FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELÉCTRICA

 

1.   Evalué la siguiente integral doble ∬ ( x+ y+z )ds siendo “S” la superficie conlas siguientes ecuaciones paramétricas: x2=u2+v2,y=u2−v2,z=2uv con D : u2+v2≤4

Solución:   SQ:

                              ∬ F .dS=∬F r (u , v ) .⎡ru x r v⎡dudv                    ru=(2u ,2u ,2v )

          r v=(2 v ,−2v ,2u)  → ⎡ ru x rv⎡= 4√2(u2+v2)                        

               polares                         4 √2∬ ( 2uv+2uv ) (u2+v2)dudv

Cambiamos a

4 √2∫0

2

∫0

2

(2 r2 sent2+2costsent ) (r3 )drdt

             u=rsent

              v=rcost           ¿ 2563 √2

           2.  Calcule el flujo hacia el exterior del campo vectorial a través F(x)=(2 xz ;−xy ;−z2)

de la frontera de la región D: la cuña cortada del primer octante por el plano

y+z=4y el cilindro elíptico:

4 x2+ y2=16 Solución:

SQ:TRANSFORMANDO:

∇ .F=(−x)x=rcosθ

    y=rsenθ

z=4=2rsenθ

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELÉCTRICA

∅=∭ (−r 2costθ )dzdrdθ→0≤ z ≤4=2rsenθ

0≤ r≤20≤θ≤ π /2

∅=−20 /3El flujo hacia el exterior es positivo:

                                =  20/3

3.  Enuncie y demuestre el teorema de Green.

Solución:

T. green: F=(F1 ;F2)

∮F .dr ∂R=∬( ∂ F2

∂ x−∂ F1

∂ y )dA

 

 

                    

        ∬(∂ F1

∂ y )dA=∫a

b

F1⎡φ2( x)

φ 1( x)d x

¿∫a

b

F1 (x ,φ2 ( x ) )dx−∫a

b

F1 (x ,φ1 ( x ) )dx

¿−[∫ab

F1 (x ,φ2 ( x ) )dx+∫a

b

F1 (x ,φ1( x ))dx ]¿−∮F1dx=∬

∂ F1

∂ ydA………(1)

∬( ∂ F2

∂ x )dA=∫a

b

F12⎡φ2(x)

φ 1( x)dx

¿∫a

b

F2 (φ2 ( y ) , y )dx−∫a

b

F2 (φ1 ( x ) , y )dx….(2)

De (1) y (2):

∮F2dy+∮F1dx=∬(∂ F2

∂ x−∂ F1

∂ y )dA

∮F .dr=¿∬ ( ∂F2

∂ x−∂F1

∂ y )dA…………lqqd ¿

4.  Calcule el flujo total hacia afuera del vector : F=¿

        A travez del Cilindro hueco definido por : 2≤ρ≤3 ;0≤z ≤5

 ∬ FdS=∭ (∇ .F )dV

∇ .F=1ρ∂ (ρ Fρ )∂ρ

+ 1ρ

(∂ Fφ)∂φ

+ 1ρ∂FZ

∂ z

 

¿3 ρsenφ− 1ρsenφ+ ρ  

¿∫0

5

∫0

2π

∫2

3

(3 ρ2 senφ−senφ+ρ2 )dρdφdz

¿10π

 

  

5._ Dado el campo Vectorial : F=∇ x (b x rr3 )

usando la notación inicial demuestre que :   F= b

r3 +¿  siendo  

run vector de 

y 

b 

un vector constante

 

SOLUCIÓN:

∇ x (b x rr3 )=∇ x¿

∂i∂ j

rkr3 ε jkm εnim en

∂i∂ j

rkr3 en (δ jn δki−δ jiδ kn ) , j=n i=k

k=i k=n

∂i ∂ j

rkr3 e j−∂ j∂ j

rkr3 ek

¿¿

¿bδ i

r ir3 −bδ j

rkr3

¿− br 3 ++¿

6.  Hállese la media del ángulo solido subtendido por un disco de radio “a”desde un

punto del eje perpendicular que pasa  por un centro, situado a una distancia “h”

de dicho centro.

   Solución:

                                        

 

α=∫ e⏞r . dsR2 =∫ ds . cosθ

R2 ,ds= ρd∅ dρ

dα=htanθd∅ h secθ2 cosθdθh2 secθ2

dα=senθd∅ dθ

α=∫0

2π

∫0

arctg ah

senθd∅ dθ

∝=2 π (1− h√h2+a2

) 

7. Verifique la veracidad de las siguientes proposiciones:

               i)    Si  ∂P∂ x

=∂Q∂ y

, entonces∫Pdx+Qdy  es independiente 

de la trayectoria de integración.

               ii) El trabajo realizado por una  fuerza F  al recorrer una curva “C” se debe por 

completo a la componente

                 tangencial de F  .

               iii) Si Fes un campo de fuerzas  conservativo, entonces la suma de energías potencial 

                   y cinética de un objeto es  constante.

               

                 SOLUCIÓN:

i) ∫F .dr

Paraque la integralde linea solo dependade A y Besto quiere decir F=∇ (φ)

esto quiere decir que :∇ x F=0

∂Q∂x

= ∂ P∂ y

……………….(F)

ii) F  tiene dos componentes F t y Fn las curvas realizan trabajo pero como Fn siempre es perpendicular a la trayectoria el trabajo :

∫F r (t ) . T¿ t ¿ . ds…………… (V )¿

iii) Si solo actual fuerzas conservativas se sabe que hay una conservación de la energía mecánica que su vez esta es 

la suma de las energías cinética y potencial……………………………..(V)

8 . – Dado el Campo Vectorial      F(x )=¿

       Y   “S”  es la superficie que limita la porción de un toroide definido por: 

S=¿

       SOLUCIÓN: 

x=(b+acosu )cosv

y= (b+acosu ) senv

z=asenv

0≤v ≤2 π;−π /4 ≤u≤π /4

∅=∫F .d s=∫F (u , v ) . ( ru x rv ) . d s

F (u , v )=abcosvcosu+a2cosu2cosv ,abcosusenv+a2cosu2 senv ,asenu(b+acosu)¿

F (u , v ) . (r ux rv ) .=a (b+acosu )

∅=∫0

2π

∫−π /4

π /4a (b+acosu )dudv

¿¿

∅=∫0

2π

∫−π /4

π /4a (b+acosu )dudv

¿¿