Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Dajana Ivanovic

Matematicko obrazovanje u razlicitim epohama i u razlicitimregijama: Antika i srednji vijek

Diplomski rad

Osijek, 2015.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Dajana Ivanovic

Matematicko obrazovanje u razlicitim epohama i u razlicitimregijama: Antika i srednji vijek

Diplomski rad

Voditelj: doc.dr.sc. Ivan Matic

Osijek, 2015.

2

Sadrzaj

1 Uvod 3

2 Matematicko obrazovanje u antici 42.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Mezopotamija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Pisarske skole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Osnovna razina matematickog obrazovanja . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Srednji stupanj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.4 Napredni stupanj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Helenisticko razdoblje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Drevni Egipat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Grcko-rimski svijet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.1 Priroda grcko-rimskih izvora o poducavanju matematike . . . . . . . 142.5.2 Tri moguca scenarija nastave matematike u kasnoj antici i sto se moze

zakljuciti iz njih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.3 Sporovi o postojanju i prirodi skolastickog kurikuluma u grcko-rimskoj

antici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Razliciti oblici nastave matematike za razlicite dijelove drustva i strucne krugove 20

2.6.1 Osnovno ili specijalizirano poducavanje aritmetickih vjestina: Robovii oslobodenici, strucni pismoznanci i racunovode . . . . . . . . . . . . 20

2.6.2 Matematicko obrazovanje kao dio filozofskog obrazovanja . . . . . . . 212.6.3 Matematicka izobrazba kao dio astroloske i astronomske izobrazbe . 222.6.4 Matematicka izobrazba kao dio izobrazbe mjernika, inzenjera i arhitekata 222.6.5 Matematicko obrazovanje kao dio nepoznate kulture aritmetickog

rjesavanja problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Ucenje matematickih znanosti u islamskim drustvima 253.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Poducavanje matematike na dvorovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Matematicke znanosti u autobiografijama: Ibn Sına i al-Qalasadf (1412.−1486.) 273.4 Ahmad al-Sijzı: Kako se postaje produktivan matematicar? . . . . . . . . . . 293.5 Klasifikacija matematickih znanosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Matematicko obrazovanje u biografskoj knjizevnosti . . . . . . . . . . . . . 333.7 Matematika u razmisljanjima o obrazovanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8 Koja matematicka disciplina je legitimna da ju musliman uci, poducava i

zaradi za zivot koristeci ju? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.9 Najpopularnija obrazovna djela iz matematickih znanosti . . . . . . . . . . . 383.10 Zakljucci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Literatura 40

5 Sazetak 41

6 Title and summary 42

7 Zivotopis 43

3

1 Uvod

U ovom radu nastojati cemo prikazati povijest ucenja i poucavanja matematike tijekomrazlicitih epoha i civilizacija, kultura i zemalja. Ovaj sveobuhvatan pristup postao je moguctek sada zbog nedavnog razvoja istrazivanja. Cilj ovog rada je, s jedne strane, prikazatitrenutno stanje povijesti matematike i pribliziti rezultate postojecih istrazivanja, a s drugestrane, olaksati daljnji razvoj ovog podrucja, ukazujuci na ono sto jos nije prouceno.Vjerujemo kako nije nemoguce razumjeti buducnosti matematike bez razumijevanja sto sedogada u sadasnjosti, sto je nemoguce bez razumijevanja proslosti.Nacin na koji se razvijala edukacija matematike vazna je za danasnje predavace matematike,ali je isto tako vazna za istrazivace povijesti skolstva, ciji je dio matematicko obrazovanje.Nase je misljenje da je, cak i sire, za istrazivace kulturne povijesti, pa cak i drustvene povi-jesti u cjelini, uvazavanje povijesnog razvoja matematike korisno.Treba naglasiti da je u ovom trenutku nase znanje (a time i nase razumijevanje) ograniceno.U nekim slucajevima, sirenje znanja je ograniceno jezicnim barijerama vazne studije ostajuneprocitane cak i od onih koji ih smatraju zanimljivim. U drugim slucajevima, mozemoslobodno reci da istrazivanja nije ni bilo. U arhivi gotovo svake drzave stoje dokumenti kojinisu proucavani.Takoder trebam reci da, u raspravi o povijesti matematike ucenja i poucavanja, uglavnom sekoncentriram na ono sto je u posljednjih nekoliko stoljeca nazvano pre-sveucilisno obrazova-nje. Ova terminologija se, naravno, ne odnosi, recimo, do antike, ili cak kasnijih razdoblja,ali ipak se moze reci da se obrazovanje koje na jedan ili drugi nacin odgovara ”visoj ra-zini obrazovanja” obicno spominje u ovom radu samo u cilju da se dobije bolja opca slikaobrazovanja.

4

2 Matematicko obrazovanje u antici

2.1 Uvod

Citav niz dokumenata koji se odnose na matematicko obrazovanje na Bliskom istoku i Sre-dozemlju sacuvan je do danasnjih dana. Najstariji od ovih izvora su glinene plocice iz juzneMezopotamije koje su nacinjene u trecem tisucljecu prije nase ere. Noviji izvori su kopiraniu Bizantu u srednjem vijeku iz dugog niza tekstova ciji izvornik je izgubljen. Ipak, ove kasnekopije daju neke dokaze o obrazovnim aktivnostima i pedagoskoj orijentaciji. Kao sto semoze vidjeti u studijama slucaja u ovom poglavlju, ti izvori predstavljaju siroku kronoloskuraspodjelu, ali i tekstova razlicitih zanrova. Neki tekstovi, poput plocica izradenih od gotovoneunistive gline, prezivjeli su u velikom broju i omogucili rekonstrukciju matematicke nas-tave drevne Mezopotamije. Tijekom iskapanja u Iraku, Iranu i Siriji od kraja devetnaestogstoljeca pronaden je dostatan broj plocica da se omoguci detaljna rekonstrukcija osnovnognastavnog plana matematike u pisarskim skolama drevnog Bliskog istoka. Istovjetni izvoripostoje za grcko-rimski svijet, ali u znatno manjem broju, ali stanje u kojem se nalaze nedopusta mnoge zakljucke. Grcko-rimski tekstovi sadrze male nepovezane fragmente na papi-rusu, keramici, kozi, pa cak i drvenim plocicama prekrivenima voskom, sto je sve vjerojatnosluzilo u nastavi matematike. Nasuprot tome, relativno malo tekstova obilnog mezopotam-skog opusa govori o tome kako su pisari na drevnom Bliskom istoku koncipirali svoj rad, onjihovom znanju i njegovom prijenosu, dok su grcko-rimski tekstovi na pergamentu uglavnomrezultat kopiranja ili prijevoda i samo marginalno predstavljaju izravan dokaz skolskog djelo-vanja. Dakle, ovi kasniji izvori bacaju slabo svjetlo na prakticnost prenosenja matematickogznanja s majstora na ucenika u razlicitim kontekstima, te malo tih tekstova detaljno opisujeosnovno obrazovanje. Medutim, ovi izvori ne otkrivaju teske didakticke ideale grcko-rimskogsvijeta koji upravljaju plodnim radom u filozofiji i retorici. U nekim slucajevima, moze sepretpostaviti da su ovi ideali iskoristeni u praksi te da su odgovarali stvarnim nastavnimprogramima, ali ovaj zakljucak je spekulativan i vjerojatno beskoristan.Dokazi iz faraonskog Egipta predstavljaju kriticnu tocku tekstualnog ocuvanja i rekonstruk-cije kulture: iako je niz zadataka koji se mogu naci na drevnim papirusima vjerojatno sluziou pedagoske svrhe, nacin poucavanja i institucionalni okvir u kojem su se ti tekstovi koristilii dalje je u velikoj mjeri nepoznanica.

Sljedeca sinteza stoga se temelji na izvorima koji su heterogeni i po prikazu i po geografskoji vremenskoj raspodjeli, te se mogu smatrati sasvim vjerodostojnima. Drugim rijecima,drevni izvori se ne odnose na iste sredine niti se odnose na iste kulturne i institucionalnekodove.

2.2 Mezopotamija

Tijekom iskapanja provedenih u Iraku, Iranu i Siriji od kraja devetnaestog stoljeca, arhe-olozi i ilegalni kopaci otkrili su stotine tisuca glinenih plocica koje sadrze tekstove svih vrsta(ukljucujuci i administrativnu evidenciju, ugovore, pisma, knjizevne sastave, medicinske ras-prave, astronomske izracune i matematicke spise). Ovi dokumenti pruzaju dokaze o povijestidrevnog Bliskog istoka tijekom vrlo dugo razdoblja - vise od 3000 godina od pocetaka pisanja(cca. 3300 godina prije Krista) do napustanja gline za pisanje na pocetku nove ere.

Brojni jezici su na glinene plocice zapisivani klinastim pismom (Slika 2.1). Medu mate-matickim tekstovima, koriste se sumerski i akadski. Sumerski, koji je bio jezik ljudi juzneMezopotamije tijekom treceg tisucljeca prije Krista, vjerojatno je nestao kao zivi jezik prije

5

drugog tisucljeca prije Krista, ali je ostao jezik znanja do kraja upotrebe klinastog pisma.Akadski je semitski jezik koji je postupno istisnuo sumerski i dugo je bio diplomatski jezikdrevnog Bliskog istoka i istocnog Sredozemlja.

Trenutnom je poznato oko 2000 plocica koje sadrze matematicke tekstove.

Slika 2.1: Klinasto pismo (skolska plocica iz Nippura, oko 1800. pr. Kr.)

Vecina matematickih klinastih tekstova objavljenih tijekom ranog dvadesetog stoljeca odstrane Neugebauera, Sachsa i Thureau-Dangina kupljena je od dilera europskih i americkihmuzeja ili privatnih kolekcionara, te su njihova porijekla nepoznata. Medutim, nakon Drugogsvjetskog rata, arheolozi su iskopali nove kolekcije matematickih plocica s jasnim porijeklom,osobito u dolini Diyala (sjeverna Mezopotamija) te u Suzi (zapadni Iran).

U slucajevima u kojima je porijeklo plocica dobro dokumentirano, arheoloska izvjesca po-kazuju da plocice koje sadrze matematicke tekstove visoke razine dijele ista nalazista s osnov-nim skolskim plocicama. Dakle, obrazovanje mladih pisara i aktivnosti ucenih znanstvenikaodvijali su se na istom mjestu, a mozda su autori tih matematickih tekstova vise razine biliukljuceni u nastavu. No, ukazuju li ti arheoloski detalji na cinjenicu da su svi matematickiklinasti tekstovi proizvedeni u edukativne svrhe? U novijim istrazivanjima o povijesti ma-tematike u Mezopotamiji se cesto, vise ili manje presutno, pretpostavlja potvrdan odgovor.Medutim, situacija je vjerojatno slozenija. Doista, neki od klinastih matematickih tekstovasu jasno skolske vjezbe. Ostali tekstovi koji sadrze popise rijesenih zadataka, vjerojatno su(ali ne i sigurno) dokumenti koji su sastavljeni i koristeni za napredno matematicko obrazo-vanje. Medutim, vecina matematickih tekstova vise razine ne otkriva jasno tocan kontekst ukojem su sastavljani ili koristeni. Nije uvijek lako prepoznati publiku takvih tekstova. Sto setice izvora klinastih tekstova, ovdje je jasnije vise detalja nego u slucaju egipatskog papirusa.Najjaci dokaz potjece od fizickih detalja samih plocica. Sam oblik, velicina i raspored plocicacesto otkrivaju prirodu konteksta u kojem su proizvedene.

2.2.1 Pisarske skole

Moderni povjesnicari nazivaju mjesta na kojima su se skolovali pisari ”pisarskim skolama”.Ponekad je fizicka lokacija skole dobro identificirana. U Nippuru, Uru, Mari i Sipparu,primjerice, tragovi nastavnih aktivnosti poput vaznih zbirki skolskih vjezbi ili posuda zarecikliranje plocica nadeni su u kucama koje su uvjetno identificirane kao pisarske skole.Prisutnost skolskih plocica u kuci nije uvijek dokaz da je kuca sluzila kao skola; posebice,skolske plocice su mogle biti donesene iz drugih mjesta kako bi se ponovno koristile kaogradevinski materijal. Dakle, za svaki kontekst potrebno je pazljivo analizirati arheoloskikontekst. Posebna sumerska rijec oznacava takva mjesta kao edubba-e, sto doslovno znaci

6

”kuca plocica”. Sumerska knjizevnost prikazuje vrlo idealiziranu sliku edubba, koje se pri-kazuju kao ugledne ustanove za obrazovanje drustvene elite. Ova slika mozda odrazavastvarnost u Nippuru, politickom i kulturnom sredistu stare babilonske Mezopotamije, cijeskole su stekle veliki ugled na cijelom Bliskom istoku. Medutim, cini se da je organizacijaobrazovanja znatno varirala od grada do grada. Cini se da su u nekim gradovima nastavneaktivnosti bile ogranicene na kucnu sferu, kao sto je Tanret pokazao za Sippar. U drugimgradovima, svecenici su mozda sudjelovali u obrazovanju, kao sto je prikazano u slucajevimaUra ili Tell Haddada, grad u dolini Diyala.

Vecina prezivjelih starih babilonskih matematickih plocica su skolske plocice. One pokri-vaju veliko zemljopisno podrucje (vidjeti kartu prikazanu na Slici 2.2), ali vecina dolazi izNippura. Temeljita analiza tisuca plocica iz Nippura omogucila je povjesnicarima da vrlodetaljno rekonstruiraju nastavni program matematickog obrazovanja koje se odrzavalo uskolama u tom gradu, a mozda i u drugim edubba-ma.

Slika 2.2: Mjesta gdje su pronadene matematicke plocice (• = OB osnovni matematickiskolski tekstovi; �= OB napredni matematicki tekstovi)

2.2.2 Osnovna razina matematickog obrazovanja

Oblici plocica daju vrijedne dokaze za rekonstrukciju kurikuluma. Plocice koje su najcescekoristene u Nippuru (tipa II u tipologiji asiriologa) su velike pravokutne plocice (oko 1015cm), koje su mladi pripravnici koristili u obuci kako bi zapamtili i napisali niz standardizira-nih tekstova. Ovi tekstovi su sadrzavali popise klinastih znakova, sumerske rjecnike, mjernesustave i osnovne numericke tablice. Kad bi se dugi niz leksickih popisa ili matematickihtablica naucio napamet, bio bi zapisan na velikim plocicama u vise stupaca poznatima kao”tipa I” ili, ponekad, na prizmama. Ovi veliki sastavci na prizmama mogu se tumaciti kaoneka vrsta ispita. Uz ove vjezbe, pisari bi ponekad biljezili kratke izvatke na malim pravo-kutnim plocicama s jednim stupcem (tip III - vidjeti sliku 2.5). Sumerski naziv za ovu vrstuplocica ponekad se pojavljuje na kraju sastava, kao i u nekim knjizevnim tekstovima: im-gidda ili ”izduzene plocice”. Imgidda plocice cesto se koriste za ucenje tablice mnozenja (kaosto je prikazano na slici 2.5). Plocice tipa II (vidjeti sliku 2.4) dale su kljucne dokaze koji supovjesnicarima omogucili da utvrde tocan sadrzaj tekstova koje su proucavali mladi pisari uranoj fazi obrazovanja i rekonstruiraju poredak po kojem su te tekstove ucili. Doista, Veld-huis je pokazao da je poledina plocica tipa II koristena za ponavljanje skolskih tekstova kojisu uceni ranije u kurikulumu” . Dakle, usporedujuci tekstove napisane s prednje i straznje

7

strane plocica tipa II, on je rekonstruirao osnovni nastavni plan i program.

Slika 2.3: Seksagesimalni sustav vrijednosnog zapisa

Slika 2.4: Ni 4840+ +UM 29 − 13 − 711, plocica tipa II. prednja strana, leksicki popis;straznja strana, mjere kapaciteta

Slika 2.5: HS 217, plocica tipa III. tablica mnozenja

8

Veldhuis je bio usmjeren na leksicke tekstove, ali isti postupak moze se primijeniti namatematickim tekstovima. Detaljna slika osnovnog obrazovanja u Nippuru nastala je iz tihstudija. Prva razina matematickog nastavnog plana i programa bila je posvecena ucenjusljedeceg popisa i tablice, manje ili vise prema ovom redoslijedu: popisi nabrajaju mje-renja kapaciteta, tezinu, povrsinu i duljinu; tablice daju odnose izmedu razlicitih mjera ibrojeva napisanih u seksagesimalnom sustavu vrijednog zapisa i numericke tablice (tablicereciprocnih brojeva, mnozenja, potencija, korijena i treceg korijena). Sve ove osnovne liste,vjerojatno su ucili napamet.

Izvan Nippura, matematicki nastavni plan i program ne moze se rekonstituirati tako de-taljno, dijelom i zato sto je broj dostupnih plocica premali za bilo kakva znacajnija sta-tisticka razmatranja. Tipologija plocica znacajno varira. Na primjer, plocice tipa II rijetkosu pronadene izvan Nippura. U skolama u Mariu i Urai, koristene su uglavnom male okrugleplocice.

2.2.3 Srednji stupanj

Nakon ucenja mjeriteljskih i numerickih sustava kao i skupa elementarnih aritmetickih re-zultata (tablice reciprocnih brojeva i tablica mnozenja), pisari bi zapoceli srednji stupanjobrazovanja. Na ovom manje formaliziranom stupnju, pisari bi naucili osnovne izracune useksagezimalnom sustavu, naime, mnozenje i izracun reciprocnih brojeva velikih brojeva.

To znanje se zatim primjenjivalo na pronalazenje povrsine kvadrata i drugih geometrijskihlikova. U skolama u Nippuru, ova razina obrazovanja je dokumentirana uglavnom kroz vjezbenavedene na plocicama cetvrtastog oblika (vidi Sliku 2.6).

U Tablici 2.1 se mogu vidjeti razliciti aspekti matematickih nastavnih planova i programakoji su mogli postojati u Nippuru, a mozda i u drugim skolama.

Slika 2.6: Ni 10241, izracun reciprocnih brojeva

9

Stupanj Sadrzaj Tipologija PrimjeriOsnovni Mjeriteljski popisi (kapaciteti, utezi, Tip I, II i III Vidi slike 2.4 i 2.5

povrsine, duljine)Mjeriteljske tabliceNumericke tablice (reciprocni brojevi,mnozenje, kvadrati)Drugi i treci korijen

Srednji Vjezbe: mnozenje i reciprocni brojevi Plocice kvadratnog Vidi sliku 2.6Izracuni povrsina oblika

Tablica 2.1: Matematicki kurikulum u OB Nippur

2.2.4 Napredni stupanj

Ako su osnovni i srednji stupnjevi matematickog obrazovanja dobro poznati, barem u Nip-puru, kontekst u kojem su nastajali i u kojem su koristeni napredni matematicki tekstoviiz Starog babilonskog razdoblja mnogo je teze rekonstruirati. Matematicki tekstovi su pret-hodno tumaceni kao udzbenici ili kao baze podataka prikupljenih za nastavu. Medutim,pragmaticna analiza tekstova sugerira da su im autori namijenili barem neke druge svrheosim nastavne.1 Kako je moguce razlikovati plocice koje se koriste za napredno ucenje (kojesu napisali studenti ili nastavnici) od onih koji odrazavaju istrage o cistoj znanosti? Prvavrsta dokaza moze biti kompleksnost matematickih postupaka, ali takav kriterij moze bitipogresan, jer ono sto je slozeno za modernog citatelja mozda nije bio slozeno za drevnogpisara i obrnuto.

Dakle, potreban je oprez zbog argumenata koji se temelje na navodnom ”stupnju” mate-matickog sadrzaja. Druga vrsta dokaza povezana je s materijalnim aspektima. Vrlo grubo,plocice mozemo klasificirati na dvije vrste: plocice s jednim stupcem (tipa S) i plocice s visestupaca (tipa M). 2 Medutim, oblik plocica cesto odgovara lokalnim navikama. Buduci daje vecina matematickih tableta nepoznatog podrijetla, opcenita tipologija ne moze biti jasnopovezana s odredenim pedagoskim praksama. Dakle, sama razmatranja od slucaja do slucajasu relevantna za odgovor na pitanje kako razlikovati ucenje od znanosti. Matematicki tekstkoji izgleda kao da je koristen na pocetku napredne razine matematike predstavlja koristanprimjer. Primjer takve plocice cuva se na Sveucilistu Yale pod brojem inventara YBC 4663(vidjeti Sliku 2.7). Ova plocica ima izduzeni oblik napisan u jednom stupcu (tip S).

1Jedan primjer teksta koji nije jasno povezan s nastavom je poznata plocica Plimpton 322; drugi pri-mjeri nalaze se medu takozvanom serijom tekstova koji predstavljaju popise izjava o zadacima pisane nanumeriranim nizovima plocica

2Ova tipologija dolazi iz klasifikacije plocica koristenih u OB Nippuru za ucenje sumerske knjizevnosti .

10

Slika 2.7: Plocica tipa S - YBC 4663, Sveuciliste Yale

Plocica je nepoznatog podrijetla, ali vjerojatno dolazi iz grada u juznoj Mezopotamiji.Sadrzi niz od osam rijesenih zadataka koji se bave kopanjem rovova. Parametri zadatka(podataka i nepoznanica) su dimenzije jarka (duljina, sirina, dubina), baze, volumen izvadenezemlje, broj radnika potrebnih za kopanje, dnevna kvota rada dodijeljena radnicima (tj.volumen zemlje koji svaki dan treba izvaditi svaki radnik), njihova dnevnica, te ukupnaplaca (izrazena kao masa srebra). Svi ovi parametri povezani su jednostavnim odnosom kojina moderan nacin mozemo predstaviti kako slijedi:

ukupna placa = dnevnica · duzina · sirina · dubina

dnevna dodijeljena zadaca.

Ispitivanje teksta pokazuje kako postupci primjenjuju racunalne metode koje se uce naosnovnoj razini matematickog kurikuluma. Na primjer, razmislite o prvom zadatku koji jepreveden na sljedeci nacin:Prijevod YBC 4663 #13

1. Jarak. 5 ninda je duljina, 112

ninda (sirina),12

ninda dubini, 10(gin) volumen zadatka(za svakog radnika), 6. se (srebro) [place placenog covjeka].

2. Koliki su povrsina, volumen, broj radnika, te ukupni rashodi u srebru? Prema pos-tupku.

3. Duljina i sirina se medusobno mnoze. To ce vam dati 7, 30.

4. 7, 30 potencirajte s dubinom. To ce vam dati 45.

5. Izracunajte reciprocnu vrijednost. Dobivate 6. Potencirajte s 45. Dobivate 4, 30.

3Koristene mjerne jedinice su 1ninda ≈ 6m, 1gin ≈ 1, 7dm3, a 1SE ≈ 0, 04g.

11

6. 4, 30 potencirajte s placom. Dobit cete 9. Takav je postupak.

Imajte na umu da su u zadatku (1. i 2.) podaci izrazeni u konkretnim brojkama s mjer-nim jedinicama, na isti nacin kao i u mjeriteljskih listama, no u postupku rjesavanja (3. do6.), podaci se pojavljuju se samo kao apstraktni brojevi izrazeni u seksadecimalnom zapisu.Mjeriteljske tablice su koristene za pretvaranje mjera u apstraktne brojeve za obavljanjeizracuna. Ovaj proces potvrduje cinjenica da odnosi izmedu mjera navedenih u izjavi i ap-straktnih brojeva koji se koriste u postupku odgovaraju odnosima danima u mjeriteljskimtablicama. To opazanje sugerira da su autori teksta koristili osnovne vjestine koje se uce upisarskim skolama. Slijed problema navedenih na ovoj plocici pruza priliku za koristenjemsvih mjeriteljskih tablica jednu za drugom, kao i tablica mnozenja i tehnika izracuna kojesu se ucile na srednjem stupnju (mnozenje, inverzije, izracunavanje povrsina i volumena).Sustavno se koriste sva znanja koja se stjecu u ranim razinama matematickog obrazovanja.Na ovaj nacin, mozemo pretpostaviti da je tekst sastavljen specificno za poducavanje ma-tematike. Mogao ga je napisati majstor ili napredni ucenik. Pregled drugih plocica slicnihYBC 4663, za koje se cini kao da dolaze iz istog grada, moze pokazati da su se, u ovomgradu, plocice tipa S koristile na pocetku naprednog obrazovanja.

2.3 Helenisticko razdoblje

Jaz u ocuvanju matematickih tekstova pojavljuje se nakon zavrsetka Starog babilonskog raz-doblja. Za kasnija razdoblja poznati su samo primjeri mjeriteljskih i numerickih tablica. Tekse krajem prvog tisucljeca prije Krista ponovno pojavljuju koherentni skupovi matematickihizvora. Dva mala opusa matematickih tekstova koji datiraju iz helenistickog razdoblja (cca.300 prije Krista) otkriveni su u Uruku i Babilonu. Tesko je znati da li ti korpusi iz kasnihrazdoblja odrazavaju svojevrsnu renesansu nakon duge pomrcine, ili da li se pisana mate-maticka tradicija nastavila kroz stoljeca. Prijenos elemenata matematicke tradicije tijekomtog dugog razdoblja prebacuje ravnotezu prema drugoj hipotezi. Napredni matematicki tek-stovi mogli su biti biljezeni na netrajnim materijalima poput koze ili papirusa, koji se ne bimogli oduprijeti vremenu. Kontekst helenistickog razdoblja radikalno se razlikuje od starogbabilonskog svijeta. Matematicki postupci su razvijeni od strane astrologa i astronoma kojisu bili povezani s velikim hramovima Babilona i Uruka. U helenistickoj Mezopotamiji, ma-tematicko obrazovanje bila je usko povezana s astralnim znanostima. Klinasto matematickopismo vise se nije ucilo djecu ili adolescente koji su stjecali znanja iz pismenosti i racunanja,kao sto je to bio slucaj u Starom babilonskom razdoblju, vec mlade znanstvenike koji suvjerojatno vec bili pismeni na aramejskom, a mozda i na grckom.

2.4 Drevni Egipat

Do utvrdivanja grckog kao jedinog upravnog jezika blizu kraja drugog stoljeca prije naseere, situacija u vezi egipatskih izvora matematicke nastave daje manje povjerenja nego kodklinastih ili grckih izvora. Prije svega, cijeli korpus hijeroglifskog i hijeratskog papirusabroji otprilike onoliko tekstova kao i korpus klinastih matematickih tekstova. Medu timpapirusima, prezivjela je samo nekolicina izricito matematickih izvora. Nema matematickihtekstova koji su prezivjeli od najranijih razdoblja egipatske povijesti, a hijeratski tekstovisrednjeg Egipata obuhvacaju samo tri relativno netaknuta papirusa. Takoder je prezivio i je-dan hijeratsko matematicki tekst na kozi. Ako se napravi siri pregled matematickih tekstovai u obzir se uzmu papirusi s izracunima, drugi rani matematicki tekstovi ukljucuju dijeloveReisner Papirusa i zbirku hijeratskih ulomaka iz Kahuna. Na to treba dodati dvije drvene

12

plocice iz Akhmima. Nakon proteka vise od tisucljeca, demotski tekstovi dodaju jedan cjelo-viti papirus i sest fragmenata i tri rimska ostrakona. Ni u jednom od tih slucajeva arheolozinisu utvrdili da su papirusi prezivjeli. Veci, cjelovitiji papirusi sadrze zbirke rjesenih za-dataka za pedagosko koristenje i djelomicne tablice korisne za racun. Pojedine djelomicnetablice sacuvane su medu manjim fragmentarnim papirusima i ostrakonima, ali vecina sadrzinezavisne izracune (Tablica 2.2).

Naziv egipatskog matematickog Priblizan datumtekstaReisnerov papirus −1970.− 1925.Kairo kat. 25367/8 −1970.− 1925.Kahun papirus −1880.− 1770.Berlin 6619 −1880.− 1700.Moskovski E4674 −1770.− 1650.; original-

1990.− 1770.BM 10057/10058 −1600.; original −1860.− 1815.Kozni svitak matematickog sadrzaja −1650.Kairo JE 8912730, 8913743 −300.− 200.BM 10794 −331.− 350.BM 10399 −331.− 30.Heidelberg 663 −200.− 0.Griffith I E.7 −100.− 100.BM 10520 100.− 200.Carlsberg 30 100.− 200.Ostrakoni Medinet Madi 251 0.− 200.Ostrakoni Medinet Madi 720 + 912 0.− 200.Theban ostrakon D12 0.− 200.

Tablica 2.2: Kronoloski raspon egipatskih matematickih papirusa

Ne samo da je prezivjelo malo matematickih izvora, vec i sustav nastave u starom Egiptunije poznat. Buduci da su se autori moralne ”nastavne literature”, poput Uputa Ptahhotepa,svojim citateljima obracali obiteljskim izrazima, najstariji nacin egipatske nastave moguceje zamisliti kao oca koji uci djecu.

Medutim, ova pretpostavka zanemaruje mogucnost da nacin obracanja samo koristi re-toricku umisljenost. Prvo spominjanje ”kuce nastave” pojavljuje se u grobnici desete dinas-tiji. Sastav pod nazivom Satira obrta opisuje kraljevsku skolu ali prisutnost stvarne skole nemoze se pretpostaviti. Nagadanja o egipatskoj pedagogiji usmjerila su se na element kom-pleksa hramova pod nazivom ”Kuca zivota”, no je li kurikulum ovog mjesta nastave imao siruprimjenjivost izvan hrama ostaje nepoznato. Onomastikon od Amenope biljezi popis poj-mova vaznih za ”pisare iz Kuce zivota” i slican je leksikografskim popisima iz Mezopotamije,no cini se da su Egipat i Mezopotamija koristili razlicite organizacijske strategije. Nakonsto je osvojio Egipat, Darije je nastojao obnoviti ”Kucu zivota”, koja je mozda sluzila kaoneka vrsta bolnice. Opet, prezivjelo je malo informacija o egipatskim metodama nastave, amatematika mozda nije ni cinila nastavni program svih pisara. Za razliku od Babilona, nemavelike kolekcije skolskih tekstova koji su prezivjeli, iako su pronadeni neki skolski tekstovi (izsame onomastike i popisa rijeci do knjizevnih kompozicija koji se koriste kao modeli poputPrica o Sinuhi). Veci matematicki papirusi tumaceni su kao pedagoski tekstovi jer su pred-

13

stavljali kolekcije slicnih vjezbi, no jesu li ti spisi cinili nastavni plan i program strucnjakaili specijalista opcenito ostaje nejasno. Kao sto prikazuju ostrakoni koji ponavljaju razliciteizraze za razlicite brojeve i spolove i drugi koji rasvjetljuju citanje odredenih hijeroglifa, cinise da je obrazovanje u gramatici i pisanju cinilo jedan dio aktivnosti hramskog kompleksa ugradu Medinet Madi, no ti dokumenti bili su pomijesani s administrativnim dokumentimai tekstovima korisnim za sastav planetarnih pozicija. Nazalost, neki od tih ostrakona suponovo koristeni kao gradevinski materijali, a specifican arheoloski status bilo kojeg tekstane moze se dati sa sigurnoscu.

Datum sastavljanja za najveci od papirusa, Rhindov matematicki papirus, podudara se ot-prilike s prvim osvrtom na ”mjesto nastave.” Rhindov matematicki papirus sadrzi ”model zaispitivanje o poslovima i znanje o svemu sto postoji”, no ne govori nista o preduvjetima zna-nja, namijenjenoj publici, ili kvalifikacijama pisara koji je savladao gradivo. Osim pokazanihtehnika, moze se pretpostaviti samo temeljna pismenost potrebna za citanje papirusa.

Ovaj prijevod naslova i uvoda u Rhindov matematicki papirus (Tablica 2.3) slijedi Couchoud-ov francuski prijevod. Unatoc bombasticnim obecanjima o rjesavanju svega sto je nejasnoi prodiranja u svaku tajnu, 87 prezivjelih primjena egipatskih matematike odnosi se naudvostrucenje razlomaka; podjelu razlomaka s 10; rjesavanje linearnih polinoma; nejednakuraspodjela dobara; pribliznu povrsinu kruga; geometrijske zadatke s pravokutnicima, troku-tima i piramidama; te zadatke razmjene i geometrijske nizove. Upotreba muskih zamjenica udrugom i trecem licu jednine odgovara dojmu da su samo muskarci obrazovani u matematici,mozda radeci pojedinacno s instruktorom ili nekim drugim ispitivacem.

Uvod u najpotpuniji demotski matematicki papirus nije ocuvan, ali neke osnovne procjenenjegovog pedagoskog stava mogu se izvesti iz cinjenice da dijeli papirus s prirucnikom pravnihformula. Bilo da su ti pripravci udzbenici ili reference ostaje otvoreno pitanje. Stovise,suprotstavljanje ovih dvaju tekstova moze biti slucajna posljedica ponovne uporabe od stranejednog pisara cija je obuka bila u oba podrucja ili namjerno krivotvorenje veze od straneucitelja koji je povezao ugovore o zemljistima s geometrijom.

Kao kontrapunkt pedagoskim papirusima, fragmentarni papirusi mogu ponekad predstav-ljati vise od puke radne biljeske za rjesavanje uobicajenih zadataka. Poseban fragmentKahunskih papirusa (Kahun IV.3) moze se odbaciti kao podjela robe, osim matematicki ra-zigranog uvjeta da se udjeli u robi povecavaju kao aritmeticki niz.

1. Tp hsb n h3t m ht rh ntt nbt snk < J > ... St3t nbt. Iw ist grt1: Model za ispitivanje o poslovima, za poznavanje svega sto jenejasno, (i desifriranja) svake tajne Stoga, sada.

2. sphr.n.tw sfdw pn m nipt 33 ibd 4 sht <sw ?? nsw>bity <-lA-wsr-K! di tnh m snt r ssw

2: ova rola papirus kopirana je u 33. godini vladavine,u 4. mjesecu sezone poplava, [dan ??] kralja Gornjeg i DonjegEgipta ”Moc Ra je velika” (Apophis), neka mu se podari zivot,u skladu sa spisima

3. n iswt iry m h3wt < n nsw bity Ny-W ><:t-R<.In ss ’Fh-msw sphr snn pn

3: iz starih vremena, nacinjenima u vrijeme kralja Gornjegi Donjeg Egipta ”Pripada pravdi Ra” (Amenemhat III).Pisar Ahmose je prepisao ovu kopiju.

Tablica 2.3: Naslov i uvod u Rhindov matematicki papirus

14

Iako po tom detalju tekst moze biti spasen iz korpusa ”dokumentarnih dokaza”, pedagoskipolozaj fragmenta ostaje nejasan. Uzeti zajedno, ovi tekstovi dopustaju grubu procjenuraspona egipatskog matematickih znanja i tehnike izracuna, ali specificne detalje o tome stoje cinilo osnovno znanje, sto je predstavljalo napredna znanja, kako su komunicirali ove teme,i kako su ocjenjivane kompetencije ostaje predmetom nagadanja.

2.5 Grcko-rimski svijet

2.5.1 Priroda grcko-rimskih izvora o poducavanju matematike

Kao sto pokazuju dokazi iz Mezopotamije i Egipta, moderno shvacanje matematicke nastavei ucenja u antici ovisi o prirodi dostupnih izvora. Grcko-rimski izvori znacajno se razlikujuod mezopotamskih i egipatskih. Radi jasnoce, moze se predloziti sljedeca pojednostavljenaklasifikacija. Prvo, tekstovi s vrlo interno koherentnim matematickim sadrzajem ponekad(ali ne uvijek) pocinju s predgovorima koji najavljuju pedagosku svrhu, koja je na posljetkuorijentirana prema filozofskom stavu. Ovi tekstovi su se prenosili kroz dugi lanac posrednika itime postali klasicni tekstovi u dugom tijeku grcko-rimske povijesti. Ovaj dugotrajan procesukljucuje ”popratne tekstove,” kao sto su marginalije ili neovisni komentari, koje moze bititesko razlikovati od ”izvornog teksta.” Spisi Euklida, Arhimeda i Ptolomeja pokazuju ovajnacin ugradnje.

Ostale vrste tekstova takoder se odnose na matematiku i matematicko obrazovanje, alisamo u smislu da su njihov sadrzaj i priroda u osnovi matematicki: ovi tekstovi opisujufilozofske ili kulturne projekte u kojima matematika igra vaznu ulogu. Platonova Republika,Vitruvijeva De Architectura ili Kvintilijanov Institutio Oratoria dijele postovanje premamatematici iako nisu istinski matematicki tekstovi.

Negdje izmedu ove dvije kategorije su knjizevni i filozofski izvori koji ponekad sadrzeizvatke iz izgubljenih matematickih radova. U tom slucaju, veci, enciklopedijski projektsadrzi vise izvadaka. Na primjer, Simplicius cuva izgubljene matematicke tekstove u svojimkomentarima o Aristotelu iz sestog stoljeca. U ovaj ”posrednicki” zanr spadaju tekstovipoput Uvoda u aritmetiku od Nikomaha iz drugog stoljeca ili Proklovih komentara o prvojknjizi Euklidovih Elemenata iz petog stoljeca, koji u osnovi pokusavaju ostvariti eksplicitan,filozofski projekt, no uvode matematicke sadrzaje kako bi postigli tu svrhu.

Cetvrti, izravni arheoloski dokaz matematickog ucenja i poucavanja prezivljava u oblikufragmenata papirusa, ostrakona i drvenih plocica, od kojih neki mogu biti povezani s nastav-nim kontekstom (iako je takva veza cesto problematicna). U slucaju drevnih matematickihznanja, takvi dokazi su oskudni i sastoje se od nepovezanih fragmenata bez jasnog konteksta.Takvi izvori priblizavaju se vrsti materijala koji je dosao iz starog babilonskog konteksta,cije bogatstvo omogucuje prilicno zadovoljavajucu rekonstituciju matematickog kurikuluma.

Peta, kategorija ”duha” gotovo je nalik egipatskim materijalima. Ova kategorija sadrziizolirane tekstove, poput problema na Akhmimskom papirusu ili zadataka iz ”mjeriteljskogkorpusa.” Ova kategorija proteze se na sofisticirane zadatke sadrzane u Diofantovoj Aritme-tici, cija struktura snazno priziva pedagosku zabrinutost, ali ciji znanstveni kontekst ostajenepoznat.

Dakle, kljucna cinjenica o tim izvorima je da su prve tri vrste navedene u gornjoj klasi-fikaciji dozivjele dugorocan proces ”klasifikacije” te su daleko najbolje zastupljene, dok suostale dvije kategorije slabo zastupljene. To ne znaci da se nista ne zna o matematickomobrazovanju u praksi, vec tocnije da je ono sto je ”sigurno” poznato nuzno razlicite prirodenego sto je gore objasnjeno o drevnoj Mezopotamiji i Egiptu: divergencija pristupa proizlazi

15

iz cinjenice da su temeljni izvori razlicite vrste. Ovo vazno priznanje implicira temeljnupristranost u nasem znanju o matematickom obrazovanja u tom kontekstu. Samo specificandio ”idealne” slike moze se otkriti bez pristupa mnogo bogatijoj paleti izvora.

Na primjer, tehnicki tekstovi u prvoj kategoriji, poput sacuvanih dijelova Euklida, Apo-lonija ili Arhimeda, prezivjeli jer su bili prenoseni, komentirani i ponovno iskoristavani zakontekst i namjenu izvan izvornih ciljeva svojih helenistickih autora. Djela kao sto su sastavipitagorejske skole ili izolirane figure poput Hipokrata s Kosa poznata su kroz erudicije kasnihznanstvenika poput Simpliciusa od Cilicije, ciji je rad pak prenosen i kopiran u kasnijim vre-menima. Simplicius je nastavio tradiciju drevnih znanstvenika poput Vitruvije, Plutarha,Athenaeusa, a mozda cak i Euklida, koji su sastavljali djela koja su djelovala poput en-ciklopedije drevnog znanja. Ovaj dugotrajan proces ukljucivanja i citiranja stoji kao opceobiljezje drevne znanosti i proteze se mnogo dalje od matematicke literature. Ovaj procesvodio je prijenos i ”klasicizaciju” drevne bastine knjizevnosti, filozofije i specijaliziranih pita-nja poput religijskih, medicinskih ili matematickih tekstova. Imajte na umu da ovaj fenomennije jedinstven za grcko-rimsku antiku: vec su mezopotamski pisari imali svoje ’klasike’, kaoi ’mrtve jezike’ koji su sluzili kao klasicni izvori.

Vecina grcko-rimskih izvora, moglo bi se (s pravom) smatrati ”iskljucivo” izvedenim pro-izvodima, za razliku od ”izravnih” dokaza u dokumentima u cetvrtoj kategoriji. Sacuvanirukopisi datiraju do srednjeg vijeka (osmo i deveto stoljece) za grcku knjizevnosti i kasneantike (peto stoljece) za latinsku strucnu literaturu. Ovi rukopisi predstavljaju dug pri-jenos kopija, koje ponekad ukljucuju prepisivanje i promjene formata. Kao rezultat toga,oni sadrze slojeve transformacija i biljeske napravljene tijekom povijesti prijenosa, cesto bezcvrstih nacina da se razlikuju verzije, tekstualne tradicije ili utvrdi datum izvora. Nazalost,posebice za matematicke izvore, gotovo i ne postoje komplementirane informacije od drugih,starijih izvora kao sto su skolski papirusi ili cak detaljni opisi matematicke prakse. Bio bipotreban veci broj dokumenata cetvrte kategorije da razjasni kako su ucenici osposobljavaniprije ili cak tijekom izucavanja slozenijih i ucenijih djela, kao sto su Euklidovi Elementi.Unatoc tom nedostatku, tekstualni ”prijenos” takoder bi trebalo smatrati cinjenicom odvelike vaznosti, iz najmanje tri razloga.

Prvo, proces u kojem su ti izvori postali klasicni4 tesko moze biti odijeljen od aktivnostiucenja i poucavanja. To ne znaci da se svaka marginalija u drevnom rukopisu ili bilo kojikomentar automatski odnosi na nastavne aktivnosti; ali, u mnogim slucajevima, aktivnostisastavljanja komentara i biljeski mogle bi uvjerljivo biti vezane za skolske aktivnosti. Takvipostupci mozda su samo prakticirani na visokoj razini u nastavnom planu i programu pi-smene osobe. U nekim slucajevima, dakle, mozemo nagadati o mogucoj strukturi ili sadrzajunastavnog programa za koji su sacuvane izravne marginalije. Ovaj odnos bi trebao bi bitipovezan s cinjenicom da u grcko-rimskom kontekstu, napredno, pismeno obrazovanje podra-zumijeva proucavanje, usmeno citanje i sastavljanje izvoda iz djela klasicnog korpusa koji jecinio ”krug znanja” (enkuklos paideia).

Drugi razlog je da je aktivcnost ˇitanja, sastavljanja izvoda, kopiranja ili komentiranjaklasicnih izvora, bilo da su matematicki u sadrzaju ili ne, bila cijenjena te je cinila dioonoga sto je Ineke Sluiter nazvao ”didakticka tradicija”. Pri tome se ne misli na aktivnostipoucavanja i njegovu ”konkretnu” tradiciju, vec na idealizirani skup vrijednosti koje su, une-zanemarivom broju slucajeva, napisane vrlo jasno. Takav je slucaj u uvodu u uredene ko-mentare, kao sto je Theonov komentar na Ptolemejev Almagest ili izuzetno razvijeni prologProklovog komentara na Euklidove Elemente I. Takvi dokumenti su mozda manje vrijedni zaono sto oni ukazuju o skolastickom karakteru odgovarajucih komentara nego o onome sto go-

4Ukljucujuci kopiranje, zapisivanje i pisanje memoranduma, sazetaka i izvoda

16

vore o vodecim idejama i kulturnim svrhama koje su im dodijeljene. Ovaj aspekt je pak teskoodijeliti od postojanja druge kategoriju gore navedenih izvora: grcko-rimska knjizevnost, po-sebno u filozofiji i retorici, sadrzi sofisticirane konstrukte opceg pojma sto znaci poucavanje iucenje, pa cak i sto bi trebalo znaciti. Poznati rani primjeri, sto se tice matematicke nastave,su Platonov Meno, Republika ili Zakoni, Izokratov Antidosis ili za rimskog svijeta Kvintili-janov Institutio Oratoria. Sva ta djela sadrze djelomicnu ili prosirenu raspravu o tome sto biuloga i priroda matematicke nastave trebala biti unutar opceg obrazovnog okvira, a potonjedaje svoj puni smisao i vrijednost prvome.

Treci razlog se izravno dotice gore spomenute pristranosti: po svojoj prirodi, ovi izvoriodrazavaju vrlo iskrivljenu sliku o tome sto je ukupnost ”drevnih matematickih kultura”mozda predstavljala, ukljucujuci i mnoge danas izgubljene pisane izvore, kao i ukupnost ne-pisanih kultura. Mnogi od (ako ne i vecina) drevnih pisanih izvora izgubljeni su slucajno.Stovise, te izvore mogle su koristiti i razraditi iskljucivo osobe koje su pripadale (vrlo)ogranicenoj eliti ”obrazovanih ljudi” - pepaideuomenoi. Dakle, oni miljei s nekakvom vr-stom matematicke aktivnosti i prijenosa znanja za kojima ostaju neznatni tragovi, ili kojinisu uspjesno istaknuli svoje specificne vjestine u standardnim uvjetima pismene kulture,gotovo su potpuno odsutni.

Prva dva aspekta trebalo bi pazljivo razlikovati od treceg, kako se na stvarne tehnike, kojesu lose dokumentirane, ne bi nametnuli dobro zastupljeni idealizirani opisi i koncepcije nas-tave. Ova mjera opreza takoder eliminira duboko ukorijenjenu pomutnju medu razlicitimpovijesnim razdobljima ili sumnjivim asimilacijama, kao sto su ceste tvrdnje da je temeljnasvrha Euklidovih Elemenata bila pedagoska. Problem s ovom tvrdnjom je da Euklid i njegovatocna svrha ne mogu biti izravno poznati jer nijedan dokument iz helenistickog razdobljase ne odnosi se na ova pitanja. Ono sto je sigurno je da se svrha Euklidovih Elemenatamoze tumaciti izvan cisto didakticke i da se prvo eksplicitno spominjanje didakticke svrheElementa pojavljuje tek nekih osam stoljeca kasnije u Proklovom komentaru u njegovoj pr-voj knjizi. U slucaju komentatora kao sto je Proklo, koji je takoder bio ucitelj,5 ta kasnijadimenzija vjerojatno bi se trebala tumaciti kao izravan odraz njihove vlastite didakticke za-brinutosti koju su lako mogli prenijeti na autore koje su komentirali.

Drugi vazan razlog za odrzavanje razlike izmedu idealiziranih opisa i stvarnih tehnikapoducavanja je da, dok su stvarna praksa i didakticki spisi po prirodi kratkotrajni, predgo-vori, komentari i slicno, zajedno s vrijednostima koje prenose, su visegodisnji po tome stoostaju otvoreni za daljnje prilagodavanje u kasnijim razdobljima. Imajuci sve to na umu,sada bi trebalo predstaviti neke rijetke, ali zanimljive naznake stvarne prakse poducavanjamatematike u odredenim kontekstima.

2.5.2 Tri moguca scenarija nastave matematike u kasnoj antici i sto se mozezakljuciti iz njih

U trecoj knjizi tzv. Matematicke zbirke6, polihistor Pappus od Aleksandrije iz cetvrtogstoljeca opisuje susret s nekim ucenicima iz Pandrosiona, zenskom uciteljicom geometrije isuparnikom Pappusa. Ucenici koje je susreo postavili su pred Pappusa nekoliko zadataka,koji je tada bio ohrabren od strane nekoliko svojih vrsnjaka da na njih odgovori. Vezanidogadaj je zanimljiv iz najmanje tri razloga.

5Vec u slucaju kasnijih komentatora Platona kao sto je Proklo, oni se smatraju nasljednicima (diadochoi)platonske tradicije koja je ukljucivala slavne matematicare kao sto su Euklid ili Nicomachus.

6Pappus vjerojatno nije autor zbirke kao takve, vec samo sastavnih pojedinacnih rasprava koje su stavljenedugo nakon Pappusovog vremena.

17

Gledano prvo kao jednostavno prepricavanje susreta, anegdota pokazuje da je agonistickii izazovan karakter grcke kulture, koji se istaknuo vec tijekom klasicnog i prvog sofistickograzdoblja, prezivio daleko u kasnoantickoj Aleksandriji i da se geometrija ubrajala medumoguce kontroverzne predmete. Ne samo cinjenica da su mladi izazvali Pappusa vec takoderi njegov sofisticiran odgovor na izazov oznacavaju prevladavanje retorickog modela ucenjai poucavanja. Upocujuci na to da su ucenici mogli nastaviti drugi nacin da su posjedovalivise znanja o temeljnim problemima. Ovaj model je zahtijevao da se stvarna vjezba raspravepoucava ucenicima kako bi im se omogucilo da postanu ukljuceni, posredstvom imitacije, upravila vodenja rasprava.

Gledano sada kao knjizevni sastav koji opisuje njegov susret s ucenicima na pomalo ideali-zirani nacin, filozofska prica otkriva vrijednosti koje stoje iza ove vrste izazova. U tu svrhu,Pappus se poziva na klasicnu debatu izmedu Speusippusa (Platonov necak) i Menaechmusa(Eudoxusov ucenik) o prirodi matematicke aktivnosti. Prvo je tvrdio da je matematikastvaranje teorija, a drugi je uzvratio da je to sve rjesavanje problema. S ovim klasicnim su-kobom u pozadini, Pappus identificira (i hvali) ucenike kao sljedbenike Menaechmusa (jer supredlozili rjesenja geometrijskog problema), te samog sebe kao sljedbenika Speusippusa. Ci-jelo ”pobijanje” izgradnje - i njegova mjesavina krivnje i hvale - slijede knjizevnu konvencijuza opisivanje takvih antagonistickih susreta zajedno s njihovim izrazenim etickim aspektima.

Treci aspekt susreta takoder zahtijeva pozornost: cijeli izazov temelji se na geometrijskimlikovima, predanima Pappusu u pisanom obliku, koje je ispravio ili dopunio u svom tekstu.To jasno sugerira da se stvarna rasprava o tim likovima, ako se ikada dogodila, oslanjala nafizicki oslonac, lik koji je, za ovu raspravu, igrao istu ulogu koju su i slike (eikones) igraleu drevnoj retorici kolektivne rasprave. Vise od toga ne moze se reci: Nisu nadeni nikakvitragovi koji bi nam mogli pomoci da shvatimo kako je geometrija ucena i objasnjavana uskolama.

U svojoj biografiji filozofa iz petog stoljeca Prokla od Likije, Marinus od Neapolisa opi-suje (medu ostalim fazama) i Proklovu izobrazbu i njegove nastavne metode, nakon sto jenaslijedio Syrianusa kao sefa novoplatonovske skole u Ateni. Kao i Marinus, Proklo je usvoje vrijeme navodno pokazivao dovoljno dobro poznavanje matematike da je pripremiokomentar prvoj knjizi Euklidovih Elemenata i znao dovoljno o Ptolomejevom Almagestu daga kritizira. Sto se tice Proklove izobrazbe, Marinus je jasno naznacio da su Proklovi bogatiroditelji, koji su bili priznati uglednici, dopustali Proklu da putuje od ucitelja do ucitelja,od kojih je stekao vjestine u rasponu od retorike i deklamatorike do matematike i filozofije.Sto se tice matematike, receno je da ga je izucavao stanoviti Hero, kojeg Marinus imenujekao aleksandrijskog filozofa. Prema Marinusovom opisu, cini se da je junak vjerojatno ucioProkla neopitagoreskoj matematici korisnoj za razumijevanje Platonove Timeje i teurgijskihtehnika u Herovom vlastitom domu. Potonji aspekt nije neuobicajen: bogati ucenici koji pu-tuju od mjesta do mjesta i od jednog ucitelja do drugog cesto bi stanovali sa svojim uciteljimai postali neka vrsta duhovne djece, zvane gnorimoi (rodbina ucitelja). Stovise, ovi detaljipokazuju da vrsta matematike koja je poucavana vjerojatno ne predstavlja specijaliziranutemu, vec dio filozofski orijentirane nastave, koju je tesko odijeliti od citanja Platona.

Kao atenskog profesora filozofije i matematike, intelektualna aktivnost Prokla predstav-ljena je u dva sacuvana komentara (Euklida i Ptolomeja), a takoder i Marinusovog opisanjegove uobicajene pedagoske tehnike.Prema Marinusu, Proklo se susreo s ucenicima s kojima je vodio kriticku raspravu o tradi-cionalnim i raznolikim materijalima. U vecernjim satima, on ce napisati zapisnik o svojimnalazima, tako da postojeci komentari vjerojatno predstavljaju redakcije iz njegovih pred-meta. Arheoloski ostaci onoga sto je mogla biti Proklova kuca u Ateni nisu pokazali nikakvo

18

posebno didakticko okruzenje. Ipak, ti detalji ukazuju da je proucavanje klasika, koliko zamatematiku tako i za druge predmete, bilo jezgra napredne nastave. Klasici koji se spomi-nju u ovom kontekstu, kao sto su postojeci komentari nisu bili ”matematicki” u bilo kojemrestriktivnom smislu, no ukljucivali su mnogo siri krug znanja, ukljucujuci Aristotelova iPlatonova djela.

Slika ucitelja okruzenog ucenicima zeljnih znanja za koje je opsezno znanje klasicnih djelabio preduvjet takoder se cini temeljem razlicitih predgovora koje je napisao Theon Aleksan-drijski, komentator iz druge polovice cetvrtog stoljeca, koji je razjasnio Ptolemejev Almagest.Tu se takoder, osnovni materijal tecaja sastoji od klasicnih djela, ne samo Ptolomejevog trak-tata vec takoder i klasicnih geometrijskih traktata i drugih Ptolomejevih komentara, za kojeTheon potice ucenike da ih usporeduju s njegovima. U tom slucaju, postoje dobri razlozi zavjerovanje da se zamjetan dio Theonove publike sastojao od astrologa.

Navedeni primjeri, koliko god zanimljivi, predstavljaju samo mali i pristran uzorak razlicitihdidaktickih okruzenja koja su mozda postojala u antici. Treba napomenuti da svi ovi pri-mjeri spadaju u kasnu antiku, za koju posjedujemo znacajan broj svjedocanstava o nastavi,iako prikazanih na idealiziran nacin i prema preciznim knjizevnim konvencijama.7

Neki aspekti tih svjedocanstava ipak su potvrdeni od strane arheoloskih zapisa, posebnonedavnih otkrica auditoria od strane Kom el-Dikka iz Aleksandrije u petom stoljecu. Takodertreba napomenuti da se ta izvjesca iskljucivo odnose na elitno poucavanje i ucenje. TipicnoMarinusovo svjedocanstvo o Proklovoj izobrazbi jasno daje do znanja da je izravno zapoceoskolovanje izvan kuce s ”grammatikos-om”; svo osnovno obrazovanje koje je dobio moraloje po svoj prilici biti ostvareno kod kuce, zahvaljujuci njegovim bogatim roditeljima, a ne ubilo kakvoj ”osnovnoj” skoli.

Za ranija razdoblja, i iz ostalih vrsta dokaza (poput rijetkih prezivjelih papirusa), urodeni”klasicni” karakter anticke nastave takoder je potvrden, no pojavljuju se naznake vezaneza osnovnu nastavu, kao sto su vjezbe jednostavnih izracuna - dijela matematickog obrazo-vanja koje je sveukupno vrlo lose zastupljeno u matematickim radovima ili komentarima.U Theonovim komentarima ili tzv. Prolegomenima Almagesta, postoje zapisi o tehnikamaracunanja, ali ono ni su vrlo elementarni i odnose se na zapise u seksagezimalnom brojevnomsustavu, koji se koristi samo za astronomske (a time i napredne) izracune uvezene iz drevneMezopotamije. Stovise, upravo zato sto su objasnjeni u takvim traktatima, ovaj stil izracunacini se da je malo vjerojatno poducavan na osnovnoj razini. Skolske vjezbe pronadene napapirusu ili ostrakonima obicno je vrlo tesko smjestiti tocno u smislu razine i svrhe.8 Nekiod njih, medutim, mora da su se odnosili na strucno usavrsavanje specijaliziranih robovapoput pisara ili racunovoda.

Konacno, arheoloske naznake prizivaju vrlo razlicita okruzenja poucavanja, poput Egiptau rimsko doba, gdje su postojali hramovi u kojima su se bavili astroloskim proracunima kaoi astrolozi koji su bili specijalizirani u astralnim znanostima i matematici u Mezopotamijitijekom helenistickog razdoblja.

Svi ovi elementi, koliko god rijetki i ograniceni, pokazuju da svakako ne bi trebali ge-neralizirati sliku koju pruzaju knjizevna svjedocanstva, kao sto Pappus, Theon ili kasnijinovoplatonovci. Postojanje tih svjedocanstava proizlazi iz izbora izvora u odnosu na njihove

7Ovu posebnost je najbolje objasniti cinjenicom da ovo razdoblje karakteriziraju, izmedu ostalog, nasilnisukob razlicitih kulturnih i didaktickih modela, posebno izmedu krscanskih i poganskih modela, sto je doveloda svaka stranka istakne i ucinkovito predstavlja te vrijednosti

8H.I. Marrou, u svojoj kratkoj raspravi o poucavanju osnovnog racuna, vec je upozorio na previse jednos-tavnu identifikaciju papirusa s matematickim sadrzajem za koje se tvrdi da odgovaraju skolskim vjezbama.Suvremene rasprave to potvrduju.

19

kulturne vrijednosti i knjizevne sofisticiranosti (a time i njihove vrijednosti za samo elitnodrustvo), kao i iz veceg znanja o drevnom obrazovanju u Kasnoj antici nego o bilo kojemdrugom razdoblju grcko-rimske antike.

Sto se tice ove slozenosti, dva moguca pristupa nude razjasnjenje. Prvo, mogao bi serekonstruirati rasireni skolski kurikulum koji bi predstavljao razlicite slucajeve grcko-rimskeantike, a posebno razliku izmedu osnovnog i naprednog obrazovanja. Iako ovaj pristupfunkcionira za druge kulturne kontekste, kao sto je drevna Mezopotamija, ustanovit ce seda je vrlo problematican i donekle neprikladan za grcko-rimsku antiku. Zbog tih problema,mogao bi se usvojiti oprezniji i ”lokaliziran” pristup, koji se bavi razlicitim elementimagrcko-rimskog drustva koje se potencijalno bave matematickim obrazovanjem.

2.5.3 Sporovi o postojanju i prirodi skolastickog kurikuluma u grcko-rimskojantici

Nastavni plan i program obrazovnog kurikuluma u antici se mogu podijeliti na tri uzastopnefaze, oznacene kao osnovne (ili elementarne), sekundarne i tercijarne ili vise. Svaka faza imalaje svoje nastavnike i skole. Ako se u obzir uzme samo sadrzaj, prva faza odgovara prvomstjecanju osnovne pismenosti (vjestine citanja i pisanja) i racunanja (vjestinu racunanja sjednostavnim operacijama); druga faza odgovara proucavanjem napredne literature, osobitopoezije, s naglaskom na vjesto citanje do razine knjizevne kritike i na kraju ukljucujuci ineke pouke u visoj matematici; te posljednja faza odgovara uˇenju retorickih vjestina i dru-gih naprednih domena (filozofija, medicina, pravo). Tradicionalno glediste daje jednostavnuinterpretaciju tih razlicitih razina kao predstavnika kurikuluma koji vodi od osnovnog doviseg obrazovanja, s posebnim uciteljima i lokacijama za svaku razinu: ”ucitelj slova” (gram-matistes ili ludus litterarii) za prvu razinu;”gramaticar” (grammatikos, grammaticus)9, amozda i drugi profesori (u geometriji, aritmetici, astrologiji?)10 za drugu razinu; i retoricari,ucitelji medicine ili prava, te filozofi za posljednju razinu.U ovom alternativnom pogledu, osnovna nastava trebala bi se smatrati u osnovi odvojenimputem za ljude na nizoj drustvenoj razini (ukljucujuci robove), dok su skole za grammatikoiebile rezervirane za visu elitu.

Prihvaceno je stajaliste da nijedan model ne vrijedi jednako za cijelu antiku ili u cije-lom mediteranskom svijetu. Model o odvojenim putovima je svakako prilagodeniji velikimgradovima antike, dok je situacija u malim mjestima, s nekoliko ucitelja i vrlo specificnimpotrebama, bila mnogo sarolikija. Ustvari se moze zakljuciti da ”su diljem Carstva postojaleskole svih oblika i vrsta, ovisno o lokalnim potrebama, ocekivanjima i resursima”, te ”u svi-jetu bez centraliziranog smjera obrazovanja bilo koje vrste, to je jedino sto treba ocekivati.”Ako se niti jedan model ne moze primijeniti na sve (poznate ili nepoznate) nastavne situacijeu antici, onda je vrijedno detaljno definirati glavne razloge zasto se moderan kurikulum u tristupnja ne moze smatrati valjanim. Prvi razlog je vec spomenut: dovoljno izvjesca pokazujeda se, u mnogim slucajevima, razne ”faze” obrazovanja nisu ticale istih ljudi, pa mozda ninema faza, vec samo referencije na razlicite nastavne sadrzaje za razlicite ljude. Kurikulumelite, koji je prirodno bio prekomjerno zastupljen u drevnoj knjizevnosti, odnosio se na iste

9Pojam ”grammaticus” ne treba shvatiti kao ekvivalent naseg modernog ”gramaticara”, koji danasoznacava specificnu disciplinu. Iako je potonji prvi put izgraden u antici, nadleznost ”grammaticusa”kao ucitelja bila je mnogo sira od puke ”gramaticke” analize knjizevnih i pjesnickih tekstova: ovo ucenjeukljucivalo je temeljito upoznavanje citanja i analizu karakteristicnog korpusa pjesnika i klasicnih pisaca.

10 Neka ”idealizirana” svjedocanstva aludiraju na postojanje takvih ”posebnih” strucnjaka, ali tasvjedocanstva su neizvjesna i nejasna. Tu je ponesto, iako oskudnih, dokaza o takvoj matematickoj nas-tavi na sekundarnoj razini.

20

ljude i snazno je obiljezen relativno ujednacenom i dobro definiranom idejom kulture pisme-nosti koja je obuhvacala ogranicen skup klasicnih autora i dobro utvrdene vrste vjezbi kojesu prakticirane u izobrazbi, od citanja do kriticke analize. Ali cak i tada, poredak studija uovoj fazi nije potpuno fiksan i ovisi o pojedinim nastavnicima i duljini studiranja na temeljufinancijskih mogucnosti svakog ucenika, a broj ucenika smanjivao se s brojem godina ucenja.Ova karakteristika odgovara strukturi i sadrzaju drevnog ucenja, koje je tezilo produblji-vanju razumijevanja i proucavanja klasicnih tekstova, a ne postizanju odredenog cilja krozakumulacijski proces. Isti tekstovi, nanovo su izuavani no svaki put na dublji nacin sve dokih ucenik ne bi bio u stanju samostalno, kroz imitiranje i impregnaciju, sastavljati ili reciti-rati. Stovise, broj razlicitih elitnih ”zanimanja” koja su koristila ovaj sekundarni kurikulumpokazuje da ”sekundarni i tercijarni” kurikulumi nisu jedinstveni.

Drugi razlog je da ne postoji jasan dokaz nedvosmislene podudarnost izmedu tih triju ”ra-zina poucavanja” i nadleznosti pojedinih nastavnika. Dakle, osvrnimo se na problem o kojemse najvise govori u gore spomenutim studijama, isti nazivi ucitelja, poput ”grammatists”,mogla bi se zapravo odnositi na razlicite sadrzaje ili razine, od osnovnih do ”sekundarnih”.Isto tako, grammatikoi bi mogao pripremiti ucenike za veca postignuca, bilo retoricka ili fi-lozofska. Dakle, poznati filozof John Philoponus sluzbeno je bio ”gramaticar”, ali je poznatoda je bio filozof i komentirao matematicke tekstove. To takoder znaci da ista osoba mozepoucavati na razlicitim razinama, ponekad u isto vrijeme.

Treci razlog je da su cesto, ucenici razlicitih razina ucili zajedno, sve u istom prostoru, ane u odvojenim ucionicama organiziranima prema ucenju. Opcenito, mjesta nastave, ako ihje bilo (neki ucitelji su radili na ulici), ne mogu se lako identificirati; kada se mogu, moglisu pripadati razlicitim javnim zgradama, od vjezbaonica do kazalista ili hramova. U stvari,ono sto je ”skola” znacila u antickom smislu, trebalo bi razumjeti u osobnom smislu: kaokrug studenata koji se okuplja oko ucitelja.

Napokon vecina napisa ili papirusa, posebno onih koji se mogu naci u malim mjestimadaleko od velikih urbanih centara u Rimu, Aleksandriji ili Antiohiji, pokazuju da su pri-sutnost nastavnika, kompetencije i misija izrazito ovisili o lokalnom kontekstu. To je za-pravo glavni razlog zasto treba ostati oprezan kad se govori o ”standardnim”, suvremenim isvjedocanstvima o antickom obrazovanju, kao kod Kvintilijana.

2.6 Razliciti oblici nastave matematike za razlicite dijelove drustvai strucne krugove

Sacuvani izvori cuvaju puke naznake o pojedinim mjestima i okruzenjima u kojima je ma-tematika poducavana u grcko-rimskom razdoblju. Vise od toga se u biti ne zna, kao stopokazuju poteskoce pri rekonstrukciji jedinstvenog skolskog kurikuluma tog razdoblja. Ustvari, na raznim mjestima, razdobljima i razinama u drustvu u kojem je odredena vrstamatematike prakticirana na razlicite nacine ostali su samo fragmentarni dokazi ili gotovonikakvi tragovi. Unatoc tom manjku informacija, neki ljudi izvan elite mozda su se bavilimatematickom izobrazbom.

2.6.1 Osnovno ili specijalizirano poducavanje aritmetickih vjestina: Robovi ioslobodenici, strucni pismoznanci i racunovode

Kao sto je spomenuto, na papirusima je pronadeno malo dokaza koji bi se mogli protumacitikao skolske vjezbe. Dostupni dokazi moraju se provjeravati prema slozenoj i ”nejasnoj”pozadini matematickog obrazovanja. Osim nekoliko papirusa koji bi se mogli tumaciti kao

21

da proizlaze iz proucavanja Euklidovih Elemenata i zato sto pripadaju ”sekundarnoj” ra-zini, takoder je pronadeno i nekoliko tablica mnozenja i dijeljenja. No, problem je da li sute vjezbe pisanja pripadale osnovnoj razini, pripadaju vise specijaliziranim programima zapisare. Pisane vjezbe iz racunanja, pogotovo zbrajanja, mogle bi naprotiv biti iznimka, ane pravilo: osnovne operacije su vjerojatno ucene i prakticirane usmeno ili pomocu aba-kusa. Naprednije vjezbe mozda su obavljane od strane pisara i racunovoda vec na obuci,ovisno o kvaliteti njihovog pisanja. Posto se svladavanje takvih vjestina cinilo stranim duhui sadrzaju ”sekundarne” nastave, ovaj vid obrazovanja moze se vjerodostojno tumaciti kaoproizvod naprednih robova koji su obuceni da budu notari (profesionalni pisari) ili kalkula-tori (racunovode) koji su zavrsavali strucno osposobljavanje. Ne iznenaduje, s obzirom naopcu pozadinu i prirodu takozvane ”osnovne” razine nastave kao i neizvjesnosti o njezinojstvarnoj prirodi, da matematicka dokumentacija koja se moze smatrati ”skolskom” nije nistamanje nejasna i neizvjesna. Dio je, ipak, mogao odgovarati specijaliziranim kurikulumimakoji su se odnosili na ljude (ukljucujuci i robove) s niskim socijalnim statusom.

U svakom slucaju, cjelokupna klasifikacija i proucavanje tih fragmenata jos uvijek su otvo-reno pitanje, a postizanje pozitivnih rezultata kroz takav studij ostaje neizvjesno zbog malogbroja dokumenata.

Medutim, vazno je istaknuti aspekt ciljane publike. Ciljana publika odnosi se na miljekoji je mogao biti zainteresiran za te ideale i, u odredenoj mjeri ih zastupati: definiranjeidealnog kurikuluma izrazavalo je zajednicke kulturne vrijednosti koje definiraju ne samomilje, vec i svoj raison d’etre. Jedan klasican primjer je slucaj drevne astrologije. Za ljudeiz antike, astrologija je podrazumijevala zahtjevnu i kompletnu obuku i majstorstvo sofis-ticiranog opsega znanja i detaljnih tehnika. Opcenito, dakle, definicija kulture, ukljucujuciidealiziran sustav obrazovanja, cini dio drustvenog identiteta u antici. U nastavku dajemopregled matematicke izobrazbe u razlicitim obrazovnim krugovima.

2.6.2 Matematicko obrazovanje kao dio filozofskog obrazovanja

Matematicki predmeti su smatrani izuzetno prikladnim za kurikulum filozofskog obrazovanja.Posebnu povijesnu vaznost imaju u tri filozofska ucenja.

U prvom ucenju, Theon se posebno oslanja na koherentnu organizaciju matematickih zna-nja, osobito cetiri znanosti (aritmetika, geometrija, astronomija i glazba), koja su kasnijeformirale skolski kvaadrivij na rubu srednjeg vijeka. Drugo ucenje je filozofski nacin Ptolo-mejeva zivota, usmjerenog na studij matematike, osobito vrste matematike koja se odnosina kretanje zvijezda i moze donijeti dusu filozofa blize ovom kozmickom kretanju. Iako jeovaj ideal u osnovi platonski u duhu, ne podreduje ucenje matematike na visim ucenjima(kao sto je dijalektika), vec, naprotiv, preporuca matematiku kao najvise filozofsko ucenjeiznad svih ostalih.Almagest, u skladu s tim, strukturiran je kao osnova takve filozofske studije i uzdizanja uma.Ovo ucenje, povezan s ovom impresivno dobro organiziranom izlozbom anticke astronomijeu Almagestu, pokazao se vrlo utjecajan tijekom kasne antike, srednjeg vijeka, pa sve do ranognovog vijeka.

Posljednji filozofski ideal je onaj Izokrata, Sokrata i drugih ucenika osim Platona. Izokratse pokazao utjecajan na utemeljitelje klasicne Latinske retorike, Cicerona i Kvintilijana. UIzokratovoj filozofiji, matematicka izobrazba je nuzna ne po sadrzaju vec zbog ucinka kojiposjeduje kao sredstvo izobrazbe, vodeci studenta prema analognim, ali visim studijima. Onje dakle formirao ideal matematike kao pripremnu fazu u retorickom obrazovanju.

22

2.6.3 Matematicka izobrazba kao dio astroloske i astronomske izobrazbe

Ako se Ptolemejev ideal moze promatrati kao nasljede filozofske literature, zbog ucestalogspominjanja djela velikih filozofa (Platon, Aristotel, Stoici), mogao bi se takoder razumjeti uodnosu na tradiciju i kulturu koju dijeli s drevnim astrolozima. U sklopu nastavnog plana iidealnog osposobljavanja astrologa, izracuni polozaja zvijezda kako bi se uspostavio astroloskigrafikon kao neizostavni prvi korak u standardnoj izobrazbi astrologa koja je prosirena nasavladavanje potrebno za razumijevanje astroloskih pojava

Medu tim drevnim prikazima astroloske izbrazbe, vjerojatno je najsofisticiraniji onaj za-biljezen u Ptolemejevom tzv. Tetrabiblosu, u kojem je astronomsko znanje potrebno zaizracunavanje predstavljeno ne samo kao neizostavni dio znanosti u vezi s ”fizickim” ucincimaplanetarnih polozaja na podmjesecna dogadanja, vec i kao znanost pozeljnu samu po sebi(s osvrtom na Almagest koji se predstavlja kao samostalni traktat). Dostupni zapisi poka-zuju da su grcko-rimski astrolozi morali pribjeci proracunima tehnika koje nisu kinematicketablice koje zagovara Ptolomej. Ipak, Ptolemejev astronomski tekst postao je predmetomkomentara do cetvrtog stoljeca, cime se posvetio pedagoskim idealima iznesenima u Alma-gestu i napredovanju u novim smjerovima.11 Vaznost Ptolomejevog djela lezi upravo u tomekako je tehnicku raspravu o astronomiji pretvorio u klasicno znanje, podlozno komentarima.

Sadrzaji komentara Ptolemejevog Almagesta i Prakticnih tablica samo su djelomicno uredeni.Vecina njih vjerojatno odrazavaju pedagoske djelatnosti, ciju preciznu narav je tesko rekons-truirati. Koristenje geometrijskih dijagrama za objasnjavanje ili detaljno tumacenje pos-tupaka, objasnjenje ”osnovnih” operacija u seksagesimalnom sustavu, ili mnoge upute namnemotehnicke sheme najvjerojatnije odrazavaju nastavne aktivnosti namijenjene upotrebislozenih sadrzaja Ptolomejevih djela.

2.6.4 Matematicka izobrazba kao dio izobrazbe mjernika, inzenjera i arhitekata

Bogata raznolikost povijesnih izvora, razlike u socijalnom statusu njihovih autora i razlicitetocke gledista, izuzetno kompliciraju danasnja saznanja o grcko-rimskoj tehnologiji i njezinimstrucnjacima . Osim vrlo utjecajnih i sacuvanih djela poput Vitruvijeve De Architecturae,neki od izvora na ovim podrucjima, su sacuvani u tako losem, kaoticnom i nesredenomstanju da je proucavanje njihovih sadrzaja i dalje u tijeku. Cak i pokusajem da se povukuostre razlike izmedu arhitekture i izgradnje uredaja za zemljisne izmjere, primjerice, dovodibrzo do korjenitih problema. Takoder, drustveni status autora ili citateljstva povezanihrasprava je vrlo nejasan. Dakle, ako nema mnogo sumnje da su se neki autori zemljomjernicke(geodetske) literature izjasnjavali kao pripadnici neke dobro definirane profesije (mensores),drugi, poput Frontinusa ili Vitruviusa, imali su utjecajniji drustveni status s politickimodgovornostima, a time su pokrivali siri raspon tehnickih tema. Pokazuje se da postoje ivaljani razlozi da se smatra kako je cak i medu ”profesionalnim” rimskim mjernicima koji suradili tijekom Rimskog carstva, postojao citav niz funkcija i drustvenih statusa s razlicitimvrstama izobrazbe.

Rimski mjernici se mogu podijeliti u cetiri kategorije: mensoresa, prema njihovoj funkcijii drustvenim pozicijama: mjernici (a) koji su sluzili u vojsci, (b) koji su bili u sluzbi cara, (c)koji su bili zaposleni (ili porobljeni) od strane opcina, i (d) koji su bili privatni ili nezavisni.Prvi su morali biti obuceni u vojsci, prema odredenoj tradiciji o kojoj nemamo podatke.Sto se tice carskih duznosnika, nagada se da njihova tipicno grcka imena i postojanje grcke”tehnicke” tradicije u mjeriteljstvu pokazuju da su bili robovi ili oslobodenici koji su dobili

11Ovi komentari doista se mogu smatrati, barem djelomicno, kao svjesni imitacije Almagesta.

23

obrazovanje u Aleksandriji; specificni ”gradanski” kurikulum dvije posljednje kategorije jenepoznat, ali postoji dobra sansa da je sadrzaj CA zapravo razvijeni i/ili se koristio u ovomkontekstu.

Doista, iako su izvori bili nevjerojatno raznoliki i slozeni, nema sumnje da se zamjetandio odnosio na pedagoske svrhe. Nadalje, dio odgovarajuceg treninga ukljucivao je ma-tematicke vjestine i znanja astronomije, geodezije, izmjere zemljista, probleme mjerenja itehnike racunanja. Konacno, sadrzaj ovog korpusa bio je utjecajan na srednjovjekovnu irenesansnu matematicku nastavu, a njihova vaznost ne moze se podcijeniti.

Radi jednostavnosti, neke opce znacajke tih izvora te njihov temeljni nauk pozadina moguse ugrubo skicirati. Prvo, ti izvori sadrze idealizirane prikaze nastavnih planova i programa,kao i sofisticirane rasprave o De Architecturai, knjizi I i knjizi IX, ili Pappusovoj Mate-matickoj zbirci VIII, koja bi mogla dijelom proizlaziti iz izgubljenog uvoda u Herovu Me-haniku. Ovi tekstovi znacajno obiljezavaju matematicke vjestine kao osnovno ovisne o sirojkulturi arhitekta i korisne za tu kulturu. Takve rasprave o korisnosti matematicke izobrazbeunutar veceg intelektualnog okvira takoder su obiljezje adekvatne grcke literature. Vitru-vije i Pappus/Hero takoder inzistiraju na vaznosti razvijanja kreativnih sposobnosti kojekombiniraju teorijske pretpostavke s prakticnim vjestinama.

Ova posljednja tocka odnosi se na drugu znacajku spomenutih izvora: znacajni dijelovitih izvora organizirani su kao niz problema koji su cesto rasporedeni po poretku rastuceslozenosti. Ova organizacija ide od jednostavnih, prakticnih motiva do vise teorijskih ididaktickih problema. Problemi kao sto su mjerenja obicno su popraceni algoritmima zaizracun opcenito povezanima s pedagoskim aktivnostima ili namjenama, iako tocna veza nemora biti ocita na osnovnoj razini nastave.

Ovi materijali su sacuvani prezivjeli su u stanju duboke konfuzije i nereda, cesto objasnjenicinjenicom da su se izvorni tekstovi znacajno promijenili i reorganizirali tijekom cijele svojepovijesti, ponekad i za pedagoske svrhe. Originalni izvor, ali i mnoge druge mogle su bitidodane kasnije, neke u pedagoske svrhe.

Znanstvenici cesto napominju da u sacuvanim materijalima cesto nedostaju znacajni di-jelovi. U slucaju latinskih agrimensoresa, cesto se javljaju jasne aluzije na izgubljene grcketehnicke rasprave o srodnim temama. Herova Dioptra cesto se spominje kao moguci izvor,ili barem kao teza slicna u naravi ovom izgubljenom materijalu, ali po svemu sudeci to jesamo vrh ledenog brijega. Ovo je dobar primjer teme za koju je vjerojatno izgubljena vecinamaterijala.

2.6.5 Matematicko obrazovanje kao dio nepoznate kulture aritmetickog rjesavanjaproblema

Konacno, moramo spomenuti Diofantovu Arithmeticau, jednu od najzagonetnijih mate-matickih rasprava antike. Iako nije sigurno, rasprava je mozda sastavljena u kasnoj antici,oko treceg stoljeca, ali njezin autor nije poznat. Rasprava sadrzi 13 knjiga aritmetickihproblema (zadaci i rjesenja) sest knjiga je na grckom, a cetiri dodatne su pronadene u arap-skom prijevodu. Dugi Predgovor je prezivio na grckom, a strukturiran je oko didaktickogprojekta: kako bi se citatelju ove rasprave omogucilo da razvija sposobnost inovativnostikod aritmetickih problema. Problemi i njihovi tretmani doista su rasporedeni redosljedomkoji omogucava stjecanje citavog niza specificnih tehnika korisnih za rjesavanje problema.Stovise, pozivanje na retoricki pojam izuma (heuresis) usmjerava prema utjecaju visoke kul-ture i retoricke izobrazbe u strukturi rasprave. Prema Diofantovim vlastitim rijecima, cijelinjegov tretman je organiziran kao utiranje puta (hodos) prema citatelju, primjer koji bi onmogao imitirati.

24

Nema sumnje da se rasprava izravno odnosi na jasno definiranu didakticku strategiju nalikna tehnike koje su se koristile u drevnoj retorickoj izobrazbi. Ono sto gotovo u potpunostiizostaje je veca pozadina aritmetickih problema proucavanih u sklopu ”logisticke tradicije”.Ovaj izraz se obicno odnosi na rjesavanje problema i tradicionalan izracun koji je slican arit-metickim problemima koji su prakticirani tisucljecima u drevnoj Mezopotamiji ili drevnomEgiptu ili nakon toga u Srednjem vijeku.No, sto se tice grcko-rimske antike, postoje samo nagovjestaji i vrlo malo ocuvanih dokume-nata koji tvrde da je takva tradicija postojala : vecina toga je nestala. Diofantovi problemimogli bi se tumaciti kao ”apstraktni” problemi srodni skolskim i ad hoc retorickim proble-mima izumljenih radi retorickih vjezbi.

Diofantova Arithmetica, dakle, moze biti vrh jos jednog ledenog brijega, velicanstven iizoliran ishod mnogo vece i rasirenije tradicije nastave aritmetike kroz rjesavanje problema,za koje nema skoro nikakvog traga u sadasnjosti.

25

3 Ucenje matematickih znanosti u islamskim drustvima

3.1 Uvod

Matematicke znanosti u islamskim drustvima sastoje se od cetiri teorijske discipline: teorijabrojeva, geometrija, astronomija i glazba (teorija razmjera) - te raznih poddisciplina i grana,kao sto su algebra, magicni kvadrati, optika i arhitektura, iako su ove komponente varirale odautora do autora, od razdoblja do razdoblja, i od mjesta do mjesta. Teorija brojeva ubrzoje postala ukorijenjena u vecem podrucju hisab-a (aritmetike kao znanosti o racunu) kaosto sugeriraju klasifikacija znanosti koje su sastavljene u desetom stoljecu i prvo poglavljeteorije brojeva u Rasa’il Ikhwan al-Safa’. Profesionalni interesi u podrucjima matematickihznanja protezali su se jednako na nekoliko podrucja, posebno prava i njegove grane nas-ljednog prava, izmjera, astrologije i glazbe. Ucenici koji su pohadali nastavu matematikekasnije su drzali pozicije kao suci, svjedoci, vjestaci za nasljedno pravo, mujezini, muvekiti(nova specijalizacija u nastajanju krajem trinaestog stoljeca u memlucima Sirije i Egipta),geodeti, muhandisun-i (graditelji kanala za navodnjavanje; mehanicari odgovorni za gradnjui odrzavanje fontana, vodnih kotaca i slicnih strojeva, arhitekti), tajnici i poreznici, astrolozi,glazbenici i nastavnici. Institucije u kojima su sluzili bile su dzamije, medrese (visoke skole),mektebi (osnovne skole), sudovi, divani (tijela civilne i vojne uprave), te, ponekad, bazar.

Tijekom prvih stoljeca aktivnog matematickog zivota u islamskim drustvima (krajemosmog do kraja dvanaestog stoljeca), vecina matematickih tekstova koje poznajemo, zahva-ljujuci povijesnim kronikama, katalozima, ili enciklopedijama, prijevodi su grckih, srednjeperzijskih i sanskrtskih spisa o geometriji, teoriji brojeva, teoriji glazbe ili astronomije. Izda-nja i komentari ovih prijevoda kao i novo sastavljene rasprave odrazavale su zelju za ucenjemi radoznalost za otkrivanjem.Mnogi od tih tekstova predstavljaju naprednu razinu matematickih znanja. Oni medu njimakoji su nesumnjivo bili posljedica poducavanja ili privatnog ucenja glavnih udzbenika kaoEuklidovih Elemenata usredotocili su se na specificne teme kao sto su vjezbanje drevnih me-toda tahlıl i tarkıb (analize i sinteze), pronalazenje alternativnih dokaza poznatih teoremaili vjezbanje konstrukcija. Oni se bave najelementarnijim matematickim problemima pogod-nima za nekoga tko je zelio uci u svijet filozofskih znanosti kojima su matematicke znanostipripadale u tom razdoblju. Takve aktivnosti ucenja cesto su se odvijale na sudovima iliu kucama dvorjana. Ostali elementarni tekstovi odrazavaju potrebe pravnih strucnjaka zaizobrazbom u aritmetici i njihovu zelju da se upoznaju s indijskim brojevima i pravilimaza mnozenje, dijeljenje, dodavanje, oduzimanje, prepolavljanje, udvostrucivanje i vadenjekvadratnih i kubnih korijena s njima koje su uvedene u kasnom osmom ili pocetkom deve-tog stoljeca iz sanskrtskih izvora. Iako nisu nuzno predstavljani kao skolski tekstovi, onisu trebali posluziti kao pomagala za privatno ucenje ili u krugovima vjerskih ucenjaka udzamijama. Potonji su samo primjeri vece javne nastave poznate iz tog razdoblja, a bilesu usmjerene na vjersko znanje. Nije poznato koliko je matematika poducavana u njima, amalo je vjerojatno da je nastava u damijama tog razdoblja bila posebno posveena jednommatematikoj temi. Matematicko obrazovanje izvan osnova koje su poucavane tijekom godinadjetinjstva cini se da je pruzano od strane kucnih ucitelja i putujucih tutora ili je stjecanokao autodidakt.

Nekoliko tekstova sacuvanih iz tog razdoblja odrazava postojanje krugova rasprava u pri-vatnim kucama, gdje su se ljudi razlicitih znanja sastajali kako bi raspravljali o odredenimmatematickim problemima. Mnogi su ocito uzivali utrositi nekoliko sati s prijateljima kakobi naucili kako rijesiti takve probleme, ili iskoristili prigodu da propitaju znanje stranca.

Drugo veliko razdoblje matematickog obrazovanje pocelo je najkasnije u dvanaestom sto-

26

ljecu kad su se medrese prosirile diljem Irana, Iraka, istocne Anatolije, Sirije i Palestine, teEgipta. Isprva ocito namijenjena prvenstveno za promicanje pripadnika odredene sunitskepravne skole, tocnije one koja je dobila ime po al-Shafii, uskoro je postala dostupna sljed-benicima drugih pravnih skola, posebno onih Abu Hanifa i Ahmed b. Hanbal-a. Nekolikomatematickih rukopisa kopirano je tijekom dvanaestog i trinaestog stoljeca ukazujuci na toda su ih njihovi pisari proizveli u takvom okruzenju. Jedan od tri sacuvana primjerka Te-odozijeve Sferne geometrije, primjerice, kopiran je 1158. u Nizamiyya medresi u Mosulu.Dana 9. rujna 1215., veliki-pra-pra-unuk Seljuq vezira Nizam al-Mulk kopirao je u prvoj,najpoznatijoj i najutjecajnijijoj medresi koju je osnovao njegov predak u Bagdadu zbirkumatematickih tekstova od Ahmad b. Muhammed b. Abd al-Jalil al-Sijzi i Ibn al-Haytham.U istoj medrese, Nasir al-Din al-Tusi-jev uvodni udzbenik o ’Urn al-hay’a kopiran je 1283..

Kopiranje matematickih rukopisa u podrucjima medresa nije ostalo jedina veza izmedunovih nastavnih ustanova i matematickih znanosti. Aritmetika, algebra, geometrija, izmjere,ilm al-haya, ilm al-mıqat, i izgradnja instrumenata ubrzo su postali predmet nastave koju supoducavali ucitelji medrese unutar i izvan ovih institucija. Ti razredi nisu imali prvenstvenodisciplinski pristup poucavanju, vec su bili usredotoceni na tekstove. Glavne oblike ucenjaslijedili su oni koji su se koristili u dominantnim vjerskim podrucjima ucenja medresama.Kao rezultat toga, vecina tekstova sacuvanih iz tog razdoblja su osnovnoskolski tekstovinamijenjeni upoznavanju pocetnika s osnovama racuna, rjesavanjem kvadratnih jednadzbi,konstruiranjem ravninskih likova i tijela ili rjesavanjem osnovnih problema astronomije iastrologije.

Komadici informacija koje su na raspolaganju za razlicite regije moraju biti spojeni za-jedno kako bi mogli spojiti detaljniju sliku. U pravilu, takva spajanja bit ce ogranicenana iste vremenske periode. Nije uvijek jasno je li ucenje matematickih tekstova napametvise cijenjeno od prakticiranja njihovih metoda i analiziranja njihovih principa kako bi steklivjestine potrebne za rjesavanje postavljenih, kao i drugih matematickih problema neovisnood necijeg ucitelja.

3.2 Poducavanje matematike na dvorovima

Poducavanje matematickih znanosti na dvorovima pocelo je najkasnije u okviru sestog Abba-sid Caliph al-Mutasim billah (833.−834.). Kalifov unuk Ahmad, a kasnije Kalif al-Mutasimbillah (862. − 866.) poslan je najvecem filozofu tog vremena koji je bio usko povezan sadvorom, Ya’qub b. Ishaq al-Kindı (866.), na poucavanje o novo prevedenim grckim filo-zofskim djelima koja su obuhvacala filozofiju i sfernu geometriju. Ahmad nije bio jedinimuski clan Abbasid dinastije koji je ucio matematicke znanosti kod istaknutog ucenjaka.Drugi ljudi poput Ja’far b. al-Muktafi (10. st.) dosegli su razinu na kojoj su sami postalipisci matematickih tekstova. Matematicko obrazovanje nije bilo ograniceno na sinove kalifa.Abbasidski veziri takoder su smatrali primjerenim davati svoje sinove na takvo obrazovanje.

Uz decentralizacije Abbasidskog kalifata i gubitak njegovog upravljanja nad ogromnim po-drucjem izmedu Indije i Atlantika u desetom stoljecu, mnogo novih, vecih i manjih podrucjabilo je pod vladavinom lokalnih potomaka mocnih obitelji, gospodara rata, stranih placenikaili clanova urbanih nizih slojeva. Mnogi novi dvorovi vladara i vezira osnovani su natjecucise jedni s drugima i kalifima u Bagdadu. Iako je deveto stoljece prvenstveno oblikovanoznanstvenim djelatnostima u Bagdadu, u desetom stoljecu se razvilo mnostvo gradova uIranu, sredisnjoj Aziji, sjevernoj Indiji, Siriji, Egiptu i dijelovima sjeverne Afrike koji suprivukli znanstvenike u potrazi za pokroviteljima i financijskom potporom. Mnogi poznatipisci matematickih tekstova poput Abu l-Rayhan al-Brrun , Ahmad b. Muhammed b.’Abd

27

al-Jalil al-Sijzı, Abu Sahl Wayjan al-Kuhı, Muhamed al-Khujandı, Abu al-Ja’far Khazin,Abu l-Wafa’al-Buzjanı, Abd al-Rahman al-Sufi, ili poznatog lijecnika, filozofa i vezira IbnSina stvarali su svoje radove na sudovima povezanima s jednim ili vise pokrovitelja. Neki suse brzo odselili s jednog dvora na drugi, dok su drugi bili oteti, kao ratni plijen.

Vecina matematicke produkcije koja nam je danas poznata izravno preko sacuvanih ruko-pisa rezultat je ove simbioze izmedu znanstvenika i dvorova. Poducavanje se sastojalo odproucavanja velikih tekstova poput onih Euklida (Elementi, Podaci, Fenomeni), Teodozija(Sferna geometrija, Izlasci i zalasci, O naseljima), Autolykosa (O pokretnoj sferi, Izlasci izalasci), Ptolomeja (Almagest), Banu Musa (Knjiga o poznavanju mjerenja likova u ravnini isferi) ili Thabit b. Qurra (Knjiga o pretpostavkama) ili s privatnim uciteljem ili pojedinacno.Svrha ucenja je prije svega steci znanje o tekstu.

Princevi, veziri i sluzbenici na dvorovima nekoliko kasnijih islamskih dinastija takoder subili matematicki obrazovani, iako nije sasvim jasno da li je to obrazovanje otislo dalje odsamih osnova. Izvjesca pokazuju da su naprednije razine obrazovanja postojale za dinastijeAyyubid (1171. − 1260.), dinastije Ilkhanid (1256. − 1336.) dinastije Timurid (oko 1370. −1507.) , Khiljı Sultana Malwa-e (1436.−1531.), te dinastije Mughal (1526.−1827.). Rukopisisugeriraju da je postojala visa osnovna razina matematickog obrazovanja za Ak Koyunlu(1278.− 1508.), tijekom dinastije Safavid (1501.− 1722.) i Osmanske dinastije (oko 1300. do1922.). Medutim, vjerojatno je da je vise od imenovanih dinastija ukljucivalo neka citanjamatematicke literature u obrazovanju svojih sinova. Ti rukopisi sadrzali su tekstove ilipoglavlja o aritmetici, neke dijelove teorije brojeva, posebice pravila za izracun savrsenih iprijateljskih brojeva, algebri, mjeriteljstvu, ponekad nesto optike i osnove astronomije.

3.3 Matematicke znanosti u autobiografijama: Ibn Sına i al-Qalasadf(1412.− 1486.)

Iako rjede pisane nego biografije (posebno kratki unosi u biografskim rjecnicima), autobiogra-fije nisu rijetkost u arapskoj knjizevnosti. Opisati cemo dvije autobiografije koje su napisaneod strane filozofa i mudarrisa, ucitelja u medresi, prvi je zivio u klasicnom razdoblju, apotonji u postklasicnoj fazi. Njihova izvjesca isticu neke od razlika izmedu ta dva razdobljau pogledu matematickog obrazovanja i njegovog mjesta u zivotima doticnih ucenjaka. Iakoovim uciteljima matematicke discipline nisu bile od primarne vaznosti u njihovom obra-zovanju, svaki od njih je napisao dobar broj matematickih djela. Ibn Sına, najznacajnijifilozof klasicnog razdoblja i najutjecajniji autor filozofskih i medicinskih knjiga tijekom pos-tklasicnog razdoblja ukljucivao je poglavlja o cetiri temeljne matematicke znanosti u gotovosvim njegovim enciklopedijama ili je zatrazio jednog od svojih najdrazih ucenika, Abu Ubaydal-Juzjan (11. st.), da ih napise u njegovo ime. Ibn Sina, takoder je napisao nekoliko neovis-nih rasprava o temama matematickih znanosti - primjerice, o astronomskim instrumentimaza koje je zasluzan, o pet jednostavnih strojeva antike (poluga, vijak, vitlo, blok, klin) ili odizanju utega. Al-Qalasadı postao je poznat kao autor elementarnih matematickih tekstovakoji su se cesto koristili u medresama za izobrazbu ucenika pravnih znanosti u osnovnimdijelovima racuna, rjesavanju kvadratnih jednadzbi i odredivanju povrsina i volumena kojebi mogli trebati kad ih se zatrazi da utvrde ostavinske udjele rodbine pokojnika i nasljedstvakoji je isti propisao. Danas postoji najmanje trinaest matematickih tekstovi al-Qalasadıa.

Kao sto se cini tipicno za klasicno razdoblje, Ibn Sına je u djetinjstvu i adolescencijiproucavao teme s uciteljem kojeg je njegov otac angazirao za svog iznimno talentiranognajstarijeg sina. Ibn Sına je prvo ucio geometriju, indijsku aritmetiku i filozofiju tijekomrazgovora koje je njegov otac vodio s njegovim mladim bratom, koji je postivao Shfi vjeru u

28

Fatimid kalifatima u Egiptu. Onda je, jednog dana, Abu ’Abdallah al-Natilı stigao u grad,predstavljajuci se kao filozof. Ibn Sınanov otac odlucio ga je uposliti kao kucnog ucitelja zasvoga sina. Medutim, al-Natili-evo znanje o filozofskim znanostima nije bilo vrlo napredno.Dvije matematicke knjige su spomenute u filozofovoj autobiografiji, tocnije, Euklidovi Ele-menti i Ptolemejev Almagest. Medutim, njegov ucitelj je imao osrednje razumijevanje ge-ometrijskih pitanja. Ibn Sına ga je opisao kao nekoga tko se pretvarao da je iznad sadrzajaovih dvaju djela, a zapravo je djecak sam morao shvatiti stvari iskljucivo na temelju svojihrukopisnih primjeraka.

Kada opisuje svoje djetinjstvo i odgoj, Ibn Sına govori o razgovorima izmedu oca i bratao filozofiji (teorija duse) i indijskoj aritmetici. Indijska aritmetika bila je vazan predmetkojim je otac zelio da njegov sin vlada, jer je osjetio da mu je potrebno vise izobrazbe utom podrucju nego sto je mogao steci kroz slusanje njega i brata. Tako je poslao djecakakod vocara u Bukhara-u koji je koristio indijske brojeve i decimalni sustav u svom poslu.Ismaılıs-i su bili snazno zastupljeni medu trgovackim zajednicama.

’All b. Muhammad al-Qalasadı je roden u Basta-i, danas Baza, u Nasrıd emiratu Granada.Njegova autobiografija je oblik opisa putovanja, rihla, izvjesce o svom intelektualnom odgoju iuciteljima koji su ga obucavali (Marın 2004.). Kao takva, ona pripada zanru koji je cesto podnazivom rjecnik (mu’jani), program (barnamaj ) ili katalog (fi hrisf ), gdje su navedena imenanastavnika i knjiga iz kojih je ucio s njima. Ipak, drugo ime rihla je u potpunosti zasluzeno.Al-Qalasadı je, mozda iz dosade zbog suhog popisa imena i naslova karakteristicnih za ovajpodzanr arapske autobiografske knjizevnosti, dozvolio svojim citateljima da vide krajolikekroz koje je lutao i gradove Al-Andalus, Sjeverne Afrike, Egipta i Arapskog poluotoka gdjeje ucio i koje je posjetio kao dio hodocasca. U tom smislu, njegov tekst takoder s pravompripada zanru putopisa koji je poznat mnogim Andalusovim doprinositeljima. Al-Qalasadınapustio je Al-Andalus 1436., stigao u Meku 1447. i vratio se u Almeriu, gdje je zapocelonjegovo putovanja, 1451. Od tih 15 godina, proveo je 8 u Tlemcenu, 4 u Tunisu, a manje od1 na Kairu. Tri godine bile su potrebne za putovanja izmedu razlicitih gradova.

Al-Qalasadı je zapoceo svoje skolovanje u svom rodnom gradu. Izucavao je Kur’an; iz-reke Poslanika; arapsku gramatika i knjizevnost; flqh (zakon), posebice pravila koja su seodnosila na nasljedstva i ostavstinu (’Urna al-fara’id); i aritmetiku. Djecakov interes zaaritmetiku dobro je odgovarao interesu brojnih andaluzijskih ucenjaka izmedu desetog i pet-naestog stoljeca. Al-Qalasadı je citao Abu Muhammad Ibn al-Yasamınove pjesme o algebrii korjenovanju. Matematicke aktivnosti su bile mnogo intenzivnije u Maghribu tijekom Al-Qalasadievog zivotnog vijeka nego u al-Andalusu. Dakle, putovanje preko mora na daljnjeskolovanje bila je osjetljiva odluka. Al-Qalasadieva biografija naglasava dugo vrijeme kojeje trebalo da postane zreo ucenjak ”tradicionalnih”, ”racionalnih” i matematickih znanosti(neovisno o tome koliko tih disciplina je pojedinac izucavao). Vec je imao 24 godine, kadaje odlucio putovati u svrhu stjecanja dodatnih znanja i proveo je oko 13 godina studirajuciu Tlemcenu, Tunisu, i Kairu.

Al-Qalasadı je zapoceo svoje matematicko obrazovanje paralelno sa svojim uvodom u Ku-ran. Njegov drugi ucitelj, Abu ’Abdallah Muhamed al-Qusturlı, procitao je s njim IbnBanna-ovo djelo al-Maqalat al-arba”a fl ilm al-hisab (cetiri poglavlja o Aritmetici). Ibn AbıYahya predstavio je Ibn al-Banna-ovu Talkhis a’mal al-hisab (Kratki izvod aritmetickih ope-racija) al-Qalasadı-u i procitao je s njim jos jednom al-Maqalat al-arba. Citanje jednog teistog teksta s razlicitim uciteljima nije bilo neobicno u postklasicnom islamskom obrazovanju.

Obicaj u tradicionalnim disciplinama, osobito proucavanje izreka Poslanika, kako bi se pro-cijenila utemeljenost znanja duljinom prenosenog lanca, odnosno duljinom vremena izmeduposljednjeg primatelja takvog prijenosa i prvog prijenosnika odredene izreke, odredeno je

29

brojem posrednih clanova lanca i njihovom dobi u trenutku kada su prenijeli svoje znanjena novu osobu u lancu, i moralne kvalitete svakog prenositelja kao vrlog i pouzdanog mus-limana. Ovaj obicaj rezultirao je stavom koji je tvrdio da nije najvaznije znanje, vec ljudikoji ga prenose. Dakle, izucavanje istog komada znanja s vise od jednog nastavnika mozepoboljsati polozaj primatelja u lancu prijenosa i time povecati njegovu buducu reputacijukao prenositelja.

Trend koji se pojavio u sustavu medresa bio je da se ne cita cijela knjiga vec samo specificnapoglavlja. Ova metoda poucavanja i ucenja ojacala je sklonost ka izucavanju specificnih djelaautora koji su od znacaja u odredenom podrucju znanja, dok bi ucenik slusao ili citao njihoveradove, po mogucnosti zajedno s njima. Cilj obrazovanja nije bio nauciti cijelu disciplinu, vecprovoditi vrijeme s poznatim zivim ucenjacima citajuci njihova djela, ona njihovih ucitelja iucitelja njihovih ucitelja.

Kad je al-Qalasadı 1437. stigao u Tlemcen, grad je bio glavni grad malog, ali neovisnogkraljevstva koje su zeljele jace dinastije Marinids (1258. − 1465.) u Fesu i Hafsids (1229. −1574.) u Tunisu. Njegova cvjetajuca ekonomija i kultura privukla je brojne andaluzijskeucenjake koji su pobjegli kastiljanskoj vojski. Al-Qalasadı je trazio ucitelja matematickihznanosti i pronasao ih sest; opet je s njima citao Ibn al-Banna-ov Talkhis uz daljnja djelaMaghribı-evih ucenjaka. Ova ucenja su znacajno prosirila njegovo matematicko znanje iomogucila mu da napise svoju prvu raspravu o aritmetici, al-Tabsira fi l-ghubar (Uvod uprah [slova]). Jedan od njegovih ucitelja, Abu l-Abbas Ahmad b. Muhammad al-Maghrawı,poznat kao Ibn Zaghu, predavao je na medresi al-Ya’qubiyya prema godisnjim dobima, kakoal-Qalasadı izvjestava u svojoj Rihla-i: zimi je poducavao tefsir (tumacenje), hadıth (izrekePoslanika) i fi qh (zakon), dok je ljetna nastava bila posvecena usul al-fi qh (osnove zakona),fara’id (ostavinski izracuni), retorici, aritmetici i geometriji

Al-Qalasadı je nastavio skolovanje u Tunisu i Kairu. Medutim, prema Marın-u, al-Qalasadıse suzdrzavao da u svom putopisu opisuje bilo kakve daljnja specificna izucavanja tekstovao matematickim znanostima. Drugi izvori, medutim, dodaju nasoj spoznaji o njegovimmatematickim aktivnostima u ova dva grada. U Tunisu, on je studirao nekoliko poglavljadjela Ebu Bekr Muhammed b. ’Abdallah al-Hassar (12. st.). Aballagh vjeruje da je tobilo al-Hassar-ovo veliko djelo al-Kamil fı sina’at al-adad (Cjelovito, O umjetnosti brojeva).U Kairu, al-Qalasadı je poducavao svoje radove i navodno je dao barem jednom ucenikupotvrdu o ucenju (ijaza). Pet njegovih vlastitih traktata ekskluzivno se cuva u Nacionalnojknjiznici u Tunisu. Oni raspravljaju o konceptualnim pitanjima poput znacenja pojmova kaosto su razlomci, brojnici i jednostavna pitanja o teoriji brojeva i osnove aritmetike. Ostalamatematicka djela al-Qalasadı-a postoje u vise od jednog primjerka, uglavnom izmedu 3 i8. Jedno od njegovih djela, Kashf al-asrar ’an ’Urn huruf al-ghubar (Otkrivanje tajni, oznanosti prasine [slova]), postoji cak u 37 primjeraka. Ova brojka sugerira da je to djelo bilomnogo cjenjenije od ostalih.

3.4 Ahmad al-Sijzı: Kako se postaje produktivan matematicar?

U Abbasidskom razdoblju, matematicka znanja bila su knjizevno znanje za siru obrazovanujavnost. Oni koji su zeljeli postati strucnjaci, medutim, usmjeravali su se na metode. Nekisu zapoceli svoje skolovanje u radionici izradivaca instrumenata, kao sto je bio slucaj All b.’Isa (prva polovici 9. st.), ili su ucili od svojih oceva i ujaka. Ibn al-Nadim, primjerice, usvojoj Kitab al-fi hrist (knjizi Kataloga) spominje eminentne znanstvenike iz matematickihznanosti i sefa protokola na Buyidskom sudu u Bagdadu, Abu l-Wafa ’al-Buzjan:” On jeizucavao ono sto je bilo [poznato] od brojeva i aritmetike od oca i strica, koji je bio poz-

30

nat kao Abu ’Amr el-Mughazilı, i njegova ujaka, poznatog kao Abu’ Abdallah Muhammedibn ’Anbasah”. Drugi koji su bili vec odmakli u svojoj izobrazbi sastali bi se s poznatimstrucnjacima za privatne rasprave. Matematicka pitanja takoder su mogla biti poslana kaopisma strucnjaku koji bi iskoristio ovu prigodu i napisao malu raspravu na tu temu. Jedanod znanstvenika iz desetog stoljeca, koji je sudjelovao u takvim sjednicama, posvetio nekeod svojih radova lokalnim vladarima i odrzavao aktivnu razmjenu pisama o matematickimproblemima s nekoliko svojih suvremenika bio je Ahmed b. Muhammed b. ’Abd al-Jalilal-Sijzı. On je takoder bio autor didaktickog teksta u kojem je iznio svoje ideje o tomekako ucenik moze steci potrebne vjestine ne samo za rjesavanje poznatih problema, vec i zapronalazenje novih rezultata. Ovaj tekst, nazvan Kitab fı tashıl al-subul listikhraj al-masa’ilal-handasiyya (Knjiga o olaksavanju nacina za izvodenje geometrijskih problema), upoznajeucenike s razlicitim metodama za rjesavanje problema poznatih kao pronalazenje novog zna-nja. Sijzı je zelio navesti ”pravila koja ce olaksati istrazivacu koji ih svlada i poznaje danapravi svaku geometrijsku konstrukciju”. Nakon izjave o ciljevima knjige, al-Sijzı je kriti-zirao neke neimenovane ucenjake na nacin koji bi mogao aludirati na Ibn Sına-ovu teorijuindukcije. ”Neki ljudi misle da ne postoji nacin ucenja pravila za izvodenje cak i u mnogoistrazivanja, prakse, ucenja i lekcija o elementima geometrije, osim ako covjek nema urodeniprirodni talent koji mu omogucuje da otkrije likove, jer su ucenje i praksa nedovoljni”. Al-Sizjı se nije slagao s takvim stavom i inzistirao je da je nuzno puno uciti i naporno raditi dase postane dobar geometar.

Nakon ovog ukora, al-Sizjı je zauzeo standardnu poziciju znanstvenika desetog stoljeca,prema kojoj pocetnik treba prvo nauciti teoreme iz Euklidovih Elemenata.

Za nekoga tko zeli nauciti ovu vjestinu, potrebno je temeljito svladati teoreme koje jeEuklid predstavio u svojim Elementima. Izmedu ovladavanja s vjestinom i same vjestinepostoji dubok jaz. Potrebno je da ucenik ima vrlo temeljitu ideju o njihovim opcim i poseb-nim svojstvima, pa ako mu je potrebno traziti njihova svojstava i dalje je dobro pripremljenza njih. Ako mora provoditi bilo kakva istrazivanja, tada je potrebno da uci i vizualizira usvojoj masti preliminarije i teoreme koji su istog roda, ili koji imaju (nesto) nesto zajednickos tim.

Zatim je autor raspravljao o znacenju posebnih svojstava i drugih koncepata i imenovaometode koje ucenik treba nauciti kako bi postao uspjesan matematicar.

Prvo, ostroumnost i inteligencija, imajuci u vidu uvjete koji cine pravilan redoslijed (pro-blema) nuznim.

Drugo je duboko znanje i razumijevanje rezultata i pojmova.Trece je:pracenje njihovih metoda (ovih teorema i pojmova) na dubok i uspjesan nacin,

tako da se oslanjate samo na teoreme i preliminarije i konstrukcije i rjesenja koja smo spo-menuli. Ali morate to kombinirati s (vlastitom) pameti, nagadanjem i trikovima. Sredisnjicimbenik u ovom podrucju je primjena trikova, dakle ne samo (vlastite) inteligencije, vecmisli iskusnih i vjestih matematicara.

Cetvrto su: informacije o zajednickim znacajkama (likova), njihove razlicitosti i njihovaposebna svojstva. U ovom pristupu, posebne znacajke, slicnost i oporbe se (razmatraju samepo sebi) bez brojanje teorema i preliminarija.

Peto je koristenje transformacije.Sesto je koristenje analize.Sedmo je koristenje trikova, poput onih koje je koristio Heron.Nakon sto je naveo najvaznije metode i znanja koje pocetnik treba nauciti kako bi uspio

kao matematicar, al-Sizjı se okrenuo ka specificnim primjerima kako bi pomogao citateljunjegovog prirucnika da istinski shvati njegovu sustinu.

31

”Buduci da smo predstavili i spomenuli te stvari na opusten nacin, donesimo sada za svakuod njih primjere, tako da istrazivac nauci njihovu pravu prirodu. O ovoj umjetnost mozemogovoriti na dva razlicita nacina: Prvo, apstraktno, na iluzoran nacin; i drugo, na duboknacin, s jasnim objasnjenjima i predstavljanjem primjera, tako da se spozna i razumije upotpunosti”.

Al-Sijzi-jeva a rasprava je rijedak srednjovjekovni tekst o tome kako doci do novih rezultatau matematici. To pokazuje koje metode je preferirao kada se radilo o matematici. U istovrijeme, on cini nepogresivo jasnim koje metode poducavanja su mu omiljene.

3.5 Klasifikacija matematickih znanosti

U osmom i devetom stoljecu, znanstvenici novog Abasidskog kalifata takoder su ucili o od-nosu izmedu razlicitih poducja znanja, kao sto je Aristotelova klasifikacija filozofije, neopla-tonisticki kvadrivijum ili Galenova ideja o superiornosti matematike i filozofije za studentamedicine. Redoslijed ljudskog znanja pokazao se vaznom temom tijekom mnogih stoljeca.Pitanja o tome sto je bilo bozansko, a sto ljudsko znanje, koje ljudsko znanje je najvise,te koje podrucja pripadaju kojoj skupini raspravljana su od pocetaka pokreta prevodenjau osmom i pocetkom devetog stoljeca. Sheme pruzaju uvid u percepciju njihovih autora oglavnim podrucjima ljudskog znanja, ukljucujuci matematicke znanosti. Takve klasifikacijecesto su ukljucivale komentare o tome koje matematicke teme, autori ili udzbenici su setrebali proucavati i smatrati vjerodostojnima. Osim razlike u redoslijedu znanosti, vecinaautora smatrala je teoriju brojeva, geometriju, astronomiju i teoriju proporcija temeljnimdisciplinama matematike. Neki autori integrirali su u ovu shemu druge discipline poputoptike ili teme koje danas smatramo dijelom mehanike kao ravnopravne komponente.

Cetiri skupine autora sudjelovale su u tim raspravama: filozofi, lijecnici, administratori ivjerski ucenjaci. Njihovi tekstovi su proucavani ne samo tijekom njihovih zivota u njihovimkrugovima, vec su takoder inspirirali generacije kasnijih nastavnika i studenata medresa isrodnih nastavnih ustanova. Medu najvaznijim predstavnicima ove cetiri skupine mozemopronaci filozofa Abu Nasr al-Farabıa i Ibn Sına, lijecnika Abu Sahl al-Masihi, administratoraMuhammed b , Ahmad al-Khwarazmı , uglednog vjerskog ucenjaka Fakhr al-Dın al-Razıai lijecnika i ucitelja u medresi Muhammad b. Ibrahım b. al-Akfana. Osim mozda al-Khwarazmievog teksta, svi spisi o strukturi sustava znanja su nesumnjivo od velike vaznostiza nastavu i davali su informacije o vaznim autorima i udzbenicima.

Abu Nasr al-Farabi-eba klasifikacija ima razne znacajke koje su ju ucinile veoma cijenjenimsazetim istrazivanjem o glavnim komponentama znanja, koje se preporucalo onima koji suzeljeli postati ucenjaci. Sto se tice matematickih disciplina, od velike je vaznosti njegovoinzistiranje na prakticno znanje, a time i podjelu svake od sedam disciplina na teorijski iprakticni dio.

Sedam matematickih disciplina o kojima je al-Farabı govorio u svojoj knjizi Ihsa’ al-’ulum(Nabrajanje znanosti) su teorija brojeva, geometrija, optika, znanost o zvijezdama, glazba,znanost o utezima (’Urn al-athqal), te znanost o zanatima (’Urna al-hiyal). Prakticnaaritmetika, primjerice, proucava brojeve pri nabrajanju konkretnih predmeta i koristi se ugradanskim i trgovackim poslovima. Ona je usredotocena na ucenje zbrajanja, oduzimanja,mnozenja, dijeljenja, korjenovanje i slicne operacije. Teorijska aritmetika, s druge strane, tre-tira brojeve kao apstrahirane iz konkretnih predmeta i proucava njihova svojstva i podjele.Primjeri koje al-Farabı ovdje nudi svojim citateljima prvenstveno su uzeti iz EuklidovihElemenata. U drugom stavku, Al Farabi imenuje obilne, nedostatne, prijateljske i savrsenibrojeve, cime se okrece ka drugom temeljnom dokumentu u teoriji brojeva (Uvod u arit-

32

metiku) od antickog autora, Nicomachus od Gerasa (2. st.), koji je u kasnijim stoljecimadominirao ucenjem ovog podrucja.

Ibn Sına je cprio inspiraciju iz al-Farabi-eve rasprave za svoju klasifikaciju znanosti podnazivom Aqsam al-’ulum al-’aqliyya (dijelovi intelektualnih znanosti), medutim, nije uvijekslijedio vodstvo svog prethodnika. Ibn Sina-in tekst je proucavan u medresama Ayyubid iMamluk u Kairu i Damasku u trinaestom i cetrnaestom stoljecu. Drugaciji pogled na mjestomatematickih znanosti, a time i na matematicko obrazovanje imao je lijecnik i ucitelj IbnSına, Abu Sahl al-Masihi, u svojoj Kitab flasnaf al-’ulum al-hikmiyya (Knjizi o kategorijamafilozofskih znanosti). Predstavio ih je pet- geometriju, aritmetiku, znanost o zvijezdama,glazbu i optiku - kao pojedine teorijske znanosti i kao umjece fizike i metafizike, koje je vidiokao univerzalne znanosti. Abu Sahl je naveo autore i knjige koje bi trebalo uciti za svaku odtih teorijskih disciplina: za geometriju, djela Euklida, Arhimeda i Apolloniosa; za aritmetiku,Nicomachus od Gerasa, Knjige VII-IX iz Elemenata, te knjige o indijskoj aritmetici i algebri;za astronomiju, Ptolomejev Almagest i Abu L-’Abbas al-Fadl al-Nayrızi-ev komentar istoga,Srednje knjige, te astronomski prirucnici od Habash al-Hasib-a, Muhammad b. Jabir al-Battanı i al-Nayrızı-a; te za glazbu, Ptolemejevi Harmonici i Al Kindi-eva elaboracija i AlFarabi-eva iscrpna obrada teme. Osim pet teorijskih disciplina, Abu Sahl je prepoznao cetiriposebne matematicke znanosti koje su koristene u struci (mihna): Him al-hiyal, medicina,poljoprivreda i alkemija. Radovi navedeni od strane Abu Sahl-a ukazuju na to da glavnisadrzaj matematickog obrazovanja koji se smatrao primjerenim u drugoj polovici desetogstoljeca potjece od drevnih grckih djela prevedenih tijekom kasnog 8. i 9. stoljeca, komentara irevizija tih djela proizvedenih od strane autora tijekom devetoga i pocetkom desetog stoljeca,nekih novih djela takvih autora, i nekoliko knjiga na temelju prijevoda sa sanskrta. Onitakoder ukazuju na to da je razina postignutog obrazovanja veca od osnovne i cilj je osposobitiucenjake. Cetiri discipline koje su vjezbane u profesionalnom svojstvu ilustriraju mnogo sireshvacanje pojma ”matematicki” u desetom stoljecu nego sto se to podrazumijeva danas.

Fakhr al-Dın al-Razı (1149.−1210.) jako se interesirao za astrologiju, filozofiju i druge zna-nosti. Primarno se obracao dvorskim krugovima. Jednom od turskih vladara Khurasanu,Khwarazmshah Ala ’al-Din Tekesh-a, posvetio je svoj enciklopedijski pregled 40 − 60 disci-plina pod nazivom Jawami’ al-’ulum (Zbirka znanosti) na arapskom (40) i Hada’iq al-anwarfı haqa’iq al-asrar (Vrtovi svjetla, na istinama Secrets) na perzijskom (60). Matematickeznanosti u ove dvije enciklopedije sastoje se od cetiri glavne discipline i citavog niza granaznanosti kao sto su razni sustavi racunanja (indjiska aritmetika, racunanje s prstima, sek-sagesimalni sustav, itd.), algebra, magicni kvadrati, izmjere, Him al-athqal, optika, gorucazrcala i druge grane. Al-Razı je stoga jedan od glavnih vjerskih ucenjaka koji su doprini-jeli stabilnom sirenju matematickih i filozofskih znanja na arapskom preko svojih brojnihucenika koji su se okupljali oko njega, a zatim su otvorila svoje vlastite nastavne krugove,kao sto su oni u sjevernom Iraku ili Siriji.

U zivotu al-Razı-a i njegovih ucenika, jedna od glavnih reorganizacija sustava stegovnogznanja cini se da se odvijala u islamskim drustvima sredisnje Azije i Indije koja se, uz samokratko kasnjenje, takoder prosirila na Maghrib. Bivsi trokut religijskih znanosti, drevneznanosti i filoloske znanosti preuredeni su kao tradicionalne znanosti, racionalne znanosti imatematicke znanosti. Te promjene cini se da su blisko povezane s novim mogucnostimanastave dostupnima izvan dvorske sfere i privatnih kucanstava koje su nastale u novimnastavnim ustanovama. Ucitelji u medresama, primjerice, pojavili su se u to vrijeme kaoautori klasifikacija znanja. Jedan od njih bio je Muhammad b. Ibrahfm b. al-Akfanı(1283. − 1348.) iz Sinjara, koji je u isto vrijeme bio uspjesan lijecnik u Kairu - tipicnakombinacija u mameluckom razdoblju. Njegov Irshad al-qasid ila asna al-maqasid (Smjernice

33

onoga koji tezi najvisim ciljevima) je pravi vodic kroz literaturu za pocetnika, ucenika kojije dosegao neku srednju razinu u svom treningu. Predstavlja za svakog od njih popis knjigaza citanje u svrhu ucenja bilo koje od disciplina koju je autor ukljucio u svoj sustav znanja.Sve u svemu, Ibn al-Akfanı predstavlja 600 naslova knjiga za 60 znanosti.

Matematicke znanosti koje dolaze nakon prirodnih znanosti pocinju s geometrijom, nakoncega pak slijedi ’Urn al-hay’a (Matematicka kozmografija). To je glavna teorijska disciplinaastronomije koja se polako pojavljivala od devetog i desetog stoljeca i usmjerena je na ras-pravu o modelima planetarnih kretanja, ukljucujuci izracun udaljenosti izmedu planeta injihovih velicina, kao i osnovne informacije o matematickoj geografiji. Druge dvije disciplinesu teorija brojeva i glazba. Dakle, Ibn al-Akfanı je usvojio novi poredak glavnih znanosti.Broj grana svake glavne znanosti znatno je narastao. Geometrija je sada povezana s desetgrana (arhitektura, optika, goruca zrcala, centar gravitacije, izmjeri, dizanje vode, dizanjeutega, suncani satovi, instrumenti rata, automati). Matematicka kozmografija povezana je spet grana (astronomski prirucnici i efemeride, mjerenje vremena, kvaliteta motrenja, projek-cije iz sfere na ravninu, gnomoni). Teorija brojeva posjeduje sest grana (temeljne aritmetickeoperacije bez koristenja indijske aritmetike; aritmetika abakusa, to jest, pozicijski decimalnisustav, algebra, vladavina dvostrukog laznog polozaja, izracun legacija i oporuke, racunanjes dinarima i dirhama); dok glazba nema grane.

3.6 Matematicko obrazovanje u biografskoj knjizevnosti

Arapska biografska knjizevnost, posebno ona pisana od dvanaestog stoljeca nadalje glavni jeizvor informacija o matematickom obrazovanju u Siriji i Egiptu pod Ayyubids-om (1171.−1260.), Mamluks-om (1260.− 1516.) i Osmanlijama (kraj trinaestog stoljeca -1922.). Vecinadjela ove vrste su rjecnici posveceni filozofskim ili medicinskim znanostima. Ostale vrstebiografske literature s informacijama o matematickim znanostima neka su vrsta srednjo-vjekovnih zivotopisa pojedinih znanstvenika. Perzijska biografska knjizevnost preferirala jepjesnike i slikare prije znanstvenika i propovjednika. Dakle, informacije o matematickomobrazovanju rijetko se mogu naci u perzijskim biografskim rjecnicima. Ovdje povijesne kro-nike sluze kao glavni izlaz za takve izvjestaje, dok u arapskim krajevima opise dane u biograf-skim rjecnicima nadopunjuju informacijama o odnosima ucenjaka s princevima, uglednicimaili ratnim vodama.

Osnovne matematicke vjestine poput brojanja, racunanja i elementarnih svojstva geome-trijskih likova poput kruga, trokuta, kvadrata ili kocke poducavani su u djetinjstvu od stranekucnog ucitelja ako ga si je obitelj mogla priustiti. U drugim slucajevima, roditelji salju svojudjecu u osnovne skole (maktab, dar al-talım). Katolicki i protestantski putnici u arapskimpokrajinama u Otomanskom carstvu izvjestavali su u sesnaestom stoljecu da su, osim djeaka,i djevojice polazile u osnovne kole. Matematicki razred koji je nazvan qubba po kupoli, toje struktura koja se sastoji od male kvadratne sobe s kupolom i grobom sveca, ogradenedvoristem s jos dvije grobnice i velikom peci od opeka, stambenim prostorijama za sveca, tevratima za vanjski svijet. Kasnije je stambeni prostor sveca koristen kao ucionica. Nekolikoplocica s kuranskim ajetima stajalo je uspravno, dok je jedan komad s aritmetickim proble-mima visio na zidu. Problemi koji se odnose na razlicite dobne skupine ukljucuju brojanje,zbrajanje, oduzimanje i mnozenje cijelih brojeva. Tko god je ucio aritmetiku u ovom malomsvetistu ocito nije bio vjest pedagog jer su napravljene greske, plocice su brisane nekolikoputa i vjezbe su pisane jedne preko druge. Ucenici koji su zeljeli steci jace matematickoznanje najcesce su ucili s uciteljem medresa, s jednim ili vise svojih rodaka ili sa specijalizi-ranim kucnim uciteljem. Od sredisnjeg znacaja za ucenje bili su ucitelji pojedinih tekstova,

34

a ne cijele discipline. Iako su ucenici cesto ucili razlicite tekstove s razlicitim uciteljima,jedan te isti tekst povremeno bi procitali s dva razlicita ucitelja. Vazni tekstovi, poput al-Alflyya (Tisucu [stihova]) o pravilima nasljedivanja i al-Muqni (Evidentno) o algebri od Ibnal-Ha’im-a, uceni su napamet. Abu l-Faraj Ibn al-Ibrı, Jakobitski patrijarh i autor nekolikoknjiga na arapskom i sirijskom - medu njima univerzalna povijest - izvijestio je o Izz al-Dinal-Darır-u, jednom od ”najvecih (ljudi) tog doba u drevnim znanostima”, koji je zapam-tio prvih sest knjiga Elemenata, ukljucujuci sve dijagrame sa njihovim slovima i mogao jeobjasniti svaku pojedinu tvrdnju.

Ostale knjige su citane naglas u razredu od strane jednog od starijih ucenika i zapisivaneod strane novih ucenika. Nastavnik na kraju provjerava jesu li ucenici proizveli tocne kopijerasprava, sto je uglavnom bio uciteljev vlastiti komentar o tekstu prethodnika ili uvod uaritmetiku, algebru, geometriju ili metode za odredivanje vremena za molitvu. Da je ucenikuspjesno prosao kroz godine ucenja tekstova napamet i citajuci ih u razredu, on je mogaonapredovati do razine ucitelja i pomoci mladima sa zadacama. Zavrsna faza je postignutakad je ucenik prestigao u znanju ucitelja. Metode studija nisu se puno promijenile. Ucenik jecitao specificne tekstove sa svojim odabranim uciteljem, zamjenjujuci ga u jednoj od manjihmedresa ili srodnim nastavnim institutima ili mu sluzio u drugim svojstvima. Takoder jeproucavao tekstove s kratkim objasnjenjima ili pisao svoje komentare. Kraj kompletnogobrazovnog ciklusa sastoji se od (cesto javnih) ispita koji bi dali uspjesnom kandidatu pravona radi kao sudac i pise fetve.

Niti jedna od dosad opisanih metoda nije specificna za poducavanje neke od matematickihdisciplina. Umjesto toga, one se primjenjuju na sva tri podrucja znanosti koje su poducavalinastavnici medresa, to jest, tradicionalne, filozofske i matematicke znanosti. To vrijedi iza nacin na koji su cijenjena i kritizirana dostignuca u matematickim znanostima. Autoribiografskih rjecnika, povijesnih kronika, topografija ili povijesti medresa i srodnih institucijakoristite istu retoriku za sva tri podrucja znanosti. Dostupni izvori rijetko govore o spe-cificnim metodama koje se koriste u nastavi i privatnim instrukcijama matematike. Jednatakva rijetka prigoda je kratak opis nastave u Granadi i Tlemcenu u prvoj polovici petnaestogstoljeca. Abu Abdallah Muhammad al-Majarı (d. 1457./8.) bio je andaluzijanac koji je uciou Granadi, izmedu ostalog, aritmetiku, geometriju, algebru i pravila nasljedivanja. Tamo jeprocitao nekoliko djela Ibn al-Banna’, ukljucujuci Talkhis (Sadrzaj), u maniri ”poducavanjai prakticiranja”. On je takoder ucio Tadhkirat al-albab (Memoari umova), knjigu koju jesastavio njegov ucitelj Abu Abdallah Muhammad b. Shaykh al-Kabayı. U njoj je autorkombinirao teoriju brojeva, aritmetiku i tri nacina da se nauce pravila o nasljedivanju.

Kombiniranje nekoliko razlicitih podrucja u necijem radu postalo je siroko rasprostra-njen nacin pisanja udzbenika u dvanaestom stoljecu u Siriji i Egiptu. Medutim, al-Majarımozda nije bio siguran u njegovu prikladnosti posto ga je on opisao kao Gharib al-Naw’(cudne vrste). Nakon godina proucavanja u Granadi, al-Majarı, kao i al-Qalasadı, otputovaoje u Tlemcen, Tunis, Kairo i druge gradove da u njima uci pravo, osnove religije i mate-matickih pitanja s raznim uciteljima. U Tlemcenu se susreo s Abu TJthman Muhammed b.Muhammad al-TJqbam-om s kojim je, medu ostalim tekstovima, proucavao komentar Ibnal-Bannaovog Talkhis-a. Njegov ucitelj mu je rekao da je ucio od Abdallah b. Sulejman al-Satia, cija su znanja geometrije bila vrlo ogranicena. Jednog dana u razredu, ucitelj je pitaoal-Majarievog ucitelja i njegovog prijatelja da pokau tono rjeenje danih problema i da ime-nuju potrebne teoreme iz Euklidovih Elemenata. Al-Majarı je uzivao u ovim malim pricamajer je zbog njih osjecao da je njegov ucitelj ”duboko udubljen u geometriju”. Takoder jebio ponosan da objavi da je ”prijenosni lanac” njegovog ucitelja matematickih znanosti sezeunatrag do samog Ibn al-Banna’. Unatoc ovoj hvali za al-TJqbanı-a, al-Majarı je ponovo

35

citao Ibn al-Banna-ov Talkhis, plus Ibn al-Yasamm-ovu pjesmu o algebri, s drugim uciteljem,Abu Abdallah Muhammed-om, poznatim kao al-Tharghı, s kojim je takoder ucio EuclidoveElemente iz Knjige I i sredine Knjige X u obliku vizualizacije (tasawwur). Njegov uciteljvjerojatno je nacrtao Euklidove dijagrame na plocici. Al-Majarı je tekstove Ibn al-Banna-ai Ibn al Yasamm-a ucio od al-Tharghı-a kroz ”vizualizaciju i praksu”.

Drugi oblici nastave moraju biti sakupljeni od rukopisa i drugih predmeta poput plocicaproizvedenih u razredu ili kod kuce. Poznato je, da je pozeljan oblik rada s pisanim tekstomtakoder bio dodavanje objasnjenja pojmova, metoda ili pravila na marginama ili dodavanjejos jednog primjera ili citat iz drugog teksta. Ucenici su cesto koristili tekstove koje sunapisali njihovi prethodnici, ali su takoder kopirali udzbenik koji su proucavali samostalno iispunjavali margine samo s onim sto su smatrali relevantnim.

Neke od primjedbi su bile preduge da stanu u prostor lijeve margine, cak i ako su bilinapisane u sve tri margine iznad, pored i ispod glavnog teksta. Stoga su pisari prekidaliglavni tekst i ukljucivali dugotrajne komentare u sredini stranice.

Ostali materijalni svjedoci aktivnosti nastave i ucenja su posebni listovi razlicitih formata,obicno manji od stranice rukopisa, zalijepljeni na stranicu, ili jednostavno ostavljeni izmedudvije stranice. Ovi listovi bili su prekriveni slicnim komentarima, primjerima i citatima kaomarginalijama. Jedna od posljedica je pojava novog zanra teksta, zbirke fawa’id (pred-nosti). . . To su citati iz drugih tekstova o pitanjima od znacaja za ucenike. U izvjesnomsmislu, oni su prethodnici vodica za ucenike.

O ucenju se mnogo moze nauciti iz tekstualnih oblika poput fawdid ili nazm pricaju price oucenju. Ponekad cak mogu odrazavati politicke ili ideoloske preferencije i ciljeva iz dinastijekoja je tek dosla na vlast. Didakticka pjesme poput onih Ibn al-Yasamn-a su primjer toga.One omogucuju brzo pamcenje znanja i vjerovanja koja su Burhan al-Din al-Zarnujı (12. / 13.st.) prezirali i osudili kao neprikladne tehnike ucenja. Medutim, tijekom dvanaestog stoljecatakve didakticke pjesme pocele su se pojavljivati u vecem broju u svim poljima znanja. Ovajtrend odrazava, barem u Maghribu i al-Andalusu, zelje nove dinastije Almohadsa da obrazujesvoje osvojene podanike u vrsti znanja i vjerovanja koja su i za njih same bila privilegirana.

Tri didakticke pjesme pripisivane Ibn al-Yasamn sacuvane su i danas, a dvije su vec spo-menute u vezi s al-Qalasadı-em: jedana o korijenima, druga o algebri, a treca o dvostrukimlaznim pozicijama,. Pjesma o korijenima sastoji se od 55 stihova. Pocinje s crtom o Bogukao Stvoritelju nakon cega slijedi pocast autorovom profesoru matematike, Muhammad b.Qasim b. Shalwash Then Ibn al-Yasamnu koji objasnjava njegove razloge za pisanje pjesme.41 redak bavi se razlicitim operacijama iracionalnih korijena i odredivanjem kvadratnog kori-jena. Na kraju, Ibn al-Yasamn zakljucuje s ponavljanjem svog cilja prilikom pisanja pjesme,to jest, kako bi pocetniku pruzio ”aide-memoire”’, a naprednima vodic i prirucnik, zajedno snekim molitvama. Pjesma o algebri s 53 redaka je jednake duzine i strukture. U kvadratnejednadzbe i njihovo rjeavanje se uvodi algebarska terminologija. Ibn al-Yasamn ga je po-svetio svom ucitelju matematike. Treca pjesma s osam redaka puno je kraca i bavi samojednom metodom, a to je dvostruki lazni polozaj.

Matematika nije bila podrucju ucenja u medresama koje je bilo neovisno od pravnog obra-zovanja. Vecina ucenika proucavala je odredene matematicke tekstove, jer im je bilo potrebnoneko matematicko znanje kada su htjeli biti imenovani kao suci ili raditi na manjim pravnimpozicijama. Oni koji su zeljeli napraviti karijeru u upravi kao tajnici ili racunovode trebalisu znacajnije matematicko obrazovanje. U klasicnom razdoblju, izgleda da su ovi mladicinaucili svoje vjestine kao obrt u svojim obiteljima. Nadalje, proucavanje matematickih tek-stova moglo je otvoriti druge strucne mogucnosti, kao na primjer da se postane astrolog.Iako su unosniji polozaji bili oni na dvoru, tu su i itineranti i vojni astrolozi, iako se potonji

36

vrlo rijetko spominju u izvorima. U Egiptu, Siriji, Anatoliji, na Balkanu, sjevernoj Africii al-Andalusu, daljnje strucne mogucnosti za cenike s cvrstim matematickim i astronom-skim obrazovanjem bile su muwaqqit, mıqatı i mujezin. Ti ljudi su cesto vezani za medreseili dzamije i dobivali su malu stipendiju za odredivanje vremena molitve, pocetak novogmjeseca. Neki od njih nadzirali su suncane satove i ostale satove, popravljajuci ih prema po-trebi. Tijekom mamelucke dinastije, brojni muwaqqi-it imali su puno bolje placene pozicijekao ucitelji na medresama ili sufijskim odsjecima.

3.7 Matematika u razmisljanjima o obrazovanju

Literatura koja je govorila o obrazovanju djece bila je usmjerena prvenstveno na pitanjakao sto su ponasanje, dob i vrijeme potrebno za uspjesno stjecanje znanja te o tome kakoorganizirati ovo razdoblje zivota. Cesto kopiran i dobro postovan mali tekst je onaj koji jenapisao pravnik Burhan al-Din al-Zarnujı u 1203. negdje u sjeveroistocnom Iranu ili srednjojAziji. Njegovi naslovi Ta’lım al-muta’allinv ; Tariq al-ta’allum (Naputak uceniku, Metodaucenja) odrazavali su program autora koji je zelio pomoci ucenicima da uspjesno zavrseskolsku godinu. On govori price o prijasnjim nastavnicima i ucenicima, uglavnom vlastitepravne skole, tj. one Abu Hanıfa, te nudi moralne smjernice, objasnjava tehnike ucenja iraspravlja o drugim prakticnim pitanjima kao sto su prehrana, smjestaj i pozeljne tvrtke. Namatematicke znanosti ne gleda blagonaklono, osim kad mogu pridonijeti poboljsanju pouz-danosti vjerskih aktivnosti. Astronomija je zabranjena osim s jednom iznimkom: dopustenoje izucavati ono sto je neophodno za odredivanje smjera prema Meki i satova molitve. Jedinane-vjerska disciplina za koju al-Zarnujı izjavljuje bez zadrske da je dopustena je studiranjemedicine jer proucava ”slucajne ili sekundarne uzroke”.

Iza izricite rasprave o temama koje se mogu ili bi ih trebalo izucavati, matematicko zna-nje se pojavljuje na posredan nacin, kada al-Zarnujı govori, primjerice, o tekstovima kojipoducavaju zakone. Ostale teme nam prikazuju uvjete pod kojima se uci i prenosi mate-maticko znanje tj. odnose se na izbor vrste znanja koje treba uciti, kod koga uciti i kakouciti. Al-Zarnujı je siguran da bi ucenik trebao prije svega teziti ”starim znanjima”. ”Ostatisa starim stvarima, izbjegavati nove stvari” ova izreka se odnosi i na izbor ucitelja. Mladeucitelje treba izbjegavati, stari i pobozni ljudi su pozeljni. S druge strane, strpljenje je kva-liteta koju dobar ucenik treba njegovati. Treba zavrsiti svoja ocitanja unutar jedne domeneznanja prije pocetka druge. Takoder bi trebao ostati na jednom mjestu dok ne nauci sve stose tamo moze nauciti. Najvaznija metoda za ucenje koju predlaze al-Zarnujı i koja je doistadominirala ucenjem u medresama i srodnim ustanovama, ukljucujuci matematicka podrucja,bila je pamcenje onoga sto se ucilo.

Svaki dan je ucenik trebao povecati kapacitet svoje memorije za jednu rijec kako bi sejamcilo glatko ucenje. Memoriranje previse materijala odjednom bilo je kontraproduktivnoi glavni uzrok neuspjeha. Kad je u odgovarajucem raspolozenju i obicaju, ucenik trebaredovito ponavljati predavanja prethodnih dana: ona od prethodnog dana pet puta, ona oddan prije tog dana cetiri puta, itd . . . Jednako tako, ucenik nije trebao nista pisati sto nijeu potpunosti razumio. Povreda ovog nacela je losa za karakter ucenika, unistava njegovuinteligenciju, te je gubitak vremena. Dakle, razumijevanje onoga sto ucitelj nudi je druginajvazniji nacin ucenja. Treca metoda ucenja ukljucuje debatu, raspravljanje i propitivanje.Svo troje bi trebalo biti ucinjeno nepristrano i bez gnjeva, jer je cilj utvrditi istinu. Raspravakoja ima za cilj svladati i slomili svoje protivnike, za razliku od toga, je nedopustena.

Usporedba tih preporuka i ideala s opisima biografije znanstvenika koji su proucavali ma-tematicke tekstove pokazuje da su neke od tih metoda takoder usle u nastavu matematike,

37

dok su se druge tek rijetko spominjale. Proucavanje matematickih tekstova i istrazivanje sekretalo na dva nacina:jedan je funkcionirao bez ikakvog uvoda; drugi je predstavio samopo-uzdanog autora koji je ponosan na svoja matematicka postignuca u tekstu. Prvu vrstu sunastavili pratiti neki autori, dok je drugi tip cesce zamijenjen novom retorikom samoodrica-nja. U ovoj retorici, autor se predstavio kao siromah ili rob u sluzbi Boga, znanstvenik koji jesretno slijedio svog prethodnika. Slava se sada pripisivala vecinom samom tekstu, a ne nje-govu autoru. Pamcenje, istrazivanje, odgovaranje na pitanja i vjezbanje su rijeci koje bivsistudenti matematickih znanosti koriste kad opisuju svoje iskustvo u razredu. Istrazivanje jeu ovom kontekstu znacilo trazenje rjesenja nekog problema ili pak predlaganje neceg novogako je ucenik dosegao naprednu razinu odgovaranja na pitanja.

3.8 Koja matematicka disciplina je legitimna da ju musliman uci,poducava i zaradi za zivot koristeci ju?

Ako je ucenik postigao posljednju fazu svog obrazovanja i postao ucenjak, on je imao petglavnih mogucnosti za zaradivanje za zivot ako nije dolazio iz imucne obitelji ili ako se nijeobvezao na siromastvo. Dvije od tih opcija su dio obrazovnog sustava. Ucenjaci su cestozamjenjivali svoje nastavnike u manjim medresama ili sufijskim odsjecima i dobli dio placekoju su donacijski dokumenti propisivali za nositelja ureda. To je mogao biti vrlo unosanpolozaj. Druga prilika za zaradu novca sastojala se od poucavanja bilo djece u mektebi ilisiromasnih. Ostale mogucnosti za ucenike ili mlade ucenjake da zarade za zivot postojalesu u pravnom sustavu, trgovini i financijskim uslugama. Djelovanje u svojstvu svjedoka, naprimjer, bila je takav prilika za dohodak u pravnom sustavu. U petnaestom stoljecu, je tobila ocito najcesce birana opcija medu znanstvenicima. Ako je student proveo neko vrijemecitajuci medicinske tekstove, tada je mogao pokusati zaraditi novac kao lijecnik. To nijeuvijek bio sretan izbor, jer nije svatko tko je procitao nekoliko medicinskih tekstova postaouspjesan lijecnik i nasao pravu klijentelu. Takoder je bilo moguce kombinirati razlicitemetode i time povecati svoje prihode. Osim ovih standardnih nacina zarade, biografskirjecnici takoder prijavljuju slucajeve koje su njihovi autori smatrali izuzetnima, kao sto toal-Sakhawı jasno daje do znanja u slucaju Shihab al-Din Ahmad b. Ibad (d. 1480.), koji jestudirao nasljedna pravila i aritmetiku s Ibn el-Majdi i Nasir al-Dn al-Barinbarı.

Kada bi ucenik postao ucenjak, mogao bi biti imenovan od strane vladara ili njegovih pred-stavnika na razna imenovanja, obicno na vjerskom ili upravnom podrucju, kao qadi, uciteljmedresa, knjiznicar, blagajnik, odnosno administrativni upravitelj vakufa (vjerska donacija).

Od trinaestog stoljeca, pozicije na medresama, srodnim ustanovama poput Dar al-Qufanili al-hadıth-u (Kuca (za ucenje) Kurana ili izreka Poslanika), ili dzamijama smatrane suvrlo prestiznima i unosnima. To je dovelo do borbe za takve pozicije. Mnogi znanstvenicisu radili sve u njihovoj moci kako bi stekli sto je vise nastavnih pozicija moguce koje bi tadacesto davali svojim naprednim ucenicima ili njihovim sinovima i ostalim muskim srodnicima.Davali su sve od sebe kako bi osigurali da njihovi sinovi, posinci, odnosno pozeljni ucenicinaslijede njihove najprestiznije pozicije. Ovaj stav prema obrazovanju kao temelj za soci-jalno osnazivanje i osobne dobitke je vec je bio rasiren medu ucenjacima mameluka krajemtrinaestog stoljeca. U trinaestom stoljecu, ucenjaci, nisu smatrali ovo ponasanje neukusnim,ukljucujuci pregovaranje o polozajima s neprijateljima (Mongoli). U Osmanskom carstvusedamnaestog stoljeca, bila je odvratna cinjenica da su se profesorske pozicije mogle kupitii vladala je korupcija. Bila je ocito izvanredna iznimka kada bi ucenjak bio imenovan napoziciju bez placanja mita.

38

Sirenje medresa i srodnih nastavnih institucija prosirilo je i reguliralo mogucnosti placenihnastavnih pozicija i djelovalo na taj nacin na olaksavanje ranijeg odbijanja placanja zapoducavanje jer su mnogi dijeljenje vjerskog znanja smatrali obvezom i stoga se vjerovalo datreba biti besplatno. cak i nakon sto je sustav medresa s placenim pozicijama bio je sirokoprihvacen od strane razlicitih pravnih skola, znanstvenika i vladara, neki ucenjaci su i daljevjerovali da sve discipline povezane s vjerskim znanjem treba poducavati besplatno. Namatematickom podrucju, ovo je posebice vrijedilo za vjestine i teme koje su poducavane upravnom podrucju nasljedivanja. Ostali matematicki predmeti poput algebre ili geometrije,medutim, mogli su se poducavati za naknadu.

3.9 Najpopularnija obrazovna djela iz matematickih znanosti

Najpopularnije djelo u nastavi geometrije bilo je Nasir al-DN al-Tusi-evo izdanje EuklidovihElemenata, napravljeno 1248. Vjerovalo se da je njezin autor imao pristup dvjema glavnimtradicijama grckoga teksta na arapskom od devetog stoljeca. Vjeruje se da je prvi tekst Tusıdosao od prvog prevoditelja Elemenata na arapski, al-Hajjaj b. Yusuf b. Matar. Drugitekst je, po Tusi-evom misljenju, plod rada Thabit b. Qurra, koji je i sam bio plodonosanprevoditelj grckih matematickih radova na arapski i jedan od vodecih znanstvenika iz devetogstoljeca. Thabit je poboljsao prijevod Elemenata koji je 70-ih godina 9. stoljeca napravioIshaq b. Hunayn (d. 911.) osiguravajuci dopune i podatke iz drugih grckih rukopisa ieventualno ispravke matematickih odlomaka koje je prevoditelj mozda pogresno shvatio.

Postojalo je nekoliko najprestiznijih tekstova iz aritmetike i algebre. U petnaestom stoljecu,Ibn al-Bannaove rasprave dominiraju ucenjem u Al-Andalusu i Maghribu, cineci utjecaj i umamelucima Egipat, Sirija i sire. Jos jedan Maghrib autor koji je studirao u istim regijama,a mozda i dalje na istoku je Ibn el-Yasamn, cije pjesme je komentiralo nekoliko ucenikai nastavnika iz matematickih znanosti, medu njima al-Qalasadı, Ibn al-Haim, a Sibt al-Maridan. Najvise proucavani mamelucki autor u aritmetici i algebri bio je Ibn el-Haim,koji je napisao i nekih 18 rasprava na tu temu. U sedamnaestom i osamnaestom stoljecu,najuspjesniji udzbenik u Osmanskom carstvu, Indiji i Sredisnjoj Azije bio je Baha ’al-Din al-’Amili-ov Khulasat al-hisab. Samo u knjiznicama u Istanbulu i Anatoliji je sacuvano vise od100 primjeraka ovog teksta. Zanimljivo, cini se da je ovaj tekst bio uspjesniji u OsmanskomCarstvu i Indiji nego u samom Iranu, dok su s druge strane tekstovi mameluckih i osmanskihautora cini se puno manje koristeni od strane otomanskih nastavnika i ucenika od teksta izSafavidskog Irana. Ove lokalne varijacije i razlike izmedu suvremenih islamskih drustavazasluzuju ozbiljnu pozornost, jer one ukazuju na postojanje lokalnih kultura matematike unastavi, a mozda i u istrazivanjima, za razliku od najcesce pretpostavljane neznanstvenekulture svih islamskih drustava, kako to predlaze dominantna retorika ”znanosti u islamu”ili ”Arabo-islamske matematike” i slicni izrazi.

Osim navedenih popularnih djela, postoje i zapisi o jos nekoliko naprednih tekstova ma-tematickog sadrzaja. Prema tome, vjerojatno je postojao i odreden broj studenata mogaoteziti visim razinama ucenja i doista ih mogao postici. Velika prisutnost jednostavnih os-novnih nastavnih tekstova prikriva postojanje takve vise razine u obrazovnoj praksi dugo uosamnaestom stoljecu.

3.10 Zakljucci

Povijest poducavanja matematike u islamskim drustvima obiljezena je jednom od glavnihprekretnica - stvaranje medresa i integracija svjetovnih znanosti u podrucje formalnog obra-

39

zovanja. Jos uvijek nije jasno kada je ta integracija zapocela i kako se sirila kroz razlicitapodrucja islamskog svijeta, niti je dobro shvaceno koja je od pravnih skola sunitskog is-lama otvorila svoja vrata najprije poducavanju druge teme osim zakona, ukljucujuci i mate-maticke. Iznijeli smo glavne crte razvoja koje proizlaze iz primarnih dokaza koje nalazimo ubiografskim rjecnicima, povijesnim kronikama i matematickim rukopisima. Ti izvori sugeri-raju da su Sirija, sjeverni Irak, Anatolija i Iran su od primarne vaznosti za te procese tijekomkasnijeg dvanaestog i trinaestog stoljeca. Od cetrnaestog stoljeca, Egipat je postao vazna re-gija za poducavanje matematike na medresama. Ocigledno, Maghrib je slijedio ubrzo nakontoga. Nesto kasnije, matematiku su poceli poducavati u subsaharskoj Africi. Ove vremen-ske razlike u sirenju matematickog obrazovanja iz glavnih gradova na pokrajinske gradove iponekad cak i na sela pokazuju da su postojale lokalne kulture matematickog obrazovanja,a ne jedan veliki carski ili medunarodni sustav ucenja matematike, kao sto se cesto vjeruje.Ove lokalne kulture su medusobno povezane preko putujucih ucenika, ucitelja, pokroviteljai tekstova. Neki matematicki tekstovi i njihovi autori postali su kanonske vlasti u mnogimmedresama u sjevernoj Africi, Egiptu, Siriji, Anatoliji, Iranu, sredisnjoj Aziji i Indiji. Autoriiz Irana su cesto imali najveci utjecaj te su sirili znanje o u astronomiji, aritmetici, algebri igeometriji.

Osnovne znacajke koje dolaze iz integracije matematickih disciplina u medrese su povecanjebroja osnovnih (temeljnih) tekstova te smanjena vaznost literature klasicnih i drevnih autora.Ove pojave odrazavaju svoju funkciju uvodnih i istrazivackih tekstova za studentsku popu-laciju koja za cilj prvenstveno ima steci pravno i vjersko znanje i studirati matematicketekstove kao pomocno sredstvo za svoje kasnije aktivnosti kao sto su suci i drugi pravnisluzbenici ili kao clanovi fiskalne uprave. Dakle, pojava ogromne kolicine osnovnih, elemen-tarnih tekstova o matematickim temama vise se ne treba tumaciti kao znak propadanja,vec priznati kao izraz jedne duboko izmijenjene drustvene i kulturne funkcije matematickogobrazovanja.

Matematicko obrazovanje u postklasicnim drustvima, medutim, nije uvijek ograniceno naosnovna pravila aritmetike, algebre, ili geometrije. U mnogo ranijim stoljecima, interesza studij na visoj razini promican je pojavom nove specijalizirane domene u astronomiji- ’ilm al-mıqat, znanosti o mjerenju vremena. Dakle, matematicko obrazovanje, kako naosnovnoj tako i na naprednoj razini, postalo je dobro uklopljeno u sociokulturne prakseprofesora medresa, njihovih zamjenika i njihovih ucenika, to jest, u skupini ’ulama’, kojise obicno shvacaju kao vjerski ucenjaci. Ovo utjelovljenje otvara mogucnosti i postavljagranice. Matematicke teme sve su vise poducavane kao zakon i druge vjerske discipline kaosto mnogi navedeni osnovni tekstovi pokazuju. Ali cak i ta granica, sa svojim posljedicamapodvrgavanja matematike sociokulturnim standardima prava i religije, ne znaci i kraj svihoblika nastave vise prikladnih za matematiku od ucenja napamet.

Povijest matematickog obrazovanja u postklasicnim islamskim drustvima nije jednostavna,vec se radi o uniformnim, opseznim i dugorocnim procesima.

40

4 Literatura

[1] Karp, Alexander, Schubring, Gert (Eds.), Handbook on the History of MathematicsEducation, Springer-Verlag New York, 2014.

41

5 Sazetak

U ovom radu cemo reci nesto o matematickom obrazovanju u Antici i u islamskim drustvima.Tijekom iskapanja provedenih u Iraku, Iranu i Siriji arheolozi i ilegalni kopaci otkrili su

stotine tisuca glinenih plocica koje sadrze tekstove svih vrsta i koji nam daju dokaze opovijesti edukacije matematike.

Matematicko obrazovanje od 3300. godine prije Krista do pocetku nove ere bilo je podje-ljeno u tri stupnja: osnovni, srednji i napredni stupanj.

U helenistickoj Mezopotamiji, matematicko obrazovanje bilo je usko povezano s astralnimznanostima. Klinasto matematicko pismo vise se nije ucilo djecu ili adolescente koji su stjecaliznanja iz pismenosti i racunanja, kao sto je to bio slucaj u Starom babilonskom razdoblju,vec mlade znanstvenike koji su vjerojatno vec bili pismeni na aramejskom, a mozda i nagrckom.

U starom Egiptu prezivjelo je malo matematickih izvora te sustav nastave nije poznat. Pasvi pronadeni tekstovi dopustaju grubu procjenu raspona egipatskog matematickog znanja itehnike izracuna.

Nastavni plan i program obrazovnog kurikuluma u antici se moze podijeliti na tri uzas-topne faze, oznacene kao osnovne, sekundarne i tercijarne ili vise. Svaka faza imala je svojenastavnike i skole: prva faza odgovara prvom stjecanju osnovne pismenosti i racunanja;druga faza odgovara proucavanjem napredne literature te posljednja faza odgovara ucenjuretorickih vjestina i drugih naprednih domena.

Matematicki predmeti su smatrani izuzetno prikladnim za kurikulum lozofskog obrazova-nja.

Matematicke znanosti u islamskim drustvima sastoje se od cetiri teorijske discipline:teorijabrojeva, geometrija, astronomija i teorija razmjera- te raznih poddisciplina i grana.

U radu su iznesene glavne crte razvoja koje proizlaze iz primarnih dokaza koje nalazimo ubiografskim rjecnicima, povijesnim kronikama i matematickim rukopisima.

Matematicko obrazovanje je slozen fenomen, a time i ovaj pokusaj proucavanja iz razlicitihkutova. Ovaj rad je organiziran kronoloski i geografski, sadrzavajuci analizu matematike krozrazlicita razdoblja i regije, te je posvecen proucavanju razlicitih matematickih predmeta inastavnih praksi.

42

6 Title and summary

In this article we will tell you something about mathematics education in ancient times andin Islamic societies.

During excavations conducted in Iraq, Iran and Syria, archaeologists and illegal minershave found hundreds of thousands of clay tablets containing the texts of all kinds and thatgive evidence of the history of mathematics education.

Mathematics education from 3300-s BC to the beginning of a new era was divided intothree levels: basic, intermediate and advanced level.

In Hellenistic Mesopotamia, mathematics education was closely linked to the astral scien-ces. Wedge-shaped mathematical letter was no longer taught children or adolescents whohave gained knowledge in literacy and numeracy, as was the case in the Old Babylonianperiod, but the young scientists who have probably already been written in Aramaic, andperhaps the Greek.

In ancient Egypt survived a little mathematical sources and the system of education in notknown. We all found texts allow a rough estimate of the range of the Egyptian mathematicalknowledge and techniques of calculation.

The curriculum of the educational curriculum in antiquity can be divided into three con-secutive phases, designated as primary, secondary and tertiary or more. Each stage had itsteachers and schools. The first phase corresponds to the first acquisition of basic literacyand numeracy; the second phase corresponds to the advanced study of literature and thelast stage corresponds to the learning of rhetorical skills and other advanced domain.

The mathematical objects are considered to be extremely suitable for curriculum fi Hu-manities and Social Education.

Mathematical Sciences in Islamic societies consist of four theoretical disciplines: numbertheory, geometry, astronomy and theory of proportions- and various sub-disciplines andbranches.

The thesis presents the main lines of development resulting from the primary evidencefound in the biographical dictionaries, historical chronicles and mathematical manuscripts.

Mathematics education is a complex phenomenon, and therefore an attempt to study thedifferent angles. The thesis is organized chronologically and geographically, containing ananalysis of mathematics through different periods and regions, and is dedicated to the studyof various mathematical subjects and teaching practices.

43

7 Zivotopis

Rodena sam 11. srpnja 1991. godine u Osijeku. Svoje osnovnoskolsko obrazovanje zapocinjem1998. godine u Osnovnoj skoli Franje Tudmana u Belom Manastiru. Nakon zavrsetka, 2006.godine upisujem opcu gimnaziju u Osijeku. Buduci da sam vec u osnovnoj skoli razvilazanimanje za matematiku, upisujem 2010. godine Sveucilisni nastavnicki studij matematikei informatike na Odjelu za matematiku u Osijeku.