mÁster de ensayos en vuelo y certificaciÓn de...

Máster deEnsayos en Vuelo

(ETSIA-UPM)

ETSIA-UPM29.04.08

MMÁÁSTER DE ENSAYOS EN VUELOSTER DE ENSAYOS EN VUELO

Y CERTIFICACIY CERTIFICACIÓÓN DE AERONAVESN DE AERONAVES

(Curso 2008/09)(Curso 2008/09)

Modelos MatemModelos Matemááticos de la Mecticos de la Mecáánica (F5.1 y F5.2)nica (F5.1 y F5.2)


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ÍNDICE

•Introducción

•Modelos de primer orden (caída libre y con fricción)

•Modelos de segundo orden (vibraciones mecánicas)

•Teoría cualitativa de ecuaciones

• Soluciones de equilibrio y estabilidad lineal

• Modelo simplificado de vuelo (modo Fugoide)

• Modelos armamentísticos (Richardson)

• Modelos de combate (Lanchester)


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INTRODUCCIÓN

FENÓMENO FÍSICO

LEYESFÍSICAS

MODELO MATEMÁTICO

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

EN GENERAL

LEYESDE LA

MECÁNICA

NUESTRO CASO

ACTUACIONES DE UNA AERONAVE

SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


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MODELOS DE PRIMER ORDEN

0

d = d

(0) =

vm m gt

v v

⎧⎪⎨⎪⎩

-Problema

-Solución

0( ) v t v gt= +

Caída libre


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0

d = - d

(0) =

Dvm m g Ft

v v

⎧⎪⎨⎪⎩

-Problema

-Solución

20 0

20 0

( ) ( )( ) ; con lim ( )( ) ( )

kgm

kgm

tL L

L Lt tL L

v v e v v mgv t v v v tkv v e v v →∞

+ − −= = =

+ + −

Caída con fricción del medio

1 2 2 = = 2D DF C Sv k vρ

Ley de resistenciacuadrática:

2

d d = (variables separadas)v tmg kv m−


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Caída con fricción del medio2

0 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

kgm

kgm

tL L L L

L L LtL L L L

v v e v vv v v t v v t vv v e v v

+ − −• = ⇒ = ⇒ ≡

+ + −


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0 Lv v• <


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0 Lv v• >


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Paracaidista

2

2

1( )1

kgm

kgm

t

L t

Cev t vCe

−=

+

0( ) v t v gt= +


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2 2

2

22

2

Para , con ,

d d ( ) = = 2 2d d

cuyas soluciones son de la forma ( ) .

1 2Nótese que, para 1, ( )1

kgm

kgm

L L

L

L

kgtm

L

t kgtL m

L Lt

mgv v u u vk

v kv u k v u u kgg g g ut m t m v m

v t v Ae

Ce vt v t v v eCCe

−

−

= + =

+− ⇒ − − = −

= +

−= −

+

Tratamiento aproximado


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MODELOS DE SEGUNDO ORDEN

Vibraciones armónicas forzadas

Segunda ley de Newton'' ' ( )Mx cx kx f t+ + =

x , con 0.', con 0.

( )D

ext

F kx kF cx cF f t

= − >= − >=


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Vibraciones libres no amortiguadas

2 2'' 0, con kx a x aM

+ = =

x , con 0.0D ext

F kx kF F

= − >= =

k es la rigidez del muelle


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2 2 2'' ( ) 0 .tx a x a e iaλλ λ+ = + = ⇒ = ±

Se prueba con soluciones del tipo ( ) tx t eλ=

1 2( ) cos( ), ( ) sin( ).2 2

iat iat iat iate e e ex t at x t ati

− −+ −= = = =

1 2( ) ( ) ( ),x t Ax t Bx t= + donde

La solución general es de la forma


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2

0 0

'' 0,(0) , '(0) 0.

x a xx x v x

⎧ + =⎨

= = =⎩

-Masa inicialmente desplazada y en reposo

0( ) cos( )x t x at=La solución particular es:

0( ) cos( ) sin( ), (0)'( ) sin( ) cos( ), '(0) 0

x t A at B at x A xx t aA at aB at x aB

= + = =

= − + = =


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0

0

Amplitud: ,

2( ) cos( ) Periodo: 2 2

1 1Frecuencia: 2

x

Mx t x at aT Ta kkf

T M

ππ π

π

⎧⎪⎪⎪= = ⇒ = =⎨⎪⎪

= =⎪⎩


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Vibraciones libres amortiguadas

x , con 0.', con 0.

0.D

ext

F kx kF cx cF

= − >= − >=

c mide la resistencia del medio

2 2'' 2 ' 0, con y 2

c kx bx a x b aM M

+ + = = =


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Vibraciones libres amortiguadas

2 2 2

2 2 2 21 2

'' 2 ' ( 2 ) 0

y

tx bx a x b a e

b b a b b a

λλ λ

λ λ

+ + = + + = ⇒

= − + − = − − −

Se prueba con soluciones del tipo ( ) tx t eλ=

Se consideran tres casos:2 2

2 2

2 2

000

b ab ab a

• − >

• − =

• − <


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Movimiento sobreamortiguado2 2 0b a• − > (El efecto de la fricción supera al del muelle)

1 2

2 2 2 21 2

Solución general: ( ) , con

<0, 0.

t tx t Ae Be

b b a b b a

λ λ

λ λ

= +

= − + − = − − − <

La solución particular para el caso de masainicialmente desplazada y en reposo es:

( )2 101 2

1 2

( ) t txx t e eλ λλ λλ λ

= −−


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Movimiento sobreamortiguado2 2 0b a• − > (El efecto de la fricción supera al del muelle)

( )2 101 2

1 2

( ) t txx t e eλ λλ λλ λ

= −−


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Amortiguamiento crítico2 2 0b a• − = (El efecto de la fricción equilibra el del muelle)

1 2Las dos raíces son iguales, 0.

La solución general es: ( ) ( ) . bt

b

x t A Bt e

λ λ−

= = − <

= +

La solución particular para el caso de masainicialmente desplazada y en reposo es:

0( ) (1 ) btx t x bt e−= +


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Amortiguamiento crítico2 2 0b a• − =

0( ) (1 ) bt

(El efecto de la fricción equilibra el del muelle)

x t x bt e−= +


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Movimiento oscilatorio amortiguado

2 2 0b a• − < (El efecto de la fricción es inferior al del muelle)

2 21,2

0

Raíces complejas conjugadas:

, con .

Solución general: ( ) ( cos( ) sin( )).Solución particular para masa desplazada en reposo:

( ) cos(

bt

bt

b i a b

x t e A t B t

x t x e

λ ω ω

ω ω

ω

−

−

= − ± = −

= +

= ) sin( ) bt tωω

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠


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Movimiento oscilatorio amortiguado

2 2 0b a• − < (El efecto de la fricción es inferior al del muelle)

0( ) cos( ) sin( )bt bx t x e t tω ωω

− ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠


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Vibraciones forzadas

x

0

, con 0.', con 0.

( ) cos( ).D

ext

F kx kF cx cF f t f t

= − >= − >= = Ω

20

2 00

'' 2 ' cos( ),

con , y 2

x bx a x F tfc kb a F

M M M

+ + = Ω

= = =


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Vibraciones forzadas2

0Las soluciones de '' 2 ' cos( ) sonde la forma ( ) ( ) ( ), donde es unasolución particular de la ecuación completa y esuna solución de la homogénea ( ( ) 0), es decir:

( )

P H P

H

b

H

x bx a x F tx t x t x t x

xf t

x t Ae−

+ + = Ω

= +

≡

• = ( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 2 22 2

2 2

2 2 2 2

2 2

, para 0

( ) ( ) , para 0

( ) cos sin ,

para 0

b a t b b a t

btH

btH

Be b a

x t A Bt e b a

x t e A t a b B t a b

b a

+ − − + −

−

−

+ − >

• = + − =

• = − + −

− <


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( )( )

( )( )

( )

0

1 2

2 2

1 0 22 2 2 2 21 2 0

2 21 2

2 0 22 2 2

1

Para ( ) cos( ), la solución particular se puedeobtener probando con ( ) cos( ) sin( ) :

2 4

22 0

4

Luego ( ) ( ) cos(

P

H

f t F tx t C t C t

aC F

a C b C F a b

bb C a C C Fa b

x t x t C

= Ω

= Ω + Ω

−Ω=

⎫−Ω + = −Ω +⎪⇒⎬− + −Ω = ⎪⎭ =

−Ω +

= + Ω

( )

2

102 222 2 2

) sin( )cos( ) 2( ) , con tan

4H

t C tF t bx t

aa b

φ φ −

+ Ω =

Ω − ⎛ ⎞= + = ⎜ ⎟−Ω⎝ ⎠−Ω +


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( )0

22 2 2

La parte homogénea desaparece para 1 lim ( ) 0. Luego

cos( )( ) ( ) , para 1.4

Obsérvese que la frecuencia de la respuesta es la deltérmino forzante y su amplitud es máxima par

Ht

P

tx t

F tx t x t ta b

φ→∞

=

Ω −=

−Ω +

a , la frecuencia correspondiente a las vibraciones no amortiguadas. Este máximo tiende a para 0.A este fenómeno se le conoce como RESONANCIA.

a

b

Ω =

∞ =


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Resonancia

( )0

22 2 2Am

4

F

a b=

−Ω +


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Resonancia

Isla de Alexander Selkirk(Archipiélago de Juan Fernández)


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TEORÍA CUALITATIVA DE ECUACIONES

IntroducciónDado un sistema de ecuaciones diferenciales:

se trata de conocer determinados aspectos “cualitativos”de sus soluciones que nos permitan, incluso en el caso deque no podamos resolverlo explícitamente, deducir elcomportamiento del sistema modelizado ante determinadascondiciones del mismo.

( , )x f x t=rr r&


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Definiciones

•Soluciones críticas: Son las soluciones constantes, es decir,

•Sistema autónomo: Cuando el segundo miembro no dependedel tiempo.

•Solución estable: Cualquier solución “cercana” a ella en uninstante permanece en sus “inmediaciones” para todo

•Solución inestable: La que no es estable.

0t 0t t>

0 0tal que ( , ) 0x x f x t≡ =rr r r

( )x f x=rr r&


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Sistemas autónomos:En muchos modelos de la física y de la mecánica, elanálisis de la estabilidad de las soluciones críticas deun sistema autónomo será suficiente para conocer elcomportamiento del sistema en la zona de diseño.Obsérvese que, cerca de una solución crítica, el sistemase puede aproximar como:

[ ][ ]

[ ]

0 0 0

0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

Si ( ) 0, ( ) , con ( ).

( ) es la matriz jacobiana de en .

x f x f x Jf x x x

f x x Jf x x x x x

Jf x f x

= + − +

≡ Δ Δ Δ = −

r rr r r r r r& Lr rr r r r r r r&

rr r


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Estabilidad de sistemas lineales (I):Luego, en muchos casos bastará con analizar la estabilidadde la solución nula de un sistema lineal de coeficientesconstantes:

Si probamos con soluciones de la forma:se tiene que

Es decir, que debe ser un autovalor de la matriz A y elvector constante un autovector asociado con dichoautovalor.Por tanto, los exponentes son las soluciones del polinomio

.y A y=r r&

0 ,ty e yλ≡r r

[ ] 0 0.te A I yλ λ− ≡rr

λ0yr

λ[ ]det 0.A Iλ− ≡


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Estabilidad de sistemas lineales (II):Todas las soluciones de son de la forma:

donde los son autovalores de A y las componentes delos vectores son, a lo sumo, polinomios en t.Las anteriores funciones tenderán a la solución nula, si laspartes reales de todos los son negativas. Por lo tanto, setiene el siguiente criterio de estabilidad de la solución nula:•Si todos los autovalores de A tiene parte real negativa, lasolución nula es estable•Si algún autovalor de A tiene parte real positiva la soluciónnula es inestable.

,y A y=r r&

jλ1

( ) ( ) ,jN

tj

jy t a t eλ

=

=∑r r

( )ja tr

jλ


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Sistemas autónomos de primer orden:Si es una solución crítica de la ecuación escalar:

Entonces, al linealizar,

•Si la solución es estable.•Si la solución es inestable.•Si puede darse cualquier caso.

( ).x f x=&

0 0'( ) , con .x f x x x x xΔ = Δ Δ = −&

0x

0'( ) 0,f x < 0x x≡0'( ) 0,f x > 0x x≡0'( ) 0,f x =


( )x v0 ( )Lx v x0x

0x x

Mapas de fase

solución estable(paracaidista)

solución inestable

solución semiestable'( ) 2 0L Lkf v vm

⎛ ⎞= − <⎜ ⎟⎝ ⎠


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Sistemas autónomos de segundo orden (I):Si es un punto crítico del sistema:

Al linealizar,

( , )( , )

x f x yy g x y= ⎫

⎬= ⎭

&

&

0, 00, 0

0, 00, 0

2

1,2

2

( )( ), con

( )( )

Tr (Tr ) 4 Det cuyos autovalores son: ,2

donde Tr ( ) y Det ( ).Denotaremos Dis ((Tr ) 4 De

yx

yx

b f x ya f x yx a b xd g x yc g x yy c d y

A A A

A a d A ad bcA A

λ

==Δ Δ⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ==Δ Δ⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎩ ⎭

± −=

= + = −

= −

&

&

t )A

0 0( , )x y


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Sistemas autónomos de segundo orden (II):Casos posibles:

•Si Det A<0, un autovalor es positivo y el otro negativo, lasolución crítica es inestable (Punto silla o puerto).0 0( , )x y

0 0( , )x y

Punto silla


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Sistemas autónomos de segundo orden (II):Casos posibles:•Si Det A>0 y Dis A>0, los dos autovalores son reales y elpunto crítico es un nodo.•Si Det A>0 y Dis A<0, los dos autovalores son complejosconjugados y el punto crítico es un foco o espiral.•En ambos casos, cuando Tr A<0, el punto es estable y, siTr A<0, es inestable.

0 0( , )x y

0 0( , )x y

0 0( , )x y

Nodo Foco


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Modelo simplificado de vuelo longitudinal y simétrico (I):Se considera un avión en vuelosimétrico, longitudinal y queidealmente se mantiene con unángulo de ataque fijoHaciendo uso de las dos ecuacionesdel movimiento en ejes tierra, seobtiene:

d ( )cos sindd ( )sin cosd

um T D Ltwm T D L mgt

θ θ

θ θ

⎫= − − ⎪⎪⎬⎪= − − − +⎪⎭

0.α =


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Modelo simplificado de vuelo longitudinal y simétrico (II):Adimensionalizando las ecuaciones, se tiene:

22 2

2

ˆ ˆd ˆ ˆ ˆ( ) ˆˆ ˆ ˆcon yd , ˆ ˆd , y constantes.ˆ ˆ ˆ( ) 1ˆd

T D L

T D LT D L

u uC C V C VwV u wV

w w C C CC C V C VuV

τ

τ

⎫= − + ⎪⎪ = +⎬⎪= − − +⎪⎭

( )( )

22 4 2

3 2

ˆ ˆ 1 0.

ˆ ˆ ˆˆ ˆ,

L T D

L T D

C V C C V

u C V w C C V V

+ − − =

= = − −

Sólo tiene un punto críticoque cumple


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Modelo simplificado de vuelo longitudinal y simétrico (III):Perturbando las ecuaciones alrededor del caso de vuelorectilíneo, horizontal y uniforme,

2

d 2 con d , d Eficiencia aerodinámica2 d

1Tr 2 , Det 2 y Dis 4 2

LLL

D

L

LL L

Cu Cu C w EE Cw C u

CA A C A C

E E

τ

τ

⎫Δ= − Δ + Δ ⎪ = =⎪

⎬Δ ⎪= − Δ ⎪⎭

⎛ ⎞= − = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

0̂ 1 / :LV C=

Se trata de un punto espiral estable, pues normalmente E>1,es decir, la respuesta ante perturbaciones es oscilatoria yamortiguada (modo Fugoide): ( )2

1,2 1 2 1LCi E

Eλ = − ± −


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Modelo simplificado de vuelo longitudinal y simétrico (IV):

Respuesta a unimpulso.

Respuesta a unapérdida prolongadade potencia.

2, ,

2

T c

c

T mgC Vmg S

mtg S

ρ

ρ

= =

=


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Modelo simplificado de vuelo longitudinal y simétrico (V):Respuesta a unincremento de potencia

Respuesta a un incrementotemporal de potencia

Respuesta en resonancia


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Teoría del conflicto (I):

Se consideran dos bloques en conflicto, A y B, cuyos nivelesde armamento en cada instante t son respectivamente x(t) ey(t). La teoría del conflicto de Richardson plantea que elcrecimiento de las armas de cada uno de los contendienteses proporcional a la cantidad de armas del contrario y estádirectamente relacionado con los agravios que le achaca.Esto se plasma matemáticamente así:d con (agravios de B a A) y d , (agravios de A a B) constantes.d , , y constantes positivas.d

x fx a y ft gy b x y g a bt

α

β α β

⎫= − + + ⎪⎪⎬⎪= − +⎪⎭


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Teoría del conflicto (II):El sistema anterior tiene un punto crítico, que se alcanzarásólo si Det A=αβ − ab>0:

0 0, .ag f bf gx yab abβ α

αβ αβ+ +

= =− −

En el caso de que sea alcanzable, es un nodo estable puesTr A=−(α+β)<0 y Dis A>0, pero, si Det A=αβ − ab<0, elpunto está en el tercer cuadrante y es un punto silla.0 0( , )x y

y

0 0( , )

x

x y0 0( , )x y

y

x

Situación deguerra fría

Situación deconflicto bélico

0abαβ − > 0abαβ − <


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Modelos de combate (Lanchester):En estos modelos, se distinguen dos tipos de combatientes:convencionales o guerrilleros. La tasa de bajas de los prime-ros, como su situación es conocida en el campo de batalla,es proporcional a la eficacia y efectivos del enemigo. Lasbajas de los guerrilleros dependen de que se produzcan en-cuentros con el enemigo y su tasa de variación es proporcionalal producto de los efectivos de ambos combatientes, así:

ambas fuerzas son son guerrillerosconvencionales

d d ( ) ( )d d, . d d ( ) ( )d d

x

x xy f t x y f tt ty yx g t x g tt t

α α

β β

⎫ ⎫= − + = − +⎪ ⎪⎪ ⎪⎬ ⎬⎪ ⎪= − + = − +⎪ ⎪⎭ ⎭

son convencionalesy


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Combate entre dos fuerzas convencionales (I):Sin tasa de refuerzos (f=g=0)

2 2 2 20 0

Det 0, (el origen es un punto silla)d dd , ,

d d d Las órbitas son hipérbolas

Ax yy xt y x y x K

y x yxt

αβα

β α β α βαβ

= − <⎫= − ⎪⎪ = ⇒ − = − =⎬⎪= −⎪⎭

y

x

Si K>0 gana el ejercito Y

Si K<0 gana el ejercito XK=0

K>0

K<0


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Combate entre dos fuerzas convencionales (II):Un ejemplo con refuerzos, la batalla de Iwo Jima:•Americanos: x(0)=0, f(t) no nulo, Fuerzas totales=73.000 combatientes.•Japoneses: y(0)=21.000 combatientes, g(t)=0.

1 1d ( ) 0.0544 (dia) , 0.0106 (dia)d , d ajustados empíricamente d

x y f tty xt

α α β

β

− −⎫= − + ⎪ = =⎪⎬⎪= −⎪⎭

Fuente: M. Braun. Springer


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Combate entre guerrilla y fuerza convencional:Sin tasa de refuerzos (f=g=0)

2 20 0

d d 2 2 ,d d , d Las órbitas son parábolasd

x yx y y x y x Kt x yy xt

βα α β α βα

β

⎫= − ⎪ = ⇒ − = − =⎪⎬⎪= −⎪⎭

y

Si K>0 gana el ejercito Y

Si K<0 gana la guerrilla X

x

K=0K>0

K<0


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BIBLIOGRAFÍA

•Ledder, Glenn; Ecuaciones diferenciales : un enfoque de modelado. McGraw-Hill Internacional (México), 2006.

•Zill, Dennis G.; Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Thomson Learning (México), 2007.

•Nagle, R. K.; Saff, E. B.; Snider, A. D.; Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Pearson Educación (Naucalpan de Juárez, México), 2005.

•Braun, Martin; Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica (México), 1990.

•Cordero Gracia, M.; Gómez López, M.; Ecuaciones Diferenciales (Sistemas Lineales y Teoría Cualitativa). 20 problemas útiles. García-Maroto (Madrid), 2007.

•Simmons, George F.; Ecuaciones diferenciales : con aplicaciones y notas históricas. Mac Graw-Hill (Madrid), 1993.

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