1

7 ottobre 2002 - Università della Calabria

"Matematica on-line": un'esperienza di didattica in rete

E. Allevi, C. Birolini, S. Moreni

1. Introduzione L'opportunità di sviluppare strumenti per la didattica on-line risulta raccomandabile, anzitutto per la possibilità di proporre agli studenti un supporto innovativo alla didattica, e di raggiungere gli studenti in tempi differiti, superando i limiti temporali che hanno finora caratterizzato la massima parte degli interventi di didattica. Gli strumenti di didattica on-line consentono oggi, per la prima volta, di trasmettere contenuti in modo dinamico e non staticamente come nel libro tradizionale. Il grande valore dei corsi on-line è quello di rivolgersi agli studenti e fornire con maggiore incisività ed efficacia i saperi proposti, in quanto l'allievo è coinvolto profondamente: osserva, esegue, ripete. Lo studente è quindi attivo e non passivo, perciò più ricettivo. Nel corso on-line realizzato e fruibile dal sito dell'Università degli Studi di Bergamo vengono presentati argomenti oggetto di studio nei corsi di Matematica del primo anno della Facoltà di Economia. Obiettivo del corso è aiutare lo studente ad impadronirsi con maggiore sicurezza e consapevolezza dei vari strumenti matematici utilizzati nelle discipline economiche. Per ogni argomento sono presenti richiami teorici, esercizi con soluzione e test di autovalutazione anch'essi corredati di soluzione. Lo svolgimento degli esercizi è caratterizzato da osservazioni, commenti, richiami alla teoria facilmente realizzabili tramite collegamenti ipertestuali e da animazioni grafiche. In tal modo la pagina non si presenta "statica" come in un libro, ma permette allo studente di costruirsi un percorso di apprendimento personalizzato, secondo i propri ritmi e i propri tempi. Il tutto realizzato con una grafica semplice e chiara, che non distolga l'attenzione dai contenuti. Il modulo "abc della matematica" presenta attività relative al corso propedeutico di Metodi Matematici per l'Economia e la Finanza. Tale modulo pertanto consente di rafforzare le competenze degli studenti dei corsi di Matematica del primo anno, ma altresì consente di rafforzare la struttura della preparazione degli studenti delle ultime classi degli istituti di istruzione secondaria che intendono orientarsi ai corsi di laurea triennali contenuti nell'offerta formativa dell'Ateneo di Bergamo. A tale scopo, per gli argomenti propedeutici al corso di matematica, è proposto inoltre un test a tempo a più livelli di difficoltà, che consenta una autovalutazione anche agli studenti della scuola media superiore.

2

2. La didattica Il corso on-line "Elementi di Analisi Matematica" si presenta come un ipertesto ossia un testo non sequenziale; il sito è strutturato secondo la seguente mappa concettuale:

Home page

Elementi diAnalisi Matematica

Richiami teorici,esercizi e testrelativi a equazionie disequazioni efunzioni elementari Richiami teorici,

esercizi e testrelativi allo studiodi una funzione

Richiami teorici,esercizi e testrelativi al calcolointegrale

Possibilità diinviare e-mailagli autori

Elenco parolechiave

abc della matematica

Funzioni a una variabile

Calcolo integrale

Glossario

Scrivici�

Presentazione Istruzioni

Figura 1 - Mappa del sito

La pagina iniziale del corso on-line è la seguente:

Figura 2 - Home page

3

da cui si può accedere alle tre sezioni didattiche: abc della matematica, Funzioni a una variabile e Calcolo integrale. Quando si accede ad una delle tre sezioni si apre una pagina organizzata in due frames: il frame di sinistra presenta i richiami teorici oggetto della sezione, gli esercizi e i test proposti, il frame di destra le modalità di accesso. La struttura delle tre sezioni è sostanzialmente la stessa, l'impostazione dei menu delle sezioni è invece differente per una migliore organicità della trattazione. Infatti il menu della sezione Funzioni a una variabile è differente da quello delle altre due sezioni data la maggior ampiezza degli argomenti esposti. 2.1 Sezione abc della matematica Il frame di sinistra in questa sezione presenta il seguente menu:

RICHIAMI TEORICI ESERCIZI TEST TEST FINALE

Figura 3 - Pagina iniziale della sezione abc della matematica

Cliccando la voce RICHIAMI TEORICI si evidenziano gli argomenti principali della sezione trattati in modo sequenziale: Insiemi, Insiemi numerici, Equazioni, Disequazioni, Sistemi. Cliccando la voce ESERCIZI si evidenziano gli argomenti principali della sezione che contengono gli esercizi relativi. Gli esercizi proposti sono

4

suddivisi anch'essi per argomento per facilitare lo studente nella ricerca di esercizi relativi ad uno specifico tema (nella Figura 4 sono indicati con un asterisco). Infine per avere una valutazione del livello di preparazione raggiunto cliccare sulla voce TEST consente di eseguire diversi test riguardanti tutti gli argomenti della sezione. Infine un TEST FINALE, come già illustrato precedentemente, presenta un test "a tempo" con diversi livelli di difficoltà. La scelta degli argomenti è stata essenziale, rivolta a quegli argomenti in cui gli studenti presentano lacune e l'ordine della presentazione di tali argomenti non è quella "classica": per esempio non esiste un paragrafo intitolato "Geometria analitica" ma retta e parabola sono comunque trattate alla voce Equazioni come interpretazione grafica della risoluzione di un'equazione rispettivamente di primo e di secondo grado, e circonferenza, ellisse e iperbole sono trattate alla voce Sistemi come interpretazione grafica della risoluzione di un sistema di secondo grado a due incognite. Si è cercato sostanzialmente di evitare l'esposizione rigida di schemi e di concetti indipendenti, ma si è preferito ricondurre ove possibile gli argomenti gli uni agli altri, attraverso regole generali, magari non dimostrate ma giustificate, anche nei RICHIAMI TEORICI, da esempi: difficilmente una affermazione, una definizione o una proprietà non sono seguite da un numero adeguato di esempi che esauriscono tutti i casi che si possono presentare. Si veda ad esempio la trattazione delle disequazioni di secondo grado ove la risoluzione (interpretata anche in questo caso graficamente con la parabola) viene ricondotta a soli tre casi che sono esposti prima in generale e poi con tre esempi applicativi.

Figura 4 - Pagina iniziale della sezione abc della matematica

5

Gli argomenti proposti nella sezione abc della matematica sono in generale oggetto dei corsi propedeutici, organizzati presso le Facoltà di Economia, ai corsi istituzionali dell'area matematica. Ad esempio presso l'Università degli Studi di Bergamo, tali tematiche sono oggetto del Corso Propedeutico all'insegnamento Metodi Matematici per l'Economia e la Finanza, insegnamento previsto nel primo anno di ogni corso di laurea triennale attivato presso la Facoltà di Economia. La frequenza a tali corsi propedeutici è suggerita dalla stessa Università in conseguenza dei risultati dei test di autovalutazione predisposti dalla stessa. Infatti selezionando la voce Orientamento nella home page del sito dell'Università di Bergamo (www.unibg.it), si comunica allo studente che la Facoltà di Economia ha individuato alcune nozioni che ritiene debbano essere note all'ingresso dei suoi corsi di laurea e al fine di facilitare il percorso dello studente nei vari corsi di laurea, la Facoltà ha ritenuto opportuno attivare corsi propedeutici prima dell'inizio effettivo dell'anno accademico (aree di matematica, informatica e inglese). Si invita quindi lo studente, prima di decidere di iscriversi al corso propedeutico, a sostenere una prova di autovalutazione: se tale prova risulta positiva, si suggerisce la frequenza del corso propedeutico a propria discrezione (per un ripasso), se la prova risulta negativa, si invita fortemente lo studente a seguire il corso (la partecipazione al corso propedeutico può essere effettuata solo se si è iscritti all'Università di Bergamo). I contenuti del test di autovalutazione sono gli stessi del Corso Propedeutico. Le modalità di esecuzione sono le seguenti: il test è anonimo; la tipologia delle domande è a scelta multipla; il numero delle domande è 50 (5 moduli da 10 domande); la valutazione delle singole domande non è dipendente dalla difficoltà; ogni domanda ha una e una sola risposta corretta, ogni risposta esatta vale 1 punto, ogni risposta non data vale 0 punti, ogni risposta errata vale -0.5 punto di penalizzazione; si dispone di un tempo massimo di 20÷30 minuti per terminare ogni modulo del test; terminato un modulo si ha una valutazione parziale ed è possibile comunque passare al modulo successivo; il test è superato se per ogni modulo la valutazione è non inferiore a 7 punti; al termine dei moduli è dato un consiglio sull'opportunità di frequentare il Corso Propedeutico. 2.2 Sezione Funzioni a una variabile Il tema trattato in questa sezione è la parte più significativa dell'ipertesto anche per la consistenza delle tematiche presentate; pertanto si è preferito presentare il menu della prima pagina con i titoli dei argomenti trattati (Figura 5): ciascuna voce del menu è poi organizzata, come nella sezione precedente, in RICHIAMI TEORICI, ESERCIZI e TEST (Figura 6).

6

Figura 5 - Pagina iniziale della sezione Funzioni a una variabile

Figura 6 - Pagina iniziale della sezione Funzioni a una variabile, con il dettaglio, per esempio, degli esercizi relativi all'argomento Funzioni

Anche qui, aprendo tutte le sezioni degli ESERCIZI è possibile vedere immediatamente quali sono i punti principali che vengono trattati nei RICHIAMI TEORICI.

7

2.3 Sezione Calcolo integrale Questa sezione è, volutamente, la più esigua: si sono esposti solo alcuni concetti fondamentali e gli esercizi riguardano solo alcuni semplici problemi. La struttura è quella della prima sezione: data la brevità della trattazione si è illustrata nella Figura 7 il menu della prima pagina della sezione con tutte le voci aperte:

Figura 7 - Pagina iniziale della sezione Calcolo integrale con il dettaglio degli esercizi di tutti gli argomenti trattati

2.4 Colori e animazioni Uno dei pregi maggiori del corso on-line è la completezza degli argomenti trattati: si è privilegiato questo aspetto piuttosto che l'approfondimento in quanto questo strumento è indirizzato a studenti del primo anno di un corso di studi universitari ad indirizzo tecnico. In realtà abbiamo constatato, con nostro piacere, che hanno fruito del corso anche diversi studenti di classe quinta di liceo scientifico e studenti di facoltà scientifiche. Nell'ideazione del sito si è curata anche la scelta dei colori, che risultano non stancare o disturbare la lettura né distolgono l'attenzione da quello che deve essere l'oggetto della lettura. Anzi, nei RICHIAMI TEORICI, i colori invitano ad osservare con più attenzione alcuni passaggi e/o parole, in ESERCIZI e TEST i colori suddividono i passaggi dello svolgimento degli esercizi in categorie ben precise (Figura 8). Sono stati attuati alcuni accorgimenti grafici al fine di agevolare l'apprendimento: a) i richiami alla teoria e le osservazioni sono proposte in blu elettrico e sono segnalati

da animazioni: i richiami teorici da un libro posto a destra dello schermo, le osservazioni da una lampadina posta a sinistra

8

b) i passaggi chiave da eseguire per risolvere l'esercizio, scritti in rosso, sono indicati da una grafica animata o fissa che riproduce una o due "manine" anch'esse colorate in rosso;

c) il colore dello sfondo caratterizza le diverse sezioni: l'abc della matematica rosa salmone; Funzioni a una variabile verde; Calcolo integrale azzurro.

Figura 8 - Esempio di esercizio svolto in Funzioni a una variabile, calcolo differenziale: cliccando sul

bottone rotondo soluzione appare la pagina dello svolgimento (mostrata in Figura 9)

Figura 9 - Esempio di soluzione di un esercizio (primo esercizio della pagina di Figura 8). Si notino in queste due Figure i 'link' alla Teoria, cioè la possibilità di "saltare" ai RICHIAMI TEORICI cliccando

sulle parole sottolineate.

9

In tutto l'ipertesto, dove si è ritenuto più efficace per l'apprendimento, si sono create delle animazioni, cioè delle immagini animate che consentono al lettore di vedere, passo dopo passo, come si giunge alla soluzione. Vi sono animazioni nella sezione abc della matematica, sia nei richiami teorici (Figura 10) che negli esercizi proposti (Figura 11), nella sezione Funzioni a una variabile, sia nei richiami teorici (Figura 12) che negli esercizi proposti (Figura 13), nei richiami teorici della sezione Calcolo integrale (Figura 14 e Figura 15).

Figura 10 - Esempio di animazione nei richiami teorici di abc della matematica: la "manina" in

movimento indica gli intervalli delle soluzioni di una disequazione di secondo grado

Figura 11 - Esempio di animazione negli esercizi di abc della matematica: le frecce lampeggianti indicano gli intervalli delle soluzioni di un sistema di disequazioni

10

Figura 12 - Esempio di animazione negli richiami teorici di Funzioni a una variabile: l'animazione

suggerisce come visualizzare il differenziale al variare dell'incremento considerato.

Figura 13 - Esempio di animazione negli esercizi di Funzioni a una variabile: l'animazione suggerisce

come disegnare il grafico della funzione indicata in blu a partire dalla funzione esponenziale elementare (in rosso).

11

Figura 14 - Esempio di animazione nei richiami teorici di Calcolo integrale: l'animazione suggerisce il significato geometrico di una funzione integrale.

Figura 15 - Richiamo della divisione tra polinomi mediante animazione

12

E' da sottolineare in modo particolare, in Funzioni a una variabile, lo svolgimento di alcuni studi di funzione: grazie a tutta la simbologia descritta precedentemente e l'uso dei colori e dell'animazione, lo studente è guidato, in modo consapevole, alla soluzione dell'esercizio proposto (Figura 16, Figura 17 e Figura 18).

Figura 16 - Schema per lo studio di funzione nei richiami teorici della sezione Funzione a una variabile: lo studio si sviluppa per punti principali indicati da un timone blu ed eventualmente da punti secondari

indicati ancora da un timone, ma più piccolo, blu.

13

Figura 17 - Esempio di studio di funzione negli esercizi proposti della sezione Funzione a una variabile: lo studio si sviluppa per punti principali indicati da un timone rosso ed eventualmente da punti secondari

indicati ancora da un timone, ma più piccolo, rosso.

Figura 18 - Esempio di studio di funzione negli esercizi proposti della sezione Funzione a una variabile: il grafico animato è costruito gradualmente indicando prima il dominio della funzione, poi il segno e gli

asintoti e, infine, la monotonia e la concavità.

14

Il corso on-line di matematica dà inoltre modo allo studente non solo di capire e studiare la matematica ma permette anche di verificare il livello di preparazione raggiunto, affrontando, alla fine dei vari argomenti dei test parziali (Figura 19 e Figura 20) oppure alla fine delle sezioni, i test riassuntivi sia "a tempo" che "a livello"(Figura 21).

Figura 19 - Esempio di test in Funzioni a una variabile : cliccando sul tasto SOLUZIONE, per esempio

del primo esercizio, appare la pagina rappresentata in Figura 20.

Figura 20 - Svolgimento del primo test proposto nella Figura 19. Si notino i simboli colorati (e lampeggianti): la lampadina, la freccia e le manine.

15

Figura 21 - Pagina iniziale di un test finale a livelli nella sezione abc della matematica.

L'ultima sezione è il Glossario: questa sezione permette di ricercare rapidamente nella teoria un determinato argomento o termine matematico in ordine alfabetico.

Figura 22 - Pagina iniziale del Glossario

Scegliendo nel menu la simbologia, una lettera o un gruppo di lettere appaiono tutti i termini disponibili, cioè tutti i possibili link ai RICHIAMI TEORICI: per esempio in Figura 22, sono elencati, in giallo, tutti i link che risultano disponibili se si scelgono le lettere tra la A e la C.

16

Il lavoro è stato completato nell'arco di due anni da: Prof.ssa Elisabetta Allevi, Dott. Claudio Birolini e Dott.ssa Stefania Moreni. Grazie all'esperienza maturata sia nella Scuola Media Superiore che in ambito universitario, gli autori hanno individuato le principali difficoltà di apprendimento della matematica nel raccordo Scuola Superiore-Università. L'attenzione didattica nella realizzazione di questo corso on-line si è rivolta quindi principalmente al superamento di tali difficoltà.

17

3. Caratteristiche tecniche del sito Le scelte di tipo tecnico effettuate per la realizzazione del sito sono improntate essenzialmente alla realizzazione di un prodotto di semplice utilizzo, con bassi requisiti minimi (hardware e software) e il più possibile "portabile" (quindi fruibile dal maggior numero di potenziali utenti). Si è cercato di rendere compatibile il sito con i browser Netscape ed Internet Explorer, considerato che sono i più diffusi in Italia: nel caso in cui le specifiche dei due browser risultino incompatibili abbiamo riservato la preferenza ad Internet Explorer. Il sito è quindi ottimizzato per la lettura tramite Microsoft Internet Explorer 4.0 (o versioni successive) con la risoluzione video impostata a 800x600. Per lo stesso motivo si è fatto ricorso a JavaScript e si sono utilizzate immagini di tipo GIF possibilmente di piccole dimensioni: in questo modo ogni pagina da scaricare e da leggere occupa poco spazio in memoria, rendendo più veloce la connessione e la lettura. Anche le animazioni presenti nel sito sono state realizzate tramite immagini di tipo GIF anziché ricorrere ad altri strumenti di animazione, più sofisticati ma anche più "onerosi" da gestire da parte di computer poco potenti. È stata data notevole importanza alla semplicità e facilità di navigazione: ogni pagina contiene pulsanti e link per la navigazione in modo tale che l'utente possa in ogni momento muoversi all'interno del sito senza dover utilizzare i tasti di navigazione del browser.

Figura 23 - Pulsanti dei link

Per quanto riguarda la struttura della pagina, è stato scelto un modello a due frames verticali per rendere più semplice ed immediata la navigazione.

18

Figura 24 - Struttura a due frames della pagina

Il frame di sinistra presenta gli strumenti per la navigazione nel sito: compaiono, in alto, i bottoni che rimandano alle sezioni principali (pagina iniziale, glossario e le altre due sezioni) e, sotto, un menu a discesa con l'indice della sezione corrente: "cliccando" su una voce compaiono le sottovoci del menu oppure si apre la pagina desiderata nel frame di destra. In tal modo è possibile visualizzare la struttura della sezione corrente per individuare più facilmente l'argomento desiderato.

Inoltre la scelta dei due frames è utile per i rimandi ai richiami teorici: dalla pagina contenente un esercizio o la soluzione di un esercizio è possibile "cliccare" su un "link" ai rimandi teorici e in tal modo nel frame di destra compare il richiamo, mentre nel frame di sinistra compare un bottone che consente di "rientrare" all'esercizio. Si evita così di perdere "il filo del discorso", riprendendo lo svolgimento dell'esercizio nel punto stesso in cui è avvenuto il richiamo alla teoria.

Figura 25 - Pagina dei richiami teorici, chiamata dalla pagina di un esercizio

19

Purtroppo a causa delle differenti specifiche tecniche dei due browser Netscape ed Internet Explorer non è stato possibile creare uno script che funzionasse in entrambi i casi: si è preferito impostare il tutto per utenti di Internet Explorer, indicando agli utenti di Netscape che anziché "cliccare" sul bottone del frame sinistro devono utilizzare due volte il pulsante "back" del browser. Il comando di richiamo dei "link" è infatti un comando JavaScript che apre contemporaneamente due pagine, una per ogni frame: per ritornare all'esercizio è necessario effettuare il "ritorno alla pagina precedente" nel frame destro e nel frame sinistro. Il menu a discesa è gestito tramite controlli scritti in JavaScript e utilizza alcuni "cookies" che memorizzano le scelte dell'utente: ad ogni azione vengono registrate le parti del menu da visualizzare e quelle da nascondere e poi viene ricaricato il frame contenente il menu. Questa scelta tecnica permette l'utilizzo da parte di vecchie versioni browser (da Netscape 2.0 e da Internet Explorer 4.0 in poi).

Figura 26 - Menu espandibile a discesa

Con la stessa tecnica del menu a discesa si è realizzato il glossario: nel menu del frame di sinistra ci sono in ordine alfabetico e suddivisi per gruppi di lettere tutti gli argomenti proposti nei richiami teorici: i richiami teorici richiamati compaiono nel frame destro.

20

Figura 27 - Glossario

Al termine di ogni argomento sono inoltre previsti dei test di autovalutazione che comprendono quattro quesiti a risposta chiusa: è possibile verificare la propria preparazione rispondendo alle domande. Ogni domanda è inoltre corredata dalla soluzione, sviluppata con lo stesso schema degli esercizi svolti.

Figura 28 - Test di autovalutazione

21

Il test è gestito tramite JavaScript: al termine del test compare con un messaggio in una finestra pop-up (utilizzando la funzione Alert di Javascript) il punteggio conseguito. È possibile riprovare il test (anche cambiando una risposta per volta) oppure richiamare le soluzioni. Il conteggio delle risposte esatte del test avviene tramite uno script che cripta le risposte: non è quindi possibile risalire alle risposte esatte leggendo il codice sorgente html. Al termine della sezione abc della matematica che contiene gli elementi propedeutici allo studio di funzione, sono riportati alcuni test finali con 20 domande su tutti gli argomenti della sezione: a seconda del punteggio conseguito appare un commento di valutazione della prova.

19 o 20 punti OTTIMO!

da 14 a 18 punti Quasi ci siamo ... RIPROVA!

da 5 punti a 13 punti Si può fare di meglio...

meno di 5 punti È opportuno ripassare bene tutto...

Figura 29 - Finestra con l'esito del Test finale di autovalutazione

Sempre nella sezione abc della matematica è inoltre presente un test finale a tempo e a livelli. Il test si compone di cinque serie di 10 domande a risposta chiusa riguardanti tutti gli argomenti della sezione. Ogni domanda ha una e una sola risposta corretta ed ogni risposta esatta vale 1 punto, mentre ogni risposta errata o non data vale 0 punti; vi sono però alcune risposte errate particolarmente gravi che valgono −0.5 punti di penalizzazione. Per terminare ogni livello del test si ha a disposizione un tempo massimo di 20÷25 minuti (a seconda del livello).

22

Figura 30 - Indicazioni e timer del test finale

Per accedere al livello successivo si deve raggiungere un livello minimo di 6 punti.

Figura 31 - L'accesso al livello successivo è negato se non

si raggiunge il punteggio minimo

Quest'ultimo test non è statico, nel senso che alcune tra le domande proposte vengono selezionate casualmente di volta in volta tra diverse disponibili sullo stesso argomento. Inoltre, dopo ogni singola risposta viene indicato il punteggio parziale e l'indicazione di risposta esatta od errata.

Figura 32 - Finestre pop-up che indicano la correttezza della risposta

23

È stato inserito anche un controllo che eviti la ripetizione immediata di un test mediante il ricaricamento della pagina: per ripetere il test è necessario ripartire da capo, dal menu della sezione abc della matematica.

Figura 33 - Finestra pop-up di controllo

Anche per la realizzazione di questo test si è fatto ricorso a JavaScript con l'indicazione delle risposte esatte tramite uno script che cripta l'elenco delle risposte esatte e l'elenco delle risposte errate che comportano una penalizzazione. Anche il controllo del tempo avviene tramite JavaScript, mentre il punteggio conseguito ad ogni livello viene registrato mediante "cookies" e riproposto in una tabella riassuntiva alla fine del test. Tutto il sito è stato pensato e costruito dando notevole importanza all'aspetto grafico: per evitare che esso risulti stravolto dalla risoluzione utilizzata dall'utente o anche dal fatto che l'utente navighi con la finestra del browser a dimensioni ridotte, è stato inserito uno script (sempre realizzato in JavaScript) che automaticamente allarga la finestra del browser a pieno schermo, "forzando" l'aspetto della navigazione a quello originario del sito. Il corso on-line "Elementi di Analisi Matematica" si trova all'indirizzo URL

www.unibg.it/ctd/matgen/index.html

24

numero di contatti alla pagina iniziale del sito

settembre 2002

agosto 2002

luglio 2002

giugno 2002

maggio 2002

aprile 2002

marzo 2002

febbraio 2002

gennaio 2002

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

3169

3181

2461

1954

2037

2844

1948

2187

3086

nell’a.a. 1999/2000 mediamente si sono avuti 400-600 contatti al mese

Contatti da tutta Italia: studenti scuole superiori ed Università