DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski programi: matematika,matematika-fizika,matematika-informatikamatematika- druga godina , matematika-fizika,matematika-informatika -cetvrta godina OAS

MATEMATICKA ANALIZA 3( pismeni deo ispita,januar 2015)

1. Dokazati da duz svake prave y = tx, t > 1 postoji granicna vrednost limx→+∞y→+∞

ex2−y2 sin 2xy,

a da taj limes ipak ne postoji . 10+10=20

2. Data je funkcija

f(x, y) =

x2y3 − 7x2y

x2 + y2, za x2 + y2 6= 0

0 , za x2 + y2 = 0

.U tacki (0, 0) ispitati :

(a) neprekidnost 5

(b) izvod u proizvoljnom pravcu ( tj odrediti∂f

∂l(0, 0), l = (l1, l2),‖l‖ = 1) 5

(c) diferencijabilnost 10

(d) Jednakost mesovitih parcijalnih izvoda∂2f

∂x∂y(0, 0) i

∂2f

∂y∂x(0, 0) 10

3. (a) Transformisati parcijalnu diferencijalnu jednacinu

y∂2z

∂y2+ 2

∂z

∂y=

2

x

uvodeci nove promenljive u, v i novu funkciju w = w(u, v), u =x

y, v = x,

w = xz − y

(b) Ako je z = ϕ(xy) + ψ

(x

y

)( funkcije ϕ, ψ su dva puta neprekidno diferencijabilne

na R ) odrediti vrednost izraza

x2∂2z

∂x2− y2∂

2z

∂y2+ x

∂z

∂x− y∂z

∂y

10+10=20

4. Ispitati prirodu stacionarnih tacaka i odrediti tacke lokalnih ekstrema funkcijeu(x, y, z) = 8y3 + 2x2 + z2 + 2xz − 2xy − 2y. 5+10=15

5. Dokazati da je jednacinom 3xy2 + yz5 − xy2z3 + z − 1 = 0 implicitno definisana funkcija

z = z(x, y) za koju je z(0, 0) = 1 i naci∂2z

∂x∂y(0, 0) 10+5=15

∑= 100

broj bodova· · · = · · ·ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10