1. HT / C: LINERIS REGRESSZIS MODELL

LINERIS PROJEKCI (VETTS)

Motivci: egyvltozs eset

Legyenek y s vges szrs valsznsgi vltozk, s 0.

Keressk azt az |1, valsznsgi vltozt, amely az vltoz sszes lineris fggvnye kzl minimalizlja

a ngyzetes eltrs vrhat rtkt:

min

Megolds

Minimalizls utn:

,

Teht az maradkra teljesl:

0 ,

0

(geometriai interpretci)

Tbbvltozs eset

Legyenek y s , , vges szrs valsznsgi vltozk, s legyen Var teljes rang.

Ekkor a lineris projekci (mint v.v.) defincija:

1, $, ahol

$ %& ,

$.

Tbbvltozs eset, folyt.

Tulajdonsg: ha |1, , akkor

0 s ' , 0 minden j-re.

Megjegyzsek:

lineris projekci esetn definci szerint igaz u-ra a

korrellatlansg x-szel

Ha E(y|x) lineris, akkor E(y|x)=L(y|x)

Lineris projekci optimalitsi

tulajdonsga

A lineris projekci minimalizlja a ngyzetes

eltrs vrhat rtkt:

min(),*

+ *, + $,

,

ahol $ a lineris projekci.

Tovbb ha Var teljes rang, akkor $ az egyedli minimumhely.

Biz.: knyvben (egyvltozs esethez

hasonlan)

Megjegyzs: alternatv felrs

Ha a konstanst nem vesszk kln (pl. mert

belertjk x-be), akkor:

$, ahol

$ - %& .

A kt felrs ekvivalencijnak bizonytsa: hf

TBBVLTOZS LINERIS REGRESSZIS MODELL

Jellsek

$

1, , , valsznsgi vektorvltoz (magyarz vltozk vektora)

$ , , a paramtervektor.

fgg vltoz

hibatag

Megj.: ms jellsben

(kis vs. nagy Wooldridge jellse)

Feltevsek

1. $ (linearits)

2. {(x1i, x2i, , xki, yi), i=1,7,n} vletlen minta

3. mindegyik magyarz vltoz szrdik a mintban, s nincs kztk tkletes lineris kapcsolat (nincs tkletes multikollinearits)

4. , , , 0 (exogenits)

(5) 2 (homoszkedaszticits)

(6.) normlis eloszls ~40, 2

Spec. eset: egyvltozs

regresszis modell

1. y = 0 + 1x + u (linearits)

2. E(u|x)=0 (exogenits)

3. (xi, yi), i=1,7,n} vletlen minta

4. x vltoz szrdik a mintban

5. Var(u|x)=2 (homoszkedaszticits)

6. u|x normlis eloszls

Feltevs:

(exogenits)

Brmodelles plda vgzettsg, tapasztalat, kpessg -> br

Strukturlis modell: log(br)=0+1vgz+2tap+3kp + u

Feltevs: E(u|vgz,tap,kp)=0. Ekkor 1 rtelmezse: vgzettsg ceteris paribus hatsa.

Ha a kpessg nem megfigyelhet: log(br)=0+1vgz+2tap + w

Itt cov(vgz,w)=3*cov(vgz,kp)+cov(vgz,u)0 ha cov(vgz,kp)0 s 30. Teht az exogenits nem felttlenl teljesl.

Exogenits, folyt.

Becslhet (estimable) modell: log(br)=0+1vgz+2tap + v

Mindig van olyan , amikor a hibatagra cov(vgz,v)=0 (lineris projekci).

De ez egy msik modell: 1 rtelmezse: klnbz vgzettsg emberek brnek sszehasonltsa (tapasztalat szinten tartsval).

Endogenits

Endogn magyarz vltoz: ha |' 5 0

(azaz nem exogn)

Endogenits szoksos okai:

Kihagyott vltoz (ld. brmodelles plda)

Szimultaneits

Magyarz vltoz mrsi hibja

Plda: szimultaneits

Keresleti fggvny

becslse

q: mennyisg, p: r

L(q|1,p) nem (felttlenl)

adja meg a keresleti

fggvnyt

akr a knlati fggvnyt is

megadhatn.

cov(u,p)0, mert u (a

keresleti fggvny sokkja)

p-t is eltolja (egyensly)

Feltevs: linearits

(feltteles vrhat rtk lineris)

Feltevs:

nincs tkletes kollinearits

Nincs (determinisztikus) lineris

fggvnykapcsolat magyarz vltozk kztt

Plda: Jegyi=0 +1Tanuli + 2Piheni +

+ 3Egybi +ui, i=17n

Tanul + Pihens + Egyb = 168

Egyb = (168 - Tanul - Pihen)

Feltevs:

homoszkedaszticits s normalits

19

Plda heteroszkedaszticitsra

20

Egytthatk rtelmezse:

parcilis hats

' 678|

69:

, , <

Paramter identifiklsa a

populcis modellben

= $ - -$

$ - %& -

Populciban a felttel: - teljes rang legyen

Spec. eset: identifikci

egyvltozs regressziban

0 , ,

0

Teht a populciban:

,

Tananyag

Kis Wooldridge 2.1., 3.1.

(valszm ismtls: ugyanott App. B.1-B.4)

Nagy Wooldridge 2.3., App. 2.A.3., 4.1.