relasi fungsi teknik
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
1/26
1
2
4
5
1
2
3
5
A B
Relasi dan Fungsi
Pengertian Relasi dan Fungsi
1. Relasi antara dua himpunan
Jika A dan B dua himpunan yang tidak kosong, maka didefinisikan:
{ }BdanA,!BA = yxyx , A B dise"ut hasil kali #artesian antara
himpunan A dan B.
Jika R !A B, maka R dise"ut relasi dari himpunan A ke himpunan B.
Relasi dapat diartikan se"agai aturan yang menga$ankan dua himpunan.
Ada "e"erapa #ara menyatakan relasi, yaitu:
a. diagram panah
". himpunan pasangan "erurutan
#. grafik kartesius
%ontoh:
&iketahui himpunan A =' 1, 2, 4, 5( dan B =' 1, 2, 3, 5(, nyatakan relasi dari
A ke B dengan )dua le"ihnya dari* +
enyelesaian:
a. diagram panah #. -rafik kartesius
1
1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
-" 2.2. #ontoh grafik kartesius
A
B
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
2/26
". himpunan pasangan "erurutan
'!1,1, !4,2, !5,3(
2. emetaan atau fungsi
emetaan atau fungsi fdari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi
yang menghu"ungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B.
emetaan seperti ini "iasa dinotasikan dengan
f: x y atau y =f!/
di"a#a )f memetakanx key *
y dinamakan peta atau "ayangan dari x oleh fungsi f. 0impunan semua
peta"ayangan dari fungsi dise"ut daerah hasil (range).
Jadi untuk suatu fungsi diperlukan syarat:
a. 0impunan A se"agai daerah asal atau daerah definisi !domain.
". 0impunan B se"agai daerah ka$an !kodomain.
#. 0impunan R se"agai daerah hasil !range
d. uatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap
anggota A dengan tepat satu anggota pada B, atau dengan kata lain
setiap anggota A dipasangkan ha"is tetapi tidak "oleh ada satu anggota A
yang punya pasangan le"ih dari atau kurang dari satu.
&omain fungsi f"iasanya dilam"angkan dengan & fsedangkan range fungsi f
"iasanya dilam"angkan dengan Rf.
%ontoh:
2
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
3/26
1 &iantara diagram panah "erikut yang merupakan fungsi !pemetaan dari A
ke B adalah
a. #.
". d.
enyelesaian:
" adalah a$a"nya, se"a" setiap anggota A dipasangkan ha"is dan punya
ka$an tunggal
a "ukan fungsi se"a" ada anggota A yang tidak punya ka$an #
"ukan fungsi se"a" ada anggota A yang punya ka$an le"ih dari satu
d "ukan fungsi se"a" ada anggota A yang tidak punya ka$an dan ada
anggota A yang punya ka$an le"ih dari satu.
2 &iketahui suatu fungsi yang memetakan A ='1, , 2( ke B ='1, 2,
3, 4( dengan sifat )pangkat tiga dari*
a Buatlah diagram panahnya
" 6entukan domain, kodomain dan range fungsi terse"ut.
enyelesaian:
a
3
A B
A B
A B
-".2.3. diagram panah
A B
1
2
1
2
3
4
A B
-". 2.4. diagram panah
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
4/26
-". 2.5. korespondensi satusatu
A B
" &omain fungsi !&f adalah A ='1, , 2(
7odomain fungsi adalah B ='1, 2, 3, 4(
Range fungsi !Rf adalah R ='1, 2, 3(
&iagram panah di "a$ah ini menunukkan keadian khusus dari pemetaan
yang dise"ut korespondensi satusatu.
7orespondensi satusatu adalah pemetaan yang menghu"ungkan setiap
anggota A dengan tepat satu anggota pada B dan menghu"ungkan setiap
anggota B dengan tepat satu anggota pada A.
Jika suatu fungsi fmempunyai daerah asal dan daerah ka$an yang
sama, misalkan & maka sering dikatakan fungsi fpada &. Jika daerah asal
dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua
bilangan riil (). 8ntuk fungsifungsi pada kita kenal "e"erapa fungsi
khusus antara lain: fungsi linier dan fungsi kuadrat.
4
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
5/26
A. Fungsi Linier
9ungsi linier mempunyai persamaan y=ax b, a,bdan a. -rafik fungsi
linier "erupa garis lurus. 8ntuk menggam"ar grafik fungsi linier ada dua #ara,
yaitu: dengan ta"el dan dengan menentukan titik potong pada sum"u / dan
sum"u y.
%ontoh:
-am"arlah grafik fungsi y =2x 2
enyelesaian:
1. &engan ta"el
x 1 1
y =2x 2 2 4
2. &engan titik potong sum"u / dan sum"u y
ersamaan garis y =2x 2
6itik potong grafik dengan sum"u /:
syarat y= =2x 2
2x=2
x=1
sehingga titik potong grafik dengan sum"u / adalah ! 1,
5
&ari ta"el diperoleh titiktitik "erupa
pasangan koordinat, kita gam"ar titik
terse"ut dalam "idang kartesius
kemudian dihu"ungkan sehingga
tampak mem"entuk garis lurus.
!gam"ar 2.;
1 2 3 4
1
1
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
7/26
y y1=m !xx1
ada gam"ar 2., misalkan adalah sudut antara garis horisontal !seaar
sum"u x dan grafik fungsi linier dengan arah putaran "erla$anan arah
dengan arah putaran arum am, maka gradien dapat pula didefinisikan
dengan =
= tanx
ym .
Jadi
e"agai #atatan "ah$a
a Jika m = maka grafik seaar dengan sum"u xdan ini sering dise"ut
se"agai fungsi konstan.
" Jika m> maka grafik miring ke kanan !
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
8/26
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
=
y y1=m!xx1
y ? =;!x3
y=;x
1 ?
y=;x?
Jadi persamaan garisnya adalah y=;x?.
3. @enentukan persamaan garis melalui dua titik
ersamaan garis melalui dua titik A!x1,y1 dan B!x2,y2 dapat di#ari dengan
langkah se"agai "erikut:
persamaan garis melalui titik A!x1,y1 dan dengan memisalkan gradiennya m
adalah
y y1=m !xx1 . !i
karena garis ini uga melalui titik B!x2,y2, maka y2y1 =m !x2x1, sehingga
diperoleh gradien
12
12
xx
yym
= . !ii
persamaan !ii disu"stitusikan ke !i diperoleh12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
=
Jadi persamaan garis melalui dua titikA!x1,y1 danB!x2,y2 adalah
%ontoh:
6entukan persamaan garis yang melalui titik !1,; dan !3,.
enyelesaian:
7edua titik !1,; dan !3, disu"stitusikan ke persamaan garis melalui dua titik.
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
9/26
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
=
13
1
;
;
=
xy
2
1
2
; = xy
y; =x1
y=x 5
Jadi persamaan garisnya adalah y=x 5
4. @enentukan titik potong antara dua garis
@isalkan dua garis g1 dan g2 saling "erpotongan di titik P!x,y, maka nilaix
dan y harus memenuhi kedua persamaan garis terse"ut. 6itik potong dua
garis dapat di#ari dengan metode su"stitusi atau eliminasi.
%ontoh:
6entukan titik potong dari dua garis g1: y=3x 2 dan g2:y=x
enyelesaian:
oal di atas dapat diselesaikan dengan 2 metode
a. @etode su"stitusi
Cilai ypada persamaan g2diganti dengan nilai ypersamaan g1
y=x
3x 2 =x
2x=;
x=3
x=3 dimasukkan ke persamaan g2diperoleh
y=x =3 =11
adi titik potong g1: y=3x 2 dan g2:y=x adalah !3,11
?
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
10/26
". @etode eliminasi
@etode eliminasi dilakukan dengan menyamakan koefisien salah satu
Daria"el untuk menghilangkan salah satu Daria"el lainnya. 7arena kedua
persamaan terse"ut memiliki koefisien Daria"el y yang sama maka
langsung dieliminasikan
y=3x 2 x=3 dimasukkan ke persamaan g2
y=x y=x =3 =11
=2x;
2x=; x=3
adi titik potong g1: y=3x 2 dan g2:y=x adalah !3,11
%atatan:
a. -aris g1 yang "ergradien m1dikatakan sejajar dengan g2yang "ergradien
m2 ika memenuhi m1=m2
%ontoh:
Apakah garis y=5x 12 seaar dengan y=5x
enyelesaian:
7arena m1=m2=5 maka kedua garis terse"ut seaar.
". -aris g1 yang "ergradien m1 dikatakan tegak lurus dengan g2 yang
"ergradien m2 ika memenuhi m1. m2=1
%ontoh:
Apakah garis 2y=;x 12 dan ?y=3x saling tegak lurusE
enyelesaian:
g1: 2y=;x 12 y=3x ; m1=3
1
+
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
11/26
g2: ?y=3x y=?
3
1+ x m2=
3
1
m1. m2=3 .
3
1=1 sehingga kedua garis saling tegak lurus.
B. Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y=ax2 bx cdengan a,b,c
dan a . -rafik fungsi kuadrat "er"entuk para"ola maka sering uga dise"ut
fungsi parabola.
Jika a> , para"ola ter"uka ke atas sehingga mempunyai titik "alik minimum
!gam"ar 2.?.a
Jika a
-". 2.?.". grafik para"ola
=
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
12/26
Jika ditinau dari nilai adan & maka sketsa grafik para"ola se"agai "erikut:
a G , & H a G , & = a G , & G
a H , & H a H , & = a H , & G
%atatan:
persamaan kuadrat ax2 bx c= dapat di#ari akarakarnya dengan:
emfaktoran
7uadrat sempurna
Rumus a"#:x12=a
acbb
2
42
%ontoh:
-am"arlah sketsa grafik fungsi y=x2;x
enyelesaian:
a. @enentukan pem"uat nol fungsi
&engan pemfaktoran diperoleh
x2;x =
!x 2 !x 4 =
x=2 ataux=4
". @enentukan sum"u simetri
12
&efinit positif
&efinit negatif
X2
X1
X2
X1
X1=X
2
X1=X
2
-
7/24/2019 Relasi Fungsi Teknik
13/26
=