Managerial Decision ModelingA Practical Introduction to Management Science , 5ed by Cliff Ragsdale

LOG350 Operasjonsanalyse

Linear ProgrammingLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenChapter 2

LOG350 Operasjonsanalyse

InnledningAlle str overfor beslutninger om hvordan en skal utnytte begrensede ressurser som:- Oljereserver- Areal for sppelfyllinger- Tid- Penger- AnsatteLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Matematisk programmering...MP er et fag i operasjonsanalyse som finner den optimale eller mest effektive mten utnytte begrensede ressurser; for oppn mlsettingen til et individ eller en organisasjon.m.a.o. OptimeringLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Anvendelser av Matematisk Optimering :Bestemme produksjonsmiksProduksjonsplanleggingRuteplanlegging og logistikkFinansiell planleggingLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Karakteristika for optimeringsproblemer :Beslutninger - HandlingsvariablerRestriksjoner - BegrensningerMlsetting - MlfunksjonLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Generell form p et optimeringsproblem :MAX (eller MIN): f0(X1, X2, , Xn)

Slik at :f1(X1, X2, , Xn)=bk:fm(X1, X2, , Xn)=bm

Merk: Hvis alle funksjonene i et optimeringsproblem er linere, s er problemet et linert programmeringsproblem (LP).LOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Generell form p et Linert Programmeringsproblem (LP) MAX (eller MIN):c1X1 + c2X2 + + cnXnSlik at:a11X1 + a12X2 + + a1nXn = bk :am1X1 + am2X2 + + amnXn = bm LOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Eksempel p et LP ProblemLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenBlue Ridge Hot Tubs produserer to typer varmtvannsberedere : Aqua-Spas & Hydro-Luxes.Det er 200 pumper, 1566 arbeidstimer, og 2880 dm rr tilgjengelig.

LOG350 Operasjonsanalyse

5 trinn i formulering av LP modeller:1. Forst problemet.2. Identifiser beslutningsvariablene.X1=antall Aqua-Spas produsertX2=antall Hydro-Luxes produsert3.Angi mlfunksjonen som en liner kombinasjon av beslutningsvariablene.MAX: 350X1 + 300X2LOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

5 trinn i formulering av LP modeller (fortsettelse)4. Angi restriksjonene som linere kombinasjoner av beslutningsvariablene.1X1 + 1X2

Resym av LP Modellen for Blue Ridge Hot TubsLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenMAX: 350X1 + 300X2S.T.:1X1 + 1X2

Lsning av LP problemer:En intuitiv innfallsvinkelIde: Hver Aqua-Spa (X1) skaper det strste deknings-bidraget ($350), lag derfor s mange som mulig!Hvor mange kan vi lage?La X2 = 01. restriksjon:1X1

Lsning av LP problemer:En grafisk innfallsvinkelRestriksjonene i et LP problem definerer et mulighetsomrde.Det beste punktet i mulighetsomrdet er den optimale lsningen av problemet.For LP problemer med 2 variabler er det lett plotte mulighetsomrdet og finne den optimale lsningen.LOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Plotte den frste restriksjonenLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenX2X1250200150100 50 0 0 50100150200250(0, 200)(200, 0)Linjen som begrenser bruken av pumper X1 + X2 = 200

LOG350 Operasjonsanalyse

Plotte den andre restriksjonenLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenX2X1250200150100 50 0 0 50100150200250(0, 261)(174, 0)Restriksjonslinjen for bruk av arbeid 9X1 + 6X2 = 1566

LOG350 Operasjonsanalyse

Plotte den tredje restriksjonenLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenX2X1250200150100 50 0 0 50100150200250(0, 180)(240, 0)Restriksjonslinjen for bruk av rr 12X1 + 16X2 = 2880Mulighetsomrdet

LOG350 Operasjonsanalyse

Plotting av nivkurver for mlfunksjonenLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenX2X1250200150100 50 0 0 50100150200250(0, 116.67)(100, 0)Mlfunksjon 350X1 + 300X2 = 35000

LOG350 Operasjonsanalyse

En ny nivkurve (isobidragslinje)for mlfunksjonen:LOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenX2X1250200150100 50 0 0 50100150200250(0, 175)(150, 0)Mlfunksjon 350X1 + 300X2 = 35000Mlfunksjon350X1 + 300X2 = 52500

LOG350 Operasjonsanalyse

Parallellforskyving av nivkurver for finne optimal lsningLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenX2X1250200150100 50 0 0 50100150200250Mlfunksjon350X1 + 300X2 = 35000Mlfunksjon350X1 + 300X2 = 52500optimal lsning

LOG350 Operasjonsanalyse

Beregne den optimale lsningenDen optimale lsningen inntrer der linjene for pumpe- og arbeidstids- restriksjonene krysser.Det skjer nr de er like:X1 + X2 = 200 (1)og 9X1 + 6X2 = 1566(2)Fra (1) fr vi, X2 = 200 -X1(3)Setter vi (3) for X2 inn i (2) fr vi,9X1 + 6 (200 -X1) = 1566Som forenkles til X1 = 122S den optimale lsningen er, X1=122, X2=200-X1=78Totalt DB = $350*122 + $300*78 = $66,100LOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Underske alle hjrnelsninger*X2X1250200150100 50 0 0 50100150200250(0, 180)(174, 0)(122, 78)(80, 120)(0, 0)Mlfunksjon = $54,000Mlfunksjon = $64,000Mlfunksjon = $66,100Mlfunksjon = $60,900Mlfunksjon = $0Merk: Denne metoden fungerer ikke hvis mulighetsomrdet ikke er lukket.

LOG350 Operasjonsanalyse

Sammendrag av Grafisk lsning av LP Problemer1. Plott grenselinjen for hver restriksjon2. Identifiser mulighetsomrdet3.Finn optimal lsning enten ved:a.Plott nivkurver for mlfunksjonenellerb. Beregn alle hjrnelsningeneLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Spesielle tilfeller av LP ModellerForskjellig unormale forhold kan inntreffe i LP problemer:Alternative optimale lsninger Overfldige restriksjonerUbegrenset gode lsningerIngen mulige lsningerLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Eksempel p alternative optimale lsningerLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenX2X1250200150100 50 0 0 50100150200250450X1 + 300X2 = 78300Nivkurve for mlfunksjonenAlternative optimale lsninger

LOG350 Operasjonsanalyse

Eksempel p en overfldig restriksjonLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenX2X1250200150100 50 0 0 50100150200250Restriksjonslinjen for rrMulighetsomrdetRestriksjonslinjen for pumper Restriksjonslinjen for arbeid

LOG350 Operasjonsanalyse

Eksempel p en ubegrenset lsningLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenX2X11000800600400 200 0 0 2004006008001000X1 + X2 = 400X1 + X2 = 600MlfunksjonX1 + X2 = 800Mlfunksjon-X1 + 2X2 = 400

LOG350 Operasjonsanalyse

Eksempel p ingen mulig lsningLOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus RasmussenX2X1250200150100 50 0 0 50100150200250X1 + X2 = 200X1 + X2 = 150Mulighetsomrdet for andre restriksjonMulighetsomrdet for frste restriksjon

LOG350 Operasjonsanalyse

End of Chapter 2LOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Generell form p et Linert Programmeringsproblem (LP) MAX (eller MIN):c1X1 + c2X2 + + cnXnSlik at:a11X1 + a12X2 + + a1nXn = bk :am1X1 + am2X2 + + amnXn = bm

Se arket Generell form i filen LP model under Chap 2LOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Standard form p et Linert Programmeringsproblem (LP) MAX (eller MIN):c1X1 + c2X2 + + cnXnSlik at:a11X1 + a12X2 + + a1nXn

Omformulering til standard form: ak1X1 + ak2X2 + + aknXn >= bk Multipliser gjennom med -1:-1| ak1X1 + ak2X2 + + aknXn >= bk -ak1X1 - ak2X2 - - aknXn

Kompakt form p et Linert Programmeringsproblem (LP)MAX (eller MIN):Slik at:

Se arket Kompakt form i filen LP model under Chap 2 LOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

Matrise form p et Linert Programmeringsproblem (LP)MAX (eller MIN):Slik at:

Se arket Matriseform i filen LP model under Chap 2 LOG350 Operasjonsanalyse*Rasmus Rasmussen

LOG350 Operasjonsanalyse

*