markofilipović derivacijafunkcijejednerealnevarijablei ...mdjumic/uploads/diplomski/fil10.pdf ·...

Sveučilište J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike

Marko Filipović

Derivacija funkcije jedne realne varijable iprimjeneDiplomski rad

Osijek, 2013.

Sveučilište J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike

Marko Filipović

Derivacija funkcije jedne realne varijable iprimjeneDiplomski rad

Mentor: prof.dr.sc. Kristian Sabo

Osijek, 2013.

Sadržaj1. Uvod 4

2. Derivacija 52.1. Pojam derivacije funkcije - definicija i motivacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Interpretacija derivacije u fizici - problem brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Problem tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. Interpretacija derivacije u ekonomiji - marginalna analiza . . . . . . . . . . . . 112.5. Interpretacija derivacije u biologiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Primjena derivacije 193.1. Primjena derivacije na intervale monotonosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Primjena derivacije na problem lokalnih ekstrema . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Primjena derivacije na konveksne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. Numeričko deriviranje 294.1. Tri formule za numeričko deriviranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2. Ocjena pogreške za formule numeričkog deriviranja . . . . . . . . . . . . . . . 35

Literatura 37

Sažetak 38

Title and Summary 39

Životopis 40

Derivacija funkcije jedne realne varijable i primjene 4

1. Uvod

Derivacija predstavlja jedan od najvažnijih pojmova matematičke analize te matematike op-ćenito. Rješavanje mnogih problema koji dolaze iz različitih primjena matematike, a posebnokod onih iz područja optimizacije gotovo je nezamislivo bez poznavanja derivacije kao i svoj-stava derivabilnih funkcija. Početak formalnog proučavanja derivacija vezana je uz njemačkogmatematičara G.W.Leibniza (Leipzig, 1. srpnja 1646. - Hannover, 14. studeni 1716.) teengleskog fizičara I. Newtona (Woolsthorpe, 4. siječnja 1643. - London, 31. ožujka 1728.).

U ovom diplomskom radu dana je definicija, pregled osnovnih svojstava te nekih primjenaderivacija funkcije jedne realne varijable. Rad se sastoji od tri poglavlja.

U poglavlju "Derivacija" definiran je pojam derivacije funkcije u točki iz domene te funkcije.Derivacija funkcije u točki uvedena je preko lokalne aproksimacije funkcije linearnom funk-cijom. Pokazat će se da je koeficijent smjera takve linearne funkcije u uskoj vezi s pojmomderivacije funkcije u točki. Ova veza derivacije i lokalne akprosimacije funkcije linearnom fun-cijom potječe od njemačkog matematičara G.W.Leibniza. U okviru ovog poglavlja kratko jeopisan i drugi pristup pojmu derivacije, koji dolazi od engleskog fizičara I. Newtona, a povezanje s trenutnom brzinom materijalne točke. Nakon definicije derivacije funkcije u točki, defi-nirana je derivacija funkcije kao funkcija koja točki iz domene funkcije pridružuje derivacijufunkcije u toj točki.

Također, navedeni su neki problemi koji se svode na određivanje derivacije funkcije u točki,a dolaze iz područja fizike, ekonomije te biologije. Vezano uz probleme koji dolaze iz biologijeposebno su analizirani model rasta neke populacije bez ograničenja i s ograničenjem, a koji sesvode na eksponencijalni, odnosno logistički model rasta populacije.

U drugom poglavlju "Primjena derivacije" navedene su osnovne primjene derivacije na kva-litativna svojstva funkcije kao što su određivanje intervala monotonosti, određivanje lokalnihekstrema funkcije, određivanje područja konveksnosti i konkavnosti.

Navedene primjene popraćene su odgovarajućim ilustrativnim primjerima.U trećem poglavlju "Numeričko deriviranje" navedene su metode za aproksimaciju deriva-

ciju funkcije u nekoj točki. Numeričko deriviranje obično se koristi u situacijama u kojimafunkciju poznajemo samo na diskretnom skupu ili je funkcija izrazito složena. Navedene su triformule za numeričko deriviranje te je ispitano koja od tih triju formula kao metoda daje naj-bolju aproksimaciju. Dane su odgovarajuće grafičke ilustracije različitih numeričkih primjera.Točnost spomentih formula pokazana je primjenom razvoja funkcije u Taylorov red.


2. Derivacija

2.1. Pojam derivacije funkcije - definicija i motivacija

Derivaciju funkcije u točki, kao osnovni pojam diferencijalnog računa 1, uvest ćemo prekoproblema linearne aproksimacije - aproksimacije linearnom funkcijom jer je upravo aproksi-macija ili približno određivanje nekog složenijeg matematičkog izraza pomoću jednostavnijihizraza jedna od često upotrebljavanih metoda u rješavanju matematičkih problema. Budućida je u matematičkoj analizi od interesa proučavanje funkcija, postavlja se pitanje je li mogućezadanu složenu funkciju dobro aproksimirati u okolini točke iz njezine domene jednostavnijomfunkcijom, kao što je primjerice polinom. To bi značilo da bismo iz ponašanja jednostavnihfunkcija (ovdje ćemo pod jednostavnim funkcijama podrazumijevati polinome prvog stupnjačiji su grafovi pravci) mogli nešto zaključiti o složenijoj funkciji.

Za funkciju f : I → R, pri čemu je I ⊆ R otvoren interval, želimo odrediti polinom prvogstupnja oblika g(x) = k(x − x0) + l, x ∈ R, koji ima svojstvo da je lokalno oko točke x0najbolja aproksimacija funkcije f . U tom slučaju prirodno je zahtijevati da je g(x0) = f(x0),što daje f(x0) = l. Sada iz drugog zahtjeva f(x) ≈ g(x) za x ≈ x0 imamo

k ≈ f(x)− f(x0)x− x0

Brojf(x)− f(x0)

x− x0(2.1)

zovemo kvocijent diferencija (vidi [7]). U brojniku kvocijenta diferencija nalazi se razlikavrijednosti funkcije f u točkama x i x0, dok je u nazivniku odgovarajuća razlika nezavisne va-rijable. Taj broj mjeri "brzinu promjene" funkcije f u odnosu na promjenu nezavisne varijable.Za veličine

x− x0 i f(x)− f(x0)

kažemo, redom, da su prirast argumenta (prirast nezavisne varijable) i prirast funkcije u točkix = x0. Problem aproksimacije funkcije polinomom prvog stupnja navodi nas na sljedećepitanje:

Što se događa s (2.1) kad se x neograničeno približava prema x0?

Zato je od interesa sljedeći pojam.1područje matematike u sklopu matematičke analize koje se bavi funkcijama, derivacijama i limesima funk-

cije


Definicija 2.1. (vidi [4]) Neka je f : I → R, I = (a, b) ⊂ R, funkcija te x0 ∈ (a, b). Akopostoji

limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

onda taj limes (broj) nazivamo derivacijom funkcije f u točki x0 te označavamo na jedan odsljedeća tri načina:

f ′(x0) · · ·Lagrangeov zapis,2

df(x0)dx

· · ·Leibnizov zapis,

Df(x0) · · ·Caucyjev zapis3

Ako postoji derivacija za svaki x ∈ I, onda kažemo da je realna funkcija f derivabilna (čestose koristi naziv i diferencijabilna) na intervalu I. Ako je f derivabilna na intervalu I, ondana tom intervalu možemo definirati novu funkciju f ′ koju nazivamo prvom derivacijomfunkcije f na I. Ako funkcija f ′ ima derivaciju u nekoj točki x0 ∈ I, onda njenu vrijednostnazivamo drugom derivacijom funkcije f u točki x0 i označavamo s f ′′(x0). Dakle, drugaderivacija je zapravo derivacija prve derivacije. Analogno se definira treća f ′′′(x0) i općeniton-ta derivacija f (n)(x0) funkcije fu točki x0. Više derivacije mogu se označavati rimskimbrojevima ili arapskim u zagradi.

Navedimo jedno važno svojstvo derivabilnih funkcija u točki, a to je neprekidnost. No,prije što razmotrimo vezu između derivabilnosti (diferencijabilnosti) i neprekidnosti funkcijef prisjetimo se definicije neprekidne funkcije.

Definicija 2.2. Neka je I = (a, b) ⊂ R otvoreni interval i točka x0 ∈ I. Za funkciju f : I → Rkažemo da je neprekidna u točki x0 ako postoji limes funkcije f u točki x0 koji je jednak f(x0),tj. ako je

limx→x0

f(x) = f(x0)

Funkcija f je neprekidna na intervalu I ako je neprekidna u svakoj točki intervala. Nadalje,za funkciju f kažemo da je neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b] ako je neprekidna naotvorenom intervalu (a, b), te neprekidna zdesna u a i slijeva u b.

Pokažimo vezu između derivabilnosti i neprekidnosti funkcije f u nekoj točki iskazanusljedećim teoremom gdje se navodi da derivabilost povlači neprekidnost.

2Joseph-Louis Lagrange, (Torino, 25.siječnja 1736. - Pariz, 10. travnja 1813.), italijanski matematičar iastronom

3Augustin-Louis Cauchy, (Pariz, 21. kolovoza 1789. - Sceaux, 23. svibnja 1857.), francuski matematičar


Teorem 2.1. (vidi [7]) (Teorem o neprekidnosti derivabilne funkcije)Ako je funkcija f : I → R derivabilna u točki x0 otvorenog intervala I, onda je f neprekidnau x0, tj. vrijedi

limx→x0

f(x) = f(x0).

Dokaz. Budući da po pretpostavci funkcija F (x) = f(x)− f(x0)x− x0

ima limes f ′(x0) u x0 i dafunkcija G(x) = x− x0 ima limes nula u x0, teorem o produktu limesa (vidi [7]) pokazuje dafunkcija F (x) ·G(x) = f(x)− f(x0) ima limes u x0 i da je

limx→x0

(f(x)− f(x0)) = limx→x0

F (x) · limx→x0

G(x) = f ′(x0) · 0 = 0.

Iz limx→x0

(f(x)− f(x0)) = 0 slijedi limx→x0

f(x) = f(x0). 2

Primjedba 2.1. (vidi [10]) Vrlo često se u definiciji 2.1 označi prirast nezavisne varijable utočki x0 s

∆x = x− x0

a prirast funkcije y = f(x) u točki x0 s

∆y ≡ ∆f(x0) = f(x0 + ∆x)− f(x0)

što daje ekvivalentnu formulu:

f ′(x0) = lim∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)∆x = lim∆x→0

∆f(x0)∆x = lim∆x→0

∆y∆x

Iako ćemo se nadalje uglavnom baviti derivabilnim funkcijama, razmotrit ćemo i slučajkada funkcija f nije derivabilna u točki x0, tj. slučaj kada granična vrijednost količnika (2.1)ne postoji. To je slučaj kada za granične vrijednosti

limx→x−0

f(x)− f(x0)x− x0

= lim∆x→0−

f(x0 + ∆x)− f(x0)∆x ,

ilimx→x+0

f(x)− f(x0)x− x0

= lim∆x→0+

f(x0 + ∆x)− f(x0)∆x ,

vrijedi jedna od sljedeće tri mogućnosti:

1. postoje obje granične vrijednosti, ali se razlikuju,

2. jedna od njih ne postoji,

3. niti jedna od njih ne postoji.


U prvom slučaju kažemo da postoje derivacija slijeva i derivacija zdesna funkcije f u točkix = x0, označavajući ih redom s f ′−(x0) i f ′+(x0).

Primjer 2.1. Funkcija f(x) = |x| u točki x0 = 0 ima sljedeće limese:

f ′−(0) = limx→0−

|x|x

= −1

if ′+(0) = lim

x→0+|x|x

= 1.

Dakle, lijevi i desni limes kvocijenta diferencija postoje, ali su različiti, pa f nije derivabilnau točki x = 0. Primijetimo da je u svim ostalim točkama iz R \ {0} funkcija f derivabilna teza svaki x ∈ R \ {0} vrijedi f ′(x) = sign(x).

Može se pokazati (vidi [5]) da je funkcija f derivabilna u točki x = x0 ako i samoako je f derivabilna slijeva i zdesna u x0 i ako je f ′−(x0) = f ′+(x0) = f ′(x0).

Shodno definiciji 2.1 može se promatrati derivacija funkcije na čitavom segmentu o čemu govorisljedeća definicija.

Definicija 2.3. Ako za svaki x0 ∈ (a, b) postoji limes

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

,

i ako postoje f ′+(a) = limx→a+

f(x)−f(a)x−a te f

′−(b) = lim

x→b−f(x)−f(b)

x−b koji su jednaki, kažemo da funkcijaf ima derivaciju u proizvoljnoj točki x0 ∈ [a, b] koju označavamo s f ′(x0) ili da je derivabilnana segmentu [a, b].

Primjer 2.2. Ispitajmo je li funkcija f : [−3, 3] → R zadana formulom f(x) = 1 + |x|derivabilna u točki x0 = 0 segmenta [−3, 3]. Budući je

f(x) ={

1 + x , ako je x ∈ [0, 3]1− x , ako je x ∈ [−3, 0)

računajući redom derivacije slijeva, odnosno zdesna u točki x0 = 0 dobivamo:

f ′−(0) = lim∆x→0−f(0 + ∆x)− f(0)

∆x = lim∆x→0−1−∆x− 1

∆x = −1

f ′+(0) = lim∆x→0+f(0 + ∆x)− f(0)

∆x = lim∆x→0+1 + ∆x− 1

∆x = 1

Budući da smo dobili f ′−(0) 6= f ′+(0) slijedi da f nije derivabilna u točki x0 = 0.

S obzirom na najviši red derivacije koji na nekom području (domeni) funkcija ima, razli-kujemo slijedeće klase funkcija: (a) klasu neprekidnih funkcija, koju obično označavamo s C,(b) klasu funkcija čija je n−ta derivacija neprekidna, koju označavamo s Cn, (c) klasu funkcijačije su sve derivacije neprekidne, koju označavamo s C∞.


2.2. Interpretacija derivacije u fizici - problem brzine

Proučavajući gibanja tijela I. Newton se susreo s pitanjima koja su u direktnoj vezi sa uzrokomgibanja, stazom (putanjom), brzinom, ubrzanjem,... Što je brzina? Kako ju definirati?

Postupio je na sljedeći način: Neka se tijelo (materijalna točka) giba po pravcu tako danakon t sekundi nalazi na udaljenosti s(t) metara (tj. u svakom trenutku vremena je određennjegov položaj čime je zapravo dana funkcija s = s(t) pomoću koje izračunavamo gdje setijelo (materijalna točka) nalazi u zadanom trenutku vremena). Unutar vremenskog intervala∆t = t− t0 tijelo (materijalna točka) prevali put ∆s = s(t0 + ∆t)− s(t0).

Srednju (prosječnu) brzinu definiramo kao omjer prijeđenog puta i pripadnog vremena:

v = s(t0 + ∆t)− s(t0)∆t . (2.2)

Postavlja se pitanje kako definirati pravu brzinu v0 u vremenskom trenutku t0?

Što je ∆t manji, to bolje izraz (2.2) aproksimira "pravu" brzinu u trenutku t0. No uvrstimo li∆t = 0 u (2.2), dobivamo neodređeni izraz tipa 00 . Nadalje, smanjujemo li vremenski interval,onda očekujemo da je prijeđeni put sve manji i za svaki takav interval dobivamo neku prosječnubrzinu. Pravu brzinu u vremenskom trenutku t0 smisleno je definirati kao limes kvocijentaputa i vremena, točnije

v(t0) = lim∆t→0

s(t0 + ∆t)− s(t0)∆t = s

′(t0), (2.3)

ukoliko taj limes postoji.Formula (2.3) predstavlja osnovnu ideju i temelj diferencijalnog računa Newtonovim pris-

tupom gdje je brzina zapravo prva derivacija funkcije puta po vremenu. Slično se definira iubrzanje (akceleracija) kao derivacija brzine po vremenu ili druga derivacija funkcije puta povremenu.

Navedeno ilustriramo sljedećim jednostavnim primjerom.

Primjer 2.3. Kada tijelo pada samo pod utjecajem sile teže, onda je prijeđeni put funkcija

vremena te je s(t) = gt2

2 , gdje je g konstanta Zemljine gravitacije, g ≈ 9.81m

s2. Iskoristimo li

definiciju brzine, možemo odrediti koju brzinu ima tijelo koje slobodno pada nakon, na primjer,druge sekunde, t0 = 2:

s(t0 + ∆t)− s(t0)∆t =

g(2+∆t)22 −

g222

∆t =12g

4 + 4∆t+ (∆t)2 − 4∆t =

g

2(4 + ∆t)

Kako je lim∆t→0

(4 + ∆t) = 4, brzina je g24 = 2g metara u sekundi.


2.3. Problem tangente

Dok je I. Newton došao do otkića diferencijalnog računa preko problema brzine, G.W.Leibnizje do istog otkića došao drugim pristupom, promatrajući problem određivanja (konstruiranja)tangente na zadanu krivulju (problem geometrijske prirode).

Uzmimo neku neprekidnu funkciju y = f(x) na nekoj ε okolini točke x0 i pretpostavimoda je prikazan na slici 1 graf Γf te funkcije.

Slika 1: Približavanje sekante tangenti funkcije y = f(x) (slika je preuzeta iz knjige [2, str.156])

Neka je T0 = (x0, f(x0)) točka na Γf i T = (x, f(x)) neka druga točka na grafu Γf , pri čemuje x 6= x0 iz ε okoline točke x0, te može biti lijevo ili desno od T0. Pravac kroz točke T0 i Tzove se sekanta i on s x-osi zatvara kut β, pa je njegov nagib (koeficijent smijera) dan sa

tg β = f(x)− f(x0)x− x0

,

što se vidi iz pravokutnog trokuta4TT0S. Odavde slijedi da je nagib sekante jednak kvocijentudiferencija. Kada se točka T po grafu Γf približava prema točki T0 (to je moguće zbogneprekidnosti funkcije f), sekanta rotira oko T0 i kako sa slike 1 vidimo zauzima graničnipoložaj koji zovemo tangenta u točki T0 na krivulju Γf .

Dakle, kada x → x0 onda tg β → tgα, gdje je tgα nagib tangente u točki T0 na Γf (vidisliku 1). Nagib tangente ima svojstvo da je

tgα ≈ f(x)− f(x0)x− x0

za x ≈ x0. Kako je tgα nagib tangente u točki T0 = (x0, f(x0)) i tangenta ima jednadžbu 4

4jedinstveni pravac koji prolazi točkom T0 i za koeficijent smjera ima broj k = limx→x0

tg β ukoliko naravnopostoji navedeni limes


y = kx+ l dobivamoy − f(x0) = tgα(x− x0)

kao jednadžbu tangente na Γf u točki T0. Ako pak ne postoji limx→x0

tg β , onda kažemo da nepostoji niti tangenta funkcije f u točki T0. Prema tome, možemo zaključiti da aproksimacijafunkcije f polinomom prvog stupnja ima geometrijsko značenje da se u okolini točke T0 grafΓf funkcije f zamjenjuje dijelom tangente na Γf u točki T0.

Primjedba 2.2. (vidi [2]) Kut α što ga tangenta t zatvara s pozitivnim smjerom x-osi dobi-vamo rješavanjem jednadžbe:

tgα = limx→x0

tg β

Primjer 2.4. Odredimo jednadžbu tangente (ako postoji) na graf funkcije f(x) = x2 u točkiT0 = (4, 16) i kut α između tangente i pozitivnog smjera x-osi.

Iz zadatka nam je dano x0 = 4, f(x0) = 16. Budući da postoji:

k = limx→4

x2 − 16x− 4 = limx→4(x+ 4) = 8

onda postoji i tangenta. Njena jednadžba glasi y = 8x + l. Uvrštavanjem koordinata točkeT0 = (4, 16) u jednadžbu pravca dobivamo l = −16. Tražena jednadžba tangente glasi:

y = 8x− 16

Preostaje nam još odrediti kut α. Iz tgα = 8 dobivamo α ≈ 1.446 radijana.

2.4. Interpretacija derivacije u ekonomiji - marginalna analiza

U ekonomiji je često važno znati kojom brzinom se neka ekonomska veličina mijenja u ovisnostio promjeni veličine o kojoj ovisi. Označimo s C(x) ukupne troškove proizvodnje x jedinicaneke robe. Funkcija C naziva se funkcija troška. Za proizvodnju dodatnih ∆x jedinica robapotrebni su dodatni troškovi

∆C = C(x+ ∆x)− C(x).

U ekonomskoj teoriji kvocijent diferencija

∆C∆x =

C(x+ ∆x)− C(x)∆x


naziva se srednjim marginalnim troškom (vidi [2]) potrebnim za proizvodnju dodatnih ∆xjedinica na proizvodnom nivou od x jedinica ili kraće srednjim marginalnim troškom. Sličnose definiraju srednji marginalni prihod i srednji marginalni profit. Označimo s R(x) ukupniprihod ostvaren proizvodnjom x jedinica robe. Profit ostvaren proizvodnjom x jedinica robeoznačimo s P (x) i on je jednak razlici ukupnog prihoda i ukupnih troškova tj. P (x) = R(x)−C(x). U literaturi se kvocijenti diferencija

∆R∆x =

R(x+ ∆x)−R(x)∆x

i∆P∆x =

P (x+ ∆x)− P (x)∆x ,

nazivaju srednjim marginalnim prihodom i srednjim marginalnim profitom (vidi [2]) ostvare-nim proizvodnjom dodatnih ∆x jednica robe na proizvodnom novou od x jednica.

Primjer 2.5. Ukupni troškovi (izraženi u novčanim jedinicama (NJ)) proizvodnje x jedinicarobe neka su dani formulom C(x) = x2 + x+ 90. Odredimo:

a) srednje troškove proizvodnje prvih 10 jedinica robeb) srednje marginalne troskove proizvodnje prvih 10 jedinica robec) srednje marginalne troskove proizvodnje jedne dodatne jedinice robe ako se trenutno proizvodi10 jedinica robe

a) Srednji troškovi C(x) proizvodnje prvih x jedinica robe dani su formulom C(x) = C(x)x

Odatle dobivamo C(10) = C(10)10 = 20 NJb) Srednji marginalni troškovi proizvodnje prvih 10 jedinica robe iznose: C(10)−C(0)10 = 11 NJc) Srednji marginalni troškovi proizvodnje jedne dodatne jedinice robe ako se trenutno proizvodi10 jedinica robe iznose: C(11)−C(10)1 = 22 NJ

Nadalje, u teoriji ekonomisti dozvoljavaju da broj proizvedenih jedinica robe x poprimarealne vrijednosti. Za funkcije ukupnih troškova C, ukupnog prihoda R i profita P koristese derivabilne funkcije. Na taj način u modelima mogu primjenjivati teoriju diferencijalnogračuna. Granična vrijednost srednjeg marginalnog troška kada ∆x→ 0 jest zapravo trenutnabrzina promjene troška s obzirom na proizvodni nivo od x jedinica robe koji se u ekonomijinaziva marginalni trošak:

marginalni trošak = C ′(x) = lim∆x→0

∆C(x)∆x ≈

C(x+ ∆x)− C(x)∆x


Napomena 2.1. (vidi [11]) Slično se dobivaju brojevi koji predstavljaju marginalni prihod imarginalni profit na proizvodnom nivou x jednica robe.

Napomena 2.2. (vidi [11]) Budući da x poprima samo cjelobrojne vrijednosti ne možemodoslovce pustiti ∆x u 0 ali uzimajući ∆x = 1 i veliki n (tako da je ∆x jako maleno u odnosuna n) dobivamo aproksimacijsku formulu za marginalne troškove:

marginalni trošak = C ′(n) ≈ C(n+ 1)− C(n)

iz koje se vidi da su marginalni troškovi na proizvodnom nivou od x jedinica robe približnojednaki troškovima proizvodnje jedne dodatne jedinice robe (egzaktnim ili stvarnim troškovima).

Napomena 2.3. (vidi [2] i [11]) Marginalni prihod odnosno marginalni profit na proizvodnomnivou od x jedinica robe približno je jednak prihodu odnosno profitu ostvarenom proizvodnjomjedne dodatne jedinice robe.

Ilustrirajmo navedeno na sljedećim primjerima iz marketinga.

Primjer 2.6. Pretpostavimo da neka tvrtka procjenjuje da su ukupni troškovi (izraženi unovčanim jedinicama (NJ)) proizvodnje x jednica neke robe dani formulom C(x) = 10000 +5x+0.01x2. Koristeći se tablicom u kojoj se nalaze formule za derivacije osnovnih elementarnihfunkcija pa tako i derivacije funkcije f(x) = xα, α ∈ R kao i pravilima za deriviranjefunkcija (vidi [5]) dobivamo derivaciju od C na proizvodnom nivou od x jedinica robe kojaiznosi C ′(x) = 5 + 0.02x.

Tada marginalni trošak na proizvodnom nivou od 500 jedinica robe iznosi C ′(500) = 5 +0.02 · 500 = 15 NJ. To daje trenutnu brzinu promjene po kojoj su troškovi veći s obzirom naproizvodnju od x = 500 jedinica robe i predviđa trošak za prozvodni nivo od x = 501 jedinicurobe. Stvarni trošak za proizvodni nivo od x = 501 jedinice robe iznosi

C(501)−C(500) = (10000 + 5 · 501 + 0.01 · 5012)− (10000 + 5 · 500 + 0.01 · 5002) = 15.01NJ

Primjetimo da je C ′(500) ≈ C(501)− C(500).

Primjer 2.7. Kada jedan proizvođač proizvodi neku robu, tada je riječ o monopolu. Tadapostoji direktna veza izmedu potražnje za robom u oznaci D(p) i prodajne cijene jedinice robeu oznaci p. Naime, mi očekujemo smanjenje odnosno pad prodajne cijene, a samim time rastepotražnja za robom, dok porastom cijene ona opada (tj. možemo reći da je D padajuća fun-kicija. Pretpostavimo da monopolist može proizvesti najviše 175 jedinica robe tjedno i da jeprocjena odgovarajuće službe marketinga da se x jednica robe može prodati po prodajnoj cijeni


od p(x) = (250− 0.5x) NJ. Nadalje, za primjer uzmimo da ukupni tjedni troškovi proizvodnjex jedinica robe iznose C(x)5 = 50 + 2x+ 0.5x2

Odredimo:

a) ukupni tjedni prihod i tjedni profit koji se ostvaruje prodajom x jedinica robe,b)marginalni profit na proizvodnom novou od x = 124 NJ

a)Ako imamo proizvodni nivo od x jednica robe po cijeni od p(x) po jedinici onda ukupni tjedniprihod iznosi R(x) = xp(x) što u našem slučaju daje R(x) = 250x − 0.5x2 NJ dok je tjedniprofit P (x) = R(x)− C(x) = −50 + 248x− x2 NJ.b) Izračunajmo kvocijent diferencija ∆P∆x :

∆P∆x =

P (x+ ∆x)− P (x)∆x

= −50 + 248(x+ ∆x)− (x+ ∆x)2 − (−50 + 248x− x2)

∆x

= −2x∆x+ 248∆x− (∆x)2

∆x = −2x+ 248−∆x.

Prelaskom na limes dobivamo P ′(x) = lim∆x→0

(−2x+ 248−∆x) = −2x+ 248Dakle, traženi marginalni profit na proizvodnom nivou od x = 124 NJ je

P′(124) = −2 · 124 + 248 = 0

Uočimo da za svaki � > 0 vrijedi P ′(124 + �) = −2� < 0 što znači da dodatnom proizvodnjomrobe marginalni profit opada. Stoga je razumno očekivati da će i profit opadati.Slično, za svaki � > 0 P ′(124 − �) = 2� > 0 što znači da na proizvodnom nivou manjem odx = 124 jedinice robe možemo očekivati da će povećanjem proizvodnje rasti i profit.Stoga, razumno je očekivati da će profit biti maksimalan upravo na proizvodnom nivou odx = 124 jedinice robe.

2.5. Interpretacija derivacije u biologiji

Neka je nekom funkcijom B(t) opisan model rasta, gdje varijabla t označava vrijeme dokn = B(t) označava broj jedinki u promatranoj populaciji u trenutku t. U praksi je važno znatiprirast populacije, odnosno brzinu rasta. Promjena (prirast) populacije unutar vremenskogintervala (t1, t2) iznosi

∆B = B(t2)−B(t1),5Najčešći način predstavljanja funkcije troška jest pomoću polinoma C(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 gdje a,b,c

i d predstavljaju dodatne troškove


dok prosječna brzina rasta unutar tog vremenskog intervala iznosi

prosječna brzina rasta = prirast populacijeduljina vremenskog intrevala =∆B∆t =

B(t2)−B(t1)t2 − t1

.

Zamislimo da želimo odrediti brzinu rasta u određenom trenutku t0. Prirodno je gledatiinterval (t0 − �, t0 + �) za neki � > 0 i omjer

B(t0 + ∆t)−B(t0)∆t pri čemu je |∆t| dovoljno

malen da bude t0 + ∆t ∈ (t0 − �, t0 + �).Proizlazi da ima smisla definirati:

trenutna brzina rasta u trenutku t0 = lim∆t→0

∆B∆t = lim∆t→0

B(t0 + ∆t)−B(t0)∆t .

ukoliko naravno navedeni limes postoji (vidi [1]).

Pokažimo konkretne probleme matematičkog modeliranja rasta neke populacije (skupineljudi, biljaka, životinja ili nekih drugi organizama). Veličina populacije, koju ćemo označiti sB(t), je funkcija od vremena t. Promjena veličine populacije od trenutka t do trenutka t+ dtjednaka je razlici broja rođenih dR i broja umrlih dU članova te populacije u vremenskomintervalu duljine dt:

dB = B(t+ dt)−B(t) = dR− dU

Najjednostaviji model rasta populacije tzv. Malthusov 6 model rasta populacije B pretpostav-lja da su dR i dU proporcionalni trenutnoj veličini populacije B i duljini vremenskog intervaladt:

dR = rBdt, dU = uBdt.

Konstante proporcionalnosti r i u su stopa rađanja i stopa smrtnosti, dok je njihova razlika,k = r − u, stopa rasta. Dakle, u tom najjednostavnijem modelu vrijedi:

dB = dR− dU = (r − u)Bdt = kBdt. (2.4)

Jednadžbu (2.4) možemo zapisati u obliku:

dB

dt= kB. (2.5)

To je diferencijalna jednadžba prvog reda kod koje se mogu separirati varijable:

dB

B= kdt.

6Thomas Malthus, (Rookery, 16. veljače 1766. - Bath, 23. prosinca 1834.), engleski demograf


Integriranjem dobivamoB(t) = B0ekt, B0 = B(0).

U ovom modelu rast populacije opisan je eksponencijalnom funkcijom, pa ga kraće zovemokontinuiranim eksponencijalnim rastom. Ako je k > 0 uistinu se radi o rastu, dok se za k < 0zapravo radi o padu. Što je k po apsolutnom iznosu veći, to je rast, odnosno pad populacijebrži. Za k = 0, populacija se nalazi u ravnotežnom stanju. Sve se to lijepo vidi na slici 2.

Slika 2: Graf eksponencijalne funkcije B(t) = B0ekt za B0 = 100 i različite vrijednosti od k

Ovaj model nije dobar, a najvažniji razlog je taj što se pretpostavlja da su stopa rađanja ri stopa smrtnosti u konstantne, odakle slijedi da je i stopa rasta k također konstantna štoimplicira neograničeni rast populacije. To je naime moguće samo uz neograničene resurse(neograničen prostor, neograničen izvor hrane, neograničen izvor vode, itd.). Budući da popu-lacije ne mogu rasti konstantnom stopom, što vodi u neograničeni rast, njihova stopa rađanjas vremenom počinje padati, a stopa umiranja počinje rasti. Najjednostavniji model smanjenjastope rađanja i povećanja stope umiranja predložio je još 1838. godine Pierre Verhulst 7:

r = r0 − aB u = u0 + bB.

Stopa rađanja pada proporcionalno napučenosti (tj. veličini populacije B), dok stopa umiranjaraste proporcionalno napučenosti. U tom modelu za rast populacije B vrijedi:

dB = (r − u)Bdt = [(r0 − aB)− (u0 + bB)]Bdt

= [(r0 − u0)− (a+ b)B]Bdt

= (r0 − u0)[1−

(a+ br0 − u0

)B

]Bdt. (2.6)

7Pierre François Verhulst, (Brussels, 23. listopada 1804. - Brussels, 15. veljače 1849.), danski matematičar


Konstante r0 i u0 su početne stope rađanja i umiranja, a njihova je razlika, k0 = r0−u0, početnastopa rasta. Pozitivne konstante a i b su stope po kojima stopa rađanja pada, odnosno stopaumiranja raste. Pomoću njih se definira nova konstanta

K := r0 − u0a+ b

koju zovemo nosivi kapacitet. Dakle, K > 0 predstavlja maksimalnu veličinu koju populacijamože dosegnuti. Sada izraz (2.6) prelazi u

dB = k0B(

1− BK

)dt. (2.7)

Jednažbu (2.7) koja se naziva još i Verhulstov ili kontinuirani logistički model možemo zapisatiu obliku

1B

dB

dt= k0

(1− B

K

). (2.8)

Veličina 1B

dB

dtopisuje stopu rasta populacije.

Stopa rasta populacije je prirast te populacije (u jedinici vremena) po "glavi".

U ovom modelu taj rast ovisi linearno o veličini populacije B. Iz jednadžbe (2.8) slijedi daje rast pozitivan samo za B < K (uz k0 > 0) tj. populacije rasta prema K te rast prestajetek kada je dB = 0 , tj. za B = K. Slično populacija pada samo za B > K (uz k0 > 0).Izraz 1 − B

Kpredstavlja neupotrebljeni dio nosivog kapaciteta. Populacija raste dok je on

veći od nule, tj. dok ga ima, a rast prestaje ako ga nema, tj. ako je B = K. Naravno dašto je populacija bliža nosivom kapacitetu, to je njezin rast sporiji. Diferencijalnu jednažbu(2.7) moguće je riješiti egzaktno (separacijom varijabli te integriranjem navedenog modela), arješenje je poznata logistička funkcija (vidi sliku 3)

B(t) = K1 + Ce−k0t

gdje konstantu C dobivamo iz početnog uvjeta B(0) = B0 i ona iznosi C =K −B0B0

.

Iz slike 3, vidljivo je da populacija eksponencijalno raste otprilike do pola vrijednost nosivogkapaciteta K, a onda se rast usporava dok ne dostigne K.

Analazirajmo jedan specijalan model rasta na primjeru razmnožavanja bakterija.

Primjer 2.8. Pretpostavimo da promatramo populaciju bakterija koje se raspolavljaju (odjedne nastaju dvije) svakih primjerice sat vremena. Zamislimo da na početku eksperimenta,


Slika 3: Logistička funkcija koja prikazuje odnos broja jedinki (populacije ) o vremenu

odnosno promatranja u trenutku t = 0 imamo, B(0) = B0 bakterija. Želimo proučiti rast brojabakterija s protokom vremena.

Definirajmo vremensku jedinicu u iznosu od jednog sata. Nakon isteka jedne vremenskejedinice, u trenutku t = 1, imat ćemo B(1) = B1 = 2B(0) = 2B0 bakterija. U trenutku t = 2,imat ćemo B(2) = B2 = 2B(1) = 4B0 bakterija, i općenito u trenutku t = n, n ∈ N, imatćemo B(n) = Bn = 2B(0) = 2nB0 bakterija.

Vidimo da je ovakav model rasta opisan pomoću eksponencijalne funkcije s bazom 2 (točnije,radi se o produktu eksponencijalne funkcije i konstante B0 koja označava početni broj jedinkiu trenutku t = 0). Stoga se ovakav model rasta naziva eksponencijalni rast.

Sada želimo izračunati trenutnu brzinu rasta za početni broj jedinki B0 = 1000 nakon 2sata. Kako je trenutna brzina rasta u trenutku t0 dana s (vidi [11])

dB

dt≈ (0.693147)2tB0

uvrštavanjem podataka dobivamo

dB

dt

∣∣∣∣∣t=2≈ (0.693147)2t1000

∣∣∣t=2

= (4000)(0.693147) ≈ 2773 jedinki po satu.

Međutim ovaj primjer nije realističan budući se niti jedna populacija ne širi neograničeno,bez interakcije s okolinom. Kako raste broj jedinki, tako među njima nastaje i kompeticija upotrazi za hranom i drugim resursima.


3. Primjena derivacije

3.1. Primjena derivacije na intervale monotonosti

Primjenom derivacije, odnosno predznakom derivacije jednostavno možemo ispitati je li nekaderivabilna funkcija monotona na nekom dijelu svoje domene, odnosno područja definicije. Uovoj točki ćemo pokazati neke tvrdnje koje se odnose na diferencijabilne funkcije u intervalu(a, b). Prethodno se moramo prisjetiti pojma rastuće i padajuće (monotone) funkcije koji jedan sljedećom definicijom:

Definicija 3.1. (vidi [5]) Kažemo da je funkcija f monotono rastuća [monotono padajuća] naintervalu I = (a, b) ako vrijedi

x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) [f(x1) ≥ f(x2)]

Ako u ovoj definiciji znak ” ≤ ”[” ≥ ”] zamijenimo znakom ” < ”[” > ”], kažemo da je funkcijaf strogo monotono rastuća [strogo monotono padajuća] na intervalu (a, b).

Ovom definicijom dani su potrebni (nužni) uvjeti za rast, odnosno pad funkcije. Prije nošto pokažemo kako predznak derivacije može odrediti rast, odnosno pad funkcije iskažimo bezdokaza sljedeći teorem.

Teorem 3.1. (vidi [2]) (Lagrangeov teorem o srednjoj vrijednosti)Neka je funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] i derivabilna na intervalu (a, b). Tada postojibarem jedna točka x0 ∈ (a, b) takva da je

f ′(x0) =f(b)− f(a)

b− a

Ako je funkcija derivabilna na intervalu (a, b), tada svojstvo rasta (pada) možemo izrazitipomoću derivacije o čemu govori sljedeći teorem.

Teorem 3.2. (vidi [2]) Neka je f neprekidna na segmentu [a, b] i derivabilna na intervalu(a, b). Tada

a) funkcija f monotono raste [strogo monotono raste] na (a, b) onda i samo onda ako jef ′(x) ≥ 0 za sve x ∈ (a, b) [ako je f ′(x) > 0 za sve x ∈ (a, b)],

b) funkcija f monotono pada [strogo monotono pada] na (a, b) onda i samo onda ako jef ′(x) ≤ 0 za sve x ∈ (a, b) [ako je f ′(x) < 0 za sve x ∈ (a, b)].

Dokaz.Dokažimo tvrdnju a) za slučaj monotonog rasta funkcije.


1.Nužnost.Pretpostavimo da funkcija f monotono raste na (a, b) i da je x0 ∈ (a, b) proizvoljna čvrsta

točka. Treba pokazati da je f ′(x) ≥ 0. Vrijedi:

f(x0 + ∆x) ≥ f(x0) za ∆x > 0

f(x0 + ∆x) ≤ f(x0) za ∆x < 0

pa je kvocijent f(x0 + ∆x)− f(x0)∆x nenegativan bez obzira na predznak od ∆x. Stoga je

f ′(x0) = lim∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)∆x ≥ 0

2.Dovoljnost.Pretpostavimo da je f ′(x0) ≥ 0 za svaki x ∈ (a, b) te neka su x1, x2 ∈ (a, b) takvi da je

x1 < x2. Prema teoremu 3.1 postoji točka x0 ∈ (x1, x2) ⊆ (a, b) takva da je

f ′(x0) =f(x2)− f(x1)

x2 − x1.

Iz pretpostavki f ′(x0) ≥ 0 i x2 − x1 > 0 slijedi da je f(x2)− f(x1) ≥ 0 tj. f(x2) ≥ f(x1) štopo definiciji 3.1 znači da f monotono raste na (a, b).Jasno je da je sličan postupak dokazivanja i u slučaju strogog monotonog rasta funkcije f dokse dokaz tvrdnje b) svodi na tvrdnju a) promatranjem funkcije −f . 2

Napomena 3.1. (vidi [1]) Tvrdnja teorema vrijedi i za funkcije derivabilne na beskonačnimintervalima oblika (−∞, b) i (a,∞) kao i za funkcije neprekidne na poluzatvorenim intervalimaoblika (−∞, b] i [a,∞) i derivabilne u unutrašnjosti tih intervala.

Na pitanje zašto kada f strogo monotono raste na (a, b) ne povlači da je f ′(x) > 0 za svex ∈ (a, b) pokazuje primjer funkcije f(x) = x3, ∀x ∈ R. Ta funkcija je strogo monotonorastuća na R, ali je f ′(0) = 0.

Teoremom 3.2 smo dobili operativni kriterij (dovoljne uvjete) za određivanje područjastrogog monotnog rasta i pada funkcije. O nužnim i dovoljnim uvjetima za strogi monotonirast (pad) govori sljedeći teorem:

Teorem 3.3. (vidi [1]) Neka je f derivabilna na intervalu I = (a, b) ⊆ R i neka je S = {x ∈I : f ′(x) = 0}. Funkcija f strogo monotono raste [pada] na I ako i samo ako skup S ne sadržiI i f ′(x) > 0 [f ′(x) < 0], ∀x ∈ I\S.

Točke za koje je f ′(x0) = 0, a koje mogu pripadati i jednom i drugom području, promatratćemo posebno.Područja rasta i pada funkcije f zajedničkim imenom nazivamo područja monotonostifunkcije f . Promotrimo sljedeći primjer.


Primjer 3.1. Odredimo intervale rasta i pada (monotonosti) funkcije

f(x) = 14x4 − x3 − 2x2 + 1, x ∈ R

Funkcije f i f ′ su definirane na R. Koristeći se tablicom u kojoj se nalaze formule za deriva-cije osnovnih elementarnih funkocija pa tako i derivacije funkcije f(x) = xα, α ∈ R kao ipravilima za deriviranje funkcija (vidi [5]) dobivamo derivaciju od f .

f ′(x) = x3 − 3x2 − 4x = (x2 − 3x− 4)x

Budući je f ′(x) > 0 za svaki x ∈ I1 = (−1, 0) ∪ (4,+∞), onda f na intervalu I1 strogomonotono raste.Budući je f ′(x) < 0 za svaki x ∈ I2 = (−∞,−1) ∪ (0, 4) onda f na intervalu I2 strogomonotono pada (vidi sliku 4 i 5).

Slika 4: Graf funkcije f

Slika 5: Graf funkcije f ′


3.2. Primjena derivacije na problem lokalnih ekstrema

U ovoj točki ćemo vidjeti kako derivacije predstavljaju prikladan alat za analizu lokalnihekstrema funkcije. Prilikom ispitivanja lokalnih ekstrema koristit ćemo teorem 3.2 i tvrdnjuFermatova 8 teorema koja kaže da ako je f derivabilna u točki x0 i ako ima ekstrem u toj točki,onda je i njezina derivacija u točki x0 jednaka 0. Ova tvrdnja je zapravo nužan uvjet lokalnogekstrema (uvjet kojeg ispunjava svaka točka u kojoj funkcija ima lokalni ekstrem za razlikuod dovoljnog uvjeta koji znači da funkcija u nekoj točki ima lokalni ekstrem čim je taj uvjetispunjen). Jasno, ako promatramo ekstreme, da ćemo ih promatrati samo unutar područjadefinicije funkcije. Sljedeću definiciju koja govori kad neka funkcija ima lokalni ekstrem iskazatćemo pomoću ε-okoline.

Definicija 3.2. (vidi [10]) Neka je funkcija f definirana na svojoj prirodnoj domeni D.Kažemo da funkcija f u točki x0 ima:

• lokalni maksimum, ako postoji interval (x0− ε, x0 + ε) ⊆ D, (ε > 0), oko točke x0 takavda je f(x0) ≥ f(x),∀x ∈ (x0 − ε, x0 + ε)

• lokalni minimum, ako postoji interval (x0 − ε, x0 + ε) ⊆ D, (ε > 0), oko točke x0 takavda je f(x0) ≤ f(x),∀x ∈ (x0 − ε, x0 + ε)

• globalni makismum na skupu I ⊆ D, ako je x0 ∈ I i f(x0) ≥ f(x), ∀x ∈ I

• globalni minimum na skupu I ⊆ D, ako je x0 ∈ I i f(x0) ≤ f(x), ∀x ∈ I

U tom slučaju kažemo da je x0 točka lokalnog maksimuma ili lokalnog minimuma (postojiokolina te točke na kojoj je ona ekstrem), odnosno globalnog maksimuma, odnosno globalnogminimuma (na zadanom intervalu - području ili pak cijeloj domeni). Takve točke zovemo eks-tremima funkcije f , te ovisno o njihovoj prirodi, govorimo o lokalnim ili globalnim ekstremima.

Primjer funkcije f(x) = x3 i x0 = 0 u prethodnom podpoglavlju pokazuje da uvjet tvrdnjeFermatova teorema nije i dovoljan uvjet za točku ekstrema.Naime, točke x0 sa svojstvom f ′(x0) = 0 su samo kandidati za lokalne ekstreme. Takvetočke nazivamo stacionarne točke funkcije f i one skupa s točkama iz domene u kojima fnije derivabilna čine kritične točke funkcije f . Više se može reći ako je funkcija derivabilna uokolini stacionarne točke o čemu zapravo govori sljedeći teorem koji je ujedno i dovoljan uvjetza postojanje ekstrema.

8Pierre de Fermat, (Beaumont-de-Lomagne, 17. kolovoza 1601. - Castres, 12. siječnja 1665.), francuskimatematičar, pravnik i pjesnik


Teorem 3.4. (vidi [1]) Neka je f derivabilna na intervalu (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0 i neka jef ′(x0) = 0. U točki x0 je ekstrem u ova dva slučaja:

1. Ako je f ′(x) > 0 za sve x ∈ (x0 − ε, x0) i f ′(x) < 0 za sve x ∈ (x0, x0 + ε), onda je u x0lokalni maksimum od f .

2. Ako je f ′(x) < 0 za sve x ∈ (x0 − ε, x0) i f ′(x) > 0 za sve x ∈ (x0, x0 + ε), onda je u x0lokalni minimum od f .

Dokaz.U prvom slučaju f je prema teoremu 3.2 rastuća lijevo od x0 i padajuća desno od x0 što značida je x0 točka lokalnog makismuma. Štoviše, točka x0 je točka strogog lokalnog maksimumafunkcije f .

Argumentacija za drugu tvrdnju je sasvim analogna. 2

Napomena 3.2. (vidi [5]) Teorem 3.4 zapravo govori da derivabilna funkcija postiže lokalniekstrem u točki x0 ako derivacija f ′ prolazi kroz tu točku mijenjajući predznak i to na način daako je ta promjena od "-" na "+", imamo točku lokalnog minimuma odnosno, ako je u pitanjupromjena predznaka derivacije od "+" na "-", imamo točku lokalnog maksimuma.

Dovoljan uvjet za postojanje ekstrema možemo izraziti i pomoću druge derivacije ako fima neprekidnu drugu derivaciju o čemu govori sljedeći teorem.

Teorem 3.5. (vidi [2]) Neka je funkcija f dva puta derivabilna na nekoj okolini svoje staci-onarne točke x0.

1. Ako je f ′′(x0) < 0, onda f u točki x0 ima strogi lokalni maksimum.

2. Ako je f ′′(x0) > 0, onda f u točki x0 ima strogi lokalni minimum.

Naime, za ispitivanje lokalnih ekstrema možemo koristiti i više derivacije o čemu govorisljedeći teorem.

Teorem 3.6. (vidi [2]) Neka funkcija f ima u nekoj ε-okolini točke x0 neprekidne derivacijedo uključivo reda n, pri čemu je n ≥ 3. Neka je

f ′′(x0) = f ′′′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0, f (n)(x0) 6= 0

Ako je n paran i ako je uz to još i f ′(x0) = 0, tada funkcija f ima lokalni ekstrem u točki x0i to lokalni minumum za f (n)(x0) > 0 i lokalni maksimum za f (n)(x0) < 0.


Nadalje, teorem 3.5 možemo shvatiti kao kriterij za određivanje strogih lokalnih ekstremapomoću druge derivacije na način da:

I. Nađemo derivaciju f ′ funkcije f

II. Rješavamo jednadžbu f ′(x) = 0 i nalazimo stacionarne točke

III. Nalazimo drugu derivaciju funkcije f i izračunavamo njezinu vrijednost f ′′(x0) u staci-onarnoj točki x0. Ako je f ′′(x0) > 0, radi se o strogom lokalnom minimumu, a ako jef ′′(x0) < 0, riječ je o strogom lokalnom maksimumu funkcije f .

Ilustrirajmo to na sljedeća dva primjera.

Primjer 3.2. Treba odrediti x ∈ R takav da razlika x− x2 bude najveća.Radi se o maksimumu funkcije f(x) = x− x2 na R.

I. f ′(x) = 1− 2x

II. f ′(x) = 0

III. f ′′(x) = −2

Iz f ′(x) = 1 − 2x = 0 nalazimo x0 = 12 , a iz f′′(12) = −2 < 0 zaključujemo da f ima strogi

lokalni maksimum u točki x0 = 12 i taj je f(x0) =12 −

14 =

14 . Zato je x−x

2 ≤ 14 za svaki realnibroj x.

Primjer 3.3. Ako se pak vratimo na primjer 3.1 rješavajući jednadžbu f ′(x) = 0 dobivamostacionarne točke x1 = −1, x2 = 0 i x3 = 4. Uvrštavanjem tih točaka u drugu derivacijuf ′′(x) = 3x2 − 6x− 4 dobivamo:f ′′(−1) = 5 > 0 što po teoremu 3.5 znači da funkcija f u točki x1 = −1 postiže strogi lokalniminimum, a vrijednost tog minumuma iznosi 1/4. Nadalje, f ′′(0) = −4 < 0, što znači dafunkcija f u točki x2 = 0 postiže strogi lokalni maksimum, a vrijednost tog maksimuma iznosi1. Konačno, za f ′′(4) = 20 > 0, što znači da funkcija f u točki x3 = 4 postiže strogi lokalniminimum, a vrijednost tog minimuma iznosi -31.

Pokažimo na još jednom primjeru, ali ovoga puta iz marginalne analize kako možemoprimijeniti teorem 3.4.

Primjer 3.4. Ukupni troškovi tiskanja x (x > 150) knjiga iznose C(x) = 1000 + 71x NJ.Nadalje, broj prodanih knjiga ovisi o prodajnoj cijeni p jedne knjige. Izdavač procjenjuje da će


po cijeni p, p ≥ 80, prodati [x] knjiga (najveće cijelo od x), gdje je x = 500 + 300(1− p100

).

Po kojoj cijeni treba prodavati knjigu da bi profit bio maksimalan?Profit ostvaren prodajom x knjiga iznosi:

P (x) = R(x)− C(x) (3.9)

i gdje ukupni prihod R(x) iznosi R(x) = xp(x). Uvrštavanjem podataka u izraz (3.9) dobivamo:

P (x) = xp(x)− C(x) = x · 800− x3 − (1000 + 71x) = −x2

3 +5873 x− 1000

Budući je P ′(x) = −23x+5873 i rješavanjem jednadžbe P

′(x) = 0 dobivamo x = 293.5.Nadalje, rješavajući nejednadžbu P ′(x) > 0 dobivamo interval (150, 293.5), što znači da natom intervalu profit P strogo raste, dok rješavanjem nejednadžbe P ′(x) < 0 dobivamo in-terval (293.5,∞), što znači da na tom intervalu profit P strogo pada, odakle po teoremu3.4 zaključujemo da će profit biti maksimalan za x = 293.5, što odgovara prodajnoj cijenip = p(293.5) ≈ 168.83 NJ.


3.3. Primjena derivacije na konveksne funkcije

U ovoj točki pokazat ćemo kako se pomoću derivacije (točnije druge derivacije) može pronaćipodručje konveksnosti, konkavnosti i točke infleksije neke funkcije f na intervalu (a, b). Pitanjekoje pritom postavljamo je kad kažemo da je neka funkcija f konveksna, a kad konkavna nanekom danom intervalu (a, b) te koje točke zovemo točkama infleksije? Na ovo pitanje odgovornam daju sljedeće definicije.

Definicija 3.3. (vidi [5]) Za neprekidnu funkciju f : (a, b) → R kažemo da je konveksna naintervalu (a, b) ako je

f

(x1 + x2

2

)≤ f(x1) + f(x2)2 za sve x1, x2 ∈ (a, b) (3.10)

Ako u (3.10) stoji znak "≥" kažemo da je funkcija f konkavna na intervalu (a, b). Ako paku (3.10) stoji znak "" te x1 6= x2 kažemo da je funkcija f strogo konveksna,odnosno strogo konkavna na intervalu (a, b).

Nadalje, od posebnog značaja su nam točke u kojima funkcija "mijenja konveksnost" od-nosno gdje se graf previja. Takve točke nazivamo točkama infleksije. Preciznije o tome govorisljedeća definicija.

Definicija 3.4. Za točku x0 ∈ (a, b) kažemo da je točka infleksije ako postoji realan broj δ > 0takav da je funkcija f strogo konkavna na (x0 − δ, x0) i strogo konveksna na (x0, x0 + δ) ilistrogo konveksna na (x0 − δ, x0) i strogo konkavna na (x0, x0 + δ).

Nadalje, postavljamo pitanje u kakvoj su međusobnoj vezi derivacija funkcije f i konvek-nost, odnosno konkavnost funkcije f? Da bismo mogli odgovoriti na to pitanje, pogledajmografove sljedećih funkcija i tangente na te grafove na slikama 6 i 7.

Sa slike 6 vidimo da su tangente uvijek ispod grafa konveksne funkcije f , odnosno grafleži iznad svojih tangenti. Možemo, dakle, reći da je funkcija na nekom intervalu konveksnaukoliko se tangenta u bilo kojoj točki iz tog intervala nalazi ispod grafa funkcije. Koeficijentsmjera raste idemo li s lijeva na desno, odnosno derivacija f ′ u području konveksnosti funkcijef je rastuća funkcija (vidi sliku 6). To po teoremu 3.2 znači da je u tom području drugaderivacija nenegativna.

Slično, u području konkavnosti funkcije f , njena druga derivacija je nepozitivna (vidi sliku7).

Ako je druga derivacija neprekidna funkcija, onda između područja konveknosti i konkav-nosti postoji neka točka u kojoj druga derivacija iznosi 0. Kako u toj točki druga derivacija


Slika 6: Graf konveksne funkcije f i pripadajuće tangente na taj graf

Slika 7: Graf konkavne funkcije f i pripadajuće tangente na taj graf

mijenja predznak, ta točka je zapravo točka ekstrema prve derivacije nazvana točkom infleksije(vidi sliku 8). Dakle, ako je f klase C3 te ako vrijedi f ′′(x0) = 0, f ′′′(x0) 6= 0, onda je x0

Slika 8: Točka infleksije ili prijevojna točka

točka infleksije.

Napomena 3.3. U posebnom slučaju može i treća derivacija biti jednaka nuli. Tada se derivi-


ranje nastavlja dalje do prve derivacije višeg reda koja je različita od nule. Ako je ta derivacijaneparnog reda, točka infleksije postoji, a u protivnom ne postoji.

O vezi između druge derivacije i konveksnosti, odnosno konkavnosti funkcije f govori slje-deći teorem.

Teorem 3.7. (vidi [5]) Neka je f : (a, b) → R dva puta neprekidno derivabilna na intervalu(a, b). Tada vrijedi:

1. Funkcija f je konveksna na (a, b) onda i samo onda ako je f ′′(x) ≥ 0 za svaki x ∈ (a, b).

2. Funkcija f je konkavna na (a, b) onda i samo onda ako je f ′′(x) ≤ 0 za svaki x ∈ (a, b).

3. Točka x0 ∈ (a, b) je točka infleksije funkcije f onda i samo onda ako funkcija f ′ imastrogi lokalni ekstrem u x0.

Primjer 3.5. Odredimo područje konveknosti, konkavnosti te točke infleksije krivulje y daneformulom y = f(x) = x4 − 4x3. Budući je f(x) = x4 − 4x3, tada imamo :

f ′(x) = 4x3 − 12x2 = 4x2(x− 3)

f ′′(x) = 12x2 − 24x = 12x(x− 2)

Rješavajući nejednadžbe f ′′(x) > 0 i f ′′(x) < 0 shodno teoremu 3.7 dobivamo sljedeće:

Interval f ′′(x) = 12x(x− 2) Konveksnost/Konkavnost(−∞, 0) + konveksna

(0, 2) − konkavna(2,∞) + konveksna

Tablica 1: Tablični prikaz područja konveksnosti/konkavnosti krivulje y

Budući da je f ′′(x) = 0 kada je x = 0 ili x = 2 u točkama (0, 0) i (2,−16) se mijenjaju stanjaiz konveknosti u konkavnost i obratno pa su to ujedno i točke infleksije, odnosno prijevojnetočke (vidi sliku 9).


Slika 9: Graf krivulje y

4. Numeričko deriviranje

Numeričko deriviranje je od iznimne važnosti u računalnoj fizici, ali i drugim znanostima.Naime, u mnogim inženjerskim problemima zahtijeva se izračunavanje derivacije (na primjerodređivanje brzine, ili ubrzanja na osnovi podataka o prijeđenom putu, i sl.). Numeričkoderiviranje se odnosi na računsku proceduru za približno određivanje derivacije funkcije utočki. Pri tome funkcija može biti zadana diskretno u konačanom broju točaka iz domenefunkcije, ali isto tako može biti zadana analitički nekim složenim izrazom. Funkcije koje suzadane analitički složenim izrazom, ponekad je vrlo teško egzaktno derivirati na cijeloj svojojdomeni pa je umjesto toga često dovoljno izračunati derivaciju u konačnom broju točaka izdomene, te je prema tome za takvu funkciju dovoljno poznavati samo vrijednosti u konačnombroju točaka iz domene.

U tom smislu nadalje ćemo pretpostavljati da za funkciju f : (a, b) → R poznajemosamo vrijednosti f(xi) u točkama xi, i = 0, 1, 2, . . . , n pri čemu obično pretpostavljamo da jexi+1 − xi = ∆x.

4.1. Tri formule za numeričko deriviranje

Najjednostavniju formulu za numeričku derivaciju funkcije f u točki xi dobivamo na osnovidefinicije derivacije:

f ′(xi) = lim∆x→0

f(xi + ∆x)− f(xi)∆x , (4.11)

odakle slijedif ′(xi) ≈

f(xi+1)− f(xi)xi+1 − xi

, i = 0, . . . , n− 1. (4.12)

Formula (4.12) može dati dobru aproksimaciju derivacije ako je xi+1 ≈ xi.


Nadalje, ako umjesto ∆x u formuli (4.11) uzmemo vrijednost −∆x, dobivamo sljedećuformulu:

f ′(xi) ≈f(xi)− f(xi−1)

xi − xi−1= f(xi)− f(xi −∆x)∆x , i = 1, . . . , n. (4.13)

Izrazi (4.12) i (4.13) predstavljaju redom formule za deriviranje unaprijed i deriviranjeunazad. Na slici 10 dana je grafička interpretacija ovih formula. Jedan od načina kako uspo-rediti dobivene rezultate s egzaktnom derivacijom jest da dobivene točke spojimo primjericelinearno. Samu pogrešku aproksimacije možemo promatrati kao razliku između vrijednostiegzaktne derivacije i aproksimacije u pojedinoj točki, a bolja aproksimacija je ona koja dajemanju pogrešku, odnosno ona koja je više stisnuta uz x-os. Nagib pravca t odgovara egzaktnojderivacije funkcije f u točki C. Nadalje, nagib pravca koji prolazi kroz točke A i C, tj. pravact−, odgovara formuli za deriviranje unazad dok nagib pravca koji prolazi kroz točke C i B, tj.pravac t+, odgovara formuli za deriviranje unaprijed. Sa slike 10 se vidi da bi pravac koji pro-

Slika 10: Grafička interpretacija formula za deriviranje

lazi kroz točke A i B bio bolja aproksimacija derivacije funkcije f(x). Njegova aproksimacijaderivacije je "bliskija" egzaktnoj derivaciji nego ostale dvije i njegov nagib iznosi:

f ′(xi) ≈f(xi+1)− f(xi−1)

xi+1 − xi−1= f(xi + ∆x)− f(xi −∆x)2∆x , i = 1, . . . , n− 1 (4.14)

Izraz (4.14) predstavlja formulu za centralno deriviranje.Potpuno analogno mogu se izvesti i formule za aproksimaciju druge derivacije točki xi.


Sukladno formuli (4.12) dobivamo:

f ′′(xi) ≈f ′(xi+1)− f ′(xi)

∆x

≈ 1∆x

(f(xi+2)− f(xi+1)

∆x −f(xi+1)− f(xi)

∆x

)

= f(xi+2)− 2f(xi+1) + f(xi)(∆x)2 , i = 1, . . . , n− 1.

Slično, iz formule (4.13) slijedi:

f ′′(xi) ≈f(xi)− 2f(xi−1) + f(xi−2)

(∆x)2 , i = 2, . . . , n,

odnosno iz formule (4.14) dobivamo:

f ′′(xi) ≈f(xi+1)− 2f(xi) + f(xi−1)

(∆x)2 , i = 1, . . . , n− 1.

Iliustrirajmo na primjeru upotrebu formula (4.12), (4.13) i (4.14), a samim time i metoduodređivanja aproksimacije po te tri formule.

Primjer 4.1. (Primjena formula za deriviranje unaprijed, unazad i centralno deriviranje).Neka je zadana funkcija f(x) = sin x+sin 5x+sin 13x na segmentu [0.1, π]. Tablica 2 prikazujevrijednosti aproksimacija za sve tri metode te njihovu usporedbu s egzaktnom derivacijom u 10točaka subdivizije segmenta [0.1, π].

n ∆x Deriviranje unaprijed Deriviranje unazad Centralno deriviranje Egzaktna derivacija0 0.1 −2.54599 8.15192 2.80296 8.86041 0.437955 −3.75651 −2.54599 −3.15125 8.808472 0.775909 5.24189 −3.75651 0.742689 −13.2393 1.11386 1.95545 5.24189 3.59867 −0.1525274 1.45182 −4.04728 1.95545 −1.04592 15.9175 1.78977 0.0310868 −4.04728 −2.0081 −8.439826 2.12773 1.47211 0.0310868 0.751599 −12.90227 2.46568 −1.80649 1.47211 −0.167191 14.52218 2.80364 −1.10942 −1.80649 −1.45795 3.726799 3.14159 −1.10942 −1.10942 −1.10942 −19

Tablica 2: Vrijednosti aproksimacija za sve tri metode i egzaktnih derivacija u točkama subdivizije intervala

Na slici 11 su prikazane egzaktne derivacije te aproksimacije u točkama subdivizije krozsve tri metode redom. Aproksimacije u točkama subdivizije metodom deriviranja unaprijed


prikazane su crvenim točkicama, dok su aproksimacije u točkama subdivizije metodom deri-viranja unazad, odnosno metodom centralnog deriviranja prikazane zelenim, odnosno plavimtočkicama. Na slici 12 je dan grafički prikaz usporedbe pogreške, odnosno usporedba egzak-tne vrijednosti derivacije u točkama subdivizije s aproksimacijama na način da smo pogreškuapromsimacije promatrali kao razliku između vrijednosti egzaktne derivacije i aproksimacije utočkama subdivizije. Dobivene točke smo spojili linearno. Crvene linije koje smo pritom dobiliprikazuju pogrešku za deriviranje unaprijed dok zelene, odnosno plave linije prikazuju pogreškuza deriviranje unazad, odnosno centralno deriviranje.

Slika 11: Grafički prikaz usporedbe sve tri metode s egzaktnom derivacijom

Slika 12: Grafički prikaz usporedbe pogreške za sve tri metode


Ostaje još da vidimo koja je metoda bolja, odnosno koja metoda daje bolju aproksimacijuderivacije. U tu svrhu ćemo za istu funkciju f(x) = sin x + sin 5x + sin 13x na segmentu[0.1, π] povećati broj točaka na primjerice 45. U tom slučaju usporedba egzaktne derivacije iaproksimacije u točkama subdivizije za sve tri metode prikazana je na slici 13 dok je usporedbasame pogreške prikazana na slici 14.



Sa slike 14 je jasno vidljivo da je aproksimacija koja daje manju pogrešku predstavljenaplavom linijom i ona je najbliža x-osi, a to je u našem slučaju centralno deriviranje.

Ilustrirajamo navedeno još jednim primjerom.

Primjer 4.2. Neka je zadana funkcija f(x) = xe2x na segmentu [0.2, π/3]. Prikažimo grafičkivrijednosti aproksimacija za sve tri metode i njihovu usporedbu s egzaktnom derivacijom u 40točaka subdivizije segmenta [0.2, π/3] te usporedbu same pogreške.




Kao i u primjeru 4.1, i ovdje se centralno deriviranje pokazalo kao najbolja metoda obziromda je vidljivo sa slike 16 da je pogreška predstavljena plavom linijom najbliža x-osi.


4.2. Ocjena pogreške za formule numeričkog deriviranja

Razumno pitanje je koliko su takve aproksimacije točne, tj.možemo li na neki drugi načinprocijeniti pogrešku aproskimacije?

Odgovor na to pitanje dat ćemo primjenom razvoja funkcije f u Taylorov red. U tu svrhuiskažimo Taylorov teorem.

Teorem 4.1. (vidi [5]) (Taylorov teorem 9 ili Taylorova formula)Neka je zadana funkcija f : (a, b) → R koja ima derivacije do uključivo reda n + 1 u svakojtočki intervala (a, b). Odaberemo li točku x0 ∈ (a, b), onda funkciju f možemo predočiti uobliku

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2 (x− x0)2 + · · ·+ f

(n)(x0)n! (x− x0)

n +Rn(x), (4.15)

gdje je

Rn(x) =f (n+1)(ξ)(n+ 1)! (x− x0)

n+1, ξ = x0 + ϑ · (x− x0), ϑ ∈ (0, 1),

tj. nepoznata točka ξ se nalazi između točaka x i x0.

Primjedba 4.1. (vidi [5]) Često puta je korisno Taylorovu formulu (4.15) napisati tako dauvedemo supstituciju ∆x = x− x0 :

f(x0 + ∆x) = f(x0) + f ′(x0)∆x+f ′′(x0)

2 (∆x)2 + · · ·+ f

(n)(x0)n! (∆x)

n + f(n+1)(ξ)

(n+ 1)! (∆x)n+1,

pri čemu je ξ = x0 + ϑ∆x, ϑ ∈ (0, 1).

Sada se pomoću teorema 4.1 funkcija f može razviti u Taylorov polinom u okolini točkexi:

f(x) = f(xi) + f ′(xi)(x−xi) +f ′′(xi)

2 (x−xi)2 + · · ·+ f

(n)(xi)n! (x−xi)

n + f(n+1)(ξ)

(n+ 1)! (x−xi)n+1

(4.16)odnosno zanemarivanjem članova višeg reda (za xi < ξ < xi + ∆x) dobivamo:

f(x) = f(xi) + f ′(xi)(x− xi) +f ′′(ξ)

2 (x− xi)2 (4.17)

Iz izraza (4.17) direktno za x− xi = ∆x (deriviranje unaprijed) i x− xi = −∆x (deriviranjeunazad) redom dobivamo:

f ′(xi) ≈f(xi + ∆x)− f(xi)

∆x −∆x2 f

′′(ξ) (4.18)

9Brook Taylor, (Edmonton, 18. kolovoza 1685. - London, 30. studeni 1731.), engleski matematičar


f ′(xi) ≈f(xi)− f(xi −∆x)

∆x −∆x2 f

′′(ξ) (4.19)

Izrazed(xi; ∆x) = f ′(xi)−

f(xi + ∆x)− f(xi)∆x

nazivamo greška diskretizacije ili greška odsijecanja. Za deriviranje unaprijed ed(xi; ∆x) =−∆x2 f

′′(ξ) = O(∆x). Posve analogna formula vrijedi i za deriviranje unazad.Za centralno deriviranje grešku dobivamo ako uzmemo prva tri člana u izrazu (4.16), tj.

za xi < ξ1 < xi + ∆x

f(xi + ∆x) = f(xi) + f ′(xi)∆x+f ′′(xi)

2 (∆x)2 + f

′′′(ξ1)3! (∆x)

3 (4.20)

dok za xi −∆x < ξ2 < xi

f(xi −∆x) = f(xi)− f ′(xi)∆x+f ′′(xi)

2 (∆x)2 − f

′′′(ξ2)3! (∆x)

3 (4.21)

pa oduzimanjem (4.20) - (4.21) imamo:

f(xi + ∆x)− f(xi −∆x)2∆x = f

′(xi) + [f ′′′(ξ1) + f ′′′(ξ2)](∆x)2

12 (4.22)

Dakle u ovom slučaju je

ed(xi; ∆x) =112[f

′′′(ξ1) + f ′′′(ξ2)](∆x)2

Ukoliko je funkcija f ′′′ neprekidna, onda izraz za grešku diskretizacije možemo pojednostaviti.Tada postoji točka ξ ∈ (ξ1, ξ2) takva da

f ′′′(ξ) = 12[f′′′(ξ1) + f ′′′(ξ2)]

pa imamoed(xi; ∆x) =

16f′′′(ξ)(∆x)2 = O((∆x)2)

Na osnovi prethodnih izraza možemo zaključiti da je greška diskretizacije deriviranjem una-prijed i unazad proporcionalna ∆x, dok je kod centralnog proporcionalna kvadratu ∆x, štopokazuje da greška kod centralnog deriviranja opada mnogo brže nego je to slučaj s ostala dvapostupka. To je i razlog zbog kojeg centralno deriviranje kao metodu treba koristiti gdje godje to moguće.

Napomena 4.1. Greška se ne povećava kod derivacija višeg reda, tj. kod deri-viranja unaprijed i unazad ostaje prvi red točnosti dok kod centralnog deriviranjaostaje drugi red točnosti.


Literatura

[1] D. BAKIĆ, Matematika, skripta, PMF - Matematički odjel, Zagreb, 2009.(dostupno na http://web.math.pmf.unizg.hr/∼bakic/preprints/ma_za_bio_101.pdf )

[2] M. CRNJAC, D. JUKIĆ, R. SCITOVSKI, Matematika, Odjel za matematiku, Osijek, 1994.(dostupno na http://www.mathos.unios.hr/∼mihaela/Matematika_2/Knjige/Matematika_CJS.pdf )

[3] B. GULJAŠ, Matematička analiza I i II, PMF - Matematički odjel, Zagreb, 2012.(dostupno na http://web.math.pmf.unizg.hr/∼guljas/skripte/MATANALuR.pdf )

[4] P. JAVOR, Matematička analiza 1, Element, Zagreb, 2003.

[5] D. JUKIĆ, R. SCITOVSKI, Matematika I, Prehrambeno tehnološki fakultet Osijek, Osijek,1998.(dostupno na http://www.mathos.unios.hr/diferencijalni/Jukic_Scitovski.pdf )

[6] A. KARAČ, Numeričke metode u inženjerstvu, Mašinski fakultet u Zenici, Zenica, 2009.

[7] S. KUREPA, Matematička analiza 1 (diferenciranje i integriranje), Školska knjiga, Za-greb, 1997.

[8] L. LAZIĆ, Numeričke metode u toplinskoj analizi, Metalurški fakultet, Sveučilište u Za-grebu, Sisak, 2006.

[9] G. V. MILOVANOVIĆ, R. Ž. ÐORÐEVIĆ Matematička analiza I, Naučna knjiga za stu-dente Elektronskog fakulteta u Nišu, Niš, 2005.

[10] I. SLAPNIČAR, Matematika 1, FESB, Split, 2002.(dostupno na http://lavica.fesb.hr/mat1/pdf/predavanja.pdf )

[11] J. STEWART, Calculus 7th Edition, McMaster University and University of Toronto,Brooks/Cole, Cengage Learning, Belmont, 2008.


Sažetak

U matematici pojam derivacija predstavlja osnovni pojam diferencijalnog računa koji pročavarazumijevanje i opisivanje promjena mjerljivih varijabli. Središnji koncept kojim se opisujepromjena varijable je sama funkcija. Mnogi problemi u prirodnim, tehničkim i društvenimznanostima riješavaju se pomoću derivacije čiji izričaj može biti različit, ali u suštini opisujebrzinu promjene funkcije u odnosu na promjenu nezavisne varijable (argumenta funkcije).Općenito za derivaciju se može reći da je mjera promjene. Deriviranjem funkcije dobiva sedruga funkcija istih argumenata. Deriviranjem derivacije, dobiva se derivacija drugog reda.Induktivno se definiraju derivacije viših redova.

U ovom radu je dana definicija same derivacije, ali i derivacija funkcije u točki. Danasu dva paralelna pristupa definiranju i interpretaciji derivacije, od strane Newtona gdje seanalizira problem brzine, i od strane Leibniza gdje se analizira problem određivanja tangentena danu krivulju. Dana je interpretacija derivacije u ekonomiji preko graničnog (marginalnogtroška) kao trenutne brzine promjene troška obzirom na razinu proizvodnje i u biologiji prekoprirasta populacije unutar vremenskog intervala za granični slučaj. Posebna pozornost dana jeprimjenama derivacije, i to na intervale monotonosti gdje se lako pomoću predznaka derivacijemože odrediti područje na kojem funkcija raste ili pada, na problem lokalnih ekstrema gdje sepomoću derivacije mogu naći točke u kojima funkcija poprima najmanju ili najveću vrijednostte na određivanje područja na kojima je funkcija konveksna, odnosno konkavna.

U ovom radu ukratko je opisan i problem numeričkog deriviranja, kao i formule dobi-vene za isti, dajući pritom aproksimaciju derivacije funkcije u točki, uz mogućnost procjenesame pogreške, korištenjem Taylorovog razvoja. Pomoću programskog paketa Mathemtica R©

ilustrirane su upotrebe formula za numeričko deriviranje usporedivši egzaktne vrijednosti de-rivacije s aproksimacijama u točkama subdivizije kroz tri metode. Pokazalo se da je boljaona metoda kod koje su aproksimacije bile "bliskije" egzaktnoj vrijednosti, a to je centralnoderiviranje.


Title and summary

Derivation of the function of one real variable and applications

In mathematics the term derivation represents the basic concept of a differential calculuswhich examines the understanding and describing of changes of measurable variables. Centralconcept that describes the change in the variable is a function itself. Many problems in natural,technical and social sciences are solved using derivatives, whose expression may be different,but essentially describes the rate of change of the function with respect to the change of theindependent variable (the function argument). Generally for derivation can be said that it isthe measure of change. Derivation of a function is obtained by another function of the samearguments. Deriving derivation is obtained by second order derivative. Inductively are definedhigher order derivatives.

In this paper the definition of the derivative itself is given, and also the derivation of afunction at the point. Here are given two parallel approaches to defining and interpreting thederivation, by Newton, where the problem of the speed is analyzed, and by Leibniz, where theproblem of the determination of the tangent to a given curve is analyzed. The interpretationof derivation in economy is given through boundary (marginal) cost as the current rate ofchange of the cost due to the level of production, and in biology through population growthwithin the time interval for the limiting case. Special attention is given to the applicationof derivation and that is to the intervals of monotony where it is easy, by using the sign ofderivation, to determine the area where the function is rising or falling, to the problem of localextremes where by using derivation the points can be found at which the function takes theminimum or maximum value, and to determination of areas in which the function is convex,or concave.

This paper briefly describes the problem of numerical differentiation, as well as formulasobtained for the same, giving function derivation approximation with the ability to assess theerror itself,by the use of Taylor’s series. With the help of Mathematica R© software package,the uses of formulas for numerical differentiations have been illustrated, by comparing theexact derivation values with approximations in subdivision points through three methods. Ithas been shown that a better method is the one that in which approximations were "closer"to the exact value and that is central difference.


Životopis

Marko Filipović rođen je 23. lipnja 1988. godine u Brčkom. Živi u mjestu Donja Mahalau Bosni i Hercegovini. U Donjoj Mahali je pohađao osnovnu školu "Ruđer Bošković" koju jezavršio 2003. godine. Nakon zavšetka osnovne škole, upisuje Opću gimnaziju u Orašju kojuzavršava 2007. godine. Nakon završene srednje škole, upisuje se na Sveučilišni nastavničkistudij matematike i informatike na Odjelu za matematiku u Osijeku.

markofilipović derivacijafunkcijejednerealnevarijablei ...mdjumic/uploads/diplomski/fil10.pdf ·...

Documents