PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

Za dzień narodzenia mechaniki kwantowej jest uważany 14 grudnia roku 1900. Tego dnia, na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego w InstytucieFizyki Uniwersytetu Berlińskiego czterdziestodwuletni profesor zwyczajny tego uniwersytetu, Max Planck wygłosił referat pt ”O teorii prawa rozkładu energiiw widmie normalnym".

K. Zalewski „Mały wykład z mechaniki kwantowej”, 2004

„Całą mechanikę kwantową da się wyprowadzić z doświadczenia z

dwiema szczelinami”

„Mechanika kwantowa opisuje przyrodę jako absurdalną z punktu

widzenia zdrowego rozsądku i w pełni zgadza się z doświadczeniem.

Mam więc nadzieję, że zaakceptujecie naturę taką, jaka jest –

absurdalną”

„Jeśli sądzisz, że rozumiesz mechanikę kwantową, to nie rozumiesz

mechaniki kwantowej”

Richard Phillips Feynman (1918–1988)

1900 Planck - promieniowanie ciała doskonale czarnego

1905 Einstein - zjawisko fotoelektryczne

1913 Bohr - kwantowa teoria widm

1922 Compton - rozpraszanie fotonów na elektronach

1924 Pauli - zakaz Pauliego

1925 de Broglie - fale materii

1926 Schrodinger - równanie falowe

1927 Heisenberg - zasada nieoznaczoności

1927 Davisson i Germer - dowód własności falowych elektronu

1927 Born - interpretacja funkcji falowej

długość fali i częstość są odwrotnie proporcjonalne

mała długość fali (λλλλ1)duża częstość (1)

duża długość fali (λλλλ2)mała częstość (νννν2)

λλλλ1

1s

νννν 1 = 3 cykle/1s = 3Hz

λλλλνννν = c

barwa promieniowania elektromagnetycznego

widmo promieniowaniaelektromagnetycznego

widmo promieniowania ciała doskonale czarnego

promieniowanie obserwowane

wnęka o temperaturze T

obszar widzialny

prawo przesunięć Wiena

Tλmax = 1/5 c2 c2= 1.44 cmK

druga stała promieniowania

Prawo Stefana-Boltzmanna

ε = E/V= aT4

Prawo Rayleigha-Jeansa

pole elektromagnetyczne jako zbiór oscylatorów

dε = ρρρρdλλλλ ρρρρ = 8ππππkT/λλλλ4

katastrofa nadfioletowa

obszar widzialny

falowa natura cząstek

doświadczenie Davissona-Germerra

rozpraszanie elektonów na krysztale Ni

kryształ Ni

wiązka e-

efekt fotoelektryczny (A. Einstein, 1905)

wybijanie e- pod wpływem naświetlania promieniowaniem UVen

erg

ia k

inet

yczn

a fo

toel

ektr

on

u, E

k

częstość padającego promieniowania, ν ν ν ν

Φ−= νhme2

21 v

wzrost Φ Φ Φ Φ Rb K Na

Φ<νh

korpuskularny charakter promieniowania

EFEKT COMPTONA

relacjade Broglie

1923

c

hp

ν=

λh

p =

( )Θ−=∆ cos1cλλ

pm426,2==cm

h

e

cλ

2c

Em =

λch

c

hvm ==

2

cząstce materialnej możemy przypisać falę o długości:

λλλλ = h/mv

gdzie: m - masa cząstki, v – prędkość cząstki

falę przypisaną cząstce nazywamy falą de Broglie’a

Dla makroskopowych obiektów fali de Broglie'a niejesteśmy w stanie zaobserwować. Przykładowoczłowiek o masie 100 kg pędzący z prędkością 10 m/s(ok. 36 km/h) ma przypisaną falę o długości:

λλλλ = 6.63∙10-34/100∙10 = 6.63∙10-37 m

Dla kuli karabinowej o m = 10 g i prędkości 1000 m/s

λλλλ = 6.63∙10-35 m

Dla elektronu o m = 9.11 ∙10-31 kg i prędkości 1∙107 m/s

λ = 7.27∙10-11 m(rząd odległości pomiędzy atomami w kryształach)

9,58 sUsain Bolt

widma promieniowania pierwiastkówskładają się z serii linii o określonych λλλλ

długość fali, λλλλ/ nm

np. widmo atomów He

Podczas całkowitego zaćmienia Słońca, (1868) P. Janssen, badając widmo korony słonecznej, zaobserwował pomarańczowy prążek odpowiadający długości fali 5876 Å, którego nie można było przypisać do żadnego spośród znanych wówczas pierwiastków. Helium od greckiego boga słońca Heliosa.

kwantowanie energii (Max Planck)

νnhE =

sJ10626,6 34 ⋅⋅= −h

rewolucyjne założenie wyjaśniało wyniki eksperymentów

Woda płynie nieprzerwanym strumieniem i wydaje się, żemożna wlać jej dowolną ilość. Jednak najmniejsza ilość wody,którą można przenieść, to jedna cząsteczka H2O.

Podobnie wydaje się, że energia jest przenoszona w sposóbciągły, w rzeczywistości jednak może być przekazywana tylkopewnymi porcjami.

ANALOGIA

WŁAŚCIWOŚCI FOTONÓW

energia masa pęd

νhE f =2c

hm f

ν=

λν h

c

hp f ==

h - stała Plancka = 6,62 . 10-34 J.s

νννν - częstość

λλλλ - długość fali

c – prędkość światła 3.108 m/s

Fakty doświadczalne, a zwłaszcza możliwośćzachodzenia zderzeń nie tylko pomiędzy cząsteczkami,ale również pomiędzy cząsteczkami a falami prowadzi downiosku wyprowadzonego przez Heisenberga

zasada nieoznaczoności Heisenberga

iloczyn niepewnościpołożenia (∆∆∆∆x) i pędu (∆∆∆∆p) musi być większy lubrówny wartości h/4ππππ::::

∆∆∆∆x∙ ∆∆∆∆p ≥ h/4ππππ

( ∆∆∆∆x∙ ∆∆∆∆px ≥ h, ∆∆∆∆x∙ ∆∆∆∆px ≥ ½hhhh )

Fizyka klasyczna:

ruchu po ściśle określonej trajektorii, ostro określone współrzędne

Mechanika kwantowa:

cząstka rozmyta w przestrzeni jak fala

Zamiast określać ostro położenie cząstki zajmuje się prawdopodobieństwem jej napotkania w danej przestrzeni

P – prawdopodobieństwo napotkania cząstki w objętości dV

ρρρρ = P/dV – gęstość prawdopodobieństwa

ρρρρ = ρρρρ (x, y, z)

∫ =1dVρ

Równanie Schrödingera

niezależne od czasu dla cząstki o masie m i energii E

poruszającej się w jednym wymiarze

ΨΨ)(Ψ

2 2

22

ExVdx

d

m=+−

h

E – energia cząstkiV(x) – energia potencjalna w punkcie x

– funkcja falowa (psi)

π2

h=h

Ψ

Ogólna postać równania Schrodingera

HΨ = EΨ

gdzie H oznacza tzw. operator Hamiltona

(czyli szereg operacji matematycznych jakie należy wykonać na

funkcji falowej Ψ).

Interpretacja Borna funkcji ΨΨΨΨKwadrat amplitudy fali de Broglie’a, a zatem i gęstość

prawdopodobieństwa znalezienia cząstki są dane przez │ΨΨΨΨ│2

ρ = ρ (x, y, z) = │Ψ(x, y, z)│2

P = ρ (x, y, z) dV = │Ψ(x, y, z)│2dV

∫ =Ψ 1),,(2dVzyx

• jeśli opisujemy zachowanie się elektronu to prawdopodobieństwo napotkania tego elektronu w opisywanym atomie musi wynosić 1 kwadrat amplitudy fali de Broglie'a musi wynosić 1

• dodatkowo znalezione funkcje muszą być jednoznaczne (tzn. elektron nie może znajdować się w danej chwili w dwóch różnych miejscach)

• ponadto funkcje opisujące ruch elektronu muszą być ciągłe (elektron nie może zanikać).

Rozwiązaniem równania Schrödingera jest funkcja o następujących właściwościach:

Cząstka w jednowymiarowym pudle potencjału

x = 0 x = L

Ψ(0)=0 Ψ(L) = 0

Warunek brzegowy dla x = 0 Ψ(x) = 0

sin kx = 0

cos kx = 1

Ψ(x)x=0 = B = 0

Ψ(x) = A sin kx

Warunek brzegowy dla x = L Ψ(L) = 0

Ψ(L) = A sin kL = 0

a zatem albo A = 0 albo sin kL = 0

Przypadek A=0 wykluczamy gdyż prowadzi on do wniosku, że cząstka nie istnieje (Ψ(x)= 0 dla 0 < x< L)

Ogólne rozwiązania równania ma postać:

Ψ(x) = A sin kx + B cos kx, Ek = k2hhhh / 2m

a zatem sin kL = 0

kL = nπ

πnh

)mE2(L 2

1

=

n – liczba całkowita

2

22

8mL

hnE =

Energia jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej n

Dla stanu podstawowego n = 1

Dla stanu wzbudzonego n > 1

Można wykazać, że z warunku

∫ =ΨL

dxx0

2 1)(

wynika wzór

L

xn

Lxn

πsin

2)(

2

1

=Ψ

określający funkcję własną dla n-tego poziomu energetycznego.

Funkcja falowa w interpretacji Borna. Prawdopodobieństwoznalezienia elektronu w danym punkcie jest proporcjonalne do

kwadratu funkcji falowej (Ψ2): prawdopodobieństwo to jestwyrażone przez stopień zaczernienia paska u dołu. Zauważ, żegęstość prawdopodobieństwa w węźle wynosi 0. Węzeł jestpunktem, w którym funkcja falowa przechodzi przez 0.