Matematica - Curve e superfici a.a. 2009-2010

Prof. C. Falcolini

Studio e riproduzione delle cupole dellaBasilica di San Marco a Venezia

Università degli studi di Roma Tre studenti: Elio Carradori - Armando Di Gregorio

La Basilica di San Marco a Venezia

La Basilica di San Marco è un monumento unico per la ricchezza dellasua storia, la maestosità della sua facciata e del suo interno, splendido laboratorio in cui hanno operato per secoli grandi artisti italiani ed europei. Il carattere bizantino che la contraddistingue appare soprattuttonei grandi mosaici che narrano le storie di San Marco. La grandezza diVenezia si è sempre riflessa nell’ arricchimento della Basilica. L'impiantoa croce greca poggia sopra una struttura che nella navata longitudinalecentrale riporta motivi architettonici basilicali: il braccio verticale dellacroce è maggiore rispetto a quelli dei transetti, l'altare è posto nell'areadell'abside. L'impianto architettonico è molto articolato e ripete un unico modulo ben individuabile nella cupola centrale che poggia,mediante i pennacchi e le grandi volte, suiquattro pilastri. Entrambi i bracci della crocesono suddivisi in tre navate, al di sopra della croce poggiano le cinque cupole.L'articolazione dello spazio è ricca disuggestioni, all'interno si propone unasequenza unitaria suddivisa in singolepartiture spaziali, cui il mosaico a fondod'oro garantisce continuità ed il particolaremodo di essere della chiesa.

Le cinque cupole della BasilicaLe cupole sono molto leggere per non far gravare pesi eccessivi sul terreno lagunare, e sono composte da laterizi forati. La chiesa è completamente coperta con cupole, raccordate da volte a botte (struttura unica in Italia). Esse sono sorrette da un’intelaiatura lignea, le cupole sono percorribili in quota, vi sono dei ponti aerei che scavalcano il vuoto del transetto. Il problema della luce è connesso alla presenza delle cupole: La luce infatti entra solamente dalla piccola finestratura presente sul tamburo in questo modo si ottiene solo un anello di luce, che sarebbe insufficiente ad illuminare l’ambiente, se l’interno della basilica non fosse completamente ricoperto da mosaici dorati.

La cupola come somma di più superficiPer riprodurre matematicamente la cupola studiata si è pensato di dividerla in diverse superfici da collegare in seguito.

Questo ragionamento è stato adottato non solo per la parte più grande della cupola ma anche per i piccoli dettagli, in particolar modo per la lanterna.

Cilindro

Semisfera

Cilindri binati

Epicicloide estrusa su una curva

Epicicloide estrusa su una curva

La cupola come somma di più superfici1. Il cilindro della base

-Determiniamo innanzitutto l’equazione generica del cilindro:

cilindro[a_][u_,v_]:=a {Cos[u],Sin[u],v}

-Successivamente determiniamo l’equazione che ci serve per avere la nostra base:ParametricPlot3D[cilindro[10][u,v],{u,0,2Pi},{v,0,-2},PlotRange -> {{-10,10},{-10,10},{-30,30}},Mesh -> None]

Questo valore serve a determinare il raggio del cilindro.

Modificando il periodo possiamo avere la lunghezza voluta

La cupola come somma di più superfici2. La sfera della cupola

- Determiniamo anche in questo caso prima di tutto l’equazione generica della sfera:

sfera[a_][u_,v_]:=a {Cos[u]Cos[v],Sin[u]Cos[v],Sin[v]}

- In seguito stabiliamo l’equazione per determinare graficamente una semisfera:

ParametricPlot3D[sfera[10][u,v],{u,0,2Pi},{v,0,Pi},PlotRange ->{{-10,10},{-10,10},{-30,30}},Mesh -> None]

Questi parametri determinano

l’interezza della sfera.

La cupola come somma di più superfici3. Le colonnine binate

cilindro[a_][u_,v_]:=a {Cos[u],Sin[u],v} ParametricPlot3D[cilindro[0.16][u,v],{u,0,2Pi},{v,1.5,4.5},PlotRange -> Automatic]

}.{x,y,z}

- Applicando il comando Table e associandolo ad una matrice di rotazione rtz[a_][{x_,y_,z_}]:={{Cos[a],-Sin[a],0},{Sin[a],Cos[a],0},{0,0,1}, avremo una rotazione intorno all’asse z.

Gestendo il parametro h possiamo decidere il numero di ripetizioni e i gradi di rotazione, in questo caso 8 ripetizioni divise in 360° .

Ma questa configurazione risulta in verità inadatta, il raggio di rotazione è ampio e non si nota immediatamente che la rotazione essendo applicata alle coppie di colonne, le mantiene su uno stesso asse 2 a 2, riducendo il raggio di rotazione, si può esasperare l’errore, dovuto al fatto che l’asse delle colonne binate tende alla tangenza della circonferenza per valori molto ampi.

Show[Table [ParametricPlot3D[Table [rtz[h*2Pi/8][cilindro[0.16][u,v]+{1.5,k,0}],{k,0,1}],{u,0,2Pi},{v,9,14.5},PlotRange -> {{-5,5},{-5,5},{8,10}}],{h,1,8}]]

- Determiniamo innanzitutto l’equazione generica del cilindro:

- Utilizzando il comando Table otteniamo due colonnine:

La cupola come somma di più superfici3. Le colonnine binate

Colonne=Show[Table[ParametricPlot3D[Table[(rtz[h*2Pi/16][cilindro[0.05][u,v]+{1.6,0.6,1}])+{0,0,0},{k,0,1}],{u,0,2Pi},{v,10,13.5},PlotRange -> {{-10,10},{-10,10},{0,15}},PlotStyle -> Gray,Mesh -> None],{h,1,16}]] Questi valori rappresentano lo

spostamento sugli assi x,y,z corrispondenti, ma questa volta applicata all’intero gruppo, così da poterlo posizionare correttamente nello spazio.Abbiamo poi ripetuto l’operazione variando questi parametri che gestiscono la posizione del cilindro nello spazio, in modo da avere la stessa serie ma leggermente ruotata rispetto l’asse z. Unendo i due grafici, abbiamo l’effetto di una serie di coppie di colonne. Stavolta con una corretta rotazione.

- Il metodo utilizzato in precedenza è perciò solo in apparenza valido,abbiamo deciso quindi di operare diversamente, attraverso un operatore “Table” applicato ad una matrice di rotazione, abbiamo ripetuto il singolo cilindro.

La cupola come somma di più superfici4. L’epicicloide estrusa su una curva, la copertura delle lanterne:

- La forma della copertura delle 5 lanterne non è la medesima ripetuta ma varia sia in quantità di spicchi che per snellezza e dimensione, ciò che abbiamo voluto ricavare è un equazione unica alla quale modificando i parametri si ottenessero tutte e cinque le coperture:

La cupola come somma di più superfici4. L’epicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna:

epicicloide[a_,b_][t_]:={(a+b)*Cos[t]-b*Cos[((a+b)*t)/b],(a+b)*Sin[t]-b*Sin[((a+b)*t)/b]}ParametricPlot[pola[16,2][t],{t,0,2Pi},PlotRange->{{-20,20},{-20,20}}]

- Come si compone la lanterna?- Prima di tutto la forma di base, l’epicicloide, la formula base.

Questi parametri gestiscono il numero di cicli

Il parametro “t” determina l’interezza della cicloide

ParametricPlot3D[{18*Cos[t]-2*Cos[(18)*t/2],18*Sin[t]-2*Sin[18*t/2],v },{t,0,15},{v,1,10},PlotPoints®50,Mesh -> None]

- Passiamo ora ad estrudere l’epicicloide :

Aggiungendo questo nuovo parametro, forniamo alla formula una terza dimensione.

La cupola come somma di più superfici4. L’epicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna:

- Ecco il risultato grafico e la funzione matematica delle lanterne.

Lanterna16s=ParametricPlot3D[(({(0.35+0.9Sin[u+1/10])17*Cos[t]1*Cos[(17)*t],(0.35+0.9Sin[u+1/10])17*Sin[t]1*Sin[17*t],(13ArcSin[2u]Sin[0.3+u^2])})/8)+{0,0,15.8},{u,-2,2Pi},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]

Lanterna8s=ParametricPlot3D[(({(1+Sin[u])(9*Cos[t]-1*Cos[(9)*t]),(1+Sin[u])(9*Sin[t]-1*Sin[9*t]),-9ArcSin[u]Sin[0.6+u^2]})/16)+{15,0,8.9},{u,2Pi,-2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]

La cupola come somma di più superfici4. L’epicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna:

- Ecco il risultato grafico e la funzione matematica delle lanterne.

Lanterna12s=ParametricPlot3D[(({(0.55+Sin[u])(9*Cos[t]-1*Cos[(9)*t]),(0.55+Sin[u])(9*Sin[t]-1*Sin[9*t]),4u-(9ArcSin[2u]Sin[1.3+u^2])})/9)+{0,14.5,11.3},{u,2Pi,-2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]

Lanterna12s=ParametricPlot3D[(({(0.55+Sin[u])(9*Cos[t]-1*Cos[(9)*t]),(0.55+Sin[u])(9*Sin[t]-1*Sin[9*t]),-9ArcSin[2u]Sin[0.3+u^2]})/9)+{0,-14.5,12.8},{u,2Pi,-2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]

La cupola come somma di più superfici4. L’epicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna:

- Dedichiamo una pagina alla spiegazione della formula base della lanterna{[(N+Sin[u])*N* Cos[t]-N*Cos[N*t], (N+Sin[u])*N* Sin[t]-N*Sin[N*t],

+Nu+(ArcSin[Nu]*Sin[N+u^2])]}

Questa è la formula dell’epicicloide opportunamente modificata.

Questa è la formula che determina la curva lungo la quale corre l’epicicloide.

- Le N sono tutte variabili che permettono di modificare la superficie prodotta. In questa maniera a partire da UNA funzione possiamo determinare diverse forme geometriche, questo perché secondo la nostra analisi le 5 lanterne derivano da una singola curva modificata nei suoi parametri.

N: questo valore determina l’ampiezza generale della superficieN: questo valore termina il numero degli spicchiN: questo valore determina la larghezza del “collo” della curvaN: questo valore determina la larghezza della “base” della curvaN: questo valore determina rispetto l’asse z la porzione di curva considerataN: questo valore determina la maggiore o minore curvatura del flesso della funzione

{[(N+Sin[u])*N* Cos[t]-N*Cos[N*t], (N+Sin[u])*N* Sin[t]-N*Sin[N*t],+Nu+(ArcSin[Nu]*Sin[N+u^2])]}

La cupola come somma di più superfici5. L’epicicloide estrusa su una curva, il coronamento della lanterna

- Per il coronamento delle lanterne abbiamo deciso di seguire un’altra via, quella della composizione di diverse superfici, che si tratta di un percorso molto diverso.- Vanno individuate le diverse curve che composte approssimino in maniera soddisfacente la superficie reale, quindi in maniera empirica vanno spostate ingrandite e modificate in modo che si uniscano.

coronamento est=ParametricPlot3D[((({(1+Sin[u])(9*Cos[t]-1*Cos[(9)*t]),(1+Sin[u])(9*Sin[t]1*Sin[9*t]),9ArcSin[u](Cos[u]Sin[u])}){1,1,1.5})/75)+{15,0,9.75},{u,0.5,1.5},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotRange -> Automatic,PlotRange ->{{-20,20},{-20,20},{0,50}},PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]

Moltiplicare per un elenco equivale a scalare la superficie lungo gli assi x,y,z corrispondenti, possiamo quindi ingrandire lungo x,y,z in maniera autonoma.

Moltiplicando o dividendo tutto per un singolo valore invece modifica le dimensioni nelle 3 dimensioni in maniera proporzionale.

Serve a modificare la posizione lungo gli assi corrispondenti

Base coronamento lanterna

sopranord=ParametricPlot3D[(((({(1+Sin[u])(9*Cos[t]1*Cos[(13)*t]),(1+Sin[u])(9*Sin[t]1*Sin[13*t]),9ArcCos[u](Sin[u]Sin[u])})1.85)+{0,0,9.5})/75) +{0,-14.5,13.6},{u,-0.9,0},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotRange -> {{-20,20},{-20,20},{0,50}},PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]

La cupola come somma di più superfici5. L’epicicloide estrusa su una curva, il coronamento della lanterna

- Per la parte superiore del coronamento abbiamo individuato due curve diverse, una concava e una convessa:

sopraovest=ParametricPlot3D[((({(0.65+Sin[u])(9*Cos[t]1*Cos[(9)*t]),(0.65+Sin[u])(9*Sin[t]1*Sin[9*t]),4u+(9ArcSin[2u]Sin[0.8+u^2])})1.63)/75)+{15,0,11.7} ,{u,2Pi,-2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotRange -> {{-20,20},{-20,20},{0,50}},PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]

5. L’epicicloide estrusa su una curva, il coronamento della lanterna

Particolare della lanterna

Rappresentazione effettiva delle cupole