manual de engranajes

Engranajes: Generalidades 1

Engranajes: Cinemática y Cálculo Indice de Temas

1. Introducción: .................................................................................................................................................... 2

2. Transmisión del movimiento: ..................................................................................................................... 4 2.1. Superficies Conjugadas: .......................................................................................................................... 6

2.2. Transmisión entre ejes paralelos: .......................................................................................................... 7

2.3. Métodos para obtener pares de superficies conjugadas: ................................................................ 9

3. Superficies conjugadas utilizadas en la práctica: ............................................................................. 11 3.1 Cicloides......................................................................................................................................................... 11

3.2. Evolventes ................................................................................................................................................. 11

4. El perfil de Evolvente: ................................................................................................................................. 13 4.1. Terminología y normalización de los dientes rectos de evolvente............................................ 13

4.2. Ecuaciones del perfil: ............................................................................................................................. 16

4.3. Trazado de la evolvente ......................................................................................................................... 17

5. Características cinemáticas del engrane: ............................................................................................ 19 5.1. Flanco activo: ........................................................................................................................................... 19

5.2. Arco de engrane: ...................................................................................................................................... 19

5.3. Grado de recubrimiento: ........................................................................................................................ 20

5.4. Interferencia: ............................................................................................................................................. 21

6. Diseño y cálculo de engranajes: ............................................................................................................... 24 6.1. Fórmula de Lewis: ................................................................................................................................... 24

6.2. Fórmula de Lewis-Barth: ...................................................................................................................... 29

6.3. Fórmula de Buckingham – Cargas dinámicas: ............................................................................... 30

6.4. Concentración de Tensiones: ............................................................................................................... 34

6.5. Fallas de los dientes de engranajes: ................................................................................................... 35

6.5.1. Desgaste:................................................................................................................................................ 36

6.5.2. Deformación plástica: ........................................................................................................................ 36

6.5.3. Fatiga superficial o picado (pitting): ............................................................................................ 36

6.5.4. Rotura de diente: ................................................................................................................................. 39

6.6. Ecuaciones de la American Gear Manufacturers Association (AGMA): ............................... 39

6.6.1. Ecuación para el esfuerzo por flexión: ......................................................................................... 40

6.6.2. Ecuación de desgaste: ........................................................................................................................ 48

6.7. Consideraciones generales sobre el diseño de engranajes: .......................................................... 51

6.7.1. Tipos funcionales de engranes: ....................................................................................................... 52

6.7.2. Materiales para engranes:................................................................................................................ 53

6.7.3. Elección del número de dientes: ..................................................................................................... 55

6.7.4. Cargas en los apoyos: ........................................................................................................................ 56

7. Engranajes Helicoidales: ............................................................................................................................ 59 7.1. Geometría: ................................................................................................................................................. 59

7.2. Cinemática:................................................................................................................................................ 62

7.3. Diseño y cálculo: ..................................................................................................................................... 63

7.3.1. Fórmula de Lewis: .............................................................................................................................. 63

7.3.2. Fórmula de Lewis-Barth: .................................................................................................................. 64

7.3.3. Fórmula de Buckingham – Cargas dinámicas: .......................................................................... 64

7.3.4. Fatiga superficial o picado (pitting): ............................................................................................ 65

7.4. Cargas en los apoyos: ............................................................................................................................. 65

8. Bibliografía: ..................................................................................................................................................... 67


1. Introducción:

En este capítulo se tratará la cinemática, geometría y diseño del engranaje.

El engranaje (rueda dentada) es el instrumento que permite transmitir, y mantener constante, el

movimiento de rotación a un eje de un mecanismo o máquina. También puede cambiar la dirección

del eje de rotación y puede transformar un movimiento rotatorio en uno lineal.

El inventor de los engranajes en todas sus

formas fue Leonardo da Vinci, quien a su

muerte en la Francia de 1519, dejó para

nosotros sus valiosos dibujos y esquemas de

muchas de los mecanismos que hoy

utilizamos diariamente. En la primer figura se

aprecia un mecanismo para repeler ataques

enemigos, consiste de aspas al nivel del techo

movidas por un eje vertical, unido a un

"engranaje", el movimiento lo producen

soldados que giran una rueda a nivel del piso

y provocando que los enemigos que han

alcanzado el techo sean expulsados.

Leonardo se dedica mucho a la creación de

máquinas de guerra para la defensa y el

ataque, sus materiales son madera, hierro y

cuerdas las que se elaboran en forma

rudimentaria, pero sus esquemas e

invenciones trascienden el tiempo y nos

enseñan las múltiples alternativas que nos

brindan mecanismos básicos de palancas,

engranes y poleas unidas entre si en una

máquina cuyo diseño geométrico es notable. En la segunda figura se puede apreciar la transmisión

trasera para un carro, el eje vertical mueve el "engrane" que impulsa las ruedas hacia adelante o

atrás. En la última figura una manivela mueve un elemento que llamaremos tornillo sin fin el que a

su vez mueve la rueda unida a él. En este caso, el mecanismo se utiliza como tecle para subir un

balde

Han existido desde la invención de la maquinaria rotativa. Debido a sus propiedades de

multiplicador de la fuerza, los ingenieros los usaron para levantar cargas pesadas tales como

materiales para construcción. Su ventaja mecánica se usó también para elevadores de anclas de

embarcaciones y pre-tensionado de

catapultas.

Se hicieron de madera, con espigas o

estacas cilíndricas por dientes, y eran

lubricados con grasas de origen animal.

También se utilizaron en maquinarias

accionadas por agua o viento. En la

Figura 1 se observa un sistema usado

para accionar maquinarias textiles, como

la velocidad de rotación de una rueda

accionada por agua, o por caballo, era

muy lenta para utilizarse, se necesitaba

usar un par de engranajes de madera para

incrementar la velocidad a un nivel

adecuado.

Figura 1 – Sistema utilizado en el siglo 18


Durante la Revolución Industrial en Gran Bretaña, en el siglo 18, se produjo una “explosión” en el

uso de engranajes de metal. Durante el siglo 19 se desarrolló rápidamente la ciencia para la

fabricación y diseño del engranaje. Hoy en día, los desarrollos más importantes están en el área de

los materiales utilizados. La metalurgia moderna ha incrementado mucho la vida útil de los

engranajes industriales y automotrices, y el nivel de consumo de productos electrónicos ha llevado

a utilizar engranajes plásticos de acción silenciosa, confiable y sin lubricación.

En algunas transmisiones “compite” con las correas y las cadenas. Ninguna de estas tres

transmisiones mecánicas es la más adecuada para todos los sistemas de máquinas. La siguiente

comparación muestra las ventajas de cada una de ellas donde se observan regiones parcialmente

superpuestas en las que cualquiera puede ser el sistema de primera elección para el diseñador, una

vez realizada la selección en base de la resistencia y la vida esperada, generalmente se consideran

los factores económicos antes de tomar la decisión final: costo original, costos de mantenimiento y

costo de producción perdida durante el tiempo de paros.

- Correas:

1. Aislamiento eléctrico, no hay contacto metal con metal entre conductor y conducido.

2. Menos ruido que las cadenas.

3. Las planas se pueden utilizar para grandes distancias entre centros, en los que el peso

de la cadena resultaría excesivo o se necesitaría un tren de engranajes.

4. Las planas se pueden utilizar a altas velocidades, donde la inercia de las cadenas

debe considerarse en la tensión de la rueda dentada y de la cadena.

5. No se requiere lubricación

6. La variación de la distancia entre centros y la alineación de los ejes son menos

críticos que para transmisiones por engranajes o cadenas.

- Cadenas:

1. La variación de la distancia entre centros se puede acomodar más fácilmente que en

los engranajes.

2. Son más fáciles de instalar y reemplazar que las correas, debido a que la distancia

entre centros no necesita ser reducida para la instalación.

3. No requieren tensión sobre el lado flojo, por lo que las cargas sobre los apoyos se

ven reducidas.

4. No deslizan ni resbalan, como sí lo hacen las correas (salvo las dentadas).

5. Son más compactas debido a que los diámetros de las ruedas dentadas son menores y

las cadenas más angostas que las poleas y las correas para la misma potencia.

6. No desarrollan cargas estáticas.

7. No se deterioran con el tiempo, el calor, el aceite ni la grasa.

8. Funcionan a temperaturas más altas que las correas.

- Engranajes:

1. Son más compactas que las anteriores, debido a que las distancias entre centros son

mínimas.

2. Tienen la mayor capacidad de velocidad.

3. Tienen límites más amplios de relaciones de velocidad que las cadenas.

4. Pueden transmitir mejor la potencia alta a velocidad elevada.

5. Los metálicos no se deterioran con el tiempo, el calor, el aceite ni la grasa.

6. Los metálicos no desarrollan cargas eléctricas estáticas.

Engranajes: Cinemática 4

2. Transmisión del movimiento:

Para adoptar decisiones a la hora del diseño y cálculo del engranaje son imprescindibles las

consideraciones cinemáticas, así como también la nomenclatura y la normalización.

A continuación se analiza un mecanismo (Figura 2) que realiza la

transmisión del movimiento de un cuerpo (C1), que gira solidariamente

unido a un eje (E1) con velocidad angular (W1), a otro cuerpo (C2), que

girar solidariamente unido a un eje (E2) con velocidad angular (W2), de

forma tal que los ejes de rotación permanecen en la misma posición

relativa y que su relación de velocidades (i) es constante en el tiempo:

Este mecanismo es una cadena cinemática compuesta por tres

elementos: un elemento fijo (B) y dos elementos móviles (C1 y C2).

1. Elemento fijo: es el bastidor, con respecto a él permanecen fijos los ejes de los elementos

móviles, aún cuando éste se desplace.

2. Elemento móvil C1: se lo denomina elemento motor (transmite el movimiento a otro elemento

móvil), está vinculado al bastidor por medio de una cupla rotoide de eje X1, que permitirá

rotaciones relativas con respecto al mismo.

3. Elemento móvil C2: se lo denomina elemento conducido, está vinculado al bastidor por medio

de otra cupla rotoide de eje X2, que permitirá rotaciones relativas con respecto al mismo.

El movimiento relativo de C1 con respecto a C2 se puede obtener en función de los movimientos

absolutos de éstos respecto de B. El movimiento absoluto de C2, puede obtenerse como

superposición del movimiento relativo de C2 respecto de C1 y del movimiento de arrastre de C1,

resultando:

C2 / B = C2 / C1 + C1 / B

entonces el movimiento relativo:

C2 / C1 = C2 / B - C1 / B = 2 - 1 = 21

El movimiento relativo queda entonces definido por los vectores 2 (X2,W2) y - 1 (X1,-W1); la

recta de acción del vector rotación relativa 21 es el eje central Yi que, dado que las rotaciones 2 y

-1 se mantienen en relación constante, se mantiene invariable respecto de los ejes y en

consecuencia también respecto del bastidor.

El lugar geométrico, respecto de cada uno de los cuerpos, de las sucesivas posiciones del eje central

Yi se denomina superficie primitiva (es el axoide del movimiento relativo). Puesto que, como ya se

mencionó, W2/W1 es constante:

i = W2(t) / W1(t) = Cte.

y, en consecuencia, la posición del eje central Yi se mantiene invariable respecto de los ejes X2 y

X1, las superficies primitivas son superficies de revolución que se pueden concebir generadas por la

rotación de Yi en torno de dichos ejes.

Figura 2 – Mecanismo de transmisión


Algunos de los casos que pueden presentarse son:

- Ejes paralelos:

El movimiento relativo es una rotación, cuyo vector (21) es paralelo a los

ejes del movimiento y coincide con el eje central (Yi), las superficies

primitivas son dos cilindros.

El movimiento relativo puede obtenerse mediante una rodadura, sin

resbalamiento, de un cilindro primitivo sobre el otro.

En la Figura 3 se observan el resultado cuando los ejes tienen distinto

sentido de giro, para el caso de ejes que tienen igual sentido de giro se

obtienen dos superficies cilíndricas interiores. Se recuerda que cuando el

sentido de giro es distinto entre los ejes paralelos la resultante vectorial (21)

se encuentra en el espacio entre los vectores 1 y 2; y cuando los ejes

tienen igual sentido de giro dicho vector resultante es exterior al espacio

entre los vectores mencionados.

- Ejes concurrentes:

El movimiento relativo es una rotación alrededor de un eje que pasa por el

punto de concurrencia de los ejes (es la resultante del paralelogramo de

vectores -1 y 2) y que coincide con el eje central, las superficies

primitivas son dos conos (Figura 4).

El movimiento relativo puede obtenerse haciendo rodar, sin resbalar, un

cono primitivo sobre el otro.

- Ejes alabeados:

El movimiento relativo es una roto traslación, las superficies primitivas son

dos hiperboloides reglados de revolución (Figura 5).

El movimiento relativo puede obtenerse haciendo rodar (existe

resbalamiento) un hiperboloide sobre el otro, combinado con un

desplazamiento a lo largo de la generatriz de contacto (que es otra recta

alabeada).

Entonces, para transmitir el movimiento entre dos cuerpos, que giran cada uno en torno a un eje con

una determinada velocidad angular, de forma tal que se mantengan constantes la posición relativa

de sus ejes y su relación de velocidades angulares, podemos utilizar las superficies primitivas o

axoides del movimiento relativo. Dicha transmisión se logra por el rodamiento lineal de una

superficie sobre la otra, combinado en el caso más general con un resbalamiento o traslación

relativa a lo largo de la generatriz de contacto.

Las ruedas de fricción son mecanismos en los cuales la transmisión se realiza por contacto de las

superficies primitivas mencionadas, que constituyen la periferia de los elementos. Su capacidad de

transmitir potencia depende del rozamiento y, por lo tanto están expuestas al resbalamiento, no

manteniendo una relación de velocidad definida e invariable. Sólo se obtendrá un accionamiento

positivo sin resbalamiento, si se disponen dientes sobre esas superficies para constituir engranajes.

Figura 3 – Ejes paralelos

Figura 4 – Ejes concurrentes

Figura 5 – Ejes alabeados


Figura 6 – Rectos Figura 7 – Helicoidales Figura 8 – Cónicos Figura 9 – Tornillo sinfín

Existen distintos tipos de engranajes (Tabla 1), algunos de los cuales se ven en las Figuras 6 a 9.

Posición de los ejes Forma de las ruedas Clase de ruedas

Paralelos Cilíndricas Dientes Rectos

Dientes Helicoidales

Se cortan (coplanares) Cónicas Dientes Rectos

Dientes Inclinados

Se cruzan (no coplanares)

Cilíndricas Helicoidales

Tornillo Sinfín-Rueda Helicoidal

Cónicas Hipoidales

Hiperbólicas Hiperbólicas

Tabla 1 – Tipos de Engranajes

2.1. Superficies Conjugadas:

El problema básico resuelto por los engranajes es asegurar que los discos gruesos, en contacto,

giren uno contra el otro sin deslizarse. La acción de que los dientes adicionados a estos discos no

interfieran con la rotación uniforme que uno de los discos induce en el otro, se conoce como acción

conjugada o ley de engrane. La declaración formal de la ley de engrane es que para transmitir un

movimiento rotatorio uniforme de un eje a otro por medio del engrane, la perpendicular a un perfil

de dientes en su punto de contacto con un diente del otro engrane siempre debe pasar a través de un

punto fijo sobre la línea de centros entre los dos ejes. Las curvas que satisfacen esta ley se llaman

curvas o superficies conjugadas. A continuación se fundamentan estas afirmaciones.

Se pueden crear pares de superficies S1 y S2 solidarias a los cuerpos C1 y C2 respectivamente, en las

que S2 (solidaria también a la primitiva P2) es envolvente de las sucesivas posiciones de la

superficie S1 (solidaria a la primitiva P1) en el movimiento relativo C2/C1. Esta propiedad es

recíproca, es decir que S1 es a la vez envolvente de las sucesivas posiciones de S2. A este par de

superficies se las denomina: superficies conjugadas.

Entonces la transmisión del movimiento se puede realizar por medio de este tipo de superficies. Las

transmisiones por engranajes se realizan por contacto de superficies conjugadas que forman los

flancos de los dientes.

De los tipos de engranajes mencionados anteriormente, el engranaje recto es el más sencillo y, por

esta razón, se utilizará para desarrollar las relaciones cinemáticas primarias de la forma de los

dientes.

En el análisis que sigue se supone que los dientes están perfectamente formados, son lisos y

absolutamente rígidos, por supuesto que esta hipótesis no concuerda con la realidad debido a las

limitaciones de las máquinas utilizadas para formar los dientes y a que la aplicación de fuerzas

origina deflexiones.


Al actuar entre sí para transmitir el movimiento de rotación, los

dientes de engranes conectados actúan de modo semejante a las

levas (Figura 10). En teoría puede seleccionarse arbitrariamente

un perfil para un diente y luego hallar el perfil de dientes en el

engrane conjugado, en la práctica se adoptan pares de curvas que

tengan condiciones aptas desde el punto de vista de la

transmisión y su fabricación.

Cuando una superficie empuja a la otra, el punto de contacto

queda donde las dos son tangentes entre sí (punto c) y, en

cualquier instante, las fuerzas están dirigidas a lo largo de la

normal común (ab) a las dos curvas; esta recta, que representa la

dirección en que actúan las fuerzas, se denomina línea de acción;

cortará a la línea de centros (O-O) en un punto I. Las

circunferencias trazadas por I (P en la Figura), con centro en los

puntos O, se denominan circunferencias primitivas, y el radio de

cada una, radio primitivo, el punto I es el punto primitivo. Para transmitir movimiento con relación

constante de velocidades angulares, el punto primitivo debe permanecer fijo, es decir, todas las

líneas de acción para todo punto de contacto instantáneo deben pasar por el mismo punto I.

Para una mayor compresión del concepto de curvas conjugadas vea el ejemplo práctico que se

encuentra en la sección que sigue.

2.2. Transmisión entre ejes paralelos:

Se aplica a continuación lo analizado anteriormente para el caso de una transmisión entre ejes

paralelos.

Como se ha visto, los axoides del movimiento relativo son dos cilindros. Cualquiera de los puntos

del eje central Yi tiene la misma velocidad absoluta supuesto vinculado al cuerpo C1 o al C2 (ruedan

sin resbalar): V = W1 x R1 = W2 x R2, y la relación de transmisión resulta: i = W2/W1 = R1/R2

Es posible estudiar el movimiento espacial C2/C1 en el plano con las

figuras que se obtienen seccionando el sistema con planos normales

a los ejes del movimiento (Figura 11).

Las circunferencias primitivas (Cp1 y Cp2) son entonces la

intersección de dicho plano con los cilindros primitivos (S1 y S2), el

punto de contacto de las mencionadas circunferencias (I) es el punto

primitivo.

El movimiento relativo C2/C1 se puede obtener también por el

rodamiento sin resbalamiento de Cp2 sobre Cp1.

Si se une solidariamente a la circunferencia primitiva Cp2 una curva

plana cualquiera S2, en el movimiento relativo de las circunferencias

primitivas, las sucesivas posiciones de dicha curva respecto de la

otra primitiva Cp1, serán envueltas por una curva S1 solidaria a la

mencionada circunferencia. Las curvas estarán en todo instante en

contacto en un punto N (punto característico), y tendrán una

tangente y una normal común, esta última pasa en todo instante por

el punto primitivo I. Ambas curvas son recíprocamente envuelta y

envolvente, son curvas conjugadas. El movimiento relativo Cp2/Cp1,

y en consecuencia el C2/C1, puede describirse por el S2/S1, siendo el

último un movimiento de rodamiento con resbalamiento.

Figura 10 – Acción Conjugada

Figura 11 – Primitivas de ejes paralelos

Figura 12 – Conjugadas de ejes paralelos


A continuación se presenta un ejemplo práctico para

determinar una curva conjugada a partir de una curva

existente a fin de visualizar el concepto de que una

curva “envuelve” las sucesivas posiciones de la otra.

Para ello se utilizarán curvas evolventes, cuya

definición y propiedades se dan en la sección 3.2, que

son generadas a partir de una circunferencia llamada

circunferencia base y que están en contacto siempre

en un punto situado sobre la línea de acción, que a la

vez es tangente a dichas circunferencias.

- Se trazan las circunferencias primitivas (Cp1 y

Cp2) de igual diámetro (Figura 13).

- Utilizando los mismos centros (O1 y O2) se trazan

dos circunferencias (circunferencias bases Cb1 y

Cb2) de igual diámetro.

- Se traza la tangente común a estas últimas (línea

de acción) que pasará por el punto I.

- Se traza una evolvente (S1), en el punto de

tangencia de Cb1 y la línea de acción (punto A),

que está solidariamente unida con Cb1.

- Se divide esta circunferencia (Cb1) en un número

de partes iguales, y se copia en cada uno de esos

puntos la evolvente anterior.

Ahora bien, considerando que la rueda Cb1 se mueve

en sentido antihorario, las evolventes dibujadas

(Figura 13) representan las distintas posiciones que

ocuparía la misma al acompañar a aquella en su giro

por estar solidariamente unidas.

Las circunferencias primitivas ruedan una sobre otra

sin resbalar siendo testigos del movimiento

sincrónico. Por lo tanto, al girar S1 a la próxima

posición (Figura 14), el arco recorrido (RS) será igual

para ambas; los puntos R y S se obtienen prolongando

los radios de los puntos sucesivos de división de Cb1,

hasta Cp1.

En la posición inicial (punto A) se puede considerar

que coinciden un punto A1, perteneciente a la curva S1

conocida, y uno A2, perteneciente a una curva S2 que

se quiere determinar (solidaria con Cb2), porque A se

encuentra sobre el lugar geométrico donde tiene lugar

el contacto entre las curvas (línea de acción o de

engrane).

Cuando se produce el giro mencionado (Figura 14), el punto A2 se desplaza según un arco que tiene

su radio de giro en O2, su origen en A y recorre un ángulo igual al del arco RS (por ser ambas

circunferencias de igual diámetro). Uniendo este punto con el que en ese instante sea punto de

contacto (punto B), se encuentra un tramo de la curva S2. Entonces, S1 (de A1 a B) se mantuvo en

contacto con S2 (de A2 a B) siempre en un único punto situado sobre el segmento AB, el cual forma

parte de la línea de acción que es normal común de las curvas y pasa por el punto I.

O1

O2

Cp1

Cp2Cb2

Cb1

S1

A

B

I

C

D

Figura 13

O1

O2

Cp1

Cp2Cb2

Cb1

S1

AA1

R

S

A2

Figura 14


En la Figura 15 se repite el procedimiento para la siguiente posición y en la Figura 16 se observa la

máxima longitud utilizable de S1 (punto D), que es en el origen de S2.

Como ya se ha mencionado el movimiento S2/S1 es de rodamiento

con resbalamiento: el punto de contacto N (Figura 17) se mueve con

una velocidad tangencial VN2 que será perpendicular a O2-N si se lo

considera como perteneciente a Cp2. Si se considera dicho punto

como perteneciente a Cp1, se tiene VN1 que es perpendicular a O1-N.

Las velocidades tienen la misma proyección sobre el eje normal, de

otro modo no se mantendría el contacto, pero sobre el eje tangencial

existe una diferencia de velocidades que produce el resbalamiento

citado.

El movimiento relativo es solamente posible a lo largo de la recta

tangencial y por lo tanto ésta debe ser normal al radio de giro

instantáneo, con lo cual se demuestra que la normal al punto de

contacto pasa siempre por el punto I.

Si las curvas S1 y S2 son proyecciones de pares de superficies conjugadas de generatrices paralelas a

los ejes de rotación, conforman los flancos de los dientes de engranajes rectos. También las

generatrices pueden ser no paralelas a los ejes, pero manteniendo la condición de que las curvas

obtenidas con cualquier sección normal a los ejes de giro sean conjugadas en el movimiento plano,

como por ejemplo las que determinan los flancos de los dientes de engranajes helicoidales.

2.3. Métodos para obtener pares de superficies conjugadas:

Se analiza en el sistema plano equivalente (sección del sistema espacial con un plano normal a los

ejes de rotación). Si las superficies conjugadas son de generatrices paralelas a los ejes, el sistema

plano se obtiene también proyectando el sistema espacial sobre un plano normal, si las superficies

conjugadas tienen generatrices que no son paralelas, se deben utilizar las secciones normales

necesarias para definirlas. Se estudia un método general para obtener superficies conjugadas y se

ejemplifica con un método geométrico en particular.

Figura 17 – Velocidades en el contacto

O1

O2

Cp1

Cp2Cb2

Cb1

S1

BA1

A2

B2

A1

A2

I

Figura 15

O1

O2

Cp1

Cp2Cb2

Cb1

S1

A2

D

A1

S2

Figura 16


Método general: Se tiene una superficie S1 cualquiera, unida solidariamente a Cp1 y se tiene que

encontrar la conjugada S2, solidaria a Cp2 (Figura 18).

Se hace rodar, sin resbalar, a Cp1 sobre Cp2 y se determinan las

sucesivas posiciones de S1 respecto de Cp2, la envolvente de

esas posiciones será la curva S2, conjugada de S1.

En cada posición, la normal común a las superficies conjugadas

en su punto de contacto, pasa por el centro instantáneo de

rotación relativa, es decir, pasa por el punto de contacto de las

primitivas. El método descrito se denomina método de las

envolventes.

Método geométrico: Se tiene que trazar una superficie

conjugada a otra ya conocida. El que sigue se denomina método

de las envolventes, se aplica el método general analizado en el

párrafo anterior (Figura 19).

Se tiene una curva S1, solidaria a Cp1, se obtiene el punto de

contacto con S2 (punto N) trazando la normal a S1 por el punto

primitivo I, el punto N es también un punto de S2. El punto 1 es

uno cualquiera de la primitiva Cp1, cuando llegue a I estará en

contacto con el punto 1’ de la primitiva Cp2, verificándose que

el arco I1 = arco I1’ (rodamiento puro), ambos puntos (1 y 1’)

coincidirán en I, las conjugadas estarán en contacto en N1 de S1,

que se obtiene trazando por 1 la normal a S1, con N1’ de S2 que

se debe determinar. En ese instante O1-1 y O2-1’ coinciden con

O1-O2 y las rectas 1-N1 y 1’-N1’ con la normal común al contacto (N1-I = N1’-I). El ángulo Ú, que

forma la recta de los centros con la normal común a S1 y S2, es el mismo que forman O1-1 con la

normal a S1: N1-1, y O2-1’ con la normal a S2: N1’-1’. Para obtener N1’ se trazará entonces por 1’

una recta que forme un ángulo Ú con 1’-O2, sobre la cual estará ubicado dicho punto a una

distancia: N1’-1’ = N1-1, se puede trazar una tangente a la conjugada por este punto que será normal

a N1’-1’. La curva conjugada se obtiene en consecuencia por puntos y tangentes.

Con el trazado de las superficies conjugadas se definen ciertos elementos geométricos que son

importantes en el diseño de engranajes (Figura 20):

Línea de engrane: lugar geométrico de los puntos en los

cuales se verifica el contacto de las conjugadas.

Línea de acción: recta de acción de la fuerza con la que el

perfil de la rueda conductora actúa sobre el perfil de la rueda

conducida, en cada instante coincide con la normal común a

los perfiles.

Angulo de presión(): el que se forma entre la recta de

acción y la tangente común a las circunferencias primitivas.

Figura 18 – Método general

Figura 19 – Método geométrico

Figura 20 – Elementos geométricos

Engranajes: Conjugadas prácticas 11

3. Superficies conjugadas utilizadas en la práctica:

Pueden utilizarse diversas curvas rodantes generadoras, pero solamente son dos las empleadas en la

construcción de engranajes: cíclicas y evolventes.

3.1 Cicloides

Fue uno de los primeros usados para engranajes, aunque las dificultades encontradas en producir

con exactitud este perfil lo han hecho caer gradualmente en desuso.

Se generan como

trayectorias de puntos de

una circunferencia que

rueda sin resbalar sobre otra

circunferencia (o recta en el

caso de tener radio infinito).

La circunferencia que rueda

se denomina ruleta o

generatriz, la circunferencia

sobre la cual se mueve

aquella se denomina base.

Cicloide (Figura 21)

la base es una recta.

Epicicloide (Figura 22)

la ruleta rueda exteriormente

sobre la base.

Hipocicloide (Figura 23)

la ruleta rueda interiormente

sobre la base.

Los engranajes (Figura 24) están formados por un perfil epicicloide (cabeza del diente) y uno

hipocicloide (raíz del diente)

3.2. Evolventes

La curva evolvente constituye la base de casi todos los perfiles de diente actualmente en uso

general.

La evolvente o desarrollante de círculo puede concebirse como la trayectoria de un punto de una

recta que rueda sin resbalar sobre un círculo o circunferencia base (Figura 25).

Tiene como propiedades geométricas:

La longitud del arco de la

circunferencia base comprendido entre el

punto de arranque de la evolvente (A) y el

punto de tangencia (T) de una recta

tangente a la circunferencia, es igual a la

longitud del segmento de tangente

comprendido entre T y el punto en que

intercepta a la evolvente (P).

Una recta tangente a la circunferencia

base es normal a la evolvente.

El segmento de tangente TP es el radio

de curvatura de la evolvente en el punto P.

Figura 21 – Cicloide Figura 22 – Epicicloide Figura 23 – Hipocicloide

Figura 24 – Engranaje Cicloidal

Figura 25 - Evolvente


Si dos evolventes se hallan en contacto en un punto P, al girar una de las bases, la evolvente mueve

por contacto directo a la otra evolvente; teniendo en cuenta las propiedades generales de las curvas

conjugadas y las particulares de las evolventes, las curvas evolventes en contacto tienen las

siguientes propiedades (Figuras 26 y 27):

El punto de tangencia de dos evolventes en contacto se halla

ubicado sobre la tangente común a las circunferencias bases.

En el punto de tangencia las curvas tienen una normal común, que

deben ser a la vez tangentes a las circunferencias bases.

La relación entre las velocidades angulares de las circunferencias

bases se mantiene constante, dependiendo exclusivamente de los

radios de las mismas.

La evolvente e1 se mueve alrededor del centro O1 con velocidad

angular w1. Esta evolvente impulsa por contacto directo a la

evolvente e2 que se mueve alrededor del centro O2, con velocidad

angular w2. Cada evolvente se encuentra solidariamente unida a su

circunferencia base (radio ).

Para que se verifique el engrane, la velocidad lineal del punto P,

supuesto perteneciente a una u otra evolvente, deberá ser la misma.

La velocidad de P supuesto perteneciente a e1 es:

Vp = w1 x 1

La velocidad de P supuesto perteneciente a e2 es:

Vp = w2 x 2

Entonces:

w1 x 1 = w2 x 2

y w1 / w2 = 2 / 1

Variando la distancia entre centros de las circunferencias bases,

no se pierde el contacto y no varía la relación de transmisión.

Si se supone una de las circunferencias fija y se hace rodar sin resbalar la otra sobre la tangente

común, el contacto se mantiene, y como la relación de velocidades depende de sus radios, no varía

respecto de la que correspondía a la posición original.

Si se comparan los engranajes con dientes de perfil cicloidal con los de perfil evolvente, los

primeros tienen, entre otras, las siguientes ventajas e inconvenientes:

Ventajas:

Mejor engrane, ya que una curva convexa (epicicloide) engrana con una cóncava

(hipocicloide), entonces la superficie de contacto es mayor, el contacto más íntimo y suave, con

lo cual es desgaste es menor.

El engrane se realiza sin interferencia con un menor número de dientes.

Figura 26 – Propiedades de evolventes

Figura 27 – Propiedades de evolventes


Inconvenientes:

La distancia entre centros no se puede variar ya que el engrane no se verificaría entre

puntos correspondientes de los perfiles conjugados, requiere por lo tanto montajes muy precisos,

mientras que en los engranajes a evolvente aún cuando se modifique dicha distancia por causas

fortuitas o montaje deficiente, el engrane se conserva correcto.

El perfil del diente consta de dos curvas, con curvaturas en sentidos contrarios, lo que

dificulta su construcción, mientras que el perfil a evolvente es de una sola curva con curvatura

en un solo sentido, lo que permite su fabricación con facilidad y exactitud.

A igualdad de paso, los dientes a evolventes resultan más gruesos en la raíz que los

cicloides.

Debido a lo enunciado, el engranaje cicloidal ha sido desechado de la mecánica general y su empleo

ha quedado reducido a trabajos de precisión (relojería), donde las ruedas no son talladas sino

matrizadas.

4. El perfil de Evolvente:

Se presenta la terminología utilizada, luego se analizan las ecuaciones que gobiernan el perfil de un

diente y, posteriormente, el trazado del mismo; no para pensar en el dibujo para su fabricación en el

taller, sino lo que interesa es dibujar los dientes del engranaje para adquirir conocimientos acerca de

los problemas que entraña la conexión o engrane de los dientes de dos ruedas dentadas.

4.1. Terminología y normalización de los dientes rectos de evolvente

Se estudiarán las características del dentado en el sistema plano (normal al eje de giro, Figura 28).

Mecánicamente no se hace uso de un solo par de superficies conjugadas para la transmisión del

movimiento ya que materialmente es posible emplear una parte de las mismas. Entonces en ambos

lados de la circunferencia primitiva se debe desenrollar la cuerda de un disco imaginario

(circunferencia base) cuyo radio rb es más pequeño que el de la primitiva rp. De la Figura 28 se

deduce la relación entre los radios mencionados:

rb = rp cos Ø

Así, el ángulo de presión Ø determina el contorno de los dientes porque lo define la relación del

radio base con el radio primitivo; los valores más utilizados son de 20°, 22 ½° y 25°, aunque alguna

vez se utilizó 14 ½ °.

Se utiliza entonces una pequeña porción cercana a la circunferencia primitiva ya que los

deslizamientos durante la transmisión son menores. Los límites son la circunferencia exterior (De) ó

de addendum y la circunferencia interior (Di) o de dedendum. La distancia radial entre la

circunferencia primitiva y la exterior es la altura de cabeza o addendum (a) y la distancia radial

entre la primitiva y la interior es la altura de raíz o dedendum (d).

Este sector de conjugada transmitirá el movimiento durante un arco reducido de giro, es necesario

entonces disponer de nuevas superficies conjugadas igualmente espaciadas sobre la circunferencia

primitiva, este arco de primitiva entre dos dientes consecutivos se denomina paso circular p.

Además, por razones resistentes, es necesario darle cierta envergadura a estas porciones de

superficies limitadas; entonces, para permitir la transmisión del movimiento en ambos sentidos,

estas superficies se limitan lateralmente por otras simétricas.

Este cuerpo así formado se llama diente, siendo el espesor (e) del mismo sobre la primitiva (lleno

del diente) igual a la mitad del paso circular. El espacio, medido sobre la primitiva, entre los dientes

Engranajes: El perfil de evolvente 14

se conoce como vacío entre dientes. Las superficies laterales se denominan flancos y la dimensión

de la generatriz de los flancos es el ancho (b).

La altura total del diente es igual al addendum más el dedendum, la altura de trabajo es la distancia

radial desde la circunferencia exterior a la circunferencia de huelgo que marca la distancia que el

diente conjugado proyecta en el espacio entre dientes (es tangente a la de addendum del engrane

conectado), es la suma de los addemdums de las ruedas conjugadas. La diferencia entre la altura

total y la altura de trabajo es el juego radial (c), necesario para permitir el libre movimiento de los

dientes del engrane complementario.

Debido a las tolerancias en la fabricación siempre quedará un espacio entre la cara posterior de un

diente y la anterior del siguiente del otro engranaje (Figura 29), esta distancia se conoce como juego

circunferencial, y es la magnitud que el engranaje conductor podrá girar sin mover el engranaje

conducido cuando la dirección de rotación es invertida. Este juego entonces, es necesario para

prevenir los errores e inexactitudes en la separación y en la forma del diente, para proveer el espacio

destinado al lubricante entre los dientes y para prevenir la dilatación de los dientes debida al

Figura 28 – Terminología de los engranajes para perfil de evolvente


aumento de temperatura. Pero atenta contra el perfecto

funcionamiento y, por ello, se procura eliminarlo

mejorando los procedimientos de fabricación.

Se puede expresar como ángulo o como la distancia

equivalente a lo largo de la circunferencia primitiva.

Entre otros términos utilizados generalmente se

encuentran: la menor de dos ruedas dentadas se llama

piñón y la mayor simplemente rueda o engranaje; el

ángulo de presión de funcionamiento que está

determinado por la distancia entre centros, ya que, como

se ha visto, los engranajes se pueden separar,

incrementándose por lo tanto el juego radial, y, sin

embargo, funcionar correctamente sin cambio alguno en

la relación de velocidades, un aumento en la distancia

entre centros, por ejemplo, provoca el aumento del ángulo

de presión y el distanciamiento o separación de las

primitivas.

De acuerdo con las definiciones anteriores, el paso circular para un engrane con Z dientes resulta:

p = Dp / Z , entonces el diámetro primitivo Dp = ( p / ) Z

La condición para que el diámetro primitivo sea un número racional, es que lo sea también el

cociente ( p / ), en cuyo caso p es irracional. En la práctica no se mide p sino los diámetros y el

número de dientes, por ello tales dimensiones deben ser números racionales. Estas circunstancias

han llevado a adoptar en una unidad como característica del dentado, que se estandariza y en

función de la cual se expresan las dimensiones del engranaje.

En el sistema métrico decimal esta unidad se llama Módulo y vale: M [mm] = p / = Dp / Z

En el sistema inglés se llama Diametral Pitch (paso diametral) : Pd [1/pulg] = / p = Z / Dp

Ambos valores son inversamente proporcionales entre sí : M [mm] = 25.4 / Pd [pulg]

Las dimensiones del dentado se expresan entonces en función de M o Pd.

Cuando se especifica un módulo (o un paso diametral) se procura siempre que corresponda a un

valor para el cual existan herramientas de corte de tipo comercial. La lista de módulos de un

fabricante de engranajes no tiene que ser necesariamente igual a la de otros; por lo tanto, para la

selección de proyecto se puede adoptar preferentemente alguno de los siguientes:

Módulos recomendados: 1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 25, 32, 50

como segunda opción: 1.125, 1.375, 1.75, 2.25, 2.75, 3.5, 4.5, 5.5, 7, 9, 11, 14, 18, 22, 28, 36, 45

Si se trata de los pasos diametrales son de paso ancho: 2, 2.25, 2.5, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16

y pasos diametrales finos: 20, 24, 32, 40, 48, 64, 80, 96, 120, 150, 200.

La relación de transmisión o de velocidades, como ya fue definida, y, de acuerdo a lo anterior, vale:

W1 Vt / rp1 Dp2 / 2 M Z2 Z2

i = ---- = --------- = -------- = ------- = ---

W2 Vt / rp2 Dp1 / 2 M Z1 Z1

Un sistema de dientes constituye una norma que especifica las relaciones que deben existir entre

adendo, dedendo, altura de trabajo, grueso del diente y ángulo de presión. La finalidad de esto es

que se puedan intercambiar los engranes de cualquier número de dientes pero del mismo ángulo de

Figura 29 – Juego circunferencial


presión y paso. De esta forma es posible diseñar engranes que funcionarán en casi cualquier

aplicación y que pueden ser hechos con herramientas normales.

Claro que no siempre es necesario o deseable que los engranajes sean intercambiables, y se han

desarrollado varios sistemas para satisfacer condiciones particulares de algunas industrias. En estos

sistemas el dedendum, addendum, ángulo de presión y la distancia entre centros se eligen para cada

instalación, para obtener las mejores condiciones de operación y los dientes más robustos. A título

de ejemplo se cita a la firma Gleason, para engranajes cónicos, que con su diseño obtiene menos

interferencia, piñones más fuertes, mejor lubricación, menos desgaste y marcha más silenciosa.

Los perfiles de engranajes

rectos de evolvente

estándar, tanto en unidades

del sistema inglés como en

el métrico, han sido

establecidas por la

Asociación Americana de

Fabricantes de Engranajes

(AGMA), y algunos han

sido adoptados por el

Instituto Americano de

Estándares Nacionales

(ANSI).

Las proporciones que se

observan en la Figura 30 se

han resumido de ellos para

los engranajes de

profundidad completa ( a +

b = 2 M ), para todos los

ángulos de presión, para

los engranajes de paso

ancho (Pd < 9.99) y para

paso fino (20 Pd 120).

Con estos datos podemos determinar los elementos geométricos de las ruedas, por ejemplo:

Diámetro exterior: De = Dp + 2 a para a = M: De = (Z + 2) M

que nos permite calcular el módulo de una rueda ya construida, midiendo De.

4.2. Ecuaciones del perfil:

Se pueden derivar de la geometría que se observa en la Figura 31.

La longitud de la cuerda imaginaria desde A hasta B es rb . , debido a que la longitud de la cuerda

estaba originalmente enrollada alrededor del círculo base desde B hasta el principio de la evolvente.

Dado que OBA es un ángulo recto, se tiene:

r2 = rb

2 + (rb . )2

y r = rb . (1 + 2 ) 1/2

A partir de este triángulo y de la definición de la evolvente, se ve que:

rb . tg( - ) = rb . , de donde = - arctg

a: addendum b + c: deddendum a + b: profundidad de trabajo

p: paso M: módulo Ø: ángulo de presión

a = b = . M = 1 para engranajes estándares

= 0.8 para dientes cortos de 20°

Paso ancho: c = 0.250 M para 20° y 25°

c = 0.157 M para 14.5°

c = 0.200 M para dientes cortos de 20°

Paso fino: c = 0.200 M + 0.0508 mm para todos los ángulos de presión

Figura 30 – Perfiles estándares


Así, la curva evolvente está definida en términos de

las ecuaciones paramétricas, donde el parámetro se

puede incrementar desde 0 hasta a para generar un

perfil de diente desde el círculo de base hasta

el círculo exterior:

a = [ (ra / rb) 2 – 1]

½

como rb . ( + Ø) = rb . tg Ø

resulta = tg Ø – Ø,

que se conoce como función de evolvente.

La descripción de ambos lados de un diente de

evolvente se puede simplificar expresando el perfil de

evolvente en términos de un ángulo desde la línea

de centros de cada diente al radio r desde el centro del

círculo primitivo. Como el ancho del diente en el

círculo primitivo está dado por /Z es evidente de la

Figura 32 que :

= + / (2 . Z) -

Un lado de un diente respecto a su línea de centros se

puede dibujar o cortar incrementando de d a a y

para cálculo de el r y correspondientes. El otro

lado del diente se puede formar a partir de los mismos

datos reemplazando por - . Los dientes

subsiguientes se pueden generar a partir de estos

datos girando la línea de centros a través de un

múltiplo de 2/Z. El espacio entre dientes puede

consistir en segmentos del círculo interior unidos a

los perfiles de evolvente de los dientes por los filetes

o por cualquier otra curva que proporcione la

resistencia necesaria, así como el huelgo para los

dientes del engrane complementario.

4.3. Trazado de la evolvente

Con lo analizado en los puntos 4.1 y 4.2 se tienen los elementos para trazar la evolvente por medio

de una planilla de cálculo y/o un programa de CAD, también se puede utilizar el método

aproximado que se detalla a continuación.

Los datos que en general se poseen son el módulo (M) del engranaje, el número de dientes del par

de ruedas dentadas (Z1 y Z2) y el ángulo de presión (Ø). Con tales datos es posible trazar las

circunferencias primitivas (Dp = M Z), las de base (rb = rp cos Ø), la línea de acción o recta de

Figura 31 – Geometría del diente

Figura 32 – Angulos para definir la evolvente


engrane (ángulo Ø), la tangente común a las primitivas y la línea que une a los centros que con la

tangente común determinan el punto primitivo (I), donde se supone que tiene lugar el contacto

(Figura 33).

A continuación se realizan lo siguiente:

- El perfil a evolvente es la trayectoria de I supuesto

perteneciente a la recta de acción, cuando esta rueda sin

resbalar sobre la primitiva. Para trazar dicha trayectoria

dividimos el segmento IN en partes iguales extendiendo

las divisiones más allá de N.

- Sobre la circunferencia base se toman, a partir de N,

arcos iguales a los segmentos en que se ha dividido la

línea de acción, hasta llegar al punto de arranque de la

evolvente (A), también se trazan unos arcos más desde N

hacia el otro lado.

- Se trazan las tangentes a la circunferencia base en cada

uno de los puntos determinados sobre ella.

- Sobre cada tangente se puede determinar un punto de la

evolvente tomando sobre dicha tangente tantas divisiones

como arcos se encuentren desde el punto A, hasta su

punto de contacto con la circunferencia base, dado que la

distancia desde la evolvente al punto de contacto de la

tangente con la circunferencia base es igual al arco que

media entre el punto de contacto y A.

- Se traza la evolvente y se la limita con las circunferencias exterior ( De = (Z + 2) . M ) y la

circunferencia interior (Di = Dp – 2 d, por ejemplo dedendum d = 1.25 M).

- Conocido el paso del dentado (p) se determina el espesor del diente (e = p/2, a efectos del

trazado se considera también que el vacío del diente es igual al espesor del mismo) y se

completa éste con el otro flanco que será simétrico al ya trazado con respecto a un eje con

centro en O2 y que corte a la primitiva en un punto ubicado, desde I, a una distancia p/4.

- Con el paso también se pueden construir los flancos homólogos y por lo tanto se completa el

trazado de los demás dientes del engranaje.

- Con una construcción similar puede trazarse el flanco de los dientes de la otra rueda.

Finalmente se menciona, luego de analizar los tipos de curvas y perfiles, que las condiciones que

deben cumplir dos ruedas dentadas para que engranen son:

- Los flancos de sus dientes deben ser superficies conjugadas.

- Deben tener igual paso (o módulo).

- Deben tener cierto juego radial.

- Deben tener cierto juego circunferencial

Figura 33 – Trazado de la evolvente

Engranajes: Características Cinemáticas 19

5. Características cinemáticas del engrane:

Se determinan magnitudes tales como arco de engrane, grado de recubrimiento o relación de

contacto y número mínimo de dientes para evitar la interferencia. Son importantes porque afectan

tanto a la potencia que puede ser transmitida de un engrane a otro, como a la suavidad del

movimiento transferido en presencia de los defectos de fabricación.

5.1. Flanco activo:

No todo el flanco de los dientes de una rueda se pone en contacto con los dientes de la otra rueda.

Es importante determinar el flanco activo a fin de evitar la interferencia.

La parte del flanco de los dientes que toma contacto con los dientes de la otra rueda se llama flanco

activo.

Evidentemente, todos los puntos de la cabeza de un diente (desde el diámetro primitivo hasta el

diámetro exterior) pertenecen al flanco activo, pero no todos los puntos de la raíz (desde el diámetro

primitivo hasta el diámetro interior). Para determinar este último punto se deberá encontrar el punto

de la raíz que se pone en contacto con el punto extremo de la cabeza de los dientes de la otra rueda.

Los puntos de la raíz del diente (Figura 34) de la rueda 1

comprendidos entre I y A1 (último punto en contacto)

tomarán contacto con los puntos de la cabeza de los

dientes de la rueda 2. A1, punto a determinar, tomará

contacto con el extremo A2 de la cabeza del diente de la

rueda 2.

De igual manera, los puntos de la raíz de los dientes de la

rueda 2 comprendidos entre 1 y B2 tomarán contacto con

los puntos de la cabeza de los dientes de la rueda 1.

Los flancos activos son entonces el Arco A1B1 para la

rueda 1 y el Arco A2B2 para la rueda 2.

Para determinar A1 y B2 es necesario conocer el segmento

de engrane AB, que es la porción de la línea de engrane

sobre la cual se realiza el contacto entre los dientes. Este

se encuentra limitando la línea de engrane por las

circunferencias exteriores de las ruedas.

El punto en que toma contacto A2 con A1 se obtiene en la

intersección de la circunferencia exterior con centro en O2 (lugar de las sucesivas posiciones de A2)

con la línea de engrane (punto A). Trazando con centro en O1 una circunferencia que pase por A se

obtiene en la intersección con el flanco del diente de la rueda 1 el punto A1 de la raíz que engrana

con A2 (esta circunferencia trazada es el lugar de las sucesivas posiciones de A1).

De la misma forma puede determinarse B2.

En la Figura 34 se observa que las longitudes de los flancos que se pondrán en contacto son

distintas, razón por la cual existirá un deslizamiento tangencial, lo que se traduce en una pérdida de

potencia.

5.2. Arco de engrane:

Mientras dura el contacto de un par de dientes una primitiva rueda sin resbalar sobre la otra, el arco

barrido durante este contacto se llama arco de engrane, y, de acuerdo a lo enunciado, vale lo mismo

para cualquiera de las ruedas.

El contacto del punto A (Figura 34) con su conjugado tiene lugar cuando el punto r (determinado

por la normal al perfil en A2) de la primitiva C2 pase por I (A2-r será normal común). Entonces,

mientras los puntos de C2 comprendidos en el arco r-I van pasando por I, entran en contacto los

puntos de la cabeza del perfil de la rueda 2: I-A2 con los puntos de la raíz de la rueda 1: I-A1.

De igual forma, el contacto del punto B1 con su conjugado tendrá lugar cuando el punto q

(determinado por la normal al perfil en B1) de la primitiva C1 pase por I. Entonces, mientras los

Figura 34 – Flanco activo


puntos de C1 comprendidos en el arco I-q pasan por I, entran en contacto los puntos de la cabeza del

perfil de la rueda 1: I-B1 con los puntos de la raíz del perfil de la rueda 2: I-B2.

El arco de engrane es entonces:

Ae = Arco r-I + Arco I-q

El arco r-I se denomina arco de acceso o aproximación y el arco I-q arco de receso o retroceso.

Una medida más fácil de obtener es el segmento de

engrane o longitud de contacto ya definido antes, y que en

la Figura 35 está representado por A-B. El mismo se

obtiene sumando L1 y L2 y resulta:

A-B = ( re22 - rb2

2 )1/2

+ ( re12 - rb1

2 )1/2

– ( rp2 + rp1 ) sen Ø

donde re es el radio exterior, rb es el radio base y rp es el

radio primitivo.

Esta expresión es aplicable únicamente cuando las

intersecciones de las circunferencias exteriores y la línea

de engrane están entre los puntos de tangencia de dicha

línea y las circunferencias bases, a estos últimos se los

denomina puntos de interferencia (ver 5.4.)

5.3. Grado de recubrimiento:

Cuando dos engranajes están engranados debe haber al menos un par de dientes en contacto. El

método generalmente empleado para indicar cuántos dientes están en contacto es el grado de

recubrimiento o relación de contacto.

Cuando el arco de engrane es

exactamente igual al paso, o

sea Ae = p, un diente y el

espacio consecutivo ocuparán

todo el arco AB (Figura 36),

es decir, que cuando un

diente empieza justo el

contacto en a, el anterior

termina simultáneamente su

contacto en b. De modo que

durante la acción desde a

hasta b, habrá exactamente

un par de dientes en contacto.

Si el arco de engrane es mayor que el paso, por ejemplo Ae = 1.2 p, cuando un par de dientes entra

en contacto, otro par, ya en contacto, no habrá llegado todavía a b. Así, en un corto lapso habrá dos

pares de dientes en contacto, uno en la proximidad de A y otro cerca de B. A medida que avance el

engrane de los dientes, el par de dientes cercano a B debe salir del contacto dejando sólo un par de

dientes en contacto y, luego, se repetirá esta operación. Debido a la naturaleza de esta acción entre

dientes, de uno o de dos pares de ellos en contacto, conviene definir la relación de contacto o grado

de recubrimiento como:

Rc = Ae / p

Figura 35 – Segmento de engrane

Figura 36 – Relación de contacto


número que indica el promedio de dientes en contacto. Por ejemplo una relación de 1.4 indica que

siempre habrá contacto entre un par de dientes y que el 40% del tiempo que dura el engrane de

dicho par, habrá en contacto un segundo par de dientes. Por lo general, los engranajes no deben

diseñarse con relaciones de contacto menores que 1.2, aproximadamente, porque las inexactitudes

en el montaje podrían reducir aún más esta relación, acrecentando la posibilidad de choques entre

los dientes, así como elevando el nivel de ruido.

La relación de contacto también se puede determinar en función del segmento de engrane (A-B ver

5.2), como ab es tangente a la circunferencia base, al prolongarla debe emplearse el paso base pb

(distancia medida sobre la circunferencia de base entre puntos correspondientes de dientes

adyacentes) para calcular Rc en vez del paso circular p: Rc = A-B / pb, siendo pb = p cos Ø.

5.4. Interferencia:

Se analizan los problemas que se presentan en el contacto de los dientes.

En primer lugar consideramos dos evolventes (e1 y e2), al

girar una de las bases, la de centro O2 por ejemplo, la

evolvente rígidamente vinculada a ella (e2) mueve por

contacto directo a la otra evolvente (e1), que solidaria a su

base la hace girar.

Esta transmisión del movimiento no puede prolongarse

indefinidamente con ese par de evolventes ya que, según se

observa en la Figura 37, cuando e2” corta a la línea de

engrane en el punto b, luego de haber pasado por el punto de

arranque de e1 (x), ya no es tangente a esta sino que la corta,

entonces, un perfil interfiere en el otro y el engrane no es

posible; en realidad el engrane se produciría pero con la otra

rama de e2 (línea de puntos en la figura) no materializada en

los perfiles de los dientes de engranajes.

En segundo término se tiene el siguiente caso (Figura 38): A2,

sobre la circunferencia base, es el punto de arranque del perfil

del piñón que engrana en y con el punto A1 del perfil de la

rueda. El resto de la cabeza de la rueda, en caso de

prolongarse más allá de A1, no tiene perfil conjugado

correspondiente en el piñón; el diente de éste a partir de A2 se

completa entonces con curvas o rectas arbitrarias para

permitir entrar el resto de la cabeza de la rueda de A1 a A1’,

que no son conjugadas de la evolvente de la rueda.

El engrane de esta parte de la cabeza de los dientes de la

rueda con la raíz del diente del piñón es imperfecto por no

verificarse entre superficies conjugadas, en determinado

momento el perfil de cabeza “interfiere” en el perfil del piñón.

De acuerdo a lo anterior, la interferencia se produce cuando el engrane se extiende fuera del

segmento xy (punto v en la figura 38), los puntos x e y se denominan puntos de interferencia. La

interferencia limita la cabeza del diente, y es evidente que, a medida que decrece el diámetro del

piñón, la longitud permisible de la cabeza del diente de los engranajes más grandes se hace más

pequeña.

Figura 37 - Interferencia

Figura 38 – Interferencia entre dientes


Si se aumenta el diámetro del piñón, es decir si se supone que se aumenta su número de dientes Zp

(manteniendo el paso constante), el punto y tiende hacia v. La condición límite surge cuando el

extremo de la cabeza de la rueda (A1) debe engranar con el punto de inicio de la evolvente del piñón

(A2), es decir yv.

Si se considera la altura de cabeza expresada en términos

del módulo, a = M (ver Figura 30), siendo un número

que depende de las proporciones elegidas, de la Figura

39, el radio exterior máximo del engranaje 1 es:

Re1 max = rp1 + M = ( rb12 + xy

2 )

1/2

rp1 + M = [ rp12 cos

2 Ø + ( rp1 + rp2 )

2 sen

2 Ø ]

1/2

como rp1 = Z1 M / 2 y rp2 = Z2 M / 2,

sustituyendo y desarrollando en la expresión anterior:

Z22 + 2 Z1 Z2 = 4 ( Z1 + ) / sen

2 Ø

nos da el valor del número de dientes del piñón (Z2) para

evitar la interferencia en función del número de dientes de

la rueda (Z1), el ángulo de presión (Ø) y la relación entre

la altura de cabeza ( ) y el módulo (M) del dentado.

La curva que expresa los valores límites de Z2 en función

de Z1, para valores constantes de Ø y de la relación

(Figura 40), es una hipérbola de asíntota horizontal para

Z1 = (cremallera); para este último caso el número

mínimo de dientes del piñón resulta:

Z2 = 2 / sen2 Ø

que para el caso de un diente de altura completa ( = 1) y

un ángulo de presión de 20° vale 17 (Tabla 2), lo que

significa que un piñón con 17, o más dientes, no tendrá

interferencia con una cremallera o con cualquier otra

rueda; esto último es importante desde el punto de vista

de la intercambiabilidad, ya que un piñón con ese número

de dientes podrá ser utilizado con cualquier otra rueda sin

inconvenientes. En caso de utilizar un número de dientes

menor habrá que determinar que número mínimo requiere

la rueda.

Se tienen varios métodos disponibles para evitar la

interferencia:

1. El rebaje es un procedimiento en el cual la parte del diente debajo de la circunferencia de base

es cortado o rebajado. Por consiguiente, no se tendrá contacto en la parte del diente con perfil

no conjugado. Este método tiene dos desventajas: primero, se reduce la relación de contacto y se

obtiene un engrane ruidoso y áspero; segundo, se reduce el valor del módulo de sección en la

base del diente (aumentándose el esfuerzo), siendo ésta la parte más débil del diente (Ver

cálculo de engranajes).

Figura 39 – Número mínimo de dientes

Figura 40 – Valores límites del número de dientes

Angulo

hélice

Angulo de presión normal Øn (=Ø para rectos)

14.5° 20° 25°

0 (rectos) 32 17 12

5 32 17 12

10 31 17 12

15 29 16 11

20 27 15 10

23 25 14 10

25 24 13 9

30 21 12 8

35 18 10 7

40 15 8 6

45 12 7 5 Tabla 2 – Número mínimo de dientes del piñón para:

adendo = M; altura total = 1.25 M


2. Reducción del perfil del diente en su parte superior. Nuevamente el resultado se traduce en una

reducción de la relación de contacto.

3. Aumentando el ángulo de presión, disminuyéndose el diámetro de la circunferencia de base.

Con esto se incrementa la porción de la evolvente del perfil del diente y, por lo tanto, se elimina

la interferencia. Sin embargo, el aumento del ángulo de presión hace que se incremente la fuerza

de separación entre los engranes (ver 6.Cálculo de engranajes).

4. Los engranes pueden cortarse con dientes de adendo a corto y largo. Por ejemplo, el motor

puede fabricarse aumentándole el adendo (se disminuye proporcionalmente el dedendo)

mientras que al engrane impulsado se le disminuye el adendo. Obviamente, estos engranes no

son estándar, por esta razón no son intercambiables y resultan ser más caros.

Entonces, la interferencia debe eliminarse, pero el método a usar dependerá principalmente de la

aplicación y experiencia del diseñador.

Engranajes: Diseño y Cálculo 24

6. Diseño y cálculo de engranajes:

Se analiza el diseño de engranajes para resistir la falla por flexión de los dientes y el desgaste de las

superficies de los mismos. El diseño de engranajes es un problema difícil porque principalmente es

un procedimiento del método de tanteos. Sin embargo, hay varios métodos que pueden usarse para

desarrollar un diseño. Se seguirá un procedimiento de primer diseño por el procedimiento más

simple (ecuación de Lewis) y después se analizará y modificará este diseño por el método de la

AGMA. Este enfoque tiene la ventaja de mostrar los caminos disponibles sin forzar a decidir por

uno a usar en un procedimiento dado, más tarde, cuando hayan obtenido alguna experiencia, estarán

en posición de juzgar el método a seguir para obtener mejores resultados en un problema específico.

La determinación de los engranajes adecuados para usar en una aplicación particular constituye un

problema complejo en razón de los múltiples factores en juego. En primer lugar, los engranajes

deben operar sin interferencia de los dientes, con una apropiada longitud de contacto, y sin

demasiado ruido. La solución de este problema requiere el conocimiento de la geometría de los

mismos. En segundo lugar, los dientes de los engranajes deben ser capaces de transmitir las cargas

aplicadas sin fallar, y con un cierto margen de seguridad. Esto implica la capacidad para resistir no

solamente el esfuerzo correspondiente a la potencia transmitida, sino también para resistir los

incrementos de esfuerzo debidos al choque (inexactitud del contorno del diente, deformación del

mismo, aceleraciones), y a la concentración de tensiones en la raíz de los dientes, o resistencia a la

fatiga. En tercer lugar, debe considerarse la resistencia al desgaste.

Hasta aproximadamente 1932, el cálculo de los engranajes se basaba en la resistencia estática del

diente (Lewis), a fin de tener en cuenta las características de su fabricación y los esfuerzos

adicionales por impacto, se modificaba además la tensión de cálculo por un factor de velocidad

(Barth). Desde 1932, como un resultado de los estudios de Earle Buckingham, el cálculo se basa en

la carga dinámica, en el límite de fatiga del material y en el esfuerzo de desgaste. La base de cálculo

utilizada por los métodos actuales (AGMA, etc.) es la fórmula de la resistencia a la flexión tal como

fuera desarrollada por Wilfred Lewis.

6.1. Fórmula de Lewis:

Wilfred Lewis fue el primero que presentó una fórmula para calcular el esfuerzo por flexión en

dientes de engranajes, en la que interviene la forma de los mismos. Fue publicada en 1892 y en la

actualidad sigue siendo fundamental para la mayor parte del diseño de engranajes.

Antes de analizar el

método en sí, se

procede a estudiar

las fuerzas que

actúan sobre el

diente y los efectos

que producen en el

mismo.

La fuerza Fn que

actúa entre las

superficies de

contacto de los

dientes es normal a

las mismas, es decir,

está situada sobre la línea generatriz o línea de engrane, y su línea de aplicación se desplaza desde

la parte superior (o inferior) del diente hasta la parte inferior (o superior) del mismo, en la Figura 41

(a) se muestra cuando el contacto está justamente comenzando o terminando, que, considerando

éste como una viga en voladizo, es la posición en que produce las tensiones más altas cuando la

relación de contacto es igual a la unidad. En el punto en que la línea de engrane corta a la línea

Figura 41 – Esfuerzos en los dientes


central o eje geométrico del diente, esta fuerza puede descomponerse en sus componentes

tangencial Ft y radial Fr, actuando perpendicular y paralelamente al eje del diente. La componente

radial produce esfuerzo de compresión sobre la sección transversal del diente y es absorbida por el

eje del engranaje y transmitida a los soportes. La componente tangencial produce un esfuerzo

flexionante y es la fuerza libre que hace girar la rueda conducida (Figura 41-c). Por lo general, el

esfuerzo de compresión es muy pequeño comparado con el flexionante de modo que puede ser

ignorado en la determinación de la resistencia del diente. Además, para justificar esta suposición,

incluir dicho esfuerzo hará que se aumente el esfuerzo por flexión en el lado de la compresión del

diente y que se disminuya el esfuerzo resultante en el lado de tensión. Para muchos materiales

usados en engranajes que son más resistentes a la compresión que a la tensión, la suposición dará

como resultado un diseño de diente más resistente. El argumento final que confirma el por qué se

ignora este esfuerzo es: debido a que los dientes están sujetos a falla por fatiga y las fallas por fatiga

empiezan en el lado de tensión del diente, el esfuerzo de compresión reduce el valor del esfuerzo

resultante de tensión y, por lo tanto, robustece más al diente.

El método de cálculo de Lewis utiliza las siguientes hipótesis simplificativas (Figura 42) :

- Al diente lo considera como una viga empotrada en el cuerpo del engrane.

- Solicitado únicamente a la flexión.

- La solicitación es estática.

- La fuerza se encuentra distribuida uniformemente a lo largo del ancho del diente.

- La posición más desfavorable de la fuerza Fn tiene lugar cuando el contacto se verifica en el

extremo de la cabeza del diente a calcular.

Su objetivo es determinar la fuerza tangencial máxima que

puede transmitir el engranaje, es decir, la capacidad del

diente para la transmisión del movimiento.

Para determinar la sección más comprometida, que se

considerará como sección de empotramiento, se utiliza el

concepto de sólido de igual resistencia (forma que tendría

el diente para que todas sus secciones transversales

estuvieran igualmente solicitadas).

Para una viga empotrada, en su extremo fijo VE (Figura

41-a), actuando Ft sobre B con un brazo de palanca h,

siendo la sección resistente del diente de un ancho t y largo

b, es esfuerzo puede obtenerse como:

= momento flector / módulo resistente = Ft h / ( b t2 / 6 )

entonces, Ft = ( b t2 / 6 ) / h

En un diente de engrane de resistencia uniforme el esfuerzo es constante, y ya que el ancho del

engranaje y la carga son también constantes:

h = ( b / 6 Ft ) t2 = constante . t

2

Está claro que es la ecuación de una parábola. La sección más débil del diente VGE, puede

obtenerse inscribiendo la parábola a través del punto B, y localizando los puntos para los cuales la

parábola es tangente al perfil del diente en V y en E. Por lo tanto la expresión para la Ft fue

obtenida para la sección de esfuerzo máximo ya que el diagrama de momentos flectores será el

mismo tanto para el diente como para el sólido de igual resistencia a la flexión y, en cualquier

sección por encima de ésta el diente estará en condiciones más favorables que dicho sólido por tener

mayor momento de inercia.

Figura 42 – Superficie resistente


Las dimensiones h y t que resultan incómodas se pueden reemplazar utilizando la proporción:

x / ( t / 2 ) = ( t / 2 ) / h

por los triángulos semejantes BVG y GVH (de lados correspondientes perpendiculares), de donde:

h = t2 / ( 4 x )

entonces: Ft = b ( 2 x / 3 )

multiplicando y dividiendo por el paso p: Ft = b ( 2 x / 3 p ) p

debido a que x y p son propiedades

geométricas que dependen del tamaño y forma

del diente, es posible definir un factor:

y = 2 x / 3 p

que es llamado factor de forma, cuya magnitud

depende de la forma del diente (que es función

del número de dientes para un valor particular

del ángulo de presión Ø) y del punto de

aplicación de la carga. La ecuación de Lewis se

puede escribir:

Ft = b y p

ó Ft = b ( Y / Pd )

siendo:

p = / Pd y Y = y

Los valores del factor de forma han sido

calculados para los sistemas de engranes

estándar y están disponibles en la Tabla 3.

Si se adoptan otra forma de los dientes, se dibuja el perfil a escala adecuada y puede determinarse

por tanteos la sección para la cual se obtiene el valor mínimo del segmento x, dado que la sección

comprometida corresponde al menor valor de y. Se debe elegir cualquier punto V cerca de la parte

más estrecha del diente, trazar BV y luego VH perpendicular a la anterior, trazar además VG

perpendicular al eje del diente, e interpretar a escala GH, repetir la operación para varios puntos

cercanos a V. Con unas pocas pruebas se determinará el valor mínimo de GH, o sea de x.

La carga tangencial máxima admisible, objetivo de Lewis, puede ahora obtenerse si se conoce el

valor del esfuerzo admisible utilizado del material del engrane. Para evitar confusión, designamos

como Fb a la carga admisible y, entonces, la ecuación de Lewis se puede escribir:

Fb = b y p adm

La tensión de trabajo admisible en la ecuación de Lewis, depende del material, del tratamiento

térmico, de la exactitud de fabricación, y de la velocidad periférica de la circunferencia primitiva.

Usualmente se supone que son un tercio de la resistencia a la rotura (Tabla 4).

Z Ø = 14.5° Ø = 20° Stub Ø = 20° Ø = 25°

10 0.056 0.064 0.083 0.076

12 0.067 0.078 0.099 0.088

13 0.070 0.083 0.103 0.093

14 0.072 0.088 0.108 0.098

15 0.075 0.092 0.111 0.102

16 0.077 0.094 0.115 0.106

17 0.080 0.096 0.117 0.109

18 0.083 0.098 0.120 0.112

19 0.087 0.100 0.123 0.115

20 0.090 0.102 0.125 0.118

21 0.092 0.104 0.127 0.120

23 0.094 0.106 0.130 0.124

25 0.097 0.108 0.133 0.128

27 0.100 0.111 0.136 0.131

30 0.102 0.114 0.139 0.135

34 0.104 0.118 0.142 0.140

38 0.107 0.122 0.145 0.144

43 0.110 0.126 0.147 0.148

50 0.112 0.130 0.151 0.152

60 0.114 0.134 0.154 0.156

75 0.116 0.138 0.158 0.161

100 0.118 0.142 0.161 0.166

150 0.120 0.146 0.165 0.171

300 0.122 0.150 0.170 0.176

Cremallera 0.124 0.154 0.175 0.180 Tabla 3 – Factor de forma


Cuando dos engranajes son del mismo material, el diente del piñón es más débil (yp < yg), cuando

los materiales son diferentes, se admite que el diente de menor adm . y es el más débil.

La obtención de la ecuación de Lewis está basada en el supuesto de que la carga esté distribuida

uniformemente en todo el ancho. Algunas veces esto dista mucho de la realidad, debido a

desalineación o alabeo de los dientes, soportes elásticos, etc. Una causa de rotura del diente es la

concentración de la carga en un extremo de su ancho, lo que origina esfuerzos mayores que cuando

la carga está distribuida. Para paliar esta clase de perturbación, el ancho de la cara b no debe ser

demasiado grande en comparación con el paso p del diente ( b = . p ). En ausencia de

consideraciones especiales, se consideran como buenas las siguientes proporciones:

2.5 p < b < 4 p ó 8 M < b < 12.5 M

Los límites arriba señalados son sólo sugerencias, y podrá haber muchas excepciones. Sin embargo,

el diseñador deberá investigar muy bien los posibles efectos de la distribución no uniforme de la

carga cuando se excedan los límites recomendados. Entre las excepciones se puede mencionar, por

ejemplo, los engranajes de transmisión de automóviles que tienen caras más cortas por ser necesaria

una disposición compacta. En general, cuanto más ancho es el diente y más rígido el material del

mismo, más exactos deben ser los perfiles y la alineación del eje para conseguir una larga duración

y un funcionamiento exento de averías. A fin de evitar una concentración de la carga en un extremo

de un diente, éstos se hacen a veces “bombeados”, es decir, se raspan o cepillan con una reducción

elíptica desde el centro del diente hasta el extremo de aproximadamente 0.0003 cm por cm en cada

lado.

Material adm [lbg/plg2] HB

Fundición gris ASTM 25 8.000 174 ASTM 35 12.000 212 ASTM 50 15.000 223

Acero Vaciado (bajo carbono) 0.20% C (sin tratamiento térmico) 20.000 180 0.20% C (templado en agua y revenido) 25.000 250

Acero al carbono forjado SAE 1020 (endurecimiento sup. y templado en agua y revenido) 18.000 156 SAE 1030 (sin tratamiento) 20.000 180 SAE 1035 (sin tratamiento) 23.000 190 SAE 1040 (sin tratamiento) 25.000 202 SAE 1045 (sin tratamiento) 30.000 215 SAE 1045 (endurecido por templado en agua y revenido) 32.000 205 SAE 1050 (endurecido por templado en aceite y revenido) 35.000 223

Aceros aleados SAE 2320 (endurecimiento sup. y templado en agua y revenido) 50.000 225 SAE 2345 (endurecido por templado en aceite y revenido) 50.000 475 SAE 3115 (endurecimiento sup. y templado en aceite y revenido) 37.000 212 SAE 3145 (endurecido por templado en aceite y revenido) 53.000 475 SAE 3245 (endurecido por templado en aceite y revenido) 65.000 475 SAE 4340 (endurecido por templado en aceite y revenido) 65.000 475 SAE 4640 (endurecido por templado en aceite y revenido) 55.000 475 SAE 6145 (endurecido por templado en aceite y revenido) 67.500 475

Materiales a base de Cobre SAE 43 (ASTM B147-52, 8A) (manganeso bronce) 20.000 100 SAE 62 (ASTM B143-52, 1A) (bronce de cañón) 10.000 80 SAE 65 (ASTM B144-52, 3C) (fósforo bronce) 12.000 100 SAE 68 (ASTM B148-52, 98) (aluminio bronce tratado term.) 22.000 180

No metales Baquelita, Micarta, Celerón 8.000

Tabla 4 – Tensiones Admisibles de la ecuación de Lewis


Ahora, es necesario considerar el efecto de otra suposición hecha en la determinación de la ecuación

de Lewis. Se supuso que la carga total transmitida actúa en la parte superior del diente. Debido a

que casi todos los engranajes están diseñados con una relación de contacto superior a 1.2, es claro

que cuando la carga actúa sobre la parte superior de un diente, otro diente continúa en contacto, y la

carga total no actúa solamente en un diente. El estudio de los dientes en movimiento muestra que

las cargas más altas se presentan aproximadamente en la parte media del diente. Por lo tanto, el

esfuerzo máximo probablemente se producirá mientras un solo par de dientes soporta la carga

completa en un punto donde otro par se encuentra a punto de hacer contacto. En la Figura 41 (b) se

ha desplazado la carga desde la parte superior del diente hasta un punto cerca del centro del diente.

La obtención de la ecuación de Lewis se puede hacer igual que antes. La única diferencia que se

tiene es en los valores del factor de forma. Esta forma de la ecuación reduce el tamaño y el peso de

los engranes porque se usa un esfuerzo real menor. Sin embargo, se usa sólo para aquellos diseños

donde la reducción de peso y tamaño es de mucha importancia.

Tampoco tuvo en cuenta la concentración de tensiones que se produce en la raíz del filete (ver 6.4),

por lo que se puede refinar la ecuación de Lewis por medio de un factor Kr que vale 1 para

engranajes de precisión, 0.75 para alto grado comercial, y 0.5 para grado comercial.

La capacidad del diente para transmitir el movimiento en un diseño

adecuado debe ser igual o superior a la fuerza tangencial (P)

necesaria para la transmisión del movimiento. Esta se obtiene por la

potencia o por el momento torsional aplicado, dado que en el

proyecto se conoce ordinariamente la potencia transmitida y las

velocidades angulares de los engranajes. Aunque la fuerza aplicada

varía algo cuando el punto de aplicación se desplaza desde la parte

superior al fondo del diente (o viceversa), en el proyecto se utiliza la

fuerza nominal actuante en la circunferencia primitiva (Figura 43),

además, el brazo de palanca de Fb es algo mayor que el radio

primitivo, entonces al adoptar la posición tangente a la primitiva para compararla con P se está en

una posición más segura, por otra parte la diferencia no es importante y no existe interés práctico en

considerarla.

En función de la potencia transmitida N, del número de revoluciones por unidad de tiempo de la

rueda dentada n y del radio primitivo R, es posible calcular P:

Mm = P . R = N / n

de donde, y expresando en las unidades correspondientes, resulta:

P [Kg] = 71620 . N [HP] / ( n [rpm] . R [cm] ) , debiendo verificarse: Fb P

Esta expresión de P es válida para engranajes que

operen bajo condiciones de carga estables. Los

engranajes en servicio real, lo mismo que otros

elementos de máquinas, están sometidos a tal

variedad de condiciones de funcionamiento, que la

única alternativa práctica es introducir un

coeficiente de experiencia, que consiste

esencialmente en aumentar el coeficiente de

seguridad para compensar en lo posible la falta de

conocimiento completo. Para un funcionamiento

mayor de 10 Hs. por día y cuando hay choques, la

fuerza tangencial deberá modificarse de acuerdo con los factores de servicio de la Tabla 5,

resultando la potencia de cálculo No = N / fs.

Figura 43 – Fuerza tangencial

Tipo de carga

Tipos de servicio

24 Hs 8 a 10 Hs 3 Hs

por día por día por día

Estable 0,80 1,00 1,25

Choque pequeño 0,65 0,80 1,00

Choque mediano 0,55 0,65 0,80

Choque severo 0,50 0,55 0,65

Para engranajes no encerrados, lubricados con grasa,

tomar el 65% de los valores tabulados.

Tabla 5 – Factores de Servicio


Como la fuerza tangencial que resiste el diente debe ser por lo menos igual a la fuerza tangencial

que lo solicita a la tensión, igualando dichos valores y teniendo en cuenta que:

para b = p , resulta Fb = Kr y p2 adm

y como Dp = ( p / ) Z , resulta P = 71620 No / [ n ( p Z / 2 ) ] = 450.000 No / ( n p Z )

p = 76,6 [ No / ( Kr y adm n Z ) ]1/3

Esta expresión es útil para hacer el prediseño del engranaje ya que será el valor mínimo a adoptar

para las verificaciones que se tratan más adelante, y el valor final del paso se alejará de éste en tanto

y en cuanto las condiciones reales de funcionamiento difieran de las supuestas por Lewis.

Como la potencia y el número de revoluciones, así como la relación de transmisión, son

condiciones a cumplir por el diseño, es decir: son datos, deben adoptarse: el ángulo de presión (ver

5.4, generalmente 20°), el material para el engranaje y el número de dientes a utilizar según

recomendaciones o criterios adecuados a tal efecto, por ejemplo, adoptar el número mínimo de

dientes necesarios para que no se produzca interferencia a fin de obtener las mínimas dimensiones

exteriores (Tabla 2).

Con el valor obtenido se calcula el módulo, el cual se redondea hasta el valor estandarizado

inmediato superior; después de esto, por los valores de y Z, se determinan los diámetros de las

ruedas y su ancho, luego de acuerdo a las proporciones estándar (ver 5.4) se obtienen las restantes

dimensiones: diámetro exterior e interior, etc.

6.2. Fórmula de Lewis-Barth:

Cuando un engranaje funciona a velocidades moderadas o altas y se genera ruido, es seguro que

existen efectos dinámicos.

Puesto que los perfiles de los dientes no son evolventes perfectas, y puesto que la separación entre

los dientes no es rigurosamente exacta, que además el árbol y sus soportes se deforman bajo carga y

que una carga deforma a los dientes aunque inicialmente sean perfectos, la ley de engrane no se

cumple rigurosamente y es inevitable que se produzcan aceleraciones locales y por lo tanto se

originan cargas dinámicas. Después que Lewis enunció su ecuación para la resistencia de los

dientes de engranaje, la experimentación demostró que es necesario aplicar un coeficiente de

velocidad para obtener un esfuerzo de cálculo a fin de llegar a un mejor acuerdo entre los cálculos

de proyecto y los resultados de ensayo, lo que equivale a decir que la carga dinámica es función

únicamente de la velocidad. Esto no es rigurosamente cierto, pero sí lo es aproximadamente en

intervalos limitados de velocidad y para una clase particular de engranajes que los coeficientes de

velocidad se utilizan todavía ampliamente.

Carl G. Barth, investigador del siglo XIX, fue el primero que expresó el factor de velocidad

(denominado factor dinámico) en la ecuación:

Kv = 183 / ( 183 + vp )

donde vp [m/min] es la velocidad en la circunferencia primitiva. Esta ecuación se conoce como

ecuación de Barth, y se sabe que está basada en pruebas de engranes de hierro fundido con dientes

colados. También es altamente probable que se llevaran a cabo pruebas con respecto a dientes de

perfil cicloidal, en vez de perfil de evolvente. Los dientes cicloidales eran de uso general en aquella

época debido a que se podían producir por fundición más fácilmente que los de evolvente.

Este factor afecta directamente a la tensión admisible del material (disminuyendo su valor), con lo

que la expresión de Lewis-Barth resulta:

Fb = b y p adm Kv


y se aplica para engranajes industriales corrientes que operen a velocidades de hasta 600 m/min.

La ecuación de Barth a menudo se modifica a la forma:

Kv = 366 / ( 366 + vp )

para engranajes exactamente tallados que operen a velocidades de hasta 1200 m/min;

Kv = 43 / ( 43 + vp1/2

)

para engranajes de precisión, tallados con un alto grado de exactitud, y que operen a velocidades de

1200 m/min y mayores.

6.3. Fórmula de Buckingham – Cargas dinámicas:

Hasta aproximadamente 1932, el cálculo de los engranajes se basaba en la resistencia estática del

diente. A fin de tener en cuenta las características de fabricación del diente y los esfuerzos

adicionales por impacto, se modificaba además la tensión de cálculo por un factor de velocidad.

Desde 1932, como un resultado de los estudios de Earle Buckingham, el cálculo de los engranajes

se basa en la carga dinámica, en el límite de fatiga del material y en el esfuerzo de desgaste. En

1949 Buckingham publicó su “Analytical Mechanics of Gears”, donde propuso una nueva ecuación

para calcular el esfuerzo dinámico, basada en la determinación de la masa efectiva actuante sobre

las circunferencias primitivas de los engranajes, en los esfuerzos debidos a las aceleraciones, en la

discriminación de perfiles, y en las cargas de impacto. Sin embargo, el método presentado en lo que

sigue es el primero, en razón de que al presente es el más universalmente usado.

Como se ha mencionado, los pequeños errores del tallado, y la deformación de los dientes bajo

carga, originan aceleraciones, por lo tanto fuerzas de inercia, y fuerzas de impacto sobre los dientes,

con un efecto similar a aquel de una carga variable superpuesta a una carga constante. El esfuerzo

máximo total instantáneo sobre el diente, o esfuerzo dinámico, está constituido por la carga

transmitida más un incremento dinámico de carga. Puesto que su magnitud depende de las masas de

los engranajes, sólo se puede aplicar a una cierta clase de engranajes. Así, para engranajes de masa

normal con masas conectadas, también de tipo normal:

Pd = P + P

0,113 vp[m/min] ( P[Kg] + b[cm] C[Kg/cm] )

siendo: P[Kg] = ------------------------------------------------------

0,113 vp + ( P + b C )1/2

donde C es un factor que depende de la magnitud del error y de los módulos de elasticidad de los

engranajes (E1 y E2 [Kg/cm2]):

C[Kg/cm] = k[cm] E1 E2 / ( E1 + E2 )

siendo k función del error efectivo o total compuesto del diente e, que debe ser menor a velocidades

más altas. k = 0,107 e para dientes de 141/2

° y altura completa, k = 0,111 e para dientes de 20 ° y

altura completa, k = 0,115 e para dientes cortos de 20 °.

Aún cuando la fuerza exterior que actúa sobre el engranaje sea constante, la carga que incide sobre

cada uno de los dientes es variable en el tiempo, porque el contacto de cada diente se verifica en una

fracción de la vuelta completa del mismo. Para tener en cuenta este efecto se toma como tensión de

comparación el límite de fatiga admisible a la flexión, en la Tabla 6 se dan valores de límites de

fatiga (lím). La carga dinámica así determinada se introduce en la fórmula de Lewis, resultando el

estado de tensiones:

= Pd / ( b y p ) lím adm


En la Figura 44 se dan los errores máximos que

permiten un funcionamiento relativamente suave

para distintas velocidades tangenciales de la

circunferencia primitiva (vp). Conociendo el método

de fabricación del diente requerido, el error

probable se elige de la Figura 45 y C de la Tabla 7.

Cuanto mayor sea vp, mayores son las reacciones

dinámicas que se originan por los errores diversos

de los dientes. Por otra parte, la magnitud relativa

del ruido de un par de dientes metálicos conjugados

es un indicador o índice de la magnitud de los

errores: en general, cuanto más intenso es el ruido

para una velocidad, paso y ambiente determinados,

mayor es el error. Las altas velocidades requieren,

pues, mayores exactitudes para que el

funcionamiento sea

satisfactorio. En la Figura 44

se observa que para

velocidades más altas de 1500

m/min, el error del diente

debe ser del orden de 0,00127

cm; la Figura 45 sugiere que

los dientes pequeños (módulo

< 5 mm) son, por

consiguiente, ventajosos.

La manera de utilizar las

mencionadas figuras en el

proyecto es determinar

previamente el error

admisible por la Figura 44,

después de haber sido

calculada la velocidad. Esto

es una indicación de la

exactitud necesaria de

fabricación. Después, una vez

conocido o supuesto el

módulo, se entra en la Figura

45, se decide acerca de la

calidad de fabricación y se

usa el valor de e deducido por

la curva inferior inmediata, en

el cálculo de C en la ecuación

de Buckingham. En general,

los dientes no deben ser más

exactos que lo necesario a

causa de que frecuentemente

una mayor exactitud implica

mayor costo, lo cual indica la

conveniencia del uso en el

proyecto del error admisible

siempre que éste sea menor

que el correspondiente a

Material HB Límite de fatiga

lím [Kg/cm2]

Fundición gris 160 840

Semiacero 200 1260

Bronce fosforoso 100 1680

Acero 150 2520

200 3500

lím = 17,5 x HB 240 4200

250 4340

para HB > 400 280 4900

lím = 7000 300 5250

320 5600

350 5950

360 6300

400 7000

Tabla 6 – Límites de fatiga

Figura 44 (arriba) Errores máximos - Figura 45 (abajo) Errores probables


dientes tallados de tipo comercial.

En la Figura 45, la curva designada como Engranajes comerciales de primera clase representa los

resultados que se pueden esperar de los engranajes cortados mediante fresas circulares de forma o

tornillos-fresa cilíndricas o fresas-madre, si se pone el cuidado necesario para realizar la tarea y si

las máquinas y las herramientas están en buen estado.

La curva designada Engranajes tallados esmeradamente (o clase 2) representa los resultados que se

pueden obtener con fresas-madre o herramientas cuchilla-piñón afiladas con precisión, cuando el

corte de acabado se efectúa en un lado y después en el otro.

La curva designada Engranajes de precisión (o clase 3) representa el grado de exactitud que se

puede esperar en dientes esmerilados cuidadosamente o raspados, o dientes tallados con un cuidado

extremado empleando fresas exactamente afiladas y montadas en máquinas conservadas en las

mejores condiciones. Con dureza Brinell de hasta 450, los dientes deben ser acabados por raspado,

que es un proceso de acabado de precisión. Puede producir el perfil de evolvente con una tolerancia

de 0,0005 cm y un error de separación dentro de 0,0007 cm. La operación de raspado debe hacerse

preferiblemente antes del tratamiento térmico. En condiciones favorables, el error puede ser

reducido hasta 0,0007 a 0,0010 cm por rectificado. El raspado es el proceso más rápido y el

rectificado el más lento.

Cuando los engranajes son tratados térmicamente después de tallados los dientes, el error de perfil

aumenta. En condiciones del más cuidadoso control, el aumento de error debido al tratamiento

térmico se ha mantenido tan pequeño como 0,0012 cm. Para tratamientos térmicos de menos

exactitud, el alabeo puede ser considerablemente mayor; en algunos casos, tanto que los dientes

tratados térmicamente no rectificados tienen una vida más corta que los dientes no tratados

térmicamente.

Para un servicio exacto de alta capacidad, los dientes templados deben ser acabados por rectificado.

P tiene en cuenta el efecto dinámico derivado de los errores de trazado, que se manifiestan

cualquiera sea la naturaleza de las fuerzas exteriores que actúan sobre el engranaje. Debe

considerarse también el incremento de carga debido a la aplicación dinámica de las cargas. Este

efecto ha sido tenido en cuenta en el método de Lewis-Barth. También podría tenerse en cuenta en

el método de Buckingham al calcular P, pero es más común considerarla comparando la carga

dinámica Pd que soporta el diente con la resistencia estática del diente a la flexión Fb. Algunos

autores, entre ellos Kimbell, adoptan este criterio, debiendo cumplirse en un correcto diseño:

k Pd Fb

Siendo k = 1.25 para cargas constantes, 1.35 para cargas oscilantes y 1.50 para cargas aplicadas en

forma violenta.

Materiales Forma del Error [cm]

diente 0,00127 0,00254 0,00508 0,00762 0,01016 0,01270

Fundición y Fundición 71,4 142,9 285,8 428,6 571,5 714,4

Fundición y Acero 14,5° 98,2 196,5 392,9 589,4 785,8 982,0

Acero y Acero 142,9 285,8 571,5 857,3 1143,0 1428,8


Fundición y Acero 20° 101,8 201,8 407,2 610,8 814,4 1018,0

Acero y Acero 148,2 296,5 592,9 889,4 1185,9 1482,4


Fundición y Acero 20° mocho 105,4 210,7 421,5 632,2 843,0 1053,7

Acero y Acero 153,6 307,2 614,4 921,6 1228,8 1536,0

El semiacero y el bronce tienen aproximadamente los mismos valores que la fundición.

Tabla 7 – Factor dinámico C [Kg/cm]


Los llamados engranajes de tipo normal o promedio pueden distinguirse mejor si se menciona

primero aquellos que no son de este tipo, por ejemplo los empleados en aeronáutica, en que las

masas móviles, considerando las cargas respectivas, son menores que las de tipo medio y los

engranajes están conectados por ejes cortos a volantes pesados cuyas masas y rigidez son mayores

que las promedias. También los engranajes pequeños que transmiten baja potencia, o los de alta

velocidad ligeramente cargados. La influencia predominante que existe sobre los engranajes de gran

tamaño y velocidad moderada es la de las masas conectadas. Pero para pequeños engranajes,

especialmente los montados sobre ejes pequeños que se retuercen fácilmente con un ángulo de

deformación que es equivalente al error efectivo de diente, las masas de los propios engranajes es el

factor predominante, y la carga dinámica es mucho menor que la dada por la ecuación dada.

No hay manera fácil de definir una línea divisoria entre las diferentes categorías, pero si el eje es tan

pequeño como 1,27 cm (y probablemente hasta 5 cm), el engranaje seguramente pertenecerá a esta

categoría (no es del tipo promedio). Si la potencia es menor que 10 ó 20 CV, el uso de la ecuación

será excesivamente previsor. Para estas pequeñas potencias se recomienda aplicar las ecuaciones de

Lewis-Barth, para la carga dinámica. Como el origen de estas ecuaciones es distinto, no es lógico

esperar que las cargas dinámicas coincidan, excepto en ciertas condiciones de funcionamiento

(Figura 46).

Se ha desarrollado un considerable trabajo de investigación sobre las cargas dinámicas que actúan

sobre los dientes de los engranajes: Buckingham (1932 y 1949), Tuplin (1950 y 1953), Strauch

(1953), Reswick (1954), Attia (1956), Niemann y Rettig (1958), Zeman (1957), Harris (1957) y

Kohler (1959). Además, se han hecho investigaciones que no fueron publicadas por numerosas

compañías. La mayoría de las investigaciones, por no decir que la totalidad, no están

El análisis detallado de Buckingham, curva A, es para una carga transmitida constante de

453 Kg y los datos siguientes: b=12,5 cm, 20°, altura completa, Zp=30, i= 4, engranajes

de hierro fundido, e=0,0025 cm, la masa conectada sobre el eje del piñón y la masa del

piñón son 23,8 y 3,7 Kg, la masa conectada sobre el eje de la rueda y la masa de la rueda

son 59,5 y 19,3 Kg respectivamente. Las curvas de trazos B y C corresponden a la

ecuación media de Buckingham y los otros datos son los mismos. Los coeficientes de

velocidad son naturalmente independientes de la elasticidad de los materiales y de la

anchura de la cara. Obsérvese que la curva C correspondiente a hierro fundido y e=0,0050

cm es la misma que se obtendría para acero y e=0,0025 cm.

Los valores de Fd de las curvas A, B, C, tienen las relaciones indicadas con las de D, E, F,

G, sólo para Ft=453 Kg; las posiciones relativas de estas curvas diferirán en general para

otros valores de Ft. Se podrían hacer estudios similares con otra variable independiente,

como Fd en función de la potencia a velocidad constante.

Figura 46 – Carga dinámica según diferentes ecuaciones


completamente de acuerdo sobre la manera de evaluar los efectos de las cargas dinámicas. Sus

trabajos hacen destacar el hecho de que no ha sido encontrado un método eficiente para la

determinación de las cargas dinámicas y el diseñador queda abandonado a sus propios recursos, se

han tenido que basar en experiencias pasadas, aplicando niveles de esfuerzos más bajos que los

permitidos, factores de seguridad para el servicio, valores experimentales aplicables dentro de

límites estrechos para casos específicos, etc., con el fin de asegurar el éxito en el funcionamiento de

sus engranajes.

Con el fin de proporcionar al lector la

ventaja de conocer lo que se ha logrado

hasta la fecha en el campo de las

investigaciones sobre las cargas dinámicas,

es conveniente repasar los resultados

obtenidos en esta acumulación de datos

experimentales. Zeman ha desarrollado una

buena labor, recopilando y resumiendo

estos datos desde un punto de vista

práctico. En la Figura 47 se muestra una

gráfica tomada de una de sus publicaciones,

en donde se ha trazado la carga dinámica

con la relación que guarda con la velocidad

periférica, para un juego determinado de

engranajes rectos (relación 1:1, 30 dientes,

Pd 2.54, distancia entre centros 11.8”,

acero, carga 420 y 120 Kg); En la Figura:

(a) corresponde a Zeman, perturbación

simple, (b) Zeman, error continuo, (c)

antiguas de Buckingham, 420 Kg, (d)

antiguas de Buckingham, 120 Kg, (e)

nuevas de Buckingham, 420 Kg, (f) nuevas

de Buckingham, 120 Kg, (g) nueva de

Niemann, (h) antigua de Niemann, (k)

Tuplin.

En todas las curvas se observa una tendencia de aumento de las cargas dinámicas conforme

aumenta la velocidad. La mayoría de los resultados indica también que se alcanza cierto valor

máximo de la carga dinámica, después de lo cual empiezan a nivelarse las curvas de las gráficas.

Kohler afirma que sus trabajos de prueba revelaron, independientemente del error, que la carga

dinámica nunca llega a exceder del triple de la carga de diseño. Se puede observar, en los resultados

de la curva superior de Buckingham, que la carga dinámica equivale a 2.38 veces la carga de

diseño.

Observando el problema desde el punto de vista estricto del diseño se estima que la teoría de

Buckingham sobre las cargas dinámicas, es el método más apropiado que se debe seguir,

considerando el estado actual de las investigaciones. Sin embargo, el establecimiento de nuevas

teorías irrebatibles y un número mayor de investigaciones físicas revelan que las aproximaciones

fijadas por Buckingham resultan anticuadas, aún cuando hasta la fecha parecen ser el método más

lógico y directo de asegurar a los usuarios, que los engranajes diseñados, probados y embarcados,

funcionarán en el sitio de trabajo de acuerdo con lo prescrito.

6.4. Concentración de Tensiones:

La identificación de la raíz del diente con la corona se realiza por medio de una transición curva

cuyo radio suele estar estandarizado en función del módulo y del tipo de dentado. A pesar del

acuerdo curvo, tiene lugar en la sección de empotramiento un efecto de concentración de tensiones.

Consecuencia de este efecto es que una parte de las roturas de engranajes se deben a fisuras que se

producen en la zona de concentración (Figura 48).

Figura 47


El valor exacto del factor de concentración de tensiones depende del

material, del espesor del diente en la raíz, de la posición del esfuerzo

sobre el diente, del radio de acuerdo y del ángulo de presión. A

causa de esta complejidad, los coeficientes que se usan

ordinariamente son estimaciones razonables de los valores

verdaderos. Dolan y Broghamer propusieron las siguientes

ecuaciones empíricas de acuerdo con sus estudios foto elásticos

(Figura 49):

Kt = 0.22 + ( a / )0.2

( a / h )0.4

para = 14 ½

°

Kt = 0.18 + ( a / )0.15

( a / h )0.45

para = 20 °

Kt = 0.14 + ( a / )0.11

( a / h )0.5

para = 25 °

siendo el radio del filete en la raíz del diente, a el espesor del

diente en la base del mismo y h la distancia medida por arriba de la

sección débil del diente hasta la línea de acción de la carga.

Debido a que la concentración de tensiones obtenida a partir de las ecuaciones anteriores es para un

diente de engrane sujeto a esfuerzo estático y a que el engrane está además sujeto a esfuerzos por

fatiga, los factores obtenidos deberán modificarse por factores de sensibilidad a las entallas (q,

Kf=1+ q (Kt – 1) ), pero cuando los dientes están templados o endurecidos, el valor de q es casi igual

a la unidad, excepto para radios muy pequeños, también para los aceros aleados de alta resistencia;

para los aceros al carbono y de baja aleación oscila entre 0.6 y 0.8; para las fundiciones grises es

igual a cero. Con un coeficiente de reducción de resistencia Kf, la ecuación de Buckingham se

convierte en:

= Kf Pd / ( b y p )

Buckingham enuncia que si se supone que la carga actúa en la punta del diente (Fb) y se establece

comparación con su carga dinámica, esto es tan previsor que no es necesario coeficiente alguno de

concentración de tensiones. El valor de Kf generalmente está en el intervalo de 1,2 a 1,7 cuando se

aplica la carga en la punta del diente, pero es más alto, 1,4 a 2 por ejemplo, cuando la carga se

aplica cerca de la parte central.

6.5. Fallas de los dientes de engranajes:

Un buen diseñador de engranajes debe poder reconocer y analizar las fallas propias de los engranes.

Las fallas deben ser debidamente investigadas, tomando las medidas de corrección necesarias,

procurando también que estos datos sirvan de base para posteriores experiencias.

La capacidad operativa de un engranaje viene

determinada por su diseño y las variables de

funcionamiento como ser: temperatura de trabajo,

materiales de construcción, velocidad y torque. Es el

aceite lubricante el que debe cubrir los requerimientos de

fricción para minimizar los efectos del desgaste y rotura

acelerada.

En un engranaje hay cuatro tipos de fallas características:

por desgaste, picadura (pitting), deformación plástica y

rotura del diente. En la Figura 50 se representa una curva

típica, donde, en función de la velocidad y torque,

quedan delimitadas las zonas de falla según sea la

condición operativa.

Figura 48 – Concentración de tensiones

Figura 49 – Estudios fotoelásticos

Figura 50 – Tipos de fallas


6.5.1. Desgaste:

Es un fenómeno de mucha importancia, sobre todo para aquellos engranajes de alta velocidad que

tienen que funcionar durante períodos ilimitados de tiempo.

El desgaste queda definido como el deterioro que sufren los dientes y por el cual son removidas de

sus superficies capas de metal, de manera más o menos uniforme.

Las causas más comunes del desgaste son: contacto de metal contra metal, como consecuencia de

una película inadecuada de aceite lubricante; la presencia de partículas abrasivas en el suministro

del aceite; desplazamiento de la película de aceite en el área de contacto ocasionando un desgaste

rápido o la formación de rayas o estriado; y el desgaste de origen químico, provocado por la

composición del aceite y de sus aditivos.

Las áreas marcadas con 1, 2 y 3 (Figura 50), son las zonas en donde ocurren los desperfectos en

combinación con el fenómeno del desgaste. En el área 1, el engranaje no gira con la rapidez

necesaria como para formar una película de aceite, mientras que en la zona del área 2 la velocidad

tiene la suficiente rapidez como para formar dicha película y el engranaje marchará así durante un

período de tiempo indefinido, en el supuesto caso de que el aceite esté enteramente libre de

materiales extraños y no sea corrosivo. En el área 3 se producirá el rayado o escarificado (scoring)

con rapidez, puesto que aquí la carga y la velocidad son lo suficientemente altas para romper la

película de aceite destinada a la lubricación.

Hay que tener en cuenta, para el área 1, que si bien se puede aumentar la velocidad de

funcionamiento (para trabajar en la zona sin fallas), también se incrementa la fricción y la

temperatura debido al calor generado (aumenta con el cuadrado de la velocidad), lo que hace

necesario refrigerar la caja de engranajes con: intercambiadores de calor, disipadores, mayor caudal

y/o volumen del carter de aceite para mantener la viscosidad del aceite dentro de los parámetros

recomendados, también se puede recurrir a aceites de mayor viscosidad o al uso de aditivos

mejoradores de fricción.

El escarificado (área 3) ocurre cuando el calor generado por la fricción de los dientes es tan grande

como para romper la película de lubricante, produciéndose entonces el contacto metal-metal,

elevada fricción con aumento de la temperatura hasta producir la fusión y soldadura de los

materiales de las superficies. Para atenuar su efecto se debe recurrir a: modificar condiciones

operativas (operar a menor régimen), disminuir la viscosidad del aceite (al valor mínimo

recomendado) y aumentar el caudal de lubricación para obtener una mayor refrigeración.

6.5.2. Deformación plástica:

Los engranajes pueden fallar a consecuencia del deslizamiento plástico, cuando la superficie cede y

se deforma debido a cargas demasiado pesadas.

Por lo general este tipo de falla se produce cuando los engranajes están hechos de materiales suaves

o semiduros. En general se caracteriza por la presencia de material laminado que sobresale de las

puntas de los dientes. También se pueden formar ondulaciones y surcos.

Por lo regular se pueden mejorar estas condiciones de trabajo agregando al aceite lubricante aditivos

para presiones extremas, mejorando simultáneamente la distribución del aceite. La reducción de la

carga que se transmite es un paliativo, aún cuando no siempre es practicable.

6.5.3. Fatiga superficial o picado (pitting):

Está considerada como una falla de la superficie que sobreviene al ser superado el límite de la

resistencia superficial de los materiales. Los engranajes que funcionan con carga, desarrollan

esfuerzos superficiales constantes y si las cargas tienen la suficiente intensidad y el ciclo de

esfuerzos se repite con bastante frecuencia, sobreviene la fatiga en algunos fragmentos del metal en

la superficie, dando origen a las picaduras. La mayor parte de las fallas por picado de dientes se

debe a un mal diseño del engranaje, incorrecta selección del material constructivo y condiciones

operativas extremas (área 4 de la Figura 50).


La carga aplicada se distribuye en una pequeña área, las tensiones

de contacto que se desarrollan en esas superficies de contacto dan

lugar a un campo de tensiones normales y tangenciales en el

interior del diente. Como las tensiones de contacto son variables

lo serán también las del campo interior, de las cuales las más

importantes son las tangenciales y de éstas las correspondientes a

elementos superficiales orientados a 45° respecto de las tensiones

de contacto (Figura 51). Las máximas tensiones tangenciales se

producen en las proximidades de la superficie de contacto, a una

distancia del mismo orden que la deformación derivada de la

acción de las cargas, y dan lugar a un fenómeno de fatiga y conducen a la formación de pequeñas

fisuras en cualquier irregularidad estructural, desarrollándose gradualmente, éstas salen a la

superficie formando una erupción puntual. En la ulterior etapa los defectos puntuales se agrandan y

se fusionan en cadenas; en los sectores entre las cadenas se exfolian y desmenuzan las partículas

gruesas de metal. Este fenómeno se llama picadura. Producido el picado, el fenómeno es luego

creciente por cuanto al reducirse las superficies en contacto se incrementan las tensiones,

acelerándose la formación de pocitos o picaduras derivadas de la fatiga del material. El aumento de

la velocidad del movimiento relativo (rodamiento con resbalamiento) ejerce en cierto grado

influencia favorable: la capa deteriorada, en el proceso de desgaste, se elimina gradualmente,

gracias a lo cual no surge el desmenuzamiento. La duración depende de la intensidad del desgaste

abrasivo que varía en el curso del tiempo la forma primaria de las superficies de contacto. La

picadura se concentra en los sectores del diente próximos al círculo primitivo, dado que en esos

sectores soporta la carga él solo; en los sectores próximos a la cabeza y a la raíz, la carga la reciben

dos dientes. Además, en los sectores centrales del perfil tiene lugar rodamiento sin resbalamiento,

mientras que en los sectores de la cabeza y de la raíz tiene lugar también el resbalamiento, estos

sectores se someten a una acción bruñidora de las superficies conjugadas que eliminan los

deterioros superficiales, pero con el tiempo conduce a la distorsión del perfil evolvente. También la

presencia de lubricante contribuye a la división de las superficies metálicas. Dada la complejidad de

factores existen varias teorías para explicar el fenómeno además de la enunciada, aún prescindiendo

del origen del picado, lo real e importante es que se ha determinado experimentalmente que después

de un cierto número de revoluciones, si el engranaje no es apto para resistir el desgaste, sufre un

picado superficial.

Salvo que en el engranaje se haga notorio un desalineamiento considerable, que en la mayoría de

los casos puede ser corregido, la presencia de picaduras significa que el diseño no corresponde a la

capacidad de carga que se transmite y de ser éste el caso, es necesario dar los pasos que procedan

para mejorar la capacidad de carga, por ejemplo, los engranes de endurecimiento medio pueden ser

sometidos a un endurecimiento máximo, lo que aumentará el límite de resistencia de la superficie

del material. También puede sustituirse el material de los engranes, ya sea por un metal nitrurizado

de alta capacidad de resistencia o por otro carburizado superficialmente. Con frecuencia, los

cambios de material y de tratamiento térmico no son suficientes y es preciso rediseñar el engranaje.

El aumento del ancho reducirá la carga por centímetro cuadrado de cara de los dientes, aumentando

así la resistencia contra las picaduras.

Buckingham encontró una buena correlación entre el fallo por

fatiga superficial y el esfuerzo de contacto de Hertz cuando el

contacto tiene lugar en el punto primitivo. Entonces, para deducir

la ecuación de desgaste de Buckingham se parte de la ecuación de

Hertz para calcular el esfuerzo en la superficie de dos cilindros en

contacto rodante, quien se basó en la hipótesis de que la

distribución de esfuerzos normal a la superficie de contacto es

elíptica. En la Figura 52 se muestran dos cilindros y las

dimensiones usadas para obtener la ecuación de esfuerzo de

Hertz:

Figura 51 – Tensiones tangenciales

Figura 52 – Cilindros en contacto


F ( 1 / r1 + 1 / r2 )

2 = --------------------------------------------------

b { [( 1-12) / E1] + [(1-2

2) / E2] }

donde: : esfuerzo en la superficie

r1 : radio del cilindro menor

r2 : radio del cilindro mayor

b : longitud de contacto de los cilindros

: relación de Poisson

E : módulo de elasticidad

Entonces, si F es sustituida por la carga

admisible al desgaste Fw, r1 y r2 por rcp y

rcg que son los radios de curvatura de los

dientes de los respectivos engranes (piñón

y engrane) en el punto de contacto y por

Sc que es el límite de fatiga superficial,

teniendo en cuenta que rc = r sen Ø

(Figura 53), y suponiendo que los

engranajes son hechos de materiales que

tengan el mismo valor de relación de

Poisson = 0.3 (es un valor razonable

para casi todos los engranes metálicos),

resulta:

Sc2 sen Ø ( 1 / Ep + 1 / Eg )

Fw = -----------------------------------

0.35 ( 1 / rp + 1 / rg )

La carga admisible al desgaste es una

fuerza normal, debido a que Buckingham

la comparó con la carga dinámica, es

necesario efectuar algunas manipulaciones

a la ecuación, si:

K = ( Sc2 sen Ø / 1.4) ( 1 / Ep + 1 / Eg )

Q = 2 Dg / ( Dp + Dg ) = 2 Zg / ( Zg Zp )

( - es para engranajes interiores )

resulta: Fw = Dp b Q K Pd

Los valores de Sc y K se encuentran en la

Tabla 8.

La expresión revela que es proporcional al

producto ( D . b ), superficie de la sección

del cilindro primitivo del engranaje con un

plano que pasa por su eje, lo cual implica

el hecho corroborado por la experiencia,

de que no se modifica la resistencia al desgaste aumentando el módulo, cuando se mantiene el

diámetro primitivo y el ancho del engranaje.

Figura 53 – Relaciones entre radios

Materiales del piñón y del engrane

Sc K [lb/plg2]

[lb/plg2] 14,5° 20° 25°

Acero y Acero HB promedio para piñón y engrane

150 50.000 30 41 51

175 60.000 43 58 72

200 70.000 58 79 98

225 80.000 76 103 127

250 90.000 96 131 162

275 100.000 119 162 200

300 110.000 144 196 242

325 120.000 171 233 288

350 130.000 196 270 333

375 140.000 233 318 384

400 150.000 268 366 453

Acero (HB 150) y Fundición 50.000 44 60 74 Acero (HB 200) y Fundición 70.000 87 119 147 Acero (HB 250) y Fundición 90.000 144 196 242 Acero (HB 150) y Bronce Fosforoso 59.000 46 62 77 Acero (HB 200) y Bronce Fosforoso 65.000 73 100 123 Acero (HB 250) y Bronce Fosforoso 85.000 135 184 228 Fundición y Fundición 90.000 193 264 327 Fundición y Bronce Fosforoso 83.000 170 234 288

Tabla 8 – Factor de carga al desgaste K y límite de fatiga superficial Sc


Cuando el trabajo a que se hallan sometidos los engranajes es continuo y las velocidades son altas,

la resistencia al desgaste juega un papel preponderante, por el contrario, cuando las transmisiones

son de baja velocidad y trabajan en breves lapsos entre grandes intervalos, el desgaste tiene mucha

menos importancia.

6.5.4. Rotura de diente:

La rotura de diente se produce en forma inmediata y en casi todos los casos produce daños graves

en la transmisión dejando inmediatamente fuera de servicio el equipo.

La rotura total de un diente o de una parte considerable del mismo, es el resultado de una falla que

se originó, ya sea por sobrecarga, golpes, o por el fenómeno más común de la fatiga.

Las fallas por fatiga son ocasionadas por sobrecarga que proviene de omisiones en el diseño,

rebabas de la fresa en los filetes de la raíz, adherencias, agrietamientos provocados por el

tratamiento térmico y desalineamientos.

Las rupturas originadas por sobrecarga se producen por un desalineamiento repentino, desperfectos

en los cojinetes que tienden a paralizar la transmisión del engranaje o partículas grandes de

materiales extraños que pasan entre los engranajes en movimiento.

Con frecuencia es la ruptura de los dientes sólo un efecto secundario del exceso, ya sea de desgaste,

o de formación de picaduras.

6.6. Ecuaciones de la American Gear Manufacturers Association (AGMA):

Las ecuaciones finales presentadas son las de la Asociación Americana de

Fabricantes de Engranajes. La AGMA ha sido por muchos años la autoridad

responsable de la divulgación de información referente al diseño y análisis de

los engranes. Los métodos que presenta esta organización son de uso común

en Estados Unidos cuando la resistencia y el desgaste son las consideraciones

primordiales. En vista de este hecho es importante que el enfoque de AGMA

a este tema se exponga aquí sin ningún cambio.

El enfoque general de AGMA requiere un gran número de diagramas y gráficas, aquí se han

omitido muchos de ellos eligiendo algunos ángulos de presión y utilizando sólo dientes de tamaño o

altura completa.

El estándar o norma que se utiliza es: AGMA Standard for Rating Pitting Resistance and Bending

Strength of Spur and Helical Involute Gear Teeth, AGMA 218.01, Diciembre de 1982. La que sigue

es una cita tomada del prólogo de la norma mencionada:

“Este estándar de AGMA y publicaciones relativas están basados en datos, condiciones o aplicaciones típicos o

promedio. Los estándares están sujetos a mejoramiento, revisión o anulación continuos, según lo dicte la experiencia

acrecentada. Cualquier persona que consulte publicaciones técnicas de AGMA deberá cerciorarse de que obtenga la

información más reciente disponible de la asociación acerca del tema en cuestión.

Se pueden citar o extractar en su totalidad tablas u otras secciones completas o independientes. La línea de

acreditación debe indicar (por ejemplo): „Extractado de .....(nombre y número de norma), con autorización del editor,

American Gear Manufacturers Association‟. “

Esta norma no produce respuestas únicas porque contiene factores que no están definidos en forma

objetiva, el Ingeniero debe asignar los valores con base en su experiencia anterior. En efecto, en la

página 1 se dice:

“El conocimiento y el juicio que se requieren para evaluar los diversos factores nominales vienen de años de

experiencia que se ha ido acumulando en el diseño, fabricación y operación de unidades de engranaje. Los factores

empíricos dados en este estándar son de naturaleza general. Las normas de aplicación de AGMA pueden utilizar otros

factores empíricos que se adecuen más estrechamente al uso particular. Esta norma está orientada al diseñador

experimentado de engranes, capaz de seleccionar valores razonables para estos factores. No está dirigido hacia el uso

masivo de la ingeniería pública en general.”


A Pesar de lo enunciado, debido a que casi todos los factores son obtenidos de modo empírico,

puede conservarse la ecuación y cambiar los valores de los mismos en caso de tener más

información acerca del comportamiento del engrane (fabricación de un prototipo o modelo,

realización de experiencias o ensayos sobre diseños similares existentes, etc.). Los factores indican

cuáles, y en que medida, son las variables que afectan la capacidad de transmitir carga de un

determinado mecanismo.

En el enfoque de AGMA se utilizan dos fórmulas fundamentales, una para el esfuerzo por flexión y

una para la resistencia a la picadura. Los resultados que se obtienen con ellas reciben el nombre de

números de esfuerzo, y se designan mediante una letra minúscula s, en lugar de que se ha usado

en este apunte.

6.6.1. Ecuación para el esfuerzo por flexión:

Esta ecuación es particularmente útil al diseñador porque se aplican los factores de corrección a la

ecuación original de Lewis con lo que se compensan algunas de las suposiciones erróneas

establecidas en la obtención de la misma, así como también algunos factores importantes que no se

consideraron originalmente.

La resistencia de los dientes de los engranajes rectos, helicoidales, doble helicoidales y cónicos,

puede determinarse por medio de una ecuación básica de esfuerzo flexionante:

st = ( Wt Ko / Kv ) . ( Pd / F ) . ( Ks Km / J ) sad = sat . KL / ( KT KR )

siendo:

st : esfuerzo calculado en la raíz del diente [lb/plg2]

sad: esfuerzo de diseño máximo admisible [lb/plg2]

sat : esfuerzo admisible según el material [lb/plg2]

Wt: carga tangencial transmitida [lb]

Ko: factor de sobrecarga

Kv: factor de velocidad

Pd : paso diametral [1/plg]

F : ancho del engrane [plg]

Ks : factor de tamaño

Km: factor de distribución de carga

J : factor de geometría

KL: factor de duración

KT: factor de temperatura

KR: factor de confiabilidad

Obsérvese que en el esfuerzo calculado hay tres grupos de términos, el primero está relacionado con

la carga, el segundo con el tamaño de los dientes y el tercero con la distribución de esfuerzos. Estos

términos se explicarán y evaluarán a continuación.

Carga tangencial transmitida (Wt):

Es calculada directamente de la potencia transmitida a través del juego de engranajes.

Wt = 126.000 N / ( np Dp )

donde:

N [HP] : Potencia transmitida

np [rpm] : Velocidad del piñón

Dp [plg] : Diámetro primitivo del piñón


Factor de sobrecarga (Ko):

El factor de sobrecarga o de aplicación considera el hecho de que, mientras que Wt es el valor

promedio de la carga transmitida, la carga máxima real puede ser hasta dos veces mayor debido a

choques que se tengan ya sea en el sistema motor o en el impulsado. La sección 9.1 de los

estándares trata de este factor y en parte se lee:

“El factor de aplicación toma en cuenta cualesquiera cargas aplicadas externamente en exceso de la carga tangencial

nominal, Wt. Los factores de aplicación solamente se pueden establecer después de una experiencia de campo

considerable obtenida en una aplicación en particular.”

Aplíquense los valores de la Tabla 9 para las condiciones detalladas en la Tabla 10.

Factor de Velocidad (Kv):

Como se vio antes, se utilizan factores dinámicos para tomar en cuenta imprecisiones en la

fabricación y engrane de los dientes. El error de transmisión se define como la desviación respecto

de la velocidad angular uniforme en el par de engranajes. Depende de:

- Imprecisiones producidas en la generación del perfil del diente; entre éstas se cuentan errores en

el espaciamiento entre dientes, el avance del perfil y acabado.

- Vibración de los dientes durante la conexión debida a rigidez o inflexibilidad de los dientes.

- Magnitud de la velocidad en la línea de paso.

- Desequilibrio dinámico de los elementos giratorios o rotatorios.

- Desgaste y deformación permanente de partes de contacto de los dientes.

- Desalineamiento del eje o árbol del engrane, y deflexión lineal y angular en el mismo.

- Fricción entre los dientes.

En un intento por controlar hasta cierto punto estos efectos, la AGMA ha definido un conjunto de

índices (o números) de control de calidad (AGMA 390.01), que definen las tolerancias para

engranes de diversos tamaños fabricados para una clase de calidad específica. Las clases 3 a 7

incluirían a la mayoría de los engranes de calidad comercial. Las clases 8 a 12 son las de calidad de

precisión. El índice de nivel de exactitud en la transmisión Qv de la AGMA, se puede considerar

también como índice de calidad. Las ecuaciones que siguen del factor dinámico están basadas en

estos números Qv:

Kv = [ A / ( A + vp½ ) ]

B

donde:

A = 50 + 56 ( 1 – B )

B = (12 – Qv)2/3

/ 4

Vp [pie/min]

Sistema Característica Ejemplos

Motriz

Uniforme Motores eléctricos, turbinas

Choques ligeros Motores de combustión interna,

multicilíndricos

Choques medianos Motores de combustión interna,

monocilíndricos

Impulsado

Uniforme Ventiladores centrífugos, agitadores de líquidos, transportadores de banda

(alimentación uniforme)

Choques moderados

Ventiladores del tipo de lóbulo, agitadores

de líquidos y sólidos, transportadores de

banda (alimentación variable)

Choques intensos

Trituradoras de mineral, compresores

monocilíndricos, transportadores recíprocos

Tabla 10 – Tipos de sistemas motores e impulsados

Sistema motriz

Sistema impulsado

Uniforme Choques

moderados

Choques

intensos

Uniforme 1,00 1,25 1,75

Choques ligeros 1,25 1,50 2,00

Choques medianos 1,50 1,75 2,25

Para transmisiones de incremento de velocidad de

rectos y cónicos auméntese 0,01 (ZG/ZP)2. Para

helicoidales se requieren otras consideraciones. Si se

aplica un factor se sobrecarga específico úsese 1

para KR(CR) y KL(CL).

Tabla 9 – Factor de sobrecarga Ko


Los valores que se obtienen por la ecuación se grafican en la Figura 54 para tener un intervalo de

valores útiles de Qv. El extremo de cada curva corresponde a la máxima velocidad permitida en la

línea de paso para el nivel de exactitud dado.

A modo de guía:

- Kv = 1 para engranajes rectos de alta precisión, con dientes acepillados o acabados a esmeril;

para engranajes helicoidales y doble helicoidales de alta precisión; para engranajes cónicos

tallados que tienen la plantilla de contacto entre los dientes más conveniente, exactitud en el

espaciamiento entre los dientes y en la concentricidad. Siempre que el sistema de transmisión no

desarrolle cargas dinámicas apreciables.

- Qv = 9 para engranajes rectos tallados o rectificados a esmeril; helicoidales de alta precisión;

para el planeamiento de engranajes cónicos espirales grandes. Cuando la carga dinámica es

ligera.

- Qv = 6 para engranajes rectos, helicoidales o doble helicoidales de alta precisión acepillados o

rectificados a esmeril, cuando es posible que se desarrolle una carga dinámica (este valor es

recomendado para engranajes helicoidales y doble helicoidales del tipo comercial para

aplicaciones industriales en general).

- Qv = 5 para engranajes rectos acabados por corte o fresa o acepillado, cuando se espera tener

carga dinámica moderada; para el planeamiento de engranajes cónicos rectos comerciales.

Cuando se tallen dientes inexactos deberán usarse factores dinámicos más bajos que los

anteriormente indicados.

Factor de tamaño (Ks):

El objetivo original del factor de tamaño es considerar cualquier falta de uniformidad de las

propiedades del material. Depende principalmente de: paso de los dientes, diámetro de las ruedas,

relación del tamaño entre los dientes y el diámetro de la rueda, ancho de la cara, esfuerzos máximos

y gradiente de esfuerzos, relación entre la profundidad del temple superficial y el espesor de los

dientes, templabilidad y tratamiento térmico de los materiales. La recomendación de la AGMA es

que se utilice un factor igual a la unidad “para la mayoría de los engranajes siempre que se haga una

Figura 54 – Factor de Velocidad Kv


elección adecuada del acero para el tamaño de la pieza y el tratamiento térmico y el proceso de

templado o endurecimiento.”

Se le puede dar un valor equivalente a la unidad para la mayoría de los

engranajes rectos y helicoidales. Cuando se emplean dientes de paso grande

con endurecimiento superficial por carburación, puede ser conveniente

reducir la carga nominal para compensar el pequeño efecto tensor de las

fuerzas de compresión superficial desarrolladas por la corteza endurecida,

por ejemplo, si para un engranaje de paso diametral 10 se aplica un factor

equivalente a la unidad, uno de 1.25 puede ser el adecuado para otro

engrane de paso diametral 1, con dientes superficialmente endurecidos.

Para los engranajes cónicos se dispone de factores estandarizados (Tabla

11).

Factor de distribución de carga (Km):

El factor de distribución de carga se emplea para tomar en cuenta: desalineamiento de los ejes

geométricos de rotación por algún motivo, errores de alineamiento originados por inexactitudes de

los dientes, deflexiones elásticas causadas por la carga en ejes o árboles, cojinetes o en el

alojamiento. Los errores indicados pueden combinarse de tal manera que el contacto con el

engranaje oponente sea menor que el ancho íntegro de la cara, o que el contacto sea completo, pero

carente de uniformidad.

En el estándar se presentan dos métodos, uno empírico y el otro analítico. Ambos métodos son muy

extensos y están fundamentados en muchas definiciones nuevas. La AGMA reconoce que el método

empírico produce resultados similares a los que se obtienen en estándares anteriores. Por ese motivo

se utiliza un enfoque más simple para determinar su valor, que se obtuvo de un estándar anterior.

Hay que tener presente que los errores del alineamiento de operación no siempre pueden evaluarse

con facilidad, por lo que se presentan las Tabla 12 (rectos y helicoidales) y 13 (cónicos) con valores

representativos que corresponden a engranes del tipo comercial.

Factor de geometría (J):

El factor de geometría evalúa la forma (o perfil) del diente, la posición en la cual se le aplica la

carga más peligrosa, concentración de tensiones y corrección debido a la forma geométrica y a la

repartición de la carga entre uno o más pares de dientes:

J = Y / ( Kf mN )

siendo:

Y : factor de forma

Kf : factor de concentración de tensiones

mN: relación de repartición de carga en los dientes

Paso Diametral Ks

1 1,00

2 0,84

3 0,76

4 0,71

6 0,64

8 0,59

10 0,56

16 0,50

Tabla 11 – Factor de tamaño Ks

para engranajes cónicos

Condición de soporte Ancho de cara F [mm]

Tipo de montaje Aplicación

50 150 225 400 Ind. General Automóviles Aviones

Montaje exacto, bajas holguras de cojinetes, deflexiones mínimas,

engranes de precisión

1,3

(1,2)

1,4

(1,3)

1,5

(1,4)

1,8

(1,7)

Ambos engranes en

montaje interior 1-1,00 1-1,00 1-1,25

Montajes menos rígidos, engranes

menos precisos, contacto a todo lo ancho de la cara

1,6

(1,5)

1,7

(1,6)

1,8

(1,7)

2,0

(2,0)

Un engrane en

montaje exterior 1,10-1,25 1,10-1,25 1,10-1,40

Exactitud y montaje de modo que

exista contacto incompleto con la

cara

> 2,0 (> 2,0)

Ambos engranes en montaje exterior

1,25-1,40 - 1,25-1,50

Los valores en ( ) son para engranajes helicoidales

Tabla 12 – Factor de montaje Km (engranajes rectos y helicoidales) Tabla 13 – Factor de montaje Km (engranajes cónicos)


El factor de forma Y no es el factor de forma de Lewis, aquí se obtiene trazando un croquis del

perfil del diente en el plano normal y está basado en el punto más alto de contacto con un solo

diente. La forma del diente depende de la geometría del sistema de diente, es decir, de factores tales

como el ángulo de presión, número de dientes, y si son de profundidad completa o de sistema corto.

El factor de concentración de tensiones Kf está basado en las fórmulas ya analizadas de Dolan-

Broghamer (ver 6.4) derivadas de una investigación foto elástica que se realizó hace más de 40

años.

La relación de repartición de carga mN es igual al ancho de cara dividido entre la longitud total

mínima de las líneas de contacto. En el caso de engranajes rectos mN = 1, para engranajes

helicoidales que tienen una relación de contacto con la cara (ancho dividido paso axial) mayor a 2,

una aproximación conservadora está dada por:

mN = pbN / (0.95 Z)

donde pbN es el paso base normal y Z es la longitud de la línea de acción en el plano transversal

(segmento de engrane).

En la Figura 55 se obtiene el factor geométrico J para engranajes rectos de Ø = 20°, la Figura 56

para engranajes rectos de Ø = 25°, la Figura 57 (en conjunto con la Figura 58) para engranajes

helicoidales de ØN = 20°, la Figura 59 para engranajes cónicos rectos de Ø = 20° y ángulo entre

flechas de 90°.

Las figuras presentadas suponen que el factor teórico de concentración de tensiones no se afecta

grandemente por factores tales como acabado de la superficie, plasticidad, esfuerzos residuales u

otros factores. Como puede observarse en las Figuras 55 y 56, el conjunto de curvas de la parte

superior se usan cuando la carga es aplicada en el punto más alto en un simple contacto del diente,

mientras que la curva inferior se usa cuando la carga actúa en la parte superior del diente. La Tabla

14 proporciona las variaciones permitidas en el paso base entre engrane y piñón y pueden usarse

independientemente que la carga sea o no compartida. Las curvas superiores de las Figuras 55 y 56

pueden usarse con el error obtenido a partir de dicha tabla si su valor es menor a los indicados en las

columnas situadas a la izquierda del centro de la tabla. Se usará la curva inferior si los errores son

mayores a los indicados en las columnas situadas a la derecha del centro de la tabla.

Figura 55 – Factor de Geometría J (Engranajes Rectos 20°)


Figura 56 - Factor de Geometría J (Engranajes Rectos 25°)

Figura 57(arriba) – Factor de Geometría J (Engranajes helicoidales) – Figura 58 (abajo) – Modificador J


Esfuerzo admisible según el material (Sat):

El esfuerzo admisible para los materiales de los engranajes varía con factores tales como calidad,

tratamiento térmico, material forjado o vaciado y con la composición del material. Es un esfuerzo

de diseño con 10 millones de ciclos de operación con carga (Tabla 16) y se le determina por

experiencias prácticas de trabajo para cada material y para cada condición del citado material. Son

valores nominales y se entienden para aplicaciones generales. Si la aleación del acero o el

tratamiento térmico que recibe, no son los adecuados para un caso concreto, se tendrán que aplicar

valores proporcionalmente más bajos. En algunos casos se puede permitir la aplicación de valores

más altos, siempre que se sigan cuidadosos procedimientos de diseño y de fabricación de los

engranajes, elección de los aceros tratamiento superficial con chorro de perdigones y la aplicación

de los mejores procedimientos de tratamiento térmico.

Aplíquese el 70% de estos valores para engranes intermedios, o en donde los dientes reciban cargas

en ambas direcciones.

Cuando un engranaje esté sujeto a sobrecargas intensas, momentáneas y poco frecuentes, el

esfuerzo admisible se determina más bien por sus propiedades de resistencia al límite de fluencia

que por la resistencia a la fatiga del material. En la Tabla 15 se encuentra una lista de valores que se

sugieren para dicha resistencia.

Factor de duración (KL):

Como se mencionó en el punto anterior, las resistencias están basadas en 107 ciclos de carga en los

dientes. El objetivo del factor de duración (Tabla 17) consiste en modificar dichas resistencias para

obtener duraciones distintas.

Los esfuerzos que se desarrollan en los engranajes no son directamente proporcionales a las cargas

y la concentración de tensiones varía con el número de ciclos, por lo que resulta evidente que es

difícil determinar un factor de vida exacto. Cuando se requiere una vida útil larga debe tenerse en

cuenta el desgaste normal de los engranajes y de sus apoyos, así como los efectos que esto pueda

tener sobre las condiciones de contacto.

Cuando el criterio sea el de la resistencia a la fluencia el factor de duración vale 1.

Factor de temperatura (KT):

Se utiliza para ajustar el valor del esfuerzo admisible tomando en consideración la temperatura. En

los engranajes en los que el aceite o los cuerpos de los engranes trabajan con temperaturas que no

exceden de 250°F (120°C), al factor de temperatura se le puede asignar el valor de 1.

Figura 59 – Factor de Geometría J (Engranajes cónicos 20°)

Altura completa, piñón de adendo largo, engrane de adendo corto

Zp

Error permisible:

Carga repartida

Error permisible:

Carga no repartida

Carga [lb/plg cara] Carga [lb/plg cara]

500 1000 2000 500 1000 2000

15 0,0004 0,0007 0,0014 0,0006 0,0011 0,0023

20 0,0003 0,0006 0,0011 0,0006 0,0011 0,0023

25 0,0002 0,0005 0,0009 0,0006 0,0011 0,0023

Tabla 14 – Límite del error de funcionamiento en los engranajes

rectos de acero (variación en el paso base)

Tratamiento

térmico HB

Say

[lb/plg2]

Recocido o

normalizado

150 30.000

200 50.000

250 75.000

Templado y

revenido

200 60.000

250 85.000

300 110.000

350 135.000

400 160.000

Tabla 15 – Tensiones de fluencia admisibles


En algunos casos es necesario aplicar un valor superior a la unidad para engranes con

endurecimiento superficial por carburación y temperaturas de operación mayores que 160°F (71°C).

Una fórmula básica generalmente aceptada para la corrección de engranajes cónicos y que algunas

veces se aplica también para engranajes rectos y helicoidales es la siguiente:

KT = 460 + TF / 620 donde TF es la temperatura máxima de trabajo del aceite en °F.

Material Clase

AGMA

Designación

comercial Tratamiento térmico

Dureza mín. en

superficie

Dureza

núcleo Sat [lb/plg2] Sac [lb/plg2]

Acero

De A-1 a

A-5

Templado completo y

revenido

180 HB 25-33.000

(14.000) 85-95.000

(85.000)

240 HB 31-41.000 105-115.000

300 HB 36-47.000

(19.000)

120-135.000

(120.000)

360 HB 40-52.000 145-160.000

400 HB 42-56.000 155-170.000

(450 HB) (25.000) (145.000)

Endurecido por flameo o inducción (patrón A)

50 HB 45-55.000

170-190.000

54 HB 175-195.000

Endurecido por flameo o

inducción (patrón B)

22.000

Carburizado y endurecido en

la superf.

55 HRC

55-65.000

(27.500)

180-200.000

(180.000)

60 HRC 55-70.000

(30.000) 200-225.000

(200.000)

AISI 4140

Nitrurizado

48 HRC

300 HB

34-45.000 155-180.000

AISI 4340 46 HRC 36-47.000 150-175.000

Nitrallos 135M 60 HRC 38-48.000 170-195.000

2 1/2%Cromo 54 HRC

350 HB 55-65.000 155-172.000

60 HRC 192-216.000

Fundición

20

Según es fundido

-

5.000

(2.700)

50-60.000

(50.000)

30 175 HB 8.500

(4.600)

65-75.000

(65.000)

40 200 HB 13.000

(7.000)

75-85.000

(75.000)

Fundición

Nodular

A-7-a 60-14-18

Recocido, templado y

revenido

140 HB

90-100% de Sat para acero

de la misma

dureza (ídem)

90-100% de Sac para acero de la

misma dureza

(ídem)

A-7-c 80-55-06

180 HB

A-7-d 100-70-03 230 HB

A-7-e 120-90-02 270 HB

Fundición

Maleable

A-8-c 45007

165 HB

10.000 72.000

A-8-e 50005 180 HB 13.000 78.000

A-8-f 53007 195 HB 16.000 83.000

A-8-i 80002 240 HB 21.000 94.000

Bronce

Bronce 2

(10-12%

estaño)

AGMA 2C Fund. en molde de arena

Resist. mín. a la

tensión 40.000

lb/plg2

5.700

(3.000)

30.000

(30.000)

Al/Br 3 ASTM B-148-52

Aleación 9C Tratado térmicamente

Resist. mín. a la

tensión 90.000 lb/plg2

23.600

(12.000)

65.000

(65.000)

Los valores entre ( ) corresponden a Engranajes Cónicos.

Tabla 16 – Tensiones admisibles a la fatiga y a la fatiga superficial


Factor de confiabilidad (KR):

El factor de seguridad o de confiabilidad forma parte de la

ecuación a fin de asegurar alta confiabilidad, o en algunos casos

para permitir diseñar con ciertos riesgos calculados.

Las resistencias de la AGMA presentadas se basan todas en una

confiabilidad R=0.99 correspondiente a 107 ciclos de duración

(Figura 60). Para obtener otras confiabilidades utilícese la Tabla

18.

Debe señalarse que aunque algunos de estos factores son menores a uno, normalmente éstos se

utilizan para resistencia por fatiga del material, por lo tanto, una falla simplemente indicará que el

engrane tendrá una vida menor que la mínima para la cual fue diseñado.

En la Tabla 19 se muestran los factores de confiabilidad que se utilizan para engranes no

carburizados que se aplican sólo al esfuerzo de fluencia del material, y a la carga máxima a la cual

los engranes están sujetos.

Actualmente se tiene toda la información necesaria para calcular el esfuerzo real flexionante y

comparar este esfuerzo con el máximo admisible.

6.6.2. Ecuación de desgaste:

La ecuación presentada por AGMA tiene su base, al igual

que Buckingham, en la ecuación de Hertz para dos

cilindros en contacto. Se vio que el radio de curvatura de

dichos cilindros coincide con el radio de curvatura

instantánea de los perfiles en el punto de contacto. Sin

embargo la presión calculada no coincide con la presión

real en los flancos de las ruedas dentadas, ya que al existir

entre éstas una rodadura, un movimiento adicional de

deslizamiento y una capa de lubricante, se presentan

cambios fundamentales no sólo en la magnitud de la

presión, sino también en la ley de distribución de la

misma (Figura 61). Por ello la misma es afectada por

coeficientes empíricos, algunos de los cuales son de igual

valor, o dependen de los mismos parámetros, que los

analizados en la ecuación de flexión. La ecuación, que es

válida para engranajes rectos, helicoidales, doble

helicoidales y cónicos, es:

sc = Cp [ ( Wt Co / Cv ) . ( 1 / F Dp ) . ( Cs Cm Cf / I ) ] ½

sad = sac . CL CH / ( CT CR )

N° de ciclos CL

KL

160 HB 250 HB 450 HB Carb. sup. Cónicos

Carb. Sup.

1.000 - 1,6 2,4 3,4 2,7 4,6

10.000 1,5 1,4 1,9 2,4 2,0 3,1

100.000 1,3 1,2 1,4 1,7 1,5 2,1

1.000.000 1,1 1,1 1,1 1,2 1,1 1,4

10.000.000 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

100.000.000 1,0 1,0-0,8 1,0-0,8 1,0-0,8 1,0-0,8 1,0

Superficie carburizada se refiere de 55 a 63 HRC

Tabla 17 – Factor de duración KL y CL para engranajes de acero

Confiabilidad CR, KR

0,9 0,85

0,99 1,00

0,999 1,25

0,9999 1,50

Tabla 18 – Factor de Confiabilidad KR (fatiga)

Confiabilidad CR, KR

Alta >=3,00

Diseño normal 1,33

Tabla 19 – Factor de Confiabilidad KR (fluencia)

Figura 60

1- Ley de distribución de presiones según Hertz

2- Distribución de la presión hidrodinámica (cuerpos indeformables)

3- Distribución real de presiones (cuerpos deformados,

en movimiento y actuando una capa de lubricante)

Figura 61 – Distribución de tensiones


donde:

sc : esfuerzo de contacto [lb/plg2]

sad: esfuerzo de diseño máximo admisible [lb/plg2]

sac : esfuerzo admisible por contacto [lb/plg2]

Wt: carga tangencial transmitida [lb]

Cp: coeficiente elástico

Co: factor de sobrecarga

Cv: factor de velocidad

Dp : diámetro primitivo [plg]

F : ancho del engrane [plg]

Cs : factor de tamaño

Cm: factor de distribución de carga

Cf : factor de estado o condición de la superficie

I : factor de geometría

CL: factor de duración

CH: factor de relación de dureza

CT: factor de temperatura

CR: factor de confiabilidad

Carga tangencial transmitida (Wt) y Factores (Co, Cv, Cs, Cm, CR, CT):

Co = Ko, Cv = Kv, Cs = Ks, Cm = Km, CR = KR, CT = KT; ver 6.6.1.

Coeficiente elástico (CP):

Es un coeficiente que depende de

las propiedades elásticas de los

materiales de los engranes, de la

teoría de las superficies de

contacto cilíndricas (ver 6.5.3) se

observa que el denominador

contiene cuatro constantes

elásticas, dos para el piñón y dos

para su rueda, como un medio

sencillo de combinar y tabular los

resultados de diversas

combinaciones de materiales de

piñón y engrane, la AGMA define

un coeficiente elástico por la

ecuación:

CP2 = k / . { [( 1-1

2) / E1] + [(1-2

2) / E2] }

donde:

: relación de Poisson

E : módulo de elasticidad

k : constante (1 para engranajes rectos y helicoidales, 3/2 para engranajes

cónicos: se obtiene a partir de un análisis de esfuerzo de Hertz de esferas en

contacto)

En la Tabla 20 se encuentran tabulados los valores de Cp para distintas combinaciones de

materiales.

Material

del Piñón

Material del Engrane

Acero Fundición

Maleable

Fundición

Nodular Fundición

Bronce de

Aluminio

Bronce de

Estaño

Acero 2300

(2800) 2180 2160

2100 (2450)

1950 (2400)

1900 (2350)

Fundición

Maleable 2180 2090 2070 2020 1900 1850

Fundición Nodular

2160 2070 2050 2000 1880 1830

Fundición 2100

(2450) 2020 2000

1960

(2250)

1850

(2200)

1800

(2150)

Bronce de Aluminio

1950 (2400)

1900 1880 1850

(2200) 1750

(2150) 1700

(2100)

Bronce de Estaño

1900 (2350)

1850 1830 1800

(2150) 1700

(2100) 1650

(2050)

Relación de Poisson = 0,30 - Los valores entre ( ) son para engranajes cónicos

Tabla 20 – Coeficiente elástico Cp


Factor de estado o condición de la superficie (Cf):

El factor depende del acabado superficial (según sea afectado por el cortado, acepillado,

pulimentado, rectificado,etc.), de los esfuerzos residuales y de los efectos plásticos (endurecimiento

por el trabajo). Puede tomarse como la unidad, a menos que las pruebas o experiencias en el sitio de

trabajo indiquen otra cosa.

Factor de geometría (I):

El factor toma en cuenta el efecto de las

proporciones dimensionales, tales como la

curvatura del perfil durante el contacto, el

ángulo de presión y la repartición de la

carga. Surge de la suma de los radios

recíprocos de la ecuación de Hertz

analizada en 6.5.3:

I = Cc / mN

donde:

mN: factor de repartición de carga, ver 6.6.1.

Cc :factor de curvatura en la línea primitiva

Cc = (cos Øt sen Øt / 2 ) [ mG / ( mG 1 ) ]

(- para engranajes interiores)

Se reemplazó Ø por Øt (ángulo de presión

transversal) de manera que la relación se

aplicará también en engranajes

helicoidales, y mG = ZG / Zp = DG / Dp es la

relación de velocidad.

El factor geométrico para engranajes rectos

se obtiene de la Figura 62, para engranajes

cónicos de la Figura 63, para engranajes

helicoidales hay que calcularlo ya que el

ángulo de la hélice no está normalizado.

Esfuerzo admisible por contacto (Sac):

Este esfuerzo depende de la composición

del material, de las propiedades mecánicas,

del número de ciclos, de la temperatura, del

tamaño, de los esfuerzos residuales y del

endurecimiento por el trabajo. En la Tabla

16 (ver 6.6.1) se dan a conocer valores

característicos.

Factor de duración (CL):

Al igual que KL, el objetivo de este factor

consiste en modificar la resistencia AGMA

para obtener duraciones distintas de 107.

Se obtiene de la Tabla 17 ya mencionada

en 6.6.1.

(a) 20° altura completa; (b) 20° altura completa;(c)20° dientes cortos

Figura 62 – Factor de Geometía I (Engranajes Rectos)

Figura 63 – Factor de Geometría I

(Engranajes Cónicos 20°, ángulo entre ejes 90°)


Factor de relación de dureza (CH):

El piñón tiene un menor número de dientes que su rueda y, en

consecuencia, está sujeto a un mayor número de ciclos de esfuerzo de

contacto. Si el piñón y la rueda de un engranaje han de ser endurecidos

por completo, puede obtenerse una resistencia de superficie uniforme

haciendo que el piñón sea más duro que el engrane. Se puede lograr un

efecto similar cuando un piñón con endurecimiento superficial se

conecta con un engrane endurecido en su totalidad. En la Tabla 21 se

muestran algunas combinaciones típicas de dureza para engrane y piñón

que pueden usarse en algunas aplicaciones.

El factor de relación de dureza se

utiliza sólo para el engrane, su

objetivo es el de ajustar las

resistencias de las superficies

para ese efecto. Aunque es obvio

que sea función de la dureza de

los dos engranes, también

depende de la relación de

velocidades. Los valores se

obtienen por la ecuación:

CH = 1 + A (mG – 1)

donde: A = 0.00898 ( HBp /

HBG) – 0.00829

La misma está graficada en la

Figura 64 y es válida cuando la

relación de durezas es menor o

igual a 1,70.

Para una dureza superficial del

piñón igual o mayor a 49 HRC y

para una dureza del engrane

entre 180 y 400 HB:

CH = 1 + B (450 + HBG)

donde: B = 0.00075 e-0.0112f

siendo f [plg] el acabado de la

superficie del piñón

Actualmente se tiene toda la información necesaria para calcular el esfuerzo de contacto real y

comparar este esfuerzo con el máximo admisible.

6.7. Consideraciones generales sobre el diseño de engranajes:

Como se ha visto, en una transmisión de engranajes intervienen muchas variables y aún no se ha

desarrollado ningún procedimiento sencillo de aplicación general que de las soluciones correctas,

pero esto ocurre en todas las cuestiones de ingeniería y más en lo que respecta a los engranajes que

a muchos otros elementos de máquinas. Obviamente, la experiencia es un factor muy importante al

momento de tomar decisiones sobre los valores a adoptar para las distintas variables, a falta de la

misma hay que aplicar las recomendaciones de los distintos autores y especialistas en el tema, la

idea es que dichas recomendaciones sumadas a la experiencia que se vaya acumulando formen un

criterio para tomar decisiones, y, de esta forma, que no sean valores tomados al azar. Es sobre la

HB Engrane HB piñón

180

210

210

245

225

245

265

285

255

270

300

315

285

300

335

350 Tabla 21-Combinaciones de durezas

Figura 64 – Factor de relación de durezas CH


base de esto que se presentan a continuación algunas consideraciones a tener en cuenta a la hora del

diseño.

El primer problema al diseñar un juego de engranes es el seleccionar la clase adecuada. El

diseñador de una transmisión debe considerar todos los tipos posibles de engranes y después

escoger el tipo que mejor cubra las necesidades del diseño.

Hasta este punto, el procedimiento de diseño puede ser de método de tanteos debido a que el

tamaño, forma del diente y dimensiones del engrane deben conocerse antes de que la carga y los

esfuerzos reales puedan ser determinados. Entonces es claro que el tipo más sencillo de análisis

deberá ser usado para determinar valores preliminares (ver 6.1), y después usar un procedimiento

más preciso para finalizar el diseño (ver 6.6).

Una consideración importante en el diseño de sistemas que utilizan engranes para transmitir

potencia es la selección adecuada de los rodamientos que soportan la flecha en la que están

montados los engranajes, esto básicamente indica calcular las cargas resultantes en los mencionados

apoyos.

6.7.1. Tipos funcionales de engranes:

Un factor que influye para escoger el engrane adecuado es el arreglo geométrico del aparato que

necesita la transmisión. Los engranes pueden transmitir movimiento desde flechas orientadas

prácticamente en cualquier dirección (Tabla 1 y Figuras 2 a 5 al principio del capítulo).

Otros factores adicionales que afectan la elección son: equipo existente para la fabricación,

experiencia de ingeniería disponible para el diseño, y las limitaciones de espacio y peso. También

están comprendidos los requerimientos específicos tales como resistencia a las vibraciones y grado

de ruido. Una comparación general de los diferentes tipos de engranes se presenta en la Tabla 22.

Tipo de Engrane Eficiencia Ancho máximo

nominal b

Tipo de carga en

apoyos Reducción

Vel. Tang. Máx[m/min]

Alta precisión Comercial

Ejes paralelos

Recto externo

97-99,5

b = d

Radial

1:1-5:1 6.000

1.200

Recto interno Impuesto por el engrane acoplado

1:5-7:1 6.000

Helicoidal externo b = d

Radial y axial

1:1-10:1 12.000

Helicoidal interno Impuesto por el

engrane acoplado 1:5:1-10:1 6.000

Ejes que se intersectan

Cónico recto

97-99,5

1/3 distancia al

vértice

Radial y axial 1:1-8:1

3.000 300

Cónico Zerol 28% de distancia al vértice

3.000 300

Cónico en espiral 1/3 distancia al

vértice 7.500 1.200

Ejes alabeados

Sinfín cilíndrico 50-90 bt = 5 tn cos

Radial y axial

3:1-100:1

3.000

1.500 bg = 0,67 d

Sinfín de doble

evolvente 50-98

bt = 0,90 D 3:1-100:1 1.200

bg = 0,90 d

Hipoide 90-98 bg = 1/3 distancia al

vértice 1:1-10:1 1.200

Spiroide 50-97 bp = 0,24 D

9:1-100:1 1.800 bg = 0,14 D

d: diámetro primitivo piñón; D: diámetro primitivo engrane; : ángulo avance; tn: paso normal

Los engranes con relación 100:1 pueden ser construidos con relaciones de hasta 300:1, la relación 100:1 se

muestra como límite máximo normal.

Tabla 22 – Comparación general de tipos de engranes


Todos estos engranes han sido producidos para cubrir una necesidad. La selección del tipo de

engrane que se va a emplear puede ser efectuada por el diseñador, después que él estime todos los

requerimientos mencionados.

6.7.2. Materiales para engranes:

La industria de engranajes usa una amplia variedad de aceros, hierros fundidos, bronces, aluminio,

laminados fenólicos, plásticos y otros materiales. En algunos casos, las prácticas industriales, el

equipo de taller disponible para hacer engranes o los requisitos de diseño específicos dejan al

diseñador poco margen de selección para el material a usar. En otros casos puede ser posible

considerar una amplia variedad de materiales, entonces el costo del material en bruto, capacidad

relativa de carga para un tamaño dado, adaptabilidad para procesos de producción en masa y la

resistencia a la corrosión, entran en juego para elegirlo. Como un ejemplo, en muchos juguetes y

artefactos se usan engranes estampados de bronce. Esta no es una materia prima barata, pero pueden

hacerse engranes de bajo costo por estampado y este material además, resiste la corrosión.

Los materiales férricos (aceros,

hierro fundido) representan el

máximo tonelaje en comparación con

otros materiales, para la fabricación,

ya sea de engranajes propiamente

dicho o de cajas para los mismos.

Sus propiedades varían bastante y

por lo general dependen de su

composición y del tratamiento

térmico. La Tabla 23 muestra en

forma de bosquejo el rango general

de las propiedades obtenibles.

La fundición tiene bajo costo, buena

maquinabilidad, alta resistencia al

desgaste, la principal desventaja es

su baja resistencia a la tensión, lo

cual hace que el diente del engrane sea débil a la flexión y sea necesario utilizar un diente de mayor

altura. La fundición nodular tiene agregados de Magnesio o Cerio y es un material que tiene una

resistencia muy alta a la tensión y buenas características de desgaste y maquinabilidad.

Generalmente los engranajes de fundición se utilizan en máquinas grandes y de baja velocidad

(inferior a 180 m/min).

Los engranes de acero tienen la ventaja, sobre el hierro, de ser de resistencia alta sin un costo

excesivo. Sin embargo, generalmente, requieren de tratamiento térmico para producir un

endurecimiento de superficie suficiente para obtener resistencia satisfactoria al desgaste. Debido a

que los aceros aleados están sujetos a menor distorsión debido al tratamiento térmico que los aceros

al carbono, con frecuencia se les da preferencia.

La dureza de un acero es generalmente una función del tratamiento térmico y no de su composición,

si bien es cierto que la dureza máxima obtenible para un acero dado está determinada por su

composición. La resistencia a la tensión es una función muy directa de la dureza Brinell. En la

Tabla 24 se muestran algunos grados de dureza y el significado que tienen en la industria

manufacturera de engranes.

El procedimiento básico que se sigue para el endurecimiento de los aceros consiste en calentarlos al

rojo, hasta cierto grado, para someterlos a un enfriamiento rápido o temple, por inmersión en agua o

aceite, recalentándolos a continuación para darles el grado de dureza final, o sea el revenido. Los

engranes generalmente se fabrican dentro del rango de 200 a 350 HB, teniendo 0.40 a 0.60% de

Carbono. Un bajo contenido de Carbono, como 0.10 a 0.20%, es útil, sin embargo, para el corazón

del material de un engrane que es carburizado superficialmente después de cortar los dientes.

Material %C HB Elasticidad

[lb/plg2]

Densidad

[lb/plg3]

Fluencia

[lb/plg2]

Tensión

[lb/plg2]

AISI 1020 0.2 180

28.5 x 106 0.283

54.000 89.000

AISI 1040 0.4 200

350

63.825

93.000

99.000

123.000

AISI 4140 0.4 200

350

60.500

155.000

95.000

170.000

AISI 4340 0.4 220

350

68.500

166.000

108.000

175.000

AISI 1060 0.6 350

550

168.000

265.000

175.000

275.000

AGMA 20

3.5

150 12 x 106 0.255 - 20.000

AGMA 40 175 16 x 106 0.260 - 40.000

AGMA 60 200 20 x 106 0.265 - 60.000

ASTM 80-

60-3 (dúctil) 3.5 200 24 x 10

6 0.265 60.000 80.000

Tabla 23 – Propiedades generales de aceros y fundiciones


Los datos existentes muestran que un amplio rango de propiedades pueden obtenerse por medio del

tratamiento térmico apropiado de un acero. También el contenido de aleación y el contenido de

Carbono de un acero afectan profundamente las reacciones a un tratamiento térmico dado.

Debido a la gran cantidad de tipos de aceros disponibles para la fabricación de engranes, a

continuación se dan algunos lineamientos generales para facilitar su selección:

- Elíjase un acero con un contenido de agregados de aleación no mayor del precisamente

necesario, para poder templar correctamente el engrane, de acuerdo con su tamaño.

- Si el desgaste es un problema, un contenido más alto de Carbono puede ser de gran utilidad.

- Si el problema es la dificultad del maquinado, será ventajoso emplear aceros con contenido de

Carbono más bajo.

- Hay que considerar los precios del acero en bruto y los costos para convertirlo en engranajes,

seleccionándose el material que arroje el costo total más bajo del engrane adecuado, capaz de

dar el rendimiento que se requiere.

La Tabla 25 muestra, de una manera

general, que aceros deben tomarse en

cuenta para piezas de engranajes de

diferentes tamaños y durezas, la

misma está limitada al mostrar

únicamente algunos aceros tipo que

deben usarse para los tamaños

anotados. Muchas otras aleaciones no

indicadas aquí han sido usadas con

buenos resultados en ciertas

aplicaciones.

La durabilidad superficial de los

dientes es aproximadamente

proporcional al cuadrado de la dureza

superficial. Esto significa que los

dientes con una dureza de 600 HB en

la superficie pueden soportar 9 veces

la carga de un engrane que tiene

Dureza Maquinabilidad Comentarios

HB RC

150-

200 - Muy fácil Dureza muy baja. Capacidad mínima para soportar la carga

200

250

-

24 Fácil

Dureza baja, capacidad de carga moderada. Ampliamente usada

en trabajos industriales

250

300

24

32 Moderadamente duro para cortar

Dureza media. Buena capacidad de carga. Ampliamente usada

en trabajos industriales

300

350

32

38

Materiales duros para cortar, se

les considera como el límite

extremo de la maquinabilidad

Dureza alta. Capacidad de carga excelente. Se les emplea en

trabajos en los que se requieren altos rendimientos y peso

reducido

350

400

38

43

Muy dura para cortar. Muchos

talleres no pueden manejarla

Dureza alta. Excelente capacidad de carga a condición de que el

tratamiento térmico desarrolle la estructura apropiada

500

550

51

55

Requiere de rectificado para su

acabado

Dureza muy alta. Buena capacidad para el desgaste. Puede

carecer de resistencia

587

58

63

Requiere de rectificado para su

acabado

Dureza completa. Usualmente obtenida como una dureza

superficial por medio de carburización o cementación

superficial. Muy alta capacidad de carga para engranes de

aeronáutica, automotrices, camniones, tanques, etc.

65

70

Puede endurecerse

superficialmente después del

maquinado final

Superdureza. Generalmente se obtiene por nitruración. Muy alta

capacidad de carga

Tabla 24 – Niveles de dureza relativos para engranes de acero y fundición

Paso

Pd

Espesor de

pared[plg] Dureza Aceros para engranajes

Endurecimiento total

10–30 ½ 200 HB 1045, 1137, 1335, 4047

300 HB 1045, 1060, 3140, 4047

5 - 15 1 200 HB 1045, 1060, 3140, 4047

300 HB 2340, 3140, 3250, 4140, 4340,4640

2 ½ - 8 2 200 HB 1060, 2340, 3250, 4340, 5145,52100

300 HB 2340, 3250, 4340, 4640, 8640, 9840

1 ¼ - 4 4 200 HB 2340, 3250, 4140, 4340, 4640, 9840

300 HB 3250, 4340

Carburización

10–30 ½ 58 RC 1015, 1025, 1118, 1320, 4023, 9310

5 - 15 1 58 RC 2137, 4620, 6120, 8260, 9310

2 ½ - 8 2 58 RC 4620, 9310 El espesor de pared se basa en la sección más gruesa de la llanta, del plato, o de la

flecha misma, elementos que deben mantener el mínimo de dureza en toda su extensión. Las durezas indicadas representan valores mínimos; 300 HB indican un márgen entre

300 y 350 HB.

Tabla 25 – Recomendaciones generales sobre aceros para diferentes tamaños


únicamente una dureza superficial de 200 HB. Generalmente, el límite de maquinabilidad es de

alrededor de 350 HB. Además de esto, la resistencia a la flexión de los dientes de endurecimiento

integral alcanza su máximo en el

rango de 350 a 400 HB y disminuye

ligeramente en las durezas más altas.

La situación plantea el problema de

cómo aprovechar la ventaja de la alta

durabilidad superficial de los

engranes en rangos de dureza arriba

de 350 HB y, al mismo tiempo, tener

buena resistencia a la flexión y un

medio de hacer los engranes con

dientes exactos. La respuesta a este

problema está en el endurecimiento

localizado de los dientes. La Tabla 26

muestra cinco métodos comúnmente

usados para el citado endurecimiento.

La mayoría de los materiales usados para engranes, que no sean los aceros, no están sujetos a

control de dureza por medio de tratamiento térmico. La composición, más que el tratamiento

térmico, es la que determina la dureza de la mayoría de los bronces, zinc, plásticos y laminados. Las

aleaciones de cobre conocidas como bronce, son útiles cuando la resistencia a la corrosión es un

factor importante y también cuando se tienen velocidades de deslizamiento altas, debido a su

habilidad para reducir la fricción y el desgaste estos materiales son muy usados en reductores de

engranajes de ruedas de tornillos sinfín. Las aleaciones de aluminio y zinc son usadas en la

fabricación de engranes por el proceso de fundición a troquel.

Los engranajes no metálicos o de materiales “plásticos” se aplican con frecuencia para reducir

ruidos objecionables en un medio ambiente especial. También amortiguan choques y vibraciones y

son económicos. Las principales desventajas son la baja capacidad para soportar carga y la baja

conductibilidad de calor, que produce distorsión en los dientes. Recientemente se han utilizado

resinas termoplásticas reforzadas con fibra de vidrio y un lubricante como aditivo, que tienen gran

capacidad de carga, expansión térmica reducida, grandes resistencias al desgaste y a la fatiga, sin

embargo, el principal problema con que el diseñador se enfrenta es el que muestran una gran

variación en sus propiedades.

6.7.3. Elección del número de dientes:

Debe adoptarse el número de dientes del piñón lo más bajo posible dentro de las condiciones de

funcionamiento normales a efectos de tener una transmisión compacta. El número de dientes de la

rueda o engrane surgirá, lógicamente, de la relación de transmisión deseada.

Contemplando solamente la resistencia, sin tener en cuenta

el desgaste, el valor más bajo que puede adoptarse está

limitado por la interferencia (Tabla 2). Recién hay un

balanceo entre estas dos fuerzas para aproximadamente 25

dientes siendo Ø = 20°, para ángulos de presión menores

los valores del número de dientes son mayores.

Si aumentamos el número de dientes la resistencia empieza

a ser crítica con respecto al desgaste, principalmente

pasando los 25 dientes; llegado a un valor de 50 dientes, si

bien se consigue una excelente resistencia a desgaste y muy

buen resultado en lo que se refiere al ruido de la

transmisión, sólo cumple las condiciones de resistencia si

se lo hace trabajar a grandes velocidades, o sea, donde baja

Método Descripción del método

Carburizado

Los dientes son usualmente acabados por corte, carburizados y rectificados. Algunas veces los engranes de D < 12” son

terminados antes del carburizado y la distorsión es lo

suficientemente baja como para permitir el uso sin rectificado

Nitrurado

Los dientes son usualmente acabados antes del endurecido. Si esto se hace de manera adecuada, los engranes nitrurados no se

distorsionan mucho. Además el nitrurado superficial es tan

delgado que puede ser dañado por el rectificado

Endurecimiento

por inducción

Los dientes son usualmente acabados antes del endurecido. Si esto se hace de manera adecuada y el paso no es tan tosco, la

deformación es muy baja. Estos engranes tienen una capa

endurecida profunda y pueden ser rectificados sin peligro excepto en el caso de engranes aeronáuticos que tienen que

soportar cargas críticas

Endurecimiento

poco profundo Los dientes pueden o no, ser rectificados

Carbonitrurado Los dientes son usualmente acabados antes del carbonitrurado

Tabla 26 – Métodos para el endurecimiento localizado de los dientes de engranes

Zp Relación

i

Paso Pd

[plg] Dureza

19-60 1 - 1.9

1 - 19.9 200 - 240 HB 19-50 2 - 3.9

19-45 4 - 8.0

19-45 1 - 1.9

1 - 19.9 33 - 38 RC 19-38 2 - 3.9

19-35 4 - 8.0

19-30 1 - 1.9

1 – 19.9 58 - 63 RC 17-26 2 - 3.9

15-24 4 - 8.0 Tabla 27 – Recomendaciones generales sobre números

de dientes del piñón para engranajes rectos y helicoidales


el valor de la fuerza tangencial. Todo aumento del número de dientes debe ir acompañado con una

mayor velocidad. Lógicamente, la cantidad de dientes para lograr el mencionado equilibrio también

es función de la dureza del material del engrane, en la Tabla 27 se dan valores orientativos.

6.7.4. Cargas en los apoyos:

No importando la perfección con la que sea diseñado y se

fabrique un engranaje, éste debe ser montado correctamente,

manteniendo todas sus reacciones y momentos dentro de las

condiciones previstas, si es que ha de tener un funcionamiento

libre de fallas.

La función principal de un engrane es transmitir movimiento

y/o potencia. La función principal del cuerpo de soporte es

neutralizar o crear un estado de equilibrio. Como un engrane

es un cuerpo que gira o está en movimiento, debe obtenerse

un estado de “equilibrio dinámico”, es decir, la totalidad de

las fuerzas de trabajo y momentos de entrada deben ser

igualados por la totalidad de fuerzas y trabajo de salida.

Para obtener el equilibrio dinámico es preciso observar todas

las leyes de la dinámica y todas las fuerzas operantes deben

tener dirección, magnitud y punto de aplicación. Para reducir

las reacciones de los engranajes y al mismo tiempo los

cálculos necesarios sobre las cargas de sus puntos de apoyo a

su forma más simple, sin importar el número de momentos o

de fuerzas que actúen sobre un engrane, todos pueden

concretarse a dos tipos básicos de carga que son: axial y radial

(Figura 65). A su vez, todas las reacciones de los engranajes

pueden ser descompuestas en fuerza tangencial, fuerza radial

o separadora y empuje axial (Figura 66).

La única regla básica que debe ser aplicada a todos los

montajes de engranes y a los análisis mecánicos

correspondientes es que “la suma de todas las fuerzas debe ser

igual a cero y que la suma de todos los momentos debe ser

igual a cero.”

Hay dos tipos básicos de

estructuras de montaje: doble

soporte y voladizo o cantilever.

En la estructura de dos soportes

laterales, Figura 67 izquierda, la

carga se reparte en proporciones

inversas a las distancias de los

puntos de aplicación en relación

con la distancia total entre los

apoyos. Las reacciones de los

apoyos actúan en dirección

opuesta a la de las cargas

producidas por los engranajes.

En el montaje en voladizo,

Figura 67 derecha, la carga

actúa hacia fuera de los dos

apoyos lo que origina una

reacción o carga mayor en el

apoyo que queda más cerca del

Figura 65 – Reacciones de carga en un rodamiento

W:carga combinada

Wr:carga radial a 90° del eje de rotación

Wx:carga de empuje a lo largo del eje de rotación

W‟r:fuerza separadora Wt:fuerza tangencial

Figura 66 – Reacciones de los dientes de un engrane

que recibe carga en tres planos

Figura 67 – Ejemplos de montaje


punto sobre el que actúa la carga, mientras que el apoyo más lejano recibe una carga menor. Las

cargas no actúan en el mismo sentido ya que la reacción en el apoyo más cercano al punto de carga

es opuesta a dicha carga, mientras que la reacción en el más distante actúa en el mismo sentido que

el de la carga aplicada.

Una vez que se han calculado las cargas para los apoyos de un engranaje cualquiera es conveniente

seguir ciertas reglas y recomendaciones inequívocas que han sido dadas por la experiencia, la

destreza y el sentido común. Dichas reglas son válidas en lo general para cualquier clase de

engranajes que se monten:

- Manténganse las estructuras de soporte de los apoyos para los engranajes tan cerca de sus caras

como sea posible, pero dejando el espacio libre necesario para aplicar la lubricación y ejecutar

los ajustes necesarios. En esta forma se eliminan los momentos grandes, reduciéndose los

problemas de vibración.

- En cuanto sea posible colóquense sólo dos apoyos para cada flecha de un engrane. Al momento

de proyectar la distancia entre centros para proporciones determinadas de engranajes se deben

considerar también las flechas, chavetas y chaveteros, así como el tamaño de los apoyos y las

capacidades de carga, ya que estos factores pueden imponer condiciones restrictivas.

- Los dientes de los engranajes deben tener el apoyo

necesario (Figura 68), tanto por parte de la llanta o

corona (parte del disco del engrane que queda

exactamente debajo de los dientes) como del plato

o alma del disco. La corona debe tener un espesor

de metal mínimo equivalente a la altura total de

los dientes. El espesor del alma, que es la parte

que tiene que soportar a la corona, debe tener una

medida de 2 a 3 veces el equivalente de la altura

total, para fines comerciales (para aeronaves o

cohetería, por ejemplo, 100 a 70% de la altura

total de los dientes). Con mucha frecuencia el

alma lleva agujeros o huecos de aligeramiento, la

medida del cuerpo metálico entre los agujeros no

debe ser menor que el ancho de éstos. La decisión

de si se usa pieza sólida o con alma depende del

tamaño del diente y del diámetro de la

circunferencia primitiva, como una guía, los

diámetros máximos de pieza sólida son: para Pd =

3, D = 7”, Pd = 4, D = 6”, Pd = 5, D = 5”, Pd = 6-

10, D = 4”, Pd = 12-20, D = 3”; engranes mayores

se hacen con brazos, masas y llantas.

- En los engranes montados con apoyos en ambos extremos la distancia entre los mismos debe ser

de aproximadamente el 70% del diámetro primitivo como mínimo. Cuando sólo uno de los

engranes puede ser montado entre apoyos, debe elegirse para esto el engrane que lleva la mayor

carga radial. En los engranes montados en voladizo, la distancia entre apoyos debe ser el 70%

del diámetro primitivo del engrane y la medida entre los mismos tiene que ser por lo menos el

doble de la medida del voladizo.

- En general, en todos los tipos de engranajes, las fuerzas tangenciales que se aplican a las

superficies de contacto son diametralmente opuestas al sentido de rotación del engranaje de

mando. Los esfuerzos radiales tienden al alejamiento de las superficies de los dientes. En el

engranaje impulsado, las fuerzas actúan invariablemente en dirección opuesta a la del piñón o

fuerza impulsora. Invirtiendo el sentido de rotación cambia también la dirección de las cargas

Figura 68 – Construcciones típicas


tangenciales impulsoras, en cambio, las fuerzas separatistas tienen la tendencia a mantener la

misma dirección, la de alejamiento de los dientes (hacia el centro). Los empujes o cargas axiales

varían con todos los diferentes tipos de engranajes, pero estas fuerzas también invierten su

dirección si se cambia el sentido de la rotación, exceptuando los engranajes Zerol y los cónicos

rectos.

- Todas las flechas de los engranajes tienen que ser verificadas en su resistencia a la torsión y en

su capacidad de carga a la flexión. La distancia entre apoyos y el diámetro de la flecha tienen

que diseñarse de preferencia en tal forma, que la velocidad de operación quede por abajo del

primer grado de velocidad crítica.

En la figura que sigue se muestran las cargas sobre los apoyos en los engranajes rectos (Figura 69).

Figura 69 – Cargas sobre los rodamientos en los engranes rectos

Engranajes Helicoidales: Diseño y Cálculo 59

7. Engranajes Helicoidales:

Se analiza geometría, cinemática, diseño y cálculo de los engranajes

helicoidales; se utiliza mucho de lo visto en capítulos anteriores, se

hace destacar las diferencias y cambios.

La transmisión del movimiento entre ejes paralelos puede realizarse

también con ruedas de dientes inclinados, dientes cuyos flancos no

son superficies de generatrices paralelas a los ejes de las ruedas:

engranajes helicoidales (Figura 70). Mientras que en los engranajes

rectos el corte de los dientes es paralelo al eje del engrane, los

dientes de los engranajes helicoidales están cortados en forma de

hélices teniéndose un ángulo constante con respecto al eje del

engrane. Debido a que el ángulo de la pendiente de la hélice puede

ser en dirección hacia arriba o hacia abajo, se usan los términos

engrane helicoidal hélice o mano derecha y hélice o mano izquierda

para distinguir los dos tipos.

Los engranajes rectos se usan para aplicaciones de velocidad baja y

para aquellos casos donde el control del ruido no sea importante. El

uso de engranajes helicoidales es adecuado si se tienen velocidades

altas, transmisiones de potencia altas o donde el abatimiento del

ruido es un factor importante. Una calidad comercial de engranaje

helicoidal es aproximadamente tan silenciosa como los engranajes

rectos de precisión, y su costo es menor.

Los engranajes están montados en flechas paralelas, que es la

situación más común usada, sin embargo, a veces se usan con

flechas no paralelas, que no se intersectan, se les denomina

engranajes helicoidales cruzados (Figura 71).

7.1. Geometría:

Se analiza previamente la superficie denominada

helicoide desarrollable, posteriormente los elementos

geométricos y la normalización. También se define el

número virtual de dientes que posteriormente se utilizará

en el cálculo.

Si sobre un cilindro (cilindro base) de radio rb se traza

una hélice (hélice de retroceso) de paso p y ángulo r

(de inclinación o retroceso, respecto del plano normal al

eje del cilindro), el lugar geométrico de todas las

tangentes a dicha hélice es una superficie reglada

denominada: helicoide desarrollable. Como las

generatrices de una superficie reglada desarrollable son

tangentes a una curva denominada arista de retroceso de

la superficie, por lo tanto, el helicoide desarrollable es

una superficie reglada desarrollable cuya arista de

retroceso es la curva que se ha llamado hélice de

retroceso (Figura 72).

Las principales propiedades de este helicoide son:

- Es una superficie reglada desarrollable.

- Las generatrices de la superficie, tangentes a la

Figura 70 – Engranaje helicoidal

Figura 71 – Engranaje helicoidal cruzado

Figura 72 – Helicoide desarrollable


hélice de retroceso, forman un ángulo constante con el eje del cilindro base, complemento del

ángulo de retroceso de la hélice.

- Los planos tangentes al cilindro base () cortan al helicoide según una de las rectas

generatrices.

- Las secciones del helicoide con planos normales al eje del cilindro base () son evolventes del

círculo directriz del cilindro, con su punto de arranque sobre la hélice de retroceso.

- Las secciones del helicoide con cilindros concéntricos al cilindro base y de radio R > rb, son

hélices de igual paso que la de retroceso y, en consecuencia, de menor ángulo de inclinación ()

p = 2 rb tg r = 2 R tg , por lo tanto, tg r = tg R/ rb

Entonces, el helicoide desarrollable puede concebirse generado por las sucesivas posiciones de una

evolvente de un círculo que se desplaza con un movimiento helicoidal guiada por una hélice trazada

sobre un cilindro concéntrico con el cilindro cuya

directriz es el círculo base de la evolvente.

Si una pieza de papel cortada en la forma de un

paralelogramo (Figura 73) se enrrolla alrededor de un

cilindro, el borde mayor del papel se convierte en una

hélice; si desenrrollamos dicha tira, cada punto del borde

citado genera una curva evolvente, esta superficie

obtenida cuando todo punto del flanco genera una

evolvente recibe el nombre de helicoide de evolvente. La

forma del flanco del diente es una helicoide de

evolvente.

Se denomina rueda frontal equivalente a la rueda de

dientes rectos, que resulta de seccionar a la rueda de

dientes helicoidales, con un plano normal al eje de giro

(sección A-A Figura 74). rb y r definen al helicoide

desarrollable que limita en sus flancos al diente de la

rueda helicoidal cuyo perfil frontal (rueda frontal

equivalente) tiene un ángulo de presión t y determina en

su traza con el cilindro primitivo una hélice de ángulo de

inclinación . Siendo R = rp el radio primitivo:

rb = rp cos t y tg r = tg / cos t

Otros elementos geométricos que se definen en las ruedas

helicoidales son:

- Angulo de inclinación del diente : es el

comprendido entre una tangente a la hélice primitiva

y un elemento del cilindro primitivo que la corta y

que es paralelo al eje, se cumple: + = 90°

No hay valores estándar para los ángulos de la hélice

debido a que raras veces se intercambian los engranes, lo

usual es tener ángulos entre 15 y 30°. Algunas veces se hacen con ángulos fuera de esta gama de

valores, sin embargo, como se verá más adelante, la carga axial varía directamente con la

magnitud de la tangente del ángulo de la hélice, hay un límite superior para su valor a fin de

prevenir cargas axiales excesivas. También es necesario tener un límite inferior para asegurar

tener una transferencia suave de la carga.

Figura 73

Figura 74 – Elementos geométricos


Se pueden emplear ángulos entre 30 y 45° con engranajes helicoidales

dobles, éste consiste de un engranaje helicoidal con la mitad de su cara

cortada con hélice en dirección opuesta a la hélice de la otra mitad de la

cara, cancelándose las cargas axiales para cada par de dientes (Figura 75).

- Angulo de presión normal n: es el ángulo que forma la normal al plano

tangente común de los helicoides desarrollables en correspondencia con

la generatriz de contacto, con el plano tangente común a los cilindros

primitivos. De la Figura 76:

tg n = gc / pg = ( ab / pg ) ( ap / ap) = ( ab / ap ) ( ap / pg ) = tg t cos

Las proporciones de diente intercambiable con

ángulo de presión de 20° se suelen utilizar para

engranajes helicoidales aunque no existe otra

razón que la comodidad de fabricación, excepto

cuando pueda producirse interferencia. Cuando

sea adecuado, se pueden adoptar addendums

desiguales. Con ángulo de presión constante en

el plano diametral, las superficies exteriores en

la cara superior de los dientes se estrechan

cuando aumenta el ángulo de la hélice; esto da

lugar a dificultades en el tratamiento térmico,

cuando los dientes son casi puntiagudos, la

punta se hace excesivamente dura y frágil y

puede originar averías por rotura. Una

disposición a adoptar en este caso es acortar

algo los dientes con lo que éstos tienen menos

punta, algunos fabricantes adoptan un ángulo de

presión de 25° y proporciones de altura completa, lo que contribuye a mejorar la capacidad y

uniformar la acción cinemática en comparación con los dientes cortos o truncados.

- Paso normal pn: distancia entre las hélices determinadas sobre el cilindro primitivo por los

flancos homólogos de dos dientes consecutivos, medida sobre una normal a las mismas.

- Paso circunferencial o transversal pt: paso de la rueda medido sobre la circunferencia primitiva

de una sección normal, no es sino el paso de la rueda frontal equivalente.

- Paso axial pa: es la distancia entre puntos correspondientes sobre dientes adyacentes medida en

dirección axial.

pn = pt cos y pa = pt / tg

Si el ángulo del diente se reduce a cero, el paso normal se hace igual al paso transversal, el paso

axial tiende hacia el infinito y el diámetro del cilindro primitivo se convierte en el diámetro

primitivo del círculo primitivo del engrane recto que resulta.

Si los engranajes helicoidales están fabricados con fresas-madre cilíndricas normalizadas, lo que es

una práctica común, el módulo normal Mn es el normalizado:

Mn = pn /

Los engranajes helicoidales fabricados con cuchillas-piñón están basados en el módulo

circunferencial Mc:

Mc = pt / = Dp / Z

Figura 75 – Doble helicoidal

Figura 76


- Ancho del engranaje b: con objeto de asegurar una transferencia suave de la carga, el ancho de

la cara de un engranaje helicoidal por lo general se hace un 20% más grande que el paso axial,

este es sólo un valor mínimo sugerido, de hecho algunos diseñadores prefieren que el ancho de

la cara sea por lo menos el doble del paso axial.

- Número virtual o equivalente de dientes Zv: es el número de

dientes del engranaje recto equivalente en el plano normal. La

Figura 77 ilustra un cilindro cortado por un plano oblícuo ab

según un ángulo a una sección recta. Dicho plano corta un

arco (al cortar todo el cilindro es una elipse) que tiene un radio

de curvatura R. En el caso de la condición de que = 0°, R =

D/2. Si el ángulo varía lentamente de 0 a 90°, se verá que R

comienza en un valor de D/2 y aumenta hasta infinito. El radio R

es el radio primitivo de un diente de un engranaje helicoidal

cuando se observa en la dirección de los elementos de los

dientes. Un engrane recto del mismo paso (en dicho plano) y con

el radio R tendrá un mayor número de dientes en virtud del

aumento en la longitud del radio, a éste se lo conoce como

número virtual de dientes. El número equivalente de dientes, en

vez del número real, define la forma del diente en el plano

normal. Es necesario conocer este número en el diseño por resistencia a la flexión y también, en

algunas ocasiones, al cortar dientes helicoidales. Este radio de curvatura aparentemente mayor

significa que se pueden utilizar menos dientes en engranajes helicoidales, puesto que habrá

menor rebaje.

Por geometría analítica: R = D / 2 cos2 , de acuerdo a lo mencionado anteriormente:

Zv = 2 R / Mn = D / Mn cos2 = D / Mc cos

3 = Z / cos

3

Para que dos engranajes helicoidales puedan engranar en flechas paralelas, sus ángulos de hélices

deben ser de dirección opuesta, además deben tener el mismo paso e igual ángulo de presión.

7.2. Cinemática:

Se analizan las características del engrane, se determinan arco de engrane y grado de recubrimiento.

Para analizar el engrane helicoidal se lo considera

dividido en ruedas de ancho infinitésimo que se

suponen de dientes rectos y cuyo perfil es el de la

rueda frontal equivalente, dichas ruedas elementales

están desplazadas relativamente a lo largo de una

hélice trazada sobre el cilindro primitivo. El lugar de

las líneas de engrane de todas las ruedas elementales

determina la superficie de engrane, que es un plano

dado que la línea de engrane de cada una de ellas es

una recta inclinada según el ángulo de presión

transversal t respecto de la tangente común a las

circunferencias primitivas y que pasa por el punto

primitivo I, tal línea de engrane es además tangente

a las circunferencias bases de las evolventes que

definen los perfiles en contacto.

Entonces, los puntos de engrane se hallan sobre un

plano tangente a los cilindros bases de los

helicoides, que pasa por lo tanto por la generatriz de

contacto de los cilindros primitivos y forma un

Figura 77 – Número virtual de dientes

Figura 78 – Líneas de engrane


ángulo t con el plano tangente común a aquellos.

Los puntos de engrane de todas las ruedas elementales determinan en cada instante una curva de

engrane o curva de contacto, que resulta de la intersección del plano del engrane con el flanco del

diente. Como la intersección del helicoide desarrollable con un plano tangente al cilindro base es

una recta generatriz del mismo, las curvas de contacto son en cada instante rectas tangentes a la

hélice de retroceso del flanco del diente, que forman un ángulo constante con el eje de la rueda, las

ruedas de contacto son alabeadas entre sí.

Como se observa en la Figura 78, los dientes no entran en contacto íntegramente en forma

instantánea, como en las ruedas de dientes rectos, sino que el engrane comienza y termina

paulatinamente, en forma gradual. Debido a esto los dientes no golpean al entrar en contacto.

El engrane comienza con el contacto del extremo de la cabeza del perfil frontal de una cara o frente

y finaliza con el contacto del extremo activo de la raíz del perfil de la otra cara o frente. El arco de

engrane de un diente helicoidal abarcará entonces:

- arco de engrane de la rueda frontal equivalente Aef: a-b

- arco entre los ejes de los dos perfiles frontales tomado sobre la primitiva, salto del diente s: b-c

Entonces el grado de recubrimiento resulta:

(a-b) + (b-c) (a-b) (b-c) s

Rc = -------------- = ------ + ------ = Aef + ---- si s ~ b tg , entonces Rc = Aef + b tg / pt

pt pt pt pt

La duración del engrane de las ruedas helicoidales resulta entonces mayor que la duración del

engrane de la rueda frontal equivalente de dientes rectos, lo cual trae como consecuencia que se

tenga un mayor número de dientes en contacto simultáneamente, favoreciendo con ello la suavidad

del movimiento y disminuyendo la solicitación que soporta cada uno de los dientes.

7.3. Diseño y cálculo:

Los fundamentos de los métodos de cálculo son los mismos que se analizaron para engranajes

rectos, por lo tanto se analizarán las diferencias que surgen en dicho cálculo debido a la geometría

del engranaje helicoidal.

7.3.1. Fórmula de Lewis:

Antes de analizar los cambios del método en sí, al igual que lo realizado con los engranajes rectos,

se procede a analizar las fuerzas a las que está sometido el diente del engranaje helicoidal. En la

Figura 76 se observan las fuerzas que actúan sobre un diente de un engranaje helicoidal que está

suficientemente lubricado para que las fuerzas de fricción sean despreciables. Estas fuerzas son

componentes de un vector de fuerza normal a la cara del diente. Dado que esta fuerza normal se

encuentra en un plano perpendicular a la dirección del diente y a un ángulo n en relación con un

plano tangente al cilindro primitivo sus componentes, expresadas en función de la fuerza tangencial

porque esta componente está relacionada directamente con la potencia transmitida, están dadas por:

Ft, componente tangencial, fuerza libre que transmite el movimiento, que solicita al diente a la

flexión.

Fa, componente axial, solicita al diente a la flexión, se transmite al eje y deberá ser absorbida por un

apoyo apropiado: Fa = Ft / tg

Fr, componente radial, solicita al diente a la compresión: Fr = Ft tg n / cos

El cálculo de los dientes se encara en la misma forma que para los engranajes rectos, para ser

consistentes con el uso de la relación de Lewis, la fuerza utilizada debe ser la componente


tangencial perpendicular a la cara del diente (F´t), el ancho ha de ser el ancho de la cara medida a lo

largo del eje del mismo diente (b´), y el paso es el normal (pn).

F´t = b´ y pn

El factor de forma puede obtenerse de la Tabla 3 (para engranajes de dientes rectos) pero

ingresando con el número virtual de dientes (Zv) y el ángulo de presión normal (n).

Como F´t = 22

ta FF = Ft 21 tg = Ft / cos y b´ = b / cos resulta Ft = b y pn

Entonces, la carga tangencial máxima admisible es:

Fb = b y pn adm

Para los engranajes helicoidales, generalmente se sugiere:

4 pt < b < 6,5 pt

Al igual que lo analizado para engranajes de dientes rectos, se puede obtener una expresión del paso

mínimo para realizar un prediseño del engranaje, para ello: en función de la potencia transmitida N,

del número de revoluciones por unidad de tiempo de la rueda dentada n y del radio primitivo R, es

posible calcular la fuerza tangencial que está siendo transmitida al engranaje P:

Mm = P . R = N / n

de donde, y expresando en las unidades correspondientes, se tiene:

P [Kg] = 71620 . N [HP] / ( n [rpm] . R [cm] ) , debiendo verificarse: Fb P

para b = pt , Fb = Kr y pt2 adm

y como Dp = ( pt / ) Z y pn = pt cos , resulta

P = 71620 No / [ n ( pt Z / 2 ) ] = 450.000 No cos / ( n pn Z )

pn = 76,6 3

admr

on Z y K

cos N

7.3.2. Fórmula de Lewis-Barth:

Debido al contacto más suave y el efecto dinámico de las cargas más reducido que en las ruedas de

dientes rectos, el término correctivo de Barth utilizado es:

Kv = 43 / ( 43 + vp1/2

)

7.3.3. Fórmula de Buckingham – Cargas dinámicas:

Se utiliza una expresión similar a la ya analizada para engranajes de dientes rectos, en general la

carga dinámica será más pequeña que la correspondiente sobre dientes rectos sometidos a carga

similar:

Pd = P + P


0,113 vp[m/min] cos ( P[Kg] + b[cm] C[Kg/cm] cos2 )

siendo: P[Kg] = -----------------------------------------------------------------------

0,113 vp + ( P + b C cos2 )

1/2

6.5.4. Fatiga superficial o picado (pitting):

La carga límite o resistencia al desgaste resulta también superior a la que corresponde a ruedas

dentadas de dientes rectos similares, lo cual revela que las ruedas de dientes helicoidales resisten

mas al desgaste:

Fw = Dp b Q Kg / cos2

Los símbolos tienen el mismo significado que para los engranajes cilíndricos rectos, Kg está basada

en el ángulo de presión normal.

7.4. Cargas en los apoyos:

En las figuras que siguen se muestran las cargas sobre los apoyos en los engranajes helicoidales:

Figura 79 – Dirección de la carga de empuje axial en engranajes helicoidales


Figura 80 – Cargas sobre los rodamientos originadas por los engranajes helicoidales


8. Bibliografía:

Cátedra de Mecánica (Bs. As.); Apuntes de mecanismos (Tomo II).

Cosme, Héctor; Mecánica aplicada.

Deutschman, Aaron D. – Michels, Walter J. – Wilson, Charles E.; Diseño de máquinas.

Dudley, Darle W.; Manual de Engranajes.

Faires, Virgil M.; Diseño de elementos de máquinas.

Orthwein, William C.; Diseño de componentes de máquinas.

Shigley, Joseph E. – Mischke, Charles R.; Diseño en ingeniería mecánica.

Vallance, Alex – Doughtie, Venton L.; Cálculo de elementos de Máquinas.

manual de engranajes

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