matemáticas ii vol. ii

1. II II SUSTITUIR 2doGrado VolumenII matemticAS 2do Grado Volumen II Libroparaelmaestro Libroparaelmaestro Libroparaelmaestro matemticAS MAT2 LM Vol2 portada.indd 1 9/3/07 3:34:09 PM

2. Libro para el maestro matemticas II 2do Grado Volumen II

3. Matemticas II. Libro para el maestro. Volumen II, fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE. SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA Josefina Vzquez Mota SUBSECRETARA DE EDUCACIN BSICA Jos Fernando Gonzlez Snchez Direccin General de Materiales Educativos Mara Edith Bernldez Reyes Direccin de Desarrollo e Innovacin de Materiales Educativos Subdireccin de Desarrollo e Innovacin de Materiales Educativos para la Educacin Secundaria Direccin Editorial INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIN EDUCATIVA Direccin General Manuel Quintero Quintero Coordinacin de Informtica Educativa Felipe Bracho Carpizo Direccin Acadmica General Enna Carvajal Cantillo Coordinacin Acadmica Armando Solares Rojas Asesora acadmica Mara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav) Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav) (Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Autoras Ana Laura Barriendos Rodrguez, Diana Violeta Solares Pineda Colaboracin (actividades tecnolgicas) Deyanira Monroy Zarin Colaboradores Araceli Castillo Macas, Rafael Durn Ponce, Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Silvia Garca Pea, Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero, Jess Rodrguez Viorato Apoyo tcnico y pedaggico Mara Catalina Ortega Nez Coordinacin editorial Sandra Hussein Domnguez Primera edicin, 2007 (ciclo escolar 2007-2008) D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2007 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F. ISBN 978-970-790-964-9 (obra completa) ISBN 978-968-01-1461-0 (volumen II) Impreso en Mxico Distribucin gratuita-Prohibida su venta Servicios editoriales Direccin de arte: Roco Mireles Gavito Diseo: Zona grca Diagramacin: Bruno Contreras, Erandi Alvarado, Vctor M. Vilchis Enrquez Iconografa: Cynthia Valdespino, Fernando Villafn Ilustracin: Gustavo Crdenas, Curro Gmez, Carlos Lara, Gabriela Podest Fotografa: Cynthia Valdespino, Fernando Villafn

4. CINCO SUGERENCIAS PARA ENSEAR EN LA TELESECUNDARIA 1 Crear un ambiente de confianza 2 Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente 3 Fomentar la interaccin en el aula 4 Utilizar recursos mltiples 5 Desplegar ideas en el aula para consultas rpidas Pistas didcticas Mapa-ndice Clave de logos Bloque 3 secuencia 18 Sucesiones de nmeros con signo secuencia 19 Ecuaciones de primer grado secuencia 20 Relacin funcional secuencia 21 Los polgonos y sus ngulos internos secuencia 22 Mosaicos y recubrimientos secuencia 23 Las caractersticas de la lnea recta Bloque 4 secuencia 24 Potencias y notacin cientfica secuencia 25 Tringulos congruentes secuencia 26 Puntos y rectas notables del tringulo secuencia 27 Eventos independientes secuencia 28 Grficas de lnea secuencia 29 Grficas formadas por rectas Bloque 5 secuencia 30 Sistemas de ecuaciones secuencia 31 Traslacin, rotacin y simetra central secuencia 32 Eventos mutuamente excluyentes secuencia 33 Representacin grfica de sistemas de ecuaciones Examen bloque 3 Examen bloque 4 Examen bloque 5 Bibliografa 4 6 8 10 12 14 16 20 25 26 28 40 56 76 86 98 116 118 138 148 166 184 200 210 212 230 246 260 274 286 300 312 ndice

5. Cinco sugerencias para ensear en la Telesecundaria 1 3 4 52

6. Libro para el maestro CINCO SUGERENCIAS PARA ENSEAR EN LA TELESECUNDARIA Aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para lograr esto son: Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas ocasiones las preguntas tienen ms de una solucin. Por ello, es importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a llegar a una solucin nica. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar a sus compaeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qu punto se acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemticas, por ejemplo, muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden aparecer en la clase sobre un mismo problema. Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de conocimientos y experiencias. Algunos sern lectores fluidos, otros sabrn argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarn con mucha facilidad, otros harn clculos y estimaciones con soltura. Formar equipos heterogneos propicia que unos puedan compartir lo que saben con otros. Esto es particularmente til para la realizacin de los proyectos de Ciencias, debido a que stos integran contenidos conceptuales, habilidades y actitudes desarrolladas a lo largo de un bloque o al final del ao escolar. Crear un ambiente de confianza1

7. Libro para el maestro Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situacin que desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro puede hacer lo mismo. Esto lo ayudar a darse cuenta de cunto tiempo toma, qu retos especiales presenta o qu aspectos hay que tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo, tambin puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar informacin y tomar sugerencias. Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento a qu ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer intervenciones ms directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlos de manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales; tambin puede participar en algunos grupos para conocer la dinmica del trabajo en equipo. Adems, en algunos momentos, puede orientar el dilogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algn contenido conceptual. Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en ocasiones los alumnos concluyen una actividad y despus de discutirla con otros se dan cuenta de que les gustara modificarla. Puede resultar de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algn aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, dles tiempo para reelaborar y sentirse ms satisfechos con su trabajo. Cmo hacer una lluvia de ideas Cmo coordinar la discusin de un dilema moral

8. Libro para el maestro Es importante usar diferentes prcticas acadmicas de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos tipos de textos, grficas, esquemas, mapas, frmulas e imgenes; demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar trminos tcnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y realizar operaciones matemticas. Las siguientes estrategias pueden servir como lineamientos generales para la enseanza en el aula: Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las diferentes frmulas, grficas, mapas, tablas e imgenes que se les presentan en los libros para el alumno, libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos sobre por qu se incluyen estos recursos en la actividad, qu tipo de informacin aportan y en qu aspectos deben poner atencin para comprenderlos mejor. Las actividades relacionadas con los mapas, imgenes, grficas, problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de favorecer la construccin colectiva de significados: en lugar de utilizarlas para verificar la comprensin de lectura o la interpretacin de la informacin representada, se busca construir con el grupo, con la participacin de todos, qu dice el texto o las otras representaciones, qu conocemos acerca de lo que dice, qu podemos aprender de ellos y qu nos dicen para comprender mejor nuestro mundo. Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta consti- tuye una situacin privilegiada para escuchar un texto y comentarlo sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar su significado; la lectura en pequeos grupos crea oportunidades para que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexin personal y la relectura de fragmentos. Segn la ocasin y el propsito, tambin puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos. Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensin de los estudiantes, utilcelas para construir, junto con ellos, los significados de los textos incluidos en las secuencias. Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeos textos, puede modelarse cmo iniciar el escrito en el pizarrn: pida a dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar a todos a empezar a escribir. Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente CINCO SUGERENCIAS PARA ENSEAR EN LA TELESECUNDARIA 2

9. Libro para el maestro Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los ayudar a escuchar cmo se oye (y cmo se entienden) sus escritos. Propicie la valoracin y aceptacin de las opiniones de los otros con el fin de mejorar la composicin de textos. Modele y propicie el uso de oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas. Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunas preguntas pueden promover el pensamiento crtico en los estudiantes porque no slo se dirigen a los contenidos conceptuales, tambin se involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexin de aspectos ticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros. Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temtica o contenido acadmico: para ejemplificar algn tipo de expresin, identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula y lalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales mltiples y la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase. Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los alumnos, de acuerdo a la temtica o contenido acadmico. Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces, cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de nuestras preguntas y dudas. Tambin se puede usar la escritura para ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hiptesis o registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasin posterior. En matemticas, por ejemplo, el carcter de formal o acabado del procedimiento de solucin de un problema depende del problema que trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicati- vo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operacin es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo. El conocimiento matemtico est en construccin permanente. Cmo apoyar la elaboracin de resmenes Cmo introducir otros recursos Para hacer uso del diccionario Cmo leer un mapa Cmo concluir un dilogo o actividad

10. 10 Libro para el maestro El dilogo e interaccin entre los pares es una parte central en el proceso de aprendizaje: la participacin con otros nos ayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, or las ideas de los dems y compararlas con las propias. Por ello, es deseable: Fomentar la interaccin en el aula con mltiples oportunidades para opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer preguntas y contestar: las preguntas que se responden con s o no, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de respuestas que permiten el anlisis, la comparacin y la profundizacin en las problemticas a tratar; tambin permiten explorar razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Adems, dan pie a un uso ms extenso de la expresin oral. Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el tema nuevo o lo que estn aprendiendo: en diferentes momentos de las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abrirse dilogos, con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros alumnos, y con ello enriquecer y promover la construccin compartida de conocimientos. Fomentar la interaccin en el aula CINCO SUGERENCIAS PARA ENSEAR EN LA TELESECUNDARIA 3

11. 11Libro para el maestro Incorporar en las actividades cotidianas los dilogos en pequeos grupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es ms probable que lo hagan en un grupo ms pequeo o en parejas. Utilizar ciertos formatos de interaccin de manera reiterada, con materiales de apoyo escritos y/o grficos para organizar actividades: algunos ejemplos de estos formatos son la presentacin oral de reseas de libros, la revisin de textos escritos por los alumnos, realizacin de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de informacin, analista, etctera). Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del grupo; un registro de diferentes formas de expresin o propuestas de cmo decir algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros. Cmo llevar a cabo un debate Cmo conducir una revisin grupal de textos Cmo conducir un dilogo grupal Cmo coordinar la discusin de un dilema moral

12. 12 Libro para el maestro Una parte fundamental de la educacin secundaria es aprender a utilizar recursos impresos y tecnolgicos para conocer diversas expresiones culturales, buscar informacin y resolver problemas. Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como parte de la preparacin de las clases y Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes recursos. Promover el uso constante de otros recursos tecnolgicos y bibliogrficos disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede Utilizar recursos mltiples CINCO SUGERENCIAS PARA ENSEAR EN LA TELESECUNDARIA 4

13. 13Libro para el maestro fomentarse su uso para la realizacin de los trabajos escolares y, de contar con conectividad, para buscar informacin en Internet. Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la biblioteca de la escuela y la biblioteca pblica son fuentes de informacin potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos tecnolgicos, como los videos, los simuladores para computadora y otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensin de fenmenos o procesos matemticos, biolgicos, fsicos y qumicos que muchas veces son difciles de replicar en el laboratorio o a travs de alguna actividad experimental. Cmo anotar referencias de las fuentes utilizadas Cmo introducir otros recursos

14. 14 Libro para el maestro Las paredes del aula constituyen un espacio importante para exponer diferentes recursos de consulta rpida y constante. Por ejemplo, se puede: Crear un banco de palabras en orden alfabtico de los trminos importantes que se estn aprendiendo en las distintas materias. Sirven de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus guas, escribir pequeos textos, participar en los dilogos, etc. Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver algn tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para orientar qu hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en un texto: Desplegar ideas en el aula para consultas rpidas CINCO SUGERENCIAS PARA ENSEAR EN LA TELESECUNDARIA Tratar de inferir el significado del texto. Buscarlo en el diccionario. Preguntar al maestro o a un compaero. Saltarla y seguir leyendo. Qu hacer cuando no sabes qu significa una palabra? 5

15. 15Libro para el maestro Colgar mapas, tablas, grficas, frmulas, diagramas y listas para la consulta continua. Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y la evolucin de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una bitcora donde se escribe cada da lo que ocurri en las diferentes clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el registro del trabajo y experiencias del da. La bitcora se pone a disposicin de todos para consultar. Esta no es una actividad para calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la memoria del grupo durante el ao escolar. Cada alumno podr seleccionar qu fue lo relevante durante el da y escribir de acuerdo a su estilo y sus intereses. Cmo organizar la bitcora del grupo

16. 16 Libro para el maestro Pistas didcticas Cmo anotar referencias de las fuentes utilizadas Cuando se utilizan textos o imgenes que aparecen en distintos medios, se cita su procedencia, usando alguno de los siguientes cdigos: Libro: apellido del autor, nombre del autor, ttulo, lugar de edicin, editorial y ao de publicacin. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar tambin las palabras o pginas consultadas. Revista o peridico: ttulo, nmero, lugar y fecha de publicacin, pginas consultadas. Programa de TV: Nombre del programa, horario de transmisin y canal. Cmo conducir una revisin grupal de textos individuales Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos breves de los textos en el pizarrn o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. Acepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas por los comentaristas y pregunte al autor si est de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cul es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el pizarrn y despus en su cuaderno. Solicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, poder leerlo con facilidad ante el grupo. En cada ocasin invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no se autopropongan. Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita. Cmo conducir un dilogo grupal Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrn, para recuperarlas en la discusin o conclusiones. Acepte respuestas distintas; sugiera que se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema) o en situaciones parecidas. Para avanzar en el dilogo, resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos. Por ejemplo: Juan dijo tal cosa, pero Mara piensa esta otra, qu otras observaciones se podran hacer? Cierre cada punto y d pie al siguiente inciso. Por ejemplo: Ya vimos las caractersticas comunes a todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un ser vivo y un objeto inanimado. En cada ocasin otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano. Seale claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los comentarios.

17. 17Libro para el maestro Cmo hacer una lluvia de ideas Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situacin (Qu pasara si? Cmo podramos? Por qu creen que esto ocurre as? Qu les sugiere esto?). Permita y promueva que los alumnos den su opinin, anote ideas y sugerencias y planteen dudas. Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrn, de manera abreviada, sus comentarios y aportaciones. Tambin puede anotar sus ideas en un procesador de palabras y proyectarlas en la pantalla. Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquen diferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas cronolgicamente, agruparlas por contenido, etctera). Resuma con el grupo las principales aportaciones. Retome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones. Cmo concluir un dilogo o una actividad Hacia el final del dilogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los participantes. Seale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recurdele al grupo cmo se plantearon y cmo se resolvieron. Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones. Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestarlas entre ellos. Anote en el pizarrn las ideas y conclusiones ms importantes. Cmo organizar la bitcora del grupo La bitcora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca escribir da a da la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en el sentido de que cada alumno puede elegir qu aspecto del da comentar y cmo comentarlo. No se trata de corregirlo sino de compartir las diferentes perspecti- vas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula. Cada da un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar fotografas, etctera. Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras. Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitcora electrnica) del grupo que se despliegue en Internet. En la pgina www.blogspot.com se explica cmo hacerlo.

18. 18 Libro para el maestro Cmo coordinar la discusin de un dilema moral Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente y respondan las preguntas. Indique que los comentarios se harn ms adelante. Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntndoles, por qu es un dilema?, cul es el tema central?, qu habr pensado el personaje en cuestin? Invite a los alumnos a intercambiar ideas en plenaria. Explique previamente dos reglas bsicas: a) Debatir argumentos y no agredir ni elogiar a personas, y b) turnarse el uso de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente argumentos a favor y en contra de cada postura. A medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, antelos en el pizarrn e invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como: Cul es el mejor argumento a favor de X postura y por qu? Habra otros argumentos?, cules? Para cerrar, invite al grupo a redefinir o confirmar sus posturas iniciales, con base en los argumentos dados, y a buscar salidas diversas y ms satisfactorias al dilema. Cmo introducir otros recursos Explore y lea con anticipacin los materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con el grupo. Presente el material (libro, revista, artculo de peridico, mapa, imagen, etctera) al grupo, comentando qu tipo de material es, el autor o artista, el ao. Lea o mustrelo al grupo. Converse con los alumnos acerca de la relacin de este material con el trabajo que se est desarrollando. Propicie la reflexin sobre la relacin del material presentado con la actividad que se realiza o el contenido que se trabaja. Invtelos a revisar el material y conocerlo ms a detalle, o que ellos sugieran, aporten, lleven o busquen material relevante para los temas que estn abordando en el curso. Cmo llevar a cabo un debate Antes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeen las funciones de moderador y de secretario, explicndoles en qu consiste su labor. Defina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse con claridad cul o cules son los puntos o aspectos que se estn confrontando. El moderador anota en una lista los nombres de quienes desean participar e inicia la primera ronda de participaciones para que cada uno exprese su punto de vista y sus argumentos acerca del tema. El secretario toma notas de las participaciones poniendo nfasis en las ideas o conceptos que aportan. Al agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones; o bien, al final resume las principales conclusiones o puntos de vista para que el secretario tome nota de ellas. Cada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participantes cules son los puntos centrales del debate, para evitar distracciones. Al final, el secretario lee sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de vista.

19. 19Libro para el maestro Cmo leer un mapa Pida a los alumnos que identifiquen el ttulo del mapa para saber qu tipo de informacin representa. Si se trata de un mapa histrico, solicite a los estudiantes que identifiquen de cundo data y si representa hechos o procesos del pasado. Revise con los alumnos las referencias o simbologa. Seale claramente cul es la escala empleada en el mapa. Revise con el grupo la simbologa utilizada y su explicacin. Comente con el grupo la informacin que se puede obtener a partir del mapa o relacionndolo con otras informaciones previas. Interprete la orientacin a partir de leer la rosa de los vientos. Cmo conducir una revisin grupal de textos colectivos Solicite a un equipo voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para comentarlo. Copie fragmentos breves del texto en el pizarrn para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. Acepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisin. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si estn de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita que los autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se acerca a lo que quieren decir, reelaboren su idea en el pizarrn y luego en su cuaderno. Solicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo. En cada ocasin, invite a equipos distintos a que revisen y comenten sus textos con todo el grupo. Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita. Cmo apoyar la elaboracin de resmenes Elija el texto que se va a resumir y lalo con el grupo. Solicite participaciones a partir de las preguntas: cul consideran que es la idea principal de cada prrafo?, cules sern las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones de los alumnos, escriba algunas en el pizarrn o con el procesador de textos y despus proponga usted sus respuestas a las mismas preguntas. A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrn cmo retomar la idea principal de cada prrafo. Puede incluir definiciones textuales, vocabulario tcnico y ejemplos del texto. De ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resmenes elaborados por usted o por otros estudiantes. Para hacer uso del diccionario Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o no comprenden. Bsquenlas en el diccionario en orden alfabtico. Lea el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. Tambin pueden hacer uso de sinnimos. Relea las oraciones que contienen las palabras consultadas para comprenderlas ampliamente. Si an quedan dudas, busque la palabra en un libro especializado.

20. 20 Libro para el maestro Bloque1 SECUENCIASESIN RECURSOSTECNOLGICOS VideosInteractivosAulademedios 1.Multiplicacinydivisindenmerosconsigno. Resolverproblemasqueimpliquenmultiplicacionesy divisionesdenmerosconsigno. 1.1LosnmerosconsignoLosnmerosconsignoMuchasmanerasdehacerlomismo1y2(Logo) Cmorestamosnmerosconsigno?(Calculadora) 1.2MultiplicacionesdenmerosconsignoMultiplicacinydivisindenmerosconsigno 1.3Msmultiplicacionesdenmerosconsigno 1.4Laregladelossignos1Multiplicacinydivisindenmerosconsigno 1.5Laregladelossignos2Multiplicacinydivisindenmerosconsigno 2.Problemasaditivosconexpresionesalgebraicas. Resolverproblemasqueimpliquenadicinysustraccinde expresionesalgebraicas. 2.1LosgallinerosSumayrestadeexpresionesalgebraicasRectngulosdediferentestamaos(Logo) 2.2AmedircontornosSumaconpolinomios(Calculadora) 2.3LatablanumricaSumayrestadeexpresionesalgebraicas 2.4CuadradosmgicosynmerosconsecutivosLamagiadeloschinosSumayrestadeexpresionesalgebraicas 3.Expresionesalgebraicasymodelosgeomtricos. Reconoceryobtenerexpresionesalgebraicasequivalentesa partirdelempleodemodelosgeomtricos. 3.1ExpresionesequivalentesModelosgeomtricosdeexpresionesalgebraicas 3.2MsexpresionesequivalentesMsexpresionesequivalentesModelosgeomtricosdeexpresionesalgebraicas 4.ngulos. Resolverproblemasqueimpliquenreconocer,estimar ymedirngulos,utilizandoelgradocomounidaddemedida. 4.1MedidasdengulosElgradocomounidaddemedidaReconocer,estimarymedirngulosClasificacindengulos(Geometradinmica) 4.2ngulosinternosdetringulosReconocer,estimarymedirngulosSumadelosngulosinterioresdeuntringulo (Geometradinmica) 4.3Deduccindemedidasdengulos 5.Rectasyngulos. Determinarmedianteconstruccioneslasposicionesrelativas dedosrectasenelplanoyelaborardefinicionesderectas paralelas,perpendicularesyoblicuas. Establecerrelacionesentrelosngulosqueseformanal cortarsedosrectasenelplano,reconocerngulosopuestos porelvrticeyadyacentes. 5.1RectasquenosecortanRectasyngulosTrazodeunaparalela(Geometradinmica) 5.2RectasquesecortanRectasyngulosPosicionesdedosrectasquesecortan (Geometradinmica) 5.3RelacionesentrengulosParejasderectasRectasyngulosngulosformadosporlainterseccindedosrectas (Geometradinmica) 6.ngulosentreparalelas. Establecerlasrelacionesentrelosngulosqueseforman entredosrectasparalelascortadasporunatransversal. Justificarlasrelacionesentrelasmedidasdelosngulos interioresdelostringulosyparalelogramos. 6.1nguloscorrespondientesngulosyparalelasParalelasysecante(Logo) 6.2ngulosalternosinternosRelacionesdelosngulosentreparalelas (Geometradinmica) 6.3LosngulosenlosparalelogramosyeneltringuloRelacionesimportantesReconocer,estimarymedirngulos 7.Larelacininversadeunarelacindeproporcionalidad directa. Determinarelfactorinversodadaunarelacinde proporcionalidadyelfactordeproporcionalidadfraccionario. 7.1ElpesoenotrosplanetasElpesoenotrosplanetasCuntopesosiestoyenSaturno?(Calculadora) 7.2EuropayPlutn 7.3ProblemasFactoresdeproporcionalidad ProporcionalidadconLogo 8.Proporcionalidadmltiple. Elaboraryutilizarprocedimientospararesolverproblemasde proporcionalidadmltiple. 8.1ElvolumenLaproporcionalidadmltipleProporcionalidadmltiple 8.2Laexcursin 8.3Msproblemas 9.Problemasdeconteo. Anticiparresultadosenproblemasdeconteo,conbaseenla identificacinderegularidades.Verificarlosresultados mediantearreglosrectangulares,diagramasderboluotros recursos. 9.1Cmonosestacionamos?Decuntasformas?Diagramaderbol 9.2Lacasadecultura 9.3RepartodedulcesDiagramaderbol Anticiparresultadosenproblemasdeconteo 10.Polgonosdefrecuencias. Interpretarycomunicarinformacinmediantepolgonosde frecuencia. 10.1Rezagoeducativoygrficas 10.2AnemiaenlapoblacininfantilmexicanaPolgonosdefrecuenciasenlosreportesdeinvestigacin 10.3Qugrficautilizar?Polgonodefrecuencias EVALUACIN

21. 21Libro para el maestro Bloque2 SECUENCIASESIN RECURSOSTECNOLGICOS VideosInteractivosAulademedios 11.Lajerarquadelasoperaciones. Utilizarlajerarquadelasoperacionesylosparntesis sifueranecesario,enproblemasyclculos. 11.1ElconcursodelateleElconcursodelateleJerarquadelasoperaciones yusodeparntesis AprendeacalcularconLogo(Logo) 11.2MsreglasConstruccindeprogramasVII(Calculadora) 12.Multiplicacinydivisindepolinomios. Resolverproblemasmultiplicativosqueimpliquenel usodeexpresionesalgebraicas. 12.1LosbloquesalgebraicosLosbloquesalgebraicosMultiplicacinydivisindeexpresiones algebraicas 12.2AcubrirrectngulosMultiplicacinydivisindeexpresiones algebraicas 12.3Cuntomidelabase? 13.Cubos,prismasypirmides. Describirlascaractersticasdecubos,prismasy pirmides.Construirdesarrollosplanosdecubos, prismasypirmidesrectos.Anticipardiferentesvistas deuncuerpogeomtrico. 13.1DesarrollatuimaginacinLageometraatualrededorCubos,prismasypirmides 13.2MsdesarrollosplanosCubos,prismasypirmides 13.3Elcuerpoescondido 13.4Patronesyregularidades 13.5DiferentespuntosdevistaConstruccionesconcubos 14.Volumendeprismasypirmides. Justificarlasfrmulasparacalcularelvolumende cubos,prismasypirmidesrectos. 14.1LascajasVolumendecubos,prismasypirmides 14.2MsvolmenesdeprismasVolumendecubos,prismasypirmides 14.3ArrozyvolumenUnasfrmulasseobtienendeotrasEstimacinyclculodevolmenes 15.Aplicacindevolmenes. Estimarycalcularelvolumendecubos,prismasy pirmidesrectos. Calculardatosdesconocidos,dadosotrosrelacionados conlasfrmulasdelclculodevolumen. Establecerrelacionesdevariacinentrediferentes medidasdeprismasypirmides. Realizarconversionesdemedidasdevolumenyde capacidadyanalizarlarelacinentreellas. 15.1EldecmetrocbicoEstimacinyclculodevolmenes 15.2CapacidadesyvolmenesProblemasprcticos 15.3VariacionesEstimacinyclculodevolmenes 16.Comparacindesituacionesdeproporcionalidad. Resolverproblemasdecomparacinderazones,con baseenlanocindeequivalencia. 16.1ElrendimientoconstanteComparacinderazones 16.2LaconcentracindepinturaComparacindecocientesComparacinderazones 17.Medidasdetendenciacentral. Interpretarycalcularlasmedidasdetendencia centraldeunconjuntodedatosagrupados, considerandodemaneraespeciallaspropiedadesde lamediaaritmtica. 17.1Elpromediodelgrupoenelexamen1 17.2Elpromediodelgrupoenelexamen2Medidasdetendenciacentral 17.3LascalorasqueconsumenlosjvenesEstadsticas,alimentosyotrassituacionesMedidasdetendenciacentral EVALUACIN

22. 22 Libro para el maestro Bloque3 SECUENCIASESIN RECURSOSTECNOLGICOS VideosInteractivosAulademedios 18.Sucesionesdenmerosconsigno[28-39] Construirsucesionesdenmerosconsignoapartirdeuna regladada.Obtenerlareglaquegeneraunasucesinde nmerosconsigno. 18.1Culeslaregla?SucesionesdenmerosSucesionesdenmerosconsignoDescripcindeprogramas(Calculadora) 18.2NmerosquecrecenSucesionesdenmerosconsigno 18.3DemayoramenorSucesionesgeomtricasconLogo 19.Ecuacionesdeprimergrado[40-55] Resolverproblemasqueimpliquenelplanteamientoyla resolucindeecuacionesdeprimergradodelaforma: ax+bx+c=dx+ex+fyconparntesisenunooen ambosmiembrosdelaecuacin,utilizandocoeficientes enterosofraccionarios,positivosonegativos. 19.1PiensaunnmeroEcuaciones(2)(Hojadeclculo) 19.2ElmodelodelabalanzaLabalanzaResolucindeecuacionesdeprimergradoNmerosperdidos(Calculadora) 19.3Msalldelmodelodelabalanza 19.4Miscelneadeproblemas 20.Relacinfuncional[56-75] Reconocerensituacionesproblemticasasociadasa fenmenosdelafsica,labiologa,laeconomayotras disciplinas,lapresenciadecantidadesquevaranunaen funcindelaotrayrepresentarestarelacinmedianteuna tablaounaexpresinalgebraicadelaforma:y=ax+b. Construir,interpretaryutilizargrficasderelacioneslineales asociadasadiversosfenmenos. 20.1LacoladelastortillasDescripcindefenmenosconrectas 20.2Cmohablanportelfono!Variacinlinea(2)(Hojadeclculo) 20.3EltaxiDescripcindefenmenosconrectasGrficasdefunciones(Logo) 20.4ElresorteDescripcindefenmenosconrectasGradosFahrenheitocentgrados? (Calculadora) 20.5ElplanperfectoLoscelularesDescripcindefenmenosconrectas 21.Lospolgonosysusngulosinternos[76-85] Establecerunafrmulaquepermitacalcularlasumadelos ngulosinterioresdecualquierpolgono. 21.1TringulosenpolgonosTriangulacionessimplesdelos polgonosconvexos ngulosinterioresdeunpolgono 21.2Unafrmulaparalasumadelos ngulosinternos ngulosinterioresdeunpolgonoMedicindepermetrosyngulos (Geometradinmica) 22.Mosaicosyrecubrimientos[86-97] Conocerlascaractersticasdelospolgonosquepermiten cubrirelplanoyrealizarrecubrimientosdelplano. 22.1RecubrimientosdelplanoQuenoquedenadasincubrirCubrimientosdelplanoRecubrimientodelplanoconpolgonos regulares(Geometradinmica) 22.2Losrecubrimientosconpolgonos irregulares Cubrimientosdelplano 22.3AlgunascombinacionesCubrimientosdelplano 23.Lascaractersticasdelalnearecta[98-115] Anticiparelcomportamientodegrficaslinealesdelaforma y=mx+b,cuandosemodificaelvalordebmientraselvalor dempermanececonstante. Analizarelcomportamientodegrficaslinealesdelaforma y=mx+b,cuandocambiaelvalordem,mientraselvalor debpermanececonstante. 23.1PendienteyproporcionalidadRectasquecrecen(Calculadora) Qugrficascrecenmsrpido? (Calculadora) 23.2LaspendientesnegativasEcuacindelarectay=mx+bGrficasquedecrecen(Calculadora) 23.3LaordenadaalorigenRectasparalelasEcuacindelarectay=mx+bAnalizandogrficasderectas (Hojadeclculo)Unpuntoimportanteenunarecta (Calculadora) 23.4Miscelneadeproblemasyalgoms EVALUACIN

23. 23Libro para el maestro SECUENCIASESIN RECURSOSTECNOLGICOS VideosInteractivosAulademedios 24.Potenciasynotacincientfica[118-137] Elaborar,utilizaryjustificarprocedimientosparacalcular productosycocientesdepotenciasenteraspositivasdela mismabaseypotenciasdeunapotencia. Interpretarelsignificadodeelevarunnmeronaturalauna potenciadeexponentenegativo. Utilizarlanotacincientficapararealizarclculosenlosque intervienencantidadesmuygrandesomuypequeas. 24.1ProductodepotenciasPotenciasyexponentesLeyesdelosexponentesI(Calculadora) 24.2PotenciasdepotenciasPotenciasyexponentes 24.3CocientesdepotenciasPotenciasyexponentesLeyesdelosexponentesIII(Calculadora) 24.4ExponentesnegativosPotenciasyexponentesLeyesdelosexponentesIIyIV (Calculadora) 24.5NotacincientficaNmerosmuygrandes ymuypequeos Potenciasyexponentes 25.Tringuloscongruentes[138-147] Determinarloscriteriosdecongruenciadetringulosapartir deconstruccionesconinformacindeterminada. 25.1TresladosigualesFigurascongruentesCongruenciadetringulos 25.2UnnguloydosladoscorrespondientesigualesCongruenciadetringulos 25.3UnladoydosnguloscorrespondientesigualesCongruenciadetringulos 26.Puntosyrectasnotablesdeltringulo[148-165] Explorarlaspropiedadesdelasalturas,medianas,mediatrices ybisectricesenuntringulo. 26.1MediatricesRectasypuntosnotablesdeltringulo 26.2AlturasRectasypuntosnotablesdeltringulo 26.3MedianasRectasypuntosnotablesdeltringuloBisectriz,altura,medianaymediatrizdeun tringulocualquiera(Geometradinmica) 26.4BisectricesPuntosyrectasnotablesdel tringulo RectasypuntosnotablesdeltringuloTrazarelincrculodeuntringulo (Geometradinmica) 27.Eventosindependientes[166-183] Distinguirendiversassituacionesdeazareventosqueson independientes. Determinarlaformaenquesepuedecalcularlaprobabilidad deocurrenciadedosomseventosindependientes. 27.1Culessonloseventosindependientes?Cundodoseventosson independientes? Diagramaderbol 27.2DosomseventosindependientesDiagramaderbol 27.3EventosindependientesydependientesDiagramaderbol Probabilidad.Eventosindependientes FrecuenciayprobabilidadconLogo 28.Grficasdelnea[184-199] Interpretaryutilizardosomsgrficasdelneaque representancaractersticasdistintasdeunfenmenoo situacinparatenerinformacinmscompletayensucaso tomardecisiones. 28.1Turismo,empleosygrficasdelneaElturismo:unaocupacin interesante Grficasdelneaenlaestadstica 28.2Sabescuntaspersonasvisitanelestadoen quevives? Grficasdelneaenlaestadstica 28.3Cuntosextranjerosnosvisitaron? 29.Grficasformadasporrectas[200-209] Interpretaryelaborargrficasformadasporsegmentosde rectaquemodelansituacionesrelacionadasconmovimiento, llenadoderecipientes,etctera. 29.1AlbercasparachicosygrandesLlenadoderecipientesGrficasformadasporsegmentos derecta 29.2Deaquparaallydeallparaac 29.3CaminoalaescuelaGrficasformadasporsegmentos derecta EVALUACIN Bloque4

24. 24 Libro para el maestro Bloque5 EJE1:Sentidonumricoypensamientoalgebraico EJE2:Forma,espacioymedida EJE3:Manejodelainformacin SECUENCIASESIN RECURSOSTECNOLGICOS VideosInteractivosAulademedios 30.Sistemasdeecuaciones[212-229] Representarconliteraleslosvaloresdesconocidosdeun problemayusarlasparaplantearyresolverunsistemade ecuacionesconcoeficientesenteros. 30.1LasvacasyloschivosDeDiofantoalsigloXXISistemasdeecuaciones 30.2LaedaddeDonMatiasSistemasdeecuaciones 30.3Comprasenelmercado 30.4Laigualacin 30.5Loqueaprendimosdesistemasdeecuaciones 31.Traslacin,rotacinysimetracentral[230-245] Determinarlaspropiedadesdelarotacinydelatraslacinde figuras.Construiryreconocerdiseosquecombinanla simetraaxialycentral,larotacinylatraslacindefiguras. 31.1Haciadndememuevo?Conceptodetraslacin(Geometradinmica) 31.2RotacionesConceptoderotacin(Geometradinmica)Molinosyrehiletes1y2(Logo) 31.3SimetracentralMovimientosenelplanoUsodelasimetracentral(Geometradinmica) 31.4Algomssobresimetras,rotacionesy traslaciones Movimientosenelplano 32.Eventosmutuamenteexcluyentes[246-259] Distinguirendiversassituacionesdeazareventosqueson mutuamenteexcluyentes. Determinarlaformaenquesepuedecalcularlaprobabilidad deocurrencia. 32.1Cundodoseventossonmutuamente excluyentes? Cundodoseventosson mutuamenteexcluyentes? Probabilidad.Eventosmutuamente excluyentes 32.2Clculodelaprobabilidaddeeventos mutuamenteexcluyentesynoexcluyentes 32.3MsproblemasdeprobabilidadProbabilidad.Eventosmutuamente excluyentes AzaryprobabilidadconLogo 33.Representacingrficadesistemasdeecuaciones[260-273] Representargrficamenteunsistemadeecuacioneslineales concoeficientesenteroseinterpretarlainterseccindesus grficascomolasolucindelsistema. 33.1LaferiaganaderaSolucindeunsistemadeecuaciones comointerseccinderectas 33.2Dndeestlasolucin?Movimientorectilneo uniforme Solucindeunsistemadeecuaciones comointerseccinderectas Sistemasdedosecuaciones (Hojadeclculo) 33.3Solucionesmltiples EVALUACIN

25. 25Libro para el maestro Clave de logos Trabajo individual En parejas En equipos Todo el grupo Conexin con otras asignaturas Glosario Consulta otros materiales CD de recursos Sitios de Internet Bibliotecas Escolares y de Aula Video Programa integrador Edusat Interactivo Audiotexto Aula de Medios Otros Textos

26. y= x= -8.000 y= 4x - 5y = 2x + 10y y= x= -8.000 y= 4x - 5y = 2x + 10y

27. 45 90 135 = 4.500 -7.000 = 3 = 29 45 90 135 = 4.500 -7.000 = 3 = 29 BLOQUE 3

28. 28 Libro para el maestro 12 secuencia 18 En esta secuencia construirs sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla dada y obtendrs la regla que genera una sucesin de nmeros con signo. CUL ES LA REGLA? Para empezar Sucesiones de nmeros En la secuencia 3 de tu libro Matemticas i, volumen i trabajaste con sucesiones de figuras y con sucesiones de nmeros. En esta secuencia, continuars estudiando las sucesiones de nmeros y las reglas que permiten obtener cada uno de sus trminos. Consideremos lo siguiente Completa los trminos que faltan en la siguiente sucesin de nmeros: 5, 2, , 4, 7, 10, , 16, , , 25, 28, 31, , 37, , a) Escribe una regla para obtener cada uno de los trminos de la sucesin. b) Cul es el trmino que est en el lugar 30? c) Qu lugar ocupa el nmero 121 en esta sucesin? Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar la regla. Manos a la obra i. Seala cules de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla sumar tres al trmino anterior. 15, 11, 7, 3, 1, 5, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 4, 1, 2, 5, 8, 11, 8, 3, 2, 7, 12, 17, 7, 4, 1, 2, 5, 8, 11, 14, 6, 2, 10, 18, 26, 12, 9, 6, 3, 0, 3, SESin 1 Sucesiones de nmeros con signo MAT2 B3 S18.indd 12 9/10/07 12:28:21 PM Propsitos de la sesin. Obtener la regla verbal que genera una sucesin de nmeros con signo en la que el valor de los trminos va aumentando; en la regla se dice cunto hay que sumar a cada trmino para obtener el siguiente y cul es el primer trmino de la sucesin. Obtener la sucesin a partir de una regla de ese tipo. Sugerencia didctica. Si lo considera conveniente recuerde a los alumnos a qu se refieren las expresiones trmino y lugar del trmino. Puede preguntarles Cul es el primer trmino de la sucesin y el segundo?, En qu lugar de la sucesin est el trmino 7 y el 25? Descripcin del video. Se hace una introduc- cin al tema con la presentacin y descripcin de sucesiones famosas a lo largo de la historia tales como la sucesin de Fibonacci y la dada por Gauss para obtener la suma de los primeros 100 nmeros naturales. Propsito de la sesin en el aula de medios. Hallar los nmeros que faltan para completar una tabla que contiene nmeros con signo. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesin 1. Propsito de la actividad. La sucesin es parecida a las que se trabajaron en primero, la diferencia es que ahora se incluyen trminos negativos. Se espera que los alumnos logren expresar la regla de manera verbal. Posibles procedimientos. Es relativamente sencillo que los alumnos logren identificar que los trminos van aumentando de 3 en 3; es posible que identifiquen esta regularidad primero con los nmeros positivos y que despus la apliquen a los nmeros negativos con los que inicia la sucesin. Para formular la regla general es probable que la expresen verbalmente por ejemplo: van de tres en tres, aumenta de tres en tres y empieza en 5 , Se suma tres al trmino anterior. La regla algebraica es 3n 8, sin embargo es poco probable que los alumnos la expresen de esa manera; en caso de que alguno llegara a formularla, invtelo a que la compare con las reglas verbales de otros compaeros. Para encontrar el trmino en el lugar 30 pueden hacer la lista con los primeros 30 trminos. Tambin es probable que algunos alumnos continen la lista hasta los primeros 43 trminos para determinar que lugar ocupa el nmero 121. Durante el intercambio grupal motive a los alumnos para que identifiquen una o ms reglas que permitan obtener la sucesin. Propsito del interactivo. Explorar diferentes sucesiones numricas. Que los alumnos analicen y completen diferentes sucesiones numricas. Propsito de las actividades I y II. Se espera que los alumnos identifiquen que, con una regla verbal del tipo sumar tres al trmino anterior o sumar cinco al trmino anterior, se pueden obtener muchas sucesiones distintas, pero si se indica cul es el primer trmino, entonces slo se obtiene una sucesin. Respuestas. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 4, 1, 2, 5, 8, 11, 7, 4, 1, 2, 5, 8, 11, 12, 9, 6, 3, 0, 3, 1 13 19 22 34 40 Van de tres en tres, Aumenta de tres en tres y empieza en -5 82 El lugar 43

29. 29Libro para el maestro 13 IIMATEMTICAS II. Responde las preguntas: a) Con la regla sumar cinco al trmino anterior, podemos obtener muchas sucesiones o una sola sucesin? b) Encuentra una sucesin que se obtenga con esta regla. c) Una regla ms precisa para obtener la sucesin que escribiste es sumar cinco al trmino anterior y el primer trmino es d) Por qu crees que esta regla sea ms precisa? Comparen sus respuestas y comenten: la diferencia entre dos trminos consecutivos de una sucesin se obtiene al restar a un trmino el trmino anterior. Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de las sucesiones que encontraron en el inciso b)? . Obtengan tres sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos sea 7. III.Completa lo que falta en las siguientes expresiones y responde las preguntas: a) Una regla para obtener la sucesin 5, 11, 17, 23, 29, 35, es sumar seis al trmino anterior y el primer trmino es b) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin? c) Una regla para obtener la sucesin 12, 10, 8, 6, 4, 2, es sumar al trmino anterior y el primer trmino es d) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin? e) Escribe la sucesin que se obtiene con la regla sumar cinco al trmino anterior y el primer trmino es 14: f) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de esa sucesin? A lo que llegamos En las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es constante, cada trmino se obtiene sumando una misma cantidad al trmino anterior. La regla verbal para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cunto hay que sumar a cada trmino para obtener el siguiente y cul es el primer trmino. Por ejemplo: En la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, MAT2 B3 S18.indd 13 9/10/07 12:28:22 PM Sugerencia didctica. Comente con sus alumnos a qu se refiere la expresin La diferencia entre dos trminos consecutivos de una sucesin; si lo considera conveniente pida a algunos alumnos que pasen al pizarrn a hacer la resta para encontrar la diferencia en una sucesin. La diferencia entre dos trminos les servir, posteriormente, para encontrar las reglas algebraicas y para distinguir si una sucesin es creciente o decreciente. Propsitos de la actividad. Que obtengan la diferencia entre dos trminos consecutivos de cada sucesin; identifiquen la regla verbal que sirve para obtener de manera nica una sucesin, y que obtengan una sucesin a partir de la regla verbal. Respuestas: a)Sumar seis al trmino anterior y el primer trmino es 5. b)La diferencia es 6. c)Sumar dos al trmino anterior y el primer trmino es 12. d)La diferencia es 2. e)14, 9, 4, 1 , 6, 11, f) La diferencia es 5. Sugerencia didctica. Lea esta informacin junto con sus alumnos apoyndose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente puede pedir a los alumnos que propongan otra sucesin numrica como ejemplo y que den la regla verbal para obtener esta sucesin. Eje Sentido numrico y pensamiento algebraico. Tema Significado y uso de las literales. Antecedentes En la secuencia 3 de Matemticas I, volumen I, los alumnos aprendieron a representar sucesiones numricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa; en la secuencia 4 del mismo libro aprendieron a interpretar las letras como nmeros generales con los que es posible operar. En Matemticas II se retoman las sucesiones numricas con la finalidad de que los alumnos continen buscando regularidades, y de que aprendan a formularlas, y a argumentar su validez. En esta ocasin las sucesiones incluyen nmeros con signo. Propsitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de nmeros con signo. Sesin Propsitos de la sesin Recursos 1 Cul es la regla? Obtener la regla verbal que genera una sucesin de nmeros con signo en la que el valor de los trminos va aumentando; en la regla se dice cunto hay que sumar a cada trmino para obtener el siguiente y cul es el primer trmino de la sucesin. Obtener la sucesin a partir de una regla de ese tipo. Video Sucesiones de nmeros Interactivo Sucesiones de nmeros con signo Aula de medios Descripcin de programas (Calculadora) 2 Nmeros que crecen Construir sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesin de nmeros con signo de este tipo. Interactivo Sucesiones de nmeros con signo 3 De mayor a menor Construir sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesin de nmeros con signo de este tipo. Interactivo Sucesiones geomtricas con Logo Programa integrador 13

30. 30 Libro para el maestro 14 secuencia 18 La diferencia entre dos trminos consecutivos se calcula al restar a un trmino el trmino anterior, por ejemplo: 7 2 = 5. La regla verbal es: sumar 5 al trmino anterior y el primer trmino es 8. Si no se indica cul es el primer trmino, se pueden obtener muchas sucesiones utilizando la misma regla. iV.Una regla para obtener la sucesin 5, 2, 1, 4, 7, 10, (es la misma que est en el apartado Consideremos lo siguiente) es sumar al trmino anterior y el primer trmino es a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin? b) Completa la siguiente tabla con algunos de los trminos de la sucesin. Lugar del trmino Trmino de la sucesin 1 5 2 2 3 1 4 4 5 7 10 15 20 30 40 c) Para pasar del trmino en el lugar 30 al trmino en el lugar 40, se avanza 10 lugares. Cunto cambia el valor del trmino? d) Cul es el trmino que est en el lugar 50? e) Cul es el trmino que est en el lugar 100? Comparen sus respuestas y comenten cmo hicieron para encontrar todos los trminos. MAT2 B3 S18.indd 14 9/10/07 12:28:24 PM Propsito de la actividad. Que amplen la sucesin que trabajaron en el apartado Consideremos lo siguiente con la finalidad de que identifiquen la dificultad de encontrar cualquier trmino utilizando slo una regla verbal. Posibles procedimientos. Pueden observar que, si se avanza 5 lugares, por ejemplo del trmino en el lugar 5 al trmino en el lugar 10, el valor del trmino aumenta 15 y si se avanza 10 lugares, el valor del trmino aumenta 30. Respuestas. c)Aumenta 30. d)142. e)292. 22 37 52 82 112 3 3 5

31. 31Libro para el maestro Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que con distintas reglas, se obtienen sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es la misma. 15 IIMATEMTICAS Lo que aprendimos Responde las preguntas para la siguiente sucesin: 23, 16, 9, 2, 5, 12,19, ... a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin? b) Cul es la regla verbal que nos permite obtener cada uno de los trminos de la sucesin? nMEROS QUE CRECEn Para empezar En la sesin anterior encontraste la regla verbal para una sucesin de nmeros con signo diciendo cunto hay que sumar a cada trmino para obtener el siguiente y cul es el primer trmino. En esta sesin obtendrs la regla algebraica utilizando el lugar que ocupa cada trmino. Para la siguiente sucesin de nmeros: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin? b) Sealen con cules de las siguientes reglas podemos obtener los trminos de la sucesin. La n indica el lugar del trmino. 2n + 4. Sumar cuatro al trmino anterior y el primer trmino es 2. 4n + 2. 4n 2. c) Comenten si algunas de las reglas anteriores son equivalentes. Consideremos lo siguiente Completa la siguiente tabla para encontrar los trminos que se indican en cada sucesin: Lugar del trmino Reglas algebraicas 3n 3n + 1 3n 7 3n 10 3n 16 1 2 3 4 10 100 115 Recuerden que: La diferencia entre dos trminos consecutivos se calcula al restar a un trmino el trmino anterior. Cuando hay varias reglas para obtener la misma sucesin de nmeros, se dice que son reglas equivalentes. SESin 2 MAT2 B3 S18.indd 15 9/10/07 12:28:26 PM Respuestas. a)La diferencia es 7. b)La regla verbal es: sumar 7 al trmino anterior y el primer trmino es 23. Propsitos de la sesin. Construir sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesin de nmeros con signo de este tipo. Propsito de la actividad. Proponer reglas verbales y algebraicas en las que utilizan el lugar del trmino . Respuestas. a)La diferencia es 4. b)Hay dos respuestas correctas: 4n 2 y sumar cuatro al trmino anterior y el primer trmino es 2. c)Las reglas equivalentes son sumar cuatro al trmino anterior y el primer trmino es 2 y 4n 2. Sugerencia didctica. En el inciso b) se espera que los alumnos identifiquen las dos reglas correctas, en caso de que slo identifiquen una de ellas usted puede animarlos a buscar si hay otra ms. Si eligen una regla incorrecta, durante la confrontacin grupal pdales que identifiquen los primeros trminos de la sucesin que se obtienen con esa regla. Para el inciso c) invtelos a que justifiquen por qu consideran que tales reglas son equivalentes. Propsito del Interactivo. Que los alumnos identifiquen que con distintas reglas, se obtienen sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es la misma. 3 4 4 7 13 6 7 1 4 10 9 10 2 1 7 12 13 5 2 4 30 31 23 20 14 300 301 293 290 284 345 346 338 335 329

32. 32 Libro para el maestro 16 secuencia 18 a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos en cada una de estas sucesiones? b) Para la sucesin 5, 2, 1, 4, 7, Cul es la regla algebraica que nos permite encontrar el trmino que est en el lugar n? c) Aparece en esta sucesin el nmero 278? Comparen sus respuestas y comenten cmo hicieron para encontrar la regla. Manos a la obra i. Responde las preguntas sobre la sucesin que se obtiene con la regla 3n 7. a) Una regla equivalente para obtener esta sucesin es sumar al trmino anterior y el primer trmino es b) Cul es el trmino que est en el lugar 40? c) Cul de las dos reglas utilizaste para encontrar ese trmino? d) Cul es el trmino que est en el lugar 48? ii. Responde las preguntas sobre la sucesin 1, 4, 7, 10, 13, 16, a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de esta sucesin? b) Observa las dos sucesiones 3, 6, 9, 12, 15, 18, 1, 4, 7, 10, 13, 16, Cul es la regla algebraica para obtener la primera sucesin (3, 6, 9, 12, 15, 18, )? c) Subraya la operacin que debemos hacer para pasar de cada trmino en la primera sucesin a su correspondiente trmino en la segunda sucesin: Restar 2 Sumar 2 d) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin 1, 4, 7, 10, 13, 16, ? MAT2 B3 S18.indd 16 9/10/07 12:28:28 PM Respuestas. a)La diferencia es 3. b)3n 8. c)El nmero 278 no aparece en la sucesin. Sugerencia didctica. Si observa que algunos alumnos tienen dificultades para encontrar la regla de la sucesin 5, 2, 1, 4, 7, ... puede sugerirles que intenten encontrar los trminos de otras sucesiones que tengan reglas en las que la n se multiplica por 3. Si tienen dificultades para determinar si el nmero 278 est en la sucesin, usted puede sugerirles que obtengan algunos trminos de la sucesin que se acerquen a 300. Un buen procedimiento es encontrar el trmino en el lugar 100 (es 292) y observar que 289, 286, 283, 280 y 277 s estn en la sucesin, pero 278 no. Otra forma de resolver, es explorar si 278 resulta de la aplicacin de la regla 3n 8: a 278 se le suma 8, y el resultado se divide entre 3. Este procedimiento implica despejar a n; no se espera que los alumnos lo resuelvan de esta manera, pero si algunos de ellos se acercan a este procedimiento, usted puede ayudarles precisando las relaciones entre los datos. Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos comenten cmo cambian las sucesiones cuando cambia la regla, para ello usted puede preguntar cmo cambia el valor del primer trmino en cada una de las sucesiones. Propsito de la actividad. Que comparen la utilidad de los dos tipos de reglas (la verbal y la algebraica) para encontrar cualquier trmino en la sucesin. Respuestas. a)Sumar 3 al trmino anterior y el primer trmino es 4. b)113. d)137. Sugerencia didctica. Es probable que algunos alumnos consideren que la regla algebraica es ms difcil de utilizar que la regla verbal; si fuera el caso usted puede preguntarles cmo utilizaran cada una de las reglas para encontrar el trmino que est en el lugar 1350. Con este ejemplo se espera que los alumnos identifiquen la utilidad de la regla algebraica. Propsito de la actividad. Que los alumnos conozcan una forma de establecer la regla algebraica de una sucesin. Se comparan los trminos de la sucesin que se obtiene con la regla 3n con los de la otra sucesin (1, 4, 7, 10, 13, 16, ), esto se hace con la finalidad de establecer la operacin que permite pasar de un trmino de la primera sucesin, al trmino que le corresponde en la segunda sucesin y de esta manera encontrar la regla algebraica para obtener la segunda sucesin. En este caso la operacin que se debe hacer es restar 2 y entonces la regla algebraica para obtener la sucesin 1, 4, 7, 10, 13, 16, es 3n 2. Es posible que algunos alumnos hayan encontrado sus propios procedimientos para obtener la regla algebraica. Se sugiere que pida a esos alumnos que pasen al pizarrn a explicar sus procedimientos. Respuestas. a)La diferencia es 3. b)3n. c)Restar 2. d)3n 2.

33. 33Libro para el maestro 17 IIMATEMTICAS III.Observa el diagrama y responde las preguntas. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 6, 11, 16, 21, 26, 31, a) Cul es la regla algebraica para obtener la primera sucesin? b) Cul es la operacin que debemos hacer para pasar de cada trmino en la primera sucesin a su correspondiente trmino en la segunda sucesin? c) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin 6, 11, 16, 21, 26, 31, ? d) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin 15, 10, 5, 0, 5, 10, ? Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar las reglas algebraicas y encuentren la regla verbal y la regla algebraica para obtener la sucesin 11, 6, 1, 4, 9, 14, A lo que llegamos En las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es una constante, podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del trmino por la diferencia de los trminos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada. Por ejemplo: En la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, , la diferencia es de 5. Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada trmino en la sucesin que se obtiene con la regla 5n, a su correspondiente trmino en la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, , debemos restar 13. Entonces la regla para obtener la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, es 5n 13. MAT2 B3 S18.indd 17 9/10/07 12:28:31 PM Propsito de la actividad. Que los alumnos comparen la sucesin que se obtiene con la regla 5n con dos sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es 5, de esta manera lograrn obtener la regla algebraica de cada sucesin. En la confrontacin grupal usted puede pedir a un alumno que pase al pizarrn a hacer el diagrama para comparar la sucesin que se obtiene con la regla 5n con la sucesin 11, 6, 1, 4, 9, 14, Respuestas. a)5n. b)Sumar 1. c)5n + 1. d)5n 20. Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con sus alumnos apoyndose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente usted puede proponer otra sucesin para que identifiquen la diferencia entre los trminos consecutivos y para que establezcan la regla algebraica.

34. 34 Libro para el maestro Respuestas. a)492. b)No. c)S. d)142. e)Est en el lugar 28. Una forma de averiguar si un nmero est en una sucesin determinada, es por medio de estimaciones: a partir de un trmino que ya se conoce de la sucesin y que sea cercano al trmino propuesto. Para obtener el lugar de un trmino, se puede proceder tambin por aproximaciones; otra forma es recurrir a la misma regla para despejar a n, por ejemplo, para encontrar el lugar del trmino del nmero 132 a partir de la regla 5n 8, se suma 8 y luego se divide entre 5. Sugerencia didctica. La sucesin que se obtiene con la regla del inciso c) tiene nmeros decimales; es importante que los alumnos practiquen el manejo de estos nmeros al obtener la sucesin. Respuestas. a)19, 11, 3, 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, b)18, 11, 4, 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, c)2.5, 0.5, 1.5, 3.5, 5.5, 7.5, 9.5, 11.5, 13.5, 15.5, 18 secuencia 18 iV.Para la sucesin que se obtiene con la regla 5n 8: a) Cul es el trmino que est en el lugar 100? b) El nmero 500 est en la sucesin? c) El nmero 497 est en la sucesin? d) Cul es el trmino que est en el lugar 30? e) En que lugar de trmino est el nmero 132? Comparen sus respuestas. Lo que aprendimos 1. Encuentra los primeros 10 trminos de las sucesiones que se obtienen con las siguientes reglas: a) Sumar 8 al trmino anterior y el primer trmino es 19 b) 7n 25 c) 2n 4.5 2. Responde las preguntas para la sucesin 23, 16, 9, 2, 5, 12,19, a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin? b) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin? c) La regla verbal para obtener esta sucesin es sumar al trmino anterior y el primer trmino es d) Cul es el trmino que ocupa el lugar 78? e) En qu lugar de trmino est el nmero 201? 3. Responde a las preguntas sobre la siguiente sucesin: 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin? b) Expresa la regla algebraica para obtener la sucesin. c) Cul es el trmino que ocupa el lugar 25 en la sucesin? d) Cul es el trmino que ocupa el lugar 278? e) Qu lugar ocupa el nmero 101.5 en esta sucesin? MAT2 B3 S18.indd 18 9/10/07 12:28:31 PM Propsito de la actividad. Que los alumnos trabajen con sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos sucesivos es 1, por lo que en la regla algebraica la n aparece sin coeficiente, al estar multiplicada por 1. Respuestas. a)La diferencia es 1. b)n 3.5 c)21.5 d)274.5 e)El lugar 105. Respuestas. a)La diferencia es 7. b)7n 30. c)Sumar 7 al trmino anterior y el primer trmino es 23. d)516. e)En el lugar 37.

35. 35Libro para el maestro 19 IIMATEMTICAS 4. En la columna de la izquierda se presentan los primeros trminos de algunas sucesiones y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relaciona ambas columnas. Trminos de la sucesin Reglas ( ) 10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, ( ) 7, 3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, ( ) 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17, 22, ( ) 11, 7 3, 1, 5, 9, 13, 17, ( ) 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, 24, ( ) 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, (a) 5n 13 (b) 2n 12 (c) 4n 15 (d) 2n 8 (e) 4n 7 (f) 5n 16 (g) 4n 11 (h) 5n 18 (i) 2n 10 DE MAYOR A MEnOR Para empezar En la sesin anterior, encontraste reglas para sucesiones en las que los trminos iban aumentando. Ahora trabajars con sucesiones en las que los trminos van disminuyendo. Encuentren los primeros 10 trminos de la sucesin que se obtiene con la regla 4n. Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin? Consideremos lo siguiente Completa la siguiente sucesin de nmeros: 6, 2, , , 10, , 18, 22, , , , a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin? b) Escribe una regla para encontrar el trmino en el lugar n. Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar la regla y la diferencia entre dos trminos consecutivos. SESin 3 MAT2 B3 S18.indd 19 9/10/07 12:28:32 PM Propsitos de la sesin. Construir sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesin de nmeros con signo de este tipo. Propsito de la actividad. Que los alumnos exploren una regla algebraica en la que la n est multiplicada por un nmero negativo. Se espera que los alumnos generen la sucesin numrica que se obtiene al aplicar la regla 4n; esta sucesin ser importante para elaborar, posteriormente, la regla que permite encontrar el trmino en el lugar n. Sugerencia didctica. Para obtener la diferencia usted puede pedir a un alumno que pase al pizarrn a realizar la operacin: (8) (4) = (8) + 4 = 4 De esta manera, adems, podrn recordar cmo se hace una resta de nmeros negativos. b g h c f i Propsito de la actividad. Proponer la regla algebraica para obtener una sucesin en la que los trminos van disminuyendo. Posible respuesta. Algunos alumnos podran escribir Restar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 6. Si bien esta regla es correcta, lo que se pide es el trmino en el lugar n y esto debe hacerse con una regla algebraica; no obstante esa regla verbal es aceptable por el momento. Posibles errores. Algunos alumnos podran considerar que la diferencia es de 4 y que la regla es 4n + 2. Otros ms podran considerar que la diferencia es de 4, pero pueden proponer reglas incorrectas: 4n + 2 o 4n 2. Durante la confrontacin grupal puede pedirles que pasen al pizarrn a escribir los primeros trminos de la sucesin que se obtienen con estas reglas e invitarlos a que discutan cules reglas son vlidas y cules no. Respuestas. 6, 2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, a)4. b)4n + 10. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 4

36. 36 Libro para el maestro Propsito de la actividad. Identificar que hay tres reglas posibles para obtener esta sucesin: dos reglas verbales y la regla algebraica. Durante la sesin se utilizan reglas verbales del tipo sumar (4) al trmino anterior y el primer trmino es, para que identifique que, en estas sucesiones, la diferencia entre dos trminos consecutivos es 4 y en la regla algebraica se multiplica la n por 4. Respuestas. Restar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 6. 4n + 10. Sumar (4) al trmino anterior y el primer trmino es 6. Propsito de la actividad. Que los alumnos expresen la regla verbal para obtener una sucesin en la que los trminos van disminuyendo y que encuentren la diferencia entre dos trminos consecutivos de esa sucesin. Respuestas. a)Van aumentando. b)4. c)Van disminuyendo. d)Restar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 14. e)Sumar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 14. f) 10 14 = 4. 20 secuencia 18 Manos a la obra i. Seala con cules de las siguientes reglas podemos obtener cada uno de los trminos de la sucesin. Sumar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 6. Restar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 6. 4n 2 4n + 10 4n + 2 Sumar (4) al trmino anterior y el primer trmino es 6. ii. Responde las preguntas: a) En la sucesin 7, 3, 1, 5, 9, los trminos van aumentando o disminuyendo? b) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de esta sucesin? c) En la sucesin 14, 10, 6, 2, 2, los trminos van aumentando o disminuyendo? d) Una regla verbal para obtener esta ltima sucesin es restar al trmino anterior y el primer trmino es e) La sucesin tambin la podemos obtener con la regla sumar al trmino anterior y el primer trmino es f) Para calcular la diferencia entre dos trminos consecutivos, haz la resta del segundo trmino menos el primer trmino: = iii.Encuentra los primeros diez trminos de las sucesiones que se obtienen con las reglas indicadas. Lugar del trmino Regla algebraica 4n + 6 4n 2 4n 5 1 (4) 1 + 6 = (4) 1 2 = (4) 1 5 = 2 (4) 2 + 6 = (4) 2 2 = (4) 2 5 = 3 4 5 6 7 8 9 10 Recuerda que: Las multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y restas. MAT2 B3 S18.indd 20 9/10/07 12:28:35 PM 2 6 9 2 10 13 6 14 17 10 18 21 14 22 25 18 26 29 22 30 33 26 34 37 30 38 41 34 42 45 Propsito de la actividad. Que los alumnos apliquen reglas algebraicas en las que la n est multiplicada por un nmero negativo.

37. 37Libro para el maestro 21 IIMATEMTICAS a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de estas sucesiones? b) En estas sucesiones, los trminos van aumentando o disminuyendo? Comparen sus respuestas. IV.Responde las preguntas sobre la sucesin 7, 3, 1, 5, 9, 13, a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de esta sucesin? b) En la regla algebraica para obtener cada uno de los trminos de la sucesin, debemos multiplicar la n por c) Observa las dos sucesiones: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 7, 3, 1, 5, 9, 13, Cul es la operacin que debemos hacer para pasar de cada trmino en la primera sucesin a su correspondiente trmino en la segunda sucesin? d) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin 7, 3, 1, 5, 9, 13, ? Comparen sus respuestas. Encuentren la regla algebraica para obtener la sucesin 11, 15, 19, 23, 27, 31, A lo que llegamos Para las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es una constante: Si la constante es positiva, los trminos van aumentando. Si la constante es negativa, los trminos van disminuyendo. En estas sucesiones podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del trmino por la diferencia de los trminos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada. Por ejemplo: En la sucesin 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ., la diferencia es de 3. Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada trmino en la sucesin que se obtiene con la regla 3n, a su correspondiente trmino en la sucesin 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, , debemos sumar 1. Entonces la regla para obtener la sucesin 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, es 3n + 1. MAT2 B3 S18.indd 21 9/10/07 12:28:38 PM Respuestas. a)La diferencia es 4. b)Van disminuyendo. Propsito de la actividad. Que los alumnos comparen la sucesin que se obtiene con la regla 4n con la sucesin 7, 3, 1, 5, 9, 13, ..., para obtener la regla algebraica de la sucesin que se les presenta. Respuestas. a)4. b)4. c)Sumar 11. d)4n + 11. Respuesta. La regla es 4n 7. Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que regresen al problema del apartado Considere- mos lo siguiente y que apliquen el mismo procedimiento que se plantea en la actividad IV para verificar si la regla que propusieron es correcta o no. Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con los alumnos, posteriormente puede pedirles que escriban en sus cuadernos otras sucesiones y sus reglas algebraicas en las que la diferencia sea negativa.

38. 38 Libro para el maestro Respuestas. a)23, 17, 11, 5, 1, 7, 13, 19, 25, 31. b)6n + 29. c)7, 2, 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38. d)S son equivalentes. Sugerencia didctica. Si los alumnos tienen dificultades usted puede pedirles que obtengan los primeros trminos de cada sucesin. Una manera algebraica de ver que son equivalente es transformando la segunda expresin en una suma: 23 6n = 23 + (6n) = 6n + 23. Respuesta. Son equivalentes. Sugerencia didctica. Usted puede pedirles a dos alumnos que pasen al pizarrn a obtener los primeros trminos de cada sucesin. Otra manera de verlo es: 7 n = 7 + (n) = n + 7. Respuestas. a)Van aumentando. b)5. c)5n 17. d)Sumar 5 al trmino anterior y el primer trmino es 12. e)Van disminuyendo. f) 5. g)5n. h)Sumar 5 al trmino anterior y el primer trmino es 5. 22 secuencia 18 V. Responde las preguntas. a) Encuentra los primeros 10 trminos de la sucesin que se obtiene con la regla sumar (6) al trmino anterior y el primer trmino es 23. b) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin? c) Cules son los primeros 10 trminos de la sucesin que se obtiene con la regla 5n + 12? d) Son equivalentes las reglas 6n + 23 y 23 6n? Explica tu respuesta: Comparen sus respuestas. Comenten si son equivalentes las reglas 7 n y n + 7. Lo que aprendimos 1. Responde las preguntas. a) En la sucesin 12, 7, 2, 3, 8, 13, los trminos van aumentando o disminuyendo? b) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos en la sucesin? c) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin? d) Otra regla para obtener la sucesin es sumar al trmino anterior y el primer trmino es e) En la sucesin 5, 10, 15, 20, 25, 30, los trminos van aumentando o disminuyendo? f) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos en la sucesin? g) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin? h) Otra regla para obtener la sucesin es sumar al trmino anterior y el primer trmino es 2. Encuentra los primeros 10 trminos de la sucesin que se obtiene con la regla n 18. Indica la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin. MAT2 B3 S18.indd 22 9/10/07 12:28:38 PM Integrar al portafolios. Considere los problemas 2, 3 y 4 para evaluar los aprendizajes de los alumnos. Respuestas problema 2. Primeros 10 trminos de la sucesin: 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28. La diferencia entre dos trminos sucesivos es 1.

39. 39Libro para el maestro 23 IIMATEMTICAS 3. Encuentra una regla para las siguientes sucesiones: a) Que el segundo trmino sea 7 y el cuarto trmino sea 19. b) Que el tercer trmino sea 1 y el sexto trmino sea 14. 4. En la columna de la izquierda se presentan algunas reglas algebraicas y en la columna de la derecha, algunas reglas verbales. Relaciona las columnas con las reglas equivalentes. Regla algebraicas Reglas verbales ( ) 4n 12 ( ) 4n 8 ( ) 7n + 10 ( ) 7n 10 ( ) 4n 12 ( ) 7n 4 (a) Sumar (7) al trmino anterior y el primer trmino es 10 (b) Sumar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 12 (c) Sumar 7 al trmino anterior y el primer trmino es 3 (d) Sumar (4) al trmino anterior y el primer trmino es 16 (e) Sumar (7) al trmino anterior y el primer trmino es 3 (f) Sumar 7 al trmino anterior y el primer trmino es 3 (g) Sumar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 8 (h) Sumar (4) al trmino anterior y el primer trmino es 12 5. Para conocer ms sucesiones de nmeros con signo pueden ver el programa Sucesio- nes de nmeros con signo. Para saber ms Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Ruiz, Concepcin y Sergio de Rgules. El piropo matemtico, de los nmeros a las estrellas. Mxico: SEP/Edi- torial Lectorum, Libros del Rincn, 2003. Sobre las sucesiones de nmeros con signo consulta: http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_ aritmeticas.htm [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Proyecto Descartes. Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa. Explora las actividades del interactivo Sucesiones geomtricas con Logo. MAT2 B3 S18.indd 23 9/10/07 12:28:39 PM Propsito de la actividad. Este problema presenta un grado de dificultad mayor, pues no se conocen dos trminos consecutivos; este tipo de problemas permite que los alumnos exploren otros aspectos de las sucesiones numricas y de las reglas que las determinan; en este caso, les permite indagar sobre las condiciones presenta- das que establecen la diferencia entre dos trminos consecutivos. Posibles procedimientos. Una estrategia para resolver es calcular cunto cambi el valor de los trminos considerando el nmero de lugares entre un trmino y otro: en la primera sucesin, la diferencia entre 7 y 19 es 12 unidades, y hay 2 lugares entre ambos trminos: 12 2 = 6; la diferencia entre dos trminos consecutivos es 6. La sucesin es 1, 7, 13, 19, 25, 31, En la segunda sucesin, entre 1 y 14 se disminuye 15 unidades, y hay 3 lugares entre esos dos trminos: 15 3 = 5; la diferencia entre dos trminos consecutivos es 5. La sucesin es 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, Respuestas: a)Regla verbal: sumar 6 al trmino anterior y el primer trmino es 1. Regla algebraica: 6n 5. b)Regla verbal: sumar 5 al trmino anterior y el primer trmino es 11. Regla algebraica: 5n + 16. Propsito del programa integrador 13. Ejemplificar cmo se construye una sucesin de nmeros con signo a partir de una regla dada y mostrar cmo se obtiene la regla que genera una sucesin de este tipo. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y das de transmisin. g h e c d f Propsito del interactivo. Explorar y construir sucesiones geomtricas.

40. 40 Libro para el maestro 24 secuencia 19 Ecuaciones de primer grado En esta secuencia resolvers problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones con una incgnita. Piensa un nmero Para empezar El jugador A piensa un nmero y sin mostrarlo al jugador B, lo escribe en el cuadro entrada. Despus realiza las operaciones indicadas y le dice a B el nmero que obtu- vo en el cuadro salida. Entrada Smale 12 Salida Multiplcalo por 10 Diagrama 1 El jugador B tiene que encontrar el nmero que el jugador A escribi en la entrada y decrselo. Cuando el jugador B acierte, cambian los papeles y juegan otro turno. Consideremos lo siguiente Los nmeros de la siguiente tabla resultaron de aplicar las operaciones del diagrama anterior. Escriban los nmeros de entrada correspondientes. Nombre Entrada Salida Brenda 53 542 Sal 69 702 Jess 824.5 Ral 4 Comparen sus respuestas y expliquen cmo las obtuvieron. sesin 1 MAT2 B3 S19.indd 24 9/10/07 12:29:11 PM Propsito de la sesin. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones de la forma ax + b = c, invirtiendo las operaciones y el orden en que aparecen. Sugerencia didctica. Con la finalidad de que las reglas queden claras, inicie usted el juego adivinando los nmeros que piensen dos o tres de sus alumnos. Primero puede pedir a los alumnos que piensen nmeros naturales de 1 o 2 cifras, posteriormente puede indicarles que utilicen nmeros decimales y negativos. Propsito de la sesin en el aula de medios. Resolver ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesin 1. Propsito de la actividad. Se espera que los alumnos puedan identificar que, para obtener el nmero de entrada, es necesario invertir las operaciones: al nmero que se obtiene en la salida, se le resta 12 y luego se divide entre 10. Posibles dificultades. En caso de que algunos alumnos hayan optado por un procedimiento errneo, ese procedimiento encontrar sus limitaciones en el caso de Ral, pues el nmero de entrada es negativo. Respuestas. Jess: 81.25 Ral: 0.8 Eje Sentido numrico y pensamiento algebraico. Tema Significado y uso de las literales. Antecedentes En Matemticas I, los alumnos aprendieron a resolver ecuaciones de la forma a + x = b, ax = b y ax + b = c, con coeficientes enteros positivos. En esta secuencia aprendern a plantear y resolver ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con parntesis, con coeficientes enteros o fraccionarios, enteros y negativos. Propsitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones con una incgnita. Sesin Propsitos de la sesin Recursos 1 Piensa un nmero Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones de la forma ax + b = c, invirtiendo las operaciones y el orden en que aparecen. Aula de medios Ecuaciones (2) (Hoja de clculo) 2 El modelo de la balanza Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d, utilizando las propiedades de la igualdad. Video La balanza Interactivo Resolucin de ecuaciones Aula de medios Nmeros perdidos (Calculadora) 3 Ms all del modelo de la balanza Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con parntesis, con coeficientes enteros y fraccionarios, positivos y negativos. 4 Miscelnea de problemas Aplicar lo aprendido en las tres primeras sesiones mediante la solucin de problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones de primer grado. Programa integrador 14

41. 41Libro para el maestro 25 IIMATEMTICAS Manos a la obra I. Consideren que el nmero de Salida es 72. Escriban los nmeros que deben ir en el crculo azul y en el cuadro rojo. 72 Entrada Smale 12 Salida Multiplcalo por 10 Diagrama 2 a) Qu operacin hicieron con el nmero 72 para encontrar el nmero que va en el crculo azul? b) Qu operacin hicieron con el nmero del crculo azul para encontrar el nmero del cuadro de Entrada? c) Completen el siguiente diagrama escribiendo las operaciones que hicieron para encontrar los nmeros faltantes. 824.5 Entrada Salida Diagrama 3 II. Completen el siguiente diagrama. 8 Entrada Salida Smale 12Multiplcalo por 10 MAT2 B3 S19.indd 25 9/10/07 12:29:12 PM Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la regla que permite encontrar el nmero de Entrada. Respuestas. a)Restar: 72 12 = 60 b)Dividir: 60 10 = 6 Sugerencia didctica. Aclare a los alumnos que las lneas punteadas indican el procedimiento de regreso para encontrar el nmero inicial. Divdelo entre 10 Rstale 12

42. 42 Libro para el maestro 26 secuencia 19 iii. Consideren la siguiente adivinanza: Pens un nmero. Lo llam p, le rest 5, el resultado lo divid entre 4 y obtuve 2.75. a) Cul de los siguientes diagramas sirve para encontrar el valor de p? Diagrama 1 p 2.75 Rstale 5Divdelo entre 4 Smale 5Multiplcalo por 4 Diagrama 2 p 2.75 Divdelo entre 4Rstale 5 Multiplcalo por 4Smale 5 Diagrama 3 p 2.75 Smale 5Multiplcalo por 4 Rstale 5Divdelo entre 4 b) Cul de las siguientes ecuaciones corresponde a la adivinanza? Subryenla. p 4 + 5 = 2.75 p 5 4 = 2.75 (p 5) 4 = 2.75 c) Cul es el valor de p? Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron. Recuerden que: Una ecuacin es una igualdad donde hay un valor desconocido llamado incgnita. Resolver la ecuacin significa encontrar el valor de la incgnita. MAT2 B3 S19.indd 26 9/10/07 12:29:13 PM Respuestas. a) Diagrama 2 b) p 5 4 = 2.75 c)16 Sugerencia didctica. Organice la comparacin de resultados empezando por pedir el valor de p y revise con todo el grupo que, con las operaciones indicadas, se obtenga 2.75. Para verificar que la ecuacin que sealaron es la correcta, puede pedir a tres alumnos que pasen al pizarrn a sustituir la p por el valor encontrado. El valor de p es 16, En la primera ecuacin p 4 + 5 = 2.75, se obtiene 16 4 + 5 = 4 + 5 = 9. No es igual a 2.75 En la segunda ecuacin p 5 4 = 2.75, se obtiene 16 5 4 = 11 4 = 2.75 En la tercera ecuacin (p 5) 4 = 2.75, se obtiene (16 5) 4 = 11 4 = 44. No es igual a 2.75 Aproveche este momento para precisar que es necesario invertir las operaciones que se indican en el diagrama 2; esto puede verse de manera ms clara en el apartado A lo que llegamos.

43. 43Libro para el maestro 27 IIMATEMTICAS A lo que llegamos La ecuacin 10y + 12 = 4 se puede resolver haciendo un diagrama e invirtiendo las operaciones de la siguiente manera. Con lenguaje algebraico, se escribe: Haciendo un diagrama, se escribe: 10y + 12 = 4 y 10y + 12 = 4 + 12 10 10y 10y = 4 12 10y = 8 y 10y + 12 = 4 + 12 10 10y 12 y = (8) 10 y = 0.8 y 10y + 12 = 4 + 12 10 10y 12 10 IV. Completen el siguiente diagrama para resolver la ecuacin 6x + 22 = 4. Cul es el valor de x? x = x 4 Sumar 22Multiplcalo por 6 6x Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente. Para cada rengln de la tabla escriban la ecuacin correspondiente considerando que x es el nmero de entrada. Resuelvan la ecuacin y verifiquen si es el resultado que haban obtenido. MAT2 B3 S19.indd 27 9/10/07 12:29:14 PM Respuestas. Se resta 22 y despus se divide entre 6. El valor de x es 3. Sugerencia didctica. Durante la confrontacin, usted puede escribir los dos pasos para resolver la ecuacin 6x + 22 = 4 6x = 422 Primer paso 6x = 18 x = 18 6 Segundo paso x = 3 Sugerencia didctica. Solicite a los alumnos que realicen la verificacin en sus cuadernos. Para verificar pueden utilizar el diagrama o pueden sustituir por el valor de y. Verificacin. En la ecuacin 10y + 12 = 4, se sustituye la y por 0.8. 10 (-0.8) + 12 = (8) + 12 = 4.

44. 44 Libro para el maestro 28 secuencia 19 Lo que aprendimos 1. Planteen y resuelvan la ecuacin que corresponde al siguiente diagrama: a) Ecuacin: b) Cul es el valor de p? p = 2. Resuelvan la ecuacin 7x + 18 = 31. Verifiquen las soluciones. eL MODeLO De LA BALAnZA Para empezar La balanza El modelo de la balanza nos permite representar y resolver ecuaciones. Para ello es necesario que las acciones que se realicen en ambos lados de la balanza mantengan siempre el equilibrio. Consideremos lo siguiente La siguiente balanza est en equilibrio. En ella se colocaron anillos y pesas de un gramo 1 . El peso de los anillos no se conoce, pero todos los anillos pesan lo mismo. = Figura 1 Cunto pesa cada anillo? Comparen sus respuestas y comenten cmo encontraron el valor de cada anillo. sesin 2 p 34.5 Rstale 5Divdelo entre 4 MAT2 B3 S19.indd 28 9/10/07 12:29:15 PM Respuestas. a) p 4 5 = 34.5 b)158 Sugerencia didctica. En caso de que los alumnos tengan dificultades para plantear la ecuacin, usted puede, con la participacin de todo el grupo, hacer el planteamiento: p 4 5 = 34.5 p 4 = 34.5 +5 = 39.5 p = 4 x 39.5 = 158 Respuesta. x = 13 7 Verificacin: 7 (13 7 )+ 18 = 13 + 18 = 31 Sugerencia didctica. La verificacin se puede hacer usando el diagrama. Propsito de la sesin. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d, utilizando las propiedades de la igualdad. Descripcin del video. Se muestra cmo en una balanza pueden representarse ecuaciones de primer grado y resolverlas manteniendo siempre el equilibro. Conviene que se observe el video antes de comenzar la actividad para que los alumnos vean cmo funciona una balanza para mantener el equilibrio y despus trasladar el ejemplo aplicando las propiedades de la igualdad. Propsito de la sesin en el aula de medios. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d, utilizando las propiedades de la igualdad. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesin 2. Propsito del interactivo. Que los alumnos se familiaricen con el modelo de la balanza para resolver ecuaciones. Posibles procedimientos. Los alumnos pueden resolver el problema si identifican que la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho de la balanza es de 4 anillos, y si consideran las 2 pesas de un gramo de la balanza izquierda: El peso de los 4 anillos equivale a las 22 pesas de un gramo del lado derecho, menos las 2 pesas de un gramo del lado izquierdo. Esto es cada anillo pesa 5 gramos. Un posible error es que dividan los 22 gramos entre los 4 anillos sin considerar las 2 pesas que ya estn del lado izquierdo. Sugerencia didctica. Invite a los alumnos a comentar cmo es y para qu sirve una balanza, de ser posible lleve una balanza. Comente tambin con los alumnos qu quiere decir que la balanza se mantenga en equilibrio

45. 45Libro para el maestro 29 IIMATEMTICAS Manos a la obra I. Cules de las siguientes acciones mantendran la balanza en equilibrio? Subryenlas. Pasar un anillo del lado izquierdo al lado derecho. Quitar 1 anillo de ambos lados. Cambiar un anillo por una pesa de 1 gramo en el lado derecho. Quitar el mismo nmero de pesas de 1 gramo en ambos lados. Quitar 1 pesa de 1 gramo en ambos lados. Comparen sus respuestas y comenten porqu creen que mantienen el equilibrio de la balanza. II. A continuacin se presenta una nueva situacin con la balanza, completa lo que se te pide para hallar el peso de estos otros anillos. a) Cuntas pesas de 1 gramo se pueden quitar de cada lado sin que la balanza pierda el equilibrio? b) Ahora, cuntos anillos del mismo peso pueden quitarse de cada lado sin que se altere el equilibrio de la balanza? Despus de quitar las pesas de 1 gramo y los anillos del mismo peso, c) cuntos anillos quedan del lado izquierdo de la balanza? d) Cuntas pesas de 1 gramo quedan del lado derecho? e) Si dos anill

matemáticas ii vol. ii

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