matemati cna zikaandrejas/vaje/gradiva/mafi...vektorska in tenzorska analiza: divergenca, rotor 11...

dr. Andreja Sarlah

Matematicna fizikaUL FMF, Fizikalna merilna tehnika

VsebinaUvodni matematicni pojmi

Skiciranje funkcij, uporaba diferencialov 1Racunanje in pomen ekstremov 2

VerjetnostAktivnost: met kock 3Verjetnostne porazdelitve, pogojna verjetnost 5Posebne zvezne in diskretne porazdelitve 6Analiza poskusov z metom kock 7Momenti porazdelitve, konvolucija 8

Vektorska in tenzorska analiza in algebraVektorska in tenzorska algebra 9Vektorska in tenzorska analiza: gradient 10Vektorska in tenzorska analiza: divergenca, rotor 11

Diferencialne enacbeHitrostna in stacionarna polja, zajci in lisice 12Navadne diferencialne enacbe 13

DodatekTabela integralov 14Tabela vrednosti funkcije erf 16Tabela vektorskih odvodov 17Izbor konstant in enacb 18

Priporocena literatura 20Kolokviji in izpiti prejsnjih let 21

dr. Andreja SarlahUL, Fakulteta za matematiko in fiziko 1

Matematicna fizika

1.1 Uvodni matematicni pojmi: risanje funkcij, diferenciali

1. Narisite gladko krivuljo y = f(x) in na isto sliko se y = f(x − a) + b. Alipoznate vec nacinov, na katere lahko naredite to? [prirejeno po Kuscer&Kodre,

1.3/1]

2. Narisite sinusoidi y = sin(x) in y = n sin(kx). Kaj predstavljata parametran in k? Kako ju preberemo z grafa funkcije? [prirejeno po Kuscer&Kodre,

1.3/2]

3. Narisite dve gladki krivulji y = f(x) in y = g(x) ter na isto sliko se njunprodukt po tockah y = f(x)g(x). [Kuscer&Kodre, 1.3/4]

4. Narisite gladko krivuljo y = f(x) z vec niclami, nato pa kvalitativno natancnose krivulji y = [f(x)]2 in y = [f(x)]3. Kaksen je potek krivulj v okolici nicle?Kaj opazite v tocki y = 1? [prirejeno po Kuscer&Kodre, 1.3/5]

5. Skicirajte Lorentzovi funkciji y = 1/(1+x2) in y = x2/(1+x2). Upostevajte,koliko je njuna vsota. [prirejeno po Kuscer&Kodre, 1.3/12]

6. Narisite dve gladki krivulji y = f(x) in y = g(x) ter na isto sliko se produkty = (f g)(x) = f(g(x)). Je vrstni red v produktu f g pomemben?

7. Za koliko se spremeni tezni pospesek, ce se dvignemo za 100 m? Razmislite omorebitnih predpostavkah, ki ste jih sprejeli, in njihovem vplivu na rezultat.[prirejeno po Kuscer&Kodre, 1.4/4]

8. Ura ima nihalo, ki je lahek drog z utezjo z maso 1 kg na koncu. Nihajni casje priblizno 2 s, ura pa zaostaja za 1 minuto na dan. Za koliko je potrebnoskrajsati nihalo, da bo ura tocna? [Kuscer&Kodre, 1.4/6]

9. Zapisite relativno spremembo dolzine za napeto zico v odvisnosti od spre-membe temeprature in sile kot totalni diferencial. [Kuscer&Kodre, 1.4/9]

10. Na 5 cm debelo stekleno plosco z lomnim kvocientom 1,5 pada pod kotom 60

curek svetlobe. Za koliko se premakne prepusceni zarek, ce plosco zavrtimoza 0,5 okrog osi, ki je pravokotna na curek? [Kuscer&Kodre, 1.4/14]

Ideje za domace delo:Kuscer&Kodre, poglavja 1.1-1.41. kolokviji iz prejsnjih izvedb predmeta


Matematicna fizika

1.2 Uvodni matematicni pojmi: ekstremi, aproksimacije, Fourierovaanaliza

1. Z visine h nad vodoravno ravnino mecemo pod razlicnimi koti α kamnez enako zacetno hitrostjo v0. Pri katerem kotu α0 odleti kamen najdlje?[Kuscer&Kodre, 1.5/7]

2. Specificna toplota trdnih elementov je po Debyeju dana s cV = 3RMD(T/Θ).

Tako imenovana Debyejeva temperatura Θ je snovni parameter, funkcija Dpa je definirana z

D(x) = 12x3

∫ 1/x

0

u3du

eu − 1− 3

x[e1/x − 1].

Aproksimirajte funkcijo za velike in majhne x in skicirajte graf funkcije.Razmislite o fizikalnem pomenu obeh aproksimacij v primeru specificne toplotetrdnin. [prirejeno po Kuscer&Kodre, 1.6/2]

3. Kako se giblje vozilo, ko ga zene motor s stalno mocjo, trenje in upor pa stazanemarljiva? Narisite graf poti v odvisnosti od casa. [Kuscer&Kodre, 1.7/1]

4. Gumijast trak z dolzino 10 m in s proznostnim modulom 500 N/cm2 ter gos-toto 1,5 g/cm3 obesimo za en konec. Za koliko se raztegne zaradi lastne teze?[Kuscer&Kodre, 1.7/9]

5. Koliksen je upor 10 m dolge bakrene zice, ki je na enem koncu debela 1 mm inse do drugega konca stanjsa na 0,6 mm? Polmer zice je linearna funkcija vz-dolzne koordinate, tako da ima zica obliko prisekanega stozca. [Kuscer&Kodre,

1.7/13]

6. Z elektronskimi pomagali lahko pripravimo izmenicno napetost, ki periodicnopreskakuje med vrednostma +U0 in −U0. Dolocite spekter takega signala.Skicirajte posamezne clene in delne vsote Fourierove vrste. [prirejeno po

Kuscer&Kodre, 2.2/1]

Ideje za domace delo:Kuscer&Kodre, poglavja 1.5-1.7, 2.2-2.31. kolokviji iz prejsnjih izvedb predmeta


Matematicna fizika

2.1 Verjetnost: met kock

1. Vsaj petdesetkrat vrzite kocko in sproti zapisujte izid poskusa!

(a) Koliko razlicnih izidov, to je dogodkov, lahko opazimo pri metu enekocke? Kolikokrat se posamezni dogodek ponovi?

(b) Koliksno je razmerje med stevilom posameznih izidov in stevilom vsehmetov, to je verjetnost, da se pri metu kocke zgodi posamezni do-godek? Koliksna je teoreticna verjetnost za posamezni dogodek priposteni kocki? Komentirajte ujemanje rezultatov vasega poskusa!

2. Vsaj stokrat vrzite dve kocki in zapisite izide poskusov!

(a) Koliko razlicnih dogodkov lahko opazimo pri metu dveh kock? Ko-likokrat se je posamezni dogodek ponovil? Koliksen je delez posameznegadogodka med vsemi dogodki?

(b) Koliksna je pri postenih in neodvisnih kockah verjetnost, da se pri metu2 kock zgodi posamezni dogodek? Kako se izidi vasega poskusa ujemajos tem? Komentirajte!

(c) Koliko razlicnih dogodkov pa lahko dobimo pri metu dveh kock, ce jeopazljivka/nakljucna spremenljivka manjsa vrednost od obeh, ki padeta?Kolikokrat se je pri vasem poskusu zgodil posamezni dogodek? Izracunajteverjetnosti za te dogodke, primerjajte izide poskusa s teoreticno napovedjoin komentirajte!

(d) Odgovorite na vprasanja iz prejsnje tocke se za primer, da je opazovananakljucna spremenljivka vsota vrednosti, ki padeta na kockah?

Ideje za domace delo:Preverite, kako na izide poskusa vpliva stevilo metov kock.Zamislite si se druge mozne opazljivke, to je stohasticne spremenljivke, in izvediteustrezne dodatne poskuse.


Met 1 kocke

stevilodogodkovverjetnostdogodka

Met 2 kock

Met 2 kock

#wposkuswteorija

Met 2 kock

#wposkuswteorija


Matematicna fizika

2.2 Verjetnost: porazdelitve, pogojna verjetnost

1. Narisite graf diskretne verjetnostne porazdelitve za met 1 in 2 kock iz nalogiz aktivnosti z metom kocke.

2. Enakomeren dez majhnih proznih kroglic pada na vodoraven tog valj. Dolocitesmerno porazdelitev kroglic po trku z valjem. Nalogo resite postopoma z za-pisom porazdelitve kroglic po koordinati, kjer zadenejo valj, in porazdelitvepo vpadnem kotu. [prirejeno po Kuscer&Kodre, 11.2/4]

3. Pri sevanju crnega telesa opise porazdelitev svetlobnega toka po frekvencisvetlobe Planckova formula

dj

dν=

2π

c2

hν3

eβhν − 1.

Pri kateri frekvenci ima porazdelitev vrh? Dolocite se pripadajoco porazdelitevpo valovni dolzini. Se vrh te porazdelitve ujema s prej dolocenim?

4. Pri streljanju v tarco naj bo verjetnostna gostota zadetkov sorazmerna sfunkcijo [1 + (r/r0)2]−2, pri cemer je r razdalja od sredisca tarce in r0 pa-rameter. Normirajte porazdelitev. Kaj je pomen parametra r0? Z racunompreverite, ali sta kartezicni koordinati x in y statisticno neodvisni. [prirejeno

po Kuscer&Kodre, 11.3/2]

5. Z dolgotrajnimi poskusi smo za socasne mete dveh igralnih kock ugotoviliverjetnosti Wmn, ki so prikazane v spodnji tabeli. Neenakomernost ugotovl-jene porazdelitve pojasnimo bodisi s tem, da sta kocki nepravilni, ali pa znjunim medsebojnim ucinkovanjem. Ali lahko katero od razlag ovrzete zracunom? m n = 1 2 3 4 5 6

1 140

130

120

140

130

130

2 180

160

140

180

160

160

3 140

130

120

140

130

130

4 132

124

116

132

124

124

5 164

148

132

164

148

148

6 164

148

132

164

148

148

6. Koliksna je verjetnost, da je pri metu postene kocke stevilo pik manjse odpet ob pogoju, da je stevilo pik liho? Izracunajte s prestevanjem, nato pa sez uporabo ustrezne enacbe.

Ideje za domace delo:Kuscer&Kodre, poglavja 11.1-11.32. kolokviji iz prejsnjih izvedb predmeta


Matematicna fizika

2.3 Verjetnost: posebne zvezne in diskretne porazdelitve

1. Radon 22286 Rn razpada z razpadom alfa v polonij. Razpadni cas je 3,82 dni.

Koliksna je verjetnost, da jedro radona v enem dnevu se ne razpade? Ko-liksna je verjetnost, da po 2 dneh razpade v roku ene ure?

2. Dve osebi prideta istocasno k blagajniskima okencema, prva k okencu A indruga k okencu B. Cas njune postrezbe je nakljucna spremenljivka z ek-sponentno porazdelitvijo s casovnim parametrom λA za okence A in λB zaokence B. Koliksna je verjetnost, da oseba pri okencu B oddide pred osebopri okencu A? λA = 10 /h, λB = 8 /h. [Sirca, stran 58]

3. Premer osi v racunalniskem disku, ki prihajajo s tekocega traku, opise nor-malno porazdeljena zvezna nakljucna spremenljivka X = 2R s povprecjemx = 0,636 50 cm in standardno deviacijo σ = 0,001 27 cm. Zahtevana speci-fikacija je (0,6360 ± 0,0025)cm. Koliksen delez diskov ustreza specifikaciji?[prirejeno po Sirca, stran 62]

4. Koliksen delez molekul dusika (N2) ima pri temperaturi T = 393 K hitrostimed v1 = 500 m/s in v2 = 1000 m/s, ce je porazdelitev po velikosti hitrostiMaxwellova? [Sirca, stran 73]

5. Imamo 10 radioaktivnih jeder z razpolovnim casom t1/2. Koliksna je ver-jetnost, da bodo v tem casu razpadla najmanj 3 jedra in najvec 7 jeder?Izracunajte natancno in v priblizku z Gaussovo porazdelitvijo z ustrezn-imi parametri. Razmislite o smiselnih integracijskih mejah. [prirejeno po


6. Cepimo 2000 ljudi. Verjetnost za stranske ucinke je 0,001. Koliko ljudi bov povprecju imelo stranske ucinke po tem cepljenju? Koliksna je verjet-nost, da bo stranske ucinke imel 1, 2, 3,... clovek vec, kot pricakujemo vpovprecju? Koliksna je verjetnost, da bo stranske ucinke imelo vec ljudi, kotjih pricakujemo v povprecju? [prirejeno po Sirca, stran 116]

7. Detektor kozmicnih zarkov presteje v povprecju 10 delcev na minuto. Kakonatancen je ta rezultat, ce smo steli 1 h? Koliksna je verjetnost, da v polminute naprava ne bo zaznala nobenega delca ali pa samo enega, dva ...?[Kuscer&Kodre, 11.6/7]

Ideje za domace delo:Kuscer&Kodre, poglavji 11.4 in 11.62. kolokviji iz prejsnjih izvedb predmeta


Matematicna fizika

2.4 Verjetnost: analiza poskusov z metom kock

1. Verjetnostna porazdelitev pri metu 1 kocke.

(a) Koliksno je pricakovano stevilo dogodkov za posamezni izid, ce smokocko metali 60x?

(b) Koliksna je pricakovana sirina porazdelitve?

(c) Preverite ujemanje izidov nasega poskusa z izracunanimi vrednostmi?

2. Verjetnost za dane izide meritev.

(a) Stevilo 2 je padlo v 14 metih kocke od 60. Koliksna je ob predpostavki,da smo metali posteno kocko, verjetnost za ta dogodek?

(b) S koliksno verjetnostjo nam izbrano stevilo pik pade v vec kot 2Npmetih, pri cemer je N stevilo vseh metov, p = 1/6 pa verjetnost zaposamezni izid.

3. Izid 6 smo v 60 metih dobili 9 krat. Koliksna je na podlagi teh podatkovnasa ocena za verjetnost za dogodek, da pri metu nase kocke dobimo izid 6?

4. Pri metu 2 kock z najmanjso verjetnostjo dobimo izida (1, 1) in (6, 6).

(a) Koliksna je verjetnost, da pri poskusu v 100 metih ne bi dobili redkegaizida, npr. (1, 1)?

(b) V 100 metih dobimo izid (6, 6) 4x. Koliksna je na podlagi teh podatkovocena za verjetnost dogodka? Koliksna je ocena za napako te vrednosti?Ocenite, pri koliko metih 2 kock se bo ta napaka spustila na 10 %?Razmislite o predpostavkah, ki jih pri tem sprejmete.

Ideje za domace delo:Premislite, kaj bi na podlagi poskusa se lahko povedali o metu 1 kocke.Analizirajte se poskuse z 2 kockama.


Matematicna fizika

2.5 Verjetnost: povprecje, konvolucija

1. Koliksni sta pri metih s posteno kocko povprecno stevilo pik in standardniodklon? [Kuscer&Kodre, 1.5/1]

2. Kaksna je pri enobarvni svetlobi porazdelitev fotonov glede na njihovo potx v sredstvu z absorpcijskim koeficientom µ? Dolocite povprecno vrednostin disperzijo. [Kuscer&Kodre, 1.5/8]

3. Koliksna je verjetnost, da pri metu 2 kock pade vsota pik k? Primerjajteizid poskusa in teoreticno napoved za razlicne vrednosti vsote.

4. Koliksna je verjetnost, da pri metu 3 kock pade vsota pik k?

5. Dolocite verjetnostno porazdelitev za slucajno spremenljivko, ki oznacujevsoto pik, ki pade pri metu N = 2, 3, 4... kock. Za lazji izracun pred-postavite, da je stevilo pik, ki pade pri metu kocke, zvezna slucajna spre-menljivka, enakomerno porazdeljena na intervalu [0,5˙6,5]. Kako se z Nspreminja povprecna vrednost vsote in njena disperzija?

6. Koliksna je verjetnost, da zberemo s 1000 meti postene kocke skupaj vec kot3500 pik? [Kuscer&Kodre, 11.7/2]

7. Molekulo polimera lahko priblizno obravnavamo kot gibljivo verigo iz ve-likega stevila enakih togih tankih clenkov z dolzino L. Molekula zacne rastiv izhodiscu, nato pa se na trenutni konec verige nakljucno pripenjajo vednonovi clenki v poljubni smeri v trirazseznem prostoru. Dolocite verjetnostnogostoto za lego konca verige v prostoru. Koliksna je povprecna razdalja Rmed koncema verige in koliksen je R2? [Kuscer&Kodre, 11.7/9]

Ideje za domace delo:Kuscer&Kodre, poglavji 11.5 in 11.72. kolokviji prejsnjih izvedb predmeta


Matematicna fizika

3.1 Vektorska in tenzorska algebra

1. Natanko proti vzhodu obrnjeno letalo ima glede na zrak hitrost 600 km/h. Vkatero smer in kako hitro se giblje glede na tla, ce piha veter proti severovzhodus hitrostjo 80 km/h? [Kuscer&Kodre, 3.1/1]

2. Izracunajte magnetno polje v osi tanke krozne tokovne zanke. Dokazite,da je integral poljske jakosti po osi (od −∞ do ∞) enak I. Obravnava-jte asimptotsko odvisnost magnetnega polja na osi od koordinate za zelomajhne in zelo velike oddaljenosti od sredisca tokovne zanke? [prirejeno po


3. S pomocjo rezultata iz prejsnje naloge izracunajte magnetno polje na ositanke, na gosto navite tuljave s koncno dolzino (dolzina tuljave 2a in steviloovojev N). Kaj dobite v limiti a→∞? [prirejeno po Kuscer&Kodre, 3.1/3]

4. Izracunajte vztrajnostna momenta zeleznega valja s premerom 10 cm, visino15 cm in gostoto 7,8 g/m3 glede na njegovo geometrijsko os in glede nateziscno os, ki je pravokotna nanjo. Koliksen kot oklepata vektorja vrtilnekolicine in kotne hitrosti, kadar vrtimo valj okrog diagonale njegovega os-nega preseka? Koliksen je vztrajnostni moment valja pri vrtenju okrog teosi? [prirejeno po Kuscer&Kodre, 3.11/1]

5. Kocko strizno deformiramo vzdolz ene od ploskev. Zapisite vektor deforma-cije in pripadajoci deformacijski tenzor! Izracunajte spremembo prostorninekocke pri tej deformaciji! [prirejeno po Borstnik et al., stran 27]

6. Izracunajte, kako se pospesek telesa, merjen v inercialnem sistemu, zapise spospeskom tega telesa v vrtecem se sistemu.

7. V kraju z zemljepisno sirino 30 pustimo kamen, ki je sprva miroval, da prostopade. Za koliko centimetrov proti vzhodu ga zanese pri padcu z visine 125 m?Namig: Racunajte v sistemu vrtece se Zemlje. Pripadajoca sistemska sila jeznana pod imenom Coriolisova sila.

8. Zapisite enacbe gibanja za Foucaultovo nihalo.

Ideje za domace delo:Kuscer&Kodre, poglavji 3.1 in 3.113. kolokviji prejsnjih izvedb predmeta


Matematicna fizika

3.2 Vektorska in tenzorska analiza: gradient

1. Izracunajte elektricno poljsko jakost, ki ustreza elektricnemu potencialu

V (r) =q

4πε0re−αr!

Koliksno delo opravimo, ce delec z nabojem q′ v tem polju premaknemo zrazdalje R1 na razdaljo R2 od koordinatnega izhodisca?

2. Hitrostni profil idealne tekocine v obmocju, ki je omejeno z dvema polravn-inama, ki lezita pod kotom α, opise potencial

φ(r, ϕ) = v0rπ/α cos

(πϕα

).

Dolocite pripadajoce hitrostno polje kot gradient potenciala! [prirejeno po

Borstnik et al., stran 107-109]

3. Izracunajte polje in potencial enakomerno nabite palcke z dolzino 2L na raz-dalji z od sredisca na simetrali palcke. Obravnavajte limitne primere. Namig:Nalogo lahko resite bodisi z integracijo polja in preracunom pripadajocega po-tenciala ali z integracijo potenciala in preracunom tega v polje. Preizkusitese v obeh.

4. Elektrostatski potencial ima obliko

U(x, y) =E0

[y

(arctan

x+ 1

y− arctan

x− 1

y

)

1

2(x+ 1) ln((x+ 1)2 + y2)− 1

2(x− 1) ln((x− 1)2 + y2)

].

Izracunajte elektricno polje! Koliksna sila deluje na elektricni dipol ~pe =peey, ki ga postavimo v tocko (0, 1)? [kolokviji in izpiti iz leta 2014/15, 1.

izpit, naloga 2]

5. Izracunajte polje elektricnega kvadrupola. Ustrezni potencial je

V =1

8πε0r5Q : (3~r ⊗ ~r − r2I)!

Ideje za domace delo:Borstnik et al., poglavji 2 in 7Kuscer&Kodre, poglavji 3.3 in 3.113. kolokviji prejsnjih izvedb predmeta


Matematicna fizika

3.3 Vektorska in tenzorska analiza: divergenca, rotor

1. Potencial ima cilindricno simetrijo in vrednost U = σ ln r, kjer je r razdaljaod osi z. Izracunajte vektor jakosti elektricnega polja, ki ga taksen potencialpovzroca! Koliksna je sila na tockast naboj v tem polju? Izracunajte rot ~E?

(a) Koliksna pa je sila na par nasprotno predznacenih nabojev, ki sta narazdalji a v radialni smeri glede na os z? Primerjajte izraz s silo naelektricni dipol, ~F = (~p · ∇) ~E.

(b) Tockast delec premaknemo v radialni smeri od mesta na razdalji R1 domesta na razdalji R2 od osi z. Koliko dela pri tem opravimo? Deloizracunajte kot integral sile po poti! Primerjajte rezultat s sprememboelektricne potencialne energije!

(c) Koliksno pa je delo, ce delec premaknemo po premici od toce r =R1, ϕ = π/3 do tocke r = R2 = R1 cos(π/3), ϕ = 0?

[prirejeno po kolokviji in izpiti iz leta 2011/12, 3. kolokvij]

2. Za potencial v nalogi 3.2/1 dolocite gostoto elektricnega naboja, ki je izvortega polja! Izracunajte, koliko naboja je v krogli s polmerom R! Nabojdolocite na dva nacina, z integracijo gostote elektricnega naboja po pros-tornini in z integracijo jakosti elektricnega polja po povrsini krogle. Razmis-lite, zakaj se rezultata razlikujeta?

3. Izracunajte gostoto magnetnega polja v koaksialnem kablu in izven njega!Racunajte na dva nacina, z ustrezno Maxwellovo enacbo v integralni in vdiferencialni obliki. Polmer zile kabla je r0, plasc pa ima polmer R in debelinod. Po zili in plascu tece tok I v nasprotnih smereh.

4. Magnetno polje enakomerno namagnetene krogelne lupine opise vektorskipotencial

~A =1

2µ0MR2 sinϑ eϕ

2r

3R2 ; r < R2R3r2

; r > R,

kjer je M magnetizacija krogelne lupine, R pa njen polmer. Izracunajtepripadajoco gostoto magnetnega polja!

Ideje za domace delo:Kuscer&Kodre, poglavja 3.4-3.5 in 3.12-3.143. kolokviji prejsnjih izvedb predmeta


Matematicna fizika

4.1 Diferencialne enacbe: stacionarna polja, zajci in lisice

1. Pri najpreprostejsem modelu je notranjost Zemlje homogena krogla s kon-stantno gostoto energijskih izvorov. Dolocite energijski tok pri radiju r zastacionarno stanje. Izracunajte pripadajoce stacionarno temperaturno poljeT (r). [prirejeno po Kuscer&Kodre, 3.4/6]

2. Bakreno zico, ki je debela 1 mm, grejemo s tokom 10 A. Koliksna je v sta-cionarnem stanju temperatura v osi zice, ce povrsino hladimo z ledom pri0 C? [Kuscer&Kodre, 4.4/1]

3. Kroglico z masom in polmeromR previdno spustimo pri vrhu posode z oljem.Na kroglico poleg teze deluje tudi linearna sila upora z velikostjo F = 6πηRv.Kako se globina, na kateri je kroglica, spreminja s casom? Dolocite hitrostgibanja kroglice v stacionarnem stanju. [prirejeno po kolokviji in izpiti iz leta

2011/12, 1. izpit, naloga 2]

4. Coln z maso m porinemo z zacetno hitrostjo v0. Kako se s casom spreminjahitrost colna, ce nanj deluje sila upora, ki vsebuje tako linearni kot kvadratniprispevek, F = αv + kv2, kjer sta α in k konstanti? Koliksno pot prepotujecoln po dolgem casu? [prirejeno po kolokviji in izpiti iz leta 2012/13, 4. kolokvij]

5. V dezeli z neomejenimi zalogami hrane spremljamo populacijo zajcev. Stevilonjihovih mladicev na leto naj bo doloceno s stevilom srecanj med partnerji,torej kvadratno s stevilom zajcev, ∝ N2. Kako se stevilcnost populacijezajcev spreminja s casom? Komentirajte rezultat.Bolj realno je privzeti odvisnost Nα, pri cemer je α < 2. Obravnavajtecasovno odvisnost stevilcnosti populacije v odvisnosti od eksponenta α. Zakatere vrednosti eksponenta populacija eksplodira v koncnem casu? Dolociteta cas. [prirejeno po Kuscer&Kodre, 4.2/1]

6. Na zajce, ki imajo neomejene zaloge hrane (privzemite α = 1), prezijo tudilisice. Te poskrbijo za izgube med zajci, ki so sorazmerne produktu stevilazajcev in lisic. Premislite o pomenu tega privzetka. Po drugi strani bi lisicebrez zajcev (hrana) izumrle, razmnozujejo pa se lahko le, ce imajo dovoljzajcje hrane. Zapisite diferencialni enacbi, ki opiseta predstavljeni model.Poiscite stacionarne tocke sistema in resite diferencialni enacbi za majhneodmike od stacionarnega stanja.

Ideje za domace delo:Kuscer&Kodre, poglavja 4.1-4.54. kolokviji prejsnjih izvedb predmeta


Matematicna fizika

4.2 Diferencialne enacbe: navadne diferencialne enacbe

1. Obravnavajte razsirjanje elektromagnetnega valovanja v valovnem vodniku spravokotnim presekom. Stene valovnega vodnika so iz idealnega prevodnika.Obravnavo locite na dva primera, za transverzalno elektricno in transverzalnomagnetno valovanje.

2. Elektron se giblje v homogenem magnetnem polju, ki ga dopolnimo s precnimelektricnim poljem. Tir elektrona poteka v ravnini, ki je pravokotna namagnetno polje. Po kaksni krivulji se giblje elektron? V povprecju cez dolgcasovni interval se elektron pomika s tako imenovano potovalno hitrostjo vdolocni smeri. V kateri smeri in kako hitro? [Kuscer&Kodre, 4.5/2]

3. V vakuumu je napeta dolga zica, po kateri tece tok 100 A. V razdalji 1 cmod zice spustimo vzporedno s tokom elektron s kineticno energijo 5 eV. Kakose giblje? [Kuscer&Kodre, 4.5/5]

4. Radioaktivni telur 132Te razpada z razpolovnim casom 77 ur v jod 132I. Taizotop joda razpade naprej v stabilni ksenon, 132Xe. V nekem trenutkuimejmo cist vzorec radioaktivnega telurja. Ob katerem casu imamo najvecjoda? Kaj imamo po dolgem casu? Izracunajte, kako se s casom spreminjakolicina posameznega izotopa. [prirejeno po Kuscer&Kodre, 4.3/]

5. Kako niha temperatura tanke crne zice s polmerom R in dolzino l, ki jenapeta v vakuumu, ce jo grejemo z izmenicnim tokom z gostoto j = j0 cosωt?Dolocite temperaturo zice v stacionarnem stanju. [prirejeno po Kuscer&Kodre,

4.3/]

6. S crpalko izcrpavamo zrak iz posode s prostornino 10 dm3. Na zacetku jev posodi zrak pri tlaku 105 Pa. Koliksen je tlak po eni minuti, ce zajamecrpalka vsako sekundo 0,2 dm3 zraka pri tlaku v posodi? Temperatura zrakaje ves cas konstantna.

7. Obravnavajte nihanje Foucaultovega nihala. Enacbe gibanja ste izpeljali vnalogi 3.1/8.

8. Preprost model dvoatomne molekule sestavljata telesi z masama m1 in m2,ki ju povezuje vzmet s koeficientom k. S koliksno lastno frekvenco niha taksistem? Koliko lastnih nacinov gibanja ima sistem in kateri so to?

Ideje za domace delo:Kuscer&Kodre, poglavja 4.1-4.8 in 5.104. kolokviji prejsnjih izvedb predmeta


Matematicna fizika

Dodatek: tabela integralov (vir: http://integral-table.com)

Basic Forms

∫xndx =

1

n+ 1xn+1 (1)

∫1

xdx = ln |x| (2)

∫udv = uv −

∫vdu (3)

∫1

ax+ bdx =

1

aln |ax+ b| (4)

Integrals of Rational Functions

∫1

(x+ a)2dx = − 1

x+ a(5)

∫(x+ a)ndx =

(x+ a)n+1

n+ 1, n 6= −1 (6)

∫x(x+ a)ndx =

(x+ a)n+1((n+ 1)x− a)

(n+ 1)(n+ 2)(7)

∫1

1 + x2dx = tan−1 x (8)

∫1

a2 + x2dx =

1

atan−1 x

a(9)

∫x

a2 + x2dx =

1

2ln |a2 + x2| (10)

∫x2

a2 + x2dx = x− a tan−1 x

a(11)

∫x3

a2 + x2dx =

1

2x2 − 1

2a2 ln |a2 + x2| (12)

∫1

ax2 + bx+ cdx =

2√4ac− b2

tan−1 2ax+ b√4ac− b2

(13)

∫1

(x+ a)(x+ b)dx =

1

b− a lna+ x

b+ x, a 6= b (14)

∫x

(x+ a)2dx =

a

a+ x+ ln |a+ x| (15)

∫x

ax2 + bx+ cdx =

1

2aln |ax2 + bx+ c|

− b

a√

4ac− b2tan−1 2ax+ b√

4ac− b2(16)

Integrals with Roots

∫ √x− adx =

2

3(x− a)3/2 (17)

∫1√x± adx = 2

√x± a (18)

∫1√a− xdx = −2

√a− x (19)

∫x√x− adx =

2

3a(x− a)3/2 +

2

5(x− a)5/2 (20)

∫ √ax+ bdx =

(2b

3a+

2x

3

)√ax+ b (21)

∫(ax+ b)3/2dx =

2

5a(ax+ b)5/2 (22)

∫x√x± adx =

2

3(x∓ 2a)

√x± a (23)

∫ √x

a− xdx = −√x(a− x)− a tan−1

√x(a− x)

x− a (24)

∫ √x

a+ xdx =

√x(a+ x)− a ln

[√x+√x+ a

](25)

∫x√ax+ bdx =

2

15a2(−2b2 + abx+ 3a2x2)

√ax+ b (26)

∫ √x(ax+ b)dx =

1

4a3/2

[(2ax+ b)

√ax(ax+ b)

−b2 ln∣∣∣a√x+

√a(ax+ b)

∣∣∣]

(27)

∫ √x3(ax+ b)dx =

[b

12a− b2

8a2x+x

3

]√x3(ax+ b)

+b3

8a5/2ln∣∣∣a√x+

√a(ax+ b)

∣∣∣ (28)

∫ √x2 ± a2dx =

1

2x√x2 ± a2 ± 1

2a2 ln

∣∣∣x+√x2 ± a2

∣∣∣(29)

∫ √a2 − x2dx =

1

2x√a2 − x2 +

1

2a2 tan−1 x√

a2 − x2(30)

∫x√x2 ± a2dx =

1

3

(x2 ± a2

)3/2(31)

∫1√

x2 ± a2dx = ln

∣∣∣x+√x2 ± a2

∣∣∣ (32)

∫1√

a2 − x2dx = sin−1 x

a(33)

∫x√

x2 ± a2dx =

√x2 ± a2 (34)

∫x√

a2 − x2dx = −

√a2 − x2 (35)

∫x2√

x2 ± a2dx =

1

2x√x2 ± a2 ∓ 1

2a2 ln

∣∣∣x+√x2 ± a2

∣∣∣(36)

∫ √ax2 + bx+ cdx =

b+ 2ax

4a

√ax2 + bx+ c

+4ac− b2

8a3/2ln∣∣∣2ax+ b+ 2

√a(ax2 + bx+c)

∣∣∣ (37)

∫x√ax2 + bx+ c =

1

48a5/2

(2√a√ax2 + bx+ c

×(−3b2 + 2abx+ 8a(c+ ax2)

)

+3(b3 − 4abc) ln∣∣∣b+ 2ax+ 2

√a√ax2 + bx+ c

∣∣∣)

(38)

∫1√

ax2 + bx+ cdx =

1√a

ln∣∣∣2ax+ b+ 2

√a(ax2 + bx+ c)

∣∣∣(39)

∫x√

ax2 + bx+ cdx =

1

a

√ax2 + bx+ c

− b

2a3/2ln∣∣∣2ax+ b+ 2

√a(ax2 + bx+ c)

∣∣∣ (40)

∫dx

(a2 + x2)3/2=

x

a2√a2 + x2

(41)

Integrals with Logarithms

∫ln axdx = x ln ax− x (42)

∫ln ax

xdx =

1

2(ln ax)2 (43)

∫ln(ax+ b)dx =

(x+

b

a

)ln(ax+ b)− x, a 6= 0 (44)

∫ln(x2 + a2) dx = x ln(x2 + a2) + 2a tan−1 x

a− 2x (45)

∫ln(x2 − a2) dx = x ln(x2 − a2) + a ln

x+ a

x− a − 2x (46)

∫ln(ax2 + bx+ c

)dx =

1

a

√4ac− b2 tan−1 2ax+ b√

4ac− b2

− 2x+

(b

2a+ x

)ln(ax2 + bx+ c

)(47)

∫x ln(ax+ b)dx =

bx

2a− 1

4x2

+1

2

(x2 − b2

a2

)ln(ax+ b) (48)

∫x ln

(a2 − b2x2

)dx = −1

2x2+

1

2

(x2 − a2

b2

)ln(a2 − b2x2

)(49)

Integrals with Exponentials

∫eaxdx =

1

aeax (50)

∫ √xeaxdx =

1

a

√xeax +

i√π

2a3/2erf(i√ax),

where erf(x) =2√π

∫ x

0

e−t2dt (51)

∫xexdx = (x− 1)ex (52)

∫xeaxdx =

(x

a− 1

a2

)eax (53)

∫x2exdx =

(x2 − 2x+ 2

)ex (54)

∫x2eaxdx =

(x2

a− 2x

a2+

2

a3

)eax (55)

∫x3exdx =

(x3 − 3x2 + 6x− 6

)ex (56)

∫xneax dx =

xneax

a− n

a

∫xn−1eax dx (57)

∫xneax dx =

(−1)n

an+1Γ[1 + n,−ax],

where Γ(a, x) =

∫ ∞

x

ta−1e−t dt

(58)

∫eax

2

dx = − i√π

2√a

erf(ix√a)

(59)

∫e−ax2

dx =

√π

2√a

erf(x√a)

(60)

∫xe−ax2

dx = − 1

2ae−ax2

(61)

∫x2e−ax2

dx =1

4

√π

a3erf(x

√a)− x

2ae−ax2

(62)

1

http://integral-table.com


Matematicna fizika

Dodatek: tabela integralov (vir: http://integral-table.com)

Integrals with Trigonometric Functions

∫sin axdx = −1

acos ax (63)

∫sin2 axdx =

x

2− sin 2ax

4a(64)

∫sinn axdx =

− 1

acos ax 2F1

[1

2,

1− n2

,3

2, cos2 ax

](65)

∫sin3 axdx = −3 cos ax

4a+

cos 3ax

12a(66)

∫cos axdx =

1

asin ax (67)

∫cos2 axdx =

x

2+

sin 2ax

4a(68)

∫cosp axdx = − 1

a(1 + p)cos1+p ax×

2F1

[1 + p

2,

1

2,

3 + p

2, cos2 ax

](69)

∫cos3 axdx =

3 sin ax

4a+

sin 3ax

12a(70)

∫cos ax sin bxdx =

cos[(a− b)x]

2(a− b) − cos[(a+ b)x]

2(a+ b), a 6= b

(71)

∫sin2 ax cos bxdx = − sin[(2a− b)x]

4(2a− b)

+sin bx

2b− sin[(2a+ b)x]

4(2a+ b)(72)

∫sin2 x cosxdx =

1

3sin3 x (73)

∫cos2 ax sin bxdx =

cos[(2a− b)x]

4(2a− b) − cos bx

2b

− cos[(2a+ b)x]

4(2a+ b)(74)

∫cos2 ax sin axdx = − 1

3acos3 ax (75)

∫sin2 ax cos2 bxdx =

x

4− sin 2ax

8a− sin[2(a− b)x]

16(a− b)

+sin 2bx

8b− sin[2(a+ b)x]

16(a+ b)(76)

∫sin2 ax cos2 axdx =

x

8− sin 4ax

32a(77)

∫tan axdx = −1

aln cos ax (78)

∫tan2 axdx = −x+

1

atan ax (79)

∫tann axdx =

tann+1 ax

a(1 + n)×

2F1

(n+ 1

2, 1,

n+ 3

2,− tan2 ax

)(80)

∫tan3 axdx =

1

aln cos ax+

1

2asec2 ax (81)

∫secxdx = ln | secx+ tanx| = 2 tanh−1

(tan

x

2

)(82)

∫sec2 axdx =

1

atan ax (83)

∫sec3 x dx =

1

2secx tanx+

1

2ln | secx+ tanx| (84)

∫secx tanxdx = secx (85)

∫sec2 x tanxdx =

1

2sec2 x (86)

∫secn x tanxdx =

1

nsecn x, n 6= 0 (87)

∫cscxdx = ln

∣∣∣tanx

2

∣∣∣ = ln | cscx− cotx|+ C (88)

∫csc2 axdx = −1

acot ax (89)

∫csc3 xdx = −1

2cotx cscx+

1

2ln | cscx− cotx| (90)

∫cscn x cotxdx = − 1

ncscn x, n 6= 0 (91)

∫secx cscxdx = ln | tanx| (92)

Products of Trigonometric Functions andMonomials

∫x cosxdx = cosx+ x sinx (93)

∫x cos axdx =

1

a2cos ax+

x

asin ax (94)

∫x2 cosxdx = 2x cosx+

(x2 − 2

)sinx (95)

∫x2 cos axdx =

2x cos ax

a2+a2x2 − 2

a3sin ax (96)

∫xncosxdx = −1

2(i)n+1 [Γ(n+ 1,−ix)

+(−1)nΓ(n+ 1, ix)] (97)

∫xncosaxdx =

1

2(ia)1−n [(−1)nΓ(n+ 1,−iax)

−Γ(n+ 1, ixa)] (98)

∫x sinxdx = −x cosx+ sinx (99)

∫x sin axdx = −x cos ax

a+

sin ax

a2(100)

∫x2 sinxdx =

(2− x2

)cosx+ 2x sinx (101)

∫x2 sin axdx =

2− a2x2a3

cos ax+2x sin ax

a2(102)

∫xn sinxdx = −1

2(i)n [Γ(n+ 1,−ix)− (−1)nΓ(n+ 1,−ix)]

(103)

Products of Trigonometric Functions andExponentials

∫ex sinxdx =

1

2ex(sinx− cosx) (104)

∫ebx sin axdx =

1

a2 + b2ebx(b sin ax− a cos ax) (105)

∫ex cosxdx =

1

2ex(sinx+ cosx) (106)

∫ebx cos axdx =

1

a2 + b2ebx(a sin ax+ b cos ax) (107)

∫xex sinxdx =

1

2ex(cosx− x cosx+ x sinx) (108)

∫xex cosxdx =

1

2ex(x cosx− sinx+ x sinx) (109)

Integrals of Hyperbolic Functions

∫cosh axdx =

1

asinh ax (110)

∫eax cosh bxdx =

eax

a2 − b2 [a cosh bx− b sinh bx] a 6= b

e2ax

4a+x

2a = b

(111)

∫sinh axdx =

1

acosh ax (112)

∫eax sinh bxdx =

eax

a2 − b2 [−b cosh bx+ a sinh bx] a 6= b

e2ax

4a− x

2a = b

(113)

∫eax tanh bxdx =

e(a+2b)x

(a+ 2b)2F1

[1 +

a

2b, 1, 2 +

a

2b,−e2bx

]

−1

aeax2F1

[ a2b, 1, 1E,−e2bx

]a 6= b

eax − 2 tan−1[eax]

aa = b

(114)

∫tanh ax dx =

1

aln cosh ax (115)

∫cos ax cosh bxdx =

1

a2 + b2[a sin ax cosh bx

+b cos ax sinh bx] (116)

∫cos ax sinh bxdx =

1

a2 + b2[b cos ax cosh bx+

a sin ax sinh bx] (117)

∫sin ax cosh bxdx =

1

a2 + b2[−a cos ax cosh bx+

b sin ax sinh bx] (118)

∫sin ax sinh bxdx =

1

a2 + b2[b cosh bx sin ax−

a cos ax sinh bx] (119)

∫sinh ax cosh axdx =

1

4a[−2ax+ sinh 2ax] (120)

∫sinh ax cosh bxdx =

1

b2 − a2 [b cosh bx sinh ax

−a cosh ax sinh bx] (121)

2

http://integral-table.com


Matematicna fizika

Dodatek: tabela vrednosti funkcije erf (vir: http://www.eas.uccs.edu/

~mwickert/ece3610/lecture_notes/erf_tables.pdf)

http://www.eas.uccs.edu/~mwickert/ece3610/lecture_notes/erf_tables.pdf

http://www.eas.uccs.edu/~mwickert/ece3610/lecture_notes/erf_tables.pdf


Matematicna fizika

Dodatek: tabela vektorskih odvodov

VEKTORSKIODVODI

Kart

ezic

ne

koord

inate

dl=

dx

ex+

dy

ey+

dz

ez;

dV

=dxdydz

grad

ient:

∇f=

∂f

∂x

ex+

∂f

∂y

ey+

∂f

∂z

ez

divergenca:

∇·v

=∂v x ∂x

+∂v y ∂y

+∂v z ∂z

rotor:

∇×

v=

(∂v z ∂y−

∂v y ∂z

)ex+

(∂v x ∂z−

∂v z ∂x

)ey+

(∂v y ∂x−

∂v x ∂y

)ez

Lap

lacevop

erator:∇

2f=

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2

Kro

geln

ekoord

inate

dl=

dr

er+rdϑ

eϑ+rsinϑdϕ

eϕ;

dV

=r2

sinϑdrdϑdϕ

grad

ient:

∇f=

∂f

∂r

er+

1 r

∂f

∂ϑ

eϑ+

1

rsinϑ

∂f

∂ϕ

eϕ

divergenca:

∇·v

=1 r2

∂ ∂r(r

2v r)+

1

rsinϑ

∂ ∂ϑ(sinϑv ϑ)+

1

rsinϑ

∂v ϕ ∂ϕ

rotor:

∇×

v=

1

rsinϑ

[∂ ∂ϑ(sinϑv ϕ

)−

∂v ϑ ∂ϕ

]er

+1 r

[1

sinϑ

∂v r ∂ϕ−

∂ ∂r(rv ϕ

)]eϑ+

1 r

[∂ ∂r(rv ϑ)−

∂v r ∂ϑ

]eϕ

Lap

lacevop

erator:∇

2f=

1 r2∂ ∂r

( r2∂f

∂r

)+

1

r2sinϑ

∂ ∂ϑ

( sinϑ∂f

∂ϑ

)+

1

r2sin2ϑ

∂2f

∂ϕ2

Cil

ind

ricn

ekoord

inate

dl=

dses+sdϕ

eϕ+

dz

ez;

dV

=sdsdϕdz

grad

ient:

∇f=

∂f

∂s

es+

1 s

∂f

∂ϕ

eϕ+

∂f

∂z

ez

divergenca:

∇·v

=1 s

∂ ∂s(sv s)+

1 s

∂v ϕ ∂ϕ

+∂v z ∂z

rotor:

∇×

v=

[ 1 s

∂v z ∂ϕ−

∂v ϕ ∂z

]es+

[ ∂v s ∂z−

∂v z ∂s

]eϕ+

1 s

[∂ ∂s(sv ϕ

)−

∂v s ∂ϕ

]ez

Lap

lacevop

erator:∇

2f=

1 s

∂ ∂s

( s∂f

∂s

)+

1 s2∂2f

∂ϕ2+

∂2f

∂z2

VEKTORSKE

IDENTIT

ETE

Tro

jni

pro

du

kt

(1)

A·(

B×

C)=

B·(

C×

A)=

C·(

A×

B)

(2)

A×(B×

C)=

B(A·C

)−

C(A·B

)

Pro

du

ktn

ap

ravil

a

(3)∇(fg)=

f(∇

g)+

g(∇

f)

(4)∇(A·B

)=

A×(∇

B)+

B×(∇×

A)+(A·∇

)B+(B·∇

)A

(5)∇·(fA)=

f(∇·A

)+

A·(∇f)

(6)∇·(

A×

B)=

B·(∇×

A)−

A·(∇×

B)

(7)∇×

(fA)=

f(∇×

A)−

A×(∇

f)

(8)∇×

(A×

B)=

(B·∇

)A−

(A·∇

)B+

A(∇·B

)−

B(∇·A

)

Dru

gi

od

vod

i

(9)∇·(∇×

A)=

0

(10)∇×

(∇f)=

0

(11)∇×

(∇×

A)=∇(∇·A

)−∇

2A

TEMELJNIIZREKI

Gra

die

ntn

iiz

rek

∫ b a(∇

f)·d

l=

f(b

)−f(a)

Gau

ssov

izre

k∫ (∇·A

)dV

=∮

A·d

S

Sto

keso

viz

rek

∫ (∇×

A)·d

S=∮

A·d

l


Matematicna fizika

Dodatek: izbor konstant in enacb (vir: https://www.ric.si/splosna_

matura/predmeti/fizika/)

V si

vo p

olje

ne

piši

te.

*M1614111103* 3/16

Konstante in enačbe

srednji polmer Zemlje z 6370 kmr =

težni pospešek 29,81 m sg -=

hitrost svetlobe 8 13,00 10 m sc -= ⋅

osnovni naboj 190 1,60 10 A se -= ⋅

Avogadrovo število 26 1A 6,02 10 kmolN -= ⋅

splošna plinska konstanta 3 1 18,31 10 J kmol KR - -= ⋅

gravitacijska konstanta 11 2 26,67 10 N m kgG - -= ⋅

električna (influenčna) konstanta 12 1 1

0 8,85 10 A s V me - - -= ⋅

magnetna (indukcijska) konstanta 7 1 1

0 4 10 V s A mm - - -= p⋅

Boltzmannova konstanta 23 11,38 10 J Kk - -= ⋅

Planckova konstanta 34 156,63 10 J s 4,14 10 eV sh - -= ⋅ = ⋅

Stefanova konstanta 8 2 45,67 10 W m Ks - - -= ⋅

poenotena atomska masna enota 27 2u 1 u 1,66054 10 kg 931,494 MeV/m c-= = ⋅ =

lastna energija atomske enote mase 2u 931,494 MeVm c =

masa elektrona 31 2e 9,109 10 kg 1 u/1823 0,5110 MeV/m c-= ⋅ = =

masa protona 27 2p 1,67262 10 kg 1,00728 u 938,272 MeV/m c

masa nevtrona 27 2n 1,67493 10 kg 1,00866 u 939,566 MeV/m c

Gibanje

s vt=

s vt= 2

0 2ats v t= +

0v v at= + 2 2

0 2v v as= +

0

1t

n =

2w n= p

o0

2 rvtp

2o

r

va

r=

0 sins s tw=

0 cosv s tw w= 2

0 sina s tw w=-

Sila

2z2

( )r

g r gr

=

1 22

m mF G

r=

3

20

konst.rt

=

F ks=

F pS=

t nF k F=

F gVr=

F ma=

G mv=

F t GD = D

sinM rF a=

p ghrD =

Energija

A F s= ⋅

cosA Fs j=

2

k 2mvW =

pW mgh=

2

pr 2ksW =

APt

=

k p prA W W WD D D

A p V=- D

P perforiran list

https://www.ric.si/splosna_matura/predmeti/fizika/



Matematicna fizika

Dodatek: izbor konstant in enacb (vir: https://www.ric.si/splosna_

matura/predmeti/fizika/)

V si

vo p

olje

ne

piši

te.

4/16 *M1614111104*

Elektrika

eIt

=

1 22

04

e eF

re=

p

F eE=

eAU E s

e= ⋅ =

02eESe

=

e CU=

0SCl

e=

2 2

e 2 2CU eW

C= =

U RI=

lRSV=

0 0ef ef;

2 2

U IU I= =

P UI=

Magnetizem

F Il B= ´

sinF IlB a=

F ev B= ´

0

2I

Br

m=

p

0NIB

lm

=

sinM NISB a=

cosBS a=

iU lvB=

i sinU SB tw w=

iUtFD=-

D

LIF=

2

m 2LIW =

1 1

2 2

U NU N

=

Nihanje in valovanje

0 2 mtk

= p

0 2 ltg

= p

0 2t LC= p

c ln=

sind Na l=

24Pjr

=p

( )0 1 vc

n n=

0

1 vc

nn =

Flcm

=

sin cv

j=

Toplota

A

m NnM N

= =

pV nRT=

l l TaD = D

V V TbD = D

A Q W+ = D

Q cm T= D

Q qm=

032

W kT=

QP

t=

TP Sl

l D=D

PjS

= 4j Ts=

Optika

0cn

c=

1 2

2 1

sinsin

c nc n

ab

= =

1 1 1f a b= +

s bp a=

Moderna fizika

fW hn=

f i kW A W= +

f nW W= D

2W mcD = D

1/20 02

tt tN N N e l

--= =

1/2

ln2t

l =

A Nl=




Matematicna fizika

Priporocena literatura

1. I. Kuscer in A. Kodre, Matematika v fiziki in tehniki, (DMFA, Ljubljana,1994).

2. S. Sirca, Verjetnost v fiziki, (DMFA – zaloznistvo, Ljubljana, 2016).

3. A. Borstnik, R. Podgornik in M. Vencelj, Resene naloge iz mehanike kontin-uov, (DMFA – zaloznistvo, Ljubljana, 2001).

4. A. Sarlah in G. Skacej, Naloge iz fizike za studente matematike, (DMFA –zaloznistvo, Ljubljana, 2017).

5. gradivo na spletni strani predmeta (http://predmeti.fmf.uni-lj.si/mafivss)

6. J. Strnad, Fizika, 1.–4. del, (DMFA, Ljubljana, 1990).

http://predmeti.fmf.uni-lj.si/mafivss


Matematicna fizika

Kolokviji in izpiti prejsnjih let

Fakulteta za matematiko in fiziko, Fizikalna merilna tehnika

1. kolokvij iz Matematicne fizike: 2016/1724. 3. 2017

Planet Υ s premerom 10 000 km prekriva morje tekocega metana z globino 10 km.Klimatologi napovedujejo, da se bo v prihodnosti planet segrel. Koliksen bo zaraditega dvig gladine morja, ce se morje na povrsini segreje za 1 C, temperatura nadnu ostane nespremenjena, vmes pa je temperaturni prirastek linearno odvisen odglobine? Dolocite odvisnost dviga od globine v obeh limitnih primerih, to je, koje globina zelo majhna ali zelo velika v primerjavi s polmerom planeta!Temperaturni koeficient prostorninskega raztezka metana je 3,48× 10−3 K−1.

Uspesno!



Biatlonec strelja v tarco s premerom 115 mm tako, da verjetnostna gostota od-daljenosti izstrelka od sredisca tarce linearno pada od sredisca do razdalje 73 mm,ko pade na 0. Koliksna je povprecna oddaljenost izstrelkov od sredisca tarce? Skoliksno verjetnostjo v enem streljanju, ko je na voljo 5 strelov in 5 tarc, biatlonecvsaj enkrat zgresi tarco? Koliksna je verjetnost, da bo v sezoni pri streljanjuzabelezil vsaj 90 % ucinkovitost, ce bo nastopil na 25 tekmah, na vsaki pa so 4streljanja s po 5 streli?

Uspesno!




Potencial elektricnega polja ima v sfernih koordinatah obliko

U(r, ϑ, ϕ) = kr4 cos(ϑ).

Izracunajte vektor elektricne poljske jakosti, ki ustreza temu potencialu! Dolocitegostoto naboja, ki je izvor tega elektricnega polja! Koliksen pa je skupni naboj,zaobjet v krogli s polmerom R? Pojasnite rezultat! Izracunajte silo, ki v tempolju deluje na elektricni dipol, ki je pritrjen v radialni smeri v tocki (r, ϑ, ϕ) =(R, π/3, 0)!

Uspesno!



Pravokotno tokovno zanko postavimo v homogeno magnetno polje z gostoto 0,4 T.Silnice magnetnega polja so vodoravne, zanka pa je nanje pravokotna. Na zanki jenataknjena vodoravna bakrena precka z gostoto 8900 kg/m3 in s specicnim uporom1,8× 10−8 Ωm. Zapisite enacbo gibanja za precko! Zracni upor in elektricni uporzanke lahko zanemarite. S koliksno hitrostjo se giblje precka po dolgem casu?Kako se s casom spreminja pot precke?

Uspesno!



Izpit iz Matematicne fizike: 2016/1713. 6. 2017

1. Hidroliza molekule ATP na nekem encimu potece v povprecju v 1 ms. Po-razdelitev po casu trajanja hidrolize je eksponentna. Koliksna je verjetnost,da poteka hidroliza molekule ATP na tem encimu vec kot 2 ms? Koliksnaje verjetnost, da na 10 molekulah encima v 1 ms potece hidroliza vec kot3 molekul ATP? Predpostavite, da na vsakem encimu potece kvecejmu enahidroliza.

2. Potencial elektricnega polja ima v sfernih koordinatah obliko

U(r, ϑ, ϕ) = kr3 sin(ϑ) cos(ϕ).

Izracunajte vektor elektricne poljske jakosti, ki ustreza temu potencialu!Dolocite gostoto naboja, ki je izvor tega elektricnega polja, in elektricnidipolni moment za to porazdelitev v krogli s polmerom R!

3. Homogena veriga z dolzino l in maso m lezi iztegnjena na vodoravni zgornjiploskvi mize. V nekem trenutku en konec verige spustimo cez rob mize;dolzina tega dela verige je x0. Kako se s casom spreminja dolzina verige, kivisi cez rob mize? Veriga se po mizi giblje brez trenja. Koliksna je hitrostverige, ko vsa sega cez rob mize?Dodatno vprasanje: Kako pa je, ce med verigo in podlago deluje se trenje skoeficientom kt?

Uspesno!




Homogena bakrena palica se vrti v vodoravni ravnini okrog navpicne osi skozi enood krajisc. Kako se vzdolz palice spreminja natezna sila v njej? Za koliko sedolzina vrtece se palice razlikuje od dolzine v mirovanju?Dodatek: Z diferencialom ocenite, za koliko se spremeni relativni raztezek palice,ce se njena mirovna dolzina poveca za 1 %.

Palica ima presek 1 cm2, v mirovanju je dolga 1 m, vrti pa se s frekvenco 50 Hz.Gostota bakra je 8900 kg/m3 in proznostni modul 9× 1010 N/m2.

Uspesno!



Na srednjeveskih dnevih na Ljubljanskem gradu na vodoravnih tleh s katapultommecejo kamenje tako, da je zacetna hitrost vseh kamnov enaka, koti, pod katerimiodletijo, pa so enakomerno porazdeljeni med kotoma 0 in π/4. Pokazite, da jeporazdelitev oddaljenosti x, kjer kamni padejo na tla, enaka

dP

dx=

2

π√x2

max − x2!

Tu je xmax = v20/g in v0 zacetna hitrost kamna, g pa tezni pospesek. Koliksna

je povprecna razdalja x, na kateri priletijo kamni na tla? S koliksno verjetnostjokamen prileti na tla na razdalji x > xmax/2? Koliksna pa je verjetnost, da bokamen v 10 poskusih najvec dvakrat priletel na tla pri x > xmax/2?Pomoc: Pri zadnjem vprasanju potrebujete rezultat predhodnega vprasanja. Ce ganiste uspeli izracunati, racunajte z vrednostjo 0,8.

Dodatek: Koliksna je verjetnost, da se pri metu 1000 kamnov stevilo dogodkov,da kamen prileti na tla pri x > xmax/2, za 5 % razlikuje od pricakovane vrednosti?

Uspesno!




Potencial elektricnega polja ima cilindricno simetrijo in vrednost

U(r, ϕ, z) = σ ln(r/r0) cosϕ,

kjer je r razdalja od osi z, r0 = 1 mm in σ = 5 V. Izracunajte vektor elektricnepoljske jakosti, ki ustreza temu potencialu, in dolocite gostoto naboja, ki je izvortega elektricnega polja! Izracunajte skupni naboj, zaobjet v cilindru s polmeromr0 in visino h! Komentirajte rezultat!

Dodatek: Koliksna je v tem polju sila na elektricni dipol ~pe = peeϕ, pe = 10−10 Asm,ki miruje v tocki (r, ϕ, z) = (2r0, 0, 0)?

Uspesno!



Elektron se pojavi v prostoru s homogenim magnetnim poljem z gostoto ~B =(0, B, 0) in precnim homogenim elektricnim poljem z jakostjo ~E = (E, 0, 0). Vkartezicnih koordinatah zapisite enacbe gibanja za elektron! Upostevajte, da nanabit delec v elektromagnetnem polju deluje Lorentzova sila ~F = e( ~E + ~v × ~B).Kako se s casom spreminjajo komponente hitrosti elektrona? Izracunajte pri-padajoc tir gibanja elektrona! Predpostavite, da je elektron v zacetnem trenutkumiroval.

Dodatek: V povprecju cez dolg cas se elektron pomika s tako imenovano potovalnohitrostjo. V kateri smeri potuje in koliksna je ta hitrost?

Uspesno!



Izpit iz Matematicne fizike: 2018/197. 6. 2019

1. Polozaja elektronov v atomu ne moremo dolociti natancno, ampak ga opisemos porazdelitveno funkcijo, ki doloca verjetnostno gostoto, da se elektron na-haja na danem mestu v prostoru. V osnovnem stanju atoma vodika ima taporazdelitvena funkcija sledeco prostorsko odvisnost:

w(r, ϑ, ϕ) =1

π(a0)−3e−2r/a0 ,

kjer je a0 = 0,053 nm Bohrov radij. Koliksna je verjetnost, da se v takematomu elektron nahaja znotraj krogle s polmerom a0? Opazujemo 106 takihatomov. Koliksno je pricakovano stevilo atomov, v katerih bo elektron zno-traj krogle s polmerom a0? S koliksno verjetnostjo bo stevilo atomov zelektronom znotraj krogle s polmerom a0 vsaj 0,1 % manjse od pricakovanevrednosti?Pomoc: Za 2. in 3. vprasanje potrebujete rezultat pod 1. vprasanjem. Ce ganiste uspeli izracunati, racunajte z vrednostjo 0,1.

2. Potencial elektricnega polja ima v sfernih koordinatah obliko

U(r, ϑ, ϕ) = kr2 sin(ϑ) sin(ϕ).

Izracunajte vektor elektricne poljske jakosti, ki ustreza temu potencialu indolocite gostoto naboja, ki je izvor tega elektricnega polja.

3. Na enem krajiscu vzmeti s koeficientom k je pritrjena kroglica z maso m,drugi konec vzmeti pa je vrtljivo vpet na navpicno os nad gladko vodoravnopodlago. Ravninsko gibanje kroglice opise diferencialna enacba

mr + k(r − l)− Γ2

mr3= 0,

kjer je r oddaljenost kroglice od osi, l dolzina neraztegnjene vzmeti in Γ vr-tilna kolicina sistema, ki je konstanta gibanja. Poiscite pogoje za stacionarnogibanje za Γ =

√8mkl4. Dolocite priblizno enacbo gibanja za majhne odmike

od te stacionarne resitve in jo resite.

Dodatek: Izpeljite zgornjo enacbo gibanja.

Uspesno!

matemati cna zikaandrejas/vaje/gradiva/mafi...vektorska in tenzorska analiza: divergenca, rotor 11...

Documents