1

MAKĠNE DĠNAMĠĞĠ

MAKĠNE

Kuvvete karşı direnç gösteren cisimlerin bileştirilmesiyle oluşan ve mekanik kuvvetlere belirli

bir hareket ile birlikte iş yapmasını sağlayan sistemlerdir.

Bu tanım sadece mekanik makineleri içerir (ısı makinelerini içermez!).

MEKANĠZMA

Mekanizma, kuvvet ve hareket iletimi için kullanılabilen rijit cisimlerin rijit mafsallarla

birleştirilmesiyle meydana gelen bir sistemdir.

Makine: belirli bir amaç için üretilmiştir.

Mekanizma: genel amaçlıdır.

KĠNEMATĠK

Hareketi oluşturan nedenler (kuvvetler veya momentler) dikkate alınmadan mekanizmaların

hareketi inceleyen bilim dalıdır. Hareketin geometrisini inceler.

TEMEL KAVRAMLAR

KĠNEMATĠK ELEMAN

Bir rijit cismi diğer bir rijit cisme, bir birlerine göre bağıl hareket yapabilecek şekilde,

bağlamak için kullanılan rijit cismin bu kısmına kinematik eleman denir.

KĠNEMATĠK ÇĠFT (MAFSAL)

İki rijit cisim üzerinde bulunan kinematik elemanların yan yana getirilmesi ile oluşan

bağlantıdır.

MAFSALLARIN SINIFLANDIRILMASI

İki kinematik eleman arasında temas, mekanizmanın tüm hareketi süresince mevcut ise, bu tür

kinematik çiftlere, kapalı kinematik çift denir. Eğer temas bir kuvvetten dolayı ise, bu tür

kinematik çiftler, kuvvet kapalı olarak adlandırılır. Kinematik çiftlerin geometrik

şekillerinden dolayı aralarında temas devamlı sağlanıyor ise, bu tür kinematik çiftler şekil

kapalıdır. Şekil kapalı kinematik çiftlerde bir kinematik eleman diğerini sarar.

Açık kinematik çiftlerde kinematik elemanlar hareketin tümü boyunca temas

etmeyebilirler ve bu temas kontrol edilebilir.

Kapalı kinematik çiftler, ayrıca temas şekillerine göre basit veya yüksek kinematik

çift olarak sınıflandırılabilirler. Basit kinematik çiftlerde kinematik elemanlar bir yüzey

boyunca temas ederler. Bu durumda temas gerilimleri daha düşük olacaktır. Yüksek

kinematik çiftlerde ise temas, geometrik olarak bir nokta veya bir çizgi üzerindedir.

(Kuvvet

Kapalı)

(Şekil Kapalı)

YÜKSEK KİNEMATİK

ÇİFTLER

BASİT KİNEMATİK

ÇİFTLER AÇIK KİNEMATİK ÇİFT

2

SERBESTLĠK DERECESĠ

Serbestlik derecesi, bir cismin konumunu belirlemek için gerekli olan birbirinden bağımsız

parametre sayısıdır.

MADDESEL NOKTA için: Bir maddesel noktanın uzaydaki serbestlik derecesi, üçtür. Bu,

o cismin uzaydaki konumunun en az üç koordinatla (x, y ve z) belirlenebileceğini ifade eder.

Ayrıca, bu cismin üç ‘doğrultuda’ serbestçe hareket edebildiğinin bir ölçütüdür.

Düzlemde ise, maddesel noktanın hareket serbestisi ikidir. Üçüncü doğrultudaki hareketi

kısıtlanmıştır. Çünkü artık üçüncü boyuttaki hareket, cismin düzlemden ayrılmasını gösterir

ki bu düzlemsel değil uzaysal bir hareket olur.

RĠJĠT CĠSĠM için: Maddesel noktadan farklı olarak bir rijit cisim, kendi etrafında dönebilme

imkânına sahiptir. Dolayısıyla cismin konumuyla birlikte yönelimi de önem kazanır. Bu

yönelimi ifade etmek için de konum (x, y ve z) parametreleri yanında dönme miktarları (θx, θy

ve θz) da kullanılır.

Dolayısıyla bir rijit cismin uzaydaki serbestlik derecesi altıdır. Yine bu, cismin altı

doğrultuda serbestçe hareket edebildiğini gösterir.

Düzlemde bir rijit cisim ise, üç serbestlik derecesine sahiptir. Bunlar iki öteleme (x ve y) ve

bir dönme (θz) şeklindedir. Diğer öteleme (z) ve dönmeler (θx ve θy) ise kısıtlanmıştır.

Yönelimin önemini anlamak için, yatay düzlemde kütleler arası uzunluğu L olan bir halteri

düşünelim. Bu halterin konumunu, yere sabit bir eksen takımına göre, halterin kütle

merkezinin orijine olan uzaklığı (xG ve yG) olarak düşünebiliriz. Fakat bu halterin sadece

x

y z

x

y

x

y z

θx

θy θz

x

y θz

3

konumunu gösterir yönelimini göstermez. Dolayısıyla halterin yönelimini, halter kolunun

pozitif x-ekseninden sağ el kuralına göre açısını (θ) ölçerek gösterebiliriz.

Bu durumda halterin hem konumu hem de yönelimi, üç parametrenin (xG, yG ve θ)

atanmasıyla belirlenmiştir. Bu işlem, birbirinden bağımsız üç parametre atanarak

gerçekleştirilmiştir.

Kısıt (Bağ) Denklemleri:

Halter probleminde aynı işlem, kütlelerin her birine ayrı ayrı parametreler (xA, yA ve xB, yB)

atanarak da gerçekleştirilebilirdi. Bu durumda, bu parametreler bir birinden bağımsız olmazdı.

Çünkü serbestlik derecesi bir birinden bağımsız atanan parametrelerin sayısı kadardır.

Böylece bu parametrelerin birbirlerinden bağımsız olmadıkları ortaya çıkar ki bu bağa, kısıt

denklemi denir.

Şekilden halterin boyunu, kütlelerin konumları cinsinden yazmak mümkündür: 22 )()( ABAB yyxxL

Bu bir kısıt (bağ) denklemidir ki atanan parametrelerin bir birinden bağımsız olmadığını

gösterir. Öyleyse, serbestlik derecesini (F)

mnF

x

y

O

A(xA,yA)

B(xB,yB)

L

Ar

Br

22 )()( ABAB yyxxL

x

y

O

A

B

(xG,yG)

θ L

Gr

4

şeklinde tanımlamak mümkündür. Burada n, atanan koordinat sayısını ve m ise kısıt denklem

sayısını göstermektedir. Bu bilgiler yukarıdaki halter problemine uygulanırsa;

Koordinat sayısı: 4n (xA, yA, xB, yB)

Kısıt denklem sayısı: 1m ( 22 )()( ABAB yyxxL )

Serbestlik derecesi: 314 mnF

Yine aynı sonuç (F = 3) bulunmuş olur.

MAFSALLARIN SERBESTLĠK DERECESĠ

Bir mafsalın (kinematik çiftin) serbestlik derecesi, o mafsalla birleştirilen cisimlerin bir

birlerine göre bağıl konumlarını belirlemek için kullanılması gerekli bağımsız parametre

sayısıdır. Kinematik çiftlerin serbestlik dereceleri ve bu serbestliklerin müsaade ettiği

hareketin yönü ve tipi (dönme veya öteleme), kinematik çiftleri birbirinden ayıran en önemli

özelliktir ve bu özellikler kinematik çiftlerin tiplerini belirlemekte kullanılır. Tablo I ve II’de

bu özelliklere göre sınıflandırılan mafsallar görülmektedir.

En genel uzayın serbestlik derecesi 6 olduğundan ve bir kinematik çiftin bu

serbestliklerden en az birini sınırlaması gerektiğinden, serbestlik derecesi en yüksek mafsalda

5 serbestlik bulunmalıdır (Tablo I). Ötelemeyi sınırlamadan dönme hareketlerini sınırlamak

mümkün değildir ve bu nedenle 5 serbestlik dereceli kinematik çiftte bir öteleme hareketi

sınırlandırılır.

Uzuv-Kinematik Zincir

Bir rijit cisim üzerinde kinematik çift oluşturan en az iki kinematik eleman var ise, bu cisme

uzuv denir. Uzuv ikiden fazla kinematik eleman ihtiva edebilir (fakat iki kinematik

elemandan az olamaz). Uzuvlar iki, üç, dört kinematik elemanlı olarak kinematik eleman

sayısına göre sınıflandırılabilir.

Birbirlerine kinematik çiftlerle bağlanmış uzuvlar bir zincir oluşturur. Bu zincire

Kinematik Zincir denir. Eğer kullanılan kinematik çiftlerin hepsi kapalı kinematik çift ise,

bu zincir "Kapalı kinematik zincir" dir, kinematik çiftlerden birisi açık ise "Açık kinematik

zincir" söz konusudur.

5

6

Bazı mafsal noktalarında ikiden fazla uzuv birbirine bağlı olabilir. Bu durumda o mafsalda

birleşen uzuv sayısının bir eksiği, mafsal derecesi olarak alınır ve o noktada mafsal derecesi

kadar mafsal olduğu kabul edilir (Alttaki şekli inceleyiniz). Not: Mafsal derecesi ile mafsal

serbestlik derecesi iki farklı kavramdır.

7

Kinematik zinciri oluşturan tüm uzuvların hareketi aynı düzlemde veya birbirlerine paralel

düzlemlerde ise, bu kinematik zincirler "Düzlemsel kinematik zincir" dir. Uzuvların

üzerinde bulunan noktaların tümü aynı merkezli küreler üzerinde hareket ediyor ise, "Küresel

kinematik zincir" dir. En genel zincir ise "Uzaysal kinematik zincir" dir.

Kinematik zincirde bulunan bir uzvun sabitleştirilmesi ile elde edilen sistem

mekanizmadır. Bu tanım mekanizma için önceden vermiş olduğumuz (mekanizma, kuvvet

ve hareket için kullanılabilen rijit cisimlerin rijit mafsallarla birleştirildiği sistem) tanımından

farklı gibi görünür ise de, iki tanım da aynıdır.

MEKANĠZMALARIN SERBESTLĠK DERECELERĠ

Bir mekanizmanın serbestlik derecesi, bir mekanizmada bulunan tüm uzuvların konumunu

belirlemek için gerekli olan parametre sayısıdır.

Örnek olarak dört döner mafsalla birbirlerine bağlı dört uzuvdan oluşan ve genellikle dört-

çubuk mekanizması olarak adlandırılan mekanizmayı ele alalım.

KAPALI KİNEMATİK

ZİNCİR

MEKANİZMA

YÖNLENDİRİLMİŞ

MEKANİZMA

MAKİNE

Bir uzvun tespit edilmesi

N tane uzvun tahriki

Belirli bir iş için kullanılması

8

İkinci bir örnek olarak yanda gösterilen beş

döner mafsallı beş uzuvlu mekanizmayı ele

alalım. tanımladığımızda A0AC0 üçgeni ile

ilgili gerekli bilgi elde edilmiş olur ise de,

kalan kısım ABCC0 bir dörtgen olup bu

kısmın belirlenebilmesi için bir yeni

parametre ( açısı) gerekecektir. Bu

durumda beş çubuk mekanizmasının tüm

uzuvlarının konumunu belirlemek için

gereken parametre sayısı 2 olduğundan,

serbestlik derecesi 2' dir.

Yukarıda gösterilmiş olan örneklerde belirtilen ve parametrelerinden farklı parametreler

de mekanizma uzuvlarının konumlarını belirlemek için kullanılabilir. Buna karşın

kullanılması gereken parametre sayısı belirlidir. Bir başka husus ise, genel olarak gerekli olan

parametre sayısının uzuvların boyutlarına bağlı olmamasıdır. Örneğin a2 boyutu 5 birim

yerine 4 birim olsa, dört çubuk mekanizmasının serbestlik derecesi yine 1, beş çubuk

mekanizmasının serbestlik derecesi ise yine 2 olur.

Sonuç: Mekanizmaların serbestlik derecesi uzuv sayısına, mafsal sayısına ve mafsal

serbestlik derecesine bağlıdır, uzuv boyutuna bağlı değildir.

açısı değeri verildiğinde

her bir uzuv üzerinde iki

noktanın konumu {A0B0

(1 uzvu), A0A (2 uzvu),

AB (3 uzvu) ve BB0

(4 uzvu)} bulunabildiğine

göre, bu mekanizmada

bulunan tüm uzuvların

konumunu belirlemek için

sadece bir parametre

gerekmektedir. Öyle ise,

dört-çubuk

mekanizmasının

serbestlik derecesi 1' dir.

İkinci bir örnek olarak yanda gösterilen

beş döner mafsallı beş uzuvlu

mekanizmayı ele alalım.

tanımladığımızda A0AC0 üçgeni ile ilgili

gerekli bilgi elde edilmiş olur ise de, kalan

kısım ABCC0 bir dörtgen olup bu kısmın

belirlenebilmesi için bir yeni parametre

( açısı) gerekecektir. Bu durumda beş

çubuk mekanizmasının tüm uzuvlarının

konumunu belirlemek için gereken

parametre sayısı 2 olduğundan, serbestlik

derecesi 2' dir.

9

Öyle ise, mekanizma serbestlik derecesi ile mekanizmada bulunan mafsalların

serbestlik derecesi, mafsal sayısı, uzuv sayısı arasında bir bağıntı bulmayı hedefleyebiliriz.

Matematiksel olarak olaya bakmak için aşağıda verilmiş olan parametreleri tanımlayalım:

λ = Uzay Serbestlik Derecesi (Düzlemsel mekanizmalar için λ = 3; uzay için λ = 6)

ℓ = Mekanizmada uzuv sayısı (sabit uzuv dahil)

j = Mekanizmada mafsal sayısı

fi = i mafsalının serbestlik derecesi

F = Mekanizma serbestlik derecesi

ℓ sayıda uzvun λ serbestlik dereceli uzayda herhangi bir kinematik çift ile birbirlerine

bağlanmadan durduklarını düşünelim. Bu durumda sabit uzuv hariç, diğer (ℓ -1) uzvun her biri

için λ sayıda parametre tanımlamamız gerekir (sabit uzva referans koordinat sistemi bağlı

olduğundan sabit uzvun konumu sabittir). Öyle ise hiç bir mafsal olmadığında uzuvların

konumu:

λ (ℓ -1) (1.1 a)

parametre ile belirlenecektir.

Şimdi mafsalları bir örnekle göz önüne alalım. Şekilde düzlemde hareket eden dört uzuv

gösterilmektedir. Bu uzuvlar arasında hiç bir bağlantı yok iken ve bir uzvunda gövde

olduğunu düşünülürse uzuvların konumunu belirlemek için 3*(4-1)=9 parametre gerekir. Bir

mafsal iki ötelenme serbestliğini kısıtlayarak sadece bir dönme serbestliği sağlar. Eğer 2 nolu

uzuv gövdeye (1 nolu uzuv) bir mafsal ile bağlanırsa 2 serbestlik kısıtlanacağından gövde

hariç diğer uzuvların serbestliğini belirlemek için 9-2=7 parametre gerekli olur.

1

4 3

2

4

3

2

1

10

Eğer 3 uzvuda 2 uzvuna bir mafsal ile bağlanırsa bu mafsalda 2 serbestliği kısıtlayacağı için

gövde hariç diğer uzuvların serbestliğini belirlemek için 7-2=5 parametre gerekli olur.

Son olarak 4 nolu uzuv 3 nolu uzva ve gövdeye birer mafsal ile bağlanırsa bu iki mafsal

2*2=4 serbestliği kısıtlayacağı için gövde hariç diğer uzuvların serbestliğini belirlemek için

5-4=1 parametre gerekli olur. Bu şekilde sadece döner mafsallar ile birbirlerine bağlanmış

dört uzuvlu bir mekanizmanın serbestliği bir olmuş olur.

Uzay serbestlik derecesi λ olan bir uzayda fi serbestliği olan bir mafsal, (λ - fi ) kadar hareket

serbestisini kısıtlar ve cisimlerin serbest olduğu duruma nazaran bu kadar parametreyi

tanımlamamız gerekmez. Eğer her bir mafsalın engellediği hareket serbestliği diğer mafsaldan

farklı ise, mekanizmada bulunan j mafsal ile uzuv hareketleri üzerine getirilecek olan toplam

sınırlama:

(1.1 b)

olacaktır. Bu durumda mekanizmada bulunan uzuvların konumlarını belirlemek için gereken

parametre sayısı, hiç bir mafsal olmadığında gereken parametre sayısından mafsalların

sınırladığı serbestliklerin çıkarılması ile elde edilir. Öyle ise:

F = Serbest uzuvlar için gerekli parametre sayısı (1.1a.) - Mafsalların getirdiği sınırlamalar (1.1b)

4

3

1

2

3

1

2

4

11

Veya

Son elde ettiğimiz bu denkleme "Mekanizma serbestlik derecesi denklemi" diyeceğiz. Serbestlik derecesi denklemi, birçok mekanizma için geçerli ise de bu denkleme

uymayan mekanizmalar da bulunmaktadır. Bunun nedeni bu denklemin elde edilişi sırasında

yapılmış olan varsayımlardır. Bu varsayımların en önemlisi mafsalların getirmiş olduğu

hareket sınırlamalarının birbirlerinden bağımsız olmasıdır. Ancak uzuv boyutlarının belirli

değerler alması durumunda bu varsayım geçerli olmayabilir ve mekanizma serbestlik derecesi

denklemi bazı mekanizmalar için doğru sonuçlar vermeyebilir. Bu özel durumları görmeden

önce denklemin geçerli olduğu mekanizmaların incelenmesinde yarar bulunmaktadır.

Mekanizma Örnekleri

MEKANİZMA ŞEKİL Serbestlik Derecesi Hesaplaması

Krank-Biyel

Mekanizması

Dört-Çubuk

Mekanizması

12

Planet dişli-

Kamalı kol

Vargel

Mekanizması

Uzaysal Dört-

Çubuk

Ayarlı Tahrik

Mekanizması

13

Kepçe

Mekanizması

Bir Mekanizmanın serbestlik derecesini belirlerken

Uzuv sayısını

Mafsal sayısını

Mafsal tiplerini

belirlememiz gerekecektir.

Uzuv Sayısını belirlerken bir uzvun birden fazla parça kullanılarak imal edilebileceğini

hatırlayalım. Eğer bir veya birkaç cisim arasında bağıl hareket yok ise, bu cisim kümesi tek

bir uzuvdur.

Mafsal sayısı ve tipini belirlerken temas sayısı ve şekli önemli değildir. Önemli olan husus

mafsal ile birleştirilen kinematik çiftler arasında bulunan bağıl harekettir.