Magnitudes escalares y vectoriales

Contenido del artículo

El vector desplazamiento

Operaciones con vectores

Componentes

Las magnitudes física se pueden separar en dos grupos de acuerdo a su naturaleza general, al primer grupo pertenecen aquellas magnitudes que pueden tratarse algebráicamente como cantidades sin una dirección ni sentido asociado. Tales magnitudes se les llama escalares. La declaración de que la masa de una manzana es de 0.25 kg dice todo lo que hace falta saber sobre la masa, de hecho, no hace falta definir una dirección. Lo mismo sucede con el tiempo que transcurre cuando la manzana cae al suelo desde nuestras manos. Otros ejemplos de magnitudes escalares pueden ser la temperatura, la carga eléctrica, la energía de un cuerpo en movimiento. Algunas magnitudes escalares siempre son algebráicamente positivas como la masa, pero otras como la carga eléctrica puede ser positiva o negativa.

No obstante hay otras cantidades físicas que no pueden describirse a plenitud usando escalares. Por ejemplo, para especificar la velocidad de la manzana al caer, no es suficiente con el valor de la velocidad (cuan rápido se mueve), también hace falta la dirección y el sentido en que se mueve. A estas magnitudes se les llama vectoriales, y en la práctica se representan con flechas (vectores), cuya magnitud está definida por el tamaño a escala de la flecha, la dirección por la orientación en el espacio de la linea de la flecha y el sentido por la saeta en uno de sus extremos.

Se necesitan vectores para definir velocidad, fuerza, campo eléctrico y numerosas otras cantidades, y el papel de los vectores es muy importante en la física. En este artículo vamos a hacer un resumen de sus propiedades.

El vector desplazamiento.

Para ilustrar, usemos como ejemplo al desplazamiento. El desplazamiento es la diferencia entre la última posición de un punto o cuerpo que se ha movido y la posición inicial y nos servirá para describir muchas propiedades de los vectores. Para entender la naturaleza vectorial del desplazamiento, imagine que necesita encontrar una tapa de un conducto soterrado en el patio de su casa. El conducto es el de desagüe de la casa y este está tupido, si encuentra la tapa, la podrá abrir y destupir el conducto. Dispone de un documento rústico dejado por el dueño anterior con instrucciones de como llegar a la tapa oculta bajo la tierra.

La primera instrucción dice que hay que caminar desde la puerta de la casa (posición A) 20 pasos al noreste (posición B); las segunda, que luego debe caminar 20 pasos al este (posición C) y allí estará la tapa. Note que en ambas instrucciones han sido necesarias especificar dos cuestiones, una de cantidad (los pasos) y otra de sentido y dirección (noreste y este).

Estas instrucciones podían haberse mostrado con un dibujo simple como se muestra en la figura 1. Observe que cada instrucción puede ser completamente definida usando un vector (flecha) donde la magnitud (cantidad de pasos) se corresponde con la longitud de la flecha, la segunda (la dirección) al ángulo con la linea norte y la tercera (el sentido) con el indicado por la saeta en el extremo.

Operaciones con vectores.

Suma.

El resultado de dos desplazamientos consecutivos es también un desplazamiento que llamaremos desplazamiento neto. El desplazamiento neto en nuestra búsqueda de la tapa puede verse en la figura 2 como una flecha azul, y se le llama vector resultante o vector suma.

Si acudimos a la figura 3 y llamamos V1 al vector de la primera instrucción (los primeros 20 pasos al noreste) y V2 al de la segunda (20 pasos al este), el vector resultante, R, (la flecha azul) resultará la suma de los dos desplazamientos consecutivos, de manera que:

R = V1 + V2

La suma de vectores es conmutativa, es decir, no importa el orden en que se agreguen los vectores, el resultado final será el mismo. Véase en la figura 3.

En ella, aunque se mantienen dibujados los vectores originales para comparar, se han trazado nuevos vectores con lineas discontinuas cambiado el orden, es decir primero los 20 pasos al este y luego los 20 al noreste, note que el resultado es el mismo, de todas maneras llegamos a la tapa que buscamos. Lo que se puede resumir como:

R = V1 + V2 = V2 + V1

Se desprende de lo anterior que para sumar dos vectores, se coloca la "cola" de uno de ellos en la punta del otro, sin importar el orden, y la suma será el vector resultante.

Otra característica de la suma de vectores es que es asociativa. Para entenderlo agreguemos otra instrucción al documento original, digamos que la tercera instrucción dice que después de dar los 20 pasos al este hay que dar 10 pasos al sur.

En la figura 4 se puede ver la adición de la última instrucción como el vector V3 ahora hay un nuevo vector suma R producto de enlazar los extremos de los tres vectores involucrados. Observe que también se ha trazado el vector suma de V1 + V2 y se ha llamado R1 . Del simple análisis del gráfico se puede llegar a la conclusión de que:

R = V1 + V2 + V3 = (V1 + V2) + V3

Si dibuja el gráfico correspondiente verá que el resultado será el mismo para el caso de sumar primero V1 + V3 y luego agregarle a V2 de forma que:

R = V1 + V2 + V3 = (V1 + V3) + V2

Los vectores que representan cantidades físicas diferentes a desplazamiento se comportan de la misma forma.

Por ejemplo, supongamos que Aladino va montado en su alfombra que viaja de sur a norte a la velocidad v1 , pero el mimo tiempo está caminando sobre la alfombra diagonalmente hacia el sureste a una velocidad v2 . ¿Cuál será su velocidad neta con respecto al suelo vn?

La respuesta es simple, como la velocidad es una magnitud vectorial, la velocidad neta de Aladino con respecto al suelo será la suma vectorial v1 + v2 . Veámoslo gráficamente en la figura 5.

En la figura 5 se han sumado los dos vectores velocidad a los que se mueve Aladino, el primero corresponde a su velocidad debido al movimiento de la alfombra v1 (al norte) , y luego el correspondiente a su movimiento propio sobre ella v2 (al sureste). Observe que la velocidad resultante es de magnitud menor que la de la alfombra (la flecha mas corta) y está en un rumbo próximo al noreste.

dibujo

Figura 1

dibujo

Figura 2

figura 3

Figura 3

figura 4

Figura 4

figura 5

Figura 5

Componentes

figura 6

Figura 6

figura 7

Figura 7

figura 8

Figura 8

Es conveniente, en la mayor parte de los casos, usar ejes coordenados para situar puntos. En un ambiente bi-dimensional, como el plano de la superficie de una mesa, solo necesitamos especificar dos ejes mutuamente perpendiculares, el eje x y el eje y (figura 6) que se cortan en el punto O y que se llama origen.

Un punto P se puede situar dando sus dos coordenadas (x1, y1), es decir, cuanto lejos está del origen O, en la dirección del eje x , y en la dirección del eje y . También se puede definir la posición del punto P con el uso del vector de posición V que se extiende desde el origen hasta el punto P.

La distancia desde el origen (O) hasta x1 se denomina el componente x del vector de posición V, y aquella desde el origen hasta y1 el componente y del vector V. En otras palabras los componentes de un vector son sus proyecciones sobre los ejes coordenados. Algo así como su fueran sus sombras en los ejes al ser alumbrados horizontal y verticalmente en cada caso.

Fijémonos ahora en la figura en la figura 7. Podrá ver que el vector de posición del punto P (que vamos a considerar un vector de desplazamiento), corresponde al vector resultante, o suma, de dos vectores de magnitudes iguales a las proyecciones de V en los ejes coordenados y dirigidos a partir del origen. A estos se les llama los vectores componentes, lo que significa que el vector

desplazamiento (o de posición) del punto P se puede descomponer en dos vectores componentes, los que sumados, definen por completo el desplazamiento P.

Otra forma de situar con exactitud el punto P es usando el ángulo que forma el vector de posición, con alguno de los ejes coordenados. En el dibujo de la figura 7 el ángulo θ y la longitud del vector de posición definen por completo la situación del punto P. Finalmente concluimos que:

Un vector se puede definir de dos formas, o bien dando una magnitud V y el ángulo θ que forma con alguno de los ejes coordenados, o bien por sus componentes sobre los ejes x e y.

Vectores en tres dimensiones.

Hasta ahora hemos visto los vectores en dos dimensiones, pero estos responden igual en un sistema tri-dimensional. Usemos la figura 8.

Para poder definir el punto P en el sistema espacial tenemos que acudir a tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen, esto es se ha agregado el eje z. En tal disposición los ejes forman un sistema euclidiano o cartesiano (aunque a la disposición con solo dos ejes también se le llama cartesiano).

En este caso la definición total de la posición del punto P se hace a través de los componentes en los tres ejes, (x1, y1, z1) , que han sido representados en color rojo.