MATEMÁTICAS RECREATIVAS

LA FALSA MONEDA• La alegría que tuvo William cuando llegó a casa con su botín solo se vio

empañada cuando uno de sus compañeros de fechorías lo llamó por teléfono:

• - William, tengo que darte una mala noticia.• - ¿Qué?• - No digas que te lo he dicho yo, pero de las seis monedas de oro que te

han correspondido una es falsa; lo puedes saber fácilmente porque pesa menos que las demás.

• - ¡Maldición! Pero, oye, espera…, y ¿tú como lo sabes?• En ese momento se cortó bruscamente la comunicación, y William,

maldiciendo contra su amigo, se dispuso a salir rápidamente en su busca, pero antes de hacerlo cogió una balanza y en dos pesadas supo cuál era la moneda falsa. ¿Cómo lo hizo?

LA FALSA MONEDA (SOLUCIÓN)

Dividimos las monedas en dos montones iguales y las pesamos, eligiendo el montón de monedas que pesa menos.Con el montón que pesa menos, en el que tenemos tres monedas, escogemos dos y las pesamos.Si las dos pesan lo mismo, la moneda falsa es la otra, y si una pesa menos que la otra, esa es la moneda falsa.

EL LECHERO INGENIOSO

• Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?

Es muy sencillo.Llenamos la jarra de 3 litros y la echamos sobre la jarra de 5 litros.Por tanto, tengo 0 litros en la jarra de 3, y 3 litros en la jarra de 5.Ahora, vuelvo a llenar la jarra de 3 litros y la vuelo a vaciar sobre la jarra de 5. Cómo la jarra de 5 litros, ya tenía 3 litros, sólo puedo echar 2 litros de leche, quedando así 1 litro de leche en la jarra de 3 litros.

EL LECHERO INGENIOSO (Solución)

EL PASTOR, EL LOBO, LA CABRA Y LA LECHUGA

• Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca en la que solo caben él y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo?

• El pastor pasa primero la cabra, la deja en la otra orilla y regresa a por el lobo, al cruzar deja al lobo y vuelve con la cabra, deja la cabra y cruza con la lechuga, deja la lechuga con el lobo y regresa a por la cabra.

EL PASTOR, EL LOBO, LA CABRA Y LA LECHUGA (Solución)

CRUZAR EL RÍO• Cuatro amigos han de cruzar un lago en una barca de remos.• El barquero que les había alquilado la barca les había dicho que ésta

sólo podía cargar un máximo de 100 kg, justo lo que pesaba Carlos.• Los otros tres pesaban, sin embargo mucho menos; Francisco

pesaba 52 kg, Juan pesaba 46 kg; Pablo pesaba 49 Kg. Éste, además, no sabía remar.

• Tras mucho pensar, dieron con una manera de cruzar los cuatro, aunque les supuso varios viajes.

• ¿Cómo lo hicieron?

Primer viaje Juan y Pablo 46 + 49 = 95 kgVuelve Juan.

Segundo viaje Francisco y Juan 52 + 46 = 98 kgVuelve Juan

Tercer Viaje Carlos 100 kgVuelve Francisco

Cuarto Viaje Francisco y Juan 52 + 46 = 98 kg

CRUZAR EL RÍO (Solución)

LOS TIBURONES• En una reunión de tiburones sólo había 13

tazas de té. Todos los tiburones que tomaron té antes de la tempestad, tomaron 3 tazas de té cada uno. Todos los tiburones que tomaron té tras la tempestad tomaron 2 tazas de té cada uno. Solo un tiburón tomó té antes y después de la tormenta.

Como un tiburón bebió antes y después de la tempestad, él sólo bebió 5 tazas, por lo que tenemos que repartir 8 tazas.Tenemos entonces la siguiente solución:Antes de la tempestad 2 tiburones 6 tazas, después 1 tiburón una taza.Total: 3 tiburones toman 3 tazas cada uno, es decir, 9 tazas, y después 2 tiburones toman 2 tazas cada uno, es decir, 4 tazas. Por tanto 9 + 4 = 13 tazas.

LOS TIBURONES (Solución)

LOS PEREZOSOS• La suma de los ojos de los perezosos es un número

par, pero el número de perezosos es impar.• El número de perezosos no es un número primo.• El número de perezosos es menor a 10.• El número de perezosos es un múltiplo de 3.• El resultado de la suma de las patas de los perezosos

es mayor que 30.

Como el número de perezosos es menor que 10 y múltiplo de 3, podemos tener, 3, 6 o 9 perezosos.Como el número de perezosos, no puede ser primo, descartamos el 3. Así pues tenemos o 6 o 9 perezosos.Como el número de perezosos es impar, el resultado es 9, pues 6 es un número par.Además, el número de patas es 4 x 9 = 36, que es un número mayor que 30.

LOS PEREZOSOS (SOLUCIÓN)

EL JUEGO DE LA FRUTATenemos tres piezas de fruta, una manzana roja, una manzana verde y una naranja.

El juego consiste en adivinar el peso de cada una de las piezas de fruta, sabiendo que los pesos de 2 de ellas son:

430 gramos 370 gramos 360 gramos

Si pesamos 2 naranjas con 1 manzana roja y 1 manzana verde, resulta que el peso de todo esto es:

EL JUEGO DE LA FRUTA (Solución)

+ = 370 + 360 = 730

Sabiendo que el peso de 1 manzana roja y una manzana verde es de 430 gramos, restando este peso al anterior, obtenemos el peso de dos naranjas.

- = 730 – 430 = 300

Por tanto, dos naranjas, pesan 300 gr, con lo que una naranja pesa 150 gramos.Sabiendo esto, una manza verde pesará 220 gramos y una manzana roja 210 gramos.

EL ACERTIJO DE EINSTEINPremisas1. En una calle hay cinco casas, pintadas de diferentes colores, en una fila de izquierda a derecha.2. En cada casa vive una persona de diferente nacionalidad.3. Los dueños de éstas cinco casas beben distintas bebidas, fuman distintas marcas de cigarros y tienen una mascota diferente.La pregunta¿Quién es el dueño del pez?Pistas1. El británico vive en la casa roja.2. El sueco tiene un perro.3. El danés bebe té.4. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca.5. El dueño de la casa verde bebe café.6. La persona que fuma Pall Mall cría pájaros.7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.

8. El hombre que vive en la casa del centro toma leche.9. El noruego vive en la primera casa.10. El hombre que fuma Blends vive al lado del que tiene gatos.11. El hombre que tiene caballos vive al lado del hombre que fuma Dunhill.12. El hombre que fuma Blue Master bebe cerveza.13. El alemán fuma Prince.14. El noruego vive al lado de la casa azul.15. El hombre que fuma Blends tiene un vecino que bebe agua.

CUADRADO MÁGICO

• En un tablero de 3x3 colocar los números del 1 al 9 de forma que cada fila, columna y diagonal sume 15.

Para que la suma de tres números sea impar deben ser uno impar y dos pares o los tres impares. De aquí se deduce que la posición central la debe ocupar un número impar, y que las posiciones simétricas respecto al centro deben estar ocupadas por números de la misma paridad. Si buscamos todas las formas de descomponer 15 en tres sumandos distintos del 1 al 9, tenemos únicamente las 8 sumas:

9+5+1 9+4+2 8+6+1 8+5+2 8+4+3 7+6+2 7+5+3 6+5+4 En ellas se aprecia que los pares aparecen en tres sumas, luego deben estar en las esquinas; el cinco aparece cuatro veces, por tanto debe ser el central; y los restantes impares sólo aparecen 2 veces, luego deben estar en mitad de los lados.Podemos empezar colocando cualquier par en una esquina determinada, la superior izquierda por ejemplo. El par que va en la esquina opuesta ya está determinado. Tenemos dos posibilidades para colocar los otros dos pares en las esquinas libres, pero después el 1, 3, 7 y 9 van obligados. Esto nos deja un total de ocho soluciones, que realmente son el resultado de aplicar las simetrías del cuadrado a una cualquiera de ellas. Es decir:

CUADRADO MÁGICO (Solución)

PREMIO DE TELEVISIÓN

Dos programas de televisión sortean un coche. En el primero, hay tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas está el coche; detrás de las otras dos no hay nada. Ud. elige una puerta. Si encuentra el vehículo, lo gana. Si detrás de la puerta elegida no hay nada... mala suerte. Su probabilidad de ganar es, claro está, 1/3.

El otro programa tiene un mecanismo diferente. Nuevamente hay tres puertas y solo una es la ganadora. Ud. elige una de las puertas y enseguida el presentador elige una de las dos restantes. Le queda a Ud. entonces la siguiente opción: puede quedarse con la elección original o bien puede cambiar su decisión y pasarse a la puerta que el presentador dejó libre.

Las preguntas son: ¿En qué programa conviene participar? ¿Es indistinto? Si uno participa en el segundo programa, ¿qué estrategia conviene adoptar? ¿conviene conservar la decisión original o conviene cambiarla? ¿es indistinto?

Conviene participar en el segundo programa y siempre optar por escoger la puerta que dejó libre el presentador. En este caso tendrá el doble de opciones de ganar que en el primer programa. Veamos: Como ya se vio, la probabilidad de escoger la puerta correcta en el primer intento es igual a 1/3. Por lo tanto la probabilidad de que la puerta correcta sea una de las restantes es igual a 2/3; que es igual a la probabilidad de que el presentador le deje libre la puerta ganadora. O sea, que si siempre se cambia de puerta la probabilidad de éxito es de 2/3 (el doble que en el primer programa)

PREMIO DE TELEVISIÓN

EL ENGAÑO DEL CORDEL

Una vieja historia narra que cierto día un comprador se acercó a un vendedor de espárragos y le dijo: Traigo este cordel que mide un palmo, ¿cuánto me cobraréis por el mazo de espárragos que pueda atar con él?. En vendedor de espárragos pidió 10 reales y el comprador se mostró conforme. A los dos días, el comprador dijo al vendedor de espárragos: Vuelvo con este cordel que mide dos palmos, os acordaréis que por los espárragos que pude atar por el que medía un palmo me cobrasteis 10 reales, así que por este cordón que mide dos palmos os pagaré 20 reales, si lo veis justo.

El aldeano aceptó, aunque quedó con cierta duda si le habría engañado o no el comprador.

• Con un cordel de doble longitud se encierra una superficie cuatro veces mayor, por lo que no se trataba de doble cantidad de espárragos, sino de cuádruple cantidad.

EL ENGAÑO DEL CORDEL

LOS PUENTES DE KRÖNIGSBERG

En el siglo XVIII había en la ciudad de Königsberg (situada en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia) siete puentes que conectaban cada una de las orillas del río Pregel con dos islas interiores. Los ciudadanos estaban muy orgullosos de sus puentes y bromeaban sobre la posibilidad de recorrerlos todos pasando una sola vez por cada uno de ellos.Es esto posible?

El tema se hizo muy popular y llegó a oídos de Euler, matemático suizo nacido en Basilea en 1707, quien demostró que era imposible recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por uno de ellos.

Para comprobarlo, identificó cada una de las orillas con un punto e hizo lo mismo con cada una de las islas, convirtió los puentes en líneas que unían los puntos; de esta forma obtuvo una red de puntos y líneas.

En una red de este tipo, se denominan vértices pares a aquellos a los que llega un número par de líneas, e impares si es un número impar.

Euler demostró que era imposible recorrer una red sin pasar dos veces por el mismo camino (línea) si ésta tenía más de dos vértices impares. En el caso de que sólo hubiera dos vértices impares, era posible recorrer la red si se partía de un vértice impar y se acababa en el otro. Por lo que respecta a los puentes, todos los vértices son impares (a todos llegan tres caminos, excepto a una de las islas que llegan cinco), por tanto, el problema no tiene solución.

Puedes comprobar que el problema tendría solución, por ejemplo, eliminando el puente que une las dos islas y tomando como punto de partida una de las orillas y como punto de llegada la otra ya que, eliminando el puente intermedio, tendríamos dos vértices impares y dos pares.

EL NÚMERO DE ORO

Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea.

Coge una regla y busca tu carné de identidad, una tarjeta postal, alguna tableta de chocolate, una casette, una foto de la fachada de la Universidad de Salamanca, ... Mide el largo de cada uno de estos rectángulos (áureos) y divídelo entre el ancho.Como habrás podido comprobar, el cociente es un número muy próximo a 1,61803... aunque su valor exacto es:

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza

• El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ...

• Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

En la figura se puede comprobar que AB/CD=ᶲ. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD=ᶲ y CD/CA=ᶲ.

Hay un precedente en la cultura Griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2ᶲ.

Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.