MA 3181 Teori PeluangUTS - Semester I - 2011 / 2012

7 Oktober 2012

1. Misalkan anda melakukan suatu eksperimen pelemparan sebuah mata uang logamseimbang sampai salah satu sisi muncul dua kali secara berurutan untuk pertama kali.Misalkan N menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan dalam eksperimentersebut.

(a) Tentukan p.m.f dari variabel acak N.

(b) Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak N dan gambarkan.

(c) Misalkan A menyatakan kejadian N bernilai genap. Tentukan P(A).

2. Misalkan Anda melakukan eksperimen pelemparan sebuah mata uang logam yangseimbang sebanyak lima kali. Tentukan peluang jumlah total sisi muka yang munculsebanyak tiga kali.

3. Misalkan X adalah variabel acak tidak negatif yang berdistribusi eksponensial denganparameter α. Definisikan suatu variabel acak Z = min{c, X} dimana c adalah suatukonstan positif. Tentukan

(a) P(Z > z)

(b) E[Z]

(Petunjuk : Z = X jika X ≤ c dan Z = c jika X > c.)

4. Misalkan U adalah variabel acak yang berdistribusi seragam pada interval (0, 1). Tentukanpdf dari variabel acak Y = − ln(1−U).(Petunjuk : gunakan metode transformasi)

5. Misalkan X adalah variabel acak berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Tentukanpeluang bahwa X bernilai ganjil.

6. Misalkan Z adalah variabel acak yang berdistribusi Normal(0,1) yang memiliki pdf

f (x) =1√2π

e−x2/2.

Tentukan E[etZ].

(Petunjuk : Gunakan fakta∫ ∞−∞

1√2π

e−(x−µ)2

2 dx = 1 dan ax2 + bx = a[(x + b/a)2 −(b/a)2])

7. (Bonus) Jika X adalah variabel acak yang tidak negatif, tunjukkan

E[X2] =∫ ∞

02x(1− FX(x))dx.