mail.baskent.edu.trmail.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/kitap/topprob.pdfbölüm 2 temel topoloj...

K�s�m I

Simgeler ve Terimler

1

Bölüm 1

SMGELER ve TERMLER

1.1 KÜMELER CEBR

1.2 FONKSYON

1.3 DENKLK BAINTISI

1.4 SIRALAMA BAINTILARI

1.5 SEÇME AKSYOMU

SEÇME AKSYOMU ve EDEERLER

3

4 BÖLÜM 1. SMGELER VE TERMLER

K�s�m II

Topolojik Yap�lar

5

Bölüm 2

TEMEL TOPOLOJKAVRAMLARI

2.1 AÇIK KÜMELER

2.1.1 PROBLEMLER

1. Bir, iki, üç ö§eli kümeler üzerinde kurulabilecek bütün topolojik yap�lar�kurunuz.

Çözüm:

(a) Bir ö§eli küme X = {a} olsun. T = {∅, {a}} = {∅, X} ailesi Xüzerinde bir topolojidir. Gerçekten, T ailesi yaln�zca iki kümedenolu³tu§u için

T1 ∅ ∈ T , X ∈ TT2 ∅ ∩X = ∅ ∈ TT3 ∅ ∪X = X

yaz�labilir. O halde T ailesi X kümesi üzerinde bir topolojidir. Birö§eli X kümesi üzerinde ba³ka topoloji yoktur.

(b) ki ö§eli küme X = {a, b} olsun. Bu küme üzeride a³a§�daki dörttopoloji kurulabilir.

• T1 = {∅, {a, b}}• T2 = {∅, {a}, {a, b}}• T3 = {∅, {b}, {a, b}}• T4 = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

(c) Üç ö§eli küme X = {a, b, c} olsun. Bu küme üzeride a³a§�daki 29topoloji kurulabilir.

7

8 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI

• T1 = {∅, {a, b, c}}• T2 = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}• T3 = {∅, {a}, {a, b, c}}• T4 = {∅, {b}, {a, b, c}}• T5 = {∅, {c}, {a, b, c}}• .• T6 = {∅, {a, b}, {a, b, c}}• T7 = {∅, {a, c}, {a, b, c}}• T8 = {∅, {b, c}, {a, b, c}}• .• T9 = {∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}}• T10 = {∅, {b}, {a, b}, {a, b, c}}• T11 = {∅, {c}, {a, b}, {a, b, c}}• .• T12 = {∅, {a}, {a, c}, {a, b, c}}• T13 = {∅, {b}, {a, c}, {a, b, c}}• T14 = {∅, {c}, {a, c}, {a, b, c}}• .• T15 = {∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}}• T16 = {∅, {b}, {b, c}, {a, b, c}}• T17 = {∅, {c}, {b, c}, {a, b, c}}• .• T18 = {∅, {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}}• T19 = {∅, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}}• T20 = {∅, {c}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}}• .• T21 = {∅, {a}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}• T22 = {∅, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}• T23 = {∅, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}• .• T24 = {∅, {a}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}• T25 = {∅, {b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}• T26 = {∅, {c}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}• .• T27 = {∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}}• T28 = {∅, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}}• T29 = {∅, {a}, {c}, {a, c}, {a, b, c}}

2. Bo³ olmayan bir X kümesi ile bir a ∈ X ö§esi verilsin. Bo³ küme ile aö§esini içeren bütün alt kümelerin; yani

T = {A ⊂ X : (A = ∅) ∨ (a ∈ A)}

ailesinin X kümesi üzerinde bir topoloji oldu§unu gösteriniz.

2.1. AÇIK KÜMELER 9

Çözüm:

T1 ∅ ∈ T veriliyor. a ∈ X oldu§undan X ∈ T ç�kar.

T2 T1, T2 ∈ T ise a ∈ T1 ve a ∈ T2 olaca§�ndan a ∈ T1 ∩ T2 olur.

T3 Tı ∈ T , (ı ∈ I) ise a ∈ Tı, (ı ∈ I) olaca§�ndan a ∈ ∪Tı, (ı ∈ I) olur.

3. Her hangi bir X kümesi üzerinde bo³ küme ile tümleyenleri say�labilir olankümeler ailesinin; yani

T = {A ⊂ X : (A = ∅) ∨ (A′ say�labilir)}

ailesinin bir topoloji oldu§unu gösteriniz.

Çözüm:

T1 ∅ ∈ T veriliyor. X ′ = ∅ say�labilir oldu§undan X ∈ T ç�kar.

T2 T1, T2 ∈ T ise T′

1 ve T′

2 say�labilir olaca§�ndan (T1 ∩ T2)′ = T′

1 ∪ T2′say�labilir olur. O halde (T1 ∩ T2) ∈ T ç�kar.

T3 Tı ∈ T , (ı ∈ I) ise T′

ı , (ı ∈ I) kümeleri say�labilirdir. Öyleyse (∪Tı)′

=∩T ′ı , (ı ∈ I) say�labilir olur. Buradan (∪Tı) ∈ T ç�kar.

4. X = [0, 1) = {x : 0 ≤ x < 1} aral�§� üzerinde bo³ küme ile [0, α), α ∈ R,biçimindeki yar�-aç�k aral�klar ailesinin; yani

T = {∅, [0, α) : 0 < α ≤ 1 , α ∈ R}


Çözüm:

T1 ∅ ∈ T veriliyor. α = 1 al�n�nca X = [0, 1) ∈ T ç�kar.

T2 A = [0, α) ∈ T ve B = [0, β) ∈ T ise γ = min{α, β} olmak üzereA ∩B = [0, γ) olaca§�ndan A ∩B ∈ T ç�kar.

T3 Aı = [0, αı) ∈ T , (ı ∈ I) ise δ = sup{αı} olmak üzere ∪Aı = [0, δ) ∈T ç�kar.

5. (a) R gerçel say�lar kümesi üzerinde R, bo³ küme ve [β,∞), β ∈ R, biçi-mindeki yar�-aç�k aral�klardan olu³an ailenin; yani

T = {A : (A = R) ∨ (A = ∅) ∨ (A = [β,∞)), β ∈ R}



Çözüm:

T1 ∅ ∈ T ve R ∈ T veriliyor.T2 A = [β1,∞) ∈ T ve B = [β1,∞) ise β = max{β1, β2} olmak

üzere A ∩B = [β1,∞) olaca§�ndan A ∩B ∈ T ç�kar. Ayr�ca

R ∩ [β,∞) = [β,∞) ∈ T

R ∩ ∅ = ∅ ∈ T ∧ [β,∞) ∩ ∅ = ∅ ∈ T

olur.T3 Aı = [βı,∞) ∈ T , (ı ∈ I) ise β = inf{βı} olmak üzere ∪Aı =

[β,∞) ∈ T ç�kar.(b) R gerçel say�lar kümesi üzerinde R, bo³ küme ve (β,∞), β ∈ R, biçi-

mindeki aç�k aral�klardan olu³an ailenin; yani

T = {A : (A = R) ∨ (A = ∅) ∨ (A = (β,∞)), β ∈ R}


Çözüm:

T1 ∅ ∈ T ve R ∈ T veriliyor.T2 A = (β1,∞) ∈ T ve B = (β1,∞) ise β = max{β1, β2} olmak

üzere A ∩B = (β1,∞) olaca§�ndan A ∩B ∈ T ç�kar. Ayr�ca

R ∩ (β,∞) = (β,∞) ∈ T

R ∩ ∅ = ∅ ∈ T ∧ (β,∞) ∩ ∅ = ∅ ∈ T

olur.T3 Aı = (βı,∞) ∈ T , (ı ∈ I) ise β = inf{βı} olmak üzere ∪Aı =

(β,∞) ∈ T ç�kar.

6. Örnek 2.1.3 'te kurulan T2 ve T3 topolojilerinin arakesitinin; yani her ikitopolojide de var olan kümelerden olu³an ailenin yeni bir topoloji oldu§unugösteriniz. Kar³�t olarak, T2 ve T3 topolojilerinin bile³iminin; yani ikitopolojiden herhangi birisine veya her ikisine de ait olan bütün kümeler-den olu³an ailenin yeni bir topoloji olu³turmad�§�n� gösteriniz. A³a§�dakiproblemler bunu genelle³tirecektir.

Çözüm:T2 ∩T3 = {∅, X, {b, c}}

dir. Bu ailenin [T1] - [T3] topoloji aksiyomlar�n� sa§lad�§� kolayca görülmek-tedir. Öte yandan

T2 ∪T3 = {∅, X, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}


dir. Bu bile³imin topoloji aksiyomlar�n� sa§lamad�§�n� göstermek için birtane kar³� örnek vermek yetecektir. Örne§in,

{a, b} ∩ {a, c} = {a} /∈ T2 ∪T3

oldu§undan [T2] aksiyomu sa§lanmaz. O halde T2∪T3 bir topoloji de§ildir.

7. T ve S bir X kümesi üzerinde birer topolojik yap� iseler

T ∩S = {H : (H ∈ T ) ∧ (H ∈ S )} (2.1)

ailesinin de X üzerinde bir topolojik yap� oldu§unu gösteriniz.

Çözüm:

T1 ∅, X ∈ T ∩T oldu§u apaç�kt�r.

T2 T, S =∈ T ∩S ise T ∩ S ∈ T ∩S olur.

T3 Aı ∈ T ∩S , (i ∈ I) ise ⋃i∈I

Aı ∈ T

⋃i∈I

Aı ∈ S

olaca§�ndan ⋃i∈I

Aı ∈ T ∩S

ç�kar.

8. T ve S bir X kümesi üzerinde birer topolojik yap� iseler

T ∪S = {H : (H ∈ T ) ∨ (H ∈ S )} (2.2)

ailesinin X üzerinde bir topolojik yap� olu³turmayabilece§ine örnek gös-teriniz.

Çözüm: ki topolojinin bile³iminin bir topoloji olmayabilece§ine çokörnek gösterilebilir. A³a§�da iki örnek verilmi³tir.

(a) 6.Problemin çözümünde gösterildi§i üzere

T2 ∪T3 = {∅, X, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}

bile³imi bir topoloji de§ildir.


(b) B = {[a, b) |a, b ∈ R, a < b} ailesine ait kümelerin herhangi birbile³imi olarak yaz�labilen kümelerin olu³turdu§u aileye A diyelim.(R,A ) bir topolojik uzayd�r. A topolojisine R üzerindeki alt-limittopolojisi denilir.Benzer olarak, E = {(c, d] |a, b ∈ R, c < d} ailesine ait kümelerinherhangi bir bile³imi olarak yaz�labilen kümelerin olu³turdu§u aileyeU diyelim. (R,U ) bir topolojik uzayd�r. U topolojisine R üzerindekiüst-limit topolojisi denilir.A ) ∪U bile³imi, topoloji aksiyomlar�n� sa§lamaz. Dolay�s�yla R üz-erinde bir topoloji de§ildir. Böyle oldu§unu bir kar³� örnekle göstere-biliriz. [a, b), (c, d] ∈ A ∪U dur, ama [a, b) ∩ (c, d] = [a, d] /∈ A ∪Udir. O halde [T2] aksiyomu sa§lanmaz.

9. Bir X kümesi üzerindeki kimi topolojilerden olu³an bir Ti : i ∈ I topolojikyap�lar ailesi verilsin.

L =⋂i∈I

Ti = {T : (∃ı ∈ I)T ∈ Tı}

arakesitininX üzerinde bir topoloji oldu§unu gösteriniz. ( leride bu topolo-jiye, verilen topolojilerin en büyük alt s�n�r� diyece§iz.)

Çözüm:

T1 Her (i ∈ I) için ∅, X ∈ Tı oldu§undan ∅, X ∈ L olur.T2 T, S =∈ L ise her (i ∈ I) için

T, S ∈ Tı ⇒ T ∩ S ∈ Tı ⇒ T ∩ S ∈ L

olur.

T3 Her ( ∈ J) için A ∈ L ise her ( ∈ J) ve her (ı ∈ I) için A ∈ Tıolacakt�r. Buradan ⋃

∈JA ∈ Tı

∈⋂ı∈I

Tı

∈ L

ç�kar.

10. Tan�m 2.1.1 ile verilen [Tl] aksiyomunun [T2] ile [T3] aksiyomlar�ndanba§�ms�z olmad�§�n�; yani ilk aksiyomun son ikisinden ç�kar�labilece§inigösteriniz. (Yol gösterme: Bo³ ailenin arakesiti evrensel kümedir, bile³imiise bo³ kümedir. (Bkz. [?].)


Çözüm: (X,T ) bir topolojik uzay olsun. Bo³ ailenin arakesiti evrenselküme, bo³ ailenin bile³imi bo³ küme oldu§undan⋃

i∈∅

Ti = ∅

yazabiliriz. O halde, [T3] aksiyomu gere§ince ∅ ∈ T olur. Benzer dü³ünü³le⋂i∈∅

Ti = X

yaz�labilir, ki bu X ∈ T olmas� demektir.


2.2 KAPALI KÜMELER

2.2.1 PROBLEMLER

1. Bir topolojik uzayda kapal� kümelerden olu³an bir ailenin bile³iminin ka-pal� bir küme olmayabilece§ini, bir örnek ile gösteriniz.

Çözüm: R üzerinde, aç�k kümeleri, aç�k aral�klar�n bir bile³imi olarakyaz�labilen topolojiyi (salt topoloji)[ bkz. 2.5.1.Kesimdeki 10.Problem] dü³üne-lim. Her n ∈ N do§al say�s�na kar³�l�k

(a)

An = [0 +1

n, 1− 1

n]

kümelerini tan�mlayal�m. Bu kümelerin her biri salt topolojiye görekapal�d�r. Ancak bunlar�n bile³imi olan

A =

∞⋃n=1

An =

∞⋃n=1

[0 +1

n, 1− 1

n] = (0, 1)

kümesi aç�kt�r.

(b)

Bn = [0, 1−1

n]

kümelerini tan�mlayal�m. Bu kümelerin her biri salt topolojiye görekapal�d�r. Ancak bunlar�n bile³imi olan

B =

∞⋃n=1

Bn =

∞⋃n=1

[0, 1− 1n

] = [0, 1)

kümesi ne aç�k ne de kapal�d�r.

(c)

Cn = [0−1

n, 1 +

1

n]

kümelerini tan�mlayal�m. Bu kümelerin her biri salt topolojiye görekapal�d�r. Bunlar�n bile³imi olan

C =

∞⋃n=1

Cn =

∞⋃n=1

[0, 1− 1n

] = [0, 1)

kümesi de kapal�d�r.

(d)Dn = [−n,+n]

2.2. KAPALI KÜMELER 15

kümelerini tan�mlayal�m. Bu kümelerin her biri salt topolojiye görekapal�d�r. Bunlar�n bile³imi olan

R =∞⋃n=1

Dn =

∞⋃n=1

[−n,+n] = (−∞,+∞)

kümesi hem aç�k hem kapal�d�r.

Bu dört örnek gösteriyor ki, kapal� kümelerden olu³an sonsuz birailenin bile³imi kapal� olmayabilir. Bu bile³im aç�k, kapal� ya da neaç�k ne de kapal� bir küme olabilir.

Benzer i³i aç�k kümeler için de söyleyebiliriz. A³a§�daki örnek, aç�kkümelerin sonsuz say�das�n�n arakesitinin aç�k olmayabilece§ini göster-mektedir.

(e)

En = (−1

n,+

1

n)

kümelerini tan�mlayal�m. Bu kümelerin her biri salt topolojiye göreaç�kt�r. Bunlar�n arakesiti olan tek ö§eli

E =

∞⋂n=1

Dn =

∞⋂n=1

(− 1n,+

1

n) = {0}

kümesi kapal�d�r.

2. Örnek 2.1.3 ile verilen üç topolojiye ait kapal� kümeleri ayr� ayr� sap-tay�n�z.

Çözüm: Söz konusu örnek üç ö§eli bir X = {a, b, c} kümesi üzerindekurulan

(a) T1 = {∅, {a}, {a, b}, X}(b) T2 = {∅, {b}, {a, b}, {c, b}, X}(c) T3 = {∅, {c}, {a, c}, {b, c}, X}

topolojilerdir.

Her bir topoloji için aç�k kümelerin tümleyenleri o topolojinin kapal� kümeleridir.O halde, arad�§�m�z kapal� kümeler ³unlar olacakt�r:

(a) T′

1 = {X, {b, c}, {c}, ∅}(b) T

′

2 = {X, {a, c}, {c}, {a}, ∅}(c) T

′

3 = {X, {a, b}, {b}, {a}, ∅}

3. Ayr�k bir topolojik uzay�n kapal� kümelerini belirleyiniz.


Çözüm: (X,P) ayr�k topolojik uzay olsun. Bu topolojiye göreX kümesininher alt kümesi aç�kt�r. Herhangi birK ⊂ X alt kümesini dü³ünelim. BununK ′ tümleyeni ayr�k topolojiye göre aç�kt�r. O halde K kümesi kapal�d�r.Bu demektir ki, ayr�k topolojide her alt küme hem aç�k hem kapal�d�r.

4. Sonlu bir küme üzerinde tan�ml� bir topolojiye göre, tek ö§eli her kümekapal� bir alt küme oluyorsa, gösteriniz ki bu topoloji ayr�k topolojidir.

Çözüm: X = {a1, a2, . . . , an} sonlu bir küme olmak üzere, (X,T ) topolo-jik uzay�nda tek ö§eli her {ai} , (i = 1, 2, . . . , n), kümesi kapal� olsun.imdi herhangi bir ai ∈ X ö§esinin tümleyen kümesini dü³ünelim.

{ai}′ =⋃{aj : j 6= i}

e³itli§i yaz�labilir. E³itli§in sa§ yan� sonlu tane kapal� kümenin bile³imioldu§undan kapal�d�r. Dolay�s�yla, {a}′ kapal�d�r. Öyleyse, {ai} aç�kt�r.Demek ki (X,T ) topolojik uzay�nda tek ö§eli her küme hem aç�k hemkapal�d�r. Oysa, bu nitelik ancak ayr�k topolojik uzayda vard�r.

5. Bir topolojik uzayda aç�k bir A kümesi ile kapal� bir K kümesi veriliyor.Gösteriniz ki

(i) A−K kümesi aç�kt�r;(ii) K −A kümesi kapal�d�r.

Çözüm:

(i) A − K = A ∩ K ′ kümesi, aç�k iki kümenin arakesiti oldu§u içinaç�kt�r.[bkz. 2.1.1.Tan�m]

(ii) K − A = K ∩ A′ kümesi, kapal� iki kümenin arakesiti oldu§u içinkapal�d�r.[bkz. Önerme 2.2.1]

2.3. Ç, DI, KENAR NOKTALARI 17

2.3 Ç, DI, KENAR NOKTALARI

2.3.1 PROBLEMLER

1. Bir topolojik uzayda A aç�k bir küme B her hangi bir küme olsun. E§erA ⊂ B0 ise A ⊂ B olaca§�n� gösteriniz.

Çözüm: stenen kapsama ba§�nt�s� A ⊂ B0 ⊂ B ba§�nt�s�ndan apaç�k-t�r.

2. Bir (X,T ) topolojik uzay�nda A her hangi bir küme ve K kapal� bir kümeolsun. E§er A ∪K = X ise Ao ∪K= X olaca§�n� gösteriniz.

Çözüm: A∪K = X ve Ao ∪K 6= X oldu§unu varsayal�m. Bu durumdax ∈ A − Ao ve x /∈ K olacak biçimde bir x ∈ X ö§esi var olmal�d�r; yanix ∈ A − Ao ve x ∈ K ′ olacak biçimde bir x ∈ X ö§esi var olmal�d�r. K ′kümesi aç�k oldu§undan x ∈ T ⊂ K ′ olacak biçimde aç�k bir T kümesi varolmal�d�r. Öte yandan

A ∪K = X ⇒ A′ ∩K ′ = ∅⇒ K ′ ⊂ (A′)′

⇒ K ′ ⊂ A⇒ x ∈ T ⊂ K ′ ⊂ A⇒ x ∈ Ao

olur. O halde x ∈ Ao ∪K olacakt�r. Öyleyse Ao ∪K = X dir.

3. (X,T ) bir topolojik uzay A,B ⊂ X olsun. A³a§�daki özelliklerin sa§-land�§�n� gösteriniz.

(a) Ao ∪Bo ⊂ (A ∪B)o dir.

(b) ∂(Ao) ⊂ ∂A

(c) ∂(A ∪B) ⊂ ∂A ∪ ∂B

(d) d�³ (A ∪B) =d�³(A)∩d�³(B)

(e) Ao = A− (A ∩ ∂A)

(f) ∂A ∩A = ∅ ⇔ A ∈ T dur.

(g) ∂A ⊂ A⇔ A kapal�d�r.

Çözüm:


(a)

x ∈ (Ao ∪Bo)⇒ (x ∈ Ao) ∧ (x ∈ Bo)⇒ ∃T1, T2 ∈ T [(x ∈ T1 ⊂ A) ∧ (x ∈ T2 ⊂ B)]⇒ (x ∈ T1 ∩ T2 ⊂ A ∩B)⇒ x ∈ (A ∩B)o

(b)

x ∈ ∂(Ao)⇒ (x /∈ ((Ao))o) ∧ (x /∈ ((Ao)′)o)⇒ (x /∈ Ao ∧ (x /∈ ((A′)o))o)⇒ (x /∈ Ao ∧ (x /∈ (A′)o) (Ao)′ ⊃ (A′)o

⇒ x ∈ ∂A

(c)

x ∈ ∂(A ∪B)⇒ (x /∈ (A ∪B)o) ∧ (x /∈ ((A ∪B)′)o)⇒ (x /∈ Ao ∪Bo) ∧ (x /∈ (A′ ∩B′)o)⇒ (x /∈ Ao ∧ (x /∈ Bo) ∧ (x /∈ [(A′)o ∩ (B′)o])⇒ (x /∈ Ao ∧ (x /∈ Ao) ∧ [(x /∈ (A′)o) ∧ (x /∈ (B′)o)]⇒ [(x /∈ Ao ∧ (x /∈ (A′)o)] ∧ [(x /∈ Bo) ∧ (x /∈ (B′)o)]⇒ [(x ∈ ∂A] ∨ [(x ∈ ∂B]⇒ x ∈ ∂A ∪ ∂B

(d)

x ∈ ext(A ∪B)⇒ x ∈ ((A ∪B)′)o

⇒ x ∈ (A′ ∩B′)o

⇒ x ∈ (A′)o ∩ (B′)o

⇒ (x ∈ (A′)o) ∧ (x ∈ (B′)o)⇒ (x ∈ ext(A)) ∧ (x ∈ ext(B))⇒ x ∈ ext(A) ∩ ext(B)

(e)

x ∈ Ao ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x /∈ ∂(A))⇐⇒ (x ∈ A ∧ x /∈ A ∩ ∂(A))⇐⇒ (x ∈ A− (A ∩ ∂(A))

(f)

A ∩ ∂A = ∅ ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x /∈ ∂A)⇐⇒ x ∈ Ao

Bu ba§�nt�, bir kümenin aç�k olmas� için hiç bir kenar noktas�n� içer-memesinin gerekli ve yeterli ko³ul oldu§unu söyler.

2.3. Ç, DI, KENAR NOKTALARI 19

(g)

∂A ⊂ A⇐⇒ (x ∈ ∂A⇒ x ∈ A)⇐⇒ (x ∈ A′ ⇒ x /∈ ∂A)

Bu ko³ul alt�nda

x ∈ A′ ⇐⇒ ∃T ∈ T [(x ∈ T ⊂ A′) ∧ (T ∩A = ∅)]⇐⇒ x ∈ (A′)o

yaz�labilir. Bu ba§�nt�, bir kümenin kapal� olmas� için bütün kenarnoktalar�n� içermesinin gerekli ve yeterli ko³ul oldu§unu söyler.

4. Her kümenin kenar kümesi kapal�d�r. Gösteriniz.

Çözüm:

x ∈ (∂A)′ ⇐⇒ x /∈ ∂A⇐⇒ (x ∈ Ao) ∨ (x ∈ (A′)o)⇐⇒ x ∈ Ao ∪ (A′)o

Buradan(∂A)′ = Ao ∪ (A′)o

e³itli§i ç�kar. ki aç�k kümenin bile³imi oldu§u için, e³itli§in sa§ yan�aç�k bir kümedir. O halde ∂A kapal�d�r. Önceki problemin (g) önermesigere§ince

∂(∂A) ⊂ ∂A

ba§�nt�s�n� yazabiliriz.

5. Kapal� bir küme iç noktalar� ile kenar noktalar�n�n bile³imine e³ittir. Gös-teriniz.

Çözüm: Problem 3(g) gere§ince

K kapal�⇐⇒ ∂K ⊂ K⇐⇒ (∂K ⊂ K) ∧ (Ko ⊂ K)⇐⇒ (∂K ∪Ko) ⊂ K

yaz�labilir, ki bu isteneni verir.

6. Bir kümenin hem aç�k hem kapal� olmas� için gerekli ve yeterli ko³ul hiçbirkenar noktas�n�n olmamas�d�r. spatlay�n�z.


Çözüm:

∂A = ∅ ⇐⇒ [(∂A ⊂ A)⇒ A kapal�⇐⇒ (Ao = A)⇒ A aç�k

7.∂(∂A) = ∂A

oldu§unu gösteriniz.

Çözüm: (x ∈ ∂A) ∧ (x /∈ ∂(∂A)) olacak biçimde bir x ö§esi varolsayd�

x /∈ ∂(∂A)⇐⇒ [(x ∈ (∂A)o] ∨ [x ∈ ((∂A)′)o]⇐⇒ ∃T1, T2 ∈ T [(x ∈ T1 ⊂ ∂A) ∨ (x ∈ T2 ⊂ (∂A)′]⇐⇒ [(x ∈ T1 ∩ T2 ⊂ ∂A) ∨ (x ∈ T1 ∩ T2 ⊂ (∂A)′]

olurdu. Bu çeli³ki olamayaca§�ndan, seçilen biçimde bir x ö§esi yoktur. Ohalde ∂(∂A) = ∂A dir.

2.4. YIILMA NOKTALARI 21

2.4 YIILMA NOKTALARI

2.4.1 PROBLEMLER

1. (X,T ) bir topolojik uzay A,B,K ⊂ X oldu§una göre a³a§�daki özellik-lerin varl�§�n� gösteriniz.

(a) (A ∩B)∼ ⊂ Ã ∩ B̃ d�r,

(b) A ⊂ K ve K kapal� ise Ã ⊂ K d�r.

Çözüm:

(a)

x ∈ (A ∩B)∼ ⇐⇒ ∀T ∈ T [(T − x) ∩ (A ∩B) 6= ∅]=⇒ [(T − x) ∩A 6= ∅] ∧ [(T − x) ∩B 6= ∅]=⇒ [x ∈ Ã] ∧ [x ∈ B̃]=⇒ x ∈ Ã ∩ B̃

(b)

A ⊂ K =⇒ Ã ⊂ K̃=⇒ Ã ⊂ K̃ = K=⇒ Ã ⊂ K

2. Ayr�k bir topolojik uzayda hiçbir alt-kümenin hiçbir y�§�lma noktas� yok-tur. Neden? Ayr�k olmayan bir uzayda bu özelik nas�ld�r?

Çözüm:

(a) (X,T ) ayr�k uzay�nda bir A ⊂ X altkümesi verilsin. Ã = ∅ oldu§unugöstermeliyiz. Olmayana ergi yöntemini kullanaca§�z. Bir a ∈ Ã ö§esininoldu§unu varsayal�m. Her T ∈ T için

(T − {a}) ∩A 6= ∅

olmal�d�r. Bu uzayda tek ö§eli her küme aç�k oldu§undan, T = {a}alabiliriz. Bu durumda yukar�daki ba§�nt�

({a} − {a}) ∩A 6= ∅ ⇔ ∅ ∩A 6= ∅

biçimini al�r, ki bu bir çeli³kidir.


(b) (X,T ) ayr�k olmayan bir uzay ise, yaln�zca iki aç�k kümesi vard�r:{∅, X}. O halde bo³ olmayan her alt kümesinin y�§�lma noktalar�kümesiX kümesidir. Bo³ kümenin y�§�lma noktalar� yoktur. Özetlersek,

Ã =

{∅, A = ∅ iseX, A 6= ∅ ise

(2.3)

olur.

3. Kapal� bir küme kendisinin y�§�lma noktalar� ile ayr�k noktalar�n�n bile³iminee³ittir. Gösteriniz.

Çözüm: K kapal� ise K̃ ⊂ K d�r. Tan�m 2.4.2 uyar�nca, x ∈ K biry�§�lma noktas� de§ilse, ayr�k bir noktad�r.

4. Bir x ∈ A ö§esinin A kümesinin bir ayr�k noktas� olmas� için gerekli veyeterli ko³ul A ∩ T = {x} olacak ³ekilde aç�k bir T kümesinin varl�§�d�r.Gösteriniz.

Çözüm: x noktas� A kümesinin ayr�k bir noktas� olsun. Tan�m 2.4.2uyar�nca, x ∈ A− Ã d�r. Bu durumda,

∃T ∈ T [(T − {x}) ∩A = ∅]

olacakt�r. O halde,

∃T ∈ T [(T − {x}) ∩A = {x}]

olur.

5. A = (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} kümesinin y�§�lma noktalar�kümesinin Ã = [a, b] kapal� aral�§� oldu§unu gösteriniz.

Çözüm: (R,R) salt topolojik uzay�nda, aç�k her T kümesi aç�k aral�k-lar�n bile³imidir [bkz. Önerme 4.1.8]. x ∈ (a, b) ise, öyle bir � > 0 say�s�bulabiliriz ki, x ∈ (x−�, x+�) ⊂ T olacak biçimde bir (x−�, x+�) ⊂ (a, b)aral�§� kurulabilir. O halde, her T aç�k kümesi için

(T − {x}) ∩ (a, b) ⊃ (x− �, x+ �) 6= ∅

olur. Demek ki (a, b) aç�k aral�§�n�n her noktas� (a, b) nin bir y�§�lma nok-tas�d�r.

imdi a ve b uç noktalar�n�n da birer y�§�lma noktas� oldu§unu gösterelim.a ∈ T ise a ∈ (a− �, a+ �) ⊂ T olacak biçimde bir � > 0 say�s� bulabiliriz.Bu durumda,

(T − {a}) ∩ (a, b) ⊃ (a, �) 6= ∅

2.4. YIILMA NOKTALARI 23

yazabiliriz. O halde a noktas� (a, b) aral�§�n�n bir y�§�lma noktas�d�r.

b noktas� için de benzer i³ yap�labilir. Öyleyse

(a, b)∼ = [a, b]

dir.

6. B = (a, b) = {q ∈ Q : a < q < b} kümesinin y�§�lma noktalar�kümesinin B̃ = [a, b] kapal� aral�§� oldu§unu gösteriniz.

Çözüm: Her aç�k aral�kta bir tane (dolay�s�yla sonsuz tane) rasyonelnokta vard�r. Öyleyse, önceki problemde ele al�nan aral�klar�n her birisi Bkümesi ile kesi³eceklerdir. O halde,

B̃ = [a, b]

dir.

7. A = N kümesinin hiç y�§�lma noktas� olmad�§�n� gösteriniz.

Çözüm: Her n ∈ N için n − 1 < n − � < n + � < n + 1 olacak biçimdebir � > 0 say�s� vard�r. T = (n − �, n + �) diyelim. (T − {n}) ∩ N = ∅oldu§undan, n noktas� N kümesinin y�§�lma noktas� olamaz. Her n ∈ Niçin bu i³ yap�labildi§ine göre, N kümesinin hiç bir ö§esi y�§�lma noktas�olamaz.

8. S = {k − 1n : k ∈ Z, n ∈ N} kümesinin y�§�lma noktalar� kümesininS̃ = Z oldu§unu gösteriniz.

Çözüm: Her aç�k T kümesi için k ∈ T ise, yeterince büyük n say�lar�nakar³�l�k, k − 1 < k − �n < k − 1n < k + �n < k + 1 ve (k − �n, k + �n) ⊂ Tolacak biçimde �n > 0 say�lar� vard�r. Dolay�s�yla,

(T − {k}) ∩ S 6= ∅

olur. Demek ki k ∈ Z⇒ k ∈ S̃ dir.

9. D = { 1n : n ∈ N} kümesinin tek y�§�lma noktas�n�n D̃ = {0} oldu§unugösteriniz.

Çözüm: Her aç�k T kümesi için 0 ∈ T ise, yeterince büyük n say�lar�nakar³�l�k, −�n < 0 < 1n < �n ve (k − �n, k + �n) ⊂ T olacak biçimde �n > 0say�lar� vard�r. Dolay�s�yla,

(T − {0}) ∩D 6= ∅

olur. Demek ki 0 ∈ D̃ dir.


imdi D kümesinin 0 dan farkl� hiç bir y�§�lma noktas�n�n olamayaca§�n�göstermeliyiz. Olmayana ergi yöntemini kullanaca§�z. 0 6= p ∈ D̃ olsun.1n < p olacak ³ekilde bir n say�s� seçebiliriz. p ∈ (p −

1n2 , p +

1n2 ) dir.

T = (p− 1n2 , p+1n2 ) al�n�rsa, (T − {p}) ∩D = ∅ olur ki bu bir çeli³kidir.

O halde, p noktas� D kümesinin bir y�§�lma noktas� olamaz.

2.5. KAPLAMA 25

2.5 KAPLAMA

2.5.1 PROBLEMLER

1. (X,T ) bir topolojik uzay ve A,B ⊂ X oldu§una göre a³a§�daki özeliklerinvarl�§�n� gösteriniz:

(a) (A ∩B) ⊂ Ā ∩ B̄

Çözüm:

x ∈ (A ∩B)⇒ (∀T ∈ T )(x ∈ T ⇒ T ∩ (A ∩B) 6= ∅)⇒ (∀T ∈ T )(x ∈ T ⇒ [(T ∩A 6= ∅) ∧ (T ∩B 6= ∅)]⇒ (x ∈ Ā) ∧ (x ∈ B̄)⇒ x ∈ Ā ∩ B̄

(b) (Ā)′ = (A′)o ve (Ao)′ = (A′)−

Çözüm:

x ∈ (Ā)′ ⇐⇒ x /∈ Ā⇐⇒ (∃T ∈ T )(x ∈ T ∧ (T ∩A 6= ∅)⇐⇒ (∃T ∈ T )(x ∈ T ∧ (T ⊂ A′)⇐⇒ x ∈ (A′)o

x ∈ (Ao)′ ⇐⇒ (x /∈ Ao)⇐⇒ (∀T ∈ T )(x ∈ T ⇒ (T ∩A′ 6= ∅)⇐⇒ x ∈ (A′)−

(c) Ā = Ao ∪ ∂A

Çözüm:

x ∈ Ā⇐⇒ (∀T ∈ T )(x ∈ T ⇒ (T ∩A 6= ∅)⇐⇒ (∀T ∈ T )(x ∈ T ⇒ [(T ⊂ Ao) ∨ [(T ∩A 6= ∅) ∧ (T ∩A′ 6= ∅)]]⇐⇒ (x ∈ Ao) ∨ (x ∈ ∂A)

(d) Ā ∩ B̄ = ∅ ⇒ ∂(A ∪B) = ∂A ∪ ∂B


Çözüm:BarA ∩ B̄ = ∅ ⇒ ∂(A ∩ ∂B = ∅

dir. Ayr�ca Problem 2.3.1-3(c) uyar�nca ∂(A∪B) ⊂ ∂A∪∂B oldu§unubiliyoruz. O halde ∂(A∪B) ⊃ ∂A∪∂B oldu§unu göstermek yetecek-tir.

x ∈ ∂A ∪ ∂B ⇐⇒ [(∀T ∈ T )(x ∈ T ⇒ (T ∩ (A ∪B) 6= ∅)]⇐⇒ x ∈ ∂(A ∪B)

ç�kar

(e) x ∈ ∂A⇔ x ∈ Ā ∩ (A′)−

Çözüm:

x ∈ ∂A⇐⇒ (∀T ∈ T )(x ∈ T ⇒ [(T ∩A 6= ∅) ∧ (T ∩A′ 6= ∅)]⇐⇒ (x ∈ Ā) ∧ (x ∈ (A′)−)⇐⇒ (x ∈ Ā ∩ (A′)−)

(f) ∂A = Ā−Ao = Ā ∩ (A′)−

Çözüm:

(x ∈ ∂A)⇔ (∀T ∈ T )(x ∈ T ⇒ [(T ∩A 6= ∅) ∨ (T ∩A′ 6= ∅)

oldu§unu biliyoruz. x /∈ Ao oldu§unu göstermek için Olmayana ErgiYöntemini kullanal�m. E§er (x ∈ ∂A) ∧ (x ∈ Ao) olsayd�

(∃T ∈ T )(x ∈ T ∧ T ⊂ A)

olurdu. Bu durumda x /∈ ∂A olmas� gerekirdi. Demek ki x ∈ Aoolamaz. O halde x ∈ Ā−Ao d�r.

(g) A ⊂ B ⇒ (Ā)o ⊂ (B̄)o

Çözüm:A ⊂ B ⇒ (Ā ⊂ B̄)⇒ (Ā)o ⊂ (B̄)o

olur.

(h) A ⊂ B ⇒ (Ao)− ⊂ (Bo)−

Çözüm:A ⊂ B ⇒ (Ao ⊂ Bo)⇒ (Ao)− ⊂ (Bo)−

olur.

(i) A aç�k ise A ⊂ (Ā)o dir.

2.5. KAPLAMA 27

Çözüm: A ∈ T ⇒ A = Ao oldu§undan

A ∈ T ⇒ A ⊂ Ā⇒ Ao ⊂ (Ā)o ⇒ A ⊂ (Ā)o

ç�kar.

(j) A kapal� ise (Ao)− ⊂ A d�r.

Çözüm: A ∈ T ′ ⇒ A = Ā oldu§undan

A ∈ T ′ ⇒ Ao ⊂ A⇒ (Ao)− ⊂ Ā⇒ (Ao)− ⊂ A

ç�kar.

2. Bir topolojik uzayda sonlu tane kümenin bile³iminin kaplam�, bu kü melerinkaplamlar�n�n bile³imine e³ittir. Gösteriniz ( [K3] özeli§inin ge nelle³mesi).Arakesit i³lemi için nas�l bir özelik vard�r? ( l(a) sorusunun genelle³mesi.)

Çözüm: [W3] özeli§inden A1 ∪A2 = Ā1 ∪ Ā2 oldu§u biliniyor. Tüme-var�m ilkesini kullanarak bunu herhangi n ∈ N say�da kümeye genelle³tire-biliriz.

A1 ∪ (A2 ∪A3 ∪ . . . ∪An−1) = Ā1 ∪ Ā2 . . . ∪An−1oldu§unu varsayarak

A1 ∪ (A2 ∪ . . . ∪An−1 ∪An) = Ā1 ∪ Ā2 . . . ∪ Ān)

oldu§unu göstermeliyiz. A³a§�daki prosedür, tümevar�m ilkesiyle her ntane kümeye uygulanabilir:

A1 ∪ (A2 ∪A3 ∪ . . . ∪An) = Ā1 ∪ (A2 ∪A3 ∪ . . . ∪An)

= Ā1 ∪ Ā2 ∪ (A3 ∪A4 ∪ . . . ∪An)

= Ā1 ∪ Ā2 ∪ Ā3 ∪ (A4 ∪A5 ∪ . . . ∪An)= · · ·

= Ā1 ∪ Ā2 ∪ . . . ∪ (An−1 ∪An)= Ā1 ∪ Ā2 ∪ . . . ∪An−1 ∪ Ān

Arakesit i³lemi için, (A ∩B) ⊂ Ā ∩ B̄ ba§�nt�s� kullan�larak, = yerine ⊂konulmak ko³uluyla, yukar�daki i³lemler aynen tekrarlanabilir ve

A1 ∩ (A2 ∩ . . . ∩An−1 ∩An) ⊂(Ā1 ∩ Ā2 ∩ . . . ∩ Ān)

ba§�nt�s� elde edilir.

3. Örnek 2.1.3 'teki üç topolojiye göre L = {a, b} veM = {a, c} kümelerininkaplamlar�n� bulunuz.


Çözüm: Her bir topoloji için aç�k kümelerin tümleyenleri o topolojininkapal� kümeleridir. O halde, sözkonusu topolojilerin kapal� kümeleri, s�ras�yla,³unlar olacakt�r:

(a) T′

1 = {X, {b, c}, {c}, ∅}(b) T

′

2 = {X, {a, c}, {c}, {a}, ∅}(c) T

′

3 = {X, {a, b}, {b}, {a}, ∅}

L̄ ve M̄ kümeleri, bu kümeleri kapsayan kapal� kümelerin en küçü§üdürler.O halde,her bir topoloji için, s�ras�yla, ³u kümelerdir:

(a) T1 için L̄ = X ve M̄ = M

(b) T2 için L̄ = X ve M̄ = M

(c) T3 için L̄ = L ve M̄ = X

4. Bir X kümesi üzerindeki ayr�k topolojiye göre, her A ⊂ X alt kümesi içinA = Ā oldu§unu gösteriniz.

Çözüm: Ayr�k topolojide her küme hem aç�k hem kapal�d�r. Dolay�s�ylabir A kümesini kapsayan en küçük kapal� küme A n�n kendisidir; yaniĀ = A d�r.

5. Sonsuz bir X kümesi üzerindeki sonlu tümleyenler topolojisine göre, hersonsuz A ⊂ X alt-kümesi için Ā = X oldu§unu gösteriniz.

Çözüm: Sonlu tümleyenler topolojisinde kapal� kümeler sonludur. Bununtek istisnas� hem aç�k hem kapal� olan X kümesidir. Sonsuz A kümesinikapsayan tek bir kapal� küme vard�r; o da X dir. O halde Ā = X olmal�d�r.

6. Bir A kümesinin bir topolojik uzay�n hiçbir yerinde yo§un olmamas� içingerekli ve yeterli ko³ul, her aç�k kümenin A ile kesi³meyen ve bo³ olmayanaç�k bir alt-kümesinin varl�§�d�r. Gösteriniz.

Çözüm: A kümesi (X,T ) topolojik uzay�n�n hiçbir yerinde yo§un de§ilse,Āo = ∅ olur. Olmayana Ergi Yöntemini kullanal�m. E§er her (T ∈ T ) veher (T1 ∈ T , T1 ⊂ T ) için T1∩A 6= ∅ olsayd�, T = T1 al�narak, her (T ∈ T )için T ∩A 6= ∅ olurdu. Bu durumda Āo = X olurdu, ki bu Āo 6= ∅ olmas�n�gerektirirdi. Bu çat�³k� olamayaca§�ndan, kabulümüz yanl�³t�r; yani her(T ∈ T ) için T1 ∩A = ∅ olacak biçimde bir (T1 ∈ T , T1 ⊂ T ) vard�r.Tersine olarak, her aç�k T kümesinin A ile kesi³meyen ve bo³ olmayanaç�k bir T1 alt-kümesi varolsun. Āo = ∅ oldu§unu göstermeliyiz. GeneOlmayana Ergi Yöntemini kullanal�m. Āo 6= ∅ olsayd�, varsay�m uyar�ncaöyle bir T1 ⊂ Āo aç�k alt kümesi var ki T1∩A = ∅ olurdu. Bu durumda, Akümesi uzayda yo§un olamaz ve T1 ⊂ Ā

′olur. Bu bir çat�³k�d�r. O halde

Āo = ∅

2.5. KAPLAMA 29

7. Kapal� bir kümenin hiçbir yerde yo§un olmamas� için gerekli ve yeterliko³ul, tümleyeninin her yerde yo§un olmas�d�r. Gösteriniz. Her hangi birküme için de bu özelik var m�d�r?

Çözüm:

(K̄)o = ∅ ⇐⇒ (Ko = ∅)⇐⇒ ((Ko)′ = X)⇐⇒ K ′ = X⇐⇒ K ′kümesi yo§undur

Herhangi bir küme için bu özelik yoktur. Örne§in, Q rasyonel say�larkümesinin tümleyeni olan Q′ irrasyonel say�lar kümesi R içinde yo§un-dur. Buna kar³�n Q rasyonel say�lar kümesi de R içinde yo§undur.

8. Kapal� bir kümenin kenar� hiçbir yerde yo§un de§ildir. Gösteriniz. Herhangi bir küme için de bu özelik söylenebilir mi?

Çözüm: K kapal� bir küme olsun. Her kümenin kenar� kapal�d�r. O halde(∂K)

o= (∂K)o = ∅ oldu§unu göstermek yetecektir. Olmayana ergi yön-

temini kullanaca§�z. Bir T aç�k kümesi için T ⊂ (∂K)o oldu§unu varsay-al�m. T ⊂ (∂K)o ⊂ K̄ = K yazabiliriz. Ko kümesi K n�n kapsad�§� enbüyük aç�k küme oldu§undan T ⊂ Ko yazabiliriz. Öyleyse

T ⊂ (∂A)o ∩Ao = (Ā−Ao) ∩Ao = ∅

olacakt�r. Buradan T = ∅ sonucu ç�kar, ki bu istedi§imiz sonuçtur.

Herhangi bir kümenin kenar kümesi için bu özelik var olmayabilir. Örne§in,salt topolojiye göre Q rasyonel say�lar kümesinin kenar kümesi bütüngerçel eksendir; yani ∂Q = R d�r ve R ⊃ R olur.

9. R üzerinde a³a§�daki topolojilerin her birisi için Q ⊂ R alt kümesinin içnoktalar� kümesini, y�§�lma noktalar� kümesini ve kaplam�n� bulunuz.(∗)

(a) Aç�k kümeleri, aç�k aral�klar�n bir bile³imi olarak yaz�labilen topoloji(salt topoloji).

(b) Kapal� kümeleri, yaln�zca, sonlu alt kümelerden olu³an topoloji (sonlutümleyenler topolojisi).

(c) Kapal� kümeleri, yaln�zca, say�labilir alt kümelerden olu³an topoloji(say�labilir tümleyenler topolojisi).


Çözüm:

(a) i. Qo = ∅ dir. Çünkü, salt topolojide hiç bir aç�k aral�k ( dolay�s�ylahiç bir aç�k küme) Q rasyonel say�lar kümesince kapsanamaz;her aç�k küme mutlaka irrasyonel say�lar içerir; yani her aç�k Tkümesi için T ∩ Q′ 6= ∅ dir. Dolay�s�yla, Q hiç bir aç�k kümeiçeremez. Öyleyse, Qo = ∅ dir.

ii. Q∼ = R dir. Çünkü her aç�k aral�k ( dolay�s�yla her aç�k küme)sonsuz say�da rasyonel say� içerir. O halde, her x ∈ R ve her aç�kT kümesi için

x ∈ T ⇒ (T − {x}) ∩Q 6= ∅

olur.

iii. Q = R dir. Çünkü, yukar�daki dü³ünü³le, her x ∈ R ve her aç�kT kümesi için

x ∈ T ⇒ T ∩Q 6= ∅

yaz�labilir. Ayn� sonucu Q = Q∪Q∼ e³itli§inden de ç�karabiliriz.(b) Sonlu tümleyenler topolojisinin kapal� kümeleri {∅,R, sonlu altkümeler}

dir. Aç�k kümeler ise {∅,R, tümleyenleri sonlu olan altkümeler} dir.Buna göre,

i. Qo = ∅ dir. Çünkü, Qo kümesi Q nun kapsad�§� en büyük aç�kkümedir. Oysa Q içinde, tümleyeni sonlu olan hiç bir altkümeyoktur.

ii. Q∼ = R dir. Çünkü, tümleyeni sonlu olan her küme rasyonelsay�lar içerir. Ba³ka bir deyi³le, her x ∈ R ve her aç�k T kümesiiçin

x ∈ T ⇒ (T − {x}) ∩Q 6= ∅

olur.

iii. Q = R dir. Yukar�daki dü³ünü³le, her x ∈ R ve her aç�k T kümesiiçin

x ∈ T ⇒ T ∩Q 6= ∅

olur. Ayn� sonucu Q = Q ∪Q∼ e³itli§inden de ç�karabiliriz.

(c) Say�labilir tümleyenler topolojisinin kapal� kümeleri {∅,R, say�labilir altkümeler}dir. Aç�k kümeler ise {∅,R, tümleyenleri say�labilir olan altkümeler}dir. Buna göre,

i. Qo = ∅ dir. Çünkü, Qo kümesi Q nun kapsad�§� en büyük aç�kkümedir. Oysa Q içinde, tümleyeni say�labilir olan hiç bir al-tküme yoktur.

2.5. KAPLAMA 31

ii. Q∼ = R dir. Çünkü, tümleyeni say�labilir olan her küme rasyonelsay�lar içerir. Ba³ka bir deyi³le, her x ∈ R ve her aç�k T kümesiiçin

x ∈ T ⇒ (T − {x}) ∩Q 6= ∅olur.

iii. Q = R dir. Yukar�daki dü³ünü³le, her x ∈ R ve her aç�k T kümesiiçin

x ∈ T ⇒ T ∩Q 6= ∅olur. Ayn� sonucu Q = Q ∪Q∼ e³itli§inden de ç�karabiliriz.

10. R üzerinde R ailesine ait T kümeleri a³a§�daki özeli§e sahip iseler, (R,R)nun bir topolojik uzay oldu§unu gösteriniz:

T ∈ R ⇐⇒ (∀x ∈ T )(∃(a, b) ⊂ T : x ∈ (a, b)

Bu uzayda bir T kümesinin aç�k olmas� için gerekli ve yeterli ko³ul, T yeait her noktay� içeren aç�k bir aral�k kapsamas�d�r. Bu uzaya R üzerindekisalt (mutlak) topoloji denilir. Bu topoloji, yukar�da Problem 9-a ile tan�m-lanan salt topolojidir. Bu topolojiyi ileride ba³ka yöntemlerle de kuraca§�z.Bu, gösteriyor ki, bir küme üzerinde ayn� topoloji farkl� yöntemlerle kuru-labilir.

Çözüm: Topolojinin [T1]- [T2], [T3] aksiyomlar�n�n sa§land�§�n� göster-meliyiz.

(a)x ∈ ∅ ⇒ ∀a[a ∈ R⇒ x ∈ (a, a)]⇒ ∅ ∈ R

x ∈ R⇒ ∃(� > 0)[x ∈ (x− �, x+ �) ⊂ R]⇒ mathbbR ∈ R

(b) T1, T2 ∈ R olsun. x ∈ T = T1 ∩ T2 ise

x ∈ T1 ⇒ ∃a1, b1 : x ∈ (a1, b1)

x ∈ T2 ⇒ ∃a2, b2 : x ∈ (a2, b2)d�r. a = max{a1, a2} ve b = min{a2, b2} dersek,

x ∈ T ⇒ x ∈ (a, b)⇒ T ∈ R

olur.

(c)

x ∈ T =⋃i∈I

Ti ⇒ ∃(i ∈ I)[x ∈ Ti]⇒ ∃(a, b ∈ R)[x ∈ (a, b) ⊂ Ti]⇒ T ∈ R

11. R üzerindeki mutlak topolojiye göre R nin aç�k oldu§unu gösteriniz.


Çözüm: Bunu çok farkl� yollarla çözebiliriz.

(a) R) salt topoloji olmak üzere, 10.Problemde (R,R) nin bir topolojikuzay oldu§u gösterildi. O halde [T1] aksiyomu gere§ince ∅,R ∈ Rdir.

(b) Bir topolojik uzayda, kapal� kümelerin tümleyenleri aç�kt�r. (R,R)uzay�nda ∅ kapal�d�r (ve ayn� zamanda aç�kt�r). ∅′ = R oldu§undan(R aç�kt�r. Ayn� dü³ünü³le, (R kapal�d�r.

(c) Her x ∈ R noktas�n� içeren bir aç�k aral�k vard�r. Dolay�s�yla, Rkümesi aç�k aral�klar�n bile³imi olarak yaz�labilir. Bu durumda, [T3]aksiyomu gere§ince, R aç�k bir küme olur.

(d) Her x ∈ R noktas� R nin bir iç noktas�d�r. Çünkü her x ∈ R noktas�için x ∈ (x− �, x+ �) ⊂ R olacak biçimde bir � > 0 say�s� vard�r.Hernoktas� bir iç nokta olan küme aç�kt�r.

12. R üzerindeki mutlak topolojiye göre, her b gerçel say�s� için, (−∞, b) biçi-mindeki aral�klar�n aç�k oldu§unu gösteriniz.

Çözüm: Çözümü farkl� yollarla yapabiliriz.

(a)(−∞, b) =

⋃α 0say�s� vard�r.

13. R üzerindeki mutlak topolojiye göre, her a gerçel say�s� için, (a,+∞) biçi-mindeki aral�klar�n aç�k oldu§unu gösteriniz.

Çözüm: Önceki probleme benzer olarak çözülebilir.

14. (R,T ) içindeki her kapal� [a, b] aral�§�n�n kenar noktalar� kümesi ∂A ={a, b} d�r. Gösteriniz.

Çözüm: Her aç�k T kümesi için

a ∈ T ⇒ [T ∩ [a, b] 6= ∅ ∧ T ∩ [a, b]′6= ∅]

b ∈ T ⇒ [T ∩ [a, b] 6= ∅ ∧ T ∩ [a, b]′6= ∅]

oldu§undan a, b uç noktalar� [a, b] kapal� aral�§�n�n kenar noktalar�d�r.imdi, [a, b] kapal� aral�§�n�n a, b uç noktalar�ndan ba³ka kenar noktas� ol-mad�§�n� göstermeliyiz. Olmayana ergi yöntemini kullanal�m. x 6= a, x 6= b

2.5. KAPLAMA 33

olmak üzere x noktas�n�n bir kenar noktas� oldu§unu varsayal�m. x ∈ [a, b]ise x ∈ (x− �, x+ �) ⊂ [a, b] olacak biçimde bir � > 0 say�s� vard�r. O haldex noktas� [a, b] nin bir iç noktas�d�r; kenar nokta olamaz. Benzer ³ekilde,x ∈ [a, b]′ ise x ∈ (x− δ, x+ δ) ⊂ [a, b]′ olacak biçimde bir δ > 0 vard�r. Ohalde x noktas� [a, b] nin bir iç noktas�d�r; kenar nokta olamaz.

15. (R,R) uzay�nda bir [a, b] aral�§� içinde kalan rasyonel say�lar kümesinin;yani içinde Q ∩ [a, b] kümesinin kenar noktalar� kümesi ∂Q = {a, b} d�r.Gösteriniz.

Çözüm: Simgelerde basitli§i sa§lamak için A = Q ∩ [a, b] diyelim. Aç�khet T kümesi için

a ∈ T ⇒ [T ∩A 6= ∅ ∧ T ∩A′6= ∅]

b ∈ T ⇒ [T ∩A 6= ∅ ∧ T ∩A′6= ∅]

oldu§undan a, b ∈ ∂A d�r.Yukar�daki problemde izlenen dü³ünceye benzer olarak, a, b noktalar�ndanba³ka hiç bir noktan�n ∂A olamayaca§� kolayca gösterilebilir.

16. (R,R) uzay� içinde bile³imleri kapal� olmayan bir kapal� kümeler dizisikurunuz.

Çözüm: Bunun için 2.2.1-1 Problemin çözümünde örnekler verildi.

Bölüm 3

KURATOWSK YÖNTEM

3.1 KURATOWSK YÖNTEM

3.1.1 PROBLEMLER

1. Bo³ olmayan bir X kümesi verilsin. X kümesinin her A alt-kümesinekar³�l�k a³a§�daki aksiyomlar� sa§layan bir A alt-kümesi belirlenmi³ olsun:

B1: β(X) = X

B2: β(A) ⊂ AB3: β(β(A)) = β(A)

B4: β(A ∩B) = β(A) ∩ β(B)

Bu durumda,

T = {A ⊂ X : β(A) = A}

ailesi X kümesi üzerinde bir topolojik yap� olu³turur. Bu yap�ya göre herA kümesinin Ao içi β(A) kümesinden ba³ka bir³ey de§ildir. Gösteriniz.

Çözüm: Problemin çözümü için önce a³a§�daki özeli§i göstermeliyiz:

A ⊂ B ⇒ β(A) ⊂ β(B) (3.1)

Bunun ispat� a³a§�daki ba§�nt�dan ç�kar:

A ⊂ B ⇒ A = A ∩B⇒ β(A) = β(A ∩B)⇒ β(A) = β(A) ∩ β(B)⇒ β(A) ⊂ β(B)

imdi T nun [T1]-[T3] topoloji aksiyomlar�n� sa§lad�§�n� gösterelim.

35

36 BÖLÜM 3. KURATOWSK YÖNTEM

T1. [B1] gere§ince,β(X) = X =⇒ X ∈ T

[B2] gere§ince,

β(∅) ⊂ ∅ ⇒ β(∅) = ∅ =⇒ ∅ ∈ T

T2. T nun tan�m� uyar�nca A,B ∈ T ⇒ [β(A) = A ∧ β(B) = B] olur.[B4] gere§ince,

A ∩B = β(A) ∩ β(B) = β(A ∩B)⇒ A ∩B ∈ T

T3. I herhangi bir damga (index) kümesi olsun. her i ∈ I için bir Ai ∈ Tverilmi³ olsun.

β(⋃i∈I

Ai) =⋃i∈I

Ai (3.2)

oldu§unu göstermeliyiz.[B2] uyar�nca

β(⋃i∈I

Ai) ⊂⋃i∈I

Ai (3.3)

oldu§u aç�kt�r. Ters kapsamay� göstermek için 6.4 ba§�nt�s� ile β(Ai) =Ai e³itli§ini kullanaca§�z.⋃

i∈IAi ⊃ Ai

β(⋃i∈I

Ai) ⊃ β(Ai)

β(⋃i∈I

Ai) ⊃⋃i∈I

β(Ai) =⋃i∈I

Ai (3.4)

yazabiliriz. 3.3 ve 3.4 den istenen 6.5 e³itli§i ç�kar. O halde,

β(⋃i∈I

Ai) ∈ T

olur.

Son olarak (X,T ) uzay�nda her A ⊂ X için β(A) = Ao oldu§unu göster-meliyiz. Tan�m�m�z uyar�nca A ∈ N ⇔ β(A) = A d�r. Oysa aç�k kümetan�m� uyar�nca A ∈ T ⇔ A = Ao d�r. O halde her A ⊂ X için β(A) = Aoolur.

2. X = N olmak üzere γ : P(X) −→P(X) dönü³ümü

γ(A) =

{A, A sonlu ise

X, A sonsuz ise(3.5)

olarak tan�mlan�yor. Bu dönü³ümün bir Kuratowski kaplama dönü³ümüoldu§unu gösteriniz. Bu topolojinin aç�k ve kapal� kümelerini belirleyiniz.

3.1. KURATOWSK YÖNTEM 37

Çözüm: [K1]-[K4] Kuratowski aksiyomlar�n�n sa§land�§�n� göstermeliyiz.

• [K1] ∅ sonlu oldu§u için γ(∅) = ∅ dir. N sonsuz oldu§u için γ(N) = Ndir.

• [K2] A sonlu ise γ(A) = A⇒ A ⊂ γ(A) d�r.A sonsuz ise γ(A) = N⇒ A ⊂ γ(A) dir.

• [K3]

A veB sonlu⇒ A ∪B sonlu⇒ γ(A ∪B) = (A ∪B)⇒ (A ∪B) ⊂ γ(A ∪B)

A veyaB sonsuz⇒ A ∪B sonsuz⇒ γ(A ∪B) = N⇒ (A ∪B) ⊂ γ(A ∪B)

• [K4]

(A sonlu)⇒ (γ(A) = A)⇒ (γ(γ(A)) = γ(A))(A sonsuz)⇒ (γ(A) = N)⇒ (γ(γ(A)) = γ(N))

⇒ (γ(γ(A)) = γ(A))

Her A ⊂ N için A 7−→ γ(A) dönü³ümü Kuratowski aksiyomlar�n� sa§lar.O halde bu dönü³üm N üzerinde bir topoloji kurar. Bu topolojinin kapal�kümeleri her A ⊂ N için γ(A) = Ā kaplamlar�d�r. 3.5 uyar�nca kapal�kümeler

K = {∅,N, sonlu kümeler}

dir. Aç�k kümeler ise, K ailesine ait olan kümelerin tümleyenleridir. Bun-lar

T = {∅,N, tümleyenleri sonlu olan kümeler}

dir.

3. (3.5) dönü³ümünün belirledi§i topolojiyi N üzerinde, kapal� kümeleri, yal-n�zca, sonlu kümelerden olu³an topoloji (sonlu tümleyenler topolojisi) ilekar³�la³t�r�n�z.

Çözüm: Yukar�da söylenenlerden anla³�laca§� üzere, N üzerinde, kapal�kümeleri 3.5 ile tan�mlanan topoloji sonlu tümleyenler topolojisidir. N denfarkl� kapal� kümeleri sonlu kümelerdir; N istisnai olarak kapal�d�r.

38 BÖLÜM 3. KURATOWSK YÖNTEM

Bölüm 4

TOPOLOJ TABANI

4.1 TOPOLOJ TABANI

4.2 KARMA PROBLEMLER

1. (X,T ) bir topolojik uzay olsun. T ∗ nedir? T ailesi T topolojisi için birtaban m�d�r?

Çözüm: T ∗ = T oldu§undan her topoloji kendisi için bir taband�r.

2. Bir Lindelöf uzay�nda kapal� bir kümenin her aç�k örtüsünün, say�labilirbir alt örtüsü oldu§unu gösteriniz.

Çözüm: (X,T ) bir Lindelöf uzay� ve K ⊂ X kapal� bir alt kümesiolsun. E§er A ailesi K n�n aç�k bir örtüsü ise A ∪ {X ′} ailesi X in aç�kbir örtüsü olur. Önerme 4.1.5 uyar�nca bu ailenin say�labilir bir alt örtüsüvard�r. Bu alt örtüden X ′ at�l�rsa, geri kalan aile K n�n say�labilir bir aç�körtüsüdür ve bu örtü A ailesinin bir alt örtüsüdür.

3. Ayr�labilir bir uzay�n ikinci say�labilme aksiyomunu sa§lamas�n�n gerekmedi§inibir örnekle gösteriniz.

Çözüm: Sonlu ya da say�labilir bir küme üzerindeki her topolojik uzayayr�labilir bir uzayd�r. Gerçel eksen üzerindeki salt topoloji ayr�labilir;çünkü rasyonel say�lar say�labilir yo§un bir alt kümedir. Say�lamayan son-suz bir küme üzerindeki ayr�k topoloji ayr�labilir bir topoloji de§ildir.Tan�m 4.1.8 ve 4.1.9 ile verilen üst-limit ve alt-limit topolojileri ayr�la-bilir birer uzayd�r ama ikinci say�labilme aksiyomunu sa§lamazlar.

4. Mutlak topolojiye göre Z tam say�lar kümesinin içini ve kaplam�n� bulunuzZ kümesi R uzay�n�n hiç bir yerinde yo§un olabilir mi?

39

40 BÖLÜM 4. TOPOLOJ TABANI

Çözüm: Önerme 4.1.8 uyar�nca, (R,R) uzay�nda her aç�k küme bir ar-al�k kapsar. Her aç�k aral�k sonsuz say�da rasyonel ve irrasyonel say�lariçerir [bkz. Önerme 4.1.9]. Dolay�s�yla, her n ∈ Z tamsay�s� ve her T ∈ Raç�k kümesi için

n ∈ T ⇒ T ∩ Z′6= ∅

olur. O halde, Z nin her ö§esi bir kenar noktad�r; yani Zo = ∅ dir. Öyleyse,

Z = Z ∪ ∂Z = Z

yaz�labilir; yani tamsay�lar kümesinin salt topolojideki kaplam� kendisidir.(Z)o = ∅ oldu§u için, Tan�m 2.5.4 uyar�nca, Z kümesi (R,R) uzay�n�n hiçbir yerinde yo§un de§ildir.

5. R üzerinde σ = {(p, q) : p, q ∈ Q} ailesini, yani her iki ucu rasyonel olanbütün aç�k aral�klar�n ailesini dü³ünelim. σ ⊂ R = {(a, b) : a, b ∈ R} d�r.Acaba σ∗ = R∗ = R midir?

Çözüm: σ ⊂ R oldu§u için σ∗ ⊂ R∗ d�r. E³itli§i göstermek için, terskapsaman�n varl�§�n�; yani σ∗ ⊃ R∗ oldu§unu göstermeliyiz. Önerme 4.1.2yi kullanaca§�z.

(a, b) ∈ R ve x ∈ (a, b) olsun. Rasyonel say�lar R içinde yo§un oldu§undanx ∈ (p, q) ⊂ (a, b) olacak biçimde (p, q) ∈ σ vard�r. O halde R∗ ⊂ σ∗ dir.Bu problem, (R,R) uzay�n�n (salt topoloji) ikinci say�labilme aksiyomunusa§layan ayr�labilir bir uzay oldu§unu göstermektedir.

6. ξ = {[p, q] : p, q ∈ Q, p < q} ailesinin R üzerinde bir topoloji taban�olmad�§�n� gösteriniz.

Çözüm: ξ ailesinin Önerme 4.1.3(b) ko³ulunu sa§lamad�§�n� göstere-ce§iz. [p1, q1], [p2, q2] ∈ ξ kümelerinin arakesitini dü³ünelim. q1 = q2 = qoldu§u zaman C = [p1, q] ∩ [p2, q] = {q} olacakt�r. ξ ye ait hiç bir aral�kC = {q} arakesiti taraf�ndan kapsanamaz. O halde ξ bir topoloji taban�olamaz.

7. Φ = {[a, b] : a ∈ Q, b ∈ R \ Q} ailesinin R üzerinde bir topoloji taban�oldu§unu gösteriniz.

Çözüm: a ucu rasyonel, b ucu irrasyonel say� olan iki aral�§�n arakesitibo³ de§ilse [a1, b1] ∩ [a2, b2] = [a2, b1] aral�§�d�r. Her x ∈ [a2, b1] için x ∈[a2, b] ⊂ [a2, b1] olacak biçimde [a2, b] ∈ Φ aral�§� vard�r. Öyleyse Φ birtopoloji taban�d�r.

8. D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x < b, c ≤ y < d, a, b, c, d ∈ R} ailesinin R2düzleminde bir topoloji taban� oldu§unu gösteriniz.

4.2. KARMA PROBLEMLER 41

Çözüm: Basit ³ekiller çizilerek hemen görülebilece§i gibi, D ailesine aitiki dikdörtgenin arakesiti gene D ye ait bir dikdörtgendir. Arakesite aitbir (x, y) noktas� seçildi§inde bu noktay� içeren ve arakesit taraf�ndankapsanan bir D ∈ D dikdörtgeni daima vard�r. Dolay�syla, Önerme 4.1.3uyar�nca istenen sonuca var�lm�³ olur.

9. V = {[p, q] : p, q ∈ Q, p ≤ q} ailesinin R üzerinde bir topoloji taban�oldu§unu ve (6) ile tan�mlanan ξ ailesinin bu topoloji için bir alt tabanoldu§unu gösteriniz.

Çözüm: (6) ba§�nt�s�ndaki p < q ko³ulu yerine p ≤ q ko³ulu kondu§uiçin, V ailesi C = [p1, q] ∩ [p2, q] = {q} gibi tek ö§eli noktalar� içermekte-dir. Dolay�syla 6.Problemdeki sorun do§maz; yani V ailesi R üzerinde birtopoloji taban�d�r. Ayr�ca, ξ ailesinin sonlu arakesitlerinden olu³an aile Vailesidir. O halde onun bir alt-taban�d�r.

10. Aç�k kümelerden olu³an ve topolojik uzay�n bir taban�n� kapsayan her aileyine bu topolojinin bir taban�d�r. Gösteriniz.

Çözüm: (X,T ) bir topolojik uzay ve T ⊂ A olsun. A ailesinin herö§esi T topolojisine ait oldu§u ve T kendi kendisine bir taban oldu§uiçin,

A ∗ = T ∗ = T

olur.

11. Bir ailenin farkl� iki topolojiye alt taban olamayaca§�n� gösteriniz.

Çözüm: Bir A ailesi iki topoloji için alt-taban olsun. A ailesinin sonluarakesitlerinden olu³an aile S olsun. S∗ = T1 ve S∗ = T2 olacakt�r. Hertopoloji kendi kendisine taban oldu§u için

T1 = T∗

1 = S∗ = T ∗2 = T2

olur. Farkl� bir yöntem istenirse, Önerme 4.1.2 kullan�larak problem ispat-lanabilir.

42 BÖLÜM 4. TOPOLOJ TABANI

Bölüm 5

KOMULUKLAR

5.1 KOMULUKLAR

5.1.1 PROBLEMLER

1. Tan�m 2.3.1 ³una e³de§erdir: A bir topolojik uzay�n bir alt-kümesi olsun.E§er A kümesi x noktas�n�n bir kom³ulu§u ise, yani A ∈ B(x) ise, xnoktas�, A kümesinin bir iç noktas�d�r.

Çözüm:x ∈ Ao ⇔ (∃T ∈ T )(x ∈ T ⊂ A)⇔ A ∈ B(x)

2. Tan�m 2.4.1 ³una e³de§erdir: Her N ∈ B(x) için (N \ {x})∩A 6= ∅ ise,x noktas� A kümesinin bir y�§�lma noktas�d�r.

Çözüm:

(∀N ∈ B(x))(N − {x}) ∩A 6= ∅⇔ (∀T ∈ T )(x ∈ T ⊂ N ⇒ (T − {x}) ∩A 6= ∅

⇔ x ∈ Ã

3. Tan�m 2.5.1 ³una e³de§erdir: Bir x noktas�n�n A kümesinin bir kaplamanoktas� olmas� için gerekli ve yeterli ko³ul, x noktas�n�n her kom³ulu§ununA ile kesi³mesidir; yani her N ∈ B(x) için N ∩A 6= ∅ ise x ∈ Ā d�r.

Çözüm:

(∀N ∈ B(x))(N ∩A 6= ∅)⇔ (∀T ∈ T )(x ∈ T ⊂ N ⇒ (T ∩A 6= ∅)

⇔ x ∈ Ā

4. Ayr�k olmayan bir uzayda bir noktan�n kom³uluklar ailesini bulunuz.

43

44 BÖLÜM 5. KOMULUKLAR

Çözüm: (X,T ) ayr�k almayan bir uzay ise her x ∈ X noktas� içinB(x) = {X} dir; yani her noktan�n kom³uluklar ailesi yaln�zca {X}kümesinden ibarettir.

5. Bir noktan�n sonlu tane kom³ulu§unun arakesiti yine bu noktan�n kom³u-lu§udur. Gösteriniz.

Çözüm: (X,T ) uzay�nda bir x ∈ X noktas� verilsin. N1, N2, . . . , Nm ∈B(x) ise

x ∈ T1 ⊂ N1, x ∈ T2 ⊂ N2, . . . , x ∈ Tm ⊂ Nm

olacak biçimde T1, T2, . . . Tm ∈ T aç�k kümeleri vard�r. Sonlu say�da aç�kkümenin arakesiti aç�k oldu§undan

x ∈m⋂i=1

Ti ⊂m⋂i=1

Ni ∈ B(x)

olur.

6. Bir X kümesi üzerindeki iki topolojinin ayn� olmas� için gerekli ve ye-terli ko³ul, her x ∈ X ö§esinin bu topolojilere göre kom³uluklar�n�n ayn�olmas�d�r.

Çözüm: (X,T1) ve (X,T2) uzaylar� verilsin. Bir x ∈ X noktas�n�n butopolojilere göre kom³uluklar�n� B1(x) ve B1(x) ile gösterelim.

T1 = T2 ⇐⇒ [(T ∈ T1)⇔ (T ∈ T2)]⇐⇒ [(∀x ∈ X)(∀N ⊂ X)(x ∈ T ⊂ N ⇔ N ∈ B1(x) ∩B2(x))]⇐⇒ B1(x) = B2(x)

olur.

7. Gerçel eksen üzerindeki salt topolojiye göre a³a§�daki kümelerden hangileriB(1) ailesine aittir?

(i) (0, 2], (ii) (0, 1], (iii) [1, 2), (iv) (1, 2]

Çözüm: 1 ∈ (a, b) ⊂ N olacak biçimde bir (a, b) aç�k kümesi içerentek küme N = (0, 2] dir. Ohalde verilen dört küme aras�nda yaln�zca(0, 2] ∈ B(1) olur.

8. Sonlu tümleyenler topolojisinde bir noktan�n bütün kom³uluklar�n�n aç�kkümeler oldu§unu gösteriniz.

5.1. KOMULUKLAR 45

Çözüm: (X,T ) sonlu tümleyenler topolojisi ise, her

A ∈ T ⇔ A′ soludur

Bir x ∈ X verilsin.

N ∈ B(x)⇔ (∃T ∈ T )(x ∈ T ⊂ N)⇔ T ′ ⊃ N ′

⇔ N ′ sonludur⇔ N ∈ T

9. N kümesi A kümesinin bir kom³ulu§u ise, N nin her B ⊂ A alt kümesininde bir kom³ulu§u olaca§�n� gösteriniz.

Çözüm:

(N ∈ B(A)) ∧ (B ⊂ A) =⇒ (∃T ∈ T )(A ⊂ T ⊂ N)=⇒ (∃T ∈ T )(B ⊂ A ⊂ T ⊂ N)=⇒ (∃T ∈ T )(B ⊂ T ⊂ N)=⇒ N ∈ B(B)

10. X = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde

T = {X, ∅, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}}

ailesi veriliyor.

(a) (X,T ) bir topolojik uzayd�r. Gösteriniz.

(b) e noktas�n�n kom³uluklar�n� bulunuz.

(c) c noktas�n�n kom³uluklar�n� bulunuz.

(d) {c, e} kümesinin kom³uluklar�n� bulunuz.

Çözüm:

(a) T nun [T1]-[T3] topoloji aksiyomlar�n� sa§lad�§� kolayca görülüyor.

(b) e noktas�n� içeren tek aç�k küme {a, b, e} kümesidir. Bu kümeyi kap-sayan her küme e nin bir kom³ulu§udur. O halde

{a, b, e}, {a, b, c, e}, {a, b, d, e}, {a, b, e}, {a, b, c, d, e} ∈ B(e)

dir.

(c) c noktas�n� içeren iki aç�k küme vard�r: {a, c, d}, {a, b, c, d} Bu küme-lerden birini içeren her küme c noktas�n�n bir kom³ulu§udur. O halde,

{a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, c, d, e}, {a, c, d}, {a, b, c, d, e} ∈ B(c)

olur.


(d) {c, e} kümesini kapsayan bir aç�k kümeyi kapsayan her küme {c, e}kümesinin bir kom³ulu§udur. Bunu kapsayan aç�k küme yaln�zca Xkümesidir. O halde X ∈ B({c, e}) dir.

11. Bir p ö§esinin bir A kümesinin bir kenar noktas� olmas� için gerekli veyeterli ko³ul, p ö§esinin her kom³ulu§unun hem A ile hem A′ ile kesi³me-sidir. Gösteriniz.

Çözüm:

p ∈ ∂A⇐⇒ (∀T ∈ T )[x ∈ T ⇒ (T ∩A 6= ∅) ∧ (T ∩A′ 6= ∅)]⇐⇒ [∀T∀N(x ∈ T ⊂ N)⇒ (N ∩A 6= ∅) ∧ (N ∩A′ 6= ∅)]

5.2. KOMULUKLAR SSTEM 47

5.2 KOMULUKLAR SSTEM

KOMULUKLAR SSTEM LETOPOLOJK YAPILARIN KURULUU

5.2.1 PROBLEMLER

1. R2 düzlemindeki salt topolojiyi (bkz. Örnek 4.1.2) kurmak için a³a§�dakikom³uluklar dizgelerinden her hangi birisinin kullan�labilece§ini gösteriniz.

(a) Düzlemdeki her z noktas�na kar³�l�k, kenarlar� eksenlere paralel olanve bu noktay� içeren her hangi bir aç�k dikdörtgeni kapsayan bütünkümelerin olu³turdu§u aile,

(b) Düzlemdeki her z noktas�na kar³�l�k, bu nokta merkez olarak çizilenher hangi aç�k bir diski kapsayan bütün kümelerin olu³turdu§u aile,

(c) Düzlemdeki her z noktas�na kar³�l�k, bu noktay� içeren ve kapal�bir e§riyle s�n�rlanm�³ her hangi bir bölgenin içini kapsayan bütünkümelerin olu³turdu§u aile.

Çözüm: Çözüme geçmeden önce, düzlemin salt topolojisi için Örnek4.1.2 ile verilen dört topoloji taban� ile ilgili basit gerçekleri an�msayal�m.

Düzlemde bir z noktas� verildi§inde, bu noktay� kö³egenlerinin kesim nok-tas�na alan ve kenarlar� koordinat eksenlerine paralel olan aç�k bir dikdört-gen daima vard�r. Bu dikdörtgen içerisine, merkezi kö³egenlerin kesim nok-tas�nda olan bir aç�k disk daima çizilebilir. Her aç�k diskin içerisine tekrarbir aç�k dikdörtgen çizilebilir. O halde, Önerme 4.1.2 uyar�nca, söz konusuaç�k dikdörtgenler ile aç�k diskler ayn� topolojiyi üretirler.

Benzer olarak, her aç�k disk içine aç�k bir e³kenar üçgen ve her aç�k e³kenarüçgen içine bir aç�k disk çizilebilir. O halde, aç�k e³kenar üçgenlerle aç�kdiskler ayn� topolojiyi üretirler.

Son olarak, her aç�k disk içine aç�k bir kare ve her aç�k kare içine aç�k birdisk çizilebilir. O halde, aç�k karelerle aç�k diskler ayn� topolojiyi üretirler.

Bu dört taban�n ayr� ayr� ürettikleri topolojiler ayn�d�r ve düzlemin salttopolojisi ad�n� al�r.

(a) Düzlemdeki her bir z noktas�na kar³�l�k varl�§� söylenen aileye B(z)diyelim. Kenarlar� koordinat esenlerine paralel olan bütün aç�k dikdört-genleri (kenars�z dikdörtgenler) D(z) ile gösterelim. Kolayca görüle-ce§i gibi D(z) ailesi sonlu arakesit i³lemine kapal�d�r; yani D(z) yeait sonlu say�da aç�k dikdörtgenin arakesiti ya bo³tur ya da aç�k birdikdörtgendir. Önce, B(z) ailesinin [N1]-[N4] kom³uluk aksiyomlar�n�sa§lad�§�n� gösterece§iz. Bunu gösterince, Önerme 5.2.1 uyar�nca,R2 düzleminde öyle bir T topolojisinin varl�§�n� söyleyebiliriz ki, butopolojiye göre her z noktas�n�n kom³uluklar ailesi B(z) olur.


N1. A ∈ B(z) ise z ∈ D ⊂ A olacak biçimde bir D ∈ D vard�r. E§erA ⊂ B ise z ∈ D ⊂ B olaca§�ndan B ∈ B(z) olacakt�r.

N2. A ∈ B(z) ise z ∈ D ⊂ A olacak biçimde bir D ∈ D vard�r.E§er A ⊂ B ise z ∈ D ⊂ B olaca§�ndan B ∈ B(z) olacakt�r.A1, A2 ∈ B(z) ise z ∈ D1 ⊂ A1 ve z ∈ D2 ⊂ A2 olacak biçimdeD1, D2 ∈ D vard�r. Buradan z ∈ D1 ∩D2 ⊂ A1 ∩A2 yazabiliriz.D1 ∩D2 ∈ D oldu§undan, A1 ∩A2 ∈ B(z) ç�kar.

N3. B(z) ailesinin tan�m� uyar�nca, her A ∈ B(z) için z ∈ D ⊂ Aolacak biçimde bir D ∈ D vard�r. Dolay�s�yla, z ∈ A olur.

N4. V ∈ B(z) olsun. z ∈ D ⊂ V olacak biçimde bir D ∈ D vard�r.W = D al�rsak her y ∈W için V ∈ B(y) olur.

Problemin çözümünü tamamlamak için, D∗ = T oldu§unu göster-meliyiz. Önerme 5.2.1 uyar�nca

T = {A ⊂ R2| z ∈ A⇒ A ∈ B(z)}

dir. Öte yandan, tan�m�m�z uyar�nca

T ∈ T ⇔ ∃(Dz ∈ D)(z ∈ Dz ⊂ T )

oldu§undan,T =

⋃z∈T

Dz

yazabiliriz. O halde, T topolojisine ait her aç�k küme D ye aitkümelerin bir bile³imi olarak yaz�labiliyor. Öyleyse,

D∗ = T

olur.

(b) Bunun ispat� yukar�dakine benzer olarak yap�labilir. Ama istersek,her aç�k diskin içerisine aç�k bir dikdörtgen çizilebilece§i gerçe§inisöyleyerek, bu ³�kk�n çözümünü önceki ³�kka indirgeyebiliriz.

(c) z noktas� düzlemde kapal� bir e§ri ile s�n�rlanm�³ bir bölgenin içnoktas� ise, bu iç bölge içine z merkezli aç�k bir disk veya aç�k birdikdörtgen çizilebilir. Dolay�s�yla, bu ³�kk�n ispat� (a) veya (b) yeindirgenebilir.

5.3. KOMULUKLAR TABANI 49

5.3 KOMULUKLAR TABANI

5.4 KARMA PROBLEMLER

1. (X,T ) bir topolojik uzay ve σ ailesi T -topolojisinin bir alt taban� olsun.

(a) σ(x) = {S ∈ σ : x ∈ S} ailesinin x noktas� için bir kom³uluklartaban� olmayaca§�n� bir örnekle gösteriniz.

Çözüm: σ = {(−∞, b), (a,+∞) | a, b ∈ R} ailesi salt topoloji içinbir alt taband�r. a < x < b olmak üzere (a, b) ∈ B(x) dir. x ∈ (−∞, b)ve x ∈ (a,+∞) dir; yani (−∞, b), (a,+∞) ∈ σ(x) dir. Ama (−∞, b)ve (a,+∞) kümeleri (a, b) aral�§� taraf�ndan kapsanamaz.

(b) σ(x) ailesinin sonlu arakesitlerinin olu³turdu§u ailenin x noktas� içinbir kom³uluklar taban� olaca§�n� gösteriniz.

Çözüm:V ∈ B(x)⇔ [(∃T ∈ T )(x ∈ T ⊂ V )

olur. Öte yandan T aç�k kümesi σ n�n sonlu arakesitleri ailesinin birbile³imidir. O halde T ∈ σ(x) dir.

2. Düzlemdeki her z noktas�na kar³�l�k, bu nokta merkez olarak çizilen, bütünaç�k dairelerden olu³an ailenin, salt topolojiye göre, z noktas�n�n bir kom³u-luklar taban� oldu§unu gösteriniz.

Çözüm:V ∈ B(z)⇔ [(∃T ∈ T )(z ∈ T ⊂ V )

olur. z ∈ T düzlemde aç�k bir küme ise z merkezli ve T taraf�ndan kap-sanan aç�k bir disk vard�r.

3. Düzlemdeki her z noktas�na kar³�l�k, bu nokta merkez olarak çizilen { 1r (r =1, 2, 3, . . .)} yar�çapl� aç�k disklerden olu³an ailenin, salt topolojiye göre, bunoktan�n say�labilir bir kom³uluklar taban� oldu§unu gösteriniz. Buradan,düzlemin salt topolojisinin birinci say�labilme aksiyomunu sa§lad�§� sonu-cunu ç�kar�n�z.

Çözüm: Önceki problemde z merkezli aç�k disklerin bir kom³uluklartaban� oldu§unu söylemi³tik. Bu tabana ait her aç�k diskin içine z merkezlive 1r yar�çapl� bir aç�k disk çizilebilir. Çünkü, tabana ait diskin yar�çap� dise, Ar³imet kural� gere§ince 1r < d olacak ³ekilde bir r do§al say�s� daimavard�r.

4. Ayr�k olmayan bir uzayda her hangi bir noktan�n kom³uluklar ailesi nedir?Ayr�k bir uzayda her hangi bir noktan�n kom³uluklar ailesi nedir?


Çözüm: (X,T ) ayr�k olmayan uzay ise, her noktan�n kom³ulu§u yal-n�zca {X} kümesidir.(X,A ) ayr�k uzay ise, her hangi bir noktan�n kom³ulu§u o noktay� içerenkümeler ailesidir.

5. p ö§esinin A kümesinin bir y�§�lma noktas� olmas� için gerekli ve yeterliko³ul, p nin kom³uluklar taban�na ait her kümenin A ya ait ve p den farkl�olan bir ö§eyi içermesidir.

Çözüm: p noktas�n�n kom³uluklar taban�n� S(x) ile gösterelim. x nok-tas�n�n her T kom³ulu§u için x ∈ S ⊂ T olacak biçimde bir S ∈ S(x)vard�r. O halde,

p ∈ Ã⇔ ((∀T ∈ T )(p ∈ T ⊂ A)⇒ (T − {p}) ∩A 6= ∅)⇔ (∀S ∈ S(x))(∀T ∈ T )(p ∈ S ⊂ T )⇒ (S − {p}) ∩A 6= ∅)⇔ (∀S ∈ S(x))⇒ (S − {p}) ∩A 6= ∅)

yazabiliriz.

6. Ayr�k bir uzayda her noktan�n sonlu bir kom³uluklar taban� oldu§unugösteriniz.

Çözüm: Ayr�k uzayda her B ∈ B(x) için x ∈ {x} ⊂ B dir. O haldeyaln�z {x} den olu³an ile x noktas�n�n bir kom³uluklar taban�d�r.

7. Bir noktan�n sonlu bir kom³uluklar taban� varsa, bu noktan�n tek birkümeden olu³an bir kom³uluklar taban� vard�r. Gösteriniz.

Çözüm: x noktas�n�n sonlu bir kom³uluklar taban�S(x) = {S1, S2, . . . , Sn}olsun. Kom³uluklar taban�na ait her küme B(x) kom³uluklar ailesine ait-tir. [N2] aksiyomu uyar�nca sonlu say�da kom³ulu§un arakesiti gene birkom³uluktur. O halde,

S =

n⋂i=1

Si

dersek, {S} ailesi bir kom³uluklar taban� olur. Çünkü, her B ∈ B(x)için Si ⊂ B olacak ³ekilde tabana ait bir Si vard�r. Oysa s ⊂ Si dir.Öyleyse, B ∈ B(x) için S ⊂ B olur. O halde, {S} ailesi x noktas�n�n birkom³uluklar taban�d�r.

8. (a) (X; T ) topolojik uzay�nda F ailesi, kapal� kümeler için bir taban ise,bu aileye ait kümelerin tümleyenlerinden olu³an aile aç�k kümeler içinbir taband�r.

(b) Kar³�t olarak, (X; T ) topolojik uzay�nda B ailesi, aç�k kümeler (topoloji)için bir taban ise, bu aileye ait kümelerin tümleyenlerinden olu³an ailekapal� kümeler için bir taband�r.

Gösteriniz.


Çözüm:

(a)

T ∈ T ⇔ T ′ kapal�

⇔ (∃i ∈ I)(∃Fi ∈ F )

((T ′ =

⋂i∈I

Fi

)

⇔ (∃i ∈ I)(∃Fi ∈ F )

((T =

⋂i∈I

F′

i

)

Demek ki, her aç�k T kümesi F ailesinin tümleyenlerinden olu³anailenin bir alt-ailesinin bile³imi olarak yaz�labilir. F ∈ F ⇔ F ′ ∈ Toldu§undan istenen özelik ortaya ç�kar.

(b)

K kapal�⇔ K ′ aç�k

⇔ (∃i ∈ I)(∃Bi ∈ B)

((K ′ =

⋃i∈I

Bi

)

⇔ (∃i ∈ I)(∃Bi ∈ B)

((K =

⋂i∈I

B′

i

)

Tabii, formülde K ′ e³itli§inden her i ∈ I için Bi ⊂ K′

i ⇔ B′

i ⊃ Kd�r. Ker kapal� K kümesi için bu yap�labildi§ine göre, B taban�na aitkümelerin tümleyenlerinden olu³an aile kapal� kümeler için bir tabanolur.

9. (X,≤) tam s�ralanm�³ bir küme olsun. Her a, b ∈ X ö§e çiftine kar³�l�k{x ∈ X : x > a}, {x ∈ X : x < b} ve {x ∈ X : a < x < b} kümeleri tan�m-lan�yor. a, b ö§eleri bütün X kümesini tarad�§�nda elde edilecek bütünbu kümelerden olu³an B ailesinin X kümesi üzerinde bir topoloji taban�oldu§unu gösteriniz. Bu taban�n üretti§i topolojiye s�ra topolojisi denir.Bu topolojik uzay�n kapal� kümelerinin nas�l oldu§unu belirleyiniz.

Çözüm: B ailesinin Önerme 4.1.3 ün ya da Önerme 4.1.7 nin hipotez-lerini sa§lad�§�n� göstermemiz gerekir.

(a)

X =⋃{B |B ∈ B}

oldu§u aç�kt�r. Çünkü e³itli§in sa§�ndaki bile³imi olu³turan her Bkümesi X kümesi taraf�ndan kapsan�r. Tersine olarak, her t ∈ Xö§esi için t 6= a olmak üzere ya t ∈ {x ∈ X : x > a} ya da t ∈ {x ∈X : x < a} olmal�d�r. Dolay�s�yla, yukar�daki e³itlik vard�r.


(b) B ailesinin sonlu arakesit i³lemine kapal� oldu§u hemen görülüyor. Ohalde,Önerme 4.1.7 uyar�nca, B∗ bir topolojidir.

Problem 8(b) uyar�nca,s�ra topolojisinin kapal� kümelerinin bir taban�,aç�k kümeler için yukar�da verilen B topoloji taban�na ait kümelerin tümleyen-lerinin olu³turdu§u K ailesidir.

10. B = {{x} |x ∈ X} ailesinin (X,A ) ayr�k uzay� için bir taban oldu§unugösteriniz.

Çözüm: B ailesinin Önerme 4.1.3 ün ya da Önerme 4.1.7 nin hipotez-lerini sa§lad�§�n� göstermemiz gerekir.

(a)

X =⋃{B |B ∈ B} =

⋃{x} x ∈ X

oldu§u aç�kt�r.

(b)

A,B ∈ B ⇒ A ∩B =

{∅, A 6= B{x}, A = B = {x}

A∩B = ∅ ise Önerme 4.1.3(b) sa§lan�r. A∩B = {x} ise x ∈ C ⊂ A∩Bko³ulunu sa§layan küme C = {x} ∈ B dir. Dolay�s�yla, Önerme4.1.3(b) gene sa§lan�r.

11. Ayr�k olmayan (X,T) uzay� için B = {X} ailesinin bir taban oldu§unugösteriniz.

Çözüm: Ayr�k olmayan uzayda topoloji taban� yaln�zca {X} kümesin-den olu³ur.

12. B = {x : |x| < r, x, r ∈ Q} ailesinin R üzerindeki salt topoloji içinbir taban oldu§unu gösteriniz.

Çözüm: B ailesi sonlu arakesit i³lemine kapal�d�r. Önerme 4.1.7 uyar�nca

R =⋃{B :B ∈ B} =

⋃{x : |x| < r, x, r ∈ Q}

üzerinde bir S topoloji üretir. Önerme 4.1.8 uyar�nca

R = {(a, b)|a, b ∈ R

aç�k aral�klar ailesi salt topolojinin bir taban�d�r. S topolojisinin R üz-erindeki R salt topolojisine e³it oldu§unu; yani

S = B∗ = R∗ = R


oldu§unu göstermek için Önerme 4.1.2 yi kullanabiliriz. {x : |x| < r} =(x− r, x + r) dir. Gerçel eksenin her (a, b) ∈ R aç�k aral�§� için x ∈ (a, b)oldu§unda x ∈ (x− r, x+ r) ⊂ (a, b) olacak biçimde, uç noktalar� rasyonelolan bir (x − r, x + r) ∈ B aç�k aral�§� daima bulunabilir. Örne§in, r =12 min{|x− a|, |x− b|} almak yetecektir.Tersine olarak, uç noktalar� rasyonel olan her (x − r, x + r) = (p, q) aç�karal�§� için y ∈ (p, q) oldu§unda y ∈ (c, d) ⊂ (p, q) olacak biçimde bir(c, d) = (y − δ, y + δ) ∈ R aç�k aral�§� daima bulunabilir. Örne§in, δ =12 min{|y − p|, |y − q|} almak yetecektir.

K�s�m III

Topolojilerin Resmedilmesi

55

Bölüm 6

SÜREKL FONKSYONLAR

6.1 YEREL SÜREKLLK

6.2 YAYGIN SÜREKLLK

6.2.1 Problemler

1. Bir topolojik uzaydan kendisine olan özde³lik dönü³ümü süreklidir. Neden?

Çözüm: (X,T ) bir topolojik uzay ve I : (X,T ) −→ (X,T ) özde³likdönü³ümü ise;

(a) I bbö dir,

(b) Her T ∈ T için I(T ) = T ve I−1(T ) = T oldu§undan I ve I−1 aç�kkümeleri aç�k kümelere resmederler.

O halde, Önerme 2.1.1 sa§lan�r.

2. Her hangi bir topolojik uzaydan ba³ka bir topolojik uzaya olan sabitfonksiyonlar süreklidir. Neden?

Çözüm: f : (X,T ) −→ (Y,S ) fonksiyonu her x ∈ X için f(x) =y0, (y0 ∈ Y sabit) koulunu sa§las�n. Her S ∈ S için

f−1(S) =

{X, y0 ∈ S∅, y0 /∈ S

(6.1)

olur. Her iki halde de aç�k kümelerin f−1 ters dönü³ümü alt�ndaki resimleriaç�kt�r. O halde, f süreklidir.

3. Bir ayr�k uzaydan her hangi bir topolojik uzaya olan fonksiyonlar sürek-lidir. Neden?

57

58 BÖLÜM 6. SÜREKL FONKSYONLAR

Çözüm: (X,T ) her hangi bir topolojik uzay ve (A,A ) ayr�k uzay olsun.Bir f : (A,A ) −→ (X,T ) fonksiyonu verilsin. Her T ∈ T için f−1(T ) ⊂A d�r ve A n�n her alt kümesi ayr�k topolojiye göre aç�kt�r; yani

T ∈ T ⇒ f−1(T ) ∈ A

d�r. Aç�k kümelerin f−1 ters dönü³ümü alt�ndaki resimleri aç�k oldu§un-dan, f süreklidir.

4. Her hangi bir topolojik uzaydan ayr�k olmayan bir uzaya olan fonksiyonlarsüreklidir. Neden?

Çözüm: (X,T ) her hangi bir topolojik uzay ve (F,F ) ayr�k olmayanbir uzay olsun. Bir f : (X,T ) −→ (F,F ) fonksiyonu verilsin. F nin aç�kkümeleri yaln�zca {∅, F} dir.

f−1(∅) = ∅ ∈ T , f−1(F ) = X ∈ T

oldu§undan; yani aç�k kümelerin f−1 ters dönü³ümü alt�ndaki resimleriaç�k oldu§undan, f süreklidir.

5. (X,T ) ve (Y,S ) topolojik uzaylar� ile f : X → Y fonksiyonu verilsin. sailesi S nin bir alt taban� ise, f nin sürekli olmas� için gerekli ve yeterliko³ul, her S ∈ s için f−1(S) ∈ T olmas�d�r. Gösteriniz.

Çözüm:

Gerekli§i: s alt taban�na ait her küme aç�kt�r. Çünkü

s ⊂ S ⊂ S

kapsamalar� vard�r. Öyleyse, f fonksiyonu sürekli ise,

S ∈ s⇒ f−1(S) ∈ T (6.2)

olmal�d�r.

Yeterli§i: Tersine olarak 9.1 sa§lans�n. Her H için

H ∈ S ⇒ f−1(H) ∈ T (6.3)

oldu§unu göstermeliyiz. s alt-taban�n�n bütün sonlu arakesitlerininolu³turdu§u aile S taban�d�r. T topolojisine ait her aç�k küme Ttaban�na ait baz� kümelerin bir bile³imi olarak yaz�labilir. O halde,H ∈ S ise

H =⋃i∈I

(n⋂k=1

Sik

)

6.2. YAYGIN SÜREKLLK 59

olacak biçimde Sik ∈ s, (k = 1, 2, . . . , n) kümeleri ile bir I damgakümesi vard�r. Bu durumda,

f−1(H) = f−1

(⋃i∈I

(n⋂k=1

Sik

))

=⋃i∈I

(f−1

(n⋂k=1

Sik

))

=⋃i∈I

(n⋂k=1

(f−1(Sik)

))

yaz�labilir. Her i ∈ I ve her k = 1, 2, . . . , n için (f−1(Sik) ∈ Toldu§undan, topolojinin [T2] ve [T3] aksiyomlar� sa§ yan�n T ye aitoldu§unu söyler. Böylece, 9.1 sa§lan�yorsa 9.2 ba§�nt�s�n�n da sa§-land�§� gösterilmi³ oldu.

6. Bir (X,T ) topolojik uzay�ndan bir (Y,S ) topolojik uzay� içine bir ffonksiyonu veriliyor. A³a§�daki ifadelerin e³de§er olduklar�n� gösteriniz:

(a) f fonksiyonu X üzerinde süreklidir,

(b) Her A ⊂ Y alt kümesi için f−1(A◦) ⊂(f−1(A)

)◦d�r,

(c) Her A ⊆ Y alt kümesi için f−1(Ā) ⊃ (f−1(A)) d�r.

Çözüm:

(a) ⇒ (b):Ao ⊂ A⇒ f−1(Ao) ⊂ f−1(A)

d�r. Oysa f sürekli oldu§undan f−1(Ao) aç�kt�r. Öyleyse f−1(A) niniçlemi taraf�ndan kapsan�r; yani

f−1(Ao) ⊂ (f−1(A))o (6.4)

olur.

(b) ⇒ (a):S ∈ S ⇒ f−1(S) ∈ T

oldu§unu gösterece§iz. S aç�k ise S = So oldu§undan, 6.4 uyar�nca

f−1(S) = f−1(So) ⊂ (f−1(S))o

dir. Oysa, bu kapsaman�n tersi olan

f−1(S) ⊃ (f−1(S))o

daima vard�r. Demek ki f−1(S) = (f−1(S))o ∈ T dir.


(a) ⇒ (c):Ā ⊃ A⇒ f−1(Ā) ⊃ f−1(A)

d�r. Oysa f sürekli oldu§undan f−1(Ā) kapal�d�r. Öyleyse f−1(A)n�n kaplam�n� kapsar (bkz. Önerme 2.5.1(d)). O halde

f−1(Ā) ⊃ (f−1(A)) (6.5)

olur.

(c) ⇒ (a):K ∈ S

′⇒ f−1(K) ∈ T

′

oldu§unu gösterece§iz. K kapal� ise K = K̄ oldu§undan, 6.5 uyar�nca

f−1(K) = f−1(K̄) ⊃ (f−1(K))

d�r. Oysa, bu kapsaman�n tersi olan

f−1(K) ⊂ (f−1(K))

daima vard�r. Demek ki f−1(K) = (f−1(K)) ∈ T ′ dir.

6.3. AÇIK VE KAPALI DÖNÜÜMLER 61

6.3 AÇIK ve KAPALI DÖNÜÜMLER

6.3.1 P R O B L E M L E R

1. Gerçel say�lardan gerçel say�lara tan�mlanan sabit bir fonksiyonun süreklive kapal� bir dönü³üm oldu§unu; ama aç�k bir dönü³üm olmad�§�n� gös-teriniz.

Çözüm: (R,R) uzay�nda her nokta kapal� bir kümedir. Dolay�s�yla, (R,R)den (R,R) ye tan�ml� her sabit fonksiyon her alt kümeyi sabit bir nok-tadan olu³an kapal� bir kümeye resmeder. Özel olarak kapal� kümelerikapal� kümelere resmedece§i için sabir fonksiyon kapal� bir dönü³ümdür.Sabit fonksiyonun sürekli oldu§unu Problem 6.2.1(2) den biliyoruz.

2. Gerçel say�lardan gerçel say�lara tan�mlanan f : x −→ x2 fonksiyonun aç�kolmad�§�n� gösteriniz.

Çözüm: A = (−1, 1) aral�§�n� alal�m. A aç�kt�r. Ancak f(A) = [0, 1)kümesidir. Bu küme ne aç�k ne kapal�d�r. O halde, f aç�k bir dönü³ümolamaz.

3. Önerme 6.3.1 ve Önerme 6.3.2 yi ispatlay�n�z.

Çözüm:

Önerme 6.3.1 : f bir topolojik e³yap� resmi ise, Önerme 2.1.1 uyar�nca

(a) f bbö dir.(b) f aç�k bir dönü³ümdür.(c) f−1 aç�k bir dönü³ümdür.

Sonuncu ko³ul f nin sürekli olmas�n� gerektirir. O halde, topolojike³yap� dönü³ümleri aç�k ve sürekli dönü³ümlerdir.Benzer olarak, f bir topolojik e³yap� resmi ise, Önerme 2.2.2 uyar�nca

(a) f bbö dir.(b) f kapal� bir dönü³ümdür.(c) f−1 kapal� bir dönü³ümdür.

Sonuncu ko³ul f nin sürekli olmas�n� gerektirir. O halde, topolojike³yap� dönü³ümleri kapal� ve sürekli dönü³ümlerdir.

Önerme 6.3.2 : f : (X,T ) → (Y,S ) bir topolojik e³yap� tesmi ise,yukar�da ispat�n� yapt�§�m�z Önerme 6.3.1 uyar�nca

(a) f bbö dir.(b) f sürekli ve aç�k (sürekli ve kapal�) bir dönü³ümdür.(c) f−1 aç�k (kapal�) bir dönü³ümdür.


bbö oldu§u için (f−1)−1 = f oldu§u aç�kt�r. f aç�k oldu§una göref−1 süreklidir. Demek ki f ile f−1 dönü³ümleri bbö, hem sürekli hemaç�k (kapal�) dönü³ümlerdir. Tersine olarak, bu ko³ullar�n sa§lanmas�Önerme 2.1.1 ya da Önerme 2.2.2 nin hipotezlerinin sa§lanmas� de-mektir. Dolay�s�yla, hem f hem f−1 topolojik e³yap� dönü³ümleridir.

4. f : (X,T ) → (Y,S ) bire-bir örten bir fonksiyon olsun. f fonksiyonununbir topolojik e³yap� resmi olmas� için gerekli ve yeterli ko³ul, her A ⊂ Xalt-kümesi için f(Ā) = f(A) olmas�d�r. Gösteriniz.

Çözüm: f topolojik e³yap� dönü³ümü ise, Önerme 6.3.1 uyar�nca süreklive kapal� (aç�k) olmal�d�r. Oysa, f nin sürekli ve kapal� olmas� için Önerme6.3.4 uyar�nca, her A ⊂ X alt-kümesi için f(Ā) = f(A) olmas� gerekli veyeterlidir.

5. (X,T ) uzay�n�n ayr�k olmas� için gerekli ve yeterli ko³ul, X uzay�ndanher Y uzay�na tan�ml� fonksiyonlar�n sürekli olmas�d�r.

Çözüm: (X,A ) uzay� ayr�k uzay olsun. I : (X,T ) → (X,A ) özde³-lik dönü³ümünün sürekli olmas� için (X,T ) uzay�n�n ayr�k olmas� gereklive yeterlidir. Ayr�k olmayan hiç bir T topolojisi I özde³lik dönü³ümünüsürekli k�lamaz.

6. Bo³ olmayan bir X kümesi veriliyor. X üzerinde öyle bir T topolojisikurunuz ki, her (Y,S ) uzay�ndan (X,T ) uzay�na tan�ml� her fonsiyonsürekli olsun. Bu topolojiyi belirleyiniz.

Çözüm: (X,T ) uzay�n�n ayr�k olmayan uzay ise her uzaydan burayatan�ml� her fonksiyon sürekli olur (bkz. Problem 6.2.1(4)).

7. f : (X,T )→ (Y,S ) sürekli ve örten bir fonksiyon ise, X uzay�n�n yo§unalt kümelerini Y uzay�n�n yo§un alt kümelerine resmeder; yani

Ā = X ⇒ f(A) = Y (6.6)

olur. Gösteriniz.

Çözüm: f sürekli ise, Teorem 6.2.1 uyar�nca Ā ⊂ f(A) d�r. A yo§un iseĀ = X oldu§undan

Y = f(X) = f(Ā) ⊂ f(A)

olur. Oysa, bu kapsaman�n tersi olan Y ⊃ f(A) daima vard�r. O halde,Y = f(A) ç�kar, ki bu (6.6) n�n sa§lanmas� demektir.

Bölüm 7

TOPOLOJLERNKARILATIRILMASI

7.1 KABA ve NCE DOKULULUK

7.1.1 KARILATIRILABLR TOPOLOJK YAPILAR


1. Bir X kümesi üzerinde T ve S topolojileri veriliyor. S ⊂ T ise, gös-teriniz ki her A ⊂ X alt-kümesinin T ya göre içi, S ye göre içinden dahabüyüktür.

Çözüm Her A ⊂ X için AT ⊃ AS oldu§unu

x ∈ AS ⇒ (∃TS ∈ S )(x ∈ TS ∈ S )⇒ (∃TS ∈ S )(x ∈ TS ∈ T )

ba§�ns�ndan görebiliriz.

2. Ayn� bir alt-tabana sahip iki topolojinin e³it olaca§�n� gösteriniz.

Çözüm s ortak alt-taban olsun. s n�n sonlu arakesitlerinden olu³an aileyiS ile gösterelim. S ailesi S ve T topolojileri için ortak taban olur. Ortakbir tabana sahip iki topoloji ayn� olur:

s ⊂ S⇒ S∗ = Ss ⊂ S⇒ S∗ = T

}⇒ S = T

3. Gerçel eksen üzerindeki salt topolojinin alt-limit topolojisinden kesinlikledaha kaba oldu§unu gösteriniz.

63

64 BÖLÜM 7. TOPOLOJLERN KARILATIRILMASI

Çözüm Bunun ispat� Örnek 7.1.1 deki gibi yap�labilir.

4. s1 ve s2 s�ras�yla T1 ve T2 topolojileri için birer alt-taban olsunlar.

(a) s2 ⊂ s1 ise T2 ⊂ T1 ,(b) s2 ⊂ s1 ⊂ T2 ise T1 = T2


Çözüm

(a) s1 n�n üretti§i topoloji taban� S1 ve s2 n�n üretti§i topoloji taban�S2 olsun.

s2 ⊂ s1 ⇒ S2 ⊂ S1 ⇒ T2 ⊂ T1 (7.1)

(b)

s1 ⊂ T2 ⇒ S1 ⊂ T2 (7.2)⇒ T1 ⊂ T2 (7.3)

9.1 ve 9.2 dan istenen ç�kar.

7.2 TOPOLOJLERN SIRALANMASI


1. Bo³ olmayan bir X kümesi üzerinde verilen bir topolojiler ailesinin "dahakaba dokulu olmak" ba§�nt�s�na göre tikel s�ralanm�³ bir dizge olu³tur-du§unu gösteriniz (bkz. Önerme 7.2.1 ).

Çözüm Tikel (k�smi) s�ralama ba§�nt�s�n�n Tan�m 1.4.1 ile verilen yan-s�mal�, geçi³li ve antisimetrik olma özeliklerinin, bir X kümesi üzerindetan�ml� bir Θ topolojiler ailesi taraf�ndan sa§land�§�n� göstermeliyiz.

(i) Her T ∈ Θ için T ⊂ T oldu§u aç�kt�r.(ii) Her T ,S ∈ Θ için (S ⊂ T )∧(S 6= T ) ise T 6⊂ S olaca§� kümeler

cebirinden bilinir.

(iii) Her T ,S ,H ∈ Θ için

(S ⊂ T ) ∧ (T ⊂H )⇒ S ⊂H )

oldu§u da kümeler cebirinden bilinir.

2. kinci Say�labilme Aksiyomunu sa§layan uzay, Birinci Say�labilme Aksiy-omunu da sa§lar. Gösteriniz.

7.2. TOPOLOJLERN SIRALANMASI 65

Çözüm (X,T ) uzay� kinci Say�labilme Aksiyomunu sa§l�yorsa, Tan�m4.1.3 gere§ince say�labilir bir topoloji taban� vard�r. buna S = {Si :i ∈ N} diyelim. Kom³uluk tan�m� uyar�nca ∀(x ∈ X)(∀B ∈ B(x)) içinx ∈ TB ⊂ B olacak biçimde bir TB ∈ T aç�k kümesi vard�r. Öte yandan,S taban oldu§undan x ∈ Si ⊂ TB olacak biçimde bir Si ∈ S bulunabilir.Bu ko³ulu sa§layan {Si} ailesi x ∈ X noktas�n�n say�labilir bir kom³uluklartaban�d�r.

66 BÖLÜM 7. TOPOLOJLERN KARILATIRILMASI

Bölüm 8

DÖNÜÜMLERLEKONDURULANTOPOLOJLER

8.1 ZDÜEL TOPOLOJ

8.1.1 Problemler

1. Örnek 8.1.2 ile verilen ters resim topolojisinin aç�k ve kapal� kümelerinins�ras�yla, S nin aç�k ve kapal� kümelerinin ters resimlerinden ibaret oldu§unugösteriniz.

Çözüm: f : X → (Y,S ) fonksiyonunun X üzerine kondurdu§u izdü³eltopolojiye (ters resim topolojisi) H diyelim. Önerme 8.1.1 uyar�nca

S = {f−1(S) :S ∈ S } (8.1)

ailesi H topolojisinin bir alt-taban�d�r. Bu ailenin sonlu arakesitlerininolu³turdu§u aileyi S ile gösterelim.

f−1

(n⋂i=1

Si

)=

n⋂i=1

f−1(Si)

f−1

(⋃ı∈I

Sı

)=⋃ı∈I

f−1(Sı)

e³itliklerinden S = S = S∗ = H oldu§u görülür. O halde, 8.1 gere§ince

T ∈H ⇔ (∃S ∈ S )(T = f−1(S)

67

68 BÖLÜM 8. DÖNÜÜMLERLE KONDURULAN TOPOLOJLER

dir. Önerme 6.2.1(c) uyar�nca, L kümesi S topolojisinde kapal� ise f−1(L)ters resmi H topolojisinde kapal� olacakt�r. Kar³�t olarak, K kümesi Htopolojisinde kapal� ise K ′ aç�kt�r. 8.1 gere§ince, K ′ = f−1(S) olacakbiçimde bir S ∈ S aç�k kümesi vard�r. S′ kapal�d�r veK ′ = f−1(S′) dür. Ohalde, H topolojisinin kapal� kümeleri S topolojisinin kapal� kümelerininters resimleridir.

2. Yine yukar�daki örnekte, her x ∈ X için W kümeleri S ye göre f(x)noktas�n�n bir kom³uluklar taban�n� tar�yorsa X üzerinde S nin ters resimtopolojisine göre, f−1(W ) kümeleri x noktas�n�n bir kom³uluklar taban�n�tarayacakt�r. Gösteriniz.

Çözüm:

W ∈ B(f(x))⇒ (∃S ∈ S )(f(x) ∈ S ⊂W⇒ (x ∈ f−1(S) ⊂ f−1(W ) ∈ B((f(x))

B ∈ B(x)⇒ (∃T ∈H )(x ∈ T ⊂ B)⇒ (∃S ∈ S )(x ∈ T = f−1(S) ⊂ B)

3. (X,T ve (Y,S ) uzaylar� ile bir f : X → Y fonksiyonu verilsin. f ninsürekli olmas� için gerekli ve yeterli ko³ul, X üzerinde S nin ters resimtopolojisi olan H topolojisinin T topolojisinden daha kaba dokulu ol-mas�d�r. Gösteriniz.

Çözüm: f : (X,T )→ (Y,S ) fonksiyonu sürekli ise S ∈ S ⇒ f−1(S) ∈T dir. Buradan, 8.1 gere§ince, S∗ = H ⊂ T olur.

4. Örnek 8.1.3 gösterimleri alt�nda, H izdü³el topolojisi,X üzerindeki topolo-jiler aras�nda her ı ∈ I için fı özde³lik fonksiyonunu sürekli k�lan topoloji-lerin arakesitine e³ittir. Gösteriniz. Bunun Önerme 7.2.4 ile e³de§er oldu§unugösteriniz.

Çözüm: Bütün fı : X → (X,Tı) sürekli özde³lik fonksiyonlar�n�n ailesiniF = {fı} ile ve sözkonusu topolojilerin arakesitini

T =⋂ı∈I

Tı (8.2)

ile gösterelim. Ba³ka bir deyi³le

Tı ∈ T ⇔ fı : X → (X,Tı) sürekli

ba§�nt�s� vard�r. H izdü³el topolojisi F ye ait her fı fonksiyonunu süreklik�lar. O halde, 8.2 gere§ince H ⊃ T dir. Kar³�t olarak, H n�n tan�m�uyar�nca,

T ∈ T ⇒ (∀ı ∈ I)(T = f−1ı (T ) ∈H

8.1. ZDÜEL TOPOLOJ 69

d�r. Öyleyse T = H olur.

Öte yandan, Önerme 8.1.1 gere§ince

S = {f−1ı (T ) :T ∈ Tı}

ailesi H = T izdü³el topolojisinin bir alt-taban�d�r. Önerme 7.2.4 uyar�nca,S ailesini alt taban kabul eden H topolojisi Tı topolojilerinin en küçüküst s�n�r�d�r.

5. Bir X kümesi ile bir Y = {(Y ı,Tı) : ı ∈ I} topolojik uzaylar ailesiveriliyor. E§er F = {fı : X → Y ı} sabit fonksiyonlardan olu³an bir aileise, F ye göre Y nin X üzerindeki izdü³el topolojisini bulunuz.

Çözüm: X üzerindeki ayr�k olmayan topoloji F ailesine ait bütün fonksiy-onlar� sürekli k�lar (bkz.Problem 6.2.1(4)).O halde, önceki problem gere§ince,ayr�k topoloji aranan izdü³el topolojidir.

6. R gerçel say�lar kümesi üzerinde

F = {fab : R→ (R,R) | fab : x ax+ b, a, b ∈ R}

fonksiyonlar�n�, yani R den R ye bütün do§rusal fonksiyonlar� sürekli k�lanen kaba dokulu topolojinin yine gerçel eksenin R salt topolojisi oldu§unugösteriniz.

Çözüm: Her fab ∈ F do§rusal dönü³ümünün bir topolojik e³yap� dönü³ümüoldu§unu biliyoruz (bkz Örnek 6.3.4). Buradan

T ∈ R ⇔ f−1ab (T ) ∈ R

oldu§u görülür. O halde, her a, b ∈ R için f−1ab (R) = R olacakt�r, ki bu

{f−1ab (R) :a, b ∈ R} = R

e³itli§inin varl�§� demektir. Bu e³itli§in sol yan�, F ailesinin R üzerinekondurdu§u izdü³el topolojidir.

7. R üzerindeki alt-limit topolojisini L ile gösterelim. R üzerinde

F = {fab : R→ (R,L ) | fab : x ax+ b, a, b ∈ R}

do§rusal dönü³ümlerini sürekli k�lan en kaba topolojinin ayr�k topoloji-den ba³kas� olamayaca§�n�; yani, (R,T ) uzay�n�n F ye göre R üzerindekiizdü³el topolojinin ayr�k topoloji oldu§unu gösteriniz.


Çözüm: Sözkonusu izdü³el topolojiyi T ile gösterelim. Her p ∈ R için{p} kümesinin T -aç�k oldu§unu göstermeliyiz. f(x) = x − p ve g(x) =−x + p fonksiyonlar� F ailesine aittirler. B = [0, p) kümesi ise L topolo-jisine aittir.

f−1(B) = [p, 2p), g−1(B) = (0, p]

ters resimleri T izdü³el topolojisinin alt-taban�na aittir. O halde bunlar�narakesiti

[p, 2p) ∩ (0, p] = {p}

kümesi T topolojisine ait olacakt�r; yani her p ∈ R için {p} ∈ T dir.

8.2. TÜMEL TOPOLOJ 71

8.2 TÜMEL TOPOLOJ

8.2.1 Problemler

1. Tan�m 8.2.3 gösterimleri alt�nda,

D =⋂i∈I

Ti (8.3)


Çözüm: Her ı ∈ I için fı : (Yı,Tı)→ (X,D) özde³lik dönü³ümü süreklioldu§undan, Önerme 7.1.1 uyar�nca, her ı ∈ I için D ⊂ Tı olur. O halde

D ⊂⋂i∈I

Ti (8.4)

kapsamas� vard�r. Öte yandan, D tümel topolojisi {fı} özde³lik dönü³üm-lerini sürekli k�lan topolojilerin en incesi oldu§undan

D ⊃⋂i∈I

Ti (8.5)

ba§�nt�s� vard�r. 8.4 ve 8.5 den istenen 8.3 e³itli§i ç�kar.

2. Bire-bir ve örtenf : (X,T )→ (Y,S )

fonksiyonunun bir e³yap� resmi olmas� için gerekli ve yeterli ko³ul S nin,Y üzerindeki topolojiler aras�nda f fonksiyonunu sürekli k�lanlar�n en incedokulusu olmas�d�r. Gösteriniz.

Çözüm: Olmayana Ergi Yöntemini kullanaca§�z. S den daha ince olanve f fonksiyonunu sürekli k�lan bir U topolojisi var olsun. S ⊂ U ola-cakt�r. f fonksiyonu T −U sürekli oldu§undan,

U ∈ U ⇒ f−1(U) ∈ T⇒ fof−1(U) = U ∈ S

oldu§undan, U ⊂ S dir, ki bu kabulümüzle çeli³ir. O halde, S den dahaince olan ve f fonksiyonunu sürekli k�lan bir U topolojisi yoktur.


8.3 ALT UZAYLAR

8.4 PROBLEMLER

1. (A,TA) uzay� (X,T ) nun bir alt-uzay� olsun. E§erS,T nun bir alt-taban�ise, S nin A üzerindeki izi diyece§imiz

SA = {S ∩A : S ∈ S} (8.6)

ailesi TA n�n bir alt-taban�d�r. Gösteriniz.

Çözüm:

TA ∈ TA ⇒ (∃T ∈ T )(TA = T ∩A)S alt-taban oldu§undan

⇒ T =⋃ı∈I

⋂j∈J{Sj | Sj ∈ S}

⇒ TA =

⋃ı∈I

⋂j∈J{Sj ∩A | Sj ∩A ∈ SA}

yaz�labilir, ki bu isteneni verir.

2. (A,TA) uzay� (X,T ) nun bir alt-uzay� olsun. Bir x ∈ A noktas�n�n TA-kom³uluklar�

BA(x) = {W ∩A : W ∈ B(x)} (8.7)

ve TA-kom³uluklar taban�

SA(x) = {S ∩A : S ∈ S(x)} (8.8)

mail.baskent.edu.trmail.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/kitap/topprob.pdfbölüm 2 temel topoloj...

Documents