1

Dinamika rotacije (nastavak)

Moment sile:

Naučili smo:

FrM ×=II Njutnov zakon za rotaciju krutog tela oko nepokretne ose:

Analogno sa: amF =

I je skalarna veličina analogna masi i predstavlja inertnost tela prema rotaciji. Zavisi od raspodele mase tela u odnosu na osu rotacije.

Centar mase je tačka koja reprezentuje prosečan položaj ukupne mase tela – tačka za koju se može zamisliti kao da je sva masa tela skoncentrisana u njoj.

Centar mase tela (težište)

Centar mase je tačka karakteristična za kruto telo izloženo delovanju spoljašnje sile, koja se kreće na isti način kao što se bi se kretala i materijalna tačka (mase jednake masi datog tela) pod dejstvom te iste rezultantne spoljašnje sile.

Sumiranjem svih momenata sile teže koji deluju na pojedinačne deliće l d bij l il ž j d čktela, dobija se rezultantna sila teže sa svojom napadnom tačkom.

Dakle, može se smatrati da sila teže koja deluje na kruto telo ima napadnu tačku u centru mase tela (CM) pa se centar mase naziva i težište tela.

Za homogena tela pravilnog oblika (valjak, lopta, kvadar), centar mase se nalazi u geometrijskom centru tela.

2

m1m3

y

y1

Primer: određivanje položaja centra mase skupa materijalnih tačaka u ravni.

m2

3

X CMy3

y2

x3x2x1 x x

321

332211

321

332211 ;

mmmymymym

m

ymy

mmmxmxmxm

m

xmx

ii

iii

CM

ii

iii

CM

++++=

⋅=

++++=

⋅=

Štajnerova teoremaŠtajnerova teorema omogućuje izračunavanje momenta inercije za osu rotacije koja je pomerena paralelno u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase tela.

20 mdII +=CM

II0

d

3

Moment impulsa materijalne tačke pri kretanju oko nepokretne ose rotacije je vektorski proizvod njenogvektora položaja i vektora njenog impulsa :

Moment impulsa

p j j g p

vmrprL ×=×=

ωIL =

Moment impulsa krutog tela

Za slučaj krutog tela sumiramo momente impulsa svih materijalnih tačaka:

rvmrrmrvmrL iiiiiiiii ωωω ==== jejer2

====i

iii

iii

i ImrmrLL ωωω 22

ωIL =Moment impulsa krutog tela

dtId

dtdIIM )( ωωα === =>

dtLdM =

4

Rad i snaga rotacionog kretanja- Elementarni rad možemo dobiti izražavanjem elementarnog pomeraja preko ugaonog pomeraja i uzimajući u obzir da samo tangencijalna sila vrši rad.

=2

1

θ

θ

θMdA

Rad:

γ

θθγ MdrdFdsFrdFdA t =⋅=⋅=⋅= sin

1θ

Snaga:

ωθ MdtMd

dtdAP ===

Kinetička energija rotacionog kretanja- Pri rotaciji krutog tela (bez translacije) kinetičku energiju možemo dobiti sumiranjem kinetičkih energija delića tj. materijalnih tačaka.

=== iiiiiiki rvrmvmE 22 )(11 ωω jejerdelićaenergija

2

21 ωIEk =

===i i

iiiii

kik

iiiiiiki

rmrmEE 2222

21

21

)(22

ωω

jjg j

2

Pri složenom kretanju (rotacija i translacija):

22

21

21 mvIEk += ω

5

Zakoni održanja-Određene fizičke veličine X pod određenim uslovima ostaju konstantne u toku vremena:

X=const.J d d l ž j ih k j d j di- Jedan od uslova važenja ovih zakona je da se pojava odigrava u

izolovanom sistemu. Izolovani sistem je skup dva ili više tela koja uzajamno deluju, pri čemu se interakcija spoljašnjih sila uravnotežavaili ne postoji.

- Rešavanje problema preko zakona održavanja ima niz prednosti: nezavisnost od putanje, nije nužno poznavanje svih sila koje deluju, jednostavnije jednačine itd.

-U nekim slučajevima je i nemoguće rešiti Fizički problem preko osnovnih zakona kretanja već samo putem zakona održanja- Zakoni održanja su posledica svojstava simetrije u prirodi i nisu ograničeni samo na mehaniku.

Zakon održanja energije- Energija može prelaziti iz jednog u drugi oblik i prenositi se sa jednog na drugo telo, ali ukupna energija u zatvorenom sistemu ostaje konstantna.

-Energija se ne može stvoriti niti nestati, već samo promeniti oblik iz jednog u drugi.

- Dakle ukupna energija unutar jednog izolovanog sistema je konstantna.

.constE =

6

- Ako u zatvorenom sistemu tela samo konzervativne sile vrše rad, onda se održava mehanička energija (zbir kinetičke i potencijalne).

-Dakle, u slučaju kada deluju samo konzervativne sile, zbir kinetičke i ij l ij j k

Održanje mehaničke energije

potencijalne energije ostaje konstantan.

-Dobar primer je slučaj gde deluje gravitaciona sila a pri tome nema sila trenja ni otpora, kao ni plastične deformacije tela.

.constEEE pkmeh =+=

Ovakvi procesi i sudari se nazivaju elastičnim

mhgE += 01

021 2

2 += mvE

hg

1E1

I ki ik d š j

Primer slobodan pad:

ghgsv 222 ==

12

2 221

21 EmghghmmvE ====

h

2E2

Iz kinematike znamo da, pošto je g=const. :

.constEEE pkmeh =+=

Mehanička energija se održava tj. potencijalna energija tela se pretvorila kinetičku.

7

Zakon održanja impulsa

=i

ipp6

Izolovan sistem, spoljašnja sila je jednaka nuli.

po 3. Njutnovom zakonu:

jiij FF −=

2112 FF −= 2

14

5

3

12F

21Ftj. za svaka dva tela:

0....31132112 =++++= FFFFF rez

==== 0dtpdp

dtd

dtpd

Fi i

ii

rez .constp =

1

U izolovanom sistemu impuls se održava i to kao vektor: po smeru intenzitetu i pravcu.

8

Zakon održanja momenta impulsa

Slično kao kod impulsa u izolovanom sistemu tj. u sistemu gde je rezultantni spoljašnji moment sila jednak nuli moment impulsa se održava tj. konstantan je vektor.

..

constIconstIL

===

ωω

Primeri zakona održanja momenta impulsa

ω

'ω

ω

''ωω II =

9

Primeri zakona održanja momenta impulsaŽiroskop: zadržava pravac ose rotacije, primena u navigaciji

Sudari-Apsolutno elastični sudar: važi zakon održanja kinetičke energije (nema spajanja tela niti deformacije).

-Neelastični: ne održava se kinetička energija već se jedan njen deo pretvara u energiju deformacije ili toplotnu energiju.

- Apsolutno neelastični: dva tela se spajaju i kreću se kao jedno.

10

Pre sudara: 1v 2v

Čeoni elastični sudar

x

21 '':ZOI vmvmvmvm +=+

Posle sudara: 1'v 2'v

Pravci brzina su isti kao početni

22112211

22112211

''::ZOI

osixpo vmvmvmvmvmvmvmvm+−=−

+=+−

222

211

222

211 '

21'

21

21

21:ZOE vmvmvmvm +=+

Čeoni elastični sudar (analiza)

221

21

21

211

2' vmmmv

mmmmv ⋅

+

+⋅

+−=

Rešavanjem sistema jednačina dobijaju se sledeća rešenja:

221

121

21

12

2121

2' vmmmmv

mmmv ⋅

+−+⋅

+

=

U jednostavnijem slučaju, koji se često razmatra, telo 2 miruje (meta) a telo 1 (projektil) udara u njega tj. v2=0:

1

21

121

21

211

2';' vmmmvv

mmmmv ⋅

+

=⋅

+−=

-Projektil menja smer svoje brzine ako mu je masa manja od mete (m1<m2)-Ako je m1=m2 telo projektil se zaustavlja i predaje svu energiju meti.

11

1'vαsin'1v

'

yElastični sudar sa rasejanjem

'':ZOI 221111 vmvmvm +=

1v

2'v

αcos'1v

βsin'2v−

βcos'2vβα

x

βαβα

sin'sin'0:osipocos'cos':osixpo

:ZOI

2211

221111

221111

vmvmyvmvmvm

vmvmvm

−=−+=−

+ 2

222

211

211 '

21'

21

21:ZOE vmvmvm +=

Apsolutno neelastični sudar

1v 2vPre sudara:

'v

1v 2v

Posle sudara:

21

2211

212211

'

')(:

mmvmvmv

vmmvmvm

++=

+=+ZOI