matematica nova eja prof mod01 vol02
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GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Governador
Sergio Cabral
Vice-Governador
Luiz Fernando de Souza Pezão
SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO
Secretário de Educação
Wilson Risolia
Chefe de Gabinete
Sérgio Mendes
Secretário Executivo
Amaury Perlingeiro
Subsecretaria de Gestão do Ensino
Antônio José Vieira De Paiva Neto
Superintendência pedagógica
Claudia Raybolt
Coordenadora de Educação de Jovens e adulto
Rosana M.N. Mendes
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Secretário de Estado
Gustavo Reis Ferreira
FUNDAÇÃO CECIERJ
Presidente
Carlos Eduardo Bielschowsky
PRODUÇÃO DO MATERIAL NOVA EJA (CECIERJ)
Diretoria Adjunta de ExtensãoElizabeth Ramalho Soares Bastos
Coordenadora de Formação ContinuadaCarmen Granja da Silva
Diretoria Adjunta de Material DidáticoCristine Costa Barreto
Coordenadores de MatemáticaAgnaldo Esquincalha
Filipe IorioGisela Pinto
Wallace Vallory Nunes
ElaboraçãoAna Cristina Mendes
André Luiz Cordeiro dos SantosAndré Luiz Martins Pereira
André Luiz SilvaBruna Moustapha CorrêaCleber Dias da Costa Neto
Cleber FernandesÉrika Silos de Castro
Fernando Celso Villar Marinho
Gabriela dos Santos BarbosaHeloísa Lopes
Heitor Barbosa Lima de OliveiraIvail Muniz
Jones ColomboJosemeri Araujo Silva Rocha
Leo Akio YokoyamaLilian Spiller
Luciana Felix da Costa SantosLuciane de Paiva Moura CoutinhoMarcos Paulo Ferreira de Araujo
Patrícia Nunes da SilvaRenata Cardoso P. de Abreu
Susan WoutersTelma Alves
Revisão de Língua PortuguesaPaulo Cesar Alves
Coordenação de Desenvolvimento Instrucional
Flávia BusnardoPaulo Vasques de Miranda
Desenvolvimento InstrucionalJuliana Bezerra da Silva
Coordenação de ProduçãoFábio Rapello Alencar
Projeto Gráfico e CapaAndreia Villar
Imagem da Capa e da Abertura das Unidadeshttp://www.sxc.hu/photo/475767
DiagramaçãoAlexandre d' OliveiraAlessandra Nogueira
André GuimarãesAndreia VillarBianca LimaBruno Cruz
Carlos Eduardo VazJuliana Fernandes
IlustraçãoBianca Giacomelli
Clara GomesFernando RomeiroJefferson Caçador
Sami Souza
Produção GráficaVerônica Paranhos
SumárioVolume 2
Unidade 6 • Introdução ao conceito de função 5
Unidade 7 • Áreas de figuras planas 57
Unidade 8 • Avançando com as áreas de figuras planas 115
Unidade 9 • A Função do 1° grau 145
Unidade 10 • Sistemas de Equações Lineares 187
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 5
Volume 2 • Módulo 1 • Matemática • Unidade 6
Introdução ao conceito de funçãoAndré Luiz Martins Pereira, Érika Silos de Castro, Heloísa Lopes, Leo Akio Yokoyama,
Luciana Felix da Costa Santos e Susan Wouters
IntroduçãoNa unidade 6 do material do aluno, são apresentadas várias situações que
introduzem o conceito de função. Para potencializar o material didático do aluno,
pesquisamos alguns recursos que talvez possam ajudar a você, professor, a com-
plementar a exposição deste tema em suas aulas.
Sugerimos que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma atividade
disparadora. Esta é uma atividade proposta para ser realizada em grupo, promo-
vendo uma dinâmica entre os alunos. Nesse momento, é esperado que eles de-
senvolvam algumas noções básicas relacionadas ao conceito de função: variável,
variação, reconhecimento de regularidades, generalidade e dependência.
Para dar sequência ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns
recursos complementares vinculados ao conteúdo do material didático. Tais re-
cursos apresentam-se associados a atividades descritas detalhadamente neste
material. Sugerimos a sua realização nas aulas subsequentes à aula inicial de acor-
do com a realidade da sua turma. Recomendamos que sejam feitas alterações e
adaptações quando necessárias.
Por fim, aconselhamos que a última aula desta unidade seja dividida em
dois momentos: o primeiro dedicado a uma revisão geral do estudo realizado
durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da retomada
de questões que surgiram durante o seu estudo e o segundo, um momento de
avaliação do estudante, priorizando questionamentos reflexivos em detrimento
da reprodução de exercícios feitos anteriormente.
Uma descrição destas sugestões está colocada nas tabelas a seguir, e seus
detalhamentos no texto que segue.
Ma
te
ria
l d
o P
ro
fe
ss
or
6
Apresentação da unidade do material do aluno
Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais características desta unidade:
Disciplina Volume Módulo UnidadeEstimativa de aulas para
essa unidade
Matemática 2 1 6 3 aulas de 2 tempos
Titulo da unidade Tema
Introdução ao conceito de função Função
Objetivos da unidade
Ler e interpretar dados de uma conta de água, telefone, luz ou gás;
Solucionar Equações do 2º grau a partir de diferentes métodos.
SeçõesPáginas no material do
aluno
Para início de conversa... 129 a 130
Seção 1 – Conhecendo uma conta d’água 131 a 134
Seção 2 – Noção intuitiva de Função 135 a 140
Momento de reflexão 141
Voltando à conversa inicial... 141 a 142
Veja ainda... 142
O que perguntam por aí? 145 a 146
Respostas das atividades 147 a 150
Em seguida, serão oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-
dência direta entre cada seção do Material do Aluno e o Material do Professor.
Será um conjunto de possibilidades para você, caro professor.
Vamos lá!
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 7
Recursos e ideias para o Professor
Tipos de Atividades
Para dar suporte às aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes
à Unidade acima:
Atividades em grupo ou individuais
São atividades que são feitas com recursos simples disponíveis.
Ferramentas
Atividades que precisam de ferramentas disponíveis para os alunos.
Applets
São programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phones disponíveis
para os alunos.
Avaliação
Questões ou propostas de avaliação conforme orientação.
Exercícios
Proposições de exercícios complementares
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Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Construindo triângulos com
palitos
Palitos de fós-foro, folha de atividades e lápis/caneta
Construir a noção de depen-dência numérica através da observação da relação da quantidade de palitos (p)
com a quantidade de triân-gulos construídos (t)
Discussão coletiva e
participação individual dos
alunos
40 minutos
Identificando funções
Folha de ativi-dades, lápis/
caneta
Levar os alunos a identifica-rem intuitivamente as leis de
formação das funções que representam as situações
apresentadas em forma de tabela
Turma dividida em duplas 30 minutos
Para início de conversa...Páginas no material do aluno
129 a 130
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Pesquisa e tomada de
decisão
um boleto bancário por grupo, folha
de atividades, lápis/caneta
A partir da análise de um bo-leto bancário, responder às
questões propostas em uma folha de atividades de acordo com os dados contidos nesse
boleto
Turma divida em 4 ou 5 alunos
30 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 9
Seção 1 – Conhecendo uma conta d’águaPáginas no material do aluno
131 a 134
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Desvendando o cálculo da conta de luz
Uma conta de luz por grupo, calculadora,
folha de ativi-dades, lápis/
caneta
Modelar os dados presentes em uma conta de luz utilizan-do a linguagem matemática
de função
Turma divida em duplas ou
trios20 minutos
Seção 2 – Noção intuitiva de FunçãoPáginas no material do aluno
135 a 140
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Calculando as horas extras trabalhadas
Folha de ativi-dades, cópias de contrache-ques, calcula-dora e lápis/
caneta
Levar os alunos a compreen-derem a relação entre salário
final e hora extra a receber como uma relação entre
variáveis, percebendo que o salário final depende do total
de horas extras a receber
Turma divida em duplas 30 minutos
“Como b depende
de a?”
Computadores para os alunos, folha de ativi-dades, applet disponível no pen drive do professor e
lápis/caneta
A atividade tecnológica que utiliza o recurso de movi-
mentar o ponto “a” sobre a reta numérica com o objeti-vo de descobrir a expressão algébrica que define como o número “b” depende do
número “a”
Discussão coletiva e
participação individual dos
alunos
40 minutos
10
O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno
145 a 146
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Enem 2010
Imagem disponível no “pen drive do
professor”
Identificar uma função apresentada na linguagem
corrente (situação-problema) e posteriormente a partir da leitura e interpretação grá-fica, verificar se este corres-ponde ao comportamento
da função em questão (se ela cresce ou decresce, em que
intervalos, com que velocida-de, etc...)
Turma divida em duplas 20 minutos
Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno
141 a 142
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
ConsolidandoMaterial
didático do aluno
Retoma às primeiras ques-tões da unidade como
revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação
do conceito de função
Turma organizada em duplas ou indi-
vidualmente
40 minutos
Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno
141
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Avaliação da Unidade
Folha de atividades
Sugere um instrumento avaliativo para a unidade dividido em duas etapas:
registro de aprendizagens e questões tanto objetivas
como discursivas
Participação individual dos
alunos40 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 11
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Construindo triângulos com
palitos
Palitos de fós-foro, folha de atividades e lápis/caneta
Construir a noção de depen-dência numérica através da observação da relação da quantidade de palitos (p)
com a quantidade de triân-gulos construídos (t)
Discussão coletiva e
participação individual dos
alunos
40 minutos
Aspectos operacionais
A atividade consiste na observação e registro do padrão numérico obtido ao organizar uma determinada
quantidade de palitos de fósforo sobre uma superfície plana (que pode ser sobre a carteira escolar, por exemplo) for-
mando triângulos equiláteros adjacentes. Para tal, você deve solicitar aos alunos que, em grupos, sigam as seguintes
instruções (que constam da folha de atividades):
1º Forme um triângulo com a menor quantidade possível de palitos.
2º Forme dois triângulos com os palitos de modo que tenham um lado adjacente.
3º Forme três triângulos com os palitos de modo que tenham um lado adjacente.
Em seguida de cada uma dessas instruções, peça para que o aluno observe e registre a quantidade de palitos
utilizados.
Aspectos pedagógicos
Essa atividade foi planejada para ser trabalhada com a turma dividida em pequenos grupos. De acordo com o
tamanho da turma, sugerimos que você, professor, opte pela formação de duplas ou trios. Para a aplicação dessa ativi-
dade será necessário pedir, previamente, que os alunos tragam para essa aula palitos de fósforo (uma caixa), cada um.
Depois de solicitar que os alunos se organizem em grupos, você poderá distribuir a folha de atividades, dispo-
nível neste material e também no seu pen drive, sendo uma para cada aluno. Isso porque, apesar da atividade ser tra-
balhada em grupos, seria interessante que cada aluno pudesse fazer seus registros de observação individualmente,
transformando a folha de atividades em mais um instrumento de consulta e estudo.
Você pode desafiar os alunos a pensarem em situações inversas, como por exemplo, com 9 palitos quantos
triângulos posso formar?
12
Sugerimos que você escreva a sequência de número de palitos no quadro antes de escrever a lei de formação
e faça uma explanação que leve os alunos a induzirem outras sequências com quadriláteros, por exemplo.
É importante frisar aos alunos que a construção dos triângulos deverão ser feitas sempre dois a dois, conforme
a figura a seguir, pois podem surgir construções com triângulos adjacentes em torno de um único ponto.
Depois dessa manipulação, espera-se que o aluno possa perceber que a cada triangulo adjacente formado, o
número de palitos segue um padrão, onde a cada triângulo formado o número de palitos seja acrescido de 2 unida-
des. A partir dessa constatação, os alunos provavelmente estarão prontos para uma generalização com a proposição
de uma lei de formação ou fórmula matemática que descreva tal situação. Neste momento é importante ressaltar a
relação de dependência do número de palitos a ser utilizado com a quantidade de triângulos formados.
Folha de Atividades – Construindo triângulos com palitos
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________
Nesta atividade construiremos triângulos cujos lados serão representados por palitos.
Atenção: cada construção deverá utilizar o menor número de palitos possível.
Vamos à construção? Para isso, utilize os palitos seguindo as regras a seguir e responda as questões propostas.
1. Forme um triângulo com a menor quantidade possível de palitos. Quantos palitos foram utiliza-dos?____________________________________________.
2. Forme dois triângulos com os palitos de modo que tenham um lado adjacente. Quantos palitos foram uti-lizados?__________________________________________.
3. Para formar três triângulos também com lados adjacentes, quantos palitos você usa-ria?_____________________________. E para formar quatro? ___________________________. E para for-mar cinco?_________________________. E para formar dez?__________________________. E para formar vinte?__________________________.
Agora vamos completar a tabela:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 13
Quantidade de triângulos Quantidade de palitos (p)
1 p =
2 p =
3 p =
4 p =
5 p =
10 p =
20 p =
T p =
“Lei de formação: é a regra ou fórmula matemática que define exatamente como uma função deve ser representada.”
4. A partir da tabela acima, tente escrever uma lei de formação que traduza a quantidade de palitos (p) utiliza-dos para a construção de t triângulos. __________________________________________.
Comentário sobre as questões propostas
1. Forme um triângulo com a menor quantidade possível de palitos. Quantos palitos foram utilizados? Três palitos.
2. Forme dois triângulos com os palitos de modo que tenham um lado adjacente. Quantos palitos foram uti-lizados? Cinco palitos
3. Para formar três triângulos também com lados adjacentes, dois a dois, quantos palitos você usaria? Sete triângulos. E para formar quatro? Nove triângulos. E para formar cinco? Onze palitos. E para formar dez? Vinte e um palitos. E para formar vinte? Quarenta e um palitos.
Agora vamos completar a tabela:
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Quantidade de triângulos Quantidade de palitos (p)
1 p = 2.1+ 1 = 3
2 p = 2.2 + 1 = 5
3 p = 2.3 + 1 = 7
4 p = 2.4 + 1 = 9
5 p =2.5 + 1 = 11
10 p= 2.10 + 1 = 21
20 p = 2.20 + 1 = 41
T p = 2.t+ 1
4. A partir da tabela acima, escreva uma lei de formação que traduza a quantidade de palitos (p) utilizados para a construção de t triângulos. Chamando de “t”o número de triângulos a ser construído, teremos p = 2t + 1.
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Identificando funções
Folha de ativi-dades, lápis/
caneta
Levar os alunos a identifica-rem intuitivamente as leis de
formação das funções que representam as situações
apresentadas em forma de tabela
Turma dividida em duplas 30 minutos
Aspectos operacionais
Essa atividade tem como objetivo levar os alunos a identificar uma lei de formação da função que representa
cada situação apresentada em forma de tabela.
Cada tabela proposta deverá ser preenchida por números sugeridos pelos alunos na primeira linha (x) enquan-
to que a segunda linha (y) será preenchida por você, professor, com números que correspondam às imagens dos
números da primeira linha, utilizando uma função qualquer escolhida por você previamente, sem decifrá-la para os
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 15
alunos. Após a observação dos números dispostos nesta tabela, o aluno deverá identificar a lei de formação da função
utilizada pelo professor para completar a segunda linha da tabela, podendo expressar inicialmente em linguagem
corrente e depois tentando escrevê-la em linguagem matemática (quando possível).
A folha de atividades estende esses exemplos, apresentando outras situações em que os alunos devem preen-
cher tabelas a partir das leis de formação observadas.
Aspectos pedagógicos
A atividade foi planejada de modo que a turma fosse dividida em duplas. Após a divisão da turma, resolva
alguns exemplos, desenhando no quadro pelo menos uma tabela conforme a figura a seguir:
Número dito pelos alunos (x)
Número calculado pelo professor (y)
Professor, antes de preencher a tabela, escolha uma função e guarde-a em segredo até que os alunos a descu-
bram. Por exemplo, y = x+1.
Peça que cada dupla, uma de cada vez, diga um número, o qual será usado na 1ª linha e no cálculo para com-
pletar a 2ª linha da tabela. Sugerimos que cada dupla diga pelo menos um número. Para tanto, acrescente o número
de colunas que achar necessário para que todos participem da atividade. Em caso de turmas muito grandes, você
poderá dar outros exemplos.
Supondo, por exemplo, que as duplas digam os números: 2, 5, 8, 10, 6 e 20, você, professor, já com uma função
em mente (y= x+1) completa a segunda linha da tabela:
Número dito pelos alunos (x) 2 5 8 10 6 20
Número calculado pelo professor (y) 3 6 9 11 7 21
Após o preenchimento da tabela, estimule os alunos a descobrirem e expressarem oralmente qual foi o cál-
culo feito por você para chegar àqueles resultados a partir de cada número dito por eles. Oriente-os e instigue-os a
encontrarem a função (fórmula matemática) representada na tabela, expressando, agora, em linguagem matemática.
Tente identificar quais foram os erros mais comuns e exercite mais questões que os ajudem a superar as dificul-
dades encontradas. Espera-se que ao final desta discussão, os alunos consigam identificar relações de dependência
entre duas variáveis e expressar matematicamente a lei de formação que determina esta relação.
A partir daí, você pode convidá-los a resolverem as questões propostas na folha de atividades.
16
Folha de Atividades – Identificando funções
Nome da escola:______________________________________________________________________
Nome:______________________________________________________________________________
1. Nas tabelas a seguir, o professor pedirá que cada grupo diga números que serão usados para preencher a primeira linha (x) e preencherá a segunda linha (y), a partir de padrões de cálculos determinados por ele. O desafio é: descubra qual foi o cálculo feito pelo professor para chegar àqueles resultados a partir de cada número dito por alunos. Escreva a função (fórmula matemática) abaixo de cada tabela.
Número dito pelos alunos (x)
Número calculado pelo professor (y)
Lei de formação: y =_________.
Número dito pelos alunos (x)
Número calculado pelo professor (y)
Lei de formação: ____________.
Número dito pelos alunos (x)
Número calculado pelo professor (y)
Lei de formação: ____________.
2. Cada tabela apresenta um padrão de relação de dependência entre os números x e y. Identifique, em cada tabela, a lei de formação que determina esta relação e preencha corretamente as lacunas.
x 15 30 50 100 13 27
y 10 25 95 22
x 2 5 3 7 0 4
y 7 10 22 1
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 17
Comentário sobre as questões propostas
1. Supondo que a turma tenha trinta alunos e que os números ditos pelas quinze duplas sejam: 2, 5, 3, 7, 0, 4, 15, 27, 13, 30, 16, 12, 22, 50, 100, temos:
� Utilizando, por exemplo, os seis primeiros números ditos pelos alunos: 2, 5, 3, 7, 0, 4 e supondo que você,
professor, tenha preenchido a tabela conforme a seguir, então 2 y x= .
Número dito pelos alunos(x) 2 5 3 7 0 4
Número calculado pelo professor(y) 4 25 9 49 0 16
� Utilizando, por exemplo, os números 15, 30, 13, 27, 16 e 12 ditos pelos alunos e supondo que você, profes-
sor, tenha preenchido a tabela conforme a seguir, então 2y x= − .
Número dito pelos alunos(x) 15 30 13 27 16 12
Número calculado pelo professor(y) 13 28 11 25 14 10
� Utilizando, por exemplo, os seis últimos números ditos pelos alunos: 30, 16, 12, 22, 50, 100 e supondo que
você, professor, tenha preenchido a tabela conforme a seguir, então 2 1y x= + .
Número dito pelos alunos(x) 30 16 12 22 50 100
Número calculado pelo professor(y) 61 33 25 45 101 201
2. Na primeira tabela, y = x-5 e na segunda, y= 3x+1. Daí:
x 15 30 50 100 13 27
y 10 25 55 95 8 22
x 2 5 3 7 0 4
y 7 16 10 22 1 13
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Para início de conversa...Páginas no material do aluno
129 a 130
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Pesquisa e tomada de
decisão
um boleto bancário por grupo, folha
de atividades, lápis/caneta
A partir da análise de um bo-leto bancário, responder às
questões propostas em uma folha de atividades de acordo com os dados contidos nesse
boleto
Turma divida em 4 ou 5 alunos
30 minutos
Aspectos operacionais
Cada grupo de 4 ou 5 alunos deve levar um boleto bancário para a sala de aula e responder às questões pro-
postas na folha de atividades, disponível neste material e no seu pen drive, a partir dos dados obtidos nesse boleto.
Depois disso, os grupos trocarão os boletos com outra equipe e deverão repetir a atividade com os novos dados.
Aspectos pedagógicos
Na aula anterior a esta, solicite que os alunos levem para a aula um boleto bancário qualquer. Antes de iniciar
a atividade, você pode resolver o exemplo a seguir para facilitar o entendimento da atividade proposta.
Exemplo: Observe o boleto bancário anterior que deverá ser pago em 10 de setembro de 2012 a uma empresa
de venda de material de construção.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 19
Sugestão de questões:
Considere V(x) o valor total a ser pago pelo boleto, em função de x, que é o número de dias de atraso no pa-
gamento.
a. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado até a data de vencimento?
b. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado com 2 dias de atraso? E com 5 dias atrasados? E 10 dias após o vencimento?
c. Qual é a expressão que define V(x), se o pagamento for efetuado com x dias após o vencimento?
d. Tente explicar, com suas palavras, a relação de dependência entre o valor a ser pago e o número de dias em atraso.
Neste momento é importante que os alunos observem a relação de dependência do valor a ser pago com o
número de dias em atraso. Espera-se que os alunos respondam que o valor a ser pago depende do número de dias
em atraso, ou que quanto maior o número de dias atrasados, maior será o valor a ser pago.Aqui, se desejar, você pode
introduzir os conceitos de variáveis dependentes e independentes de uma função, identificando x como a variável
independente e V(x) como a variável dependente. Estes conceitos serão retomados na seção “Noção intuitiva da Fun-
ção” do material do aluno.
Após a explicação, sugerimos que você divida a turma em grupos de 4 ou 5 alunos e distribua uma folha de
atividades para cada aluno. Se no grupo tiver mais de um boleto, deixe-os escolher o boleto que será analisado pelo
grupo e peça que resolvam as questões propostas na folha de atividades, intervindo apenas quando necessário. De-
termine um tempo para esta primeira etapa, avisando-os quando este estiver se esgotando. Essa parte da atividade
deve tomar cerca de 15 minutos.
Quando todos os grupos tiverem concluído a atividade ou o tempo dado se esgotado, solicite que os grupos,
dois a dois, troquem os boletos entre si e respondam novamente as questões da folha de atividades para o novo bo-
leto. Essa troca de boletos pode ser feita com o grupo mais próximo, por exemplo. Para esta parte, sugerimos cerca
de 5 minutos.
Ao final da atividade, você pode pedir que alguns grupos exponham oralmente as suas respostas e comente-as
a partir dos resultados obtidos na folha de atividades, ouvindo os argumentos que os alunos utilizaram para obter as
respostas encontradas.
Folha de Atividades - Pesquisa e tomada de decisão
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________
Observando o boleto que o seu grupo irá analisar e considerando V(x) o valor total a ser pago pelo boleto após
o dia de vencimento, em que x é o número de dias de atraso no pagamento, responda as seguintes questões:
20
1. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado até a data de vencimento?
2. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado com 3 dias de atraso? E com 7 dias atrasados? E 30 dias após o vencimento?
3. Qual é a expressão que define V(x), se o pagamento for efetuado com x dias após o vencimento?
Comentário sobre as questões propostas
Considere, por exemplo, o boleto a seguir:
1. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado até a data de vencimento? R$ 236,00
2. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado com 3 dias de atraso? E com 7 dias atrasados? E 30 dias após o vencimento?
� 3 dias de atraso: ( )3 236,00 1 5, 50 0,50 . 3 251, 50 1 ,50 253,00V = + + = + =
� 7 dias de atraso: ( )7 236,00 1 5, 50 0,50 .7 251, 50 3,50 255,00V = + + = + =
� 30 dias de atraso: ( )30 236,00 1 5, 50 0,50 . 30 251, 50 15,00 266, 50V = + + = + =
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 21
2. Qual é a expressão que define V(x), se o pagamento for efetuado com x dias após o vencimento?
( ) 236,00 15,50 0,50V x x= + + então: ( ) 251,50 0,50V x x= +
Seção 1 – Conhecendo uma conta d’águaPáginas no material do aluno
131 a 134
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Desvendando o cálculo da conta de luz
Uma conta de luz por grupo, calculadora,
folha de ativi-dades, lápis/
caneta
Modelar os dados presentes em uma conta de luz utilizan-do a linguagem matemática
de função
Turma divida em duplas ou
trios20 minutos
Aspectos operacionais
Cada grupo deve levar uma conta de luz para a sala de aula e responder as questões propostas na folha de
atividades, disponível no seu material e no seu pen drive, a partir dos dados obtidos nessa conta.
Aspectos pedagógicos
Na aula anterior a esta, solicite que os alunos levem para a aula uma conta de luz antiga ou atual. Antes de
iniciar a atividade, você pode resolver o exemplo a seguir para facilitar o entendimento da atividade proposta.
Exemplo:
Segue a seguir um exemplo do cálculo da conta de energia elétrica com incidência de tributos e a imagem de
um passo a passo de como desvendar o cálculo do valor da conta.
� Unidade consumidora: Residencial
� Consumo mensal: 330 kWh
� Valor do PIS/COFINS aplicado: 5,35% (alíquota efetiva, com variação mensal, conforme apuração)
� Alíquota do ICMS: 29%
22
� Valor do kWh: 0,34304
� COSIP: R$ 11,03
Referência: http://www.light.com.br/web/institucional/atendimento/informacoes/tarifas/tetarifas_calculo.asp
Sugestões de questões:
a. Baseado nos dados do exemplo, se um cliente tiver um consumo mensal de 280 kWh, qual será o valor total da sua conta de luz?
Primeiro passo: 0,34304/(1-(0,0535 + 0,29))=
0,34304/(1-(0,3435)=0,34304/0,6565=0,52253
Segundo passo: (0,52253x280) + 11,03= 146,308 +11,03=R$157,33
b. Se um cliente quiser pagar no máximo R$ 100,00 de conta de luz, qual deverá ser o seu consumo máximo?
Considere Y o consumo que queremos determinar. Então,
(0,52253 . Y) + 11,03 = 100
(0,52253 . Y) = 100 - 11,03
Y = 88,97/0,52253 = 170KWh
Neste momento é importante que os alunos compreendam como ler e interpretar dados da conta de luz e
observem os cálculos e as relações matemáticas envolvidas.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 23
Após a explicação, sugerimos que você divida a turma em duplas ou trios e distribua uma folha de atividades
para cada aluno. Primeiramente deixe-os analisar as contas de luz levadas pelos membros das suas equipes (dupla
ou trio) e peça para que eles respondam as questões da folha de atividades, intervindo apenas quando necessário.
Ao final da atividade, promova um debate sobre a atividade baseado nos resultados obtidos na folha de ati-
vidades, questionando, por exemplo, qual grupo teve a conta com maior consumo e qual a média de consumo (em
KWh) por pessoa em cada conta de luz , ouvindo os argumentos dos alunos.
Saiba Mais
Mesmo se o consumidor não usa a energia elétrica por um determinado período, quando viaja de férias, por
exemplo, a distribuidora cobra o valor mínimo na fatura. Isso ocorre porque a empresa tem que manter seu sistema
elétrico e sua estrutura de atendimento em perfeito funcionamento para que o consumidor possa utilizar a energia
no momento em que desejar. Ou seja, mesmo que o interruptor não seja acionado, deve ser mantida em estado de
prontidão toda a rede elétrica para atendimento à unidade consumidora. É o chamado custo de disponibilidade, pre-
sente nas tarifas aplicáveis ao faturamento de unidades consumidoras atendidas em baixa tensão de fornecimento.
Para que esse valor não seja cobrado, o consumidor tem a opção de solicitar à concessionária o desligamento
da sua unidade consumidora da rede de distribuição. Entretanto, quando decidir restabelecer o consumo de energia,
terá que pagar uma taxa para a execução do religamento da rede.
Acreditamos que após a realização desta atividade, os alunos estejam aptos a desenvolverem as atividades da
seção “Conhecendo uma conta d’água” do material do aluno.
Folha de Atividades – Desvendando a conta de luz
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________
Analisando as contas de luz trazidas pelo seu grupo, responda as seguintes questões:
1. Qual foi o consumo mensal (em KWh) de cada conta?
_____________________________________________________________________________________
2. Qual foi o valor pago em cada conta?
_____________________________________________________________________________________
3. Qual é o valor cobrado por KWh?
_____________________________________________________________________________________
4. Tente escrever qual é a função utilizada para calcular o valor da sua conta.
______________________________________________________________________________________
24
Comentário sobre as questões propostas
Considerando o exemplo que foi apresentado, espera-se que as respostas sejam apresentadas nos seguintes moldes:
1. o consumo mensal de 330KWh.
2. o valor pago foi de R$183,45.
3. o valor do KWh é R$ 0,34304.
4. Chamando de Y o consumo mensal e V(Y) o valor pago temos que:
Primeiro passo: ( )( ) ( )
0,34304 0,34304 0,34304 0,52253(1 0,3435 0,65651 0,0535 0, 29
= = =−− +
Segundo passo: ( ) ( )0,52253 . 1 1,03V Y Y= +
Seção 2 – Noção intuitiva de FunçãoPáginas no material do aluno
135 a 140
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Calculando as horas extras trabalhadas
Folha de ativi-dades, cópias de contrache-ques, calcula-dora e lápis/
caneta
Levar os alunos a compreen-derem a relação entre salário
final e hora extra a receber como uma relação entre
variáveis, percebendo que o salário final depende do total
de horas extras a receber
Turma dividida em duplas ou
trios30 minutos
Aspectos operacionais
Esta atividade apresenta mais uma situação cotidiana e propõe uma discussão em grupo a respeito de concei-
tos de função envolvidos no cálculo legal de horas extras. Esta discussão se dará a partir da leitura de um texto base
contido na folha de atividades, disponível neste material e no seu pen drive.
Na folha de atividades há uma tabela com as colunas salário normal (assim considerado, aquele que é apresen-
ta um salário fixo, independente de ter ou não feito horas extras), salário hora (aquele recebido por hora trabalhada),
valor da hora extra (que irá variar de acordo com o salário hora), número de horas extras trabalhadas (quantidade de
horas extras realizadas no mês em questão), total de horas extras a receber e salário final que é a soma de horas extras
a receber com o salário normal. Os alunos serão levados a entenderem o cálculo do valor das horas extras trabalhadas
e o salário final em determinado mês.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 25
Aspectos pedagógicos
A sugestão inicial é que esta atividade seja trabalhada em trios, porém isso vai depender do tamanho da tur-
ma, sugerindo-se que seja realizada em pequenos grupos. Após a divisão da turma distribua a folha de atividades,
disponível neste material e também no seu pen drive, sendo uma para cada aluno, pois apesar de ser uma atividade
em grupo é importante que cada um aluno possa fazer seus registros e observações.
Depois da distribuição da folha de atividades, se houver necessidade, leia o texto base com os alunos, e co-
mente sobre a questão de forma a levar os alunos a participarem da discussão sobre horas extras. No texto base é
apresentada a justificativa legal para pagamento de horas extras. É importante que nesse momento, você, professor,
abra um espaço para discussão sobre o tema, com o intuito de estimular os alunos a realizarem a atividade que traz
como proposta o cálculo de horas extras que um determinado indivíduo tem a receber e o seu salário final.
Como forma de interagir com os alunos e estimulá-los a participarem da discussão, você pode questioná-los se
eles já fizeram hora extra em seu trabalho e indagá-los indague-os se eles sabem conferir se o pagamento recebido
por hora extra feita está correto. Acreditamos que esse tipo de discussão irá aumentar o interesse da turma na ativida-
de, uma vez que o tema é referente a algo do dia a dia então eles se sentirão mais motivados.
Após esse momento de discussão, convide-os a colocarem em prática o que foi explicado na folha de ativi-
dades. Ajude-os no início dos cálculos para que sintam segurança e em seguida convide-os a fazerem o cálculo no
contracheque que trouxeram. Se preferir, permita o uso da calculadora.
Após a explicação do texto base e explanação de como é feito o cálculo, convide-os a fazerem alguns cálculos
com os valores dados na tabela, como uma prática para em seguida calcularem seus próprios salários. Ressalte que
essa divisão por 220, pressupõe um trabalhador com 44 horas semanais de serviço e para pessoas que trabalham
menos horas a divisão seria por outro valor.
Ao final da atividade, solicite aos alunos que façam o cálculo com o salário que recebem, e verifiquem se houve
alguma diferença. Auxilie-os na conferência dos cálculos.
Folha de Atividades - Calculando as horas extras trabalhadas
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________
Texto base
Você sabe calcular quanto você receberá de horas extras?
A Constituição Federal prevê, no inciso XVI do artigo 7º, que o trabalho extraordinário (ou hora extra) será re-
munerado com acréscimo mínimo de 50% (cinquenta por cento) à hora normal.
Para calcular o valor de sua hora extra é necessário, primeiramente, saber o valor de sua hora trabalhada, o que
chamaremos de salário hora (SH). Para saber quanto é o seu “salário hora(SH)” você deve pegar o seu salário e dividir
por 220 que são o total de horas trabalhadas por mês.
26
Agora pegue o seu salário-hora e acrescente 50%, que é o percentual legal da hora extra, o resultado desta
conta será o valor de uma hora extra (HE).
Por fim, multiplique o valor de uma hora extra pelo número de horas que você trabalhou a mais. Assim, saberá
o total em dinheiro que deverá receber no final do mês, além do salário normal.
Exemplo:
O salário normal (fixo) de César é R$ 880,00 e fez 30 horas extras neste mês.
Vamos aos cálculos:
1.º - Achar o valor do salário hora o qual chamaremos de SH
Para isso você deve pegar o seu salário normal, aquele que é fixo, sem acréscimo nenhum ao qual chamaremos
de SN e dividi-lo por 220.
Assim temos:
SH = SN / 220. Como SN de César é R$ 880,00 então temos 880/ 220 = 4,00. O salário hora de César é 4,00, ou
seja ,SH = 4,00.
2.º - Achar o valor de uma hora extra, chamaremos de (HE).
Pelo texto vimos que HE = SH + 50% . SH (valor do “salário hora” mais 50%).
Assim temos HE = 4,00 + 50%(4,00) = 4,00 + 0,50. (4,00)=4,00 + 2,00 = 6,00. Então, o valor de uma hora extra
de César será R$6,00, ou seja HE = 6,00.
3.º Calcular o valor a receber por todas as horas extras trabalhadas no mês
Agora vamos calcular quanto ele receberá neste mês por todas as horas extras trabalhadas, para isso basta
pegarmos o valor de uma hora extra multiplicando pelas horas trabalhadas a mais, ou seja:
6,00 X 30 (horas extras) = 180,00.
Sendo assim ao final deste mês César receberá 180 reais a mais pelas horas extras trabalhadas.
Para sabermos o salário final que César teria direito a receber, basta somarmos o salário normal ao total de
horas extras recebidos no mês. Neste caso teríamos:
880,00 + 180,00 = 1060,00
Logo César receberá neste mês R$ 1060,00.
Praticando
Com as informações dadas no texto e baseados no exemplo anterior, vamos construir uma tabela da relação
salário X horas extras
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 27
Salário Normal(SN)
Salário hora(SH)
Valor da hora extra(HE)
Nº de horas extras
trabalhadas
Total de horas extras a receber
Salário final(salário normal + horas extras)
R$ 2200,00 9
R$ 980,00 16
R$ 4400,00 11
R$1000,00 32
Agora vamos aos cálculos em seu contracheque!!!
Comentário sobre as questões propostas
Salário Normal(SN)
Salário hora(SH)
Valor da hora extra(HE)
Nº de horas extras
trabalhadas
Total de horas extras a receber
Salário final(salário normal + horas extras)
R$ 2200,00 10,00 10,00 + 5,00 = 15,00 9 135,00 2335,00
R$ 980,00 4,45 4,45 + 2,23 = 6,68 16 106,88 1086,88
R$ 4400,00 20,00 20,00 + 10,00 = 30,00 11 330,00 4730,00
R$1000,00 4,55 4,55 + 2,28 = 6,83 32 213,76 1273,76
Os valores preenchidos na tabela são meros referenciais que podem ser substituídos, se necessário
Seção 2 – Noção intuitiva de FunçãoPáginas no material do aluno
135 a 140
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
“Como b depende
de a?”
Computadores para os alunos, folha de ativi-dades, applet disponível no pen drive do professor e
lápis/caneta
A atividade tecnológica que utiliza o recurso de movi-
mentar o ponto “a” sobre a reta numérica com o objeti-vo de descobrir a expressão algébrica que define como o número “b” depende do
número “a”
Discussão coletiva e
participação individual dos
alunos
40 minutos
28
Aspectos operacionais
Essa atividade foi adaptada de uma proposta elaborada pelo projeto “Conteúdos Digitais Para o Ensino e
Aprendizagem de Matemática e Estatística” do Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense (UFF),
disponível em http://www.uff.br/cdme/. Ela inicialmente foi planejada para aplicação em laboratório de informática,
onde cada aluno poderia interagir diretamente com o aplicativo proposto, mas caso a sua escola não disponha de
um laboratório de informática, a mesma atividade poderá ser aplicada em sala de aula com um computador ligado
a um projetor multimídia ou a uma TV. Nesse caso, os alunos poderão interagir com o aplicativo de maneira indireta
e coletiva.
Após a interação com este aplicativo virtual, os alunos serão levados a responderem questões, em uma folha
de atividades, relacionadas à atividade e realizarem alguns registros das suas aprendizagens.
Aspectos pedagógicos
Professor, a atividade pode ser acessada on-line, através do link http://www.uff.br/cdme/c1d/ (endereço alter-
nativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br/c1d/). Se você preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da escola
instale a atividade para acesso off-line, isto é, sem a necessidade de conexão com a internet, o que pode ser feito a
partir do próprio site ou utilizando o pacote de arquivos disponível, e também, no seu pen drive.
O aplicativo pode ser executado em qualquer sistema operacional, porém, para executá-lo, é preciso que o
computador tenha a linguagem JAVA instalada. A instalação da linguagem JAVA pode ser feita seguindo as orienta-
ções disponíveis no seguinte link http://www.java.com/pt_BR/.
Atenção: se você optar pelo uso da atividade off-line através de uma cópia local em seu computador ou no
servidor do laboratório, é importante que os arquivos não estejam em um diretório cujo nome contenha acentos ou
espaços. Também é importante lembrar que algumas distribuições Linux vêm com o interpretador JAVA GCJ Web
Plugin que não é compatível com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que você solicite ao responsável
pelo laboratório da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponível no link http://www.java.com/pt_BR/.
Antes de conduzir seus alunos até o laboratório de informática, certifique-se de que o aplicativo foi devida-
mente instalado e testado, para que não seja necessário realizar tais procedimentos durante a aula. Lembre-se de que
durante o tempo de espera para a devida instalação e teste do aplicativo, seus alunos estarão ociosos, o que pode
fazer com que eles dispersem a atenção, prejudicando a aplicação da atividade.
Uma vez que tudo esteja preparado, leve os alunos até o laboratório de informática da sua escola e apresente o
aplicativo aos alunos clicando, primeiro, no link “Como Jogar” e, depois, resolvendo um dos desafios como exemplo. É
preciso chamar a atenção para o quadro explicativo no fim da página, que orienta quanto às diferenças na escrita das
operações matemáticas em linguagem de programação. A saber:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 29
Figura extraída do site http://www.cdme.im-uff.mat.br/c1d/
Sugerimos que você apresente o aplicativo aos alunos, resolvendo um dos desafios como exemplo e, a partir
daí, deixe-os explorar livremente, alunos tentem resolver os demais, intervindo apenas quando necessário.
Durante a exploração do aplicativo (o que deve levar, aproximadamente, entre 15 e 20 minutos), sugerimos
que você leve os alunos a refletir a respeito da noção de dependência trabalhada no aplicativo. Este é um bom mo-
mento para se definir variáveis dependentes e independentes. Para que essa reflexão seja feita de uma forma um pou-
co mais orientada e objetiva, você poderá distribuir a folha de atividades, disponível para reprodução neste material e
no seu pen drive, e pedir que os alunos respondam as questões propostas e faça os registros solicitados. O registro, ao
final da atividade, é muito importante para que o aluno possa organizar mentalmente os conceitos trabalhados (no
caso, a relação de dependência entre números) e adquirir a habilidade de redigir corretamente um texto matemático
que possa ser compreendido por outras pessoas.
Folha de Atividades – “Como b depende de a?”
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________
1. Preencha a tabela a seguir na medida em que for realizando os desafios propostos pelo aplicativo.
Desafio Valor da função em a = 0 Resposta do desafio
1 b = f(a) =
2 b = f(a) =
3 b = f(a) =
4 b = f(a) =
5 b = f(a) =
6 b = f(a) =
7 b = f(a) =
8 b = f(a) =
30
Desafio Valor da função em a = 0 Resposta do desafio
9 b = f(a) =
10 b = f(a) =
11 b = f(a) =
12 b = f(a) =
13 b = f(a) =
14 b = f(a) =
15 b = f(a) =
16 b = f(a) =
� Quantos desafios você tentou?
� Qualfoi a sua pontuação final?
� Você teve dificuldade em identificar alguma das relações? Qual(is)?
2. A partir da tabela anterior, escolha uma lei de formação de um dos desafios, preencha a nova tabela, obser-vando a relação de dependência entre os valores de a e de b e responda as questões propostas.
Lei de formação Variável dependente Variável Independente
Na relação escolhida, é possível haver valores diferentes de b para um dado valor de a?
Saiba Mais
O domínio de uma função pode ser definido como o conjunto dos números possíveis de serem atribuídos
aos valores da variável independente de uma função. O conjunto dos números que expressam os valores da variável
dependente é chamado de Imagem da função.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 31
Podemos definir uma função de A em B como toda relação em que a cada elemento de A associa um único
elemento de B.
A relação que você escolheu é uma função de R em R?
Comentário sobre as questões propostas
Desafio Valor da função em a = 0 Resposta do desafio
1 b = 1 b = f(a) = a + 1
2 b = -1 b = f(a) = a – 1
3 b = 0 b = f(a) = 2*a
4 b = 0 b = f(a) = - a
5 b = 0 b = f(a) = a/2
6 b = 1,5 b = f(a) = a + 1,5
7 b = 1 b = f(a) = 2*a + 1
8 b = 2 b = f(a) = 2*(a + 1)
Desafio Valor da função em a = 0 Resposta do desafio
9 b = 0 b = f(a) = a/3
10 b = 0 b = f(a) = a^2
11 b = 0 b = f(a) = sqrt(a)
12 b não está definido b = f(a) = 1/a
13 b = 0 b = f(a) = abs(a)
14 b = 1 b = f(a) = abs(a + 1)
15 b = 1 b = f(a) = 2^a
16 b = 2 b = f(a) = 2
32
� Quantos desafios você tentou? Resposta pessoal. Qual foi a sua pontuação final? Resposta pessoal.
� Você teve dificuldade em identificar alguma das relações? Qual(is)? Resposta pessoal.
3. A partir da tabela anterior, escolha uma lei de formação de um dos desafios, preencha a nova tabela, obser-vando a relação de dependência entre os valores de a e de b e responda as questões propostas.
Supondo que o aluno tenha escolhido a relação b = f(a) = 2*a, temos:
Lei de formação Variável dependente Variável Independente
b = f(a) = 2*a b a
� Na relação matemática escolhida, é possível haver valores diferentes de b para um dado valor de a?
Não. No exemplo, basta notar que b é o dobro de a, havendo apenas um número b que atende a esta proprie-
dade de a.
� A relação que você escolheu é uma função de R em R?
Sim.
O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno
145 a 146
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Enem 2010
Imagem disponível no “pen drive do
professor”
Identificar uma função apresentada na linguagem
corrente (situação-problema) e posteriormente a partir da leitura e interpretação grá-fica, verificar se este corres-ponde ao comportamento
da função em questão (se ela cresce ou decresce, em que
intervalos, com que velocida-de, etc...)
Turma divida em duplas 20 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 33
Aspectos operacionais
Na página 145, seção O que perguntam por aí?, do material do aluno, a atividade 1, questão do ENEM 2010
envolve a transposição de uma função apresentada na linguagem corrente (situação-problema) para uma represen-
tação em linguagem matemática, através da lei de formação da função. Você poderá trabalhar esta proposta com a
imagem disponível no seu pen drive e pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:
Aspectos pedagógicos
Após a resolução desta questão em aula, você pode promover uma análise coletiva das respostas encontradas
pelos alunos, com uma breve discussão a respeito dos possíveis erros (erros mais comuns) por eles cometidos.
Comentário sobre as questões propostas
Gabarito: (B)
Analisando os possíveis erros dos alunos, espera-se que as escolhas pelas alternativas incorretas possam ser
justificadas conforme exposto a seguir:
(A) O aluno que optou por esta alternativa, provavelmente, multiplicou indevidamente número de lados do
quadrado pela quantidade de quadrados para obter a lei de formação C=4Q, desconsiderando a relação de depen-
dência entre a quantidade de canudos e a quantidade de quadrados.
(C) O aluno que optou por esta alternativa pode ter considerado indevidamente a relação C=4Q para definir
a formação do quadrado da Figura 1, considerando que ao formar a figura II foram acrescidos 3=4-1 palitos ao qua-
drado da figura I, isto é, 1 palito a menos do que os utilizados para formar 2 quadrados disjuntos, associando este
comportamento à lei C=4Q-1
34
(D) O aluno que optou por esta alternativa pode ter observado apenas a relação entre as Figuras I e II, conside-
rando indevidamente a lei C=Q+3, não observando as relações seguintes.
(E) O aluno que optou por esta alternativa pode ter considerado indevidamente a relação C=4Q para definir a
formação do quadrado da Figura 1 e observado que ao formar a figura III (3 quadrados adjacentes) foram necessários
2 palitos a menos do que os utilizados para formar 3 quadrados disjuntos, considerando, assim a relação C=4Q-2.
Procure discutir as soluções apresentadas pelos alunos, valorizando cada estratégia mesmo que esta não te-
nha o conduzido a uma resposta verdadeira.
Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno
141 a 142
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
ConsolidandoMaterial
didático do aluno
Retoma às primeiras ques-tões da unidade como
revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação
do conceito de função
Turma organizada em duplas ou indi-
vidualmente
40 minutos
Aspectos operacionais
Na página 141, a seção “Voltando à Conversa Inicial” pode servir de motivação para esta revisão e sugere uma
consolidação dos objetos matemáticos trabalhados na unidade, a partir de uma reflexão mais detalhada do texto
apresentado em “Para início de conversa...” (p. 129), sobre o boleto de cobrança bancária de uma escola em 2008.
Nesta etapa, esperamos que os alunos já tenham desenvolvido as habilidades necessárias ao alcance dos obje-
tivos de aprendizagem desta unidade. Por isso, acreditamos que a retomada às primeiras questões pode servir como
um valioso exercício de revisão.
Aspectos pedagógicos
Professor, retome o problema proposto na seção “Para início de conversa...” do material do aluno, resgatando
as habilidades trabalhadas na unidade.
O problema a seguir foi extraído da prova do Enem 2008.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 35
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então:
(A) M(x) = 500 + 0,4x.
(B) M(x) = 500 + 10x.
(C) M(x) = 510 + 0,4x.
(D) M(x) = 510 + 40x.
(E) M(x) = 500 + 10,4x.
Gabarito: (C)
A solução da questão acima é apresentada na página 142 do material do aluno, por isso, sugerimos que,
antes dos alunos a consultarem, esta seja discutida coletivamente com a turma.
Após a resolução desta questão, sugerimos que você, professor, proponha mais algumas questões com o mes-
mo nível de dificuldade para fixar o conhecimento adquirido nesta unidade.
Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno
141
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Avaliação da Unidade
Folha de atividades
Sugere um instrumento avaliativo para a unidade dividido em duas etapas:
registro de aprendizagens e questões tanto objetivas
como discursivas
Participação individual dos
alunos40 minutos
36
Aspectos operacionais
Para o momento de avaliação e consolidação, sugerimos a utilização dos dois últimos tempos de aula desti-
nados à unidade 6. A seguir apresentamos sugestões para a retomada aos conteúdos trabalhados e para a avaliação
das habilidades pretendidas nesta unidade. Dividiremos nossas sugestões avaliativas em duas etapas, conforme ex-
plicitadas a seguir.
Etapa 1: Registros de aprendizagens
Esta etapa pode estar articulada à seção “Momento de reflexão” disponível na p. 60 do material do aluno. Aqui,
você poderá propor que o aluno registre individualmente, na folha de atividades, disponível para reprodução neste
material, as aprendizagens matemáticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para nortear esta avaliação, apre-
sentamos algumas questões para os alunos, que podem complementar às suas no que tange a avaliação do desen-
volvimento das habilidades matemáticas pretendidas:
� Qual foi o conteúdo matemático que você estudou nesta unidade?
� Descreva uma situação na qual você poderia usar uma relação de dependência entre duas variáveis para
representá-la.
� Liste algumas relações que você conheça e diga em qual das situações as relações constituem funções
entre duas variáveis. Por quê?
Sugerimos também, que este material seja recolhido para uma posterior seleção de registros a serem entre-
gues ao seu formador no curso de formação presencial. Desta forma, esperamos acompanhar com você como os
alunos estão reagindo aos caminhos que escolhemos para desenvolver este trabalho, para se for o caso, repensá-los
de acordo com as características apresentadas.
Etapa 2: Questão Objetiva
Sugerimos nesta etapa, a escolha de pelo menos uma questão objetiva que contemple uma habilidade pre-
tendida nesta unidade para compor o instrumento avaliativo. Se desejar, você pode escolher uma das questões pro-
postas na seção “O que perguntam por aí?” disponível nas p. 145 e p. 146 do material do aluno, distinta daquela já
trabalhadas em aula ou entre as questões sugeridas neste material. A ideia é que o aluno se familiarize com questões
cobradas em avaliações de larga escala, como ENEM, vestibulares, concursos, etc.
Sugestões de questões objetivas para a avaliação:
Questão 1 (Enem– 2013)
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 37
Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu
que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no
dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do des-
conto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão
que relaciona V e x é:
(A) 10.000 + 50x – x2
(B) 10.000 + 50x + x2
(C) 10.000 - 50x – x2
(D) 10.000 + 50x – x2
(E) 10.000 - 50x + x2
Questão 2 (FUVEST - 1992)
A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:
(A) f(x) = x - 3
(B) f(x) = 0,97x
(C) f(x) = 1,3x
(D) f(x) = -3x
(E) f(x) = 1,03x
Questão 3 (UFMG - 1992)
Suponha que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre x por
cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função 300x
f(x) =150 - x
.
Se o número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de
moradores que receberam é:
(A) 25
(B) 30
(C) 40
(D) 45
(E) 50
38
Questão 4 (VUNESP)
Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa.
Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo máximo de duração de
uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é:
(A) 6 horas
(B) 5 horas
(C) 4 horas
(D) 3 horas
(E) 2 horas
Comentário sobre as questões propostas
1. alternativa D
2. alternativa B
3. alternativa B
4. alternativa D
Folha de Atividades – Avaliação
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________
Neste momento, propomos que você retome as discussões feitas na unidade 6 e registre as aprendizagens
matemáticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para ajudá-lo nos seus registros, tente responder as questões
a seguir:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 39
Questão 1
Qual foi o conteúdo matemático que você estudou nesta unidade?
Questão 2
Descreva uma situação do cotidiano na qual podemos usar uma relação de dependência entre duas variáveis
para representá-la.
Questão 3
Liste algumas relações estudadas em aula, ou que você conheça e diga em qual das situações as relações cons-
tituem funções entre duas variáveis. Tente justificar a sua resposta.
Comentário sobre as questões propostas
Questão 1
Qual foi o conteúdo matemático que você estudou nesta unidade?
Resposta: Espera-se que o aluno lembre e registre que iniciamos o estudo de funções. Propositalmente re-
produzimos o texto da seção “Momento de reflexão” com a intenção de observar a atenção do aluno e situá-lo no
conceito matemático antes de fazer os registros das suas aprendizagens.
40
Questão 2
Descreva uma situação do cotidiano na qual podemos usar uma relação de dependência entre duas variáveis
para representá-la.
Espera-se que o aluno lembre e registre os exemplos da conta de luz, água, boletos bancários, horas extras etc.
Questão 3
Liste algumas relações estudadas em aula, ou que você conheça e diga em qual das situações as relações cons-
tituem funções entre duas variáveis. Tente justificar a sua resposta.
Espera-se que o aluno registre as relações obtidas nos exemplos trabalhados em aula, como por exemplo o
boleto bancário, cuja lei de formação da função é dada por M(x) = 510 + 0,4x. Para justificar este exemplo, basta que
o aluno registre que o valor da mensalidade (M(x)) depende do número de dias de atraso (x) e que para cada quanti-
dade de dias atrasados existe um único valor de mensalidade associado.
Exercícios Complementares
A seguir, apresentamos alguns exercícios que podem auxiliar você, professor, na fixação das principais noções
ligadas ao conceito de função, trabalhadas ao longo dessa unidade tanto no material do aluno quanto nas atividades
sugeridas neste material. São elas: variável, dependência, regularidade e generalização.
Esses exercícios foram separados e distribuídos em três seções: exercícios de fixação (1) introdutórios, (2) refe-
rentes à seção 1 e (3) referentes à seção 2 do material do aluno. Cada uma dessas seções são constituídas de exercícios
discursivos e objetivos e estes compõem as três respectivas “Folhas de atividades” – que se encontram disponíveis
para reprodução neste material e também no “pen drive do professor” – que poderão ser aplicadas ao término de
cada seção correspondente do material do aluno.
Logo depois da apresentação dos exercícios, você poderá encontrar suas soluções propostas e organizadas na
seção “Respostas dos exercícios de fixação complementares”.
Folha de Atividades – “Exercícios de Fixação Complementares - Introdutórios”
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________
1. Leia, a seguir, a reportagem da revista eletrônica “Mundo Estranho” (disponível em: http://mundoestranho.abril.com.br/materia/por-que-os-passaros-ao-voar-em-bando-formam-um-v).
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 41
Por que os pássaros, ao voar em bando, formam um V?
Porque, assim, eles poupam energia. A estratégia é inteligentíssima e produz uma economia fundamental para
pássaros migratórios que precisam percorrer distâncias longas. Trata-se de uma questão de aerodinâmica: quando a
ave que encabeça o bando bate as asas, vencendo a resistência do ar, forma-se, atrás dela, um vácuo que ajuda as
outras a planar por mais tempo e com menos esforço. Observando no céu uma formação dessas, você perceberá que
o animal que vai na frente bate as asas muito mais intensamente do que os que vêm atrás. E tem mais: para não cansar
o líder, eles se revezam nessa posição dianteira. Há muito tempo os cientistas suspeitavam que a aerodinâmica bene-
ficiasse a formação em V, mas só conseguiram comprovar esse efeito recentemente, graças a estudos conduzidos pelo
biólogo Henri Weimerskirch no Centro Nacional de Pesquisa Científica de Villiers, na França.
Ele descobriu que o batimento cardíaco de pelicanos voando em V era menor do que quando estavam em
terra. Isso foi possível graças à instalação de pequenos monitores cardíacos nas costas das aves, treinadas para per-
seguir a luz de uma aeronave. O monitoramento mostrou que os pelicanos que seguem o líder economizam até 14%
de energia.
Existem outras formas possíveis de voar, com um consumo de energia mais econômico. Observe a sequência
seguinte, que representa alguns grupos cujo voo aconteceria a partir de uma formação em W.
Cada ponto representa um pássaro do bando em formação. Imaginando manter o mesmo padrão de forma-
ção, apenas acrescentando, a cada passo, o número mínimo de pássaros para aumentar o bando, sem modificar o
padrão de formação, responda as perguntas registrando seu raciocínio:
Quantos pontos terá a 4ª figura desta sequência?
a. E a 5ª?
b. E a 8ª?
c. E a 100ª?
d. Proponha uma lei algébrica que descreva o número de pontos na figura de número n (na número na-tural maior que zero).
42
2. Observe as seguintes sequências e, em seguida, faça o que se pede:
a. 1, 6, 1, 6, 1, 6, 1,... – (1) Determine o próximo termo, (2) encontre o 127º termo e (3) indique se existe alguma fórmula para encontrar um termo de ordem qualquer dessa sequência.
b. , , , , , ... – (1) Indique quais as figuras que representam, respectivamente, os termos 15º, 18º e 20º, e (2) indique quais as possíveis posições que o quadrado pode ocupar.
c. Essa é uma sequência de mosaicos quadrados construída com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, como se segue:
(1) Como calcular a quantidade de azulejos brancos e pretos para a figura de ordem n, da sequência? (2) E do
total de azulejos? (3) Escreva uma regra e justifique.
Folha de Atividades – “Exercícios de Fixação Complementares - 1: “Conhecendo
uma conta d’água”
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________
1. Na seção 1, Conhecendo uma conta d’água, são propostas algumas questões (página 71) que tem por objetivo auxiliar na interpretação dos dados presentes no demonstrativo de uma conta de água. Uma vez compreendidos esses dados, como podemos facilitar a identificação um padrão de consumo ao longo dos meses para estabelecer estimativas de gasto futuras? Podemos usar para essa identificação, dois recursos visuais ligados ao conceito de função: uma tabela e um gráfico. Complementando as questões propostas, vamos, então, fazer uso desses recursos para interpretar os dados fornecidos na conta de água apresentada.
a. Complete a tabela de consumo mensal de água da residência do Sr. Pedro.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 43
MêsConsumo de água
(em m3)
b. Com base na tabela construa um gráfico de barras que represente o consumo mensal de água X mês, da residência do Sr. Pedro.
De acordo com a “Tabela de Tarifa” apresentada na página 63, responda as questões de 2 a 4.
2. Considere os dados fornecidos pela “Tabela de Tarifa” (apresentada na página 63, seção 1: Conhecendo uma conta d’água) e responda:
a. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada padrão deve pagar pelo consumo de 12 m3 de água? Qual seria o total a pagar?
b. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada social deve pagar pelo consumo de 12 m3 de água? Qual seria o total a pagar?
c. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada popular deve pagar pelo consumo de 18 m3 de água? Qual seria o total a pagar?
d. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada padrão superior deve pagar pelo consumo de 35 m3 de água? Qual seria o total a pagar?
e. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada popular deve pagar pelo consumo de 35 m3 de água? Qual seria o total a pagar?
f. Para um valor superior a 30 m3, há diferença no total a pagar por um consumidor cuja residência seja considerada popular e outro cuja residência seja considerada de padrão superior? Justifique.
44
g. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada padrão deve pagar pelo consumo de 8 m3 de água? Qual seria o total a pagar?
h. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada padrão deve pagar pelo consumo de 6,5 m3 de água? Qual seria o total a pagar?
i. Para um valor inferior a 10 m3, há diferença no total a pagar entre dois consumidores de um mesmo setor residencial? Justifique.
3. O valor total a ser pago pelo consumo de 20 m3 no setor residencial popular seria de:
(A) R$ 51,80
(B) R$ 70,80
(C) R$76,60
(D) R$ 3, 84
(E) R$ 30,00
4. O valor total a ser pago pelo consumo de 7 m3 no setor residencial popular seria de:
(A) R$ 1,50
(B) R$ 5,39
(C) R$ 7,70
(D) R$ 15,00
(E) R$ 24,78
No quadro abaixo estão os valores das contas de luz e água de uma mesma residência.
Além do valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m³) e de eletri-
cidade (em kWh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já
na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação. Utilize essas informações para responder
às questões de 5 a 7.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 45
5. Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica dessa residência. O novo valor da conta será de:
(A) R$ 55,23
(B) R$ 106,46
(C) R$ 802,00
(D) R$ 100,00
(E) R$ 22,90
6. Suponha que dobre o consumo d água. O novo valor da conta será de:
(A) R$ 22,90
(B) R$ 106,46
(C) R$ 43,82
(D) R$ 17,40
(E) R$ 22,52
7. Dos gráficos a seguir, o que melhor representa o valor da conta de água, de acordo com o consumo, é:
46
Folha de Atividades – “Exercícios de Fixação Complementares - 2: “Noção intuitiva
de função”
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________
1. Um estudante vai de carro para a escola. Após 5 minutos de percurso, percebe que esqueceu seu material. Ele volta rapidamente para casa, pega seu material e retorna para a escola em alta velocidade. Porém, 5 minutos após ter deixado a sua casa, bate em uma árvore. Esboce um gráfico aproximado que descreva razoavelmente a distância do estudante a sua casa em função do tempo, a partir do momento de sua pri-meira saída até o momento da batida.
2. Um técnico que presta serviços de manutenção de computadores em residências cobra uma taxa fixa de R$35,00 pela visita e R$10,00 por hora trabalhada.
a. Qual é o valor de um serviço iniciado às 15h 45min e concluído às 17h 45min?
b. Quantas horas esse técnico trabalhou, sabendo-se que ele recebeu R$ 75,00 pelo serviço?
c. Escreva uma lei matemática de correspondência que relaciona o valor pago pelo serviço prestado e as horas de trabalho desse técnico.
d. Qual é a variável dependente da lei obtida no item c? E a variável independente?
3. Coloca-se um objeto ao relento em um dia frio no instante t = 0. Com o passar do tempo, a temperatura do objeto diminui. A figura abaixo apresenta o esboço do gráfico cartesiano da função H = f(t) (a temperatura f(t), em graus Celsius, em função do tempo t, em minutos).
a. Explique o que significa f(30) = 10 em termos do tempo e da temperatura do objeto.
b. Explique o significado de a, intersecção com o eixo vertical, e de b, intersecção com o eixo horizontal em termos da temperatura H do objeto e do tempo t transcorrido.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 47
4. Chamamos de função A B→f : (f de A para B) uma relação entre os conjuntos não-vazios A e B que a cada um dos elementos x do conjunto A associa um único elemento y = f(x) do conjunto B. Dessa forma, se a população de uma cidade, (p), em milhões de habitantes, é uma função do número de anos (t) desde 1950, de modo que p = f(t). Explique o significado da afirmação f(35) = 12 em termos da população da cidade.
5. Determine o valor de f(5) para cada uma das funções apresentadas a seguir a partir de suas representações analíticas, gráficas ou tabulares.
a. (, ) 2 5f x x −→ = f :
b. 2( ) 2 3, f x x x=→ − + f : ,
c. 1| , ( ) 2 2 12
x f x x ∈ ≥ → = + +
f : x
d. [ ] [ ]: 0,10 0,6f →
e. { }→f : 1,2,3,4,5,6,7,8
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 2,3 2,8 3,2 3,7 4,1 5,0 5,6 6,2
6. Dados os conjuntos A e B, verifique se cada situação a seguir representa uma função de A em B.
a. Dois elementos de A estão associados a um mesmo elemento de B.
b. Todos os elementos de A estão associados a elementos distintos de B, exceto um, que está associado a dois elementos de B.
c. Um elemento de A não está associado a nenhum elemento de B.
d. Um elemento de A está associado a mais de um elemento de B.
48
7. Um retângulo tem largura x, comprimento y e área de 24 cm2, como mostrado abaixo.
Determine o que se pede em cada item.
a. A lei de correspondência que expressa o valor do comprimento y em função da largura x.
b. O comprimento y, se a largura desse retângulo for 4,8 cm.
c. As dimensões desse retângulo, se o comprimento for 6 vezes a largura.
8. A relação R = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1)} é uma função. Expresse o seu domínio e o seu conjunto imagem, res-pectivamente.
9. Determinar em cada caso a imagem da função → f : cuja lei de correspondência é ƒ(x) = x2 + 1.
a. ƒ(0)
b. ƒ(1)
c. ƒ( 2 )
d. ƒ(- 4)
e. ƒ(- 1)
f. ƒ(− 2 )
10. Dada a função f: A → R, onde A = {1, 2, 3} e f(x) = x – 1, determine o conjunto imagem de f.
11. Determinar o valor do domínio da função → f : , cuja lei de correspondência é dada por ƒ(x) = x3 + 4 e a imagem é 12.
12. Dada a função real →f : A , cuja lei de correspondência seja dada por f(x) = 5x + 4, sendo A = {1,2,3,4,5}, faça o que se pede:
a. Construa uma tabela de correspondência entre os valores do domínio e suas respectivas imagens.
b. Apresente o conjunto de todos os pares ordenados pertencentes à função f.
c. Construa um gráfico cartesiano que represente essa função.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 49
13. Escreva em seu caderno a lei de correspondência da função ƒ pedida em cada item.
a. Lei da função ƒ que relaciona um número real x com seu dobro.
b. Lei da função ƒ que relaciona um número real x com sua metade.
c. Lei da função ƒ que relaciona um número real x com seu quadrado.
d. Lei da função ƒ que relaciona um número real x com seu dobro adicionado de sua metade.
e. Uma função ƒ que associa cada número real a seu inverso.
14. No instante t = 0 um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. A função posição que nos fornece a altura h do mergulhador em cada instante é dada por h(t) = - 16t2+ 16t + 32, onde t é dado em segundos. Após quantos segundos o mergulhador atinge a água?
15. O gráfico abaixo indica a variação da inflação no Brasil, medida com o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) em função do tempo.
a. O gráfico representa uma função? Justifique sua resposta.
b. Indique em que ano houve o maior e em que ano houve o menor IPCA registrado, considerando o pe-ríodo representado no gráfico.
c. Represente em seu caderno alguns pares ordenados que pertencem ao gráfico dessa função.
16. Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras a seguir:
50
O número de residências atingidas nessa pesquisa foi APROXIMADAMENTE de:
(A) 100
(B) 135
(C) 150
(D) 200
(E)220
Respostas dos Exercícios de Fixação Complementares
Introdutórios – Seção “Para início de Conversa”
1.
a. 17 pontos
b. 21 pontos
c. 33 pontos
d. 401 pontos
e. Espera-se que o aluno perceba que a cada passo são acrescidos 4 pontos, assim o número de pontos de uma figura n é dado por: 5 + 4 . (n – 1), ou em sua forma simplificada, 4n + 1. Claro que outras estratégias interessantes podem ser sugeridas pelos alunos e estas devem fazer parte do debate a cerca da questão proposta.
2.
a. (1) 6; (2) 1; (3) Espera-se que os alunos percebam que toda posição de ordem é ímpar na sequência é ocupada pelo número 1 enquanto que toda ordem par é ocupada pelo número 6.
b. (1) , e ; (2) Espera-se que o aluno perceba que o quadradinho ocupa todas as posições anteriores a de uma ordem múltipla de três, ou seja, uma ordem 3n – 1, onde n é natural maior que zero.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 51
c) (1) É esperado que o aluno perceba que o número de quadrados brancos corresponde ao quadrado do nú-
mero da figura correspondente (n2). Já o número de quadrados pretos corresponde ao número da figura multiplicado
por 4 e somado com quatro (4n + 4), dado que cada um dos quatro lados dos quadrados brancos é adjacente.
Seção 1: “Conhecendo uma conta d’água”1. a)
MêsConsumo de água
(em m3)
Agosto 2010 12
Setembro 2010 30
Outubro 2010 29
Novembro 2010 24
Dezembro 2010 28
Janeiro 2011 29
b)
Consumo de água (em m3)
0
5
10
15
20
25
30
35
ago/10 set/10 out/10 nov/10 dez/10 jan/11
Mês
m3
2.
a. 1,93; R$ 23,16
b. 0,77; R$ 9,24
c. 3,54; R$ 63,72
d. 4,27; R$ 149,45
e. 4,27; R$ 149,45
52
f. Não, pois o valor cobrado, em reais por metro cúbico, para os dois setores residenciais nesta faixa de consumo é o mesmo.
g. 1,93; R$ 19,30
h. 1,93; R$ 19,30
i. Não, pois o consumo mínimo faturado é de 10 m3 para os dois consumidores independentemente de quanto consumiram de fato.
3. Letra B
4. Letra D
5. Letra B
6. Letra C
7. Letra A
Seção 2: Noção intuitiva de função
1. Espera-se que o aluno seja capaz de perceber que a medida que o estudante se afasta de casa o gráfico deve crescer e, a medida que se aproxima de casa, o gráfico deve decrescer. Também deve notar que quan-do o estudante se encontra em casa, o gráfico deve encontrar o eixo do tempo (no caso, horizontal).
2.
a. R$ 55,00
b. 4 horas
c. V = 35 + 10t
d. Variável dependente: V Variável independente: t
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 53
3.
a. Significa que o objeto atingiu uma temperatura de 10°C após terem sido transcorridos 30 minutos.
b. O valor a, intersecção com o eixo vertical, representa a temperatura do objeto no início da observação, ou seja, no tempo igual a zero. Já o valor b, intersecção com o eixo horizontal, representa o tempo para que o objeto atingisse temperatura igual a 0°C.
4. Significa que a população atingiu o número de 12 milhões de habitantes após terem sido transcorridos 35 anos desde 1950.
5.
a. f(5) = 5
b. f(5) = 18
c. f(5) = 5
d. f(5) = 3
e. f(5) = 4,1
6.
a. Sim
b. Sim
c. Não
d. Não
7.
a. 24
y =x
b. 5 cm
c. comprimento: y = 12 e largura: x = 2
8.
Df = {-2, -1, 0}; Imf = {-1, 0, 1}
9.
a. f(0) = 1
b. f(1) = 2 f( 2 ) = 3
c. f(-4) = 17
d. f(-1) = 2
e. f(− 2 ) = 3
54
10.
Imf = {0, 1, 2}
11.
3
12.
a.
x f(x)
1 9
2 14
3 19
4 24
5 29
b. {(1,9); (2,14); (3,19); (4,24); (5,29)}
c.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 55
13.
a. f(x) = 2x
b. f(x) = x2
c. f(x) = x2
d. f(x) = 2x + x2
e. f(x) = 1x
14.
2 segundos.
15.
a. Sim, pois para cada elemento do domínio existe uma e só uma imagem.
b. Maior IPCA em 2002 e o menor em 2006.
c. O aluno deve apontar alguns dos pontos a seguir: (1999; 8,94), (2000; 5,97), (2001; 7,67), (2002; 12,53), (2003; 9,3), (2004; 7,6), (2005; 5,69), (2006; 3,14), (2007; 4,46).
16.
Letra D.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 57
Volume 2 • Módulo 1 • Matemática • Unidade 7
Áreas de figuras planasAna Lisa, Cleber, Francilene, Heitor, Patrícia e Telma
IntroduçãoNa unidade 7 do material do aluno são apresentadas diversas situações e
atividades que abordam o cálculo de área de figuras planas.
Para auxiliá-lo, pesquisamos e elaboramos algumas atividades e recursos
que podem complementar a exposição deste tema em suas aulas. Uma descri-
ção destas sugestões está colocada na tabela a seguir , e seu detalhamento no
texto que segue.
Sugerimos que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma ativi-
dade disparadora. É uma atividade cujo intuito, além de iniciar a exposição do
tema, é promover uma dinâmica entre os alunos. Nesse momento, espera-se
que eles comecem a se familiarizar com as possíveis unidades de medida de
área, além do desenvolvimento de estratégias de utilização para o cálculo das
áreas de diversas regiões.
Para dar sequência ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns re-
cursos complementares vinculados ao conteúdo do material didático. Tais recur-
sos apresentam-se associados a atividades descritas detalhadamente neste ma-
terial. Sugerimos a sua realização nas aulas subsequentes à aula inicial de acordo
com a realidade da sua turma. Recomendamos que sejam feitas as alterações e
adaptações sempre que achar necessário.
Por fim, aconselhamos que a última aula desta unidade seja dividida em
dois momentos. O primeiro dedicado a uma revisão geral do estudo realizado
durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da retomada
de questões que surgiram durante o seu estudo. E o segundo, um momento de
avaliação do estudante, priorizando questionamentos reflexivos em detrimento
da mera reprodução de exercícios feitos anteriormente.
Ma
te
ria
l d
o P
ro
fe
ss
or
58
Apresentação da unidade do material do aluno
Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais características desta unidade:
Disciplina Volume Módulo UnidadeEstimativa de aulas para
essa unidade
Matemática 2 1 7 6 aulas de 2 tempos
Titulo da unidade Tema
Áreas de figuras planas Área
Objetivos da unidade
Identificar expressões utilizadas para indicar a área de figuras planas;
Deduzir e utilizar fórmulas para calcular áreas de superfícies planas e aplicá-las na resolução de problemas.
SeçõesPáginas no material do
aluno
Para início de conversa... 151 e 152
Seção 1 – Reconhecendo a área 153 a 156
Seção 2 – Outros tipos de área 157 a 163
Voltando a conversa inicial... 164 a 165
Veja ainda 166 a 168
O que perguntam por aí? 169 a 171
Em seguida, serão oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-
dência direta entre cada seção do Material do Aluno e o Material do Professor.
Será um conjunto de possibilidades para você, caro professor.
Vamos lá!
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 59
Recursos e ideias para o Professor
Tipos de Atividades
Para dar suporte às aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes
à Unidade acima:
Atividades em grupo ou individuais
São atividades que são feitas com recursos simples disponíveis.
Ferramentas
Atividades que precisam de ferramentas disponíveis para os alunos.
Avaliação
Questões ou propostas de avaliação conforme orientação.
Exercícios
Proposições de exercícios complementares
60
Seção – Para início de conversa...Páginas no material do aluno
151 a 152
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Ilusão de ótica –
Nessa atividade, o aluno será
estimulado a se concentrar
na percepção da unidade de
referência como elemento
determinante no cálculo e na
comparação de duas áreas.
Turma dispos-
ta em duplas.30 minutos
Quebra-
cabeça–
Nessa atividade, os alunos
serão desafiados a montar
um quebra-cabeça e a com-
parar as áreas das figuras
construídas.
Turma dividida
em grupos
de quatro
pessoas.
20 minutos
Experimentan-
do as relações
entre grande-
zas e medidas
Textos im-pressos sobre grandezas e
medidas
Fita métrica
Metro de pedreiro
Balança de cozinha
Pacote de um quilo
de feijão(ou qualquer
outro tipo de alimento)
Copos descar-táveis(200 ml), garrafa pet de 2 litros, garra-fas descartá-veis de 1 litro,
500 ml, etc.
Essa atividade tem o obje-
tivo de trazer à discussão o
uso de diferentes medidas
e grandezas. Através de al-
guns pesos e comparações
realizadas pelos alunos,
são apresentadas diver-
sas medidas e grandezas.
Depois dessa comparação,
os alunos lerão um texto
com algumas explanações
sobre grandezas e medidas.
Por fim, realizará algumas
atividades para fazer a
comparação de áreas com
medidas diferentes.
Pedir aos
alunos para
colocarem as
cadeiras em
forma de círcu-
lo, colocando
uma mesa no
centro com os
materiais des-
critos acima.
20 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 61
Seção – Reconhecendo a áreaPáginas no material do aluno
153 a 156
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Multidões –
Nessa atividade o aluno será
estimulado a utilizar uma
unidade de referência (o me-
tro quadrado) para estimar
a quantidade de pessoas
presentes em um evento
assistido por uma multidão.
Turma dis-
posta em
grupos de três
pessoas.
30 minutos
Construindo
uma caixa–
Abrindo uma caixa de sapa-
to sem tampa o professor irá
propor aos alunos a cons-
trução de uma nova caixa.
Depois da construção, o pro-
fessor irá propor diferentes
recortes para obter novos
valores para a área da caixa.
A divisão da
turma pode
ser feita em
duplas.
30 minutos
Seção – Outros tipos de áreaPáginas no material do aluno
157 a 163
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Reorganizando –
Nessa atividade, o aluno
será induzido à dedução das
fórmulas para cálculo da
área do triângulo, losango
e trapézio, reorganizando
essas figuras até obter um
retângulo de área equiva-
lente.
Turma dispos-
ta em grupos
com três
pessoas.
25 minutos
62
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Construindo
um telhado
colonial e
calculando os
gastos
–
Através de um problema
proposto pelo professor os
alunos irão calcular os gas-
tos e quantidade de telhas
para a construção de um
telhado colonial.
Individual ou
a cargo do
professor
30 minutos
Cálculo da
área de triân-
gulo utilizando
o Tangram
–
Nessa atividade o aluno será
incentivado a utilizar um
Tangram construído e ob-
servar através de um vídeo
as figuras geométricas que
ele possui. O vídeo também
mostrará as razões e propor-
ções entre as formas geomé-
tricas apresentadas. Após a
exibição do vídeo o aluno
irá realizar cálculos das áreas
dos triângulos utilizando as
proporções entre eles.
A divisão pode
ser em duplas
ou trios.
25 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 63
Voltando à conversa inicial...Páginas no material do aluno
164 a 165
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Reformando
uma sala de
aula
–
Através da escolha de uma
sala de aula qualquer, que
tenha formato retangular
ou quadrado o professor irá
propor aos alunos o cálculo
da quantidade necessária
de piso para a reforma da
sala. Esse tipo de atividade
poderá ser utilizado para
relembrar o processo de
conversão de medidas linea-
res e de superfície.
A turma pode
ser dividida
em duplas.
50 minutos
Medindo áreas –
Nessa atividade, deseja-
-se fazer com que o aluno
compreenda que medir
envolve a comparação entre
duas grandezas da mesma
natureza e a verificação de
quantas vezes uma grande-
za tomada como unidade de
medida cabe na outra. Em
seguida, o professor irá
levantar a questão das me-
didas agrárias comparando
os alqueires nos diversos
estados brasileiros. Depois
da comparação dos alquei-
res serão propostas diversas
questões que estão relacio-
nadas ao cálculo de áreas
utilizando essas medidas
agrárias.
Grupos de 4
ou 5 alunos.30 minutos
64
Seção – Veja ainda... Páginas no material do aluno
166 a 168
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Horário de
Verão
Nessa atividade, os alunos
vão analisar uma explicação
para o uso do horário de
verão em termos do con-
sumo de energia elétrica,
fazendo uma analogia com
triângulos de bases e alturas
inversamente proporcionais,
mas com a mesma área. Isto
é, mesmo que o consumo
total (correspondendo à
área) for igual, o horário de
verão distribui (aumenta a
base) o consumo e diminui
o pico (a altura) de uso da
energia elétrica.
A turma pode-
rá ser dividida
em trios ou
quartetos.
30 minutos
A lenda de
Dido
Nessa atividade, os alunos
vão assistir a um vídeo A
Lenda de Dido sobre a fazen-
deira Elisa. Ela comprou tela
para fazer um cercado para
as suas ovelhas e está ten-
tando determinar o formato
para o cercado que permita
acomodar o maior número
de ovelhas em seu interior.
A turma pode-
rá ser dividida
em grupos de
três pessoas.
35 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 65
Seção – Consolidação e Avaliação
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Registros de
aprendizagens
Esta etapa é articulada à
seção “Momento de refle-
xão” disponível na p. 92 do
material do aluno. Nesta
atividade, indicamos que
seja proposto ao aluno que
registre numa folha de papel
as aprendizagens matemáti-
cas adquiridas com o estudo
desta unidade. Para nortear
esta avaliação, são apresen-
tadas algumas questões
para os alunos. A intenção
é estabelecer relações entre
conteúdos do capítulo e
conteúdos já conhecidos
pelo aluno.
Individual-
mente30 minutos
Questão
Objetiva
Sugerimos nesta etapa,
a escolha de questões
objetivas que contemplem
uma habilidade pretendida
nesta unidade para compor
o instrumento avaliativo. Se
desejar, você pode escolher,
a seu critério, uma das ques-
tões propostas na seção “O
que perguntam por aí?”
disponível no material do
aluno. A ideia é que o aluno
se familiarize com questões
cobradas em avaliações de
larga escala, como ENEM,
vestibulares, concursos, etc.
Individual-
mente20 minutos
66
Descrevemos a seguir situações motivadoras nas quais queremos que os alunos iniciem uma discussão co-
letiva e se familiarizem com o conteúdo matemático a ser trabalhado de forma empírica e com atividades de fácil
compreensão antes da formalização. Sugerimos que você escolha a que seja mais adequada à sua realidade. Ou, se
preferir, utilize uma atividade própria.
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Ilusão de ótica
cópias do texto
do problema
proposto; kits1
para realização
das atividades
de “ilusão de
ótica”.
Nessa atividade, o aluno será
estimulado a se concentrar
na percepção da unidade de
referência como elemento
determinante no cálculo e na
comparação de duas áreas.
Turma dispos-
ta em duplas30 minutos
Aspectos operacionais
1. Leitura em duplas do problema abaixo2:
� Análise do problema, descrito a seguir, feita em duplas:
Observem as duas salas. Qual delas é mais espaçosa? Em qual delas cabe mais gente, ou cabem mais cadeiras?
1 Cada kit é produzido pelo professor e é composto de uma folha de papel colorset preta, 2 círculos de papel colorset vermelho (de raio 2 cm); 6 círculos de papel colorset branco (de raio 1 cm) e 6 círculos de papel colorset branco (de raio 3 cm)
2 Fonte usada para texto e imagens: http://tvescola.mec.gov.br/images/stories/publicacoes/cadernos_tv_escola/mate-matica1.pdf
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 67
Divida a discussão em duas etapas.
� Informe aos alunos que nas duas salas, os ladrilhos são iguais.
� Dê alguns minutos para que cada dupla analise o problema proposto. Em seguida, discuta as propostas
apresentadas pelas duplas. Registre algumas propostas e aproveite a análise de cada uma delas (corretas
ou não) para explorar e aprofundar o conteúdo da unidade. Por exemplo, olhar para as paredes e simples-
mente dizer que são maiores na segunda sala é uma afirmação verdadeira? Ou contar os pisos em cada
uma das salas pode ajudar em algo?
Uma solução:
Após saber que os ladrilhos são iguais, podemos contar quantos ladrilhos há em cada sala. Na da esquerda,
há duas fileiras com cinco ladrilhos. Logo, para recobrir todo o piso foram necessários, 10 (=2 × 5) ladrilhos cada. Na
sala da direita, há três fileiras com três ladrilhos cada. Logo, para recobrir todo o piso foram necessários, 9 (= 3 × 3)
ladrilhos. Consequentemente, a sala da esquerda (que exigiu mais ladrilhos) é a mais espaçosa.
2. Análise dos Círculos3
� Usando papel colorset branco, preto e vermelho, cole no quadro uma reprodução da figura abaixo.
� Discuta com os alunos se os círculos vermelhos têm ou não área de mesma medida.
� Distribua entre as duplas: fita dupla face; uma folha A4 preta; 2 círculos vermelhos (de raio 2 cm); 6 círculos
brancos (de raio 1 cm) e 6 círculos brancos (de raio 3 cm).
3 Fonte: ILUSÕES VISUAIS: UMA RECONSTRUÇÃONA CONSTRUÇÃO DA GEOMETRIA (MC18499600115T.doc)
68
� Peça aos alunos que utilizem a fita dupla face e reproduzam a figura afixada no quadro:
� Rediscuta com eles a relação entre as áreas dos círculos vermelhos.
� Proponha que eles sobreponham os círculos vermelhos para efetuar a comparação de suas áreas.
Uma explicação:
Nossa percepção das figuras é resultado de uma sensação global, as partes são inseparáveis do todo. Assim
como os círculos brancos do primeiro conjunto têm área maior que a do círculo central, enquanto no outro conjunto
a situação é inversa, acabam por promover a ilusão de que os círculos centrais têm áreas inversamente proporcionais
à dos círculos à sua volta.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 69
Aspectos pedagógicos
� É provável que algum aluno pergunte o que é “ilusão de ótica”.
Você pode discutir com eles antes de apresentar o problema proposto. Se achar conveniente, use o texto sobre
este assunto localizado neste link: http://minilua.com/que-temos-ilusao-otica/
� Inicialmente, devido à ilusão de ótica, é provável que os alunos respondam que os círculos vermelhos no
centro não têm o mesmo tamanhos. Você pode sugerir que eles superponham os círculos vermelhos para
efetuar a comparação de suas áreas.
� Antes de apresentar uma razão para o efeito visual provocado pelos dois arranjos de círculos, instigue os
alunos a identificarem o tamanho dos círculos brancos como a diferença entre os dois arranjos de círculos
e a tentarem criar possíveis explicações para a ilusão de ótica criada.
ATIVIDADE INICIAL – Opção 2
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Quebra-
cabeça4
Quebra-cabe-
ça produzido
pelo professor
a partir da
reprodução
do modelo
apresentado
na próxima
página.
Nessa atividade, os alunos
serão desafiados a montar
um quebra-cabeça e a com-
parar as áreas das figuras
construídas.
Turma dividida
em quartetos,
propician-
do trabalho
organizado e
colaborativo.
20 minutos
Modelo para produção do quebra-cabeça
� Para produzir as peças do quebra-cabeça, consideramos um quadrado ABCD de
lado 20 cm. Os pontos M e N são pontos médios.
� Para produzir os quebra-cabeças, faça cópias do modelo abaixo e recorte nas
linhas pontilhadas.
4 Fonte do problema e das figuras: http://www.revista.vestibular.uerj.br/questao/por-nivel-imprimir.php?nivel=dificil.
70
Aspectos operacionais
� Distribua um conjunto de peças do quebra-cabeça para cada grupo.
� Instrua alguns grupos a tentar montar um quadrado com as peças e
� Instrua os grupos restantes a tentar montar um retângulo com as peças.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 71
� Tão logo, sejam montados os quadrados e os retângulos, interrompa as atividades dos grupos e reproduza
no quadro as soluções propostas (você pode colar com durex as peças no quadro).
� Discuta com os alunos se as duas figuras têm a mesma área e solicite justificativas.
Uma solução:
Na descrição de construção do quebra-cabeça, há uma solução para obter o quadrado. Na figura a seguir apa-
rece uma disposição das peças que resulta em um retângulo:
Aspectos pedagógicos
� É possível que os alunos não consigam estabelecer uma conexão entre as áreas do quadrado e do retângu-
lo construídos com as peças dos quebra-cabeças por estarem mais atentos ao fato de se tratarem de figuras
diferentes. Estimule-os a deixarem de lado a visão global e a tentarem estabelecer uma relação entre as
partes que compõem cada uma das figuras.
� Durante a discussão sobre as áreas das duas figuras, explore o fato de todas as peças serem diferentes e
estimule os alunos a estabelecerem uma correspondência um-a-um entre as peças para justificar o fato
das áreas serem iguais. Isto é, observe que no quadrado há um paralelogramo igual ao que também está
presente no quadrado e assim por diante.
72
ATIVIDADE INICIAL – Opção 3
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Experimentan-
do as relações
entre grande-
zas e medidas
Cópias do
texto Grande-
zas e medidas
(disponível na
Seção Aspec-
tos opera-
cionais); fita
métrica; metro
de pedreiro;
balança de co-
zinha; pacote
de um quilo de
feijão (ou qual-
quer outro tipo
de alimento);
copos descar-
táveis (200 ml);
garrafa pet de
2 litros; garra-
fas descartá-
veis de 1 litro,
500 ml,
etc.
Essa atividade tem o ob-
jetivo de expor diferentes
grandezas de medidas. Em
seguida, os alunos lerão um
texto com algumas expla-
nações sobre grandezas e
medidas com o objetivo de
realizarem algumas ativida-
des para fazer a compara-
ção de áreas com medidas
diferentes.
Pedir aos
alunos para
colocarem as
cadeiras em
forma de círcu-
lo, colocando
uma mesa no
centro com os
materiais des-
critos acima.
30 minutos
Aspectos operacionais
� Inicie o estudo da relação das unidades de medida com as grandezas (comprimento, capacidade e área da
superfície) propondo algumas perguntas que estabeleçam equivalências. Veja os exemplos a seguir:
- “Tenho duas ripas de madeira, uma mede 126 centímetros e outra mede 1 metro e 20 centímetros. Qual é a
mais comprida?”
- “Em um copo cabe mais ou menos que meio litro de água? Qual a relação de 200 mililitros com um copo?”
- A área de uma sala A mede 96 cm2 e a área da sala B mede 1,12 cm2. Qual das salas é a maior?
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 73
- “Um quadro mede 2 metros e 45 centímetros. Qual(is) das seguintes escritas representa(m) o comprimento
dele: 245 centímetros, 2,45 metros, 24,5 metros ou 245 metros?”
- “Se uma pessoa caminha meio quilômetro para chegar à escola. Quantos metros ele percorre nesse trajeto?”
Depois de respondidas as perguntas, distribua o texto abaixo para que os alunos leiam.
Grandezas e medidas
No mundo atual as pessoas necessitam saber qual a temperatura de uma cidade, quantos litros de suco têm
em uma garrafa ou até mesmo qual o peso delas próprias. Devido a isso existem as unidades de medida.
Quantas vezes no dia-a-dia precisamos medir alguma coisa. Durante o nascimento de uma criança é necessá-
rio realizar medições, pois, existem medidas que são padrão de pessoas normais. Numa viagem, por exemplo, antes
de pegar a estrada é necessário saber qual a distância de uma cidade para outra. Essa medida da distância ajuda a
calcular quantos litros de combustível serão necessários para abastecer o carro. Também é importante saber a tem-
peratura da cidade para onde está indo viajar, assim, você levará roupas adequadas para o tipo de temperatura da
cidade. Imagina levar uma mala inteira com shorts, camisetas, chinelos e chegar na cidade com temperatura fria?
Todos esses são exemplos de relação entre grandezas e medidas.
Mas afinal, qual o conceito de grandeza? É o nome dado a algo que pode ser medido. Alguns exemplos de
grandeza são: comprimento, massa, temperatura, que medem respectivamente, altura, peso, clima (quente ou frio).
As grandezas podem ser representadas por números e cada uma tem uma unidade de medida, que por sua
vez tem um símbolo correspondente, como o quilo (kg), o litro (l) e o metro (m). Que tal conhecer as grandezas e as
unidades de medida mais utilizadas no dia-a-dia e os instrumentos apropriados para medi-las?
Capacidade
Nessa grandeza, medimos quanto cabe em determinado recipiente, como por
exemplo: uma garrafa, um balde, uma piscina, uma caixa d’água, etc. A unidade de
medida de capacidade é o litro.
Massa
O instrumento de medida de massa ou peso é a balança. As unidades de medi-
da é o grama(g), mas utilizamos bastante o quilograma (kg) e a tonelada (t). Quando
subimos na balança, o valor obtido representa a quantidade de massa do seu corpo.
Fonte: http://www.sxc.hu/pho-to/1262339
Fonte: http://www.sxc.hu/pho-to/875413
74
Comprimento
Mede alturas e distâncias de ruas, casas, cidades. A unidade de medida de
comprimento é o metro(m), mas utilizamos bastante o centímetro (cm), o milímetro
e o quilometro(km). O quilometro é usado para medir grandes distâncias, como es-
tradas. Os principais instrumentos de medida de comprimento são a régua, a trena
e a fita métrica.
Medidas de Superfície
Medidas utilizadas em situações relacionadas à compra de um terreno, aqui-
sição de casas, pintura de paredes, ladrilhamento de pisos, entre outras situações.
Também é utilizada para saber qual a quantidade de piso ou revestimento de parede
para se colocar em um cômodo, ou para sabermos a superfície de um município.
A unidade padrão das medidas de superfície é o metro quadrado m2. Em algu-
mas ocasiões, outras unidades de medidas como o km² são utilizadas, por exemplo,
na medição da área de uma reserva florestal.
Depois da leitura do texto, proponha as seguintes atividades:
1. Uma parede tem 3 metros de comprimento por 4 metros de altura, formando assim uma área de 12 m2. Outra parede mede 30 cm de comprimento por 40 cm de altura, formando assim a área de 1200 cm2. Utili-zando o metro de pedreiro compare as medidas e verifique qual parede tem área maior.
2. O tampo de uma mesa tem uma área que mede 120 cm2. Sabendo que a medida da área de outro tampo de mesa mede 2 m2. Qual tampo tem maior área?
3. Márcia comprou um piso para reformar sua casa. Esse piso tem as dimensões 15 cm de largura por 20 cm de comprimento, totalizando uma área de 300 cm2. Já Augusta, sugeriu que Márcia comprasse um piso com dimensões 1 m por 0,5 m, totalizando uma área de 0,5 m2. Qual dos pisos Márcia gastará mais quantidade.
Peça a dois alunos que preencham a tabela abaixo no quadro:
Metros 1 30
Centímetros 5000
litros 1 20
ml 250
Quilogramas 1 75
Miligramas 500
Metro quadrado 1 0,25
Centímetro quadrado 50
Fonte: http://www.sxc.hu/pho-to/1192445
Fonte: http://www.sxc.hu/pho-to/1413427
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 75
Aspectos pedagógicos
� O início da atividade é para que os alunos sugiram medidas para certas quantidades de alimentos, entre
outros.
� O professor pode dispor os alunos em duplas durante a leitura dos textos.
� O preenchimento do quadro pode ser feito por um aluno na lousa do professor juntamente com a ajuda
dos colegas.
É esperado que o aluno seja capaz de estabelecer a relação entre alguma (s) das unidades de medidas das
grandezas apresentadas na atividade; há expectativa de que sejam apresentados questionamentos sobre a relação
nas unidades de medidas de superfície comparando-as com as relações existentes entre as unidades de medidas
lineares (ou de comprimento).
SEÇÃO 1 – Reconhecendo a áreaPáginas no material do aluno
153 a 156
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Multidões
trena, calcula-
doras, cópias
do texto sobre
estimativas
de público
presente, fita
crepe.
Nessa atividade o aluno será
estimulado a utilizar uma
unidade de referência (o me-
tro quadrado) para estimar
a quantidade de pessoas
presentes em um evento
assistido por uma multidão.
Turma dispos-
ta em trios.30 minutos
Professor, após a aplicação de uma das atividades iniciais e durante o desenvolvimento do conteúdo desta
unidade você pode explorar as atividades sobre área de figuras planas que descrevemos nesta seção. Utilize-as de
acordo com a sua necessidade.
Nessa seção, procuramos: apresentar atividades em que seja necessário comparar as áreas de regiões planas,
sem necessariamente utilizar fórmulas; construir objetos a partir de informações a área de sua superfície; perceber
que a medição de figuras planas é a comparação da região observada com uma unidade de medida. Todas as ati-
vidades estão concatenadas com as habilidades que se relacionam com o conteúdo que será abordado, utilizando
recursos tecnológicos ou não.
Aspectos operacionais
76
Discussão inicial
Pergunte aos alunos se eles já estiveram presentes em grandes eventos como comícios, réveillon em Copaca-
bana, etc. Pergunte quantas pessoas eles acham que estiveram presentes e como essa informação é obtida. Proble-
matize brevemente com os alunos ideias e maneiras de calcular o número de pessoas presentes em grandes eventos.
Em seguida, entregue o texto abaixo para os trios para leitura e resolução das atividades propostas.
Leitura em trios do texto5:
Início do texto
Quantas pessoas foram à praia de Copacabana para ver os fogos na passagem de ano? Quantas pessoas esta-
vam nos comícios da campanha Diretas Já?
Quando um evento reúne uma multidão e não há controle de bilheteria ou de portaria, no dia seguinte apare-
cem as notícias nos jornais com o número de pessoas presentes no evento. Entretanto, sempre existem várias versões
contraditórias. Existe o número dos organizadores, da polícia, da prefeitura. E eles nunca batem...
Mas como eles chegam nesses números? Como saber se havia dois ou três milhões de pessoas? Afinal, como
se contam multidões?
Primeiramente, não se conta. O que é feito por qualquer uma das partes é dar um “chute”. Os estatísticos, mate-
máticos e geógrafos não gostam desta palavra. Eles preferem estimativa ao invés de chute. Para eles chute é coisa de
estudante. Na verdade a estimativa nada mais é do que um chute baseado em algum dado concreto.
E aqui começa a resposta. O único dado concreto nesses eventos é a área disponível para ser ocupada pelo pú-
blico. Seja numa avenida, parque ou praia é sabido de antemão a área que ela ocupa. Então o que é feito é dividir esta
área enorme em pequenos quadrados imaginários de um metro quadrado cada e contar quantas pessoas tinham em
um único quadrado imaginário. Basta enfim multiplicar pelo número de quadrados que existem na área total.
Vejamos um exemplo:
No dia 01/01/2013, foi manchete na imprensa carioca6:
Queima de fogos leva mais de 2 milhões às areias de Copacabana
5 As fontes para o texto e figuras foram: http://ghiorzi.org/aglom.htm, http://www.eduexplica.com/2009/12/como-se--calcula-multidoes-em-um-evento.html, http://www0.rio.rj.gov.br/defesacivil/IT 20CEPD 20001.pdf.
6 http://noticias.terra.com.br/brasil/cidades/queima-de-fogos-leva-mais-de-2-milhoes-as-areias-de-copacabana,b7482050334fb310VgnVCM5000009ccceb0aRCRD.html
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 77
A região destinada ao público para assistir a queima de fogos está indicada na figura abaixo:
No mapa abaixo, selecionamos o trecho da Av. Atlântica e da faixa de areia compreendidos entre a Av. Princesa
Isabel e a Rua Francisco Otaviano.
78
A medida da área dessa região é aproximadamente igual a 553.000m2
Isto é, para cobrir a região indicada com placas quadradas de lado igual a ,
seriam necessárias quinhentas e cinquenta e três mil placas.
Sabendo disso, vamos agora pensar em quantas pessoas cabem em cada
uma dessas placas.
Normalmente, em cada uma dessas placas, vamos encontrar cerca de quatro
pessoas como indicado na figura ao lado.
Note que não há espaço que permita a passagem de pessoas, mas é possível
ver algumas áreas vazias.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 79
Se imaginarmos que em todas as placas as pessoas estavam aglomeradas dessa maneira, para estimar quantas
pessoas presentes, basta multiplicar a quantidade de pessoas por placa pela quantidade de placas necessária para
cobrir o espaço disponível na areia e na Av. Atlântica:
número de pessoas por placa × no de placas.
1. De acordo com essas informações, você acha que a manchete exagerou ou deu uma informação razoável sobre o número de presentes?
2. Imagine que a sala de aula corresponde a um trecho da faixa de areia. Quantas pessoas caberiam nessa sala. Sem usar a trena ou sua calculadora. (Considere que na sala não há mesas, carteiras, ...)
Discussão após o texto:
Após a leitura do texto, use a fita crepe e a trena para construir no chão um quadrado com . Convide os alunos
a vivenciar várias “densidades”: 2 pessoas no quadrado, 4 pessoas no quadrado, 8 pessoas no quadrado, etc. Peça para
eles relacionarem cada uma dessas possibilidades com situações reais: ônibus vazio/lotado, trens, filas, etc.
Uma solução:
� Distribua as calculadoras para resolução do primeiro problema:
quantas pessoas por placa no de placas
4 2.212.000
A estimativa de mais de dois milhões de pessoas apresentada na manchete é razoável.
� No segundo problema, será necessário conhecer a área da sala. A sala deve ser medida com a trena. Nesse
caso, o número de pessoas na sala será:
Aspectos pedagógicos
� Acompanhe os trios e verifique se não haverá confusão entre 553.000 (quinhentos e cinquenta e três mil) e
553. É possível também que os alunos encontrem dificuldades em “ler” o valor total encontrado 2.212.000
(dois milhões e duzentos e doze mil)
� Enquanto os trios estiverem lendo o texto e resolvendo os problemas, você pode circular entre elas para
auxiliar em possíveis dificuldades de compreensão do texto ou de manipulação da calculadora.
� Na resolução do segundo problema, caso nenhum trio sinta necessidade de conhecer a área da sala, pro-
blematize com eles quais os dados necessários e como podem ser obtidos.
� Caso haja interesse e receptividade dos alunos, o professor pode usar a ferramenta http://www.freemapto-
ols.com/area-calculator.htm para selecionar áreas no mapa e determinar sua área.
80
SEÇÃO 1 – Reconhecendo a áreaPáginas no material do aluno
153 a 156
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Construindo
uma caixa
Régua, te-
soura, papel
quadriculado
de 1 cm de
lado e 1 caixa
de sapatos
sem tampa
–
A divisão da
turma pode
ser feita em
duplas, mas,
também, pode
ficar a cargo
do professor.
30 minutos
Aspectos operacionais
Desmontando a caixa de sapato
Nessa atividade o professor irá propor aos alunos que construam uma caixa cuja base retangular tenha medida
área igual a um valor previamente fixado.. Porém, antes dos alunos começarem a confeccionar a caixa, o professor
deverá introduzir a aula trazendo uma caixa de sapato para abrir na frente dos alunos. Dessa forma, eles terão uma
ideia de qual formato tem uma caixa de sapato antes de ser dobrada.
Quando aberta a caixa terá o seguinte formato:
Construção da caixa pelos alunos
O professor pode orientar os alunos durante a construção da caixa seguindo os passos abaixo:
1. Recorte o papel quadriculado no formato de um retângulo com 30 cm de largura por 50 cm de comprimento.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 81
2. Proponha aos alunos que cortem quadrados com medidas de lado de 10 cm nos quatro cantos do retân-gulo, conforme figura abaixo:
3. Agora peça aos alunos que calculem a área total da nova figura retirando os quatro quadrados cuja medida da área de cada um é 10 m2. E anotem no caderno o valor da área.
Solução:
ÁREA DO RETÂNGULO INICIAL = 30 × 50 = 1500 cm2
ÁREA DE DE UM QUADRADO DE 10 cm = 100 cm2
4 QUADRADOS DE 100 cm2 = 4 × 100 = 400 cm2
ÁREA TOTAL DA CAIXA = 1500 – 400 = 1100 cm2
4. Construa uma tabela para que os alunos possam completar e calcular a área com cortes de diferentes tama-nhos de quadrados. Mas, não é necessário que eles cortem mais quadrados utilizando o papel cartão. Peça a eles que imaginem, anotem e façam os cálculos.
Nessa etapa o professor pode sugerir algumas áreas dos quadrados menores para que os alunos realizem o
cálculo das áreas finais:
Medida do lado dos quadrados laterais
Área de cada quadrado lateral
Soma das áreas dos 4 quadrados
Área final da caixa = AREA TOTAL – AREA DOS QUADRADOS
10 cm 100 cm2 4*100= 400 cm2 1500-400= 1100 cm2
11 cm 121 cm2 4*121= 484 cm2 1500-484= 1016 cm2
12 cm 144 cm2 4*144= 576 cm2 1500-576= 924 cm2
13 cm 169 cm2 4*169= 676 cm2 1500-676= 824 cm2
13,5 cm 182,25 cm2 4*182,25= 729 cm2 1500-729= 771 cm2
14 cm 196 cm2 4*196= 784 cm2 1500-784= 716 cm2
14,2 cm 201,64 cm2 4*201,64=806,56 cm2 1500-806,56=693,44 cm2
15 cm 225 cm2 4*225=900 cm2 1500-900= 600 cm2
82
5. Depois da construção dessa tabela o professor pode fazer algumas perguntas aos alunos. Veja as sugestões abaixo.
� Qual deve ser o maior tamanho dos quadrados laterais para que a caixa sem tampa tenha uma base retan-
gular e a área dessa base meça 300 cm2?
Solução:
Teríamos algumas opções para esse caso:
Quadrados com 14 cm de lado:
ÁREA = 2 x 22 = 66 cm2
Quadrados com 13 cm de lado:
ÁREA = 4 x 24 = 96 cm2
Quadrados com 12 cm de lado:
ÁREA = 6 x 26 = 156 cm2
Quadrados com 11 cm de lado:
ÁREA = 8 x 28 = 224 cm2
Quadrados com 10 cm de lado:
ÁREA = 10 x 30 = 300 cm2
Logo: a maior medida para o lado dos quadrados laterais nas condições exigidas na questão deve ser: 10 cm.
� Qual a diferença entre o quadrado e o retângulo?
O quadrado possui 4 lados iguais e 4 ângulos iguais enquanto, o retângulo possui os lados opostos iguais e 4
ângulos iguais.
� É possível, com o material apresentado, produzir uma caixa com altura de 15 cm?
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 83
Não. Pois, assim não sobraria papel para fazer a base da caixa.
Observe que se tivessem 4 quadrados com medidas de 15 cm de lado cada um, então a área de cada quadra-
do seria 15 x 15 = 225 cm2, como são 4 quadrados a área dos quadrados a serem recortados seria 4 * 225 = 900 cm2.
Observe que apesar de ainda sobrar papel, o formato da caixa depois dos recortes dos quadrados fica diferente do
formato da caixa inicial. Devido ao exposto não conseguiríamos montar a caixa com o papel restante.
Aspectos pedagógicos
� É possível que os alunos não percebam que a montagem da caixa exige sejam retirados dos quatro cantos:
� Quadrados
� Quarados iguais
No primeiro caso, se este tipo de dúvida surgir, sugira que eles experimentem recortar dos cantos outras fi-
guras planas (que não sejam quadrados) e tentem montar a caixa. No segundo caso, sugira que eles experimentem
recortar dos cantos quadrados diferentes e tentem montar a caixa.
� Explore a caixa planificada para reforçar a necessidade de que sejam cortados dos quatro cantos do retângulo 4 quadrados iguais.
É possível que os alunos compreendam não ser possível construir uma caixa de altura 15 cm a partir do retân-
gulo de 30 × 50 sem, no entanto, perceber que na verdade não é possível construir uma caixa de altura maior ou igual
a 15 cm a partir do retângulo de 30 × 50. Problematize essa questão com os alunos. Estimule-os a propor soluções
para que caixas de altura maior ou igual a 15 cm sejam construídas.
Seção 2Outros tipos de área
Nesta seção, apresentamos atividades que envolvem o cálculo ou comparação de área de figuras planas dife-
rentes do retângulo (triângulo, losango, trapézio, entre outros). Dessa maneira, a atividade “Reorganizando” cumpre
um papel importantíssimo, pois proporciona ao aluno a dedução das fórmulas da área de figuras planas, que comu-
84
mente são decoradas. O intuito nessa atividade é a de mostrar para os alunos a origem das expressões que represen-
tam a área. Nas atividades seguintes, propomos atividades que representem situações vivenciadas no cotidiano e/ou
que colaborem para a percepção da conservação de área.
SEÇÃO 2 – Outros tipos de áreaPáginas no material do aluno
157 a 163
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Reorganizando7
Tesouras,
fitas adesivas,
triângulos e
trapézios feitos
com cartolina.
(Em cada figu-
ra, indique de
forma algébri-
ca ou numéri-
ca as medidas
de: alturas e
bases, para
os triângulos;
diagonais,
para os losan-
gos; e altura e
bases maior e
menor, para os
trapézios).
Nessa atividade, o aluno
deduz as fórmulas de cál-
culo de área do triângulo,
losango e trapézio, reorga-
nizando essas figuras até
obter um retângulo de área
equivalente.
Turma dispos-
ta em trios,
propiciando
trabalho
organizado e
colaborativo.
25 minutos
Aspectos operacionais
� Antes de distribuir as figuras, desenhe um retângulo no quadro e discuta com os alunos quais as informações necessárias para o cálculo da área do retângulo e registre a fórmula de cálculo de sua área.
� Distribua as figuras entre as duplas e oriente-as a recortá-las e reorganizá-las de modo a:
� obter um retângulo e
� calcular sua área.
7 Fonte das ideias e figuras: Geometria no Plano e no Espaco I – Algumas demonstracoes geometricas
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 85
Algumas soluções:
Partindo da Área do Retângulo:
podemos deduzir:
� Área do triângulo
Considere dois triângulos de altura h e base b:
Recorte os triângulos pelas alturas de modo a produzir 4 triângulos dois a dois iguais que possam ser reorga-
nizados como indicado na figura abaixo:
86
� Área do losango
Considere um losango de diagonais d e D.
Recorte o losango pelas diagonais obtendo 4 triângulos. Reorganize-os de modo a obter o retângulo indicado
na figura abaixo:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 87
� Área do trapézio
Considere dois trapézios de altura h e bases B e b. Recorte um deles de modo a obter os dois triângulos e o
retângulo indicados abaixo:
Reorganize-os de modo a obter o retângulo indicado na figura abaixo:
88
Aspectos pedagógicos
� Talvez seja necessário relembrar a definição de diagonais do losango.
� O professor deve circular na sala orientando os alunos a proporem decomposições das figuras em retân-
gulos para os quais seja possível determinar as medidas de seus lados a partir dos dados iniciais fornecidos
em cada figura.
� Como algumas decomposições podem exigir a utilização de dois triângulos iguais, por exemplo, estimule-os
a não trabalhar apenas com uma única figura de cada vez.
Caso os alunos se mostrem pouco familiarizados com as fórmulas de cálculo de áreas apresentadas, reforce a
obtenção da fórmula da área do retângulo explorando retângulos cujas medidas dos lados sejam números inteiros.
Proponha aos alunos que desenhem no caderno um retângulo de lados de medidas 2 cm e 3 cm, por exemplo, e
peçam que eles subdividam os lados para gerar um malha quadriculada de quadrados de lados de medida 1cm. Peça
que contem os quadradose estabeleçam uma relação entre a quantidade obtida e o resultado de 2 × 3.
SEÇÃO 2 – Outros tipos de áreaPáginas no material do aluno
157 a 163
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Construindo
um telhado
colonial e
calculando os
gastos
Calculadora
Através de um problema
proposto pelo professor os
alunos irão calcular os gas-
tos e quantidade de telhas
para a construção de um
telhado colonial.
Individual ou
a cargo do
professor
30 minutos
Aspectos operacionais
O professor irá propor um problema inicial aos alunos:
Seu Jorge deseja construir seu próprio telhado. Após pesquisar na internet e conversar com alguns amigos ele
decidiu fazer o telhado com formato de 4 águas. Esse tipo de telhado forma quatro inclinações para o escoamento
da água pluvial e dá uma estética bonita para a casa. A figura abaixo representa a vista superior do telhado que seu
Jorge deseja construir. A partir da análise da figura abaixo vamos responder algumas dúvidas que seu Jorge necessite
esclarecer antes da construção do telhado.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 89
Figura 1
Disponível em: http://www.amma.com.pt/?p=5689, acessado em 15 Jan 2013)
� Qual a área total do telhado, já que ele é formado por dois triângulos e dois trapézios, conforme mostra a
figura?
Cálculo da área do triângulo Cálculo da área do trapézio
A= (b x h)/2 A=(B+ b)*h/2
A = (5,60 x 6,75)/2 A=(18+8)*4/2
A=18,9m2 A=(26*4)/2
A=104/2
A=52 m2
Como são 2 triângulos que possuem área de 18,9 m2 então:
2 x 18,9 = 37,8m2
Como são 2 trapézios que possuem área de 52 m2 então:
90
2 x 52 = 104 m2
Então, a área total seria a soma das 4 figuras, os 2 triângulos e 2 trapézios, então o valor da área do telhado será:
ÁREA TOTAL = 37,8 + 104 = 141,8 m2
� Já que são necessárias 16 telhas por metro quadrado e deve-se comprar 3% a mais do total das telhas para
suprir aquelas que por ventura venham a quebrar durante a construção do telhado, quantas telhas em fim
seu Jorge deve comprar?
Quantidade de telhas a ser compradas:
1 m2 = 16 telhas, 141,8 m2 = 141,8 x 16 telhas = 2268,8 que corresponde aproximadamente: 2269 telhas.
Quantidade de telhas que devem ser compradas a mais para suprir a perda a material:
3% do total de telhas
3/100 x 2269 = 0,03 x 2269 =68,07 que corresponde a 69 telhas aproximadamente
Logo, serão necessários comprar 2269 + 69 = 2338 telhas
Na hora da compra das telhas, seu Jorge descobriu que pode comprá-las de duas formas: por lotes de mil
(milheiros), no valor de R$ 700,00 cada milheiro ou por unidade de telhas no valor de R$ 0,85 cada telha. Para tomar a
melhor decisão (qual forma será mais barata), Seu Jorge tem que comparar o preço de cada telha. Por isso ele calcula
o preço da unidade comprada no milheiro.
1. comprando o milheiro, quanto custa cada unidade de telha?
R$ 700,00 : 1000 telhas = R$ 0,70 cada telha
2. Qual o custo total das telhas considerando o valor total de telhas encontrado na questão anterior?
Como são necessárias 2338 telhas o valor a ser pago será:
2 milheiros = 2 x R$ 700,00 = R$ 1400,00
e
338 telhas individuais = 338 x 0,85 = R$ 287,30
Portanto:
O valor total a ser pago será 1400,00 + 287,30 = R$ 1687,30.
Aspectos pedagógicos
� A situação problema pode ser proposta em uma folha impressa ou até mesmo no quadro negro.
� Depois da explanação do problema o professor pode propor as questões no quadro para que os alunos
realizem os cálculos.
� Durante a realização dos cálculos o professor pode circular pela sala para retirar dúvidas que possam surgir
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 91
ao longo da execução da questão.
� Como se trata de EJA os alunos podem questionar a quantidade de telhas e também perguntar um pouco
sobre inclinações. O texto abaixo pode servir como ilustração para esclarecimento da questão:
Cálculos da quantidade necessária de telhas, para cada tipo usado!
Existe uma grande variedade de materiais para telhamento de coberturas. Porém, essa escolha depende de
diversos fatores, como: o custo, qualidade, entre outros. Porém, na construção de um telhado colonial deve-se con-
siderar algumas condições mínimas: impermeabilidade, resistência, peso próprio e dimensões, articulação, durabili-
dade, etc.
Existem diversos tipos de telhas, e cada um possui um cálculo para obter a quantidade necessária para cada
metro quadrado. Abaixo, seguem alguns tipos:
Telha Francesa
Inclinação : 30%
Peso: 2,6 kg/peça
Quantidade: 16 telhas/m2
Telhas Francesas, planas de encaixe em suas bordas com saliências e reentrâncias. Ressalto na face inferior
para apoio na ripa e outro (orelha de aramar) usada para eventual fixação à ripa em regiões com muito vento ou nas
inclinações acentuadas.
Telha Portuguesa
Inclinação : 30%
Peso: 2,6 kg/peça
Quantidade: 16 telhas/m2
A Telha Portuguesa é ideal para construção e acabamento de telha-
dos ondulados, principalmente se o projeto exige uma releitura de estilo e épo-
ca ou pretende dar uma forma mais arredondada e com movimento ao telhado.
A montagem, simples e prática, é facilitada pela hegemonia de cada peça, com encaixe per-
feito e ondulação simetricamente definida.
92
Telha Italiana
Inclinação : 30%
Peso: 3,1 kg/peça
Quantidade: 13,5 telhas/m2
Telha Paulista
Inclinação : 20%
Quantidade: 26 telhas/m2
Paulista, capa e canal em forma de meia-cana. Os canais que se apóiam acima
das ripas com um ressalto na face inferior que têm uma largura maior; e as capas se
apóiam sobre os canais, com largura menor; possuem uma reentrância para permitir
o perfeito acoplamento com os canais e uma saliência inferior para o deslizamento
da telha.
Telha Colonial
Branca e Mesclada
Inclinação: 20%
Peso : 3,0 kg
Quantidade p/m²: 18 unid.
Colonial, com forma capa e canal iguais, com reentrâncias no lado convexo e um reentrância no lado côncavo.
Telha Romana
Inclinação : 30%
Peso: 2,6 kg/peça
Quantidade: 16 telhas/m2
Romana, telha plana com uma leve ondulação longitudinal, usada para o encaixe da capa com o canal, forma-
do pela mesma telha invertida, cada uma ocupando aproximadamente a metade da telha.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 93
Telha Americana
Inclinação : 30%
Peso: 3,1 kg/peça
Quantidade: 11,5 telhas/m2
O que significa inclinação?
A inclinação dos telhados é medida em porcentagem. É comum, junto com a telha vim especificado o tipo de inclinação.
“O telhado tem inclinação de 10%” ou
“O telhado tem inclinação de 30%”.
Mas o que isso significa?
10% é igual a 10cm/100cm, ou, 10 dividido por 100.
Ou seja: a cada 100 cm (1 metro) na horizontal, o telhado sobe 10 cm na vertical, vejam a figura:
A mesma ideia serve para o telhado com 30% de inclinação:
94
SEÇÃO 2 – Outros tipos de áreaPáginas no material do aluno
157 a 163
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Cálculo da
área de triân-
gulo utilizando
o Tangram
O TANGRAM
construído
conforme
a figura da
página 161 do
material do
aluno.
–
A divisão pode
ser em duplas
ou trios.
25 minutos
Aspectos operacionais
No início dessa atividade o professor irá fazer uma abordagem sobre o TANGRAM conforme foi explicitado na
página 161 do material do aluno.
Construindo o TANGRAM
Em seguida, o professor propõe as medidas iniciais para que o tamanho do TANGRAM seja o mesmo para todos os
alunos. Sugerimos que o recorte do EVA ou do papel cartaz seja em forma de quadrado com medida de lado igual a 10 cm.
Um Tangram possui: dois triângulos grandes, três triângulos menores, um paralelogramo e um quadrado. Con-
forme o desenho a seguir:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 95
Antes de propor a atividade seguinte ao aluno, recomenda-se a exibição do vídeo, que segue no pendrive com
arquivo identificado como vídeo tangram.áreas.swf.
Esse vídeo pode ser uma boa ferramenta para que os alunos possam compreender as relações e proporções
que as peças do tangram apresentam.
Calculando áreas dos triângulos com as peças do Tangram confeccionado
Proponha aos alunos que calculem a área dos 5 triângulos existentes no Tangram confeccionado. Faça algumas
perguntas aos alunos para que eles descubram as medidas dos lados e das alturas de cada triângulo. Algumas suges-
tões de perguntas encontram a seguir:
1. Quais as medidas das bases dos triângulos maiores, AGI e IGJ, do Tangram que foi confeccionado?
Como foi cortado um quadrado de lado 10 cm, a medida da base dos triângulos AGI e IGJ medem 10 cm.
2. Qual a medida da altura desses triângulos? Qual a área do triângulo AGI?
Sendo F o ponto médio do lado EJ do quadrado maior e G o ponto de encontro das diagonais do quadrado en-
tão, as alturas dos triângulos AGI e IGJ são iguais e medem 5 cm. Logo as bases AI e IJ medem 10 cm cada uma. Então:
96
Logo, a área do triângulo maior mede:
(base x altura)/2 = (10x5)/2=25cm2
3. Qual a classificação do triângulo BEF quanto aos ângulos? Qual é a medida da base BE e da altura EF?
Esse triângulo é chamado de triângulo retângulo pois ele possui um ângulo reto E. Partindo do mesmo princí-
pio do exercício anterior, sendo F o ponto médio do lado EJ do quadrado AEIJ, então a altura EF do triângulo mede 5
cm. Assim como, B é ponto médio de AE, então a base BE mede 5 cm.
4. Sabendo que os segmentos AB e CD são paralelos, qual é a medida da base do triângulo CGD?
Como B é ponto médio do segmento AE e o segmento AB // CD então a base CD mede 5cm.
5. Calcule as demais áreas dos outros triângulos e em seguida, construa uma tabela que estabeleça as rela-ções entre áreas desses triângulos?
ÁREA= (5 x 2,5)/2
ÁREA= (12,5)/2
ÁREA= 6,25
ÁREA= (5 x 2,5)/2
ÁREA= (12,5)/2
ÁREA= 6,25
ÁREA= (5 x5)/2
ÁREA=25/2
ÁREA=12,5
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 97
Observando os valores das áreas encontrados nos triângulos desse TANGRAM conforme a tabela:
TRIÂNGULO ÁREAAGI 25
IGJ 25
CGD 6.25
BEF 12.5
JHF 6.25
Os triângulos CGD e JHF possuem um quarto da área de cada um dos triângulos AGI e IGJ, enquanto o triângu-
lo BEF tem a metade da área do triângulo AGI e IGJ.
Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno
164 a 165
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Reformando
uma sala de
aula
Material EVA,
fita métrica,
caneta, papel e
calculadora.
–
A turma pode
ser dividida
em duplas ou
a cargo do
professor
50 minutos
Nessa seção, apresentamos atividades parecidas com as atividade iniciais, com o intuito de resgatar a discus-
são estabelecida com a atividade disparadora e continuada com as atividades da seção “Reconhecendo a área”.
Aspectos operacionais
Para iniciar a atividade, o professor escolhe uma sala de aula retangular ou quadrada que esteja vazia na escola.
Caso não haja uma sala disponível, pode utilizar a sala de aula que esteja lecionando, desde que ela seja quadrada ou
retangular.
O professor deve propor a tarefa aos alunos de reformar a sala de aula colocando os pisos. Para isso, será neces-
sário calcular a quantidade necessária de pisos para a reforma da sala.
O professor poderá propor aos alunos o corte de uma folha de EVA num tamanho de 40 cm de comprimento
por 50 cm de largura. Conforme exemplo abaixo:
98
1. Calculando a área do chão da sala de aula onde o piso será colocado
Para saber o tamanho total da área do chão, peça para que dois alunos voluntários meçam o comprimento
e a largura da sala de aula. Depois de tiradas as medidas, o professor pode pedir para cada aluno desenhar em seu
caderno um modelo da sala com as respectivas medidas tiradas. É uma maneira do professor saber se os alunos já
conseguem registrar a ideia “retângulo”. Em seguida, o professor pode desenhar no quadro o formato da sala e escre-
ver as medidas conforme foram tiradas pelos alunos.
Supondo nesse momento que as medidas da sala sejam:
Comprimento = 3 m
Largura = 4 m
Em seguida, o professor irá calcular a área da sala.
Área do chão da sala: comprimento x largura
Então, a área será: 3 x 4 = 12 m2
2. Calculando a área do piso de EVA
Para calcular a quantidade de pisos necessários será fundamental calcular a área de cada piso, aqui usaremos
as medidas do piso de EVA proposto.
Sabendo que a área de cada piso é calculada pela fórmula Área= c x l e sabendo que nesse piso comprimento=
50 cm e largura= 40 cm, então a área de cada piso será:
ÁREA = 50 cm x 40 cm
ÁREA = 2000 cm2
3. Convertendo as medidas para metros
Porém, é importante observar que a unidade de medida do piso é centímetros e a unidade de medida da sala
é metros. Antes de realizar qualquer cálculo o professor deve propor aos alunos que sejam feitas inicialmente a con-
versão das unidades.
As medidas dos pisos estão em centímetros e devem ser convertidas em metros.
50 cm = 0,5 metros
40 cm = 0,4 metros
Área= 0,5 x 0,4 =0,20 m2
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 99
4. Calculando a quantidade de pisos necessários para a reforma do chão da sala
Para realizar esse cálculo será necessário que o aluno compreenda que para cobrir a sala toda, sejam utilizados
vários pisos. O professor pode colocar alguns pisos no chão ou até mesmo colocar pisos de EVA ao longo de uma
parede da largura e também ao longo de uma parede do comprimento. Esse ato pode induzir os alunos a construir
as demais fileiras, seja mentalmente ou até através de um esboço no caderno. Em seguida, o professor poderá fazer
algumas perguntas do tipo:
� Um piso de EVA cobre uma superfície de quantos metros quadrados?
0,20 m2
� Dez pisos de EVA cobrem uma superfície de quantos metros quadrados?
0,20 x 10 = 2 m2
� Qual a quantidade de pisos necessária para a reforma dessa sala?
Área do chão = 12 m2
Área do piso = 0,20 m2
Quantidade de pisos = 12 : 0,20 = 60 pisos
� Suponha que o metro quadrado desse piso custa R$ 15,00. Quanto você gastará com a compra dos pisos?
12 m2 x R$ 15,00 = R$ 180,00
Aspectos pedagógicos
Depois que os alunos perceberem que vários pisos de EVA cabem no chão da sala, o uso da palavra “cabem” é
o gancho para apresentar a divisão como a operação que traduz a comparação entre a unidade de medida e a área
da região em questão. Então, o professor pode explicar no quadro que dividindo a medida da área do chão da sala
pela medida da área do piso obtém-se a quantidade de pisos que serão necessários para a reforma do chão da sala.
O professor pode fazer uma explanação sobre o método de conversão de unidades antes ou durante a questão
apresentada anteriormente.
100
Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno
164 a 165
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Medindo áreas
Metro de pe-
dreiro; Durex;
Jornal.
Nessa atividade, deseja-
-se fazer com que o aluno
compreenda que medir
envolve a comparação entre
duas grandezas da mesma
natureza e a verificação de
quantas vezes uma grande-
za tomada como unidade de
medida cabe na outra.
Grupos de 4
ou 5 alunos.30 minutos
Aspectos operacionais
Levantando o conhecimento dos alunos
Aproveitando que alguns alunos do EJA, dependendo do seu trabalho, podem conhecer medidas, seria inte-
ressante começar a aula discutindo noções de grandezas como comprimento, massa, capacidade, etc.
Organize as carteiras da turma em forma de círculo. Em seguida, pergunte o que os alunos entendem como
medição. Nesse momento, provavelmente, muitas respostas passarão pelo uso de algum instrumento para a obten-
ção da medida. Dessa maneira, lance mão de algo deles.
Na sala de aula, o professor pode levar o metro de pedreiro e pedir para que um dos alunos meça todos os
lados desse quadrado. O professor pode perguntar aos alunos por que todos os lados são iguais e assim frisar a dife-
rença de um quadrado para um retângulo.
Em seguida, pergunte aos alunos o que significam expressões como:
“A área do terreno da minha casa é maior do que a da sua.”
Ou
“A área da quadra de futebol de salão é de 375 m².”
Os alunos podem dizer que a área é um espaço que ocupa a casa ou a quadra.
Em seguida, pergunte aos alunos se eles conhecem outras medidas de superfície como hectare ou alquei-
re, que são muito utilizadas em medidas agrárias. Se eles sentirem dificuldades o professor pode introduzir o
assunto dizendo:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 101
As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A
principal unidade destas medidas é o are (a) e possui um múltiplo, o hectare (ha)
Em seguida, peça para alguns alunos irem ao quadro e preencherem a tabela de equivalência dessas medidas.
Peça a eles para utilizarem a calculadora.
MEDIDA MULTIPLIQUE POR EQUIVALE A:ARE 100 100 m2
HECTARE 10.000 10.000 m2
ALQUEIRE PAULISTA 2,42 hectares 24.200 m2
ALQUEIRE MINEIRO 4,84 hectares 48.400 m2
ALQUEIRE BAIANO 9,68 hectares 96.800 m2
ALQUEIRE DO NORTE 2,72 hectares 27.200 m2
ALQUEIRE RIO DE JANEIRO 4,84 hectares 48.400 m2
Depois de preenchida a planilha deixe no quadro e questione aos alunos. Em qual estado brasileiro o alqueire
tem maior área? E menor área? Comente a igualdade de medidas de área dos alqueires nos estados do Rio de Janeiro
e Minas Gerais.
Em seguida, para mostrar que as unidades agrárias são superfícies muito grandes, o professor pode utilizar um
quadrado de área 1m2 feito com uma folha de jornal e perguntar para os alunos:
� Quantos quadrados desse tamanho seriam necessários para obter uma área de um are? E para obter uma
área de um hectare?
Como cada quadrado feito com jornais medem 1 m2 de área, são necessários 100 quadrados para obter um are.
E para obter um hectare seriam necessários 10.000 quadrados de 1m2 para obter um hectare(10.000 m2).
� Quantos ares têm uma área de 250 m2?
Como cada are tem 100 m2, basta dividirmos 250 m2 por 100 m2 = 2,5
Logo, 250 m2 correspondem a 2,5 a.
� Quantos decímetros quadrados têm 14 a?
Como cada are têm 100 m2, temos, 14 x 100 = 1 400 m2
Como nosso problema nos pede a resposta em decímetros, fazemos a conversão de 1400 m2 para dm2, ou seja,
1 400 x 100 = 140 000 dm2.
Logo, 14 a correspondem a 140 000 dm2.
� Quantos hectares correspondem 995000 m2?
Como cada ha têm 10.000 m2, basta dividirmos a área dada em 10.000 partes iguais:
99.5000 : 10.000 = 9,5
102
� O Parque Nacional da Serra da Canastra (MG) tem 71.525 ha. Quantos alqueires paulistas tem o parque
mineiro?
Sabemos que o parque mineiro tem 71525 ha. Para sabermos quantos metros quadrados correspondem esta
área, multiplicamos este valor por 10 000.
71.525 x 10.000 = 715.250.000 m2
Cada alqueire paulista corresponde a 24 200 m2, assim temos:
715.250.000 : 24.200 ≅ 29555
O Parque Nacional da Serra da Canastra tem então aproximadamente 29.555 alqueires paulistas.
� Uma propriedade rural, de forma retangular, mede 2420 m por 540 m.
1. Quantos alqueires mineiros tem essa propriedade?
2. Qual o valor da propriedade se o alqueire mineiro custa R$ 7200,00?
SOLUÇÃO:
1. Primeiro calcular a área da propriedade:
2420 x 540 = 1306800 m2
Sabendo que 1 alqueire mineiro = 48.400 m2, divida:
1.306.800 : 48.400 = 27 alqueires mineiro.
2. 27 x 7200 = 194.400
Portanto, R$ 194.400,00.
Aspectos pedagógicos
� É possível que os alunos encontrem dificuldade em fazer as conversões entre as diferentes unidades de
medidas. Se isto acontecer, aproveite problemas como:
Quantos ares têm uma área de 250 m2?
para efetuar o cálculo paulatinamente. Como cada are tem , é conveniente escrever
Isto é, estamos tentando identificar quantos ares “inteiros” cabem em 250. Vemos que
Basta agora, cuidar da sobra que é menor do que 1 are. Nesse caso, como 50 é metade de 100, podemos con-
cluir que
.
Sempre que possível, explore nos demais problemas estratégias desse tipo a fim de sedimentar os novos con-
ceitos bem como a conversão entre diferentes unidades de medidas.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 103
A estratégia de decomposição apresentada acima é bastante comum em alunos que fazem cálculos mentais.
Ela pode ser explorada e valorizada ao invés de deixá-los apenas reféns das calculadoras.
Veja ainda...Páginas no material do aluno
166 a 168
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Horário de
Verão8
geogebra,
cópias dos
textos.
Nessa atividade, os alunos
vão analisar uma explicação
para o uso do horário de
verão em termos do con-
sumo de energia elétrica,
fazendo uma analogia com
triângulos de bases e alturas
inversamente proporcionais,
mas com a mesma área. Isto
é, mesmo que o consumo
total (correspondendo à
área) for igual, o horário de
verão distribui (aumenta a
base) o consumo e diminui
o pico (a altura) de uso da
energia elétrica.
– –
Nessa seção, apresentamos atividades que apresentam relação com algum fato curioso, seja ele inerente a
matemática ou não, utilizando áreas de figuras planas e a variação de suas dimensões para associar a um problema
cotidiano.
Texto:
O horário de verão
Benjamin Franklin queria economizar velas no verão. Afinal, se os dias eram tão longos nessa época do ano,
por que não usar um truque e esticá-los um pouco mais? Foi assim que teve a ideia de propor o adiantamento dos
relógios. Assim, seria possível chegar do trabalho, jantar, relaxar e o sono chegaria com o dia ainda claro e uma boa
economia em velas.
E assim nasceu o horário de verão nos Estados Unidos, em 1784!
É claro que o nosso horário de verão não serve para economizar velas, certo?
8 http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1339, horariodeverao-guia.pdf, http://empresasefinancas.hsw.uol.com.br/horario--de-verao.htm, http://www2.elektro.com.br/elektroescolas/atividades_hverao.asp
104
Então por que ele é mantido?
Bem, na verdade, há uma pequena economia de energia com o adiantamento dos relógios, mas a grande
vantagem para um país como o nosso é distribuir o consumo por um espaço de tempo maior. Deixar as coisas mais
suaves para o nosso Sistema Elétrico Interligado. Assim, mesmo que as pessoas consumam a mesma quantidade de
energia elétrica durante o dia todo, o fato do Sol ainda estar no horizonte depois das seis horas diminui a chance de
que vários aparelhos e lâmpadas sejam ligados ao mesmo tempo.
No verão aumenta bastante o uso de ar condicionado. O pessoal do sul e sudeste não percebe tanto, mas do
Rio de Janeiro para o Norte as temperaturas são mais elevadas no verão. Isso faz com que, pela manhã e ao final do
dia, o consumo de energia fique lá nas alturas, com todo mundo tomando banho, com o ar ligado, TV, luzes acesas
etc.. Isso é chamado “demanda máxima durante o horário de ponta”. Se não for controlada, essa demanda pode so-
brecarregar o Sistema Elétrico Interligado e aí podem acontecer os temidos apagões que trazem muitos problemas
para todos. Sem o horário de verão, o consumo maior de energia acontece por volta das 18h, coincidindo também
com o consumo do comércio e da indústria. Com o adiantamento em uma hora, não há coincidência da entrada da
iluminação, pois em sua grande maioria o comércio e a indústria reduzem o seu consumo a partir das 18h.
Para exemplificar tudo isso, imagine o seguinte. Nas grandes cidades, as pessoas começam a chegar em casa
por volta de 18 horas, ou seja, no início da noite. Chegando em casa a pessoa liga a luz elétrica interna. Nessa mesma
hora, entra em operação a iluminação pública, placas de luminosos comerciais, etc. Além disso, as indústrias continu-
am trabalhando. Com o horário de verão, as cargas de iluminação pública e das residências passam a entrar após 19
horas, justamente quando o consumo industrial começa a cair. Com isso há a redução na carga nesse horário.
Pensando matematicamente, nós podemos imaginar dois triângulos de alturas diferentes, mas de mesma área.
Assim, basta aumentar a base e diminuir a altura na mesma proporção para que a área do triângulo seja mantida a
mesma.
A comparação que fazemos então é que a área do triângulo está associada ao consumo total e a altura seria
o consumo em horário de pico. Veja que assim teremos a seguinte situação: o consumo pode ser o mesmo, mas, nos
horários de picos, o consumo pode ser comparativamente menor. Esse é o segredo do horário de verão: diminuir o
pico de consumo de energia!
Aspectos operacionais
� Antes de distribuir o texto acima entre os alunos, discuta e registre no quadro opiniões da turma sobre o horário de verão: pra que serve? Funciona? Por quê?
� Distribua o texto O horário de verão entre os alunos para leitura individual.
� Retome a discussão e altere algum dado do registro se necessário.
� Abra o arquivo horariodeveraogeogebra.htm apresente e discuta a representação do consumo de energia com os alunos.
� A área dos dois triângulos é a mesma e representa o consumo de energia no verão.
� A altura de cada triângulo representa o pico de consumo de energia.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 105
� No caso do triângulo verde, a altura é o pico de energia quando o sol se põe às 18h.
� Ao deslocar o ponto para direita, você estará simulando o comportamento do consumo de energia quando
temos dias “mais longos” pela introdução do horário de verão (que retarda a chegada da noite). Como isso
implica em aumento da base do triângulo azul, para que a área seja mantida, é preciso que a altura do tri-
ângulo azul diminua. Isto é, que diminua o pico de consumo de energia.
Aspectos pedagógicos
� Durante a discussão e utilização do arquivo do geogebra horariodeveraogeogebra.html, o professor deve
ressaltar e insistir na relação inversa de diminuição da altura em função do aumento da base do triângulo
para que haja manutenção da área.
Veja ainda...Páginas no material do aluno
166 a 168
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
A lenda de
Dido9
projetor, có-
pias dos textos
dos proble-
mas.
Nessa atividade, os alunos
vão assistir a um vídeo A
Lenda de Dido sobre a fazen-
deira Elisa. Ela comprou tela
para fazer um cercado para
as suas ovelhas e está ten-
tando determinar o formato
para o cercado que permita
acomodar o maior número
de ovelhas em seu interior.
Para resolução
dos problemas
propostos
na atividade,
divida a turma
em trios,
estimulando
o trabalho
colaborativo.
35 minutos
Aspectos operacionais
� Inicialmente, a turma assiste ao vídeo.
� Em seguida, ela é dividida em trios para resolução dos problemas propostos:
9 Fonte das ideias e figuras: 343.pdf, livro_aprender_mais_matematica_ens_medio.pdf.
106
1.
2. O dono de uma granja quer construir um cercado retangular aproveitando um muro já existente. As dimen-sões do cercado podem variar, desde que ele sempre use 36 metros de tela para ser construído.
� Ilustrem alguns cercados que podem ser assim construídos e determine a área interna deles.
� Depois de ter assistido ao vídeo, você saberia dizer como construir o cercado que tivesse maior área interna?
Algumas soluções:
1.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 107
a. Cálculo das áreas
Área do retângulo = 6 × 2 = 12 cm2
Área do quadrado = 4 × 4 = 16 cm2
b. Cálculo dos perímetros
Perímetro do retângulo = 6 + 2 + 6 + 2 = 16 cm
Perímetro do quadrado = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 cm
2.
a. Alguns cercados retangulares que podem ser construídos com 36 m de tela aproveitando um muro já existente:
O da esquerda tem área igual a e o da direita, .
b. A apresentação do vídeo nos diz que são os polígonos regulares (isto é, com lados iguais) que maximi-zam a área interna. No entanto, ele nos explica como encontrar a maior área de uma região “completa-mente” cercada! Para podermos aproveitar as ideias do vídeo. Vamos imaginar que há um espelho em todo o muro e que a cerca que vamos construir é formada por dois pedaços: a cerca real e o seu reflexo. Já que o cercado da granja deve ser retangular, para obter área inscrita máxima, devemos considerar um quadrado. Como estamos considerando também o reflexo, devemos pensar em um quadrado com o dobro do perímetro. Isto é, com 72 m e lado, . Desse modo, o cercado com área interna máxima é:
E sua área é igual a 18 × 9 = 162 m2.
108
Aspectos pedagógicos
� O professor pode estimular os alunos a usarem o cálculo da área interna como elemento de decisão entre
duas propostas diferentes de cercados.
� O professor pode auxiliar os alunos a relembrarem informações fornecidas no vídeo para sedimentar as
ideias e conceitos apresentados.
Seção: Consolidação e avaliação
Nessa seção, apresentaremos atividades que retomam as habilidades verificadas nas seções anteriores, com o
intuito de consolidar e avaliar o processo de ensino-aprendizagem do conteúdo proposto.
Sugerimos a utilização dos dois últimos tempos de aula destinados a esta unidade. A seguir, apresentamos
sugestões para a retomada dos conteúdos trabalhados e para avaliação das habilidades pretendidas. Dividiremos
nossas sugestões avaliativas em duas etapas, conforme explicitadas a seguir:
Etapa 1: Registros de aprendizagens
Esta etapa pode estar articulada à seção “Momento de reflexão” disponível na p. 92 do material do aluno.
Aqui, você poderá propor que o aluno registre individualmente, numa folha de papel, as aprendizagens matemáticas
adquiridas com o estudo desta unidade. Para nortear esta avaliação, apresentamos algumas questões para os alunos,
que podem complementar as suas no que tange à avaliação do desenvolvimento das habilidades matemáticas pre-
tendidas.
A intenção é estabelecer relações entre conteúdos do capítulo e conteúdos já conhecidos pelo aluno. Em geral,
buscam atingir a compreensão e a explicação. Mais do que avaliar se o aluno sabe responder, supõe uma tomada de
consciência dos instrumentos e procedimentos utilizados, o que torna possível o aluno aplicá-los em outros contextos.
Como exemplo disso, trouxemos as seguintes questões:
1ª situação
A figura a seguir representa uma área quadrada, no jardim de uma residência. Nessa área, as regiões sombrea-
das são formadas por quatro triângulos cujos lados menores medem 3 m e 4 m, onde será plantado grama. Na parte
branca, será colocado um piso de cerâmica.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 109
O proprietário vai ao comércio comprar esses dois produtos e, perguntado sobre a quantidade de cada um,
a. Deverá responder que precisará de quantos metros quadrados de grama ?
b. E quantos metros quadrados de cerâmica o proprietário vai precisar ?
Resolução:
a. A área sombreada onde será plantada a grama é dada por ⋅⋅ = 23 4
4 24 m .2
b. De acordo com as informações, o lado do quadrado maior é igual a 7 m ( 3 m + 4 m ). Portanto, a área do qua-drado maior é igual a 7 x 7 = 49 m2; Dessa área total, retirando a parte da grama ( quatro triângulos = 24 m2 ), temos 49 m2 – 24 m2 = 25 m2 de cerâmica.
2ª situação
O Sr. João precisa cercar seu terreno. Utilizou 120 metros de arame que havia comprado em apenas uma volta
dada em todo terreno retangular. Ele sabe que o terreno de 40 metros de comprimento. Você seria capaz de calcular
a medida da largura do terreno para o Sr. João ? E se ele desejasse descobrir o valor da área desse terreno para futura-
mente vendê-lo, você saberia calcular tal área ?
110
Resolução:
Devemos avaliar se o aluno compreende que o perímetro do retângulo é 120 m, e por isso, teremos um re-
tângulo de medidas 40m, 40m, x m, x m. Com x metros de largura. Portanto, 40 + 40 + x + x = 120, teremos x = 20 m
(largura do terreno). Também deve reconhecer que a área do retângulo é dada pelo produto (largura x comprimen-
to) = 20 x 40 = 800 m2 (área do terreno ).
3ª situação
Observe a planta do apartamento que Joelma pretende comprar.
a. Para escrever um documento para o financiamento desse imóvel, Joelma precisa escrever por extenso a largura e o comprimento do Dormitório 1. Como ela deve escrever essas medidas ?
b. Joelma pretende revestir a sacada com um piso de madeira. Para isso, precisa saber a medida da área da sacada para comprar as peças de madeira. Qual seria a medida dessa área ?
c. Qual é o maior banheiro do apartamento ? Justifique.
Resolução
a. Dois metros e setenta e cinco centímetros e três metros e sessenta centímetros.
b. 10,125 metros quadrados.
c. O banheiro 1, por ter área maior que o banheiro 2.
Sugerimos também, que este material seja recolhido para uma posterior seleção de registros a serem entre-
gues ao seu formador no curso de formação presencial.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 111
Etapa 2: Questão Objetiva
Sugerimos nesta etapa, a escolha de uma questão objetiva que contemple uma habilidade pretendida nesta
unidade para compor o instrumento avaliativo. Se desejar, você pode escolher, a seu critério, uma das questões pro-
postas na seção “O que perguntam por aí?” disponível da p. 95 e 96 do material do aluno. A ideia é que o aluno se
familiarize com questões cobradas em avaliações de larga escala, como ENEM, vestibulares, concursos, etc.
1. (Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a pri-meira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:
a. 2xy
b. 15 – 3x
c. 15 – 5y
d. –5y – 3x
e. 5y + 3x – xy
2. (Enem 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que con-some 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio).
112
Avaliando-se todas as informações, serão necessários
a. quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B.
b. três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.
c. duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
d. uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.
e. nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.
3. (Enem 2000) Em uma empresa, existe um galpão que precisa ser dividido em três depósitos e um hall de entrada de 20m2, conforme a figura abaixo. Os depósitos I, II e III serão construídos para o armazenamento de, respectiva-mente, 90, 60 e 120 fardos de igual volume, e suas áreas devem ser proporcionais a essas capacidades.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 113
A largura do depósito III dever ser, em metros, igual a:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
4. (Ufrgs 2008) Na figura abaixo, A, B e C são vértices de hexágonos regulares justapostos, cada um com área 8.
Segue-se que a área do triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C é
a. 8.
b. 12.
c. 16.
d. 20.
e. 24.
Resoluções
Resposta da questão 1:
[E]
Como o retângulo de dimensões ×x y está contido nos retângulos de dimensões ×5 y e ×3 x, segue que a
área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por + −3x 5y xy.
Resposta da questão 2:
[C]
114
Calculando as áreas dos ambientes, obtemos
= ⋅ = 2IS 8 5 40 m ,
= − ⋅ = 2IIS (14 8) 5 30 m ,
= − ⋅ − = 2IIIS (14 8) (9 5) 24 m
e
− += ⋅ = 2
IV(14 8) 4
S 7 35 m .2
Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do tipo A (ambien-
tes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV).
Resposta da questão 3:
[D]
Área destinada aos fardos: 2A (10 11) 20 90m .= ⋅ − =
x é a largura do depósito 3.10x _______12090 _______270
2700x 10800x 4m==
Resposta da questão 4:
[B]
Sabemos que, de acordo com a figura abaixo, que o triângulo ABC é composto por 3 metades de hexágono ( a
área do hexágono é 8, logo a metade é 4 ), ou seja, a área do triângulo é igual a 3x4 = 12.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 115
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Volume 2 • Módulo 1 • Matemática • Unidade 8
Avançando com as áreas de figuras planasAndré Luiz Cordeiro dos Santos, Gabriela dos Santos Barbosa, Josemeri Araujo Silva Rocha,
Luciane de Paiva Moura Coutinho
IntroduçãoNa unidade 8 do material do aluno, são apresentadas algumas situações
que envolvem o cálculo de área de polígonos irregulares e também o cálculo da
área de um círculo. Ao iniciar este módulo, é importante que você tenha uma
visão ampla da proposta apresentada.
“O cálculo de área é uma atividade cotidiana na vida de todos nós. Sempre
nos vemos envolvidos em alguma situação em que há a necessidade de se calcular a
área de uma forma geométrica plana. Seja na aquisição de um terreno, na reforma
de um imóvel ou na busca de reduzir custos com embalagens, o uso do conhecimento
de cálculo de áreas se faz presente. É uma atividade muito simples, mas às vezes dei-
xamos algumas questões passarem despercebidas.”
Fonte: Brasil Escola – http://www.brasilescola.com/matematica/analise-area-dos-poligonos.htm
Caro professor, os dois objetivos destacados no módulo do aluno (realizar
o cálculo de área de polígonos irregulares, utilizando triangulação e calcular áre-
as de círculo) podem ser enriquecidos com algumas das atividades propostas a
seguir que preparamos com carinho e muita dedicação, pensando em você, nos
seus interesses, nas suas necessidades e nas suas dúvidas e facilidades. A ideia
central que conduziu a produção da equipe foi, a todo o momento, que tipo de
proposta levar a você, que possa ser de real valor para ajudá-lo a melhor desen-
volver seu trabalho pedagógico nas aulas de matemática.
116
O mundo em que vivemos é feito de formas geométricas – elas estão nas casas, nos espaços urbanos, nas obras
de engenharia, nas artes, na disposição escolhida para os móveis, em pequenas reformas que organizamos em nossos
lares.
Muitas vezes essas formas geométricas aparecem como polígonos irregulares, como mostrado no módulo
do aluno. As atividades aqui apresentadas procuram ampliar a possibilidade de resolver situações que envolvem os
objetivos propostos, utilizando outros métodos para sua resolução (por exemplo, a decomposição de polígonos em
polígonos menores, a utilização de malhas para o cálculo de áreas).
Sugerimos que a primeira aula desta unidade inicie-se com uma atividade disparadora. Apresentaremos duas
opções de atividade. A primeira irá tratar da área de polígonos irregulares, e a segunda, da Área do Círculo.
Na atividade disparadora Mapeando o ambiente escolar, os alunos terão a oportunidade de desenhar uma
planta baixa de algum ambiente na escola pré-selecionado pelos grupos, cujo formato não seja a de um polígono
regular como eles viram na Unidade 7, e calcular a medida de sua área.
A atividade Área do Círculo pode ser realizada em grupo, promovendo uma dinâmica entre os alunos. Nesse
momento, é esperado que eles percebam que a área do polígono formado pelos recortes de um círculo pode ser
calculada pela aproximação da área de um polígono regular já conhecido.
Para dar sequência ao estudo desta unidade, apresentamos para a Seção 1 as atividades “Malha quadriculada
x Triangulação” e “Calculando o preço de venda dos terrenos”. Na primeira atividade, o aluno poderá calcular a área
de polígonos irregulares usando o método da triangulação e comparar com a área calculada com uma malha qua-
driculada. Já na segunda, o aluno irá calcular o preço de venda de dois terrenos no formato de polígonos irregulares.
Recomendamos que sejam feitas as alterações e adaptações quando necessárias.
Para a Seção 2, temos a atividade “Planificação do Cilindro e a Área do Círculo”, que propõe o cálculo da área de
uma figura obtida por meio da planificação do cilindro, e a atividade “Áreas de figuras hachurada”, onde são apresen-
tadas três situações para o cálculo da área de figuras hachurada envolvendo área do círculo.
Por fim, aconselhamos que a última aula desta unidade seja dividida em dois momentos. O primeiro dedica-
do a uma revisão geral do estudo realizado durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da
retomada de questões que surgiram durante o seu estudo. E o segundo, um momento de avaliação do estudante,
priorizando questionamentos reflexivos em detrimento da reprodução de exercícios feitos anteriormente.
Uma descrição destas sugestões está colocada nas tabelas abaixo, e seus detalhamentos no texto que segue.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 117
Apresentação da unidade do material do aluno
Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais características desta unidade:
Disciplina Volume Módulo UnidadeEstimativa de aulas para
essa unidade
Matemática 2 1 8 4
Titulo da unidade Tema
Avançando com as áreas de figuras planas Áreas de figuras planas
Objetivos da unidade
Realizar o cálculo de área de polígonos irregulares, utilizando o método de triangulação.
Calcular áreas de círculos.
SeçõesPáginas no material do
aluno
Para início de conversa... 179
Seção 1 – Áreas irregulares 180 e 183
Seção 2 – A área do círculo 183 e 187
Momento de reflexão 187 e 188
Voltando à conversa inicial 188 a 190
O que perguntam por aí? 192 a 192
Em seguida, serão oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-
dência direta entre cada seção do Material do Aluno e o Material do Professor.
Será um conjunto de possibilidades para você, caro professor.
Vamos lá!
118
Recursos e ideias para o Professor
Tipos de Atividades
Para dar suporte às aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes
à Unidade acima:
Atividades em grupo ou individuais
São atividades que são feitas com recursos simples disponíveis.
Avaliação
Questões ou propostas de avaliação conforme orientação.
Exercícios
Proposições de exercícios complementares
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 119
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Mapeando o ambiente
escolar
Papel pardo ou papel 40 kg
para cada grupo, régua.
O método da triangulação para cálculo de área de
polígonos irregulares será utilizado para calcular a área de uma planta baixa de um
ambiente da escola.
Turma dividi-da em grupos de 4 alunos.
30 minutos
Área do Círculo
Círculos ane-xos no arquivo Área do Círcu-lo, disponibi-lizado no pen
drive, folha A4, tesoura e cola.
A atividade trabalha a área de polígonos irregulares
formados a partir de recor-tes de um círculo, e compara
suas áreas.
A turma deve-rá ser dividida em 4 grupos.
30 minutos
Seção 1 – Áreas irregularesPáginas no material do aluno
180 a 183
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Malha quadri-culada x Trian-
gulação
Folha de ati-vidades com
figuras planas irregulares
desenhadas sobre a malha quadriculada e sobre o papel sem malha ao fundo, régua.
A atividade propõe o cálculo de área de polígonos irregu-lares por meio da utilização
da malha quadriculada e por meio da triangulação.
A atividade pode ser re-alizada em
duplas.
30 minutos
Calculando o preço de venda dos terrenos
Folha de atividades.
Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau
e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.
A atividade pode ser
realizada em duplas.
30 minutos
120
Seção 2 – A área do círculoPáginas no material do aluno
183 a 187
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Planificação do Cilindro e a
Área do Círculo
Embalagens em formato
cilíndrico, fo-lhas de papel
A4, réguas graduadas em centímetros.
A atividade propõe o cálculo da área de uma figura obtida por meio da planificação do
cilindro.
A atividade pode ser re-alizada em
grupos de 4 alunos.
30 minutos
Áreas de figuras
hachuradas
Folha de atividades e tesoura sem
ponta.
São propostas três situações para o cálculo da área de
figuras hachuradas.
A atividade pode ser re-alizada em
duplas.
30 minutos
Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno
206
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Avaliação da Unidade
Folha de atividades
Verificar e registrar as aprendizagens matemáticas
adquiridas com o estudo desta unidade.
Individual 40 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 121
Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno
207 a 209
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
ConsolidandoMaterial
didático do aluno
Retoma às primeiras ques-tões da unidade como
revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação
do conceito de função
Turma orga-nizada em
duplas ou indi-vidualmente
40 minutos
O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno
211 e 212
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
ENEM 2010
Imagem disponível no
material do professor
Questão dissertativa que complementa a seção “O que
perguntam por aí?”
Turma orga-nizada em
duplas ou indi-vidualmente
10 minutos
122
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Mapeando o ambiente
escolar
Papel pardo ou papel 40 kg
para cada grupo, régua.
O método da triangulação para cálculo de área de
polígonos irregulares será utilizado para calcular a área de uma planta baixa de um
ambiente da escola.
Turma dividi-da em grupos de 4 alunos.
30 minutos
Aspectos operacionais
Nesta atividade, propomos o desenho da planta baixa de algum ambiente da escola para a obtenção de sua
área por meio do método da triangulação.
A atividade prevê que você e seus alunos conheçam antecipadamente o ambiente escolar. Se for preciso, leve
a turma para um passeio pela escola. Note, ainda, que, para que ela faça sentido, é necessário estimular os alunos a
optarem pelo desenho da planta baixa de cômodos da escola, como a sala dos professores ou a cozinha, por exemplo,
que possam ser modelados por polígonos irregulares.
Para realizar esta atividade, você, professor, irá distribuir uma folha de papel pardo ou 40 kg para cada grupo de
alunos. No desenvolvimento da atividade, irá pedir que escolham um cômodo da escola, desenhem sua planta baixa
e, em seguida, tentem calcular sua área.
O ato de desenhar a planta de um ambiente começa propondo uma reflexão sobre a relação entre o que será
desenhado e o que existe na realidade. Assim, solicita a definição de uma escala e, por fim, a utilização de uma régua.
É importante que você, professor, esteja atento à maneira como os alunos desenham, isto é, como utilizam a ré-
gua, e como definem a escala. Vale lembrar que, embora a régua graduada em centímetros seja uma ferramenta comum
na escola, mesmo os alunos de níveis de ensino mais elevados podem apresentar dificuldades para usá-la. Um equívoco
frequente é considerá-la a partir da indicação do número 1, desprezando-se o centímetro que se antepõe a ela.
No segundo momento da atividade, você irá questioná-los sobre as possibilidades de emprego das fórmulas
que eles conhecem para o cálculo de áreas de polígonos regulares para a obtenção da área desejada. E, uma vez que
estas fórmulas não se empregam, peça-lhes sugestões do que deve ser feito para obtenção da área desejada. Depois
de muito refletir, você pode apresentar a triangulação como uma alternativa.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 123
Aspectos pedagógicos
Professor, durante a execução da atividade, é aconselhável que você relembre com seus alunos a fórmula da
área do triângulo e também o conceito de altura de um triângulo. Mostre que um triângulo possui três alturas. Dê
exemplos de que, independente do lado que se tome como base, a área do triângulo não se altera. Uma vez que a
planta desenhada esteja dividida em triângulos, os alunos precisarão lançar mão destas ideias para o cálculo da área.
Pode ser útil que os alunos registrem todas as medidas que precisarem obter para o cálculo da área de cada
triângulo. A verbalização das medidas obtidas pode não ser suficiente para que eles selecionem adequadamente
aquelas que vão ser empregadas em cada cálculo. Enquanto estiverem realizando as medições, peça-lhes que preen-
cham uma tabela como a que segue. Certamente, isto irá ajudá-los na organização das ideias.
Base Altura Área
Triângulo I
Triângulo I
(...)
Durante a atividade esteja atento aos cálculos que os alunos efetuam. Muitos alunos ainda apresentam dificul-
dades na realização de cálculos. Como este não é o foco da aula, sugerimos que você incentive o uso de calculadoras.
É desejável ainda que, ao final desta atividade, você procure comparar os resultados dos diferentes grupos.
Um cômodo notadamente maior que outro teve o resultado para a sua área maior que o do outro? Grupos diferentes
que escolheram desenhar a planta baixa de um mesmo cômodo chegaram ao mesmo resultado? Quais as causas das
possíveis diferenças?
Completando as discussões iniciadas nesta atividade, não deixe de realizar aquelas que estão presentes no
material do aluno.
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Área do Círculo
Círculos ane-xos no arquivo Área do Círcu-lo, disponibi-lizado no pen
drive, folha A4, tesoura e cola.
A atividade trabalha a área de polígonos irregulares
formados a partir de recor-tes de um círculo, e compara
suas áreas.
A turma deve-rá ser dividida em 4 grupos.
30 minutos
124
Aspectos operacionais
Para essa atividade cada grupo receberá um dos quatro círculos de raio R do arquivo Área do Círculo, disponibi-
lizado no pen drive. Peça aos alunos que, com o auxílio de uma tesoura, recortem o círculo dado, os setores circulares
e reagrupe-os como nas figuras do arquivo. Em seguida, eles deverão colar essa montagem em uma folha A4 em
branco. Pergunta-se:
a. A figura construída pelo grupo é um polígono regular?
b. A que polígono regular a figura se assemelha?
c. Quais são as dimensões da figura (altura e comprimento)?
d. Como podemos calcular a medida da área da figura que você formou (lembre-se que ela se assemelha a um polígono regular já conhecido)? Qual é a fórmula?
e. Qual é a relação entre a medida das áreas da figura construída e do círculo inicial?
f. Então, qual é a medida da área do círculo?
g. Compare as figuras construídas pelos outros grupos e suas respectivas respostas.
Aspectos pedagógicos
O primeiro aspecto a ser discutido com a turma é sobre a figura construída ser um polígono irregular, mas cuja
área se assemelha a de um polígono regular já conhecido deles, que é o paralelogramo. Uma breve revisão sobre área
de polígonos regulares pode ajudá-los a responder com mais facilidade os itens (a) e (b).
No item (c) é preciso reconhecer que a altura do paralelogramo corresponde ao raio da circunferência e que
sua base é a metade do comprimento da circunferência. Como eram 4, 8, 16 e 32 setores no total, a base é formada por
2, 4, 8 e 16 setores, tendo como comprimento ½(2πr) = πr. Lembre-se que estamos trabalhando com aproximações.
Dessa forma, eles poderão obter a medida da área do polígono irregular fazendo a multiplicação da base pela altura,
chegando a fórmula A = πR².
É necessário que os alunos percebam que a área do polígono irregular e do círculo possuem a mesma medida,
já que o polígono foi construído a partir dos recortes desse círculo. Dessa forma, a área do círculo também será dada
pela fórmula A = πR².
Professor, mesmo que a turma esteja dividida em grupos, é importante que haja interação entre os alunos.
Peça que eles comparem as figuras construídas a partir dos recortes do círculo e verifiquem que a medida da área
dessa figura é a mesma em todos os grupos.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 125
Seção 1 – Áreas irregularesPáginas no material do aluno
180 a 183
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Malha quadri-culada x Trian-
gulação
Folha de ati-vidades com
figuras planas irregulares
desenhadas sobre a malha quadriculada e sobre o papel sem malha ao fundo, régua.
A atividade propõe o cálculo de área de polígonos irregu-lares por meio da utilização
da malha quadriculada e por meio da triangulação.
A atividade pode ser re-alizada em
duplas.
30 minutos
Aspectos operacionais
Nesta atividade, propomos o cálculo de área de polígonos irregulares por meio da utilização da malha quadri-
culada e por meio da triangulação. A ênfase está na comparação entre os valores obtidos nos dois processos.
A atividade prevê a utilização de polígonos irregulares desenhados sobre a malha quadriculada e sobre o pa-
pel sem malha ao fundo.
Para realizar esta atividade, você, professor, irá distribuir entre os alunos, as folhas de atividades com os respec-
tivos desenhos. No desenvolvimento da atividade, irá pedir para que calculem a área dos polígonos primeiro, con-
tando as unidades quadradas e, em seguida, voltando-se para as mesmas figuras feitas fora da malha, empregando
o método da triangulação.
As questões propostas para cada método começam favorecendo dois tipos de reflexão. A primeira se refere ao
tipo de aproximação que se pretende obter, pois, dependendo das escolhas que façam (contar apenas os quadradi-
nhos que estão dentro do polígono ou contar também com aqueles que têm partes dentro e partes fora), os alunos
podem chegar a um valor inferior ou superior à área desejada. A segunda se refere à unidade de medida que deve
ser empregada na medição das linhas dos triângulos obtidos na triangulação. Note que, para que possamos estabe-
lecer comparações entre os valores encontrados nos dois métodos, é necessário que eles estejam com as mesmas
unidades de medida. Assim, as linhas dos triângulos que os alunos utilizarão no cálculo da área devem ser medidas
utilizando-se como unidade o lado do quadrado da malha. Por isso, junto com a folha de atividades, segue uma régua
graduada nesta unidade para que os alunos recortem e usem-na nas suas medições.
No segundo momento da atividade você, professor, irá refletir com os grupos sobre espaços conhecidos por
eles que podem ser modelados por polígonos irregulares. Em que tipo de circunstâncias seria necessário calcular
a área destes espaços? Qual método é mais adequado para a obtenção da área? Qual é mais trabalhoso? Com que
método obtemos medidas mais precisas? Em que situações do dia a dia necessitamos de medidas precisas? Em quais
podemos abrir mão da precisão e trabalhar com estimativas?
126
Aspectos pedagógicos
Professor, durante a execução da atividade, é aconselhável que você sinalize para os seus alunos que, com ambos
os métodos, a intenção é a mesma: o cálculo da área do polígono irregular que se encontra desenhado tanto na malha
quadriculada quanto na parte lisa do papel. Isto porque pesquisas em Educação Matemática têm mostrado que alguns
alunos não “conservam” a noção de área. Pensam, por exemplo, que, se mudarmos a posição do polígono, sua área irá se
alterar. Se eles constroem esta falsa ideia quando ocorre uma simples mudança de posição, podem muito bem seguir no
mesmo caminho equivocado quando propomos métodos diferentes para o cálculo da área, você não acha?
É importante que os alunos registrem, além das respostas, os dados coletados em cada etapa de cada método
e ainda organizem seus cálculos no caderno. Você pode investir na diversificação das representações pelos alunos.
Quanto mais representações eles associarem a um conceito, mais eles avançarão no seu processo de construção. A
verbalização e os desenhos são apenas duas formas de representarmos as ideias associadas ao cálculo da área de po-
lígonos irregulares. A linguagem matemática, escrita no caderno ou no quadro, é mais uma representação poderosa
que, quando bem compreendida, torna-se uma aliada do processo de construção de conceitos matemáticos. Convi-
dar seus alunos para irem ao quadro registrar seus cálculos e depois explicarem seus raciocínios para a turma é uma
boa estratégia que integra diferentes tipos de representação.
Durante a atividade esteja atento à possibilidade de alguns alunos ainda não terem construído efetivamente
o conceito de área. Você pode aproveitar a contagem dos quadradinhos da malha para resgatar este conceito. Afinal,
se ele não estiver bem consolidado, o restante da aula pode ficar sem sentido.
Utilize a segunda parte da aula para promover a interação entre os alunos e, uma vez mais, mostrar-lhes apli-
cações do que está sendo estudado. Relembre situações de calçamento de assoalho com pisos, cobertura de paredes
com azulejos ou papel de parede, colocação de forros em tetos, entre outras tarefas que requerem o cálculo de áreas.
Você pode ressaltar que, em todos estes casos, podem-se usar estimativas. Entretanto, se a estimativa for inferior à
área onde se pretende trabalhar, pode ocorrer falta de materiais para a conclusão do serviço.
Ao final desta atividade, você ainda poderá descobrir que alguns alunos trabalham no ramo da construção civil
ou qualquer outro que os leve a calcular ou estimar áreas. Permita-os que exponham seus métodos. Tente identificar,
se existirem, pontos de aproximação entre estes métodos e os que foram apresentados na atividade. Assim, os alunos
serão levados a perceber que a Matemática faz parte de suas vidas e que eles dominam, mesmo sem se darem conta,
uma gama considerável de conhecimentos matemáticos.
Folha de Atividades – Malha quadriculada x Triangulação
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome do(s) Aluno(s): _________________________________________________________________
Calcule a área dos polígonos irregulares apresentados abaixo, e em seguida, preencha a tabela. Nos polígonos
a esquerda você deverá utilizar a malha quadriculada, onde cada quadradinho representa 1 (uma) unidade de área.
Para os polígonos da direita, você deverá utilizar o método da triangulação.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 127
Fonte: Figura desenhada pela Conteudista Josemeri Araujo Silva Rocha.
Polígono irregularÁrea utilizando a malha
quadriculadaÁrea empregando o
método da triangulação
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
As áreas obtidas são iguais?
128
Seção 1 – Áreas irregularesPáginas no material do aluno
180 a 183
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Calculando o preço de venda dos terrenos
Folha de atividades.
Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau
e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.
A atividade pode ser
realizada em duplas.
30 minutos
Aspectos operacionais
Nesta atividade propomos o cálculo do preço de venda de dois terrenos que estão representados por polígo-
nos irregulares. São conhecidos o valor do metro quadrado e a escala com que as representações foram construídas.
A ênfase está na obtenção da área pelo método da triangulação para, em seguida, efetuar a multiplicação do valor da
área por R$ 480,00, que é o preço de venda do metro quadrado de cada terreno.
Para realizar esta atividade, você irá distribuir entre os alunos, as folhas de atividades com os respectivos dese-
nhos. No desenvolvimento, irá questioná-los sobre as informações que são relevantes para resolução do problema e
a resposta esperada é a área de cada polígono, que os fará empregar o método da triangulação.
Aspectos pedagógicos
Assim como nas outras atividades voltadas para a triangulação, nesta atividade os alunos deverão medir os la-
dos de cada polígono e a altura de cada triângulo construído na triangulação. Mais uma vez recomendamos que você
preste atenção ao modo como os alunos manipulam a régua e como utilizam as informações relativas à escala de
construção dos polígonos. Além disso, continuamos sugerindo que você compare os resultados das duplas e discuta
com os alunos as causas das possíveis diferenças.
Insistimos novamente para que você não deixe de mostrar as aplicações deste conhecimento no dia a dia. Uma
maneira de fazer isso, que ainda não mencionamos anteriormente, é pedir aos alunos que pesquisem na Internet
plantas de terrenos ou mesmo de bairros. Diante deste material, que pode estar impresso ou na tela do computador,
você terá oportunidade de refletir com eles sobre o polígono mais adequado para representar estes elementos e o
uso da triangulação no cálculo de suas áreas.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 129
Folha de Atividades – Calculando o preço de venda dos terrenos
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome do(s) Aluno(s): _________________________________________________________________
1. As figuras a seguir são plantas de terrenos que serão vendidos brevemente na região metropolitana do Rio de Janeiro. Se cada metro quadrado custará R$ 480,00, qual será o valor de cada terreno?
Observação: Os desenhos foram construídos na escala 1:1000, isto é, cada centímetro corresponde a 10 m.
Terreno A
Terreno B
Fonte: Figura desenhada pela Conteudista Gabriela Barbosa.
130
1. Complete a tabela a seguir:
Área total do terreno Valor da Venda
Terreno A
Terreno B
Seção 2 – A área do círculoPáginas no material do aluno
183 a 187
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Planificação do Cilindro e a
Área do Círculo
Embalagens em formato
cilíndrico, fo-lhas de papel
A4, réguas graduadas em centímetros.
A atividade propõe o cálculo da área de uma figura obtida por meio da planificação do
cilindro.
A atividade pode ser re-alizada em
grupos de 4 alunos.
30 minutos
Aspectos operacionais
Nesta atividade, propomos o cálculo da área da figura obtida por meio da planificação do cilindro. A ênfase
está na utilização da fórmula da área do retângulo, estudada na Unidade 7, para obtenção da área lateral do cilindro e
na utilização da fórmula da área do círculo, estudada nesta aula, para obtenção das áreas de suas bases.
A atividade prevê a manipulação de objetos cilíndricos, a planificação e o desenho do cilindro e de sua planificação.
Para realizar esta atividade, você pode pedir, previamente, aos alunos que tragam de suas casas embalagens
de produtos que tenham consumido, objetos e outros pertences cujas formas se assemelham a um cilindro. No de-
senvolvimento da atividade, você irá pedir para que imaginem e depois desenhem no papel A4 o que imaginaram
para a planificação destes objetos. Finalizando, sob o pretexto de fazerem um molde para a confecção de novas
embalagens com o mesmo formato das que planificaram, devem calcular as áreas das planificações para saberem a
quantidade de papel a ser gasta.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 131
As questões propostas para cada etapa da atividade (manipulação, planificação e cálculo da área da planifica-
ção) favorecem dois tipos de reflexão. A primeira se refere às figuras que surgirão na planificação e aos procedimentos
envolvidos neste processo. Em alguns casos, os alunos poderão rasgar ou cortar os objetos para planificá-los, porém,
é necessário outro procedimento para a planificação de objetos rígidos ou que ainda vão ser reutilizados que não
consista na sua destruição. Nesse sentido, a utilização de folhas retangulares para “embalar” os objetos, a retirada dos
rótulos das embalagens e o contorno com lápis das bases apoiadas no papel onde se pretende desenhar a planifica-
ção, podem ajudar. A segunda se refere à unidade de medida que deve ser empregada no desenho da planificação.
Note que, para que possamos obter quantos centímetros quadrados de papel serão gastos na reprodução das formas
dos objetos, ou seja, para obtermos a área total dos cilindros, é necessário que, no desenho das planificações, a cada
linha seja atribuída sua medida real. Mesmo que, no desenho, as linhas não tenham estas medidas, você terá aí uma
boa oportunidade de refletir com seus alunos sobre a importância das escalas. Se ainda assim, você julgar que falar
sobre escalas poderá lhe fazer fugir um pouco do foco da aula, você pode argumentar com seus alunos que os dese-
nhos deles são apenas esboços da realidade. Então, não deixe de comentar também sobre como os esboços podem
nos ajudar a entender e a resolver problemas de Geometria.
No segundo momento da atividade, você, professor, irá refletir com os grupos sobre as circunstâncias do dia
a dia, do comércio e da prestação de serviços em geral em que é preciso planificar objetos e calcular as áreas destas
planificações. Além disso, você pode solicitar deles exemplos de situações em que terão que calcular novamente área
de círculos. Observe que, assim como nas atividades para a seção 1, propomos aqui uma reflexão sobre os contextos
em que os conceitos estudados podem ser aplicados. É, por meio destas reflexões que os alunos conseguirão perce-
ber as utilidades daquilo que aprendem na escola. No caso da área dos círculos, há praças e jardins cujas formas se
assemelham a círculos, há serviços como colocação de grama e pintura cujos valores são dados em função da área
trabalhada, entre outras coisas.
Aspectos pedagógicos
Professor, durante a execução da atividade, é aconselhável que, sempre que possível, você sinalize para os seus
alunos que o cilindro é uma figura tridimensional e sua planificação é uma figura bidimensional. Isto porque, se não
tiverem esta distinção bem clara, os alunos podem acabar confundindo os conceitos de volume e área.
Como já mencionamos em outras atividades, os registros, quer utilizando desenhos, quer utilizando a lingua-
gem matemática, têm muito valor no processo de ensino-aprendizagem. Além disso, a manipulação de objetos torna
este processo mais significativo e favorece a abstração dos conceitos apreendidos na situação. Por mais que, com
base no que observam dos objetos manipulados, seus alunos tenham sucesso nas questões que você lhes propuser,
procure contribuir para que eles abstraiam os conceitos, falem e tirem conclusões sobre os objetos sem que, neces-
sariamente, eles estejam por perto. A abstração cria condições para que os alunos apliquem os conhecimentos cons-
truídos na situação proposta nesta atividade a outros tipos de situação.
Por fim, durante a atividade, esteja atento à possibilidade de alguns alunos, apressadamente, levantarem a hipó-
tese de que, planificando um cilindro, obterão apenas um círculo. Se isso acontecer, você pode insistir na manipulação
ou levar para a sala de aula, já construídos, alguns cilindros de papel e permitir que sejam recortados e planificados.
132
Seção 2 – A área do círculoPáginas no material do aluno
183 a 187
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Áreas de figuras
hachuradas
Folha de atividades e tesoura sem
ponta.
São propostas três situações para o cálculo da área de
figuras hachuradas.
A atividade pode ser re-alizada em
duplas.
30 minutos
Aspectos operacionais
Nesta atividade propomos três situações para o cálculo da área de figuras hachuradas. A ênfase está na utiliza-
ção da fórmula da área do quadrado, estudada anteriormente, na utilização da fórmula da área do círculo, estudada
nesta unidade e na escolha adequada da operação a ser realizada com os valores encontrados para a obtenção das
áreas desejadas. Apenas na primeira situação proposta não se utiliza a fórmula da área do quadrado.
A atividade prevê que os alunos recortem as figuras para que possam identificar mais seguramente que fórmu-
las devem empregar e que cálculos devem efetuar além daqueles envolvidos nas fórmulas.
Comece discutindo o significado da palavra “hachurada”, pois ela não pertence ao vocabulário da maioria dos
alunos. Insistimos no seu uso, pois é comumente empregada na matemática.
Para realizar esta atividade, você pode pedir, previamente, aos alunos que tragam de casa tesouras sem pontas para
que possam recortar as figuras que desejarem. No desenvolvimento, irá reforçar a solicitação dos enunciados presentes na
ficha de atividades. Enfatize que não é possível resolver o problema, empregando-se apenas uma fórmula, entretanto as
fórmulas são necessárias numa primeira etapa da solução. Caso os alunos sintam dificuldades, você pode incentivá-los a
recortar as figuras que são ampliações daquelas presentes nos enunciados e seguem anexas à ficha de atividade.
Finalizando, você pode pedir às duplas que exponham seus procedimentos para resolverem os três problemas.
Na primeira questão, que área calcularam primeiro: a do círculo menor ou a do círculo maior? Na segunda e na terceira
questão, calcularam primeiro a área do quadrado ou a área dos setores circulares? A ordem destes cálculos faz alguma
diferença? E, depois, quando eles tiveram que efetuar a subtração para obterem a área hachurada, a ordem dos valo-
res envolvidos nesta operação influencia no seu resultado?
Depois de esgotar as reflexões acima, você ainda pode solicitar dos alunos exemplos de elementos do nosso
cotidiano que se assemelham às figuras hachuradas nas questões. Eles podem identificar a primeira figura com um
CD, a segunda com acabamento de grades usadas em muros e portões de casas e a terceira com folhas de alguns
tipos de plantas. Mais uma vez, você estará tendo oportunidade de contextualizar o estudo, mas não deixe de escla-
recer que são apenas semelhanças, pois os elementos do nosso cotidiano são bidimensionais e as figuras planas são
idealizações dos matemáticos.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 133
Aspectos pedagógicos
Professor, durante a execução da atividade, é aconselhável que você sinalize para os seus alunos que, na pri-
meira questão, temos uma coroa circular e, nas outras duas, temos dois setores circulares. Na segunda, o setor corres-
ponde a ¼ da circunferência cujo raio é o lado do quadrado e, na terceira, o setor corresponde à metade da circunfe-
rência cujo raio é o lado do quadrado. Neste último caso, também costumamos empregar o termo semicircunferência.
É importante que os alunos percebam que, de acordo com o valor que adotarem para π, poderão encontrar
resultados diferentes. Na primeira questão, aqueles que adotarem π = 3 encontrarão um número menor que o encon-
trado por aqueles que fizerem π = 3,14. Já nas outras duas questões, isto se inverterá.
Recomendamos que, logo de início, você defina com eles que valor deverão atribuir a π. Se você decidir por
3,14, terá, aí, uma boa oportunidade para que seus alunos utilizem a calculadora durante a aula. Se a ideia da calcula-
dora ainda não lhe agrada ou, mesmo, se seus alunos não tiverem calculadora, você pode aproveitar para fazer uma
revisão da multiplicação de números decimais. A aula transcorrerá mais lentamente, mas a construção dos conceitos
não ficará comprometida. Além disso, observe que algumas manipulações algébricas como, por exemplo, colocar o π
em evidência na primeira questão antes de substituí-lo por qualquer valor, podem agilizar os cálculos.
Por fim, também não se esqueça de alertá-los que há possibilidade de não substituir o π por nenhum valor e
deixa-lo indicado na notação da solução da questão como é comum em algumas provas de concurso.
Folha de Atividades – Áreas das Figuras Hachuradas
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome do(s) Aluno(s): _________________________________________________________________
1. Considerando que os círculos da figura abaixo possuem o mesmo centro, calcule a área da figura hachurada:
134
2. Considerando que o lado do quadrado é 4 cm, calcule a área da figura hachurada:
3. Considerando que o lado do quadrado é 10 cm, calcule a área da figura hachurada:
Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno
206
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Avaliação da Unidade
Folha de atividades
Verificar e registrar as aprendizagens matemáticas
adquiridas com o estudo desta unidade.
Individual 40 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 135
Aspectos operacionais
Sugerimos que você utilize o último tempo de aula desta unidade para a avaliação do desenvolvimento das
habilidades pretendidas. Dividiremos nossas sugestões avaliativas em duas etapas, conforme explicitadas a seguir.
Aspectos pedagógicos
Etapa 1: Registros de aprendizagem
Esta etapa pode estar articulada à seção “Momento de reflexão” disponível nas páginas 187 e 188 do material do aluno.
Caso você siga nossa estimativa de aulas para abordar o conteúdo, esperamos que no terceiro dia seja possível
realizar com seus alunos um momento de consolidação do que foi estudado. Você pode propor que o aluno registre
individualmente na folha de atividades disponível para reprodução no pen drive as aprendizagens matemáticas ad-
quiridas com o estudo desta unidade.
Para auxiliá-lo, propomos a seguir algumas questões para os alunos responderem, que podem complementar
as suas no que diz respeito à avaliação do desenvolvimento das habilidades matemáticas pretendidas.
1. Qual foi o conteúdo matemático estudado nesta unidade?
2. Você poderia definir com suas próprias palavras o que significa área de uma figura plana? E perímetro, como você definiria?
3. Qual o método descrito no livro texto que é usado para o cálculo de áreas de regiões poligonais? No que consiste tal método?
4. Cite dois modos distintos para calcular a área de um triângulo.
5. Cite algumas situações do cotidiano em que é desejável conhecer o conceito de área de um círculo.
Certifique-se de fazer com que os resultados deste momento de avaliação indiquem os pontos em que os
alunos que ainda não conseguiram êxito no aprendizado. Parabenize e elogie o quanto for necessário, para que este
momento de avaliação se torne agradável.
Ao final de seus registros de avaliação, compartilhe as informações com os alunos. Indique exercícios e ativida-
des para que as dúvidas e erros possam ser devidamente contornados.
Etapa 2: Questões objetivas
Sugerimos nesta etapa, a escolha de questões objetivas que contemplem uma habilidade pretendida nesta
unidade para compor o instrumento avaliativo. Se desejar, você pode escolher, a seu critério, uma das questões pro-
postas na seção “O que perguntam por aí?” disponível nas páginas 191 e 192 do material do aluno ou ainda buscar
outras questões de acordo com o perfil da sua turma. A ideia é que além de avaliar o aprendizado, o aluno se familia-
rize com questões cobradas em avaliações de larga escala, como Enem, vestibulares, concursos etc.
136
Deixamos aqui mais algumas sugestões de atividades objetivas para serem exploradas em sala de aula.
Observe a figura abaixo, a qual refere-se as questões objetivas 1 e 2.
Unidade de comprimento
Questão objetiva 1
Assinale a sentença que traduz uma afirmação verdadeira.
a. O perímetro da figura é menor que 4 unidades de comprimento.
b. O perímetro da figura é igual a 4 unidades de comprimento.
c. O perímetro da figura é menor que 8 unidades de comprimento.
d. O perímetro da figura é maior que 8 unidades de comprimento.
Questão objetiva 2
Assinale a sentença que traduz uma afirmação verdadeira.
a. A área da figura é menor que 4 unidades de área.
b. A área da figura é igual a 4 unidades de área.
c. A área da figura é maior que 5 unidades de área.
d. A área da figura é igual a 8 unidades de área.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 137
Questão objetiva 3
Uma roda gigante tem 8 m de raio. Quanto percorrerá uma criança na roda gigante em 6 voltas no brinquedo?
Fonte: http://www.flickr.com/photos/marianapekin/2242221221/
a. 196 m
b. 224 m
c. 288 m
d. 300 m
Folha de Atividades – Avaliação
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome do(s) Aluno(s): _________________________________________________________________
Neste momento, propomos que você retome as discussões feitas na Unidade 8 e registre as aprendizagens mate-
máticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para ajudá-lo nos seus registros, tente responder às questões a seguir:
138
1. Qual foi o conteúdo matemático estudado nesta unidade?
2. Você poderia definir com suas próprias palavras o que significa área de uma figura plana? E perímetro, como você definiria?
3. Qual o método descrito no livro texto que é usado para o cálculo de áreas de regiões poligonais? No que consiste tal método?
4. Cite dois modos distintos para calcular a área de um triângulo.
5. Cite algumas situações do cotidiano em que é desejável conhecer o conceito de área de um círculo.
Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno
207 a 209
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
ConsolidandoMaterial
didático do aluno
Retoma às primeiras ques-tões da unidade como
revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação
do conceito de função
Turma orga-nizada em
duplas ou indi-vidualmente
40 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 139
Aspectos operacionais
A seção “Voltando à conversa inicial”, na página 188, pode ser o ponto de partida para uma revisão e sugere
uma consolidação dos objetos matemáticos trabalhados na unidade. É possível fazer uma reflexão mais detalhada
do texto apresentado em “Para início de conversa...” (p. 179), onde é discutido que nem todos os polígonos possuem
fórmulas específicas para cálculo da medida de sua área.
Nesta etapa, esperamos que os alunos já tenham desenvolvido as habilidades necessárias ao alcance dos obje-
tivos de aprendizagem desta unidade. Por isso, acreditamos que a retomada às primeiras questões pode servir como
um valioso exercício de revisão.
Aspectos pedagógicos
O problema inicial propõe uma situação em que o aluno precisa calcular a área de um terreno e a única coisa
que sabe é que a planta dele foi feito na escala 1:100, ou seja, cada centímetro equivale a 1 metro, como mostra a
imagem a seguir.
A pergunta é: quanto mede a área desse terreno?
A questão inicial é resolvida no material do aluno (p. 188), onde o método da triangulação é apresentado . É
importante que haja uma discussão coletiva com a turma antes da consulta a solução do problema. No caso de dificul-
dades por parte dos alunos em calcular a área dos triângulos que formam a figura, o texto mostra que é possível calcular
esta área de duas maneiras distintas. Permita que seus alunos escolham a que melhor se adequa ao problema.
140
O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno
211 e 212
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
ENEM 2010
Imagem disponível no
material do professor
Questão dissertativa que complementa a seção “O que
perguntam por aí?”
Turma orga-nizada em
duplas ou indi-vidualmente
10 minutos
Aspectos operacionais
Na seção O que perguntam por aí? do material do aluno são apresentadas duas questões do ENEM que envol-
vem o conceito de comprimento da circunferência. Escolhemos, para esta atividade, a questão do ENEM 2010, p. 192.
Você poderá trabalhar esta proposta com a imagem disponível no seu pen drive e pedir que os alunos discutam e
resolvam a questão proposta.
Aspectos pedagógicos
Após a resolução desta questão em aula, você pode promover uma análise coletiva das respostas encontradas
por eles, com uma breve discussão a respeito dos possíveis erros (erros mais comuns) por eles cometidos.
É possível que alguns alunos optem pela alternativa (d), onde a resposta é dada pelo comprimento da circunfe-
rência de raio R. Isso pode acontecer por eles não estarem atentos ao fato do bloco se deslocar por dois comprimen-
tos da circunferência da base do rolo cilíndrico, como mostra a imagem a seguir.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 141
Referências
� Caed. Projeto Entre Jovens. Instituto Unibanco. Universidade Federal de Juiz de Fora. p.142 e 143. 2011
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 143
Anexo: Seção 2 – A área do círculo
Figuras para recorte
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 145
Volume 2 • Módulo 1 • Matemática • Unidade 9
A Função do 1° grauÉrika Silos de Castro, André Luiz Martins Pereira, Leo Akio Yokoyama e Luciana Felix
da Costa Santos
IntroduçãoNa unidade 9 do material do aluno são apresentadas várias situações que
retomam o conceito de função, enfocando a Função Polinomial do 1° grau. Nesta
unidade, o aluno terá a oportunidade de relacionar as representações gráfica e
algébrica, além de identificar propriedades desse tipo de função.
Para potencializar o material didático do aluno, pesquisamos alguns recur-
sos e atividades que talvez possam ajudar a você, professor, a ampliar possibilida-
des para exploração deste tema em suas aulas.
Sugerimos que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma atividade dis-
paradora. Esta é uma atividade proposta para ser realizada em grupo, promovendo
uma dinâmica entre os alunos. Nesse momento, é esperado que eles desenvolvam
algumas noções básicas relacionadas ao conceito de função polinomial do 1° grau.
Para dar sequência ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns re-
cursos complementares vinculados ao conteúdo do material didático do aluno.
Sugerimos as suas realizações nas aulas subsequentes à aula inicial de acordo
com a realidade da sua turma. Recomendamos que sejam feitas alterações e
adaptações quando necessárias.
Por fim, aconselhamos que a última aula desta unidade seja dividida em
dois momentos: o primeiro dedicado a uma revisão geral do estudo realizado
durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da retoma-
da de questões que surgiram durante o seu estudo e o segundo, um momento
de avaliação do estudante, priorizando questionamentos reflexivos que comple-
mentem as atividades e exercícios resolvidos durante as aulas.
Uma descrição destas sugestões está colocada nas tabelas a seguir, e seus
detalhamentos no texto que segue.
Ma
te
ria
l d
o P
ro
fe
ss
or
146
Apresentação da unidade do material do aluno
Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais características desta unidade:
Disciplina Volume Módulo UnidadeEstimativa de aulas para
essa unidade
Matemática 2 1 9 3 aulas de 2 tempos
Titulo da unidade Tema
A Função do 1° grau Função polinomial do 1° grau
Objetivos da unidade
Reconhecer a expressão que traduz uma função do primeiro grau;
Reconhecer e traçar gráficos de funções do primeiro grau;
Utilizar funções do primeiro grau na resolução de problemas.
SeçõesPáginas no material do
aluno
Para início de conversa... 197 e 198
Seção 1 – Conhecendo uma função de primeiro grau 199 a 206
Momento de reflexão 206
Voltando à conversa inicial... 207 a 209
Veja ainda... 209 e 210
O que perguntam por aí? 211 e 212
Respostas das atividades 213 a 217
Em seguida, serão oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-
dência direta entre cada seção do Material do Aluno e o Material do Professor.
Será um conjunto de possibilidades para você, caro professor.
Vamos lá!
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 147
Recursos e ideias para o Professor
Tipos de Atividades
Para dar suporte às aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes
à Unidade acima:
Atividades em grupo ou individuais
São atividades que são feitas com recursos simples disponíveis.
Ferramentas
Atividades que precisam de ferramentas disponíveis para os alunos.
Applets
São programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phones disponíveis
para os alunos.
Avaliação
Questões ou propostas de avaliação conforme orientação.
Exercícios
Proposições de exercícios complementares
148
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Aplicando Funções de
Primeiro Grau no Dia a Dia
Folha de ativi-dades, lápis/
caneta e papel.
Esta atividade propõe a apre-sentação de um problema
contextualizada, cuja solução é dada usando a teoria de
funções, em particular, funções polinomiais do
primeiro grau.
Turma dividida em grupos de 3 ou 4 alunos.
30 minutos
Analisando Gráficos de Funções do
Primeiro Grau
Cartas para recorte, folha de atividades, lápis/caneta.
Esta atividade apresenta 5 funções polinomiais do primeiro grau e propõe que o aluno relacione a
representação gráfica com a algébrica dessas funções, além de destacar a impor-
tância do coeficiente angu-lar e coeficiente linear. Para
isso, propomos um jogo de cartas em que os alunos precisarão associar 3 cartas correspondentes para cada função dada: gráfico, lei de
formação e coeficientes.
A atividade pode ser dupla
ou em trio. 30 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 149
Seção 1 – Conhecendo uma função de primeiro grauPáginas no material do aluno
199 a 206
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Custo da passagem de
ônibus
Folha de ativi-dades, lápis/
caneta
Esta atividade pode servir como complementar às ativi-dades propostas na Situação Problema 1, da seção 1 (pági-nas de 199 a 201) do material do aluno. Além de trabalhar
a definição de função, a identificação de variáveis
dependente e independente, a identificação do domínio
da função e a determinação do valor da função para um determinado valor do do-
mínio – como podemos ob-servar nas atividades de 1 a 3 – esta atividade traz a pos-sibilidade de exploração de
outro aspecto importante no estudo de uma função do 1º grau, que é o reconhecimen-to de um padrão numérico a partir de dados expressos em uma tabela como base para
escrita de uma expressão algébrica que a represente,
o que pode servir como uma forma de interligação entre as atividades propostas na situação 1 e na situação 2.
Turma dividida em duplas ou
trios40 minutos
Entrega de encomendas
Computadores com o progra-ma Geogebra
instalado, folha de papel para efetuar os
registros.
Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau
e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.
Turma dividida em duplas ou
trios40 minutos
Função de primeiro grau no Geogebra
Computadores com o progra-ma Geogebra
instalado, folha de papel para efetuar os
registros.
Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau
e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.
A atividade pode ser dupla
ou em trio40 minutos
150
O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno
211 e 212
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Atividade 1 – ENEM 2008
Imagem dis-ponível para
projeção neste material; mate-
rial do aluno
Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do mate-rial do aluno, a atividade 1, é uma questão do ENEM 2008 que envolve a representação
gráfica de uma função de primeiro grau, associando grandezas como o tempo
e distância percorrida. Você poderá trabalhar esta propos-ta com a imagem disponível neste material e pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:
Turma dividida em duplas
Atividade 2 – ENEM 2011
Imagem dis-ponível para
projeção neste material; mate-
rial do aluno.
Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do material do aluno, a atividade 2, ques-tão do ENEM 2011 envolve a transposição de uma função apresentada na linguagem
corrente (situação-problema) para uma representação al-gébrica (matemática). Você
poderá trabalhar esta propos-ta com a imagem disponível neste material e pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:
Turma dividida em duplas
Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno
207 a 209
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Consolidando
Imagem dis-ponível para
projeção neste material; mate-
rial do aluno.
Retoma às primeiras ques-tões da unidade como
revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação
do conceito de função
Turma orga-nizada em
duplas ou indi-vidualmente.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 151
Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno
206
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Avaliação da Unidade
Folha de ativi-dades, mate-rial do aluno, lápis/caneta.
Esta atividade sugere um instrumento avaliativo para a unidade dividido em duas
etapas: registro de apren-dizagens e questões tanto
objetiva como dissertativas, a serem escolhidas a critério
do professor.
Participação individual dos
alunos40 minutos
152
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Aplicando Funções de
Primeiro Grau no Dia a Dia
Folha de ativi-dades, lápis/
caneta e papel.
Esta atividade propõe a apre-sentação de um problema
contextualizada, cuja solução é dada usando a teoria de
funções, em particular, funções polinomiais do
primeiro grau.
Turma dividida em grupos de 3 ou 4 alunos.
30 minutos
Aspectos operacionais
O objetivo principal da atividade é mostrar ao aluno que a matemática está fortemente presente no seu dia a
dia. Isso pode motivar e facilitar o seu estudo.
� Professor, distribua uma folha de atividades para cada grupo e inicie uma discussão e reflexão a partir da
situação cotidiana proposta.
� Solicite que os alunos reflitam sobre a situação apresentada e tentem representá-la matematicamente de
acordo com as questões propostas na folha de atividades, disponível para reprodução neste material.
Aspectos pedagógicos
� Solicite que a turma se organize em grupos de 3 ou 4 alunos;
� Ao apresentar a situação-problema para os alunos, oriente-os no preenchimento da tabela e nas questões
propostas pela atividade;
� É possível levantar uma discussão sobre os pontos entre os números inteiros, e perceber que suas coordenadas também estão na reta que representa o gráfico da função. Por exemplo, entre os valores
de t=1 e t=2 possuem infinitos pontos, e todos eles possuem seus correspondentes e cujas coordenadas
estão na reta.
� Também é importante, mostrá-los que neste caso, os valores de t e v são sempre positivos, uma vez que não
faz sentido nesta situação, que as horas trabalhadas e os valores recebidos, em reais, sejam negativos. Esta
observação introduz a ideia de domínio e imagem da função;
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 153
� Outra discussão relevante é a respeito da relação de crescimento entre as duas variáveis envolvidas. Aqui,
é possível mostrá-los que quanto mais horas trabalhadas, maior será o valor recebido. Esta ideia permite a
abertura de uma discussão sobre funções crescentes e decrescentes.
� Espera-se que com esta atividade, os alunos consigam identificar uma função polinomial do primeiro grau
a partir de uma situação contextualizada e a partir daí, possam refletir sobre as propriedades matemáticas
envolvidas na situação apresentada, identificando diferentes formas de representações (gráfica e algébrica) e
explorando suas propriedades, como por exemplo que o gráfico desta função é representado por uma reta.
Folha de Atividades – Aplicando Funções do Primeiro Grau no dia a dia
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome: _____________________________________________________________________________
Situação do Cotidiano: Salário x Tempo de Trabalho
Uma companhia de tele-marketing paga R$ 4,00 por hora de trabalho aos seus atendentes.
A partir desses dados, complete a tabela a seguir:
Horas trabalhadas (t)Valor , em reais, a ser rece-
bido (v)(t, v)
1
2
5
6
8,5
10
t
A partir da tabela:
� Identifique a variável dependente e a independente no problema proposto.
� Tente encontrar uma lei matemática para representar a relação entre o número de horas trabalhadas e o
valor a ser recebido, em reais.
Agora, responda:
154
� Quantas horas por semana deverá trabalhar uma pessoa que pretende um salário semanal de R$ 68,00?
� Quanto irá receber um atendente que trabalhar 120 horas num mês?
� Quantas horas deverá trabalhar um atendente para que possa comprar um aparelho de som que custa R$
140,00?
� Localize, se possível, os pontos (t, v) no plano cartesiano a seguir e identifique o padrão geométrico deter-
minado por estes pontos.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 155
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Analisando Gráficos de Funções do
Primeiro Grau
Cartas para recorte, folha de atividades, lápis/caneta.
Esta atividade apresenta 5 funções polinomiais do primeiro grau e propõe que o aluno relacione a
representação gráfica com a algébrica dessas funções, além de destacar a impor-
tância do coeficiente angu-lar e coeficiente linear. Para
isso, propomos um jogo de cartas em que os alunos precisarão associar 3 cartas correspondentes para cada função dada: gráfico, lei de
formação e coeficientes.
A atividade pode ser dupla
ou em trio. 30 minutos
Aspectos operacionais
Cada grupo receberá um conjunto de 15 cartas, sendo 5 gráficos, 5 leis de formação e 5 com os coeficientes.
Após receberem estas cartas e associarem as diferentes representações, os alunos serão orientados a responderem
às questões propostas numa folha de atividades. As cartas e a folha de atividade estão disponíveis para reprodução
e recorte, em anexo, a este material.
� Professor, é importante que você reproduza as cartas e a folha de atividades com antecedência, de acordo
com o número de alunos da sua turma e recorte as cartas, disponíveis neste material para que possam ser
distribuídas para os grupos.
� Solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios e distribua 5 kits de 3 cartas para cada grupo, sendo
5 gráficos, 5 leis de formação e 5 cartas com coeficientes.
� Após esta etapa, você pode distribuir uma folha de atividades para cada grupo.
156
Aspectos pedagógicos
� Professor, primeiro você pode deixar os alunos analisarem as cartas recebidas e orientá-los a associá-las em
grupos de 3 cartas correspondentes a uma mesma função.
� Você pode orientá-los a analisarem os gráficos a partir da sua inclinação, crescimento ou decrescimento
das funções e do ponto em que o gráfico corta o eixo das ordenadas, associando estas propriedades com
os coeficientes da função.
� Caso os alunos apresentem dificuldades, você pode pedir que eles escolham um ponto em um dos gráficos
e tentem identificar em qual(is) das leis de formação é (são) satisfeita(s). O aluno poderá repetir este proce-
dimento até encontrar uma única lei que satisfaça o ponto escolhido.
� Ao final da atividade, você pode promover um debate a partir dos resultados obtidos no jogo de cartas e
na folha de atividades.
� Nesta atividade, esperamos que os alunos identifiquem as relações entre o gráfico, a lei de formação e os
coeficientes da função, e reconheçam diferentes formas de representar uma função polinomial do 1º grau.
Por exemplo, para a função f(x)=x, temos as 3 cartas correspondentes:
Folha de Atividades – Analisando Gráficos de Funções do Primeiro Grau
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome: _____________________________________________________________________________
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 157
1. Esboce todos os gráficos das cartas no mesmo plano:
2. Quais das funções acima, os gráficos apresentam inclinação para a direita? E para a esquerda?
3.
a. Em que ponto cada uma das funções corta o eixo x?
b. Determine as raízes destas funções e diga se existe alguma relação dessas raízes com as abscissas dos pontos obtidos no item anterior.
158
4.
a. Em que ponto cada uma das funções corta o eixo y?
b. Existe alguma relação das ordenadas destes pontos com o coeficiente linear “b”? Escreva o que você observa.
5. Compare os coeficientes e os gráficos das funções f(x)= x e f(x)=-x e tente descrever, qual é a diferença e a relação entre eles. A partir daí, tente identificar o que determina a mudança na inclinação nas retas que representam os gráficos destas funções.
Questão Desafio
Com o conhecimento que foi adquirido no jogo de cartas, represente no plano cartesiano, as funções f(x)=
2x+1 e g(x) = -2x+1.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 159
Compare-as e tente descrever, qual é a diferença entre elas e o que determina a mudança na inclinação e os
pontos que tocam o eixo x, nas retas que representam os gráficos.
Seção 1 – Conhecendo uma função de primeiro grauPáginas no material do aluno
199 a 206
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Custo da passagem de
ônibus
Folha de ativi-dades, lápis/
caneta
Esta atividade pode servir como complementar às ativi-dades propostas na Situação Problema 1, da seção 1 (pági-nas de 199 a 201) do material do aluno. Além de trabalhar
a definição de função, a identificação de variáveis
dependente e independente, a identificação do domínio
da função e a determinação do valor da função para um determinado valor do do-
mínio – como podemos ob-servar nas atividades de 1 a 3 – esta atividade traz a pos-sibilidade de exploração de
outro aspecto importante no estudo de uma função do 1º grau, que é o reconhecimen-to de um padrão numérico a partir de dados expressos em uma tabela como base para
escrita de uma expressão algébrica que a represente,
o que pode servir como uma forma de interligação entre as atividades propostas na situação 1 e na situação 2.
Turma dividida em duplas ou
trios40 minutos
160
Aspectos operacionais
A atividade se propõe a descrever uma situação que relaciona o número de passageiros de uma linha de ôni-
bus e o valor da arrecadação. Consideramos que essa é uma situação problema atual, bastante próxima do cotidiano
da maior parte dos alunos da Nova EJA, que contribuirá para uma reflexão do aluno em relação ao contexto, possibi-
litando que este desenvolva um olhar crítico sobre alguns aspectos de sua realidade.
Com o valor da passagem de ônibus da região dos alunos, estes podem organizar os dados na tabela a seguir:
Número de passageiros
pagantes1 2 4 8
Valor arrecadado
pelo cobrador9
� Professor, é importante que você reproduza a folha de atividades, disponível neste material, com antece-
dência, de acordo com o número de alunos da sua turma.
� Após esta etapa, você pode distribuir uma folha de atividades para cada grupo.
Aspectos pedagógicos
� Solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios.
� Primeiramente deixe-os analisar a situação problema, peça para que preencham a tabela com o valor da
passagem de ônibus local e resolvam as questões 1 e 2, intervindo apenas quando necessário;
� Na folha de atividades, as letras d) e e), assim como as letras f ) e g) solicitam do aluno o mesmo raciocínio,
porém com enunciados diferentes. Já, a questão 3 já fornece a fórmula e solicita detalhes sobre o que ela
representa. Ao final da atividade, promova um debate sobre a atividade baseado nos resultados obtidos,
questionando: a diferença entre as questões 2 a) e 3; e a semelhança entre as letras d) e e), assim como as
letras f ) e g).
Folha de Atividades – “Custo da passagem de ônibus”
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome: _____________________________________________________________________________
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 161
Com o valor da passagem de ônibus da sua região preencha a tabela a seguir:
Número de passageiros
pagantes1 2 4 8
Valor arrecadado
pelo cobrador9
1. Justifique por que essa situação se trata de uma função?
2. Determine:
a. a função que representa a relação entre o número de passageiros pagantes (p) e a arrecadação (A); ________________________________________________________________________.
b. a variável dependente; _______________________________________________________.
c. a variável independente; ______________________________________________________.
d. o valor arrecadado para 37 passageiros pagantes;____________________________________.
e. o valor de y=A(p) para p = 26, em que A(p) é a arrecadação e p é o número de passageiros pagantes; _____________________________________________________________________.
f. a quantidade de passageiros pagantes para uma arrecadação de R$150,00 (este valor deve ser um múl-tiplo do valor da passagem);_________________________________________________.
g. o resultado da equação A(p) = 180,00 (este valor também deve ser um múltiplo do valor da passagem). ___________________________________________________________________.
3. Uma dada empresa de ônibus calcula o valor da arrecadação com a seguinte fórmula: A(p) = 2,75.p, em que A(p) é o valor da arrecadação, em reais, e p é o número de passageiros pagantes.
a. Identifique o valor da passagem para esta empresa de ônibus. ___________________________.
b. Qual a arrecadação para 150 passageiros pagantes?__________________________________.
c. Quantos passageiros pagaram, se a arrecadação foi de R$ 825,00?_______________________.
162
Seção 1 – Conhecendo uma função de primeiro grauPáginas no material do aluno
199 a 206
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Entrega de encomendas
Computadores com o progra-ma Geogebra
instalado, folha de papel para efetuar os
registros.
Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau
e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.
Turma dividida em duplas ou
trios40 minutos
Aspectos operacionais
Esta atividade também pode servir como complementar às atividades propostas na Situação Problema 1, da
seção 1 (páginas de 199 a 201) do material do aluno. Além de trabalhar a definição de função, a identificação de va-
riáveis dependente e independente, a identificação do domínio da função e a determinação do valor da função para
um determinado valor do domínio – como podemos observar nas atividades de 1 a 3.
� Professor, distribua uma folha de atividades para cada grupo e inicie uma discussão e reflexão a partir da
situação cotidiana proposta.
� Solicite que os alunos reflitam sobre a situação apresentada e tentem responder as questões propostas na
folha de atividades, disponível para reprodução neste material.
Aspectos pedagógicos
� Solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios;
� Primeiro deixe-os analisar a situação problema;
� Antes de preencher as tabelas, o professor pode perguntar para a turma qual dos planos parece o melhor,
sem fazer contas. Em quais situações uma empresa é melhor que a outra.
� Peça para que preencham as tabelas com os valores do preço a ser pago por peso das encomendas nas
duas empresas;
� Com o preenchimento das tabelas já é possível vislumbrar qual empresa escolher com um determinado
peso de encomenda;
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 163
� Porém a construção gráfica é muito importante também. A visualização gráfica auxilia os alunos com outra
visão (não apenas das tabelas) da situação, ou seja, fica claro que o gráfico da empresa A cresce mais “rápi-
do” que o da empresa B, apesar de começar abaixo;
� Ao final da atividade, promova um debate sobre a atividade baseado nos resultados obtidos, questionan-
do: a relevância ou não das funções do 1º grau nas tomadas de decisão; e a semelhança entre as letras d)
e e), assim como as letras f ) e g).
Folha de Atividades – “Entrega de encomendas”
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome: _____________________________________________________________________________
Duas companhias de entregas de encomendas cobram os seguintes preços:
Empresa A: R$ 2,00 por quilo.
Empresa B: taxa fixa de R$ 10,00, mais R$ 0,50 por quilo.
a. Complete as tabelas a seguir, conforme as regras de cada empresa:
Empresa A Empresa B
Peso da encomenda (Kg)
Preço a ser pago (R$)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Peso da encomenda (Kg)
Preço a ser pago (R$)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
164
b. Determine a fórmula que fornece o preço a ser pago por peso da empresa A.
c. Determine a fórmula que fornece o preço a ser pago por peso da empresa B.
d. Use os valores das tabelas do item a) para marcar os pontos no plano cartesiano a seguir. Use uma cor para a empresa A e outra cor para a empresa B.
e. Se o peso de uma encomenda fosse 4 kg, qual a empresa que oferece o melhor preço?
f. E se o peso fosse 8 kg?
g. Qual o peso (valor inteiro) da encomenda a partir da qual a empresa B fornece o melhor preço?
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 165
Seção 1 – Conhecendo uma função de primeiro grauPáginas no material do aluno
199 a 206
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Função de primeiro grau no Geogebra
Computadores com o progra-ma Geogebra
instalado, folha de papel para efetuar os
registros.
Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau
e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.
A atividade pode ser dupla
ou em trio40 minutos
Aspectos operacionais
Essa atividade foi planejada para ser aplicada no laboratório de informática e propõe a familiarização e o reco-
nhecimento de diferentes representações e propriedades de uma função polinomial do 1º grau. Para isso, sugerimos
a você, professor, oriente seus alunos nos seguintes passos:
� Abrir o programa Geogebra;
� Clicar com o botão direito do mouse e escolha “malha”. Neste momento, aparecerá uma malha quadricula-
da no plano cartesiano representado na tela. Conforme figura a seguir:
� No canto inferior esquerdo da tela, no campo “Entrada”, digite a lei de formação de uma função polinomial
do 1º grau, por exemplo, f(x)= 2x-2 ou f(x)= 2*x-2 e pressione “enter”.
166
O software construirá automaticamente o gráfico desta função de primeiro grau.
� Observe que à esquerda, há a “Janela de Álgebra”, onde fica registrada a lei de formação da função. Esta
ferramenta permite que o aluno visualize a representação algébrica e gráfica simultaneamente.
� Após estes passos, você pode colocar no quadro uma tabela, conforme a seguir e solicitar que os alunos a
preencham, utilizando a mesma função trabalhada no software.
Valor de x y= 2x – 2 (x, y)
0
1
2
3
4
5
6
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 167
� De volta ao Geogebra, peça aos alunos para inserirem no campo “Entrada” os pontos obtidos na tabela
anterior, por exemplo, (0, -2) e pressione “enter”, após digitar cada ponto.
� Após estas digitações, espera-se que os alunos observem que os pontos obtidos recaem sobre a reta que
representa o gráfico da função.
� A seguir, peça para os alunos selecionarem com o mouse o ícone “Novo Ponto” e clicarem sobre um ponto
qualquer da reta.
168
Neste momento, surgirá um novo ponto sobre reta que representa a função y = 2x – 2. Os alunos poderão clicar
no ícone “Mover” para movimentar este novo ponto sobre a reta. Para isso, basta clicar em cima deste ponto com o bo-
tão esquerdo do mouse, segurá-lo e movimentá-lo. Espera-se que o aluno perceba que este ponto se move somente
sobre a reta que representa o gráfico da função.
� Por fim, você pode levar os alunos a observarem que conforme o ponto se movimenta sobre a reta, suas
coordenadas correspondentes vão variando e estas alterações podem ser observadas na “Janela da Álge-
bra” do software. Além disso, este ponto, quando sobreposto aos pontos obtidos na tabela, apresenta as
mesmas coordenadas daqueles.
� Com isso, os alunos poderão conferir que todos os pontos que obtiveram na tabela pertencem à reta dada
e perceber que sobre ela há infinitos pontos.
� A partir daí, você pode deixar os alunos criarem outras funções de primeiro grau no geogebra e observarem
como elas se comportam. Sugira a inclusão de um coeficiente angular “a” negativo.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 169
Aspectos pedagógicos
� Antes de realizar esta atividade é aconselhável que o professor teste-a. E se desejar complemente as ativi-
dades propostas.
� Solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios.
� Oriente os alunos a seguirem as instruções da atividade.
� É possível retomar a discussão sobre os pontos entre os números inteiros, e perceber que suas coordenadas
também estão na reta que corresponde ao gráfico da função. Por exemplo, entre os valores de x=1 e x=2 pos-
suem infinitos pontos, e todos eles possuem seus correspondentes e cujas coordenadas estão na reta.
� Outro ponto a ser questionado é sobre a limitação do software com relação à representação de números
irracionais. O computador só lida com números racionais e portanto não é possível representar todos os
números entre dois pontos quaisquer.
� Incentive seus alunos a criarem outras funções de primeiro grau. É importante fazê-los perceber o que
acontece quando variamos o coeficiente angular e o coeficiente linear.
O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno
211 e 212
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Atividade 1 – ENEM 2008
Imagem dis-ponível para
projeção neste material; mate-
rial do aluno
Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do mate-rial do aluno, a atividade 1, é uma questão do ENEM 2008 que envolve a representação
gráfica de uma função de primeiro grau, associando grandezas como o tempo
e distância percorrida. Você poderá trabalhar esta propos-ta com a imagem disponível neste material e pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:
Turma dividida em duplas
170
Aspectos operacionais
Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do material do aluno, a atividade 1, é uma questão do ENEM
2008 que envolve a representação gráfica de uma função de primeiro grau, associando grandezas como o tempo e
distância percorrida. Você poderá trabalhar esta proposta com a imagem disponível neste material e pedir que os
alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:
Aspectos pedagógicos
� Após a resolução desta questão em aula, você pode promover uma análise coletiva das respostas encontradas
pelos alunos, com uma breve discussão a respeito dos possíveis erros (erros mais comuns) por eles cometidos.
Analisando as alternativas
A alternativa a) não define bem o que se entende por “carroça”. Ela é puxada por algum animal? Ou é somente
a carroça? Levando em conta um senso comum, uma carroça não levaria mais de 2 semanas para andar 10 km.
Na alternativa b) um carro normalmente anda a mais de 10km por hora, então não poderia levar mais de 2 dias
para andar 10 km.
Na alternativa d) uma bicicleta atinge no máximo uns 55km por hora, portanto não poderia alcançar 10km em
2 minutos.
Na alternativa e) um avião chega a 900 km por hora, 15km por minuto e 0,25km por segundo. Portanto não
poderia percorrer 10km em 2 segundos.
Resta apenas a alternativa c). É razoável que uma pessoa ande a 5km por hora, e 10km por 2 horas.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 171
O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno
211 e 212
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Atividade 2 – ENEM 2011
Imagem dis-ponível para
projeção neste material; mate-
rial do aluno.
Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do material do aluno, a atividade 2, ques-tão do ENEM 2011 envolve a transposição de uma função apresentada na linguagem
corrente (situação-problema) para uma representação al-gébrica (matemática). Você
poderá trabalhar esta propos-ta com a imagem disponível neste material e pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:
Turma dividida em duplas
Aspectos operacionais
Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do material do aluno, a atividade 2, questão do ENEM 2011
envolve a transposição de uma função apresentada na linguagem corrente (situação-problema) para uma represen-
tação algébrica (matemática). Você poderá trabalhar esta proposta com a imagem disponível neste material e pedir
que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:
O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo re-
gistrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve
incremento de 4300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros
meses do ano. Considerando-se que y e x representam respectivamente, as quantidades de trabalhadores
varejistas e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica
que relaciona essas quantidades nesses meses é:
a. y = 4.300 x
b. y = 884.905 x
c. y = 872.005 + 4.300 x
d. y = 876.305 + 4.300 x
e. y = 880.605 + 4.300 x
172
Aspectos pedagógicos
� Professor, procure discutir as soluções apresentadas pelos alunos, valorizando cada estratégia mesmo que
esta não tenha o conduzido a uma resposta verdadeira.
Analisando as alternativas
O aluno que marcar a alternativa a) pode ter apenas considerado o incremento (4300) e multiplicado pelo
número que representa os meses (x).
O aluno que marcar a alternativa b) soma 880 605 com 4300, obtendo 884 905, e o multiplica pelo número de meses.
O aluno que marcar a alternativa d) subtrai 4300 de 880 605, obtendo 876 305, e soma com o incremento
(4300) multiplicado pelo número de meses.
O aluno que marcar a alternativa e) considera 880 605, e o multiplica pelo número de meses.
A alternativa c) é o gabarito pois para x = 1 (janeiro) y = 872 005 + 4300 = 876 305;
para x = 2 (fevereiro) y = 872 005 + 4300*2 = 880 605.
Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno
207 a 209
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Consolidando
Imagem dis-ponível para
projeção neste material; mate-
rial do aluno.
Retoma às primeiras ques-tões da unidade como
revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação
do conceito de função
Turma orga-nizada em
duplas ou indi-vidualmente.
Aspectos operacionais
Na página 207, a seção “Voltando à Conversa Inicial” pode servir de motivação para esta revisão e sugere uma
consolidação dos objetos matemáticos trabalhados na unidade, a partir de uma reflexão mais detalhada do texto
apresentado em “Para início de conversa...” (p. 197), sobre como representar graficamente funções polinomiais do
primeiro grau.
Nesta etapa, esperamos que os alunos já tenham desenvolvido as habilidades necessárias ao alcance dos obje-
tivos de aprendizagem desta unidade. Por isso, acreditamos que a retomada às primeiras questões pode servir como
um valioso exercício de revisão.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 173
Aspectos pedagógicos
Professor, retome o problema proposto na seção “Para início de conversa...” do material do aluno, resgatando
as habilidades trabalhadas na unidade.
O problema apresentado é uma questão adaptada do Enem de 2009.
Uma empresa produz jogos pedagógicos com custos fixos de R$ 500,00 e custos variáveis de R$ 10,00 por
unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo total para x jogos produzidos é dado por C(x) = 500 +10x.
A gerência da empresa determina que o preço de venda do produto seja de R$ 30,00. Com isso, a receita
bruta para x jogos produzidos é dado por R(x) = 30x.
O lucro líquido obtido pela venda de x unidades de jogos é calculada pela diferença entre a receita bru-
ta e os custos totais, ou seja, L(x) = 20x – 500.
A tarefa consiste em identificar os gráficos que representam cada uma das funções. As opções seguem abaixo:
A solução da questão acima é apresentada da página 207 a 209 do material do aluno. No entanto, sugerimos
que, antes dos alunos a consultem, esta seja discutida coletivamente com a turma.
Após a resolução desta questão sugerimos que você, professor, proponha mais algumas questões que pudes-
sem dar continuidade ao conhecimento adquirido nesta unidade.
174
Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno
206
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Avaliação da Unidade
Folha de ativi-dades, mate-rial do aluno, lápis/caneta.
Esta atividade sugere um instrumento avaliativo para a unidade dividido em duas
etapas: registro de apren-dizagens e questões tanto
objetiva como dissertativas, a serem escolhidas a critério
do professor.
Participação individual dos
alunos40 minutos
Aspectos operacionais
Para o momento de avaliação, sugerimos a utilização do último tempo de aula destinados à unidade 9. A seguir
apresentamos sugestões para a avaliação das habilidades pretendidas nesta unidade. Dividiremos nossas sugestões
avaliativas em duas etapas, conforme explicitadas a seguir.
Etapa 1: Registros de aprendizagens
Esta etapa pode estar articulada à seção “Momento de reflexão” disponível na p. 206 do material do aluno.
Aqui, você poderá propor que o aluno registre individualmente, na folha de atividades, disponível para reprodução
neste material, as aprendizagens matemáticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para nortear esta avaliação,
apresentamos algumas questões para os alunos, que podem complementar às suas no que tange a avaliação do de-
senvolvimento das habilidades matemáticas pretendidas:
� Qual foi o conteúdo matemático que você estudou nesta unidade?
� Descreva uma situação na qual você poderia usar uma função polinomial do 1º grau para representá-la.
� Liste algumas funções do primeiro grau que foram utilizadas na resolução dos problemas.
� Como é a representação gráfica de uma função polinomial do primeiro grau, isto é, como os pares (x, y)
ficam dispostos no gráfico?
Sugerimos também, que este material seja recolhido para uma posterior seleção de registros a serem entre-
gues ao seu formador no curso de formação presencial. Desta forma, esperamos acompanhar com você como os
alunos estão reagindo aos caminhos que escolhemos para desenvolver este trabalho, para se for o caso, repensá-los
de acordo com as características apresentadas.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 175
Etapa 2: Questões objetivas e discursivas
Sugerimos nesta etapa, a escolha de pelo menos uma questão objetiva que contemple uma habilidade preten-
dida nesta unidade para compor o instrumento avaliativo. A ideia é que o aluno se familiarize com questões cobradas
em avaliações de larga escala, como ENEM, vestibulares, concursos, etc.
Sugestões de questões objetivas para a avaliação:
Questão 1: (ENEM 2011)
Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo que produz. O custo total para fabricar
uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa
obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda
da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).
Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima
de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
a. 5
b. 4
c. 3
d. 2
e. 1
Questão 2: (UNESP – 2011)
O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha de um
certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade.
176
Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como taxa
de absorção (geralmente medida em moles por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se m1 é a taxa de
absorção no claro e m2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é:
a. m1 = m2
b. m2 = 2m
c. m1 . m2 = 1
d. m1 . m2 = -1
e. m1 = 2m2
Questão 3: (CESGRANRIO)
O valor de um carro novo é de R$9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$4.000,00. Supondo que o preço caia
com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é:
a. R$8.250,00
b. R$8.000,00
c. R$7.750,00
d. R$7.500,00
e. R$7.000,00
Questão 4: (FATEC)
Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma dieta ali-
mentar resulte em um emagrecimento de exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu
objetivo ao fim de:
a. 71 semanas.
b. 70 semanas.
c. 69 semanas.
d. 68 semanas.
e. 67 semanas.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 177
Comentário sobre as questões propostas
1. (B)
2. (E)
3. (C)
4. (B)
Sugestões de questões objetivas para a avaliação:
Questão 1:
O governo do Estado do Rio de Janeiro detectou que uma certa companhia estava jogando ácido sulfúrico no
Rio Guandu, multou-a em $ 125.000,00, mais $ 1.000,00 por dia até que a companhia se ajustasse às normas legais que
regulamentam os índices de poluição.
Expresse o total da multa como função em numero de dias em que a companhia continuou violando as normas.
Questão 2:
Em algumas cidades você pode alugar um carro $ 154 por dia mais um adicional de R$16,00 por km.
a. Determine a função por um dia e esboce no gráfico.
b. Calcule o preço para se alugar por um dia e dirigi-lo por 200 km.
Questão 3:
Na revelação de um filme, uma óptica calcula o preço a ser cobrado usando a fórmula P=12,00 + 0,65n, onde P
é o preço, em reais, a ser cobrado e n o número de fotos reveladas do filme.
a. Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos do meu filme?
b. Se paguei a quantia de R$ 33,45 pela revelação, qual o total de fotos reveladas?
178
Questão 4: (Unicamp – SP)
Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:
Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?
Comentário sobre as questões propostas
Questão 1:
Devemos encontrar a função que descreve a multa aplicada pelo Estado do Rio. Pelo enunciado podemos
concluir que é uma função de primeiro grau, logo da forma f(x)= ax+b.
Além disso quando x = 0 o valor a ser pago é de 125.000,00 ou seja, 125.000,00 = f(0) = a 0 + b, logo b =
125.000,00
A multa aumenta 1.000,00 por dia, logo a = 1.000,00.
Obtemos então a função f(x) = 1.000 x + 125.000
Questão 2:
a. Devemos encontrar a função . Pelo enunciado podemos concluir que é uma função de primeiro grau, logo da forma f(x) = ax + b.
Além disso quando x = 0 o valor a ser pago é de 154 ou seja, 154= f(0) = a 0 + b, logo b = 154 .
Após percorrer 1 km o preço vai para 170 reias, isto é, 170 = a.1 + 154, isto é, a = 16.
Obtemos então a função f(x) = 16 x + 154.
b. Basta fazer f(200) = 16 . 200 + 154 = 3354. Logo, o preço para se alugar por um dia e dirigi-lo por 200 km é R$ 3354,00
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 179
Questão 3:
a. Basta fazer P(22) = 12 + 0,65 . 22 = 26,30
b. Para isso basta resolver a equação de primeiro grau
33 = 12 + 0,65 n
n = 33
Questão 4:
a. Plano A, a função que descreve o custo mensal do plano em relação aos minutos será f(x) = 0,5 x + 35. Assim f(25) = 47,5.
Plano B, a função que descreve o custo mensal do plano em relação aos minutos será g(x) = 0,8 x + 20.
Assim g(25) = 40.
Plano C, a função que descreve o custo mensal do plano em relação aos minutos será h(x) = 1,2 x . Assim
h(25) = 37,5.
Logo o melhor plano é o C.
Folha de Atividades – Avaliação
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome: _____________________________________________________________________________
Neste momento, propomos que você retome as discussões feitas na unidade 9 e registre as aprendizagens ma-
temáticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para ajudá-lo nos seus registros, tente responder as questões a seguir:
180
Questão 1:
Qual foi o conteúdo matemático que você estudou nesta unidade?
Questão 2:
Descreva uma situação na qual você poderia usar uma função polinomial do 1º grau para representá-la.
Questão 3:
Liste algumas funções do primeiro grau que foram utilizadas na resolução dos problemas.
Questão 4:
Como é a representação gráfica de uma função polinomial do primeiro grau, isto é, como os pontos (x, y) ficam
dispostos no gráfico?
Folha de Atividades – Exercícios adicionais
Nome da Escola: _____________________________________________________________________
Nome: _____________________________________________________________________________
A seguir, apresentamos alguns exercícios que podem auxiliar você, professor, na fixação das principais noções
ligadas ao conceito de função polinomial do 1º grau, trabalhadas ao longo dessa unidade tanto no material do aluno
quanto nas atividades sugeridas neste material.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 181
1. Considere a função f(x) = -3x + 2. Determine os valores de x para que se tenha:
a. f(x) = 0
b. f(x) = 11
c. f(x) = -1/2
2. Determinar a expressão algébrica da função do 1º grau que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente an-gular é -4.
3. Determine a lei da função do 1º grau que passa pelos pares de pontos abaixo:
a. (0, 1) e (1, 4)
b. (-1, 2) e (1, -1)
4. Faça os gráficos, usando papel milimetrado, das seguintes funções:
a. y = 2x + 3
b. y = (-3x + 1)/2
c. y = –x
5. Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida.
a. Expresse o ganho mensal desse vendedor em função do número de unidades vendidas.
b. Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$ 700,00?
6. Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Sabendo que em média é consumido, por dia, 0,5 kg de gás:
a. Expresse a massa, m, de gás no botijão, em função do número, t, de dias de consumo.
b. Esboce o gráfico desta função.
c. Depois de quantos dias o botijão estará vazio?
7. A água congela a 0° C e a 32° F; ferve a 100° C e 212° F. A temperatura em graus Fahrenheit (F) varia linear-mente com a temperatura em graus Celsius (C).
a. Expresse a temperatura em F em função de C e faça o gráfico desta função.
b. A temperatura do corpo humano não febril é de 37° C. Qual é esta temperatura em graus Fahrenheit?
c. A que temperatura, em graus Celsius, corresponde 20° F?
182
8. Dois táxis têm preços dados por:
Táxi A: bandeirada a R$ 4,00, mais R$ 0,75 por quilômetro rodado;
Táxi B: bandeirada a R$ 3,00, mais R$ 0,90 por quilômetro rodado.
a. Obtenha a expressão que fornece o preço de cada táxi (PA e PB) em função da distância percorrida.
b. Para que distâncias é vantajoso tomar cada táxi?
9. Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes:
� Primeira parte fixa, no valor de $ 1.000,00
� Segunda parte variável que corresponde a uma comissão de 18% do total de vendas que ele fez durante o mês.
a. Expressar a função que representa seu salário mensal.
b. Calcular o salário do vendedor durante um mês, sabendo-se que vendeu 10.000,00 reais em produtos.
10. Um fabricante usa como política de vendas, colocar seu produto ao início de janeiro ao preço p e aumentar
mensalmente esse preço de 3,00. Em 1 de setembro esse preço passou a R$ 54,00. Nestas condições determinar:
a. O preço inicial em janeiro.
b. Qual será o preço em dezembro?
c. Esboçar o gráfico da função que rege o preço do produto.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 183
Anexo - Atividade Inicial
Analisando Gráficos de Funções do Primeiro Grau
Para recortar:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 187
Volume 2 • Módulo 1 • Matemática • Unidade 10
Sistemas de Equações LinearesCleber Dias da Costa Neto, Heitor Barbosa Lima de Oliveira, Patrícia Nunes da Silva e
Telma Alves
IntroduçãoNa unidade 10 do material do aluno, são apresentadas diversas situações e
atividades que abordam sistemas de equações lineares.
Para auxiliá-lo, pesquisamos e elaboramos algumas atividades e recursos que
podem complementar a exposição deste tema em suas aulas. Uma descrição destas
sugestões está colocada na tabela a seguir e seu detalhamento no texto que segue.
Sugerimos que a primeira aula desta unidade tenha uma atividade inicial.
É com uma atividade cujo intuito, além de iniciar a exposição do tema, é promo-
ver uma dinâmica entre os alunos. Nesse momento, espera-se que eles se familia-
rizarem com problemas que envolvam duas incógnitas, modelando matematica-
mente, a fim de solucionar o referido problema.
Para dar sequência ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns re-
cursos complementares vinculados ao conteúdo do material didático. Tais recur-
sos apresentam-se associados a atividades descritas detalhadamente neste mate-
rial. Aqui, além da modelagem algébrica também será discutida a representação
geométrica de um sistema de equações. Sugerimos a sua realização nas aulas
subsequentes à aula inicial de acordo com a realidade da sua turma. Recomen-
damos que sejam feitas as alterações e adaptações sempre que achar necessário.
Por fim, aconselhamos que a última aula desta unidade seja dividida em
dois momentos. O primeiro dedicado a uma revisão geral do estudo realizado
durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da retomada
de questões que surgiram durante o seu estudo. E o segundo, um momento de
avaliação do estudante, priorizando questionamentos reflexivos em detrimento
da mera reprodução de exercícios feitos anteriormente.
Ma
te
ria
l d
o P
ro
fe
ss
or
188
Apresentação da unidade do material do aluno
Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais características desta unidade:
Disciplina Volume Módulo UnidadeEstimativa de aulas para
essa unidade
Matemática 2 1 10 6 aulas de 2 tempos
Titulo da unidade Tema
Sistemas de Equações Lineares Sistemas de Equações Lineares
Objetivos da unidade
Representar a relação entre duas grandezas por meio de gráficos
Utilizar sistemas de equações para calcular os valores de duas incógnitas
Resolver problemas que envolvam duas incógnitas
SeçõesPáginas no material do
aluno
Para início de conversa... 210
Seção 1 – Representando a função no gráfico 221 a 228
Momento de Reflexão 229
Voltando a conversa inicial... 229
Veja ainda 230 a 231
Em seguida, serão oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-
dência direta entre cada seção do Material do Aluno e o Material do Professor.
Será um conjunto de possibilidades para você, caro professor.
Vamos lá!
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 189
Recursos e ideias para o Professor
Tipos de Atividades
Para dar suporte às aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes
à Unidade acima:
Atividades em grupo ou individuais
São atividades que são feitas com recursos simples disponíveis.
Ferramentas
Atividades que precisam de ferramentas disponíveis para os alunos.
Avaliação
Questões ou propostas de avaliação conforme orientação.
Exercícios
Proposições de exercícios complementares
190
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Quem tem razão?
Cópias do texto Quem tem razão? (disponível
na Seção Aspectos
Operacionais);
Calculadoras
Nesta atividade, o aluno irá se familiarizar com situações modeladas por sistemas de equações lineares. Ele terá
de verificar qual das propostas de pagamento
feitas ao entregador José é mais vantajosa
Turma disposta em
duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
15 minutos
Olimpíadas: quadro de medalhas1
Cópias do texto Quem tem razão? (disponível
na Seção Aspectos
Operacionais)
Nessa atividade, os alunos irão analisar e discutir um
problema que envolve uma equação linear que permite estabelecer as classificações
esportivas nas olimpíadas
Turma disposta em
duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
20 minutos
O porquinho de Joana2
Cópias do problema O
porquinho de Joana
(disponível na Seção Aspec-tos Operacio-
nais);
Fichas plásticas (ou
feitas em papel pelo
professor) de duas cores diferentes
Nessa atividade, com auxílio de material manipulável, os
alunos irão analisar e discutir um problema que envolve duas incógnitas
Turma disposta em
trios, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
20 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 191
Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno
210 a 228
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Felipe vai às compras3
Cópias do texto Felipe
vai às compras (disponível na
Seção Aspectos
Operacionais)
Nessa atividade os alunos irão determinar a solução de um sistema linear através da análise de dados apresenta-dos em tabelas. Cada tabela ilustra possíveis soluções de cada uma das equações do
sistema
Turma disposta em
duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
30 minutos
Equilibrando a balança4
Pratinhos de papel, fichas plásticas (ou
feitas em papel pelo
professor) de duas cores diferentes,
cópias da lista de sistemas propostos
(disponível na Seção
Aspectos Operacionais)
Nessa atividade, com auxílio de material manipulável, os alunos irão associar a ima-gem de equilíbrio em uma balança de dois pratos à re-solução de sistemas lineares
Turma disposta em
duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
30 minutos
A voz do interior6
Projetor, vídeo7, cópias
dos problemas propostos
(disponível na Seção
Aspectos Operacionais).
Nessa atividade, os alunos assistem a um vídeo. Nele, o locutor de um programa de rádio lança uma pegadinha
envolvendo o número de galinhas e porcos em um
celeiro dando apenas informações sobre o total
de patas e rabos. Então um jovem ouvinte entra em
contato com o programa e ensina a todos como
resolver o problema. Além disso, discutem os
problemas apresentados no vídeo
Para resolução dos
problemas, divida a turma
em duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
30 minutos
192
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
A codorna doente8
Projetor, planilha excel9,
cópias do texto
A codorna doente
(disponível na Seção Aspectos
Operacionais)
Nessa atividade, os alunos vão determinar as
dimensões de um cercado de isolamento para a codorna doente. Para
determiná-las, os alunos vão resolver um sistema linear
graficamente
Turma disposta em
duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
30 minutos
Tabuleiro X10
Tabuleiros XY, peões e dados
adaptados produzidos
pelo professor (para mais
detalhes, ver Seção
Aspectos operacionais)
Esta é uma atividade de fixação de resolução de sistemas. Trata-se de um
jogo de tabuleiro que envolve a resolução de
sistemas simples de equações lineares
Turma disposta em grupos de
quatro, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
30 minutos
Registros de AprendizagensPáginas no material do aluno
229 a 231
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Avaliação da Unidade
Cópias do texto “Todo sistema de equações
lineares tem solução?”
Esta etapa pode estar articulada à seção
“Momento de reflexão” disponível na p. 81 do
material do aluno. Aqui, você poderá propor que o
aluno registre individualmente, numa fo-
lha de papel, as aprendizagens matemáticas
adquiridas com o estudo desta unidade
Individual-mente 20 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 193
Seção de AvaliaçãoPáginas no material do aluno
229 a 231
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Questões de avaliações de larga escala
Cópias das questões
Sugerimos nesta etapa, a escolha de uma questão que contemple uma habilidade pretendida nesta unidade
para compor o instrumento avaliativo. A ideia é que o
aluno se familiarize com questões cobradas em avaliações de larga escala, como ENEM, vestibulares,
concursos, etc.
Individual-mente 20 minutos
194
Descrevemos a seguir situações motivadoras nas quais queremos que os alunos iniciem uma discussão co-
letiva e familiarizem-se com o conteúdo matemático a ser trabalhado de forma empírica e com atividades de fácil
compreensão antes da formalização. Sugerimos que você escolha a que seja mais adequada à sua realidade. Ou, se
preferir, utilize uma atividade própria.
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Quem tem razão?
Cópias do texto Quem tem razão? (disponível
na Seção Aspectos
Operacionais);
Calculadoras
Nesta atividade, o aluno irá se familiarizar com situações modeladas por sistemas de equações lineares. Ele terá
de verificar qual das propostas de pagamento
feitas ao entregador José é mais vantajosa
Turma disposta em
duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
15 minutos
Aspectos operacionais
� Leitura do Texto
� Divida a turma em duplas e distribua o texto:
Quem tem razão?
Seu José e sua esposa Ana moram no Rio de Janeiro. Seu José é entregador. Atualmente, seu patrão Antônio
paga por dia a José uma quantia fixa de R$ 12,00 e mais R$ 2,00 por cada entrega feita. Hoje, no fim do expediente, ele
propôs a Antônio uma mudança da forma de pagamento: seu fixo diário passaria para R$ 22,00 e ele passaria a ga-
nhar R$ 1,00 por cada entrega. Chegando em casa, José e Ana começaram a falar a respeito da proposta de seu Antô-
nio. Durante a conversa, seus ânimos se exaltaram e suas vozes podiam ser ouvidas por quem passava por sua janela:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 195
— José, é muito mais vantajoso ter um fixo maior!
— Ana, Ana, me escuta. Pode apostar que seu Antônio tá tentando me enrolar!
1. Se seu José faz por volta de dez entregas diárias, ele deve ou não aceitar a proposta de seu Antônio?
2. Caso ele fizesse menos de 10 entregas por dia, qual proposta de pagamento seria mais vantajosa? Use a tabela abaixo para auxiliá-lo na análise da proposta e na sua decisão. Determine quanto é a diária recebida pelo José, quando o número de entregas varia de 0 a 9.
Entregas/diaProposta Antiga Proposta Nova
Diária Diária
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. E se ele fizesse mais do que 10 entregas por dia? Qual proposta de pagamento é mais vantajosa? Use a tabela abaixo para auxiliá-lo na análise da situação e em sua decisão.
196
Entregas/diaProposta Antiga Proposta Nova
Diária Diária
10
11
12
13
14
15
Aspectos pedagógicos
É importante a leitura dirigida, destacando-se os dados.
Como nas tabelas apresentadas não aparece a coluna do valor fixo, talvez os alunos esqueçam de incluí-lo.
� Caso os alunos encontrem dificuldades em estabelecer um mecanismo de cálculo de quanto seu José ga-
nha por dia, estimule-os a determinar a diária no caso de uma entrega, de duas e assim por diante.
� Quando o número de entregas é conhecido (10 entregas), é provável que os alunos não encontrem dificul-
dade em determinar quanto José ganharia por dia em cada uma das propostas de pagamento.
� Nos demais problemas, os alunos podem encontrar alguma dificuldade por não disporem de um valor
exato para ser substituído. Eles devem ser estimulados a montar tabelas. Quando estiverem avaliando as
propostas no caso de menos do que 10 entregas diárias, devem considerar todas as possibilidades: de
nenhuma até nove entregas. No caso de mais do que 10 entregas diárias, eles devem ser estimulados a
calcular alguns valores particulares. No entanto, devem ser levados a perceber que não é possível esgotar
em uma tabela todas as possibilidades. Eles devem ser estimulados a observar e identificar padrões de
regularidade nas colunas de cada proposta e decidir entre as duas propostas. Esses procedimentos foram
ilustrados na proposta de solução apresentada anteriormente.
� Note que quando são menos do que 10 entregas, podemos calcular os pagamentos para TODAS as possi-
bilidades: de 0 a 9 entregas. Quando são mais do que 10, não. Por isso a análise feita através da escolha de
alguns valores não pode ser considerada necessariamente conclusiva, pois não foram esgotadas (e nem é
possível esgotar) todas as possibilidades. É preciso perceber que há um comportamento (a segunda pro-
posta é menos vantajosa) que se mantém para todas as possíveis entregas em número maior do que 10.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 197
� É importante ressaltar a importância da análise com organização matemática para decidir entre as duas
propostas. Sugira aos alunos que se coloquem no lugar de seu José. Discuta e problematize com os alunos
como tomar a decisão entre as propostas. Se seu José está percebendo um aumento na quantidade de
entregas, o que ele deve fazer?
� Para explorar a atividade é importante observar se há divergência de opiniões entre os alunos e mediá-las
a fim de produzir o debate saudável com a construção de argumentações.
� O esperado é que os alunos, depois das primeiras respostas calculadas provavelmente de cabeça, organi-
zem suas ideias. Eles devem perceber que a organização e a formalização do raciocínio necessário a ativi-
dade leva ao desenvolvimento de estratégias de análise de problemas.
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Olimpíadas: quadro de medalhas1
Cópias do texto Quem tem razão? (disponível
na Seção Aspectos
Operacionais)
Nessa atividade, os alunos irão analisar e discutir um
problema que envolve uma equação linear que permite estabelecer as classificações
esportivas nas olimpíadas
Turma disposta em
duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
20 minutos
1 Fontes: http://revistaescola.abril.com.br/ensino-medio/conquista-medalhas-questao-resolver-equacoes-427746.shtml, http://estaticog1.globo.com/2010/11/Anglo/07/Q143.pdf, http://futrankings.blogspot.com.br/2012/08/quadro-de-medalhas-alternativo-da.html
Aspectos operacionais
� Leitura do Texto
� Divida a turma em duplas e distribua o texto
198
Quadro de Medalhas
Que país obtém melhor classificação nas Olimpíadas: aquele que conquista três medalhas de ouro e uma de
prata ou o que consegue oito de bronze?
A resposta depende dos critérios estabelecidos — e eles podem ser variados. Usualmente, a classificação de
um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na com-
petição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de
bronze conquistados.
Vamos analisar aqui uma proposta diferente. Nem vamos supervalorizar as medalhas de ouro nem considerar
que todas as medalhas tenham o mesmo peso na contagem de pontos. Conforme o esporte, conquistar uma meda-
lha de ouro é bem mais difícil do que uma de prata ou de bronze. Vamos adotar o seguinte critério, cada medalha de
ouro valerá 4 pontos, cada medalha de prata valerá 2 pontos e cada medalha de bronze valerá 1 ponto.
1. Utilize o critério de pontuação por medalha e responda à pergunta proposta no início do texto: Que país obtém melhor classificação nas Olimpíadas: aquele que conquista três medalhas de ouro e uma de prata ou o que consegue oito de bronze?
2. Na tabela abaixo, apresentamos o total de medalhas de ouro, prata e bronze conquistadas pelos países A, B, C e D.
País Ouro Prata Bronze Total
A 3 3 3
B 2 4 4
C 4 0 3
D 2 5 3
Utilize o critério de pontuação por medalha e determine a classificação final dos países A, B, C e D na
competição.
Aspectos pedagógicos
Para essa atividade ser bem aproveitada é necessário que o professor se dedique, por algum tempo, a fazer
comparações entre os campeonatos de futebol em que vitórias, empates e derrotas têm pontuações próprias.
� É possível que os alunos encontrem dificuldades na compreensão das metodologias de classificação apre-
sentadas no texto. Antes da resolução dos problemas, o professor pode fazer um levantamento com os
alunos e discussão das diferentes formas de classificação apresentadas e resumi-las no quadro.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 199
� É provável que os alunos não encontrem dificuldades na resolução do primeiro problema. O professor
pode instigar os alunos a avançar na discussão com perguntas do tipo: Quantas medalhas de bronze o
segundo país deveria ganhar para empatar com o primeiro?
� Caso os alunos encontrem dificuldade na interpretação da tabela, reproduza-a no quadro e faça uma leitu-
ra de seus dados indicando, por exemplo, que o país C ganhou 4 medalhas de ouro, nenhuma medalha de
prata e 3 medalhas de bronze.
� No segundo problema, você pode propor que os alunos criem um critério de desempate entre os países A
e D. Por exemplo, a quantidade de medalhas de ouro.
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
O porquinho de Joana2
Cópias do problema O
porquinho de Joana
(disponível na Seção Aspec-tos Operacio-
nais);
Fichas plásticas (ou
feitas em papel pelo
professor) de duas cores diferentes
Nessa atividade, com auxílio de material manipulável, os
alunos irão analisar e discutir um problema que envolve duas incógnitas
Turma disposta em
trios, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
20 minutos
2 Fontes: Matemática com Projetos – 6º Ano (5ª Série), Nicola Siani Filho, Thales do Couto Filho e Renata Cardoso Pires Abreu, Access Editora, http://www.liberosocial.com.br/wp-content/uploads/2012/05/cofrinho.jpg.
Aspectos operacionais
� Leitura do problema
� Divida a turma em trios e distribua o texto
200
O porquinho de Joana
Joana resolveu abrir seu cofrinho para conferir quanto havia guar-
dado. Ela contou ao todo 17 moedas de R$ 0,50 e de R$ 1,00, totalizando
R$ 12,50. Quantas moedas de R$ 1,00, ela guardou no cofrinho?
Ao final da leitura do texto, entregue a cada grupo 12 fichas verme-
lhas e 12 fichas amarelas (caso não disponha de fichas plásticas, o profes-
sor poderá reproduzir os modelos abaixo).
Indique que cada ficha vermelha representará uma moeda de um real e que cada ficha amarela representará
uma de cinquenta centavos. Proponha que cada grupo use as fichas para tentar obter a solução do problema.
Aspectos pedagógicos
É muito comum os alunos começarem a “chutar” valores: sugira que eles usem de bom senso e analisem a
razoabilidade dos “chutes”.
� É possível que os alunos elejam fixar a quantidade de moedas utilizadas e tentar investigar quando o total
em reais é iguala R$ 12,50. Neste caso, a tabela abaixo ilustra algumas possíveis tentativas:
Fichas deR$ 1,00
Fichas deR$ 0,50
Total em R$Quantidades
de Moedas
12 5 R$ 14,50 17
11 6 R$ 14,00 17
10 7 R$ 13,50 17
9 8 R$ 13,00 17
8 9 R$ 12,50 17
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 201
Fichas deR$ 1,00
Fichas deR$ 0,50
Total em R$Quantidades
de Moedas
7 10 R$ 12,00 17
6 11 R$ 11,50 17
5 12 R$ 11,00 17
Caso essa estratégia não aconteça, ao final da resolução e discussão nos grupos, apresente e discuta essa pos-
sibilidade coletivamente com os alunos.
� É possível também que os alunos alternem entre as duas estratégias e fiquem um pouco perdidos na aná-
lise do problema. Acompanhe a discussão nos grupos, sugira que eles efetuem um registro sistemático de
suas tentativas, a fim de facilitar a compreensão e resolução do problema.
� Discuta e problematize com os alunos se a quantidade de fichas entregues é adequada para resolver o pro-
blema. Seria necessário que os grupos tivessem recebido 17 fichas de um real? Sim? Não? Por quê?
Em outras unidades, já foram abordadas representações gráficas em diferentes contextos. Aqui, construiremos
gráficos a fim de que a relação existente entre duas grandezas possa ser percebida não só algebricamente, mas tam-
bém geometricamente.
Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno
210 a 228
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Felipe vai às compras3
Cópias do texto Felipe
vai às compras (disponível na
Seção Aspectos
Operacionais)
Nessa atividade os alunos irão determinar a solução de um sistema linear através da análise de dados apresenta-dos em tabelas. Cada tabela ilustra possíveis soluções de cada uma das equações do
sistema
Turma disposta em
duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
30 minutos
3 Fonte: Matemática com Projetos – 6º Ano (5ª Série), Nicola Siani Filho, Thales do Couto Filho e Renata Cardoso Pires Abreu, Access Editora.
202
Aspectos operacionais
� Leitura do Texto
� Divida a turma em duplas e distribua o texto:
Felipe vai às compras
Felipe quer comprar uma bola e uma camisa do seu time de futebol. Os dois objetos juntos custam setenta e seis
reais. Como ele só tem cinquenta e um reais, só poderá comprar um dos objetos. Ele gostaria muito de comprar a camisa.
Será que a quantia que ele possui é suficiente?
Para avaliar sua situação, Felipe resolveu primeiro pensar em algumas possibilidades de preços da camisa e da
bola que totalizassem R$ 76,00. Ele montou uma tabela. Se a camisa custasse R$ 51,00, a bola deveria custar R$ 25,00
para que o total fosse igual a R$ 76,00 e assim por diante:
Preço da Camisa Preço da Bola Total
R$ 51,00 R$ 25,00 R$ 76,00
R$ 54,00 R$ 22,00 R$ 76,00
R$ 57,00 R$ 19,00 R$ 76,00
R$ 60,00 R$ 16,00 R$ 76,00
Posteriormente, ele se lembrou de uma informação dada pelo vendedor:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 203
Ele resolveu então investigar algumas possibilidades de preços da camisa e da bola de modo que o preço da
camisa fosse o triplo do da bola. Ele montou mais uma tabela:
Preço da Camisa Preço da Bola
R$ 51,00 R$ 17,00 3 × 17 = 51
R$ 54,00 R$ 18,00 3 × 18 = 54
R$ 57,00 R$ 19,00 3 × 19 = 57
R$ 60,00 R$ 20,00 3 × 20 = 60
Analise as duas tabelas montadas por Felipe e responda
1. É possível determinar qual é o preço da camisa? E o da bola?
2. Felipe tem dinheiro para comprar a camisa?
Aspectos pedagógicos
� É provável que os alunos encontrem dificuldade em identificar a necessidade dos preços da camisa e da
bola satisfazerem simultaneamente às duas condições do problema: a soma deles deve ser igual a R$ 76,00
e o preço da camisa deve ser o triplo do da bola. Caso sejam feitas escolhas que violem uma das condições,
sugira aos alunos que verifiquem se essas escolhas também satisfazem a outra condição. Por exemplo, se
uma dupla achar que a camisa custa R$ 51,00 e a bola custa R$ 17,00, sugira que verifiquem qual é a soma
dos preços. No caso, R$ 51,00 + R$ 17,00 = R$ 68,00. Discuta com eles que esses não podem ser os preços
praticados na loja, pois uma das condições foi violada.
� É possível que a informação “Felipe só tem cinquenta e um reais” interfira na análise dos alunos. Discuta e
problematize como e quando fizer uso dessa informação.
� É fundamental promover a percepção de que a presença do par (57,19) nas duas tabelas permite determi-
nar os preços da camisa e da bola.
204
Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno
210 a 228
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Equilibrando a balança4
Pratinhos de papel, fichas plásticas (ou
feitas em papel pelo
professor) de duas cores diferentes,
cópias da lista de sistemas propostos
(disponível na Seção
Aspectos Operacionais)
Nessa atividade, com auxílio de material manipulável, os alunos irão associar a ima-gem de equilíbrio em uma balança de dois pratos à re-solução de sistemas lineares
Turma disposta em
duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
30 minutos
4 Fonte: Baseado no recurso Balanza Algebraica disponível em http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html?open=instructions.
Aspectos operacionais
Antes de dividir a turma em duplas, você deve apresentar a estratégia de resolução aplicando-a a alguns exem-
plos como mostraremos a seguir.
A estratégia que será apresentada pode ser aplicada a sistemas que possam ser escritos na forma5
ax b y
cx d y
+ = + =
onde a, b, c e d são números inteiros não negativos. Vamos ilustrar a estratégia através da resolução de um
exemplo.
Apresentação da estratégia de resolução:
� Considere o sistema:
3 2
4
x y
x y
− + =− + =
� Vamos isolar nas duas equações:
3 2
4
y x
y x
= + = +
5 Na verdade, basta que os coeficientes de y sejam iguais nas duas equações. Além disso, é preciso que a coordenada x da solução do sistema não seja negativa. Todos os problemas propostos lista satisfazem à essa condição.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 205
� Igualando as duas equações, vemos que devemos determinar tal que
3x + 2 = x + 4
� Vamos associar a essa identidade a imagem de uma balança em equilíbrio:
Note que no prato da esquerda temos 3 “pesos” que valem e 2 “pesos” que valem 1. Esse prato representa a
expressão x + 4. No prato da direita, a expressão 3x + 2 foi representada por 1 “peso” que vale x e 4 “pesos” que valem
1. A igualdade desejada dessas duas expressões está representada pela balança em equilíbrio.
� A estratégia de resolução consiste em retirar “pesos” dos dois pratos da balança de modo que ela se man-
tenha em equilíbrio. Isso é possível se retirarmos os “pesos” que aparecem em quantidades “repetidas” nos
dois pratos da balança.
� Vamos retirar 2 “pesos” que valem 1 dos dois pratos da balança:
Veja que a balança permanece em equilíbrio. Esse equilíbrio pode ser interpretado como 3x = x + 2
� Vamos agora retirar 1 “peso” que vale dos dois pratos da balança:
206
A balança permanece em equilíbrio. Esse equilíbrio pode ser interpretado como 2x = 2. E, facilmente, determi-
namos que x = 1.
Voltando ao início da resolução, tínhamos y = x + 4. Logo, y = 5.
� Utilize essa estratégia para resolver no quadro alguns sistemas de equações lineares.
� Divida a turma em duplas. Entregue a cada grupo 1 cópia da lista de sistemas propostos, 2 pratos de papel,
10 fichas vermelhas marcadas com um e 10 fichas amarelas marcadas com 1 (caso não disponha de fichas
plásticas, o professor poderá reproduzir os modelos abaixo).
� Proponha aos alunos que usem os pratos de papel para representar os pratos de uma balança.
� Sugira que usem a estratégia apresentada no quadro para resolver os sistemas propostos na lista.
Lista de Sistemas Propostos
Resolva os sistemas abaixo com a estratégia da balança.
3 21.
6
x y
x y
− + =− + =
3 22.
2 4
x y
x y
− + =− + =
2 23.
3 1
x y
x y
− + =− + =
5 24.
2 5
x y
x y
− + =− + =
2 15.
5 1
x y
x y
− + =− + =
5 26.
6 0
x y
x y
− + =− + =
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 207
Aspectos pedagógicos
� É possível que os alunos encontrem dificuldade em “traduzir” a expressão algébrica, por exemplo, 6x + 1 na
equivalente em pesos: 6 “pesos” que valem e 1 “peso” que vale 1.
� Sempre que for necessário corrigir uma operação, explore bastante a metáfora da balança. Faça isso caso
ele retire mais pesos de um prato do que de outro ou caso ele retire pesos de tipos diferentes de cada um
dos pratos. Por exemplo, tire um peso que vale x de um prato e um que vale 1 do outro. Faça analogia com
tirar de uma balança um peso de 1 Kg e um de meio quilo.
� Com o “desaparecimento” do y no início da resolução, é provável que algumas duplas se esqueçam de de-
terminar o valor de y. Lembre aos alunos que queremos resolver o sistema. Precisamos determinar as duas
incógnitas.
Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno
210 a 228
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
A voz do interior6
Projetor, vídeo7, cópias
dos problemas propostos
(disponível na Seção
Aspectos Operacionais).
Nessa atividade, os alunos assistem a um vídeo. Nele, o locutor de um programa de rádio lança uma pegadinha
envolvendo o número de galinhas e porcos em um
celeiro dando apenas informações sobre o total
de patas e rabos. Então um jovem ouvinte entra em
contato com o programa e ensina a todos como
resolver o problema. Além disso, discutem os
problemas apresentados no vídeo
Para resolução dos
problemas, divida a turma
em duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
30 minutos
6 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1192.
7 Ver arquivo 751.mpg disponível na pasta ArquivosAtividadeVozdointerior
208
Aspectos operacionais
� Projete o vídeo “A voz do interior” (10 minutos)
� Antes de dividir a turma em duplas, retome com os alunos o problema das galinhas e porcos. Discuta com
os alunos a fim de levantar possíveis dúvidas e percepções.
� Divida a turma em duplas e distribua os problemas
Agora é com vocês! Resolvam os problemas abaixo:
Problema 1
Se num celeiro com porcos e galinhas há 40 patas e 15 rabos, qual a
quantidade de cada um dos animais neste celeiro?
Problema 2
Em um parque de diversões, a entrada para adultos custa R$ 5,00
e para crianças custa R$ 3,00. Se num dia de funcionamento, a catraca re-
gistrou a entrada de 2.000 pessoas e a bilheteria uma arrecadação de R$
7.600,00. Qual o número de adultos e crianças que entraram no parque
nesse dia?
Aspectos pedagógicos
� Depois de formulado o problema pelo apresentador do programa de rádio, você pode pausar o vídeo e dar
uma chance para que os alunos resolvam o desafio por conta própria.
� Quando os problemas forem resolvidos em duplas, acompanhe o trabalho das duplas e, se necessário,
ajude na modelagem. Caso perceba dificuldade na obtenção dos sistemas, discuta cada um dos problemas
coletivamente com os alunos. Determinem quais são as incógnitas do problema e quais informações que
temos sobre elas.
� Deixe bastante livre a escolha de estratégias de resolução dos sistemas. Aceite inclusive soluções obtidas
por tentativa e erro.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 209
Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno
210 a 228
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
A codorna doente8
Projetor, planilha excel9,
cópias do texto
A codorna doente
(disponível na Seção Aspectos
Operacionais)
Nessa atividade, os alunos vão determinar as
dimensões de um cercado de isolamento para a codorna doente. Para
determiná-las, os alunos vão resolver um sistema linear
graficamente
Turma disposta em
duplas, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
30 minutos
8 Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1863.
9 Ver arquivo luci.xls disponível na pasta ArquivosAtividadeCodornaDoente.
Aspectos operacionais
� Leitura do Texto
� Divida a turma em duplas e distribua o texto:
A codorna doente
Lucas possui uma criação de codornas. Uma delas está doente e deve ficar isolada das demais. Lucas com-
prou tela de arame para cercar uma área retangular com a finalidade de fazer um cercado de isolamento para a
codorna doente. Ele gastou 150 cm para cercá-lo e o fez de tal forma que o comprimento resultou no dobro da
largura. Quais são as dimensões do cercado?
210
Modelagem
� Após a leitura do texto solicite às duplas que expressem algebricamente as condições que devem ser satis-
feitas pelo comprimento e largura do cercado de isolamento.
� Discuta coletivamente e expresse o sistema obtido no quadro na forma
ax by c
dx ey f
+ = + =
� Identifique com os alunos os valores dos coeficientes .
Análise
� Projete a planilha excel no quadro.
� Mostre aos alunos que os valores escolhidos para os coeficientes a, b, c, d, e e f. são os mesmos do sistema
linear deduzido por eles.
a = 2
b = 2
c = 150
d = 1
e = -2
f = 0
Indique aos alunos que na tabela do lado esquerdo da planilha, na primeira coluna temos valores atribuídos a
x, na segunda coluna os valores calculados de y referente à primeira equação do sistema 2x + 2y = 150, e na terceira
coluna os valores de calculados na segunda equação x - 2y = 0.
x y y
-1 76 -0,5
0 75 0
5 70 2,5
10 65 5
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 211
x y y
15 60 7,5
20 55 10
25 50 12,5
30 45 15
35 40 17,5
40 35 20
45 30 22,5
50 25 25
55 20 27,5
Peça aos seus alunos que comparem os valores da segunda coluna e os valores da terceira. Discuta
com eles o que acontece com os valores? O que acontece na linha onde x é igual a 50? (Na segunda coluna,
correspondente à equação 2x + 2y = 150, os valores de y decrescem de 5 em 5 — a partir de x = 0. Na ter-
ceira coluna, os valores de correspondente à equação x - 2y = 0, os valores de y crescem de 2,5 em 2,5 — a
partir de x = 0. Quando x = 50, o valor de y que satisfaz à equação 2x + 2y = 150 é o mesmo que satisfaz à
equação x - 2y = 0. Logo encontrarmos uma solução do sistema).
� Determine as medidas do cercado (x = 50 cm e y = 25 cm).
Aspectos pedagógicos
� É provável que os alunos encontrem dificuldade em expressar alge-
bricamente o problema. Conduza a discussão gradualmente, esque-
matize o cercado no quadro e convencione, por exemplo, que o com-
primento será denotado por e a largura por
� Uma vez estabelecido o sistema 2 2 150
2 0
x y
x y
+ = − =
, identifique os coefi-
cientes: a = b = 2, c = 150, d = 1, e = -2, f = 0. Interprete cada uma das equações a fim de sedimentar a per-
cepção de que cada uma das equações captura uma das condições estabelecidas no problema. Ressalte
e discuta por que apareceu o 2 na equação que expressa o material gasto 2x + 2y = 150 (para determinar
x
y
212
o material gasto, calculamos o perímetro do retângulo de comprimento x e largura y. O problema nos in-
forma que Lucas usou 150 cm de arame para o cercado. Por isso obtemos 2x + 2y = x + y + x + y = 150. No
enunciado, também soubemos que o comprimento x é o dobro da largura y. Por isso obtivemos x - 2y = 0).
� É possível que os alunos encontrem dificuldade em fazer a transição entre a equação x = 2y que expressa
que o comprimento é o dobro da largura para a equação x - 2y = 0. Discuta com eles essa transição. Além
disso, é importante que identifiquem que o coeficiente de y será igual a -2 e que não há problema se o
termo do lado direito for igual a zero.
� Problematize a análise propondo e discutindo questões como: as retas se cruzam em algum ponto? Existe
alguma solução para o sistema? Existe algum par ordenado que seja solução do sistema de equações?
� Explore e estabeleça uma relação entre a igualdade obtida nas segunda e terceira colunas quando x = 50 e
a interseção das duas retas (Reforce junto aos alunos que os pares de pontos (x, y) que satisfazem à equa-
ção 2x + 2y = 150 pertencem à reta em marrom. Os pares de pontos (x ,y) que satisfazem à equação x - 2y
= 0 pertencem à reta em magenta. Para que as duas equações sejam satisfeitas, o par (x, y) deve pertencer
simultaneamente às duas retas. Isto é, a solução do sistema coincide com a interseção das duas retas. Como
temos retas concorrente, apenas em um ponto encontramos a igualdade no valor de y nas segunda e ter-
ceira colunas).
� Peça a eles que observem a solução no lado esquerdo da planilha.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 213
Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno
210 a 228
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Tabuleiro X10
Tabuleiros XY, peões e dados
adaptados produzidos
pelo professor (para mais
detalhes, ver Seção
Aspectos operacionais)
Esta é uma atividade de fixação de resolução de sistemas. Trata-se de um
jogo de tabuleiro que envolve a resolução de
sistemas simples de equações lineares
Turma disposta em grupos de
quatro, propiciando
trabalho organizado e colaborativo
30 minutos
10 Fontes: http://pibiduspsc.blogspot.com.br/2012/09/sistemas-lineares-metodo-da-substituicao.html, http://portuguese.alibaba.com/product--gs/plastic-board-game-pieces-plastic-board-game-pawns-board-game-producer-745462977.html.
Aspectos operacionais
� Divida a turma em grupos de quatro. Em cada grupo, forme duas duplas de jogadores.
� Distribua para cada grupo dois peões, um tabuleiro XY e um dado adaptado.
1
3
x y
x y
− = + =
INÍCIO
FIM
1
2 2
x y
x y
− = + =
2 3
0
x y
x y
− = + =
3 6
4
x y
x y
+ = + =
1
3
x y
x y
− = + =
2 9
6
x y
x y
− = + =
2
0
x y
x y
− = + =
2 0
3
x y
x y
− = + =
1
3
x y
x y
− = + =
5
3
x y
x y
− = + =
X
XY
Y
Y
X
214
Para produzir o dado adaptado, cubra as faces de um dado comum com etiquetas brancas. Nas faces original-
mente ímpares, escreva x e nas pares, escreva y. O tabuleiro XY pode ser produzido através de reprodução do modelo
apresentado na próxima página
Tabuleiro XY
� Faça uma cópia para cada grupo do tabuleiro.
X
XY
Y
Y
X
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 215
1
3
x y
x y
− = + =
INÍCIO
FIM
1
2 2
x y
x y
− = + =
2 3
0
x y
x y
− = + =
3 6
4
x y
x y
+ = + =
1
3
x y
x y
− = + =
2 9
6
x y
x y
− = + =
2
0
x y
x y
− = + =
2 0
3
x y
x y
− = + =
1
3
x y
x y
− = + =
5
3
x y
x y
− = + =
216
Regras do Jogo
� Cada dupla posiciona seu peão na primeira casa (a casa que contém o sistema linear localizado ao lado da
casa INÍCIO).
� A dupla que inicia a partida dele resolver este sistema, encontrando o valor de x e de y, em seguida deve
jogar um dado que possui em suas faces x e y, dependendo do valor apontado pelo dado, a dupla anda o
número de casas no tabuleiro de acordo com o valor da do por x ou y.
Por exemplo:
� A dupla resolve o sistema linear e encontra os seguintes valores: x = 1 e y = 2.
� Quando joga o dado, ele cai no y, então a dupla deve andar duas casas, se tivesse caído no ele andaria
uma casa.
� Caso x < 0 ou y < 0, a dupla deve retroceder o número de casas indicado.
� O jogo se dá desta forma até o final.
Aspectos pedagógicos
� É possível que as duplas tenham dúvidas ao resolver os sistemas e necessitem de auxílio do professor.
Sugira o uso de métodos de resolução apresentados em sala e também considere as soluções obtidas por
tentativa.
� Espera-se que a aplicação do jogo desperte o interesse dos alunos e propicie a fixação de técnicas e méto-
dos de resolução apresentados em sala.
Nessa seção, apresentaremos atividades que retomam as habilidades verificadas nas seções anteriores, com o
intuito de consolidar e avaliar o processo de ensino-aprendizagem do conteúdo proposto.
Sugerimos a utilização dos dois últimos tempos de aula destinados a esta unidade. A seguir, apresentamos
sugestões para a retomada dos conteúdos trabalhados e para avaliação das habilidades pretendidas. Dividiremos
nossas sugestões avaliativas em duas etapas, conforme explicitadas a seguir:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 217
Registros de AprendizagensPáginas no material do aluno
229 a 231
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Avaliação da Unidade
Cópias do texto “Todo sistema de equações
lineares tem solução?”
Esta etapa pode estar articulada à seção
“Momento de reflexão” disponível na p. 81 do
material do aluno. Aqui, você poderá propor que o
aluno registre individualmente, numa fo-
lha de papel, as aprendizagens matemáticas
adquiridas com o estudo desta unidade
Individual-mente 20 minutos
Aspectos operacionais
� Para nortear esta avaliação, apresentamos algumas questões para os alunos, que podem complementar as
suas no que tange à avaliação do desenvolvimento das habilidades matemáticas pretendidas.
� A intenção é estabelecer relações entre conteúdos do capítulo e conteúdos já conhecidos pelo aluno. Em
geral, buscam atingir a compreensão e a explicação. Mais do que avaliar se o aluno sabe responder, supõe
uma tomada de consciência dos instrumentos e procedimentos utilizados, o que torna possível o aluno
aplicá-los em outros contextos.
Como exemplo disso, trouxemos as seguintes questões:
Todo sistema de equações lineares tem solução?
Será que todo sistema linear tem solução? Ou seja, será que sempre é possível encontrar um valor para x e y,
por exemplo? Será que as retas sempre se encontram? Observe os sistemas a seguir e tente solucioná-los.
218
3 71)
2 4 6
212)
2 2 42
213)
10
x y
x y
x y
x y
x y
x y
+ = − =
+ = + =
+ = + =
Qual a diferença entre esses sistemas? O que se pode observar?
Aspectos pedagógicos
� A partir das respostas dos alunos, estimule o debate sobre ter ou não ter solução e o que isso significa al-
gebricamente e geometricamente.
� Após isso, podem-se inserir as nomenclaturas adequadas, ou seja, Sistema Possível e Determinado (SPD),
Sistema Possível mas Indeterminado (SPI) e Sistema Impossível (SI).
� Provavelmente, os alunos sentirão alguma dificuldade na adequação dos termos para classificar um siste-
ma. Assim, dê mais atenção às características da representação geométrica para que eles façam a corres-
pondência correta.
� Quando os alunos falarem sobre o que observaram entre as duas equações dos sistemas, ressalte o que sig-
nifica ter os mesmos coeficientes em x e y e diferentes termos independentes, ter os coeficientes e termos
independentes múltiplos, etc.
Seção de AvaliaçãoPáginas no material do aluno
229 a 231
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Questões de avaliações de larga escala
Cópias das questões
Sugerimos nesta etapa, a escolha de uma questão que contemple uma habilidade pretendida nesta unidade
para compor o instrumento avaliativo. A ideia é que o
aluno se familiarize com questões cobradas em avaliações de larga escala, como ENEM, vestibulares,
concursos, etc.
Individual-mente 20 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 219
Aspectos operacionais
A seguir, oferecemos duas questões objetivas sobre sistemas de equações.
Questão 1 (ENEM 2011)
Questão 2 (Unesp 2004)
Maria tem em sua bolsa R$ 15,60 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Dado que o número de moedas
de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, qual o total de moedas na bolsa?
Aspectos pedagógicos
� Após a resolução das questões, proponha uma discussão sobre as soluções encontradas.
� Possivelmente, aparecerão soluções divergentes. Pondere as equivocadas ressaltando onde reside o erro.
� As questões do ENEM têm em suas alternativas erradas sempre uma justificativa com erro plausível. Obvia-
mente, isso não está evidente na alternativa. Dessa forma, procure identificar o erro que gerou cada uma
das alternativas e discuta com os alunos.