maciej stankiewicz · wstęp podejście klasyczne ... wydział matematyki, fizyki i informatyki ug...
TRANSCRIPT
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Zwiększanie losowości
Maciej Stankiewicz
Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki UGKrajowe Centrum Informatyki Kwantowej
XIII Matematyczne Warsztaty KaeNeMówHel, 20-22 maja 2016
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 1 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Spis treści
1 Wstęp
2 Podejście klasyczne
3 Podejście kwantowe
4 Podsumowanie
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 2 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Do czego potrzebujemy losowości?
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 3 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Do czego potrzebujemy losowości?
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 4 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Niezależność od urządzenia
W kryptografii często rozpatrujemy model “device independent” wktórym nie ufamy urządzeniom i nie znamy ich strukturywewnętrznej “black box model”. Opieramy się jedynie nastatystykach wyników otrzymywanych z urządzenia.
Dobrą praktyką jest to by protokół był jawny!
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 5 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Niezależność od urządzenia
W kryptografii często rozpatrujemy model “device independent” wktórym nie ufamy urządzeniom i nie znamy ich strukturywewnętrznej “black box model”. Opieramy się jedynie nastatystykach wyników otrzymywanych z urządzenia.
Dobrą praktyką jest to by protokół był jawny!
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 5 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Źródła “prawie” losowe [1]
Definicja (Źródło Santha-Vazirani)
ε-SV source jest dane przez rozkład prawdopodobieństwaP(x1, x2, . . . , xn, . . .) dla ciągów bitów, taki że
12− ε ¬ P(xi |xi−1, xi−2, . . . , x1) ¬
12+ ε (1)
12− ε ¬ P(x1) ¬
12+ ε (2)
Wniosek
ε = 0 - źródło w pełni losowe
ε = 12 - źródło deterministyczne
ε ∈ (0, 12) - źródło częściowo losowe
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 6 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Źródła “prawie” losowe [1]
Definicja (Źródło Santha-Vazirani)
ε-SV source jest dane przez rozkład prawdopodobieństwaP(x1, x2, . . . , xn, . . .) dla ciągów bitów, taki że
12− ε ¬ P(xi |xi−1, xi−2, . . . , x1) ¬
12+ ε (1)
12− ε ¬ P(x1) ¬
12+ ε (2)
Wniosek
ε = 0 - źródło w pełni losowe
ε = 12 - źródło deterministyczne
ε ∈ (0, 12) - źródło częściowo losowe
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 6 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Klasyczne zwiększanie losowości [1]
Twierdzenie (Klasycznie zwiększanie losowości nie jest możliwe)
Dla każdej funkcji Ext : {0, 1}n → {0, 1} i każdego ε istnieje ε-SVsource X takie, że Ext(X) jest losowe z błędem nie mniejszym niż ε.
Warto przytoczyć fakt, że mając większą ilość niezależnychSV-source można klasycznie zwiększać losowość.
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 7 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Klasyczne zwiększanie losowości [1]
Twierdzenie (Klasycznie zwiększanie losowości nie jest możliwe)
Dla każdej funkcji Ext : {0, 1}n → {0, 1} i każdego ε istnieje ε-SVsource X takie, że Ext(X) jest losowe z błędem nie mniejszym niż ε.
Warto przytoczyć fakt, że mając większą ilość niezależnychSV-source można klasycznie zwiększać losowość.
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 7 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Kwanty
Czy efekty kwantowe mogą pomóc?
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 8 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Pudełka
x y
a b
P(x , y |a, b)Alicja Bob
Definicja (Warunek nie sygnalizacji)
∀a,b,b′,x
∑y
P(x , y |a, b) =∑y
P(x , y |a, b′)
∀a,a′,b,y
∑x
P(x , y |a, b) =∑x
P(x , y |a′, b)(3)
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 9 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Pudełka
x y
a b
P(x , y |a, b)Alicja Bob
Definicja (Warunek lokalności)
Pudło jest lokalne jeśli
P(x , y |a, b) =∑λ
P(x |a, λ)P(y |b, λ) (3)
Gdzie λ opisuje pewną z góry ustaloną, dzieloną losowość.
Definicja (Warunek nie sygnalizacji)
∀a,b,b′,x
∑y
P(x , y |a, b) =∑y
P(x , y |a, b′)
∀a,a′,b,y
∑x
P(x , y |a, b) =∑x
P(x , y |a′, b)(4)
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 9 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Pudełka
x y
a b
P(x , y |a, b)Alicja Bob
Definicja (Pudełka kwantowe)
Pudło jest kwantowe jeśli możemy je “zbudować” korzystając zefektów kwantowych ;)
Definicja (Warunek nie sygnalizacji)
∀a,b,b′,x
∑y
P(x , y |a, b) =∑y
P(x , y |a, b′)
∀a,a′,b,y
∑x
P(x , y |a, b) =∑x
P(x , y |a′, b)(3)
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 9 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Pudełka
x y
a b
P(x , y |a, b)Alicja Bob
Definicja (Pudełka kwantowe)
Pudło jest kwantowe jeśli możemy je “zbudować” korzystając zefektów kwantowych ;)
Ważne jest to że potrafimy zbudować kwantowe pudła nielokalne.
Definicja (Warunek nie sygnalizacji)
∀a,b,b′,x
∑y
P(x , y |a, b) =∑y
P(x , y |a, b′)
∀a,a′,b,y
∑x
P(x , y |a, b) =∑x
P(x , y |a′, b)(3)
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 9 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Pudełka
x y
a b
P(x , y |a, b)Alicja Bob
Definicja (Warunek nie sygnalizacji)
∀a,b,b′,x
∑y
P(x , y |a, b) =∑y
P(x , y |a, b′)
∀a,a′,b,y
∑x
P(x , y |a, b) =∑x
P(x , y |a′, b)(3)
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 9 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Popescu - Rohrlich Box
Definicja (PR-Box)
P(x , y |a, b) ={12 : x ⊕ y = ab0 : w.p.p.
(4)
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 10 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
PR-Box i pudła lokalne
PR-Box X00 X01 X10 X11
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 11 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Podsumowanie
Problemy otwarte:Korelacje pomiędzy SV i urządzeniem [3].Poprawa ε.Zmniejszenie liczby urządzeń.
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 12 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Podsumowanie
Problemy otwarte:Korelacje pomiędzy SV i urządzeniem [3].Poprawa ε.Zmniejszenie liczby urządzeń.
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 12 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Bibliografia I
[1] M. Santha and U. V. Vazirani.Generating quasi-random sequencesfrom semi-random sources.Journal of Computer and System Sciences, 33(1):75–87, 1986.
[2] .R. Colbeck and R. Renner.Free randomness can be amplified.Nature Physics, 8(6):450–453, 2012.
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 13 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Bibliografia II
[3] H. Wojewodka, F. G. S. L. Brandao, A. Grudka, M. Horodecki,K. Horodecki, P. Horodecki, M. Pawlowski, andR. Ramanathan.Amplifying the randomness of weak sources correlated withdevices.ArXiv e-prints, January 2016.
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 14 / 16
WstępPodejście klasycznePodejście kwantowePodsumowanie
Inne tematy badań
Inne tematy badane w kwantowej teorii informacji:
Kryptografia (szyfrowanie, podpis elektroniczny, wybory, bitcommitment)
Redukcja złożoności komunikacyjnej
Komputery i algorytmy kwantowe
Kwantowa korekcja błędów
Badanie podstaw fizyki i wszechświata
I wiele innych
Maciej Stankiewicz Zwiększanie losowości 15 / 16