matemáticas ii

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES

PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

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Curso Asignatura

1º Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación con la Prueba

de Acceso a la Universidad

La siguiente relación de objetivos, contenidos y niveles tiene como finalidad el servir de orientación para la elaboración de la Prueba de Acceso a la Universidad de la materia Matemáticas II. Esta relación se adapta al currículo de la asignatura y su objetivo es matizar y especificar con cierto detalle algunos aspectos de los apartados del currículo dedicados al Análisis, al Álgebra Lineal y a la Geometría. En todo caso, las orientaciones se ajustan a los contenidos de la asignatura descritos en el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, BOE del 6, por el que se establece la estructura y las enseñanzas mínimas de Bachillerato, así como a la Orden de 5 de Agosto de 2008, BOJA del 26, por la que se desarrolla el currículo correspondiente al Bachillerato en Andalucía. ANÁLISIS: - Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales. - Saber aplicar el concepto de límite de una función en el infinito para estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas. - Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación siguientes: infinito dividido por infinito, cero dividido por cero, cero por infinito, infinito menos infinito (se excluyen los de la forma uno elevado a infinito, infinito elevado a cero, cero elevado a cero) y técnicas para resolverlas. - Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto. - Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto. Saber hallar el dominio de derivabilidad de una función. - Conocer la relación que existe entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto. - Saber determinar las propiedades locales de crecimiento o de decrecimiento de una función derivable en un punto y los intervalos de monotonía de una función derivable. - Saber determinar la derivabilidad de funciones definidas a trozos. - Conocer y saber aplicar el teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación al cálculo de las derivadas de funciones con no más de dos composiciones y de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. - Conocer la regla de L'Hôpital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones. - Saber reconocer si los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) son extremos locales o puntos de inflexión. - Saber aplicar la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos. - Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma y=f(x) indicando: dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, intervalos de concavidad (f''(x)<0) y de convexidad (f''(x)>0) y puntos de inflexión. - Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información de la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.). - Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra. - Saber la relación que existe entre dos primitivas de una misma función. - Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado. - Saber calcular integrales indefinidas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales. - Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente. - Conocer la técnica de integración por cambio de variable, tanto en el cálculo de primitivas como en el cálculo de integrales definidas. - Conocer la propiedad de linealidad de la integral definida con respecto al integrando y conocer la propiedad de aditividad con respecto al intervalo de integración. - Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando. - Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función (el área como límite de sumas superiores e inferiores). - Conocer la noción de función integral (o función área) y saber el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow. - Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas. ÁLGEBRA LINEAL: - Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, transposición, producto de matrices, y saber cuándo pueden realizarse y cuándo no. Conocer la no conmutatividad del producto. - Conocer la matriz identidad I y la definición de matriz inversa. Saber cuándo una matriz tiene inversa y, en su caso, calcularla (hasta matrices de orden 3x3). - Saber calcular los determinantes de orden 2 y de orden 3. - Conocer las propiedades de los determinantes y saber aplicarlas al cálculo de éstos. - Conocer que tres vectores en un espacio de dimensión tres son linealmente dependientes si y sólo si el determinante es cero. - Saber calcular el rango de una matriz. - Resolver problemas que pueden plantearse mediante un sistema de ecuaciones. - Saber expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y conocer el concepto de matriz ampliada del mismo. - Conocer lo que son sistemas compatibles (determinados e indeterminados) e incompatibles. - Saber clasificar (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) un sistema de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo. GEOMETRÍA: - Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores en el plano y en el espacio.

2011/2012 MATEMÁTICAS II



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- Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente independientes o linealmente dependientes. - Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas y pasar de una expresión a otra. - Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo: el punto simétrico de otro con respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.). - Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos como sistemas de ecuaciones lineales. - Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contienen a una recta. - Conocer las propiedades del producto escalar y su interpretación geométrica. - Saber plantear y resolver razonadamente problemas métricos, angulares y de perpendicularidad (por ejemplo: distancias entre puntos, rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas, etc.). - Conocer el producto vectorial de dos vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular a otros dos, y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos. - Conocer el producto mixto de tres vectores y saber aplicarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralelepípedo.

2º Estructura de la prueba que se planteará para la asignatura.

Cada estudiante recibirá dos exámenes -etiquetados Opción A y Opción B- y tendrá que elegir uno de ellos sin que pueda mezclar ejercicios de una opción con ejercicios de la otra opción. Cada examen constará de cuatro ejercicios: dos de ellos de Análisis y dos de Álgebra Lineal y Geometría. Estos cuatro ejercicios se valorarán por igual.

3º Instrucciones sobre el desarrollo de la prueba.

3.1 De carácter general.

- En los ejercicios de la prueba no se pedirán las demostraciones de los teoremas. - Ningún ejercicio del examen tendrá carácter exclusivamente teórico.

3.2 Materiales permitidos en la prueba.

Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. Durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes.

4º Criterios generales de corrección (es imprescindible concretar las valoraciones que se harán en cada apartado y/o aspectos a tener en cuenta):

Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado y la ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio. También se tendrá en cuenta lo siguiente: - En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos. - Los estudiantes pueden utilizar calculadora que no sea programable, gráfica ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente razonados indicando los pasos más relevantes del procedimiento utilizado. - Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente. - Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo del 10% de la nota total del ejercicio; de igual manera se penalizará la redacción incorrecta y el uso incorrecto de símbolos. - La presentación clara y ordenada del ejercicio se valorará positivamente. - Si se realizan ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de examen.

5º Información adicional (aquella que por su naturaleza no está contenida en los apartados anteriores):

En los siguientes puntos de acceso electrónico: http://matema.ujaen.es/jnavas/web_ponencia/index.html pueden encontrarse, entre otra información, enlaces a otras páginas de profesores y centros de Enseñanza Secundaria que tienen colecciones de ejercicios y exámenes resueltos. Otras páginas de interés son http://www.ujaen.es/serv/acceso/inicio Estas orientaciones están disponibles en el punto de acceso electrónico: http://www.juntadeandalucia.es/innovacioncienciayempresa/sguit



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6º Modelo de prueba:



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7º Criterios específicos del modelo de prueba:

EJERCI

es deriva EJERCI

(1) [1cr

(2) [1en

EJERCI

y el punto(1) [1

re(2) [1

r EJERCI

(1) [1¿q

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Instruccioa) Durab) Tiene

ejercc) Contd) Pued

obten

ICIO 1. [2’

able, halla a

ICIO 2. Sea1'25 puntosreciente en 1'25 puntosn el punto d

ICIO 3. Co

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PR

ones: ación: 1 hora y es que elegir ecicios de la Opctesta de forma rdes usar calculnción de resulta

5 puntos]

y b.

a k ∈ y ses] Determintodo su doms] Para k =de abscisa x

onsidera el p

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ue la recta quetermina razecta que pas

todos los en hay entre

Y si se multi Indica una

n de los apar

UNIVER

RUEBA DE

30 minutos. entre realizar úción B. razonada y escladora (puede ados deben est

Sabiendo qu

⎪

⎪⎨⎧

=)(xf

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0= .

plano 2≡Π

a razonadamue pasa por zonadamensa por los pu

elementos delos determiiplican por

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RSIDADES

ACCESO

únicamente los

cribe ordenadamser programabtar suficienteme

Opción A

ue la funció

⎩⎨⎧

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+

5

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piedades de riores.

DE ANDA

A LA UNI

cuatro ejercici

mente y con letble o tener panente justificado

ón :f →

>

≤

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1 si

x

x

ón definida pk para los q

a recta tang

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iste y, en eseA y B es pay, en ese ca

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z de orden 3a matriz ori

los determi

ALUCIA

IVERSIDA

os de la Opció

ra clara. ntalla gráfica), os.

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por ( )f x =que la funció

gente a la gr

recta ≡xr

e caso, hallaaralela al plaso, halla undicular al pl

3x3 se multginal y de l

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AD

MM

ón A o bien re

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or

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ráfica de la

22

11 −=

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a un punto Bano π .

n punto C delano π .

tiplican por a nueva ma

hayas utiliz

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 1 19

alizar únicame

procesos cond

x . es

función f

31−

=z

B de la

e la recta

(−1), atriz?

zado en

RATO ICAS II 998-1999

nte los cuatro

ducentes a la

EJERCI

(1) [1 pu(2) [0'5 (3) [1 pu

EJERCI(1) [0'5 p(2) [2 pu

EJERCI

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EJERCI

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ejerc) Cond) Pue

obte

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puntos]. Enanterior.

PR

ones: ración: 1 hora ynes que elegir rcicios de la Opntesta de formaedes usar calcuención de resul

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ica los intervHay algún ináles son los

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nsidera la re

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Determina (1, 2, 3) y Qa s la rectaición relativ

e sabe que

lcula el valo

nuncia una

UNIVER

RUEBA DE

y 30 minutos. entre realizar

pción B. a razonada y esuladora (puedetados deben es

la derivada

valos de crentervalo de puntos críti

→ una funcepto de pritiva de la f

ecta 3−

≡xr

la ecuación

la ecuaciónQ = (–1, 0, 2a en la que va de las rec

.5=dcba

or de 33

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RSIDADES

ACCESO

únicamente los

scribe ordenadae ser programastar suficientem

Opción B

de una ciert

ecimiento ysu dominio

icos de f? C

unción contrimitiva de ffunción [:f

231

−==

− zy

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n del plano 2).

se cortan ctas r y s.

2626dcdbab

++

piedades de

DE ANDA

A LA UNI

s cuatro ejercic

amente y con leble o tener pan

mente justificad

ta función f

y de decrecimo en el que fClasifícalos.

tinua. f. [ ]0,1 →

.11

−+

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2π que es

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.

e los determ

ALUCIA

IVERSIDA

cios de la Opció

etra clara. ntalla gráfica),

dos.

[ ]: 3, 4f − →

miento de laf sea constan

definida po

perpendicul

s paralelo a

1π y 2π . D

minantes qu

AD

ón A o bien re

pero todos los

BM

MO

→ es la s

a función. nte?

or )( xexf =

lar a la recta

la recta r y

Determina

ue hayas us

ealizar únicame

s procesos con

BACHILLERMATEMÁTICODELO 1 19

iguiente

.xe−

a r y pasa

y pasa por

de forma

ado en el

nte los cuatro

ducentes a la

RATO CAS II 998-1999

EJERCI

EJERCI(1) [1'5

con e(2) [1 pu

afirm

EJERCI

(con λ∈

EJERCI

(1) [1 pu(2) [1'5

matr


ejerc) Cond) Pue

obte

ICIO 1. [2'5

ICIO 2. Conpuntos]. Hel eje de abunto] ¿Hay

mativo, halla

ICIO 3. [2'5

∈ ) contien

ICIO 4. Con

unto]. Calcpuntos].

ricial XAAt

PR


5 puntos].

nsidera la cHalla una rescisas.

y algún punta la ecuació

5 puntos].

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nsidera la m

cula AAt y Siendo X u

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UNIVER

RUEBA DE



Calcula el v

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1

2

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to de la curvón de dicha

Prueba que

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matriz

A

tAA dondeuna matriz gún los valo

RSIDADES

ACCESO

únicamente los


Opción A

valor de la i

xxxx

−−−−

2

23

612

uación = xya tangente a

va en el querecta tangen

e todos los p

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halla unas

101010

⎜⎜⎝

⎛=

e tA denotacolumna, dres del pará

DE ANDA

A LA UNI

s cuatro ejercic


mente justificad

integral

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.322 +− xxa dicha curv

e la recta tante; en caso

planos de la

λ=λ− z)25

ecuaciones

.10⎟⎟⎠

⎞

a la matriz trdiscute y, enámetro real

ALUCIA

IVERSIDA

cios de la Opció


dos.

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angente sea o negativo, e

a familia

λ

paramétrica

raspuesta dn su caso, rλ .

AD

ón A o bien re

pero todos los

MM

rme un ángu

horizontal?explica por

as de dicha

e A. resuelve la

ealizar únicame

s procesos con

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 2 19SEPTIEMB

ulo de 45º

? En caso qué.

recta.

ecuación

nte los cuatro

ducentes a la

RATO ICAS II 998-1999 BRE

EJERCI(1) [1 pu

(2) [1 puy mínimo(3) [0'5 p EJERCI

)1( −=f

EJERCIparámetr

EJERCI(1) [1'75de cuyas (2) [0'75circunfer


ejerc) Cond) Pue

obte

ICIO 1. unto]. Halla

unto]. Hallaos locales ypuntos]. Es

ICIO 2. [2

1 y =)(' xf

ICIO 3. [2'5ro λ ,

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5 puntos]. rencia.

PR


a las asíntot

a las regiony globales sisboza la grá

’5 puntos]

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

1 22

exx

x

5 puntos].

(

Halla la ecugentes tiene

Determina

UNIVER

RUEBA DE



tas de la grá

f

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. Encuent

≤≤

<≤−

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xx

Clasifica el

(1 ) (1

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λ+ ++

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a si el pun

RSIDADES

ACCESO

únicamente los


Opción B

áfica de la fu

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=

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ra la funció

<

.1,0

l siguiente s

1 ) (1

yy

yλ

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+

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DE ANDA

A LA UNI

s cuatro ejercic


mente justificad

unción definx 2

decrecimie

ón derivabl

sistema de e

2

1

1 )

zz

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λ λ

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ALUCIA

IVERSIDA

cios de la Opció


dos.

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ento de f ind

le [: 1,1f −

ecuaciones s

⎫⎪⎬⎪⎭

entro es el p

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AD

ón A o bien re

pero todos los

BM

M

> 0 por

dicando sus

]→ qu

según los v

punto C = (3

xterior o e

ealizar únicame

s procesos con

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 2 19SEPTIEMB

máximos

ue cumple

alores del

3,2) y una

stá en la

nte los cuatro

ducentes a la

RATO CAS II 998-1999 BRE

EJERCI(1) [1 pu(2) [0'5

(3) [1 pu

EJERCI

se sabe

)(1

0∫ dxxf

EJERCIcerca del EJERCI

donde a, (1) [1 pu(2) [1'5 p


ejerc) Cond) Pue

obte

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unto]. Calc

ICIO 2. [2'

que tiene

.45

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ICIO 3. [2'l punto P =

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PR


nsidera la fula la derivad

Determina lo

cula ∫−2

1

(xxf

5 puntos].

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cula a, b, c y

'5 puntos].(3,1,4) así c

onsidera la m

no nulos. ermina el núalcula el ran

UNIVER

RUEBA DE



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.)dx

De la funci

mo relativo

y d.

. Halla elcomo la dist

matriz

=A

úmero de congo de A y r

RSIDADES

ACCESO

únicamente los


Opción A

→ defi

s de crecim

ión :f →

en ,1=x

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032⎜⎜⎜

⎝

⎛−

aba

ba

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DE ANDA

A LA UNI

s cuatro ejercic


mente justificad

finida en la f

miento y de d

→ definid

un punto

plano de ece el punto P

,43⎟⎟⎟

⎠

⎞

ccc

A que son licha matriz

ALUCIA

IVERSIDA

cios de la Opció


dos.

forma )(xf

decrecimien

a por xf )(

de inflexió

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linealmentetiene invers

AD

ón A o bien re

pero todos los

MM

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nto de f.

bxax += 23

ón en 0,0(

3=− z que dado.

independiesa.

ealizar únicame

s procesos con

BACHILLEMATEMÁTI

MODELO 3 19JUNIO

dcx ++2

)0 y que

está más

entes.

nte los cuatro

ducentes a la


O

EJERCI(1) [1 puecuación(2) [1'5 EJERCI(donde Lde f tien EJERCI

(1) [1 pucombinac(2) [1 pucombinac(3) [0'5 p

EJERCI

(1) [2 pu

que equid(2) [0'5


ejerc) Cond) Pue

obte

ICIO 1. unto]. Dibun 22 −= xypuntos]. H

ICIO 2. [2'Ln(x) es el lone la máxim

ICIO 3. Sea

,1(−=u

unto]. ¿Se pción lineal;

unto]. ¿Se pción lineal; puntos]. ¿S

ICIO 4.

untos]. Calc

diste de los puntos]. C

PR


uja la región.2

Halla el área

'5 puntos] Dogaritmo ne

ma pendiente

an los vecto

),3 ,2 , v

puede expresi no es así

puede expresi no es asíon u, v y z l

cula un pun

puntos P =Calcula el ár

UNIVER

RUEBA DE



n limitada po

a de la regió

Dada la funeperiano de e.

ores

)2 5, (2, −=

esar x comoí, explica poesar z comoí, explica polinealmente

nto R de la re

⎩⎨⎧

≡xx

s

= (1, 0, –1) yrea del trián

RSIDADES

ACCESO

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Opción B

or la curva d

ón descrita e

nción [: 1,fx), determi

), 4(=x

o combinacior qué. o combinacior qué. e independie

ecta s dada

−−−=−−

305

zyxyx

y Q = (2, 1, ngulo determ

DE ANDA

A LA UNI

s cuatro ejercic


mente justificad

de ecuación

en el apartad

]e → defiina cuál de l

3) 1, 4, y

ión lineal d

ión lineal d

entes? Justi

por

= ;07,0

l). minado por l

ALUCIA

IVERSIDA

cios de la Opció


dos.

n 3(xy −=

do anterior.

inida por flas rectas ta

,1,4(=z

de u y v? Si

e u y v? Si

ifica la resp

los puntos P

AD

ón A o bien re

pero todos los

BM

M

)x y la rect

( ) 1/f x x= +angentes a la

).8,−

es así, escr

es así, escr

uesta.

P, Q y R.

ealizar únicame

s procesos con

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 3 19JUNIO

ta de

( )Ln x+ a gráfica

ribe dicha

ribe dicha

nte los cuatro

ducentes a la


O

EJERCI

el logarit(1) [1'5 extremos(2) [1 puel eje OX EJERCI

donde no

punto (2,

EJERCI

(1) [1 pu(2) [1'5

soluc EJERCIvalores d


ejerc) Cond) Pue

obte

ICIO 1. Co

tmo neperiapuntos] D

s relativos dunto] CalcuX.

ICIO 2. [2'

o se anula e

, Ln(8).

ICIO 3. De

unto] Determpuntos] D

ciones hay?

ICIO 4. [2'del parámetr

PR


nsidera la f

ano de x. Determina lode f. ula la recta t

'5 puntos]

el denomina

e todos los p

mina el que Determina u?

'5 puntos]. ro real m,

UNIVER

RUEBA DE



función : (f

os intervalo

tangente a l

Determina

ador) por f

planos que c

≡r

pasa por eluno que es

Clasifica

52

4

xx

x

+

−

RSIDADES

ACCESO

únicamente los


Opción A

(0, )+∞ →

os de creci

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a una primi3

)(x

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=

contienen la

⎩⎨⎧

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9394

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l punto P = sté a 3 un

el siguiente

2

4 2 03 0y z

y zy m z m

+ =+ + =

+ =

DE ANDA

A LA UNI

s cuatro ejercic


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e f en el pun

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2

32xx

−+− tal

a recta r dad

==

;0,0

(1, 4, 0); nidades de

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00

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⎫⎪⎬⎪− ⎭

ALUCIA

IVERSIDA

cios de la Opció


dos.

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da por

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de ecuacione

AD

ón A o bien re

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MM

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f dada (en lo

fica de F pa

del origen,

es lineales

ealizar únicame

s procesos con

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 4 19

e Ln(x) es

como los

ráfica con

os puntos

ase por el

¿cuántas

según los

nte los cuatro

ducentes a la


EJERCI(1) [1 pu(2) [1'5

EJERCI EJERCI(1) [1 pu(2) [0'75(3) [0'75

EJERCI

(1) [1'75parámetr(2) [0'75

Se deseaque la pun perímsu super


ejerc) Cond) Pue

obte

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ICIO 4. Co

5 puntos]. ro a. 5 puntos].

a construir parte superimetro de 6 mrficie sea má

PR


onsidera la frmina los exetermina el

5 puntos]

ne el concepDa algún cr¿Es invertib

onsidera la r

⎩⎨⎧

++

≡2(

xr

Estudia la

Para a = 1 d

una ventanor es una s

m. ¿Qué dimáxima?

UNIVER

RUEBA DE



función :fxtremos relvalor de la

1

0∫

pto de inverriterio que p

ble la matriz

=A

recta r y el p

−−+++

2))1(

yxazya

posición re

determina e

na como la semicircunfmensiones d

RSIDADES

ACCESO

únicamente los


Opción B

→ defativos de f (integral

( )2

1 ( )f x+

rsa de una mpermita decz A siguiente

101201

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

plano π da

==

;02,0

zz

y

elativa de l

el punto de i

de la figuraferencia) qudebe tener p

DE ANDA

A LA UNI

s cuatro ejercic


mente justificad

finida en la (dónde se al

.dx

matriz cuadridir si una me? Justifica

.1

31

⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

ados, en func

y 3π ≡

la recta y

intersección

a (en la ue tenga para que

ALUCIA

IVERSIDA

cios de la Opció


dos.

forma (xflcanzan y cu

rada. matriz cuadra la respuest

ción de un p

3 .x z a− =

el plano se

n de la recta

AD

ón A o bien re

pero todos los

BM

M

.) 2xxex = uál es su va

rada es inveta.

parámetro r

egún los va

a con el plan

ealizar únicame

s procesos con

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 4 19

alor).

ertible.

real a, por

alores del

no.

nte los cuatro

ducentes a la


EJERCI

EJERCI

derivable

EJERCI

(1) [1 puhállalos. (2) [1'5

1π EJERCI

(1) [1'(2) [1 p


ejerc) Cond) Pue

obte

ICIO 1. [2'

ICIO 2. [2'

e, que su grá

ICIO 3. Se

unto] ¿Pue

puntos] ¿C

5 6x y≡ + +

ICIO 4. Con

5 puntos] punto] Det

PR


'5 puntos]

5 puntos]

áfica pasa p

sabe que la

eden determ

Cuál es la sit

7 5,z+ =

nsideremos

Halla el puntermina el p

UNIVER

RUEBA DE



Calcula el

lím→x

Determina

por el punto

a siguiente m

minarse a, b

tuación de l

2 x aπ ≡ +

s el punto P

r

nto de r máplano que p

RSIDADES

ACCESO

únicamente los


Opción A

siguiente lím

1))(sen(m

2

0 −−→ xex

x

la función

(1, l), que

matriz M tie

215

⎜⎜⎜

⎝

⎛=M

b, c, d? Jus

os planos d

2ay bz+ =

= (1, 0, –1

⎩⎨⎧

=−=+

≡1zyx

s cercano a asa por el p

DE ANDA

A LA UNI

s cuatro ejercic


mente justificad

mite

1

2

: (0, )f +∞ →

0)1(' =f y

ene rango 1,

.21

765

⎟⎟⎟

⎠

⎞

dcba

stifica la re

de ecuacione

y 3π

) y la recta

.0,0

P y la distapunto P y co

ALUCIA

IVERSIDA

cios de la Opció


dos.

→ sabien

que )('' xf

espuesta y,

es respectiv

3 2x cy≡ + +

r dada por

ancia entre Pontiene la re

AD

ón A o bien re

pero todos los

BM

MO

ndo que es

.1)x

=

en caso af

vas

1?dz+ =

P y r. ecta r.

ealizar únicame

s procesos con


dos veces

firmativo,

nte los cuatro

ducentes a la

RATO CAS II 98-1999

EJERCI(1) [0'5 (2) [2 pu

EJERCIpunto (3,

Determincon estos

EJERCI

(1) [1'5 p

halla el p(2) [1 pu EJERCI

(1) [1'5 (2) [1 pu


ejerc) Cond) Pue

obte

ICIO 1. puntos] Enuntos] Haci

ICIO 2. [2', 0) y que la

na sus extres elementos

ICIO 3.

puntos] D

punto dóndeunto] Halla

ICIO 4. Con

puntos] Dunto] Resu

PR


nuncia la Reiendo el cam

'5 puntos] a gráfica de

emos locale, esboza raz

Demuestra q

e lo hacen. a la ecuación

nsidera el s

iscute el sisuélvelo para

UNIVER

RUEBA DE



egla de Barmbio de var

∫π

0

x

De una fusu función

es así comozonadament

que las recta

n del plano

istema de e

25

xxx

stema segúna a = 8.

RSIDADES

ACCESO

únicamente los


Opción B

rrow. iable 2 tx =π

2 )cos( dxxx

unción deriderivada es

o sus intervte la gráfica

as x

r yz

=⎧⎪≡ =⎨⎪ =⎩

que contien

cuaciones q23

x y zx y zx ay z

+ − =+ + =+ + =

n los valores

DE ANDA

A LA UNI

s cuatro ejercic


mente justificad

,t calcula la

ivable :fs la que se m

alos de crea de f.

2 34 21

λλ

λ

+++

y

ne las rectas

que depende226

⎫⎪⎬⎪⎭

s de a.

ALUCIA

IVERSIDA

cios de la Opció


dos.

a integral

→ se smuestra en l

cimiento y

1

4

xs y

z

=⎧⎪≡ = −⎨⎪ =⎩

s r y s.

e de un pará

AD

ón A o bien re

pero todos los

BM

MO

sabe que pala figura.

de decrecim

2

μμ

μ

+−+

se int

ámetro real

ealizar únicame

s procesos con


asa por el

miento y,

tersecan y

a:

nte los cuatro

ducentes a la


EJERCI(1) [1 pu

(2) [1'5 ecuacion EJERCIzona impizquierdodebe tene EJERCI(1) [1'5 p

3 : (1,

son linea

(2) [1 pu

EJERCIecuacion

que se en


ejerc) Cond) Pue

obte

ICIO 1. unto] Esboz

puntos] Canes 02 =+x

ICIO 2. [2'presa debe oo, 3 cm. de er el cartel p

ICIO 3. puntos] De1, a), (a,

almente inde

unto] Dete

1 xπ ≡ +

ICIO 4. [2nes paramétr

ncuentran a

PR


za la gráfica

alcula el áre0 y 12 −x

5 puntos] ocupar 100 margen sup

para que se

etermina lo, 3, 2) y

ependientes

rmina la po

3 5,y z+ + =

2'5 puntosricas

2 unidades

UNIVER

RUEBA DE



a de la funci

⎩⎨⎧

=2

)(x

xf

ea del recint.0=

Una imprecm2. y hay perior y 2 cutilice la m

os valores d (0, 0, a)

s. Justifica l

osición relat

2 3π ≡

s] Calcula

r⎧⎪≡ ⎨⎪⎩

de distanci

RSIDADES

ACCESO

únicamente los


Opción A

ión :f →

−

+

si si22

3 xxxxx

to limitado

nta recibe eque dejar 4

cm. de marmenor cantid

el parámetr),

la respuesta

tiva de los p

3 3 2x y z+ +

todos los

10 5100250 1

xyz

= − +== −⎩

a del punto

DE ANDA

A LA UNI

s cuatro ejercic


mente justificad

→ dada po

−>

−≤

.1,1

xx

por la gráfi

el encargo d4 cm. de margen inferiordad de papel

ro a para lo

a.

planos cuyas

8=

planos per

5

2

t

t

P = (2, –7,

ALUCIA

IVERSIDA

cios de la Opció


dos.

or

ica de f, el e

de diseñar cargen derecr. Calcula l que sea po

s que los si

s ecuacione

y 3π ≡

rpendicular

l).

AD

ón A o bien re

pero todos los

BM

MO

eje OX y las

carteles en lcho, 4 cm. d

las dimensosible.

iguientes ve

es son:

3 3.z≡ =

res a la re

ealizar únicame

s procesos con


s rectas de

los que la de margen iones que

ectores de

ecta r de

nte los cuatro

ducentes a la


EJERCI

Dibuja sulocales, i EJERCImóvil B

:g →(1) [1'25el que la (2) [1'25región lim EJERCIr dada po

EJERCI

(1) [1'25(2) [1'25


ejerc) Cond) Pue

obte

ICIO 1. [2'5

u gráfica dintervalos d

ICIO 2. La se desplaz es la fun

5 puntos] Hfunción g ti5 puntos] ¿mitada por a

ICIO 3. [2'5or las ecuac

ICIO 4. Con

5 puntos] ¿P5 puntos] P

PR


5 puntos] C

determinande crecimien

recta de ecza según l

nción definidHalla el valiene su máx¿Coinciden ambas traye

5 puntos] Diones param

nsidera la m

Para qué vaPara a = 0 h

UNIVER

RUEBA DE



Considera l

f

do previamento y de dec

uación =ya trayectorda por )(xglor de c sabiximo local.

ambas trayectorias y ca

Dado el punmétricas:

r⎧⎪≡ ⎨⎪⎩

matriz B que

=B

alores de a thalla la inve

RSIDADES

ACCESO

únicamente los


Opción B

a función f

1)( 2x

xxf+

=

ente los sigurecimiento

24 +− x reria dada po

2) 2 xx +−=iendo que a

yectorias enalcula su áre

nto A = (3,

122

x ty tz t

= −= − += −⎩

e depende d

1112

2

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+aaaa

tiene B inversa de B.

DE ANDA

A LA UNI

s cuatro ejercic


mente justificad

:f → d

.2

uientes elemy la existen

presenta la or la curva

.cx + ambas traye

n algún otroea.

1, 0), halla

de un parám

.121

⎟⎟⎟

⎠

⎞

ersa? Justifi

ALUCIA

IVERSIDA

cios de la Opció


dos.

definida por

mentos: susncia de sime

trayectoria de ecuaci

ctorias coin

o punto? E

su simétrico

metro a.

ica la respue

AD

ón A o bien re

pero todos los

BM

MO

r

s asíntotas, etrías.

de un móviión (xgy =

nciden en el

En tal caso,

o respecto d

esta.

ealizar únicame

s procesos con


extremos

il A. Otro )x donde

l punto en

dibuja la

de la recta

nte los cuatro

ducentes a la


Instruccionea) Duraciób) Tienes

ejercicioc) La puntud) Contestae) Puedes

de resul

Ejercicio 1(a) [1 pun

(b) [1'5 pu

Ejercicio 2

es derivable

Ejercicio 3

calcula los

(a)

(b)

Ejercicio 4los planos d

U

PRUE

es: ón: 1 hora y 30 que elegir ent

os de la Opciónuación de cadaa de forma razousar calculadotados deben es

1. nto] Dibuja

untos] Halla

2. [2'5 punt

e.

3. [2’5 punt

siguientes d

[1 punto]

[1'5 puntos

4. [2’5 puntde ecuacion

UNIVERSI

EBA DE A

minutos. tre realizar únn B. a pregunta está onada y escribe

ora (puede ser pstar suficientem

el recinto li

y x=

a el área del

os] Calcula

tos] Sabiend

determinant3 3 1

5a b

d eg h

s] 222

a bd eg h

+++

tos] Halla lanes respectiv

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c

indicada en lase ordenadamenprogramable o t

mente justificad

imitado por 2 1,x +

l recinto con

a a y b sabie

( )f x⎧⎪= ⎨⎪

do que adg

tes y enunci1555

cfi

c bf ei h

a distancia vas 2x y+ +

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio

s mismas. nte y con letra ctener pantalla g

dos.

Opción A

los semieje2yx

=

nsiderado e

endo que la

25

ax xa bxx

⎧ +⎨

+⎩

2b ce fh i

=

ia las propie

entre el orig2 4z = y

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció

clara. gráfica), pero to

es positivos

e

en el apartad

función :f

si 2

si 2

x

x

≤

>.

2

edades que u

gen de coor 2x y z− +

BM

M

ón A o bien r

odos los proces

de coorden

1y x= −

do anterior.

: ,→ de

utilices:

rdenadas y 2.=

BACHILLERMATEMÁTIODELO 1 19

ealizar únicam

sos conducente

nadas y las c

efinida por

la recta inte


mente los cuatr

es a la obtenció

curvas

ersección de

ro

n

e

Instruccionea) Duraciób) Tienes

ejercicioc) La puntud) Contestae) Puedes

de resul

Ejercicio 1dimensione

Ejercicio 2

(a) [1 pun

punto d

(b) [1'5 pu

Ejercicio 3recta dada p

Ejercicio 4

(a)

(b) (c)

U

PRUE



1. [2’5 puntes del que ti

2.

ntos] Dibuja

de abscisa x

untos] Calc

3. [2’5 punpor las ecua

4. Considera

[1 punto]correspond[1 punto] [0'5 punto

UNIVERSI

EBA DE A



tos] De entiene área má

a el recinto l

1x = y el ej

ula el área d

ntos] Calculaciones

a el sistema

] Halla todiente tiene Resuelve el

os] Discute

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c


mente justificad

tre todos losáxima.

limitado po

e de abscisa

del recinto c

la las coord

1x −

de ecuacion

3

xxx

λ +⎧⎪ −⎨⎪ −⎩

odos los vinfinitas so

l sistema pael sistema p

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio


dos.

Opción B

s rectángulo

or la curva y

as.

considerado

denadas del

1 3 zy= + =

nes 2 2

7

yz

y zλ

+ =+ =

− − =

valores deloluciones. ara los valorpara los rest

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció


os de 40 kil

294

xy −= ,

o en el apart

punto simé

4 .2

z −

3 1

1λ

== −= +

.

l parámetro

res de λ entantes valor

BM

M

ón A o bien r

odos los proces

lómetros de

la recta tang

tado anterio

étrico del (l

o λ para

n el apartadores de λ .

BACHILLERMATEMÁTIODELO 1 19

ealizar únicam

sos conducente

e perímetro

gente a esta

or.

l, –3, 7) res

a los que

o anterior.


mente los cuatr

es a la obtenció

, calcula las

a curva en e

specto de la

el sistema

ro

n

s

el

a

a

Instruccionef) Duracióg) Tienes

ejercicioh) La puntui) Contestaj) Puedes

de resul

Ejercicio 1α, ,2<α d

Ejercicio 2

Ejercicio 3

(a) [1’5 pun1).

(b) [1 puntdetermi

Ejercicio 4

(a) [1’75 pu

(b) [0’75 pu

U

PRUE



1. [2’5 punde forma qu

2. [2’5 punto

3.

ntos] Halla

to] Determinada por (a

4. Considera

untos] Dete

untos] Resu

UNIVERSI

EBA DE A



ntos] Considue

os] Calcula

la ecuación

mina los vala).

a el sistema

ermina a y buelve el sist

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c


mente justificad

dera la func

2

α∫

lix→

n de la circu

lores de m

de ecuacion

24

3

⎪⎩

⎪⎨⎧

x

x

b sabiendo q

ema resulta

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio


dos.

Opción A

ción :f →

( )f x dx =

)tan((senim 20 xxx

→

unferencia q

m tales que

nes

3252

+−−+−+

azyxzyxzyx

que el sistem

ante.

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció


,→ defini

9 .2

=

.))x

que pasa po

el punto

.31

===

b

ma tiene inf

ón A o bien r

odos los proces

MM

ida por (xf

or los punto

(3, m) esté

finitas soluc

ealizar únicam

sos conducente

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 2 19SEPTIEM

2) xx −+=

os (0, 2), (0

é en la cir

ciones.

mente los cuatr

es a la obtenció


.2x Calcula

0, −2) y (−1

rcunferencia

ro

n

a

,

a

Instruccionef) Duracióg) Tienes

ejercicioh) La puntui) Contestaj) Puedes

de resul

Ejercicio 1función :f

tiene un pu810 ++ yx

Ejercicio 22xxy −α=

Ejercicio 3

más cercan

Ejercicio 4

(a) [1 punto

(b) [1’5 pun

U

PRUE



1. [2’5 punt: ,→ de

unto de infl.0=

2. [2’5 punt2 y el eje de

3. [2’5 punto

no al punto A

4. Consider

o] Determin

ntos] Calcu

UNIVERSI

EBA DE A



tos] Determefinida por

lexión en (−

tos] Calculae abscisas s

os] Calcula

1,1,1( −=A

ra la matriz

na para que

la 1−A para

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c


mente justificad

mina el valor

( )f x−2, 12) y q

a el valor dea 36. Repr

el punto de

1−x

).1

A =

valores del

a .2=b

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio


dos.

Opción B

r de las con

2·(x ax b= +que en dich

de α, positivresenta la cu

e la recta de

221 =+= y

1 00 34 1

b−⎛

⎜= ⎜⎜ −⎝

parámetro

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció


nstantes a, b

)bx c+ o punto la

vo, para quurva que se

ecuaciones

31

−+z

13 .b

− ⎞⎟⎟⎟− ⎠

b existe −A

ón A o bien r

odos los proces

MM

b y c sabien

recta tange

ue el área enobtiene par

s

.1−

ealizar únicam

sos conducente

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 2 19SEPTIEM

ndo que la g

ente tiene p

ncerrada enra dicho val

mente los cuatr

es a la obtenció


gráfica de la

por ecuación

ntre la curvaor de α.

ro

n

a

n

a

Instruccionek) Duraciól) Tienes

ejerciciom) La puntun) Contestao) Puedes

de resul

Ejercicio 1(a) [1 p

(b) [1’5

Ejercicio 2metros alca

(a) [1’5 pu(b) [1 punt

segundo

Ejercicio 3)6,1(=A y

Ejercicio 4

calcula (A

U

PRUE



1. punto] Dibuj

5 puntos] H

2. Un objetoanzada al ca

untos] Calcuto] Teniendos.

3. [2’5 puny )2,5(=B

4. [2’5 punt

) .21 AAt −

UNIVERSI

EBA DE A



uja el recinto

Halla el área

o se lanza vabo de t segu

ula el tiempdo en cuent

ntos] Deter) y tiene su

tos] Dada la

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c


mente justificad

o limitado p

,2+= xey

a del recinto

verticalmentundos, vien

)(th

o transcurrita que la ve

rmina la eccentro sobr

a matriz

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio


dos.

Opción A

por las curva

xey −=

o considerad

te hacia arrine dada por

555 t −−=

ido hasta alclocidad es

cuación de re la recta y

4321⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=A

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció


as

y =x

do en el apar

iba desde un

.5 2te−

canzar la al),(')( thtv =

la circunf.2xy =

,⎟⎟⎠

⎞

ón A o bien r

odos los proces

MM

.0

rtado anteri

n determina

tura máxim, calcula la

ferencia que

ealizar únicam

sos conducente

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 3 19JUNIO

ior.

ado punto. L

ma y el valorvelocidad a

e pasa por

mente los cuatr

es a la obtenció


O

La altura en

r de ésta. al cabo de 2

los puntos

ro

n

n

2

s

A

Instruccionek) Duraciól) Tienes

ejerciciom) La puntun) Contestao) Puedes

de resul

Ejercicio 1con un campts/metro yárea del terr

Ejercicio 2

Ejercicio 3

ABCD. El v

(a) [0’75 pu

Ejercicio 4

(a) [1 punt(b) [1’5 pu

U

PRUE



1. [2’5 punmino recto. y el de la vareno rectan

2. [2’5 punt

3. Los punto

vértice C co

untos] Dete

4. Considera

to] Halla losuntos] Toma

UNIVERSI

EBA DE A



tos] Se dispSi el preci

alla de los regular de áre

tos] De term

os 3,3(=A

onsecutivo d

ermina el vé

a la matriz

s valores deando ,1=λ

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c


mente justificad

pone de 28io de la valestantes ladea máxima q

mina a, b y c

)5,3 y =B

de B está en

értice C.

A

e λ para los resuelve el

A

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio


dos.

Opción B

88.000 pts. Plla que ha d

dos es de 10que se pued

c para que la

)2,3,3( so

n la recta de

(b) [0’75 p

1001121

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλ=

que la matrl sistema es

000

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx

A

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció


Para vallar de ponerse

00 pts/metrode vallar?

a curva y =

on los vértic

ecuaciones

puntos] De

.01

⎟⎟⎟

⎠

⎞

λ

riz A no tiencrito en form

.⎟⎟⎟

⎠

⎞

ón A o bien r

odos los proces

MM

un terreno en el lado

o, ¿cuáles so

cbxxa

++= 2

ces consecu

s 16

−−= yx

etermina el v

ne inversa. ma matricia

ealizar únicam

sos conducente

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 3 19JUNIO

rectangulardel camino

on las dime

c sea la sig

utivos de un

.2

1+= z

vértice D.

al

mente los cuatr

es a la obtenció


O

r colindanteo es de 800nsiones y e

guiente:

n rectángulo

ro

n

e 0 el

o

Instruccionep) Duracióq) Tienes

ejercicior) La puntus) Contestat) Puedes

de resul

Ejercicio 1Considera l

(a) [1'5(b) [1 p

Ejercicio 2

(a) [1'5(b) [1 p

Ejercicio 3rectas r y s

Ejercicio 4

U

PRUE



1. la función

5 puntos] Cpunto] Calc

2. Considera

5 puntos] Cpunto] Calc

3. [2’5 pundefinidas re

4. Considera

(a) [0'75(b) [0'75(c) [1 pu

son l

UNIVERSI

EBA DE A



:f →

Calcula los lícula el valor

a la función

Calcula (1∫cula una prim

tos] Halla lespectivame

1x −

a las matrice

A =

5 puntos] H5 puntos] Hunto] Encue

linealmente

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c


mente justificad

, definida p

( )f x⎧⎪= ⎨⎪⎩

ímites laterar de la deriv

:f →

1 ) xx e dx+ ⋅ ⋅mitiva de f c

las ecuacioente por

1 2 zy= − =

es 3 2

,4 3⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

alla los valoalla la matr

entra los pos

dependient

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio


dos.

Opción A

por

1

1 s1 0

xe+

ales de f en vada de f en

, definida p

.x cuya gráfica

nes de la re

1,2

z −−

x−

xX

y⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ores de x e yriz 1A− y casibles valor

1A

m⎛

⋅⎜⎝

tes.

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció


si 0.

si 0

x

x

≠

=

0.x = ¿Es f 1.x =

por ( )f x =

a pase por e

ecta que se

4 11 3

y− +=−

y U ⎛= ⎜⎝

y tales que lcula 1A U−

es de m par

m⎞⎟⎠

y 1m

⎛⎜⎝

ón A o bien r

odos los proces

MM

f continua e

(1 ) .xx e+ ⋅

el punto (0,

apoya perp

.2z=

79⎞⎟⎠

.

.AX U= .

ra los que lo⎞⎟⎠

ealizar únicam

sos conducente

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 4 19

en 0x = ?

3).

pendicularm

os vectores

mente los cuatr

es a la obtenció


mente en las

ro

n

s

Instruccionep) Duracióq) Tienes

ejercicior) La puntus) Contestat) Puedes

de resul

Ejercicio 1alcanza un es tangente Ejercicio 2

¿Qué repre Ejercicio 3respectivam Ejercicio 4

(a) [1 pu

corre(b) [1 pu(c) [0'5 p

U

PRUE



1. [2’5 punmáximo en a su gráfica

2. [2’5 punt

senta geom

3. [2’5 punmente, en lo

4. Considera

unto] Hallspondiente

unto] Resuepuntos] Dis

UNIVERSI

EBA DE A



tos] Determn 1,x = quea en el punt

tos] Calcula

métricamente

ntos] Calcus planos 2x

a el sistema

la todos lotiene al me

elve el sistemscute el siste

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c


mente justificad

mina una fu su gráfica to de abscis

a la siguient2

0∫

e?

ula el volum2 1x y z− + −

de ecuacion

x λ+⎧⎪⎨⎪⎩

os posiblesnos dos soluma para los ema para lo

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio


dos.

Opción B

unción polinpasa por el a 0.x =

te integral d2

2 4dx

x x+ +

men de un 1 0= y 2

nes

( 1)

2

y zy z

x y z

λ λ+ −+

+ −

valores duciones distvalores de

os restantes

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció


nómica de gpunto (1,1)

definida

3+.

cubo sabie2 2x y z− + −

1 1

3

zzz

=== −

del parámettintas. λ obtenidovalores de

ón A o bien r

odos los proces

MM

grado 3 sab) y que la re

endo que d5 0− = .

tro λ par

os en el aparλ .

ealizar únicam

sos conducente

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 4 19

biendo que vecta de ecua

dos de sus

ra los que

rtado anteri

mente los cuatr

es a la obtenció


verifica queación y x=

caras están

el sistema

ior.

ro

n

e x

n,

a

Instruccioneu) Duracióv) Tienes

ejerciciow) La puntux) Contestay) Puedes

de resul

Ejercicio 1

Ejercicio 2

(a) (b)

(c)

Ejercicio 3

Ejercicio 4al plano de

U

PRUE



1. [2'5 punt

2. Sea f la f

[1 punto [1 punto

locales d[0'5 punesbozo d

3. [2'5 punt

4. [2'5 puntecuación 3

UNIVERSI

EBA DE A



tos] Calcula

función defi

] Halla las ao] Determine f.

ntos] Teniene la gráfica

os] Discute

tos] Halla la3 2x y z+ + −

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c


mente justificad

a el valor de

finida para x

asíntotas dena los interv

ndo en cuede f.

e y resuelve

x

xλ⎧⎪⎨⎪⎩

as coordena7 0.− =

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio


dos.

Opción A

e la integral

2x ≠ por

e la gráfica dvalos de cre

enta los res

el siguiente

x y zx y z

x y z

λλ

λ

+ + =+ + =

+ + =

das del pun

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció


l 3

2

1

( 5)x−

+∫

2

( )2

xf xx

=+

de f. ecimiento y

sultados de

e sistema se

000

===

.

nto simétrico

ón A o bien r

odos los proces

MM

.xe dx−⋅

.2

de decrecim

los aparta

egún los val

o del punto

ealizar únicam

sos conducente

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 5 19

miento, y lo

dos anterio

ores de λ :

(1, 2,P = −

mente los cuatr

es a la obtenció


os extremos

ores, haz un

2)− respecto

ro

n

s

n

o

Instruccioneu) Duracióv) Tienes

ejerciciow) La puntux) Contestay) Puedes

de resul

Ejercicio 1coches entr

(a) [1(b) [1

Ejercicio 2

(a) (b)

Ejercicio 3

Ejercicio 4

U

PRUE



1. Se ha obsre las 2 h. y

'25 puntos]'25 puntos]

2. Considera

[1 punto

[1'5 punt

3. [2'5 punt

4. [2'5 punt

UNIVERSI

EBA DE A



servado quelas 6 h. de l

(v t] ¿A qué ho] ¿A qué ho

a las funcion

f

] Dibuja el

tos] Calcula

os] Resuelv

A =

os] Halla la

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c


mente justificad

e en una cala tarde vien

3 2) 15t t t= −ora circulan ora circulan

nes , :f g

( ) 6f x x= −

recinto limi

a el área del

ve la ecuació

1 12 3

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

a ecuación d

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio


dos.

Opción B

arretera de sne dada por

2 72 8t+ + plos coches los coches

,→ defin

2 ,x ( )g x

itado por la

l recinto de

ón matricia

y B =

del plano cu

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció


salida de unr

para [2,t ∈con mayor con menor

nidas por

| | ,x x= ∈

as gráficas d

scrito en el

l 2 2A X⋅ =

1 10 3

−⎛= ⎜ −⎝

uyo punto m

ón A o bien r

odos los proces

MM

na gran ciud

],6 . velocidad? velocidad?

.

de f y g. apartado an

2 ,B siendo

41⎞⎟⎠

.

más próximo

ealizar únicam

sos conducente

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 5 19

dad la veloc

Justifica la Justifica la

nterior.

o al origen e

mente los cuatr

es a la obtenció


cidad de los

respuesta.respuesta.

es ( 1, 2,1).−

ro

n

s

.

Instruccionez) Duracióaa) Tienes

ejerciciobb) La puntucc) Contestadd) Puedes

de resul

Ejercicio 1

(a) [1'5 p(b) [1 pun

Ejercicio 2capacidad estudian lasdichas med

Ejercicio 3

que equidis

Ejercicio 4

(a) (b)

U

PRUE



1. Sea :F

puntos] Detnto] Halla l

2. [2'5 puntde 250 cens medidas a

didas? Justi

3. [2'5 punt

stan de los p

4. Considera

[1'5 punt[1 punto

UNIVERSI

EBA DE A



,→ la fu

ermina (1Fla ecuación

tos] Una emntímetros capropiadas pfica la respu

os] Determ

planos de ec

3x

a el sistema

tos] Discute] Resuelve

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c


mente justificad

unción defin

( )F x

1). de la recta t

mpresa quiecúbicos. Ppara que la uesta.

ina los punt

12

x −

cuaciones

4 1x y+ − =

de ecuacion

101

bbb

⎛⎜⎜⎜⎝

e el sistemael sistema c

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio


dos.

Opción A

nida por

0(2

xt= +∫

tangente a l

ere fabricar Para utilizar

superficie t

tos de la rec

1 13

y z+= =

0 y 4

nes escrito

11

b xyz

⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ =⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠

a según los vcuando sea

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció


) .t dt

la gráfica de

vasos de cr la mínimtotal del vas

cta de ecuac

22

z +

4 3 1x z− − =

en forma m

2 02

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

valores del pcompatible

ón A o bien r

odos los proces

MM

e F en el pu

cristal de foma cantidad

so sea mínim

ciones

0.

matricial

parámetro bindetermin

ealizar únicam

sos conducente

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 6 19

unto de absc

orma cilíndrposible de

ma. ¿Cuále

b. nado.

mente los cuatr

es a la obtenció


cisa 1.x =

rica con unae cristal, sees deben ser

ro

n

a e r

Instruccionez) Duracióaa) Tienes

ejerciciobb) La puntucc) Contestadd) Puedes

de resul

Ejercicio 1

Estudia la d

Ejercicio 2

(a) (b)

Ejercicio 3intersección

y es tangen

Ejercicio 4para preparcontenidos

Suponiendode los tipos

U

PRUE



1. Sea :f

derivabilida

2. Considera

[1 punto[1'5 pun

3. [2'5 pun de las rect

nte a la recta

4. [2'5 puntrar tres tipoen kilos y p

o que el pres base de ca

UNIVERSI

EBA DE A



,→ la fu

ad de f.

a las funcion

(f

o] Dibuja la tos] Calcula

ntos] Hallatas de ecuac

a 3 3x y− +

tos] Un mayos de mezcprecios del k

MokBras

ColomPrecio (cad

eparado de lfé?

IDADES DE

ACCESO A

icamente los c


mente justificad

unción defin

nes [, : 0f g

( ) 2 (x sen= ⋅

región del pa el área de

a la ecuaciciones respe

2 4x y− − =

0.= Calcul

yorista de cacla, A, B y kilo en euro

Mka sil

mbia da Kg.)

las mezclas

E ANDALU

LA UNIVE

cuatro ejercicio


dos.

Opción B

nida en la fo

]0,2 ,π →

( )x y g

plano limitala región d

ión de la ectivas

0= y x −

la el punto d

afé disponeC, que en

os:

Mezcla A15 30 15 4

s no supone

UCIA

ERSIDAD

os de la Opció


orma ( )f x =

( ) (2g x sen=

ada por las gdescrita en e

circunferen

2 3 0y− + =

de tangencia

e de tres tiponvasa en sac

Mezcla B30 10 20 4'5

e coste algun

ón A o bien r

odos los proces

MM

3

3

13 0 13

x x

x x

⎧ − +⎪⎪

= ⎨⎪⎪ − +⎩

2 ).x

gráficas de fel apartado a

ncia cuyo c

.

a.

os base, Mocos de 60 K

Mezcla C1218304'7

no, ¿cuál es

ealizar únicam

sos conducente

BACHILLERMATEMÁTI

MODELO 6 19

2 si 3

si 2 si 3

+

+

f y de g. anterior.

centro es e

oka, Brasil yKg. con lo

C

s el precio d

mente los cuatr

es a la obtenció


2

2 1

1

x

x

x

≤ −

− < ≤

<

.

el punto de

y Colombias siguientes

de cada uno

ro

n

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e

a, s

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1

UNIVERSIDADES DE ANDALUCIAPRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:

a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de laOpcion A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.

c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en las mismas.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grafica), perotodos los procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar sufi-cientemente justificados.

Opcion A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula

limx→0

Ln(1 + x)− senx

x · senx,

siendo Ln(1 + x) el logaritmo neperiano de 1 + x.

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = ex/3.

(a) [1 punto] ¿En que punto de la grafica de f la recta tangente a esta pasa por el origen de coordenadas?Halla la ecuacion de dicha recta tangente.

(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto acotado que esta limitado por la grafica de f , la rectatangente obtenida y el eje de ordenadas.

Ejercicio 3. Considera las matrices

A =

1 0 01 m 01 1 1

, B =

0 1 11 0 00 0 0

y C =

1 0 00 1 01 0 1

.

(a) [1’25 puntos] ¿Para que valores de m tiene solucion la ecuacion matricial A·X + 2B = 3C ?

(b) [1’25 puntos] Resuelve la ecuacion matricial dada para m = 1.

Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(1, 0,−1), B(3, 2, 1) y C(−7, 1, 5) son vertices consecutivos de unparalelogramo ABCD.

(a) [1 punto] Calcula las coordenadas del punto D.

(b) [1’5 puntos] Halla el area del paralelogramo.

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BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : (0, +∞) −→ R la funcion definida por f(x) = (x − 1)Ln(x), dondeLn(x) es el logaritmo neperiano de x. Calcula la primitiva de f cuya grafica pasa por el punto (1,−3/2).

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Estudia la derivabilidad de la funcion f : R −→ R definida por

f(x) =

x

1− |x| si x 6= −1 y x 6= 1,

0 si x = −1 o x = 1.

Ejercicio 3. Considera las matrices A =

−2 −2 1−2 1 −2

1 −2 −2

y X =

xyz

.

(a) [1’25 puntos] Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que la matrizA + λI no tiene inversa.

(b) [1’25 puntos] Resuelve el sistema A ·X = 3X e interpreta geometricamente el conjunto de todassus soluciones.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Los puntos A(1, 1, 0) y B(2, 2, 1) son vertices consecutivos de un rectanguloABCD. Ademas, se sabe que los vertices C y D estan contenidos en una recta que pasa por el origen decoordenadas. Halla C y D.

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BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. En la figura adjunta puedes ver representada parte de la grafica de una funcion f que estadefinida en el intervalo (−3, 3) y que es simetrica respecto al origen de coordenadas.

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(a) [0’75 puntos] Razona cual debe ser el valorde f(0).

(b) [0’75 puntos] Completa la grafica de f .

(c) [1 punto] Halla f ′(x) para los x ∈ (−3, 3) enlos que dicha derivada exista.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la funcion f : R −→ R definida por f(x) = ax2 + bx + ctiene maximo absoluto en el punto de abscisa x = 1, que su grafica pasa por el punto (1, 4) y que∫ 3

−1f(x) dx =

322

. Halla a, b y c.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema deecuaciones

2x + y + z = mxx + 2y + z = my

x + 2y + 4z = mz

tiene mas de una solucion.

Ejercicio 4. [ 2’5 puntos] Halla la ecuacion de la recta que pasa por el punto (3, 1,−1), es paralela alplano 3x− y + z = 4 y corta a la recta interseccion de los planos x + z = 4 y x− 2y + z = 1.

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BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funcion f : R −→ R definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d estal que f(0) = 4 y que su grafica tiene un punto de inflexion en (1, 2). Conociendo ademas que la rectatangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula a, b, c y d.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0, 2] la graficade la parabola de ecuacion y = x2/4. Halla el valor de m para el que las areas de las superficies rayadasson iguales.

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Ejercicio 3.

(a) [1 punto] Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale -2 ¿Cuanto valeel determinante de la matriz 4A?

(b) [1’5 puntos] Dada la matriz B =

1 2 0λ 0 10 1 −2

, ¿para que valores de λ la matriz 3B + B2 no

tiene inversa?

Ejercicio 4. Considera la recta r ≡{

x + y − z = 1y = 2

y el plano π ≡ x− 2y + z = 0.

(a) [1 punto] Calcula el haz de planos que contienen a la recta r.

(b) [1’5 puntos] Halla el plano que contiene a la recta r y corta al plano π en una recta paralela alplano z = 0.

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BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + ctiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f(1) = 1. Calcula a, b y c.

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2 − 2x + 2.

(a) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 3.

(b) [1’75 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , la recta tangente obtenida yel eje OY.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Dadas las matrices

A =

−1 1 0

3 −2 01 5 −1

y B =

−5 0 3

1 −1 1−2 4 −3

,

halla la matriz X que cumple que A·X = (B ·At)t.

Ejercicio 4. Considera el punto P (−2, 3, 0) y la recta r ≡{

x + y + z + 2 = 02x− 2y + z + 1 = 0.

(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que pasa por P y contiene a la recta r.

(b) [1’5 puntos] Determina el punto de r mas proximo a P .

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BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funcion f : (0, 3) −→ R es derivable en todo punto de sudominio, siendo

f ′(x) =

{x− 1 si 0 < x ≤ 2,

−x + 3 si 2 < x < 3,

y que f(1) = 0. Halla la expresion analıtica de f .

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion continua definida por

f(x) =

{|2− x| si x < a,

x2 − 5x + 7 si x ≥ a,

donde a es un numero real.

(a) [0’5 puntos] Determina a.

(b) [2 puntos] Halla la funcion derivada de f .

Ejercicio 3. Dada la matriz A =

1 1 1m2 1 1m 0 1

, se pide:

(a) [1 punto] Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa.

(b) [1’5 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2.

Ejercicio 4. Considera una recta r y un plano π cuyas ecuaciones son, respectivamente,

x = ty = tz = 0

(t ∈ R)

x = αy = αz = β

(α, β ∈ R).

(a) [1’25 puntos] Estudia la posicion relativa de la recta r y el plano π.

(b) [1’25 puntos] Dados los puntos B(4, 4, 4) y C(0, 0, 0), halla un punto A en la recta r de maneraque el triangulo formado por los puntos A, B y C sea rectangulo en B.

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BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea Ln(1 − x2) el logaritmo neperiano de 1 − x2 y sea f : (−1, 1) −→ R lafuncion definida por f(x) = Ln(1− x2). Calcula la primitiva de f cuya grafica pasa por el punto (0, 1).

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + ctiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su grafica tiene un punto de inflexion en el

punto de abscisa x = −1. Conociendo ademas que∫ 1

0f(x) dx = 6, halla a, b y c.

Ejercicio 3. Considera los vectores −→u = (1, 1, 1), −→v = (2, 2, a) y −→w = (2, 0, 0).

(a) [1’25 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores −→u , −→v y −→w son linealmente indepen-dientes.

(b) [1’25 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores −→u +−→v y −→u −−→w son ortogonales.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Sabiendo que las rectas

r ≡ x = y = z y s ≡

x = 1 + µy = 3 + µz = −µ

se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que estan a mınima distancia.

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BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. Dadas la parabola de ecuacion y = 1 + x2 y la recta de ecuacion y = 1 + x, se pide:

(a) [1’5 puntos] Area de la region limitada por la recta y la parabola.

(b) [1 punto] Ecuacion de la recta paralela a la dada que es tangente a la parabola.

Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = (x + 3) e−x.

(a) [0’5 puntos] Halla las asıntotas de la grafica de f .

(b) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexion de su grafica.

(c) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .

Ejercicio 3. Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matrizcuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

(a) [0’5 puntos] El determinante de A3.

(b) [0’5 puntos] El determinante de A−1.

(c) [0’5 puntos] El determinante de 2A.

(d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son,respectivamente, 3C1 − C3, 2C3 y C2.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina el punto P de la recta r ≡ x− 12

=y + 1

1=

z

3que equidista de

los planos

π1 ≡ x + y + z + 3 = 0 y π2 ≡

x = −3 + λy = −λ + µz = −6− µ.

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BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. Sea la funcion f : R −→ R definida por

f(x) =

{x2 + 3 si x ≤ 1,

2− x2 si x > 1.

(a) [1’25 puntos] Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en x = 1.

(b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcion f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina el valor positivo de λ para el que el area del recinto limitado porla parabola y = x2 y la recta y = λx es 1.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones:

x + my − z = −2 + 2mymx− y + 4z = 5 + 2z6x− 10y − z = −1.

(a) [1’5 puntos] Discute las soluciones del sistema segun los valores de m.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Ejercicio 4. Se sabe que el plano Π corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A,B y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 unidades, donde O es el origen decoordenadas.

(a) [0’75 puntos] Halla la ecuacion del plano Π.

(b) [1 punto] Calcula el area del triangulo ABC.

(c) [0’75 puntos] Obten un plano paralelo al plano Π que diste 4 unidades del origen de coordenadas.

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BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = 3√

x.

(a) [0’5 puntos] Calcula la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 1.

(b) [0’5 puntos] Esboza el recinto limitado por la grafica de f y la recta tangente obtenida.

(c) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio 2. Considera la funcion f definida para x 6= −2 por f(x) =2x2 + 2x + 2

.


(b) [1’25 puntos] Estudia la posicion relativa de la grafica de f respecto de sus asıntotas.

Ejercicio 3. Considera la matriz

M(x) =

2x 0 00 1 x0 0 1

,

donde x es un numero real.

(a) [1’5 puntos] ¿Para que valores de x existe (M(x))−1? Para los valores de x obtenidos, calcula lamatriz (M(x))−1.

(b) [1 punto] Resuelve, si es posible, la ecuacion M(3)·M(x) = M(5).

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la perpendicular comun a las rectas

r ≡

x = 1 + αy = αz = −α

y s ≡

x = βy = 2 + 2βz = 0.

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BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea la funcion f : R −→ R definida por f(x) = 2x3 − 6x + 4. Calcula elarea del recinto limitado por la grafica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondienteal maximo relativo de la funcion.

Ejercicio 2. Dada la funcion f definida para x 6= −1 por f(x) =x3

(1 + x)2, determina:

(a) [1’5 puntos] Las asıntotas de la grafica de f .

(b) [1 punto] Los puntos de corte, si existen, de dicha grafica con sus asıntotas.


A =

1 0 −10 m 34 1 −m

, B =

1−1

3

y X =

xyz

.

(a) [0’75 puntos] ¿Para que valores de m existe la matriz A−1?

(b) [1 punto] Siendo m = 2, calcula A−1 y resuelve el sistema A·X = B.

(c) [0’75 puntos] Resuelve el sistema A·X = B para m = 1.

Ejercicio 4. Considera el plano π ≡ x− 2y + 1 = 0 y la recta r ≡{

x− 3y + z = 0x− y + az + 2 = 0.

(a) [1’25 puntos] Halla el valor de a sabiendo que la recta esta contenida en el plano.

(b) [1’25 puntos] Calcula el angulo formado por el plano π y la recta s ≡{

x− 3y + z = 0x− y + z + 2 = 0.

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BACHILLERATO

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] De entre todos los rectangulos que tienen uno de sus vertices en el origen de

coordenadas, el opuesto de este vertice en la curva y =2x2

x2 − 1(x > 1), uno de sus lados situado sobre

el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene areamınima.

Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : R −→ R definidas por

f(x) = 6− x2 y g(x) = |x|.

(a) [0’75 puntos] Dibuja el recinto acotado que esta limitado por las graficas de f y g.

(b) [1’75 puntos] Calcula el area del recinto descrito en el apartado anterior.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Una empresa cinematografica dispone de tres salas, A, B y C. Los preciosde entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un dıa la recaudacion conjunta de lastres salas fue de 720 euros y el numero total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala Ahubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudacion de 20euros mas. Calcula el numero de espectadores que acudio a cada una de las salas.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la ecuacion de una circunferencia que pase por el punto (−1,−8) y seatangente a los ejes coordenados.

UNIVERSIDADES DE ANDALUCIA

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

PLANES DE 1994 yDE 2002

MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2 e−x2

.


(b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremosrelativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).


Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x |x|.

(a) [0’75 puntos] Dibuja la region acotada del plano que esta limitada por la grafica de f y la bisectrizdel primer y tercer cuadrante.

(b) [1’75 puntos] Calcula el area de la region descrita en el apartado anterior.

Ejercicio 3. Se sabe que el sistema de ecuaciones

x+ αy = 1x+ αz = 1y + z = α

tiene una unica solucion.

(a) [1’25 puntos] Prueba que α 6= 0.

(b) [1’25 puntos] Halla la solucion del sistema.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula el area del triangulo de vertices A(0, 0, 1), B(0, 1, 0) y C, siendo C laproyeccion ortogonal del punto (1, 1, 1) sobre el plano x+ y + z = 1.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Halla una funcion f : R −→ R tal que su grafica pase por el punto M(0, 1),que la tangente en el punto M sea paralela a la recta 2x− y + 3 = 0 y que f ′′(x) = 3x2.

Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = ex + 4e−x.

(a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremosabsolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).

(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , el eje de abscisas y las rectasx = 0 y x = 2.

Ejercicio 3. Sabiendo que∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z

t u v

a b c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −6,

calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

(a) [0’75 puntos]

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3x −y −z3t u v

3a b c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

(b) [0’75 puntos]

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2y x z

−2u t v

−2b a c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

(c) [1 punto]

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z

t u v

2x− a 2y − b 2z − c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera el punto A(0, 1,−1), la recta r ≡

{

x− 2y + z = 02x− z = −4

y el plano

π ≡ x− 2y − z = 2. Halla la ecuacion de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1e /cm2 y para la base se empleaun material un 50% mas caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mınimo.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Siendo Lnx el logaritmo neperiano de x, halla el area de la superficie som-breada.

PSfrag replacements

1 3

y = Lnx

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones

x+ 3y + z = 1−x+ y + 2z = −1ax+ by + z = 4

tiene al menos dos soluciones distintas.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Se sabe que el triangulo ABC es rectangulo en el vertice C, que pertenece ala recta interseccion de los planos y+ z = 1 e y− 3z+3 = 0 , y que sus otros dos vertices son A(2, 0, 1)y B(0,−3, 0). Halla C y el area del triangulo ABC.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. De una funcion f : [0, 4] −→ R se sabe que f(1) = 3 y que la grafica de su funcion derivadaes la que aparece en el dibujo.

PSfrag replacements

1 32 4

1

(a) [0’5 puntos] Halla la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 1.

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . ¿En que punto alcanzala funcion f su maximo absoluto?

(c) [1 punto] Estudia la concavidad y la convexidad de f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula el area del recinto acotado que esta limitado por la recta y = 2x y

por las curvas y = x2 e y =x2

2.

Ejercicio 3.

(a) [1 punto] Sabiendo que la matriz A =

3 −2 11 −4 −2

−1 a− 1 a

tiene rango 2, ¿cual es el valor de a?

(b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones

3 −2 11 −4 −2

−1 −6 −5

x

y

z

=

10

−1

.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la perpendicular comun a las rectas

r ≡

x = 1y = 1z = α

y s ≡

x = β

y = β − 1z = −1.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula∫

0

−2

1

x2 + 2x− 3dx.

Ejercicio 2. Se sabe que la funcion f : (−1, 1) −→ R definida por

f(x) =

2x2 −1

2x+ c si −1 < x < 0,

√1− x si 0 ≤ x < 1.

es derivable en el intervalo (−1, 1).

(a) [1 punto] Determina el valor de la constante c.

(b) [0’5 puntos] Calcula la funcion derivada f ′.

(c) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la grafica de f que son paralelas a la rectade ecuacion y = −x.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones

x+ λy = λ

λx+ y + (λ− 1)z = 1λx+ y = 2 + λ

.

(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametro λ.


Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera las rectas

r ≡

{

x = y

z = 2y s ≡

{

x+ y = 1z = 3.

Halla la ecuacion de una recta que corte a r y s y sea perpendicular al plano z = 0.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. Sea f : [0, 2π] −→ R la funcion definida por f(x) = ex (cosx+ senx).

(a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

(b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = (x − 1) e2x. Calcula laprimitiva de f cuya grafica pasa por el punto (1, e2).

Ejercicio 3. Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. Elmencionado tendero observa que si vende a 1e las botellas del tipo A, a 3e las del tipo B y a 4e lasdel tipo C, entonces obtiene un total de 20e . Pero si vende a 1e las del tipo A, a 3e las del B y a6e las del C, entonces obtiene un total de 25e .

(a) [0’75 puntos] Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el numero de botellas de cada tipoque posee el tendero.

(b) [1 punto] Resuelve dicho sistema.

(c) [0’75 puntos] ¿Puede determinarse el numero de botellas de cada tipo de que dispone el tendero?(Ten en cuenta que el numero de botellas debe ser entero y positivo).

Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 0,−1) y B(2,−1, 3).

(a) [1’5 puntos] Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y por B.

(b) [1 punto] Calcula el area del paralelogramo de vertices consecutivos ABCD sabiendo que la rectadeterminada por los vertices C y D pasa por el origen de coordenadas.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. Considera la integral definida I =

∫

9

1

1

1 +√xdx.

(a) [1’5 puntos] Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables 1 +√x = t.

(b) [1 punto] Calcula I.

Ejercicio 2.

(a) [1 punto] Halla la ecuacion de la recta tangente a la parabola y = x2 que es paralela a la recta−4x+ y + 3 = 0.

(b) [1’5 puntos] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parabola y = x2 que pasan por elpunto (2, 0).

Ejercicio 3. Denotamos por M t a la matriz transpuesta de una matriz M .

(a) [1 punto] Sabiendo que A =

(

a b

c d

)

y que det(A) = 4, calcula los siguientes determinantes:

det (−3At) y

∣

∣

∣

∣

2b 2a−3d −3c

∣

∣

∣

∣

.

(b) [0’75 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B3 = I.Calcula det(B).

(c) [0’75 puntos] Sea C una matriz cuadrada tal que C−1 = Ct. ¿Puede ser det(C) = 3? Razona larespuesta.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la distancia entre las rectas

r ≡

x = 0

y − 1 =z − 2

−3

y s ≡

{

x− 1 = 1− z

y = 0.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = −1

3x2 +

2

3x+ 1.

(a) [1 punto] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en un punto de la misma deordenada y = 1, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa.

(b) [1’5 puntos] Calcula el area de la region del plano limitada por la grafica de f , la recta tangenteobtenida y el eje de ordenadas.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 32 litrosde capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa.


mx+ 2y + z = 2x+my = m

2x+mz = 0

.

(a) [0’5 puntos] Determina los valores de m para los que x = 0, y = 1 y z = 0 es solucion del sistema.

(b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible.

(c) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Considera los puntos P (6,−1,−10), Q(0, 2, 2) y R, que es el punto de inter-seccion del plano π ≡ 2x+ λy + z − 2 = 0 y la recta

r ≡

{

x+ y + z − 1 = 0y = 1.

Determina λ sabiendo que los puntos P , Q y R estan alineados.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = 2− x |x|.

(a) [0’75 puntos] Esboza la grafica de f .

(b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0.

(c) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 2.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Considera las funciones f : (0,+∞) −→ R y g : R −→ R definidas,respectivamente, por

f(x) = Lnx y g(x) = 1− 2x,

siendo Lnx el logaritmo neperiano de x. Calcula el area del recinto limitado por las rectas x = 1 y x = 2y las graficas de f y g.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Considera el sistema de ecuaciones

x+ 3y + z = 02x− 13y + 2z = 0

(a+ 2)x− 12y + 12z = 0

.

Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solucion trivial y resuelvelo para dichovalor de a.

Ejercicio 4. Considera el plano π ≡ 2x+ y − z + 7 = 0 y la recta r ≡

x = 1 + λ

y = 1 + λ

z = 1 + 3λ.

(a) [1 punto] Halla la ecuacion de un plano perpendicular a π y que contenga a la recta r.

(b) [1’5 puntos] ¿Hay algun plano paralelo a π que contenga a la recta r? En caso afirmativo determinasus ecuaciones.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que

limx→0

(

1

ex − 1−

a

2x

)

es finito. Determina el valor de a y calcula el lımite.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el area del recinto limitado por la

parabola de ecuacion y = (1

3x− b)2 y los ejes coordenados es igual a 8.

Ejercicio 3. Se sabe que

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los

siguientes determinantes:

(a) [0’75 puntos]

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 a11 3 a12 15 a13

a21 a22 5a23

a31 a32 5a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(b) [0’75 puntos]

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 a21 3 a22 3 a23

a11 a12 a13

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(c) [1 punto]

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 − a31 a22 − a32 a23 − a33

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Ejercicio 4. Las rectas

r ≡

{

x+ y − 2 = 02x+ 2y + z − 4 = 0

y s ≡

{

x+ y − 6 = 0x+ y − z − 6 = 0

contienen dos lados de un cuadrado.

(a) [1’25 puntos] Calcula el area del cuadrado.

(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano que contiene al cuadrado.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. De la funcion f : (−1,+∞) −→ R se sabe que f ′(x) =3

(x+ 1)2y que f(2) = 0.

(a) [1’25 puntos] Determina f .

(b) [1’25 puntos] Halla la primitiva de f cuya grafica pasa por el punto (0, 1).

Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = (x+ 1)(x− 1)(x− 2).

(a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grafica de f en el punto deabscisa x = 1.

(b) [1’5 puntos]Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f . ¿Tiene puntos de inflexionla grafica de f?


mx− y = 1x−my = 2m− 1

}

.

(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores de m.

(b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solucion en la que x = 3.

Ejercicio 4. Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(−1, 4, 3).

(a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos estan en el mismo plano. Halla la ecuacion de dicho plano.

(b) [0’75 puntos] Demuestra que el polıgono de vertices consecutivos ABCD es un rectangulo.

(c) [0’75 puntos] Calcula el area de dicho rectangulo.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. Se sabe que la funcion f : (−1,+∞) −→ R definida por

f(x) =

x2 − 4x+ 3 si −1 < x < 0,

x2 + a

x+ 1si x ≥ 0.

es continua en (−1,+∞).

(a) [1’25 puntos] Halla el valor de a. ¿Es f derivable en x = 0?

(b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el area de la region limitada por lacurva y = x2 y la recta y = bx es igual a 9/2.


A =

(

1 0 10 1 2

)

, B =

1 00 10 0

y C =

1 00 21 0

.

(a) [1’25 puntos] Calcula A·B, A·C, At ·Bt y Ct ·At, siendo At, Bt y Ct las matrices transpuestas deA, B y C, respectivamente.

(b) [1’25 puntos] Razona cuales de las matrices A, B, C y A·B tienen matriz inversa y en los casos enque la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Dados los vectores −→u = (2, 1, 0) y −→v = (−1, 0, 1), halla un vector unitario −→wque sea coplanario con −→u y −→v y ortogonal a −→v .




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] De la funcion f : R −→ R definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabeque tiene un maximo en x = −1, y que su grafica corta al eje OX en el punto de abscisa x = −2 y tieneun punto de inflexion en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, ademas, que la rectatangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.

Ejercicio 2. Se sabe que las dos graficas del dibujo corresponden a la funcion f : R −→ R definida porf(x) = x2ex y a su funcion derivada f ′.

(a) [1 punto] Indica, razonando la respuesta, cual es la grafica de f y cual la de f ′.

(b) [1’5 puntos] Calcula el area de la region sombreada.PSfrag replacements

12

−1

−2

−3−4

123

2

1

Ejercicio 3. Sean las matrices A =

(

2 13 −2

)

, B =

(

0 1 03 −1 2

)

y C =

(

1 2 0−1 1 4

)

.

(a) [1 punto] ¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calculala.

(b) [1’5 puntos] Determina la matriz X que cumple que A ·X + C ·Bt = B ·Bt, siendo Bt la matriztranspuesta de B.

Ejercicio 4. Considera el punto P (2, 0, 1) y la recta r ≡

{

x+ 2y = 6z = 2.

(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene a P y a r.

(b) [1’5 puntos] Calcula el punto simetrico de P respecto de la recta r.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. Sea f la funcion definida para x 6= 0 por f(x) =x2 + 1

x.

(a) [1 punto] Estudia y determina las asıntotas de la grafica de f .

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremosrelativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).


Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = e−x/2.


(b) [1’75 puntos] Calcula el area de la region acotada que esta limitada por la grafica de f , la recta deecuacion x = 2 y la recta tangente obtenida en (a).


x+ y + z = −2−λx+ 3y + z = −7

x+ 2y + (λ+ 2)z = −5

.



Ejercicio 4. Sean los vectores

−→v1 = (0, 1, 0), −→v2 = (2, 1,−1) y −→v3 = (2, 3,−1).

(a) [0’75 puntos] ¿Son los vectores −→v1 ,−→v2 y −→v3 linealmente dependientes?

(b) [0’75 puntos] ¿Para que valores de a el vector (4, a + 3,−2) puede expresarse como combinacionlineal de los vectores −→v1 ,

−→v2 y −→v3?

(c) [1 punto] Calcula un vector unitario y perpendicular a −→v1 y −→v2 .




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. Sea f la funcion definida para x 6= 1 por f(x) =ex

x− 1.



(c) [0’75 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f .

(d) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula la integral∫

3x3 + x2 − 10x+ 1

x2 − x− 2dx.


x+ 3y + z = 5mx+ 2z = 0my − z = m

.

(a) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene una unica solucion. Calculadicha solucion para m = 1.

(b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calculadichas soluciones.

(c) [0’5 puntos] ¿Hay algun valor de m para el que el sistema no tiene solucion?

Ejercicio 4. Sea el punto P (1, 0,−3) y la recta r ≡

{

2x− y − 1 = 0x+ z = 0.

(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene a P y es perpendicular a r.

(b) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto simetrico de P respecto de r.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Determina los puntos de la parabola de ecuacion y = 5 − x2 que estanmas proximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen decoordenadas.

Ejercicio 2. Se sabe que la funcion f : [0,+∞) −→ R definida por

f(x) =

√ax si 0 ≤ x ≤ 8,

x2 − 32

x− 4si x > 8.

es continua en [0,+∞).

(a) [0’5 puntos] Halla el valor de a.

(b) [2 puntos] Calcula

∫

10

0

f(x) dx.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Halla la matriz X que cumple que

A·X ·A−B =

(

0 00 0

)

,

siendo A =

(

3 1−2 −1

)

y B =

(

5 −21 3

)

.

Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(m, 0, 1), B(0, 1, 2), C(1, 2, 3) y D(7, 2, 1) estan en un mismo plano.

(a) [1’5 puntos] Halla m y calcula la ecuacion de dicho plano.

(b) [1 punto] ¿Estan los puntos B, C y D alineados?




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que

limx→0

x− α senx

x2

es finito. Determina el valor de α y calcula el lımite.

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion definida por

f(x) =

2x+ 4 si x ≤ 0,

(x− 2)2 si x > 0.

(a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la grafica de f con el eje de abscisas y esboza dicha grafica.

(b) [1’5 puntos] Halla el area de la region acotada que esta limitada por la grafica de f y por el eje deabscisas.


(b+ 1)x+ y + z = 2x+ (b+ 1)y + z = 2x+ y + (b+ 1)z = −4

.

(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametro b.


Ejercicio 4. Se sabe que las rectas

r ≡

{

x+ y − z − 3 = 0x+ 2y − 2 = 0

y s ≡

{

ax+ 6y + 6 = 0x− 2z + 2 = 0

son paralelas.

(a) [1’5 puntos] Calcula a.

(b) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene a las rectas r y s.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x 6= 0, por

f(x) =x2 − 1

x, g(x) = e1/x y h(x) = Ln |x|,

siendo Ln la funcion logaritmo neperiano.

(a) [1’75 puntos] Halla las ecuaciones de las asıntotas de las graficas de f , g y h.

(b) [0’75 puntos] Identifica, entre las que siguen, la grafica de cada funcion, justificando la respuesta.

Grafica 1 Grafica 2 Grafica 3 Grafica 4


∫

0

−1

Ln (2 + x) dx, siendo Ln la funcion logaritmo neperiano.

Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A =

0 0 −1−1 1 −11 0 b

.

(a) [1’25 puntos] Determina el valor de b para el que A2 − 2A+ I = O.

(b) [1’25 puntos] Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A·X − 2At = O, donde At denota lamatriz transpuesta de A.

Ejercicio 4. Considera las rectas r ≡

{

x+ z − 2 = 0x− y − 1 = 0

y s ≡x

2= y − 1 =

z

3.

(a) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano π que contiene a s y es paralelo a r.

(b) [1’25 puntos] Calcula la distancia de la recta r al plano π.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) =5x+ 8

x2 + x+ 1.

(a) [0’5 puntos] Calcula los puntos de corte de la grafica de f con los ejes coordenados.

(b) [0’5 puntos] Halla las asıntotas de la grafica de f .

(c) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremosrelativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).

(d) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .

Ejercicio 2. Considera la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x2 − 5x+ 4.


(b) [1’75 puntos] Calcula el area de la region acotada que esta limitada por el eje de ordenadas, porla grafica de f y por la recta tangente obtenida.

Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A =

(

2 11 2

)

.

(a) [1 punto] Halla los valores de x para los que la matriz A− xI no tiene inversa.

(b) [1’5 puntos] Halla los valores de a y b para los que A2 + aA+ bI = O.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas

r ≡

x = 6 + λ

y = 1− 2λz = 5− 7λ

y s ≡

{

2x− 3y + 1 = 03x− y − 2 = 0.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] De un terreno se desea vender unsolar rectangular de 12.800 m2 dividido en tres parcelas igua-les como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallarlas lindes de las tres parcelas (los bordes y las separacionesde las parcelas), determina las dimensiones del solar para quela longitud de la valla utilizada sea mınima.

Ejercicio 2. Calcula las siguientes integrales:

(a) [0’5 puntos]

∫

cos (5x+ 1) dx.

(b) [0’5 puntos]

∫

1√

(x+ 2)3dx.

(c) [1’5 puntos]

∫

1

0

xe−3x dx.


5x+ 2y − z = 0x+ y + (m+ 4)z = my

2x− 3y + z = 0

.

(a) [1 punto] Determina los valores del parametro m para los que el sistema tiene una unica solucion.

(b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solucion en la quez = 19.

Ejercicio 4. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los vertices de un triangulo.

(a) [0’75 puntos] Halla la ecuacion del plano π que contiene al triangulo.

(b) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen decoordenadas.

(c) [1 punto] Calcula el area del triangulo ABC.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. Se sabe que la grafica de la funcion f : R −→ R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx+ c esla que aparece en el dibujo.

(a) [1’25 puntos] Determina f .

(b) [1’25 puntos] Calcula el area de la region sombreada.

PSfrag replacements

1 2−1−2

y = f(x)

1

Ejercicio 2. Sea f la funcion definida para x 6= 2 por f(x) =x2 − 4x+ 3

x− 2.

(a) [1 punto] Estudia y determina las asıntotas de la grafica de f .


(c) [0’75 puntos] Calcula, si existen, el maximo y el mınimo absolutos de f en el intervalo [0, 2) (puntosen los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Alvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Alvaro dice a Marta: si tedoy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo quetiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.

Ejercicio 4. Considera el punto A(0,−3, 1), el plano π ≡ 2x−2y+3z = 0 y la recta r ≡ x+3 = y =z − 3

2.

(a) [1 punto] Determina la ecuacion del plano que pasa por A y contiene a r.

(b) [1’5 puntos] Determina la ecuacion de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. De la funcion f : (0,+∞) −→ R definida por f(x) =ax2 + b

xse sabe que la recta tangente

a su grafica en el punto de abscisa x = 1 viene dada por y = −2.

(a) [1’5 puntos] Calcula a y b.

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2 sen(2x). Calcula laprimitiva de f cuya grafica pasa por el punto (0, 1).


x+my + z = 0x+ y +mz = 2mx+ y + z = m

.

(a) [1 punto] ¿Para que valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones?

(b) [1’5 puntos] ¿Para que valores de m el sistema admite solucion en la que x = 1?

Ejercicio 4. Se sabe que las rectas

r ≡

x = 1 + t

y = −1− t

z = b+ t

y s ≡

{

x− y + z = 36x+ 2z = 2

estan contenidas en un mismo plano.

(a) [1’25 puntos] Calcula b.

(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano que contiene a las rectas r y s.




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. De una funcion f : R −→ R se sabe que f(0) = 2 y que f ′(x) = 2x.

(a) [1 punto] Determina f .

(b) [1’5 puntos] Calcula el area de la region limitada por la grafica de f , por el eje de abscisas y porlas rectas de ecuaciones x = −2 y x = 2.

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = (x− 1)2 e−x.


(b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen,sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtieneny valores que alcanza la funcion).


Ejercicio 3. [2’5 puntos] En una excavacion arqueologica se han encontrado sortijas, monedas ypendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Ademas, 4sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformadoe irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o unpendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo.

Ejercicio 4. Considera un plano π ≡ x+ y +mz = 3 y la recta r ≡ x = y − 1 =z − 2

2.

(a) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean paralelos.

(b) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean perpendiculares.

(c) [1 punto] ¿Existe algun valor de m para que la recta r este contenida en el plano π?




MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. De una funcion f : [0, 5] −→ R se sabe que f(3) = 6 y que su funcion derivada esta dadapor

f ′(x) =

5x− 2 si 0 < x < 1,

x2 − 6x+ 8 si 1 ≤ x < 5.

(a) [1 punto] Calcula la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 3.

(b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremosrelativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la funcion).

Ejercicio 2. Considera la integral definida I =

∫

8

3

1√1 + x− 1

dx.

(a) [1’25 puntos] Expresala aplicando el cambio de variables√1 + x− 1 = t.

(b) [1’25 puntos] Calcula I.

Ejercicio 3. Sabiendo que |A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c

d e f

g h i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2, calcula, indicando las propiedades que utilices, los

siguientes determinantes:

(a) [1 punto] | − 3A| y |A−1|.

(b) [0’75 puntos]

∣

∣

∣

∣

∣

∣

c b a

f e d

2i 2h 2g

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

(c) [0’75 puntos]

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b a− c

d e d− f

g h g − i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Ejercicio 4. Sean los planos π1 ≡ 2x+ y − z + 5 = 0 y π2 ≡ x+ 2y + z + 2 = 0.

(a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que esta en el plano π1 y que suproyeccion ortogonal sobre el plano π2 es el punto (1, 0,−3).

(b) [1 punto] Calcula el punto simetrico de P respecto del plano π2.


PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDADMATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = Ln (x2 + 1), siendo Ln la funcion logaritmoneperiano.

(a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de lafuncion f (puntos donde se alcanzan y valor de la funcion).

(b) [1’5 puntos] Calcula la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de inflexion deabscisa negativa.

Ejercicio 2. Sea f la funcion definida por

f(x) ={

ex − 1 si x ≥ 0xe−x2

si x < 0

(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dichopunto.

(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , el eje de abscisas y la rectax = −1.

Ejercicio 3. Sean −→u = (x, 2, 0), −→v = (x,−2, 1) y −→w = (2,−x,−4x) tres vectores de R3.

(a) [1 punto] Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes.

(b) [1’5 puntos] Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos.

Ejercicio 4. Sea r la recta de ecuacion

x = a + ty = 1− 2 tz = 4− t

y s la recta de ecuacionx− 1

2=

y + 21

=z

3

(a) [1’5 puntos] Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan.

(b) [1 punto] Calcula el punto de corte.



Instrucciones:






Opcion B


lımx→ 1

(1

Lnx− 1

x− 1

)


Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) =

−a

xsi x ≤ −1

x2 + 1 si x > −1

(a) [0’75 puntos] Halla el valor de a sabiendo que f es continua.

(b) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .

(c) [1’25 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , el eje de abscisas y las rectasx + 2 = 0 y x− 2 = 0.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales

λx + y − z = 1x + λy + z = λx + y + λz = λ2


(b) [1 punto] Resuelvelo para λ = 2.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla un punto A de la recta r de ecuacion x = y = z y un punto B de la

recta s de ecuacion x =y

−1=

z + 12

de forma que la distancia entre A y B sea mınima.



Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2 − |x|(a) [0’75 puntos] Estudia la derivabilidad de f .

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .

(c) [0’75 puntos] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la funcion).

Ejercicio 2. Calcula

(a) [1’5 puntos]∫

5x2 − x− 160x2 − 25

dx.

(b) [1 punto]∫

(2x− 3) · tg (x2 − 3x) dx, siendo tg la funcion tangente.


λx− y − z = −1x + λy + z = 4x + y + z = λ + 2


(b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina los puntos de la recta r de ecuaciones

{x = 0

y − 1 =z − 3

2que

equidistan del plano π de ecuacion x + z = 1 y del plano π′ de ecuacion y − z = 3.



Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma uncuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma delas areas de ambos recintos sea mınima.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Halla la funcion f : R −→ R sabiendo que f ′′(x) = 12x − 6 y que la rectatangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de ecuacion 4x− y − 7 = 0.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Resuelve AB t X = −2C, siendo Bt la matriz traspuesta de B y

A =(

1 0 32 −1 0

), B =

( −1 3 00 2 −2

)y C =

(1 40 −1

).

Ejercicio 4. Considera los puntos A(1, 0,−2) y B(−2, 3, 1).

(a) [1 punto] Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales.

(b) [1’5 puntos] Calcula el area del triangulo de vertices A, B y C, donde C es un punto de la rectade ecuacion −x = y − 1 = z. ¿Depende el resultado de la eleccion concreta del punto C?



Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Determina un punto de la curva de ecuacion y = x e−x2en el que la pendiente

de la recta tangente sea maxima.

Ejercicio 2. Sea I =∫ 2

0

x3

√1 + x2

dx.

(a) [1’25 puntos] Expresa I aplicando el cambio de variable t = 1 + x2.

(b) [1’25 puntos] Calcula el valor de I.

Ejercicio 3. Considera A =(

a 10 −a

), siendo a un numero real.

(a) [1 punto] Calcula el valor de a para que A2 −A =(

12 −10 20

).

(b) [1 punto] Calcula, en funcion de a, los determinantes de 2A y At, siendo At la traspuesta de A.

(c) [0’5 puntos] ¿Existe algun valor de a para el que la matriz A sea simetrica? Razona la respuesta.

Ejercicio 4. Considera el plano π de ecuacion 2x+y−z+2 = 0 y la recta r de ecuacionx− 5−2

= y =z − 6

m

(a) [1 punto] Halla la posicion relativa de r y π segun los valores del parametro m.

(b) [0’75 puntos] Para m = −3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.

(c) [0’75 puntos] Para m = −3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π.



Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. Sea f la funcion definida por f(x) =x4 + 3

x, para x 6= 0.

(a) [0’75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asıntotas de la grafica de f .

(b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f .


Ejercicio 2. [2’5 puntos] El area del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y =x2

ae y =

√ax,

con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Resuelve

2 0 51 1 −2

−1 1 1

xyz

+

−2

23

=

502

Ejercicio 4. Considera el punto P (3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones{

x + y − z − 3 = 0x + 2z + 1 = 0

(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene al punto P y a la recta r.

(b) [1’5 puntos] Determina las coordenadas del punto Q simetrico de P respecto de la recta r.



Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.

(a) [1’5 puntos] Sea f : R −→ R la funcion dada por f(x) = ax2+b. Halla los valores de a y b sabiendo

que∫ 6

0f(x) dx = 6 y que la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcion f en el punto

de abscisa 3 vale −12.

(b) [1 punto] Sea f : R −→ R la funcion dada por f(x) = x2 + p x + q. Calcula los valores de p y q

sabiendo que la funcion f tiene un extremo en x = −6 y su valor en el es −2.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula ∫(x2 − 1) e−x dx

Ejercicio 3. Sea

A =

1 1 −10 m− 3 3

m + 1 2 0

(a) [1 punto] Determina los valores de m ∈ R para los que la matriz A tiene inversa.

(b) [1’5 puntos] Para m = 0 y siendo X =(

x y z), resuelve X A =

(3 1 1

).

Ejercicio 4. Sea r la recta de ecuacionx− 5

2=

y + 2−1

=z

4y s la recta dada por

{3x− 2y + z = 2

−x + 2y − 3z = 2

(a) [1’5 puntos] Determina la posicion relativa de ambas rectas.

(b) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.



Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f (x) =x2 − x + 1x2 + x + 1

(a) [0’75 puntos] Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asıntotas de la grafica de f .

(b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y losvalores que alcanza en ellos la funcion f .


Ejercicio 2. [2’5 puntos] Halla el area del recinto limitado por la grafica de la funcion f(x) = senx ylas rectas tangentes a dicha grafica en los puntos de abscisas x = 0 y x = π.

Ejercicio 3. Sea A =(

4 21 3

)y sea I la matriz identidad de orden dos.

(a) [1’25 puntos] Calcula los valores λ ∈ R tales que |A− λI| = 0.

(b) [1’25 puntos] Calcula A2 − 7A + 10 I.

Ejercicio 4. Considera la recta r de ecuaciones{

x + y + z = 1x− 2y + 3z = 0

(a) [1’25 puntos] Determina la ecuacion del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ.

(b) [1’25 puntos] Calcula la proyeccion ortogonal del punto A(1, 2, 1) sobre la recta r.



Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : (1, +∞) −→ R la funcion dada por f(x) =x (Lnx)2

(x− 1)2, siendo Ln la

funcion logaritmo neperiano. Estudia la existencia de asıntota horizontal para la grafica de esta funcion.

En caso de que exista, hallala.

Ejercicio 2. Sea f : [0, 4] −→ R una funcion tal que su funcion derivada viene dada por

f ′(x) =

23

x si 0 < x < 3

−2x + 8 si 3 ≤ x < 4

(a) [1’75 puntos] Determina la expresion de f sabiendo que f(1) =163

.

(b) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 1.


x− y + z = 2x + λy + z = 8

λx + y + λz = 10



Ejercicio 4. Considera los puntos A(2, 1, 2) y B(0, 4, 1) y la recta r de ecuacion x = y − 2 =z − 3

2

(a) [1’5 puntos] Determina un punto C de la recta r que equidiste de los puntos A y B.

(b) [1 punto] Calcula el area del triangulo de vertices ABC.



Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. Se sabe que la funcion f : [0, 5] −→ R definida por f(x) =

{ax + bx2 si 0 ≤ x < 2

−4 +√

x− 1 si 2 ≤ x ≤ 5es derivable en el intervalo (0, 5).

(a) [1’75 puntos] Calcula las constantes a y b.

(b) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 2.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sean las funciones f y g : [0,+∞) −→ R , dadas por f(x) = x2 y g(x) = λ√

x,donde λ es un numero real positivo fijo. Calcula el valor de λ sabiendo que area del recinto limitado por

las graficas de ambas funciones es13

.


A =

1 1 02 1 1

m− 4 1 1−m

, X =

xyz

y O =

000

(a) [1 punto] Halla el valor de m ∈ R para el que la matriz A no tiene inversa.

(b) [1’5 puntos] Resuelve AX = O para m = 3.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la ecuacion de un plano que sea paralelo al plano π de ecuacionx + y + z = 1 y forme con los ejes de coordenadas un triangulo de area 18

√3 .



Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funcion definida por f (x) = x3 + a x2 + b x + 1

(a) [1’5 puntos] Determina a, b ∈ R sabiendo que la grafica de f pasa por el punto (2, 2) y tiene unpunto de inflexion de abscisa x = 0.

(b) [1 punto] Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grafica de f en el punto deinflexion.

Ejercicio 2. Sea f : (0, 2) −→ R la funcion definida por

f(x) ={

Ln x si 0 < x ≤ 1Ln (2− x) si 1 < x < 2


(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en el punto x = 1.

(b) [1’5 puntos] Calcula∫ 1′5

1f(x) dx.


A =( −3

2

), B =

(2 1

)y C =

( −1 −26 6

)

(a) [1’25 puntos] Halla, si existe, la matriz inversa de AB + C.

(b) [1’25 puntos] Calcula, si existen, los numeros reales x e y que verifican: C

(xy

)= 3

(xy

).

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Sea la recta r de ecuacionx− 1

1=

y + 23

=z − 3−1

y el plano π de ecuacion

x− y + z + 1 = 0. Calcula el area del triangulo de vertices ABC, siendo A el punto de corte de la recta r

y el plano π, B el punto (2, 1, 2) de la recta r y C la proyeccion ortogonal del punto B sobre el plano π.



Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular rectoque tenga una superficie total de 200 cm2. Determina el radio de la base y la altura de la lata para queel volumen sea maximo.

Ejercicio 2. Ejercicio 2.

(a) [0’75 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas y =15

1 + x2e y = x2 − 1.

(b) [1’75 puntos] Calcula el area de dicho recinto.


x + y − z = −43x + λy + z = λ− 12x + λy = −2


(b) [1’25 puntos] Resuelve el sistema para λ = 1.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla las ecuaciones parametricas de una recta sabiendo que corta a la recta rde ecuacion x = y = z, es paralela al plano π de ecuacion 3x+2y− z = 4 y pasa por el punto A(1, 2,−1).



MATEMATICAS II

Instrucciones:





e) Puedes usar calculadora cientıfica (no programable, sin pantalla grafica ysin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todoslos procesos conducentes a la obtencion de resultados deben estar suficiente-mente justificados.

Opcion A

Ejercicio 1.- Sea f : (0,+∞) −→ R la funcion definida por f(x) =3x + 1√

x.

(a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos def (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

(b) [1 punto] Calcula el punto de inflexion de la grafica de f .

Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x |x − 2|.

(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 2.

(b) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .

(c) [1 punto] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f y el eje de abscisas.

Ejercicio 3.- Sean I la matriz identidad de orden 2 y A =

(

1 m

1 1

)

.

(a) [1’25 puntos] Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A − I)2 = O, donde O esla matriz nula de orden 2.

(b) [1’25 puntos] Para m = 2, halla la matriz X tal que AX − 2AT = O, donde AT denota la matriztraspuesta de A.

Ejercicio 4.-

(a) [1’25 puntos] Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3) entres partes iguales.

(b) [1’25 puntos] Determina la ecuacion del plano perpendicular al segmento AB que pasa por supunto medio.



MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Determina una funcion f : R −→ R sabiendo que su derivada viene dadapor f ′(x) = x2 +x− 6 y que el valor que alcanza f en su punto de maximo (relativo) es el triple del valorque alcanza en su punto de mınimo (relativo).

Ejercicio 2.- Sea f : (−1,+∞) −→ R la funcion definida por f(x) = Ln(x + 1) (Ln denota la funcionlogaritmo neperiano).

(a) [1 punto] Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 0.

(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , la recta tangente obtenida enel apartado anterior y la recta x = 1.

Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones

ax + y + z = 4x − ay + z = 1x + y + z = a + 2

.

(a) [1’5 puntos] Resuelvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema que se obtiene para a = −2.

Ejercicio 4.- Considera los vectores ~u = (1, 1,m), ~v = (0,m,−1) y ~w = (1, 2m, 0).

(a) [1’25 puntos] Determina el valor de m para que los vectores ~u, ~v y ~w sean linealmente dependientes.

(b) [1’25 puntos] Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector ~w comocombinacion lineal de los vectores ~u y ~v.



MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Determina dos numeros reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadradoses maximo.

Ejercicio 2.- Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones definidas mediante

f(x) = x3 + 3x2 y g(x) = x + 3.

(a) [1’25 puntos] Esboza las graficas de f y de g calculando sus puntos de corte.

(b) [1’25 puntos] Calcula el area de cada uno de los dos recintos limitados entre las graficas de f y g.

Ejercicio 3.- Considera la matriz A =

(

1 −11 λ

)

.

(a) [1 punto] Determina la matriz B = A2 − 2A.

(b) [0’75 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa.

(c) [0’75 puntos] Calcula B−1 para λ = 1.

Ejercicio 4.- Considera los planos de ecuaciones x − y + z = 0 y x + y − z = 2.

(a) [1 punto] Determina la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planosdados.

(b) [1’5 puntos] Determina los puntos que equidistan de A(1, 2, 3) y B(2, 1, 0) y pertenecen a la rectainterseccion de los planos dados.



MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = 2x3 + 12x2 + ax + b. Determina a y b sabiendo que larecta tangente a la grafica de f en su punto de inflexion es la recta y = 2x + 3.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos]Dada la funcion f : R −→ R definida por f(x) = Ln(1 + x2), halla la primitiva de f cuya grafica pasapor el origen de coordenadas (Ln denota la funcion logaritmo neperiano).

Ejercicio 3.-

(a) [1 punto] Calcula la matriz inversa de A =

1 1 00 1 11 0 1

.

(b) [1’5 puntos] Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuelvelo usando la matriz A−1

hallada en el apartado anterior,x + y = 1y + z = −2

x + z = 3

.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(0, 3,−1) y B(0, 1, 5).

(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de x sabiendo que el triangulo ABC de vertices A(0, 3,−1), B(0, 1, 5)y C(x, 4, 3) tiene un angulo recto en C.

(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano que pasa por los puntos (0, 1, 5) y (3, 4, 3) y es paralelo

a la recta definida por las ecuaciones

{

x − y + z = 02x + y = 3



MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- Sea f : (0,+∞) −→ R la funcion definida por f(x) = x2Ln(x) (Ln denota la funcionlogaritmo neperiano).

(a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos def (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

(b) [1 punto] Calcula la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x =√

e.

Ejercicio 2.- Considera las funciones f : R −→ R y g : R −→ R definidas por

f(x) = ex−1 y g(x) = e1−x.

(a) [1’25 puntos] Esboza las graficas de f y de g y determina su punto de corte.

(b) [1’25 puntos] Calcula el area del recinto limitado por el eje OY y las graficas de f y g.

Ejercicio 3.- Considera las matrices A =

(

α 12 3

)

y B =

(

2 0−1 1

)

.

(a) [0’75 puntos] Determina los valores de α para los que la matriz A tiene inversa.

(b) [1’75 puntos] Para α = 1, calcula A−1 y resuelve la ecuacion matricial AX = B.

Ejercicio 4.-

Sea r la recta definida porx − 2

3=

y − k

4=

z

5y s la recta definida por

x + 2

−1=

y − 1

2=

z − 3

3.

(a) [1’25 puntos] Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto.

(b) [1’25 puntos] Determina la ecuacion del plano que contiene a las rectas r y s.



MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. Elprecio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centımetro cuadrado, respectivamente. Porotra parte, la suma de los perımetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. ¿Como hemos de elegirlos lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mınimo?

Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x(x − 3)2.

(a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

(b) [0’5 puntos] Haz un esbozo de la grafica de f .

(c) [1 punto] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f y el eje de abscisas.


x + y + z = 02x + λ y + z = 2x + y + λ z = λ − 1

.

(a) [1’5 puntos] Determina el valor de λ para que el sistema sea incompatible.


Ejercicio 4.- [2’5 puntos]Halla la ecuacion de la recta contenida en el plano de ecuacion x + 2y + 3z − 1 = 0 que corta perpendi-

cularmente a la recta definida por

{

x = 2z + 4y = 2z + 3

en el punto (2, 1,−1).



MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos]

De entre todos los rectangulos situados en el primercuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejescoordenados y un vertice en la recta r de ecuacionx

2+ y = 1 (ver figura), determina el que tiene mayor

area.

1

2 X

Yr

Ejercicio 2.- Sea I =

∫

2

2 − exdx.

(a) [1 punto] Expresa I haciendo el cambio de variable t = ex.

(b) [1’5 puntos] Calcula I.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Clasifica y resuelve el siguiente sistema segun los valores de a,

x + y + z = 0(a + 1)y + 2z = y

x − 2y + (2 − a)z = 2z

.

Ejercicio 4.-

Considera la recta r definida porx − 1

α=

y

4=

z − 1

2y el plano π de ecuacion 2x − y + βz = 0.

Determina α y β en cada uno de los siguientes casos:

(a) [1 punto] La recta r es perpendicular al plano π.

(b) [1’5 puntos] La recta r esta contenida en el plano π.



MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2e−x.

(a) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que sealcanzan).

(b) [1 punto] Estudia y determina las asıntotas de la grafica de f .

Ejercicio 2.- Sea f : (−2, 0) −→ R la funcion definida mediante f(x) =

α

xsi −2 < x ≤ −1

x2 − β

2si −1 < x < 0.

(a) [1’5 puntos] Determina α y β sabiendo que f es derivable.

(b) [1 punto] Calcula

∫

−1

−2

f(x) dx.

Ejercicio 3.- Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales

−λx + y + (λ + 1) z = λ + 2x + y + z = 0

(1 − λ)x − λ y = 0

tiene mas de una solucion.

(a) [1’5 puntos] Calcula, en dicho caso, el valor de la constante λ.

(b) [1 punto] Halla todas las soluciones del sistema.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Calcula la distancia del punto P (1,−3, 7) a su punto simetrico respecto dela recta definida por

3x − y − z − 2 = 0x + y − z + 6 = 0

}

.



MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = (x − 3)ex.

(a) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

(b) [1’5 puntos] Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en su punto de inflexion.

Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) =

{

1 + αx si x < 0e−x si x ≥ 0

(a) [1 punto] Determina el valor de α sabiendo que f es derivable.

(b) [0’5 puntos] Haz un esbozo de la grafica de f .

(c) [1 punto] Calcula

∫

1

−1

f(x) dx.

Ejercicio 3.-

(a) [1’5 puntos] Calcula el valor de m para el que la matriz A =

(

1 01 m

)

verifica la relacion 2A2−A = I

y determina A−1 para dicho valor de m.

(b) [1 punto] Si M es una matriz cuadrada que verifica la relacion 2M2−M = I, determina la expresionde M−1 en funcion de M y de I.

Ejercicio 4.-

(a) [1’5 puntos] Encuentra la ecuacion de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es paralelaa los planos π1 de ecuacion x + y + z = 3

√3 y π2 de ecuacion −x + y + z = 2.

(b) [1 punto] Halla la distancia de la recta r al plano π1.



MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- Sea f la funcion definida, para x 6= 2 y x 6= −2, por f(x) =x2 + 3

x2 − 4.

(a) [1 punto] Determina las asıntotas de la grafica de f .

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f

(puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).


Ejercicio 2.-Calcula

(a) [1 punto]

∫

3x + 4

x2 + 1dx.

(b) [1’5 puntos]

∫ π

4

0

x cos(2x) dx.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lohacen compatible:

x + m y = m

m x + y = m

m x + m y = 1

.

Ejercicio 4.- Considera el punto P (1, 0,−2) y la recta r definida por

{

2x − y = 52x + y − 4z = 7

(a) [1’5 puntos] Determina la recta perpendicular a r que pasa por P .

(b) [1 punto] Halla la distancia entre el punto P y su simetrico Q respecto de la recta r.



MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Determina la funcion f : R −→ R sabiendo que f ′′(x) = x2 − 1 y que la recta tangente a la grafica de f

en el punto de abscisa x = 0 es la recta y = 1.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos]Calcula β > 0 para que el area del recinto limitado por las graficas de las funciones f : R −→ R yg : R −→ R definidas por

f(x) = x2 y g(x) = −x2 + 2β2

sea 72 (unidades de area).

Ejercicio 3.- Sea A la matriz A =

3 0 λ

−5 λ −5λ 0 3

e I la la matriz identidad de orden 3.

(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de λ para los que el determinante de A − 2I es cero.

(b) [1’25 puntos] Calcula la matriz inversa de A − 2I para λ = −2.

Ejercicio 4.- Considera el plano π de ecuacion 2x + 2y − z − 6 = 0 y el punto P (1, 0,−1).

(a) [1’25 puntos] Calcula la recta que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π.

(b) [1’25 puntos] Encuentra el punto simetrico de P respecto del plano π.



MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos]Se quiere construir un deposito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidadde 500 m3. ¿Que dimensiones ha de tener el deposito para que su superficie sea mınima?

Ejercicio 2.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = x2.

(a) [0’75 puntos] Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisax = 1.

(b) [1’75 puntos] Dibuja el recinto limitado por la grafica de f , la recta tangente obtenida en el apartadoanterior y el eje OX. Calcula su area.


x + y + m z = 1m y − z = −1

x + 2m y = 0

.

(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema segun los valores de m.


Ejercicio 4.- Considera el plano π de ecuacion 2x + 2y − z − 6 = 0 y la recta r definida por

x − 1

2=

y + 1

−1=

z

2.

(a) [1’25 puntos] Calcula el area del triangulo cuyos vertices son los puntos de corte del plano π conlos ejes de coordenadas.

(b) [1’25 puntos] Calcula, razonadamente, la distancia de la recta r al plano π.



Instrucciones:



c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.



Opcion A

Ejercicio 1.- Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones definidas por

f(x) = x2 + ax+ b y g(x) = c e−(x+1)

Se sabe que las graficas de f y g se cortan en el punto (−1, 2) y tienen en ese punto la misma rectatangente.

(a) [2 puntos] Calcula los valores de a, b y c.

(b) [0’5 puntos] Halla la ecuacion de dicha recta tangente.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Dadas las funciones f : [0,+∞) −→ R y g : [0,+∞) −→ R definidas por

f(x) =√x y g(x) = 3√x

calcula el area del recinto limitado por las graficas de f y g.

Ejercicio 3.- Dado el sistema de ecuaciones lineales

x+ λy − z = 02x+ y + λz = 0x+ 5y − λz = λ+ 1

(a) [1’5 puntos] Clasifıcalo segun los valores del parametro λ.

(b) [1 punto] Resuelvelo para λ = −1.

Ejercicio 4.- Los puntos A(−2, 3, 1), B(2,−1, 3) y C(0, 1,−2) son vertices consecutivos delparalelogramo ABCD.

(a) [1 punto] Halla las coordenadas del vertice D.

(b) [1 punto] Encuentra la ecuacion de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal AC.

(c) [0’5 puntos] Halla la ecuacion del plano que contiene a dicho paralelogramo.



Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R −→ R la funcion definida por

f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d

Se sabe que f tiene un maximo local en x = 1, que el punto (0, 1) es un punto de inflexion de su grafica

y que∫ 1

0f(x) dx =

94

. Calcula a, b, c y d.

Ejercicio 2.- Sea g : (0,+∞) −→ R la funcion dada por g(x) = lnx (ln denota logaritmo neperiano).

(a) [0’75 puntos] Justifica que la recta de ecuacion y =1ex es la recta tangente a la grafica de g en el

punto de abscisa x = e.

(b) [1’75 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de g, el eje de abscisas y la rectatangente del apartado anterior.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Dadas las matrices

A =

1 1 10 1 01 2 2

, B =

1 00 −12 1

y C =(−2 0 −1

1 −1 1

)

Calcula la matriz P que verifica AP −B = CT (CT es la matriz traspuesta de C).

Ejercicio 4.- Sea la recta r dada por{

2x+ y −mz = 2x− y − z = −m

y el plano π definido por x+my − z = 1

(a) [1 punto] ¿Existe algun valor de m para el que π y r son paralelos ?

(b) [1 punto] ¿Para que valor de m esta la recta contenida en el plano ?

(c) [0’5 puntos] ¿Cual es la posicion relativa de la recta y el plano cuando m = 0 ?



Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funcion f : R −→ R definida por f(x) =x+ 1ex

, determina la

ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en su punto de inflexion.

Ejercicio 2.- Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones definidas mediante

f(x) = x3 − 4x y g(x) = 3x− 6

(a) [0’75 puntos] Determina los puntos de corte de las graficas de f y g.

(b) [1’75 puntos] Calcula el area del recinto limitado por dichas graficas.

Ejercicio 3.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones

x+ y = 1ky + z = 0

x+ (k + 1)y + kz = k + 1

(a) [1’25 puntos] Determina el valor del parametro k para que sea incompatible.

(b) [1’25 puntos] Halla el valor del parametro k para que la solucion del sistema tenga z = 2.

Ejercicio 4.- Considera la recta r definida por{

x = 03y + z = 3

y la recta s definida por{

2x− z = 3y = 0

(a) [1 punto] Estudia la posicion relativa de r y s.

(b) [1’5 puntos] Halla la ecuacion general de un plano que contiene a s y es paralelo a r.



Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- Sea la funcion f : [0, 4] −→ R definida por

f(x) ={x2 + ax+ b si 0 ≤ x < 2c x+ 1 si 2 ≤ x ≤ 4

(a) [2 puntos] Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0, 4], derivable enel intervalo abierto (0, 4) y que f(0) = f(4).

(b) [0’5 puntos] ¿En que punto del intervalo se anula la derivada de la funcion?

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula ∫ 1

0x ln(x+ 1) dx

(ln denota la funcion logaritmo neperiano).

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Halla los valores del parametro m que hacen compatible el sistema deecuaciones:

−x+ 2y − 2z = 22x+ y + z = mx+ 3y − z = m2

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Sea la recta r definida por{

x = 1x− y = 0

y sean los planos π1, de ecuacion x+ y + z = 0, y π2, de ecuacion y + z = 0. Halla la recta contenida enel plano π1, que es paralela al plano π2 y que corta a la recta r.



Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- Sea f : [0, 2π] −→ R la funcion definida por f(x) = ex(senx+ cosx) .


(b) [1’25 puntos] Calcula los puntos de inflexion de la grafica de f .

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sean f : R −→ R y g : R −→ R las funciones dadas por

f(x) = x2 y g(x) = a (con a > 0)

Se sabe que el area del recinto limitado por las graficas de las funciones f y g es 4/3. Calcula el valor dela constante a.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y A =

0 −1 −2−1 0 −2

1 1 3

. Calcula, si

existe, el valor de k para el cual (A− kI)2 es la matriz nula.

Ejercicio 4.- Se sabe que los planos de ecuaciones x + 2y + bz = 1, 2x + y + bz = 0,3x+ 3y − 2z = 1 se cortan en una recta r.

(a) [1’25 puntos] Calcula el valor de b.

(b) [1’25 puntos] Halla unas ecuaciones parametricas de r.



Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- Sea f : R −→ R la funcion definida por

f(x) ={

x |x| si x ≤ 26− x si x > 2

(a) [0’75 puntos] Esboza la grafica de f .

(b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f .

(c) [0’75 puntos] Calcula el area comprendida entre la grafica de f y el eje de abscisas.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula ∫ e1x2 ln(x) dx

(ln denota la funcion logaritmo neperiano).

Ejercicio 3.- Dadas las matrices A =

1 1 21 2 11 1 1

y B =

1 0 22 0 4−1 1 1

(a) [1 punto] Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B.

(b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuacion matricial AX + B = A+ I, donde I denota la matriz identidadde orden 3.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Dados los puntos A(2, 1,−1) y B(−2, 3, 1) y la recta r definida por lasecuaciones {

x− y − z = −13x− 2z = −5

halla las coordenadas de un punto de la recta r que equidiste de los puntos A y B.



Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- Sea f : R −→ R la funcion definida por f(x) = (3x− 2x2) ex .


(b) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- Considera las funciones f :(

0,π

2

)−→ R y g : (0,+∞) −→ R definidas por

f(x) =sen x

cos3 xy g(x) = x3 lnx ( ln denota la funcion logaritmo neperiano).

(a) [1’25 puntos] Halla la primitiva de f que toma el valor 1 cuando x =π

3(se puede hacer el cambio de variable t = cos x ).

(b) [1’25 puntos] Calcula∫g(x) dx .

Ejercicio 3.-

(a) [1 punto] Determina razonadamente los valores del parametro m para los que el siguiente sistemade ecuaciones tiene mas de una solucion:

2x+ y + z = mxx+ 2y + z = myx+ 2y + 4z = mz

(b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.

Ejercicio 4.- Se considera la recta r definida por mx = y = z + 2, (m 6= 0),

y la recta s definida porx− 4

4= y − 1 =

z

2(a) [1’5 puntos] Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares.

(b) [1 punto] Deduce razonadamente si existe algun valor de m para el que r y s son paralelas.



Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funcion f definida, para x 6= 0, por f(x) =ex + 1ex − 1

determina las

asıntotas de su grafica.

Ejercicio 2.- Sea g : R −→ R la funcion definida por g(x) =14x3 − x2 + x .

(a) [0’5 puntos] Esboza la grafica de g.

(b) [0’75 puntos] Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica de g en el punto de abscisax = 2.

(c) [1’25 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de g y el eje de abscisas.

Ejercicio 3.- Dada la matriz A =

1 3 kk 1 31 7 k

(a) [1’25 puntos] Estudia el rango de A en funcion de los valores del parametro k.

(b) [1’25 puntos] Para k = 0, halla la matriz inversa de A.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(2, 0, 1), B(−1, 1, 2), C(2, 2, 1) y D(3, 1, 0).

(a) [1 punto] Calcula la ecuacion del plano π que contiene a los puntos B, C y D.

(b) [1’5 puntos] Halla el punto simetrico de A respecto del plano π.



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Instrucciones:





e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justifi-cados.

Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Entre todos los triangulos rectangulos de 5 metros de hipotenusa, determinalos catetos del de area maxima.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea f : (−2,+∞) → R la funcion definida por f(x) = ln(x + 2). Halla unaprimitiva F de f que verifique F (0) = 0. (ln denota el logaritmo neperiano).

Ejercicio 3.- Considera el sistema

3x − 2y + z = 52x − 3y + z = −4

}(a) [1’5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al anadirle la

ecuacion x + y + λz = 9 sea compatible indeterminado.

(b) [1 punto] ¿Existe algun valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solucion?

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 0, 2), B(−1, 2, 4) y la recta r definida por

x + 22

= y − 1 =z − 1

3

(a) [1’5 puntos] Determina la ecuacion del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B.

(b) [1 punto] Halla la ecuacion del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B.



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Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- Sea f : (0,+∞) → R la funcion definida por f(x) = ln(x2 + 3x), donde ln denota ellogaritmo neperiano.

(a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la grafica de f en los que la recta tangente a lagrafica es paralela a la recta de ecuacion x− 2y + 1 = 0.

(b) [1 punto] Halla la ecuacion de la recta tangente y de la recta normal a la grafica de f en el puntode abscisa x = 3.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula el valor de a > 0 sabiendo que el area del recinto comprendido entrela parabola y = x2 + ax y la recta y + x = 0 vale 36 unidades cuadradas.

Ejercicio 3.- Sean las matrices

A =

1 2 3α 1 30 2 α

y B =

−234

(a) [0’5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa.

(b) [1’25 puntos] Calcula la inversa de A para α = 1.

(c) [0’75 puntos] Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 1, 1), B(0,−2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2,−1, 2).

(a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vertices A, B, C y D.

(b) [1’5 puntos] Determina la ecuacion de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano quecontiene a los puntos A, B y C.



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Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- Sea f la funcion definida como f(x) =ax2 + b

a− xpara x 6= a.

(a) [1’5 puntos] Calcula a y b para que la grafica de f pase por el punto (2, 3) y tenga una asıntotaoblicua con pendiente −4.

(b) [1 punto] Para el caso a = 2, b = 3, obten la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en elpunto de abscisa x = 1.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula ∫ π2

0sen(

√x)dx

Sugerencia: Efectua el cambio√

x = t.

Ejercicio 3.- Sean las matrices

A =

1 0 −10 m 34 1 −m

, B =

1 03 2−1 1

y C =(

5 −3 4−3 −2 2

)(a) [0’5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible.

(b) [2 puntos] Resuelve la ecuacion matricial XA − Bt = C para m = 0. (Bt es la matriz traspuestade B).

Ejercicio 4.- Considera las rectas r y s de ecuaciones

x− 1 = y = 1− z y{

x− 2y = −1y + z = 1

(a) [0’75 puntos] Determina su punto de corte.

(b) [1 punto] Halla el angulo que forman r y s.

(c) [0’75 puntos] Determina la ecuacion del plano que contiene a r y s.



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Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Calcula

lımx→0

ex − esen x

x2

Ejercicio 2.- Considera la funcion f dada por f(x) = 5−x y la funcion g definida como g(x) =4x

para x 6= 0.

(a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las graficas de f y g indicando sus puntos de corte.

(b) [1’5 puntos] Calcula el area de dicho recinto.

Ejercicio 3.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones

λx + y + z = λ + 22x − λy + z = 2x − y + λz = λ

(a) [1’75 puntos] Discutelo segun los valores de λ. ¿Tiene siempre solucion?

(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = −1.

Ejercicio 4.- Los puntos P (2, 0, 0) y Q(−1, 12, 4) son dos vertices de un triangulo. El tercer vertice Spertenece a la recta r de ecuacion {

4x + 3z = 33y = 0

(a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta quepasa por P y S.

(b) [1 punto] Comprueba si el triangulo es rectangulo.



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Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea la funcion f : R → R dada por

f(x) =

ex(x2 + ax) si x ≤ 0

b x2 + c

x + 1si x > 0

Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la grafica de f en elpunto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Dada la funcion f definida por f(x) =3

x2 − 5x + 4para x 6= 1 y x 6= 4.

Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , el eje de abscisas, y las rectas x = 2, x = 3.

Ejercicio 3.- Considera las siguientes matrices

A =(−1 2

0 1

)y B =

(−3 0

2 −1

)(a) [0’75 puntos] Calcula A−1.

(b) [1’75 puntos] Resuelve la ecuacion matricial AXAt − B = 2I, donde I es la matriz identidad deorden 2 y At es la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3).

(a) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento AB en tres partesiguales.

(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A.



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Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R → R la funcion definida como f(x) = (x + 1) 3√

3− x. Halla lasecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la grafica de f en el punto de abscisa x = −5 yen el punto de abscisa x = 2.

Ejercicio 2.- Considera la funcion f : R → R definida por f(x) = x|2− x|.

(a) [1 punto] Esboza su grafica.

(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f , el eje de abscisas y la rectade ecuacion x = 3.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Obten un vector no nulo v = (a, b, c), de manera que las matrices siguientestengan simultaneamente rango 2.

A =

1 1 a1 0 b1 1 c

B =

2 0 a0 −1 b3 1 c

Ejercicio 4.- Considera el plano π definido por 2x− y + nz = 0 y la recta r dada por

x− 1m

=y

4=

z − 12

con m 6= 0.

(a) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π.

(b) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r este contenida en el plano π.



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Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] La hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 90 cm. Si se hace giraralrededor de uno de sus catetos, el triangulo engendra un cono. ¿Que medidas han de tener los catetosdel triangulo para que el volumen del cono engendrado sea maximo? (Recuerda que el volumen del cono

es: V =13πr2h).

Ejercicio 2.- Considera las funciones f, g : R → R definidas por f(x) = 2− x2 y g(x) = |x|.

(a) [1 punto] Esboza sus graficas en unos mismos ejes coordenados.

(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por las graficas de f y g.

Ejercicio 3.- Sea la matriz

A =

5 −4 22 −1 1

−4 4 −1

(a) [1’25 puntos] Comprueba que se verifica 2A−A2 = I.

(b) [1’25 puntos] Calcula A−1. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Calcula el area del triangulo cuyos vertices son los puntos de intersecciondel plano 6x + 3y + 2z = 6 con los ejes de coordenadas.



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MATEMATICAS II

Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- Sea f la funcion definida como f(x) =x3

x2 − 1para x 6= ±1.

(a) [1 punto] Estudia y halla las asıntotas de la grafica de f .



Ejercicio 2.- Dada la funcion f : (0,+∞) → R definida por f(x) = ln x, donde ln es la funcion logaritmoneperiano, se pide:

(a) [0’75 puntos] Comprueba que la recta de ecuacion y = −ex + 1 + e2 es la recta normal a lagrafica de f en el punto de abscisa x = e.

(b) [1’75 puntos] Calcula el area de la region limitada por la grafica de f , el eje de abscisas y la rectanormal del apartado (a).

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

(m + 2)x − y − z = 1−x − y + z = −1

x + my − z = m

(a) [1’75 puntos] Discutelo segun los valores de m.

(b) [0’75 puntos] Resuelvelo para el caso m = 1.

Ejercicio 4.- Sean los puntos A(1, 1, 1), B(−1, 2, 0), C(2, 1, 2) y D(t,−2, 2)

(a) [1’25 puntos] Determina el valor de t para que A, B, C y D esten en el mismo plano.

(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B,que contenga al punto C.



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Instrucciones:






Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los margenes superiore inferior han de tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para queel gasto de papel sea mınimo.

Ejercicio 2.- Sea I =∫

51 +

√e−x

dx.

(a) [1 punto] Expresa I haciendo el cambio de variable t2 = e−x.

(b) [1’5 puntos] Determina I.

Ejercicio 3.-

(a) [1’75 puntos] Discute, segun los valores del parametro λ, el siguiente sistema de ecuaciones

−x + λy + z = λλx + 2y + (λ + 2)z = 4x + 3y + 2z = 6− λ

(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema anterior para λ = 0.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla la ecuacion del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones{x− 2y + 11 = 02y + z − 19 = 0

y contiene a la recta s definida por

x = 1− 5λy = −2 + 3λz = 2 + 2λ



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Instrucciones:






Opcion B

Ejercicio 1.- Considera la funcion f : [0, 4]→ R definida por:

f(x) ={

x2 + ax + b si 0 ≤ x ≤ 2cx si 2 < x ≤ 4

(a) [1’75 puntos] Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determinalos valores de a, b y c.

(b) [0’75 puntos] Para a = −3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde seobtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- Considera la funcion f : R→ R dada por f(x) = x2 + 4.


(b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la grafica de f , el eje de ordenadas y la recta deecuacion y = 2x + 3. Calcula su area.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Sean las matrices

A =(

1 0−1 1

), B =

1 0 00 −1 −10 1 2

y C =(

3 1 20 1 −2

)Calcula la matriz X que cumpla la ecuacion AXB = C.

Ejercicio 4.- Considera los planos π1, π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones

x + y = 1, ay + z = 0 y x + (1 + a)y + az = a + 1

(a) [1’5 puntos] ¿Cuanto ha de valer a para que no tengan ningun punto en comun?

(b) [1 punto] Para a = 0, determina la posicion relativa de los planos.



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Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funcion f : R → R definida como f(x) = a sen(x) + bx2 + cx + d,determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la grafica de f tiene tangente horizontalen el punto (0, 4) y que la segunda derivada de f es f ′′(x) = 3 sen(x)− 10.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea la funcion f dada por f(x) =1

x2 + xpara x 6= −1 y x 6= 0.

Determina la primitiva F de f tal que F (1) = 1.


λx + 2y + 6z = 02x + λy + 4z = 22x + λy + 6z = λ− 2

(a) [1’75 puntos] Discutelo segun los valores del parametro λ.

(b) [0’75 puntos] Resuelvelo para λ = 2.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Halla el punto simetrico de P (1, 1, 1) respecto de la recta r de ecuacion

x− 12

=y

3=

z + 1−1



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Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Considera la funcion f : R → R definida por

f(x) =

e−x si x ≤ 0

1− x2 si 0 < x < 1

2x + 1

si 1 ≤ x

Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la funcion derivada de f .

Ejercicio 2.- Sean f, g : R → R las funciones definidas por f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) =12x2 + 1.

(a) [1 punto] Esboza las graficas de f y g, y halla su punto de corte.

(b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por las graficas de ambas funciones y el eje deordenadas.

Ejercicio 3.- De la matriz A =(

a bc d

)se sabe que det(A) = 4. Se pide:

(a) [1’25 puntos] Halla det(−3At) y det(

2b 2a−3d −3c

). Indica las propiedades que utilizas.

(At es la matriz traspuesta de A).

(b) [0’75 puntos] Calcula det(A−1At).

(c) [0’5 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que B3 = I, siendo I la matriz identidad, halla det(B).

Ejercicio 4.- Sean los puntos A(2, λ, λ), B(−λ, 2, 0) y C(0, λ, λ− 1).

(a) [1 punto] ¿Existe algun valor de λ ∈ R para el que los puntos A, B y C esten alineados? Justificala respuesta.

(b) [1’5 puntos] Para λ = 1 halla la ecuacion del plano que contiene al triangulo de vertices A, B y C.Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.



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Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectangulocoronado con un semicırculo.

De entre todas las ventanas normandas de perımetro 10 m, halla las dimensionesdel marco de la de area maxima.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula el valor de b > 0, sabiendo que el area de la region comprendidaentre la curva y =

√x y la recta y = bx es de 4

3 unidades cuadradas.

Ejercicio 3.- Considera las matrices

A =

1 0 00 λ 10 −1 λ

y B =

0 0 11 0 00 1 0

(a) [1 punto] ¿Hay algun valor de λ para el que A no tiene inversa?

(b) [1’5 puntos] Para λ = 1, resuelve la ecuacion matricial A−1XA = B.

Ejercicio 4.- Dados los puntos A(1, 0, 0), B(0, 0, 1) y P (1,−1, 1), y la recta r definida por{

x− y − 2 = 0z = 0

(a) [2 puntos] Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades.

(b) [0’5 puntos] Calcula el area del triangulo ABP .



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Opcion B

Ejercicio 1.- Sea f :[

1e , 4

] → R la funcion definida por

f(x) =

x− ln(x) + a si 1e ≤ x ≤ 2

bx + 1− ln(2) si 2 < x ≤ 4

donde ln denota la funcion logaritmo neperiano.

(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo(

1e , 4

).

(b) [1’25 puntos] Para a = 0 y b =12

halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y

valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea f : (0, +∞) → R la funcion definida por f(x) = x(1− ln(x)), dondeln denota la funcion logaritmo neperiano. Determina la primitiva de f cuya grafica pasa por el puntoP (1, 1).

Ejercicio 3.- Dadas las matrices

A =

1 1 02 t + 1 t− 1

−2t− 1 0 t + 3

y X =

xyz

(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de A segun los diferentes valores de t.

(b) [0’75 puntos] Razona para que valores de t el sistema homogeneo AX = 0 tiene mas de unasolucion.

Ejercicio 4.- Dados el punto P (1, 1,−1) y la recta r de ecuaciones{

x + z = 1y + z = 0

(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano que contiene a r y pasa por P .

(b) [1’5 puntos] Halla la ecuacion de la recta contenida en el plano de ecuacion y + z = 0, que esperpendicular a r y pasa por P .



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Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Calcula la base y la altura del triangulo isosceles de perımetro 8 y de areamaxima.

Ejercicio 2.- Considera las funciones f, g : R→ R definidas por f(x) = 6x− x2 y g(x) = x2 − 2x

(a) [0’75 puntos] Esboza sus graficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.


Ejercicio 3.- Dadas las matrices

A =

α 1 −11 α −1−1 −1 α

y B =

011

(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α.

(b) [0’75 puntos] Para α = 2, resuelve la ecuacion matricial AX = B.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(−1, k, 3), B(k + 1, 0, 2), C(1, 2, 0) y D(2, 0, 1).

(a) [1’25 puntos] ¿Existe algun valor de k para el que los vectores ~AB, ~BC y ~CD sean linealmentedependientes?

(b) [1’25 puntos] Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro devolumen 1.



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Opcion B

Ejercicio 1.- Sea f la funcion definida por f(x) =3x4 + 1

x3para x 6= 0.

(a) [1’25 puntos] Estudia las asıntotas de la grafica de la funcion.

(b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (absci-sas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- Sean f, g : R→ R las funciones definidas por f(x) = −14x2 + 4 y g(x) = x2 − 1

(a) [0’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = −2.

(b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por las graficas de ambas funciones y la recta y = x+5.Calcula el area de este recinto.

Ejercicio 3.- Sean las matrices A =(

α 1−α 3

)y B =

(1 3 1−1 4 2

)

(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es112

A.

(b) [1’25 puntos] Para α = −3, determina la matriz X que verifica la ecuacion AtX = B, siendoAt la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 4.- Dados el plano π de ecuacion x+2y−z = 0 y la recta r de ecuaciones{

3x− y = 5x + y − 4z = −13

(a) [0’75 puntos] Halla el punto de interseccion del plano π y la recta r.

(b) [1’75 puntos] Halla el punto simetrico del punto Q(1,−2, 3) respecto del plano π.



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Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Dada la funcion f : R→ R definida por f(x) = ax3 +bx2 +cx, determinaa, b y c sabiendo que su grafica tiene un punto de inflexion en (1,0), y que la recta tangente en ese puntotiene por ecuacion y = −3x + 3.

Ejercicio 2.- Sean f : R→ R y g : R→ R las funciones definidas por:

f(x) = 4− 3|x| y g(x) = x2

(a) [1 punto] Esboza las graficas de f y g. Determina sus puntos de corte.


Ejercicio 3.- Sean A y B dos matrices que verifican:

A + B =(

4 23 2

)y A−B =

(2 4−1 2

)

(a) [1 punto] Halla las matrices (A + B)(A−B) y A2 −B2.

(b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuacion matricial XA − XB − (A + B)t = 2I, siendo I la matrizidentidad de orden 2 y (A + B)t la matriz traspuesta de A + B.

Ejercicio 4.- Sea el punto P (2, 3,−1) y la recta r dada por las ecuaciones

x = 1y = −2λz = λ

(a) [1 punto] Halla la ecuacion del plano perpendicular a r que pasa por P .

(b) [1’5 puntos] Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simetrico de Prespecto de r.



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Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] En el primer cuadrante representamos un rectangulo de tal manera que tieneun vertice en el origen de coordenadas y el vertice opuesto en la parabola y = −x2 + 3. Determinalas dimensiones del rectangulo para que su area sea maxima.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula: ∫ π2

0x cos(x)dx

Ejercicio 3.- Sea la matriz

A =

3 0 λ−5 λ −5λ 0 3

(a) [1 punto] Determina los valores de λ para los que la matriz A − 2I tiene inversa, siendo I lamatriz identidad de orden 3.

(b) [1’5 puntos] Para λ = −2, resuelve la ecuacion matricial AX = 2X + I.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Considera los planos π1 y π2 dados respectivamente por las ecuaciones

(x, y, z) = (−2, 0, 7) + λ(1,−2, 0) + µ(0, 1,−1) y 2x + y − z + 5 = 0

Determina los puntos de la recta r definida por x = y + 1 =z − 1−3

que equidistan de π1 y π2.



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Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unoscaballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que esta junto a la carretera nos cuesta 100euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuales son las dimensionesdel prado de area maxima que podemos cercar con 3000 euros?

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula un numero positivo a, menor que 2, para que el recinto limitado por

la parabola de ecuacion y =12x2 y las dos rectas horizontales de ecuaciones y = a e y = 2,

tenga un area de143

unidades cuadradas.


2x − 2y + 4z = 42x + z = a

−3x − 3y + 3z = −3

(a) [1’75 puntos] Discutelo segun los valores del parametro a.

(b) [0’75 puntos] Resuelvelo cuando sea posible.

Ejercicio 4.- Dada la recta r definida porx− 1

3=

y + 12

= −z + 3 y la recta s definida por{

x = 12y − z = −2

(a) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano que pasa por el origen y contiene a r.

(b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion del plano que contiene a s y es paralelo a r.



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Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x,es de 18 a 50 anos, los ingresos vienen dados por la formula −x2 + 70x, mientras que para edadesiguales o superiores a 50 anos los ingresos estan determinados por la expresion,

400x

x− 30

Calcula cual es el maximo de los ingresos y a que edad se alcanza.

Ejercicio 2.- Dada la funcion f : R→ R definida por f(x) = −2x2 + 3x− 1

(a) [0’5 puntos] Prueba que las rectas y = −x + 1 e y = 3x− 1 son tangentes a su grafica.

(b) [2 puntos] Halla el area del recinto limitado por la grafica de f y las rectas mencionadas en elapartado anterior.

Ejercicio 3.- Dada la matriz A =( −1 1

2 −1

)

(a) [1 punto] Demuestra que A2 + 2A = I y que A−1 = A + 2I, siendo I la matriz identidadde orden 2.

(b) [1’5 puntos] Calcula la matriz X que verifica la ecuacion A2 + XA + 5A = 4I.

Ejercicio 4.- Dada la recta r definida porx + 7

2=

y − 7−1

= z y la recta s definida por

x = 2y = −5z = λ

(a) [1’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta que corta perpendicularmente a ambas.

(b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre r y s.



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Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de lostrozos se construye un cuadrado y con el otro un rectangulo cuya base es doble que su altura. Calculalas longitudes de cada uno de los trozos con la condicion de que la suma de las areas de estas dos figurassea mınima.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Determina la funcion f : (0, +∞) → R tal que f ′′(x) =1x

y su grafica

tiene tangente horizontal en el punto P (1, 1).

Ejercicio 3.- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A| = 12

y |B| = −2.Halla:

(a) [0’5 puntos] |A3|.(b) [0’5 puntos] |A−1|.(c) [0’5 puntos] | − 2A|.(d) [0’5 puntos] |ABt|, siendo Bt la matriz traspuesta de B.

(e) [0’5 puntos] El rango de B.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 0, 2) y B(1, 2,−1).

(a) [1’25 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuacionx− 1

3=

y

2= z que verifica que el

triangulo de vertices A, B y C tiene un angulo recto en B.

(b) [1’25 puntos] Calcula el area del triangulo de vertices A, B y D, donde D es el punto de corte delplano de ecuacion 2x− y + 3z = 6 con el eje OX.



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Opcion B

Ejercicio 1.- Sea f : R→ R la funcion definida por f(x) = 4− x2

(a) [1 punto] Halla la ecuacion de la recta normal a la grafica de f en el punto de abscisa x = 2.

(b) [1’5 puntos] Determina el punto de la grafica en el que la recta tangente es perpendicular a la rectax + 2y − 2 = 0.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula: ∫x3 + x2

x2 + x− 2dx

Ejercicio 3.- Dada la matriz

A =

0 3 41 −4 −5−1 3 4

(a) [0’5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad A3 = −I, siendo I la matriz identidad deorden 3.

(b) [1’25 puntos] Justifica que A es invertible y halla su inversa.

(c) [0’75 puntos] Calcula razonadamente A100.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Considera los planos π1, π2 y π3 dados respectivamente por las ecuaciones

3x− y + z − 4 = 0, x− 2y + z − 1 = 0 y x + z − 4 = 0

Halla la ecuacion de la recta que pasa por el punto P (3, 1,−1), es paralela al plano π1 y corta a la rectainterseccion de los planos π2 y π3.



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Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se desea construir un deposito cilındrico cerrado de area total igual a 54 m2.Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que este tenga volumen maximo.

Ejercicio 2.- Sea f : (−1,+∞) → R la funcion definida por f(x) = ln(x + 1), donde ln denota lafuncion logaritmo neperiano.

(a) [0’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la grafica de f , el eje OY y la recta y = 1. Calculalos puntos de corte de las graficas.

(b) [1’75 puntos] Halla el area del recinto anterior.

Ejercicio 3.- Dado el sistema de ecuaciones lineales

−λx + y + z = 1x + λy + z = 2

λx + y + z = 1


(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = 0.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Determina el punto simetrico del punto A(−3, 1, 6) respecto de la recta r de

ecuaciones x− 1 =y + 3

2=

z + 12



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Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : [1, +∞) → R la funcion definida por f(x) =√

x− 1. Determina elpunto P de la grafica de f que se encuentra a menor distancia del punto A(2, 0). ¿Cual es esa distancia?

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Halla: ∫ex

(e2x − 1)(ex + 1)dx

Sugerencia: efectua el cambio de variable t = ex.

Ejercicio 3.- Dada la matriz A =(

λ + 1 01 −1

)

(a) [1’25 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz A2 + 3A no tiene inversa.

(b) [1’25 puntos] Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuacion AX + A = 2I, siendo I lamatriz identidad de orden 2.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 0,−1) y B(2, 1, 0), y la recta r dada por{

x + y = 1x + z = 2

(a) [1’75 puntos] Determina la ecuacion del plano que es paralelo a r y pasa por A y B.

(b) [0’75 puntos] Determina si la recta que pasa por los puntos P (1, 2, 1) y Q(3, 4, 1) esta contenidaen dicho plano.

matemáticas ii

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