m2 2 funciones

8/8/2019 M2 2 Funciones

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l l

TEMA I- Definiciones revias:* Llamaremosconjunto lineal E.c $1a cualquiersubconjuntodel conjunto de los nmeros

reales S* Diremosque E estacotadosuperiormente inferiormente)si existe un nmero kr(k), al

que lamaremos ota superior(cota nferictr) al que V xe E, x< k, ( x> k).* Diremosque E estacotadocuando o estsuperiore inferiormente.* Si E estacotadosuperiormente inferiormente), lamaremosextremosuperior o supremo

(extremo nferior o nfimo) de E, a la menor mayor)de las cotassuperioresinferiores).* Si el supremoy/o el nfimo de E pertenecen E reciben el nombre de mximo (M) y/o

mnimo(m) de E.

- Intervalos entornos. efiniciones:* [a ,b ] t * .n la


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42

Lmite de una uncinen un punto:Diremosqu eL es mite de f(x) cuando tiende a xo ( t :*tg^ f(x) ) si la funcin

(x) toma valores todo lo prximos que queramos a L, siempre que los valores de x seansuficientementerximosa xo.Si recordamos l significadodel entornocomo medidadel acercamiento,a definicin anterior

podraexpresarse omo:L : l i m f ( x ) s i V q ( L ) , : ( * G ) I V x e ( * ( * o ) l - 1 O , f ( x ) ( L ) , s i e n d o D e lX - + X g

dominiode definicinde f(x).Itr) IMPORTANTE: Estadefinicinno exigequ e (x) estdefinidaen

x0, ni que,estndolo,(x) coincida on L. No hace eferencialo qu eocurrer Xs: sinoen a proximidadnmediata exo,conlos valores e f(x).

Si consideramo sa aproximacin x0 po r la izquierda derecha, odemos efinir os miteslateralese x) cuando tiende xo.As : L - : l im f ( x ) s i Vq (L - ) ,

x - + x [L* : l im f ( x ) s i V (L * ) ,x-->x [

l ( " ) I Vxe ( - ( "0 ) f tD , ( x ) .E (L_ )l q * (xJ I Vxe (+ (xo ) l - lD , ( x ) . (L * )

C o m o [ - ( x o ) U E * ( x o ) : ( . ( x ) , s i L : L + : L e L -Adems, i L- + L* = lim f(x).

X ) X "La condicinnecesaria suficiente ara que L se a lim f(x) es que existanambos mites

laterales e f(x) en x0 y queadems oincidan n L"X Xn

Siguiendo on el mismo principiode aproximaci n considerandoos entornosdel infinito( ( - ) : ( a , * ) y ( - * ) : ( - o o , a ) ) d e f i n i r e m o si m ( x ) : L , l i m f ( x ) : o oy l i m f ( x ) : o oX ) X g X - + c ocomoel cursoanterior.

l im (*) .X ) X g


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,t 3

RecordaremosOperaciones on lmites de funciones.lmite.

Formasdeterminadas indeterminadase un

lim [f(x) - f( xo ] : 0.X ) X g

Continuidadde una uncin en us{lunto:Diremosque f(x) es continuaen x,, si lim (x) : f( xo)X - J X n

Ello exige: a.- xn e D (f(x) estdefinidaen xoO.- = *limn f(x): L (existen os dos mites aterales coinciden)

c . - f ( x n ) : LSi alguno de los tres requisitos no se cumple diremos que f(x) presentaen x0 una

discontinuidad,cuyo ipo depender el o de los requisitosde la definicinqueno secumplen.(Repasardel aopasado).

( xn ) :o

( l )

De (l) sededuce:.goSi lamamos - xo : h

r(')> l im Ay : 0h-+0

"Si f(x) es continuaen xo, a un incremento nfinitesimaldeincrementonfinitesimal e a funcin"

la variablecorresponde n

Grficamente,l lo supone ue ,a su pasopor x0, la grficaserealizasin levantar l lpiz delpapel.

Continuidadateral:Se diceque f(x) es continuaa la derechade xu si l im. f(x) : f ( *n )

X - ) X 6

si lim _ f(x) = f( xo)X ) X gSe dice que (x) es continuaa la izquierdade xo

Evidentemente,i f(x) escontinua la derecha a la izquierda e x0, ser o ntinua n x0

It'"/I l ,x\t t /l / ' r''l;- - t

/ l/ ,'/ " 1--/ av

f(x) continuaa la derecha e xo

[ir")

l (x )cont inua a zqu ierdaexo \x).continua en xo


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.t 4

Se dice que f(x) es conlinua en [a , / si lo es en todos os puntosdel interiordel intervaloy adems oes a la derecha ea y a la izquierd de b.

Puededemostrarse:* Las unciones lementalesoncontinuas n odos os puntos e su dominiode definicin.* Las funciones ompuestas ((x)) sern ontinuas n xo si (x) es continuaen x0 y g((x) es

continua n( xo).* Las sumasy productosde funcionescontinuasen un punto sern ambin continuasen dicho

punto.* El cociente e funciones onti nuas n xo ta mbin o ser, alvoque xo anuleel denominador.

Teoremas obre as unciones ontinuas n un intervalo errado. nunciados:Tl: Si f(x) escontinua n [a, b], f(x) est cotada n [a, b].T2 (7. WEIERSTRASS):i f(x) es continua n [a , b], f(x) alcanza n [a, b] mximoy mnimo M y m).T3 (T .BoLZANo) :S i (x ) escont inua n a . b ]y s ig (a) + s ig 1b) , xo e (a b) I f ( xo) :0 .

-T4 T DARBOUX): i f(x) escontinua n [a, b] y f(a)# f(b), Vyo [f(a),f(b)],3x0 (a,bl f f(xo): yo

" Si se cumplen as condiciones el T4, f(x) pasaal menosuna vez en fa , b) por todos os valoresintermedios ntre f(a) y f(b)"" El conjunto de los teoremaspermiteafirmar que,el conjunto de las mgenes e un intervalo[a, b], sif(x) es continuaen dicho intervalo, ecorreotro intervalocerrado,acotadopor el mximoy el mnimo def(x) en 1"

f'.'jln

En efecto, f(x) alcanzaen [a , b] M y m (T2),y pasa, al menos una vez, por cada valorintermedio (T4), luego recorre en [a , b] elin terva lo m. M]

, u^


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4 . 1

TEMA 2 PROPIEDADESDE LAS FUNCIONESDERIVABLES* Concepto e derivada Sea f(x) definidaen un conjunto inealE y sea xo un punto nteriorde E;f amaremos erivada e Jix)enx,, ( f ' ( xo ) al l im f(x) - f(x0 ) 1siexiste)X ) x X - X OS i h a c e m o s - X o : h - - - - + f ' ( x o ) : , ' r f ( x o + h ) - f ( x n ) - l i m gh + 0 h t t - O h" La derivadade una funcin en un puntoes el lmite del cocienteentreel incrementode la funcin yel incremento e la variable ndependiente uandoste iendea cero"IMPORTANTE: "L a propiadefinicinde derivada xigequ e para que exista f'(xo), f(x) debese r

continua n x0 No existir, ues, '( xo en os puntos e discontinuidade (x)"

f tx"-h)?t*l

',frINTERPRETACION EOMETRICA + -:.J es la pendiente e la recta r as definidah

por los puntosA y B de la grfica de f(x) en x0 yxn* h , (m or ) .* Lo anteriores cierto seacual sea a magnitudde fry en particularcuando h -> 0, as:

. . Ayl t m : : l l m I T Iq nh - + 0 h n - + o

f t x ; : r f ( x o + h ) f ( x oh - + 0 ' h

* Ahora bien, cuandoh -+ 0 , B se aproxima,siguiendo a grficade f(x), a A todo lo que queramos,definiendo a recta angente f(x) en A, con lo que

r ' (xn) JTl+ : J* rn,qa rn1" La derivadade una funcin en un puntocoincidecon el valor de la pendiente e la tangente lagrficade la funcinen dicho punto".

Derivadas aterales: lamaremos erivadas ateralesa izquierda derechade xe, de f(x) a los miteslaterales efinidos omosis.ue:

f ' (xo) : l imh -+0f (xo + h) - f (xo

"Paraque x) tengaderivada fl X6, debern xistirambos mites aterales coincidir

Funcinderivada: La aplicacin ueasigna todo x e D el valor de a derivada e (x ) en dichopuntorecibeel nombrede funcinderivada rimerade a funcin, ( f '(x)) ""La aplicacin ueasigna todoxe D el valor de a derivada e f '(x) endichopunto ecibeel nombrede uncinderivada egunda e a funcin, ( f " (x)) " , .. . y assucesivamente.


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REGLASDE DERIVACIN Derivadas e as unciones lementales ("cHULETA")* Reglas e operacin: (x) + g(x) ' : f ' (x ) + g'(x)

* Derivacin e funciones lementales:Func inpotenc ia l : y : x "

Y: J;v: IXFuncin xponencial i y: a"Y : e '

Funcin ogartmica: y: loguxy : L x

Funcionesirculares: y: seny : c o sv:v:

t g xcotg xarc senx

' 2

s " " ' * : l + t g 2 x_ c o s e c r x _ ( l + c o t g 2 x )

( f (x ) ' g (x ) ) ' : f ' (x ) ' g (x )+ f (x ) 'g ' (x )(k . ( x ) ) ' : k ' f ' (x )I r(*) I _ f (*)g(x) g'(x) (x)( .g ( - , , G( - , f

J -J -

n lN XI_2",1IX -a ' L a

g t

I ,- rogaXIXCOS X_ S E N X

II ')COS- XI

v-J _v-t -J _J -

v -v' :

Funciones rco: v:

y: arc g x

v :- . , =S E N _ Xv -

, lY : . - ,l + x -Derivada e a funcincompuesta:Reglade a cadena):

Si y: f (u) y u: u(x) + y: f (u(x))es uncin e x -+: r im4I. t in-, 1 : f ' (u). u,(x)h - + 0 Au h - + 0 h

" Si la funcin estaplicada sobre /,a su vez funcin de x, se deriva la funcin respectode eltomada omovariable ndependiente semultiplicapo r a derivada e z respecto e x ".Derivacinde la exponencial eneral y : u u : Ver en clase (Forma ogartmicade derivacin)

, , . Ay , . A y A u _v ' : l l m - : l r m h + o h n - + o A u h


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4 " J

RECTATANGENTE.RECTANORMAL

T:N :

y - ( x o )y - ( x o )

"Llamamos iferencialde f(x) fl Xs, correspondi enteun incremento de lavariable ndependientea d y : f ' ( x o ) ' h " ( l )Observamosnmediatamenteue el incremento e x, (h), coincidecon su diferencial:

S i Y : x - + d Y : d x : 1 ' h > h : d x ,c o n l o q u e 1 ) p u e d e p o n e r s e c o m oy : f ' ( x ) d x f ' 1 x :I N T E R P R E T A C I N G E o M T R I C A : V e m o s q u e v : E : * " F : f ' ( ^ o ) ' h + EFluego Ay : dy +q(h), donde p(h) es una uncinqu edepende e h y que iendea cero cuandohtiendea cero.

dycor respondepues,a lavar iac inent reo y xo*h,de la tangentea lacurvaen s, rp(h)ese lerrorcometidoen la estimacin e Ay, cuando ustitumos l arcode la curvapor el de la tangente(x) en xo (sedemuestra ue iendea ceroms pidamente ue h cuando h tiendea cero).

Cuando h -+0 podremosomar dy comovalor vlido de Ay .

dYe')dx

IAL. INTERPR


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v , 4

TEOREMADE ROLLE:Enunciado: i f(x) funcinmenos npunto oe (a, b)

Es decir,

Demostracin

fcontinua nreal es ilderivable nde derivada ula.fcontinua n [a b]jder ivab leena.b)l f l a = 1 6

adems (a) : (b), entoncesexiste al

f(x) l x o e ( a , b ) I f ' ( x o ) : 0

Consideramososposibildades:1 . - f (x ) : k : f (a ) : f (b ) , Vx e [a ,b ] (F ig . l ) . E l teoremasever i f i cademaneraobv ia .2.- f(x) + k (Fig.2).Al ser x) continua n [a, b], (x) alcanzarn mximo M) y un mnimo m)qu eno coincidirn mbos on (a): (b).

Supongamosueel mximoM + f(a) seencuentra n x0.T o m a n d o u n , d e m o d o q u e X o - h , x o * h e ( a , b ) , t e n d r e m o s q u e :

f ( * n - h ) < M - + f ( x o - h ) < f ( x o )f ( x o + h ) < M + f ( x u + h ) < ( x o )

Aplicando a definicindederivadaaterala ambos adosde xu:f ( * . . t_ j ( *o) < O ( x o ) : l l m -h -+o h= a l s e r f ( x ) d e r i v a b l e oX , f ' ( x o ) : f ' ( x j ) : 0f'(^),9. f ( x o + h ) - f ( x o ) , U" Por o tanto,si una uncincumple as condiciones el T. de Rolle en la , b] , al menosen un punto

del intervalo, a tangente la curva serhorizontal .Teoremade los incrementosinitos (valor mediode Lagrange): Enunciado:Si (x), funcin eal,es continua n [a , b] y derivable n(a , b), existeal menosun punto xo de(a , b)e n e l q u e ( b ) - ( a ) : f ' ( x o ) ( b - a )

fcontinua"n [u, U]Esdecir. l (x) {l d e r i v a b t e e n ( a , b ) = l x o e ( u ' A ) I f t ) - f ( a ) : f ' ( x o ) ( b - a )La demostracin erealizaapoyndonos n el teoremade Rolle:

t*) = *


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2.s

Sedefine a funcinauxiliar F(x) : f1" - f(Ql - ftu I (x - a) y observamosue:b - aa. - F(x) es continua n [a, b], al serlo f(x) (operacioneson funciones ontinuas)b.- F(x) esderivable n (a, b) ,porser lo x) y F'(x): f ' (x) - f tb) - f(a)b - ac.- F(a): f(a) "l

I e(u):F(b)F(b): u- I(bl- !32 (b a): r(a) )

P o r e l t e o r e m a d e R o l l e ,x o e ( a , b ) I p ' ( x o ) : 0 = f ' ( x o r - f ( Q ) - f ( a ) - o = )b - a

Interpretacineomtrica

c .q .d .

Si f(x) cumple ascondiciones el eorema eLagrange n [a , b] , en al menosun punto xn e (a, b)la tangente la curva iene a mismapendiente uela pendientemedia (definidapo r A y B)

NOTA : Si f(x) cumple as condiciones e Lagrange n un (u , ) y h < d, el enunciado elteorema e Lagrange uede scribirseomo sigue:

o * ? . , S i h a c e m o s 6 : + h

u r y \ o < 9 < ' 1

x ^ : a + $ h c o n 0 < S < l( a + h ) : f ( a ) + h f ' ( x o ) : f ( a ) + h f ' ( a + I h )

" Si en un entornode a, f(x) cumple ascondiciones el teoremade Lagrange, l valor de la funcin enun puntode dicho entornose obtienesumandoa la funcin en c (f(a)) el productodel incrementodela variablepor la derivadade la funcin en un punto ntermedioentrea y dicho punto "

As:

f ( b ) * ( a ) : f ' ( x o ) ( b - a )

f ( a + h ) - f ( a ) : h f ' ( x n ) : h f ' ( a + I h )


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26

Teoremadel valor mediogeneralizadoTeoremade CAUCHY):Sean (x) y g(x) do s unciones ealesde variable eal,continuas n [a , b] y derivables n (a, b) ,

entoncesever i f i caque xo e (a .U) / t f (b ) - f (a) l g ' (xo) = tg(b) -g(a) l f ' (xo)

Demostracin: a hacemos partirdel teoremade Rolle definiendo a funcin auxiliar F(x):F(x) : tf(b) - (a)l g(") - tg(b) - g(a)l f(x) y comprobando ue cumple as tres condiciones

del eorema e Rolle:1. -F(x) escontinua n [a , b] por serlo f(x) y g(x).2.-F(x)esderivable n(a, b) por serlo (x) y g(x);y F'(x): t f(b)-f(a)l g' (x)- tg(b)-g(a)l f ' (x)

como f '(x) y g'(x) estn efinidas n (a , b), ambin o estar F' (x).3.- F(a): f(b) e(a) g(b) (a )

F(b) : - f(a) e(b) + s(a) (b)= F(a) :F(b)

Segn l eorema eRolle 3 xo e (a ,b) I p' (xo) : 0S i F ' ( xn ) :0 3 t f ( b ) - (a ) l g ' ( xo ) - tg (b ) -g (a ) l ' ( xo ) :0 : >

= tru) - f(a)lg'( xo): tg(b) g(a)l '( xo) c.q.d.Interpretacingeomtrica:Si g(a) g(b) y g'(xn)0 y l lamamos : t!l ]-t!"J el teoremae Cauchy firma uee(b) e(a)3 xne (a. ) t ,1" ' I : * . esdeci r ue:g ' ( x oSi el incrementode f(x) es K vecesel de g(x) en algnpuntode (a , b), la pendiente e la tangenteala grficade f(x) es K veces a pendiente e la tangente la grficade g(x).En particular,si f(b) - f(a) : g(b) - g(a) -+ K : 1 -) En algnpunto x0 e (a, b), las angentessernparalelas.

Si g(a) + g(b) y las derivadasdeexpresara tesisdel teoremacomo:

#A

f(x) y g(x) no se anulan simultneamente n (a , b), podremost . r , , e (a . ) , f (b ) - f (a) _ f ' (xo)g(b) g(a) g' (xo

a?trtt(*/g(qt('l

K: I Xt4


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2.7

Clculode mites ndeterminad os.eglade L'Hpital:L'Hpital demostrque si JT" -S es una forma indeterminada el tipo * y f(x) y g(x) son

derivables n un entorno e x: a, severificaque li* f(*J : lim f ;(xl : L (siexiste)' x - + a g ( x ) r - + a g ' ( x )+ La regla puede aplicarse reiteradamente i las funciones derivadas cumplen las condicionesrequeridas.* Ademspuededemostrarse ue e::a reglapuedegeneralizarse todos os casosde indeterminacinenformadecociente tunto9.o*o S,tantocuando x -+ a comocuando -+ +co)' 0 o o

Los demscasosde indeterminacin e'resolvern, reviareduccindel lmite a alguno de los casosanteriores:

- Forma . oo: l im (x).g(x : l im ISLx - + a I(-);Gt.o)- Forma .o - oo Si alqunade las funcioneses racional,sereducea comn denominador;

l lsi no o es. esustituye:(x )* g(x)porsuequivalent"!

IlQ de l

. 0t lDo' 0(^)'e(*)

- Las formas exponencialesndeterminadas. ( l-, 00, -0 ) se resuelvenaplicando aidentidad AB : .BLA, la indeterminacin el exponenteesponder algunode los modelosanteriores.


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3 .1

P . l

P.2

TEMA 3. COMPORTAMIENTO E UNA FUNCIN. ESTUDIO DE FUNCIONESEN FORMAEXPLCITA

A fa hora de analizaruna funcin habrque tener en cuenta os puntossiguientes (todoso partedeellos,segn asexigencias el anlisis realizar):

(Referidos la naturaleza e la funcin):a.- Dominio (D): Indica el nmero de arcos de curva y su extensin. Delimita el campo de

trabajo)b.- Paridad.mparidad:

f(x) espar si Vx e D , (- x) = (x) -+ f(x) sersimtrica espectoOY(x) es mpar si Vx e D , f(- x) : - f(x) -+ (x) sersimtrica espectoO

c. - Periodosnormalmenten as unciones rigonomtri cas),igno, .. et c(Referidosa los lmites de la funcin en los extremosde susarcosde curva):

a . - S e d i c e q u e f ( x ) t i e n e e n: a u n a a s n t o t a v e r t i c a l , A V , s i e n: a , f ( x ) t i e n e a l m e n o s u nlmite lateral nfinito, (lmite infinito en punto finito)

b . -Sed icequef (x ) t ieneeny:bunaasn to tahor izonta l ,AH,enoo ( -oo)s i l im f (x ) :b(-*)

(lmite inito en el infinito)c.- Si en + oo ( - oo el lmite no es finito, es posible que f(x) tenga en + co ( - oo una

asntota bl cua,AO, cuyaecuacin er y: m x+b, dondemy b se calcularn omoI . . f ( x )l m = l i mJ x _ + + m XII b = lim (f(x) - mx) (b + +co;L x -+ rco

NOTA IMPORTANTE: Si f(x) es racional cociente epolinomios),endremos n cuenta ue:a.- La posibleasntota n + oo tambin o esen -.ob.- Si el grado del numerador es menor o igual que el grado del

denominador endremosAHc.- Si el gradodel numerador s IINO ms qu e el del denominador,

tendremosAO, cuya ecuacinse obtendr cilmente,efectuandoel cociente.

P.3 : Intersecciones e la curva con lasasntotas n el infinito (horizontales /u oblcuas) con los ejesde coordenadas.


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). .

P.4:Compoftamientoe a funcin.Puntos otables. recimiento. urvatura.Crecimiento:

Definicin: Sea x), funcin real, definida en D c E , diremosque (x) es crecienteen xo e Ds i I . ( * o ) / V x e ( - ( x o ) , s i g ( x - x o ) : s i g ( f ( x ) - f ( x o ) ) ,esdecir: Si x < xu, f(x) < f( xo

= en un f ( xo el incremento e la funciny el deS i x > x e , f ( x ) > ( x o )la variable ienenel mismosigno.

Si, adems, I -(*o) / Vxe (-(*o)0 D, f(x) I f(xo), f(x) ser str ictamenlecrecien tee n x ^ .

Anlogamentediremos que f(x) es decrecieneen x0 , si se verifica lo contrario, es decir, siI 6 - ( " 0 ) / Vx e ( - ( x o ) , s i g ( x - x o ) + s i g ( ( x ) - f ( xo ) ) ,

S i , a d e m s , - ( *o ) / Vx e ( . ( * o ) n D , f ( x ) # f ( t o ) , f ( x ) s e r e s t r i c t a m e n l e d e c r e c i e n t ee n x ^ .Diremos que f(x) es creciente( o decreciente)en (a , b) cuando o es en todos los puntosdelintervalo.TEOREMA 1: Si f(x), derivable n (a , b) , es creciente n dicho ntervalo, V xe (a , b), f '(x) > 0S i f (x ) ,der ivab leen(a ,b) ,esdecrec ienteend icho in terva lo ,xe (a ,b) , f ' (x )


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'3.3

Extremos elativos: Sea (x), funcin real, definidaen D c $l{ *":':"I mmtmo relativo Xo, in ter io r e D. s ie dice que f(x) presentaun

. t , I f 1 x ) < f ( x o )l ( 1 x o ) / V x e ( ( x 6 ) . lI f ( x ) > f ( x s( f iguras( l )v(z) )(figuras3)y (4))

Observamos ue a condicinde extremoes previa a la nocin de derivada,pudindose ar extremosenpuntos x0 con derivada figuras 1) V (3)) en puntos x0 en los qu e la func in no es derivable(figurasDv (qD.Es claro que los criteriosde definicin de extremos elativos,basados n la derivada,slo localizarnlos de tipo (l ) V (3).Los de tipo (DV () se calcularn or consideracionesobre a funcin,decarctergrfico, generalmente.

Teorema:Se demuestra ue si f(x) es derivablen vecesen x0, la condicinpara que f(x) tengaunextremo elativo en dicho puntoes que a primeraderivadano nula en x0 seade ordenpar.

I mx imo ela t i vo i f ' (xo)=0 y f " (xo)


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> , 4

Llamaremospunto de inflexin(I ) de una curva al punto de la misma en el que la funcin pasade sercncava serconvexa viceversa.

?.")tcj

Si xo es un puntode inflexin de (x), la tangente la curva enxo atraviesaa curva.

Nota: Designamoson I " a lo spuntosde nflexinde unacurvaconrec ta tangentehor izonta lx :0 en y : x3)

- : l - -

i j / *

TEOREMA: Si (x)

( a , b ) s i V x e ( a , b )

esderivablel menos osveces n a, b) , ser J cncavaI convexa{ r " { x )>0 .I f "1x0, f (x )sercncavaen0 ysi f" ( xn < 0 , (x) ser onvexa n x0

Condicinde punto de inflexin: Si f(x) es derivableal menosdos vecesen x0 y x0 es punto de

inflexin de (x), secumplirque f " ( xo : 0.

En la prctica paracualquier (x), derivableal menosdosvecesen x0 :I M R s i f " 1 x n ) < 0S i f ' ( x o ) : 0 y f " ( x o ) # 0 ) x o s e r E . R . d e ( x ) : i[ * R s i f " ( x o ) > 0

S i f " ( x o ) : 0 y f ' ( x o ) : m # 0 - ) x o s e r I d e ( x ) c o n m p e n d i e n t e d ea t a n g e n t e .S i f ' ( x o ) : f " ( x o ) : 0 h a b r q u e a n a l i z a r e li g n o d e ' ( x ) a l a i z q u i e r d a y a l a d e r e c h a d e

x0 paraver si se ratade un E.R.o de un l 1


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ENUNCIADOSNLA P.A.U. E LOSTEMAS1.2y 3:

f ( x ) : Hallar ay b paraque f(x) seacontinuaen todo fr. Analizar a

derivabilidad e (x).l ' ^

z . - r tx l : ] 1 -x ' s i "= t , pparaquef (x )seacont inuaxe !1?.Ex is tea lgnpuntoparae ll * * p s i x > lque a tangente eaparalela la recta 4 x+ 2 y - 3 :0 ?

3.- a.- Hallar el puntode la curva y: L(l + x') en el qu e a tangente sperpendicular la tangentela curva razada esde l puntode abscisax: l.

b . -En upuntosatangente y :x t -3 x+ I espara le laa ljeOX?Suecuac in?4 . - f ( x ) e s d e r i v a b l e e n t o d o, a d e m s ( 0 ) : 2 y f ' ( 0 ) : - 2 S e d e f i n e n ( x ) : " f ( " ) y h ( x ) : f ( e . )

Haydatosparacalcularg'(0) y h' (0) ?.5 . - ( x ) e s d e r i v a b l e e n t o d ot , ( 1 ) : 0 y f ' ( l ) : - 2 . S i h ( x ) : " f ( x ) + x 2 * ( f ( * ) ) 2 , h ' ( l ) ?

36 . - E c u a c i n d e l a t a n g e n t e a( x ) : x e * + - t - e n e l p u n t o : l .x ' + l

I s e n x s i x < 07.- f(x) : I 1a I f(x) seaderivableen toda a recta eal?I x - a x ' s i x > 08 . - a . - R e c t a t a n g e n t e e n u n p u n t o= a , a f 1 x ) : x ' - 3 x + 4 ? , E c u a c i n d e l a t a n g e n t e a l a c u r v a

quepasepor O(0, 0) ?b.- Tangente y : xr + 16 en x : a?Algunadeesastangentesasapor O(0,0Xc. - Tangente y: x4 + 16 en x: a?Valorde a paraque a tangente ase or O(0, 0)?

9.- Si f(x): x2 + 1 y g(x): cosx' derivah(x) : g( f (x)) y j(x): f (g(*))f x s i x < l1 0 . - e ( x ) : i ; S e a n f , ( x ) : ( x - l ) g ( x ) Y f z ( x ) : ( x - l ) t g ( x )l x + l s i x ) l

(l ) y f; (1 si existen?[ * - * ' + c t s i x > 2 , .t l . - (x): j " : anal izara derivabi l idade f1x) en uncin e aI c r x s i x < 2

1 2 . - ( x ) : * l * - t l : f ' ( l ) ? P o r q u ?I a x + 2 b x 2 s i x < l13.- f(x): { -:^ - Valores eay b para osque f(x) esderivable n fr ?| * ' - 2 a x + a s i x > l -I l * - l l s i xc lla . - f (x ) : { ' f ' ( l )?Izx - t l - t s i x> l


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L

15 . -Enunc ia re l teo remadeRo l le .Va lo reaparaquepuedaap l i ca rsea(x ) : x ' - ax en 10 ,5 ]?Parase alordea en qu unto ecumple l eorema?

lax (x+ l ) s i * . f t , O ]16.- (x): j " -, .- Para uvalores e a puede plicarsel teorema e' - \ ' - l I x ( x - l ) 2 s i * t ( o ' t ]Rolle f(x) en I t , ] Z

f 0 s i x=0| 7. - 1x ; ] I ^ en [- l,ll no iene ingn unto ederivadaula,contradicelloen| - s l x l U 'Ix lalgoel teorema e Rolle?

18.-a.- Enuncia l teorema el valormedioy aplcalo f(x): x-t en l_ t,Z]b.- dempara f(x) : J;

"n [t,z]

c.- dempara (x): x2 + * en I t, z]d.- dempara f(x) : s3* "n [n, n + 1] , n e N.

l * ' + u x + b . x < 219.- f(x): i Valores e ay b para os que (x) cumple ascondiciones| 2 t , x > 2de l TVM "n [0 ,+] t20.-a.-Si (x) esderivable f ' (x)> l , Vxe !1 y f(0):3,demostrar que f(22) >25.

b . -S i f (x ) esder ivab le f ' (x )> l , Vxe f r y (0) : I puedeasegurarseque21) >61?Qupodramos firmar de f(40)?\ , . x - s e n X , . , . I \ , . L ( l + a x ) + L ( l - a x )2t . -a tl ' $ -= b) I ' j i co tgx - - c) im ? d) im xsen*

22.- Puedexist i runa funcindefinida n I: [0,5], continua n todo I, que engaun extremorelativoen x : 3 y que no tengaderivada ulaen x : 3? Justifica a respuesta. jemplo.

23.-Estudiocompletode:)y: .*##- b)y: a*= ", ,: *, , x ^ ' 'd ) y : - - e ) y : . 0y : ^ . * g )y :x te - " h )y : ^ ' ? -Z l * lx ' - l - x t - l

24.-Obtnasasntotas lo spuntos otables e: a) y : x4 e- * " b) y : "3 e-*c ) y : L(x t - 3 ^ ) d) y : L( l + x2) e) (x ) : -+4 x ' + l25.- x) : "2*-4e*+ 1,.Asntotas,ntervalos e crecimiento, xtremos elativos?26.- f(x) :2x3* 3x2+ h, Posicin e mximos mnimos elat ivos? Valorde h paraque el

mnimoobtenido eacero?2 7 . - E l b e n e f i c i o B ( x ) , s e g n l o s k g . p r o d u c i d o s ( x ) s i g u e l a l e y( x ) : - 0 ' 0 1 x 2 + 3 ' 6 x - 1 8 0 .a) kga producirparaun beneficiomximo? b) Produccinmximaparano entraren prdidas?


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2 8 . - f ( x ) : a x 2 + b x e s c r e c i e n t e e n- - , 1 ) y d e c r e c i e n t e e n1 , o o ) , y a d e m s , ( l ) : L , c o n: * !9!I f(x)?

x + u x2 9 . - ( * ) : a r 3 + b x ' + x + 7 a , s i ( x ) t i e n e u n m x i m o r . e n: I y u n m n i m o . e n x : 2 ?3 0 . - f ( x ) : 2 x 3 + a x 2 * b x + c H a l l a r Q , b , c p a r a q u e ( x ) p a s e p o rP ( 1 , 6 ) y t e n g a e x t r e m o s

r e l a t i v o s e n: I y x : 2 .3l .- Qu ignificaqu e y : a x * b esasntota blcuade f(x)?

t a

Quasntota blcua iene (x): .^ ; t: en funcinde c?3 x ' + 53 2 . - P ( x ) : A x 2 + B x + C c u m p l e q u e :P ( 0 ) : 1 , P ( l ) : l y l a t a n g e n t e e n : 0 e s p a r a l e l a ay : 2 x + 3 A , B , C ?3 3 . - y = x 3 + A x 2 + B x + Q t i e n e p o r t a n g e n t e e n( 1 , ) a y : 3 x _ 2 y a d e m s t i e n e u n e x t r e m o

relativoen x : 4 4, B, C?3 4 . -y : u * 3 + b x 2 + c x + d . H a l l a ra ,b ,c ,d s i a t a n g e n t e aa c u r v a e n l p u n t o d en f l e x i n( 1 , 0 )

es y : -3 x+ 3 y ademst ienen ex t remore la t i von x :0 .3 5 . -

"LT-IVa) , b ) , c ) cor respondenf (x ) : x senTlx , g(x ) : x 'senf ix , h (x ) : x 'cos f i x en l -Z,Z l .Qugrficacorresponde cada uncin?36.-

Si ( l ) corresponde f(x) culde asotrases f'(x)? y f" (x)?


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l"', ,,1i "''o/ ,-i38.-

30 cm

3 0 c m x

t BtLas grficasse coffesponden on una funcin f(x), su derivada f'(x) y otra funcin g(x).Deducea cual corresponde adagrfica.

lado del cuadrado eliminardeuna mina uadrada e adox 30cm,paraque a caja sin apa) esultanteenga olumenmximo?

Un agricultor ieneuna finca rectangular, no de cuyos adoslimita con un ro y quierevallar los tres lados estantes. Costemnimosi el metrodevalla cuesta8 y quierevallar2000mr ?

Hallar los ladosdel rectngulo de permetromximo inscrito en una circunferencia e radio: l0 co nuno de sus adosapoyado n el dimetro e a circunferencia.demparael rectngulo e reamxima.

Una ventana tiene una parte rectangular coronada por unsemicrculo, on permetrootal 12 m Dimensionesa, R) de la ventana uepermitenuna mayor entradade luz?

40.-a.-R

b.-

m2 2 funciones

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