m. cuántica 6 - Átomo de hidrógeno
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ÁTOMO DE HIDRÓGENO: resumenLa resolución de la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones para el átomo dehidrógeno, da como resultado, la cuantización de la energía y del momento angularorbitalTRANSCRIPT
• Átomo de Hidrógeno
r
eZrV
2.)( Z = 1 H
Z = 2 He+
• mp≈1850 me: suponemos al protón fijo
• Ecuación de Schrödinger en 3D:
)(.)().())()()(
.(2 2
2
2
2
2
22
rErrVz
r
y
r
x
r
m
)( rV
• posee simetría esférica:
..].
1)..(.
1.[
1.
2).(.
1.
2 2
2
22
22
2
2
EVsen
sensenrmr
rrrm
)1(
• Se propone separación de variables:
)().().(),,( rRr
Reemplazando (2) en (1) se obtienen tres ecuaciones diferenciales, una para otra para y otra para)(rR )( )(
La Ec. Radial depende de V(r)
• Requisitos para la solución: debe ser continua y normalizable
3 números cuánticos: n, l y m
im
mllnmlnmln erRCr ).().(.),,( ,,,,,,
)2(
2
0
2.
n
EZEn
].[ 6.13..)...4
.(2
1 22
0
2
0 Vecmc
eE
,.....2,1n
)1(,.......,1,0 ).1.( 2 nlllL
lmlmLz .
lllm
nl
n
,....1,0,...,1,
)1(,.....,2,1,0
,.....2,1
• n : número cuántico principal
• l: número cuántico asociado al momento angular
• m: número cuántico asociado a Lz .
Resumiendo las restricciones sobre n, l, m:
1
1 ó 0
l
mReglas de selección
• FUNCIONES DE ONDA DEL ÁTOMO DE “H”:
)().().(.),,( ,,,,,, mmllnmlnmln rRCr
m
l
m
mm
lmld
PdsenP
)(cos
)(cos.)(cos)(,
cos ;)1.(.!.2
1 2 uudu
d
lP l
l
l
llDonde Pl está dado por:
)(.)( mlm ),( m
lYARMÓNICOS ESFÉRICOS
4
10
0 Y
cos.4
30
1 Y
seniY ).exp(1
1
seniY ).exp(.8
31
1
22
2 ).2exp(32
15seniY
cos.).exp(8
151
2 seniY
)1cos3.(16
5 20
2
Y
• Para l = 0
• Para l = 1
• Para l = 2
l =0
)(rR
p2
p3
)(rR
“ORBITAL p “
“ORBITAL S “
),().(),,( ,,,, ll mllnmln YrRr
Armónicos Esféricos0
.2/3
0
10 .)(2)(arz
ea
zrR
cos.4
3
41
0 1
0 0
Yp
Ys
z
sensenp
senp
y
x
.4
3
cos.4
3
“Orbitales d”
)(rR
r
d3
• “Momento Angular Intrínseco : Spin”
2/3. 2
1 )1.(. SsssS
y
2
zS 2
1sm
• En gral. ,......2
3,
2
1s “Principio de exclusión de Pauli :
dos electrones no pueden ocupar el mismo estado cuántico”
partículas con espín semientero
• Espín entero
(fotones)
Las partículas pueden ocupar el mismo ESTADO DE ENERGIA.
2
].[ 6.13
n
VeEn
)1(,.......,1,0 ).1.( 2 nlllL
lmmL llz ,....,2,1,0 .
ÁTOMO DE HIDRÓGENO: resumen
La resolución de la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones para el átomo de hidrógeno, da como resultado, la cuantización de la energía y del momento angular orbital:
Números cuánticos: su interpretación física y reglas
• n: es el número cuántico principal, describe el tamaño y energía de un orbital. El orbital n=1 corresponde al estado de energía mas bajo de un átomo. Un orbital tendrá mayor energía cuanto mayor es su valor n.
• l : s,p,d,f…. Número cuántico azimutal, describe la forma de cada uno de los orbitales donde se encuentran los electrones.
• ml : es el número cuántico magnético que define la orientación de un orbital en el espacio. Expresa cambios en la orientación en el espacio de las nubes de probabilidad, donde pueden encontrarse los electrones.
¿hay alguna evidencia experimental de la cuantización
del momento angular?
Supongamos un electrón describiendo una órbita circular de radio “r” con velocidad angular . Por cada punto de la órbita pasaría veces por segundo, originando una corriente
2)
2.(
eI
Como la corriente tiene un contorno muy pequeño, equivale a un dipolo magnético cuyo momento magnético es igual al producto entre la intensidad de corriente y el área de la circunferencia.
22 ...2
1).).(
2.( rereM
2.. rmL e
Lm
eM
L
.
2
Lm
eM L
.
2
Luego podemos decir que para el electrón:
Pero considerando que el momento angular para una órbita circular es
El “momento magnético orbital” del electrón es :
En forma vectorial
Signo menos por la carga negativa del
electrón
L
M
me-
r+Z.e
Movimiento del electrón
Corriente equivalente
lBle
ze
Z m.m.m2
.eL.
m2
eM
Si , la componente Z del momento magnético orbital es:
Donde:
TVeTJm
eB /.10788.5.102732.9
2
. 5124
Lm
eM L
.
2
Se sabe que cuando un dipolo magnético se coloca en un campo magnético externo “B”, este adquiere una energía que es igual al producto entre el momento magnético y el campo externo cambiado de signo. De forma análoga podemos decir que si se coloca un átomo en un campo magnético externo, éste agrega al electrón en órbita la energía:
BLm
eE
e
B
..
2
Luego tomando al eje z paralelo al campo magnético B, podemos escribir:
lBB mBE .. “EFECTO ZEEMAN”
El físico holandés Pieter Zeeman en 1896, observó que la cuantización espacial se manifiesta cuando se perturba el movimiento de un átomo en presencia de un campo magnético externo.
CONSECUENCIAS DEL RESULTADO DE ZEEMAN
El espaciamiento entre los niveles de energía es el mismo y es proporcional al módulo del campo magnético.
EB no tiene un intervalo continuo de valores, puede tomar las 2l+1 orientaciones de L respecto de B.
La energía total de un electrón ligado a un átomo en presencia de un campo magnético es E=En+EB.
1L
0L
1L
1
0
1
1l
1lm
0lm
1lm
BB .
BB .
lBB mBE ..
La energía de interacción de un momento magnético con un campo es:
B
cos..BE
tiende a orientarse con el campo.
BmE Bl ..Se desdoblan los niveles de energía
¿Cómo se verifica experimentalmente?
SPÍN
Pero también, hubo experimentos que dieron lugar a pensar en un momento angular intrínseco del electrón. Surge la necesidad de proponer un nuevo número quántico con esta propiedad al que se le llamó spin. La observación detallada de los espectros atómicos muestra la aparición de dos o más líneas muy juntas -> estructura fina.
En 1922 Otto Stern y Walther Gerlach utilizaron átomos de plata para demostrar las propiedades intrínsecas del spin. En el experimento un haz lineal de átomo de plata pasaba a través de un campo magnético no uniforme e incidía sobre una placa de vidrio que actuaba como detector.
Como se ve en la figura el haz se separó en dos haces diferentes.
Como consecuencia de la fuerza magnética un haz se deflectó hacía arriba y el otro hacía abajo. Es decir, la medida de la componente paralela al campo del momento angular del spin se encuentra cuantizada, si no fuese así se encontraría distribuida continuamente y se vería una mancha continua sobre la placa.
UN NUEVO NUMERO CUANTICO …
EL SPIN DEL ELECTRÓN!!!
CARACTERÍSTICAS DEL SPIN
Se designa con la letra “s” y solo toma valor ½.
En forma análoga al número “l”, se puede calcular el módulo del momento angular del spin como
2/3. 2
1 )1.(. SsssS
CARACTERÍSTICAS DEL SPIN
Como en el momento angular orbital, la componente Z del spin se encuentra cuantizada, es decir donde “ms” es el número cuántico del spin que puede tomar solo dos valores,
.sz mS
2/1 ó 2/1 ss mm
.2/1zSPor lo tanto
“espín hacia abajo” para y ”spin hacia arriba” para 2/1sm 2/1sm
Numero quántico
Expresión quántica de la magnitud
Valores permitidos
Número de valores permitidos
n 1,2,3,… Sin limite
l 0,1,…,(n-1) n
ml 0,±1,…,±l 2l+1
ms ±1/2 2
.)1.( llL
2/)6.13( neVnE
.lmzL
.smzS
Valores posibles de n, l, ml y ms
De acuerdo a Zeeman cuando los átomos se sitúan en un campo magnético, las líneas espectrales se dividen.
Un análisis más detallado del átomo en interacción con un campo magnético externo debería considerar las contribuciones de los momentos magnético orbitales y de espín.
Cuando el espín del electrón es tenido en cuenta → efecto
Zeeman anómalo, en caso contrario se habla de efecto Zeeman normal
También existe debido al spin
)1.(..2 ssBz 2/1s 2/1sm
Si aplicamos un campo , el campo divide los estados de energía en un número par
B
BE B . BE B .y
Resonancia del spín del electrón
Supongamos un a muestra con muchos átomos en el estado l=0 , colocada entre los polos de un imán. a T bajas la mayoría de los átomo estarán en el estado -1/2
Si radiamos la muestra con:
BEh B ..2
Se produce una fuerte absorción de energía
)(B
.Cte
Abso
rció
nBB .2
2/1
2/1
Una Aplicación: “Resonancia Magnética Nuclear”
Permite alinear los campos magnéticos de diferentes átomos en la dirección de un campo magnético externo.
Hace uso de las propiedades de resonancia aplicando radiofrecuencias a los átomos o dipolos entre los campos alineados de la muestra y permite estudiar la información estructural o química de la misma.
En medicina es una técnica de obtención de imágenes internas del organismo.
Utiliza fuertes campos magnéticos que provocan que las células del cuerpo emitan ondas de radio.
Útil para caracterizar tejidos blandos