matematica aplicada

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www.siresistemas.com Ing. Oscar Restrepo

ZARATE DISEÑO Y PUBLICIDAD es una empresa del sector de las artes gráficas ubicada en el Centro Nacional de las Artes Gráficas. Se dedica a la impresión digital, tarjetas, membretes, carpetas, catálogos, botones publicitarios, papelería, diseño grafico, afiches, pendones, almanaques y otros. Problema 1: Aplicación de ecuaciones. Una empresa de alimentos ha solicitado para uno de sus productos un empaque en forma de caja rectangular y da las siguientes condiciones: El volumen de cada caja debe ser de 6000 cm3, y debe tener tapa. Como la altura de los recipientes que van a guardar en el contenedor es de 10 cm, esa debe ser la altura de la caja. También han dado la restricción entre las relaciones de lados de la caja: dos veces el ancho es tres veces lo profundo. Es necesario entregarle las dimensiones de la caja a la empresa. Solución

· · Pero se tiene 10 y 2 3 por tanto Además 6000 cm3. Reemplazando se tiene: 6000 · 10 ·

6000 15 400

Por tanto 20, · 20 30. Es decir que las dimensiones de la caja son: 20 cm x 30 cm x 10 cm Problema 2. Aplicación de ecuaciones: Para ZARATE DISEÑO Y PUBLICIDAD es necesario establecer el costo del material a usar dado que el pliego de cartulina vale $550, y tiene de dimensiones 1189 x 841 cm. Además necesitan determinar cuántas unidades de caja salen de cada pliego. En la figura anterior se aprecian las medidas de la caja y de la tapa. La pestaña de la tapa es de 2 cm. Para el corte de la caja se requieren por tanto: rectángulos de 50 cm x 40 cm y para la tapa 34 cm x 24 cm.

50 · 40 34 · 24 cm2

b p

h

10 cm

20 cm

30 cm

20 cm

30 cm



2000 816 2816 cm2. En un pliego de cartulina se disponen de 1189 · 841 999949 cm2. Por tanto de un pliego se pueden obtener:

355 cajas Por tanto el costo aproximado por caja es de $1.55 por concepto de cartulina. Problema 3. Aplicación de ecuaciones: Continuando con el problema 1 se desea aplicar un barniz especial para darle un acabado a la caja. Dicho barniz tiene un costo de $0,03 por cm2. Qué costo tiene aplicar este barniz si se aplica cuando la caja está armada.

2 2 2 2 · 30 · 10 2 · 30 · 20 2 · 20 · 10 600 1200 400 2200 cm2

Por tanto el costo del barniz es de 2200 · 0.03 $66. Problema 4. Sistemas de ecuaciones. Una empresa requiere de dos tipos de volantes, y no coloca restricciones a las cantidades, solo afirma que dispone de $120.000 para el trabajo y que en total debe entregar 5000 volantes entre los dos tipos. Determinar las cantidades de cada volante si se sabe que el costo por unidad del volante tipo I es de $30 y el de tipo 2 es de $20. Planteamos las ecuaciones

5000 (1) 30 20 120000 (2) De (1) 5000 En (2) 30 5000 20 120000

150000 30 20 120000 150000 120000 10

30000 10 3000

Por tanto 5000 3000 2000 Debe producir 2000 unidades tipo 1 y 3000 unidades tipo 2. Problema 5. Sistemas de ecuaciones. (Matrices) ZARATE DISEÑO Y PUBLICIDAD quiere aprovechar los sobrantes de producciones pasadas. Para ello se propone producir tres tipos de afiches publicitarios, en los cuales se utilizan papel fotográfico y dos tipos de tintas (azul y roja). Las cantidades existentes en almacén y las cantidades usadas por tipo en cada producto están determinadas en la siguiente tabla:



Papel Fotográfico

(pliegos)

Tinta Azul (litros)

Tinta Roja (litros)

Afiche Tipo I 0.3 0.01 0.03 Afiche Tipo II 0.5 0.02 0.01 Afiche Tipo III 0.4 0.04 0.02 Total 1220 66 58

Se desean determinar las cantidades a fabricar si se desean utilizar todas las existencias en almacén de estos materiales. Planteamos el sistema de ecuaciones

0.3 0.5 0.4 1220 0.01 0.02 0.04 66 0.03 0.01 0.02 58

Ahora lo escribimos como un problema matricial

0.3 0.5 0.40.01 0.02 0.040.03 0.01 0.02

12206658

Usando el método de la matriz inversa se tiene:

0.3 0.5 0.40.01 0.02 0.040.03 0.01 0.02

1220

6658

El sistema se puede escribir de la forma

Su solución está dada por

Hallando la matriz inversa de A se tiene: 0 20 40

103 20

803

53 40

103

Por tanto la solución es: 0 20 40

103 20

803

53 40

103

12206658

10001200800

Es decir, se deben producir 1000, 1200 y 800 unidades de los afiches tipo I, II y III respectivamente para poder utilizar las existencias dadas. Problema 6. Aplicación de funciones Una multinacional ha decidido contratar a ZARATE DISEÑO Y PUBLICIDAD para la elaboración de las etiquetas de sus diferentes productos este contrato obligaría a ser de dedicación exclusiva para la multinacional y no podría



contratar con nadie más. ZARATE DISEÑO Y PUBLICIDAD debe disponer de unos costos fijos mensuales de 5’000.000 para pagos de nómina, servicios y arriendo. Para poder tomar una decisión la empresa ha decidido realizar un comparativo entre el trabajar para la multinacional y trabajar con sus pequeños clientes etiquetas con las mismas características. La multinacional le ofrece $2 por etiqueta entregada, y ya que las dimensiones son las mismas para todos los tipos de etiquetas y lo única que se hace es cambiar el texto informativo, la empresa presupone unos costos por etiqueta de $0.9. Al realizar este contrato necesitará de dos personas que son encargadas de la atención a los clientes, lo que implica una aumento de 1’000.000 en costos fijos. Los clientes pequeños ofrecen $2.5 por etiqueta entregada, pero como las compras son más variadas y en menores cantidades los costos aumentan a $1.2 por etiqueta. Solución. Establecemos las funciones de costos para cada uno de las propuestas, hallando las cantidades en miles, ya que se producen es en tirajes de mil. Por tanto 1000 0.9 900 y 1000 1.2 1200

6000000 900 Para la multinacional 5000000 1200 Para los clientes pequeños

Las gráficas de costos son:

Se puede encontrar el punto en donde los costos son iguales

6000000 900 5000000 1200

1000000 300 3333.33



Por tanto para una cantidad q < 3333 tirajes los costos de la multinacional son mas altos, y cuando q>3333 tirajes los costos de los clientes son mas altos. Hallamos las funciones de ingreso:

2000 2500

Para la multinacional se tiene:

El punto de equilibrio es donde los ingresos son iguales a los costos

2000 6000000 900 1100 6000000

5454.54 Con 5455 tirajes alcanzamos el punto de equilibrio. Para los clientes pequeños se tiene:



Hallamos el punto de equilibrio 2500 5000000 1200

1300 5000000 3846.15

Con 3847 tirajes alcanzamos el punto de equilibrio. Comparando las dos opciones es mejor quedarse con los clientes pequeños siempre y cuando la demanda sea la que garantice sobrepasar el punto de equilibrio de 3847 tirajes. Ahora podemos comparar las funciones de ganancia para los dos casos. Para la multinacional

2000 600000 900

1100 6000000 Para los clientes pequeños:

2500 500000 1200

1300 5000000

Por la gráfica de ingresos se puede declinar la propuesta de la multinacional. Problema 8. Análisis de regresión. Preocupados por el comportamiento de las ventas de la empresa, están tratando de evaluar si las políticas de publicidad están dando resultado, de tal manera que puedan sentirse seguros de cumplir con el punto de equilibrio para los clientes pequeños. Es así como han tomado la relación de los tirajes realizados durante seis meses consecutivos.



Mes tirajes 1 3220 2 3450 3 3800 4 4100 5 4550 6 4490

Se necesita determinar la relación entre el tiempo y el número de tirajes para saber si paulatinamente aumentan las ventas de la empresa por concepto de tirajes. Se obtiene la siguiente tabla

X Y XY X2

1 3220 3220 1 2 3450 6900 4 3 3800 11400 9 4 4100 16400 16 5 4550 22750 25 6 4490 26940 36

∑=21 ∑=23610 ∑=87610 ∑=91 Las ecuaciones respectivas son:

Reemplazando se tiene

23610 6 21 87610 21 91

Solucionando el sistema para a y b se tiene: 2940

284.28 Por tanto la ecuación que determina y pronostica las ventas es:

2940 284.28 Siendo V la cantidad de tirajes en el tiempo t. Se aprecia que la política publicitaria ha generado un incremento mensual de 284.28 tirajes. Podemos pronosticar las ventas en 12 meses: 12 2490 284.28 · 125901.36



Problema 9. Aplicación de las funciones exponenciales ZARATE DISEÑO Y PUBLICIDAD tienen la intención de comprar una máquina que presupuestan en $12’000.000, pero solo cuentan con un capital de 7’000.000. Ellos han observado que a lo largo del tiempo el precio de la máquina se mantiene estable, los nuevos modelos si salen más costosos. Una firma de inversiones les ofrece una rentabilidad mensual de 4%, ¿cuánto tiempo tendrían que esperar para comprar la máquina de contado colocando la plata en la firma de inversores?

1 En este caso la incógnita es t. Por tanto

1 1

· 1 · 1

1

Reemplazando se tiene 12000000 7000000

1 0.04

13.74 Por tanto tendrán que esperar 13.74 meses. Problema 10. Aplicaciones de derivadas. Una reconocida empresa se ha acercado a ZARATE DISEÑO Y PUBLICIDAD a plantearles la inversión en un nuevo proyecto de un empaque revolucionario. La empresa ha realizado estudios serios de mercado y encontró una ecuación de demanda 8000 3.4 , en donde p es el precio al colocar q unidades en el mercado. De igual forma le dieron la ecuación de costos para el producto

0.0005 800 3000000, en donde C es el costo de q unidades ZARATE DISEÑO Y PUBLICIDAD desea saber si el negocio planteado por esta empresa es bueno o no. Los ingresos son:

8000 3.4

8000 3.4 Las utilidades son:

8000 3.4 0.0005 800 3000000

7200 3.4 0.0005 3000000 El costo marginal es

0.0015 800 Ingreso marginal

8000 6.8 Ganancia marginal

8000 6.8 0.0015 800 7200 6.8 0.0015



Las correspondientes gráficas son:

1400 2140 Lo que indica que los costos disminuyen en $ 2140 por cada unidad producida cuando se venden 1400 unidades

1400 1520 Lo que indican que los ingresos disminuyen en $ 1520 por cada unidad producida cuando se venden 1400 unidades

1400 620 Lo que indica que las ganancias aumentan en 1400 unidades por cada unidad producida cuando se vende 1400 unidades. Ahora se puede determinar el punto en donde la ganancia es máxima. Para ello utilizamos propiedades de las derivadas.

7200 6.8 0.0015 0 Es una ecuación cuadrática:

6.8 √6.8 4 · 7200 · 0.00152 · 0.0015

Por tanto existen dos puntos críticos: 1685.5 2847.9

Con la segunda derivada tenemos: 6.8 0.0030

Ahora 1685.5 1.74 Por tanto tiene un máximo en 1685.5 1685.5 1.74 Por tanto tiene un mínimo en 2847.9

La mayor ganancia que se puede obtener es de 1870682.2 Se puede concluir que es bueno tomar el negocio.

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