(π 8) dx)e(3e x∫ + 9) dx)x

3x2(∫−

10) ∫ − dx)xsenx(cos 11) ∫ + dx)6xcos3( 12) ∫ + dx)xsen51(

55

8. -1psendo,k1p

xdxx1p

p ≠++

=+

∫

E3) Encontre: 1) dx3x 2∫ 2) ∫ ++ 2)dxx-3xx-(2x 234 3) ∫ + 3)dx -5x2x-(x 35

4) ∫ 23xdx 5) ∫ dxx 6) ∫ x

dx

7) ∫ dxxx 8) ∫ dxxx3

9) )dxx3

x2( 2+∫

10) )dxx3

2x5( 42 −∫ 11) dx

x1x2x

2

3

∫−+ 12) dx)x

3x1( 2 −∫

9. Se u = f(x) , 1pse,k1p

udx'uu1p

p −≠++

=∫+

E4) Encontre: 1) 3dx1)(3x 4∫ − 2) dx1)(3x 4∫ − 3) dxx)-(1 5∫

10. Se u = f(x) , kedx'ue uu +=∫

E5) Encontre: 1) 4dxe4x∫ 2) dxe4x∫ 3) dxe-x∫

11. Se u = f(x) , =∫ udx'u ln | u | + k

E6) Encontre:

1) dx3x

2x2∫ −

2) dx3x

x2∫ −

3) dx25x

1∫ +

56

12. Se u = f(x) , kucosdx'u.usen +−=∫

E7) Encontre: 1) 4dx4x.sen ∫ 2) dx.4x sen ∫ 3) dxsen(-x).∫

13. Se u = f(x) , kusendx'u.ucos +=∫

E8) Encontre: 1) dxx2).3xcos( 2∫ − 2) dxx).3xcos( 2∫ − 3) dx)2x5cos(∫ +

E9) Encontre:

1) 2dx1)(2x 3∫ − 2) xdx2.1x 2∫ − 3) xdx)4x3( 52∫ +

4) ∫− 2x5

xdx 5) ∫ − 4)x1(dx 6) ∫ + 32 2)(x

xdx

7) ∫−3 2x3

xdx 8) ∫ −12xdx 9) ∫ + 53)(2x

dx

10) dxx3

x25e3 2

x∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 11) ∫ − dxe 1x3 12) ∫ +1x

dxx3

2

13) ∫ −1xedx2 14) ∫ − 2x4

dx 15) ∫ + dxxe3 32x

16) ∫ +10xxdx20

2 17) dxe5 2x

∫ 18) ∫ xedx

19) ∫ dx.xcosx 2 20) ∫ dx.x3sen 21) ∫ dx.xcos.xsen 5

22) ∫ dx.xsen.e xcos 23) ∫ dx.xtg 24) ∫ dx.xgcot

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E10) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelo ponto P, sabendo que: 1) P(2,1) e f ’(x)= 2x 2) P(1,5) e f ’(x)= 6x2 - 2x + 5 3) P(-2,-3) e f ’(x) = 3x2 + x – 1

4) P(0,-2) e f ’(x) = ex – 2 5) P(1,5) e f ’(x) = x2

E11) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelos pontos (0,2) e (-1,8), sabendo que y" = 12x2. Importante: A taxa de variação de f(x) em relação a x é o mesmo que a derivada de f(x) em relação a x. E12) O preço de uma máquina desvaloriza-se a uma taxa de -20x mil reais ao ano. Se a máquina durou quatro anos e seu valor residual foi R$ 40.000,00, qual foi seu preço inicial ? E13) O preço de uma mercadoria, que atualmente custa R$ 1.000, varia, com a inflação, a uma taxa de 40x reais ao mês. Quantos custará daqui a cinco meses ? E14) Uma indústria que tem 225 operários produz 750 unidades de certo produto. A taxa de variação da

produção em relação ao número de operários é dada por x

25 . Qual será a produção da fábrica, se

forem admitidos mais 31 funcionários ? E15) Uma empresa estima que o crescimento de sua renda mensal, em milhões, em função do tempo, em meses, será à taxa de 3(t + 4)-1/2, a partir de hoje. Sabendo que a renda atual da empresa é de 12 milhões, calcule a renda daqui a um ano. E16) Daqui a x anos, a população de certo país variará a uma taxa estimada de e0,1x milhões de

habitantes por ano. Se a população atual é de 120 milhões de habitantes, qual a função P = f(x) que dá a população em função do tempo? Qual será a população desse país daqui a 20 anos?

E17) Um certo bem desvaloriza-se a uma taxa de –10x reais ao ano. Se o bem durou três anos e seu valor

residual foi R$ 105,00 ; qual foi seu preço inicial ? E18) Determine uma função Produção P = f(x) que tenha um ponto de máximo para x=2 e que passe pela origem, sabendo que sua derivada de segunda ordem é P’’= -12x.

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4. RESPOSTAS E1)1) x2 + k 2) 5x + k 3) x3 + k 4) x5 + x4 + k E2) 1) 2x + k 2) 3x + ex + k 3) x – 2ln |x| + k 4) ex + k 5) xln 2 - 5ex + k

6) k|x|ln32

5x4

+− 7) (π - 2e + ln 6)x + k 8)3ex + ex + k 9) 2x – 3ln |x| + k

10) sen x + cos x + k 11) 3sen x + 6x + k 12) x – 5cos x + k

E3) 1) x3 + k 2) kx22

xx4

x5x2 2

345

++−+− 3) kx32x5

2x

6x 246

+−+− 4) kx31+−

5) k3x2 3

+ 6) kx2 + 7) k5x2 5

+ 8) kx33 + 9) kx3|x|ln2 +−

10) kx1

x25

3++− 11) k

x1|x|ln2

2x 2

+++ 12) k3x2

x31 3

+−−

E4) 1) k5

)1x3( 5+

− 2) k15

)1x3( 5+

− 3) k6

)x1( 6+

−−

E5) 1) ke x4 + 2) k4

e x4+ 3) k

e1x+−

E6) 1) k|3x|ln 2 +− 2) k|3x|ln21 2 +− 3) k|2x5|ln

51

++

E7) 1) –cos 4x + k 2) kx4cos41

+− 3) cos (-x) +k

E8) 1) k)3xsen( 2 +− 2) k)3xsen(21 2 +− 3) k)2x5sen(

51

++

E9) 1) k4

)1x2( 4+

− 2) k3

)1x(2 32

+−

3) k36

)4x3( 62+

+ 4) – kx5 2 +−

5) k)x1(3

13+

− 6) k

)2x(41

22+

+− 7) k

4)x3(33 22

+−−

8) k1x2 +−

9) k)3x2(8

14+

+

− 10) kx3|x|ln

25e3 x +−− 11) k

3e 1x3

+−

12) k|1x|ln31 3 ++

13) ke

21x+

−−

14) k|2x4|ln41

+− 15) k2

e3 3x2

++

16)10ln(x2 +10) + k

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17) 10 ke 2x

+ 18) ke1x+− 19) kxsen

21 2 + 20) kx3cos

31

+−

21) k6

xsen 6+ 22) ke xcos +− 23) k|xcos|ln +− 24) k|xsen|ln +

E10) 1) y = x2 – 3 2) y = 2 x3 – x2 + 5x – 1 3) y = x3 + 2

x 2 – x + 1

4) y = ex – 2x –3 5) y = 2ln x + 5 E11) x4 – 5x + 2 E12) V = 200.000 E13) R$ 1.500,00 E14) P(256) = 800 E15) R(12) = 24 milhões E16) Aproximadamente 183,8 milhões de habitantes E17) 150 E18) P = – 2x3 + 24x

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INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real

representado por ∫b

af(x)dx e calculado por F(b) - F(a).

∫b

af(x)dx = b

a[F(x)] = F(b) - F(a)

E1) Calcule:

1) dxx3

0

2∫ 2) dxx)(141

1∫− −

1. PROPRIEDADES BÁSICAS

a) ∫a

af(x)dx = 0

b) ∫b

af(x)dx = - ∫

a

bf(x)dx

c) ∫b

ac.f(x)dx = c. ∫

b

af(x)dx , sendo c uma constante

d) ∫ ±b

ag(x)]dx[f(x) = ∫

b

af(x)dx ± ∫

b

ag(x)dx

e) ∫b

af(x)dx = ∫

c

af(x)dx + ∫

b

cf(x)dx , com a < c < b

f) ∫b

af(x)dx ≥ 0, se f(x) ≥0, ∈∀x [a,b]

E2)Calcule:

1) ∫ +−1

034 dx)1x3x( 2) ∫− −+−

0

125 dx)1x2x3x3( 3) ∫ ++

5

22 du)u3u22(

4) dtt

1t9

1∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 5) ∫

2

02 1)dx -(x x 6) ∫

+1

2 2t1t dt

7) ∫2

15 dx4) -(2x 8) ∫

2

44 dx6) -(2x 9) ∫ +

1

032 dx 1) 8x(x

61

10) ∫ +

4

0 16u1 du 11) ∫ +

2

1 23

2

)1x(x dx 12) du12uu)uu( 241

03 +++∫

13) ∫− −3

2dx|1x| 14) ∫ +−

2

0 2 96xxdx 15) ∫

0

1- x-1dx

16) dx2

|x|x1

1∫− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 17) ∫− −

5

2dt|42t| 18) ∫

−3

1

34

xxx dx

2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ≥ 0, ∈∀x [a,b]. Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b. y f f(x+Δx ) A1 A2 f(x) A3 A ΔA 0 a x x +Δx b x A é a área da região hachurada, ΔA é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo Δx .

A3 ≤ ( A2 + A3 )≤ (A1 + A2 + A3 )⇔ f(x).Δx ≤ ΔA ≤ f(x + x).Δx ⇒ f(x) ≤ ΔxΔA

≤ f(x +Δx )

0x

lim→Δ

f(x) ≤0

lim→Δx Δx

ΔA≤

0xlim→Δ

f(x +Δx ) ⇔ f(x) ≤0

lim→Δx Δx

ΔA≤ f(x ) ⇒

0lim→Δx Δx

ΔA = f(x) ⇔ A’ = f(x)

Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k. Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a) Para calcular a área de a até b basta tomar x = b.

Para x = b, A = F(b) - F(a) = ∫b

af(x)dx

Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número ∫b

af(x)dx representa a área da região

limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.

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y f R 0 a b x

AR = ∫b

af(x)dx

3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ≥ g(x) , ∈∀x [a,b]. Se R é a região limitada pelos

gráficos de f, g, x=a e x=b então AR = ∫b

ag(x)]dx-[f(x)

y f R g 0 a b x E3)Calcule a área da região limitada por:

1) y=-x2 + 4 e y=0 2) y=x2 – 4, y=0, x=-1 e x=2 3) y=x, y=0, x=-2 e x=1 4) y=x2 – 1 e y=3 5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2 6) y=x3, y=-x + 2 e y=0 7) y= x e y=x2 8) y=x e y=x3

4. RESPOSTAS

E1) 1) 9 2) 5

32 E2) 1) 209 2)

27

− 3) 144 4)3

40 5) 34 6) 2ln

21−− 7)

316

− 8)5

32−

9) 15 10) 34 11)

547 12)

67 13)

213 14)

32 15) 222 − 16)

21

− 17) 25 18)3

34

E3) 1) 3

32 2) 9 3) 25 4)

332 5) 9 6)

43 7)

31 8)

21

63

BIBLIOGRAFIA: ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1 e v.2. BOULOS, Paulo. Introdução ao cálculo. São Paulo : Edgar Blücher, 1973. v.1. FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. 5.ed. São Paulo: Makron, 1992. FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo B. São Paulo: Makron, 1999. HOFFMANN, Laurence D,BRADLEY, Gerald L. Cálculo, um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: L.T.C., 2002. MAIA, L. P. M. Cálculo 1. Rio de Janeiro : UFRJ, 1978. NETO, Cesar Dacorso. Elementos de cálculo infinitesimal. São Paulo : Nacional, 1966. MUNEM, Mustafa A., FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982. v.2. SEELEY, Roberto T. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro : LTC, 1973. v.1. SHENK, Al. Cálculo com geometria analítica. Rio de Janeiro : Campus, 1985. 2 v. SIMMONS, George. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v.2. STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Pioneira, 2001. v.1. e v.2. SWOKOWSKI, Earl William.Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 1994. v.1. e v.2.