matematicas en dali

7/29/2019 Matematicas en Dali.

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CULTURA

Volumen 7, nm. 4 (diciembre 2011)15 pginas

http://www.matematicalia.netISSN: 1699-7700

Recibido:30 de diciembre de 2011Publicado: 31 de enero de 2012

matematicalia Vol. 7, nm. 4 (diciembre 2011) 1

Matemticas en Dal

Fernando BlascoDepartamento de Matemtica Aplicada a los Recursos Naturales, ETSI MontesUniversidad Politcnica de Madride-mail:[email protected] web:http://www.fblasco.com

Resumen

Este artculo explica la obra de Salvador Dal y sus implicaciones artsticas, desde el punto de vista de un matemtico.

Que seamos portadores del conocimiento de todas las cosas es una verdad que ni por un instante mepermito cuestionar. No hay cosa a la que aspiremos que no est ya contenida bajo la cpula delpensamiento, y no podramos aprender ni las matemticas ni el chino si las ciencias y las lenguas noestuvieran esperndonos, flotando en nuestras aguas estancadas.

SALVADOR DAL

Figura 1. Exposicin sobre Salvador Dal. Philadelphia Museum of Art (2005).
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://www.fblasco.com/http://www.fblasco.com/http://www.fblasco.com/http://www.fblasco.com/mailto:[email protected]


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Matemticas en DalF. Blasco

2 Vol. 7, nm. 4 (diciembre 2011) matematicalia

Introduccin

Para un matemtico no es fcil hablar de la obra de Salvador Dal y sus implicaciones artsticas,puesto que debera tener ms conocimiento sobre arte. Sin embargo, a simple vista, s que sepueden encontrar reminiscencias matemticas en gran parte de su obra. En mi caso, al igual que en

el de otros muchos matemticos, la primera mirada matemtica a la obra de Salvador Dal tuvo lugara travs de la lectura de Martin Gardner[3]. Aos ms tarde volv a reencontrarme con Dal por mediode una exposicin de Ciencia Recreativa en Girona y del concurso para escolares de SecundariaFEM Matematiques, cuya final se desarroll en Figueras. Aun sin tener un conocimiento profundo dela obra de Salvador Dal, me he atrevido a utilizar algunas de sus creaciones para poder explicarmatemticas y acercarlas al gran pblico.

Anamorfosis

Figura 2. Formas matemticas en el bigote de Dal.

Nmeros, espirales o parbolas son elementos matemticos que Salvador Dal eligi para dar formaa una de las caractersticas de su imagen: su bigote, que en ocasiones representaba un ocho (o elinfinito), otras veces una espiral y algunas una parbola (Figura 2). De hecho, la imagen de SalvadorDal con el bigote engominado en forma de parbola ha sido elegida para promocionar muchas de lasexposiciones sobre el insigne pintor de Figueras. La imagen de Dal en las escalinatas delPhiladelphia Museum of Art (Figura 1) es particularmente significativa, porque utiliza una de las ideasempleadas por el propio pintor en sus cuadros: la anamorfosis.

Una anamorfosis es una deformacin reversible en una imagen, que permite un efecto diferentedesde un punto de vista privilegiado. En el caso anterior, el punto de vista privilegiado es el pie de laescalinata, donde se situ la cmara. En el Teatro-Museo de Salvador Dal, en Figueras, podemoscontemplar la Sala Mae West, en la que diferentes elementos (cuadros, un sof, una peluca gigante,un aparador...), observados desde un ngulo apropiado, permiten imaginar a la actriz Mae West.

Figura 3. Sala Mae West en el Teatro-Museo Dal de Figueras.


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La parte derecha de la Figura 3enfoca la sala desde el punto de vista privilegiado, mientras que laimagen de la izquierda muestra la habitacin desde un ngulo diferente.

Dal no solo utiliz estas anamorfosis pticas, sino que tambin dise pinturas anamrficas que seven de modo ptimo cuando se reflejan en un cilindro [12], comoArlequn u Hombre y mujer.

Figura 4. La cara de Dal, en Figueras.

En este sentido, en Figueras hay un particular monumento dedicado a Salvador Dal, que consiste enuna anamorfosis: la cara de Dal, deformada en el suelo, se refleja en un espejo cilndrico para quepueda verse de forma correcta (Figura 4).

Figura 5. Proceso de realizacin de una anamorfosis segn Istvn Orosz.


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Se pueden definir las ecuaciones que rigen las anamorfosis [4, 8], aunque parece ser que Dalrealizaba sus dibujos anamrficos directamente sobre el papel, mirando cmo quedaba la imagenreflejada en el espejo (Figura 5).

La razn urea

Las anamorfosis no son los nicos elementos dalinianos con matices matemticos. Su conocimientode la razn urea y su aplicacin a la composicin aparece en muchos de sus cuadros, entre los quepodemos destacar El sacramento de la ltima Cena (Figura 6), pintado sobre un lienzo cuyasdimensiones se encuentran precisamente en esa relacin.

Figura 6.El sacramento de la ltima Cena.

En efecto, el cuadro mide 267 cm de largo por 166,7 cm de alto. El cociente entre las dimensioneses 267/166,7=1,601679664, que se aproxima al valor de la razn urea (1+5)/2=1,618033989.Adems, es clara la influencia de La divina proporcin, de Luca Pacioli, en este cuadro. En l aparecedestacada la imagen del dodecaedro, dibujada por Leonardo Da Vinci, que recoge dicho tratadosobre geometra y arte (Figura 7).

Figura 7. Dodecaedro dibujado por Leonardo Da Vinci para La divina proporcin.


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Son muchos los artculos que ya han abordado la relacin de Salvador Dal con la razn urea [1, 3,10] y por tanto no incidiremos ms en ello, aunque s destacaremos el anlisis de Antonio Gutirrez[5] que, de un modo completamente visual, muestra las propiedades de los rectngulos que tienenestas dimensiones y la relacin de los mismos con la sucesin de Fibonacci y la espiral urea (Figura8).

Figura 8.Media taza gigante volante con anexo inexplicable de cinco metros de longitud.

Topologa y teora de catstrofes

En la obra de Dal se encuentran otros motivos matemticos importantes, que provienen de surelacin con Albert Einstein, Ren Thom o Matila Ghyka. En este sentido, hay muchos anlisis deLeda atmica, El rapto topolgico de Europa, Galatea de las esferas (Figura 9a) o de su ltimocuadro: La cola de golondrina(Figura 9b)[10, 15].

Figura 9a. De izquierda a derecha: Leda atmica, El rapto topolgico de Europa, Galatea de las esferas.

Figura 9b.La cola de golondrina.


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Hipercubos

Otra constante en la obra de Dal es su obsesin por los hipercubos, a los que lleg gracias aThomas Banchoff [15]. El culmen de la utilizacin del hipercubo en la obra de Dal aparece en elcuadro Corpus hypercubicus, en el que pretende mostrar cmo Jess est en una dimensin superior

(habra pasado al espacio tetradimensional), ya que la cruz en la que est clavado representa eldesarrollo tridimensional de un hipercubo en dimensin cuatro, mientras que la forma habitual de lascruces representa el desarrollo plano de un cubo usual (tridimensional).

Figura 10. Hipercubos: Thomas Banchoff (i), Corpus hypercubicus (c), y Salvador Dal.

Para aproximarnos a la obra de Dal y comprender un poco ms qu es un hipercubo podemosconstruir un modelo tridimensional del desarrollo del hipercubo en dimensin 4, similar al que poseeThomas Banchoff en la figura. Para ello, simplemente debemos hacernos con 24 cuadrados decartulina y pegarlos, de 4 en 4, con cinta adhesiva, para formar las paredes de un cubo, sin la base nila cara superior.

[pegamos este lado con el opuesto]

Figura 11.Construccin del hipercubo.

Ahora construimos el modelo tal como aparece en la Figura 11para obtener un hipercubo similar alque sostiene Banchoff (Figura 10): del mismo modo como hemos identificado aristas para hacer elcubo sin bases, ahora identificaremos caras (vamos a pegar los cubos siempre por aristascorrespondientes a las caras superior e inferior, que han quedado huecas) pegando esos cubos. Noes difcil si se mira con atencin el modelo. Tambin la aparicin del hipercubo en la obra de SalvadorDal ha sido profusamente estudiada [1,10].


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Cubos tridimensionales

Esta fascinacin por los hipercubos es posterior a su estudio de los cubos tridimensionales. En [1],Corrales se refiere al texto y los dibujos del Discurso sobre la forma cbica de Juan de Herrera,afirmando que Dal si no ledo el texto, [haba] al menos estudiado los dibujos del Discurso sobre laforma cbica . Suponemos que, efectivamente, lo haba ledo, ya que en una foto tomada en 1957aparece sujetando este libro.

Figura 12. Dos imgenes de Salvador Dalab.

En la fotografa (Figura 12 (i)) se lee fcilmente el nombre del pintor holands Vermeer sobre la

portada de un libro cuyo contenido es un tratado sobre la representacin plana de objetostridimensionales. El otro libro con el que posa Dal es precisamente el escrito por Juan de Herrera.Herrera es conocido como el arquitecto del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial, pero a estaactividad uni el estudio de las matemticas y la astronoma, fundando, por mandato de Felipe II, laAcademia de Matemticas de Madrid, que sera el antecedente de la Academia de Ciencias Exactas,Fsicas y Naturales. En su Discurso sobre la forma cbica, Herrera se recrea en las enseanzas deRaimon Llull y, en particular, en el sistema de coordenadas propuesto por ste, formado por pares deletras en el caso bidimensional, tal como se ve en la Figura 12(d) y en la original de Herrera (Figura13), quien aade una explicacin de uso para el caso tridimensional.

Figura 13. Herrera, Llull y los sistemas de coordenadas.


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La lectura del libro de Juan de Herrera dio lugar a otro cuadro de Dal, cuyo ttulo mencionaexplcitamente al matemtico: A propsito del Discurso sobre la forma cbicade Juan de Herrera,que figura entre los fondos del Museo Nacional Centro de Arte Reina Sofa, si bien no se encuentraexpuesto en la actualidad (Figura 14).

Figura 14.A propsito delDiscurso sobre la forma cbicade Juan de Herrera.

En esta pintura Dal vuelve a incidir en el hipercubo, aunque ahora, en vez de considerar sudesarrollo, se mueve hacia su diagrama de Schlegel. En efecto, si a un cubo (tridimensional) lequitamos la tapa superior y nos asomamos al interior, podemos obtener un grafo que representa alcubo. Del mismo modo, quitando un cubo al hipercubo y asomndonos, lo que veramos sera unaestructura tridimensional muy parecida al Monumento a la Constitucin Espaola ubicado en Madrid(Figuras15ay15b).

Figura 15a. Diagramas de Schlegel de un cubo y un hipercubo.

Figura 15b. Monumento a la Constitucin Espaola. Paseo de la Castellana, Madrid.


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El cuadro A propsito del Discurso sobre la forma cbica de Juan de Herrera efectivamenterepresenta el diagrama de un hipercubo: un cubo exterior y otro interior, con los vrtices de ambosunidos mediante aristas. En este caso las aristas son cadenas en las que se pueden ver las letrasque conforman el nombre Juan de Herrera.

No obstante, no estamos interesados en esta pintura por la geometra contenida en ella, sino por otravertiente: la combinatoria.

Combinatoria

El cubo exterior de esta obra recoge la inscripcin de una piedra que haba en la iglesia de Santianesde Pravia, en la que se puede leer por diferentes caminos la inscripcin Silo Princeps Fecit (mehizo el prncipe Silo).

Figura 16. Piedra en la iglesia de Santianes de Pravia y pgina de Salad for the solitary[11]donde se menciona el texto laberntico del rey Silo.

Es curioso que Dal conociera este dato, porque la lpida fue destruida por Fernando Salas en 1662 araz de un pleito con los feligreses de la parroquia por el derecho de enterramiento en el templo. Enla dcada de los 70 se inici la restauracin de la iglesia y apareci un fragmento de la piedraoriginal, que permiti hacer la reconstruccin de una matriz 15x19 idntica a la representada por Daly a la que aparece en el libro [11](Figura 16). Es un dato interesante, porque Thomas Harriott [13]

referencia la misma frase aunque la sita en un cuadrado de tamao 17x17, en lugar de unrectngulo 15x19. La pintura de Dal es anterior al momento de restauracin de la piedra; permanecesiendo una incgnita la fuente que utiliz el de Figueras para describir estas letras.

Volviendo a las matemticas, podemos contar el nmero de maneras en las que se puede leer lafrase Silo Princeps Fecit en la lpida, y ste resulta ser de 45760, en contraste con las 270 queerrneamente se indican en [11].

Los ejercicios sobre combinatoria que ofrece el estudio de la pintura de Dal o la piedra laberntica delrey Silo pueden ser muy tiles para abordar el estudio de la combinatoria desde el punto de vistaeducativo. Juher en [7] hace un estudio detallado sobre las posibilidades combinatorias que ofreceesta inscripcin. Pero no se queda ah, sino que se refiere a un caso mucho ms simple y que podrahaber sido conocido por Dal [7,14]: los jeroglficos de La Barroca.


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En la iglesia de Sant Andreu de la Barroca, del siglo XVII, situada en La Barroca, un municipio de lacomarca de La Garrotxa, en Girona, hay dos inscripciones labernticas, equivalentes, construdassobre cuadrados de tamao 5x5. En ellas pueden verse estas dos configuraciones:

SUSUS A I R I A

USESU I RAR I

SE I ES y RAMAR

USESU I RAR I

SUSUS A I R I A.

La idea que subyace es la misma que la que aparece en la piedra laberntica del rey Silo, ygeogrficamente quedaban mucho ms cerca de la zona donde Dal naci, se form y vivi.

Un homenaje, tridimensional, a Dal lo ha hecho Tarrs en una exposicin sobre Ciencia Recreativa[14]. Propone leer la palabra DAL en una estructura cbica. Esta idea es til para poder realizarjeroglficos, similares a los de La Barroca, pero con un nmero par de letras: se trata en este caso deconsiderar las diferentes dimensiones de los elementos del cubo, que son 4: el propio cubo(tridimensional), las caras (planas), las aristas (unidimensionales) y los vrtices (puntos, de dimensincero). En ese cubo se puede leer la palabra DAL de 642=48 formas diferentes (Figura 17).

Figura 17. Laberinto tridimensional.

Ilusiones pticas

Hay muchos otros ejemplos donde se refleja la utilizacin de matemticas visuales por parte deSalvador Dal. Y resulta imposible hacer un listado exhaustivo. Es bien conocido que Salvador Dalera muy aficionado a las ilusiones pticas; ya lo hemos comentado al hablar de las anamorfosis. Supintura est plagada de trampas que nos hacen ver cosas diferentes en un mismo cuadro, inclusoobservndolo desde un mismo punto, como ocurre en Cisnes reflejando elefantes(Figura 18), dondeencontramos, cmo no, una simetra. Tambin aparecen ambigramas, en la dualidad cisne-elefante yen un sinfin de diferentes trampas y engaos. Incluso la pintura se puede considerar precursora deDnde est Wally?, puesto que hay que fijarse mucho para descubrir a un hombre de pie, sobre lasrocas.


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Figura 18.Cisnes reflejando elefantes.

De entre todos los cuadros de Dal que encierran ilusiones pticas, merece la pena destacar Lacalavera de Zurbarn.

Figura 19.La calavera de Zurbarn, de Dal (i) y La meditacin de San Francisco, de Zurbarn (d)..

El pintor Francisco de Zurbarn es otra de las inspiraciones que tuvo Dal y, a su manera, le rindehomenaje en un cuadro en el que mirando el suelo podemos encontrar ideas sobre teselaciones, perosi miramos al frente encontramos cubos que realmente parecen tener volumen. En este cuadro utilizacubos de Koffka para crear la ilusin, tanto en el suelo como en los cubos que se apilan y se ven enla pared del fondo [9]. Zurbarn pint diferentes cuadros sobre la meditacin de San Francisco,aunque, de entre todos ellos, el que fue pintado en 1639 y se conserva en la National Gallery deLondres tiene un efecto especial. Cuando se contempla este cuadro desde lejos se observa a SanFrancisco, pero al acercarse al mismo toda la atencin se centra en la calavera. Aqu Dal, contcnicas diferentes, consigui un efecto similar (Figura 19). Adems, como dato curioso con inters
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matemtico, este cuadro mezcla la ilusin de los cubos de Koffka con algo parecido a un cubo deNecker: la cpula que se asienta sobre los cubos apilados es una figura imposible.

Y ms

Martin Gardner comenta en una entrevista realizada por Allyn Jackson [6] que coincidi varias vecescon Salvador Dal en Nueva York, que coman juntos y hablaban de matemticas, y que Dal lea lascolumnas de Gardner en Scientific American. Gardner seala que a Dal le gustaba experimentar yadems destaca que pareca una persona completamente normal. Aunque, a ojos de todos, Dal eraun personaje fuera de lo habitual, al que hoy podramos calificar como friki. Por eso terminaremos elartculo con una serie de datos y hechos menores, pero que siguen profundizando en la relacin deSalvador Dal con las matemticas.

Gardner y Dal tienen en comn el haber estudiado la obra de otro matemtico: Charles Dodgson,conocido como Lewis Carroll. Si bien Gardner es un apasionado de los juegos de palabras y de lospuzles lgicos de Carroll, Dal fue el encargado de ilustrar una de las mltiples ediciones deAlicia en

el Pas de las Maravillas. En estas ilustraciones vuelven a aparecer conceptos recurrentes en Dal,como los relojes blandos (Figura 20).

Figura 20.Ilustracin para Una merienda de locos.

Como curiosidad, al abordar la relacin de Dal con las matemticas podemos referirnos al pintorvietnamita Nguyen Dinh Dang, autor de La matriz sagrada (Figura 21). Dang obtuvo el grado dedoctor en Ciencias en la Unin Sovitica, un pas referente en fsica y matemtica. Se plante sicontinuar con su carrera cientfica o con la artstica, y finalmente contina con ambas: pintandocuadros e investigando en fsica. El cuadro que incluimos aqu, con un nombre que ya hace pensaren matemticas, y todos los dems que hemos podido ver, recuerdan mucho a las pinturas deSalvador Dal [2].

Dal pint un cuadro para el conocido programa de televisin Un, dos, tres (programa con nombrematemtico donde los haya). El cuadro se llamaba Calabaza csmica y, adems del nombre delprograma, todava las calabazas tienen bastante que ver con las matemticas. Unfragmento de unode los programas donde aparece el cuadropuede encontrarse en internet.
http://www.youtube.com/watch?v=vE8W8fesJbAhttp://www.youtube.com/watch?v=vE8W8fesJbAhttp://www.youtube.com/watch?v=vE8W8fesJbAhttp://www.youtube.com/watch?v=vE8W8fesJbAhttp://www.youtube.com/watch?v=vE8W8fesJbAhttp://www.youtube.com/watch?v=vE8W8fesJbA


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Figura 21.The Holy Matrix, de Nguyen Dinh Dang.

Entre los trabajos menos conocidos de Salvador Dal, pero no por ello menos importante(probablemente sea el que ms veces se ha reproducido), se encuentra el diseo del logotipo deChupa-Chups. Las letras que utiliz Dal eran las que ya estaban en la imagen de la compaa, sibien incluy la roseta exterior en el logo, que se corresponde con la grfica de la funcin r= sen(4/3), escrita en coordenadas polares (Figura 22).

Figura 22. Logotipo y curva de la que proviene.

Por ltimo, no podemos dejar de referir un corto de dibujos animados que uni a Salvador Dal y aWalt Disney: Destino. En l podemos disfrutar de las ilusiones pticas de sus pinturas de un modoanimado. El documental se comenz a realizar en 1945, pero el proyecto se paraliz y no se concluyhasta el ao 2003, cuando la compaa decidi retomarlo. El fotograma de la Figura 23representauna ilusin ptica con las imgenes de dos verdaderos maestros de la ilusin: Walt Disney y SalvadorDal. Merece la pena ver el vdeo.


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Figura 23.Fotograma del cortometraje Destino.

Reconocimientos

Deseo agradecer a Nguyen Dinh Dang el haberme permitido incluir la imagen de The Holy Matrixy sudisposicin al facilitarme el material. Tambin al profesor Josep Tarrs por permitirme utilizarimgenes de la exposicin Ciencia Recreativa. El resto de imgenes estn incluidas en WikimediaCommons o son imgenes de baja resolucin, disponibles en internet y utilizadas slo con fineseducativos.

Referencias

[1] a c C. Corrales Rodrigez: Salvador Dal y la cuestin de las dimensiones. Suma 47(2004), 99-108. [Disponible enhttp://revistasuma.es/IMG/pdf/47/099-108.pdf].

[2] ^ N.D. Dang: Home page,http://ribf.riken.go.jp/~dang.

[3] a M. Gardner: Carnaval Matemtico. Alianza Editorial, 1983.

[4] ^ M. Gardner: Anamorphic Art. En Time, Travel and Other Mathematical Bewilderments.W.H. Freeman, 1988.

[5] ^ A. Gutirrez: The Golden Rectangle and The Persistence of Memory,http://gogeometry.com/wonder_world/golden_rectangle_dali_persistence_memory.html.

[6] ^ A. Jackson: Interview with Martin Gardner. Notices of the American MathematicalSociety52, no. 6 (2005), 602-611. [Disponible enhttp://www.ams.org/notices/200506/fea-gardner.pdf].

[7] a b D. Juher: Dels jeroglfics egipcis a la compartici de secrets. Materials Matemtics 1(2009), 1-25. [Disponible enhttp://mat.uab.cat/matmat/PDFv2009/v2009n01.pdf].

[8] ^ M. Macho Stadler: La paradoja en la ciencia y el arte II. Matematicalia 2, no. 2 (abril2006), Cultura. [Disponible enhttp://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=198&Itemid=145].
http://revistasuma.es/IMG/pdf/47/099-108.pdfhttp://revistasuma.es/IMG/pdf/47/099-108.pdfhttp://revistasuma.es/IMG/pdf/47/099-108.pdfhttp://ribf.riken.go.jp/~danghttp://ribf.riken.go.jp/~danghttp://ribf.riken.go.jp/~danghttp://gogeometry.com/wonder_world/golden_rectangle_dali_persistence_memory.htmlhttp://gogeometry.com/wonder_world/golden_rectangle_dali_persistence_memory.htmlhttp://www.ams.org/notices/200506/fea-gardner.pdfhttp://www.ams.org/notices/200506/fea-gardner.pdfhttp://mat.uab.cat/matmat/PDFv2009/v2009n01.pdfhttp://mat.uab.cat/matmat/PDFv2009/v2009n01.pdfhttp://mat.uab.cat/matmat/PDFv2009/v2009n01.pdfhttp://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=198&Itemid=145http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=198&Itemid=145http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=198&Itemid=145http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=198&Itemid=145http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=198&Itemid=145http://mat.uab.cat/matmat/PDFv2009/v2009n01.pdfhttp://www.ams.org/notices/200506/fea-gardner.pdfhttp://www.ams.org/notices/200506/fea-gardner.pdfhttp://www.ams.org/notices/200506/fea-gardner.pdfhttp://www.ams.org/notices/200506/fea-gardner.pdfhttp://www.ams.org/notices/200506/fea-gardner.pdfhttp://gogeometry.com/wonder_world/golden_rectangle_dali_persistence_memory.htmlhttp://ribf.riken.go.jp/~danghttp://revistasuma.es/IMG/pdf/47/099-108.pdf


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[9] ^ V. Meavilla Segu: Cubos para ilusionar. Sigma 29 (2006), 95-108. [Disponible enhttp://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_29/Revista_SIGMA_29.pdf].

[10]

a c

R. Prez Gmez: Paranoia or transcendental topology? Salvador Dal, 100 years.Newsletter of the European Mathematical Society 57 (2005), 10-13. [Disponible enhttp://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2005-09-57.pdf].

[11] a b c F. Saunders: Salad for the solitary. Lamport, Blakeman & Law, 1853. [Disponible enhttp://www.archive.org/details/saladforsolitary01saun].

[12] ^ A. Seckel: Masters of Deception. Sterling Publishing, 2004.

[13] ^ J.A. Stedall: Robd ofglories: The posthumous misfortunes of Thomas Harriot and hisAlgebra. Archive for History of Exact Sciences 54, no. 6 (2000), 455-497.

[14] a J. Tarrs: Cincia Recreativa. De Josep Estalella al segle XXI. Fundaci Caixa Girona.2008.

[15] a b J. beda, S. Marqus, E. Pons: Dimensin Dal,http://www.dalidimension.com.

Sobre el autor

Fernando Blasco es profesor en la Universidad Politcnica de Madrid. Considera la introduccinde las matemticas en la cultura como algo fundamental para que aumente el reconocimientopblico de esta ciencia. En la actualidad est muy interesado en la divulgacin, por lo quecolabora habitualmente con medios de comunicacin. Es autor de los libros Matemagia y ElPeriodista Matemtico.
http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_29/Revista_SIGMA_29.pdfhttp://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_29/Revista_SIGMA_29.pdfhttp://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_29/Revista_SIGMA_29.pdfhttp://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_29/Revista_SIGMA_29.pdfhttp://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2005-09-57.pdfhttp://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2005-09-57.pdfhttp://www.archive.org/details/saladforsolitary01saunhttp://www.archive.org/details/saladforsolitary01saunhttp://www.dalidimension.com/http://www.dalidimension.com/http://www.dalidimension.com/http://www.dalidimension.com/http://www.archive.org/details/saladforsolitary01saunhttp://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2005-09-57.pdfhttp://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_29/Revista_SIGMA_29.pdfhttp://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_29/Revista_SIGMA_29.pdfhttp://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_29/Revista_SIGMA_29.pdf

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