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FECHAS DE ENTREGA: Tercer parcial Martes 14 de julio de 2009 Hrs. 16:30 a 18:00 Aula 5 (Geología) Viernes 17 de julio de 2009 Hrs. 16:30 a 18:00 Aula 31

1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, utilizando el método de punto fijo multivariable:

SOLUCIÓN Resolviendo por el método de punto fijo multivariable, con sustituciones simultaneas, primero se despejaran de las ecuaciones las variables de la siguiente forma:

Para verificar que el sistema converge se deberán cumplir con las siguientes condiciones en las formulas con derivadas parciales:

Luego de probar algunos valores se tomarán como valores iniciales:

Además de darnos como tolerancia un error de 10-6.

MAT 1105 F

PRACTICA Nº 2

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1ra. Iteración

3

Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del método:

Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá rápidamente a una respuesta, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberá continuar con otra iteración. 2da. Iteración

Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del método:

Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberá continuar con otra iteración. 3ra. Iteración

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Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del método:

Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberá continuar con otra iteración. Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla:

i error

0 0.1 0.1 -0.1

1 0,499983 0,020176 -0,524101 0,745561

2 0,499981 -0,000028 -0,524106 0,020204

3 0,500000 -0,000028 -0,523598 0,000508

4 0,500000 0,000000 -0,523598 2.8·10-5

5 0,500000 0,000000 -0,523599 7.1·10-7

RESPUESTA.- La solución al sistema de ecuaciones es la siguiente:

2. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

a) El método de Newton - Raphson multivariable Solución

- En primer lugar se debe despejar e igualar cada función a cero:

- Resolviendo por el método de Newton-Raphson multivariable, con las siguientes formulas:

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- Los valores del vector [hxi, hyi, hzi], se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones:

Donde:

La matriz [J] de derivadas parciales, o matriz Jacobiana es:

El vector [-f ] es el valor negativo de cada ecuación del sistema:

- Considerando las características de las funciones, se tomarán los siguientes valores iniciales:

1ra Iteración - Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene:

- Evaluando los valores en el vector de funciones:

- Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuación:

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- Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables:

- Por otra parte para verificar el error se puede calcular la distancia entre los valores de la primera

iteración y lo valores iniciales con la siguiente formula:

Si tomamos una tolerancia de 10-5, se continúa el algoritmo con una siguiente iteración. 2da Iteración - Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene:

- Evaluando los valores en el vector de funciones:

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- Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuación:

- Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables:

3ra Iteración - Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene:

- Evaluando los valores en el vector de funciones:

- Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuación:

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- Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables:

Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla:

i error

0 1,000000 1,000000 1,000000

1 1,588306 0,153840 -0,692238 1,981353

2 1,440126 -0,013132 0,102269 0,825275

3 1,470351 -0,000437 -0,233979 0,337842

4 1,469501 0,000000 -0,227768 0,006284

5 1,469504 0,000000 -0,227777 0,000009

RESPUESTA.- La solución al sistema de ecuaciones es la siguiente:

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3. Dada la siguiente tabla de datos:

Puntos 0 1 2 3 4

1.00 1.35 1.70 1.90 3.00

0.00000 0.30010 0.53063 0.64185 1.09861

a) Primero construir la tabla de diferencias divididas, para aproximar la función en los

siguientes puntos: Solución

1ra. diferencia dividida.

2da. diferencia dividida

3ra. diferencia dividida

4ta. diferencia dividida

Estos resultados se muestran en la siguiente tabla:

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i xi yi 1ra. diferencia 2da. diferencia 3ra. diferencia 4ta. diferencia

0 1.00 0.00000

0.857429

1 1.35 0.30010

2 1.70 0.53063

3 1.90 0.64185

4 3.00 1.09861

Pag

ina

9

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b) Para , con un polinomio de 2do. grado.

Solución

Ubicando el punto buscado en la tabla de datos, tomando en cuenta que para un polinomio de segundo grado solo se necesitan 3 puntos, se utilizarán los puntos más cercanos al punto buscado :

i xi yi 1ra. diferencia 2da. diferencia

0 1.00 0.00000

0.857429

1 1.35 0.30010

2 1.70 0.53063

La ecuación de interpolación por diferencias divididas de segundo orden es la siguiente, donde es importante notar que el primer punto de los datos usados es

Reemplazando valores, se obtiene el polinomio:

Evaluando en el punto requerido,

:

Respuesta

1.20

x0

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c) Para , con un polinomio de 3er. grado. Solución

Ubicando el punto buscado en la tabla de datos, tomando en cuenta que para un polinomio de tercer grado se necesitan 4 puntos:

i xi yi 1ra. diferencia 2da. diferencia 3ra. diferencia

1 1.35 0.30010

2 1.70 0.53063

3 1.90 0.64185

4 3.00 1.09861

La ecuación de interpolación por diferencias divididas de tercer orden es la siguiente, donde es importante notar que el primer punto de los datos usados es

Reemplazando valores, se obtiene el polinomio:

Evaluando en el punto requerido, :

1.75

x1

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Respuesta

d) Para , con un polinomio de 2do. grado.

Solución

Ubicando el punto en la tabla de datos se puede notar que se encuentra fuera del rango de datos, pero de todas formas se puede interpolar este valor, utilizando los 3 datos más cercanos a este punto.

i xi yi 1ra. diferencia 2da. diferencia

2 1.70 0.53063

3 1.90 0.64185

4 3.00 1.09861

La ecuación de interpolación por diferencias divididas de segundo orden es la siguiente, donde el primer punto de los datos que se usarán es

Reemplazando valores, se obtiene el polinomio:

Evaluando en el punto requerido, :

Respuesta

3.50

x2

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4. Con los siguientes valores:

Puntos 0 1 2 3 4 5 6

40 60 80 100 120 140 160

0.63 1.36 2.18 3.00 3.93 6.22 8.59

Obtener el valor de la función para , con un polinomio de 2do. grado, utilizando los siguientes métodos:

a) Por interpolación polinominal simple.

Solución

Con un polinomio de segundo grado, solo se utilizarán los 3 pares de puntos que estén más cerca del punto buscado ( ), en la tabla, por lo que tendríamos una nueva tabla con los datos:

Puntos 1 2 3

60 80 100

1.36 2.18 3.00

Para interpolar polinomios con este método se tiene que reemplazar cada par de datos en la ecuación característica de segundo grado:

Reemplazando los datos:

Resulta el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

90

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Que resolviendo por alguno de los métodos conocidos: 00 .000 Con lo que el polinomio de interpolación resulta ser un polinomio de 1er. grado: Para verificar este resultado se puede graficar los puntos:

Reemplazando el valor requerido:

Respuesta

b) Por polinomios de Lagrange.

Solución

Interpolando por el método de Lagrange se utiliza la siguiente formula:

1,36

2,18

2,59

3

1

1,5

2

2,5

3

3,5

50 60 70 80 90 100 110

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Donde:

En este caso con un polinomio de segundo grado y con los puntos utilizados, la formula sería:

Puntos 1 2 3

60 80 100

1.36 2.18 3.00

Reemplazando los valores de la tabla:

Finalmente evaluando el polinomio en el punto:

Respuesta

c) Por diferencias finitas.

Solución Resolviendo por el método de interpolación de Newton con diferencias finitas, se necesita verificar que la distancia entre los puntos sea la misma:

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Puntos 1 2 3

60 80 100

20 20 La fórmula de este método es la siguiente:

Para un polinomio de segundo grado, considerando que el primer punto no es sino es

, por lo que la formula queda:

Donde:

Reemplazando con los datos:

Puntos 1 2 3

60 80 100

1.36 2.18 3.00

Luego el polinomio sería:

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Finalmente evaluando el polinomio en el punto:

Respuesta

Comparando los resultados de los incisos, se puede ver que interpolando con cualquier método se obtiene el mismo polinomio, y por supuesto el mismo resultado.

5. Con los siguientes datos:

Puntos 0 1 2 3 4 5 6

293 300 320 340 360 380 400

8.53·10-5 19.1·10-5 1.56·10-3 0.01 0.0522 0.2284 0.8631

Calcular los coeficientes de la ecuación:

Resolviendo con el método de mínimos cuadrados, linealizando la ecuación. Solución Como se puede ver la ecuación mostrada no es lineal, sino exponencial, por lo que se deberá hacer un cambio de variable para linealizar la ecuación, de la siguiente manera: - Primero aplicando logaritmos a ambos lados de la función:

Por propiedades de logaritmos:

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- Luego realizando el siguiente cambio de variables:

Con lo que se tiene una ecuación lineal:

- De la misma forma se tiene que realizar las operaciones en cada valor de la tabla:

Puntos

0 293 8.53·10-5 0,003413 -9,369336

1 300 19.1·10-5 0,003333 -8,563237

2 320 1.56·10-3 0,003125 -6,463069

3 340 0.01 0,002941 -4,605170

4 360 0.0522 0,002778 -2,952673

5 380 0.2284 0,002632 -1,476657

6 400 0.8631 0,002500 -0,147225

Finalmente resolviendo por el método de mínimos cuadrados, debe calcular la siguiente tabla:

Puntos

0 0,003413 -9,369336 1,164836·10-5 -0,031977

1 0,003333 -8,563237 1,111111·10-5 -0,028544

2 0,003125 -6,463069 9,765625·10-6 -0,020197

3 0,002941 -4,605170 8,650519·10-6 -0,013545

4 0,002778 -2,952673 7,716049·10-6 -0,008202

5 0,002632 -1,476657 6,925208·10-6 -0,003886

6 0,002500 -0,147225 6,250000·10-6 -0,000368

∑ 0,020722 -33,577367 6,206687·10-5 -0,106719

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Luego para calcular los coeficientes se tiene que resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

= Reemplazando los valores de las sumatorias, donde es el número de puntos.

Resolviendo el sistema: 141883

Con lo la ecuación queda:

141883

Finalmente se reemplazando a las variables originales:

Con lo que la ecuación queda:

Para verificar los resultados se debe graficar la ecuación obtenida:

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Respuesta

Luego de verificar los coeficientes en la gráfica, se tiene como resultado:

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

290 310 330 350 370 390 410

yi

xi

Curva regresionada

Datos Originales

Nota: Obviamente no puedes imprimir este documento y entregarlo como practica.