matematicas financieras2

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

USO DEL SISTEMA EXCEL COMO HERRAMIENTA FINANCIERA

POR:Ing. SANTIAGO VERGARA NAVARRO

Esp. en Diseño y Evaluación de Proyectos y Esp. en Admón. Financiera

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE – CECARDIRECCIÓN DE POSTGRADOS

ESPECIALIZACION EN FORMULACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN

VI PROMOCIÓN

Matemáticas Financieras Ing. Santiago Vergara Navarro 1

1. IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA

NOMBRE DE LA ASIGNATURA Matemáticas FinancierasPROGRAMA ACADEMICO Esp. en Proyectos de InversiónINTENSIDAD HORARIA 24 HorasNIVEL EN QUE SE OFRECE I SemestreNOMBRE DEL PROFESOR Ing. Santiago Vergara Navarro

2. OBJETIVO GENERAL

Familiarizar al estudiante con el uso del sistema Excel como herramienta financiera moderna para la toma de decisiones de índole financiero en el menor tiempo posible y que le sirva a la vez para realizar una acertada evaluación financiera o privada de proyectos.

3. METODOLOGÍA

Los temas principales del curso serán desarrollados por el profesor en sesiones eminentemente dinámicas, en donde cada concepto planteado se constatará mediante ejercicios, problemas y casos, complementados por los estudiantes con la realización de talleres y trabajos en grupos; además, se usará el Sistema Excel como herramienta de evaluación financiera en el desarrollo de problemas y casos financieros reales. Se trabajará en el un laboratorio de Sistemas apoyados de un VIDEO BEAN. Para el normal desarrollo de la asignatura, es indispensable que el estudiante haya leído y entendido toda la parte teórica del material entregado.

4. JUSTIFICACIÓN

En el complejo mundo financiero moderno la toma de decisiones en el menor tiempo posible son de vital importancia, de allí que el uso de las herramientas que aporta la tecnológica moderna se convierten en la mejor aliada de todas las personas vinculadas de una u otra forma con el área de las finanzas. El sistema Excel se convierte hoy día en el sistema moderno de mayor aplicación en finanzas, por ello la importancia de este breve pero significativo curso.

5. CONTENIDO5.1 Conceptos básicos

5.2 Interés compuesto - Valor futuro- Valor presente- Tasa de interés- Número de períodos

5.3 Tasas Equivalentes • Nominal• Efectiva


• Vencida• Anticipada• Equivalentes

5.4 Anualidades o series uniformes• Vencida• Anticipada

5.5 Tablas de Amortización y Capitalización -Modalidades de pago:• Amortización Gradual.• Gradiente Lineal Creciente.• Gradiente Lineal Decreciente.• Gradiente Geométrico Creciente.• Gradiente Geométrico Decreciente.• Gradiente Escalonado.

5.6 Evaluación de alternativas de inversión• Valor Presente Neto (VPN)• Tasa Interna de Retorno (TIR)• Valor Anual Equivalente o Costo Anual Equivalente (VAE o CAE)• Relación Beneficio Costo (B/C)• Valor Presente Neto no Periódico• Tasa Interna de Retorno no Periódica

6. EVALUACIÓN

Asistencia (10%), talleres (50%), trabajo final (40%).

7. BIBLIOGRAFÍA

Durante todo el desarrollo del curso los alumnos tendrán a su disposición copia resumida del material “Manual de Excel Financiero Básico”, cuyo autor es el profesor del módulo.


EL DOCENTE

SANTIAGO VERGARA NAVARRO, Ingeniero Industrial, Especialista en Diseño y Evaluación de Proyectos (CECAR – UNINORTE) y Especialista en Administración. Financiera (CECAR).

Se ha desempeñado como Gerente de LIPAVENCA en San Cristóbal – Venezuela; Jefe de Operaciones de MOTICONCA en Valencia – Venezuela; Gerente de Salud Asesores Ltda. en Sincelejo y como Secretario de Gobierno, Recurso Humano y de Planeación del Municipio de Corozal (Sucre).

Ha sido profesor de pre-grado en CECAR de Matemáticas Financieras (Ingeniería Económica), Programación Lineal, Diseño y Evaluación de Proyectos, Evaluación Social de Proyectos, Análisis Financiero e Investigación de Operaciones, en los programas de Contaduría Pública, Admón. de Empresas, Economía e Ingeniería Industrial; docente catedrático en UNISUCRE de Matemáticas Financieras I, II y III, Plan de Empresas II, Simulador Financiero y Gestión de Proyectos; docente en IAFIC – Sincelejo de Matemáticas Financieras, Programación Lineal y asesor metodológico de la práctica empresarial; catedrático y coordinador de postgrados en CECAR.

Conferencista de diversos seminarios en el área de finanzas y espíritu empresarial, asesor, evaluador y director de varios trabajos de grado en CECAR y UNISUCRE y asesor del programa Jóvenes Emprendedores Exportadores del Ministerio de Comercio Exterior.

Tiene escritos en Programación Lineal (EAD CECAR); Matemáticas Financieras Básicas (Documento guía de IAFIC – Sincelejo) y Manual de Excel Financiero (Documento guía de postgrados en CECAR); es autor de los artículos “Globalización, Tecnología y Finanzas”, “VPN vs. TIR” e “Invierta Inteligentemente”, publicados por la revista “Contablemente” de la Facultad de Ciencias Económicas y Contables de CECAR.


PROLOGOMuchos fueron los motivos que me llevaron a escribir este manual, entre ellos, mi gran preocupación por el alto componente matemático que le imprimen algunos docentes a la asignatura Matemáticas Financieras e Ingeniería Económica, sin haber tanta necesidad de ello; en segundo lugar, mi interés por entregar un material que le sirva de apoyo a todos aquellos, que teniendo o no la formación debida, puedan hacer uso de él sin ninguna complicación, pues solamente bastará con poseer conocimientos básicos de finanzas y del sistema Excel.

En tercer lugar, siempre me he preocupado por marchar a la par de los avances tecnológicos de la ciencia moderna y considero que un área como la de finanzas no es ajena a todos estos adelantos modernos, pues en ella se requiere tomar decisiones en el menor tiempo posible (tiempo real) y algunas veces un tanto radicales y que mejor que contar con un documento que contribuya, en parte, a facilitar los cálculos necesarios para la mejor decisión de índole financiero. Por último, como catedrático de Postgrados, siempre fue mi interés en dotar a mis estudiantes de una herramienta que les permitiera acelerar los resultados deseados en el desarrollo de mis asignaturas a cargo (Matemáticas Financieras, Evaluación Financiera de Proyectos y Excel Financiero Básico), en las Especializaciones de Administración Financiera y Formulación y Evaluación de Proyectos de Inversión.

No quiero dejar pasar la oportunidad para expresar mi sincero agradecimiento a mis amigos Hernando Castaño Buitrago, Lázaro Gastelbondo Rivera y Daniel Menco Rivera, quienes con su insistencia permanente, lograron que me decidiera a sacrificar el tiempo que requiere un documento de estos.

Santiago Vergara Navarro


INTRODUCCIÓNCon el propósito de familiarizar al lector con el sistema EXCEL y con la intención de enseñar las instrucciones básicas para la construcción de una hoja de cálculo y utilizarla para hacer los cálculos propios de las Matemáticas Financieras, a continuación se exponen algunas de las características de la aplicación de la hoja electrónica EXCEL.

El término “Hoja de Cálculo” (hoja electrónica) proviene de las hojas verdes que algunos contadores todavía utilizan para registrar la información contable. Las formas de papel tienen pequeñas filas y columnas en las que se puede registrar todo tipo de datos. Básicamente una hoja de cálculo es una gran tabla con datos dispersos por toda la página que pueden contabilizarse de alguna manera. Una hoja electrónica es un ordenamiento de filas y columnas, las cuales se intersectan para formar pequeños rectángulos a los que llamamos celdas. Las filas se mencionan por números y las columnas por letras. Cada celda tiene una dirección, la cual está integrada por su letra de columna y por su número de fila. Por ejemplo: la dirección de la celda E50 resulta de la intersección de la columna E con la fila 50.

Excel puede aceptar casi cualquier tipo de datos, pero los que más nos interesan, para nuestro propósito, son los números y las fórmulas. Los números son los datos sin procesar que Excel necesita, los cuales se deben introducir en filas o columnas para mantenerlos en orden. Las fórmulas son entradas que le indican a Excel que desarrolle cálculos. Todas la fórmulas inician con signo igual o más (para resultados positivos) e igual o menos (para resultados negativos) y utilizan celdas de dirección para obtener valores de otras celdas. Por ejemplo: la fórmula =A1+D3 o +A1+D3, calcula la suma de los valores de las celdas A1 y D3. Las fórmulas se pueden introducir escribiéndolas o seleccionando las referencias de celdas. Para escribir una fórmula se procede de la siguiente manera: seleccione la celda donde quiera que aparezcan los cálculos de la fórmula, escriba el signo igual o más y escriba la fórmula utilizando los símbolos + (suma), - (resta), * (multiplicación), / (división) o ∧ (elevar a la potencia). El programa interno de Excel está estructurado de tal forma que permite hacer todo tipo de operaciones aritméticas entre filas y columnas. Por ejemplo: si desea multiplicar el número 2 (ubicado en la celda B3) por el número 10 (ubicado en la celda C4), escriba + o = B3 * C4 en la celda donde quiera que aparezca el resultado (por ejemplo, en la celda D3). Si se variara cualquiera de las cantidades en las celdas B3 y C4, la cantidad en la celda D3 cambiará automáticamente para reflejar las modificaciones realizadas.

Supóngase que en la celda A3 tenemos un valor de 10.000 que corresponde al número de unidades vendidas y en la celda D3 tenemos un valor de $20 que corresponde al precio de venta unitario. Podemos calcular los ingresos por venta, en la celda C3, de la siguiente manera: nos ubicamos en la celda C3 y escribimos + o = A3 * D3 ENTER o INTRO y obtenemos un valor de $200.000. Al cambiar en la celda A3 el valor de 10.000 por 5.000, automáticamente aparece en la celda C3 un valor de $100.000.

Para hacer operaciones con interés compuesto, en EXCEL (en español), es necesario manejar la notación que este hace de cada uno de los componentes de este tipo de interés, como por ejemplo, el cálculo de las anualidades, equivalencia de tasas de interés, y para calcular el VPN y la TIR, dicha notación difiere un poco de la comúnmente utilizada por los diversos textos de Matemáticas Financieras y Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión existentes en el mercado. Dicha notación es la siguiente:


NOTACIÓN TEXTOS SIGNIFICADO NOTACIÓN EXCELP o C Valor presente VAF o S Valor futuro VFn o t Número de períodos NPERi o r Tasa de interés TASAA Cuota uniforme PAGO

TIR Tasa interna de retorno TIRVPN Valor presente neto VNA

TIRM o TVR TIR modificada TIRM

Durante el desarrollo del modulo, utilizaremos las siguientes funciones financieras en Excel:Función VF: Devuelve el valor futuro de una inversión basado en pagos periódicos y constantes y una tasa de interés también constante.

Función VA: Devuelve el valor presente de una inversión: la suma total del valor actual de una serie de pagos futuros.

Función TASA: Devuelve la tasa de interés por período de un préstamo o una anualidad.

Función NPER: Devuelve el número de pagos de una inversión, basado en pagos constantes y periódicos y una tasa de interés también constante.

INT.EFECTIVO: Devuelve la tasa de interés anual efectivo.

TASA NOMINAL: Devuelve la tasa de interés anual nominal.

Función PAGOINT: Devuelve el interés pagado por una inversión durante un período determinado, basado en pagos periódicos, pagos constantes y una tasa de interés constante.

Función PAGOPRIN: Devuelve el pago acerca del capital de una inversión basado en pagos constantes y periódicos y una tasa de interés también constante.

Función PAGO.INT.ENTRE: Devuelve la cantidad de interés pagado entre dos períodos.

Función PAGO.PRINC.ENTRE: Devuelve la cantidad acumulada de pagos principales realizados entre dos períodos.

Función VNA: Devuelve el valor neto presente de una inversión a partir de una tasa de descuento y una serie de pagos futuros (valores negativos) y unas entradas (valores positivos).

Función TIR: Devuelve la tasa interna de retorno de una inversión para una serie de valores en efectivo.

Función VNA.NO.PER: Calcula el valor neto actual para un flujo de caja que no es necesariamente periódico.

Función TIR.NO.PER: Calcula la tasa interna de retorno para un flujo de caja no necesariamente periódico.


CAPITULO 0CONCEPTOS FINANCIEROS BÁSICOS

0.1 Evaluación financiera: Es la que determina el rendimiento financiero de los recursos que se van a invertir y tiene como fin establecer si el proyecto es recomendable desde el punto de vista financiero.

0.2 Matemáticas Financieras: Es un conjunto de herramientas de las matemáticas para la toma acertada de decisiones de índole financiero, considerando siempre el valor del dinero a través del tiempo.

0.3 Valor del dinero en el tiempo: Existe un fenómeno conocido como inflación, el cual consiste en la perdida de poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo(o perdida de poder adquisitivo de la moneda de un país con respecto a otra, en nuestro caso el dólar). El valor del dinero cambia con el tiempo debido principalmente a este fenómeno, de lo contrario, es decir, si no hubiese inflación, el poder adquisitivo del dinero sería el mismo a través del tiempo.

0.4 Interés (I): Es el precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo durante un período determinado, es decir, que el interés es la medida o manifestación del valor de dinero en el tiempo.

0.5 Tasa de interés (i): Es un indicador expresado como porcentaje que mide el valor de los intereses. Como expresión matemática, la tasa de interés es la relación entre lo que se recibe de intereses (I) y la cantidad prestada o invertida (P).

0.6 Capitalización: Es el proceso mediante el cual los intereses que se van causando periódicamente, se van sumando al capital anterior.

0.7 Período de capitalización: Es el período de tiempo mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés. Se llama periodo de capitalización porque a su término ya se tiene o ya se formó más capital.

0.8 Principio de equivalencia: Dos cantidades de dinero ubicadas en puntos diferentes en el tiempo, son equivalentes, a una tasa de interés dada, si al trasladarse una de ellas al punto de ubicación de la otra, produce el mismo resultado. En otras palabras, cantidades de dinero ubicadas en distintos puntos de tiempo, no se pueden comparar (ni sumar, ni restar).

0.9 Punto de equilibrio: Nivel en el cual las ventas generan ingresos suficientes para cubrir los costos o es el punto donde los ingresos se hacen aproximadamente igual a los costos o es el mínimo valor de ingresos que hay que generar para no incurrir en perdidas ni ganancias.

0.10 Tasa de oportunidad o mínima atractiva de rendimiento: Es la tasa mínima a la cual los inversionistas están dispuestos a invertir su dinero, es decir que por debajo de ella no lo hacen.

0.11 Proyecto: Es la búsqueda de una solución inteligente al planteamiento de un problema tendiente a resolver, entre tantas, una necesidad humana o conjunto coherente e integral de actividades tendientes a alcanzar objetivos específicos que contribuyan al logro de un objetivo general en un período de tiempo determinado, con unos insumos y costos definidos.


0.12 Costo de oportunidad: Es lo dejado de recibir por invertir en una alternativa, política o proyecto en lugar de otro más atractivo.

0.13 Costo de capital: Es el promedio ponderado de las tasas de los participantes en un proyecto.

0.14 Riesgo: Es el grado de variabilidad o contingencia de una inversión.

0.15 Flujo de caja: En toda operación financiera intervienen valores a lo largo del tiempo, que son los ingresos y egresos. Es posible registrar dichos valores sobre un segmento de recta horizontal que tenga como longitud el tiempo de duración de la operación. La secuencia de entradas y salidas de dinero durante el tiempo de la operación financiera, se llama flujo de caja, diagrama de líneas, diagrama de tiempo valor, diagrama económico u horizonte económico y consiste en la representación gráfica de un problema financiero.

Para resolver problemas financieros, el primer paso y quizás el más importante es la elaboración correcta del flujo de caja porque además de mostrar claramente el problema, facilita su análisis correcto.Se ha convenido que los valores se señalen con una flecha hacia arriba si son ingresos y hacia abajo si son egresos; sin embargo, este orden se puede invertir sin afectar el resultado.

0.16 Símbolos y su significado: En Finanzas, los autores manejan diferentes símbolos. En este curso se utilizarán los que a continuación se detallan:

P: Representa una suma Presente de dinero (n = 0).F: Representa una suma Futura de dinero (n > 0).A: Representa una suma de dinero periódica e igual, correspondiente a una anualidad.i: Representa una tasa de interés (expresada en porcentaje) por periodo de capitalización. n: Representa el número de períodos de capitalización, es decir, representa el tiempo acordado de una operación financiera. G: Representa una cantidad fija o variable en pesos o un porcentaje fijo o variable, que o disminuye un pago retiro (anualidad). Su símbolo viene del término Gradiente.


EJEMPLOS1. El señor Pérez deposita en una entidad financiera el primero de Enero del 2.000 la suma de $1.000.000 y después de 6 meses retira una cantidad de $1.075.000. Construir el flujo de caja desde el punto de vista del señor Pérez (prestamista) y del prestatario (entidad financiera).

Solución.-a) Desde el punto de vista del prestamista:

$1.075.000

0 ___________________________ 6 meses

$1.000.000

b) Desde el punto de vista del prestatario:

$1.000.000

________________________________ 6 meses 0 $1.075.000

2. El señor Pablo Mármol compra una casa por $10.000.000 y se compromete a pagarla de la siguiente manera: una cuota inicial de $2.000.000 y el saldo en 3 cuotas iguales en los meses 3, 6 y 9 por valor de $3.000.000 cada una. Construir el flujo de caja para el Señor Mármol.Solución.- 10.000.000 3 6 0 9 meses 2.000.000 3.000.000 Ejemplo 3: El banco XYZ le concede un préstamo por valor de $10.000.000 con un plazo de un año. La tasa de interés trimestral es del 9%. El banco le exige la restitución del capital al final del año. Construir el flujo de caja para el prestatario.


Solución.-

$10.000.000

1 2 3 4 trimestres 0 $900.000

$10.900.000


CAPITULO IINTERES COMPUESTO

Es aquel que al final del período capitaliza los intereses causados en el período inmediatamente anterior. En el interés compuesto el capital cambia al final de cada período, debido a que los intereses se adicionan al capital inicial para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses siguientes.

Consideremos el siguiente flujo de caja para n períodos:

Fn

F1 F2 F3 F4 Fn-1

0 ___________________________ 1 2 3 4 n-1 n períodos

P

Donde: F = Valor acumulado o valor futuro P = Valor presente o inicial i = Tasa de interés periódica n = Número de períodos

Analicemos que sucede período a período:

PERIODO CAPITAL INTERES CAPITAL FINAL0 - 1 P I1 = Pi F1 = P + I1

1 - 2 P (1 + i) I2 = P (1 + i).iI2 = Pi (1 + i)

F2 = F1 + I2

F2 = P (1+i)+Pi (1+i) F2 = P (1+i) (1+i) F2 = P (1+i)2

2 - 3 P (1 + i)2 I3 = P (1 + i)2. iI3 = Pi (1 + I)2

F3=F2+I3 F3 = P(1+i)2+Pi(1+i)2

F3 = P (1+i)2 (1+i)F3 = P (1 + i)3

n-1 - n P (1 + i)n-1 In = Pi (1 + i)n-1 Fn = P (1 + i)n

A la expresión F = P (1 + i)n se le conoce como la ecuación base de las finanzas y de ella se puede calcular cualquiera de sus cuatro variables, así:

1) niFP

)1( += o niFP −+= )1(


2) )1.()/(

iLogPFLogn

+=

3) 1/1

−

=

n

PFi

Ahora bien, como no siempre la tasa de interés va a ser la misma para todos los períodos de cálculo, el futuro y el presente es posible calcularlos a través de las siguientes expresiones:

)1)...(1)(1( 21 niiiPF +++=

)1)...(1)(1( 21 niiiFP

+++=

Lo anterior es conocido en finanzas como Valor Futuro con tasa variable y Valor Presente con tasa variable.


EJEMPLOS DE APLICACION DEL CAPITULO 1

Ejemplo 1.1

Supóngase que se prestan $2’000.000 a una tasa del 3% mensual durante 18 meses. Calcule el valor futuro a recibir.

Solución algebraica:Primero que todo construimos el flujo, así: F =?

0 18 $2’000.000

Sabemos que:P = $2’000.000i = 3% mensualn = 18 mesesEntonces: F = P (1 + i)n = $2’000.000 (1 + 0.03)18 = $3’404.866Lo cual quiere decir que, es equivalente a tener $2’000.000 hoy a recibir dentro de 18 meses la suma de $3’404.866 o invertir hoy $2’000.000 al 3% mensual y recibir $3’404.866 dentro de 18 meses o $2’000.000 hoy equivalen a $3’404.866 al 3% mensual.

Ejemplo 1.2

Calcular el valor a depositar en una cuenta de ahorros que paga el 1% mensual para tener disponibles $2’500.000 al cabo de un año.

Solución algebraica: $2’500.000 P =?i = 1% mensualF = $2’500.000n = 12 meses 0 12

P =?Entonces: P = F (1 + i)-n = $2’500.000 (1 + 0.01)-12 = $2’218.623Significa que es equivalente a depositar hoy $2’218.623 y recibir dentro de 12 meses $2’500.000 al 1% mensual o $2’218.623 de hoy son equivalentes a $2’500.000 dentro de 12 meses al 1% mensual.

Ejemplo 1.3

¿Qué tasa de interés se ganó si prestó $100 y después de 12 meses recibió $103.5?


Solución algebraica:i = ? $103,5P = $100n = 12 meses 0 F = $103,5 12 $100Sabemos que: F = P (1 + i)n

Entonces: $103,5 = $100 (1 + i)12

12)1(100$

5,103$ i+= 1,035 = (1 + i)12 ; elevando a ambos lados de la igualdad a la 1/12, o

extrayendo raíz 12 a ambos lados de la igualdad, tenemos:(1,035)1/12 = (1 + i)12 1/12 1,00287 = 1 + i 1.00287 – 1 = iEntonces: 0.00287 = i i = 0.287% mensual

Ejemplo 1.4

Calcular el número de meses que se requieren para que una inversión de $200 se convierta en $250 a una tasa de interés del 2.5% mensual.

Solución algebraica:n = ? $250P = $200F = $250 0 ni = 2.5% mensual $200Entonces:

F = P (1 + i)n $250 = $200 (1 + 0.025)n n)025.1(200$250$ = 1.25 = (1.025)n

Aplicando Logaritmo a ambos lados de la igualdad, tenemos:

Log. (1.25) = Log. (1.025)n 0.09691 = n (0.01072) n = 01072.009691.0

Luego: n = 9 mesesLo que quiere decir que, para que $200 de hoy se conviertan en $250 al 2.5% mensual, se requiere que transcurran 9 meses o es equivalente a tener hoy $200 que tener dentro de 9 meses la suma de $250 al 2.5% mensual.

Las ventas de una estación de gasolina en los últimos 2 años aumentaron así: para el primer año se incrementaron en 15% y en el segundo año 23%. Si se tuvieron ventas hace dos años por $50’000.000, ¿a cuánto ascienden las ventas hoy?

Solución algebraica:F = $50’000.000 (1 + 0.15) (1 + 0.23) F = $70’725.000


Ejemplo 1.5

Un padre de familia necesita tener disponibles $2’000.000 dentro de 6 meses. Calcular el valor del depósito inicial si se esperan las siguientes tasas de interés para los próximos 6 meses: 0.5%; 0.6%; 0.7%; 0.8%; 0.9% y 1%.

Solución algebraica:

P = )01.1)(009.1)(008.1)(007.1)(006.1)(005.1(000.000'2

P = $1’912.332,52


Ejemplo 1.6

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DEL CAPITULO 11) Calcular el valor acumulado después de 38 días, si se depositan $25’000.000 en una cuenta de ahorros que reconoce el 3% mensual.

2) ¿En cuánto tiempo se duplica un capital en una corporación que reconoce el 3% mensual?

3) Se realiza una operación financiera con una tasa de interés del 4% mensual, ¿cuánto tiempo se debe esperar para que $500.000 de hoy se conviertan en $711.656?

4) A usted le deben cancelar dentro de 8 meses $20’000.000. Si le ofrecen pagarle hoy $17’500.000 y su tasa de oportunidad es del 2% mensual, ¿le conviene aceptar el negocio? ¿Sí? ¿No? ¿Por qué?

5) Una persona necesita disponer de $300.000 dentro de 6 meses para el pago de la matricula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual, ¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?

6) ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse una inversión a una tasa de interés que la triplica en 24 meses?

7) Calcular el valor futuro de $30’000.000 prestados a 4 meses si la tasa de interés mensual inicial es del 1.5% y se espera que aumente cada mes un 0.10%.

8) ¿Cuánto tiempo se debe esperar para que una inversión al 1.89% mensual se incremente en un 40%?

9) Pedro Mármol esta vendiendo su casa y recibe las sientes ofertas:a) Un familiar le ofrece pagarle dentro de un año la suma de $137’000.000.b) Un empleado del gobierno le ofrece $100’000.000 de contado.c) Juan David, su amigo de infancia, le ofrece pagarle hoy $70’000.000 y dentro de 10 meses la suma de $39’000.000.

Si Pedro puede invertir su dinero a una tasa del 2.5% mensual, ¿cuál oferta le conviene más?

10) Una persona desea invertir $2’500.000 durante 6 meses. La tasa de interés inicial que le reconocen es el del 1% mensual. Sí se espera que cada mes la tasa de interés aumente 0.20%, ¿cuánto recibirá al final del semestre?

NOTA: Los ejercicios resaltados en rojo, hacen parte del trabajo final.


CAPITULO IITASAS DE INTERES

En términos prácticos, la tasa de interés es el precio del dinero tanto para el que lo necesita porque paga un precio por tenerlo, como para el que lo tiene porque cobra un precio por prestárselo al que lo requiere. La tasa de interés está presente cuando se abre una cuenta de ahorros, se utiliza una tarjeta de crédito o se hace un préstamo.

El nivel de las tasas de interés está afectado por diversas variables, a saber: la inflación, la devaluación, la oferta y demanda y el riesgo empresarial. Estas variables, en conjunto, o individualmente, determinan en un momento dado el costo del dinero. La tasa de interés también es una herramienta de política económica que utilizan los bancos centrales en todos los países para estimular una economía en crisis, como también para frenar una economía acelerada.

En Colombia, el Banco de la República dispone de mecanismos para lograr que las tasas de interés suban o bajen, como por ejemplo, aumentando o disminuyendo la tasa de rendimiento de los TES (Títulos de tesorería que emite el gobierno y se constituyen en su principal mecanismo de endeudamiento interno), obligando de esta forma, al sistema financiero a pagar tasas competitivas.

2.1 TASA NOMINAL (J)Es la tasa que expresada para un período determinado (generalmente un año) es liquidable en forma fraccionada durante periodos iguales. Como su nombre lo indica, la tasa nominal es una tasa de referencia que existe sólo de nombre, porque no nos dice sobre la verdadera tasa que se cobra en una operación financiera; simplemente, expresa la tasa anual y qué parte de ella se cobra en cada período. Por ejemplo, una tasa del32% trimestre vencido, indica que de la tasa anual del 32% se cobra la cuarta parte cada trimestre.

Las instituciones financieras en Colombia suelen utilizar la tasa nominal para referenciar las tasas de interés en sus operaciones de ahorro y crédito. Esto es, expresan la tasa de interés en forma anual e indican cada cuanto tiempo menor de una año se hacen las liquidaciones de los intereses. Esta forma de expresar las tasas de interés y de liquidar los intereses en periodos menores a una año es común en los países donde el nivel de la inflación es alto.

2.1.1 Formas de expresar la tasa nominal Para Bancos Comerciales, Compañías de Financiamiento Comercial y Corporaciones Financieras:

24% nominal anual con capitalización trimestral.24% anual capitalizable trimestralmente.

24% capitalizable trimestralmente.24% trimestre vencido (24% TV).

Las expresiones anteriores son equivalentes, a saber: indudablemente, la primera información es la más completa, no obstante que en el lenguaje financiero se acude muchas veces a las simplificaciones como se muestra en las otras tres expresiones. En la segunda se eliminó el término nominal porque se entiende que si la tasa es capitalizable se trata de una nominal ya que las efectivas no se capitalizan sino que resultan de capitalizar las nominales. En la tercera expresión se eliminó el término anual, porque si no se dice lo contrario se asume que la tasa es anual. La cuarta expresión es la más simplificada y corresponde a la forma más usada en el sistema financiero colombiano. Estas cuatro


expresiones equivalentes indican que la operación financiera, que puede ser de ahorro o de crédito, se realiza a una tasa de interés anual del 24% pero los intereses se van a liquidar cada trimestre.

Para créditos de vivienda:UVR + i

Siendo: UVR = tasa de inflación acumulada de los últimos 12 meses. i = tasa remuneratoria.En Julio de 1988 el gobierno colombiano consideró necesario calcular un indicador que midiera lo que le costaba a las entidades financieras el dinero que captaban del público y que hoy día constituye la base para casi todas las operaciones financieras en Colombia, que es la DTF. Esta es la principal tasa de referencia para las transacciones financieras y comerciales en nuestro país. Es común, entonces, cuando se acude a un crédito bancario o comercial encontrar que la tasa del crédito aparece referenciada con la D. T. F. más unos puntos porcentuales, por ejemplo, DTF + 4% TV, siendo la DTF el costo del dinero para la entidad financiera y el 4% TV su margen de intermediación.

La tasa nominal resulta de multiplicar la tasa de interés periódica por el número de períodos al año. De este razonamiento resulta la ecuación de la tasa nominal:

J = Tasa periódica (i) x N0 de períodos (m) Por ejemplo, si la tasa mensual es del 2%, la nominal será del 24% MV.

2.2 TASA EFECTIVAEs la tasa que mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una inversión y resulta de capitalizar la tasa nominal (dividiendo la tasa nominal entre el número de períodos que tenga el año). Cuando se habla de tasa efectiva se involucra el concepto de interés compuesto, porque refleja la reinversión de intereses.

Es decir: i = mJ

Por ejemplo, un ahorrador deposita en el día de hoy $500.000 en una entidad financiera que le paga una tasa de interés del 22% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto tendrá acumulado dentro de 8 meses.


J = 22% capitalizable mensualmente i = 1222.0

= 1.8333% mensual

Entonces: F = P (1 + i)n = $500.000 (1 + 0.18333)8 = $578.215,4

ECUACION DE LA TASA DE INTERES EFECTIVAIdentificada ya la tasa efectiva como la que resulta de capitalizar una tasa nominal durante un número de períodos determinados, nos interesa, ahora, desarrollar una ecuación que nos permita hacer equivalencias entre ellas.Supongamos que se depositan $1’000.000 durante un año en una cuenta que reconoce el 36% capitalizable mensualmente. Se desea conocer el valor acumulado después del año.

P = $1’000.000

i = 1236.0

= 3% mensual

n = 1 año = 12 meses


F = ?F = $1’000.000 (1 + 0.03)12 = $1’425.760,9

Con el siguiente razonamiento calculamos el rendimiento efectivo de la operación: si se invierten $1’000.000 y después de 1 año se tiene un valor acumulado de $1’425.760,9, podemos calcular el rendimiento efectivo anual: F = P (1 + i)n

$1’425.760,9 Como n = 1, Entonces:

i = 1−PF

0 12 i = 1000.000'1

9,760.425'1 −

$1’000.000 i = 0.4258 = 42.58% E. A.Podemos decir entonces: 1’425.760,9 = 1’000.000 (1 + 0.03)12

Lo cual se puede descomponer en: 1’000.000 + 425.760,9 = 1’000.000 (1 + 0.03)12.Donde 425.760,9 es el resultado de multiplicar 1’000.000 por la tasa efectiva del 42.58%, es decir:

1’000.000 + 1’000.000 x 0.4258 = 1’000.0000 (1 + 0.03)12

Si se reemplazan estos valores por los símbolos, tenemos:P + P (TE) = P (1 + i)n

P (1 + TE) = P (1 + i)n

1 + TE = (1 + i)n

TE = (1 + i)n – 1Donde: TE: Es la tasa efectiva a calcular.i: Es la tasa efectiva periódica.n: Es el número de veces que se liquida la tasa periódica en el período expresado en el tasa efectiva a calcular.

La ecuación de la tasa efectiva también se puede expresar en función de la tasa nominal. Basta con

reemplazar en la ecuación de la tasa efectiva i = mJ

, así:

TE = 11 −

+

n

mJ

Para desarrollar los ejercicios aplicando la ecuación de la tasa efectiva, utilizaremos los siguientes símbolos:

TEA = Tasa efectiva anual TES = Tasa efectiva semestral TET = Tasa efectiva trimestral TEM = Tasa efectiva mensual

TED = Tasa efectiva diariaAntes de entrar a hacer cálculos de equivalencia de intereses en EXCEL, debemos recordar que la tasa efectiva resulta de la reinversión de los intereses. Así por ejemplo, si prestamos $1 al 3% mensual durante 3 meses, el valor futuro es de $1,0927. Si le restamos a este valor futuro el monto de la inversión, obtenemos el valor de los intereses que al dividirlos entre la inversión ($1) nos da una rentabilidad del 9.27% trimestral. Esto nos indica que una tasa del 3% mensual es equivalente a una tas del 9.27% trimestral. Para calcular en EXCEL una tasa efectiva mayor, dada una tasa efectiva menor, se puede aplicar este procedimiento, que al considerar una inversión de $1, se reduce a restarle al valor futuro, el valor de la inversión: P (1 + i) – P = Intereses.


Ejemplo 2.1 ¿Qué tasa de interés efectiva trimestral es equivalente al 36% con capitalización mensual?Solución algebraica:TET = ?

J = 36% con capitalización mensual i = 1236.0

= 3% mensual

n = 3 meses Entonces: TET = (1 + i)n – 1

TET = (1 + 0.03)3 – 1TET = 9.27% trimestral

Ejemplo 2.2Calcule la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa efectiva del 2% mensual.

Solución algebraica:TET =?

TEM = 2%n = 3 Meses

TET = (1 + 0.02)3 – 1; entonces: TET = 6.12%Ejemplo 2.3

Calcule la tasa efectiva mensual equivalente al 6.12% trimestral.Solución algebraica:

TEM = ?TET = 6.12%

n = 3Entonces: TET = (1 + TEM)n – 1

TET + 1 = (1 + TEM)n TEM = (1 + TET)1/n - 1Luego: TEM = (1 + 0.0612)1/3 – 1

TEM = 2%

Ejemplo 2.4

Dada una tasa efectiva anual del 30%, calcular la tasa efectiva mensual equivalente.Solución algebraica:

TEA = 30%TEM = ?

n = 12 mesesTEM = (1 + TEA)1/n – 1

TEM = (1 + 0.3)1/12 – 1 TEM = 2.21%

Ejemplo 2.5

Calcule la TEA equivalente al 2.21% E. M.Solución algebraica:

TEA = ?


TEM = 2.21%

n = 12 meses

TEA = (1 + TEM)n – 1TEA = (1 + 0.0221)12 – 1

TEA = 30%2.3 TASA ANTICIPADALos intereses anticipados son una realidad muy frecuente en nuestro sistema financiero y es una forma engañosa de presentar las tasas de interés, muy común en los préstamos bancarios a corto plazo. Aunque el pago del capital se hace en cuotas de amortización constante al final de cada período, por ejemplo, el trimestre o el mes; los intereses se cobran por adelantado por cada período de utilización del dinero.

Existe una diferencia grande entre cobrar tasas de interés en forma vencida y anticipada en una misma operación financiera, diferencia que se traduce en un aumento en la tasa de interés de la operación. Cuando se cobra la tasa de interés en forma vencida, se presta el dinero para usarlo durante un período determinado y al final se devuelve junto con los interese. Cuando se cobra la tasa de interés en forma anticipada, primero se cobran los intereses y luego se permite usar el dinero, pero se está prestando una menor cantidad, lo que encarece el costo del crédito porque se están cobrando intereses sobre un monto que no se prestó.

2.3.1 Conversión de una tasa anticipada a una tasa vencidaConsideremos que se prestan $500 al 20% anual anticipado durante un año.El flujo es:

$500

$100 0 1

$500

La tasa de interés vencida (i) del préstamo es:

i = PI

= CapitalIntereses

i = IF

PxiP

Pxi−

=

i = 2.012.0

)2.01(5002.0500

2.05005002.0500

−=

−=

−x

xx

Es decir:

iv = a

a

ii−1

Por medio de esta ecuación, conocida la tasa anticipada, se puede calcular la tasa vencida equivalente, donde:


ia: Es la tasa efectiva anticipadaiv: Es la tasa efectiva vencida

2.3.2 Conversión de una tasa vencida en una tasa anticipadaDespejando de la anterior ecuación la tasa anticipada, tenemos:

iv (1 – ia) = ia

iv – iv x ia = ia

iv = ia + iv x ia

iv = ia (1 + iv)

ia = v

v

ii+1

En EXCEL no hay una fórmula que calcule la tasa efectiva anual equivalente a una tasa anticipada, sin embargo, podemos calcularla utilizando el parámetro VF, ingresando la tasa y el número de períodos con signo negativo.

Ejemplo 2.6

Calcule la tasa efectiva anual dada una tasa del 36% TA.Solución algebraica:

TEA = ?J = 36% TA

n = 4 trimestres

i = 436.0

= 9% TETA

iv = a

a

ii−1 =

09.0109.0

−iv = 9.89%

TEA = (1 + i)n – 1TEA = (1 + 0.0989)4 – 1

TEA = 45.83%

Ejemplo 2.7

Calcule la tasa mensual vencida, equivalente a una tasa del 5% mensual anticipada.Solución algebraica:

TEM = ?TEMA = 5%

n = 1

iv = 05.0105.0

1 −=

− a

a

ii

= 5.26%

Ejemplo 2.8

Una entidad financiera ofrece pagar por los ahorros una tasa de interés del 22% capitalizable mensualmente y otra ofrece pagar el 23% con capitalización semestral. ¿Qué opción es mejor para ahorrar?



a) J = 22% Capitalizable mensualmente i = 1222.0

= 1.8333% mensual

b) J = 23% Capitalizable semestralmente i = 223.0

= 11.5% semestral

Entonces: TEM = (1 + 0.115)1/6 – 1 TEM = 1.8308%Se concluye que es mejor la opción a).O también pudo ser así:

a) TEA = (1 + 1222.0

)12 – 1 = 24.36%

b) TEA = (1 + 223.0

)2 – 1 = 24.32%

Ejemplo 2.9

Un banco le aprueba un crédito a una tasa del 36% con capitalización mensual, usted solicita que le conviertan esa tasa en una nominal capitalizable trimestralmente. Halle esta tasa equivalente.


TEA = (1 + 1236.0

)12 – 1

TEA = 42.58%Ahora bien, conocida la TEA, podemos calcular la tasa nominal capitalizable trimestralmente, así:

TEA = (1 + mJ

)n – 1

1)1( /1 −+= nTEAmJ

1)14258.0(4

4/1 −+=J

J = 0.092734 * 4 = 37.09% nominal TV


EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DEL CAPITULO 21) A partir de una tasa nominal del 36%, calcule la tasa efectiva anual, sí:a) La capitalización es mensualb) La capitalización es semestralc) La capitalización es bimestrald) La capitalización es trimestral

2) Conocida la tasa efectiva anual del 33%, hallar:a) La tasa efectiva semestralb) La tasa efectiva mensualc) La tasa efectiva trimestrald) La tasa efectiva bimestral

3) Conocida la tasa nominal del 45% con capitalización mensual, hallar:c) La tasa efectiva trimestralb) La tasa efectiva semestralc) La tasa efectiva bimestrald) La tasa efectiva anual

4) A partir de una tasa efectiva anual del 40%, calcule la tasa nominal con capitalización trimestral equivalente.

5) Usted tiene tres opciones para aceptar un crédito bancario:a) A una tasa del 36% TAb) A una tasa del 38.5% MVc) A una tasa del 38% TV¿Qué opción es mejor para aceptar el crédito?

6) Una entidad bancaria ofrece a sus clientes por utilizar su dinero una tasa del 25% nominal anual liquidada por trimestre vencido (25% TV). Si un inversionista hace un depósito a término y solicita le liquiden intereses por mes vencido, ¿qué tasa de interés mensual le deben pagar?

7) Usted necesita $20’000.000 para comprar un vehículo. Va a un banco y le ofrecen su financiación al 26% MV. Acude a un amigo que se compromete a prestarle esa cantidad si le paga $32’000.000 en un plazo de dos años. ¿Cuál de los dos préstamos le conviene más?

8) Dada una tasa del 2% efectiva mensual anticipada, calcular la TETV equivalente?

9) De las siguientes opciones que tiene usted para aceptar un crédito bancario, ¿cuál le escogería?a) 36% TAb) 36.5% MV



CAPITULO IIIANUALIDADES O SERIES UNIFORMES

Se llama anualidad a un conjunto de pagos iguales y periódicos hechos a intervalos iguales de tiempo. El término anualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente; sin embargo, en el sentido estricto de la expresión, esto no es necesariamente así. En finanzas anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales de tiempo que pueden ser anuales, semestrales, trimestrales, bimensuales, mensuales, diarios, quincenales, etc.

Para que una serie de pagos sea una anualidad, debe cumplir las siguientes condiciones:• Todos los pagos deben ser iguales.• Todos los pagos deben ser periódicos.• Todos los pagos pueden ser llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa a un valor equivalente, es decir, la anualidad debe tener valor presente equivalente y un valor futuro equivalente.• El número de pagos debe ser igual al número de períodos.

Las anualidades más comúnmente usadas en el sistema financiero colombiano son la vencida y la anticipada. Una anualidad es vencida cuando los pagos o retiros se hacen al final de cada período, mientras que una anualidad es anticipada cuando los pagos, depósitos o retiros se hacen al inicio de cada período.

Valor presente de una anualidad vencida: Es el valor, ubicado un período antes de la fecha del primer pago, depósito o retiro, equivalente a una serie de pagos, depósitos o retiros iguales y periódicos.

El flujo de caja que representa una anualidad vencida es el siguiente: P

1 2 3 4 0 AAl plantear una ecuación de valor con fecha focal en el momento cero, nos queda:

P = )1( iA+ + 2)1( i

A+ + 3)1( i

A+ + 4)1( i

A+ (1)

Si multiplicamos por (1 + i) ambos términos de la ecuación (1), tenemos:

P (1 + i) = )1()1(

iiA

++

+ 2)1()1(

iiA

++

+ 3)1()1(

iiA

++

+ 4)1()1(

iiA

++

Simplificando al lado derecho:

P (1 + i) = A + )1( iA+ + 2)1( i

A+ + 3)1( i

A+ (2)

Si restamos (2) – (1), nos queda:

P (1 + i) – P = A - 4)1( iA

+


P (1 + i) – P = 4

4

)1()1(i

AiA+

−+

Factorizando P: P (1 + i - 1) = 4

4

)1()1(i

AiA+

−+

Pi = 4

4

)1()1(i

AiA+

−+

Despejando P y factorizando A, tenemos:

P = A

+

−+4

4

)1(1)1(

iii

Se puede observar que el exponente de (1 + i) es el número de pagos (4), de allí que generalizando la fórmula para un número de n pagos, se tiene:

P = A

+

−+n

n

iii

)1(1)1(

A = P

−+

+1)1(

)1(n

n

iii

Valor futuro de una anualidad vencida: Es un valor ubicado en la fecha del último pago, depósito o retiro, equivalente a toda la serie de pagos iguales y periódicos.

El flujo de caja que lo representa es: F

0 1 2 3 n

APartiendo de la fórmula básica: F = P (1 + i)n , reemplazamos en esta fórmula el valor presente equivalente a una serie de pagos iguales y obtenemos:

F = A

+

−+n

n

iii

)1(1)1(

(1 + i)n

Eliminando el término (1 + i)n , nos queda que:

F = A

−+ii n 1)1(

A = F

−+ 1)1( ni

i

Los flujos (presente y futuro) que representan una anualidad anticipada son: P F

0 1 2 3 n-1 n 0 1 2 3 n-1 n

AObserve las diferencias entre ambos tipos de anualidades: La anualidad vencida termina con pago, depósito o retiro, la anualidad anticipada termina sin pago, depósito o retiro.


El valor futuro equivalente de la anualidad vencida coincide con el último pago, depósito o retiro, mientras que el valor futuro equivalente de la anualidad anticipada queda ubicado un período después del último pago, depósito o retiro. Esto hace que el último pago o depósito gane intereses.

Ahora bien, con un procedimiento similar al utilizado en la anualidad vencida, se deducen las ecuaciones de los valores presente y futuro de una anualidad anticipada, los cuales son:

+

−++= −

−

1

1

)1(1)1(

n

n

iiiAAP

1)1()1( 1

−++=

−

n

n

iiiPA

−+=+

iiAF

n 1)1( 1

−+

= + 1)1( 1niiFA


EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL CAPITULO 3

Ejemplo 3.1

Un préstamo financiado al 2% mensual se está pagando con 24 cuotas de $100.000 cada una. Calcule el valor del préstamo.

Solución algebraica:El flujo de caja es: P = ?

1 2 3 0 24 $100.000

P = A

+

−+n

n

iii

)1(1)1(

P = $100.000

+

−+24

24

)02.01(02.01)02.01(

P = $1’891.393

Supongamos que se desea conocer el monto de los intereses pagados en la cuota número 11, que deseamos conocer el abono a capital (amortización) en la cuota número 11, que nos interesa conocer el monto de los intereses cancelados entre las cuotas 5 y 18 y por último, vamos a suponer que deseamos conocer el monto de la amortización entre las cotas 5 y 18.

Ejemplo 3.2

Calcular el valor del préstamo del ejemplo anterior, suponiendo que las cuotas son anticipadas.Solución algebraica: P =?

1 2 3 23 24 0 $100.000

Entonces: P = A + A

+

−+−

−

1

1

)1(1)1(

n

n

iii

P = $100.000 + $100.000

+

−+−

−

124

124

)02.01(02.01)02.01(

P $1’929.220


Ejemplo 3.3

Un electrodoméstico que vale $3’500.000 se va a financiar con una tasa del 2.5% mensual, por medio de 12 cuotas mensuales iguales. Calcule el valor de las cuotas sí:a) Son vencidas. b) Son anticipadas.

Solución algebraica:a) Vencidas $3’500.000El flujo es:

0 1 2 3 4 12

A = ?

A = P

−+

+1)1(

)1(n

n

iii

A = $3’500.000

−+

+1)025.01()025.01(025.0

12

12

A = $341.205b) AnticipadasEl flujo es: $3’500.000

1 2 3 11 0 12

A = ?

A =

+

−++

−

−

1

1

)1(1)1(

1 n

n

iiiP

A =

+

−++

−

−

112

112

)025.01(025.01)025.01(

1

000.500'3

= $332.883

Ejemplo 3.4

Un préstamo de $10’000.000 a una tasa de interés del 3% mensual, se está pagando con cuotas mensuales iguales de $500.000. Calcular el número de cuotas que amortizan el préstamo.

$10’000.000Solución algebraica:

El flujo es: 0 1 2 3 n


$500.000

P = A

+

−+n

n

iii

)1(1)1(

nn

n

iiiii

AP

)1(1

)1()1(

+−

++

=

niiiAP

)1(11+

−=−

Reemplazando valores, tenemos:

n)03.01(03.01

03.01

000.500000.000'10

+−=−

(20 – 33.3333) x 0.03 = - n)03.1(1

(1.03)n = - 4.0

1−

(1.03)n = 2.5Aplicando Logaritmo a ambos lados de la expresión, tenemos:

Log. (1.03)n = Log. (2.5)n Log. (1.03) = Log. (2.5)

n = )03.1.()5.2.(

LogLog

n = 31 mesesEjemplo 3.5

Resuelva el ejercicio anterior cuando las anualidades son anticipadas.Solución algebraica:El flujo es: $10’000.000

0 1 2 3 n-1 n

$500.000Sabemos que:

P = A + A

+

−+−

−

1

1

)1(1)1(

n

n

iii

=−A

AP 11

1

)1(1

)1()1(

−−

−

+−

++

nn

n

iiiii

AAP −

- i1

= - 1)1(1

−+ niiReemplazando valores:


1)03.01(03.01

3333.01

000.500000.500000.000'10

−+−=−−

n

(19 – 33.3333) x 0.03 = - 1)03.1(1

−n

(1.03)n-1 = - 43.0

1−

(1.03)n-1 = 2.326

Log. (1.03)n-1 = Log. (2.326)

(n – 1) Log. (1.03) = Log. (2.326)

(n – 1) = )03.1.()326.2.(

LogLog

n – 1 = 29n = 30 meses

Ejemplo 3.6

Un préstamo de $5’000.000 se está pagando con 12 cuotas mensuales de $500.000. Calcule la tasa de interés que le cobran.

Solución algebraica:El flujo es: $5’000.000 0 1 2 3 12

$500.000Sabemos que:

P = A

+

−+n

n

iii

)1(1)1(

5’000.000 = 500.000

+

−+12

12

)1(1)1(

iii

=000.500000.000'5

+

−+12

12

)1(1)1(

iii

10 -

+

−+12

12

)1(1)1(

iii

= 0 (1)

En la expresión (1) buscamos dos valores para i, de tal manera que uno haga a la ecuación positiva y la otra la haga negativa, posteriormente interpolamos entre los dos valores, así:

Con i = 2.8%, entonces:

10 -

+

−+12

12

)028.01(028.01)028.01(

= - 0.074

Para i = 3%:


10 -

+

−+12

12

)03.01(03.01)03.01(

= 0.046

Interpolamos:0.028 - 0.074

i 00.03 0.046

0074.0046.0074.0

028.003.0028.0

−−−−=

−−

i

6216.1028.0

002.0 =−

−i

i−=− 028.06216.1

002.0

-0.00123335 – 0.028 = - i-0.0292 = -i

i = 2.92% mensualNOTA: El estudiante debe realizar el anterior ejercicio, considerando la anualidad anticipada.

Ejemplo 3.7

Se depositan $300.000 al final de cada mes durante un año en una cuenta de ahorros que paga el 0.3% mensual. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del año.Solución algebraica:El flujo es: F = ?

1 2 3 12 0 $300.000

F = A

−+ii n 1)1(

F = 300.000

−+

003.0112)003.01(

F = $3’659.998


EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DEL CAPITULO 31) Una deuda de $800.000 va a ser cancelada en pagos trimestrales iguales de $78.000 cada una. Suponiendo una tasa del 30% nominal trimestral, se pide:a) ¿Cuántos pagos de $78.000 deben hacerse?b) ¿Con qué pago final hecho 3 meses después del último pago de $78.000 cancelará la deuda?

2) Un empleado deposita en una entidad bancaria al final de cada mes, cuando recibe el pago de su salario, la suma de $250.000. Al cabo de 3 años tiene un saldo disponible de $13’500.000. ¿Qué tasa de interés le reconocieron?

3) Adriana inicia una cuenta de ahorros en un banco con $300.000 y al mes comienza a hacer depósitos de $100.000 cada mes vencido. ¿Qué tiempo debe esperar para tener acumulados $1’460.670,43, si le pagan un interés del 2% mensual?

4) Se debe reunir la suma de $8’500.000 para dentro de dos años, con tal fin se decide hacer depósitos iguales por mes vencido en una institución que paga el 2.5% mensual. Halle el valor de los depósitos.

5) Durante un año se hacen depósitos por mes vencido de $12.000 cada uno, en una institución que paga un interés del 3% mensual. ¿Qué suma total acumulada se tendrá en la cuenta al final de ese tiempo?

6) Una obligación de $2’000.000 se va a cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de $358.441,75. Si se cobra un interés del 3% mensual de financiación, calcule el número de pagos necesarios para cancelar la obligación.

7) Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1’000.000 y 36 cuotas mensuales iguales de $200.000. Si la agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos, calcule el valor de contado del vehículo.

8) Solucione el ejercicio anterior, para el caso de anualidad anticipada.



CAPITULO IVAMORTIZACIÓN Y CAPITALIZACIÓN

(Opción: Buscar Objetivo)

4.1 GENERALIDADESAmortizar es el proceso de pago de una deuda y sus intereses mediante una serie de cuotas (periódicas o no), en un tiempo determinado. La palabra amortización provine del latín mors, que significa muerte, por lo tanto, la amortización es el proceso con el que se “mata” una deuda.

Mientras que capitalización es el proceso mediante el cual los intereses que se van causando periódicamente, se van sumando al capital anterior para forma un nuevo capital.

El estudio de la amortización y la capitalización lo realizaremos a través de los siguientes tipos:- Gradual- Lineal creciente- Lineal decreciente- Geométrico creciente- Geométrico decreciente- EscalonadoBuscar objetivo es un instrumento de EXCEL que resuelve ecuaciones de una variable. Se utiliza para hallar el valor de una variables específica incluida en una fórmula, igualando esta última a un resultado determinado, que generalmente es cero. La función Buscar objetivo permite ajustar una proyección para lograr un objetivo determinado, lo que significa que con esta herramienta se pueden construir tablas de amortización con todos los esquemas de pago posibles, ajustando el saldo final a cualquier valor, que por lo general es cero. El secreto para trabajar con esta opción está en hacer depender las cuotas futuras, de la segunda en adelante, de la primera cuota.

4.2 REFERENCIAS RELATIVAS Y ABSOLUTASEn EXCEL, al escribir las fórmulas que posteriormente se van a copiar, es importante definir el tipo de referencia en las direcciones de las celdas. Normalmente el EXCEL trabaja con direcciones relativas, cuya notación se crea tecleando la letra de la columna seguida del número de la fila. El EXCEL, al copiar una fórmula ajusta las referencias relativas a la nueva posición de la fórmula. La mayoría de las veces se necesita, al copiar una fórmula, conservar la referencia de una celda (por ejemplo, una tasa de interés); en este caso se utiliza la referencia absoluta con el fin de que al ajustar las referencias el valor de la celda permanezca constante, para lo cual se escribe el signo pesos antes y después de la letra de la columna (o pulsando la tecla F4 después de señalar la celda que se desea permanezca fija), así:

A B C DMonto Tasa Referencia Relativa Referencia Absoluta

1 10,000,000 3% =A1*B1 =A1*$B$12 7,000,000 2.5% =A2*B2 =A2*$B$13 5,000,000 2% =A3*B3 =A3*$B$14 4,000,000 1.5% =A4*B4 =A4*$B$15 2,000,000 1% =A5*B5 =A5*$B$1

Ejemplo 4.1


Una deuda de $500.000 financiada con una tasa del 2% mensual, se va a pagar con 6 cuotas mensuales iguales. Construya la tabla de amortización de la deuda.Solución algebraica: P = $500.000i = 2% mensual $500.000n = 6 1 2 3 4 5 6A = ? A = ?

A = P

−+

+1)1(

)1(n

n

iii

A = $500.000

− 1)02.1()02.1(02.0

6

6

= $89.263

Entonces montamos la tabla de amortización así:

PERIOD CUOTA INTERESES AMORTIZ. SALDO0 0 0 0 500.0001 89.263 10.000 79.263 420.7372 89.263 8.415 80.848 339.8893 89.263 6.798 82.465 257.4244 89.263 5.148 84.114 173.3095 89.263 3.466 85.797 87.5136 89.263 1.750 87.513 0

Supongamos ahora que el comportamiento de las cuotas de este crédito son los siguientes:a) Las cuotas crecen cada mes en $5.000.b) Las cuotas decrecen cada mes en $10.000.c) Las cuotas crecen cada mes en un 10%.d) Las cuotas decrecen cada mes en un 10%.e) Las cuotas durante el primer trimestre son constantes y durante el segundo trimestre crecen en un 10%.

Ejemplo 4.2Elaborar una tabla para capitalizar la suma de $1’500.000 en 6 pagos trimestrales iguales, en un fondo que reconoce el 7% E. T.Solución algebraica:F = $1’500.000n = 6i = 7% E. T.A = ?

A = P

−+

+1)1(

)1(n

n

iii

A = $1’500.000

− 1)075.1(

)075.1(075.06

6

= $209.694

Se monta la tabla de capitalización así:


PERIODO CUOTA INTERESES C + I SALDO

0 0 0 0 01 209.694 0 209.694 209.6942 209.694 14.679 224.372 434.0663 209.694 30.385 240.078 674.1444 209.694 47.190 256.884 931.0285 209.694 65.172 274.866 1.205.8946 209.694 840413 294.106 1.500.000

Ejemplo 4.3Una empresa desea reunir la suma de $40’000.000 al cabo de 36 meses, para la adquisición de un nuevo vehículo. Para lograr su objetivo abre una cuenta de ahorros hoy con $250.000 y piensa hacer depósitos mensuales crecientes en $15.000. Si le reconocen el 2% mensual, elabore una tabla para tener reunida tal cantidad.

Ejemplo 4.4Un electrodoméstico que vale de contado $5’000.000 se financia de la siguiente forma: una cuota inicial de $500.000 y el saldo en 6 cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés cobrada es del 30% capitalizable mensualmente, construir la tabla de amortización de la deuda.

Ejemplo 4.5Un vehículo que tiene un valor de contado de $20’000.000 se piensa financiar de la siguiente forma: cuota inicial de $2’000.000 y el saldo en 12 cuotas mensuales iguales de $1’500.000 y dos cuotas extras en los meses 6 y 12 de $1’994.324, con una tasa del 3% mensual. Construya la tabla de amortización de la deuda.

Ejemplo 4.6Un crédito de $10’000.000 financiado a una tasa del 2.5% mensual, se propone pagar por medio de 24 cuotas mensuales. Construya la tabla de amortización de la deuda, sí:a) Las cuotas son iguales (Amortización Gradual).b) Las cuotas crecen cada mes en $10.000 (Gradiente Lineal Creciente).c) Las cuotas decrecen cada mes en $10.000 (Gradiente Lineal Decreciente).d) Las cuotas aumentan cada mes en un 1.8% (Gradiente Geométrico Creciente).e) Las cuotas decrecen cada mes en un 1.8% (Gradiente Geométrico Decreciente).f) Las cuotas mensuales son iguales durante el primer año y aumentan un 10% para el segundo año (Gradiente Escalonado).

Ejemplo 4.7

Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1’000.000 y 36 cuotas mensuales iguales de $200.000 c/u. Si la agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos, calcule el valor de contado del vehículo.

Ejemplo 4.8


Calcular el valor de contado de un activo que financiado se paga de la siguiente forma: una cuota inicial de $200.000, al final del mes 5 un pago igual a la tercera parte de su valor y al final del mes 7 un pago igual a la mitad de su valor. La tasa de interés cobrada es del 3% mensual.

Ejemplo 4.9

Una persona abre una cuenta de ahorros en un banco con $2’000.000. Transcurridos dos meses retira $500.000; después de cinco meses hace un nuevo depósito por $200.000 y al final del mes siete tiene un saldo disponible de $2’092.290,69. Calcule la tasa de interés que le pagó el banco.

Ejemplo 4.10

Pedro ahorra a partir de hoy y durante 6 meses $250.000 cada mes. Desde el mes 8 hasta el mes 12 retira $374.605,38 quedando en la cuenta un saldo de cero al final del año. ¿Qué tasa de interés le pagaron?

Ejemplo 4.11

Un ahorrador decide hacer depósitos de $1’000.000 por mes vencido, durante un año, en una entidad que le paga una tasa de interés del 1.8% mensual. Al llegar a hacer el séptimo depósito, le informan que la tasa de interés ha aumentado al 2% mensual, por ello, decide aumentar a $1’500.000 el valor de los depósitos. ¿Qué valor tiene acumulado al final del año?

Ejemplo 4.12

Un crédito bancario por valor de $4’000.000 se está pagando con 6 cuotas mensuales iguales de $833.498,62. Calcule la tasa de interés que cobraron.

Un electrodoméstico tiene un valor de contado de $1’000.000 y se debe financiar con dos pagos iguales en los meses 6 y 12. Hallar el valor de estos pagos si la tasa de interés que se cobra es del 2% mensual.

¿Cuánto se debe depositar en una cuenta de ahorros que paga un interés del 2% mensual, para poder retirar $75.000 dentro de 6 meses, $45.000 dentro de 8 meses, la mitad de lo depositado dentro de 10 meses y aún se tenga un saldo de $300.000 dentro de 12 meses?



Ejemplo 4.13

Ejemplo 4.14

CAPITULO VEVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS

5.1 GENERALIDADES5.1.1 AlternativaEn Matemáticas Financieras se entiende por alternativa toda opción u oportunidad que se le presenta a cualquier persona, para hacer o no uso de ella. Las alternativas pueden ser:

a) De InversiónDesde el punto de vista financiero, es la asignación de recursos (inversión inicial)en el presente con el fin de obtener unos beneficios en el futuro (FNE).

b) De CostosSon aquellas en las que una vez hecha la inversión inicial, no se obtienen beneficios e el futuro, sino, que se generan unos desembolsos periódicos a lo largo de la vida útil de ella y al final de esta, es posible recuperar un porcentaje de su costo inicial.

La toma de decisiones ante alternativas de inversión o de costos, son muy importantes, pues implican la asignación de grandes sumas de dinero y por tanto, pueden significar el éxito o fracaso de una empresa o de un inversionista,

Es de anotar que en la mente de cualquier inversionista, el esquema que se plantea para tomar una decisión de invertir es: convendrá la inversión? Una alternativa de inversión conviene a menos que se pueda recuperar con intereses. Esto significa que el inversionista necesita recuperar la inversión inicial que realiza y obtener sobre ella unos beneficios que satisfagan sus expectativas de rendimiento. Para poder tomar esta importante decisión, el inversionista debe contar con:

1) Una tasa de interés que le sirva como referencia para poder decidir si invierte o no. Esta tasa de interés se conoce como Tasa de Oportunidad (TO) o Tasa Mínima Atractiva de Rendimiento (TMAR), o sea, la tasa mínima a la que el inversionista estaría dispuesto a invertir su dinero. Todo inversionista tiene su tasa de oportunidad.

2) Unas técnicas o métodos de análisis que le permitan comprobar que con la inversión que hace en el presente y los beneficios futuros se a ganar, al menos, su TMAR.

Este es, pues, el propósito del presente capítulo: desarrollar las técnicas necesarias para realizar este tipo de análisis y poder tomar decisiones de índole financiero en forma acertada.

5.2 TECNICAS PARA LA EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS5.2.1 Valor Presente Neto (VPN)Es una cifra monetaria que resulta de comparar el valor presente de los ingresos con el valor presente de los egresos, es decir, traer del futuro al presente cantidades monetarias a su valor equivalente con base en al TMAR. Cuando se trasladan cantidades del futuro al presente, se dice que se utiliza una tasa de descuento debido a lo cual, los flujos de efectivo ya trasladados al presente se les llama flujos descontados.

El cálculo del VPN viene dado por la siguiente expresión:


VPN = Pi

VSFNEi

FNEi

FNEi

FNEn

n −+

++++

++

++ )1(

...)1()1()1( 33

22

11

Donde: FNE: Son los Flujos Netos de Efectivo (libres de todo costo) futuros i: Es la TO o TMAR VS: Es el valor de salvamento o de rescate o residual o de mercado de la alternativa P: Es el monto de la inversión inicial

5.2.1.1 Criterios de decisión del VPN para una sola alternativa de inversión Si VPN > 0, la alternativa se acepta Si VPN < 0, la alternativa se rechaza Si VPN = 0, es indiferente

-Si se trata de dos o más alternativas de inversión, se calcula el VPN de cada una de ellas y se selecciona la de mayor VPN positivo.

-Si se trata de dos o más alternativas de costos, se calcula el VPN de cada una de ellas y se selecciona la de menor VPN positivo.

5.2.2 Tasa Interna de Retorno (TIR)Es la tasa que hace al VPN = 0, o es la tasa de interés que iguala el VPN de los ingresos con el VPN de los egresos. En consecuencia, la TIR es la tasa de interés que rinden los dineros que aún permanecen invertidos en un proyecto y no sobre la inversión inicial.

Una interpretación importante de la TIR es que ella es la máxima tasa de interés a la un inversionista estaría dispuesto a pedir prestado dinero para financiar la totalidad de un proyecto, pagando con los beneficios (FNE) la totalidad del capital y sus intereses, sin perder ni un centavo.

Como la TIR hace al VPN = 0, entonces:

Pi

VSFNEi

FNEi

FNEi

FNEn

n −+

++++

++

++ )1(

...)1()1()1( 33

22

11 = 0

5.2.2.1 Criterios de decisión de la TIR Si TIR > TMAR, la alternativa se acepta Si TIR = TMAR, la alternativa se acepta Si TIR < TMAR, la alternativa se rechaza

5.2.3 Valor Anual Equivalente o Costo Anual Equivalente (VAE o CAE)El término valor anual o costo anual por lo general hace referencia a cuotas anuales, pero en realidad estas pueden expresarse para cualquier período. En forma más práctica, podemos decir que el VAE o CAE es cada una de las partes anuales iguales en que se reparte el VPN, a la tasa de oportunidad utilizada para calcularlo. Esto es equivalente a calcular la cuota (A) de una anualidad vencida conocidos el valor presente, que en este caso es el VPN; la tasa de interés, que corresponde a la tasa de oportunidad y el número de cuotas, que es el número de años de la vida útil del proyecto.

5.2.3.1 Criterios de decisión del VAE o CAE Si se trata de una sola alternativa de inversión, se acepta si VAE > 0. Si se trata de dos o más alternativas de inversión, se calcula el VAE de cada una de ellas y se selecciona la de mayor VAE positivo.


Si se trata de dos o más alternativas de costos, se calcula el CAE de cada una de ellas y se selecciona la de menor CAE positivo.Para el cálculo de estos indicadores, se recomienda construir el flujo de caja y escribir en las celdas los valores. Al utilizar el parámetro VPN o TIR se ingresan las celdas y no los valores. El EXCEL es consistente con la convención de signos: ingresos con signo positivo y egresos (inversión) con signo negativo, es decir: =VNA (tasa, rango) – PEn el caso del VPN hay que tener en cuenta que el rango debe iniciarse en la celda correspondiente al período 1 y terminar en el período n. El valor calculado estará expresado en el momento cero y es el valor presente de todos los flujos futuros. Para calcular el VPN se debe restar el valor de la inversión. Si en el flujo analizado se encuentra un período con valor cero, debe escribirse como tal, ya que EXCEL no considera una celda en blanco como cero. Los signos de los valores involucrados en el cálculo deben ser consistentes con el flujo de caja, de tal forma que una inversión debe ser egreso con signo negativo y un ingreso debe tener signo positivo.


EJEMPLOS DEL CAPITULO 5

Ejemplo 5.1

Un proyecto A tiene como flujos mensuales los siguientes: -$70.000, $30.000, $30.000, $30.000. Por su parte un proyecto B tiene como flujos mensuales: -$70.000, $10.000, $29.000, $62.000. ¿Cuál le conviene más de acuerdo con sus respectivos VPNs, TIRs y VAEs, si su tasa de oportunidad es del 3% E. M.?

Solución algebraica:Proyecto A:

Mes 0 1 2 3FNE -70.000 30.000 30.000 30.000

VPNa = 30.000

+

−+3

3

)03.01(03.01)03.01(

- 70.000

VPNa = $84.858 – 70.000VPNa = $14.858

Proyecto B: Año 0 1 2 3FNE -70.000 10.000 29.000 62.000

VPNb = 10.000 (1 + 0.03)-1 + 29.000 (1 + 0.03)-2 + 62.000 (1 + 0.03)-3 – 70.000VPNb = $23.783

Se observa que VPNb > VPNa, por tanto me conviene más el proyecto B.Cálculo de la TIR:Proyecto A:

VPNa = 30.000

+

−+3

3

)1(1)1(

iii

- 70.000

Igualando a cero, tenemos:

30.000

+

−+3

3

)1(1)1(

iii

- 70.000 = 0 (1)

Sumando ingresos en el futuro y egresos en el presente: 90.000

0 3

70.000

Entonces: 000.70)1(

000.903

=+ i

000.70000.90)1( 3 =+ i (1 + i)3 = 1.286

Extrayendo raíz cúbica a ambos lados de la igualdad, tenemos: ( )[ ] 3/13/13 )286.1(1 =+ i


1 + i = 1.0875 i = 8.75%Probando en (1) con i = 13,6%, tenemos:

30.000

+

−+3

3

)136.01(136.01)136.01(

- 70.000 = $119,13

Probando en (2) con i = 13,8%, tenemos:

30.000

+

−+3

3

)138.01(138.01)138.01(

- 70.000 = -$116,63

Interpolando entre 13,6% y 13,8%:TIRa = 13,7% mensual

Proyecto B:VPNb = 10.000 (1 + i)-1 + 29.000 (1 + i)-2 + 62.000 (1 + i)-3 – 70.000

Igualando a cero:10.000 (1 + i)-1 + 29.000 (1 + i)-2 + 62.000 (1 + i)-3 – 70.000 = 0 (2)

Sumando ingresos en el futuro y egresos en el presente: 101.000

0 3

70.000

Entonces: 000.70)1(

000.1013

=+ i 3)1(

000.70000.101 i+=

(1 + i)3 = 1.443Se extrae raíz cúbica a ambos lados de la igualdad:

( )[ ] 3/13/13 )443.1(1 =+ i1 + i = 1.13 i = 13%

Probando en (2) con i = 15,9%, tenemos:10.000 (1 + 0.159)-1 + 29.000 (1 + 0.159)-2 + 62.000 (1 + 0.159)-3 – 70.000 = $40,74

Probando en (2) con i = 15.95%:10.000 (1 + 0.1595)-1 + 29.000 (1 + 0.1595)-2 + 62.000 (1 + 0.1595)-3 – 70.000 = -$33,09

Interpolando entre 15,9% y 195%, tenemos:TIRb = 15,93% mensual

Cálculo del VAE:Proyecto A:

VAEa = $14.858

−+

+1)03.01()03.01(03.0

3

3

VAEa = $5.253Proyecto B:

VAEb = $23.783

−+

+1)03.01()03.01(03.0

3

3

VAEb = $8.408Se observa que VAEb > VAEa, por tanto es más conveniente el proyecto B.

Ejemplo 5.2


Un proyecto de inversión tiene el siguiente flujo de caja:Año 0 1 2 3 4FNE -1.000 350 380 400 500

Evalúelo para tasas de oportunidad del 20 y 30% respectivamente. Solución algebraica:VPN20% = 350 (1.2)-1 + 380 (1.2)-2 + 400 (1.2)-3 + 500 (1.2)-4 – 1.000VPN20% = $28,16 > 0, se aceptaVPN30% = (1.3)-1 + 380 (1.3)-2 + 400 (1.3)-3 + 500 (1.3)-4 – 1.000VPN30% = -$148,79 < 0, se rechazaSiguiendo un procedimiento igual al del anterior ejercicio, calculamos la TIR y el VAE de cada proyecto, obteniendo los siguientes resultados:

TIR = 21,39% > 20%, se aceptaPero, TIR = 21,39% < 30%, se rechazaEl VAE o CAE para P = $28,16 es:A = $10,88 > 0, se aceptaPara P = -$148,79; A = -$68,69 < 0, se rechaza

Ejemplo 5.3

Un cliente le propone comprarle una vivienda que tiene un valor de contado de $55’000.000 con el siguiente plan de pagos: una cuota inicial equivalente al 20% y unos pagos así: dentro de 6 meses $10’000.000; dentro de 12 meses $25’000.000 y dentro de 18 meses $22’000.000. Si usted está dispuesto a prestar su dinero a una tasa de interés mínima del 3% mensual, aceptaría el negocio? Porqué? Ejemplo 5.4

Pedro compra un camión de carga hoy por $30’000.000 para arrendárselo a una empresa de transporte durante un año por $800.000 mensuales, libres de gastos de operación y mantenimiento. Si al final del año le proponen comprarle el camión por $25’000.000 y su tasa de oportunidad es del 3% E. M., ¿debe aceptar el negocio? ¿Cuál debe ser el precio mínimo del camión al final del año para que Pedro acepte el negocio? Sí acepta vender el camión al final del año en $25’000.000, ¿cuál debe ser el valor del arriendo mensual?

Ejemplo 5.5

Una empresa que tiene una tasa de oportunidad del 15% anual, desea conocer los costos a cargar, dentro de sus costos operacionales anuales, de una nueva máquina que compró por $25’000.000 y tiene una vida útil de 5 años. Se estima un valor de salvamento al final de la vida útil de $10’000.000 y unos costos de mantenimiento de $750.000. Calcular el costo anual de gastos del equipo.

Ejemplo 5.6

A usted se le presentan las siguientes alternativas de inversión: Alternativa “A” Alternativa “B”


Inversión inicial $1’000.000 $1’000.000FNE 250.000 230.000Valor residual 600.000 700.000Vida útil 4 años 4 añosSi su tasa de oportunidad es del 15% E. A., use la técnica del B/C para escoger la mejor alternativa.

Ejemplo 5.7

La empresa Constructores Asociados necesita adquirir una nueva mezcladora para preparar el concreto que utiliza en sus obras. En el mercado existen dos modelos que prestan el mismo servicio y producen los mismos ingresos, cada una con las siguientes características:

Tipo de mezcladora Caterpillar John DeereCosto del equipo $25’000.000 $20’000.000Ingresos anuales 8’000.000 8’000.000Gastos operativos / año 1’800.000 2’200.000Valor de salvamento 10’000.000 8’000.000Vida útil 5 años 5 años

¿Cuál de las dos mezcladoras debe comprar la empresa, si su tasa de oportunidad es del 15% anual?

Ejemplo 5.8

Una fábrica tiene costos fijos mensuales de $600.000 y costos variables de $150 por unidad. Durante los primeros 6 meses no hay producción porque este tiempo se dedicará a pruebas y ajustes. En el mes 7 se iniciará la producción con 300 unidades y cada mes la producción aumentará en 200 unidades hasta llegar al tope de 2500 unidades al mes. Si se espera vender la fabrica al final de 3 años, calcular el costo total de la producción en estos 3 años en pesos de hoy. Suponga una tasa de 3% efectiva mensual.

Ejemplo 5.9

Se compra una bodega por $50’000.000 y en el primer mes se le hacen reparaciones por $5’000.0000. Se espera arrendarla a partir del tercer mes por $500.000 mensuales hasta finales del tercer año, cuando se espera venderla por $35’000.000. Si la tasa de oportunidad es del 20% E. A., ¿se hizo buen negocio?

Ejemplo 5.10

Dos alternativas de inversión mutuamente excluyentes, tienen los siguientes flujos:

Año 0 1 2 3Alternativa A -500 130 280 350Alternativa B -450 100 70 580

Asuma una tasa de oportunidad del 10% E. A. ¿Cuál alternativa conviene más desde el punto de vista del VPN? ¿Qué decisión hubiese tomado usted, sí para ambas alternativas el VPN fuera negativo?


Ejemplo 5.11

Suponga que se tienen dos proyectos de inversión los cuales presentan los siguientes flujos con sus respectivas fechas y tasas:

A B C D E1 Tasa 6,50% Tasa 5,30%2 5/08/00 -$ 6.000,00 1/01/00 -$ 8.650,003 5/09/00 -$ 6.000,00 13/04/00 $ 1.500,004 10/11/00 $ 1.500,00 25/07/00 $ 2.150,005 5/01/01 $ 2.000,00 14/10/00 $ 2.300,006 15/04/01 $ 2.800,00 2/02/01 $ 1.800,007 4/07/01 $ 2.300,00 4/05/01 $ 1.100,008 20/11/01 $ 3.100,009 7/02/02 $ 3.200,00

Calcule el VPN de cada uno de ellos y diga por cuál se decidiría y porqué?

Ejemplo 5.12

Suponga que se tienen dos proyectos de inversión los cuales presentan los siguientes flujos con sus respectivas fechas y tasas:

A B C D E1 3/01/00 -$ 11.900,00 3/07/00 -$ 7.500,002 20/03/00 $ 1.800,00 15/09/00 -$ 2.340,003 12/06/00 $ 2.900,00 23/11/00 $ 1.450,004 11/10/00 $ 2.620,00 5/01/01 $ 2.301,005 13/01/01 $ 2.350,00 3/05/01 $ 3.530,006 23/04/01 $ 2.100,00 21/08/01 $ 2.135,007 2/06/01 $ 1.200,00 15/12/01 $ 1.900,00

Determine a través del cálculo de la TIR no periódica, cuál es el mejor de ellos.

Al ejercicio 5.11 calcúlele la TIR no periódica.

NOTA: Los ejercicios resaltados en rojo hacen parte del trabajo final.


Ejemplo 5.13

matematicas financieras2

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