ma211 - cálculo ii
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MA211 - Cálculo IISegundo semestre de 2020Turmas D/E
Ricardo M. [email protected]://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 3: Derivadas parciais
Exemplo
ExemploCalcule
lim(x,y)→(3,7)
6 − 2x − 3y + xy21 − 7x − 3y + xy .
Exemplo
ExemploCalcule
lim(x,y)→(3,7)
6 − 2x − 3y + xy21 − 7x − 3y + xy .
Note que6 − 2x − 3y + xy = (x − 3)(y − 2)21 − 7x − 3y + xy = (x − 3)(y − 7)
Logo6 − 2x − 3y + xy21 − 7x − 3y + xy =
(x − 3)(y − 2)(x − 3)(y − 7) =
y − 2y − 7
Agora é fácil ver que o limite não existe, certo?
Coordenadas polares
Lembre-se que o sistema de coordenadas polares é dado por{x = r cos(θ),y = r sen(θ).
Limites em coordenadas polares
Em alguns casos, trocar de coordenadas cartesianas paracoordenadas polares ajuda no cálculo do limite.
Desta forma, quando (x, y) → (0, 0) teremos r → 0+(independente do ângulo - cuidado).
Limites em coordenadas polares
ExemploCalcule
lim(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2 .
# Se x = y então ficamos com
lim(x,x)→(0,0)
2x3
2x2 = lim(x,x)→(0,0)
x = 0,
então nosso primeiro chute é que o limite dê zero.# Testando vários outros caminhos sempre obtemos o mesmo
limite 0.
Limites em coordenadas polares
ExemploCalcule
lim(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2 .
# Se x = y então ficamos com
lim(x,x)→(0,0)
2x3
2x2 = lim(x,x)→(0,0)
x = 0,
então nosso primeiro chute é que o limite dê zero.# Testando vários outros caminhos sempre obtemos o mesmo
limite 0.
Limites em coordenadas polares
ExemploCalcule
lim(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2 .
# Usando coordenadas polares
x = r cos(t), y = r sen(t) temos
lim(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2 = limr→0
r3 cos3(t) + r3 sen3(t)r2 cos2(t) + r2 sen2(t)
= limr→0
(r cos3(t) + r sen3(t))
= 0
Limites em coordenadas polares
ExemploCalcule
lim(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2 .
# Usando coordenadas polaresx = r cos(t), y = r sen(t) temos
lim(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2 = limr→0
r3 cos3(t) + r3 sen3(t)r2 cos2(t) + r2 sen2(t)
= limr→0
(r cos3(t) + r sen3(t))
= 0
Limites em coordenadas polares
ExemploCalcule
lim(x,y)→(0,0)
xyx2 + y2 .
Cuidado com o θ: como após a simplificação a resposta sódepende de θ, o limite não existe.
Derivadas de funções R → Rn
Se f : I ⊂ R → Rn, dizemos que f é uma curva. Note que
f(t) = (f1(t), . . . , fn(t)
para certas funções fj : I ⊂ R → R, j = 1, . . . , n.
As noções de limite e continuidade são herdadas do caso R → R,aplicadas nas funções fj.
Derivadas de funções R → Rn
O mesmo acontece com o conceito de derivada a derivada de f(t) é
f′(t) = (f′1(t), . . . , fn(t)),
e já sabemos como definir f′j(t) pois cada fj é uma função R → R.
Derivadas de funções Rn → R
O caso de funções Rn → R é um pouco diferente. O primeiroconceito que apresentaremos é o derivada parcial e iremos nosinspirar no caso R → R.
Se f : U ⊂ R2 → R, vamos fazer o seguinte: primeiro cortamos ográfico de z = f(x, y) por um plano π da forma x = a ou da formay = b.
A interseção do gráfico com o plano nos dará uma curva contidano plano π. Esta curva será o gráfico de uma função no plano π
(no caso, o gráfico de z = f(x, b) ou de z = f(a, y)).
Vamos definir a derivada parcial de f(x, y) com respeito a x (ou y)no ponto (a, b) como sendo a derivada desta curva na projeção doponto (a, b).
Derivadas de funções Rn → R
Derivadas de funções Rn → R
Derivadas de funções Rn → R
Derivadas de funções Rn → R
Derivadas de funções Rn → R
Derivadas de funções Rn → R
Formalmente, a derivada parcial de f : U ⊂ R2 → R no ponto(a, b) com respeito a x é dada pelo limite
limh→0
f(a + h, b)− f(a, b)h
quando ele existe, e denotada por fx(a, b) ou ∂f∂x(a, b). Já a
derivada parcial de f : U ⊂ R2 → R no ponto (a, b) com respeito ay é dada pelo limite
limk→0
f(a, b + k)− f(a, b)k
quando ele existe, e denotada por fy(a, b) ou ∂f∂y(a, b).
Derivadas de funções Rn → R
É bastante útil definir a derivada como uma função, assim comofazermos com funções de uma variável.
Para isto, definimos
fx(a, b) = limh→0
f(a + h, b)− f(a, b)h
efy(a, b) = lim
k→0
f(a, b + k)− f(a, b)k .
Vamos fazer alguns exemplos.
Derivadas de funções Rn → R
ExemploSeja
k(x, y) = sen(x) + y2.
Calcule fx e fy.
Derivadas de funções Rn → R
ExemploSeja
f(x, y) = sen
(x
x2 + y2
).
Calcule fx e fy no ponto p = (1, 1).
Derivadas de funções Rn → R
ExemploSeja
f(x, y) = sen
(x
x2 + y2
).
Calcule fx e fy no ponto p = (1, 1).
Seja g(x) = f(x, y) = sen
(x
x2 + y2
). Assim g′(x) = fx(x, y) e:
g′(x) = fx(x, y) = cos
(x
x2 + y2
)· 1 · (x2 + y2)− x · (2x)
(x2 + y2)2
= cos
(x
x2 + y2
)· y2 − x2
(x2 + y2)2
Logo fx(1, 1) = 0.
Derivadas de funções Rn → R
Exemplo
Seja f(x, y) = sen
(x
x2 + y2
). Calcule fx e fy no ponto p = (1, 1).
Seja h(y) = f(x, y) = sen
(x
x2 + y2
). Assim h′(y) = fy(x, y) e:
h′(y) = fy(x, y) = cos
(x
x2 + y2
)· −x · (2y)(x2 + y2)2
= − cos
(x
x2 + y2
)· 2xy(x2 + y2)2
Logo fy(1, 1) = − cos(1/2
)24.
Derivadas de funções Rn → R
ExemploSeja
f(x, y) =
xy(x2 − y2)
x2 + y2 , (x, y) ̸= (0, 0),
0 , (x, y) = (0, 0).
Calcule fx(0, 0) e fy(0, 0).
Temosfx(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)h = lim
h→0
0h2 = 0
efy(0, 0) = lim
k→0
f(0, k)− f(0, 0)k = lim
k→0
0k2 = 0
Derivadas de funções Rn → R
ExemploSeja
f(x, y) =
xy(x2 − y2)
x2 + y2 , (x, y) ̸= (0, 0),
0 , (x, y) = (0, 0).
Calcule fx(0, 0) e fy(0, 0).
Temosfx(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)h = lim
h→0
0h2 = 0
efy(0, 0) = lim
k→0
f(0, k)− f(0, 0)k = lim
k→0
0k2 = 0
Derivadas de funções Rn → R
ExemploSeja
f(x, y) =
x2 + y4
x3 + y3 , (x, y) ̸= (0, 0),
0 , (x, y) = (0, 0).
Calcule fx(0, 0) e fy(0, 0).
Temos
fx(0, 0) = limh→0
f(h, 0)− f(0, 0)h = lim
h→0
h2
h3 = limh→0
1h ̸ ∃
efy(0, 0) = lim
k→0
f(0, k)− f(0, 0)k = lim
k→0
k4
k4 = 1
Derivadas de funções Rn → R
ExemploSeja
f(x, y) =
x2 + y4
x3 + y3 , (x, y) ̸= (0, 0),
0 , (x, y) = (0, 0).
Calcule fx(0, 0) e fy(0, 0).
Temos
fx(0, 0) = limh→0
f(h, 0)− f(0, 0)h = lim
h→0
h2
h3 = limh→0
1h ̸ ∃
efy(0, 0) = lim
k→0
f(0, k)− f(0, 0)k = lim
k→0
k4
k4 = 1
Próxima aula: Diferenciais, aproximações lineares e planostangentes.
Se cuidem: usem máscaras, limpem as mãos com álcool em gel.Fique em casa.