コンピュータを作ってしまおう

足し算回路を設計する

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コンピュータを作ってしまおう 1

コンピュータ内ではすべてのものを０と１で表す

文字 → 文字コード

整数 → 固定小数点表示

実数 → 浮動小数点表示 （誤差を伴う）

画像 → 小さな点（ピクセル）の集まり

プログラム → 文字で表された命令を実行順に並べる

コンピュータを作ってしまおう 2

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文字コード文字を０と１で表す約束

いろんな方式がある → ASCCI （半角英数字を表す基本的なもの）

JISコード、シフトJISコード、EUCコード （日本語の文字の表し方）

例 ： ASCII では文字を次にように0と1で表す

A → 100 0001 B → 100 0010 ・・・

a → 110 0001 b → 110 0010 ・・・

0 → 011 0000 1 → 011 0001 ・・・

・・・

コンピュータを作ってしまおう 3

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ASCIIコード表

コンピュータを作ってしまおう 4

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IT用語辞典: http://e-words.jp/p/r-ascii.html から引用

数は２進数で表す

0 → 00000000

1 → 00000001 k ビット表現

2 → 00000010 n = bk-12k-1 + bk-22k-2 + ・・・ + b121 + b020

3 → 00000011 bi は 0 か 1

4 → 00000100

・・・

コンピュータを作ってしまおう 5

8 ビット → 実際は32ビットや64ビット

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16進数も役立つ

0 → 0000 0000 → 001 → 0000 0001 → 01

・・・

9 → 0000 1001 → 0910 → 0000 1010 → 0A・・・

15 → 0000 1111 → 0F・・・

コンピュータを作ってしまおう 6

10進数 2進数 16進数

10 → A11 → B12 → C13 → D14 → E15 → F

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整数は固定小数点表示する

符号ビット s と2進数 α

s=0 なら正の数

s=1 なら負の数 → sα の 0 と 1 を反転し、末尾に 1 を足す （２の補数表現）

コンピュータを作ってしまおう 7

s α

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1ビット

実数は浮動小数点表示する

符号ビット s と2進数 α と β

s=0 なら正の数

α は指数部（先頭の 1 ビットは符号を表す）、β は2進の小数部分

0.β×10αを表す

コンピュータを作ってしまおう 8

βs α

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符号ビット 指数部 小数部

２進数の足し算

[0001 1101]2 = [1D]16 = 1×16 + 13 = 29

[0000 1100]2 = [0C]16 = 0×16 + 12 = 12

0001 1101

+ 0000 1100

0010 1001 [29]16 = 2×16 + 9 = 41

コンピュータを作ってしまおう 9

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２の補数

2の補数は0と1を反転して末尾に1を足したもののこと

[0011 0101]2 = [35]16 = 3×16 + 5 = 53

[1100 1010]2 = [CA]16 （1の補数） 0と1を反転する

[1100 1011]2 = [CB]16 （2の補数） 1の補数の末尾に1を足す

元の数とそれの2の補数を足すと0になる（頭に桁上りした1が生じるので、それを捨てる）

0011 0101

+ 1100 1011

10000 0000

コンピュータを作ってしまおう 10

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捨てる

足し算で引き算をする

[0001 1101]2 = [1C]16 = 1×16 + 13 = 29

[0000 0101]2 = [05]16 = 0×16 + 5 = 5

[1111 1010]2 = [FA]16 5の「１の補数」 （0と1を反転する）

[1111 1011]2 = [FB] 16 5の「2の補数」 （末尾に1を足す）

0001 1101

+ 1111 1011

1 0001 1000 [18]16 = 1×16 + 8 = 24

コンピュータを作ってしまおう 11

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捨てる

論理値（真理値）

真理値 論理値

真 true T 1

偽 false F 0

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論理関数（ブール関数）

否定（not） 論理積（and） 論理和（or） 排他的論理和（xor）

x y ￢x x ∧ y x∨y x ㊉ y

0 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1

1 1 0 1 1 0

コンピュータを作ってしまおう 13

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２変数の論理関数のすべて

回路を表すときは

￢x → x

x ∧ y → x ・ yx ∨ y → x + y または xyx ㊉ y → x ㊉ y NAND → x | y NOR → x ↓ y

コンピュータを作ってしまおう 14

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回路素子（ゲート）

コンピュータを作ってしまおう 15

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論理式（ブール式）

0 と 1 は論理式 論理定数（論理値）

x, y, ・・・ などは論理式 論理変数（ブール変数）

α と β が論理式なら α も α・β も α+β も論理式

例

(x y + 0) + (y + z) x

コンピュータを作ってしまおう 16

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論理式を表すのに必要なものは・・・

どんな論理式も次の組み合わせだけで表すことができる

(1) 論理否定 ( x ) と論理和 ( x + y )(2) 論理否定 ( x ) と論理積 ( x ・ y )

(3) NAND ( x | y )

(4) NOR ( x ↓ y )

コンピュータを作ってしまおう 17

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論理式の性質

コンピュータを作ってしまおう 18

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足し算は途中で桁上りがある

コンピュータを作ってしまおう 19

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xnxn-1・・・x1 10011001

+ ynyn-1・・・y1 + 10110101zn+1 zn zn-1・・・z1 101001110

桁上り

まず、１ビットの足し算

コンピュータを作ってしまおう 20

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ｓは ｘ＋ｙのその桁の値となる１ビットｃは桁上り

論理式で表すと・・・

コンピュータを作ってしまおう 21

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論理回路にすると・・・

コンピュータを作ってしまおう 22

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桁上りも考慮すると・・・

コンピュータを作ってしまおう 23

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論理式で表すと・・・

コンピュータを作ってしまおう 24

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n ビットの足し算回路

コンピュータを作ってしまおう 25

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回路にすると・・・

コンピュータを作ってしまおう 26

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じゃんけん回路の設計

コンピュータを作ってしまおう 27

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その論理設計は・・・

コンピュータを作ってしまおう 28

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論理式にすると・・・

コンピュータを作ってしまおう 29

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論理回路は・・・

コンピュータを作ってしまおう 30

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実際の足し算回路はもっと高速

コンピュータを作ってしまおう 31

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プレフィックス並列計算回路

実際の足し算回路は桁上りを並列計算して高速化する

コンピュータを作ってしまおう 32

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速さの違い

コンピュータを作ってしまおう 33

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足す数の桁数（ビット数）を 𝑛𝑛 とするとき

• ripple adder （素朴な回路） 𝑛𝑛に比例する時間かかる

• carry look-ahead adder （桁上り先読み並列可算回路） log 𝑛𝑛に比例する時間で計算できる