matemáticas financieras - l.c. y mtro.francisco javier...

Matemáticas Financieras

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l

A u t ó n o m a d e M é x i c o

F a c u l t a d d e C o n t a d u r í a y

A d m i n i s t r a c i ó n

L.C. y Mtro. Francisco Javier

Cruz Ariza

www.franciscojaviercruzariza.com Página 1

TEMA 4: MATEMÁTICAS FINANCIERAS

OBJETIVO GENERAL:

Al término de la presente unidad, el alumno comprenderá la importancia del valor del

dinero a través del tiempo y su repercusión en las distintas operaciones crediticias y de

inversión. Asimismo, aplicará conceptos tales como, Valor Presente, Valor Futuro, Interés

Compuesto Anualidades y Amortización a procesos de capitalización y valuación de

inversiones.

OBJETIVOS PARTICULARES:

Explicará los factores que determinan el valor del dinero a través del tiempo y su correspondiente análisis.

Elaborará análisis cuantitativos relativos a operaciones crediticias y de ahorro bajo el esquema del interés compuesto.

Desarrollará modelos de valuación de inversiones basados en ecuaciones de valor equivalentes.

Diseñará Tablas de Amortización de deudas a corto, mediano y largo plazo a partir de situaciones realistas bajo las condiciones crediticias vigentes.

Elaborará Tablas de Fondo de Amortización comparativas que le servirán para comparar distintos instrumentos de ahorro e inversión a determinado plazo y de acuerdo a las tasas de interés vigentes.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:

Consulta de libros de texto, manuales y portales especializados en internet. Participación activa en foros de discusión dentro del portal del profesor. Resolución de prácticas y casos de estudio sobre tópicos de matemáticas

financieras mediante el uso de Excel. Elaboración de tablas de amortización crediticias y valuación de inversiones.

RECURSOS DIDÁCTICOS:

Pizarrón

Lap top

Presentaciones electrónicas

Documentos electrónicos


Hoja de cálculo (Excel)

Internet

Libros y revistas

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

1. Diaz Mata, Alfredo y Aguilera Gómez, Victor Manuel, Matemáticas Financieras, 3°

ed., México, Mc Graw Hill Interamericana, 2000. 467 pp.

2. Zbigniew, kozikowski, Matematicas Financieras: El Valor Del Dinero en el Tiempo,

México, Mc Graw Hill Interamericana, 2007, 800 pp.

3. Vidaurri Aguirre, Héctor, Matemáticas Financieras, 4° ed., México, Cengage

Learning Editores, 2008, 560 pp.

4. Diaz Mata, Alfredo, Matemáticas Financieras, México, Mc Graw Hill

Interamericana, 2007, 440 pp.

5. Villalobos, José Luis, Matemáticas Financieras, 3° ed., México, Pearson

Educación, 2007, 608 pp.

6. Flores Uribe, Juan Antonio, Matemáticas Financieras Empresariales, Colombia,

ECOE Ediciones, 2008, 240 pp.

7. Toledano y Castillo, Mario A., Matemáticas Financieras, México, CECSA, 1981,

272 pp.

8. Aching Guzmán, César, Guía rápida de aplicaciones financieras en Excel,

accesible en texto completo en http://www.eumed.net/cursecon/libreria/

9. Aching Guzmán, César, Matemáticas Financieras para toma de decisiones ,

accesible en texto completo en http://www.eumed.net/cursecon/libreria/

10. Cruz Ariza, Francisco Javier, El valor del dinero a través del tiempo, accesible en

texto completo en http://www.franciscojaviercruzariza.com

11. Cruz Ariza, Francisco Javier, Valor Presente Neto y Tasa Interna de Retorno,

accesible en texto completo en http://www.franciscojaviercruzariza.com

12. Cruz Ariza, Francisco Javier, ¿Qué es un Fondo de Inversión y cómo se determina

su renimiento?, accesible en texto completo en

http://www.franciscojaviercruzariza.com

REFERENCIAS ELECTRÓNICAS:

http://www.franciscojaviercruzariza.com (casos de estudio y plantillas electrónicas).

http://www.matematicas-financieras.com (material de apoyo en línea).

http://condusef.gob.mx/Sitio_Ed_Fin/index.html (microportal de educación financiera).

http://condusef.gob.mx/index.php/material-educativo (material educativo en

microfinanzas).

http://portalif.condusef.gob.mx/condusef/home.html (simuladores de ahorro e inversión).

http://e-portalif.condusef.gob.mx/tarjetas/ (simulador de créditos y tarjetas de crédito).

http://www.eumed.net/cursecon/libreria/

http://www.eumed.net/cursecon/libreria/

http://www.franciscojaviercruzariza.com/




http://www.matematicas-financieras.com/

http://condusef.gob.mx/Sitio_Ed_Fin/index.html

http://condusef.gob.mx/index.php/material-educativo

http://portalif.condusef.gob.mx/condusef/home.html

http://e-portalif.condusef.gob.mx/tarjetas/


http://www.nafin.com/portalnf/content/herramientas-de-negocio/calculadora-de-

rendimientos/calculadora-de-rendimientos.do (calculadora de rendimientos para ahorro e

inversión).

http://www.nafin.com/portalnf/content/herramientas-de-negocio/calculadora-de-

rendimientos/calculadora-de-rendimientos.do (Simulador de créditos que determina el

costo del dinero y arma tablas de amortización).

INTRODUCCIÓN

El campo de actuación de las Matemáticas Financieras tiene que ver con el análisis del

valor del dinero a través del tiempo; con los fenómenos relacionados con la depreciación

del poder adquisitivo del mismo debido a variables macroeconómicas tales como la

inflación o el deslizamiento de las tasas de interés.

Sin lugar a dudas, todos conocemos el dinero, y sabemos que por sí mismo, no significa

nada, pero que está representado por monedas y billetes que nos sirven para

intercambiar por productos y servicios, lo cual, representa una excelente alternativa para

poder lograr muchas de nuestras metas y proyectos, y mejor aún, cubrir las necesidades

básicas (y las no tan básicas también).

Para poder preservarlo, primero tenemos que aprender qué sucede con el dinero a

través del tiempo, y explicar algunos conceptos importantes.

En primera instancia, vamos a comentar que podemos diferenciar a un billete (o moneda)

de otro por su valor nominal; es decir, el valor que aparece impreso o grabado dentro del

mismo billete y que nos indica con qué cantidad de dinero disponemos para efectuar

nuestros diversos gastos. En México, a partir de los años 90’s el Banco de México ha

adoptado la política de emitir los billetes en diversos tamaños, colores y materiales de

acuerdo a su propio valor nominal, para con ello, facilitar su rápida identificación y su

curso legal, logrando disminuir significativamente los errores; ¿quién no se ha equivocado

al dar un billete de $500 por uno de $100 alguna vez?

Ahora consideremos que tenemos un billete nuevo de $500. Está tan bonito que lo

guardamos en un cofre durante 5 años olvidándonos de él. Cuando abramos el cofre y

saquemos nuestro billete, nos daremos cuenta de que éste se habrá conservado intacto,

que seguirá luciendo su valor nominal y que orgulloso portará la leyenda “páguese $500 al

portador”. Sin embargo, sabemos que esos $500 que guardamos hace tiempo rendían

más; podíamos comprar más cosas de las que se adquirirían pasados 5 años; es decir, el

dinero ha perdido parte de su poder adquisitivo.

El fenómeno anteriormente descrito, se debe a que todos los bienes de consumo y

servicios que necesitas en tu vida cotidiana, sufren de un incremento paulatino y

http://www.nafin.com/portalnf/content/herramientas-de-negocio/calculadora-de-rendimientos/calculadora-de-rendimientos.do





generalizado en sus precios por diversas razones, entre las cuales podemos señalar al

menos las siguientes:

• Incremento en los insumos que utilizan los fabricantes para la elaboración de los

diversos artículos.

• Devaluaciones abruptas de la moneda con respecto a otras divisas, como el dólar.

• El afán excesivo y desmedido de los comerciantes por el lucro, que puede ser una

verdadera ambición por generar más ingresos al re etiquetar indiscriminadamente las

mercancías en forma arbitraria.

• Incremento en el precio de los combustibles, lo cual origina que todas las

mercancías, paulatinamente, vayan incrementando su valor.

A este fenómeno de alza de precios, le llamamos inflación1.

La medición se hace sobre una serie de bienes y servicios que conforman la llamada

canasta básica que se constituye por los productos que en promedio consumen las

familias mexicanas a lo largo y ancho del territorio nacional. El resultado de esa medición

(incrementos o disminuciones en precios) se ve reflejado en el Índice Nacional de Precios

al Consumidor (INPC) que es publicado quincenalmente por el propio Banco de México.

A lo largo de la historia, nuestro país ha atravesado por distintos escenarios

macroeconómicos; algunos de ellos nada favorables, en donde la inflación ha alcanzado

cifras de más del 50% (1995) o incluso cercana al 150% (1987). Durante estos periodos

críticos de hiperinflación, el dinero perdió significativamente su poder adquisitivo, ya que

los precios se incrementaban constantemente, lo cual conllevó a que los gobiernos de

aquél entonces decidieran adoptar medidas que seguramente no fueron las más

apropiadas como el control y congelamiento de precios o los incrementos salariales.

Dichas medidas derivaron en una espiral inflacionaria, fenómeno que se origina a partir de

la “competencia” entre precios de bienes de consumo y sueldos (ambos a la alza), que a

su vez recrudecieron las crisis económicas durante 1987 y 1995 respectivamente.

Para evitar que se repita este fenómeno, el Sistema Financiero Mexicano2 puso, a partir

de entonces, a nuestra disposición distintos instrumentos de ahorro y de inversión que

nos ayuden a lograr dos objetivos fundamentales:

1. Que el dinero no pierda paulatinamente su poder adquisitivo debido a la inflación.

1 Para mayor información, consultar el Portal Especializado en Inflación, dentro de:

http://www.banxico.org.mx 2 Para conocer las distintas alternativas que ofrece el Sistema Financiero Mexicano y su funcionamiento, se

recomienda visitar: http://www.banxico.org.mx/sistemafinanciero/index.html

http://www.banxico.org.mx/

http://www.banxico.org.mx/sistemafinanciero/index.html


2. Obtener una ganancia o premio económico por ahorrar, por no haber dispuesto de

nuestro dinero y gastarlo.

Sin embargo, debemos tener mucho cuidado al elegir entre las diversas

alternativas que se anuncien en el mercado, para escoger las que nos ofrezcan un

rendimiento que se encuentre por arriba de la inflación, ya que siempre que vayamos a

invertir nuestro dinero en algún instrumento de ahorro, debemos contemplar que la tasa

de interés:

a) Sea mayor a la inflación.

Si la inflación es, del 5% y el banco nos ofrece una tasa del 3.5%, ¡definitivamente

estamos perdiendo tiempo y dinero! Nuestro dinero, en vez de generar una

ganancia, se está consumiendo.

Si el banco nos llegar a ofrecer una tasa de interés del 5%, es decir que fuera igual

a la inflación, aparentemente estaríamos conservando nuestro dinero, sin

embargo, hay que considerar que los bancos cobran comisiones que en ocasiones

pueden llegar a ser elevadas, lo cual implicaría nuevamente que estaríamos

perdiendo poder adquisitivo.

Finalmente, si logramos conseguir una tasa superior a la inflación, estaríamos

logrando nuestro objetivo. Aquí cabe señalar que, para que esto sea posible, la

mayoría de los bancos piden montos considerables de dinero o nos castigan la

disponibilidad del mismo a plazos preestablecidos.

b) Implique una sobre tasa o premio financiero atractivo.

Si logramos que nuestro dinero preserve su valor y no sea erosionado por la inflación,

habremos logrado algo importante, pero también tenemos que tener en cuenta que

merecemos un premio económico que sea satisfactorio y que compense el hecho de que

no estamos gastando ese dinero en alguna otra cosa. En consecuencia, debemos estar

perfectamente bien informados respecto a qué alternativa es la más conveniente para

nosotros, ya que también hay que considerar que los bancos ofrecen un premio

económico o interés.

Derivado de estas necesidades, surgen las Matemáticas Financieras, como

respuesta inmediata a la necesidad de evaluar las distintas alternativas, a efecto de

escoger entre las diversas opciones de crédito y/o inversión, acordes a las necesidades

particulares de las entidades económicas.

Las Matemáticas Financieras son una derivación de la matemática aplicada que estudia el

valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un

rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones

de inversión.


4.1 INTERÉS COMPUESTO

El interés es el premio económico que recibe una persona, dueña de un capital, por el

alquiler del dinero durante un cierto periodo de tiempo, como el dueño de una propiedad,

la alquila, sabe que mes con mes, tiene asegurada una renta mensual que le dará su

inquilino, pero también sabe que esa propiedad puede estar en riesgo por no recibir

puntualmente las rentas, al igual, si se alquila el dinero a alguna institución financiera, se

corre cierto riesgo, el cual disminuye y prácticamente se nulifica si se elige una institución

financiera debidamente avalada y supervisada por la Comisión Nacional Bancaria y de

Valores.

Al cabo de un año $100 invertido al 9% anual, es $109. Entonces decimos: el valor futuro

de $100 dentro de un año, al 9% anual, es $109. En otras palabras: el valor presente o

actual de $109 dentro de un año, al 9% anual, es $100.

Así:

a. Siempre se establece como un porcentaje a calcular sobre un determinado capital.

b. Todos los instrumentos financieros que generan una ganancia a través de una tasa de

interés, tienen previamente establecidos los vencimientos, que son las fechas en las que

se abonarán los intereses correspondientes.

VF = VP + premio económico (tasa de interés o rendimiento)

Donde:

VF = Suma futura poseída al final de n períodos, Valor Futuro.

VP = Suma de dinero colocado en el período 0, Valor Presente o Actual.

El valor presente (VP) es equivalente a mayor cantidad en fecha futura (VF), siempre y

cuando la tasa de interés sea mayor a cero.


Diagrama de equivalencia de capitales:

Al cabo de un año $100 invertido al 9% anual, es $109. Entonces decimos: el valor futuro

de $100 dentro de un año, al 9% anual, es $109. o bien: el valor presente o actual de

$109 dentro de un año, al 9% anual, es $100.

Es decir; $100 es equivalente a $109 dentro de un año a partir de hoy si consideramos la

tasa de interés es el 9% anual. Para una tasa de interés diferente al 9%, $100 hoy no es

equivalente a $109 dentro de un año.

La principal característica del interés compuesto, es que los intereses siempre se

capitalizan; es decir, se pagan intereses sobre intereses.

“…En el interés compuesto, el capital aumenta por la adjudicación de los intereses

vencidos al final de cada uno de los periodos de tiempo a que se refiere la tasa de interés.

Esto se debe a que, en el interés compuesto, los intereses tienden a generar más

intereses, ya que éstos se capitalizan. Se comprende que cuando empieza a correr el

segundo periodo de tiempo, el capital será mayor de lo que era al principio del primer

periodo y en consecuencia, el interés se incrementará.”3

3 Oaxaca, Juan Alfonso y Sánchez Julio, Matemáticas Aplicadas a los Negocios, 3ª. ed., México, FES-C UNAM,

2006, Pag. 109.


A manera de ilustración de este tema, y como ejemplo de la estrategia que hemos

sugerido, de comenzar destinando inicialmente el 10% de los ingresos al ahorro, y

aumentarlo paulatinamente, mostramos el siguiente ejemplo. El objetivo es que

reflexionemos acerca de las bondades del interés compuesto durante un horizonte de 15

años:

Nombre: Juan Pérez

Edad: 30 años

Ingreso mensual: $25,000.

Consideraciones:

El ingreso anual de Juan asciende a $180,000 Destinando inicialmente el 10% de su ingreso al ahorro, el podría canalizar

$18,000 durante los 5 primeros años; el 15% ($27,000) del 6° al 10° año, hasta llegar al 20% en lo últimos 5 años ($36,000).

Al cabo de 10 años, el monto del ahorro –sin considerar intereses- sería de $96,000

Ahora supongamos que durante los siguientes 5 años, el ingreso mensual de esta misma persona, subió a $12,000:

Al año habría obtenido un ingreso de $144,000 ($12,000 x12 meses)

El monto destinado al ahorro en un año sería de $14,400 (el 10%)


Al finalizar este último periodo de 5 años, el monto del ahorro –sin considerar intereses- sería de $72,000

Por consiguiente, podríamos concluir que la persona habría logrado reunir en total $168,000 ($96,000 + $72,000) sin considerar ningún tipo de rendimiento

En la siguiente tabla, se muestra el rendimiento que esa misma inversión hubiese

generado al cabo de 15 años considerando distintas tasas de interés (3, 4 y 5%):

Fórmula para obtener el Valor Futuro de una inversión mediante el uso de interés compuesto

(Tasa efectiva)

niVPVF )1(

En donde:

VF = Valor Futuro, Monto o Saldo Final.

VP = Valor Presente, Capital o Inversión.

i = Tasa efectiva de interés compuesto.

n = Tiempo.

La tasa de interés efectiva es aquella que se paga sobre el capital durante un periodo de

tiempo específico y en una sola exhibición (con un periodo de capitalización).

Año

Aportación

(10%

ingreso)

3% 4% 5%

1 9,600 9,888 9,984 10,080

2 9,600 20,073 20,367 20,664

3 9,600 30,563 31,166 31,777

4 9,600 41,368 42,397 43,446

5 9,600 52,497 54,077 55,698

6 9,600 63,960 66,224 68,563

7 9,600 75,766 78,857 82,071

8 9,600 87,927 91,995 96,255

9 9,600 100,453 105,659 111,148

10 9,600 113,355 119,869 126,785

11 14,400 131,587 139,640 148,244

12 14,400 150,367 160,201 170,777

13 14,400 169,710 181,585 194,435

14 14,400 189,633 203,825 219,277

15 14,400 210,154 226,954 245,361

Total 168,000 210,154 226,954 245,361


Ejemplo:

Calcular el monto que se obtendrá de invertir $15,000 durante 3 años a una tasa

efectiva anual del 3% de interés compuesto.

Sustituimos valores en la fórmula original: VP = $15,000

i = 3% efectiva anual 0.03

n = 3 años

niVPVF )1( 3)03.01(000,15 VF

Sumamos las cantidades del paréntesis: 3)03.1(000,15VF

Finalmente, y de acuerdo a la fórmula, multiplicamos este resultado por el Valor Presente:

90.390,16

)092727.1(000,15

VF

VF

Como podemos apreciar, si invertimos $15,000 durante 3 años a una tasa efectiva de interés compuesto del 3% anual, obtendremos un saldo de $16,390.90. Por consiguiente, se habrán generado $1,390.90 de intereses.

Fórmula para obtener el Valor Futuro de una inversión mediante el uso de interés

compuesto (Tasa nominal)

n

m

jVPVF

1

En donde:

j = Tasa nominal (puede aparecer como “convertible” o “capitalizable”)

m = Número de periodos de conversión por año.

Ejemplo:

Calcular el interés compuesto que generará un capital de $22,000 durante 4 meses al

24% convertible mensualmente.

Sustituimos valores en la fórmula original: VP = $22,000


j = 24% convertible (capitalizable) mensualmente 0.24

m = 12 esto es debido a que existen 12 periodos de conversión o de capitalización

al año, que corresponde al número de meses por año. Esto significa que el banco no

me va a pagar el 24% cada mes; sino que éste se irá acumulando a lo largo de 12

periodos, o sea que cada mes me va a pagar el 2% (24%/12 meses = 2% mensual).

n = 4 meses

n

m

jVPVF

1

4

12

24.1000,22

VF

Efectuamos la división del paréntesis:

02.012

24.0

4)02.1(000,22 VF

Sumamos las cantidades del paréntesis: 4)02.1(000,22VF

Finalmente, y de acuerdo a la fórmula, multiplicamos este resultado por el Valor Presente:

51.813,23

)0824321.1(000,22

VF

VF

Como podemos apreciar, si invertimos $22,000 durante 4 meses a una tasa nominal de interés compuesto del 24% capitalizable mensualmente, obtendremos un saldo de $23,813.51. Por consiguiente, se habrán generado $1,813.51 de intereses.

Fórmula para obtener el Valor Presente de una inversión mediante el uso de interés

compuesto (Tasa nominal)

n

m

j

VFVP

1

Ejemplo:

Determinar qué cantidad es necesario abonar a una cuenta que paga el 16% capitalizable

trimestralmente durante un trimestre para obtener $30,000.


Sustituimos valores en la fórmula original: VF = $30,000

j = 16% convertible (capitalizable) trimestralmente 0.16

m = 4 esto es debido a que existen 4 periodos de conversión o de capitalización al

año, que corresponde al número de trimestres que tiene un año. Esto significa que el

banco no me va a pagar el 16% cada mes; sino que éste se irá acumulando a lo largo

de 4 periodos, o sea que cada trimestre me va a pagar el 4% (16%/4 trimestres = 4%

Trimestralmente).

n = 1 trimestre

NOTA* Se tiene que tener especial cuidado en que siempre, la tasa de interés tiene

que estar expresada siempre en la misma unidad que el tiempo. En este caso

concretamente, la tasa la tengo en trimestres, por lo que el tiempo también deberá

estar expresado en trimestres.

n

m

j

VFVP

1

1

4

16.01

000,30

VP

Efectuamos la división del paréntesis:

04.04

16.0 Tasa efectiva por trimestre

1)04.1(

000,30

VF

Sumamos las cantidades del paréntesis:

1)04.1(

000,30VF

Finalmente, dividimos el monto ($30,000) entre 1.04 para obtener el resultado que necesitamos:

15.846,28VP

Como podemos apreciar, necesitamos depositar $28,846.15 en la cuenta para que dentro de un trimestre podamos retirar $30,000 considerando una tasa nominal del $16% capitalizable trimestralmente.


Fórmula para obtener la Tasa de Interés de una Inversión

mVP

VFJ n *1

Ejemplo:

Un capital de $18,000 ha estado invertido durante 3 años, luego de los cuales se

obtuvo un monto de $26,000. Determinar la tasa de interés generada.

VF = $26,000

VP = $18,000

m = 1

1*1000,18

000,26

nJ

J = 0.130404 13.04%

Fórmula para calcular el Tiempo o Plazo de una Inversión a Interés Compuesto

)1log(

log

m

jVP

VF

n

Ejemplo:

¿Cuánto tiempo se requiere para que una inversión de $25,600, invertida al 2.5%

capitalizable trimestralmente arroje un monto de $31,970,89?

VF = $31,970.89

VP = $25,600

m = 4

j= 0.025


)4

025.1log(

600,25

89.970,31log

n

n = 9 Se necesitan 9 trimestres.

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Determinar el monto compuesto de $100 durante 10 años:

a. Al 5% efectivo anual.

b. Al 5% capitalizable mensualmente.

c. Al 5% capitalizable trimestralmente.

d. Al 5% capitalizable semestralmente.

2. Una persona deposita $3,000 el 22 de abril de 2003 en una caja de ahorro que

paga el 6% capitalizable semestralmente el 30 de junio y el 31 de diciembre de

cada año. ¿Cuánto podrá retirar el 14 de noviembre de 2010?

3. Un banco pagaba el 5% e interés compuesto capitalizable trimestralmente. El 1°

de enero de 2005 modificó la tasa, elevándola al 7% capitalizable semestralmente.

Calcular el monto compuesto que tendrá el 1° de enero de 2013 un depósito de

$10,000 efectuado el 1° de abril de 2003.

4. Un señor muere el 20 de marzo de 1998, dejando a su hijo $100,000 para que le

sean entregados al cumplir 18 años. La herencia es colocada en una cuenta que

gana el 6% anual. El 22 de septiembre de ese año, elijo cumplió 10 años. Calcular

la cantidad que recibió al cumplir 18 años.

5. ¿Qué monto se recibirá el día de hoy por una inversión que se hizo hace 18 meses

a una tasa capitalizable mensualmente del 28% de un capital de $850.00?

6. ¿Qué monto se recibirá el día de hoy por una inversión que se hizo hace 24

meses a una taza capitalizable mensualmente del 18% de un capital de $12,950

7. La Señorita Jiménez recibió un préstamo hipotecario de $1250.00 y lo liquidará

en 8 meses. Si la tasa de interés que tiene que pagar es de 15% convertible

mensualmente ¿cuánto dinero tiene que pagar en total?


4.2 ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES.

En las operaciones financieras encontramos el problema básico de las inversiones

equivalentes, de manera que en valor y en tiempo produzcan el mismo resultado

económico. Esto es lo que se expresa en ecuaciones de valor. Un mismo valor situado en

fechas diferentes es, desde el punto de vista financiero, un valor distinto. No se debe

olvidar que solo se pueden sumar, restar o igualar dinero ubicado en una misma fecha,

llamada fecha focal.

Ejemplo 1:

Una empresa debe pagar $1’000.000 dentro de seis meses, $1’500.000 dentro de doce

meses y $2’000.000 dentro de 18 meses. Debido a ciertos problemas de liquidez, solicita

el siguiente sistema de pagos: $1’200.000 hoy, $1’200.000 dentro de 10 meses y el resto

dentro de 20 meses. Calcular el último pago que deberá hacer dentro de 20 meses,

considerando una tasa de interés del 1.5% efectivo mensualmente. Considerar como

fecha focal el día de hoy.

Las ecuaciones de valor permiten calcular en cualquier instante del tiempo (fecha focal) el

valor de todos los pagos, de tal manera que la suma de las deudas sea igual a la suma de

todos los pagos. Planteemos como fecha focal el instante cero:

Tendremos que llevar tanto las deudas como los pagos a la fecha focal. Para ello,

calculamos su Valor Presente:

DEUDAS = PAGOS


1’000,000/1.0156

+ 1’500,000/1.01512

+ 2’000,000/1.01518

= 1’200,000 + 1’200,000/1.01510

+

X/1.01520

3’698,946.50 = 2’234,000.68 + X / 1.01520

X= $1’973,069.61 Valor del último pago que extinguiría la deuda.

En realidad, cualquier fecha se puede considerar como fecha focal y el resultado es el

mismo.

Consideremos ahora el mes 12 como fecha focal. La ecuación de valor es la

siguiente:


calculamos el Valor Presente de las deudas y los pagos que están después de la

fecha focal (mes 12), y el Valor Futuro de las deudas y pagos cuyo vencimiento es

anterior a dicha fecha:

1’000,000*1.0156

+ 1’500,000 + 2’000,000/1.0156 = 1’200,000 x 1.015

12 + 1’200,000*1.015

2 +

X/1.0158

4’422,527.65 = 2’671,011.81 + X/1.0158

X=$1’973,069.61 Valor del último pago en la nueva fecha focal4.

4 Nótese que el resultado es igual al del primer ejemplo, en donde la fecha focal fue el mes cero.


Ejemplo 2:

Una persona debe pagar $1’000,000 dentro de tres meses, $1’500,000 dentro de diez

meses y $2’000,000 dentro de un año. La persona desea efectuar un solo pago de

$4’500,000 para cancelar las tres obligaciones. Si la tasa de interés es del 18% anual

capitalizable mensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago.

Consideremos como fecha focal, el mes cero, nuevamente:


calculamos su Valor Presente:

1’000,000/1.0153+1’500,000/1.015

10+2'000,000/1,.015

12 = 4'500,000 / 1.015

n

3’921,592.69 = 4’500,000 / 1.015n

1.015n = 4’500,000 / 3’921,592.69

1.015n = 1,14749296

log(1.015)n = 1.14749296

n x log 1.015 = log(1.14749296)

n = 9.240587619


Dentro de 9.24 meses se dará la equivalencia financiera de los pagos. Si

reducimos este tiempo a días considerando que un mes tiene 30 días, 0.24 x

30 = 7.2 días; es decir, el pago de los $4’500,000 debe hacerse dentro de

nueve meses y siete días.

4.3 Anualidades Simples

Una anualidad es un flujo de caja con montos de dinero uniformes, es decir, todos los

flujos son iguales y los movimientos de capitales ocurren a intervalos regulares. La

circulación monetaria es a través de pagos de la anualidad.

No necesariamente se refiere a periodos anuales, se ha conservado el nombre de

anualidad por costumbre en dichas operaciones.

Con este grupo de factores calculamos con rapidez el factor de acumulación de los

intereses de pagos periódicos iguales, así como el monto acumulado a pagar al final de

un período determinado. Estos cálculos pueden hacerse considerando pagos periódicos

al vencimiento pospagable o por adelantado prepagables.

También calculamos el factor de actualización de los intereses de pagos periódicos

iguales, así como el valor actual a pagar de un período específico dentro de un tiempo

establecido.

Las anualidades no siempre están referidas a períodos anuales de pago. Las fórmulas de

las anualidades permiten desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez.

Algunos ejemplos de anualidades son:

Los pagos mensuales por renta. El cobro quincenal o semanal de sueldos. Los abonos mensuales a una cuenta de crédito. Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

El intervalo o periodo de pago (n), es el tiempo que transcurre entre un pago (C) u otro y

el plazo de una anualidad es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo y el

periodo final de pago. Renta es el pago (C) periódico.

Los principales elementos que conforman la anualidad son:

R Renta o Pago Periódico, llamado también término. Es el importe cobrado o pagado,

según sea el caso, en cada período y que no cambia en el transcurso de la anualidad.


VF, el valor futuro viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (R), capitalizados al

final del enésimo período.

VA, el valor actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (R), descontados o

actualizados a una tasa de interés.

i, es la tasa de interés por período, tiene la característica de ser simultáneamente

nominal y efectiva.

También representa la tasa anual de efectivo (TEA).

n, obtenemos el número de períodos multiplicando el tiempo por la frecuencia de

capitalización de los intereses (n=t*m).

Las anualidades cumplen con las siguientes condiciones:

1. Todos los pagos son de igual valor.

2. Todos los pagos son a iguales intervalos.

3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa.

4. El número de pagos debe ser igual al número de períodos.


Clasificación:


ANUALIDADES VENCIDAS CIERTAS:

Las anualidades vencidas son aquellas que sus pagos iguales ocurren al finalizar cada

periodo, y dicho periodo coincide con el de capitalización de los intereses. Un diagrama

de flujo de cada de dicha anualidades se muestra a continuación:

La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:

La ecuación que en lugar del Monto relaciona el capital (C) o valor presente, con el pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:

Ejemplo 1:

Un trabajador deposita $250 en una cuenta de ahorros al FINAL de cada mes; si dicha cuenta paga 1.3% de interés mensual capitalizable al mes ¿Cuánto habrá ahorrado al cabo de un año?

Los datos son: R = $250; n = 12, i = 1.3% mensual capitalizable al mes


Cuando se cumplan los 12 periodos mensuales se cumple el año; por lo cual la sustitución de la ecuación queda de la siguiente forma:

Ejemplo 2:

Un trabajador debe pagar $90,000 dentro de 2 años, para lo cual desea hacer 12 Depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 4.2% bimestral ¿Cuál debe ser el valor de los depósitos si el primer pago se hace dentro de un bimestre?

Los datos son:

n = 12 i = 0.042 bimestral M = $90,000 R = ?

ANUALIDADES ANTICIPADAS CIERTAS:

Las anualidades anticipadas ocurren al inicio de cada periodo de tiempo, y dicho periodo coincide con el de capitalización de los intereses. El diagrama de flujo de cada de estas anualidades es el siguiente:


Donde R representa cada pago y los números en el eje horizontal son los periodos de tiempo transcurridos. La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:

Para anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas:

Esta ecuación equivale a la usada para anualidades vencidas, solo que se le añade un periodo (1+i) ya que el monto total se capitaliza un periodo más.

En el caso del capital la ecuación queda:

Ejemplo 1:

Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar $2,750 de renta por anticipado. Como desearía liberarse del compromiso mensual, decide proponer una renta anual anticipada. Si los intereses son del 15.6% anuales convertibles mensualmente ¿Cuánto debería ser la renta anual anticipada?

Los datos son: C=? R=$2,750 i = 15.6% anual capitalizable al mes n = 12 meses

Ejemplo 2:


Un trabajador debe pagar $90,000 dentro de 2 años, para lo cual desea hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 4.2% bimestral ¿Cuál debe ser el valor de los depósitos si hoy realiza el primero?

Los datos son: n = 12 i = 0.042 bimestral M = $90,000 R = ?

4.4 Anualidades Generales

Como comentamos anteriormente, son aquellas en las que el periodo de pago no coincide

con el de capitalización.

Las anualidades generales se dividen en dos tipos:

1. Aquellas cuyos pagos se realizan con menor frecuencia que la capitalización de

intereses. Por ejemplo, se realizan 4 pagos anuales de $ 55,000.00 cada uno y los

intereses se capitalizan cada semestre.

2. Los pagos se realizan con mayor frecuencia que la capitalización de intereses. Por

ejemplo, se realizan 6 pagos mensuales de $ 2,500.00 cada uno y los intereses se

capitalizan cada trimestre.

Para resolver un problema de anualidad general es necesario modificarlo de tal

manera que los periodos de pago y los periodos de capitalización coincidan. Es decir, es

necesario modificar la anualidad general en una anualidad simple equivalente.

Existen, básicamente, dos formas de convertir anualidades generales en anualidades

simples:


1. Se reemplazan los pagos originales por pagos equivalentes que coincidan con las

fechas de capitalización de intereses.

2. Se cambia la tasa de interés dada por una tasa equivalente en la cual el nuevo periodo

de capitalización coincida con el periodo de pago.

Ejemplo:

¿Qué renta semestral anticipada sustituye los pagos mensuales anticipados de $500 con

intereses del 30% anual capitalizable mensualmente?

Dado que la renta semestral anticipada ocurre de inmediato, los pagos mensuales

de 6 meses deben ser iguales a un solo pago semestral anticipado (que ocurre de

inmediato).

El pago semestral anticipado es equivalente entonces al presente de los pagos

mensuales anticipados.

Entonces los datos son:

R= $500 pago mensual anticipado

i = 0.3 anual capitalizable al mes

n = 6 periodos mensuales (dado que 1 semestre = 6 meses)

Se requieren pagos semestrales anticipados de $2,822.91 para sustituir los pagos

mensuales anticipados de $500 bajo una tasa del 30% anual capitalizable

mensualmente.


4.5 Tablas y Fondos de Amortización

El término amortización significa saldar una deuda gradualmente por medio de pagos periódicos, generalmente iguales, y que se realizan mediante intervalos de tiempo iguales.

AMORTIZACIÓN: Se refiere a la extinción mediante pagos periódicos de una deuda actual (valor presente o capital)

FONDOS DE AMORTIZACIÓN: Son acumulaciones de pagos periódicos para

liquidar una deuda futura (pudiera ser un ahorro),

Tablas de Amortización:

La tabla de amortización queda con los siguientes encabezados:

Ejemplo:

Calcular el valor de los pagos y la tabla de amortización para saldar una deuda de $4,000 contratado a 42% anual convertible bimestralmente; si la deuda debe saldarse en un año haciendo pagos bimestrales y el primero de ellos se realiza dentro de 1 bimestre.

Despejando R:

RESPUESTA: $839.18


Fondo de Amortización:

Como se vio en la introducción, el caso de fondos de amortización se distingue porque

aquí la deuda que se va amortizar se plantea a futuro, y lo que se hace es constituir un

fondo de reserva, asignando determinadas cantidades de dinero, (generalmente iguales y

periódicas), en cuentas que devengan intereses, con el fin de acumular el monto que

permita pagar la deuda a su vencimiento.

Ejemplo.

Una empresa debe pagar dentro de seis meses la cantidad de $ 2’000,000. Para asegurar

el pago, el contralor propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondo

mediante depósitos mensuales a una cuenta que paga el 60% convertible mensualmente.

¿De cuánto deben ser los depósitos? ¿Cómo se estructuraría la tabla de fondo de

amortización?

En este caso los $ 2’000,000 son un monto, ya que su valor es a futuro por lo que: M = 2’000,000

R = ?

i = 0.060/12 =0.05

n = 6

[

]

R = $294,034.94

PERIODO PAGO INTERESESAMORTIZACIÓN

DE CAPITALSALDO

0 4,000.00

1 839.18 280.00 559.18 3,440.82

2 839.18 240.86 598.32 2,842.50

3 839.18 198.97 640.21 2,202.29

4 839.18 154.16 685.02 1,517.27

5 839.18 106.21 732.97 784.30

6 839.18 54.90 784.28 0.02


La Tabla de Fondo de Amortización, quedaría de la siguiente forma:

PERIODODEPÓSITO

MENSUALINTERESES

ACUMULACIÓN

AL FONDOSALDO

1 294,034.94 - 294,034.94 294,034.94

2 294,034.94 14,701.75 308,736.69 602,771.63

3 294,034.94 30,138.58 324,173.52 926,945.15

4 294,034.94 46,347.26 340,382.20 1,267,327.35

5 294,034.94 63,366.37 357,401.31 1,624,728.65

6 294,034.94 81,236.43 375,271.37 2,000,000.03

matemáticas financieras - l.c. y mtro.francisco javier...

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