matematicas 2. edebe

Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato

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A la hora de proceder a estructurar en unidades didácticas la distribución y concreción de objetivos, contenidos y criterios de evaluación para cada uno de los cursos, la editorial Edebé ha aplicado una se-rie de criterios, de manera que permitan una enseñanza integrada. Así, las secuencias de aprendizaje es-tán organizadas según los siguientes criterios:

Adecuación. Todo contenido de aprendizaje está íntimamente ligado a los conocimientos previos del alumno/a.

Continuidad. Los contenidos se van asumiendo a lo largo de un curso, ciclo o etapa.

Progresión. El estudio en forma helicoidal de un contenido facilita la progresión. Los contenidos, una vez asimilados, son retomados constantemente a lo largo del proceso educativo, para que no sean olvi-dados. Unas veces se cambia su tipología (por ejemplo, si se han estudiado como procedimientos, se retoman como valores); otras veces se retoman como contenidos interdisciplinarios en otras áreas.

Interdisciplinariedad. Esto supone que los contenidos aprendidos en un área sirven para avanzar en otras y que los contenidos correspondientes a un eje vertebrador de un área sirven para aprender los contenidos de otros ejes vertebradores de la propia área, es decir, que permiten dar unidad al apren-dizaje entre diversas áreas.

Priorización. Se parte siempre de un contenido que actúa como eje organizador y, en torno a él, se van integrando otros contenidos.

Integración y equilibrio. Los contenidos seleccionados deben cubrir todas las capacidades que se enun-cian en los objetivos y criterios de evaluación. Asimismo, se busca la armonía y el equilibrio en el tratamiento de conceptos, procedimientos y valores. Y, muy especialmente, se han de trabajar los val-ores transversales.

Interrelación y globalización. A la hora de programar, se han tenido en cuenta los contenidos que son comunes a dos o más áreas, de forma que, al ser abordados, se obtenga una visión completa. Asimismo, se presentan los contenidos en su aspecto más general, para poder analizar los aspectos más concretos a lo largo de las unidades didácticas, hasta llegar a obtener una visión global.

Con todos estos criterios, la materia se estructura en unidades y también se secuencian los ejes verte-bradores de la materia, de manera que permitan una enseñanza integrada en orden horizontal, o bien posibiliten al profesor/a el tratamiento de un solo eje en orden vertical.



MATEMÁTICAS II. 2.º BACHILLERATO

Unidades del libro del alumno

1. Matrices 2. Determinantes 3. Sistemas de ecuaciones lineales 4. Vectores en el espacio I 5. Vectores en el espacio II 6. Geometría afín 7. Geometría métrica 8. Curvas y superficies 9. Límites de funciones 10. Continuidad de funciones 11. Derivadas 12. Aplicaciones de las derivadas 13. Integral indefinida 14. Integral definida y aplicaciones



PROGRAMACIÓN DE AULAMATEMÁTICAS II. 2. º BACHILLERATO

A continuación se citan los objetivos y contenidos que se trabajan en el libro del alumno. Asimismo, bajo el título de actividades se describe el recorrido de aprendizaje propuesto en la unidad. Además, se presenta una serie de criterios de evaluación que establecen el tipo y grado de aprendizaje que se espera haya alcanzado el alumno/a al final de la unidad respecto a las capacidades expresadas en los objetivos.



UNIDAD 1: Matrices

Objetivos didácticos Conocer el concepto de matriz numérica y la nomenclatura asociada a ella (dimensión, fila, colum-

na…), así como sus características fundamentales y la manera de representarla. Identificar los diferentes tipos de matrices según su dimensión y sus elementos. Conocer el concepto de rango de una matriz y calcularlo mediante la aplicación de transformacio-

nes elementales. Manejar con destreza los algoritmos de las operaciones con matrices: calcular la matriz suma de

dos matrices, la matriz multiplicación de una matriz por un número real y la matriz producto de dos matrices; asimismo, conocer las propiedades de estas operaciones.

Conocer el concepto de matriz inversa de una matriz y su representación, y calcular dicha matriz, en el caso de que exista, por diversos métodos.

Obtener la matriz traspuesta de una matriz y conocer las propiedades de la trasposición de matrices. Utilizar las matrices para organizar la información, representar relaciones… Usar la calculadora para efectuar operaciones con matrices. Obtener la potencia n-ésima de una matriz sencilla. Aplicar las fórmulas que regulan todos los algoritmos de cálculo sin que eso impida atender a las

regularidades o simplificaciones que aconsejen las características propias de cada procedimiento. Valorar la utilidad de las matrices para almacenar información y de las operaciones con ellas para

manejar dicha información.

Contenidos Conceptos Matriz. Matriz numérica. Igualdad de matrices. Matriz cuadrada, fila, columna, triangular, diagonal, identidad y nula. Matriz escalonada. Rango de una matriz escalonada. Transformaciones elementales. Matrices equivalentes. Rango de una matriz. Matriz suma, matriz diferencia, matriz producto por un número real y matriz producto. Propiedades de las operaciones con matrices. Matriz inversa. Transposición de matrices y matriz traspuesta. Grafo y matriz asociada a un grafo.

Procedimientos



Representación de matrices. Clasificación de matrices según su dimensión y según sus elementos. Obtención del rango de una matriz. Obtención de la matriz suma, de la matriz diferencia, de la matriz producto por un número real y

de la matriz producto de dos matrices. Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan. Obtención de la matriz traspuesta de una matriz. Asociación de una matriz a un grafo. Interpretación de una matriz asociada a un grafo y de su cuadrado. Utilización de la calculadora para efectuar operaciones con matrices. Cálculo de la potencia n-ésima de una matriz sencilla.

Valores, actitudes y normas Valoración de la utilidad de las matrices como herramienta para organizar información, representar

relaciones… Reconocer la importancia de los algoritmos de cálculo que facilitan el trabajo con matrices.

Actividades de aprendizaje Los Objetivos (pág. 6) se presentan en un texto motivador seguido de las capacidades que se pretende que el alumno/a desarrolle a lo largo de la unidad. En la Preparación de la unidad (pág. 7), se evocan los conocimientos previos necesarios para abordar-la, como son las operaciones con números reales, las propiedades de estas operaciones y las tablas de doble entrada como método de representación de datos. En la unidad se distinguen tres apartados: Matrices numéricas, Operaciones con matrices y Matriz aso-ciada a un grafo.

Matrices numéricas (págs. 8 a 11) Se parte de la observación de una matriz de dimensión 2 x 3 para introducir el concepto de matriz y su nomenclatura asociada: fila, columna, dimensión. A continuación, se indica cómo representar una ma-triz y sus elementos y se enuncia la característica que deben tener dos matrices para ser iguales. En el margen se presenta el lenguaje matemático que simplifica la notación y una aplicación de las ma-trices; el profesor/a, si lo prefiere, puede iniciar el apartado presentando el ejemplo de aplicación o bien presentarlo cuando ya se ha definido el concepto de matriz. Seguidamente, se clasifican las matrices según su dimensión y sus elementos, dando la definición de cada tipo y un ejemplo. Finalmente, se introduce el concepto de rango de una matriz. El procedimiento consiste en presentar varias matrices escalonadas, definir este concepto y el de rango de una matriz escalonada, ver que exis-ten una serie de operaciones con las filas de una matriz que permiten transformarla en una matriz esca-lonada, definir el concepto de matrices equivalentes y, por último, definir el rango de una matriz como el rango de una matriz escalonada equivalente.



A continuación, se muestra, mediante dos ejemplos, cómo obtener en la práctica el rango de una ma-triz. Si el profesor/a lo cree oportuno, puede apuntar la relación que existe entre el rango de una matriz y el número de vectores linealmente independientes si se consideran las columnas de la matriz como vecto-res, aunque esto no tomará plenamente sentido hasta que se trabajen los vectores en la unidad 4.

Operaciones con matrices (págs. 12 a 18) En este bloque, se presentan las operaciones de adición de matrices, multiplicación de una matriz por un número real, multiplicación de matrices y trasposición de matrices. Cada subapartado tiene la mis-ma estructura: presentación de la operación, ejemplo resuelto y propiedades. En el margen puede verse una aplicación de cada una de estas operaciones al mundo real, siguiendo con el ejemplo inicial. Como en el apartado anterior, el profesor/a puede optar por utilizar estos ejemplos para introducir la opera-ción o bien presentarlos cuando ya se ha introducido ésta. En el caso de la multiplicación de matrices, la más compleja de estas operaciones, se empieza definien-do el producto de una matriz fila por una matriz columna y, a continuación, se amplía al caso general. Al observar que existe una matriz elemento neutro de la multiplicación de matrices cuadradas, se le da el nombre de matriz identidad y se simboliza. En el margen, se remarca la no conmutatividad de la operación producto de dos matrices. El profesor/a puede hacer que el alumno/a lo compruebe efectuan-do el producto de dos matrices determinadas. Para finalizar este apartado, se introduce, a partir de la matriz identidad, la matriz inversa. Seguida-mente, se explican dos métodos para el cálculo de la matriz inversa: a partir de la definición, plantean-do un sistema de ecuaciones lineales y por el método de Gauss-Jordan. Este último se presenta dando los pasos en el caso general y, a continuación, se resuelve un caso concreto. Para concluir el apartado, se presenta una operación propia de las matrices, la trasposición. Para ello, se remarcan los elementos de una fila de una matriz y la situación de los mismos elementos en la tras-puesta. A continuación, se enuncian las propiedades de la trasposición. En el margen se introducen dos tipos de matrices, la simétrica y la antisimétrica, en cuya definición interviene la traspuesta de la ma-triz.

Matriz asociada a un grafo (págs. 19 y 20) En este apartado, se presenta una nueva aplicación de las matrices: su utilidad como herramienta para representar una relación entre los elementos de un conjunto. En primer lugar, se da un ejemplo de una relación matemática, y después, dos aplicaciones en forma de ejemplo resuelto: una a la sociología, pa-ra el estudio de las relaciones entre individuos, y otra para el estudio de las redes de comunicación. En el margen, se explica el funcionamiento general de una calculadora preparada para trabajar con ma-trices. Si algún alumno/a dispone de una, el profesor/a puede invitarle a traerla y efectuar diversas ope-raciones en clase.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 21 y 22), se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de las matrices. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:



a) Resolver una ecuación matricial por dos métodos diferentes: mediante el planteo de un sistema y utilizando la matriz inversa.

b) Calcular la potencia n-ésima de una matriz sencilla por el método de inducción completa.

En la Organización de conocimientos (pág. 23), se presentan de manera esquemática los principales contenidos de la unidad, mostrando la relación que existe entre unos y otros.

Finalmente, en el apartado Actividades (págs. 23 a 25) ) se presenta una lista de conceptos y procedi-mientos para que el alumno/a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda afrontar con éxito la resolución de las restantes actividades, se plantean varias cuestiones para cuya re-solución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen varios ejercicios y problemas para que el alumno repase lo aprendido. Estos ejercicios y problemas van acompañados de la solución, si és-ta es numérica, para favorecer el proceso de autoevaluación.

Actividades de evaluación Definir matriz numérica, fila, columna y dimensión de una matriz. Identificar, dado un conjunto de matrices, los diferentes tipos que existen: cuadrada, diagonal… Identificar el rango de una matriz escalonada y calcular, por el método de Gauss, el rango de una

matriz no escalonada. Efectuar diversas operaciones con matrices (suma, resta, producto por un número real, producto y

trasposición) y enunciar las propiedades de estas operaciones. Indicar la condición para que exista la matriz inversa de una matriz cuadrada, explicar dos métodos

diferentes para calcularla y obtener la matriz inversa de una matriz determinada. Interpretar la matriz asociada a un grafo y escribir la correspondiente a una relación determinada. Obtener la potencia n-ésima de una matriz aplicando el método de inducción completa. Reconocer la utilidad de la calculadora como herramienta que facilita los cálculos con matrices. Utilizar las matrices para almacenar información, valorando su utilidad.



UNIDAD 2: Determinantes

Objetivos didácticos Conocer el concepto de determinante, así como la manera de representarlo. Calcular determinantes de orden 1, 2 y 3 directamente a partir de su expresión, y de orden n, desa-

rrollando por una fila o columna. Conocer las propiedades de los determinantes y aplicarlas para simplificar su cálculo. Hallar determinantes mediante el método de Gauss. Reconocer el concepto de menor y el procedimiento de orlar. Comprender la definición de rango como orden del mayor menor no nulo y saber hallarlo. Obtener la inversa de una matriz a partir de la matriz de adjuntos de la traspuesta. Hallar el rango de una matriz dependiente de un parámetro. Utilizar la calculadora para efectuar operaciones con determinantes. Reconocer la utilidad de los determinantes en el cálculo matricial. Valorar positivamente la discusión previa a la resolución de ejercicios y problemas, así como la

aplicación de diferentes estrategias que facilitan el trabajo y la posterior interpretación de la solu-ción obtenida.

Contenidos Conceptos Determinantes de orden 1, 2 y 3. Regla de Sarrus. Determinantes de orden n. Menor complementario y adjunto de un elemento. Determinante de una matriz. Propiedades de los determinantes. Menor de orden k de una matriz.

Procedimientos Cálculo de determinantes de orden 1, 2 y 3 mediante su definición. Cálculo de determinantes de orden 3 mediante la regla de Sarrus. Determinación del menor complementario y del adjunto de un elemento. Desarrollo de un determinante por filas o por columnas. Aplicación de las propiedades de los determinantes al cálculo de éstos. Cálculo de determinantes por el método de Gauss. Cálculo del rango de una matriz por determinantes. Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes. Uso de la calculadora en el cálculo de determinantes.



Valores, actitudes y normas Aprecio de los determinantes como instrumento para el cálculo matricial. Costumbre de considerar todas las estrategias posibles antes de resolver un ejercicio o problema y

de interpretar la solución obtenida.

Actividades de aprendizaje Los Objetivos (pág. 26) se presentan en un texto motivador seguido de las capacidades que se pretende que el alumno/a desarrolle a lo largo de la unidad.

En la Preparación de la unidad (pág. 27) se evocan los conocimientos previos necesarios para abordar-la: las definiciones de matriz, matriz cuadrada, diagonal principal de una matriz cuadrada, la definición de la equivalencia de dos matrices, transformaciones elementales que permiten pasar de una matriz a otra equivalente, las definiciones de rango de una matriz y de inversa de una matriz cuadrada.

En la unidad se distinguen cinco apartados: Determinantes de orden uno, dos y tres; Determinantes de orden n, Propiedades de los determinantes y aplicaciones, Cálculo del rango de una matriz por deter-minantes y Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes.

Determinantes de orden uno, dos y tres (págs. 28 a 29) En este apartado se define el determinante de una matriz como un número asociado y se indica su sim-bolización. A continuación, se presenta la definición de los determinantes de orden 1, 2 y 3. Cada definición se acompaña de un ejemplo concreto. En el caso de orden 3 se da también la regla de Sarrus, que permite recordar más fácilmente su expresión.

Determinantes de orden n (págs. 30 a 31) Al principio del apartado se razona la necesidad de calcular un determinante de orden n a partir del de-terminante de orden n – 1 y no mediante una fórmula general, excesivamente larga y difícil de recor-dar. Se plantea la necesidad de conocer el menor complementario y el adjunto de un elemento de la matriz de orden n y se definen ambos conceptos, primero, para una matriz y un elemento determinados y des-pués, en general.A continuación, se pone de manifiesto que la expresión de un determinante de orden 3 coincide con la suma de los elementos de la primera columna por sus adjuntos y se establece la definición general por recurrencia. Antes de hacer esta generalización y si el profesor/a lo cree oportuno, puede pedir a sus alumnos/as que obtengan el valor del determinante de una matriz desarrollándolo por cualquier fila o columna, para que comprueben que el resultado obtenido es el mismo. El apartado finaliza con un ejemplo de cálculo de un determinante de orden 4.

Propiedades de los determinantes (págs. 32 a 37)



En este bloque, se presentan las propiedades de los determinantes y su aplicación al cálculo de determi-nantes. Puesto que una demostración rigurosa de estas propiedades, para determinantes de cualquier or-den, excede los niveles de este curso, lo que se hace es enunciar la propiedad, comprobarla para deter-minantes de orden 3, y mostrar su significación y aplicación mediante un ejemplo numérico. Para faci-litar la notación, se introduce al mismo tiempo la noción de combinación lineal de líneas. Una vez finalizada la exposición de las cinco propiedades principales y de cuatro propiedades deriva-das de las primeras, se presenta un ejemplo en el que la aplicación de estas propiedades permite demos-trar, sin necesidad de efectuar cálculos, la anulación de un determinante. A continuación, se presentan las propiedades como un medio para simplificar el cálculo de determinan-tes. Concretamente, se muestra que, aplicando estas propiedades, siempre es posible conseguir un nue-vo determinante, con el mismo valor que el original, en el que una de sus líneas sólo tenga un elemento no nulo. El proceso seguido se muestra mediante un ejemplo resuelto en el que se reduce el cálculo de un determinante de orden 4 a uno de orden 3. Se introduce el método de Gauss para el cálculo de determinantes. Para desarrollarlo, primero se de-muestra que el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal. Así se llegan a enunciar los pasos para calcular un determinante por el método de Gauss y, seguidamente, se aplican en un ejemplo resuelto.

Cálculo del rango de una matriz por determinantes (págs. 38 a 39) Para calcular el rango de una matriz mediante determinantes se empieza por definir el concepto de me-nor y se muestra, para una matriz concreta, un posible menor de orden 1, uno de orden 2 y otro de or-den 3, indicando en cada caso cómo se obtiene. Seguidamente, se ejemplifica el procedimiento de orlar un menor partiendo del menor de orden 2 obte-nido anteriormente. Finalmente, se muestra el procedimiento general para obtener el rango de una matriz, enumerando en una tabla sus etapas y ejemplificando cada una de ellas mediante la matriz ya considerada.

Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes (pág. 40) Para explicar el método de cálculo de la matriz inversa mediante determinantes, se presenta una propie-dad que relaciona el producto de una matriz por la matriz de adjuntos de la traspuesta y la matriz inver-sa. Se ha omitido la demostración debido a su complejidad. Se muestra, a continuación, la expresión que permite calcular la matriz inversa a partir de la matriz de adjuntos de la traspuesta. Un ejemplo resuelto permite observar cómo se aplica la expresión obtenida para calcular la inversa de una matriz de dimensión 3 x 3.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 41 y 42) se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los determinantes. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejerci-cios y problemas: a) Calcular un determinante de orden n aplicando las propiedades de los determinantes hasta llegar a

una matriz triangular. b) Calcular el rango de una matriz 3 x 4 dependiente de un parámetro.



c) Calcular el rango de una matriz 4 x 4, también dependiente de un parámetro.


Finalmente, en el apartado Actividades (págs. 43 a 45) se presenta una lista de conceptos y procedi-mientos para que el alumno/a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda afrontar con éxito la resolución de las restantes actividades, se plantean varias cuestiones para cuya re-solución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen varios ejercicios y problemas para que el alumno repase lo aprendido. Estos ejercicios y problemas van acompañados de la solución, si és-ta es numérica, para favorecer el proceso de autoevaluación.

Actividades de evaluación Definir y calcular determinantes de orden 1, 2 y 3. Enunciar y aplicar la regla de Sarrus. Definir menor complementario y adjunto de un elemento, y obtenerlos para un elemento determi-

nado de una matriz. Calcular determinantes de orden 4 por recurrencia. Enunciar las propiedades de los determinantes y mostrarlas mediante un ejemplo. Demostrar la anulación de un determinante sin calcularlo, aplicando las propiedades pertinentes. Calcular un determinante de orden 4 por el método de Gauss. Obtener el rango de una matriz por menores. Calcular la inversa de una matriz a partir de la matriz de adjuntos de la traspuesta. Mostrar disposición a utilizar los determinantes para el cálculo de la matriz inversa y para la obten-

ción del rango de una matriz, valorando su potencia como herramienta en el cálculo matricial. Reconocer la importancia de estudiar las posibles estrategias de resolución de los ejercicios y pro-

blemas para elegir la más adecuada y de comprobar si la solución obtenida es coherente con los da-tos del enunciado.



UNIDAD 3: Sistemas de ecuaciones lineales

Objetivos didácticos Conocer los conceptos de ecuación lineal, sistema de ecuaciones lineales, incógnita, coeficiente,

término independiente, ecuación homogénea y solución. Reconocer la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones. Conocer y aplicar diversos procedimientos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: méto-

do de Gauss, método de la matriz inversa y regla de Cramer. Conocer el teorema de Rouché-Frobenius y aplicarlo para clasificar sistemas de ecuaciones linea-

les. Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales. Discutir sistemas de ecuaciones lineales que dependen de un parámetro. Resolver problemas utilizando sistemas de ecuaciones lineales y analizar la validez de las solucio-

nes en el contexto del problema. Valorar la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en diferentes ámbi-

tos, y reconocer su precisión y simplicidad. Conocer la evolución histórica del álgebra y los rasgos fundamentales del desarrollo de la resolu-

ción de los sistemas de ecuaciones lineales.

Contenidos Conceptos Ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales. Tipos de sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones. Sistemas escalonados. Método de Gauss de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Matriz asociada a un sistema y matriz ampliada asociada a un sistema. Teorema de Rouché-Frobenius. Sistemas resolubles por Cramer.

Procedimientos Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones. Expresión de un sistema en notación matricial. Resolución de sistemas por el método de Gauss. Aplicación del método de Gauss para la clasificación de sistemas según sus soluciones. Aplicación del teorema de Rouché-Frobenius para la clasificación de sistemas de ecuaciones linea-

les según sus soluciones. Resolución de sistemas por la matriz inversa. Resolución de sistemas por la regla de Cramer. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con parámetros utilizando el método de

Gauss, el teorema de Rouché-Frobenius y la regla de Cramer.



Resolución de problemas mediante el planteo de sistemas de ecuaciones lineales.

Valores, actitudes, y normas Integrar los conocimientos de álgebra lineal y de la resolución de los sistemas de ecuaciones en su

contexto histórico. Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en diferentes

ámbitos.


En la Preparación de la unidad (pág. 47), se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: las transformaciones elementales por filas para la obtención de matrices equivalentes, necesarias para la resolución de sistemas por el método de Gauss, el concepto de rango de una matriz, imprescin-dible para establecer el teorema de Rouché-Frobenius y la resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, que servirá de punto de partida para establecer la clasificación de sistemas de ecuaciones lineales con n incógnitas según sus soluciones.

En la unidad se distinguen seis apartados: Ecuaciones lineales, Sistemas de ecuaciones lineales y clasi-ficación, Método de Gauss, Teorema de Rouché-Frobenius, Resolución de sistemas por la matriz in-versa y Regla de Cramer.

Ecuaciones lineales (pág. 48) Se empieza la unidad recordando la definición de ecuación lineal con n incógnitas y los conceptos aso-ciados: coeficientes, término independiente y solución.A continuación, se identifican estos conceptos definidos en una ecuación concreta.

Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación (pág. 49) Se define el sistema de ecuaciones lineales, partiendo de la base de que el alumno/a tiene asimilado el concepto de sistema de ecuaciones, y se introduce su notación usual. Asimismo, se define el concepto de solución de un sistema. Se presenta la clasificación de los sistemas según sus soluciones, ejemplificándolo en el caso de siste-mas con dos incógnitas, ya conocidos por el alumno/a.

Método de Gauss (págs. 50 a 55) El método de Gauss se presenta a partir de un sistema de ecuaciones escalonado que se soluciona por sustitución regresiva, lo que permite comprobar lo sencillo de esta resolución. Entonces se reflexiona que siempre que se encuentre un sistema escalonado equivalente al inicial, se puede resolver con la misma facilidad. Y se identifica este método (obtención de un sistema escalonado y sustitución regresi-va) como método de Gauss.



Antes de ejemplificarlo, se recuerdan las transformaciones que permiten pasar de un sistema a otro equivalente. Una vez presentado este método, se hace notar que las transformaciones aplicadas sólo afectan a los coeficientes de las incógnitas y a los términos independientes, lo que permite la simplificación del pro-ceso. Para ello, se introducen los conceptos de matriz asociada al sistema y matriz ampliada asociada al sistema, y se resuelve de nuevo el ejemplo anterior utilizando la notación matricial. Finalmente, se presentan en forma de tabla los diferentes casos que pueden presentarse al aplicar el mé-todo de Gauss, identificándolos con los diferentes tipos de sistemas. El apartado termina con varios ejemplos resueltos para poder observar la resolución de cada uno de es-tos tipos.

Teorema de Rouché-Frobenius (págs. 56 y 57) En el apartado Teorema de Rouché-Frobenius, se enuncia este teorema y se muestra, en forma de orga-nigrama, cómo proceder para llegar a la clasificación de un sistema. A continuación, se describe el proceso mediante varios ejemplos resueltos. Si el profesor/a lo cree oportuno, para aquellos alumnos/as más aventajados, puede dar la demostración de este teorema, ha-ciéndoles ver que la compatibilidad del sistema es equivalente a que la columna de términos indepen-dientes sea la combinación lineal de las de los coeficientes, y que esto hace necesario que el rango de A y el de A’ sean el mismo.

Resolución de sistemas por la matriz inversa (pág. 58) Para resolver un sistema por el método de la matriz inversa, se expresa el sistema en forma matricial y, suponiendo que la matriz asociada al sistema es regular, se comprueba que la solución puede hallarse a partir de la matriz inversa. Un ejemplo permite observar cómo se aplica esta ecuación matricial.

Regla de Cramer (pág. 59) En el último apartado, se presenta un nuevo método de resolución, la regla de Cramer, que permite ha-llar las soluciones del sistema siempre que la matriz asociada al sistema sea regular. Se presenta la ex-presión de cada solución. Se ejemplifica con un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Si el profesor lo cree oportuno, puede invitar a los alumnos/as a elaborar la demostración de la regla de Cramer para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas (en el margen de la página 59 se encuentra dicha demostración para n = 2).

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 60 a 62), se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, se presentan los siguientes mo-delos de ejercicios y problemas: a) Discutir y resolver un sistema de ecuaciones que depende de un parámetro mediante el método de

Gauss. b) Discutir y resolver un sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro mediante la aplicación

del teorema de Rouché-Frobenius y la regla de Cramer.



c) Resolver un problema en el que interviene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.



Actividades de evaluación Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones. Aplicar el método de Gauss para la clasificación de un sistema y hallar su solución en caso de ser

compatible. Enunciar el teorema de Rouché-Frobenius y aplicarlo para discutir un sistema dependiente de un

parámetro o de ninguno. Explicar en qué consiste el método de resolución de sistemas por la matriz inversa y poner un

ejemplo de su aplicación. Determinar si un sistema es resoluble por Cramer y, en caso afirmativo, hallar sus soluciones. Resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones indicando: la elección de las incógnitas, el

planteamiento del sistema de ecuaciones, su resolución y la comprobación de las soluciones. Conocer a grandes rasgos la historia del álgebra y ubicar en ella los sistemas de ecuaciones lineales. Reconocer las ventajas que supone el uso de lenguaje algebraico para representar y resolver situa-

ciones cotidianas y del ámbito cientificotécnico.



UNIDAD 4: Vectores del espacio I

Objetivos didácticos Entender los conceptos de vector fijo y vector libre en el espacio. Operar con vectores libres en el espacio, tanto gráfica como analíticamente, y conocer las principa-

les propiedades de estas operaciones. Expresar un vector como combinación lineal de otros. Conocer si un conjunto de vectores libres del espacio son linealmente dependientes o independien-

tes. Determinar el rango de un conjunto de vectores de V3. Saber si un conjunto de vectores libres del espacio forman o no base de V3. Identificar vectores dados por sus componentes. Hallar las componentes de un vector de V3 respecto a una base. Utilizar los vectores para establecer un sistema de referencia en el espacio. Obtener las coordenadas de un punto del espacio respecto a un sistema de referencia. Relacionar las componentes de un vector con las coordenadas del origen y el extremo de uno cual-

quiera de sus representantes. Aplicar el cálculo vectorial para resolver problemas geométricos sencillos: determinación del punto

medio de un segmento, división de un segmento en partes iguales, determinación de las coordena-das del baricentro de un triángulo y del de un tetraedro, reconocimiento analítico de las relaciones de alineación y coplanariedad de puntos.

Valorar la utilidad del cálculo vectorial en la resolución de problemas geométricos.

Contenidos Conceptos Magnitud escalar y vectorial. Vector fijo del espacio. Dirección, módulo y sentido de un vector fijo. Equipolencia de vectores fijos. Vector libre del espacio. Dirección, módulo y sentido de un vector libre. Operaciones con vectores libres: adición y multiplicación por un número real. Propiedades de las operaciones con vectores libres. Combinación lineal de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores en V3. Rango de un conjunto de vectores. Base de V3. Componentes de un vector en una base. Sistema de referencia en el espacio. Coordenadas de un punto del espacio. Componentes de un vector determinado por dos puntos.



Punto medio de un segmento.

Procedimientos Realización gráfica de operaciones con vectores en el espacio. Expresión de un vector de V3 como combinación lineal de otros vectores. En concreto, expresión

de un vector de V3 como combinación lineal de tres vectores no nulos y no coplanarios. Determinación de las componentes de un vector en una base. Determinación de la dependencia o independencia de un conjunto de vectores y de su rango. Realización de operaciones con componentes. Determinación de la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores. Obtención de las coordenadas de un punto de espacio en un sistema de referencia. Cálculo de las componentes de un vector determinado por dos puntos. Obtención de las coordenadas del punto medio de un segmento y, en general, de los puntos que di-

viden un segmento en partes iguales. Cálculo de las coordenadas del baricentro de un triángulo y del de un tetraedro en función de las

coordenadas de los vértices.

Valores, actitudes, y normas Valoración de la utilidad del cálculo vectorial en la resolución de problemas geométricos y, en general, de problemas del ámbito científico y del tecnológico.


En la Preparación de la unidad (pág. 69), se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: los principales conceptos relativos a vectores en el plano (vector fijo, equipolencia de vectores fijos, vector libre, operaciones con vectores libres de V2, combinación lineal, base de V2 y componen-tes de un vector en una base), sistemas de referencia en el plano y coordenadas de un punto del plano en un sistema de referencia.

En la unidad se distinguen tres apartados: Vectores, Operaciones con vectores libres y Coordenadas de un punto del espacio.

Vectores (págs. 70 y 71) La unidad empieza recordando la diferencia entre magnitudes escalares y vectoriales, poniendo así de manifiesto la necesidad del uso de los vectores. A continuación, se define el concepto de vector fijo y se explica qué se entiende por dirección, módulo y sentido de un vector fijo. Tras definir los vectores fijos equipolentes, se da la de vector libre y para explicar qué son la dirección, el módulo y el sentido de un vector libre.



Se profundiza en estos conceptos demostrando a los alumnos que para indicar que dos vectores fijos son equipolentes, se utiliza el signo ~, y que si dos vectores fijos son equipolentes, entonces son repre-sentantes del mismo vector libre.

Operaciones con vectores libres (págs. 72 a 79) En la primera parte, se introducen gráficamente la adición de vectores libres y el producto de un vector libre por un número real, y se citan las principales propiedades que verifican estas operaciones, obser-vando que el conjunto de los vectores libres del espacio con las dos operaciones definidas tiene estruc-tura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales. Seguidamente, se define la resta de vectores libres del espacio como la suma del vector opuesto y se re-cuerda la regla del paralelogramo, tan útil para obtener gráficamente sumas y restas de vectores. Se ilustra mediante un ejemplo resuelto que la adición de vectores libres es una operación bien defini-da, esto es, que no depende de los representantes elegidos para llevarla a cabo. Se define el concepto de combinación lineal de vectores de V3, y se presenta el procedimiento para ex-presar cualquier vector libre del espacio como combinación lineal de tres vectores no nulos y no copla-narios. A partir de un conjunto de cuatro vectores, tres de los cuales son linealmente independientes, se intro-ducen los conceptos de dependencia e independencia lineal, así como el de rango de un conjunto de vectores libres del espacio. Se establecen los conceptos de base de V3 y de componentes de un vector en una base. Todos estos conceptos se desarrollan en un ejemplo resuelto. Se halla la expresión de la suma de dos vectores y del producto de un vector por un número real en componentes. El uso de dichas expresiones se ilustra mediante ejemplos. A continuación, se aplican las operaciones con componentes para tratar de manera analítica dos proble-mas que sólo se habían resuelto gráficamente hasta el momento: la determinación de la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores y el cálculo del rango de un conjunto de vectores. En ambos casos, se presentan las fases del procedimiento y se proponen un par de ejemplos.

Coordenadas de un punto del espacio (págs. 80 y 81) En primer lugar, se definen los conceptos de sistema de referencia y de vector posición de un punto.A continuación, se explica el procedimiento que permite asignar unas coordenadas a cada punto del es-pacio. Un ejemplo ilustra el procedimiento antes citado y, además, permite poner de manifiesto que las coordenadas de un punto del espacio dependen del sistema de referencia elegido. Seguidamente, se muestran dos aplicaciones sencillas del uso de coordenadas para la resolución de pro-blemas geométricos: el cálculo de las componentes de un vector determinado por dos puntos y el cálcu-lo de las coordenadas del punto medio de un segmento. Esto se consigue mediante la deducción de la expresión para efectuar los cálculos y la ejemplificación correspondiente donde se muestran aplicacio-nes inmediatas de las fórmulas presentadas.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 82 a 84), se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los vectores. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:



a) Hallar la resultante de varias fuerzas. b) Demostrar que las componentes de un vector de V3 en una determinada base son únicas. c) Dados tres vectores, alguna de cuyas componentes depende de cierto parámetro, hallar los valores

de ese parámetro que convierten los tres vectores en linealmente dependientes. d) Comprobar que tres vectores dados forman base y hallar las componentes de otro vector en la base

formada por los tres primeros. e) Dividir un segmento en partes iguales. f) Resolver sistemas de ecuaciones vectoriales para hallar las componentes de un vector en una base. g) Hallar las coordenadas del baricentro de un tetraedro.



Actividades de evaluación Explicar la diferencia entre vector fijo y vector libre. Determinar las componentes de un vector a partir de los puntos origen y final. Efectuar operaciones con vectores libres del espacio, tanto gráfica como analíticamente. Enunciar las principales propiedades que verifican la adición de vectores libres y el producto de

vectores libres por escalares. Expresar un vector como combinación lineal de otros vectores dados. Averiguar si un conjunto de vectores libres del espacio son linealmente dependientes o indepen-

dientes. Hallar el rango de un conjunto de vectores de V3. Averiguar si un conjunto de vectores libres del espacio forman base de V3 y determinar las compo-

nentes de otro vector de V3 en la base dada. Hallar las coordenadas de un punto del espacio respecto a un sistema de referencia. Dadas las coordenadas de dos puntos del espacio, encontrar el punto medio del segmento, así como

las coordenadas de los puntos que dividen dicho segmento en, por ejemplo, cinco partes iguales. Conocidas las coordenadas de los vértices de un tetraedro, hallar las de su baricentro. Enfrentarse a diversas situaciones geométricas resolubles vectorialmente, valorando la utilidad de

este tipo de cálculos.



UNIDAD 5: Vectores del espacio II

Objetivos didácticos Conocer las operaciones producto escalar, vectorial y mixto de vectores libres del espacio, y sus

principales propiedades. Calcular productos escalares, vectoriales y mixtos a partir de su definición y a partir de sus propie-

dades. Relacionar la ortogonalidad de dos vectores con la anulación de su producto escalar y la dependen-

cia lineal de tres vectores con la anulación de su producto mixto. Interpretar geométricamente el producto escalar en términos de proyecciones ortogonales, el pro-

ducto vectorial en términos de áreas de paralelogramos y el producto mixto en términos de volúme-nes de paralelepípedos.

Conocer el concepto de base ortogonal y de base ortonormal. Obtener productos escalares, vectoriales y mixtos a partir de sus respectivas expresiones analíticas

en base ortonormal. Calcular el módulo de un vector y el ángulo formado por dos vectores a partir del producto escalar. Hallar vectores unitarios paralelos o perpendiculares a uno dado y, en general, vectores de módulo

y dirección dados. Utilizar el producto escalar para demostrar teoremas geométricos. Utilizar el producto vectorial para obtener vectores perpendiculares a dos vectores dados. Calcular áreas de polígonos a partir del producto vectorial y volúmenes de paralelepípedos a partir

del producto mixto. Conocer algunas aplicaciones del producto escalar y del producto vectorial a la física. Conocer el concepto de coseno director y sus principales propiedades. Valorar la utilidad del cálculo vectorial en la resolución de problemas geométricos y físicos.

Contenidos Conceptos Producto escalar de dos vectores libres del espacio. Significado geométrico de la anulación del producto escalar. Relación entre el módulo de un vector y el producto escalar de dicho vector por sí mismo. Base ortogonal y base ortonormal. Propiedades del producto escalar. Interpretación geométrica del producto escalar. Expresión analítica del producto escalar en una base ortonormal. Producto vectorial de dos vectores libres del espacio. Propiedades del producto vectorial. Interpretación geométrica del producto vectorial. Expresión analítica del producto vectorial en una base ortonormal. Producto mixto de tres vectores libres del espacio.



Significado geométrico de la anulación del producto mixto. Propiedades del producto mixto. Interpretación geométrica del producto mixto. Expresión analítica del producto mixto en una base ortonormal. Cosenos directores de un vector en una base ortonormal.

Procedimientos Cálculo del producto escalar de dos vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de sus

componentes en una base ortonormal. Cálculo del módulo de un vector y del ángulo entre dos vectores a partir del producto escalar. Obtención de un vector perpendicular o paralelo a otro, que tenga un módulo determinado. Aplicación del producto escalar a la demostración de teoremas geométricos sencillos. Aplicación del producto escalar a la obtención del trabajo realizado por una fuerza. Cálculo del producto vectorial de dos vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de sus

componentes en una base ortonormal. Obtención de un vector perpendicular a otros dos vectores, que tenga un módulo determinado. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de polígonos, especialmente de paralelogra-

mos y triángulos. Aplicación del producto vectorial al cálculo del momento de una fuerza, del momento cinético y de

la fuerza magnética. Cálculo del producto mixto de tres vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de sus

componentes en una base ortonormal. Aplicación del producto mixto al cálculo de volúmenes de poliedros, especialmente paralelepípe-

dos y tetraedros.

Valores, actitudes y normasValoración de la utilidad del cálculo vectorial en la resolución de problemas geométricos y físicos.


En la Preparación de la unidad (pág. 89), se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: los principales conceptos relativos a vectores en el espacio (vector fijo, equipolencia de vectores fijos, vector libre, operaciones con vectores libres de V3, combinación lineal, base de V3 y componen-tes de un vector en una base) y la definición de sistema de referencia en el espacio y de coordenadas de un punto del espacio en un sistema de referencia.

En la unidad se distinguen tres apartados: Producto escalar, Producto vectorial y Producto mixto.

Producto escalar (págs. 90 a 95)



La unidad se inicia con la definición del producto escalar de dos vectores libres del espacio, operación ya conocida para dos vectores libres del plano. A continuación, se deduce de la definición que dos vectores libres del espacio no nulos son perpendicu-lares si, y sólo si, su producto escalar es 0, y que el módulo de cualquier vector libre del espacio coin-cide con la raíz cuadrada positiva del producto escalar de dicho vector por sí mismo. Como consecuencia de la determinación de la perpendicularidad entre dos vectores, se definen los con-ceptos de base ortogonal y de base ortonormal. Seguidamente, se citan las principales propiedades del producto escalar y se interpreta geométricamen-te en términos de proyecciones ortogonales. Tras deducir la expresión analítica del producto escalar en una base ortonormal, se aplica la expresión obtenida. Además de hallar productos escalares de dos vectores a partir de sus componentes en una ba-se ortonormal, se explica cómo calcular el módulo de cada uno y el ángulo que forman y, mediante un ejemplo resuelto, cómo obtener vectores ortogonales o paralelos a uno dado, de longitud determinada. El apartado termina mostrando algunas aplicaciones del producto escalar a la geometría (demostración del teorema de Pitágoras y del teorema que enuncia que cualquier ángulo inscrito en una semicircunfe-rencia es recto) y a la física (cálculo del trabajo realizado por una fuerza).

Producto vectorial (págs. 96 a 99) Se presenta la definición de producto vectorial de dos vectores libres del espacio y se citan sus princi-pales propiedades. Se indica la interpretación del producto vectorial de dos vectores libres del espacio como el área del paralelogramo construido sobre ellos. Se deduce la expresión analítica del producto vectorial en una base ortonormal y aplicación en un ejemplo resuelto. Se muestran, mediante ejemplos resueltos, varias aplicaciones del producto vectorial: obtención de un vector de módulo determinado y perpendicular a dos ya dados, cálculo del área de triángulos y parale-logramos y cálculo de magnitudes físicas (momento de una fuerza, momento cinético y fuerza magné-tica).

Producto mixto (págs. 100 a 102) Se propone la definición de producto mixto de tres vectores libres del espacio y se enumeran sus prin-cipales propiedades. Se observa que tres vectores libres del espacio son linealmente dependientes si, y sólo si, su producto mixto vale 0. Se indica la interpretación del producto mixto de tres vectores libres del espacio como el volumen del paralelepípedo construido sobre ellos. Se deduce la expresión analítica del producto mixto en una base ortonormal y se aplica en un ejemplo resuelto. Se muestran, mediante ejemplos resueltos, varias aplicaciones del producto mixto: obtención del volu-men de un paralelepípedo y de un tetraedro.



En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 103 y 104) se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de los vectores. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:a) Buscar los ángulos que forma un vector con cada uno de los de la base a partir de los cosenos direc-

tores, conociendo sus componentes en dicha base ortonormal.b) Efectuar operaciones con vectores y determinar el ángulo que forman dos vectores combinación li-

neal de otros dos vectores, conocidos sus módulos y el ángulo que forman entre ellos. c) Determinar un parámetro del que dependen las componentes de tres vectores para que el volumen

del paralelepípedo construido sobre ellos tenga un valor dado; para que los tres vectores sean li-nealmente dependientes.

d) Hallar el volumen de un tetraedro determinando previamente una o más coordenadas desconocidas de sus cuatro vértices a partir de las condiciones descritas en el enunciado.



Actividades de evaluación Definir producto escalar, producto vectorial y producto mixto; enunciar sus principales propiedades

y dar una interpretación geométrica de cada una de estas operaciones. Hallar productos escalares, vectoriales y mixtos de vectores libres del espacio conociendo sus com-

ponentes en una base ortonormal. Averiguar si dos vectores son o no ortogonales a partir de su producto escalar. Hallar el módulo de un vector y el ángulo entre dos vectores a partir del producto escalar. Obtener vectores paralelos o perpendiculares a uno dado, de módulo determinado. Demostrar algún teorema geométrico sencillo usando el producto escalar. Hallar el trabajo realizado por una fuerza ejercida sobre un objeto que se desplaza desde un punto

A hasta un punto B. Hallar un vector simultáneamente perpendicular a dos vectores dados, de módulo determinado. Calcular el área de un paralelogramo y el área de un triángulo conociendo las coordenadas de sus

vértices. Enunciar algunas de las aplicaciones del producto vectorial a la física (momento de una fuerza, mo-

mento cinético, fuerza magnética…). Averiguar si tres vectores son o no linealmente dependientes a partir de su producto mixto.



Calcular el volumen de un paralelepípedo y el de un tetraedro conociendo las coordenadas de sus vértices.

Enfrentarse a situaciones geométricas diversas, resolubles vectorialmente.



UNIDAD 6: Geometría afín

Objetivos didácticos Identificar rectas y planos expresados a partir de sus ecuaciones, extrayendo los elementos que los

determinan y, recíprocamente, calcular las ecuaciones de rectas y planos a partir de sus elementos determinantes.

Expresar una recta mediante cualquiera de sus ecuaciones (vectorial, paramétricas, continuas o im-plícitas) y transformar unas ecuaciones en otras.

Expresar un plano mediante cualquiera de sus ecuaciones (vectorial, paramétricas o general) y transformar unas ecuaciones en otras.

Comprender que una recta viene determinada por un punto y un vector director o bien por dos pun-tos, mientras que un plano viene determinado por un punto y dos vectores directores linealmente independientes, por dos puntos y un vector director o bien por tres puntos no alineados.

Determinar la posición relativa de dos rectas, de dos planos, de tres planos o de una recta y un pla-no, conocidas sus ecuaciones implícitas o generales a partir de la discusión de sistemas de ecuacio-nes lineales.

Determinar la posición relativa de dos rectas o de una recta y un plano a partir de sus ecuaciones vectoriales.

Hallar la ecuación del haz de planos secantes que contiene una recta determinada y la ecuación de un haz de planos paralelos entre sí.

Conocer la posición relativa de rectas y planos respecto de la referencia. Plantear problemas geométricos utilizando rectas y planos, y resolverlos mediante métodos analíti-

cos. Examinar los procedimientos para resolver un problema y elegir en cada caso el más adecuado. Valorar la utilidad de representar gráficamente los datos de un problema antes de resolverlo analíti-

camente.

Contenidos Conceptos Ecuaciones de una recta en el espacio: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuaciones

continuas y ecuaciones implícitas. Ecuaciones de un plano en el espacio: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuación ge-

neral. Posición relativa de dos rectas en el espacio: coincidentes, paralelas, secantes, que se cruzan. Posición relativa de dos planos en el espacio: coincidentes, paralelos, secantes. Haz de planos paralelos y haz de planos secantes. Posición relativa de tres planos: coincidentes, secantes en una recta, dos coincidentes y secantes al

tercero, secantes en un punto, paralelos y distintos dos a dos, dos planos coincidentes y paralelos al tercero, secantes dos a dos, dos planos paralelos y secantes al tercero.



Posición relativa de recta y plano: recta contenida en el plano, recta y plano paralelos, recta y plano secantes.

Posición relativa de rectas y planos respecto de los ejes y los planos de referencia.

Procedimientos Obtención de la ecuación de una recta dados un vector director y un punto o bien dos puntos. Obtención de las diferentes formas de expresión de una recta a partir de una ecuación dada. Identificación de puntos que pertenecen a una recta dada. Identificación de vectores directores de una recta dada. Escritura de las ecuaciones de un plano dados un punto y dos vectores linealmente independientes,

dos puntos y un vector o bien tres puntos no alineados. Obtención de las diferentes formas de expresión de un plano a partir de una ecuación dada. Identificación de puntos y rectas que están incluidos en un determinado plano. Estudio de la posición relativa de dos rectas si sus ecuaciones vienen dadas en forma implícita o

vectorial. Estudio de la posición relativa de dos y de tres planos a partir de sus ecuaciones generales mediante

el análisis de las soluciones del sistema de ecuaciones lineales correspondiente. Estudio de la posición relativa de una recta y un plano si sus ecuaciones vienen dadas en forma

vectorial o continua. Discusión de la posición relativa de una recta y un plano mediante el estudio de las soluciones del

sistema formado por sus ecuaciones implícitas y general. Determinación de un plano que contiene un punto y pertenece a un haz de planos secantes. Determinación de un plano que contiene un punto y es paralelo a otro plano. Interpretación de las ecuaciones implícitas de la recta como la intersección de dos planos e identifi-

cación de la recta como intersección de los mismos.

Valores, actitudes y normasValoración de las ventajas que supone la planificación de la resolución de un problema, lo que permite elegir el mejor procedimiento de resolución, y de la importancia de la representación gráfica en geome-tría.

Actividades de aprendizaje Los Objetivos (pág. 108) se presentan en un texto motivador seguido de las capacidades que se preten-de que el alumno/a desarrolle a lo largo de la unidad.

En la Preparación de la unidad (pág. 109), se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: las ecuaciones de la recta en el plano, la determinación de la posición relativa de dos rectas en el plano a partir de las soluciones del sistema formado por sus ecuaciones y el enunciado del teorema de Rouché-Frobenius. Además, se proponen una serie de actividades relacionadas con la geometría métri-ca del plano: determinación de vectores, dependencia e independencia lineal de vectores, discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales y determinación de las ecuaciones de una recta.



En la unidad se distinguen tres apartados: Rectas en el espacio, Planos en el espacio y Posiciones rela-tivas.

Rectas en el espacio (págs. 110 a 113) La unidad empieza haciendo notar que una recta en el espacio queda determinada por un punto y una dirección y recuerda que eso mismo sucedía con las rectas en el plano. A continuación, se considera un sistema de referencia en el que sitúan un punto y un vector director y, a partir de las relaciones observadas en una figura, se obtiene la ecuación vectorial de la recta. Seguidamente, se aplican transformaciones sencillas a esta ecuación para obtener las restantes ecuacio-nes de una recta: paramétricas, continuas e implícitas. De forma paralela se desarrolla un ejemplo con una recta concreta, que se expresa, sucesivamente, mediante su ecuación vectorial, sus ecuaciones para-métricas, sus ecuaciones continuas y sus ecuaciones implícitas. En un cuadro del margen, se explica cómo proceder para hallar la ecuación vectorial de la recta a partir de dos puntos, en lugar de utilizar un punto y un vector director. Los ejemplos resueltos permiten observar cómo obtener las ecuaciones de una recta, cómo determinar si un punto o un vector pertenecen a una recta, cómo obtener puntos y vectores directores conocidas las ecuaciones de una recta y cómo se transforman unas ecuaciones en las otras.

Planos en el espacio (págs. 114 a 117) El apartado comienza enunciando que, para determinar un plano en el espacio, son necesarios un punto y dos direcciones, que pueden venir dadas por dos vectores directores linealmente independientes. En el margen, se amplía esta información para dar todos los casos posibles: un plano puede determinarse por un punto y dos vectores directores linealmente independientes, por dos puntos y un vector director o bien por tres puntos no alineados. A continuación se considera un sistema de referencia en el que se sitúan un punto y dos vectores direc-tores y, a partir de las relaciones observadas en una figura, se obtiene la ecuación vectorial del plano. Seguidamente, se aplican transformaciones a esta ecuación para obtener las restantes ecuaciones de un plano: paramétricas y general. De forma paralela, se desarrolla un ejemplo con un plano concreto que se expresa, sucesivamente, mediante su ecuación vectorial, sus ecuaciones paramétricas y su ecuación general. En el margen, se presenta una nueva forma de deducir la ecuación general del plano y cómo hallar la ecuación vectorial de un plano a partir de tres puntos, en lugar de utilizar un punto y dos vectores di-rectores. Los ejemplos resueltos permiten observar cómo obtener las ecuaciones de un plano, cómo determinar si un punto o un vector director pertenecen a un plano, cómo obtener puntos y vectores directores co-nocidas las ecuaciones de un plano y cómo se transforman unas ecuaciones en las otras.

Posiciones relativas (págs. 118 a 127) Este apartado desarrolla la posición relativa de dos rectas, de dos planos, de tres planos y de una recta y un plano.



Cada uno de estos casos se desarrolla escribiendo las ecuaciones implícitas de las rectas y/o las ecua-ciones generales de los planos, considerando la matriz y la matriz ampliada asociadas al sistema de ecuaciones, hallando los rangos de la matriz y de la matriz ampliada y, a partir de los valores obteni-dos, determinando las posiciones relativas. En forma de tabla, se presentan los rangos y una imagen donde se aprecian dichas posiciones relativas. Además, en los casos de dos rectas y de recta y plano, se consideran las ecuaciones vectoriales de am-bos y se determina su posición relativa a partir del estudio de la relación de dependencia o independen-cia lineal de sus vectores directores. En los casos de posiciones relativas de planos se estudian los haces de planos paralelos y los de planos secantes. Para ello, se observa, con ayuda de una imagen, que los planos de un haz de planos secante tienen una recta común y que los de un haz de planos paralelos vienen determinados por los mismos vectores directores. También se desarrollan las características de los planos que pertenecen a un haz de planos secantes a partir de sus ecuaciones generales y, de manera paralela, se resuelve un ejemplo donde se aplican estos conocimientos y cómo determinar un plano concreto del haz dado dicho haz y un punto del plano. Se demuestra al alumno/a que las ecuaciones implícitas de la recta coinciden con las ecuaciones generales de dos planos cuya intersección es la propia recta. Uno o más ejemplos permiten observar cómo se aplican estos procedimientos en casos concretos. Por último, se presentan, en dos grandes tablas, las posiciones relativas de algunas rectas y planos res-pecto de los de referencia. La finalidad de estas páginas es ayudar al alumno a identificar una serie de rectas y planos característicos, aquellos que son paralelos a algunos ejes o planos de referencia. La pre-sencia, en cada caso, de una imagen de las ecuaciones vectorial e implícitas de las rectas y de las gene-rales de los planos debería facilitar esta labor de identificación.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 128 y 130) se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de la geometría afín. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejerci-cios y problemas:a) Discutir las posiciones relativas de dos rectas, dadas por ecuaciones que contienen un parámetro. b) Determinar el plano que contiene una recta y que cumple otra condición, utilizando dos procedi-

mientos diferentes. c) Determinar la recta que contiene un punto y corta dos rectas dadas, y la recta que contiene un pun-

to, está situada en el mismo plano que otra recta y es, además, paralela a otro plano





Actividades de evaluación Escribir las diferentes ecuaciones de una recta determinada por un punto y un vector director o por

dos puntos. Enumerar las diferentes ecuaciones de un plano determinado por un punto y dos vectores directo-

res, por dos puntos y un vector director o por tres puntos. Determinar puntos y vectores directores de rectas y planos a partir de una cualquiera de sus ecua-

ciones. Hallar la posición relativa de rectas y planos tanto a partir de la discusión del sistema formado por

sus ecuaciones implícitas o generales como a partir del análisis de la dependencia de sus vectores directores.

Obtener la ecuación del haz de planos secantes que contiene una recta y la del haz de planos parale-los a uno dado.

Resolver problemas de intersección que puedan plantearse con elementos geométricos del espacio, como por ejemplo la determinación del punto de corte de dos rectas, la recta intersección de dos planos o el punto de intersección de una recta y de un plano.

Estudiar la posición relativa de dos elementos del espacio en el caso de que sus ecuaciones depen-dan de un parámetro.

Resolver diversos problemas geométricos mediante métodos que incluyen el uso de haces de pla-nos. Por ejemplo, la determinación del plano que contiene una recta y pasa por un punto o la deter-minación de la recta que contiene un punto y corta dos rectas dadas.



UNIDAD 7: Geometría métrica

Objetivos didácticos Definir y determinar ángulos entre elementos del espacio (dos rectas, dos planos y una recta y un

plano). Reconocer las condiciones de perpendicularidad entre rectas, entre planos y entre rectas y planos. Conocer el concepto de distancia entre dos puntos, de un punto a una recta, de un punto a un plano,

entre dos rectas, entre dos planos y de una recta a un plano, y calcular dichas distancias. Conocer las expresiones, basadas en el producto escalar, para obtener el ángulo entre dos rectas,

dos planos o una recta y un plano, y saber aplicarlas. Conocer las expresiones, basadas en el producto escalar, vectorial o mixto, para obtener la distancia

entre dos elementos del espacio, y saberlas utilizar. Determinar el plano mediador de un segmento y los planos bisectores de dos planos dados. Obtener la ecuación de la recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan. Determinar el punto simétrico a uno dado respecto de otro punto, de una recta y de un plano. Valorar las diferentes estrategias de resolución de un problema y la necesidad de escoger la más

adecuada para las características de dicho problema.

Contenidos Conceptos Ángulo entre dos rectas. Rectas perpendiculares. Ángulo entre dos planos. Planos perpendiculares. Ángulo entre recta y plano. Recta y plano perpendiculares. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta. Distancia de un punto a un plano. Distancia entre dos rectas. Distancia entre dos planos. Distancia entre recta y plano. Plano mediador y plano bisector. Perpendicular común. Puntos simétricos respecto de un punto. Puntos simétricos respecto de una recta. Puntos simétricos respecto de un plano.

Procedimientos Cálculo del ángulo que forman dos rectas, dos planos y una recta y un plano.



Determinación de la perpendicularidad de dos rectas, de dos planos y de una recta y un plano. Cálculo de la distancia entre dos puntos, de un punto a una recta, de un punto a un plano, entre dos

rectas, entre dos planos y entre recta y plano. Determinación del plano mediador de un segmento conocidos sus extremos. Determinación de los planos bisectores de dos planos dados. Obtención de la ecuación de la recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan. Obtención del punto simétrico a otro punto respecto de un tercer punto, de una recta o de un plano.

Valores, actitudes y normasValoración de la búsqueda y aplicación de nuevas estrategias para la resolución de problemas geomé-tricos.


En la Preparación de la unidad (pág. 135), se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: la expresión analítica del producto escalar y del ángulo entre dos vectores, la expresión analítica del producto vectorial y del producto mixto, así como sus interpretaciones geométricas y un ejemplo resuelto del cálculo de un producto escalar, del ángulo entre dos vectores, de un producto vectorial y de un producto mixto, en el que se incluye la interpretación geométrica de los dos últimos.

En la unidad se distinguen tres apartados: Ángulos entre elementos del espacio, Distancias entre ele-mentos del espacio y Resolución de problemas métricos.

Ángulos entre elementos del espacio (págs. 136 a 141) A partir de la observación de un imagen, se describen las posibles posiciones relativas entre dos rectas y se define el ángulo que forman en cada caso. A continuación, se deduce la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas que se cruzan. En el mar-gen, se observa que la fórmula hallada puede utilizarse, en realidad, para todas las rectas, sea cual sea su posición relativa. Un ejemplo resuelto permite observar cómo se calcula en la práctica el ángulo en-tre dos rectas. Seguidamente, se utiliza la definición de ángulo entre dos rectas para definir rectas perpendiculares y cómo determinarlas. Un ejemplo resuelto permite aplicar estos conceptos. A continuación, se siguen los mismos pasos para el ángulo entre dos planos y para el ángulo entre una recta y un plano. Observando una imagen, se describen las posibles posiciones relativas y se define el ángulo que forman en cada caso y se deduce la fórmula para calcular el ángulo en el caso más difícil (dos planos secantes y recta que corta al plano). Unos ejemplos resueltos permiten observar cómo se calcula en la práctica el ángulo buscado.



Se definen planos perpendiculares y recta y plano perpendiculares a partir de la definición de ángulo, y se deduce cómo determinarlos observando cómo se aplican estos conceptos mediante unos ejemplos re-sueltos. En los márgenes de este apartado, se desarrollan, además, otras ampliaciones, recuerdas…, que com-plementan los contenidos estudiados. Así se presenta la relación entre la geometría afín y la geometría métrica, se recuerda la definición de ángulo diedro y de ángulo rectilíneo del diedro, se deduce que el vector normal del plano es ortogonal a éste, se explica cómo puede hallarse un vector normal a un pla-no si éste está expresado mediante su ecuación vectorial y cómo hallar la ecuación general de un plano dados un vector normal y un punto y, finalmente, se observa que la proyección de una recta sobre un plano coincide con la intersección de este plano con uno perpendicular que contiene la recta.

Distancias entre elementos del espacio (págs. 142 a 149) El apartado empieza con la definición de la distancia entre dos puntos y el enunciado de sus propieda-des. A continuación, se ilustra mediante un ejemplo resuelto en el que se calcula la distancia entre dos puntos y se aplica para hallar el perímetro de una figura plana. En el margen, aparece una ampliación destinada a que los alumnos/as puedan observar que la distancia es, en realidad, una aplicación con una serie de características, que coinciden con sus propiedades, y que puede aplicarse a diversos conjuntos. Para hallar la distancia de un punto a una recta, se diferencian sus posibles posiciones relativas y se de-termina la distancia en cada caso. A continuación, se deduce, con ayuda de una representación gráfica, la fórmula para calcular la distan-cia de un punto a una recta cuando el punto no pertenece a dicha recta. La fórmula hallada puede utili-zarse, en realidad, para todos los casos. Un ejemplo resuelto permite observar cómo se calcula en al práctica esta distancia. A continuación, se siguen los mismos pasos para la distancia de un punto a un plano, entre dos rectas, entre dos planos y entre recta y plano: describir las posibles posiciones relativas y determinar la distan-cia en cada caso, y deducir la fórmula para calcular la distancia en el caso más difícil (punto que no pertenece al plano, rectas que se cruzan, planos paralelos y recta paralela al plano). Unos ejemplos re-sueltos demuestran cómo se calcula en la práctica la distancia buscada. Además, en el caso del cálculo de la distancia de un punto a un plano, se aprovecha el resultado para hallar la fórmula general de la distancia de un plano al origen de coordenadas. En los márgenes de este apartado se desarrollan, además, otras ampliaciones que complementan los contenidos estudiados. Así se presenta la proyección ortogonal de un punto sobre una recta y la de un punto sobre un plano; se recuerdan las posiciones relativas de dos rectas y cómo se identifican, las po-siciones relativas de dos planos y cómo se identifican, así como la condición de paralelismo entre dos planos. Por último, se recuerdan también las posiciones relativas de una recta y un plano y cómo se identifican, así como la condición de paralelismo entre una recta y un plano. Es importante que los alumnos/as se acostumbren a representar gráficamente las situaciones, pues esto les facilitará la comprensión de las deducciones, de las fórmulas obtenidas y del proceso para calcular cualquier distancia. Además, puede ser importante que el profesor/a haga hincapié en las deducciones de las fórmulas para que los alumnos/as comprendan cómo se obtienen y no se limiten sólo a aplicar-las.



Resolución de problemas métricos (págs. 150 a 152) En este apartado se pretende que el alumno/a aplique los conocimientos adquiridos para la resolución de los siguientes problemas geométricos: determinación de las ecuaciones del plano mediador y del plano bisector, obtención de la perpendicular común a dos rectas que se cruzan y determinación de puntos simétricos respecto de un punto, de una recta o de un plano. El apartado empieza determinando los puntos del espacio que equidistan de los extremos de un seg-mento y que coinciden con el plano mediador. Un ejemplo resuelto permite observar cómo se calcula en un caso concreto. A continuación, se determinan los puntos que equidistan de dos planos dados, se identifican con sus planos bisectores y se observa su cálculo mediante un ejemplo resuelto. Seguidamente, se presentan dos procedimientos, ambos de forma paralela, para hallar la recta perpen-dicular común a dos rectas dadas, se describen los pasos de los procedimientos y se desarrollan en un ejemplo resuelto. De esta manera se pretende que el alumno/a observe y asimile una de las característi-cas de las matemáticas: que muchos ejercicios y problemas tienen más de una estrategia válida de reso-lución. Por último, el apartado introduce los conceptos de centro de simetría, eje de simetría y plano de sime-tría para desarrollar los conceptos y los procedimientos de cálculo del punto simétrico de un punto res-pecto de otro punto, respecto de una recta o respecto de un plano. En un ejemplo resuelto, se observa cómo calcular, dado un punto, su simétrico respecto de un punto dado, de una recta dada y de un plano dado.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 153 y 154), se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de la geometría métrica. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas: a) Determinar el plano perpendicular a una recta y que pasa por un punto. b) Hallar la ecuación de un plano que contiene una recta y que además verifica otra condición. c) Calcular los parámetros de las ecuaciones de unas rectas para que cumplan una serie de condicio-

nes. d) Hallar la ecuación de la proyección ortogonal de una recta sobre un plano, conocidas las ecuaciones

de ambos elementos geométricos.





Actividades de evaluación Calcular el ángulo entre dos rectas, entre dos planos y entre una recta y un plano. Calcular la distancia entre dos puntos, de un punto a una recta, de un punto a un plano, entre dos

rectas, de una recta a un plano y entre dos planos. Resolver problemas métricos que puedan plantearse con elementos geométricos del espacio. Escribir la ecuación de una recta que pasa por un punto y es perpendicular a otra recta dada. Determinar la ecuación de un plano que contiene un punto, es paralelo a una recta y perpendicular

a otro plano. Hallar la ecuación de una recta perpendicular a un plano y que pasa por un punto dado. Calcular los planos bisectores a dos planos dados y el ángulo que forman entre ellos. Presentar dos estrategias diferentes para determinar la perpendicular común a dos rectas que se cru-

zan y aplicar una de ellas para resolver un caso concreto. Calcular la ecuación de un plano perpendicular a dos rectas dadas que pase por un punto determi-

nado. Determinar el punto simétrico a un punto respecto de otro punto, de una recta y de un plano. Relacionar los puntos simétricos respecto de un plano y el concepto de plano mediador. Elaborar, en los casos posibles, dos estrategias diferentes para resolver un problema métrico y es-

coger la más adecuada.



UNIDAD 8: Curvas y superficies

Objetivos didácticos Caracterizar una curva del plano en coordenadas cartesianas por sus ecuaciones implícita, explícita

o paramétricas, y saber pasar de unas a otras. Identificar posiciones relativas entre cónicas y rectas. Calcular ecuaciones de tangentes y normales a cónicas que cumplan requisitos establecidos. Determinar la posición de un punto del plano a partir de sus coordenadas polares. Obtener las coordenadas polares de un punto del plano a partir de las cartesianas, y viceversa. Caracterizar una curva del plano mediante su ecuación polar. Reconocer gráficamente algunas curvas planas de interés y relacionarlas con sus ecuaciones. Caracterizar una superficie del espacio en coordenadas cartesianas por sus ecuaciones implícita, ex-

plícita o paramétricas, y saber pasar de unas a otras. Reconocer gráficamente cada tipo de cuádrica y relacionarlas con su ecuación reducida, así como

conocer sus propiedades. Representar una curva del espacio en coordenadas cartesianas por sus ecuaciones paramétricas o

implícitas y saber pasar de unas a otras. Conocer las principales características que definen las hélices cilíndricas y las hélices cónicas, y sa-

ber qué tipos de ecuaciones las definen. Dar la posición de un punto del espacio a partir de sus coordenadas cilíndricas o esféricas. Calcular las coordenadas cilíndricas o esféricas de un punto del espacio a partir de las cartesianas y

viceversa. Valorar la utilidad de las curvas y superficies en la resolución de problemas de aplicación a otras

áreas (ingeniería, astronomía…).

Contenidos Conceptos Sistema de coordenadas cartesianas en el plano. Curvas del plano: curvas algebraicas y curvas trascendentes. Ecuación implícita, ecuación explícita y ecuaciones paramétricas de una curva del plano en coorde-

nadas cartesianas. Posiciones relativas de cónicas y rectas. Tangentes y normales a cónicas. Sistema de coordenadas polares en el plano. Ecuación polar de una curva del plano: ecuación polar de la recta, de la circunferencia y de otras

curvas planas de interés (cónicas y espirales). Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio. Superficies en el espacio: superficies algebraicas y superficies trascendentes. Ecuación implícita, ecuación explícita y ecuaciones paramétricas de una superficie en el espacio en

coordenadas cartesianas. Cuádricas: ecuación reducida y principales características.



Curvas en el espacio: curvas planas y curvas alabeadas. Ecuaciones implícitas, explícitas y paramétricas de una curva en el espacio. Hélices cilíndricas y hélices cónicas. Sistema de coordenadas cilíndricas. Sistema de coordenadas esféricas.

Procedimientos Determinación de la ecuación implícita de una curva del plano en coordenadas cartesianas a partir

de las ecuaciones paramétricas y viceversa. Determinación de posiciones relativas entre cónicas y rectas en el plano. Cálculo de la tangente a una cónica por un punto dado y de la normal a la tangente en dicho punto. Obtención de las coordenadas polares de un punto del plano a partir de sus coordenadas cartesianas

y viceversa. Determinación de la ecuación polar de una curva del plano a partir de su ecuación implícita en co-

ordenadas cartesianas y viceversa. Obtención de las coordenadas cilíndricas o esféricas de un punto del espacio a partir de sus coorde-

nadas cartesianas y viceversa.

Valores, actitudes y normas Conveniencia del uso de coordenadas adecuadas para obtener ecuaciones de curvas y superficies

que faciliten su manejo. Valoración del uso de coordenadas polares en el plano, y de cilíndricas y esféricas en el espacio, al

manipular algunas curvas y superficies. Valoración de la utilidad de las curvas y superficies en la resolución de problemas de aplicación a

otras áreas.


En la Preparación de la unidad (pág. 159), se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: ecuaciones paramétricas y ecuación implícita de la recta del plano que pasa por un punto dado y tiene vector director prefijado, ecuaciones paramétricas y ecuación implícita del plano del espacio que pasa por un punto dado y tiene vectores directores prefijados, y ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas de la recta del espacio que pasa por un punto dado y tiene vector director prefijado. A conti-nuación, se proponen diferentes actividades relativas al cálculo de ecuaciones de rectas y planos que conviene que el alumno/a domine antes de iniciar la unidad.

En la unidad se distinguen cinco apartados: Curvas en el plano en coordenadas cartesianas, Curvas en el plano en coordenadas polares, Superficies en el espacio en coordenadas cartesianas, Curvas en el espacio en coordenadas cartesianas y Coordenadas no cartesianas en el espacio.



Curvas en el plano en coordenadas cartesianas (págs. 160 a 165) La unidad empieza recordando qué es un sistema de coordenadas cartesianas en el plano y cómo asig-nar coordenadas cartesianas a cada uno de los puntos. A continuación, se introduce la noción de curva del plano a partir de tres ejemplos conocidos por el alumno/a: recta, circunferencia y sinusoide. Se observa, a partir de los tres ejemplos, que las curvas del plano son conjuntos de puntos cuyas coordenadas cartesianas verifican una ecuación del tipo F (x, y) = 0, llamada ecuación implícita de la curva del plano. Seguidamente, se habla de otra forma de determinar una curva en el plano, distintas de la ecuación im-plícita: la ecuación explícita. Se introduce una tercera forma de plantear la ecuación de curvas: las ecuaciones paramétricas. Tam-bién se demuestra, mediante un ejemplo, que las ecuaciones paramétricas no son únicas. En este punto, sería interesante comentar que, dependiendo del criterio seguido para la elección del parámetro obtene-mos diferentes parametrizaciones de una misma curva. En el margen, puede leerse una clasificación de las curvas del plano en algebraicas y trascendentes. A continuación, se comenta que no hay un método general para obtener la ecuación implícita de una curva del plano a partir de sus ecuaciones paramétricas y se explica el procedimiento que se debe se-guir en dos situaciones concretas. Seguidamente, se dice que, para efectuar el proceso inverso existe la misma dificultad y se muestra un procedimiento para obtener las ecuaciones paramétricas de la circun-ferencia centrada en el origen de radio r a partir de su ecuación implícita y de las definiciones de seno y coseno. Se ilustra en una tabla la ecuación implícita y las ecuaciones paramétricas más utilizadas de algunas curvas en el plano (básicamente de las cónicas principales), así como el significado del parámetro ele-gido. Finalmente, se presentan las distintas posiciones relativas de una recta respecto a un cónica y se explica el procedimiento para hallar la ecuación de una recta tangente a un cónica que pase por un punto dado y la perpendicular a dicha tangente. Ambos procedimientos se ejemplifican con un problema resuelto.

Curvas en el plano en coordenadas polares (págs. 166 a 169) Se inicia el apartado explicando qué es un sistema de coordenadas polares en el plano y cómo asignar coordenadas polares a cada uno de los puntos. A continuación, se muestra en una tabla la relación existente entre las coordenadas cartesianas y las co-ordenadas polares de un mismo punto. Se dan los procedimientos para pasar de coordenadas polares a cartesianas y viceversa, y se acompaña cada uno de ellos con un ejemplo. Seguidamente, se observa que también pueden utilizarse las coordenadas polares para caracterizar las curvas en el plano, y se da el concepto de ecuación polar de una curva en el plano. A partir de las rela-ciones existentes entre coordenadas cartesianas y polares, se explica cómo obtener la ecuación polar de una curva del plano, conocida su ecuación implícita cartesiana, y viceversa. Además, se obtiene la forma general de la ecuación polar de la recta y la circunferencia a partir de sus ecuaciones implícitas y se considera el caso en que se toma el sistema de referencia con origen en la recta o en el centro de la circunferencia, respectivamente. En este punto, se puede hacer notar al



alumno/a que tomar un sistema de referencia adecuado permite simplificar la expresión de la curva, y comentar que esto no es exclusivo de estas curvas y este sistema de coordenadas sino que es general. Para acabar, se muestra en una tabla la representación gráfica y la ecuación polar de diferentes curvas de interés en algunos campos cientificotecnológicos (elipse, hipérbola, parábola, espiral de Arquíme-des, espiral logarítmica y espiral hiperbólica), especificándose el sistema de referencia escogido.

Superficies en el espacio en coordenadas cartesianas (págs. 170 a 173) Empieza el apartado recordando qué es un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio, y cómo asignar coordenadas cartesianas a cada uno de los puntos. Después se introduce la noción de superficie del espacio a partir de un ejemplo conocido: el plano. Se observa que, como en el caso del plano, el conjunto de puntos del espacio que forman una superficie cumple una ecuación del tipo F (x, y, z) = 0, llamada ecuación implícita de la superficie. En el margen, se explica qué es la ecuación explícita de una superficie. A continuación, se clasifican las superficies en algebraicas y trascendentes, y se citan las cuádricas co-mo ejemplos típicos de superficies del espacio. Se define esfera, se demuestra que es una cuádrica y se da la forma general de su ecuación en función de su radio y de las coordenadas de su centro. Seguidamente, se explica qué son las ecuaciones paramétricas de una superficie y se da la forma gene-ral de las ecuaciones paramétricas de la esfera. Se muestra un procedimiento para obtener una parame-trización de la esfera de centro el origen de coordenadas y radio r a partir de la ecuación implícita. Finalmente, se consideran los principales tipos de cuádrica. Se muestra al alumno/a, de cada uno de ellos, su representación gráfica, su ecuación reducida y sus principales características.

Curvas en el espacio en coordenadas cartesianas (págs. 174 y 175) Como en los apartados anteriores, se introduce, a partir de ejemplos conocidos por el alumno/a, la no-ción de curva del espacio. Se clasifican las curvas del espacio en planas y alabeadas, y se explica qué son las ecuaciones implícitas y explícitas de una curva en el espacio y que éstas no tienen por qué ser únicas. Se introduce la definición de ecuaciones implícitas y explícitas en coordenadas cartesianas de curvas en el espacio en general.A continuación se da otra forma de caracterizar las curvas del espacio: las ecuaciones paramétricas. Se observa al margen su interpretación física. Finalmente, se describen en una tabla los dos tipos de curvas alabeadas más importantes (las hélices ci-líndricas y las hélices cónicas), dando también su interpretación física.

Coordenadas no cartesianas en el espacio (págs. 176 y 177) En este apartado, se presentan dos tipos de sistemas de coordenadas no cartesianas del espacio, muy útiles en el estudio de determinadas curvas y superficies: sistema de coordenadas cilíndricas y de coor-denadas esféricas. En el primer caso, se empieza definiendo qué es un sistema de coordenadas cilíndricas y cómo asignar-las a un punto cualquiera del espacio. A continuación, se explican en una tabla los procedimientos para pasar de coordenadas cilíndricas a cartesianas y de cartesianas a cilíndricas, acompañados de sendos



ejemplos. Se observa también la simplicidad de la ecuación implícita del cilindro en coordenadas cilín-dricas. En el sistema de coordenadas esféricas, se presenta una exposición análoga y, en este caso, se destaca la simplicidad de la ecuación de la esfera en estas coordenadas.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 178 a 180), se pretende que el alumno/a profundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:a) Hallar la ecuación polar de una cónica, conociendo su ecuación implícita cartesiana. b) Dado un cuerpo celeste que gira alrededor de otro describiendo una órbita elíptica de foco el segun-

do cuerpo, calcular las distancias mínima y máxima entre ambos cuerpos. c) Dadas las ecuaciones implícitas cartesianas de un plano y una esfera, en la que alguna viene dada

en función de un parámetro, determinar su posición relativa en función de ese parámetro y hallar el radio de la circunferencia intersección cuando sean secantes.

d) Identificar cuádricas a partir de su ecuación implícita cartesiana. e) Demostrar que una curva del espacio, descrita a partir de sus ecuaciones paramétricas, está conteni-

da en determinada superficie del espacio. f) Determinar la longitud de una espira de una hélice cilíndrica a partir de sus ecuaciones paramétri-

cas.


Finalmente, en las Actividades (págs. 181 a 183) ) se presenta una lista de conceptos y procedimientos para que el alumno/a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda afrontar con éxito la resolución de las restantes actividades, se plantean varias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen varios ejercicios y problemas para que el alumno repase lo aprendido. Estos ejercicios y problemas van acompañados de la solución, si ésta es numérica, para favorecer el proceso de autoevaluación.

Actividades de evaluación Deducir la ecuación implícita, la ecuación explícita y unas ecuaciones paramétricas de las curvas

del plano más usuales, y saber pasar de unas a otras. Determinar la posición relativa de rectas respecto a cónicas en el plano. Calcular las ecuaciones de rectas tangentes a un cónica por un punto dado. Obtener, además, la

ecuación de la normal en el punto de tangencia. Hallar las coordenadas cartesianas de un punto del plano expresado en coordenadas polares y las

coordenadas polares de un punto del plano expresado en coordenadas cartesianas. Obtener la ecuación polar de una curva del plano dada por su ecuación implícita cartesiana y la

ecuación implícita cartesiana de una curva del plano dada por su ecuación polar.



Reconocer la ecuación polar de la recta, la circunferencia, la elipse, la hipérbola, la parábola y los principales tipos de espiral.

Obtener la ecuación implícita, la ecuación explícita y unas ecuaciones paramétricas de las superfi-cies del espacio más usuales, y saber pasar de unas a otras.

Escribir la ecuación implícita y unas ecuaciones paramétricas de la esfera, conocidos su centro y su radio. Y recíprocamente: determinar el centro y el radio de una esfera conociendo alguna de las ecuaciones que la determinan.

Reconocer los tipos de cuádrica más usuales gráficamente o a partir de su ecuación reducida y des-cribir sus principales características.

Obtener las ecuaciones implícitas y unas ecuaciones paramétricas de las curvas planas del espacio más usuales, y saber pasar de unas a otras.

Reconocer las ecuaciones implícitas y paramétricas que describen las hélices cilíndricas y cónicas, hacer una representación gráfica aproximada y explicar su interpretación física.

Hallar las coordenadas cilíndricas y esféricas de un punto del espacio expresado en coordenadas cartesianas y las coordenadas cartesianas de un punto del espacio expresado en coordenadas cilín-dricas o esféricas.

Reconocer algunas curvas y superficies del espacio dadas por sus ecuaciones implícitas en coorde-nadas cilíndricas o esféricas.

Calcular las distancias mínima y máxima entre un cuerpo celeste que gira alrededor de otro descri-biendo una órbita elíptica de foco el segundo cuerpo y el segundo cuerpo celeste.

Enunciar alguna situación en la que se aprecie la necesidad del estudio de curvas y superficies.



UNIDAD 9: Límites de funciones

Objetivos didácticos Adquirir la noción intuitiva y visual, comprender el concepto y conocer las definiciones formales

de límite de una función en un punto, tanto finito como infinito. Adquirir la noción intuitiva y visual, comprender el concepto y conocer las definiciones formales

de límite de una función en el infinito, tanto finito como infinito. Comprender el concepto de límite lateral por la izquierda y por la derecha de una función, así como

la relación existente entre el límite y los límites laterales. Conocer las propiedades y operaciones con límites. Calcular de manera sistemática límites de funciones racionales en un punto. Hallar límites de funciones utilizando las propiedades adecuadas. Entender el concepto de indeterminación, reconocer los diferentes tipos de indeterminación y saber

resolverlos en los casos que se indican en la unidad. Conocer el concepto de asíntota de una función y reconocer gráficamente asíntotas verticales, hori-

zontales y oblicuas. Calcular las ecuaciones de las asíntotas de una función a partir de la expresión analítica de ésta. Valorar la importancia del cálculo de límites como herramienta para el estudio de funciones.

Contenidos Conceptos Límite finito de una función en un punto. Límites laterales finitos de una función en un punto. Propiedades de los límites. Indeterminación. Límite infinito de una función en un punto. Límites laterales infinitos de una función en un punto. Límite finito de una función en el infinito. Límite infinito de una función en el infinito. Operaciones con límites. Tipos de indeterminación. Asíntotas verticales de una función. Asíntotas horizontales de una función. Asíntotas oblicuas de una función.

Procedimientos Cálculo de límites de funciones en un punto mediante tablas de valores. Cálculo de límites de funciones en un punto a partir de su gráfica. Cálculo de límites de funciones en un punto utilizando las propiedades adecuadas. Cálculo de límites en un punto de funciones definidas a trozos.



Resolución de la indeterminación 0/0. Cálculo sistemático de límites infinitos de funciones racionales en un punto. Cálculo de límites de funciones en el infinito mediante tablas de valores. Cálculo sistemático de límites de funciones en el infinito. Resolución de indeterminaciones. Obtención de las asíntotas verticales de una función. Obtención de las asíntotas horizontales de una función. Obtención de las asíntotas oblicuas de una función.

Valores, actitudes y normas Valoración de la utilidad del cálculo de límites en el estudio de funciones. Aprecio del valor que tienen los límites de funciones para resolver problemas de índole real.


En la Preparación de la unidad (pág. 187), se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: el concepto de entorno (y las diferentes maneras de expresarlo) y el concepto de entorno reduci-do (y las diferentes maneras de expresarlo). En cada caso, se muestra un ejemplo.

En la unidad se distinguen seis apartados: Límite finito de una función en un punto, Límite infinito de una función en un punto, Límite finito de una función en el infinito, Límite infinito de una función en el infinito, Operaciones con límites y Asíntotas de una función.

Límite finito de una función en un punto (págs. 188 a 193) Se introduce intuitivamente el concepto de límite finito de una función en un punto mediante la obser-vación de una tabla de valores y de la gráfica de una determinada función en el entorno de un punto concreto, para llegar, finalmente, a la definición formal de límite. Seguidamente, se explica el concepto de límites laterales de una función en un punto siguiendo el mis-mo proceso que en el caso del límite de una función en un punto, es decir, primero intuitivamente y después formalmente, y se establece la relación existente entre el límite y los límites laterales. Posteriormente, se dan algunas propiedades de los límites funcionales que nos permitirán el cálculo sis-temático de límites. También se da en forma de tabla la fórmula, acompañada de un ejemplo, para el cálculo del límite de funciones polinómicas y racionales en un punto. A continuación, se resuelven unos ejercicios a modo de ejemplo en donde se calcula el límite de otras funciones; en particular, se muestra como proceder para el cálculo sistemático de límites de funciones definidas a trozos. Finalmente, se introduce el concepto de indeterminación a partir de la indeterminación cero partido por cero, que puede aparecer en el cálculo de límites de funciones en un punto, y se muestra mediante unos ejemplos cómo proceder para resolver analíticamente este tipo de indeterminación.



Límite infinito de una función en un punto (págs. 194 y 195) Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso del límite finito de una función en un punto, se intro-ducen el concepto de límite infinito de una función en un punto. Se concluye la explicación proponiendo la definición formal de límite infinito de una función en el in-finito. Se introducen unas observaciones generales para poder calcular este tipo de límites y se muestra en ejemplos resueltos la manera de resolver la cuestión en alguno casos sencillos, poniendo de manifiesto que en ocasiones hay que considerar de modo similar al apartado anterior la lateralidad de los límites.

Límite finito de una función en el infinito (pág. 196) De modo parecido se introduce intuitivamente el concepto de límite finito en el infinito observando su-cesivas aproximaciones. Se presentan varios gráficos que ilustren las tendencias aproximativas de las secuencias numéricas que se presentan. Se propone, posteriormente, la definición formal de límite finito de una función en el infinito.

Límite infinito de una función en el infinito (pág. 197) Utilizando un procedimiento análogo al anterior se introduce el conceptos de límite infinito de una fun-ción en el infinito, completando la explicación teórica con los correspondientes gráficos. Igualmente se introduce la definición formal de límite infinito de una función en el infinito.

Operaciones con límites (págs. 198 a 201) En primer lugar, se hace notar que las propiedades de los límites vistas anteriormente se siguen verifi-cando si alguna de las funciones tiene límite infinito o bien cuando se trata de límites en el infinito y se resumen, en forma de tabla, los diferentes casos determinados que pueden aparecer cuando operamos con límites. A continuación se explica que, como en el caso de límites finitos, pueden aparecer casos de indetermi-nación al operar con límites infinitos o en el infinito y se indican todos los tipos de indeterminación que pueden surgir. Seguidamente, se muestra cómo resolver los diferentes tipos de indeterminación en los casos más sen-cillos, a excepción de dos de los tipos que, como se indica, se tratarán más adelante. En el margen, se da el concepto de infinitésimos equivalentes mostrando los casos de equivalencia en el cero más típicos y explicando la utilidad de este concepto a la hora de resolver indeterminaciones. En el otro margen se recuerda el número e que utilizamos para resolver el caso particular de indetermi-nación uno elevado a infinito. En este apartado, y si el profesor/a lo cree necesario, se puede estudiar criterios generales que permiten resolver rápidamente algunas indeterminaciones.

Asíntotas de una función (págs. 202 y 203) Se presentan los tres tipos de asíntotas. Observando la gráfica de una función, se da la idea intuitiva y visual de asíntotas de una función (verticales, horizontales y oblicuas)



A continuación, se da la definición formal de cada uno de los tipos de asíntotas. En el caso de las asíntotas oblicuas se resuelve un ejercicio a modo de ejemplo donde se obtiene una fórmula que permite el cálculo sistemático de las citadas asíntotas.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 204 a 206), se pretende que el alumno/a profundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:a) Aplicación de las definiciones formales de límite finito de una función en un punto. b) Aplicación de las definiciones formales de límite finito de una función en el infinito. c) Resolución de indeterminaciones en las que aparecen expresiones con radicales. d) Resolución de indeterminaciones del tipo uno elevado a infinito cuando la variable tiende a un nú-

mero real. e) Obtención de parámetros que hagan que el límite de una función en un punto tenga un valor con-

creto. f) Obtención de parámetros que hagan que las asíntotas de una función sean unas rectas determinadas.



Actividades de evaluación Dada la gráfica de una función, determinar el límite en diferentes puntos y el límite en el infinito, y

comprobarlo con la construcción de tablas de valores adecuadas. Calcular diversos tipos de límites en funciones a trozos. Definir intuitivamente límites laterales y explicar la relación entre los límites laterales y el límite de

una función en un punto. Enunciar las propiedades de los límites finitos en un punto. Hallar los límites infinitos en el infinito de funciones sencillas. Calcular sistemáticamente límites de funciones polinómicas y racionales, así como también de fun-

ciones obtenidas a partir de operaciones con otras funciones. Explicar qué es una indeterminación e indicar los diferentes tipos de indeterminación que pueden

presentarse en el cálculo de límites. Resolver diferentes tipos de indeterminación. Reconocer, dada la gráfica de una función, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, y hallar

sus ecuaciones a partir de la expresión analítica de la función.



Apreciar el valor de las técnicas de análisis matemático en el estudio de funciones.



UNIDAD 10: Continuidad de funciones

Objetivos didácticos Adquirir la idea intuitiva de continuidad de una función en un punto. Conocer las condiciones para que una función sea continua en un punto. Comprender el concepto de continuidad lateral de una función en un punto y la relación que existe

entre ésta y la continuidad. Estudiar la continuidad de una función en un intervalo. Conocer los distintos tipos de discontinuidades que puede presentar una función en un punto. Reconocer los puntos de discontinuidad de una función, tanto visual como analíticamente, y saber

clasificarlos. Describir las propiedades de las funciones continuas. Demostrar la continuidad de las funciones elementales y aplicarla para estudiar la continuidad de

funciones obtenidas a partir de operaciones con funciones elementales. Conocer el enunciado y significado de los teoremas más elementales relacionados con la continui-

dad. Aplicar el teorema de Bolzano para determinar los ceros de una función, así como también las so-

luciones o raíces de una ecuación. Valorar la importancia que tiene el estudio de la continuidad en el comportamiento de muchos fe-

nómenos de la naturaleza.

Contenidos Conceptos Continuidad de una función en un punto. Continuidad lateral de una función en un punto. Continuidad de una función en un intervalo. Discontinuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidades. Propiedades de las funciones continuas. Continuidad de las funciones elementales. Teorema de conservación del signo. Teorema de Bolzano. Teorema de los valores intermedios. Teorema de Weierstrass.

Procedimientos Comprobación de la continuidad o no de una función en un punto a partir de las tres condiciones de

continuidad. Comprobación de la continuidad de una función en un punto mediante la definición de límite. Estudio de la continuidad lateral de una función en un punto. Estudio de la continuidad de una función en un intervalo.



Determinación y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función. Estudio de la continuidad de funciones obtenidas a partir de operaciones con funciones elementa-

les. Aplicación del teorema de Bolzano para comprobar si una función tiene un 0 en un intervalo dado

y obtención de dicho cero con un determinado error. Aplicación del teorema de Bolzano para comprobar si una función tiene un 0 o si una ecuación tie-

ne una solución real en un intervalo dado, así como su determinación con una cierta precisión. Aplicación del teorema de los valores intermedios para comprobar si una función toma determina-

do valor en un intervalo dado, así como la obtención del punto del intervalo para el cual toma di-cho valor.

Valores, actitudes y normas Aprecio de la importancia de la continuidad para el estudio de las funciones. Valoración de la continuidad para el estudio del comportamiento que siguen muchos fenómenos de

la naturaleza.


En la Preparación de la unidad (pág. 211) se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: la definición de número real mediante dos sucesiones de aproximaciones decimales (por defecto y por exceso) y la consiguiente sucesión de intervalos, los conceptos de máximo y mínimo absoluto de una función en un punto y la definición de 0 de una función a partir de la búsqueda de las raíces de la ecuación F(x) = 0. Se proponen también unas actividades con la finalidad de recordar los métodos para resolver ecuaciones de grado mayor que dos.

En la unidad se distinguen tres apartados: Continuidad de una función en un punto, Propiedades de las funciones continuas y Teoremas relativos a la continuidad.

Continuidad de una función en un punto (págs. 212 a 217) Se introduce la idea intuitiva de continuidad de una función en un punto a partir de la observación de la gráfica de diversas funciones. A continuación, se da la definición formal de continuidad en un punto aprovechándola para introducir la definición de función discontinua en un punto, y se comprueba la continuidad de una función en un punto.Posteriormente, se observa que en la tercera condición de continuidad se resumen las anteriores, por lo que se puede decir que una función es continua en un punto si verifica dicha condición. Seguidamente, usando la definición de límite, se formaliza el concepto de continuidad. En el ejemplo que sigue, se muestra el proceso que se debe seguir para ver si una función es continua en un punto a partir de esta última definición.



Se introduce el concepto de continuidad lateral de una función en un punto y se observa la relación que existe con la continuidad de la función en dicho punto a partir de la relación existente entre límites la-terales y límite de una función en un punto. Como ejemplo, se estudia la continuidad de la función identidad menos la parte entera. Posteriormente, se define la continuidad en un intervalo. Es conveniente que el profesor/a haga notar que la definición dada para la continuidad de un intervalo cerrado no es equivalente a decir que la fun-ción es continua si lo es en cada punto del intervalo cerrado, en los puntos extremos del intervalo, sólo se pide continuidad lateral desde el interior de éste. En el margen, también se define la continuidad en un intervalo semiabierto. De nuevo, el subapartado termina con el análisis de la continuidad de una función en un intervalo. Seguidamente, se presenta una tabla con la clasificación de los diferentes tipos de discontinuidades, ilustrando cada uno de los casos y observando las condiciones de continuidad que se verifican y las que dejan de verificarse en cada situación. A continuación, se observa que, si la función presenta una discontinuidad evitable en un punto, se pue-de definir una nueva función que coincide con la primera en todos los puntos de su dominio salvo en el punto considerado, en caso de que pertenezca, y evita la discontinuidad en este punto.Se proponen tres ejemplos en los que se muestran respectivamente el caso de una discontinuidad no evitable de salto infinito, no evitable esencial y evitable. En el margen puede verse un esquema del proceso que debe seguirse para clasificar discontinuidades.

Propiedades de las funciones continuas (págs. 218 y 219) Como consecuencia de las propiedades vistas para los límites, se obtienen algunas de las propiedades de las funciones continuas. A partir de éstas, se comprueba la continuidad en su dominio de algunas de las funciones elementales (potenciales, polinómicas, racionales e irracionales). Por otro lado, se presentan en una tabla otras funciones elementales (exponenciales, logarítmicas y tri-gonométricas),observando a partir de su gráfica que son continuas en todo su dominio. Seguidamente, se resuelve un ejercicio a modo de ejemplo en donde se estudia la continuidad de fun-ciones obtenidas mediante operaciones con funciones elementales.

Teoremas relativos a la continuidad (págs. 220 a 222) Se enuncia el teorema de conservación del signo y se justificación a partir de la observación de la grá-fica de una función continua. Se enuncia el teorema de Bolzano y se justifica de manera intuitiva. En el margen se encuentra una de-mostración rigurosa del teorema, que el profesor/a podrá dar o no en función del grupo de alumnos/as. A continuación, se muestra, mediante dos ejemplos, la utilidad de este teorema para la determinación de ceros de funciones y raíces de ecuaciones. A continuación se enuncia el teorema de los valores intermedios y se indica que es consecuencia inme-diata del teorema de Bolzano; en el margen se encuentra la demostración detallada. A continuación, se muestra, mediante un ejemplo, su aplicación para ver que una función toma un va-lor determinado en un intervalo. En este punto, se puede comentar, si se cree oportuno, que el teorema



de Bolzano y el de los valores intermedios son equivalentes, ya que el teorema de los valores interme-dios se obtiene a partir del de Bolzano, y éste es un caso particular del anterior. Se enuncia el teorema de Weierstrass y se justifica de manera intuitiva. Seguidamente, se observan tres consecuencias de este teorema.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 223 y 224), se pretende que el alumno/a profundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:a) Determinación del valor de los parámetros presentes en la expresión analítica de una función para

que sea continua en un punto o bien continua en todo su dominio. b) Determinación del valor de los parámetros presentes en la expresión analítica de una función para

que ésta presente una discontinuidad evitable en un punto o bien una discontinuidad. c) Aplicación del teorema de Bolzano para probar que las gráficas de dos funciones se cortan en algún

punto y la determinación de éste en un intervalo de cierta amplitud. d) Aplicación del teorema de Bolzano para obtener la aproximación de una raíz cúbica con un error

determinado.



Actividades de evaluación Reconocer visualmente si una función es continua en un punto. Comprobar si una función es continua en un punto mediante la verificación de las tres condiciones

de continuidad. Comprobar, utilizando la definición formal de continuidad, si una función es continua en un punto. Indicar la relación que existe entre continuidad lateral de una función en un punto y continuidad en

ese punto y estudiar la continuidad lateral de una función en un punto. Poner un ejemplo de función continua en un intervalo abierto pero que no lo es en el cerrado. Enumerar los distintos tipos de discontinuidad que puede presentar una función, indicando las ca-

racterísticas de cada uno, y reconocerlos visualmente. Hallar los puntos de discontinuidad de una función y determinar el tipo de discontinuidad que pre-

senta en cada uno de ellos. Enumerar las propiedades de las funciones continuas.



Analizar, teniendo en cuenta la continuidad de las funciones elementales, la continuidad de funcio-nes obtenidas a partir de operaciones con funciones elementales.

Determinar la existencia de ceros de funciones y de raíces de ecuaciones, y obtener estos ceros y raíces con un error determinado utilizando el teorema de Bolzano.

Probar que una función toma determinado valor en un intervalo dado y calcular el punto de este in-tervalo donde la función toma dicho valor utilizando el teorema de los valores intermedios.

Apreciar el valor que tiene la continuidad de funciones para resolver problemas de índole real.



UNIDAD 11: Derivadas

Objetivos didácticos Comprender el significado de la tasa de variación media de una función en un intervalo. Comprender el significado de la derivada de una función en un punto y conocer su definición for-

mal. Interpretar geométricamente la tasa de variación media de una función en un intervalo y la derivada

de una función en un punto. Determinar la ecuación de la recta tangente a una función en un punto. Entender el concepto de derivada lateral por la izquierda y por la derecha de una función, así como

la relación existente entre la derivada y las derivadas laterales. Entender el concepto de función derivada de una función y calcular derivadas sucesivas. Conocer la función derivada de las funciones elementales. Comprender la derivabilidad de las funciones elementales y las reglas que permiten derivar funcio-

nes que son el resultado de operar con otras funciones derivables. Conocer la relación que existe entre las derivadas de dos funciones inversas y aplicarla para dedu-

cir la derivada de algunas funciones. Reconocer y utilizar los métodos de derivación: de la función inversa, logarítmica y en forma im-

plícita. Conocer el concepto de diferencial de una función en un punto, su interpretación geométrica y su

aplicación para efectuar cálculos aproximados. Valorar la importancia de la derivada en el estudio de la variación de una función y su aplicación

en diferentes contextos: física, química, biología…

Contenidos Conceptos Tasa de variación media de una función. Derivada de una función en un punto. Derivadas laterales. Función derivada. Derivadas de orden superior. Derivada de funciones elementales. Función derivada y operaciones. Derivación logarítmica. Derivación implícita. Diferencial de una función.

Procedimientos Determinación de la tasa de variación media de una función en un intervalo. Identificación de la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función por dos puntos. Determinación de la velocidad media de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.



Obtención de la derivada de una función en un punto. Determinación de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Obtención de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Determinación de la velocidad instantánea de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea. Obtención de las derivadas laterales de una función en un punto. Identificación de puntos angulosos, de retroceso o de inflexión con tangente vertical. Cálculo de derivadas de orden superior a partir de la definición formal. Obtención de derivadas de funciones elementales. Cálculo de la derivada de la función suma, del producto de una constante por una función, de la

función producto y de la función cociente. Aplicación de la regla de la cadena para obtener la derivada de una función compuesta. Determinación de la derivada de funciones inversas. Obtención de derivadas de funciones del tipo exponencial-potencial por derivación logarítmica. Cálculo de derivadas de funciones dadas en forma implícita. Obtención de valores aproximados de funciones utilizando el concepto de diferencial de una fun-

ción.

Valores, actitudes y normas Importancia de la derivabilidad para el estudio de las funciones. Valoración de los procesos deductivos como instrumento básico en el trabajo matemático. Reconocimiento de la importancia de la derivada y de la diferencial de una función como instru-

mento en el campo científico.


En la Preparación de la unidad (pág. 229), se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: definición de la pendiente de una recta y ecuación punto-pendiente de una recta, definición de las operaciones definidas en el conjunto de las funciones reales de variable real, definición de la fun-ción compuesta de dos funciones, definición de función inversa de una función dada que sea inyectiva en su dominio, y definición de límite finito y continuidad de una función en un punto.

En la unidad se distinguen cuatro apartados: Tasa de variación media, Derivada de una función en un punto, Función derivada y Diferencial de una función.

Tasa de variación media (págs. 230 y 231) Se introduce el concepto de tasa de variación media de una función en varios intervalos mediante una función que relaciona la temperatura y la profundidad en el interior de la Tierra. En este punto, el profesor/a puede sugerir al alumno/a que recuerde los conocimientos aprendidos en física, tales como las ecuaciones que dan la posición de un móvil y su velocidad en función del tiempo



en un movimiento rectilíneo uniforme, o en un movimiento con aceleración constante, y compruebe que la velocidad media es la tasa de variación de la función que da la posición de un móvil en el inter-valo de tiempo considerado. En el ejemplo que sigue, el alumno/a aplicará el concepto de TVM (tasa de variación media) y su inter-pretación geométrica a una función algebraica conocida. Se pretende que comprenda que la TVM es una medida de la rapidez con que varía una función en un intervalo, y que dicha función puede expre-sar el comportamiento de un fenómeno físico o químico. Después de esto, se propone la definición formal de tasa de variación media de una función en un inter-valo. El cálculo formal de la tasa de variación media se complementa con la interpretación geométrica en la que se observa la coincidencia de dicha tasa con la pendiente de la recta secante a la curva por los pun-tos que limitan el intervalo estudiado. Se postula de una manera rigurosa la interpretación geométrica de la tasa de variación media.

Derivada de una función en un punto (págs. 232 a 235) Se considera el ejemplo de una función polinómica de segundo grado sencilla y se calcula, a partir de la aproximación propuesta, el límite de la TVM cuando el intervalo considerado tiende a cero. Se formula de manera rigurosa la definición de derivada de una función en un punto dado. Nuevamente el profesor/a puede utilizar como función la ecuación del movimiento rectilíneo unifor-memente acelerado; de esta forma, el alumno/a comprenderá mejor que el intervalo que tiende a cero si la variable es el tiempo es un instante e identificará velocidad instantánea con la tasa de variación ins-tantánea o derivada de la función desplazamiento del movimiento referido. Seguidamente, en la interpretación geométrica, el profesor/a hará observar al alumno/a que, si el inter-valo en el que se considera la variación de una función se reduce a un punto, la tasa de variación ins-tantánea correspondiente coincide con la pendiente de la recta tangente en dicho punto. A continuación, se utiliza este resultado para obtener la ecuación punto-pendiente de la recta tangente a la función en un punto. Se introduce el concepto de derivadas laterales de una función en un punto y se observa la relación que existe entre la derivabilidad de la función en dicho punto a partir de la relación existente entre límites laterales y límite de una función en un punto. Como ejemplo, se estudia la derivabilidad de la función valor absoluto en el cero. Es conveniente abordar los conceptos de continuidad y derivabilidad de una forma intuitiva, observan-do primero gráficamente los casos más frecuentes de continuidad y no derivabilidad, para proponer en segundo lugar la condición analítica. El profesor/a, además, puede sugerir al alumno/a que recuerde funciones no continuas en algunos pun-tos y comprobar que en ellos no puede dibujar una recta tangente a la gráfica, por lo que la continuidad resulta una condición absolutamente necesaria para la derivabilidad.

Función derivada (págs. 236 a 241) Se introduce el concepto de función derivada de una forma natural a partir de la derivada de la función en un punto. El profesor/a puede partir de una función muy sencilla (por ejemplo, f(x) = x2) para que el



alumno/a calcule su derivada en diversos puntos. Seguidamente, sugerirá una forma de evitar el cálculo reiterativo de límites: efectuar el cálculo en un punto genérico. A continuación, se define la función derivada segunda de una función de forma análoga a cómo se de-fine función derivada y se comenta que, reiterando el proceso, se pueden definir todas las derivadas de orden superior. Seguidamente, se deducen las fórmulas de las derivadas de funciones elementales (constante, potencial, logarítmica y seno) con el método que se ha explicado y que es conveniente que el alumno/a practique. Se obtienen de igual forma las reglas para derivar la función suma, producto, cociente y compuesta, y se aplican las fórmulas obtenidas para derivar funciones concretas. Se estudia la derivación de funciones inversas obteniendo la derivada de la inversa de una función a partir de la definición de función inversa recordada en la preparación de la unidad y la regla de la cade-na. Como ejemplo, se aplica esta fórmula para obtener la derivada de la función arcoseno. También se explica el método de derivación logarítmica presentando en una tabla el procedimiento pa-ra obtener la derivada de una función exponencial-potencial y un ejemplo donde se practica el método descrito. En el margen, se observa que, para poder aplicar el método explicado, la función exponencial-potencial considerada ha de ser estrictamente positiva, es decir, de base estrictamente positiva. Se utiliza la derivación logarítmica en un ejemplo concreto para obtener la derivada de una función da-da en forma implícita y que no se puede expresar explícitamente.

Diferencial de una función (pág. 242 y 243) Se introduce la notación de incrementos para la derivada de una función en un punto y, con ayuda de una interpretación gráfica de la situación, se obtiene una aproximación de la variación de la función a partir de la derivada de la función en un punto y el incremento de la variable considerado desde dicho punto.Finalmente, se demuestra cómo esta aproximación puede utilizarse para calcular valores aproximados de la función. Se recogen, en forma de tabla, las principales derivadas de funciones simples y funciones compuestas que el alumno/a debe conocer: se adjunta para que pueda recurrir a ella en caso de duda sin tener que buscar en el interior de la unidad, donde también aparecen estas fórmulas pero mezcladas con otros contenidos.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 244 a 246), se pretende que el alumno/a profundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:a) Obtener la fórmula de una derivada utilizando el método de inducción. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función dada implícitamente. c) Comprobar la regla de derivación del producto de dos funciones a partir del método de derivación

logarítmica. d) Calcular la ecuación de la recta tangente y la de la recta normal a la gráfica de una función, así co-

mo los puntos en los que la recta tangente es paralela a una recta dada.



e) Estudiar la continuidad y derivabilidad de una función y comprobar los resultados obtenidos a par-tir de la gráfica de la función.



Actividades de evaluación Hallar la tasa de variación media de una función polinómica y racional entre dos puntos dados y

calcular la pendiente de la recta secante que pasa por ellos. Definir la derivada de una función en un punto y dar su interpretación geométrica. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Calcular velocidades medias e instantáneas de movimientos rectilíneos uniformemente acelerados y

justificar que son ejemplos de tasas de variación media e instantáneas respectivamente. Deducir la derivabilidad de una función definida a trozos, o de valor absoluto, y caracterizar los

puntos de no derivabilidad encontrados. Obtener la función derivada de alguna función elemental a partir de la definición de función deri-

vada. Hallar la fórmula de la derivada enésima de una función concreta. Calcular, dadas dos funciones, la función derivada de su suma, producto, cociente y composición. Obtener la derivada de alguna función no elemental empleando conjuntamente la tabla de derivadas

elementales y de propiedades de las derivadas. Aplicar el método de derivación de la función inversa o bien logarítmica en algún caso concreto. Determinar la ecuación de la recta tangente en un punto a una curva cuya ecuación se conoce de

forma implícita. Calcular el valor aproximado de un radical utilizando la diferencial. Citar ejemplos en el campo de la física, química o biología en los que puede ser útil el estudio de la

TVM o de la derivada. Reconocer la utilidad de la función derivada en el estudio de fenómenos susceptibles de ser trata-

dos mediante funciones.



UNIDAD 12: Aplicaciones de las derivadas

Objetivos didácticos Utilizar el concepto de derivada para determinar el crecimiento y decrecimiento de una función en

un punto y en un intervalo. Reconocer la existencia de máximos y mínimos relativos. Utilizar el concepto de derivada segunda para determinar la concavidad y convexidad de una fun-

ción en un punto y en un intervalo. Reconocer la existencia de puntos de inflexión. Obtener la representación gráfica de funciones. Resolver problemas de optimización. Conocer los teoremas de Rolle y Lagrange e interpretar su significado geométrico. Conocer la regla de L´Hôpital y aplicarla para resolver indeterminaciones. Valorar la aplicación de las derivadas en el estudio de funciones y en la resolución de problemas de

otros campos: aritmética, geometría, física…

Contenidos Conceptos Relación entre crecimiento (decrecimiento) de una función en un punto y el signo de la derivada. Extremos relativos. Relación entre la curvatura (convexidad) de una función en un punto y el signo de la derivada se-

gunda. Puntos de inflexión. Teorema de Rolle y del valor medio de Lagrange. Regla de L’Hôpital.

Procedimientos Uso de la derivada primera de una función para estudiar la monotonía de una función en un punto o

en un intervalo. Determinación de los extremos relativos de una función. Utilización de la derivada segunda de una función para estudiar la curvatura de una función, en un

punto o en un intervalo. Determinación de los puntos de inflexión de una función. Organización mediante tablas de los datos obtenidos en el análisis de una función. Representación gráfica de una función a partir de los aspectos esenciales de su análisis. Planteo y resolución de problemas de optimización. Utilización de la calculadora gráfica para la representación gráfica de funciones. Aplicación del teorema de Rolle para comprobar si la derivada de una función tiene un 0 en un in-

tervalo dado y obtención de dicho 0.



Aplicación del teorema de Lagrange para hallar el punto o los puntos en que la recta tangente a la función tiene una pendiente determinada.

Utilización de la regla de L´Hôpital para resolver indeterminaciones.

Valores, actitudes y normas Sistematización y orden en la presentación de datos para la representación gráfica de una función. Interés por contrastar las soluciones obtenidas con los datos iniciales. Aprecio del valor que tiene el estudio de funciones y la optimización de funciones para resolver

problemas de índole real.


En la Preparación de la unidad (pág. 251), se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: la interpretación geométrica de la derivada, el teorema de Bolzano y el teorema de Weiertrass. Además, se proponen unas actividades para recordar la resolución de inecuaciones y las fórmulas de derivación.

En la unidad se distinguen cinco apartados: Derivada y monotonía de una función, Derivada y curvatu-ra de una función, Representación gráfica de funciones, Optimización de funciones y Teoremas sobre funciones derivables.

Derivada y monotonía de una función (págs. 252 a 255) Se inicia la unidad recordando la definición de derivada de una función en un punto y obteniendo a partir de ésta las condiciones que ha de cumplir la función para que sea estrictamente creciente o decre-ciente en un punto. A continuación, se aplica el resultado obtenido en un ejemplo. Seguidamente, se justifica la condición necesaria de existencia de extremo relativo. En este punto, se observa a partir de un ejemplo concreto que esta condición es necesaria pero no suficiente. A continuación, se considera que la derivada segunda en el punto extremo tenga signo positivo y se analiza este caso para concluir que el extremo relativo es un máximo. Posteriormente, se indica que, razonando de forma análoga al considerar que la derivada segunda tiene signo negativo en el extremo relativo, se obtiene que es un mínimo. Seguidamente, se aplican los resul-tados obtenidos en un ejemplo. El estudio de extremos relativos se completa mostrando en el margen los diferentes comportamientos de las pendientes de las rectas tangentes en un entorno del un extremo relativo, dependiendo del tipo del extremo relativo que consideremos. A continuación, se establece el criterio para encontrar intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. A modo de ejemplo, se muestra cómo calcular estos intervalos de monotonía de una función mediante el procedimiento de cálculo de intervalos de igual signo de la función derivada primera. Este procedimiento es muy limitado, ya que sólo se sabe resolver inecuaciones en el caso en que la función derivada primera sea polinómica de grado menor o igual que dos. Así, se muestra otro procedimiento



más general para obtener estos intervalos sin tener que recurrir a la resolución de inecuaciones. Se muestra un caso concreto en el ejemplo que sigue. En el margen, se explica cómo utilizar la calculadora gráfica para obtener la gráfica de una función y se muestra la de una de las funciones propuestas con el fin de poder comprobar los resultados obteni-dos anteriormente. Para acabar, se comenta que este procedimiento permitirá también determinar los puntos extremos de la función en el caso de que la función sea continua.

Derivada y curvatura de una función (págs. 256 a 259) Se inicia el análisis de la curvatura de una función definiendo los conceptos de convexidad y concavi-dad en un punto a partir de las posiciones relativas entre la gráfica de la función y la recta tangente a ésta en dicho punto. Acto seguido, se razonan intuitivamente las condiciones que ha de cumplir la derivada segunda de la función en un punto para que éste sea de convexidad o concavidad. A continuación, se aplica el resul-tado obtenido en un ejemplo. Seguidamente, se presenta el concepto de punto de inflexión de una función y se justifica la condición necesaria de existencia de éste. A partir de un ejemplo concreto se observa que aunque esta condición es necesaria no es suficiente. Luego se da una condición suficiente de punto de inflexión. A continuación, se generaliza la determinación de puntos extremos relativos o de inflexión cuando se anulan derivadas sucesivas. En el margen, se resume a modo de esquema cómo proceder para saber si un punto es un extremo relativo o de inflexión. En los ejemplos que siguen, se aplica este procedimiento: en el primero, se hallan los puntos de infle-xión de una función y, en el segundo, se concluye que la función dada no puede tener puntos de infle-xión. A continuación, se establecerá el criterio para encontrar intervalos de convexidad y concavidad de una función. A modo de ejemplo, se muestra cómo calcular estos intervalos de monotonía de una función mediante el procedimiento de cálculo de intervalos de igual signo de la función derivada segunda. Co-mo ocurría con los intervalos de monotonía, este procedimiento es muy limitado, ya que sólo se sabe resolver inecuaciones en el caso en que la función derivada segunda sea polinómica de grado menor o igual que dos. Así, se muestra también otro procedimiento más general para obtener estos intervalos y se ejemplifica en un caso concreto. Para finalizar, se observa que este procedimiento permitirá también determinar los puntos de inflexión de la función si es continua.

Representación gráfica de funciones (págs. 260 a 263) Para hacer la representación gráfica de una función, se analizan los siguientes aspectos: dominio, pun-tos de corte con los ejes, signo, simetría y periodicidad, asíntotas y ramas infinitas, intervalos de mono-tonía y extremos relativos, intervalos de curvatura y puntos de inflexión. Una vez recogida toda la información, se explica el procedimiento para diseñar el gráfico de una fun-ción. A continuación, se muestran dos ejemplos en los que se lleva a la práctica el proceso descrito, evitando cálculos excesivos.



El profesor/a puede sugerir técnicas para facilitar la representación gráfica de algunas funciones, como por ejemplo las formas posibles de las funciones polinómicas de grado n, o la traslación de funciones racionales.

Optimización de funciones (págs. 264 y 265) Se empieza este apartado comentando la utilidad del cálculo de extremos relativos, no sólo en proble-mas de tipo matemático sino también en ámbitos más generales cuyas situaciones se representan me-diante funciones. A continuación, se enumeran los pasos que se deben seguir para la resolución de un problema de opti-mización. En los tres ejemplos que siguen se resuelven problemas del ámbito aritmético, geométrico y físico, res-pectivamente.

Teoremas sobre funciones derivables (págs. 266 a 268) Se enuncia el teorema de Rolle y se da su demostración. A continuación, se interpreta geométricamen-te. Posteriormente se aplica en un ejemplo concreto. Se enuncia el teorema del valor medio de Lagrange y se demuestra a partir del teorema de Rolle. En este punto, se puede comentar, si se cree oportuno, que el teorema de Rolle y el del valor medio de La-grange son equivalentes, ya que este último se obtiene a partir del de Rolle y éste es un caso particular del otro. A continuación, se interpreta geométricamente y se aplica en un ejemplo. Se enuncia la regla de L´Hôpital y se resalta su utilidad para el cálculo de límites cuando aparecen las indeterminaciones 0/0 e infinito partido por infinito, ya que se explica cómo reducir los otros tipos a estos dos. En los ejemplos que siguen, se aplica esta regla en cuatro tipos de indeterminación: 0/0, infinito partido por infinito, 0 por infinito e infinito elevado a 0; el resto de tipos se verán en la resolución de ejercicios y problemas.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 269 a 272), se pretende que el alumno/a profundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas: a) Determinar una función polinómica de la que se conoce algún extremo relativo y punto de infle-

xión. b) Comprobar que una ecuación polinómica presenta una única raíz en un intervalo dado. c) Determinar la gráfica aproximada de una función a partir del gráfico de su función derivada. d) Aplicar la regla de L´Hôpital para la resolución de indeterminaciones. e) Utilizar el teorema del valor medio para obtener la función cuya derivada es idénticamente nula. f) Representar gráficamente una función irracional.





Actividades de evaluación Determinar el crecimiento o decrecimiento de una función en un punto y hallar los intervalos de

crecimiento y decrecimiento de la función. Averiguar la concavidad o convexidad de una función en un punto y hallar los intervalos de conca-

vidad y convexidad de la función. Obtener los extremos relativos y puntos de inflexión de una función. Demostrar que una función polinómica de segundo grado presenta su máximo o mínimo absoluto

dependiendo del signo de su coeficiente de segundo grado en el vértice. Efectuar el estudio global y la representación gráfica de una función polinómica o racional. Dibujar la gráfica de una función de la cual conocemos la representación gráfica de su derivada. Resolver un problema de optimización en una situación de la vida real. Comprobar si una función polinómica determinada cumple las hipótesis del teorema de Rolle en un

intervalo cerrado y hallar al menos un punto en el que la recta tangente a la gráfica sea paralela al eje de abscisas. Interpretar geométricamente el resultado.

Demostrar que una función que tiene tres extremos relativos no puede tener más de dos ceros a par-tir del teorema de Rolle, y generalizar el resultado.

Averiguar si una función polinómica, f, de grado dos, verifica las hipótesis del teorema de La-grange en un intervalo cerrado [a, b] y hallar el punto en que la recta tangente a su gráfica es para-lela a la secante que pasa por [a, f(a)] y [b, f(b)]. Interpretar geométricamente el resultado.

Indicar cuándo es posible aplicar la regla de L´Hôpital y resolver algunos tipos de indeterminacio-nes a partir de ella.

Explicar en qué consiste la optimización de funciones y citar ejemplos en que ésta pueda aplicarse.



UNIDAD 13: Integrales indefinidas

Objetivos didácticos Entender la integración como operación inversa de la derivación. Conocer los conceptos de primitiva y de integral indefinida de una función, y la relación que existe

entre ambos. Reconocer integrales indefinidas inmediatas. Conocer las principales propiedades de las integrales indefinidas y usarlas para calcular algunas in-

tegrales indefinidas sencillas mediante el método de descomposición. Calcular integrales indefinidas mediante diferentes métodos (integración por descomposición, inte-

gración por cambio de variable, integración por partes y métodos de integración para funciones ra-cionales).

Determinar la primitiva de una función que cumpla una condición dada. Habituarse a analizar los diferentes métodos de integración antes de resolver una integral y selec-

cionar el más adecuado en cada caso.

Contenidos Conceptos Primitiva de una función. Integral indefinida de una función. Propiedades de la integral indefinida. Integral indefinida inmediata. Integral indefinida casi inmediata.

Procedimientos Obtención de integrales indefinidas inmediatas. Determinación de integrales indefinidas inmediatas. Aplicación de las propiedades de la integral indefinida para calcular integrales de funciones senci-

llas por el método de descomposición. Cálculo de integrales indefinidas por cambio de variable. Cálculo de integrales indefinidas aplicando el método de integración por partes. Cálculo de integrales indefinidas de funciones racionales con raíces reales (simples o múltiples) y

complejas simples. Cálculo de integrales indefinidas de algunas funciones trigonométricas e irracionales mediante

cambios de variable adecuados. Determinación de la primitiva de una función que cumple una condición dada.

Valores, actitudes y normasHábito de analizar los diferentes métodos de integración antes de abordar la resolución de una integral, con el fin de seleccionar el más adecuado.




En la Preparación de la unidad (pág. 277), se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: el teorema del valor medio y de una de sus consecuencias y conocimientos diversos relativos a polinomios (igualdad de polinomios, raíz de un polinomio, división de polinomios, descomposición factorial de un polinomio, mínimo común múltiplo de dos o más polinomios y polinomio irreducible o primo).

En la unidad se distinguen dos apartados: Primitivas e integrales indefinidas y Métodos básicos de in-tegración.

Primitivas e integrales indefinidas (págs. 278 a 281) Se inicia la unidad planteando el problema inverso al de la obtención de la derivada de una función, se ilustra mediante un ejemplo y se da la definición de primitiva de una función dada. A continuación, se observa que pueden existir diferentes primitivas de una misma función, concluyén-dose además que todas las funciones que difieran sólo en una constante de una primitiva cualquiera se-rán también primitivas de la función inicial. Seguidamente, se completa el resultado anterior demostrando a partir del teorema del valor medio que una función definida en un intervalo cerrado no puede tener otras primitivas que las que se obtienen su-mando una constante a cualquiera de sus primitivas previamente fijada. Caracterizado así el conjunto formado por todas las primitivas de una función dada, se define el con-cepto de integral indefinida y se explican algunas cuestiones de notación. A continuación, se enuncian y demuestran las propiedades más importantes de las integrales indefini-das y se muestran algunos ejemplos de aplicación. En el subapartado Integrales indefinidas inmediatas, se empieza mostrando una tabla de integrales in-mediatas. El alumno/a debe darse cuenta de que cada una de esas integrales indefinidas son las funcio-nes que aparecen en la tabla de las derivadas inmediatas que ya conoce, dispuestas en el margen, lo que le facilitará su memorización. Se recomienda practicar el cálculo de integrales indefinidas inmediatas observando las integrales indefinidas propuestas en los ejemplos. A continuación se explica cómo calcular integrales cuyo integrando es de la forma f (g (x)). g’(x) , siendo f(x) el integrando de una integral indefinida inmediata, procedimiento que se ilustra mediante ejemplos. Se adjunta también una tabla de integrales inmediatas generalizadas, obtenida a partir de la tabla de in-tegrales indefinidas inmediatas cambiando f (x) por f (g (x)). g’(x). Se recomienda, no obstante, que el alumno/a no la memorice; es preferible entender el procedimiento que se ha utilizado para construirla.

Métodos básicos de integración (págs. 282 a 289) Se presenta la integración por descomposición tras observar que es una simple aplicación reiterada de las propiedades de las integrales indefinidas. Se muestran tres ejemplos típicos de aplicación de este método.



Se explica la integración por cambio de variable demostrando cómo proceder para aplicar este método y se ilustra con ejemplos para que el alumno/a visualice en dos casos particulares el procedimiento ex-plicado.Se recomienda que el alumno/a haga los ejercicios propuestos a continuación, aunque se le advierte que necesitará realizar unos cuantos problemas similares más del apartado de Actividades, para domi-nar la elección del cambio de variable adecuado. Se propone la integración por partes tras justificar la fórmula correspondiente. Se especifican los pasos a seguir para aplicar el método correctamente y se presentan varios ejemplos. Se explican los métodos de integración de funciones racionales. Inicialmente se introduce el método general de integración para funciones racionales basado en la descomposición en suma de fracciones simples. La explicación se reduce al caso en que el grado del polinomio numerador es menor que el grado del polinomio denominador, ya que, como se observa en el margen, el caso contrario puede re-ducirse fácilmente a éste. Debido a la multitud de casos distintos que pueden presentarse y a la complejidad de algunos de ellos, nada más se tratan inicialmente algunos casos: el polinomio denominador tiene sólo raíces reales sim-ples, el polinomio denominador tiene sólo una raíz real múltiple, el polinomio denominador tiene sólo dos raíces complejas conjugadas, es decir, es un polinomio irreducible de grado 2. En cada uno de es-tos casos, se da el procedimiento que se debe seguir y se aplica en un caso concreto a modo de ejem-plo. En la última página del tema se recogen, en forma de tabla, las principales integrales indefinidas inme-diatas e inmediatas generalizadas que el alumno/a debe conocer. Se adjunta para que pueda recurrir a ella en caso de duda sin tener que buscar en el interior de la unidad, donde también aparecen estas fór-mulas pero mezcladas con otros contenidos.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 290 a 294), se pretende que el alumno/a profundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas: a) Determinar la primitiva de una función que cumple una condición dada. b) Conocida la gráfica de una función, estudiar la monotonía y los extremos relativos de una cualquie-

ra de sus primitivas. c) Calcular integrales indefinidas trigonométricas cuyo integrando es del tipo sen ax · cos bx, sen ax ·

sen bx, o bien, cos ax · cos bx, usando fórmulas trigonométricas. d) Calcular integrales indefinidas trigonométricas cuyo integrando es del tipo senm x · cosn x usando

cambios de variable adecuados, según los valores de m y n. e) Calcular integrales indefinidas racionales de funciones trigonométricas mediante el cambio de va-

riable tg(x/2) = t. f) Calcular integrales indefinidas aplicando el método de integración por partes reiteradamente en el

caso en que, después de cierto número de pasos, se vuelve a obtener la integral indefinida inicial. g) Calcular integrales indefinidas irracionales aplicando un cambio de variable. h) Calcular integrales indefinidas racionales cuyo denominador tiene raíces reales simples y múltiples

simultáneamente.



i) Calcular integrales indefinidas racionales cuyo denominador tiene raíces reales y complejas simul-táneamente.


Finalmente, en las Actividades (págs. 295 a 297) se presenta una lista de conceptos y procedimientos que el alumno/a debe tener claros si ha comprendido los contenidos básicos de la unidad, se plantean varias cuestiones de tipo teórico que el alumno/a debe responder para profundizar en los contenidos teóricos de la unidad y se proponen varios ejercicios y problemas para que el alumno/a repase y pro-fundice en lo aprendido. Estos ejercicios y problemas van acompañados de la solución para favorecer el proceso de autoevaluación.

Actividades de evaluación Definir primitiva e integral indefinida de una función y explicar la relación que existe entre ambos

conceptos. Enunciar las dos propiedades principales de las integrales indefinidas y saber aplicarlas en ejemplos

concretos. Calcular una serie de integrales indefinidas inmediatas y casi inmediatas. Resolver integrales indefinidas por el método de descomposición, aun en casos en los que el inte-

grando no esté claramente expresado como combinación lineal de funciones fácilmente integrables. Calcular integrales indefinidas por cambio de variable, con indicación del cambio de variable que

se ha de utilizar si éste presenta especial dificultad. Hallar integrales indefinidas mediante el método de integración por partes, aun en el caso de que

deba aplicarse este método reiteradamente. Resolver integrales indefinidas de funciones racionales cuando el polinomio denominador tiene

raíces reales simples, raíces reales múltiples y/o raíces complejas simples. Calcular integrales trigonométricas e irracionales de los tipos expuestos en los problemas resueltos

C, D, E y F. Saber reconocer el método más adecuado para resolver una integral indefinida similar a alguno de

los modelos tratados en la unidad. Obtener la primitiva de una función que cumple una condición dada. Valorar la necesidad de analizar cuál es el método de integración más adecuado para resolver una

integral indefinida.



UNIDAD 14: Integral definida y aplicaciones

Objetivos didácticos Comprender el concepto de integral definida entre a y b de una función continua en el intervalo [a,

b]. Conocer las principales propiedades de las integrales definidas. Enunciar el teorema del valor medio del cálculo integral e interpretarlo geométricamente. Enunciar el teorema fundamental del cálculo y aplicarlo a la derivación de funciones cuya expre-

sión analítica viene dada por una integral definida. Calcular integrales definidas a partir de la regla de Barrow. Determinar áreas de diferentes figuras planas aplicando el cálculo integral. Calcular el volumen de un sólido de revolución a partir del cálculo integral. Conocer algunas aplicaciones del cálculo integral a la física. Valorar la utilidad de las integrales definidas para abordar gran variedad de problemas de aplica-

ción a otras áreas.

Contenidos Conceptos Integral definida entre a y b de una función continua en [a, b]. Propiedades de las integrales definidas. Teorema del valor medio del cálculo integral. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow.

Procedimientos Aproximación del cálculo del área de la figura plana que limita una función monótona y positiva

en el intervalo [a,b], el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b, a partir del cálculo de sumas infe-riores y superiores.

Cálculo de integrales definidas a partir de la regla de Barrow. Cálculo del área limitada por la gráfica de una función continua, el eje de abscisas y rectas vertica-

les. Cálculo del área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y rectas verticales. Cálculo del volumen de un sólido de revolución. Derivación de funciones cuya expresión analítica viene dada por una integral definida. Cálculo de la variación del espacio recorrido y de la variación de velocidad experimentada entre

dos instantes por un móvil que se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea. Cálculo del trabajo realizado por una fuerza que actúa en la dirección del movimiento al desplazar

un cuerpo de un punto a otro.



Valores, actitudes y normasValoración de la utilidad de las integrales definidas en la resolución de diferentes problemas de aplica-ción a la geometría, a la física ...


En la Preparación de la unidad (pág. 299), se evocan los conocimientos previos necesarios para abor-darla: las simetrías y traslaciones de gráficas, el área de algunas figuras planas (se disponen en una ta-bla la fórmula del área junto con el dibujo del paralelogramo, el triángulo y el círculo), y el volumen de algunos sólidos (se disponen en una tabla la fórmula del volumen junto con el dibujo del cilindro el cono y la esfera).

En la unidad se distinguen cuatro apartados: Área bajo una curva, Integral definida, Teoremas de inte-gración y Aplicaciones.

Área bajo una curva (págs. 300 y 301) Se inicia la unidad planteando el problema consistente en calcular el área de la región plana limitada por la gráfica de una función, el eje de abscisas y dos rectas verticales. Para obtener una aproximación de esta área se explica el método de la sucesión de sumas inferiores, que aproxima el área buscada por defecto, y el método de la sucesión de sumas superiores, que aproxi-ma el área buscada por exceso. Se observa que el límite de ambas sucesiones es el área buscada y se da una aproximación con dos de-cimales correctos.

Integral definida (págs. 302 y 303) En este apartado se generaliza el proceso introducido en el apartado anterior y se obtiene la definición rigurosa de integral definida entre a y b de una función continua en [a, b]. En este punto, se ha optado por dividir el intervalo [a, b] en subintervalos equiespaciados para dar claridad a la exposición. En el margen se comenta la definición de función integrable sobre un intervalo y, en el caso de que una función lo sea, el concepto de su integral definida en dicho intervalo. Así se observa que el concepto de integral definida no es exclusivo de las funciones continuas sino de las integrables. A continuación, se enumeran las principales propiedades de la integral definida en un intervalo, justifi-cando gráficamente y de forma intuitiva algunas de ellas. Conviene destacar que estas propiedades las cumplen las funciones integrables en general, es decir, que no tienen que ser necesariamente continuas en el intervalo.

Teoremas de integración (págs. 304 a 307) Se presenta el teorema del valor medio del cálculo integral y se demuestra a partir del teorema de Weierstrass y del teorema de los valores intermedios.



Seguidamente, se da una interpretación geométrica para una función positiva en un intervalo determi-nado. Se enuncia el teorema fundamental del cálculo y se demuestra a partir del teorema anterior. Este teore-ma nos será útil para calcular la derivada de una función cuya expresión analítica venga dada por una integral definida. Se obtiene como consecuencia del teorema fundamenta del cálculo la regla de Barrow. Este teorema permite calcular de manera efectiva integrales definidas sin necesidad de calcular sumas inferiores y sumas superiores. A continuación, se presenta en una tabla el procedimiento que se debe seguir, acom-pañado de un ejemplo. Se proponen, también, ejemplos complementarios ilustrando cómo proceder en el caso de una función definida a trozos (se puede observar que las funciones definidas a trozos por funciones continuas son funciones integrables) y cómo aplicar la regla de Barrow para calcular la integral definida de una fun-ción cuya integral indefinida se obtiene mediante cambio de variable (se hace notar que puede aplicarse la regla de Barrow después de deshacer el cambio o aplicar el cambio de variable a los extremos de in-tegración).

Aplicaciones (págs. 308 a 313) Se explica como aplicar la integrales al cálculo de áreas de figuras planas. Comenzando por el área li-mitada por la gráfica de una función continua, el eje de abscisas y dos rectas verticalmente (se explica el procedimiento en tres ejemplos concretos) y continuando por un ejemplo con el que se muestra có-mo proceder si se pide calcular el área limitada por la gráfica de una función y el eje de abscisas. También se explica cómo calcular el área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y rectas verticales y horizontales. Se obtiene trabajando con áreas, una fórmula para el caso en que las dos fun-ciones consideradas sean positivas y se comprueba que esta fórmula es válida también en general. A continuación, se aplica esta fórmula en un caso concreto a modo de ejemplo. Luego se consideran dos ejemplos con los que se muestra cómo proceder si se pide calcular el área limitada por dos gráficas. Se presenta el método para calcular el volumen de un sólido de revolución obteniendo una fórmula pa-ra calcular el volumen de un sólido de revolución generado por una función continua en un intervalo cerrado al girar en torno al eje de abscisas. Para ello, se sigue un proceso similar al descrito en la defi-nición de la integral definida. Seguidamente, se presenta un ejemplo ilustrativo. Se muestran finalmente algunas aplicaciones al cálculo de la física. Se destacan dos: variación del es-pacio recorrido y variación de la velocidad experimentada entre dos instantes por un móvil que sigue una trayectoria rectilínea. En ambos casos, se presenta la fórmula que se debe aplicar y un ejemplo ilustrativo. Entre las aplicaciones a la dinámica, se cita el caso del trabajo realizado por una fuerza que actúa en la dirección del movimiento desplazando un cuerpo de un punto a otro. Como en los casos anteriores, se ilustra la fórmula presentada mediante un ejemplo.

En la Resolución de ejercicios y problemas (págs. 314 a 316), se pretende que el alumno/a profundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas: a) Determinar la constante c del teorema del valor medio del cálculo integral en casos sencillos.



b) Derivar una función cuya expresión analítica viene dada por una integral definida. c) Calcular el área de la región plana determinada por un sistema de inecuaciones con dos variables. d) Dadas dos funciones, tal que la expresión analítica de una de ellas viene dada en función de un pa-

rámetro, hallar el valor de ese parámetro para que el área que encierran tenga un valor prefijado. e) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de una curva, la recta tangente a esta curva en un

punto dado y el eje de abscisas. f) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar en torno al eje de ordenadas el arco de

gráfica de una función continua entre dos abscisas determinadas.


Finalmente, en las Actividades (págs. 317 a 319) se presenta una lista de conceptos y procedimientos que el alumno/a debe tener claros si ha comprendido los contenidos básicos de la unidad, se plantean varias cuestiones de tipo teórico que el alumno/a debe responder para profundizar en los contenidos teóricos de la unidad y se proponen varios ejercicios y problemas para que el alumno/a repase y pro-fundice en lo aprendido. Estos ejercicios y problemas van acompañados de la solución para favorecer el proceso de autoevaluación.

Actividades de evaluación Explicar el concepto de integral definida de una función continua en un intervalo [a, b] mediante

un ejemplo concreto. Enunciar las principales propiedades de las integrales definidas y dar ejemplos de funciones que las

verifiquen en cada caso. Enunciar el teorema del valor medio del cálculo integral, encontrar el valor c en un ejemplo con-

creto y dar su interpretación geométrica. Enunciar el teorema fundamental del cálculo y aplicarlo para derivar una función cuya expresión

analítica venga dada por una integral definida. Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para hallar integrales definidas. Calcular el área limitada por la gráfica de una función continua, el eje de abscisas y dos rectas ver-

ticales. Hallar el área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y rectas verticales. Calcular el área de otras figuras planas sencillas (como las que muestran los ejercicios resueltos). Resolver problemas de determinación de parámetros en cálculos de áreas. Determinar el volumen de un sólido de revolución obtenido girando en torno al eje de abscisas una

función continua en un intervalo. Determinar el volumen de un sólido de revolución obtenido girando en torno al eje de ordenadas

una función continua en un intervalo. Explicar las principales aplicaciones de la integral definida a la física, dando ejemplos ilustrativos,

y valorar su utilidad. Efectuar algún cálculo de espacio recorrido o de trabajo como aplicación del cálculo integral a la

física.


matematicas 2. edebe

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