manual de estadistica i

UNIVERSIDAD DE ORIENTE

NCLEO DE MONAGAS

ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES Y ADMINISTRATIVAS

MANUAL DE ESTADSTICA I

GUSTAVO JOS RUEDA GUTIRREZ

MATURN, JULIO 2014

ii

INDICE

INDICE ............................................................................................................ ii INDICE DE FIGURAS .................................................................................... vi RESUMEN .................................................................................................... vii INTRODUCCIN ............................................................................................ 1 UNIDAD I: DEFINICIONES BSICAS USADAS EN ESTADSTICA ............ 3

1.1 Estadstica ............................................................................................. 3 1.2 Estadstica Descriptiva .......................................................................... 4 1.3 Estadstica Inferencial ........................................................................... 4 1.4 Universo ................................................................................................ 4 1.5 Poblacin ............................................................................................... 4 1.6 Muestra.................................................................................................. 6 1.7 Muestreo................................................................................................ 6 1.8 Parmetro .............................................................................................. 6 1.9 Estadstico ............................................................................................. 6 1.10 Datos ................................................................................................... 7 1.11 Variable Aleatoria y Tipos .................................................................... 7 1.12 Mediciones .......................................................................................... 8 1.13 Nivel de Mediciones ............................................................................ 9 1.14 Unidad Estadstica ............................................................................... 9 1.15 Problemas Unidad I ........................................................................... 10

UNIDAD II: ESTADSTICA DESCRIPTIVA. MTODOS TABULARES Y GRFICOS ................................................................................................... 12

2.1 Distribucin de Frecuencia .................................................................. 12 2.2 Intervalo Total (Rango de los Datos o Recorrido de los Datos) ........... 12 2.3 Intervalo de Clase ................................................................................ 12 2.4 Marca de Clase ................................................................................... 13 2.5 Frmula Emprica ................................................................................ 13 2.6 Frmula Terica .................................................................................. 13 2.7 Tipos de Frecuencia ............................................................................ 14 2.8 Estructura de la Tabla de Distribucin de Frecuencias ....................... 14 2.9 Representacin Grfica ....................................................................... 15 2.10 Problemas Unidad II .......................................................................... 17

UNIDAD III: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIN ........ 21 3.1 Media Aritmtica .................................................................................. 21 3.2 Media Aritmtica Ponderada ............................................................... 21 3.3 Media Armnica ................................................................................... 22 3.4 Media Geomtrica ............................................................................... 22 3.5 Moda o Modo ....................................................................................... 24 3.6 Mediana ............................................................................................... 25

3.6.1 Para datos no agrupados .............................................................. 25 3.6.2 Para datos agrupados ................................................................... 25

iii

3.7 Fractiles ............................................................................................... 26 3.7.1 Cuartiles (Qi) ................................................................................. 26 3.7.2 Deciles (Di) .................................................................................... 27 3.7.3 Percentiles (Pi) .............................................................................. 28

3.8 Problemas Unidad III ........................................................................... 34 UNIDAD IV: MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIN...................... 45

4.1 Medidas de Dispersin Absoluta ......................................................... 45 4.1.1 Intervalo Total (Rango de los Datos o Recorrido de los Datos) .... 45 4.1.2 Desviacin Media (Desvos Medios) ............................................. 45 4.1.3 Varianza ........................................................................................ 46 4.1.4 Desviacin Tpica o Estndar ........................................................ 47 4.1.5 Desviacin Cuartlica (Desviacin Cuartil) .................................... 47

4.2 Medidas de Dispersin Relativa .......................................................... 47 4.2.1 Coeficiente de Variacin de Pearson (C.V.) .................................. 48 4.2.2 Coeficiente de Variacin Medianal (C.V.M.) .................................. 48

4.3 Problemas Unidad IV ........................................................................... 49 UNIDAD V: MEDIDAS NUMRICAS ASIMTRICAS Y KURTOSIS ........... 55

5.1 Asimetra ............................................................................................. 55 5.2 Coeficiente de Asimetra: Frmula de Pearson ................................... 56 5.3 Teora de Momentos ........................................................................... 56 5.4 Tipos de Momentos ............................................................................. 57

5.4.1 Momentos respecto al origen, cuando C = 0 ................................. 57 5.4.2 Momentos respecto de la media o momento central, cuando C = X ............................................................................................................. 57

5.5 ndice de Simetra de Fisher ................................................................ 58 5.6 Kurtosis o Curtosis .............................................................................. 58 5.7 Coeficiente de Kurtosis ........................................................................ 59 5.8 Problemas Unidad V ............................................................................ 60

UNIDAD VI: INTRODUCCIN A LA TEORA DE PROBABILIDADES ....... 64 6.1 Probabilidad ......................................................................................... 64 6.2 Probabilidad A Priori ............................................................................ 64 6.3 Probabilidad A Posteriori (Frecuencia Relativa) .................................. 65 6.4 Probabilidad (Enfoque Subjetivo) ........................................................ 65 6.5 Concepto Axiomtico de la Probabilidad ............................................. 66

6.5.1 Experimento Aleatorio (Fenmenos) ............................................. 67 6.5.2 Espacio Muestral (S) ..................................................................... 67 6.5.3 Espacio Muestral Equiprobable ..................................................... 67 6.5.4 Puntos Muestrales (Suceso o Evento) .......................................... 67

6.6 Eventos Mutuamente Excluyentes ...................................................... 67 6.7 Eventos No Mutuamente Excluyentes ................................................. 68 6.8 Seleccin al Azar ................................................................................. 68

6.8.1 Seleccin con reemplazo (con repeticin) ..................................... 68 6.8.2 Seleccin sin reemplazo (sin repeticin) ....................................... 69

iv

6.9 Teorema de la Suma (A B); (A + B); (A o B); (A B) ....................... 69

6.9.1 Sucesos exhaustivos y mutuamente excluyentes ......................... 69 6.9.2 Sucesos mutuamente excluyentes ................................................ 70 6.9.3 Sucesos que no son Mutuamente Excluyentes ............................. 70

6.10 Probabilidad Condicional ................................................................... 71 6.11 Probabilidad Producto ....................................................................... 72 6.12 Teorema de la Probabilidad Total ...................................................... 73 6.13 Teorema de Bayes ............................................................................ 75 6.14 Problemas Unidad VI ......................................................................... 76

UNIDAD VII: DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD DISCRETA. DISTRIBUCIN BINOMIAL Y DISTRIBUCIN DE POISSON .................... 89

7.1 Distribucin Discreta de una Variable Aleatoria ................................... 89 7.2 Funcin de Probabilidad ...................................................................... 89 7.3 Funcin de densidad ........................................................................... 89 7.4 Espacio Muestral ................................................................................. 90 7.5 Funcin de Distribucin ....................................................................... 90 7.6 Esperanza Matemtica o Valor Esperado ........................................... 90

7.6.1 Propiedades .................................................................................. 91 7.7 Distribucin Binomial ........................................................................... 92 7.8 Distribucin de Poisson ....................................................................... 94 7.9 Aproximacin de la Distribucin de Poisson a la Distribucin Binomial ..................................................................................................... 96 7.10 Problemas Unidad VII ........................................................................ 99

UNIDAD VIII: DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD CONTINUA. DISTRIBUCIN NORMAL ......................................................................... 107

8.1 Concepto de Distribucin de Probabilidad Continua ......................... 107 8.2 Funcin Distribucin F(X) .................................................................. 108 8.3 Concepto de Distribucin Normal ...................................................... 109

8.3.1 Caractersticas de la Distribucin Normal ................................... 110 8.3.2 Propiedades ................................................................................ 110

8.4 Uso de la Tabla de la Distribucin Normal Estndar ......................... 111 8.5 Relacin entre la Distribucin Binomial y la Distribucin Normal ....... 114 8.6 Aproximacin de la Distribucin Normal a la Distribucin Binomial ... 115 8.7 Problemas Unidad VIII ....................................................................... 117

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS .............................. 129 BIBLIOGRAFA .......................................................................................... 158 APNDICES ............................................................................................... 160

APNDICE A: INTERPOLACIN LINEAL .............................................. 161 APNDICE B: TEORA DE CONJUNTOS .............................................. 166 APNDICE C: TEORA COMBINATORIA ............................................... 171 APNDICE D: TABLA DE LA DISTRIBUCIN NORMAL ....................... 183

ANEXOS ..................................................................................................... 187

v

ANEXO N 1: INTRODUCCIN A LA CONFIABILIDAD DE SISTEMAS 188 ANEXO N 2: CAPACIDAD DE UN PROCESO ...................................... 197

vi

INDICE DE FIGURAS

FIGURA N 1: UNIVERSO Y POBLACIN .................................................... 5 FIGURA N 2 DEFINICIONES BSICAS ....................................................... 7 FIGURA N 3 HISTOGRAMAS SIMPLES .................................................... 15 FIGURA N 4 HISTOGRAMAS ACUMULADOS ........................................... 15 FIGURA N 5 POLGONOS SIMPLES ......................................................... 16 FIGURA N 6 POLGONOS ACUMULADOS (OJIVAS) ................................ 16 FIGURA N 7 LA MEDIANA .......................................................................... 25 FIGURA N 9 DECILES ................................................................................ 27 FIGURA N 10 PERCENTILES..................................................................... 28 FIGURA N 11 TIPOS DE ASIMETRA ........................................................ 55 FIGURA N 12 TIPOS DE KURTOSIS ......................................................... 59 FIGURA N 13 PROBABILIDAD ................................................................... 66 FIGURA N 14 SUCESOS EXHAUSTIVOS Y EXCLUYENTES ................... 69 FIGURA N 15 SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES ...................... 70 FIGURA N 16 SUCESOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES ................ 70 FIGURA N 17 SUCESOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES, TRES

EVENTOS ................................................................................................ 71 FIGURA N 18 PROBABILIDAD CONDIONADA .......................................... 72 FIGURA N19 PROBABILIDAD TOTAL ....................................................... 73 FIGURA N 20 RBOL DE PROBABILIDADES ........................................... 74 FIGURA N 21 DISTRIBUCIN DE POISSON............................................. 95 FIGURA N 22 DISTRIBUCIN NORMAL ................................................. 109 FIGURA N 23 CONCENTRACIN DE DATOS EN LA NORMAL ............. 114 FIGURA N 24 DISTRIBUCIN BINOMIAL ................................................ 115

vii

UNIVERSIDAD DE ORIENTE

NCLEO DE MONAGAS

ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES Y ADMINISTRATIVAS

RESUMEN

Autor: Ing. Gustavo Jos Rueda Gutirrez

C.I. N V- 6.868.118

El objetivo fundamental de este trabajo es brindar una herramienta

adicional a los estudiantes de la asignatura Estadstica I de la Escuela de Ciencias Sociales y Administrativas, que permita coadyuvar en el proceso de enseanza - aprendizaje de la misma. El diseo del manual corresponde a un proyecto apoyado en una investigacin de tipo documental, debido a que se hace una recopilacin bibliogrfica, referentes tericos y documentos relacionados con la temtica desarrollada, tomando en cuenta aspectos tales como el contenido del programa vigente de la asignatura; la solicitud de elementos didcticos de estudio por parte de los estudiantes, de mucho material desarrollado en las aulas y de la experiencia, dictando el curso, del autor de este trabajo. Se destaca el hecho de que todas las situaciones propuestas han sido revisadas rigurosamente y se garantizan todos los resultados, de forma tal que el cursante pueda autoevaluar su formacin. Se ha incluido algunos ejemplos donde se considera que se brinda un enfoque que no se encuentra con facilidad en la bibliografa existente. Se espera que este trabajo contribuya, en alguna medida, a elevar el nivel de la calidad de los cursos de Estadstica.

1

INTRODUCCIN

El objetivo ltimo de este trabajo es presentar al estudiante de

Estadstica I una coleccin de situaciones y problemas que le permitan

ejercitar y aplicar los conocimientos adquiridos.

No se ha querido desarrollar a profundidad la Teora Estadstica

necesaria para la resolucin de estos ejercicios porque, se ha considerado

que existen excelentes libros de texto en el rea, a los cuales sera muy

difcil superar. Slo se ha incluido, al comienzo de cada unidad, una sntesis

exhaustiva del contenido de la misma, con la intencin que sirva de

recordatorio de los temas desarrollados en clase y que deberan ser

ahondados en los buenos textos recomendados.

De igual manera, en situaciones en la que se considera un especial

inters o que se crea dar un aporte debido a considerar que en la bibliografa

existente no se da ese enfoque especial o no es fcil hallarlo, se presentan

algunos ejemplos, esperando sean de mucha utilidad al lector de esta obra.

El trabajo est dividido en ocho captulos, cada uno de ellos abarca un

temario lo suficientemente amplio, que permite cubrir un buen nmero de

ejercicios y problemas de diversa ndole, que se presentan lo suficientemente

mezclados para impedir que el estudiante se mecanice, y que por el contrario

desarrolle cabalmente todos los conceptos.

El tipo de situaciones que se presentan est fundamentalmente

orientado para cursos de Estadstica I, en donde se presuponga una buena

base matemtica del estudiante; y se ha revisado profundamente, teniendo el

Gustavo J. Rueda G.

2

sumo cuidado en todas y cada una de las respuestas a los ejercicios

propuestos, de forma tal, que quien se est formando tenga una orientacin

certera en el logro de los objetivos del aprendizaje.

Finalmente, se espera que este trabajo contribuya a elevar el nivel de

los cursos de Estadstica, al evitar en los estudiantes la prdida de tiempo

que ocasiona la bsqueda de este material que aparece disperso en la

extensa bibliografa.


3

UNIDAD I: DEFINICIONES BSICAS USADAS EN

ESTADSTICA

Estadstica es mucho ms que slo nmeros apilados y grficas muy

llamativas. Es una ciencia con tanta antigedad como la escritura, y es por s

misma auxiliar de todas las dems ciencias. Los mercados, la medicina, la

ingeniera, los gobiernos, etc., se mencionan entre los ms destacados

clientes de esta rea del saber humano.

La ausencia de sta conllevara a un caos generalizado, dejando a los

administradores y ejecutivos sin informacin vital a la hora de tomar

decisiones en tiempos de incertidumbre.

La Estadstica que hoy se conoce debe en gran parte sus alcances y

desarrollos, a los trabajos matemticos de aquellos hombres que

desarrollaron teoras, con las cuales se adhiri a la Estadstica a las ciencias

formales.

1.1 Estadstica

Es una ciencia, pues usa el mtodo cientfico, que se apoya en las

matemticas, que trata de recoger, presentar, analizar e interpretar datos

numricos y constituye la rama del saber humano que tiene como objeto el

estudio de ciertos mtodos inductivos aplicables a fenmenos susceptibles

de expresin cuantitativa.

La Estadstica para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes

ramas: la Estadstica Descriptiva y la Inferencial.

Gustavo J. Rueda G.

4

1.2 Estadstica Descriptiva

Es el conjunto de mtodos cuantitativos que permiten organizar y

analizar observaciones de un fenmeno en estudio, cuyas conclusiones no

trascienden sobre un conjunto mayor de observacin.

1.3 Estadstica Inferencial

Es el conjunto de mtodos cuantitativos que permiten organizar y

analizar observaciones de un fenmeno en estudio, con el objeto de obtener

conclusiones sobre un conjunto mayor (poblacin) que dio origen a dichas

observaciones (muestra).

1.4 Universo

Es el conjunto total de individuos, cosas, hechos, objetos, etc., que se

estn considerando como objetos de estudios.

1.5 Poblacin

Es el conjunto que se obtiene de las mediciones realizadas sobre los

elementos del Universo. Cuando le damos una caracterstica comn

observable a un grupo del Universo, tenemos una Poblacin.


5

FIGURA N 1: UNIVERSO Y POBLACIN

Las poblaciones objetos de estudio, segn sea el nmero de elementos

que la conforman pueden ser finitas o infinitas. Por ejemplo, los salarios de

los obreros de una empresa, es una poblacin finita. En cambio, la

temperatura en los distintos puntos de la tierra sera un ejemplo de poblacin

infinita. Hay un criterio, muy extendido, segn el cual la poblacin finita es

aquella que se puede contar, y esto es muy impreciso, pues todas se pueden

contar, la diferencia radica en que las finitas se les conoce hasta donde

llegan, es decir, su final. En cambio, las poblaciones infinitas no se le conoce

su trmino, pero se puede establecer su conteo, por ejemplo, los nmeros

reales. Muchas poblaciones finitas son tan grandes, que muchas veces se le

da un tratamiento de poblacin infinita, para poderlas estudiar.

Gustavo J. Rueda G.

6

1.6 Muestra

Es una parte o subconjunto de la poblacin. Es necesario que para

hacer afirmaciones basadas en datos muestrales y que tengan validez sobre

la poblacin, que la muestra sea representativa, que el proceso de seleccin

sea con aleatoriedad (al azar) y que tenga un tamao que garantice estas

condiciones (n).

1.7 Muestreo

Es el mtodo que se emplea para seleccionar una muestra. Existen

varios mtodos, pero el que se va a utilizar es el muestreo simple aleatorio,

en donde cada miembro de la poblacin se elige al azar y tiene idntico

chance o probabilidad de ser seleccionado.

1.8 Parmetro

Es una caracterstica de una poblacin. Es un valor poblacional, por

ejemplo, la edad promedio de una poblacin. Y es un valor que cambia con

el transcurrir del tiempo, en una evaluacin instantnea no cambia, pero

hecha la misma evaluacin en otro instante de tiempo pudiera tener otro

valor.

1.9 Estadstico

Es una caracterstica especifica de una muestra. Es un valor muestral,

es por tanto, una variable aleatoria.


7

FIGURA N 2 DEFINICIONES BSICAS

1.10 Datos

Es el elemento bsico de la Estadstica, es su materia prima.

1.11 Variable Aleatoria y Tipos

Es un smbolo que representa un elemento no especificado de un

conjunto dado, susceptible de tomar diversos valores, y cada valor lo toma

asociado a una probabilidad.

Gustavo J. Rueda G.

8

Variable Cualitativa: es aquella en las que las observaciones sobre un

determinado fenmeno se describen solo como poseedoras o no de

ciertas cualidades, atributos o propiedades.

Variable Cualitativa Nominal: Son aquellas que obedecen a un nombre

y no hay ninguna relacin de orden. Ejemplo: color del carro, sexo,

profesin, marcas, etc.

Variable Cualitativa Ordinal: Como lo indica su nombre, indican una

relacin de orden. Ejemplo: tercero, escalas de notas de un examen (A,

B, C, D, E).

Variable Cuantitativa: Son aquellas que se expresan mediante un

nmero o cantidad.

Variable Cuantitativa Discreta: Son aquellas que solo pueden tomar

valores enteros. Ejemplo: nmero de hijos, cantidad de clientes, etc.

Variable Cuantitativa Continua: Son aquellas que pueden tomar valores

enteros o no enteros. Ejemplo: precios, temperaturas, velocidades,

estaturas, pesos, etc.

1.12 Mediciones

Consiste en la asignacin de nmeros a elementos u objetos para

representar o cuantificar una propiedad o caracterstica. El problema bsico

esta dado por la asignacin numeral que represente la magnitud de la

caracterstica que se quiere medir y que dicho nmeros pueden analizarse

por manipulaciones de acuerdo a ciertas reglas, es evidente, que el mundo

resultara en un caos si no se pudiera medir nada. Por medio de la medicin,

los atributos de las percepciones se transforman en entidades conocidas y

manejables llamadas nmeros.


9

1.13 Nivel de Mediciones

Dicha clasificacin obedece a las escalas de medicin propuestas por el

psiclogo Stevens, S. (1946), en Sobre la Teora de las Escalas de Medicin,

casi universalmente aceptadas. Los datos estn siempre referidos a una de

estas escalas:

1. Escala Nominal: cuando se utilizan nombres para establecer categoras.

Ejemplo: el estado de una persona para determinada enfermedad se

puede clasificar como sano o enfermo. Adicionalmente, se debe

mencionar que ninguna de las categoras definidas tiene mayor

jerarqua que las otras.

2. Escala Ordinal: existen o se definen varias categoras, adems de

mostrar un ordenamiento, existen relaciones de mayor o menor que

entre ellas.

3. Escala de Intervalo: mide variables de manera numrica. Permite

establecer distancias. El cero puede estar dentro de la escala y no

implica ausencia de la caracterstica o variable medida. Ejemplo: las

fechas, la temperatura, calificaciones de una prueba.

4. Escala de Razn: es la ms fuerte, dado que usa un sistema numrico

en el que el cero (0) es un valor que indica ausencia de la caracterstica

que se mide.

1.14 Unidad Estadstica

Es el sujeto en particular sobre el cual se est observando la variable.

Gustavo J. Rueda G.

10

1.15 Problemas Unidad I

I.1 Se realiza un estudio en la parroquia San Simn del Municipio Maturn,

sobre el tipo de transporte utilizado por sus residentes, para lo cual se

encuesta a un grupo de ellos, obtenindose:

TIPO DE

TRANSPORTE

N DE

RESIDENTES

AUTO PARTICULAR 41

TAXI 22

MOTO 42

POR PUESTO 52

AUTOBUS 37

OTRO 25

a) Cul es el universo?

b) Cul es la poblacin?

c) Cul es la muestra?

d) Cul es la variable aleatoria y de qu tipo es?

I.2 Una fbrica produce tornillos para los cuales existen estrechos mrgenes

de tolerancia en sus dimetros. El Departamento de Control de Calidad

selecciona la produccin de un da y la somete a proceso de control.






11

I.3 De un lote de 1.000 piezas defectuosas se toman al azar 150 de ellas,

encontrndose con 1, 2, 3 4 y ms defectos a 15, 52, 46 y 37 piezas

respectivamente.





I.4 Una compaa de calidad area sostiene que menos de un por ciento de

los vuelos programados que despegan del aeropuerto de Maiqueta sale

tarde. Se ha observado que el 1,5 por ciento de un lote de 200 vuelos sali

ms tarde de la hora prevista.





I.5 La Universidad de Oriente ha encuestado a 780 de sus estudiantes de su

ncleo de Monagas, para averiguar el tiempo semanal promedio que dedican

a navegar por internet.





Gustavo J. Rueda G.

12

UNIDAD II: ESTADSTICA DESCRIPTIVA. MTODOS

TABULARES Y GRFICOS

Los datos constituyen la materia prima de la Estadstica. Los datos se

pueden tratar de dos formas:

1. Puntual o no agrupados: registrando el valor exacto de cada dato.

2. Agrupados: se clasifican en intervalos, es ms cmodo, pero menos

preciso. Usada generalmente, cuando el nmero de datos es elevado.

2.1 Distribucin de Frecuencia

Es una tabla que resumen datos enumerando las clases en la columna

de la izquierda y el nmero de observaciones de cada clase en la columna

de la derecha. Requiere de un procedimiento previo que consiste en

recopilar, ordenar y clasificar la informacin.

2.2 Intervalo Total (Rango de los Datos o Recorrido de los Datos)

Es la diferencia (distancia) entre el valor mayor observado (XM) y el

valor menor observado (Xm) en una serie de datos.

ITOT = XM - Xm

2.3 Intervalo de Clase

Es el fraccionamiento que se hace del Intervalo Total en recorridos

parciales. Cada intervalo consta de un lmite superior (Ls) y de un lmite

inferior (Li). La amplitud del intervalo de clase es la distancia que hay entre el


13

lmite superior y el lmite inferior de cada clase. Todas las clases tienen la

misma amplitud.

ic = Ls - Li

2.4 Marca de Clase

Es el punto medio del intervalo de clase. Hay tantas marcas de clase

como intervalos de clase en una distribucin de frecuencias. Se obtiene con

la semi suma de los lmites superior e inferior de cada intervalo de clase.

Xi = (Ls + Li) / 2

2.5 Frmula Emprica

Es la forma de establecer la amplitud del intervalo de clase dado el

nmero de intervalos (n) a agrupar.

ic = ITOT / n

2.6 Frmula Terica

Es la forma de establecer la amplitud del intervalo de clase cuando el

nmero de intervalos (n) a agrupar es desconocido. Se parte de la expresin

formulada por Herbert Sturges, en 1926, que sirve de indicador aproximado o

sugerido para establecer el nmero de intervalos n para realizar el

agrupamiento de los datos en intervalos de clase, partiendo del nmero total

de datos N; la Regla de Sturges viene dada por la expresin:

n = 1 + 3,322 log N

Gustavo J. Rueda G.

14

Luego, hecha la aproximacin correspondiente, se utiliza la conocida

expresin:

ic = ITOT / n

2.7 Tipos de Frecuencia

Frecuencia simple o absoluta (fi): Es el nmero de veces que se repite

un valor en una serie o coleccin de datos, es el conteo de los datos.

Frecuencia Relativa (hi): Es el cociente que resulta entre la frecuencia

absoluta (fi) y el nmero total de datos (N = fi). Se recomienda

expresarlo con cuatro cifras decimales y tcnica de redondeo.

Frecuencias Acumuladas: Expresan la suma de las frecuencias

(absolutas o relativas) de todos los valores de la variable anteriores o

precedentes y el suyo propio.

Fi = Frecuencia Absoluta Acumulada

Hi = Frecuencia Relativa Acumulada

Porcentajes: se obtendr el porcentaje (%), como el producto de 100 *

hi. El porcentaje tambin puede ser acumulado (%ACUM), y se obtiene

como el producto de 100 * Hi.

2.8 Estructura de la Tabla de Distribucin de Frecuencias

INTERVALOS

[UNIDADES]

FREC.

ABS.

fi

MARCA

DE CLASE

Xi

FREC. ABS.

ACUMULADA

Fi

FREC.

RELATIVA

hi

FREC. ABS.

ACUMULADA

Hi

PORCENTAJE

%

PORCENTAJE

ACUMULADO

(%ACUM)

[L1 L2) f1 X1 F1 h1 H1 %1 %ACUM1

[L2 L3) f2 X2 F2 h2 H2 %2 %ACUM2

[L3 L4) f3 X3 F3 h3 H3 %3 %ACUM3

[Ln-1 Ln] fn Xn Fn = N h4 Hn = 1 %n %ACUMn = 100

fi = N hi = 1 %i = 100


15

2.9 Representacin Grfica

La representacin grfica de la distribucin de frecuencias debe estar

basada en la buena construccin de la tabla. Para esto es imprescindible que

los intervalos sean inclusivos y que no se solapen. Cada observacin debe

pertenecer a uno y slo un intervalo. Los lmites o extremos de cada clase

deben estar claramente definidos, asegurando simplemente que los limites

permitan comprender e interpretar claramente los datos.

Histogramas: Son grficos formados por rectngulos (barras verticales),

que tienen por base el intervalo de clase y por altura la frecuencia (absoluta o

acumulada) correspondiente a cada clase. El nombre del Histograma lo

define el eje vertical o eje de las ordenadas del grfico.

FIGURA N 3 HISTOGRAMAS SIMPLES

FIGURA N 4 HISTOGRAMAS ACUMULADOS

Gustavo J. Rueda G.

16

Polgonos: Es una figura que se forma al unir los puntos que se

determinan al unir los puntos que se determinan levantando en el punto de

medio de cada intervalo de clase, una altura igual a la frecuencia simple

(absoluta, relativa o porcentual). Los extremos del polgono se cierran en

puntos situados, antes de la primera y a continuacin de la ltima clase, a

una distancia igual a la mitad del intervalo de clase de la serie de datos.

FIGURA N 5 POLGONOS SIMPLES

Polgonos acumulados u Ojivas: son figuras que se obtienen uniendo el

lmite inferior de la primera clase, con los puntos que se determinan

levantando en el lmite superior de cada clase, una altura igual a la

frecuencia acumulada correspondiente a la clase.

FIGURA N 6 POLGONOS ACUMULADOS (OJIVAS)


17

2.10 Problemas Unidad II

A todos los problemas propuestos, construya la tabla de distribucin de

frecuencias completa y lo solicitado en cada situacin.

II.1 Los siguientes datos representan los salarios diarios de unos operarios

en /da. Construya la distribucin de frecuencias agrupndolos segn el

criterio de aproximacin de la frmula terica.

a) Cuntos datos hay, cul es el menor y el mayor valor de la serie de

datos?

b) Cunto es el intervalo total?

c) Cunto es el valor de n, segn la frmula terica y cul es el valor a

usar?

d) Cul es la amplitud del intervalo de clase?

e) Construya el histograma de frecuencias absolutas y la ojiva porcentual

Salarios [/da]:

20 30 35 20 40 23 33 37 36 39

41 32 40 25 24 29 39 27 20 23

24 39 24 22 21 34 24 23 38 25

20 25 28 29 31 37 24 38 33 20

30 32 35 34 36 28 34 34 33 36

34 27 32 30 30 22 36 38 37 32

II.2 Considere los datos en la siguiente tabla de frecuencias:

a) Complete los intervalos de clases correspondientes a la siguiente

distribucin y construya la tabla de distribucin de frecuencias completa.

Gustavo J. Rueda G.

18

b) Construya el histograma de frecuencias relativas acumulados y el

polgono de frecuencias absolutas.

COSTO

[Bs/UNIDAD]

N DE PIEZAS

fi

MARCA DE CLASE

Xi

12 5

20 10

32 15

18 20

8 25

II.3 Construya la distribucin de frecuencias con los datos que se presentan a

continuacin, agrupando la informacin en cinco (5) clases

15 20 25 28 30 18 23 17

18 17 18 15 23 17 20 20

23 18 20 17 25 20 25 18

25 20 20 23 23 18 30 20

28 23 25 28 20 30 28 23


datos?


c) Cul es la amplitud del intervalo de clase?

d) Construya el histograma de frecuencias relativas y el polgono de

frecuencias absolutas acumuladas.


19

II.4 Los siguientes datos representan los ingresos semanales de 40

personas. Complete, estableciendo las debidas relaciones entre las

frecuencias absolutas y sus correspondientes acumuladas y construya la

distribucin de frecuencias completa.

INGRESOS

[US$/SEMANA]

N DE PERSONAS

fi

Fi

250 300 2 F1

300 350 f2 F2

350 400 12 22

400 450 f4 29

450 500 f5 34

500 550 4 F6

550 600 f7 F7

II.5 La informacin siguiente, se refiere a rentas en [x1000 en Bs/m2] de una

muestra de 42 apartamentos con una edad promedio de 10 a 15 aos, en la

zona sur-este de la ciudad de Caracas. Agrupe en 5 intervalos de clase.

RENTAS [x1000 EN Bs./m2]

20 23 23 28 36 31

26 28 33 25 25 37

32 33 21 34 42 21

30 26 26 37 31 37

22 20 27 21 29 24

30 32 31 33 35 39

37 38 45 42 42 40

Gustavo J. Rueda G.

20


datos?



d) Construya el histograma de porcentajes acumulados y el polgono de

frecuencias relativas.

II.6 Los siguientes datos representan la vida (*103 en horas) de una muestra

aleatoria de unos pequeos bombillos led. Agrupe en 7 intervalos de clase.

2,0 3,0 0,3 3,3 1,3 0,4

0,2 6,0 5,5 6,5 0,2 2,3

1,5 4,0 5,9 1,8 4,7 0,7

4,5 0,3 1,5 0,5 2,5 5,0

1,0 6,0 5,6 6,0 1,2 0,2


datos?



d) Construya la tabla de distribucin de frecuencias completa

e) Construya el histograma de porcentajes acumulados, el polgono de

frecuencias relativas y el histograma de frecuencias absolutas

acumuladas.


21

UNIDAD III: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE

POSICIN

3.1 Media Aritmtica

Es igual al cociente que resulta de dividir la suma de todos los datos de

la serie por el nmero de ellos.

DATOS NO AGRUPADOS

(SERIE DE DATOS)

DATOS AGRUPADOS

(DIST. DE FRECUENCIAS)

En donde Xi, es el valor exacto de cada

dato

En donde Xi, es la marca de clase

3.2 Media Aritmtica Ponderada

Se utiliza cuando el valor que toma la variable, puede diferir en peso o

importancia, es decir, cuando las observaciones difieren en la ponderacin.

Siendo wi la ponderacin de la observacin y X el valor del dato.

Gustavo J. Rueda G.

22

3.3 Media Armnica

Es el reciproco o inverso de la media aritmtica de los reciproco o

inversos de las observaciones o valores que toma la variable. Es el promedio

de eleccin cuando se requiere el promedio de ndices de tiempo, por

ejemplo, la velocidad (Km/h).

DATOS NO AGRUPADOS

(SERIE DE DATOS)

DATOS AGRUPADOS

(DIST. DE FRECUENCIAS)

En donde X, es el valor exacto de cada

dato

En donde X, es la marca de clase

3.4 Media Geomtrica

Es la n-sima raz del producto de n valores u observaciones. Se

utiliza para saber cul es el crecimiento en una serie de perodos de tiempo.

En las finanzas, se encuentra en el inters compuesto a lo largo de varios

perodos, o el crecimiento de la poblacin o el crecimiento de las ventas.

Tasa de crecimiento promedio (en finanzas):


23

f = p (1 + i)n i = tasa promedio de crecimiento

n = nmero de perodos

f = valor futuro (final de la serie)

p = valor presente (inicio de la serie)

Ejemplo

Se pretende realizar un proyecto habitacional en una determinada

regin del pas, para lo cual se dispone de informacin demogrfica. A tal

efecto se tiene:

AOS POBLACIN

(En millones de Hab.)

2009 0,8

2010 1,0

2011 1,2

2012 1,6

2013 2,1

2014 2,2

Cul ser el nmero de viviendas para 2015, si se asume que el 20%

de la poblacin demanda vivienda y que cada familia est formada por 5

personas?

Se calcula inicialmente la tasa de crecimiento promedio o el

crecimiento promedio, con la expresin siguiente:

Gustavo J. Rueda G.

24

Despejando queda: f = p (1 + i)n, entonces f2015 = p2014 (1 + 0,22)1

F2015 = 2,2 (1 + 0,22) = 2,7 millones de habitantes

De los 2.700.000 habitantes demandan viviendas el 20%, o sea,

2.700.000(0,20) = 540.000 habitantes, pero cada familia est formada por 5

personas (en promedio), se requieren:

3.5 Moda o Modo

Es el que se presenta ms frecuentemente en una serie de datos, en

otras palabras, es el dato afectado de la mayor frecuencia. Puede haber

moda o no, y si la hay, puede haber ms de una. Por ejemplo; 2 modas la

serie es bimodal; 3 modas la serie es trimodal, etc.

Sobre la clase modal (CMo), se aplica: ic = amplitud del intervalo de clase.

Li = lmite inferior de la clase modal.

f1 = diferencia de frecuencias

absolutas de la clase modal y la clase

anterior.

f2 = diferencia de frecuencias

absolutas de la clase modal y la clase

posterior.


25

3.6 Mediana

Es el valor central, es el valor que supera al 50% de los datos y a su

vez es superado por el 50% restante.

FIGURA N 7 LA MEDIANA

3.6.1 Para datos no agrupados

Se tiene dos situaciones:

1. Nmero de datos impar: se ordenan en forma creciente los datos y la

mediana ser el valor central.

2. Nmero de datos par: se ordenan en forma creciente, la mediana es

cualquier valor entre los dos valores centrales, pero por razones

prcticas, se ha convenido internacionalmente, tomar a la semi suma de

esos dos valores como la mediana.

Md = (X(n/2) + X(n/2)+1) / 2

3.6.2 Para datos agrupados

La clase medianal (CMd), es la que contiene al dato central.

Gustavo J. Rueda G.

26

Sobre la clase medianal (CMd), se

aplica:

ic = amplitud del intervalo de clase.

Li = lmite inferior de la clase

medianal.

fi = frecuencia absoluta de la clase

medianal.

N = total de datos.

Faa = frec. Abs.de clase anterior a

la clase medianal.

3.7 Fractiles

Son indicadores estadsticos de posicin que sirven para indicar el

fraccionamiento de la distribucin de datos. Los ms usuales son los

cuartiles, los deciles y los percentiles.

3.7.1 Cuartiles (Qi)

Fraccionan a la distribucin de datos en cuatro partes iguales de 25%

cada una y son tres (Q1, Q2 y Q3).

Datos no agrupados:

N par: Qi = (i * N) / 4

N impar: Qi = i * (N+1) / 4

Datos agrupados:

clase cuartili = (i * N) / 4

FIGURA N 8 CUARTILES


27

Sobre la clase cuartili, se aplica: ic = amplitud del intervalo de clase.

Li = lmite inferior de la clase cuartili.

fi = frecuencia absoluta de la clase

cuartili.

N = total de datos.

Faa = frec. Abs.de clase anterior a la

clase cuartili.

3.7.2 Deciles (Di)

Fraccionan a la distribucin de datos en diez partes iguales de 10%

cada una y son nueve (D1, D2, D3,, D8 y D9).

Datos no agrupados:

N par: Di = (i * N) / 10

N impar: Di = i * (N+1) / 10

Datos agrupados:

clase decili = (i * N) / 10

FIGURA N 9 DECILES

Gustavo J. Rueda G.

28

Sobre la clase decili, se aplica: ic = amplitud del intervalo de

clase.

Li = lmite inferior de la clase

decili.

fi = frecuencia absoluta de la

clase decili.

N = total de datos.

Faa = frec. Abs.de clase

anterior a la clase decili.

3.7.3 Percentiles (Pi)

Fraccionan a la distribucin de datos en cien partes iguales de 1%

cada una y son noventa y nueve (P1, P2, P3,, P98 y P99).

Datos no agrupados:

N par: Pi = (i * N) / 100

N impar: Pi = i * (N+1) / 100

Datos agrupados:

clase percentili = (i * N) / 100

FIGURA N 10 PERCENTILES


29

Sobre la clase percentili, se aplica: ic = amplitud del intervalo

de clase.

Li = lmite inferior de la

clase percentili

fi = frecuencia absoluta de

la clase percentili

N = total de datos.

Faa = frec. Abs.de clase

anterior a la clase percentili.

Un mtodo ms universal y poderoso, por su sencillez, es hallar estos

indicadores de posicin por interpolacin. Es ms sencillo, pues slo se debe

recordar una sola frmula, la de interpolacin (mtodo de aproximacin lineal

por interpolacin o tambin llamado de proporcionalidad, ver Apndice A), y

se aplica en el espacio correspondiente al porcentaje que defina el fractil que

se est calculando, sobre la columna de porcentaje acumulado (%ACUM) de la

tabla de distribucin de frecuencias.

Frmula general de interpolacin:

Sobre el espacio indicando del porcentaje

buscado:

R: valor del fractil buscando

R1: valor del % anterior al

buscado

R2: valor del % posterior al

buscado

L1: imagen del valor R1

L2: imagen del valor R2

Gustavo J. Rueda G.

30

L: valor del porcentaje

correspondiente al fractil

buscado.

Ejemplo

Considerar la siguiente distribucin de frecuencias, que representa

precios en dlares por unidad. Hallar:

a) El tercer cuartil (Q3)

b) El sexto decil (D6)

c) El percentil dieciocho (P18)

PRECIO

(US$ /

UNIDAD)

N DE

UNIDADES

(fi)

Fi %ACUM

15 25 6 6 10

25 35 8 14 23,33

35 45 14 28 46,67

45 55 16 44 73,33

55 65 12 56 93,33

65 75 2 58 96,67

75 85 2 60 100

n = 7 fi = N = 60

Solo se necesita la primera columna, correspondiente a los valores de

la variable, y la ltima columna, correspondiente a los porcentajes

acumulados, para ubicar los fractiles. Sobre la ltima columna (%ACUM), se


31

ubica el porcentaje correspondiente al del fractil en cuestin. Por ejemplo, el

tercer cuartil o cuartil tercero o cuartil tres (Q3), es aquel indicador de

posicin que supera al 75% de los datos y a su vez es superado por el 25%

restante; entonces la posicin que se debe calcular es la que corresponde al

75%.

Ubicados los valores en la tabla de distribucin de frecuencias, se

procede a sustituir en la formula general de interpolacin, para ubicar el

fractil en cuestin, que en este caso es el Q3.

a.- Entonces el tercer cuartil es Q3 = 55,835 US$/unidad

Gustavo J. Rueda G.

32

El sexto decil o decil seis (D6), es aquel indicador de posicin que

supera al 60% de los datos y a su vez es superado por el 60% restante;

entonces la posicin que se debe calcular es la que corresponde al 60%.

Ubicados los valores en la tabla de distribucin de frecuencias, se


fractil en cuestin, que en este caso es el D6.

b.- Entonces el sexto decil es D6 = 50 US$/unidad

El percentil dieciocho (P18), es aquel indicador de posicin que supera

al 18% de los datos y a su vez es superado por el 82% restante; entonces la

posicin que se debe calcular es la que corresponde al 18%.


33

Ubicando los valores en la tabla de distribucin de frecuencias, se


fractil en cuestin, que en este caso es el P18.

c.- Entonces el percentil dieciocho es P18 = 31,01 US$/unidad

En conclusin, solo se necesita ubicar el porcentaje acumulado

(%ACUM) asociado al fractil, y conocer la frmula de interpolacin para ubicar

su valor, y esto tiene un gran valor prctico.

Gustavo J. Rueda G.

34

3.8 Problemas Unidad III

III.1 La siguiente distribucin de frecuencias corresponde al costo, en

bolvares por unidad, de unos caramelos para fiestas infantiles.

COSTO

(Bs/unidad)

N DE UNIDADES

Determinar:

15 20 26 a) La media aritmtica.

20 25 34 b) La mediana.

25 30 42 c) La moda o modo.

30 35 38

35 40 20

III.2 Los siguientes datos representan las calificaciones de una muestra de

estudiantes en un determinado examen sobre 100 puntos. Agrupe en 10

intervalos (n = 10).

23 60 79 32 57 74 52 70 82 36

80 77 81 95 41 65 92 85 55 76

52 10 64 75 78 25 80 98 81 67

41 71 83 54 64 72 88 62 74 43

60 78 89 76 84 48 84 90 15 79

34 67 17 82 69 74 63 80 85 61

Determine:

a) La media aritmtica

b) La mediana

c) La moda o modo


35

d) El percentil catorce (P14)

e) El primer cuartil (Q1)

f) El sptimo decil (D7)

III.3 En un estudio de mercado se desea estimar el ingreso por familia en una

determinada zona de la ciudad. Se tom una muestra aleatoria de familias,

obtenindose los siguientes resultados:

INGRESO

FAMILIAR

(US$/MES)

0 - 1000

1000 - 2000

2000 - 3000

3000 - 4000

4000 - 5000

N

FAMILIAS

2

7

6

4

1

Determine la moda y el primer cuartil (Q1) de la muestra.

III.4 El administrador de un hospital, de acuerdo a un estudio del tiempo de

espera de los pacientes, antes de ser atendidos en emergencia, obtiene para

un da laborable cualquiera la siguiente informacin:

TIEMPO EN

ESPERA

(min.)

10 - 14

14 - 18

18 22

22 - 26

26 - 30

30 - 34

N

PACIENTES

4

10

16

20

2

8

Calcular el tiempo de espera promedio.

Gustavo J. Rueda G.

36

III.5 Una empresa tiene 60 empleados que ganan los sueldos mensuales

siguientes:

SUELDOS

(Bs/mes)

3000 - 3500

3500 - 4000

4000 - 4500

4500 - 5000

5000 - 5500

N

EMPLEADOS

6

9

30

8

7

La Gerencia de RRHH de la empresa recomienda un aumento del 10%

para cada empleado, a cunto ascender el sueldo promedio anual de un

empleado de esta empresa? (suponer que cada empleado solo recibe solo

recibe su sueldo mensual).

III.6 La siguiente informacin se refiere a una muestra de 60 componentes

electrnicos y su duracin. Cul es la duracin promedio de estos

componentes electrnicos?

DURACIN

(x1000 hrs)

10 15 15 20 20 25 25 30 30 35

N

COMPONENTES

6 f2 18 f4 10

Fi

F1 F2 36 50 F4

III.7 Una oficina que realiza investigaciones de mercado est estudiando el

consumo mensual en una parroquia de Maturn, de cierto producto de

consumo masivo, para lo cual divide en tres reas a dicha parroquia y las

denomina A1, A2 y A3; encuestando en ellas un total de 80 hogares,

obteniendo el siguiente resultado:


37

REA INFORMACIN

A1 X1 = 200 Bs/mes

N1 = 25 HOGARES

ENCUESTADOS

A2 X2 = 235 HOGARES

ENCUESTADOS

N2 = SE EXTRAVI LA DATA

A3 X3 = X2

N3 = 35 HOGARES

ENCUESTADOS

Cul es el promedio total de consumo mensual del producto en la

citada parroquia?

III.8 En base a un estudio sobre la oferta actual de locales comerciales en el

rea metropolitana de Caracas para las zonas oeste, centro y este, se

obtiene la informacin siguiente:

RESULTADOS DEL

ESTUDIO

ZONAS

OESTE CENTRO ESTE

PRECIO DE VENTAPROM

(Bs/m2)

550 NO SE

CONOCE

6.100

N LOCALES

COMERCIALES

OBSERVADOS

80 50 70

El precio de venta promedio total para el rea metropolitana es de 5.785

Bs/m2. Determine el precio de venta promedio para la zona centro.

Gustavo J. Rueda G.

38

III.9 Una empresa tiene 60 ejecutivos que reciben en promedio Bs. 10.000 al

mes y 800 trabajadores que reciben en promedio Bs. 3.000 al mes. En

tiempo de crisis y depresin econmica, todos los sueldos se reducen en un

20%, el nmero de ejecutivos se reduce en un 10% y se despiden 200

trabajadores. Determine el sueldo promedio total en tiempo de depresin.

III.10 Al inicio de actividades una empresa determina que el costo de

produccin para un determinado producto electrodomstico era de 1.200

Bs/unidad, actualmente al haber transcurrido varios aos de operacin, el

costo de produccin para el mismo artculo es de 1.324,91 Bs/unidad. Si se

estima que para dentro de dos aos su costo de produccin ser de 1.378,44

Bs/unidad, Cuntos aos tiene operando la empresa?

III.11 La siguiente tabla presenta los costos del terreno al sur de la ciudad de

Maturn. Si la tasa de crecimiento interanual se mantiene. Cul ser el costo

del terreno para 2020?

AOS COSTO

(Bs/m2)

2013 220

2014 231

2015 270

2016 300

2017 350

III.12 En base a un estudio realizado en una zona industrial del pas, se

obtiene la informacin dispuesta en la tabla, de acuerdo a las industrias


39

instaladas en cinco (5) aos. Es necesario dotar de vivienda a cada familia

de cada trabajador, si cada industria en promedio emplea 120 trabajadores y

cada familia est formada por 5 personas, Cuntas viviendas se requieran

para 2017?

AOS INDUSTRIAS

INSTALADAS

2010 8

2011 11

2012 15

2013 18

2014 22

III.13 El director de unos grandes almacenes tiene inters en saber cuntos

reclamos recibe el Departamento de Atencin al Cliente sobre la calidad de

los aparatos electrnicos que se venden en los almacenes. Los registros de

un perodo de 5 semanas muestran el siguiente nmero de reclamos

semanales:

13 15 8 16 8

a) Calcule el nmero medio de reclamos semanales

b) Calcule el valor central de las reclamaciones

c) Halle la moda

Gustavo J. Rueda G.

40

III.14 Diez economistas recibieron el encargo de predecir el crecimiento

porcentual que experimentar el ndice de precios de consumo el prximo

ao. Sus predicciones fueron:

3,6 3,1 3,9 3,7 3,5

3,7 3,4 3,0 3,7 3,4

a) Calcule el ndice promedio

b) Calcule la mediana

c) Cul es la moda?

III.15 Una cadena de grandes almacenes eligi aleatoriamente 10

establecimientos situados en una regin en particular. Tras examinar los

datos de ventas, observ que ese ao se haban conseguido en las

navidades los siguientes aumentos porcentuales de las ventas en dlares

con respecto al ao anterior:

10,2 3,1 5,9 7,0 3,7

2,9 6,8 7,3 8,2 4,3

a) Calcule el aumento porcentual medio de las ventas en dlares

b) Calcule la mediana

III.16 Al tomar una muestra de 100 tornillos y medir sus dimetros, los

resultados fueron los que se indican en la tabla a continuacin:


41

Dimetro

(mm)

15 - 17 17 - 19 19 21 21 - 23 23 - 25 25 - 27

fi

8 19 32 23 12 6

a) Encuentre el porcentaje de tornillos que caen en el intervalo (20 2,5)

mm

b) Determine una especificacin (limites en mm) para estos tornillos que

cubra el 95% de las unidades

c) Calcule el P39 y el D7

III.17 Los siguientes datos registran el tiempo que utilizan cuatro mdicos al

realizar una cierta intervencin quirrgica. Conocer el tiempo medio permite

contar con una herramienta til en la planeacin de los recursos, como la

Sala de Operaciones. Adems de poder comparar los desempeos con los

estndares de calidad internacionales. Calcule e interprete el tiempo medio.

MDICO A B C D

TIEMPO (min) 45 38 52 40

III.18 Suponga que una familia realiza un viaje en automvil, de una ciudad

A a una ciudad B y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los siguientes

100 km a 70 km/h y los ltimos 100 km a 80 km/h. Calcular, en esas

condiciones, la velocidad media realizada.

III.19 En el cuadro siguiente se presentan los consumos de electricidad en

Espaa en miles de millones de de kw/hora desde diciembre en 1985 hasta

diciembre de 1986.

Gustavo J. Rueda G.

42

MES

Dic Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

CONSUMO

(x109 kw/h)

10,1 10,7 9,96 9,46 9,54 8,92 8,95 8,58 7,86 8,96 9,17 9,57 10,2

A partir de los incrementos unitarios de consumo de cada mes, calcular

el incremento unitario anual medio acumulativo.

III.20 La siguiente distribucin de frecuencias representa los pesos (kg) de un

grupo de personas

PESOS

(kg)

52 - 56 56 60 60 - 64 64 - 68 68 - 72 72 - 76 76 - 80

N

PERSONAS

4 12 17 20 15 9 3

a) Qu porcentaje de personas tienen pesos inferiores a los 62 kg?

b) Cuntas personas pesan entre 65 y 74 kg?

c) Cuntas personas con pesos superiores a 62 kg?

d) El 75% de las personas, estn por debajo de que peso?

III.21 La distribucin del ahorro mensual de 150 personas es como se

muestra a continuacin:

AHORRO

(US$/mes)

N DE

PERSONAS

100 150 12

150 200 18

200 250 21

250 300 48

300 350 24

350 400 15

400 450 12


43

a) Cul es el porcentaje de personas con ahorro menor a 200 US$/mes?

b) Cuntas personas ahorran ms de 320 US$/mes?

c) Por debajo de que nivel de ahorro mensual se encuentra el 50% de las

personas?

III.22 De acuerdo a los resultados de una prueba de seleccin aplicada a 160

aspirantes, la Gerencia de Recursos Humanos de una empresa

transnacional, obtiene el siguiente resultado:

CALIFICACIONES

OBTENIDAS

N DE

ASPIRANTES

15 30 15

30 45 27

45 60 39

60 75 36

75 90 29

90 105 14

De los aspirantes que se presentaron fueron admitidos los 40 mejor

calificados. Cul fue la mnima calificacin obtenida para ser aceptado?

III.23 Los siguientes datos representan la produccin de petrleo, en miles de

barriles por da (MBPD), de los pozos al sur del Estado Monagas. Agrupar en

7 intervalos de clase.

a) Cul es el valor ms comn?

b) Cul es la produccin promedio de todos los pozos?

c) Cul es la produccin del 50% de los pozos?

Gustavo J. Rueda G.

44

d) Qu produccin tiene el 75% de los pozos?

e) Cuntos pozos tienen una produccin menor o igual a 7,1 MBPD?

f) Qu porcentaje de pozos tienen una produccin entre 3,0 y 4,3

MBPD?

g) En cunto vara la produccin del 80% central de los pozos?

h) Cunto es la variacin de la produccin de los pozos ubicados entre el

50% y 75% de la produccin de los pozos?

0,4 1,3 3,8 6,3 2,4

6,2 3,7 1,3 0,4 2,4

5,8 0,4 3,4 1,2 2,3

0,2 1,2 2,3 3,3 5,6

2,5 4,2 6,8 0,5 1,4

2,7 1,4 0,5 4,4 7,2

1,1 1,9 3,1 5,5 9,7

0,8 1,6 4,7 7,8 2,8

9,5 5,2 1,8 0,9 2,9

1,5 0,7 2,8 7,6 4,6


45

UNIDAD IV: MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIN

Es imprescindible conocer la variabilidad existente entre los diferentes

valores de la serie con respecto al valor central. Una medida de tendencia

central sin estar acompaada de una medida de dispersin es una verdad a

medias. Siempre deben ir de la mano, ambas medidas, para que se pueda

formar un juicio correcto entorno a los datos que le dieron origen.

4.1 Medidas de Dispersin Absoluta

Se expresan en las mismas unidades de la variable. Las principales son

las siguientes:

4.1.1 Intervalo Total (Rango de los Datos o Recorrido de los Datos)

Es la diferencia (distancia) entre el valor mayor observado (XM) y el

valor menor observado (Xm) en una serie de datos.

ITOT = XM - Xm

4.1.2 Desviacin Media (Desvos Medios)

Es el promedio aritmtico de los valores de absolutos de las

desviaciones de los valores de la serie con respecto a la medida de

tendencia central.

Gustavo J. Rueda G.

46

DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS

Con respecto a la media (X):

Con respecto a la media (X):

Con respecto a la mediana (Md):

Con respecto a la mediana (Md):

Con respecto a la moda (Mo):

Con respecto a la moda (Mo):

Xi es el valor exacto de cada

dato

Xi es el valor de la marca de clase

4.1.3 Varianza

Es la media aritmtica de los cuadrados de los desvos de los valores

de la serie con respecto a su media aritmtica. Se denota como Var (X) = 2

DATOS NO AGRUPADOS DATOS AGRUPADOS

Xi es el valor exacto de cada dato Xi es el valor de la marca de clase


47

4.1.4 Desviacin Tpica o Estndar

Es la raz cuadrada de la varianza.

En Estadstica Inferencial, se debe hacer la distincin de cuando se

trabaja con el valor poblacional o con el valor muestral. Y se logra esa

distincin mediante la notacin correspondiente:

= Desviacin Tpica poblacional

s = Desviacin Tpica muestral

Es comn ver libros de Estadstica, que en la parte no inferencial usen

o s, de forma indistinta para denotar a la desviacin. Pero hacerlo en

Estadstica Inferencial constituye un grave error.

4.1.5 Desviacin Cuartlica (Desviacin Cuartil)

Es la mide la dispersin que hay en el 50% central de los datos, es la

diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1).

DQ = Q3 - Q1

4.2 Medidas de Dispersin Relativa

Son adimensionales, las principales son las siguientes:

Gustavo J. Rueda G.

48

4.2.1 Coeficiente de Variacin de Pearson (C.V.)

Cuando se requiere comparar el grado de dispersin de distribuciones

que no vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son

iguales, se utiliza este coeficiente, que se calcula como el cociente entre la

desviacin tpica y la media aritmtica y se expresa en porcentaje.

Tambin representa el nmero de veces que la desviacin tpica est

contenida en la media aritmtica, y por tanto, cuanto mayor es el coeficiente

de variacin (C.V.), mayor es la dispersin y menor la representatividad de la

media con respecto a los datos que le dieron origen. Se ha establecido un

lmite o regla para afirmar la representatividad de la media aritmtica:

Si el C.V. 20%, entonces, la X es representativa de los datos

4.2.2 Coeficiente de Variacin Medianal (C.V.M.)

Es el cociente entre la Desviacin Cuartil y la mediana, se expresa en

porcentaje.


49

4.3 Problemas Unidad IV

IV.1 Los siguientes datos representan los pesos de unas personas que se

encuentran en dos salas diferentes, A y B. En qu caso, el promedio

aritmtico es representativo de la serie de datos?

SALA PESO (kg)

A 52 58 56 61 66

B 15 26 25 103 124

IV.2 La siguiente distribucin de frecuencias representa los ingresos diarios

de unos operarios especializados. El promedio aritmtico es representativo

para esta informacin?

INGRESOS

(US$/DIA)

N DE

OPERARIOS

70 90 5

90 110 20

110 130 27

130 150 6

150 170 8

IV.3 El Departamento de Control de Calidad de un laboratorio farmacutico,

prueba dos tipos de antibiticos, A y B, de acuerdo a su duracin efectiva en

el cuerpo humano, obteniendo la siguiente informacin:

Gustavo J. Rueda G.

50

DURACIN

(hrs)

ANTIBITICO

A B

X 75 81

2,5 3,5

Tomando en cuenta su uso en la salud de pacientes y la certeza que

deben tener los mdicos para calcular y dar los rcipes, cul debe

seleccionarse para su produccin?

IV.4 Dada la serie:

4,2 7,5 1,4 2,3 5,0 6,3

Determinar:

a) Desviacin tpica

b) Desviacin media con respecto a la mediana

IV.5 Determine la desviacin estndar y el coeficiente de variacin de la

siguiente serie de datos que se refiere a cuentas morosas

RETRASO

(MESES)

N DE

CUENTAS

2 5 10

5 8 12

8 11 26

11 14 19

14 17 8


51

IV.6 Cul es la desviacin tpica de la siguiente serie?

Clases 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80

fi 10 22 35 38 24 12

IV.7 En una exhibicin cientfica se obtuvo la siguiente informacin, de entre

los asistentes de un da en particular. Determine la desviacin cuartil.

EDAD

(AOS)

N DE

ASISTENTES

15 25 6

25 35 8

35 45 14

45 55 16

55 65 12

65 y ms 4

IV.8 Un contratista debe adquirir bombillos para equipar un lote de viviendas

y encuentra en el mercado dos marcas similares A y B. Cul marca debe

elegir?

DURACIN

(hrs)

MARCAS DE BOMBILLO

A B

X 1.495 1.875

280 310

Gustavo J. Rueda G.

52

IV.9 Un encargado de compras ha obtenido muestras de lmparas de dos

marcas A y B. En su propio laboratorio ha probado ambas muestras con

respecto a la duracin de su vida til con los resultados siguientes:

VIDA TIL

(hrs)

N LMPARAS

MARCA A

N LMPARAS

MARCA B

600 700 4 7

700 800 16 13

800 900 20 18

900 1000 14 12

1000 1100 6 10

Cul marca se debe elegir?

IV.10 Un grupo de estudiantes universitarios segn un test de habilidad

mental, obtienen las siguientes puntuaciones:

PUNTUACIONES

60 70 70 80 80 90 90 100 100 - 110

N DE

ESTUDIANTES

4 16 20 14 6

Cuntos universitarios obtienen puntuaciones menores que X + ?

IV.11 Si todos los valores de una serie de datos son iguales entre s, qu

valor tendr su desviacin estndar?


53

IV.12 En un estudio de mercado se desea estimar el ingreso por familia en

una determinada zona de la ciudad. Se tom una muestra aleatoria de

familias, obtenindose los siguientes resultados:

INGRESO

FAMILIAR

(US$/MES)

0 1000

1000 - 2000

2000 - 3000

3000 - 4000

4000 - 5000

N

FAMILIAS

2

7

6

4

1

Cul es el porcentaje de familias cuyos ingresos caen en el intervalo

X ?

IV.13 La resistencia a la rotura de una muestra de 50 cables fue la siguiente:

RESIS-

TENCI

A

(kgs)

90 92

92 94

94 96

96 98

98 100

100 102

102 104

104 106

106 108

fi

2 6 10 12 8 5 4 2 1

a) Calcule la media aritmtica

b) Calcule la varianza

c) Es el promedio aritmtico representativo de esta informacin?

Gustavo J. Rueda G.

54

IV.14 El Departamento de Crdito de un Banco Universal, en base a un

estudio sobre solicitudes de prstamos para la adquisicin de viviendas,

obtiene para el monto de los mismos la siguiente distribucin:

MONTOS

(* Bs. 1000)

1000 1200 1200 1400 1400 1600 1600 1800 1800 2000

N DE

SOLICITUDES

6 20 28 21 5

Cul es el porcentaje de solicitudes de crdito en el intervalo X ?


55

UNIDAD V: MEDIDAS NUMRICAS ASIMTRICAS Y

KURTOSIS

5.1 Asimetra

Esta medida permite identificar si los datos u observaciones se

distribuyen de forma uniforme alrededor del punto central. La asimetra

presenta tres estados diferentes, cada uno de los cuales define

de forma concisa como estn distribuidos los datos respecto al eje de

asimetra. Para una distribucin unimodal:

Curva asimtricamente Negativa (a la izquierda)

Mo > Md > X

Curva simtrica

X = Mo = Md

Curva asimtricamente Positiva (a la derecha)

X > Md > Mo

FIGURA N 11 TIPOS DE ASIMETRA

Gustavo J. Rueda G.

56

5.2 Coeficiente de Asimetra: Frmula de Pearson

Es la medida de asimetra ms conocida y ms utilizada, y se expresa

como el cociente de la diferencia de la media y la moda entre la desviacin

estndar.

C.A.P = 0 SIMETRA

C.A.P 0 ASIMETRA NEGATIVA

C.A.P > 0 ASIMETRA POSITIVA

5.3 Teora de Momentos

El Momento de una variable es el valor esperado o esperanza

matemtica de la funcin g (x) = xk, en donde k se le denomina ksimo

momento de x.

En general, se llama momento de orden k respecto de un valor C a la

expresin:

Datos no agrupados Datos Agrupados


57

5.4 Tipos de Momentos

5.4.1 Momentos respecto al origen, cuando C = 0


Los primeros momentos respecto al origen son con k = 1, entonces

son la media aritmtica.

Datos no agrupados: Datos agrupados:

5.4.2 Momentos respecto de la media o momento central, cuando C

= X


El segundo momento con respecto a la media o momento central, es

decir, con k = 2, es la varianza.

Gustavo J. Rueda G.

58

Datos no agrupados: Datos agrupados:

5.5 ndice de Simetra de Fisher

Es el coeficiente de asimetra por el mtodo de momentos. De hecho,

el tercer momento, cuando k = 3, con respecto a la media o momento central.


NDICE SIMETRA

g = 0 Simtrica

g > 0 Asimtrica derecha

g 0 Asimtrica izquierda

5.6 Kurtosis o Curtosis

Es una medida de la forma o apuntalamiento de la distribucin de datos,

cuan aguda o puntiaguda, trata de estudiar la mayor o menor concentracin

de frecuencias alrededor de la media y en la zona central de la distribucin.


59

Esta medida determina el grado de concentracin que presentan los

valores en la regin central de la distribucin. Por medio del Coeficiente de

Curtosis, podemos identificar si existe una gran concentracin de valores

(Leptocrtica), una concentracin normal (Mesocrtica) una baja

concentracin (Platicrtica).

FIGURA N 12 TIPOS DE KURTOSIS

5.7 Coeficiente de Kurtosis

Es el cuarto momento con respecto a la media.


Se le ha sustrado 3, que es la curtosis de la Distribucin Normal, con el

objeto de generar un coeficiente que valga cero.

Coeficiente Tipo de kurtosis

g2 = 0 Mesocrtica (normal)

g2 > 0 Leptocrtica (puntiaguda)

g2 0 Platicrtica (achatada plana)

Gustavo J. Rueda G.

60

5.8 Problemas Unidad V

V.1 Las edades de un grupo de personas se reflejan en la tabla, estudie la

simetra y la curtosis de la variable.

EDAD 7 9 9 11 11 13 13 15 15 17 17 19 19 21 21 23

fi 4 18 14 27 42 31 20 1

V.2 En la siguiente tabla se muestran las diferentes cantidades de IVA que

se imponen en la compra de una obra de arte, en cada de uno de los pases

europeos citados. Determine el coeficiente de asimetra de Pearson, el

coeficiente de asimetra de Fisher y la curtosis de la variable.

PAS TASA IVA

Espaa 0,16

Italia 0,20

Blgica 0,06

Holanda 0,06

Alemania 0,07

Portugal 0,17

Luxemburgo 0,06

Finlandia 0,22

V.3 Para lanzar un nuevo producto al mercado, una empresa estudia el

tiempo de publicidad, en segundos, empleando en los medios audiovisuales

por otra empresa que produce un producto similar.


61

DURACIN

(SEG.)

N DE

ANUNCIOS

10 20 3

20 30 17

30 40 13

40 50 9

50 60 8

Estudiar la forma de la distribucin mediante el coeficiente de asimetra

de Pearson, el coeficiente de asimetra de Fisher y la curtosis de la variable.

V.4 Calcular el coeficiente de asimetra y curtosis de la siguiente tabla de

datos:

INTERVALO 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95

fi 6 10 19 11 4

V.5 La siguiente tabla representa los datos de alquileres de locales

comerciales en la ciudad de Caracas, estudiar la forma de la distribucin

mediante el coeficiente de asimetra de Pearson, el coeficiente de asimetra

de Fisher y la curtosis de la variable.

Alquiler

(Bs/mes)

0 15 15 30 30 45 45 60 60 75 75 90

fi

17 130 180 30 10 5

Gustavo J. Rueda G.

62

V.6 En una gasolinera estudian el nmero de vehculos que cargan

combustible a lo largo de un da, obteniendo:

Horas

0 4 4 8 8 12 12 16 16 20 20 24

N

autos

6 14 110 120 150 25



V.7 Los siguientes datos corresponden a calificaciones de una prueba de

actitud para la seleccin de personal de una prestigiosa empresa

transnacional. La evaluacin es en base a 100 puntos. Las siguientes

calificaciones siguientes son las obtenidas por los aspirantes:

55 67 73 49 80 84 64 91 78 52 95 80



V.8 Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. El nmero de

respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla:

RESPUESTAS

CORRECTAS

0 10

10 20

20 30

30 40

40 50

50 60

60 70

70 80

N DE

PERSONAS

40 60 75 90 105 85 80 65


63



V.9 Los siguientes datos representan los pesos en kg de un grupo de

personas. Estudiar la forma de la distribucin mediante el coeficiente de

asimetra de Pearson, el coeficiente de asimetra de Fisher y la curtosis de la

variable.

PESO

(Kgs)

50 55 55 60 60 65 65 70 70 75 75 80 80 85

N DE

PERSONAS

2 7 17 30 14 7 3

V.10 Las temperaturas medias registradas durante el mes de enero en

Mrida, en grados centgrados, estn dadas por la siguiente tabla, estudiar la

forma de la distribucin mediante el coeficiente de asimetra de Pearson, el

coeficiente de asimetra de Fisher y la curtosis de la variable.

TEMPERATURA

(C)

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

N DE

DAS

1 1 2 3 6 8 4 3 2 1

Gustavo J. Rueda G.

64

UNIDAD VI: INTRODUCCIN A LA TEORA DE

PROBABILIDADES

Se presupone una buena base matemtica de parte del lector del

presente material, de igual manera, se recomienda para la mejor

comprensin del clculo de probabilidades y sus teoremas, revisar a detalle

el Apndice B: Teora de Conjuntos y el Apndice C: Teora Combinatoria.

Con seguridad, su revisin llevar a mejorar los resultados en el estudio y

comprensin de la probabilidad.

6.1 Probabilidad

Es el cociente que resulta de dividir los casos favorables de una

determinada situacin, entre el total de casos posibles de un experimento

aleatorio; los cuales son fenmenos que tienen la propiedad de que su

realizacin repetida bajo un determinado conjunto de circunstancias, pueden

dar lugar a distintos resultados.

6.2 Probabilidad A Priori

Se basa en la suposicin de que cada resultado es igualmente

posible. Entonces, es posible la determinacin de los valores de probabilidad

antes de observar cualquier evento.

Si hay a posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento

A y sean b posibles resultados desfavorables a la ocurrencia del evento

A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente

excluyentes, la probabilidad de A queda:


65

6.3 Probabilidad A Posteriori (Frecuencia Relativa)

Se determina sobre la base de la proporcin de veces que ocurre un

resultado favorable en un nmero de observaciones o experimentos. Los

valores de probabilidad se basan en la observacin y recopilacin de datos,

el nmero de experimentos debe ser muy grande, entonces, la probabilidad

de A seria el lmite de la frecuencia relativa de A cuando n tiende al

infinito.

Este concepto es aplicable cuando el nmero de resultados posibles

es o tiende al infinito.

6.4 Probabilidad (Enfoque Subjetivo)

Es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento

ocurra, basado en toda la evidencia a su disposicin, ya que el valor de la

probabilidad es un juicio personal.

Gustavo J. Rueda G.

66

6.5 Concepto Axiomtico de la Probabilidad

Modernamente se ha desarrollado el concepto de probabilidad con base

en el estudio de modelos matemticos de fenmeno aleatorio.

Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio se

conoce como punto muestral.

El conjunto de todos los puntos muestrales de un experimento

aleatorio constituye un espacio muestral y se representa por S.

Un suceso A es un subconjunto de un espacio muestral S, A S. Si

un suceso contiene un solo punto muestral, se dice que es un suceso simple;

si contiene 2 o ms puntos muestrales, se le define como suceso compuesto

o mltiple. Un evento imposible cuando no hay chance de que ocurra un

resultado.

Cuando se de la probabilidad de que se d el suceso A, se quiere

sealar la probabilidad de que se d cualquiera de los puntos muestrales del

suceso A.

FIGURA N 13 PROBABILIDAD

0 P (A) 1

P (A) + P (A) = 1

P (S) = 1


67

nA = N de elementos de A

n = N de elementos de S

6.5.1 Experimento Aleatorio (Fenmenos)

Son aquellos que al realizarse varias veces, bajo las mismas

condiciones, pueden dar lugar a resultados diferentes.

6.5.2 Espacio Muestral (S)

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o

fenmeno aleatorio.

6.5.3 Espacio Muestral Equiprobable

Es cuando cada uno de sus elementos o puntos muestrales tienen

idntico chance de ocurrir.

6.5.4 Puntos Muestrales (Suceso o Evento)

Es un resultado en particular de un experimento o fenmeno aleatorio.

6.6 Eventos Mutuamente Excluyentes

Son eventos que no tienen elementos en comn, es decir, la

interseccin es el conjunto vacio. Es cuando es imposible que ocurran

simultneamente.

Gustavo J. Rueda G.

68

A B = { }

6.7 Eventos No Mutuamente Excluyentes

Son eventos que tienen elementos en comn, es decir, tienen

interseccin distinta al vacio. Es posible la ocurrencia simultnea de los

eventos.

6.8 Seleccin al Azar

Es un procedimiento de escogencia o seleccin sin un orden

preestablecido, en donde todos los elementos tienen idntico chance de ser

seleccionado, se pueden usar nmeros aleatorios para hacer la seleccin.

6.8.1 Seleccin con reemplazo (con repeticin)

El elemento seleccionado se incorpora nuevamente al conjunto, es

decir, el espacio muestral no se altera con el resultado del experimento o


69

fenmeno aleatorio, el elemento seleccionado pudiera ser seleccionado

nuevamente en cada experimento. Ejemplo: sorteo de los triples de las

diferentes loteras.

6.8.2 Seleccin sin reemplazo (sin repeticin)

El elemento seleccionado no se incorpora nuevamente al espacio

muestral, es decir, el espacio muestral queda modificado o alterado luego de

efectuado el experimento aleatorio. Ejemplo: sorteo del Kino de la lotera del

Tchira.

6.9 Teorema de la Suma (A B); (A + B); (A o B); (A B)

Esto implica que se d un evento o que se d el otro o de que se den

ambos.

6.9.1 Sucesos exhaustivos y mutuamente excluyentes

Son aquellos cuya reunin es el espacio muestral.

P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) = 1

FIGURA N 14 SUCESOS EXHAUSTIVOS Y EXCLUYENTES

Gustavo J. Rueda G.

70

6.9.2 Sucesos mutuamente excluyentes

Son aquellos que su interseccin es el conjunto vacio, es decir,

A B = . En otras palabras, dos o ms sucesos son mutuamente

excluyentes si la realizacin de uno implica la imposibilidad de la realizacin

simultnea de los otros.

P (A B) = P (A) + P (B)

FIGURA N 15 SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

6.9.3 Sucesos que no son Mutuamente Excluyentes

Son aquellos que su interseccin es diferente al conjunto vacio, es

decir, tienen elementos en comn.

La regla de la suma para dos eventos, queda de la siguiente

forma:

FIGURA N 16 SUCESOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES


71

P (A B) = P (A) + P(B) P (A B)

La regla de la suma para tres eventos, queda de la siguiente

forma:

FIGURA N 17 SUCESOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES, TRES EVENTOS

P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) +

P (A B C)

6.10 Probabilidad Condicional

Considerando dos sucesos A y B, se entiende por probabilidad

condicional del suceso B dado el suceso A, a la probabilidad de que B

ocurra, dado que A ha ocurrido. El hecho de que A haya ocurrido da la

informacin adicional sobre la posibilidad de la ocurrencia B. Se representa

de la forma siguiente:

P (B/A) = Es la probabilidad de que ocurra el evento B dando a A como

cierto.

Gustavo J. Rueda G.

72

con P (A) 0

FIGURA N 18 PROBABILIDAD CONDIONADA

6.11 Probabilidad Producto

De la frmula de Probabilidad Condicional, se desprende la

Probabilidad Producto de dos sucesos A y B, en un mismo espacio muestral

S, se entiende a la probabilidad de que los dos sucesos se den

simultneamente:

P (A B) = P (A) * P (B/A)

En general, la probabilidad de ocurrencia del suceso B es diferente de

la probabilidad condicional del evento B dado el evento A (P (B/A)). Sin

embargo, hay casos en que esto no sucede as, sino que la probabilidad

simple y condicional de un suceso son iguales P (B) = P (B/A). Entonces, si

este es el caso, se dice que los sucesos A y B son independientes. De tal

forma, que si son independientes, si y solamente si, su probabilidad producto

es igual al producto de sus probabilidades respectivas.

P (A B) = P (A) * P (B); si A y B son independientes


73

Si tenemos n eventos todos independientes (E1, E2, E3, , En); la

probabilidad de que todos ellos se den es la productoria de sus

probabilidades, as se tiene que:

P (E1 E2 E3 En) = P (Ei) = P (E1) . P (E2) . P (E3) P (En)

Una aplicacin de la Probabilidad Producto, se encuentra en el Anexo

N 1: Introduccin a la Confiabilidad de Sistemas; y que se recomienda

revisar por su importancia.

6.12 Teorema de la Probabilidad Total

Un evento B (el efecto), puede ocurrir por varias causas excluyentes

A1, A2, A3, , An.

B = (B A1) (B A2) (B A3)

P (B) = P (B A1) + P (B A2) + + P (B

An)

FIGURA N 19 PROBABILIDAD TOTAL

La expresin de la probabilidad total queda:

P (B) = P (A1).P (B/A1) + P (A2).P (B/A2) + + P (An).P (B/An)

Gustavo J. Rueda G.

74

rbol de probabilidades (rbol de decisiones): es la forma de

representar a la probabilidad total, se distinguen dos partes esenciales:

Nodos: representan el instante en que se realiza un experimento.

Ramas: representan los resultados del experimento.

FIGURA N 20 RBOL DE PROBABILIDADES

Los arboles al infinito, se resuelven con las series:

Sn = Suma de n trminos de una

progresin decreciente e infinita

Siendo r la razn del decrecimiento:

Ejemplo

Considere el siguiente juego, una persona lanza repetida veces un par

de dados. Gana si saca un ocho antes de obtener un siete. Cul es la

probabilidad de ganar este juego?

Este juego se puede representar mediante un rbol de decisiones, se

puede apreciar que el juego se puede acabar en el primer lanzamiento, o al


75

segundo, o al tercero, y as sucesivamente, entonces, es un rbol al infinito,

como se muestra a continuacin:

P (ganar) = + + + ... =

siendo la razn r =

P (ganar) = = = 0,454545...

6.13 Teorema de Bayes

El teorema de Bayes permite reconsiderar las probabilidades

condicionadas utilizando la informacin de que se dispone. Tiene muchas

aplicaciones en la toma de decisiones empresariales. El reverendo Thomas

Bayes (1702 1761) desarroll el teorema publicado inicialmente en 1763,

despus de su muerte, y de nuevo en 1958. Se utiliza para calcular la

probabilidad de una de las causas, sabiendo que ocurri el efecto, es decir,

probabilidad a posteriori.

P (Aj/B) = Probabilidad de que se haya dado Aj, puesto que se dio B.

Gustavo J. Rueda G.

76

6.14 Problemas Unidad VI

Se sugiere el uso de mnimo cuatro decimales con tcnicas de

redondeo o el uso de fracciones, en el clculo de las probabilidades.

VI.1 Se tienen los nmeros 5874 y 12369. Cuntos nmeros enteros

diferentes pueden formarse, con dos dgitos no repetidos del primero y tres

no repetidos del segundo?

VI.2 Con tres vocales y tres consonantes. Cuntas palabras distintas de

seis letras pueden formarse, con la condicin de que no haya dos vocales ni

dos consonantes juntas?

VI.3 En una fiesta hay 8 muchachos y 6 muchachas. De cuntas maneras

distintas pueden estar bailando, si siempre deben estar cuatro parejas en la

pista?

VI.4 De cuntas maneras distintas puede responderse un examen de 8

preguntas, si las repuestas son: Verdadero o Falso para cada una?

VI.5 En un lote de 10 artculos, hay 7 artculos buenos y 3 defectuosos. En

cuntas muestras de a 3 artculos

manual de estadistica i

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