matemática financeira - rendas certas ou anuidades
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Material de Apoio do livro Matemática Financeira, dos autores Washington Franco Matias e José Maria Gomes, da Editora Atlas.TRANSCRIPT
Washington Franco MathiasJosé Maria Gomes
MatemáticaFinanceira
Com + de 600 exercíciosresolvidos e propostos
5ª Edição
Capítulo 5
RENDAS CERTASOU
ANUIDADES
MathiasGomes
Rendas Certas ou Anuidades
Definições: Dada uma série de capitais, referidos às suas respectivas datas:
Estes capitais, referidos a uma dada taxa de ju-ros “i” caracterizam uma anuidade ou renda certa.VALORES = Termos da anuidade;PERÍODO = Intervalo de tempo entre dois termos;DURAÇÃO DA ANUIDADE = Soma dos períodos.
R1 n1
R2 n2
... ...Rm nm
MathiasGomes
Valor Atual e Montante deuma Anuidade
Valor Atual: é a soma dos valores atuais dos seus termos, na mesma data focal e à mesma taxa de juros “i”.
Montante: é a soma dos montantes dos seus ter-mos, considerada uma dada taxa de juros “i” e uma data focal.
MathiasGomes
Classificação das Anuidades
QUANTO AO PRAZO:
• Temporárias: quando a duração for limitada.• Perpétuas: quando a duração for ilimitada.
QUANTO AO VALOR DOS TERMOS:
• Constante: quando todos os termos são iguais.• Variável: quando os termos não são iguais entresi.
MathiasGomes
Classificação das Anuidades
QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO:
• Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período.-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são
exigíveis no fim dos períodos.-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no
início dos períodos.
MathiasGomes
Classificação das Anuidades
QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO:
• Diferidas: quando os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro perío-do.-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são
exigíveis no fim dos períodos.-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no
início dos períodos.
MathiasGomes
Classificação dasAnuidades
QUANTO À PERIODICIDADE:
• Periódicas: se todos os períodos são iguais.
• Não-periódicas: se os períodos não são i-guais entre si.
MathiasGomes
Modelo Básico de Anuidade
São as anuidades que são:
• Temporárias;• Constantes;• Imediatas e Postecipadas;• Periódicas;• A taxa de juros “i” está referida ao mesmo pe-ríodo dos termos.
MathiasGomes
Valor Atual do ModeloBásico
Diz-se que o principal vai ser pago em “n” par-celas (prestações) iguais a “R”.
¬= aRP .
P = principaln = número de termosR = termosi = taxa de juros
P
R R R
0 1 2 n
n i
MathiasGomes
Valor Atual do ModeloBásico
Esta fórmula encontra-se tabelada para diversosvalores de “n” e de “i” (veja tabelas no fim do li-vro).
n i¬a = lê-se “a, n, cantoneira, i” ou “a, n, i”.
O cálculo de é feito do seguinte modo:n i¬a
n
n
iiia
)1(1)1(
+−+
=¬n i
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploI) João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações men-sais de $ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas apartir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou es-tar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergun-ta-se o preço do carro à vista.Resolução:
n
n
iiia
)1(1)1(
+−+
=¬n i
onde: n = 4 mesesi = 2% a.m.
807729,3)02,1.(02,01)02,1(
4
4
≅−
=¬an i
Portanto, como R = 2.626,24:P = 2.626,24 x 3,807729 = 10.000,00
MathiasGomes
ExemploII) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.
Resolução:¬
=aPR
n i
onde: P = 5.000,00n = 10 m.i = 3% a.m.Procurando numa tabela ou calculando diretamente,
tem-se:
15,586$530203,8
00,000.5530203,8
==
≅¬
R
a10 3
MathiasGomes
ExemploPortanto, o comprador deverá pagar uma prestação men-
sal de $ 586,15, por 10 meses.
III) Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nasseguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 prestações men-sais iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lo-jas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço a vista.
Resolução: Chamando a entrada de E e as prestações de R, te-mos:
0 1 2 3
EP
{ R R R
MathiasGomes
ExemploPortanto, o principal (P), que é o valor atual das prestações nadata zero somado à entrada (E), pode ser expresso do seguintemodo:
3 2,5¬+= RaEPonde: E = 1.500,00
R = 1.225,48
Logo: P = 1.500,00 + 1.225,48 x 2,856024P = 1.500,00 + 3.500,00P = $ 5.000,00
Portanto, o preço à vista nas condições dadas é de $ 5.000,00.
3 2,5 856024,2≅¬a
MathiasGomes
ExemploV) Um tapete persa é vendido por $ 15.000,00 à vista. Pode seradquirido também em prestações mensais de $ 885,71, a juros de 3% a.m. Sabendo que as prestações vencem a partir do mêsseguinte ao da compra, pede-se para calcular o número de pres-tações.
Resolução:n i
491933,0)03,1(508067,0)03,1(1
03,0)03,1(1935566,16
935566,1671,885
000.15.71,885000.15
.
=
=−
−=
==¬
¬=¬=
−
−
−
n
n
n
a
aaRP
n 3
n 3
Temos que:
MathiasGomes
Exemplo
Extraindo o logaritmo dos dois membros, tem-se:
log(1,03) log(0,491933)log(0,491933)
log(1,03)0,308094
24 meses0,012837
n
n
n
− =
= −
−= − ≅
MathiasGomes
Montante do ModeloBásico
Diz-se que “s” é o resultado de um processo decapitalização (aplicação) de “n” parcelas iguais a“R”.
¬= sRS .
S = montanten = número de termosR = termosi = taxa de juros
S
R R R
0 1 2 n
n i
n-1
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploI) Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-seque ela está ganhando 2% a.m., quanto possuirá em 2 anos ?
Resolução:
onde: R =1.000,00
Portanto: S = 1.000,00 x 30,421862S = $ 30.421,86
24 2 421862,30=¬S
¬= SRS . n i
Logo, após 2 anos, a pessoa possuirá $ 30.421,86.
MathiasGomes
Montante do ModeloBásico
Esta fórmula encontra-se tabelada para diversosvalores de “n” e de “i” (ver tabelas no fim do li-vro).
n i¬s = lê-se “s, n, cantoneira, i” ou “s, n, i”.
O cálculo de é feito do seguinte modo:n i¬s
iis
n 1)1( −+=¬
n i
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploII) Uma pessoa deseja comprar um carro por $ 40.000,00 à vis-ta, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma cer-ta quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio ren-dendo 2,2% a.m. de juros compostos, determinar quanto deveser poupado mensalmente.
Resolução: Neste caso, o montante é dado:S = 40.000,00
Como a taxa de 2,2% não se encontra tabelada, faze-mos o cálculo diretamente:
12 2,2 022,01298407,1
022,01)022,1( 12 −=
−=¬S
563955,13022,0
298407,0==
MathiasGomes
Exemplo
Temos:
12 2,2
00,949.2$
99,948.2563955,13
000.40
=∴
=
¬=
R
R
SSR
Então, se a pessoa poupar $ 2.949,00 por mês e fizer a aplicação a 2,2% a.m. por 12 meses poderá comprar o carropretendido.
MathiasGomes
Relação entre o Valor Atual e o Montante do Modelo Básico
n i
A relação é:
E a relação entre os fatores é a seguinte:
¬+=¬ ais n.)1(n i
niPS )1( +=
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploUma pessoa possui $ 30.000,00, que pode aplicar do seguintemodo:a) no banco A, que paga um juro de 3% a.m. ao fim de cadamês, devolvendo o capital no fim do 12º mês;B) no banco B, que devolve $ 42.000,00 no fim do 12º mês.Pede-se determinar a melhor aplicação.
Resolução: A melhor aplicação será aquela que conduzir aomaior montante na data focal 12:
Banco A: A aplicação de $ 30.000,00 a um juro de 3%a.m. produz uma renda mensal de $ 900,00. Portanto, o mon-tante na data focal 12 é:
MathiasGomes
Exemplo
83,772.42$83,772.12000.30
192030,1400,900000.30.00,900000.30
=+=+=
¬+=
A
A
A
A
SS
xSSS
83,772.42$425761,1000.30
)03,1.(000.30)1(
12
===
+=
A
A
A
n
SxS
SiPS
Note-se que pela fórmula este resultado pode ser obtido dire-tamente:
12 3
MathiasGomes
Exemplo
Já sabemos que o Banco B devolve:
SB = $ 42.000,00
Logo, concluímos que é melhor aplicar no Banco A, ganhandoum adicional de $ 772,83.
MathiasGomes