mata kuliah kalkulus i (4 sks) dosen : ir. renilaili, mt
DESCRIPTION
MATA KULIAH KALKULUS I (4 sks) Dosen : Ir. RENILAILI, MT. Pertemuan ke 1 sistem bilangan. Sistem bilangan. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
MATA KULIAH KALKULUS I (4 sks)
Dosen : Ir. RENILAILI, MT
Pertemuan ke 1sistem bilangan
Sistem bilangan
• Bilangan merupakan angka mulai dari 0 sampai 10 , tetapi bisa juga bilangan itu berupa pernyataan , seperti bilangan biner , bilangan decimal, bilangan ekponen , bilangan irrasional,bilangan imaginer dll.
Bilangan dasar 10
• 2763 = 2.10
• 2783 = 2.10 3 +7.10 2+ 8.10 1+3.10 0
• 3896,475 = 3.10 3 +8.10 2 + 9.10.1
• +6.10 0 + 4. 10 -1 + 7.10 -2
+ 5.10 -3
Pertemuan ke dualatihan soal-soal
Latihan soal soal
• Latihan untuk merubah ke bilangan biner
• Soal-soal:
2789 =
4789 =
9765 =
7569 =
6754 =
Pertemuan ketigamerubah basis
Merubah basis
• Cara merubah basis dapat dilakukan dengan jalan membagi bilangan tersebut secara terus menerus sampai bilangan tersebut menghsilkan bilangan 0
• Contoh
• 524 = 1014 8
• 897 = 629 12
• 0,526 = 0,4152 8
Pertemuan ke empatlimit
LIMIT
Difinisi :
f (x) dikatakan mempunyai limit L untuk x → x0, bila untuk setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditunjuk bilangan positif δ sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi
TEOREMA LIMIT
Teorema Limit Jika K suatu konstanta, f dan g adalah fungsi – fungsi yang
mempunyai limit untuk x → a, a ε R.• f (x) = k → lim f (x) = k x → a• f (x) = k → lim f (x) = a x → a• Lim [ f(x) + g (x) ] = lim f(x) + lim g (x) x → a x → a x → a• Lim [ f(x) – g (x)] = lim f(x) – lim g (x) x → a x → a x → a• Lim k f(x) = K. lim f(x) x → a x → a
1. Lim [ f(x) . g (x) = lim f(x) . lim g (x) x → a x → a x → a
)(
)(
xg
xf
)(
)(
xgaxLim
xfaxLim
2. Lim =
x → a
3. Lim [ f(x) ]n = [lim f(x)]n , n bilangan bulat
x → a x → a
n xf )( n xf )(lim4. Lim = , n bilangan asli n ≥ 2
x → a x → a
5. Lim [ f(x)]m/n = nmxf )](lim
x → a x → a
= mn xfLim )( , m bilangan bulat lim f(x) ε R
x → a
3
3214
222
3lim1lim31lim.2 22
xxx
xxxx
1055
55
5lim
5
55lim
5
25lim.3
2
xx
x
x
xx
x
x
xx
xx
xx
xxx
xx
10
3
5
11107
53
lim51110
753lim.7
3
23
22
Contoh-contoh penyelesaian limit
22
4222
22lim
2
4lim.12
2
xx
x
xx
x
x
105323
333
5limlim2lim52lim.10
2
22
xxx
xxxx
4
lim
x 2
4
x
x4
lim
x2
)2)(2(
x
xx4) =
=
4
lim
x 4242 x
Pertemuan ke limalatihan soal-soal limit
Soal-soal latihan
Lanjutan soal
Pertemuan ke enamdifferensial
DIFFERENSIAL
Fungsi Aljabar
f (x) difefenisikan sebagai fungsi x, dapat ditulis dengan singkat sebagai y dan f’ (x) merupakan turunan dari f (x) juga dalam hal ini dapat ditulis dengan dy/dx, tetapi ada fungsi-fungsi lainnya yang dalam buku ini ditulis sebagai u dan v yang digunakan untuk memperpendek cara penulisan.
RUMUS-RUMUS DASAR
1. f (x) = xn
f’ (x) = n. xn-1
Contoh
f (x) = x5
f’ (x) = 5. x4
f (x) = 2x3
f’ (x) = 6x2
2. f (x) = u - v
f’ (x) = u’ – v’
Contoh 1 : f(x) = (2x + 5) – (3x2 + 10) f’(x) = (2) – (6x)
Contoh 2 : f(x) = (2x3 + 5x) – (3x2 + 4) f'(x) = (6x2 + 5) – (6x + 4) f’(x) = 6x2 – 6x + 1
3. f (x) = u + v
f’ (x) = u’ + v’
Contoh 1 : f(x) = (3x3 + 10) + (5x2 + 6) f’(x) = (9x2) + (10x)
Contoh 2 : f(x) = (2x5 + 6x) + (3x2 + 10x) f’(x) = (10x4 + 6) + (6x + 10) = 10x4 + 6x + 16
4. f (x) = u . v f’ (x) = u’v + v’u
Contoh 1 : f(x) = (2x5 + 3) . (3x2 + 1)
f’x) = (10x4) (3x2 + 1) + (6x) (2x5 + 3) = (30x6 + 10x4) + (12x6 + 18x) = 42x6 + 10x4 + 18x
Pertemuan ke tujuhlatihan soal -soaldiff fungsi aljabar
LATIHAN SOAL
1.f(x) = (x3+3) – (x4+4x2)
2.f(x) = (x3+3x2) + (x3+5x)
3.f(x) = (x3+4x2+5x+10)
4.f(x) = (x5+3x) . (x2+2x)
5.f(x) = (x3 + 2x) 1/2
2
111
.5
v
vuvuxf
v
uxf
Contoh 1 :
2
2
2
22
2
21
2
12
1066
12
106612
12
532126
12
53
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
x
xxf
6. f (x) = un f’x) = n.un-1.u’
Contoh :
f(x) = (3x2 + 4)3
f’(x) = 3(3x2 + 4)3-1(6x)
= 18x (3x2 + 4)2
2
1111
.7
v
uvvu
v
unxf
v
uxf
n
n
6
4
2
4
2
4
1
5
1
5
1
1
15
1
111
15
1
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xxf
x
xxf
Contoh 1 :
Pertemuan ke lapanQuisioner
QUISIONER
f(x) = (x3 + 5) (2x + 1)
f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7)
f(x) = (4x5 + 10) – (3x3 + 2x)
f(x) = (2x3+3x)5
52
12
x
xxf
5
2
2
3
1
x
xxf
21
1
8
x
xxf
Pertemuan ke sembilandiff fungsi implisit
Fungsi Implisit
Differensial secara implisit, caranya differensialkan variabel x seperti biasa, kemudian differensialkan variabel y seperti variabel x, tetapi
harus dikalikan dengan dy/dx
2
2
22
22
32
32
32
0032
02
xx
xxyy
dx
dy
xxyydx
dyxx
xdx
dyxxyy
dx
dyx
xyxyx
Pertemuan ke sepuluhlatihan soal-soal
diff fungsi implisit
Latihan soal-soaluntuk fungsi implisit
selesaikanlah differensial fungsi implisit berikut ini :
0105.
052.22
223
xxyyxb
yxxyyxa
Pertemuan ke sebelasdiff fungsi trigonometri
Fungsi Trigonometri
Tabel 1.
Koefisien Differensial Baku
xfdx
dy 1
No
y = f(x)
1 sin x cos x
2 cos x -sin x
3 tg x sec2 x
4 ctg x -cosec2 x
5 sec x sec x tg x
6 Cosec x -cosec x tg x
Pertemuan ke duabelasdiff fungsi eksponen
FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARIMA
Pertemuan ke tigabelaslatihan soal-soal
diff fungsi exponen dan logaritma
xx eedx
dy 1
xx eedx
dy 33 632
xdx
dy 1
aadx
dy x ln
axdx
dy
ln
1
)3()3( 1 xx eedx
dy
1. y = ex
2. y = 2e3x
3. y = ln x
4. y = ax
5. log a x
6. y = e(3-x)
CONTOH PENYELESAIAN SOAL-SOAL
Pertemuan ke empatbelasmid test
MID TESTSELESAIKANLAH DIFFERENSIAL FUNGSI-FUNGSI BERIKUT INI DENGAN WAKTU 60 MENIT.
1. f(x) = ( 2x4 + 3x2 + 5x + 55 )
2. f(x) = ( 3x2 + 5x3 ) + ( 4x3 - 2x3 )
3. f(x) = ( 3x4 + 5x2 ) 7
4. f(x) = ( 3x 3_ 4x2 ) . ( 2x4 + 5x )
5. f(x) = sin 2x3 + 3tg 2x
6. f(x) = ( cos 3x + 5 ) . ( sin 3x2 )
7. f(x) = ( e 3x + 5x2 ) + ( sin 3x2 + 5 )
Pertemuan ke limabelaspenerapan differensial
PENERAPAN DIFFERENSIAL
• Garis Singgung dan Garis Normal suatu kurva disebuah titik tertentu.Kemiringan kurva y = f(x) disebuah titik P pada kurva ditentukan oleh kemiringan garis singgungnya dititik P. Kemiringan ini juga diberikan oleh harga dititik P. Yang dapat dihitung bila persamaan kurvanya diketahui. Jadi kita dapat menghitung kemiringan garis singgung suatu kurva dititik P. Kita tahu bahwa garis singgung tersebut melalui titik P, yaitu bila x = x1 dan y = y1.
• Persamaan garis untuk menghitung kemiringan adalah: y-y1 = m (x-x1)
JARI-JARI KELENGKUNGAN
Pertemuan ke enambelaslatihan soal
penerapan differensial
Latihan soal
1. Tentukanlah jari-jari kelengkungan kurva
dititik (2,3)
2. Tentukanlah persamaan garis singgung
dari garis normal kurva
y = x3 – 2x2 + 3x – 1 dititik (2,5).
x
xy
3
411
Pertemuan ke tujubelasIntegral
INTEGRAL
PengertianIntegral boleh disebut sebagai “anti turunan” atau kebalikan dari differensial, kalau dalam differensial pangkat dari variabel x berkurang satu, sebaliknya dalam integral pangkat dari variabel x bertambah satu. Dalam operasi matematika ada dua macam operasi yang saling berlawanan, operasi yang demikian merupakan operasi balikan (inversi).
Dalam operasi balikan itu misalnya pengurangan dan penambahan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar serta penarikan logaritma dan perhitungan logaritma.
MACAM –MACAM INTEGRAL
Dalam menyelesaikan suatu fungsi integral, maka perlu kita ketahui bahwa ada beberapa macam fungsi yang dapat dikelompokkan sebagai beriktu :
• Integral tak tentu• Integral parsiil• Integral fungsi rasional• Integral fungsi trigonometri• Integral logaritma dan exponen• Integral denan substitusi
RUMUS-RUMUS DASAR
Ca
adxa
Cek
dxe
Cedxe
Cxx
dx
CXn
dxx
xx
kxkx
xx
nn
ln.5
1.4
.3
ln.2
1
1.1 1
Cxdxxctg
Cxdxxtg
Cxdxx
Cxdxx
sinln.9
cosln.8
sincos.7
cossin.6
Cxx
dx
Cxctgdxxec
Cxtgdxx
Cxctgxecdxxec
Cxtgxdxx
arcsin1
.14
cos.13
sec.12
coslncos.11
seclnsec.10
2
2
2
Pertemuan ke delapanbelasIntegral tak tentu
INTEGRAL TAK TENTU
CXn
dxx nn
1
1
1
INTEGRAL TAK TENTU
Contoh-contoh
XXXX
CXX
CXX
dxxdxxxxxxdxx
Cxxxdxdxxdxxdxxxdxx
CXCXCXdxXX
dx
CXXCXCXdxxxdx
2
2
5
2
3
12
31
2
1
3
3
2
1
23222
33
113
2
3
2
3 2
2
3
13
1
2
1
5
2
3
25
2
3
2
12
31
12
11
1.6
42
4
3
144442.5
331
3
21
.4
3
2
3
2
12
11
.3
Pertemuan ke sembilanbelasIntegral dengan substitusi
INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI
dxxx 223 3.2
Cx
Cu
Cuduu
33
3
122
23
13
1
12
1
Misalnya : x3 + 2 = u 3x2dx = du
Cx
Cu
Cu
duuduudxxx
2
32
2
1
12
1
2
1
2
123
29
23
2
3
1
121
1
3
1
3
1
3
1.2
Pertemuan ke duapuluhlatihan soal-soal
integral tak tentu danintegral dg substitusi
Latihan soal
dxx 4.1
2.2
x
dx
dxx3 2.3
5 3.4
x
dx
dx
x
xx 24.5
2
x
dx
32.6
1
.72x
dxx
3 23
2
5.8
x
dxx
Pertemuan ke duapuluhsatuIntegral parsiil
INTEGRAL PARSIIL
Suatu bentuk integral yang sering timbul, ialah suatu integral yang integralnya merupakan hasil ganda dari suatu fungsi x dengan differensial dari fungsi x yang lain. Andaikan u dan v adalah fungsi dari x, maka dicari hasil dari bentuk :
Agar kita dapat menggunakan rumus ini, bentuk dari integral dari integral yang kita ketahui harus dibuat menjadi dua bagaian satu bagain sesuai dengan u dan bagian yang lain bersama-sama dengan dx sesuai dv. Untuk lebih jelasnya kita ambil beberapa
vduvuudv .
Contoh Integral parsiil
Cxxx
dxxxx
dxx
xxx
vduvudxxx
Cxdxxv
dxxdv
dxx
du
xuyaMisa
dxxx
x
33
23
3
2
32
2
2
9
1ln
3
13
1ln
3
1
1
3
1
3
1ln
ln
3
1.
1
ln:ln
ln.
Pertemuan ke duapuluhdualatihan soal-soalIntegral parsiil
Latihan soal
dxxx 2cos
dxex x32
dxxx ln3
Pertemuan ke duapuluhtigaIntegral fungsi rasional
Integral fungsi rasional
Dalam menyelesaikan integral fungsi rasional ada cara yang dapat digunakan agar penyelesaian tersebut dapat dengan mudah kita selesaikan.
Caranya adalah sebagai berikut : Bagian kiri identik dengan bagian kanan, berarti koefisien-koefisien dari x yang berpangkat sama dari kedua bagian tersebut harus sama.
CONTOH INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
dx
xx
x
67
123
213132
302167
12
32167
3
3
xxCxxBxxA
x
C
x
B
x
Adx
xx
x
xxxxx
dalam hal ini x3 – 7x + 6 kita uraikan dalam bentuk faktor :
Maka persamaan menjadi :
Cxxx
x
dx
x
dx
x
dx
dxx
dxx
dxx
dxx
Cdx
x
Bdx
x
Adx
xx
x
3ln4
12ln1ln
4
3
34
1
21
14
3
34
1
2
1
14
3
32167
123
Pertemuan ke duapululimalatihan soal-soal
Integral fungsi rasional
6116
5223 xxx
dxx
604712
10523 xxx
dxx
LATIHAN SOAL FUNGSI RASIONAL
Pertemuan ke duapuluenamlatihan soal-soal
campuran
Slatihan soal-soal campuran
1.f(x) = (x3 + 5) (2x + 1) 2. f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7) 3. f(x) = (4x5 + 10) – (3x3 + 2x) 4. f(x) = (2x3+3x)5
Pertemuan ke duapulutujuhlatihan soal-soal
campuran
Slatihan soal-soal campuran
1.f(x) = (x3 + 5) (2x + 1) 2. f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7) 3. f(x) = (4x5 + 10) – (3x3 + 2x) 4. f(x) = (2x3+3x)5
Pertemuan ke duapuluhdelapanujian semester