aula 1 funções de várias variáveis - ime....

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  • Aula 1Funes de Vrias Variveis

    MA211 - Clculo II

    Marcos Eduardo Valle

    Departamento de Matemtica AplicadaInstituto de Matemtica, Estatstica e Computao Cientfica

    Universidade Estadual de Campinas

  • Introduo

    Diferena entre Clculo I e Clculo II:I Clculo I - Estuda-se funes de uma nica varivel, i.e.,

    f : R R.

    I Clculo II - Estuda-se funes de vrias variveis ecampos vetoriais, ou seja,

    f : Rn Rm.

  • Funes de Duas Variveis

    Exemplo 1

    A temperatura na superfcie da Terra num ponto com longitudex e latitude y dada por U(x , y), ou seja, uma funo dasduas variveis x e y .

    Exemplo 2

    O volume V de um cilindro circular uma funo do seu raio re sua altura h, ou seja,

    V (r ,h) = r2h.

  • Exemplo 3 (Funo de Produo de Cobb-Douglas)

    Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudono qual modelavam o crescimento da economianorte-americana durante o perodo de 1899 a 1922. Apesar deexistirem muitos fatores que afetam o desempenho daeconomia, eles assumiram que a produo P depende apenasda quantidade de trabalho L e a quantidade de capital investidoK . Especificamente, eles apresentaram a seguinte funo

    P(L,K ) = bLK 1,

    em que b e so parmetros fixos. Por exemplo, b = 1,01 e = 0.75

  • Definio 4 (Funo de Duas Variveis)

    Uma funo de duas variveis uma regra que associa a cadapar ordenado de nmeros reais (x , y) de um domnio D umnico valor real, denotado por f (x , y). O conjunto D chamadodomnio de f e sua imagem o conjunto de todos os valorespossveis de f , ou seja, {f (x , y) : (x , y) D}.

    Notao:

    Escrevemos z = f (x , y) para tornar explcitos os valorestomados por f em (x , y). Nesse caso, x e y representam asvariveis independentes e z a varivel dependente.

    Observao:

    Se uma funo dada por uma frmula e seu domnio no especificado, fica subentendido que o domnio de f oconjunto de todos os pares (x , y) para os quais a expressodada est bem definida.

  • Exemplo 5

    O domnio da funo f dada por

    f (x , y) =

    9 x2 y2,

    o conjuntoD = {(x , y) : x2 + y2 9}.

  • Exemplo 6

    O domnio da funo

    g(x , y) = x ln(y2 x)

    o conjunto{(x , y) : x < y2}.

  • Exemplo 7

    O domnio da funo

    h(x , y) =

    x + y + 1x 1

    ,

    o conjunto

    {(x , y) : x + y + 1 0, x 6= 1}.

  • Exemplo 8

    O domnio da funo de produo de Cobb-Douglas dada por

    P(L,K ) = bLK 1,

    o conjunto{(L,K ) : L 0,K 0},

    pois L e K representam trabalho e capital, portanto, no podemser negativos.

  • Grficos e Curvas de Nveis

    O grfico e as curvas de nveis so duas formas de visualizar ocomportamento de uma funo.

    Definio 9 (Grfico)

    Se f uma funo de duas variveis com domnio D, ento ogrfico de f o conjunto de todos os pontos (x , y , z) em R3tais que z = f (x , y) com (x , y) D.

    Definio 10 (Curvas de Nvel)

    As curvas de nvel de uma funo f de duas variveis soaquelas com equao f (x , y) = k , em que k uma constante(na imagem de f ).

  • Exemplo 11

    A seguinte figura apresenta o grfico da funof (x , y) = 6 3x 2y .

  • Exemplo 12

    As curvas de nvel da funo f (x , y) = 6 3x 2y para umcerto k satisfazem

    6 3x 2y = k ou 3x + 2y + (k 6).

    Em outras palavras, so retas com inclinao 3/2. Abaixoesto as curvas de nvel para os valores k = 6,0,6 e k = 12.

  • Exemplo 13

    A seguinte figura apresenta o grfico da funof (x , y) =

    9 x2 y2.

  • Exemplo 14

    A figura abaixo apresenta as curvas de nvel da funof (x , y) =

    9 x2 y2.

  • Exemplo 15

    Grfico da funo de produo de Cobb-DouglasP(L,K ) = 1,01L0,75K 0,25:

  • Exemplo 16

    Curvas de nvel da funo P(L,K ) = 1,01L0,75K 0,25:

  • Funes com Trs Variveis

    Uma funo com trs variveis associa a cada tripla ordenada(x , y , z) D R3 um nico nmero real, denotado porf (x , y , z) .

    Exemplo 17

    O domnio da funo

    f (x , y , z) = ln(z y) + xy sen z,

    o conjuntoD = {(x , y , z) R3 : z > y}.

    muito difcil visualizar o grfico de uma funo f de trsvariveis. Em geral, usa-se o conceito de superfcie de nvel,que generaliza a noo de curva de nvel, para visualizar umafuno de trs variveis.

  • Funes com n VariveisUma funo com n variveis associa a cada n-upla ordenada(x1, x2, . . . , xn) D Rn um nico nmero real, denotado porf (x1, . . . , xn) .

    Exemplo 18

    Uma fbrica de alimentos usa n ingredientes para produzir umcerto alimento. Se ci denota o custo unitrio do i-simoingrediente e se so necessrias xi unidades do i-simoingrediente, o custo total da produo do alimento dada pelafuno

    f (x1, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn.

    A funo acima um exemplo de funo linear de n variveis.Alternativamente, podemos escrever

    f (x) = c x,

    em que x = x1, . . . , xn, c = c1, . . . , cn e c x denota oproduto escalar dos vetores c e x.

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