makalah relasi fungsi satu fix
DESCRIPTION
tentang fungsiTRANSCRIPT
Relasi Fungsi Satu-Satu, Relasi Onto, Relasi Into (Domain, Kodomain, Range),
Komposisi Fungsi, Fungsi Invers
1.1. Definisi Relasi
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke
anggota himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah
perkawanan atau pemasangan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A
ke anggota-anggota himpunan B.
Bila diketahui anggota himpunan A = {0,1,2,5}; B = {1, 2, 4, 6} maka relasi
dari himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam bentuk diagram panah,
diagram cartesius, himpunan pasangan berurutan.
a. Diagram panah
Cara membuat relasi dengan diagram panah adalah :
Himpunan pertama atau himpunan A diletakkan di sebelah kiri.
Himpunan kedua atau himpunan B diletakkan di sebelah kanan.
Buatlah anak panah menunjukkan relasi antara himpunan A dengan
himpunan B.
Contoh :
b. Diagram cartesius
Cara membuat relasi dengan diagram Cartesius adalah:
Anggota himpunan pertama atau himpunan A diletakkan pada sumbu
horizontal (sumbu x).
Anggota himpunan kedua atau himpunan B diletakkan pada sumbu
vertical (sumbu y).
Buatlah Noktah (∙) yang menunjukkan relasi antara himpunan A
dengan himpunan B.
1
Contoh :
c. Himpunan pasangan berurutan
R = {(0,1) (1,2) (2,3) (5,6)}
1.2. Definisi Fungsi
Fungsi merupakan bagian dari relasi, dikatakan fungsi jika setiap anggota
himpunan A memiliki pasangan tepat satu di anggota himpunan B, seperti pada
gambar berikut :
Sekarang amati Gambar 1.2(a).
Pada relasi {(x , y )∨ y=x2 ; x , y∈R }, setiap unsur pada daerah asal dihubungkan
dengan satu dan hanya satu unsur pada daerah hasil; –2 dihubungan dengan 4, –1
2
dengan 1, 0 dengan 0, 1 dengan 1, 2 dengan 4, dan seterusnya. Relasi {(x, y)|y = 2x;
x, y∈R} dan relasi{(x, y)|y = x2; x, y∈R} disebut fungsi.
Berbeda dengan Gambar 1.2(b),
yaitu relasi {(x, y)|x2 + y2= 25; x, y∈R}. Pada relasi ini, untuk nilai x yang sama
misalnya x = 3, terdapat dua nilai y yang berbeda, yaitu y = 4 dan y = –4.
Jadi, relasi {(x, y)|x2 + y2 = 25; x, y∈R) bukan fungsi.
1.3. Definisi Domain, Kodomain, Range
Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B maka :
Himpunan A disebut sebagai domain atau daerah asal.
Himpunan B disebut sebagai kodomain atau daerah kawan.
Himpunan B yang berpasangan disebut Range atau daerah hasil.
Aturan memasangkan anggota himpunan A ke anggota himpunan B disebut aturan
fungsi
a. f : A → B dinotasikan dengan f(x).
b. g :C → D dinotasikan dengan g(x).
1.4. Macam-Macam Fungsi
a. Fungsi Konstan (Fungsi Tetap)
Fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan
bila setiap anggota domain selalu berlaku f(x) = C dan C merupakan bilangan
konstan. Contoh :
3
b. Fungsi Linear
Suatu fungsi disebut linear jika fungsi tersebut memenuhi rumus fungsi
f(x) = a + b dimana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan. Grafik dari fungsi linear
ini berupa garis lurus.
c. Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi disebut fungsi kuadrat jika fungsi tersebut memenuhi
rumus f(x) = ax2 + bx +c, dengan a, b, c bilangan konstan. Grafik fungsi
kuadrat berbentuk parabola.
4
d. Fungsi Identitas
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas jika setiap anggota domain
fungsi f(x) = x atau setiap anggota domain x fungsi dipetakan pada dirinya
sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melewati titik asal dan
semua titik absis atau ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh
f(x) = x
.
e. Fungsi Modulus
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus atau fungsi mutlak apabila
fungsi ini memetakan setiap unsur di domain ke suatu nilai positif atau nol,
yaitu f : A → B∋ f ( x )=|x|, dengan a∋D .
5
1.5. Sifat Fungsi
a. Relasi Fungsi Satu-Satu.
f : A → B merupakan fungsi satu-satu (injektif) jika setiap unsur yang berbeda
di A memiliki peta yang saling beda. Fungsi satu-satu digambarkan sebagai
berikut.
Contoh:
Adapun fungsi pada A = {bilangan asli}
yang didefinisikan dengan f(x) = 2x
adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan
dua dari setiap dua bilangan yang
berlainan adalah berlainan pula.
b. Relasi Fungsi Onto (Surjektif)
f : A → B merupakan fungsi onto atau fungsi pada (surjektif) jika setiap unsur
di B memiliki minimal satu kawan di A. Fungsi onto atau pada digambarkan
sebagai berikut.
Contoh:
Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A → B yang didefinisikan dengan diagram panah adalah suatu fungsi yang surjektif.
6
c. Relasi Fungsi Into (Bijektif).
f : A → B merupakan fungsi into (bijektif) jika memiliki sifat injektif dan
surjektif. Fungsi Into digambarkan sebagai berikut
Contoh:
Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B =
{p,q, r} yang didefinisikan sebagai diagram di samping
adalah salah satu fungsi bijektif.
1.6 Aljabar Fungsi.
Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua fungsi, dan x ∈R .Operasi aljabar pada fungsi
dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. ( f +g ) (x )=f ( x )+g (x ) , x∈ ( D1+D 2 )
2. ( f −g ) ( x )=f ( x )−g ( x ) , x∈ ( D1+D2 )
3. ( f × g ) (x )=f ( x )× g (x ) , x∈ ( D1+D 2)
4. ( fg ) ( x )= f (x )
g ( x ), x∈ ( D1+D2 ) , g ≠ 0
5. f ( x )=[ f ( x )n, x∈ Df
Contoh :
7
1.7 Fungsi Komposisi.
Fungsi hasil pengkombinasian atau penggabungan satu fungsi dengan fungsi
yang lain dengan syarat tertentu disebut fungsi komposisi.
Jika f : A → B yang dinyatakan dengan pasangan terurut f = { (x,y) | x∈ A dan
y∈B} dan g :B → C yang dinyatakan dengan pasangan terurut g = {(x,y)| x∈B
dan y∈C} dengan fungsi H adalah komposisi f dan g. Definisi ini digambarkan
sebagai berikut.
Fungsi h ( x )=( f ∘ g ) ( x )=f (g ( x )) adalah komposisi dari fungsi f dan g, dengan
demikian fungsi tersebut dinamakan fungsi komposisi. Sifat – sifat fungsi komposisi :
untuk ∀ x∈Rmaka:
8
Contoh :
1.8 Fungsi Invers.
Jika f : A → B yang dinyatakan dengan pasangan terurut f = { (x,y) | x∈ A dan
y∈B}, maka fungsi invers dari f adalah f−1: B → A yang dinyatakan dengan
f -1 ={(x,y) | x∈ A dan y∈B}. Definisi ini digambarkan sebagai berikut :
a. Teorema Fungsi Invers.
9
Misalkan f : A → B adalah fungsi bijektif dan f−1: A → B menyatakan fungsi
invers dari f yang juga bijektif.
f ( x )= y⟺ f−1 ( y )=x
Langkah – langkah menentukan fungsi invers :
1. Misalkan y = f(x), kemudian diubah menjadi bentuk x = g(y).
2. Tuliskan x sebagai f -1(y) sehingga f-1(y) = g(y).
3. Ubahlah huruf y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi invers f−1 (x ).
Grafik fungsi f−1 (x ) adalah pencerminan dari grafik fungsi f(x) terhadap garis
y = x.
Contoh :
Tentukan fungsi invers dari persamaan berikut f ( x )=3−2 dan f ( x )=3 x+42 x−1
Jawab:
1.9 Fungsi
Invers
dari Fungsi
Komposisi.
Teorema 1: jika f : A → Bbijektif dan f--1adalah fungsi invers dari f, maka
f ∘ f −1=f −1∘ f =I, dengan I fungsi idenitas.
Teorema 2: jika f : A → Bbijektif dang :B → Abijektif sehingga g∘ f =f ∘ g=I ,
maka g = f -1.
Teorema 3: misalkanf : A → Bbijektif dan g :B → Cbijektif, maka g∘ f : A → C
bijektif dan fungsi inversnya ¿. Sehingga ¿, jika f, g, dan h bijektif.
10